Mâță Andreea-MădălinaMG I, S. E, Gr. 40

MODELUL HODGKIN-HUXLEY

Modelul Hodgkin-Huxley este un model cantitativ al inițierii și propagării

potențialului de acțiune în neuroni. Este un set de ecuații diferențiale ordinare neliniare, care

aproximează caracteristicile electrice ale celulelor excitabile.

Lucrările lui Nernst legate de potenţialele electrice generate de difuzia electroliţilor în

soluţii au inspirat numeroase speculaţii legate de originea ionică a potenţialelor bioelectrice.

De exemplu, unii au sugerat că interiorul celulelor este electronegativ deoarece metabolismul

celular produce acizi, iar protonii rezultaţi (sarcini pozitive) pot difuza din celulă mai uşor

decât anionii organici, de dimensiuni mai mari.

În 1902, Julius Bernstein a făcut presupunerea, corectă, că membrana celulară în repaus

prezintă o permeabilitate selectivă pentru ionii K+, iar în timpul excitaţiei creşte

permeabilitatea pentru alţi ioni, scurt-circuitând potenţialul de difuzie al K+ (mecanism

denumit "membrane breakdown"). Totuşi, acest mecanism nu reuşea să explice inversarea

polarităţii din cursul potenţialului de acţiune, întrucât "ruperea" membranei (breakdown) ar fi

trebuit să aducă diferenţa de potenţial aproape de 0.

Clarificarea acestei probleme a fost realizată în mod admirabil de Alan L. Hodgkin şi

A.F. Huxley, într-o perioadă de pionierat în biofizica membranelor, între 1939-1952. Studiul

lor a fost precedat de câteva descoperiri importante. Hodgkin a arătat că sunt necesare

circuite locale de curent (descrise de Hermann în anii 1890) de la o regiune excitată a nervului

pentru a declanşa excitaţia în regiunea învecinată. Aceasta înseamnă că depolarizarea este

stimulul natural pentru propagarea potenţialului de acţiune. În 1936, J.Z. Young redescoperă

axonul gigant de calmar, care oferea, pentru prima dată, o modalitate convenabilă de a plasa

electrozi sau chiar şiruri de electrozi în interiorul unei celule excitabile. În 1939, Cole şi

Curtis au măsurat o creştere de 40 ori a conductanţei axonului gigant de calmar în cursul

potenţialului de acţiune, aparent în concordanţă cu teoria lui Bernstein. Însă, în 1939,

Hodgkin şi Huxley descoperă, cu electrozi intracelulari, că vârful potenţialului de acţiune

depăşeşte considerabil 0 mV. Explicaţia a fost furnizată de Hodgkin şi Katz în 1949: vârful

este determinat de potenţialul de echilibru al Na+ şi este datorat intrării Na+ în cursul

potenţialului de acţiune.

1

Mâță Andreea-MădălinaMG I, S. E, Gr. 40

Pe baza acestor descoperiri, Hodgkin şi Huxley au încercat să înţeleagă modul în care

excitaţia reglează intrarea ionilor Na+ şi ieşirea ionilor K+. Pentru a măsura deplasările acestor

ioni sub forma unor curenţi electrici, ei au dezvoltat metoda numită voltage clamp (fixarea

potenţialului). Această fixare a permis înregistrarea unor curenţi spre interior (inward) urmaţi

de curenţi spre exterior (outward), ca răspuns la depolarizări de tip treaptă. În 1952, Hodgkin

şi Huxley au dedus că aceşti curenţi de membrană pot fi atribuiţi unor mecanisme de

permeabilitate pentru Na+ şi K+, ale căror conductanţe sunt funcţii de timp şi de potenţialul

transmembranar. Presupunerea unor componente separate de permeabilitate şi descoperirea

faptului că potenţialul de membrană reprezintă variabila de control au fost paradigmele care

au deschis un nou domeniu de cercetare. În seria de 5 articole succesive publicate în Journal

of Physiology, ei prezintă descrierea cinetică detaliată a schimbărilor de conductanţă –

modelul Hodgkin-Huxley – suficientă pentru a explica toate proprietăţile clasice ale

generării şi propagării potenţialului de acţiune, oferind chiar şi o bază fizică plauzibilă pentru

controlul exercitat de potenţialul membranar. Noutatea acestor descoperiri era atât de mare,

încât a trecut peste un deceniu până când metoda a fost preluată în alte laboratoare.

