1/25

Proiect beton precomprimat Numerotarea tabelelor şi formulelor din prezentul model este conformă cu cea din EN

1992-1-1:2004 (EC2).

1. Date iniţiale

- tip element

- lungime element

- lăţime reazem

- lungime pistă de precomprimare

- număr toroane

- tip toroane

- rest permanentă

- încărcare utilă

- umiditate

- clasa de expunere

- durata de viaţă

- tip grafic tehnologie

- clasă beton

- tip ciment

- rezistenţă oţel

- modul elasticitate toroane

- clasă oţel

- relaxare

- lunecare în ancoraj

2/25

Caracteristici secţionale

Pentru elementul dat prin tema de proiect se vor calcula următoarele caracteristici

secţionale:

Ac – aria secţiunii de beton

Ap – aria armăturii precomprimate

Ic – momentul de inerţie pentru secţiunea de beton

Wi – modulul de rezistenţă inferior; i

ci x

IW =

Ws – modulul de rezistenţă superior; s

cs x

IW =

2. Regimul tratamentului termic

Tratamentul termic se aplică în conformitate cu graficul de mai jos:

3...4 h

Pre

tens

iona

re

Turn

are

Tran

sfer

Transfer la 16...22 h

10

20

30

40

50

60

70

˜4 h ˜7 h ˜5 h3...4 h

Ora 10 14 17 21 04 08 09

Regim tratament termic

timp de relaxare (t )

Ore

°C

relaxare

xX

si

3/25

3. Caracteristicile betonului

3.1. fck - rezistenţa caracteristică la compresiune a betonului obţinută pe cuburi

Din denumirea clasei de beton primită prin tema de proiect se obţine rezistenţa

caracteristică la compresiune a betonului obţinută pe cuburi în MPa.

C x / y => fck=x MPa (N/mm2)

3.2. fcm - rezistenţa medie la compresiune a betonului obţinută pe cilindri (se obţine din

tabelul 3.1 în funcţie de clasa betonului)

3.3. fctm - rezistenţa medie la întindere axială a betonului (se obţine din tabelul 3.1 în

funcţie de clasa betonului)

3.4. fctm(t) - rezistenţa medie la întindere axială a betonului la vârsta de “t” zile.

ctmccctm fttf ⋅= )()( β

3.5. fcm(t) - rezistenţa medie la compresiune a betonului la vârsta de “t” zile.

În formulele 3.1 şi 3.2 se înlocuieşte t cu tT, calculat pe baza graficului tehnologic cu

formula B.10

4/25

3.6. Ecm(t) - modulul de elasticitate secant al betonului la vârsta t

În formula 3.5 se înlocuieşte t cu tT, calculat pe baza graficului tehnologic cu formula

B.10.

3.7. Calculul contracţiei finale

0,, cdhcd k εε ⋅=∞

5/25

0,cdε - contracţia de uscare neîmpiedicată se poate determina din tabelul 3.2 sau pe baza

ecuaţiilor de mai jos (B.11 şi B.12)

)(∞caε - se datorează unui fenomen de migrare a apei în masa betonului; se determină

conform formulei 3.12

6/25

3.8. Calculul curgerii lente

),( 0t∞ϕ - valoarea finală a coeficientului de curgere lentă (fluaj) se determină utilizând

graficele din figura 3.1

7/25

8/25

Tabel 3.1

9/25

4. Caracteristicile armăturii pretensionate

fpk=Rpk - rezistenţa caracteristică a oţelului dată prin tema de proiectare

25.1pk

s

pkpd

fff ==

γ

Se mai poate lucra cu mărimea fp0.1k, în acest caz valoarea de calcul a rezistenţei

oţelului calculându-se astfel:

15.11.01.0 kp

s

kppd

fff ==

γ

fp0.1k - reprezintă rezistenţa convenţională a oţelului corespunzătoare unei deformaţii

specifice de 0.1%. Această valoare este dată de producător.

În cadrul prezentului proiect se va lucra cu rezistenţa fpk şi implicit cu prima formulă

pentru determinarea fpd.

Relaxarea oţelului este dată prin tema de proiectare, oţelul putându-se

încadra în două clase

CLASA 1 - ρ1000=7%

CLASA 2 - ρ1000=2.5%

Ep - modulul de elasticitate al armăturii precomprimate dat prin tema de proiectare

Echivalenţă notaţii armături

0,6” <=> TBP15=7Φ5 => Ap=137 mm2

1/2” <=> TBP12=7Φ4 => Ap=88 mm2

3/8” <=> TBP9=7Φ3 => Ap=49 mm2

10/25

5. Calculul forţei de pretensionare

fp0.1k - reprezintă rezistenţa convenţională a oţelului corespunzătoare unei deformaţii

specifice de 0.1%. Această valoare este dată de producător.

