Modelarea Sistemelor Si Proceselor

8/13/2019 Modelarea Sistemelor Si Proceselor

1/151

1. MODELAREA SISTEMELOR SI PROCESELOR

1.1 Consideratii generale

In centrul stiintelor naturale se afla notiunile de observatie simasurare. Bazandu-se pe observatie, omul de stiinta construieste oimagine fizica a problemei pe care o studiaza si pornind de la aceastaimagine el formuleaza o teorie prin ncercari succesive, teorie cereprezinta un concept propus pentru fenomenul studiat. Condus deacest concept, el proiecteaza noi experimente. Observarearezultatelor acestor experimente fie confirma teoria, fie dicteaza oschimbare a teoriei, fie o resping total. De si un concept poate fi

frumos ai atragator pentru mintea omului de atiinta, rezultatele realesunt totusi predominante n aceasta interactiune dintre teorie siexperiment.

De aceea experimentele si observatiile masurarile! suntfundamentale, iar problema construirii modelelor prezinta oimportanta deosebita si nu poate fi separata de experimente siobservatii.

"ormularea unei teorii - ca un concept ce se propune pentru un

aspect al naturii - poate nsemna construirea modelului, teoriareprezentand un model verbal sau matematic al realitatii.

#odelul se defineste drept o reprezentare a aspecteloresentiale ale unui sistem existent sau ale unui sistem ce urmeaza a ficonstruit!, care prezinta cunostintele asupra acelui sistem sub oforma utilizabila. #odelele pot fi conceptuale, fizice sau matematicedepinzand de

- aprecierea a ceea ce este aspectul esential pentru scopul

urmarit$- procedeele de construire a modelului$- calitatea si cantitatea cunostintelor disponibile. Cunostintele

trebuie prezentate ntr-o forma utilizabila, deoarecemodelul trebuie sa ofere o baza pentru noi decizii. Daca modelul este

prea complicat, utilitatea sa devine discutabila.#odelul este deci o reprezentare cu complexitate redusa a

unei realitati. In anumite cazuri, complexitatea modelului trebuie sa

aiba o anumita corespondenta cu complexitatea realitatii, pentruobtinerea utilitatii.


2/151

In teoria reglarii se stie ca sunt rareori disponibile aprioricunostintele despre sistem si mediul ncon%urator necesare pentru a

proiecta sistemul. Chiar daca se cunosc n principiu ecuatiile careguverneaza sistemul, coeficientii acestor ecuatii sunt necunoscuti sa

modelul este foarte complicat. In astfel de situatii este posibil saefectuam experimente asupra sistemului n scopul obtineriicunostintelor car lipsesc.

&unt situatii cand experimentatorul a dobandit apriori unelcunostinte printr-o ntelegere fizica a procesului ce se examineaza.'cest poate da informatii despre structura modelului acelui proces sidespre valoarea aproximativa a coeficientilor parametrilor!modelului.

De multe ori avem nevoie de un model care sa caracterizezcomportarea static( a sistemului, alteori, de un model care scaracterizeze comportarea dinamica a acestuia.

Construirea unui model pentru un sistem este o problemcomplicata, necesitand urmatoarele etape

- alegerea structurii modelului bazata pe cunoatintele fizice$- alegerea parametrilor din datele diponibile estimarea!$- verificarea ai ncercarea modelului validarea modelului!$

- aplicarea modelului n scopul urmarit.)erificarea si ncercarea modelului este puternic legata de

estimare$ ca o urmarire a procedurii de estimare trebuie sa examinamn ce masura modelul explica cu adevarat comportarea sistemului.'cest lucru se pune n evidenta excitand sistemul si modelul cuacelasi semna de intrare si studiind caracterul si valoarea diferenteidintre semnalele de iesire.

1.2 Sisteme si procese

*rin sistem ntelegem o structura fizica un reactor chimic,masina electrica, un amplificator electronic, atmosfera*amantulu societatea omeneasca, economia unei tari, etc.! in cadrulcareia se desfasoara un anumit proces n conformitate culegitatile care guverneaza.De regula legile care guverneaza desfasurarea proceselor sun legile

generale ale naturii, nsotite n cazuri speciale cum ar functionareaeconomiei unei tari! de protocoale, conventii, reglementari. *rocesul


3/151

se defineste ca o succesiune de operatii care au loc ntr-anumitaordine ntr-o structura fizica n conformitate cu legile general alenaturii.

Deorece un proces nu poate sa se desfasoare decat n cadrul

unei structuri fizice, putem spune n consecinta ca, modelul este negala masura atat al sistemului cat si al procesului cu precizarea caatunci cand vorbim de modelul unui sistem ntelegem o structurafizica n care se desfasoara un proces.

+emarcam faptul ca sistemul ca structura fizica n care sedesfasoara procesul si pune amprenta n mod esential asupra

procesului. De exemplu, sa presupunem ca avem de reactionat douasubstante. +eactia dintre ele poate fi realizata practic sau teoretic

ntr-o infinitate de structuri fizice numite reactoare chimice. steevident ca reactia dintre aceste doua substante are loc diferit de la ostructura fizica de reactor la alta. ste adevarat ca n aceeasistructura fizica pot avea loc procese diferite daca conditiile seschimba conditiile de presiune, temperatura, natura fizica asubstantei!.

Datorita tuturor acestor motive este necesar ca modelul sa seelaboreze pentru fiecare caz concret n parte.

1.3 oti!nea de model matematic

In general procesele care se desfasoara n sistemele conceputesi realizate de om trebuie sa fie conduse n scopul realizarii unorobiective precise de exemplu n cazul reactorului chimic n carereactioneaza doi componenti, n scopul realizarii unui anumit produs,cu anumite caracteristici fizico - chimice!. *entru a putea realiza

conducerea procesului este necesar sa cunoastem desfasurareacantitativa a acestuia. Cu alte cuvinte, sa cunoastem descrierea samatematica, sa putem exprima printr-o relatie matematica legaturacantitativa dintre marimile procesului. Deoarece, orice proces sedesfasoara ntr-un sistem fizic, descrierea matematica a procesuluicaracterizeaza n egala masura si sistemul.

In consecinta putem spune ca modelul matematic al unuiproces sau sistem este reprezentat de o multime de relatii matematice

care exprima legatura cantitativa dintre marimile procesului. 'sa


4/151

dupa cum se cunoaste de la teoria sistemelor, sistemele suntcaracterizate de asa numitele variabile terminale.

'cestea se mpart n doua categorii variabile de intrare sivariabile de iesire. #odelul matematic stabileste de regula legatura

dintre variabilele terminale impartirea variabilelor n cele douacategorii se fac prin orientarea cauzala a modelului!.

1." Metode de ela#orare a modelelor matematice

In conformitate cu cele discutate mai nainte construirea unumodel matematic implica utilizarea expresiilor matematice ale legilogenerale ale naturii. *rin urmare, cel putin n principiu, elaborarea unu

model matematic ar trebui sa fie foarte simpla analizam caracteruproceselor care se desfasoara n sistem, stabilim care sunt acele leggenerale ale naturii care le guverneaza si scriem expresiilematematice a acestora.

#ultimea de relatii matematice astfel obtinute ar reprezenmodelul matematic. Din pacate lucrurile nu sunt asa de simpledeoarec structurile fizice au n ma%oritatea cazurilor formecomplicate si implic procesele care se desfasoara n ele nu pot fi

descrise cu precizie n profunzime utilizand expresiile matematiceale legilor naturii.

&a consideram exemplul unui supraincalzitor de abur fig..!. "luxul de c/ldur/ transmis peretelui este dat de urm/toarearela0ie

1gp2 hgp'gp3g-3px!! .!

*ortiunedintr-oconducta 3p x! 3emperatura

peretelui! 4az fierbinte 3g3emperatura gazului!

'gp &uprafata detransfer de caldura! 56flux de caldura 1 gp dela gaz la perete!

flux de caldura 1 pv de la perete la

vapori! x coordonata spatial( lungimeaconductei!


5/151

"ig. . &upraincalzitor de aburDeterminarea coeficientului h numit coeficient de transfer de

caldura prin suprafata de contact este o problema foarte complicata.'cest coeficient nu poate fi determinat prin metode teoretice.De asemenea, datorita complexitatii proceselor si sistemelor n foartemulteproblemelor de analiza sau de sinteza, n special atunci cand estevorba de problemele de conducere automata.

O solutie radicala a unor astfel de situatii consta n abordareaproblemei elaborarii modelului matematic ca o relatie cu structura

prestabillita ai carei coeficienti sa fie determinati n baza valorilordeterminate experimental ale m(rimilor de intrare 7i de ie7ire.'ceast/ abordare poarta denumirea de abordarea black box.

"ig. .8 +eprezentarea unui proces

*resupunand ca acest sistem este descris de un model cu oanumita structura, coeficientii modelului se determina utilizandvalorile determinate experimental.

+ezulta, prin urmare ca metodele cu a%utorul carora se potelabora modelele matematice ale proceselor se mpart n douacategorii

1.metodele analizei teoretice - sunt acele metode care folosescnacest scop expresiile matematice ale legilor generale ale naturii.

2. metodele analizei experimentale - sunt acele metode carefolosesc pentru stabilirea modelelor matematice numai valorileexperimentale ale marimilor de intrare si de iesire ale procesului.

1.$ Clasi%icarea modelelor


6/151

.Dupa caracterul relatiei intrare - iesire modelelematematice se clasifica n doua mari categorii

- Modele fara memorie - acele modele la care marimile deiesire la un moment de timp oarecare depind numai de marimile de

intrare la acelasi moment de timp. *rin urmare aceste modele suntreprezentate de expresii algebrice. 9t! 2 : ut!

In general un sistem n evolutia sa parcurge regimuritranzitorii care despart regimuri stationare ca in fig. .;!.

"ig. .; +aspunsul unui proces

Obiectele fara memorie sunt caracterizate de regimuritranzitor de durata nula. 'ltfel spus, aceste modele se afla ntr-un

permanent regim stationar. 'cesta este motivul pentru care modelelefara memorie se m numesc modele stationare.

- Modelele cu memorie -sunt acele modele la care marimea deiesire depinde n mod esential de istoria evolutiei anterioare. In cazulmodelelo cu memorie descrierile matematice vor fi reprezentate deecuati diferentiale, integro-diferentiale sau ecuatii cu diferente.

Deoarece n cazul acestor modele regimul tranzitoriu are odura finita si cum regimul tranzitoriu impune o miscare, nseamna caaceste modele se pot numi modele dinamice.

#odelele dinamice includ regimurile stationare ca niste cazuriparticulare. Daca modelul dinamic al unui proces este descris de

x2f xt!, u t!! .8!regimul stationar nseamna

f x


7/151

2. Dupa numarul parametrilor

- modele parametrice -modele pentru a caror caracterizareeste necesar si suficient un numar finit de parametri ecuatiilediferential ecuatiile cu diferente, functia de transfer!

kuyadt

dya

dt

yda =++


8/151

!. Dupa numarul ariabilelor de intrare - iesire

- modele monoariabile- modele cu o singura intrare si osingura iesire$

- modele multiariabile- modele care au cel putin doua

marimi de intrare si@sau doua marimi de iesire.". Dupa modul de reprezentare a marimilor ariabile

#arimile variabile pot admite doua moduri de reprezentare- o reprezentare continua- cand iau o infinitate de valori$

- o reprezentare discreta- cand iau un numar numarabil devalori.

