Micii Matematicieni (Online) - ISSN 2344 - 4827 cu ISSN (2014).pdf · ştiinţific. Ne poate...

Micii Matematicieni (Online) - ISSN 2344 - 4827

Acela-i matematician pentru care egalitatea 2xe dx

este

evidentă ca " 2 × 2 = 4 ". W. Thompson (lord Kelvin)

Micii MATEMATICIENI

Revista elevilor din Hârlău Fondată în anul 2007

Anul IX, nr. 9, martie 2015

REDACŢIA REVISTEI

REDACTOR ŞEF: IOAN SǍCǍLEANU

MEMBRII REDACŢIEI:

AUREL NEICU GHEORGHE OANCEA BOGDAN DORNEANU

RAMONA DARIE IULIANA BLANARU IONELA SIMIONESCU

ADRESA REDACŢIEI: COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLǍU

STR. MIHAI EMINESCU, NR. 5

TEL/FAX: 0232/720911

WEB: http://hirlau.licee.edu.ro

ADRESELE DE E-MAILL: [email protected]

[email protected]

[email protected]

TEHNOREDACTARE: IOAN SǍCǍLEANU

ILUSTRAŢIA COPERTEI: RAMONA DARIE

SPONSORII REVISTEI: ASOCIAŢIA PǍRINŢILOR “ŞTEFAN CEL MARE”, HÂRLǍU

PRIMǍRIA ORAŞULUI HÂRLǍU

S. C. COTNARI S.A.

S. C. BEST COLOR S.R.L.

C.M.I. DOCTOR STELA TATIANA NEICU

S.C. REZIDENT HOUSE S.R.L., HÂRLĂU

RESTAURANT ŢǍPUŞǍ

ISSN 1844 – 153X

http://hirlau.licee.edu.ro/

mailto:[email protected]



1

Micii MATEMATICIENI

ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE

DESPRE ÎNCEPUTURILE BIOMATEMATICII

RADU PRECUP1)

Tot ce e gândire corectă este sau matematică sau susceptibil de matematizare.

(Grigore Moisil, matematician, 1906-1973)

În fiecare ştiinţă este numai atâta ştiinţă adevărată, câtă matematică conţine.

(Immanuel Kant, filozof, 1724-1804)

Putem iubi matematica pentru frumuseţea sa abstractă golită de orice conţinut concret, pentru

desfăşurarea logică a raţionamentului ei care poate conduce de la o premiză A la o concluzie B , de

foarte multe ori surprinzătoare, neaşteptată. Dar ne poate plăcea matematica şi datorită modului său

surprinzător prin care se mulează asupra unor procese reale de natură fizică, chimică, biologică,

economică, sociologică etc. făcându-le descrierea şi înţelegerea mai exacte şi permiţând controlul lor

ştiinţific. Ne poate plăcea aşadar matematica pură, sau ne poate place matematica aplicată. Cele două

matematici nu sunt disjuncte ci se intersectează şi se stimulează reciproc. Să ne amintim de faptul că

bazele calculului diferenţial şi integral datorate lui Leibniz (1646-1716) şi Newton (1642-1727) au

fost puse tocmai pentru a descrie în termeni riguroşi concepte precum viteza şi acceleraţia provenite

din fizică. Astfel, dacă x t reprezintă o anumită cantitate la momentul t , atunci /x t reprezintă

limita când 0t a raportului x t t x tx

t t

exprimă variaţia cantităţii pe unitatea de timp,

la momentul t . Dacă în matematica pură, x reprezintă o funcţie, fiind golit de orice conţinut real, în

matematica aplicată x dobândeşte conţinut putând fi de la caz la caz: poziţia unui corp în mişcare

(fizică); densitatea unei substanţe chimice (chimie); mărimea producţiei unui anumit tip de marfă

(economie); mărimea / densitatea unei populaţii dintr-o anumită specie, densitatea celulelor de un

anumit tip dintr-un organism (biologie) ş.a. Atunci când conceptelor matematice abstracte li se

conferă un conţinut real, iar rezultatele matematice abstracte primesc interpretări specifice se

realizează trecerea dinspre matematica pură spre matematica aplicată.

Posibilitatea utilizării calculului diferenţial şi integral pentru descrierea unor realităţi biologice

a fost remarcată încă de la începuturile dezvoltării analizei matematice. Pentru a explica aceasta, să

considerăm o specie al cărei număr de indivizi la momentul t este notat cu p t . Fie ,n t p şi

,m t p numărul indivizilor care se nasc, respectiv mor în intervalul unitar de timp , 1t t . Dacă

acceptăm faptul că pe un interval scurt de timp ,t t h creşterea populaţiei este uniformă, atunci

2

Micii MATEMATICIENI

putem afirma că variaţia populaţiei în intervalul ,t t h , adică p t h p t este egală cu diferenţa

dintre naşterele şi decesele înregistrate în acest timp, adică cu , ,n t p m t p h . Atunci

, ,

p t h p tn t h m t h

h

.

Făcând 0h obţinem forma generală a ecuaţiei care modelează procesul de creştere a unei populaţii

/ , ,p t n t p m t p .

Din aceasta se obţin legi de creştere, dacă sunt precizaţi termenii ,n t p şi ,m t p , sau numai

diferenţa lor , ,n t p m t p . Aşa de exemplu, dacă considerăm că naşterele şi decesele sunt direct

proporţionale cu populaţia, adică ,n t p a p t şi ,m t p b p t , atunci obţinem ecuaţia lui

Mathus (1766-1834) de creştere a unei populaţii 1.

/p r p ,

unde r a b . Constanta a este rata de naşterii per capita, b este rata mortalităţii per capita, iar r

este rata creşterii per capita. Soluţia acestei ecuaţii, care satisface condiţia iniţială 0 0p t p , este

funcţia exponenţială

0

0

r t tp t p e

.

Este clar că dacă a b (adică 0r ), atunci populaţia creşte exponenţial la infinit; dacă a b , atunci

populaţia descreşte exponenţial la zero (populaţia tinde să dispară); iar dacă a b , atunci populaţia

este constantă. Este acceptat faptul că legea lui Mathus oferă o estimare corectă a creşterii unei

populaţii pe un interval mărginit (scurt) de timp. Pe termen lung însă, creşterea este de cele mai

multe ori încetinită şi în anumite condiţii are loc chiar descreştere. Aşadar ecuaţia lui Mathus trebuie

modificată pentru a o pune în acord cu realitatea. Astfel, Verhulst (1804-1849) a propus să se

considere expresia , ,n t p m t p ca fiind o funcţie pătratică de p , adică a propus ecuaţia de

creştere 2.

/ 1p

p r pK

,

unde r , K sunt constante pozitive. Remarcăm că această ecuaţie ia în seamă, prin intermediul

termenului 2rp

K, efectul inhibator al aglomerării. De asemenea, cât timp p este sub pragul K ,

membrul drept este pozitiv (adică / 0p ) şi deci populaţia creşte, iar cât timp p este peste pragul K ,

avem / 0p şi deci populaţia descreşte. Aşadar avem de a face cu efectul de auto-limitare a creşterii.

Ecuaţia lui Verhulst intervine şi în alte domenii şi este cunoscută şi sub denumirea de ecuaţia

logistică.