În cazul prezentului proiect se va lucra cu formula:

pkpkp ffk ⋅≤⋅≤ 8.01maxσ

11/25

6. Pierderi de precomprimare instantanee 6.1. Lunecarea în ancoraj

λ - mărimea lunecării în ancoraj depinde de tipul de ancoraj şi de mărimea eforturilor din

toroane. O valoare medie se poate considera de 4...6 mm. Prin tema de proiectare pentru

mărimea lunecării s-au considerat trei valori diferite de 4, 5 respectiv 6 mm.

Pierderea de efort unitar de precomprimare, respectiv pierderea de forţă de

precomprimare cauzate de lunecare din ancoraj se evaluează conform formulelor de mai

jos:

pp

sl EL

⋅+

=Δ 21 λλσ

unde:

slσΔ - reprezintă pierderea de efort unitar de precomprimare cauzată de lunecare

din ancoraj

21;λλ - reprezintă lunecarea din ancorajele de la cele două capete. Dacă

pretensionarea se face la un singur capăt, λ2=0. În cazul prezentului proiect se consideră

că pretensionarea se face la un singur capăt.

pL - reprezintă lungimea pistei de precomprimare

pE - reprezintă modulul de elasticitate al oţelului din care este confecţionată

armătura pretensionată

slpsl AP σΔ⋅=Δ

unde:

slPΔ - reprezintă pierderea de forţă de precomprimare cauzată de lunecare din

ancoraj

pA - reprezintă aria de armătură pretensionată

12/25

6.2. Relaxarea oţelului

Fenomenul de relaxare al oţelului are loc între momentul de întindere al armăturii

pretensionate şi până în momentul transferului.

Pierderea de efort unitar de precomprimare cauzată de relaxarea oţelului se

evaluează conform formulelor de mai jos:

- pt oţeluri de Clasa 1 conform formulei 3.28

5)1(75,0

7,61000 10

100039,5 −

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅⋅=Δ

μμρσσ tepipr

- pt oţeluri de Clasa 2 conform formulei 3.29

5)1(75,0

1,91000 10

100066,0 −

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅⋅=Δ

μμρσσ tepipr

- pt oţeluri de Clasa 3 conform formulei 3.30

5)1(75,0

81000 10

100098,1 −

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅⋅=Δ

μμρσσ tepipr

unde:

slppi σσσ Δ−= max

În formulele 3.28, 3.29 şi 3.30, timpul t reprezintă timpul de relaxare al armăturii, din

momentul pretensionării şi până în momentul transferului, lucrându-se cu o valoare

corectată cu mărimea teq (t=trelaxare+teq), reprezentând un timp echivalent ce ţine seama de

13/25

efectul tratamentului termic asupra relaxării armăturii pretensionate. Acest timp teq se poate

estima utilizând formula 10.2, ţinând seama de graficul tehnologic de aplicare a

tratamentului termic.

Pierderea de forţă de precomprimare cauzată de relaxarea oţelului se evaluează

conform formulei de mai jos:

prpr AP σΔ⋅=Δ

unde:

rPΔ - reprezintă pierderea de forţă de precomprimare cauzată de relaxarea oţelului

pA - reprezintă aria de armătură pretensionată

6.3. Tratamentul termic

Pentru a se ajunge într-un timp mai scurt la rezistenţa iniţială necesară a betonului,

acesta este supus unui tratament termic, de regulă utilizând abur sau apă caldă.

Pierderea de efort unitar de precomprimare cauzată de aplicarea tratamentului

termic se evaluează conform formulei de mai jos:

)(5,0 0max TTE cp −⋅⋅⋅=Δ ασθ

14/25

Pierderea de forţă de precomprimare cauzată de aplicarea tratamentului termic se

evaluează conform formulei de mai jos:

θθ σΔ⋅=Δ pAP

unde:

θPΔ - reprezintă pierderea de forţă de precomprimare cauzată de aplicarea

tratamentului termic

pA - reprezintă aria de armătură pretensionată

15/25

7. Scurtarea elastică a betonului la transfer În momentul realizării transferului, valoarea forţei de pretensionare se poate calcula

astfel:

θPPPPP rslerm Δ−Δ−Δ−= maxint

unde:

maxP - reprezintă forţa aplicată armăturii pretensionate

slPΔ - reprezintă pierderea de forţă de precomprimare cauzată de lunecare din

ancoraj

rPΔ - reprezintă pierderea de forţă de precomprimare cauzată de relaxarea oţelului

θPΔ - reprezintă pierderea de forţă de precomprimare cauzată de aplicarea

tratamentului termic

xX

si

Ap

e

σcpPinterm

Pentru calculul efortului unitar din beton în secţiunea de la nivelul armăturii

pretensionate (σcp) se poate adopta procedeul de calcul simplificat sau procedeul exact.