#odelele matematice pot fi- modele continue - la care marimile sunt functii continue$

- modele discrete - la care marimile sunt functii discrete.In cazul modelelor stationare relatia intrare-iesire este faramemorie! modelele continue implica n mod necesar si suficientcontinuitatea intrarii. An cazul modelelor dinamice reprezentareacontinua nu implic reprezentarea continua a intrarii. Intrarea poate fidiscreta.

#. Dupa caracterul ariatiei marimilor

O marime variabila poate avea fie caracter determinist, fi

caracter stochastic.Daca o marime variabila poate fi reprezentata de o functie n

raport cu timpul a carei structura este exprimabila analitic atuncimarime respectiva are caracter determinist.

'ceasta caracteristica e fundamentala pentru ca, dandu-seexpresia functiei se poate calcula cu precizie valoarea sa n oricemomen de timp. +ezulta ca valoarea unei astfel de marimi n oricemoment de timp are o semnificatie fizica precisa.

'tunci cand valorile luate de o marime oarecare la momentulsunt influentate de cauze cu caracter aleator este clar careprezentarea e printr-o functie cu structura analitica nu mai e

posibila. )alorile luate de marimea respectiva la diverse momente detimp nu mai au semnificatie fizica. *este valorile adevarate sesuprapun altele despre care nu stim de unde provin. 'stfel de marimitin de marimi stochastice a caro caracterizare este mai complicata simai bogata n acelasi timp.

#odelele matematice se mpart n


9/151

- modele deterministe- modelele n care toate marimilevariabil sunt deterministe$

- modele stoc$astice- modelele n care cel putin omarime ar caracter stochastic aleatoriu!.

%. Dupa caracterul dependentei marimilor ariabile decoordonatele spatiale.

'tunci cand marimile variabile ale modelului depind de osingur variabila cu caracter determinist nu depind de coordonatespatiale modelul este cu parametrii concentrati ecuatiile diferentialeordinare!.

'tunci cand cel putin o marime variabila depinde de cel putincoordonata spatiala si de timp modelul este cu parametrii distribuiti

'ceste modele sunt reprezentate de ecuatii cu derivate pariale.'nalizand clasificarea modelelor se poate deduce ca un acela model

poate sa satisfaca simultan toate cele sapte criterii. De exempluecuatie diferentiala ordinara, liniara cu coeficienti constanti, cuconditi initiale date si termen fortator cunoscut sub forma analiticareprezinta unmodel cu memorie, parametric, liniar, continuu,determinist si cu parametri concentrati.

#odelele construite cu a%utorul expresiilor matematice ale

legilor naturii care guverneaza desfasurarea proceselor respective auo structura bine precizata. Deci metodele analizei teoretice conduc lamodele cu structuri bine precizate. 'ceasta nseamna ca posibilitatilede manevra n legatura cu structura modelelor stabilite cu a%utorulmetodelor analizei teoretice sunt foarte reduse.

An cazul utilizarii metodelor analizei experimentaleposibilitatile de manevra din acest punct de vedere al structuriimodelelor! sunt incomparabil mai largi deoarece n cazul acestor

metode structura modelului este aleasa n baza unor reguli de catreexperimentator.

1.& Liniari'area modelelor neliniare

#a%oritatea sistemelor dinamice reale, conduc la modelematematice neliniare. Din punct de vedere al comportarii dinamice,sistemele neliniare pot fi deosebite imediat de cele liniare pe cale

experimentala, la excitare cu semnal treapta, prin faptul ca, spre


10/151

deosebire de acestea din urma la o dublare a amplitudinii intrarii,iesirea nu se dubleaza ci ia o valoare oarecare.

Din punct de vedere teoretic, ecuatiile neliniare nu pot fistudiate pe cale analitica n afara unui numar redus de cazuri!.

#odelele matematice liniare pot fi tratate cu a%utorul unormetode teoretice foarte puternice. An cazul acestor modele estevalabil principiul superpozitiei si se poate utiliza calcululoperational. 3eoria sistemelor liniare este foarte bine pusa la punctatat n ceea ce priveste rezolvarea problemelor de analiza cat si acelor de sinteza.

An ceea ce priveste sistemele neliniare nu exista pana nprezent o teorie unitara nchegata. xista un numar relativ mare de

metode de studiu care din pacate pot rezolva cazuri relativ simple sicu un caracter de generalitate extrem de redus. ste normal ca naceasta situatie sa ne punem problema elaborarii unor modele liniareliniarizate! care - n anumite conditii - sa descrie suficient de exact

procesele neliniare care se desfasoara n instalatiile industriale. 'cestlucru este posibil utilizand metoda liniarizarii n %urul asa numitului

punct de functionare.*rin punct de functionare ntelegem multimea valorilor

constante n %urul carora variaza n domenii de ntindere micamarimile variabile.

"ie un model neliniar de formaxt! 2 f x t!, u t!! .!

e propunem sa gasim sa construim! un model liniar de formaxt! 2 'xt! = But! .E!

care sa aproximeze suficient de bine modelul neliniar .!.

"ie x'dmitem ca xt! si ut! pot fi reprezentate astfel ncatxt! 2 x


11/151

#odelul liniarizat se obtine dezvoltand n serie 3a9lor functineliniara si retinem numai termenii de ordinul I.

)om dezvolta n serie 3a9lor functiile f i, i2, ...n

fixt !, ....,xnt!, u t !,..., urt!! 2 fix

( )

......!

undeSz! 2 RV9t!W si Uz! 2 RVut!W

&i

.8!

este functia de transfer.Conditiile de stabilitate enuntate pentru ecuatia cu diferente suntvalabil si in acest caz.

b' )aracterizarea de stare

"orma generala a ecuatiilor de stare pentru un sistemmultivariabil continuu este urm(toareax*t'+,x*t'u*t'

y*t' + )x*t' .8E!

undext! - vectorul *n X ! al variabilelor de stareut! - vectorul nuX! al variabilelor de intrare9t! - vectorul *ny/ ! al variabilelor de iesire' - matricea sistemului [n / n0B - matricea intrarii [n / n u0C- matricea iesirii ( ny X n 7Conditia de stabilitate este realizata daca valorile proprii ale

lui au partea reala negativa.Daca xt! este vectorul de stare n dimensional la momentul t t 2


15/151

*z' + )*z-,'-1

$ t ! + ),t- .8H!

1.7.1.2 Modele neparametrice

a'(uncia pondere

)azul continuu

otand ut! - intrarea la momentul t 9t! - ie7irea la momentul t ht! - valoarea functiei pondere la momentul t, atunci pentru

sisteme liniare, invariante este adevarata integrala de convolutie

*entru procese realizabile fizic, ht! 2


16/151

)azul discret

+elatia .8

= ===

t

i

t

t

tui$iut$ty . Digital Cloc: - furnizeaz/ Qi afQaz/ timpul curent al simul/riila intervale prestabilite. An rest, ieQirea este men0inut/ lavaloarea anterioar/. &e utilizeaz/ n cazul simul/rii sistemelordiscrete$

. Discrete *ulse 4enerator - genereaz/ o succesiune de pulsuridreptunghiulare, la intervale de timp prestabilite. *rin masca

blocului se pot modifica amplitudinea, frecven0a, l/0imea, fazapulsurilor n multiplii ai intervalului de eQantionare$

E. "rom "ile-citeQte date dintr-un fiQier de dateF. "rom or:space - citeQte date dintr-o matrice definit/ n spa0iul

de lucru #atlabH. *ulse 4enerator j genereaz/ o succesiune de pulsuri

dreptunghiulare.*rin masca blocului pot fi modificate perioada,factorul de umplere, amplitudinea.&e utilizeaz/ n cazul simul/riisistemelor continue

. &tep j genereaz/ un semnal treapt/.*rin masca blocului se potmodifica momentul gener/rii treptei, valorile sale ini0ial/ Qi final/


33/151

. Uniform +andom umber j 4enereaz/ numere aleatoare cudistribu0ie uniform/

1.3.2 i#lioteca Sin5s

4rupeaz/ figura .! blocuri care afiQeaz/ sau scriu n fiQiere dedate, valorile disponibile la ieQirile blocurilor.

"ig . Biblioteca &in:s

Blocurile ce sunt grupate n aceast/ bibliotec/ realizeaz/ func0iide vizualizare a datelor

. Displa9 - 'fiQaz/ valoarea numeric/ ce i este aplicat/ laintrare. 'ceasta poate fi un scalar, sau un vector ob0inut prinmultiplexarea mai multor semnale, caz n care fiecare variabil/ esteafiQat/ n cte un cmp. *rin masca blocului se poate modificaformatul de afiQare

8. &cope j 'fiQeaz/ grafic semnale generate n timpul simul/rii


34/151

'cest bloc este cel mai frecvent utilizat pentru vizualizarearezultatelor simul/rilor, fiind foarte bine dezvoltat din punctul devedere al posibilit/0ilor de parametrare. Din acest motiv, el va fidetaliat n continuare.

Blocul cope afiQaz/ semnalul de la intrare n func0ie de timpulsimul/rii. l poate avea unul sau mai multe sisteme de axe cte unul

pentru fiecare port de intrare!. &imilar osciloscoapelor, toatesistemele de axe au abscisa baza de timp! comun/, domeniile devaria0ie ale ordonatelor axelory'putnd fi modificate independent.An timpul simul/rii pot fi modificate scalele abscisei Qi ordonatelor,

parametrii blocului, pozi0ia Qi dimensiunea ferestrei de afiQare.Dup/ preluarea sa ntr-un model nou Qi pornirea simul/rii,

&imulin: nu deschide n mod automat fereastra de afiQare, dartransmite date blocurilor cope conectate. An consecin0/, ladeschiderea ferestrelor &cope, chiar dup/ ncheierea simul/rii,semnalul sau semnalele aplicate vor fi afiQate.

Blocul cope accept/ ca semnale de intrare att m/rimi scalare,ct Qi vectoriale. An primul caz, fiecare semnal scalar conectat la un

port de intrare al unui bloc cope este afiQat n cte un sistem de axe.An cazul semnalelor vectoriale ob0inute prin multiplexarea mai

multor semnale, scalare sau la rndul lor vectoriale!, ntregul semnalvectorial rezultat va fi vizualizat n acelaQi sistem de coordonate,folosindu-se culori diferite pentru fiecare semnal scalar component,n ordinea galben, violet, bleu, roQu, verde, albastru nchis. Dac/semnalul vectorial este compus din mai mult de Qase semnalescalare, ele vor fi afiQate folosindu-se ciclic culorile n ordineaenumerat/.