Dezvoltarea biomatematicii moderne începe însă cu Vito Volterra (1860-1940). Acestuia i se

datorează modelul pradă-prădător, cunoscut şi sub numele de sistemul Lotka-Volterra, ce descrie

dinamica a două specii în interacţiune, o specie pradă şi o alta prădătoare. Volterra a condus la

elaborarea acestui model matematic ca urmare a discuţiilor purtate în jurul anului 1925 cu biologul

3

Micii MATEMATICIENI

marin Umberto d’Ancona 4. . Acesta îi cere o explicaţie matematică a faptului că la reluarea

pescuitului în Marea Mediterană, după primul război mondial, ponderea speciilor răpitoare în captura

totală de peşte era mai mare decât fusese înainte de război. Iată cum explică Volterra acest fapt. Fie

x t populaţia pradă şi y t populaţia prădătoare, la momentul t . Dacă nu există prădători, dinamica

populaţiei pradă este descrisă de legea lui Mathus /1x r x , unde 1 0r şi are o creştere

exponenţială. Analog, în absenţa prăzii, populaţia prădătoare neavând hrană descreşte exponenţial

după legea /2y r y , unde 2 0r . Interacţiunile dintre cele două specii se vor reflecta în ecuaţii

prin termeni care contribuie la descreşterea primei specii şi respectiv la creşterea celei de a doua.

Putem accepta că rata per capita de creştere a speciei pradă se diminuează proporţional cu numărul

răpitorilor, deci /

1 1

xr a y

x , unde factorul de proporţionalitate 1a este pozitiv. Analog, rata per

capita de descreştere a populaţiei răpitoare se ameliorează proporţional cu prada, adică /

2 2

yr a x

y , unde 2 0a . Astfel se obţine sistemul Lotka-Volterra ca cel mai simplu model

pentru dinamica pradă-prădător:

/1 1

/2 2

x x r a y

y y r a x

.

În acest sistem, toate constantele 1a , 2a , 1r , 2r sunt pozitive. Folosind prima ecuaţie a sistemului, să

observăm că atât timp cât răpitorii sunt în număr mai mic decât 1

1

r

a, avem / 0x , adică populaţia

pradă creşte. Pe perioadele de timp cât y depăşeşte valoarea de prag 1

1

r

a, avem / 0x , adică o

descreştere a populaţiei pradă. Observaţii similare se pot face asupra tendinţei de creştere /

descreştere a populaţiei răpitoare, dacă se foloseşte cea de a doua ecuaţie din sistem.

Modelul poate fi modificat pentru a lua în seamă o serie de alţi factori cum ar fi migraţia,

vânătoarea sau pescuitul. Astfel, în cazul că x reprezintă populaţia de peşte pradă, y populaţia de

peşte răpitor şi se consideră că prin pescuit se diminuează ratele de creştere /x şi /y proporţional cu

cele două populaţii, se ajunge la sistemul de ecuaţii

/1 1 1

/2 2 2

x x r a y e c x

y y r a x e c y

,

unde factorul de proporţionalitate e ( 0e ) semnifică intensitatea activităţii de pescuit, iar factorii

1 2, 0c c reprezintă ponderile specifice de capturare ale celor două specii. Factorul e este cu atât

mai mare cu cât pescuitul este mai intens şi este nul în absenţa acestuia. Pornind de la constatarea

tendinţei proceselor din natură de a se echilibra în timp scurt, adică de a ajunge la o evoluţie

constantă, invariantă în timp, putem presupune că starea de echilibru este prezentă la momentul

reînceperii pescuitului. Atunci, derivatele /x , /y sunt nule şi din egalarea cu zero a membrilor drepţi

ai ecuaţiilor se obţine sistemul algebric

1 1 1

2 2 2

0

0

x r a y e c x

y r a x e c y

4

Micii MATEMATICIENI

a cărui soluţie nenulă este

2 2

2

1x r e c

a , 1 1

1

1y r e c

a .

Rezultă că raportul dintre specia răpitoare şi specia pradă este

2 1 1

1 2 2

a r e cy

x a r e c

.

Acest raport poate fi privit ca o funcţie R e depinzând de intensitatea e a pescuitului. Analizăm

monotonia acestei funcţii calculând derivata ei. Obţinem

/ 2 1 2 2 12

1 2 2

0a c r c r

R ea r ec

.

Aşadar, funcţia R e este descrescătoare. Aceasta răspunde întrebării biologului d’Ancona, căci la o

intensitate mai mică a pescuitului – cum era cazul în timpul războiului – îi corespunde o valoare mai

mare a raportului R e .

Cartea publicată de Volterra, mai întâi în italiană, apoi în franceză 3. , a reprezentat

începutul ecologiei matematice şi totodată al biomatematicii în general. Astăzi biomatematica este un

domeniu al matematicii aplicate în plină expansiune, ce oferă răspunsuri şi analize riguroase la

marile provocări ale biologiei şi medicinei actuale, cum ar fi răspândirea şi controlul epidemiilor,

biologia celulară şi moleculară, genetica, mutaţiile celulare cancerigene, imunologia, bolile

neurologice etc 5.

REFERINŢE:

1. T.R.MALTHUS, AN ESSAY ON THE PRINCIPLE OF POPULATION, J.JOHNSON IN ST PAUL’S CHURCHYARD,

LONDON, 1798.

2. P.F. VERHULST, NOTICE SUR LA LOI QUE LA POPULATION SUIT DANS SON ACCROISSEMENT, CORR. MATH.

ET. PHYS. 10 (1838), 113-121.

3. V. VOLTERRA, LEÇONS SUR LA THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUTE POUR LA VIE, GAUTIER-VILLARS,

PARIS, 1931.

4. J.R. GODSTEIN, THE VOLTERRA CHONICLES. THE LIFE AND TIMES OF AN EXTRAORDINARY

MATHEMATICIAN 1860-1940, AMER. MATH. SOC., 2007.

5. J.D. MURRAY, MATHEMATICAL BIOLOGY, SPRINGER, BERLIN, 1989.

1)PROFESOR UNIVERSITAR DOCTOR,

FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ, UNIVERSITATEA “BABEŞ-BOLYAI”,

CLUJ-NAPOCA

5

Micii MATEMATICIENI

DE LA MINIM LA MAXIM … FĂRĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ

ANA MĂRIOARA SPIRIDON(1

GHEORGHE SPIRIDON(2

Determinarea valorilor optime (adică maxime sau minime) în matematică şi în alte domenii are

o deosebită importanţă. Nu este de mirare că civilizaţia umană a pus şi a rezolvat astfel de probleme

încă din antichitate. Euclid, Apollonius, Heron, Arhimede şi alţii au luat în consideraţie şi au rezolvat

numeroase probleme de optim din algebră şi geometrie.

Astfel, Pitagora (569-470 î.e.n.) şi discipolii lui , au ajuns la concluzia că dintre toate figurile

plane cu acelaşi perimetru, aria cea mai mare o are cercul, iar dintre toate corpurile cu aceeaşi arie

totală, cel mai mare volum îl are sfera. De asemenea adepţii lui Pitagora considerau cercul şi sfera ca

figuri “frumoase”, figuri perfecte .

Treptat, principiile de optim au început să fie tot mai des folosite în practică. Iată numai câteva

domenii de aplicare a problemelor de maxim şi de minim: în construcţii, la trasări de drumuri şi căi

ferate, în legătură cu economiile de material şi de muncă, la reducerea costului lucrărilor şi al

produselor etc.

În ultimul timp, problemele de maxim şi de minim au fost cercetate din ce în ce mai mult prin

metode geometrice, aritmetice, algebrice şi ale analizei matematice.

În continuare vom prezenta două din teoremele ce stau la baza studiului elementar al

problemelor de maxim şi de minim fără a folosi noţiuni din analiza matematică. Fiecărei teoreme îi

vom da trei demonstraţii şi câte o aplicaţie.

TEOREMA 1: Un produs de mai mulţi factori variabili pozitivi, a căror sumă este constantă, este

maxim atunci când factorii sunt egali.