Calcul simplificat

eI

ePA

P

c

erm

c

ermcp ⋅

⋅+= intintσ

unde:

Ac - aria secţiunii de beton

e - distanţa de la centrul de greutate al armăturii precomprimate la centrul de

greutate al secţiunii de beton

Ic - momentul de inerţie pentru secţiunea de beton

16/25

Calcul exact

)1( 2

2

int

reA

A

p

ce

ermpcp

++

=α

σσ

unde:

p

ermermp A

Pintint =σ

)( 0tEE

cm

pe =α

Ep - modulul de elasticitate al oţelului din care este confecţionată armătura

pretensionată

Ecm(t0) - modulul de elasticitate secant al betonului la vârsta t0. În cazul prezentului

proiect, t0 se înlocuieşte cu tT calculat anterior.

Ac - aria secţiunii de beton

Ap - reprezintă aria de armătură pretensionată

e - distanţa de la centrul de greutate al armăturii precomprimate la centrul de

greutate al secţiunii de beton

r - reprezintă raza de giraţie a secţiunii de beton şi se calculează cu: cA

Icr =

17/25

Pierderea de efort unitar de precomprimare, respectiv pierderea de forţă de

precomprimare cauzate de scurtarea elastică a betonului la transfer se evaluează conform

formulelor de mai jos:

cpeel σασ ⋅=Δ

unde:

elσΔ - reprezintă pierderea de efort unitar de precomprimare cauzată de scurtarea

elastică a betonului la transfer

elpel AP σΔ⋅=Δ

unde:

lPθΔ - reprezintă pierderea de forţă de precomprimare cauzată de scurtarea elastică

a betonului la transfer

pA - reprezintă aria de armătură pretensionată

În momentul încheierii transferului, efortul unitar şi forţa din armătura pretensionată

se pot evalua utilizând formulele de mai jos:

elp

ermpm A

Pσσ Δ−= int

0

00 pmpm AP σ⋅=

În acest stadiu, efortul unitar din armătura pretensionată trebuie să satisfacă

următoarele condiţii:

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅

⋅≤

kp

pkpm f

f

,1.00 85,0

75,0minσ - dacă nu verifică se micşorează maxpσ

În cadrul prezentului proiect se va verifica doar prima inegalitate: pkpm f⋅≤ 75,00σ .

18/25

20 L=Ltransfer 20Lcalc

Lcalc

ldisp 2

2

1

1

8. Calculul static Combinaţii

S.L.S.

- caracteristică ΣGk+Qk

- frecventă ΣGk+Ψ1Qk

- cvasipermanentă ΣGk+Ψ2Qk

S.L.U.

- fundamentală; calcul 1,35*ΣGk+1,5Qk

Încărcare Valori caracteristice Momentul încovoietor 1-1

Greutate proprie gself,k

8

2,

,

lgM kself

kself

⋅=

Rest permanentă grest,k

8

2,

,

lgM krest

krest

⋅=

Utilă qk

Combinaţie Mod de combinare Momentul încovoietor 1-1

caracteristică ΣGk+Qk

8)( 2

,, lqggM kkrestkself

Ek

⋅++=

frecventă ΣGk+Ψ1Qk

8)( 2

1,, lqggM kkrestkself

Ef

⋅⋅Ψ++=

cvasipermanentă ΣGk+Ψ2Qk

8)( 2

2,, lqggM kkrestkself

Eqp

⋅⋅Ψ++=

fundamentală 1,35*ΣGk+1,5Qk

8)5,135,135,1( 2

,, lqggM kkrestkself

Ed

⋅⋅+⋅+⋅=

Ψ1 Ψ2

acoperiş 0,5 0,4

planşeu intermediar 0,7 0,4

19/25

xX

si

Ap

e

σcpPm0

σct

σcb

Mself,k

10. Verificări ale eforturilor unitare la transfer

10.1. Calculul eforturilor unitare normale în secţiunea 1-1

i

kselfm

c

mcb W

MePAP ,00 −⋅

+=σ

s

kselfm

c

mct W

MePAP ,00 −⋅

−=σ

eI

MePAP

c

kselfm

c

mcp ⋅

−⋅+= ,00σ

10.2. Calculul eforturilor unitare normale în secţiunea 2-2

10.2.1. Determinare poziţiei secţiunii 2-2 în lungul axei elementului

Se poate admite că eforturile unitare în beton sunt repartizate liniar în afara zonei

delimitată de lungimea de dispersie (difuzie) stabilită conform formulei (8.19)

22 dll ptdisp += (8.19)

unde:

ptl - reprezintă valoarea de referinţă a lungimii de transmitere

20/25

Ca valoare de calcul a lungimii de transmitere se utilizează valoarea cea mai

defavorabilă dintre cele două determinate conform formulelor de mai jos:

ptpt ll ⋅= 8,01

ptpt ll ⋅= 2,12

De regulă, este utilizată valoarea cea mai mică pentru verificarea eforturilor unitare

locale la transfer şi valoarea cea mai mare pentru SLU.