Deschiderea ferestrei blocului cope se realizeazJA cu dublu click

pe blocul copepreluat ntr-un model nou. oua fereastr/ "ig. .E!con0ine ecranul osciloscopului sistemul de axe! Qi o bar/ de butoane*Boolbar buitons'A cu a%utorul c/rora se poate modifica aspectulafiQ/rii

. Room - detaliaz/ dup/ ambele axe, fie o zon/ a ecranuluiosciloscopului selectat/ cu a%utorul mouse-ului, fie n %urul unui

punct selectat prin simplu clic:. Dac/ blocul cope are mai multesisteme de axe, detalierea unuia dintre ele va determina

modificarea axei absciselor tuturor sistemelor de coordonate.'ceasta deoarece toate sistemele de coordonate ale aceluiaQi


35/151

bloc copeutilizeaz/, aQa cum s-a precizat mai sus, aceeaQi baz/ detimp$

"ig .E "ereastra principal/ a blocului &cope

8. Room -axes j detaliaz/ semnalele vizualizate, dup/ axa .&epoate detalia fie un domeniu selectat cu a%utorul mouse-ului, fie n%urul unui punct selectat prin simplu clic:

;. Room S-axes j detaliaz/ semnalele vizualizate, dup/ axa 9.&epoate detalia fie un domeniu selectat cu a%utorul mouse-ului, fie n%urul unui punct selectat prin simplu cli:

?. 'utoscale j scaleaz/ automat ambele axe ale tuturor sistemelor

de coordonate ale aceluiaQi bloc copeApentru a fi afiQate toate datelememorate ale unei simul/ri. Dac/ se apas/ butonul,utoscale ntimpul rul/rii unei simul/ri, axele sunt auto-scalate n func0ie dedatele disponibile la acel moment, iar domeniile abscisei Qi ordonateisunt salvate ca valori implicite. 'ceasta va determina utilizareaaceloraQi domenii pentru simul/rile ulterioare ale aceluiaQi model$

>. &ave curent axes settings j se salveaz/ domeniile abscisei Qiordonatei, astfel nct acestea vor fi utilizate pentru simul/rile

ulterioare ale aceluiaQi model


36/151

. *roperties j se va deschide o nou/ fereastr/ fig. .F!, carecon0ine dou/ pagini 4eneral Qi Data histor9.Din pagina4eneral pot fi schimbate num/rul sistemelor decoordonateumber of axes! Qi n consecin0/ num/rul porturilor de

intrare ale blocului copeA toate ns/ avnd aceeaQi baz/ de timp$domeniul axei absciselor *Bime ran:e'A modul de etichetare asemnalelor *Bick labels'. Din pagina KData $istoryK se poate limitanum/rul de puncte memorate pentru vizualizare, cu scopulconserv/rii memoriei sistemului *?imit roGs to last' Qi opta pentrusalvarea vectorilor de date de la intrare n spa0iul #'3P'B, ntr-ovariabil/ al c/rei nume Qi tip pot fi selectate din aceeaQi pagin/$

"ig .F "ereastra &cope properties

E. 3ime offset j n acest cmp se afiQaz/ timpul corespunz/tor

momentului ,


37/151

numele variabilei, ce va fi afiQat n fereastra principal/ aosciloscopului.

"ig .H "ereastra &cope propertiesclic: dreapta!

&top &imulation j OpreQte simularea cnd intrarea estediferit/ de


38/151

formatul se selecteaz/ prin masca blocului. &e scrie cteo linie pentru fiecare perioad/ de eQantionare, formatulfiind

+ecuperarea datelor scrise se poate face utiliznd blocuri(rom(ile sau(rom LorkspaceA n ambele cazuri trebuind ad/ugatvectorul timpului de simulare. #odalit/0ile sunt diferite, n func0iede formatul de salvare Qi de blocul utilizat pentru recuperare pag. F-HH!

S 4raph j 'fiQaz/ ntr-o fereastr/ #atlab de tip

figur/.Pa nceperea simul/rii, &imulin: deschide n modautomat cte o astfel de fereastr/ pentru fiecare bloc S4raph din model

1.3.3 i#lioteca Contin!o!s

4rupeaz/ fig .


39/151

Blocurile ce sunt grupate n aceast/ bibliotec/ realizeaz/urm/toarele func0ii

o Deriva0ie j 'proximeaz/ derivata semnalului aplicat la

intrarea sa, calculndt

u

, n care qu este modificarea

valorii de la intrarea blocului, iar qt este intervalul de timpde la pasul anterior de simulare.Blocul accept/ un singursemnal la intrare, furniznd o ieQire. )aloarea semnaluluinainte de nceperea simul/rii se consider/ ca fiind nul/, caQi valoarea ini0ial/ a ieQirii. Corectitudinea rezultatelordepinde de m/rimea pasului de simulare, valori mai mici

ale acestuia determinnd rezultate mai netede Qi maicorecte, deoarece spre deosebire de celelalte blocuricaracterizate de st/ri continue, n cazul blocului

DeriatieApasul de simulare nu este divizat n cazul unorschimb/ri rapide ale intr/rii$

o Integrator j +ealizeaz/ integrarea semnalului aplicat laintrarea sa. l reprezint/ nucleul oric/rui model al unuisistem descris de ecua0iile de stare, fiind bine dezvoltat din

punctul de vedere al posibilit/0ilor de parametrare.


40/151

*rin masa blocului, fig. .! se poate selecta una sau mai multedintre facilit/0ile acestui bloc

"ig . #asca blocului Integrator

definirea condi0iei ini0iale Initial condition source! prin mascablocului internal! sau prin intermediul unui semnal de laintrarea blocului external!

posibilitatea de a furniza o a doua ieQire care reprezint/ stareablocului &hok state port!.'cest port de ieQire furnizeaz/practic aceleaQi valori ca Qi ieQirea obiQnuit/ a blocului, dar la

momente de timp uQor diferite.'ceast/ facilitate este util/pentru evitarea buclelor algebrice ce se formeaz/ atunci cndieQirea blocului este readus/ la intrare, ca Qi condi0ie ini0ial/extern/ sau ca Qi condi0ie de resetare a integratorului. Detalii Qiexemple pot fi g/site n pag. F-


41/151

= n cazul atingerii limitei superioare < dac/ semnalul de ieQire este ntre cele dou/ limite - n cazul atingerii limitei inferioare resetarea st/rii integratorului de c/tre un semnal extern

Hxternal reset'. 'ceast/ ac0iune poate fi realizat/ n cazuldetect/rii unui front cresc/tor *risin:' sau descresc/tor*fallin:' al semnalului de resetare, sau la detectarea oric/reivaria0ii a acestuia *eit$er'.

Pa selectarea diferitelor op0iuni, simbolul blocului se modific/, ncazul select/rii tuturor op0iunilor acesta fiind cel din fig. .8.

o #emor9 j "urnizeaz/ la ieQirea sa intrarea ce i-a fostaplicat/ la pasul anterior de simulare, fiind practic un blocde eQantionare-memorare. u se recomand/ utilizarea luin cazul alegerii metodelor de integrare ode1"s Qi ode 113

pag. F-8?!$o &tate-&pace j +ealizeaz/ modelul sistemelor continue

caracterizate de ecua0iile de stare( x 72('7(x7=(B7(u7

(972(C7(x7=(D7(u7

n care (x7 este vectorul celor n variabile de stare, [u0 estevectorul celor m variabile de intrare, iar [y0 este vectorul celorr variabile de ieQire. Dimensiunile matricilor coeficien0ilorintroduse prin masca blocului trebuie s/ fie ca n "ig. .;.


42/151

o 3ransfer "cn j Implementeaz/ o func0ie de transfer definit/de

m

mm

n

nn

9s9s9

8s8s8

su

sys@

+++

+++==

..........

.........

!

!!

8

8

8

8

,

n care coeficien0ii8in ordine descresc/toare a puterilor

lui s, pot fi vectori sau matrici, iar coeficien0ii 9i trebuie s/fie vectori. Ordinul m al numitorului trebuie s/ fie maimare dect cel al num/r/torului, n.

o 3ransport Dela9 j ntrzie defazeaz/! semnalul vectorialde la intrarea sa un timp specificat prin masca blocului*Bime delay'. Pa nceperea simul/rii, ieQirea blocului arevaloarea ini0ial/ *niial input' specificat/ prin masca

blocului, pn/ cnd timpul simul/rii atinge valoareatimpului de ntrziere *Bime delay'. De la acest moment,

blocul ncepe s/ genereze semnalul de la intrare defazatfa0/ de cel de la intrare. *arametrul Bime delay specificat

prin masca blocului trebuie s/ fie pozitiv. Bloculmemoreaz/ punctele semnalului de intrare Qi momentele detimp corespunz/toare ntr-o variabil/ tampon a c/reidimensiune este specificat/ prin parametrulniial buffer

size. An cazul n care num/rul de puncte dep/QeQtedimensiunea variabilei tampon, blocul va aloca spa0iu


43/151

suplimentar de memorie, iar &imulin: va genera la finalulsimul/rii un mesa% prin care se specific/ dimensiuneanecesar/ a variabilei tampon. 3rebuie Qtiut c/ alocareasuplimentar/ de memorie ncetineQte simularea. Din acest

motiv, n cazul n care durata real/ simul/rii esteimportant/, acest parametru trebuie ales cu gri%/, mai ales

pentru ntrzieri mari Qi variabile de intrare vectoriale.o )ariable 3ransport Dela9 j ntrzie defazeaz/! semnalul

vectorial de la intrarea sa un timp determinat de a douaintrare a sa, func0ionarea fiind similar/ blocului Bransport

Delay.

o Rero-*ole j +ealizeaz/ modelul unui sistem descris de o

func0ie de transfer exprimat/ sub forma factorizat/ de poliQi zero-uri. *entru un sistem monovariabil la intrare QiieQire, aceasta se exprim/

!!!!...8!!

!!!!...8!!

!

!!

n8s8s8s

msss=

s8

s=s@

==

unde*s' este vectorul zero-urilor vector sau matrice!,8*s' este vectorul polilor vector!, iar= amplificareasistemului.*s'poate fi vector sau matrice,8*s'poate fi

vector, iar=poate fi scalar sau vector cu lungime egal/ cunum/rul liniilor din*s'. Dup/ cum se cunoaQte, trebuie cam nA iar dac/ sunt poli Qi zero-uri complexe, trebuie s/existe perechi complex-con%ugate.

1.3." i#lioteca Discrete

'ceast/ bibliotec/,figura .?, grupeaz/ blocuri ce descriucomponente Qi sisteme discrete.


44/151

"ig .? Biblioteca Discrete

Unele blocuri din aceast/ bibliotec/ sunt echivalentul unorelemente din biblioteca Continuous, dar pentru sisteme discrete,altele fiind specifice sistemelor discrete.

&e vor descrie mai nti blocurile similare celor din bibliotecaContinuous.

Discrete-3ime Integrator j +ealizeaz/ integrareadiscret/ a semnalului de la intrare. 'cest tip de integrator arefacilita0i similare celui din biblioteca )ontinuousA n plus,

prin masca blocului, putndu-se selecta metoda discret/ deintegrare pag. F->F! Qi poate fi utilizat n locul acestuia laconstruc0ia modelelor pur discrete.

Unit Dela9 j &imilar bloculuiMemoryA ntrziesemnalul vectorial aplicat la intrare cu o perioad/ deeQantionare, ce poate fi stabilit/ prin masca blocului, diferit/de pasul de simulare.

Rero-Order Told j Bloc de eQantionare-memorare cuperioada de eQantionare, ce poate fi diferit/ de pasul de


45/151

simulare, stabilit/ prin masca blocului. */streaz/ la ieQirevaloarea de la intrare pe durata ntregii perioade deeQantionare.

"irst-Order Told j +ealizeaz/ un circuit de eQantionare-

memorare de ordinul I, respectiv furnizeaz/ la ieQire unsemnal liniar variabil, cu pant/ constant/ pe durata fiec/rei

perioade de eQantionare, egal/ cu cea pe care a avut-osemnalul de la intrare la nceputul perioadei de eQantionare.An practic/ este rar utilizat, avnd mai mult o valoareteoretic/.