DEMONSTRAŢIA 1. Considerăm produsul 1 2 ... nP x x x a n numere variabile pozitive, a căror

sumă este 1 2 ...not

nx x x k (constantă). Există o infinitate de posibilităţi de a alege aceste

numere astfel ca suma lor să fie egală cu k . În particular, să le luăm egale, fiecare fiind a n -a parte

din k , adică 1 21 2

...... n

n

x x x kx x x

n n

. Trebuie să arătăm că are loc:

1 2 1 2 1 21 2

... ... ...... ...n n n

n

x x x x x x x x xx x x

n n n

1 21 2

......

n

nnn

x x xx x x

n

1 21 2

......n n

n

x x xx x x

n

, adevărată, din inegalitatea mediilor aritmetică şi geometrică.

DEMONSTRAŢIA 2. Vom demonstra cazul particular 2n . Considerăm variabilele reale 1x , 2x , a

căror sumă 1 2

not

x x S este constantă, iar diferenţa 1 2

not

x x este variabilă. Obţinem că

1

1 1

2 2x S şi 2

1 1

2 2x S , de unde găsim că produsul 2 2

1 2

1 1

2 2 2 2 4 4

S SP x x S

.

Se constată că produsul P creşte atunci când descreşte şi P descreşte când creşte. Deoarece

6

Micii MATEMATICIENI

1 2,x x sunt alese arbitrar, produsul P este maxim 0 1 2

1

2x x S .

DEMONSTRAŢIA 3 (geometrică).

Această teoremă poate fi justificată geometric astfel:

Fie N , un punct arbitrar pe diametrul AB al unui semicerc. Suma

2AN NB r este constantă. Pe de altă parte, aplicând teorema înălţimii

în 090AMB mM (fig.1), obţinem că 2MN AN NB , de unde

deducem că produsul AN NB este maxim dacă lungimea MN este

maximă. Dar acest lucru are loc numai când M ajunge în C , adică punctul

N coincide tocmai cu centrul cercului O . În acest caz, MN r , 2AN NB r şi AN NB r .

APLICAŢIE: Dintre toate paralelipipedele cu aceeaşi diagonală, cubul are volumul maxim.

SOLUŢIE. Fie , ,a b c , cele trei dimensiuni variabile ale paralelipipedului (fig. 2) şi diagonala sa

constantă d . Atunci suma 2 2 2 2a b c d este constant, iar volumul

paralelipipedului V a b c este maxim atunci când este atins maximul

produsului 2 2 2 2a b c V şi anume când 2 2 2 21

3a b c d . Cum

, , 0a b c , atunci 3

3

da b c . Aşadar, dintre paralelipipedele cu

diagonala dată cubul este cel de volum maxim, având valoarea egală cu 3

max

3

9

dV .

TEOREMA 2: O sumă de mai multe numere variabile pozitive, al căror produs este constant, este

minimă atunci când numerele sunt egale.

DEMONSTRAŢIA 1. Pentru a demonstra să luăm n numere variabile pozitive 1x , 2x , ... , nx al căror

produs 1 2 ...not

nP x x x k este constant. Există, evident, o infinitate de astfel de numere, dar, în

particular, le alegem egale şi fiecare fiind egal cu n k .

În acest caz, produsul P devine: 1 2... ...n n n nnP k k k x x x .Trebuie să arătăm că:

1 2 1 2 1 2 1 2... ... ... ... ...n n nn n n nx x x x x x x x x x x x 1 2 1 2... ...n

n nn x x x x x x

1 21 2

...... nn

n

x x xx x x

n

, adică tocmai inegalitatea mediilor.

DEMONSTAŢIA 2. Dacă 1 2 ... nx x x P şi dacă 1 2 ... nnx x x P , atunci suma

1 2 ... nnS x x x n P . Să presupunem că ar exista o valoare minimă 0

nS S n P ,

valoarea 0S fiind atinsă de exemplu pentru 0 0 01 2 0

1... nx x x S

n . Rezultă că produsul

.1Fig

NA O B

MC

NN

a b

c d

.2Fig

7

Micii MATEMATICIENI

0 0 01 2 0

1...

n

nx x x S Pn

, ceea ce este absurd deoarece produsul P este prin ipoteză constant.

Analog se arată că minimul lui S nu poate fi mai mare ca nn P . Deci rămâne singurul caz posibil şi

anume minimul lui nS n P , valoare atinsă numai pentru 1 2 ... nnx x x P .

DEMONSTRAŢIA 3 (geometrică). Pentru a justifica geometric afirmaţia din teorema de mai sus, vom

lua un fasicul de semicercuri concetrice având centrul

în punctul O şi diametrele pe o dreaptă d . Notăm

cu /d o paralelă la d care intersectează

semicercurile în 0P , 1P , 2P ş.a.m.d. Aplicând teorema

înălţimii în triunghiul dreptunghic i i iA PB , (fig.3),

deducem că produsul 2 2i i i i i iB Q Q A Q P c este

constant. Atunci suma i i i i i iB Q Q A B A , variabilă în

raport cu i este minimă atunci când punctul iP

coincide cu 0P . Adică semicercul devine tangent

dreptei /d . În acest caz şi numai acum 0Q O .

APLICAŢIE: Se dă suma catetelor unui triunghi dreptunghic. Când ipotenuza este minimă ?

SOLUŢIE: Notăm suma catetelor triunghiului ABC , dreptunghic în

A cu s AB AC , care este constantă (fig.4). Ridicând suma la

pătrat şi apoi aplicănd teorema lui Pitagora, obţinem că :2 2 2 2s AB AC AB AC 2 2 2s BC AB AC . Cum suma

s este constantă, pentru ca lungimea ipotenuzei BC să fie minimă

este suficient ca produsul AB AC să fie maxim, fapt realizabil atunci

când factorii sunt egali, adică 1

2AB AC s , conform teoremei 2.

Prin urmare, dintre triunghiurile cu suma catetelor dată triunghiul

dreptunghic isoscel are ipotenuza de valoare minimă, egală cu 2

2

s.

1)

PROFESOR GRADUL 1

ŞCOALA GIMNAZIALĂ ,,IORDACHE CANTACUZINO’’, PAŞCANI 2)

PROFESOR GRADUL 1

LICEUL ECONOMIC TEHNOLOGIC ,,NICOLAE IORGA’’, PAŞCANI

A B

C

- fig. 4 -

2B1B 0B 0O Q

.3Fig

0A1A1Q

2Q 2A

2P1P /d0P

dc

8

Micii MATEMATICIENI

NOTĂ MATEMATICĂ

IOAN SĂCĂLEANU

(1 În revista Micii matematicieni nr. 8 / 2014, apare problema:

11.37: Să se arate că are loc: 2

2 2 sin1 1 sin 2 1

2

x xx x

, pentru 1;1x .

PROF. AUREL NEICU, COLEGIUL NAŢIONAL „ ŞTEFAN CEL MARE” , HÂRLĂU

În nota de faţă, ne propunem să prezentăm soluţii din perspective diverse ale următoarei

generalizări: pentru ,a b cu 1a şi 1b are loc:2

2 21 1 2 12

a ba b

ALGEBRIC: Din 1a şi 1b rezultă că 1a b 1 1a b 1 0ab 1 . Având

ambii membri pozitivi, avem: 2 2

2 2 2 21 2 1 1 1 4 12

a ba a b b

2 2 2 2 2 2 2 22 2 1 4 2a b a b a b a b ab 2 2 2 22 2 2 1ab a b a b

2 2 2 2 2

11 1

cfab a b a b 2 2 2 2 2 21 2 1ab a b a b a b

20a b A .