Deşi modelul Hodgkin-Huxley explică în mod strălucit potenţialul de acţiune prin

electrodifuzia pasivă a ionilor Na+ şi K+, el nu face nici o referire explicită la căile prin care

aceste particule purtătoare de sarcină traversează membrana. În mod clasic, existau două

modele de transport transmembranar: transportorii (carriers) şi porii, diferiţi din punct de

vedere al selectivităţii, dependenţei de concentraţie a saturaţiei fluxurilor şi cuplajului

stoichiometric al numărului de molecule transportate. Un transportor era asemănat cu un

ferryboat, difuzând înainte şi înapoi prin membrană, încărcat cu molecule mici legate

stereospecific de anumite situsuri, iar un por era privit ca un tunel îngust, umplut cu apă,

permeabil pentru câţiva ioni şi molecule suficient de mici pentru a se strecura prin el.

Modelul Hodgkin-Huxley poate fi înțeles cu ajutorul figurii 2.2. Membrana celulară

semipermeabilă separă celulele din interior de lichidul extracelular și se comportă ca un

condensor. Dacă un curent de admisie este injectat în interiorul celulei, poate să încarce în

plus condensatorul sau să intre prin canale în celulele membranei. Deoarece ionii activi sunt

transportați prin membrana celulara, concentrația de ioni în interiorul celulei este diferită față

de concentrația de ioni din mediul extracelular. Potențialul lui Nernst generat de diferența de

concentrație de ioni este reprezentat de o baterie.

2

Mâță Andreea-MădălinaMG I, S. E, Gr. 40

Fig 2.2 Diagrama schematica pentru modelul Hodgkin-Huxley

Conservarea sarcinii electrice pe o zona a membranei presupune ca curentul aplicat I(t)

sa fie împărțit într-un curent capacitiv IC care încarcă capacitorul C și alte componente IK care

trec de canalele ionice.

Astfel:

I(t) = IC(t) +  Ik(t) (relatia 2.3),

unde suma trece peste toate canalele ionice.

În modelul standard Hodgkin-Hukley sunt numai trei tipuri de canale:

1. Un canal de sodiu cu index Na;

2. Un canal de potasiu cu index Kș

3. Un canal de trecere nespecific cu rezistența R (din figura 2.2).

Din definiția capacitatii :

C=Q/u,

unde Q = sarcina electrica și u=tensiunea pe condensator, rezultă ca:

IC=C*du/dt

Astfel, din relația 2.3 rezultă că:

3

Mâță Andreea-MădălinaMG I, S. E, Gr. 40

C  = -  Ik(t) + I(t) . (relația 2.4)

În termeni biologici, u reprezintă tensiunea peste membrană, iar  Ik este suma

curenților ionici care trec prin membrană.

Fig 2.3 Este prezentată funcția de echilibru A și constanta de timp B pentru trei

variabile m, n, h în modelul Hodgkin-Huxley, potențialul de repaus fiind la u=0:

Așa cum am menționat mai sus, modelul Hodgkin-Huxley descrie trei tipuri de canale.

Toate canalele pot fi caracterizate prin rezistența lor sau, echivalent, prin conductanța

acestora. Canalul de trecere este descris de o conductanță voltaj dependent gL=1/R;

conductanța celorlalte canale ionice este dependent de voltaj și de timp. Dacă toate canalele

sunt deschise, ele transmit curenți cu conductanță maximă gNa , respectiv gK. Totuși, în mod

normal unele canale sunt blocate, Probabilitatea ca un canal să fie deschis este descris de

variabilele m, n, h. Acțiunea combinată a variabilelor m și h controlează canalele de Na+.

Porțile canalelor de K+ sunt controlate de n. În mod special, Hodgkin și Huxley au formulat

cele trei componente ale curentului ca:

Ik = gNa m3h (u - ENa) + gK n4 (u - EK) + gL (u - EL). (relatia 2.5)

Parametrii ENa, EK, sau EL sunt potențialele inversate. Potențialele inversate și

conductanțele sunt parametrii empirici. In tabelul 2.1 sunt prezentate valorile inițiale

raportate de Hodgkin si Huxley (Hodkin și Huxley, 1952). Aceste valori se bazează pe o

scară de tensiune unde potențialul de repaus este zero. Pentru a obține valorile acceptate

astăzi, scala de tensiune trebuie să fie mutată cu -65mV.

4

Mâță Andreea-MădălinaMG I, S. E, Gr. 40

De exemplu, pentru a corecta valoarea potențialului inversat al sodiului este ENa=50mV,

iar cea a ionilor de potasiu este EK=-77mV.

Tabelul 2.1: Parametrii ecuațiilor Hodgkin-Huxley. Capacitatea membranara este de

C=1 F/cm2 . Scala de tensiune este deplasată astfel încât potențialul de repaus dispare.