Discrete &tate-&pace j +ealizeaz/ modelul sistemelorcontinue caracterizate de ecua0iile de stare

(xn=!72('7(xn!7=(B7(un!7(zn!7 2(C7(xn!7=(D7(un!7

n care semnifica0iile m/rimilor sunt similare celor descriseanterior n cazul blocului tate-pace din biblioteca)ontinuous. Dimensiunile matricilor coeficien0ilortrebuie s/ respecte aceleaQi restric0ii descrise de figura .;

Discrete 3ransfer "cn j +eprezint/ modelul unui sistemdescris de func0ia de transfer n z

n

nn

mnm

nn

NzNzN

zpzpzp

z9

z8z@

++++++==

...

...

!

!!

! Qi grupeaz/ blocuri ce,datorit/generalit/0ii Qi versatilit/0ii, sunt foarte frecvent utilizate pentrurealizarea modelelor &imulin: ale diferitelor sisteme.

"unc0iile pe care le realizeaz/ sunt de cele mai multe ori evidente,

din acest motiv neinsistndu-se asupra lor.


47/151

"ig .> Biblioteca #ath

&um j +ealizeaz/ nsumarea algebric/ a semnalelor de laintr/ri, ce pot fi scalare Qi@sau vectoriale. *rin masca blocului

se poate modifica forma blocului cerc sau dreptunghi! Qisemnele intr/rilor. *entru ob0inerea unor ecarturi mai marintre porturile de intrare pot fi folosite n lista semnelor *?istof si:ns' caractere 5.

*roduct j +ealizeaz/ produsul sau ctul semnalelor de laintrare, n func0ie de ordinea semnelor de nmul0ire saudivizare din caseta de dialogIumber of inputs a m/Qtii

blocului. Dac/ se specific/ o singur/ intrare, ieQirea blocului

va fi produsul elementelor vectorului aplicat la intrare. Dot *roduct j +ealizeaz/ multiplicarea a doi vectori de

aceeaQi dimensiune aplica0i celor dou/ intr/ri, z28 ruu

4ain j ste unul din cele mai utilizate blocuri &imulin:, $realiznd multiplicarea semnalului scalar sau vectorial de laintrare cu o constant/, variabil/ sau expresie, stabilite prinmasca blocului cmpul @ain'. Dup/ stabilirea acestuia,dac/ imaginea blocului este suficient de mare, aceasta se vamodifica, afiQndu-se valoarea nscris/. An caz contrar, se vaafiQa --. )aloarea poate fi modificat/ n timpul simul/rii.

&lider 4ain j +ealizeaz/ aceeaQi func0ie ca Qi blocul @ainAdoar c/ dispune de o interfa0/ grafic/ ce permite modificareavalorii amplific/rii, ntre dou/ limite prestabilite, cu a%utorulunui cursor.

#atrix 4ain j +ealizeaz/ multiplicarea vectorului aplicat la

intrare cu o matrice de amplificare. Dac/ vectorul de intrareare n componente, matricea de amplificare trebuie s/ aib/ mlinii Qi n coloane pentru ca vectorul de ieQire s/ aib/ mcomponente.

#ath "unction j +ealizeaz/ una din func0iile matematice#atlab5, selectat/ din lista disponibil/ prin masca bloculuiexpA lo:A 1EOuA lo:l


48/151

3rigonometric function j +ealizeaz/ una din func0iiletrigonometrice disponibile n #atlab selectat/ din listadisponibil/ prin masca bloculuisinA cosA tanA asinA acosAatanA atan2A sin$A cos$A tan$A asin$A acos$A atan$. Dup/

nchiderea casetei de dialog, imaginea blocului se vamodifica, afiQndu-se numele func0iei selectate.

#in#ax j Dac/ este un singur port de intrare, furnizeaz/ laieQire un scalar ce reprezint/ minimul sau maximulselectabil prin masca blocului! elementelor vectorului dela intrare. Dac/ blocul are mai multe porturi de intrare,

blocul realizeaz/ compara0ia element cu element alevectorilor de la intrare, furniznd un vector de valori minime

sau maxime. 'bs j "urnizeaz/ la ieQire valoarea absolut/ a semnalului de

la intrare, y 2 5u5. &ign j+ealizeaz/ func0ia #atlaby 2 signk!. IeQirea este =

dac/ intrarea este pozitiv/, -l dac/ intrarea este negativ/ Qi !.

Pogical Operator j 'plic/ semnalelor de la intr/ri una dinfunc0iile logice, selectat/ prin masc/,ID I!,


49/151

I


50/151

situa0ii, parametrul neaplicat ca semnal de intrare poate fispecificat prin masca blocului.

'lgebraic Constraint j "or0eaz/ atingerea de c/tre semnalulde intrare a valorii nule, furniznd la ieQire valoarea pentru

care aceast/ condi0ie este ndeplinit/. vident c/ ieQireatrebuie s/ controleze intrarea printr-o leg/tur/ de reac0ie.Blocul poate fi folosit pentru rezolvarea sistemelor de ecua0iialgebrice Qi diferen0iale de ordinul I pag. F-8!.

1.3.& i#lioteca *!nctions 8 Ta#les

'ceast/ bibliotec/ fig .! grupeaz/ cteva blocuri deosebit deversatile Qi eficiente ce realizeaz/ opera0ii de interpolare sau diferitefunc0ii.


51/151

o Poo:-Up 3able +ealizeaz/ alocarea fiec/rei valori aplicate laintrare a unei valori la ieQire, pe baza interpol/rii liniare avalorilor definite prin masca blocului ector of input aluesvectorul variabilei de intrare! Qi ector of output alues

vectorul variabilei de ieQire!. )ectorii se pot introduce cavectori linii sau coloane. An cazul n care variabila de intrareeste n afara domeniului definit prin vectorul variabilei deintrare, se realizeaz/ extrapolarea folosind primele dou/ sauultimele dou/ puncte.

o Poo:-Up 3able 8-D! +ealizeaz/ o func0ie similar/ blocului?ook-5p BableA doar c/ interpolarea valorii de le ieQire se facen func0ie de cele dou/ variabile aplicate la intrare. *rin masca

blocului se specific/ vectorii liniilor *4oG' Qi al coloanelor*)olumn' ai matricii de intrare Qi matricea valorile deinterpolare *Bable'A ce trebuie s/ aib/ aceeaQi dimensiune cumatricea valorilor de intrare. An cazul n care variabilele deintrare sunt n afara domeniului definit prin matriceavariabilelor de intrare, se realizeaz/ extrapolarea.

o "cn ste un bloc cu func0ionalitate deosebit/,putnd realiza func0ii complexe ntr-o manier/ foarte

compact/. *rin masca blocului se poate introduce expresiafunc0iei ce se va aplica variabilei de intrare. 'ceasta poatecon0ine u - variabila de intrare. Dac/ variabila de intrare este unvector, u[i0 desemneaz/ componenta i a acestuia. u[0 sausimplu u desemneaz/ prima component/$ constante numerice$ operatori aritmetici = - @!$

operatori rela0ionali$ operatori logici$ paranteze$ func0ii matematice$ variabile din spa0iul de lucru #atlab.IeQirea este totdeauna un scalar.

o #atlab "cn 'plic/ semnalului de la intrare func0iadefinit/ prin masca blocului. ste similar blocului(cn descrismai sus, cu dou/ deosebiri importante


52/151

. poate opera Qi cu matrici$8. este mai lent deoarece apeleaz/ interpretorul #'3P'B lafiecare pas de integrare.

o &-"unction Ofer/ accesul la o func0ie & *-function +

system function' al c/rei nume este specificat prin mascablocului parametrul -function name'.O func0ie & este unfiQier cu extensia .m sau .mex*M-file sau #HP-file' scris caun fiQier -functionrespect/ standardul fiQierelor -function'n care se definesc Qi ecua0iile ce descriu comportareasistemului simulat. ste probabil cel mai puternic instrumental &imulin:, oferind posibilitateaincorpor/rii n modele arutinelor scrise n limba%ele C sau "ortran. #odul de utilizare

Qi facilit/0ile sunt decrise ntr-un manual distinct Lritin: -(unctions al pachetului &imulin:. 3rebuie ns/ subliniat c/,deQi modelele realizate prin utilizarea blocurilor -functionsunt mult mai compacte, timpul de simulare este mai mare fa0/de modelul aceluiaQi sistem realizat cu blocuri clasice&imulin:.

1.3.( i#lioteca Signals8S9stems

4rupeaz/ fig .E! blocuri ce permit multiplexarea Qidemultiplexarea semnalelor, realizarea conexiunilor de intrare@ieQiredin model, transmiterea datelor n cadrul aceluiaQi model, realizareade subsisteme Qi altele.


53/151

"ig .E Biblioteca &ignalsw&9stems

In-Inport j Creaz/ un port de intrare a unui subsistem sauo intrare extern/. umerotarea blocurilornport se faceautomat, de sus n %os Qi de la stnga la dreapta. tegerea

unui port de intrare determin/ renumerotarea celor r/mase,astfel nct s/ fie numerotate secven0ial. Ordineanumerot/rii determin/ ordinea porturilor de intrare alesubsistemului creat "ig. .F!. &chimbarea, prin masca

blocului, a num/rului portului determin/ modificareapozi0iei portului de intrare a subsistemului.

Out-Outport j Creaz/ un port de ieQire a unui subsistemsau o ieQire. 3ratarea de c/tre &imulin: a acestui bloc este

similar/ blocului Inpor


54/151

#ux j Combin/ concatezeaz/! intr/rile, scalare sauvectoriale ntr-un singur semnal vectorial de ieQire.Ordinea variabilelor n semnalul vectorial de ieQire este dat/de ordinea variabilelor n semnalele de intrare Qi deordinea porturilor de intrare. *rin masca blocului se poatemodifica num/rul porturilor de intrare, imagine bloculuimodificndu-se corespunz/tor. Bus &elector j &electeaz/ dintr-un semnal vectorial deintrare, componentele ce se doresc a se extrage Qi ordinea lor.

*rin masca blocului se poate selecta ca ieQirea s/ fieindividual/, num/rul porturilor de ieQire fiind egal cu alsemnalelor selectate, sau multiplexat/ o singur/ ieQirevectorial/!. Demux j &epar/ semnalul vectorial de intrare n mai multesemnale scalare sau vectoriale de ieQire. *rin masca bloculuise poate selecta num/rul de ieQiri. Dac/ acesta este egal cunum/rul componentelor vectorului de intrare, fiecare ieQire va

fi scalar/. An caz contrar ieQirile, sau unele dintre ele,vor fisemnale vectoriale pag. F-?>!. &elector j &electeaz/ Qi ordoneaz/ semnalele de intrare, nfunc0ie de vectorul de ordonare stabilit prin masca blocului."unc0ionalitatea este similar/ bloculuius elector. #erge j "uzioneaz/ temporal semnalele scalare sauvectoriale de intrare ntr-un singur semnal scalar a c/ruivaloare , la orice moment, al simul/rii este dat/ de cea mai

recent/ dat/ din semnalele de la intrare.


55/151

"rom,4oto j Conectori pentru transferarea semnalelor ncadrul aceluiaQi subsistem sau ntre subsisteme diferite,f/r/ a fi necesar/ realizarea conexiunilor directe. &emnalelesunt transferate ntre conectorii cu aceeaQi etichet/ *Ba:'.