ANALITIC: Pentru 2: 1,1 0,1 , 1f f x x avem /

21

xf x

x

şi

/ /

2 2

1

1 1f x

x x

/ / 0f x , 1,1 .x Deoarece f este continuă pe 1,1 şi / / /,f f există pe 1,1 şi

/ / 0, 1,1f x x f este convexă pe 1,1 . Atunci pentru 1 2, 1,1 ş 0,1x x i t are

loc: 1 2 1 21 1 2f t x t x t f x t f x . Pentru 1x a , 2x b şi 1

2t , avem 2 c

2 2

f a f b a bf

2

2 21 1 2 12

a ba b

22

a bf a f b

2

2 21 1 2 12

a ba b

.

GEOMETRIC: Fie reperul cartezian xOy , cercul unitate 0,1C şi

punctele , 0,1A B C a.î. 0 ş 0A By i y . Notăm cu

/ /ş ;oxoxA pr A i B pr B C mijlocul lui / / ;A B

D mijlocul lui AB , i 0,1CD C E . Cum

, ,d C D d C E 2 2 2 2

D C D C E C E Cx x y y x x y y 3 . Fie

/ 1,1A Ax x a şi / 1,1B B

x x b , C mijlocul lui / /A B

2C

a bx

şi 0Cy , iar

D mijlocul lui ş .2 2

A BD D

y ya bAB x i y

Din 2 20,1 1A AA C x y şi 0Ay

21A Ay x 21Ay a . Analog, găsim că 21By b . Atunci 2

A BD

y yy

2 21 1

2D

a by

. Deoarece E CD şi CD OX obţinem că

2E C D

a bx x x

.

x

y

1/AO C

AB

/B

D

E

1

9

Micii MATEMATICIENI

Deoarece 0,1E C , atunci obţinem că 21E Ey x

2

12

E

a by

.

Coordonatele punctelor ,C D şi E aflate în funcţie de a şi 1,1b se înlocuiesc în relaţia 2 22

2 2 22 21 10 1 0

2 2 2 2 2 2

a b a b a b a b a b a b

2 22 22 21 1

1 1 1 2 1 .2 2 2

a b a b a ba b

VECTORIAL. Fie vectorii a

şi b

. Atunci produsul scalar cosa b a b

, , 0,a b

Dacă 1 2a a i a j

şi 1 2 1 1 2 2b i b j a b a b a b

şi 2 21 2a a a , 2 2

1 2b b b . Vom

aplica proprietatea: a b a b

4 vectorilor 1,1a

şi 2 21 1 ;b a b

pentru orice

, 1,1a b , atunci inegalitatea 2 2

2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1a b a b

2 2 2 21 1 2 2a b a b 5 . Pentru a arăta 2

2 21 1 2 12

a ba b

este suficient să arătăm că 2

2 22 2 2 12

a ba b

22 22 2 4a b a b

2 2 2 24 2 2 4 2a b a ab b 2 22 0a ab b 2

0a b .A

Cu ajutorul proprietăţii 2 s-a demonstrat o inegalitate mai puternică decât cea din enunţ, şi anume :

2 2 2 21 1 2 2a b a b 3

Trigonometric. Fie cosa , cosb cu , 0, ,a b pot lua orice valori din 1,1 , în

funcţie de şi . Inegalitatea devine 2

2 2 cos cos1 cos 1 cos 2 1

2

2 2sin sin 4 cos 2cos cos cos 2 2sin sin 4 cos 2cos cos cos

, deoarece , 0, sin 0 şi sin 0 , de unde sin sin şi sin sin . Ambii

membri ai inegalităţii sunt pozitivi şi prin ridicare la pătrat obţinem inegalitatea echivalentă: 2 2 2 2sin 2sin sin sin 4 cos 2cos cos cos

2 2 2 2sin cos sin cos 2sin sin 2cos cos 4

2 sin sin cos cos 2 cos 1 A .

1)PROFESOR GRAD 1,

COLEGIUL NAŢIONAL „ ŞTEFAN CEL MARE” , HÂRLĂU

10

Micii MATEMATICIENI

„PARADOXURILE MINCINOSULUI” ȘI CAPCANELE GÂNDIRII LOGICE

RAMONA BUJOR(1

Paradoxul „mincinosului” reprezintă una din încercările gândirii logice din Antichitate și

până în contemporaneitate, deoarece pune în discuție nu doar gândirea logică, ci chiar modalitatea de

a o ordona și înțelege realitatea. El a fost reluat sub diferite forme și s-au încercat soluții de rezolvare

care reflectă istorialitatea gândirii înseși, în ciuda faptului că era numit de către logicienii scolastici

„insolubilă”.

Varianta cea mai cunoscută îl are ca personaj pe Epimenide: Epimeride Cretanul spunea că

toți cretanii sunt mincinoși. Problema ridicată este: un mincinos care spune că minte, minte și când

spune că minte, sau nu minte? Conform principiului tertium non datur, sunt posibile numai două

răspunsuri: 1. minte; 2. nu minte. Plecând, pe rând, din ambele ipoteze se ajunge într-o contradicție

logică.

Dacă afirmația lui Epimenide este adevărată, atunci Epimenide, (cretan el însuși) minte, deci

propoziția nu este adevărată. Dacă această propoziție este falsă, atunci Epimenide enunță o

propoziție falsă, și deci propoziția este adevărată. Cu alte cuvinte, dacă acela care spune că minte,

minte, atunci el spune adevărul (că minte) și deci, nu minte. Dacă acela care spune că minte, nu

minte, atunci este adevărat că minte, deci minte. Astfel, afirmația „Mint” nu este nici adevărată, nici

falsă, pentru că, acceptarea unei valori de adevăr trimite imediat la valoarea de adevăr opusă, dacă e

adevărată, atunci e falsă; dacă e falsă, atunci e adevărată și așa la infinit.

I.Geneza paradoxului. Două explicații generale ale acestei contradicții infinite le identificăm în

istoria logicii. Prima, în ordine comprehensivă și nu cronologică, este cea a lui B. Russell. În

Principia Mathematica, (realizată împreună cu Whitehead), el explică apariția paradoxului prin

vicious circle principle sau reciproca – denumirea latină a cercului vicios: nu se poate defini

definitul prin definit, sau, nu se poate presupune ceva ca admis deja, el urmând a fi argumentat.

Inversarea antecedentului cu consecventul conduce la indecizia între adevăr și fals, functorul nici-

nici, menținând „alergarea infinită” între contradictorii. Paradoxul mincinosului este reluat de B.

Russel, ca argumentum reciprocum, cum este folosit de Protagoras: „Un filosof este condamnat la

moarte de către un Calid care îi acordă permisiunea să-și aleagă singur felul morții: « Dacă spui o

minciună vei fi spânzurat; dacă spui un adevăr vei fi decapitat ». După un filozoful răspunde „Voi fi

spânzurat” 2) .

Condradicția este evidentă: dacă această propoziție este adevărată, filosoful trebuie să fie

decapitat; dar, în acest caz, propoziția lui este falsă, și, deci trebuie să fie spânzurat. Dacă propoziția

lui este falsă, filosoful trebuie să fie spânzurat, dar atunci, ea va fi adevărată, deci trebuie decapitat.

În concluzie, propoziția nu este nici adevărată nici falsă, însă ea trebuie să fie sau adevărată sau falsă.

Cercul vicios apare pentru că filosoful inversează ordinea structurii implicației: propoziția sa

consideră ca antecedent logic, ceea ce Califul stabilise drept consecvent. Criteriul (1) Califului este:

modalitatea executării tale depinde de valoarea de adevăr a propoziției pe care o vei spune. Criteriul

(2) Filosofului: Valoarea de adevăr a propoziției mele depinde de modalitatea executării mele.