Astfel, relaţia 8.19 devine în acest caz:

221 dll ptdisp +=

La eliberarea armăturii, se poate admite că precomprimarea este transmisă

betonului printr-un efort unitar de aderenţă constant notat cu fbpt a cărui valoare se

calculează cu formula (8.15):

21/25

xX

si

Ap

e

σcpPm0

σct<fctm(tT)

σcb<fck(tT)

Mself,k

c

ctmctctd

tftf

γα

)(7,0)( ⋅⋅= (8.15)

unde:

ctα - coeficient a cărui valoare e recomandată de EN 1992-1-1 a se lua egală cu 1

dacă nu e stipulat altfel în anexa naţională corespunzătoare.

)(tf ctm - rezistenţa medie la întindere axială a betonului la vârsta de “t” zile.

În formula de mai sus se înlocuieşte t cu tT, calculat pe baza graficului tehnologic cu

formula B.10.

10.2.2. Calculul momentului încovoietor dat de greutate proprie în secţiunea 2-2 ( 22,

−kselfM )

dispcalckself

kself lLg

M ⋅⋅

=−

2,22

,

10.2.3. Calculul eforturilor unitare în secţiunea 2-2

s

kselfm

c

mct W

MePAP 22

,00−−⋅

−=σ

i

kselfm

c

mcb W

MePAP 22

,00−−⋅

+=σ

În acest stadiu se verifică satisfacerea următoarelor relaţii:

)(6,0 0tf ckcb ⋅≤σ - condiţie pentru evitarea fisurării longitudinale

)( 0tf ctmct ≤σ - condiţie pentru ca secţiunea să rămână în întregime nefisurată

În cazul în care în secţiunea 2-2 relaţia )(6,0 0tf ckcb ⋅≤σ nu este adevărată, soluţia

pentru scăderea efortului unitar din fibra extremă inferioară constă în dispunerea uneia sau

mai multor teci pe unul respectiv mai multe toroane. Astfel, modul de lucru presupune

22/25

considerarea unuia dintre toroane ca fiind învelit în teacă şi reverificarea eforturilor unitare

din secţiune, considerând că toronul învelit nu conlucrează cu secţiunea de beton. Dacă

relaţia nu este adevărată în continuare, se consideră încă un toron ca fiind învelit în teacă

şi apoi se reverifică secţiunea. Procedeul se continuă până când relaţia )(6,0 0tf ckcb ⋅≤σ

devine adevărată.

În formulele de mai sus se înlocuieşte t0 cu tT, calculat pe baza graficului tehnologic

cu formula B.10.

ldisp 2

2

2'

2'ldisp

lteaca ldisp

teaca

teaca123

În cazul în care dispunerea tecilor este necesară, se va verifica încă o secţiune

situată la ldisp de punctul în care se întrerupe teaca (2’-2’).

23/25

11. Pierderi de precomprimare finale

În cazul prezentului proiect ezcp = .

eI

MM

c

EqprestcpQPc ⋅

+−=σσ ,

eI

MePAP

c

kselfm

c

mcp ⋅

−⋅+= ,00σ

prσΔ - se evaluează pe baza formulelor 3.28, 3.29 sau 3.30 considerând “t” ca fiind

durata de viaţă a elementului şi QPcepmpi ,0 σασσ ⋅+= .

24/25

)( 0tEE

cm

pe =α

unde t0 este 28 zile şi Ecm(t0) devine Ecm.

Forţa finală de precomprimare, considerând efectul pierderilor reologice de tensiune se

evaluează cu formula:

rscmm PPP ++∞ Δ−= 0

12. Verificări ale eforturilor unitare în stadiul de serviciu în secţiunea 1-1

e

σct

σcb

Pk=nPm8

M

n=1

12.1. Verificări pentru ctσ

- pentru clasele de expunere XD, XF, XS

ctσ se calculează considerând M=MEk şi se verifică relaţia

ckct f⋅≤ 6,0σ

- pentru restul claselor de expunere

ctσ se calculează considerând M=MEQP şi se verifică relaţia

ckct f⋅≤ 45,0σ

25/25

12.2. Verificări pentru cbσ

- pentru clasele de expunere X0, XC1, XS

cbσ se calculează considerând M=MEf şi se verifică relaţia

ctmcb f≤σ

- pentru clasele de expunere XD1, XD2, XD3, XS2, XS3

cbσ se calculează considerând M=MEf şi se verifică relaţia

0≥cbσ

- pentru clasele de expunere XC2, XC3, XC4

cbσ se calculează considerând M=MEQP şi se verifică relaţia

0≥cbσ