Blocului @oto i se poate selecta prin masc/ nivelul decomunicare *Ba: isibility'C local - doar n cadrul aceluiaQi subsistem$scoped - n cadrul aceluiaQi subsistem sau spre subsistemeinferioare ierarhic$:lobal-oriunde n model. 4oto 3ag )isibilit9 j DefineQte accesibilitatea blocurilor@oto ce au setat nivelul de comunicarescoped. Conectorul a

c/rui etichet/ este specificat/ prin parametrul @oto ta: esteaccesabil de c/tre blocuri(rom din acelaQi subsistem cu

blocul @oto Ba: isibility sau din subsisteme inferioareierarhic. Data &tore #emor9 j DefineQte Qi ini0ializeaz/ o zon/

parta%at/ de memorare a datelor utilizat/ de blocuri de scriere*Data tore Lrite' Qi de citire *Data tore 4ead'. 'cesteatrebuie s/ fie n acelaQi subsistem sau n subsisteme inferoareierarhic Data &tore rite j &crie variabila de la intrarea sa n zonade memorare aleas/ prin masca blocului. "iecare opera0ie descriere realizeaz/ n fapt o suprascriere a valorii actuale,nlocuind valoarea anterioar/. Data &tore +ead j CiteQte zona de memorare aleas/ prinmasca blocului, oferind-o la ieQirea blocului. Rona dememorare trebuie s/ fi fost definit/ cu un blocData tore

Memory Qi eventual! actualizat/ de c/tre un blocData toreLriteA cu aceleaQi etichete. 4round j &e conecteaz/ la intr/rile neutilizate ale oric/rui

bloc, pentru a fi evitate mesa%ele de avertizare *Larnin:'generate automat de &imulin:. 3erminator j &e conecteaz/ la ieQirile neconectate aleoric/rui bloc, pentru a fi evitate mesa%ele de avertizare

*Larnin:' generate automat de &imulin:


56/151

Data 39pe Conversion j &chimb/ tipul variabilei de intraren cel selectat prin masca blocului. Imaginea blocului esteactualizat/ n func0ie de selec0ia realizat/. "unction-Call 4enerator j Panseaz/ n execu0ie un

subsistem apelabil fnnction-call subsystem' la intervale detimp stabilite prin masca blocului *ample time'. *entruexecutarea mai multor subsisteme apelabile ntr-o anumit/ordine, la ieQirea blocului(unction-)all @enerator seconecteaz/ un blocDemux cu num/rul de porturi de ieQire egalcel al subsistemelor ce trebuie controlate. 'cestea vor fiexecutate n ordinea n care sunt conectate la ieQirile blocului

Demux.

&ub&9stem j Creaz/ ntr-un subsistem n modelul n careeste plasat.Dup/ plasare, prin dublu-clic: pe bloc va fideschis/ o nou/ fereastr/ n care se poate realiza modelulnoului subsistem. *entru crearea de porturi de intrare Qi@sauieQire, semnalelor pe care subsistemul le schimb/ cuexteriorul trebuie s/ fie conectate la blocurin1-nportArespectiv


57/151

direction.An acest moment furnizeaz/ la ieQire valoarea , nrest fiind


58/151

"ig .H Biblioteca onlinear

+ate Pimiter j Pimiteaz/ derivata de ordinul I a semnaluluiaplicat la intrare, la valorile stabilite prin caseta de dialog a

blocului, respectiv panta de creQtere *4isin: sleG rate' Qi desc/dere (allin: sleG rate' ale semnalului.

&aturation j Pimiteaz/ excursia semnalului de ieQire ntre

limitele *5pper limit - superioar/ Qi?oGer limit -inferioar/! stabilite prin caseta de dialog.

_uantizer j Cuantific/ semnalul aplicat la intrare n treptede cuantificare stabilite prin caseta de dialog.

Bac:lash j Implementeaz/ un sistem n care ieQireaurm/reQte intrarea, cu excep0ia situa0iilor cnd semnalul deintrare Qi schimb/ sensul de varia0ie sistem cu ,%ocuri!.P/rgimea %oculuiyDeadband Gidt$poate fi stabilit princaseta de dialog. 'cesta este centrat pe valoarea-de ieQire.


59/151

Dead Rone j #en0ine ieQirea la zero dac/ semnalul deintrare este cuprins ntre limitele stabilite prin caseta dedialog. Dac/ nu, semnalul de ieQire are aceeaQi evolu0ie cua celui de la intrare, dar diminuat n modul! cu valorile

limitelor. +ela9 j &imuleaz/ un sistem cu histerezis. Cnd ieQirea

este n starea


60/151

.8< Biblioteca &imulin: xtras

1.".1 i#lioteca Additional Sin5s

4rupeaz/fig .8! blocuri speciale de vizualizare, dintre cele maiimportante eviden0iind

"ig .8 Biblioteca 'dditional &in:s


61/151

*oker &pectral Densit9 j +ealizeaz/ Qi afiQeaz/ analizaarmonic/ a valorilor instantanee ale semnaluluiaplicat la intrarea sa.

'veraging *oker &pectral Densit9 j +ealizeaz/ QiafiQeaz/ analiza armonic/ a valorilor mediate, pe uninterval de timp, ale semnalului aplicat la intrarea sa.

&pectrum 'nal9zer j 'nalizor spectral al unui sistem.Celor dou/ porturi de intrare se aplic/ semnalele de intrare,respectiv de ieQire ale unui sistem, vizualizndu-ser/spunsul temporal al sistemului, precum Qi diagrameleatenuare-frecven0/ Qi faz/-frecven0/, pe baza valorilor

instantanee ale semnalelor. 'veraging &pectrum 'nal9zer j 'nalizor spectral al unui

sistem, pe baza valorilor mediate, pe un interval de timp,ale semnalului aplicat la intrarea sa.

1.".2 i#lioteca Additional Discrete

4rupeaz/ fig. .88! blocuri suplimentare ce modeleaz/ sistemediscrete


62/151

"ig .88 Biblioteca 'dditional Discrete

Discrete 3ransfer "cn kith initial states! j +eprezint/modelul unui sistem descris de func0ia de transfer n z,c/ruia i se poate prestabili starea ini0ial/.

Discrete 3ransfer "cn kith initial outputs! j +eprezint/modelul unui sistem descris de func0ia de transfer n z,c/ruia i se poate prestabili valoarea ini0ial/ a ieQirii.

Discrete Rero-*ole kith initial states! j +eprezint/modelul unui sistem discret descris prin zerouri Qi poli,c/ruia i se poate prestabili starea ini0ial/.

Discrete Rero-*ole kith initial outputs! j +eaprezint/modelul unui sistem discret descris prin zerouri Qi poli,c/ruia i se poate prestabili valoarea ini0ial/ a ieQirii.

1.".3 i#lioteca Additional Linear

4rupeaz/ fig. .8;! blocuri suplimentare ce modeleaz/componente Qi sisteme continue


63/151

"ig .8; Biblioteca 'dditional Pinear

3ransfer "cn kith initial states! j +eprezint/ modelul unuisistem descris de func0ia de transfer nsA c/ruia i se poate

prestabili starea ini0ial/. 3ransfer "cn kith initial outputs! j +eprezint/ modelul

unui sistem descris de func0ia de transfer nsA c/ruia i sepoate prestabili valoarea ini0ial/ a

ieQirii. Rero *ole kith initial states! j +eprezint/ modelul unui

sistem descris prin zerouri Qi poli, c/ruia i se poateprestabili starea ini0ial/.

Rero *ole kith initial outputs! j +eprezint/ modelul unuisistem descris prin zerouri Qi poli, c/ruia i se poatevaloarea ini0ial/ a ieQirii.


64/151

&tate &pace kith initial outputs! j +ealizeaz/ modelulsistemelor continue caracterizate de ecua0iile de stare,c/ruia i se poate prestabili valoarea ini0ial/ a ieQirii.

*ID Controller j +egulator *ID.*rin caseta de dialog pot fi

configura0i parametrii *, I Qi D ai regulatorului. *ID Controller kith 'pproximate Derivative! j )ariant/

de regulator *ID

1."." i#lioteca Trans%ormations

4rupeaz/ fig. .8?! blocuri ce realizeaz/ diferite tipuri detransform/ri.umele fiec/rui bloc sugereaz/ suficient de clar func0ia

pe care acesta o realizeaz/, nefiind necesare comentariisuplimentare.

"ig .8? Biblioteca 3ransformations1.".$ i#lioteca *lip6*lops


65/151

4rupeaz/ fig .8>! blocuri ce modeleaz/ circuite basculantebistabile.

"ig .8> Biblioteca "lip-"lops

Cloc: j 4enerator de tact pentru sisteme digitale D Patch j Celul/ de memorare de tip D &-+ "lip-"lop j Bistabil de tip +& D "lip-"lop j Bistabil de tip D - "lip-"lop j Bistabil de tip

1.".& i#lioteca Lineari'ation

4rupeaz/ fig. .8! dou/ blocuri ce pot fi utilizate pentruliniarizarea unor modele ce con0in neliniarit/0i


66/151

"ig .8 Biblioteca Pinearization

&kitched derivative j +ealizeaz/ aproximarea derivatei

unui semnal printr-o func0ie de transfer adecvat/. &kitched transport dela9 j +ealizeaz/ aproximarea unuibloc de ntrziere cu o func0ie *ade a c/rui ordin poate fispecificat prin caseta de dialog a blocului.

1.$ o;i!ni de creare a !n!i model

Crearea unui model nou se realizeaz/ ntr-o fereastr/nou/.Deschiderea unei noi ferestre de modelare se poate face n maimulte moduri echivalente

clic: pe butonul ek al ferestrei &imulin: Pibrar9 Broksersau al oric/rui nou modelferestre noi de modelare!$

meniul "ile-ek - #odel al oric/rei ferestre de bibliotec/$ shortcut Ctrl = n orice fereastr/ de bibliotec/

*lasarea blocurilor n noua schem/ se realizeaz/ prin drag-area 2

tragerea acestora ap/sarea butonului din stnga al mouse-ului peblocul necesar Qi pozi0ionarea blocului n noua schem/!. Unele


67/151

blocuri au posibilitatea actualiz/rii parametrilor, aceQtia avnd valoriimplicite pentru blocurile luate din biblioteci. "/cnd dublu clickpefiecare bloc, se va deschide o caset/ de dialog n care se modific/valorile parametrilor blocului respectiv chiar Qi n timpul rul/rii

simul/rii!.Blocurilor plasate n modelul nou creat li se poate modifica att

dimensiunea, prin selectarea individual/ click simplu pe bloc,col0urile blocului devenind marcate cu puncte pline! Qi apoi dra:-areaA cu mouse-ul de unul din col0uri, ct Qi numele.

Interconectareablocurilor se realizeaz/ prin unirea unui port deieQire a unui bloc cu un port de intrare a altui bloc, cu butonul dinstnga ap/sat, deci dra:-Qnd cu butonul stnga. 3ipul de cursor este

o cruce simpl/ n timpul realiz/rii conexiuni, pn/ cnd se a%unge nprea%ma punctului de destina0ie, cnd devine cruce dubl/, ceea cesemnific/ faptul c/ butonul mouse-ului poate fi eliberat. 3rasareaconexiunilor se poate face direct ntre punctele extreme, f/r/ a seimpune un anumit traseu. 'cesta poate fi ulterior modificat prinselectarea conexiunii Qi dra:-area diferitelor segmente n pozi0iiledorite.