Identificarea celor două criterii conduce la cercul vicios.

A doua explicație a generării paradoxului mincinosului îi aparține lui Aristotel și, evidențiază

faptul că nu este vorba de o gimnastică a gândirii, ci se pune în joc însuși principiul contradicției –

fundamental al gândirii și al realității. Putem spune că atât gnoseologia (teoria cunoașterii) în

11

Micii MATEMATICIENI

posibilitatea ei, cât și ontologia (teoria ființei) în constituirea ei sunt implicate în rezolvarea acestui

paradox. Definiția principiului contradicției: „... este peste putință ca unuia și aceluiași subiect să i se

potrivească și totodată să nu i se potrivească sub același raport unul și același predicat.” 3)

Încălcarea acestui principiu are loc prin acceptarea conjuncției (și-și) între opuși. Astfel, dacă

formalizăm „paradoxul mincinosului”, conform principiului contradicției, ajungem la contradicția

flagrantă în care „Eu mint” este echivalent cu „Eu nu mint”.

Notăm „Eu mint” cu p și „Eu nu mint” cu non-p (�̅).

(� ≡ �̅) ≡ (�̅ ∧ �)

1|0|1 1 0|0|1

Deci propoziția este și adevărată și falsă în același timp.

Nediscriminarea gnoseologică între adevăr și fals atrage după sinte nedeterminarea, amestecul

obiectivelor realității, adică un obiect poate primi orice atribut, așa cum, o propoziție poate primi și

adevărul și falsul: „Dacă două judecăți contradictorii ar fi adevărate în același timp despre același

lucru, atunci ... toate ar fi una, și om, și zeu, și corabie, ba încă și negațiile lor... atunci ar dispare

orice deosebire între un lucru și celălalt. Pe lângă aceasta, ar urma că toți spun adevărul și că totuși

mint în același timp, și că ficare din ei ar recunoaște despre el însuși că minte...; în timp ce spune un

lucru, ar afirma totodată și contrariul lui.” 4)

II.Soluții. Le vom analiza pe cele care au rămas ca piloni în istoria gândirii.

Soluția lui Aristotel. În Metafizica, filosoful grec explică astfel paradoxul mincinosului: „Cel care

afirmă că totul este adevărat, dă putere de adevăr și contrariului afirmației sale, de unde reiese că și

afirmația sa este neadevărată. Iar cel care admite că totul este fals declară că și afirmația sa este

falsă.” 5)

Dacă schematizăm logic avem:

Se anunță propoziția universală: 1. Toate propozițiile sunt adevărate.

Și propoziția: 2. Propoziția (1) este falsă.

Rezultă: Propoziția (1) antrenează adevărul propoziției (2), propoziția (2) implică falsitatea

propoziției (1). Deci, dacă (1) este adevărată și (2) este adevărată și atunci (1) e falsă, ceea ce e o

contradicție.

Se formulează propoziția universală a mincinosului: 3.Toate propozițiile sunt false.

și propoziția: 4. Propoziția (3) este adevărată.

Rezultă: Propoziția (3) antrenează falsitatea lui (4) și aceasta implică falsitatea lui (3). Deci, dacă (3)

e adevărată, (4) este falsă și atunci (3) este falsă, adică rezultă contradicția.

Paradoxul se anulează dacă se ține cont de axioma logicii bivalente, admisă implicit:

1. Există două valori de adevăr a propozițiilor: adevărul și falsul.

Atunci, una din cele două propoziții:

1. Toate propozițiile sunt adevărate.

2. Toate propozițiile sunt false.

admițând numai o singură valoare de adevăr, intră în contradicție cu (1) și astfel, este respinsă și ea.

În Respingerile sofistice, Aristotel respinde paradoxul prin distingerea între sensul relativ și

sensul absolut al unei noțiuni sau afirmații; confundarea lor generează contradicția (sofismul): „...

opușii, ca afirmația sau negația nu pot să aparțină aceluiași lucru în sens absolut, dar este posibil... să

aparțină în același timp unui lucru în anumită privință... același om poate în același timp să mintă și

12

Micii MATEMATICIENI

să spună adevărul,... adică să spună adevărul în unele aserțiuni, dar nu în chip absolut.” 6)

Argumentarea lui Aristotel salvează morala și, ne gândim la teza socratică dacă se preferă o acțiune

dreaptă uneia nedrepte, nu rezultă că dreptatea e luată în sens absolut, pentru că, un om drept va

prefera să sufere o nedreptate, decât să facă el o nedreptate.

Observăm că Aristotel introduce relativismul și raportul parte-întreg. (în care partea nu poate

argumenta întregul). Sunt cele două direcții pe care se vor dezvolta ulterior, în Evul Mediu și în

contemporaneitate, soluțiile paradoxului.

2.Soluția lui Jean Buridan (sex XIV). Relativismul se regăsește la el, în Summela, sub forma

temporalității. O propoziție poate fi declarată adevărată sau falsă, după ce s-a precizat timpul la care

se referă sau în care este formulată. Astfel, valoarea de adevăr este legată de un moment t. Paradoxul

mincinosului este reformulat astfel: „1: Socrate spune: « Platon spune falsul ». Propoziția 2: Platon

spune « Socrate spune adevărul »” 7) Cercul vicios este rupt prin introducerea celor două momente

distincte de timp (�� ≠ ��): propoziția (1) poate fi adevărată în ��, iar propoziția (2) în ��.

3.Soluția lui Bertrand Russell. Logicianul englez pleacă de la axioma lui Albertus de Saxonia

(sec. XIV), conform căreia partea nu poate reprezenta întregul și formulează două teorii: cea a

mulțimilor și cea a „timpurilor”. Prima stipulează că: nici o colecție nu poate conține un element care

să fie definit cu ajutorul colecției înseși. Încălcarea ei generează contradicția: „Mulțimea care se

conține ca element” este echivalentă cu „mulțimea care nu se conține ca element”. Desfășurarea

contradicției este: mulțimile care se conțin formează o nouă mulțime �. Toate mulțimile care nu se

conțin formează o nouă mulțime Γ. Mulțimea Γ ar trebui să se conțină sau nu ca element. Dar, ea nu

poate să se conțină ca element, pentru că ea conține toate mulțimile care nu se conțin.

Dacă notăm cu � mulțimea, obținem:

� ∈ Γ ≡ ~α ∈ α (mulțimea � ∈ lui Γ - mulțimea tuturor mulțimilor care nu se conțin ca

element; deci, mulțimea � nu se conține ca element);

Dacă � = Γ, obținem Γ ∈ Γ ≡ ~Γ ∈ Γ, adică paradoxul mincinosului (Epimenide Cretanul nu

poate afirma sau nega nimic despre mulțimea – totalitatea cretanilor – pentru că-i este membru!).

„Teoria tipurilor” rezolvă paradoxul. B. Russell susține că există diferite tipuri de adevăr și de

fals. Considerând propoziția � și funcția „�̅ este falsă”, se obține: (�) �̅este falsă. Însă, în mod

eronat, aceasta este „luată ca argument pentru funcția « �̅ este falsă ». Dar după teoria tipurilor,

argumentul unei funcții nu poate fi înlocuit cu înseși funcția.” 8) Trebuie să se distingă între adevărul

propoziției �, care este de tipul 1, și tipul de adevăr al propoziției „(�)∧ �̅ este falsă” care are o

valoare de adevăr de tipul doi.