Cele trei variabile m, n si h sunt numite variabile de suprimare a fasciculului. Ele

evoluează conform ecuațiilor diferențiale:

 = (u) (1 - m) -  (u) m   

 = (u) (1 - n) -  (u) n   

 = (u) (1 - h) -  (u) h

(relatiile 2.6)

Cu  = dm/dt, și așa mai departe.

5

Mâță Andreea-MădălinaMG I, S. E, Gr. 40

Diverse funcții α si β, date în tabelul 2.1, sunt funcții empirice pentru u, care au fost

ajustate de către Hodgkin și Huxley pentru a se potrivi datelor axonului gigantului calmar.

Ecuațiile 2.4, 2.5 si 2.6 cu valorile date în tabelul 2.1 definesc modelul Hodgkin-Huxley.

Pentru a întelege mai bine cele trei ecuații:

 = (u) (1 - m) -  (u) m   

 = (u) (1 - n) -  (u) n   

 = (u) (1 - h) -  (u) h,

este convenabil să rescriem fiecare dintre ecuațiile în forma:

= -  [x - x0(u)] (relatia 2.7),

unde x reprezinta m, n sau h.

Pentru tensiunea fixă u, variabila x se apropie de valoarea x0(u) cu constanta de timp

(u). Valoarea asimptotică x0(u) și constanta de timp (u) sunt date de transformarea: 

x0(u) =  (u)/[ (u) +  (u)]  si (u) = [ (u) +  (u)]-1.

Folosind parametrii dați de Hodgkin și Huxley am realizat fig 2.3 cu functiile (u) și

x0(u).

DINAMICĂ: În această subsecțiune studiem dinamica modelului Hodgkin - Huxley

pentru diferite tipuri de intrare: puls de intrare, de intrare constantă , curentul de intrare pas ,

și de intrare în funcție de timp.

6

Mâță Andreea-MădălinaMG I, S. E, Gr. 40

1. Generarea Spike.

Am văzut din fig 2.3 ca m0 si n0 sunt direct proporționale cu u și invers proporționale cu

h0. Astfel, dacă unele intrări din exterior determină creșterea tensiunii membranei celulare,

conductanța sodiului va crește o data cu creșterea lui m. Ca rezultat, ionii de sodiu pozitivi

intra în celulă și cresc potențialul membranar și mai mult. Dacă acest feedback pozitiv este

suficient de mare, un potențial de acțiune poate fi inițiat.

Figure 2.4: Potential de actiune.

A. Modelul Hodgkin-Huxley a fost stimulat de un scurt, dar puternic curent

înante de t=0. Evoluția în timp a potențialului de membrana u(t) = u(t) - urest pentru t >

0 arată că potențialul de acțiune (vârf pozitiv) urmată de o perioadă refractară pe parcursul

căreia potențialul este mai jos de potențialul de repaus. În cadrul răspunsului spike, timpul

u(t)-urest al potențialului pentru t>0 definește nucleul (t).

B. Efectul de prag în inițierea unui potențial de acțiune: un impuls electric cu o

durată de 1 ms a fost aplicat la t=10ms. Pentru un curent cu amplitudinea de 7.0 µA/cm2, un

potențial de acțiune cu amplitudinea de 100mV ca în a este inițiată ( linie solidă, vârful

potențialului de acțiune este în afara limitelor). Dacă curentul electric pentru stimulare este

mai slab (6.9µA/cm2) niciun potențial de acțiune nu este emis (linia punctata) și voltajul u(t)

= u(t) - urest rămâne mereu sub 10 mV.

La valori mari ale lui u, conductanța sodiului este oprită din cauza factorului h. Așa cum

a fost indicat în fig 2.3 B, constanta de timp este mereu mai mare decât . Astfel,

variabila h împreună cu cele mai apropiate canale reacționeaza mult mai încet la creșterea

7

Mâță Andreea-MădălinaMG I, S. E, Gr. 40

voltajului decât variabila m care deschide canalul. Pe o scală similară de timp lent, potasiu stă

în mod curent pe loc. Având în vedere faptul că în partea exterioara, acest lucru determină

scăderea potențialului. Efectul general al curenților de sodiu și potasiu este un scurt potențial

de acțiune urmat de o depășire negativă (fig 2.4 A). Amplitudinea pentru spike este de 100

mV.

În fig 2.4 A spike-ul a fost inițiat de un scurt impuls electric de 1ms aplicat la t<0. Dacă

amplitudinea de stimulare a curentului electric este redus sub valori critice, potențialul de

membrană revine la valoarea de repaus fară un mare spike. Astfel, avem un tip prag.