Un punct de conexiune conectarea unei ieQiri la intr/rile mai

multor blocuri! se poate realiza n mai multe moduri 0innd ap/sat/ tasta Ctrl Qi drag-nd cu butonul stnga din

punctul de plecare de pe o conexiune existent/ pn/ laportul de intrare$drag-nd cu butonul dreapta al mouse-ului ntre o

conexiune existent/ Qi portul de intrare$drag-nd cu butonul stnga al mouse-ului pornind de la

portul de intrare pn/ la o conexiune de%a existent/.&imulin: ofer/ posibilitatea cre/rii unor noi blocuri, definite de

utilizator, aceasta putndu-se realiza n dou/ moduri echivalente se selecteaz/ blocurile ce vor fi grupatencadrarea ntr-o

fereastr/ definit/ cu butonul din stnga ap/sat! Qi apelareacomenzii corespunz/toaremeniul dit-Create &ubszstem!$

se preia din sub-biblioteca &ignalsw&9stems un bloc&ubs9tem n cadrul c/ruia se realizeaz/ modelul noului

bloc.


68/151

oului bloc i poate fi modificate numele,masca j meniul dit-#as: &ubszstem nume bloc,numele parametrilor din caseta dedialog, asocierea parametrilor formali cu valorile de intrare, textulcorespunz/tor butonului Telp!.

Dac/ realizarea modelului se selecteaz/ parametriisimul/riimeniul &imulation- *arameters , fig. .8E!

momentul nceperii simul/rii &tart time!$ durata simul/rii &top time!$ metoda de integrare &olver options!$ pas maxim #ax step size!$ eroare +elative tolerance!.

"ig .8E Caseta de dialog &imulation-*arameters

An ceea ce priveQte metoda de integrare, &imulin: prezint/ ini0ialn fereastra de modificare a parametrilor simul/rii metoda implicitaleas/ n func0ie de structura modelului. 'ceasta poate fi schimbat/,alegndu-se ntre o metod/ cu pas variabil de integrare Qiuna cu pasfix. #etoda de integrare cu pas variabil implicit aleas/ este ode!"A

ceea ce constituie metoda de integrare +unge-utta de ordinul >, ceofer/ rezultate bune pentru ma%oritatea modelelor continui. #etodele


69/151

de integrare cu pas fix sunt variante ale celor cu pas variabil. *entrumai multe detalii privind metodele de integrare a se vedea pag. ?..

1.& Alte #i#lioteci1.&.1 i#lioteci de tip!l Tool#oes

&imulin:, bazndu-se pe infrastructura de calcul a #'3P'B,poate utiliza o mare varietate de func0ii a acestuia pentrucrearea,analiza Qi optimizarea modelelor nou create. 'ceast/facilitate este asigurat/ prin intermediul unor colec0ii de blocurinumite,pplication BoolboxesA grupate n func0ie de specificulfunc0ional. 'cestea sunt uneori func0ii #'3P'B transpuse subform/ de blocuri, pentru a putea fi uQor integrate n modele

&imulin:, alteori func0ii noi, rezultate ale cercet/rilor specialiQtilor ndomenii de vrf.

An continuare vor fi enumerate sub-bibliotecile de tipul3oolboxes.

Communication 3oolbox j con0ine un set de blocuridestinate facilit/rii proiect/rii, analizei Qi simul/riisistemelor moderne de comunica0ii$

Control &zstem 3oolbox j con0ine blocuri ce

realizeaz/ func0ii specifice model/rii, analizei Qiproiect/rii sistemelor automate de comand/$

"inancial 3oolbox j ofer/ un set de blocuri ce realizeaz/func0ii specifice analizei financiare$

"re1uenc9-Domain &9stem Identifivation 3oolbox jgrupeaz/ un set de blocuri destinate model/riisistemelor liniare, bazate pe analiza r/spunsului acestoran frecven0/$

"uzz9 Pogic 3oolbox j ofer/ un set complet de blocuridestinate proiect/rii, simul/rii Qi analizei sistemelor cuinferen0e "uzz9.

Tigher-Order &pectral 'nal9sis 3oolbox j grupeaz/blocuri destinate prelucr/rii semnalelor utiliznd analizaspectral/$

Image *rocessing 3oolbox j con0ine blocuri utile

prelucr/rii imaginilor filtre,restaurarea

imaginilor,transform/ri 8-D!$


70/151

P#I Control 3oolbox j ofer/ un set de blocuri utilepentru rezolvarea inegalit/0ilor matriceale liniare *?inearMatrix neNualities'A utilizate n automatic/ analizastabilit/0ii, a robuste0ii, plasarea polilor etc!$

#odel *redictive Control 3oolbox j grupeaz/ blocuri utileelabor/rii comenzii sistemelor caracterizate de un num/rmare de variabile de intrare Qi de ieQire, unele avndrestric0ii ingineria chimic/!$

#U-'nal9sis and &9nthesis 3oolbox j con0ine blocurispecializate pentru proiectarea comenzilor optimale T$

'4 "oundation 3oolbox j con0ine peste 8


71/151

&tatistics 3oolbox j ofer/ un set de blocuri dedicateanalizei statistice.

&9mbolic #ath 3oolbox j ofer/ un set de facilit/0i pentrucalculul simbolic literal!.

&9stem Identification 3oolbox j este o colec0ie de blocuridestinate estim/rii Qi identific/rii sistemelor.

avelet 3oolbox j ofer/ o colec0ie de rutine pentruexplorarea fenomenelor dinamice, multidimensionaleprelucrarea imaginilor Qi a semnalelor, geofizic/,medicin/, finan0e!.

1.&.2 Componente Real6Time


72/151


73/151

Biblioteca *oker &9stem Blochset

*entru vizualizarea rezultatelor, pot fi utilizate osciloscoapele dinbiblioteca &imulin:-&in:s, dar acestea nu pot fi conectate direct peliniile de conexiune din model, ci doarprin intermediul unor blocuride m/sur/ de tensiune, de curent sau de impedan0/, preluate din sub-

bibliotecaMeasurements.


74/151

#odelarea pornirii prin cuplare directa la retea a motoruluiasincron cu rotorul in scurtcircuit

&ursele,) olta:e ourceA ,) olta:e ource1 ,) olta:eource2 trebuie s/ formeze un sistem trifazat simetric detensiuni avnd valoarea eficace a tensiunii de linie egal/ cutensiunea nominal/ a motorului. Cumprin masca acestor blocuri

se solicit/ valoarea de Qrf a tensiunii *8eak,mplitude'A iaraceste surse reprezint/ tensiunile de fazJ ale sistemuluitrifazat.#easurement Demux - varianta implicit/ preluat/ din sub-

biblioteca#easurements! reprezint/ demultiplexorul dem/sur/ corespunz/tormotorului sincron simplificat &implifed s9nchronous!. *rinmasca bloculuise va alege varianta corespunz/toare motorului asincron#achine t9pe


75/151

's9nchronous! Qi vizualizarea doar a curen0ilor statoriciis|abc! Qi a vitezeirotorului.

#asca blocului 's9nchronous #achine &I Units

&e selecteaz/ metoda de simulare cu pas variabil ode23tbApasulmaxim de simulare


76/151

#asca blocului 'C )oltage &ource #asca blocului #achines#easurement Demux


77/151

Sc7eme Sim!lin5 pentr! di0erse sisteme de ac;ionare


78/151


79/151

MODELAREA SISTEMELOR MECAICEARTICLATE

1. Introd!cere

An acest capitol se va trata punerea sub forma modelului de stare a

sistemelor mecanice formate din ansamble de corpuri rigide, legatentre ele prin articula0ii. #etoda sistematic/ de modelare ce se vadezvolta se poate aplica mai multor tipuri de sisteme mecanice,detipul vehicule automobile, trenuri, avioane! sau robo0imanipulatoare, robo0i mobili!. 'ceast/ metod/ va rezulta prinaplicarea sistematic/ a legii lui ekton.

*entru simplificarea nota0iilor Qi a calculelor, ne vom limita lastabilirea ecua0iilor de miQcare n spa0iul bidimensional n plan!.

xtensia la cazul unei miQc/ri tridimensionale este principial simpl/.


80/151

&e va considera pentru nceput cazul corpurilor rigide n miQcare, nabsen0a frec/rii.

2. Dinamica corp!rilor rigide ntr6!n plan

&e consider/ un corp rigid ce se deplaseaz/ ntr-un plan n care sefixeaz/ un sistem de coordonate iner0ial bOSb!Afg. ;.

Corpului, respectiv centrului s/u de greutate 4 i se ataQeaz/sistemul de coordonatem4Sm!.*ozi0ia corpului este determinat/ nmod univoc de cele trei coordonate x,9,}.

-x,9 sunt coordonatele centrului de greutate 4 n sistemul decoordonate fix bOSb!$

-} este orientarea sistemului de referin0/ m4Sm! fa0/ desistemul fix bOSb!.&e defineQte vectorul cu trei dimensiuni ce defineQte pozi0ia

corpului


81/151

=

y

x

N

'plicarea legii lui ekton pentru fiecare coordonat/ conduce laurm/toarele ecua0ii generale de miQcare

-ecua0iile de transla0ie a centrului de greutate

y

x

(ym

(xm

=

=

-ecua0ia de rota0ie a centrului de greutateM2 =

n care m j masa corpului$ I j momentul de iner0ie fa0/ de centrul s/u de greutate$ "x,"9 j proiec0iile dup/ axele Ob,respectiv OSbale

rezultantei for0elor aplicate corpului$ # j suma cuplurilor for0elor aplicate corpului,raportate

la centrul de greutate'ceste ecua0ii generale de miQcare constituie baza pentru

stabilirea modelului de stare al sistemului.

Eempl! #odelarea dinamicii unei rachete

&e presupune c/ o rachet/ se deplaseaz/ ntr-un planperpendicular p/mntului. +acheta este propulsat/ de dou/ motoarecu reac0ie dispuse simetric fa0/ de corpul rachetei, fig. ?.


82/151

Considernd ipoteza c/ racheta constituie un corp rigid de mas/constant/, ecua0iile de miQcare sunt

-ecua0iile de transla0ie ( ) cos8 (((xm x +== H! ( ) m:(((ym y +== sin8

-ecua0ia de roa0ie ( ) sin8 d((M2 == !

n care g din

==

====

C

>

?

;

8

x

yx

xx

x

yx

xx

Qi variabile de intrare

88

(u

(u

==

modelul de stare se scrie


83/151

( )

( )

( )8C

8;

>

8

;

?

C;

>8

?

sin

sin

cos

uu2

dx

uum

x:x

uum

xx

xx

xx

xx

=

++=

+=

=

=

=

O situa0ie particular/ este cea n care suma rezultant/! for0eloraplicate unui corp este nul/, dar for0ele nu sunt aplicate n acelaQi

punct. An acest caz ecua0iile de miQcare se scriu

M2

ym

xm

=

=

=

x

!! +=

=

n care v este vectorul de viteze generalizate.3. Dinamica sistemelor mecanice artic!late.


84/151

&e va considera n continuare un sistem mecanic articulatcompus din corpuri. *rocedura general/ de ob0inere a modeluluisub forma ecua0iilor de stare este urm/toarea

. "ixarea unui sistem de referin0/ iner0ial n spa0iul celorI

referen0ialemobile fixate centrelor de greutate ale celorI corpuri alesistemului$

8. &crierea ecua0iilor ce descriu restric0iile de miQcare Qi deleg/turi la care este supus sistemul.)a rezulta num/rul degrade de libertate ale sistemului$

;. &crierea ecua0iilor de miQcare transla0ie Qi rota0ie! pentrufiecare dintre coordonate,ny incluzndu-se Qi for0ele de

leg/tur/ corespunz/toare restric0iilor metoda coeficien0ilor luiPagrange!$

?. liminarea coeficien0ilor lui Pagrange Qi a coordonatelorredundante.