Aceste „tipuri” de valori de adevăr sunt de fapt „niveluri de limbaj”. În acest sens, logicianul

A. Tarski, va construi teoria „mega-limbajelor”: un limbaj S nu poate fi analizat din interiorul său, ci

dintr-un alt limbaj S1, astfel putem deduce că mincinosul nu poate spune nimic despre valorile de

adevăr ale propoziției sale „Eu mint”, în același sistem în care a construit această propoziție. Este

necesar un meta-limbaj (un S2) pentru care primul limba (S) devine obiect.

Desigur, rămânând la soluțiile logicii contemporane, în care auto-referința este exclusă,

impunându-se „meta-logica”, ne punem două întrebări: acest „meta-” nu implică un fals infinit, în

care S1 va fi formalizat de S2, S2 de un meta-S3? Și, se poate decide din afara (meta) unui sistem

asupra sistemului?

13

Micii MATEMATICIENI

Un limbaj străin de limbajul-obiect mai „vorbește” el despre acesta? Întrebări, la care dacă s-

ar încerca răspunsuri, ar trebui să se conștientizeze un adevăr pur, remarcat de L. Wittgenstein: „Nu

pot ieși prin limbă, afară de limbă.”

NOTE: 2)

A. DUMITRIU, ȘTIINȚĂ ȘI CUNOAȘTERE, VOL. ESEURI, EDITURA EMINESCU, BUCUREȘTI, 1986, P. 231; 3)

ARISTOTEL, METAFIZICA, CARTEA IV, TRAD. ROM. ȘT. BEZDECHI, EDITURA ACADEMIEI ROMÂNE, BUCUREȘTI, 1965, P. 134, 1005B; 4)

IBIDEM, PP. 141, 143 ȘI 144, 1007B, 1008A, 10088B; 5)

IBIDEM, P. 158, 1012B; 6)

ARISTOTEL, RESPINGERILE SOFISTICE, ÎN ORGANON IV, TRAD. ROM. M FLORIAN, EDITURA ȘTIINȚIFICĂ, BUCUREȘTI, 1963, PP. 355-357; 7)

A. DUMITRIU, IBIDEM, PP. 231-232; 8)

B. RUSSELL ȘI A.N. WHITEHEAD, PRINCIPIA MATHEMATICA, I. CAMBRIGE UNIVERSITY PRESS, 1910, P. 65, APUD A. DUMITRIU, OP. CIT., P. 221

1) PROFESOR DOCTOR IN FILOSOFIE,

COLEGIUL NATIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

ELEVII ȘI TEHNOLOGIA WEB

VATAVU DUMITRU-CRISTIAN(1

Prezentările TV, siturile Web, până şi mesajele primite pe telefonul mobil de ultimă generaţie,

toate abundă de informaţii diverse (text, imagini, fişiere audio sau video). Caracterul multimedia al

spaţiului World–Wide Web constituie un factor major în succesul pe care acesta îl are atât în viaţa de

zi cu zi, cât şi în domenii precum e–learning sau e–commerce.

Putem considera universul informatic actual ca fiind caracterizat de dinamicitate. Iar atunci

când discutăm de dinamism, de fapt avem în vedere timpul. O prezentare multimedia dinamică,

oricare ar fi ea, recurge la mai multe componente care pot fi stocate local sau distribuit şi care pot fi

derulate secvenţial, paralel sau în mod combinat. De multe ori, elementele unei astfel de prezentări

trebuie sincronizate unul faţă de altul, pentru a oferi un aspect dinamic, atrăgător, pentru utilizatori.

În anul 2009 s-a dat startul primei ediţii a concursului de programare web pentru elevi de liceu

“HWEB”. Concursul este organizat de S.C. Racom Net S.R.L. în parteneriat cu Colegiul Național

“Ștefan cel Mare” din Hîrlău, jud.Iași. Inițiator și sponsor al acestui concurs este Alexandru Cuibari

fost elev al liceului împreună cu directorul școlii, profesorul Aurel Neicu.

Evenimentul are ca scop crearea unui cadru interactiv în care elevii pasionați de informatică

pot întâlni dezvoltatori web profesioniști și amatori, pot împărtăși tehnici și experiență, pot concura

și își pot depăși limitele.

14

Micii MATEMATICIENI

Concursul se adresează elevilor de liceu, iar proba de concurs constă în realizarea unei pagini

web pe o anumită temă. Concursul se adresează elevilor din clasele V-XII. La fiecare ediție au fost

alese diferite teme pentru a fi realizate pagini web. În prima ediție tema a fost la alegere ,urmând ca

din 2010 organizatorul să propună o temă iar participanții sa realizeze pagini web despre ea. Ultimele

cinci ediții au avut următoarele teme, în ordine, începând cu anul 2010:”Orașul meu, Hîrlău”,

”Modelul meu în viață”, ”Afacerea mea pe Internet”, ”Liceul meu”, ”Anul 2014”.

În prima ediție premiile oferite de sponsor au fost : Premiul I Aparat foto digital Canon

PowerShot A470; Premiul II MP3 Player Samsung 1GB; Premiul III Flash Pen Kingston Data

Traveler 100, 8GB.

În edițiile ce au urmat , pentru a atrage un număr mai mare de elevi și a mări miza , domnul

Alexandru Cuibari a fost generos și premiile au fost diversificate si extrem de atrăgatoare.

Începând cu ediția 2013 premiul I a fost recompensat cu un laptop , miză extrem de motivantă ce a

adus o participare numeroasă din partea elevilor.

Până în prezent au fost 6 ediții ale concursului cu o participare numerosă și implicare

constantă a domnului Alexandru Cuibari-sponsor si inițiator.

La primele cinci ediții au participat doar elevii Colegiului Național “Ștefan cel Mare ”-Hîrlău.

La ultima ediție, cea din 2014, concursul a primit acceptul Inspectoratului județean Iași pentru a fi

concurs unde pot participa elevi din toate școlile județului. A fost o participare numeroasă cu

implicare, miză , iar câștigătorul a fost cu adevărat cel mai merituos participant.

Mediile de dezvoltare a aplicațiilor și limbajele specifice lor au fost la alegerea concurenților.

Elevii au folosit diverse cunoștințe învățate la orele de informatică dar și prin muncă individuală sau

în echipă, fiind de cele mai multe ori autodidacți în a descifra codul diverselor limbaje de

programare.Majoritate participanților și mai ales a câștigătorilor sunt în prezent studenți la facultăți

cu profil de informatică. Participanții prezenți la acest concurs pe lângă premii au primit și diplome

de participare ce le pot oferi oportunitatea îmbogățirii CV-lui pentru experiențe ulterioare.

Tehnologia informației și toate conexiunile cu ea - este tehnologia momentului, este tehnologia

de top și oferta de pe piața muncii este extrem de generoasă, bine remunerată. Acest concurs oferă

oportunități pentru a interacționa cu specialiști și mai ales a intui tendința momentului în ceea ce

privește cerințele unui job cu multiple și complexe exigențe.

1) PROFESOR, COLEGIUL NAŢIONAL “ŞTEFAN CEL MARE”, HÂRLĂU

15

Micii MATEMATICIENI

VIAŢA MATEMATICĂ ZONALĂ

Această rubrică conţine în acest număr informaţii despre: o concursul MICII MATEMATICIENI , ediţia a IX-a din 29 martie 2014 ; o subiecte date la TESTAREA ELEVILOR de clasa a IV a în vederea înscrierii în clasa a V a ; o concursul de creaţie matematică CEA MAI FRUMOASĂ PROBLEMĂ-2015; o proiectul educaţional SUPER MATE; o activităţi ale cercului de matematicǎ CLUBUL MATEMATIENILOR în anul şcolar 2013-2014.