2. Mean firing rates and gain function (ratele de ardere și pentru a obține

de distracție)

Ecuațiile Hodgkin-Huxley 2.4, 2.5 si 2.6 mai pot fi studiate și pentru constanta de

intrare I(t)=I0 pentru t>0. (intrarea este zero pentru t <=0). Dacă valoarea I0 este mai mare

decât valoarea critică I    6 A/cm2 , putem observa spiking regulat (fig 2.5 A). Putem

defini o frecvență  = 1/T , unde T este intervalul inter-spike. Frecvența, ca o constantă a lui

I0 definește funcția reprezentată grafic în fig 2.5 B.

Figura 2.5 :A Un tren Spike a modelului Hodgkin - Huxley pentru curentul de intrare

constant I0. B: Funcția câștig. Frecvența este reprezentată grafic ca funcția lui I0.

3. Stimularea , prin introducerea în funcție de timp

În scopul de a explora un scenariu de intrare mai realist , am stimulat modelul Hodgkin

- Huxley cu un curent de intrare dependentă de timp I ( t) , care este generat de procedura de

8

Mâță Andreea-MădălinaMG I, S. E, Gr. 40

mai jos. La fiecare 2 ms, un număr aleator este trasat de la o distribuție gaussiană cu media

zero și deviația standard    = 3 A/cm2. Pentru a primi un curent de intrare continuu, o

interpolare liniară a fost folosită între valorile țintă. Timpul dependent rezultat pentru curentul

intrat a fost aplicat modelului Hodgkin-Huxley (2.4) Răspunsul pentru curent este voltajul

afișat în fig 2.7. De observat este faptul că potențialele de acțiune au loc la intervale

neregulate.

Fig 2.7: A. Trenul spike de la modelul Hodgkin-Huxley condus de un current de

intrare dependent de timp. Potențialele de acțiune au loc în mod iregulat. Figura arată că

voltajul u este în funcție de timp.

B.. Caracterul rezistent al modelului Hodgkin-Huxley. La t=20 ms modelul este

stimulat de un scurt curent astfel încât să se declanșeze un potențial de acțiune. Un al doilea

curent de aceeași amplitudine aplicată la t = 25, 27.5, 30, or 32, 5 ms nu este suficient pentru a

declanșa un al doilea potențial de acțiune.

4.

Pentru a studia perioada refractară neuronală am stimulat modelul Hodgkin-Huxley cu

un prim impuls electric care să fie suficient pentru a excita un spike/ Un al doilea impuls

electric, cu aceeasi amplitudine ca primul este folosit pentru a proba sensibilitatea neuronului

în timpul fazei de hiperpolarizare care urmează potențialul de acțiune. Dacă al doilea stimul

nu este suficient pentru a declanșa un alt potențial de acțiune, avem o semnatură clara a

perioadei refractare a neuronului. În simularea prezentată în fig 2.7 B, un al doilea spike este

posibil dacă am aștepta cel puțin 15 ms după ce am aplicat prima stimulare. Ar fi, desigur,

posibil să declanșăm un al doilea spike după un interval de timp mai scurt, dacă o stimulare

mult mai puternică ar fi utilizată.

Dacă ne uităm mai atent la traiectoria fig 2.7 B, vom vedea că perioada refractară

neuronală se manifestă în doua forme. Mai întâi, datorită vârfului de hiperpolarizare voltajul

9

Mâță Andreea-MădălinaMG I, S. E, Gr. 40

potențialului este scăzut. Prin urmare, este nevoie de mai multă stimulare pentru a atinge

pargul. În al doilea rând, deoarece o mare parte din canale sunt deschise imediat după un

spike, rezistența membranară este redusă în comparație cu situația din repaus. Efectul

depolarizării unui impuls electric se dezintegrează prin urmare rapid, imediat după spike decât

după 10 ms mai tarziu.

Pentru contribuția lor la descifrarea mecanismelor după care funcționează membrana

neuronală, Hodgkin și Huxley au primit în 1963 Premiul Nobel pentru Medicină.

Bibliografie: http://icwww.epfl.ch/~gerstner/SPNM/node14.html

Gerstner and Kistler – „Spiking Neuron Models. Single Neurons, Populations,

Plasticity” - Cambridge University Press, 2002

http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/2593366

http://locatorplus.gov/cgi-bin/Pwebrecon.cgi?

DB=local&v1=1&ti=1,1&Search_Arg=0101731&Search_Code=0359&CNT=1&SID=1

www.fizioms.ro/edu/lp/data/ Model are_neuronala

http://ro.wikipedia.org/wiki/Modelul_Hodgkin-Huxley

10