An continuare se va detalia procedura enun0at/, explicitndu-seconceptele noi grade de libertate, coeficien0ii lui Pagrange,coordonate redundante!. Un exemplu tipic al metodei l constituie

modelul dinamic al unui bra0 manipulator cu dou/ grade de libertatelucrarea de laborator nr. ;!.

1.Definirea coordonatelor

An spa0iul ~ al sistemului format din corpuri se fixeaz/ unsistem de referin0/ iner0ial. "iec/rui corp centrului s/u de greutate!

i este ataQat cte un sistem de referin0/ mobil. An orice moment detimp, sistemul de corpuri este caracterizat de vectorul decoordonate

[ ]Bnnnyxyxyx ...888= , de dimensiune ;.

2.Hxprimarea restriciilor de miRcare


85/151

#iQcarea unui sistem mecanic articulat poate fi supus/ la dou/tipuri de restric0ii denumite restric0ii geometrice! pe de o parterestric0ii de parcurs, iar pe de alt/ parte restric0ii determinate de

leg/turile dintre corpuri. 'ceste restric0ii pot fi exprimate sub formaunui ansamblu de rela0ii algebrice ntre coordonate

( ) !

[ ][ ] [ ] ( )[ ][ ] [ ]

[ ] [ ] ( )[ ] ( )[ ][ ] [ ]uxx.xxbx>uxx.xxbx>

+=+

+=+

,,

,!,

( )

[ ] [ ]

==

x,


86/151

!

n care (7 este vectorul coeficien0ilor lui Pagrange de dimensiune !, iar 'x! este matricea, de dimensiune x definit/ ca

( )[ ]B

xx,

= E!

!.Hliminarea coordonatelor redundante

Din ?!, 0innd cont Qi de !, se exprim/ (7[ ] [ ] [ ] ( )[ ] ( )[ ][ ]uxx.xxbx> ,, += Anlocuind expresia ob0inut/ n ;!, 0innd cont Qi de >!, se

ob0ine[ ][ ] ( )[ ][ ] [ ] ( )( )[ ] ( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ] ( )[ ] ( )( )[ ]{ xx.x,xx.xxbx,xxbx>x,x> +=+++ ,,,,

F!An F! trebuie eliminat x .*entru aceasta, 0innd cont de E!, se

deriveaz/ de dou/ ori n raport cu timpul expresia 8!, rezultnd [ ] ( )[ ] [ ]xx,x B = H! [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]xx,xx,x BB !! += 8

Anlocuind 8

xxbx,xxbx:

xx,>x,xxf

x,>x,>xMB

B

+=

+=

=

+=

,,

,,

,

rezult/ n final modelul dinamic general al unui sistem mecanicarticulat

( )[ ][ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ][ ]ux@x:xxfxxM =++ , 8!An aceast/ ecua0ie, semnifica0ia m/rimilor este urm/toarea

(x7 j vectorul de dimensiune ! coordonatelor necesaredescrierii sistemului$

(#x!7 jmatricea de iner0ie de dimensiune x ! simetric/Qi pozitiv definit/$

(f( )xx , 7 j vectorul de dimensiune ! ce reprezinr/ for0eleQi cuplurile rezultate din leg/turile corespunz/toarerestric0iilor.'cest vector se mai poate scrie

( )[ ] ( )[ ][ ]xxx1xxf ,, =unde matricea ( )[ ]xx1 , ,de dimensiune x este


87/151

( )[ ] ( )[ ][ ] ( )[ ]Bx,>x,xx1 =, (gx!7 j vectorul de dimensiune ! ce reprezint/ for0ele Qi

cuplurile rezultate datorit/ gravita0iei$ (u7 j vectorul de dimensiune m! stimulilor externi,

respectiv al for0elor Qi cuplurilor aplicate sistemului$ (4x!7 j matrice cinematic/, de dimensiune xm

*e baza modelului dinamic general descris de 8!, se ob0ine nfinal modelul dinamic sub forma ecua0iilor de stare modelul destare!

[ ] [ ]

[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ][ ]{ }ux@x:xfxMx

x

+=

=

,

n care (x7 este vectorul pozi0iilor iar (v72[ ]x este vectorulvitezelor.

Eempl! #odelul dinamic al unui bra0 manipulator.

Bra0ul manipulator pentru care se doreQte ob0inerea modelului destare este prezentat schematic n fig. >.

+obotul manipulator este format din dou/ segmente articulatentre ele. *rimul poate realiza doar o miQcare de transla0ie pe direc0iaaxei Oba sistemului iner0ial general bOSb!A sub ac0iunea for0ei ".Cel de al doilea poate executa doar o miQcare de rota0ie dup/ axaORbperpendicular/ pe planul bOSb, sub ac0iunea cuplului motor#!. An figur/ au fost notate

a j pozi0ia centrului de greutate al primului segment$

xj coordonata centrului de greutate al primului segment 9,


88/151

b j pozi0ia centrului de greutate al celui de-al doilea segment$x8,98- coordonatele centrului de greutate al celui de-al doilea

segment$8 - unghiul dintre cel de al doilea segment Qi vertical/.

&istemul este supus urm/toarelor restric0ii +estric0ii de miQcare

iar al doilea termen reprezint/ frec/rile vscoase. Coeficientul i este constant iar func0ia i este monoton cresc/toare cu

&e face n final observa0ia c/ func0iile (h ( )x 7 sunt discontinui n

%uruloriginii la vitez/ nul/!, ceea ce ar putea determina dificult/0i nsimularea sistemelor.

Comen'i speci%ice domeni!l!i reglBrii a!tomate

)om face cteva delimit/ri, mai precis, ne vom referi la domeniul

controlului clasic sistemul reprezentat prin func0ii de transfer! Qiapoi la analiza n spa0iul st/rilor, un domeniu de dat/ mai recent/.


98/151

Comen'i ale control!l!i clasic

An acest subcapitol ne vom concentra asupra, r/spunsurilor la

impuls, trepte unitare, intr/ri oarecare, r/spunsuri n frecven0/ Qilocul r/d/cinilor unor sisteme reprezentate prin func0ii de transfer,

O func0ie de transfer 4s! este introdus/ prin definireaseparat/ anum/r/torului Qi numitorului ca polinoame. Comenzile #'3P'Binterpreteaz/intern aceste polinoame ca o func0ie de transfer.

Domeni!l timp

#ulte din comenzile pentru comanda sistemelor genereaz/ploturi cnd sunt invocate f/r/ argumente de ieQire. Bazndu-se peloca0ia polilor si zerourilor, algoritmiide auto-selectare g/sesc celemai bune intervale de timp Qi de frecven0/ . Op0iunile de autoplotarenu produc totuQi date neavndargumente de ieQire!.

"olosim deci aceast/ sintax/ pentru analiza Qi proiectarea ini0ial/.*entru studii comparative Qi nregistrarea datelor trebuie folosit/

forma sintactic/ cu argumente de ieQire.

+/spunsul la intrare treapt/ , 9t!, al unuisistem &I&O cufunc0iade transfer4s!2nums!@dens! se poate ob0ine cu comandastep .&intaxa este

92stepnum, den, t!

'xa de timpA t, trebuie generat/ mai nti ca vector .+/spunsul la intrare treapt/ va fi un vector cu aceleaQi dimensiuni

cavectorul t. *entru sisteme &I#O , ieQirea va fi o matrice cu acelaQinum/r de coloane ca num/rul de ieQiri.

An cazul analizei n spa0iulst/rilor , comandastep are o altaform/pe care o vom prezenta n momentul potrivit.

De exemplu, pentru a calcula Qi plota r/spunsul la intrare treapt/pentru o durat/ de < secunde al sistemului cu func0ia de transfer 4s! 2


99/151

)om avea 8 vectori coloana cu


100/151

*utem afla r/spunsul la zgomot aleator uniformdistribuit folosind

func0ia rand. De notat ca rand*mAn' genereaz/ o matrice m x n denumere aleatoare uniform distribuite ntre < Qi . +/spunsul lazgomot al unui sistem timp de < secunde este

noise2rand


101/151

Domeni!l %rec0en;elor

+/spunsurile n frecven0/ al sistemelor se poate ob0ine folosindcomenzileodeA IyNuist QiIic$ols. 'ceste comenzi genereaz/automat plot-uri dac/ sunt folosite f/r/ argumente de ieQire.

Iat/ diverse modalit/0i de folosire a comenzii, bode.KK bodenum,den!KK(mag,phase,k72bodenum,den!KK(mag,phase72bodenum,den,k!*rima sintax/ produce pe un ecran mp/r0it n dou/, diagramele

Bode de amplitudine n dB! Qi de faz/ n grade! .An a ;-a sintax/, se returneaz/ amplitudinea Qi faza ca vectori

coloan/. #agnitudinea nu mai este n dB. ' 8 - a form/ genereaz/automat punctele de frecven0/ ntr-un vector linie, spre deosebiredeultima form/ n care utilizatorul furnizeaz/ punctele de frecven0/.Daca se compar/ r/spunsurile n frecven0/, ale diferitelor func0ii detransfer, cea de -a treia form/ este cea mai convenabil/ . *entru agenera ploturi, se pot da urm/toarelecomenzi

KKsubplot8!$semilogxk,8


102/151


103/151

KK plotclpoles!Comanda axis ne permite realizarea unuizoom al unei regiuni

particulare . Urm/toarele comenzi ploteaz/ locul r/d/cimlor lui4s! . 'poi vom face unzoom n semiplanul complex superior n

vecinatatea axei imaginare .g2$dg2( ; 8


104/151

tilitB;i pentr! %!nc;iile de trans%er

xist/ Qi alte comenzi pentru analiza Qi manipularea func0iilor de

transfer . *olii Qi zerourile unei func0ii de transfer se pot g/si ndiferite moduri . De exemplu , se poate folosi comanda rootspentrua g/si r/d/cinile num/r/torului sau numitorului. 'lternativ se potfolosi comenzile tf2zp saupzmap . &intaxa comenzii tf8zp este

KK (z,p,:72tf8zpnum,den!

'ceasta returneaz/ zerourile Qi polii n vectorii coloan/ z Qi p iar

cQtigul este scalarul :.Inversa acestei comenzi estezp2tfA comand/ util/ pentru crearea

unei func0ii de transfer c/reia i cunoaQtem polii Qi zerourile .Cnd o func0ie de transfer nu este coprima adic/ are perechi pol-

zerou reductibile! putem reduce termenii comuni folosind comandaminreal Qi ob0inem un sistem de ordin mai mic . &intaxa este

KK (numr,denr7 2 mineralnum,den,tol!

'l treilea argument de intrare op0ional! este toleran0a folosit/pentru reducere . Cnd perechile pol-zerou nu sunt exact egale darsunt apropiate , putem for0a reducerea lor prin modificareacorespunz/toare a toleran0ei. ste disponibil/ Qi o sintax/ n forma

pol-zerou .Unele dintre cele mai comune opera0ii cu func0ii de transfer sunt

multiplicarea , adunarea Qi conectarea cu reac0ie negativ/ a func0iilor

de transfer . Diagrame bloc se pot analiza Qi simula folosind&I#UPI sau prin comenzi n spa0iul st/rilor .