CONCURSUL MICII MATEMATICIENI RAPORT DE ACTIVITATE

Concursul „Micii Matematicieni” ediția a IX-a, parte a Proiectului educaţional cu acelaşi nume, s-a desfășurat în ziua de 29 martie 2014, la Colegiul Național ”Ștefan cel Mare” Hârlău, activitate înscrisă în CAERI 2014 la A12 Domeniul științific, poziția 769. La concursul adresat elevilor din clasele III-VIII s-au înscris 266 elevi provenind din 20 de școli din Pașcani, Botoșani, Târgu Frumos, precum şi din 7 şcoli limitrofe Hârlăului. Concursul dispune de un Regulament si o Metodologie de desfășurare, afișate și transmise anterior tuturor școlilor. Comisia a fost formată din 15 profesori și învățători propunători de subiecte, aparținând școlilor participante, 20 corectori (comisie mixtă,formată din profesori provenind de la toate școlile participante), 20 de asistenți, selectați din personalul colegiului. La deschiderea festivă a concursului au participat Prof. Univ. Dr. Temistocle Bârsan de la Universitatea Tehnică Iași şi inspector de specialitate prof. Dr. Irina Caprariu, din partea ISJ Iaşi. Au fost formulate subiecte pentru clasele III, IV, V, VI, VII, VIII. Elaborarea baremelor s-a făcut în timp util și a fost afișată ca la orice concurs național la avizierul școlii. Odată cu demararea concursului a fost lansată și Revista ”Micii Matematicieni” nr.8. Fiecare elev participant a primit o revistă și diplomă de participare. Corectarea s-a făcut în aceeași zi. La ora 18,30 au fost afișate rezultatele, iar luni 31 martie 2014 au fost rezolvate contestațiile. Atât subiectele, baremele cât și rezultatele finale se află pe site-ul colegiului: http://colegiulharlau.info/MICIIMATEMATICIENI27042013/. Pentru fiecare clasă au fost acordate premii I,II,III și mențiuni, totalizând 128. Elevii au primit diplome și revista „Micii matematicieni”, premiile in bani provenind de la sponsorizările care au spijinit concursul atât în acest an,cât și în anii precedenți. Comisia de concurs a avut următoarea componență: coordonator concurs, prof. Aurel Neicu, președinte executiv prof. Gheorghe Oancea, secretar prof. Ioan Săcăleanu, membrii prof. Ramona Darie, prof. Iuliana Blanaru şi prof. Iosif Mihai Pauliuc. Proba a durat două ore şi au supravegheat profesori din colegiu. Pentru elevii din clasa a IV-a care au acumulat minim 40 de puncte au fost rezervate de Consiliul de administrație al colegiului 6 locuri fără testare la clasa a V-a. Concursul s-a bucurat de o detaliată prezentare în mass media locală și județeană, iar revista ”Micii matematicieni” a avut o distribuție națională, fiind solicitată de școlile care au trimis materiale spre publicare, din alte județe ale țării. Concursul și apariția revistei a avut ca sponsori: Asociația părinților ”Ștefan cel Mare” din colegiu, Primăria orașului Hârlău, alte firme din oraș. Diplomele și revistele au fost realizate la editura PIM Iași și Copy Center Hârlău. Revista Micii Matematicieni a fost distinsă cu Premiul special la faza județeană a concursului de reviste școlare, secțiunea Științifică. Concursul a fost popularizat în mass-media, a avut impact la nivel național, în paginile sale regăsindu-se articole semnate de profesori din învățământul universitar și preuniversitar din Iași, Arad, Braşov, Craiova, Paşcani, Târgu Frumos, Hârlău.

PROF.AUREL NEICU, DIRECTOR AL COLEGIULUI NAŢIONAL “ŞTEFAN CEL MARE”, HÂRLĂU

http://colegiulharlau.info/MICIIMATEMATICIENI27042013/

16

Micii MATEMATICIENI

Prezentǎm în continuare lista premianţilor şi subiectele propuse spre rezolvare.

REZULTATELE CONCURSULUI MICII MATEMATICIENI , EDIŢIA A IX-A, HÂRLĂU, 29 MARTIE 2014

NR. CRT

CL.