Diagrame bloc simple se pot folosi Qi manipula uQor cu comenzica series,parallel, feedbac: Qi cloop . &intaxele pentru acestecomenzi sunt

KK (nums,dens7 2 seriesnum,den,num8,den8!KK (nump,denp72 parallelnum,den,num8,den8!

KK (numf,denf7 2 feedbac:num,den,num8,den8,sign!


105/151

KK (numc,denc7 2 cloopnum,den,sign!, numai pentru bucle dereglare unitare.

"unc0iile de transfer rezultate, n fiecare caz, vor fi

&eries 4ss!24s!48s!*arallel 4ps!24s!=48s!"eedbac: 4fs!24s!@= 4s!48s!!Cloop 4cs!24s!@=4s!!

*arametrul op0ional,sign,este - pentru reac0ie negativ/ Qi =pentru reac0ie pozitiv/.Implicit se consider/ reac0ie negativ/.

Eemple

*entru a demonstra cum se pot folosi comenzile de mai sus nanaliza Qi sinteza sistemelor de control, vom considera o instala0ie deordinul ; n configura0ie cu reac0ie negativ/ unitar/.

4s!2@ss=!s=s! Qi :2.>

Anali'a n %rec0en;B

#ai nti vom induce func0ia de transfer 4s!2ng@dg Qi vomob0ine diagramele Bode pentru cQtigul 2.>.&e foloseQte comandalogspace pentru a genera axa de pulsa0ie n $ng2$dg2pol9(< - -87!$k2logspace-,,pulsa0ie!$


106/151

Din diagramele ob0inute se observ/ c/ marginile de amplitudineQi de faz/ sunt aproximativ grade

*utem verifica aceasta folosind comanda margin

)aloarea lui gm indic/ faptul c/ putem m/ri cQtigul de circa ?ori ca sistemul s/ devin/ instabil.

)aloarea n dB este de8


107/151

Caracteristica 91uist trasat/ peste cercul de raz/ unitar/ se ob0inen felul urm/tor-pentru a genera cercul unitar9 vom crea un vector spa0iat liniarnulogaritmic! de la < la 8] folosind comanda linspace.Cercul se ob0ine

prin plotarea p/r0ii imaginare a lui e-%versus partea sa real/

Deoarece nu sunt ncon%ur/ri ale punctului critic - , %

An continuare vom ob0ine caracteristica ichols , fie prin folosireacomenzii nic$ols fie prin plotarea magnitudinei versus faza . De

82linspace


108/151

remarcat c/ plotul reprezentat confirm/ o margine de amplitudine de8 dB .

Caracteristicile Bode n circuit nchis se traseaz/ pentru adetermina l/rgimea de band/ Qi frecven0a de rezonan0/, respectiv cea

de taiere."ie 3 s! func0ia de transfer n circuit nchis . "olosim comandaclooppentru a afla func0ia de transfer n circuit nchis .

(nt,dt72cloop:ng,dg!#c2bodent,dt,k!$subplot8!$&emilogxk,8


109/151

&e observ/ o rezonan0/ de vrf de ; dB Qi o l/rgime de band/ decirca rad@sec.

Anali'a loc!l!i rBdBcinilor

An continuare vom folosi locul r/d/cinilor pentru a analizar/spunsul sistemului pentru diferite valori ale amplific/rii .

+2rlocus:ng,dg,(.


110/151

+emarc/m c/ sistemul devine instabil pentru valori ale lui maimari dect o anumit/ valoare . Dac/ vrem s/ determin/m precisvaloarea critic/ a lui , putem aflapolii func0iei de transfer ncircuit nchis pentru diferite valori ale lui . &e caut/ apoi valoarea

lui pentru care polii au partea real/ pozitiv/.

Datele de mai sus arat/ o list/ par0ial/ a cQtigului Qi a polilorcorespunz/tori n circuit nchis. &e pot trage urm/toarele concluzii

cazul pentru


111/151

cazul? pentru 2 sistemul are o pereche de poli pe axaimaginar/ Qi deci este la limita de stabilitate

cazul> pentru valori K polii intr/ n semiplanul complex drept+T*! Qi sistemul devine instabil

*entru a verifica observa0iile de mai sus , afl/m func0ia detransfer n circuit nchis Qi apoi vom ob0ine cinci r/spunsuri la intraretreapt/ , corespunz/toare celorcinci cazuri de mai sus . An loculrepet/rii de cinci ori a procedurii , vom folosi o bucl/forpentru ag/si r/spunsurile la intraretreapt/ n circuit nchis. )alorile lui

pentru simulare sunt

V,,,FW

&e ob0in ploturile a trei r/spunsuri stabile pentru 2 ,! Qi a dou/ r/spunsuri instabile pentru 2 , F!.

An continuare ne vom concentra asupra r/spunsurilor

subamortizate , de exemplu pentru 2 .> .*utem calculasupraregla%ul procentual ca procentul reprezentat de diferen0a dintre

+ange:2( F7$t2(


112/151

valoarea de vrf #pvaloarea maxim/! Qi valoarea de regim sta0ionar9ssdin valoare de regim sta0ionar.

Anali'a erorilor sta;ionare

Deoarece sistemul n circuit deschis 4&! are un pol n origine ,

este de tipul Qi deci eroarea sta0ionar/ de pozi0ie este nul/.roarea sta0ionar/ de vitez/ reprezint/ eroarea sistemului fa0/ deun semnal de intrare treapt/ unitar/.

roarea fa0/ de o ramp/ unitar/ este dat/ de l@., unde vestefactorul de amplificare de vitez/ definit ca

E>.

==

ss@=s

Qi deci errss2@2.;;

)om folosi comanda lsirnpentru a g/si r/spunsul sistemului la oramp/ unitar/ pentru a verifica rezultatele de mai sus . O modalitatemai simpl/ da a g/si r/spunsul la intrare ramp/ este s/ g/simr/spunsul la intrare treapt/ a sistemului n bucl/ nchis/ multiplicatcu l@s , lucru f/cut prin ad/ugarea unui zero suplimentar numitoruluilui 3s!

*utem verifica eroarea sta0ionar/ de vitez/ cu comenzile

9;29;!$mp2max9;!$9ss29;lenghtt!!$pos2


113/151

ProprietB;i de %iltrare

Din caracteristica Bode amplitudine-pulsa0ie se observ/ c/sistemul are o caracteristic/ de filtru-trece-%os.#area ma%oritate asistemelor de control au caracteristica de filtru-trece-%os.

'ceasta nseamn/ c/ sistemul re%ecteaz/ semnale de frecven0/nalt/ situate n afara benzii sale de frecven0e.)om verifica aceasta

prin g/sirea r/spunsului unui s9stem subamortizat la zgomotaleator.Comanda rand este folosit/ pentru a ad/uga zgomot uniformdistribuit la un semnal treapt/ unitar/ Qi lsim este folosit/ pentru adetermina r/spunsul sistemului la o astfel de intrare.

oise2onest8!=randt8!$9noise2lsimnt,dt,noise,t8!$

subplot8!,plott8,noise!$subplot88!plott8,(noise znoise7!$

ss2t8-9ramp$plott8,ess!$grid$sslengtht8!!'ns2 .;;


114/151

+emarc/m c/ t2 este vector Qi ones*t2' creaz/ un semnal treapt/de aceeaQi dimensiune iar rand*t2' creaz/ un vector aleator de

aceeaQi dimensiune cu elemente ntre < Qi , deci intrarea sistemuluieste o treapt/ perturbat/ de zgomot.

*entru comparare , am suprapus intrarea Qi ieQirea pe acelaQi plot .Dup/ cum ne aQteptam , sistemul re%ecteaz/ semnalul de frecven0/nalt/ zgomotul! . An acest caz nsa apare o eroare de offset. 'cestoffset apare deoarece zgomotul are o medie de amplitudine .

Uzual zgomotul aleator are o amplitudine mai mic/ relativ/ laintrare $ n cazul nostru efectul este abia observabil.

Dac/ vom prelungi simularea pe o perioad/ mai mare , de >< desecunde de exemplu , vom observa mai bine comportamentul deregim sta0ionar Qi eroarea de offset sistemul are o valoare medie deregim sta0ionar de .> Qi nu de ct ar fi avut n cazul n care aveamla intrare o treapt/ neperturbat/de zgomot, deci eroarea de offseteste de , aQa cum ne aQteptam.

3otodat/ regimul sta0ionar este uQor oscilant deoarece frecven0elemici , cuprinse n banda de trecere a filtrului-trece-%os, sunt l/sate s/

treac/ .


115/151

E%ectele ntr'ierii n timp e%ectele timp!l!i mortDecalarea n timp apare n multe aplica0ii ale sistemelor de

reglare . *entru sistemele liniare invariante n timp, continue ,ntrzierea n timp este reprezentat/ prin e-s3. &istemele cu ntrzieren timp , cunoscute sub numele de sisteme cu timp mort , seanalizeaz/ mai convenabil ndomeniul frecven0elor .

Deoarece e-%ktare modul unitar Qi faza -k3! ntrzierea n timp

las/ magnitudinea neschimbat/ Qi adaug/ o ntrziere de faz/.'ceast/ ntrziere de faz/ asociat/ cu timpul mort tinde s/ devin/destabilizatoare pentru comportarea sistemului . An scopul desimulare , dac/ vom folosi comanda bodeA tot ce avem de f/cut estes/ sc/dem dinfaza lui 4s! ntrzierea de faz/ -k3!.

"ie un sistem cu func0ia de transfer 4s!28@s=! Qi cu un timpmort 32 sec.

Caracteristicile Bode se vor ob0ine

28$d2( 7$del2$ ntrzierea de secund/2logspace-8,


116/151

&e observ/ c/ dac/ sistemul ini0ial avea o margine deamplitudine infinit/ Qi aproximativ 8< grade ca margine defaz/ , timpul mort reduce aceste rezerve la cel mult 8 dB Qi ;

*rimul pas const/ n num/rarea Qi etichetarea blocurilor.

4s! -blocul cu num/rul 2

+s

48s! -blocul cu num/rul 8 2

s

&calarul ; -blocul cu num/rul ; 2.

;

&calarul ? -blocul cu num/rul ? 2 .8

4s!

;

8 8 48s!

8

?-?

8

-

-


135/151

'poi se definesc aceste blocuri

n2$d2( 7$n82$d82( -7$n;2;$d;2$n?28$d?2$

'poi vom folosi #l5#!ildpentru a prepara sistemul pentruconectare. Comanda #l5#!ild va returna sistemul ntr-o form/ nspa0iul st/rilor ca a,b,c,d!.

nbloc:s2?$bl:buid

12( - ;$8 -?$; 8


136/151

&e mai putea scrie

KK(a,b,c,d72tf8ssn,d!$(a8,b8,c8,d872tf8ssn8,d8!$

KK(a,b,c,d,72appenda,b,c,d,a8,b8,c8,d8!$

KK(a;,b;,c;,d;72tf8ssn;,d;!$(a,b,c,d72appenda,b,c,d,a;,b;,c;,d;!$

KK(a?,b?,c?,d?72tf8ssn?,d?!$(a,b,c,d72appenda,b,c,d,a?,b?,c?,d?!$

(ac,bc,cc,dc72connecta,b,c,d,1,inputs,outputs!

ac2-8 ;

-

bc2

Modelarea Sistemelor Si Proceselor

Documents

Transcript of Modelarea Sistemelor Si Proceselor