NUME ŞI PRENUME ŞCOALA DE PROVENIENŢĂ

PROFESORUL CLASEI PUNCTAJ

PREMIUL

1 III DUMBRĂVESCU ALEXANDRU ŞC. NR.17, BOTOŞANI RADA NASTASIA 57,00 I

2 III IVANOVICI IARINA EMMA ŞC. ŞT.BÎRSĂNESCU”, IAŞI BÂZDÂGĂ NECULAI 54,00 II

3 III CHITIC IONELA DENISA ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU MUŞEI MARIETA 48,50 III

4 III VORNICU DAVID ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU TOMULESEI MIHAELA 48,00 M

5 III CEOBANU IOAN CASIAN ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU MUŞEI MARIETA 42,00 M

6 III DASCĂLU CEZAR ANDREI ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU MUŞEI MARIETA 42,00 M

7 III BUZNEA ALEXANDRU ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU TOMULESEI MIHAELA 36,00 M

8 III OPINCĂ LARISA ANDREEA ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU MUŞEI MARIETA 32,00 M

9 III ŞALARU IOAN ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU TOMULESEI MIHAELA 30,50 M

10 III FORMAGIU MARIAN ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU MUŞEI MARIETA 30,00 M

11 III CUIBUŞ TEODOR ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU TOMULESEI MIHAELA 29,50 M

12 III BARBU TEONA ELENA ŞC.G. G.IBRĂILEANU, TG. FRUMOS CRISTEA CAMELIA 28,50 M

13 III PRIGOREANU ALIN GABRIEL ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU MUŞEI MARIETA 25,50 M

14 III IORDACHE ELENA ŞC.G. G.IBRĂILEANU, TG. FRUMOS CRISTEA CAMELIA 25,00 M

15 III BOUREANU LAURA MIHAELA ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU MUŞEI MARIETA 24,00 M

16 III MORUZI ALEXANDRU ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU MUŞEI MARIETA 24,00 M

17 III COJOCARU CRISTIANA PAULA ŞC.G. G.IBRĂILEANU, TG. FRUMOS CRISTEA CAMELIA 21,00 M

18 III GAFINCU IOANA CEZARA ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU MUŞEI MARIETA 21,00 M

19 III UNGUREANU NARCISA MIHAELA ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU MUŞEI MARIETA 20,50 M

20 III GÂLCĂ DENIS L.T. B. VODĂ, HĂLĂUCEŞTI TOMULESEI MIHAELA 20,00 M

21 III BUTNARIU MĂDĂLINA ŞC. NR.17, BOTOŞANI RADA NASTASIA 19,50 M

22 III AGAVRILOAIE ŞTEFAN MARIAN ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU MUŞEI MARIETA 19,00 M

23 III TĂTĂRUŞANU DENISA ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU TOMULESEI MIHAELA 18,50 M

24 III BÎRLĂDEANU RAREŞ ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU MUŞEI MARIETA 18,00 M

25 III COZMA CRISTIANA ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU MORARIU CLAUDIU 18,00 M

26 III MUSTEAŢĂ GEORGE EMANUEL ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU MUŞEI MARIETA 17,50 M

27 III MATEI EMMA GEORGIANA ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU MUŞEI MARIETA 17,00 M

28 III MĂRIUŢĂ DAVID ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU TOMULESEI MIHAELA 16,50 M

29 III GAROFA MARIUS GABRIEL LIC.TEH. M. BUSUIOC, PAŞCANI MANTALE MIRELA 16,00 M

30 III SCUTĂRAŞU SILVIU ŞC. MAXUT-DELENI MOGOŞ MARICICA 16,00 M

31 IV FLUTUREL ALEXANDRU GABRIEL ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU OPREA EMILIA 60,00 I

32 IV DĂSCĂLEANU ILINCA LIC. EC. N. IORGA, PAŞCANI ŞORODOC SILVIA 50,00 II

33 IV ALEXA THOMAS LIC. EC. N. IORGA, PAŞCANI ŞORODOC SILVIA 49,50 III

34 IV BALAŞA IULIA MARIA ŞC. G.IBRĂILEANU, TG. FRUMOS CONDURACHE ADRIANA 49,00 M

35 IV DUMITRACHE MARIA ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU OPREA EMILIA 48,50 M

36 IV ALEXA SAMI ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU CREŢU MARIA 47,50 M

37 IV BĂHNĂREANU ANDREEA-SIMONA ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU CREŢU MARIA 47,50 M

38 IV CUIBUŞ ŞTEFAN ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU OPREA EMILIA 47,50 M

39 IV MOŞIESEI ALEXANDRA GABRIELA ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU OPREA EMILIA 47,50 M

40 IV HOGAŞ RAREŞ CONSTANTIN ŞC. G.IBRĂILEANU, TG. FRUMOS CONDURACHE ADRIANA 47,00 M

41 IV GRIGORE RALUCA ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU OPREA EMILIA 46,00 M

42 IV ENŢUC SEBASTIAN ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU OPREA EMILIA 43,00 M

43 IV ZAMFOR ALEXANDRA ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU OPREA EMILIA 43,00 M

44 IV SANDU CRISTIAN IOAN ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU OPREA EMILIA 42,00 M

45 IV SPINEI IRINA ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU OPREA EMILIA 42,00 M

46 IV PAIU COSMIN LIC. EC. N. IORGA, PAŞCANI ŞORODOC SILVIA 41,50 M

47 IV CUIBUŞ ALEXANDRU CODRUŢ ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU OPREA EMILIA 40,50 M

48 IV TUDOSA IUSTINIAN LAURENŢIU ŞC. G.IBRĂILEANU, TG. FRUMOS CONDURACHE ADRIANA 40,00 M

49 IV CURCĂ ALEXANDRU FLORIN ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU OPREA EMILIA 39,00 M

50 IV FORMAGIU JESICA MARIA ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU OPREA EMILIA 39,00 M

51 IV CIUBOTARU ŞTEFANA PAULA ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU CREŢU MARIA 38,00 M

52 IV NĂSTASE ALEXANDRA LIC. EC. N. IORGA, PAŞCANI ŞORODOC SILVIA 37,50 M

53 IV CIOBANU ANDREEA-OTILIA ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU CREŢU MARIA 37,00 M

54 IV BRAN IONUŢ ALEXANDRU ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU MUŞEI LUMINIŢA 36,50 M

55 IV BOLBOROS GABRIELA ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU MUNTEANU MIRELA 36,00 M

56 IV MOISII BOGDAN ŞC.G. ZAGAVIA HĂLĂUCĂ MARIA 36,00 M

57 IV PRICOP ANA MARIA ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU OPREA EMILIA 36,00 M

17

Micii MATEMATICIENI

58 IV GABOR IASMINA LIC. EC. N. IORGA, PAŞCANI ŞORODOC SILVIA 33,50 M

59 IV MIHĂILĂ ALEXANDRU ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU CREŢU MARIA 33,50 M

60 IV MUSTEAŢĂ ŞTEFAN TEOFIL ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU OPREA EMILIA 33,50 M

61 IV COTUNĂ DARIA MARIA ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU CREŢU MARIA 33,00 M

62 IV CURECHERIU ELENA ALEXANDRA ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU MUŞEI LUMINIŢA 33,00 M

63 IV DAVID CRISTINA ELENA ŞC. . P. RAREŞ, HÂRLĂU MUŞEI LUMINIŢA 33,00 M

64 IV RÎNDAŞU ANDREI ALEXANDRU ŞC. G.IBRĂILEANU, TG. FRUMOS CONDURACHE ADRIANA 33,00 M

65 IV PINTILIE IOSIF EMANUEL ŞC. NR.17, BOTOŞANI TEODOR ANDREI 32,50 M

66 IV COSTAN ALEXANDRU LIC. EC. N. IORGA, PAŞCANI ŞORODOC SILVIA 32,00 M

67 IV BUTNARU ANDREEA ŞC. G.IBRĂILEANU, TG. FRUMOS CONDURACHE ADRIANA 31,00 M

68 IV MOLDOVANU LĂCRĂMIOARA ŞC. G.IBRĂILEANU, TG. FRUMOS BELEI IRINA 31,00 M

69 V TÂRPESCU CRISTIAN GEORGE C. N. M. SADOVEANU, PAŞCANI POPESCU CLAUDIA 56,00 I

70 V MAXIM MATEI L. T. MIHAI BUSUIOC, PAŞCANI IACOB GHEORGHE 51,50 II

71 V GRIGORUŢĂ DORIN ŞC.G. NR.17, BOTOŞANI CLIPA DANIELA 48,00 III

72 V AGHEORGHIESEI HORIA C.N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU OANCEA GHEORGHE 48,00 III

73 V FRĂSILĂ ŞTEFAN C. N. M. SADOVEANU, PAŞCANI FRĂSILĂ MIHAIL 41,50 M

74 V IFRIM TUDOR NICOLAE C.N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU OANCEA GHEORGHE 38,00 M

75 V ENEA ROBERT VICTOR L. T. ION NECULCE, TG. FRUMOS DOCA LAURENŢA 35,50 M

76 V HUŢANU EUSEBIU C. N. M. SADOVEANU, PAŞCANI POPESCU CLAUDIA 34,50 M

77 V PEIU DRAGOŞ ŞC.G. I. CREANGĂ, TG. FRUMOS GOŞMAN MARCELA 34,00 M

78 V PURCEL IOANA ELENA C. N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU OANCEA GHEORGHE 33,50 M

79 V ASOFIE ANDREI ŞC.G. P. RAREŞ, HÂRLĂU ALEXE OANA FELICIA 33,00 M

80 V PORUŞNIUC TEODOR ŞC.G. P. RAREŞ, HÂRLĂU ALEXE OANA FELICIA 33,00 M

81 V UNGUREANU DAVID C. N. M. SADOVEANU, PAŞCANI POPESCU CLAUDIA 33,00 M

82 V RĂŞITARIU DUMITRU ALEXANDRU C. N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU OANCEA GHEORGHE 32,00 M

83 V NECHIFOR ALEXANDRU ŞC. G. IBRĂILEANU, TG. FRUMOS GOŞMAN NECULAI 31,00 M

84 V DOGARU TIBERIU ALEXANDRU C. N. M. SADOVEANU, PAŞCANI POPESCU CLAUDIA 29,50 M

85 V MAXIM ŞTEFAN THEODOR C. N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU OANCEA GHEORGHE 29,50 M

86 V PÎSLARU ŞTEFAN ŞC.G. P. RAREŞ, HÂRLĂU ALEXE OANA FELICIA 29,50 M

87 V SPĂTARIU IOAN GABRIEL C. N. M. SADOVEANU, PAŞCANI POPESCU CLAUDIA 29,50 M

88 V CRISTINA ANDREI ŞC.G. P. RAREŞ, HÂRLĂU ALEXE OANA FELICIA 27,50 M

89 V COZMA ALEXANDRA GABRIELA C.N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU OANCEA GHEORGHE 26,00 M

90 V MELINTE DARIA ŞC.G. PETRU RAREŞ, HÂRLĂU ALEXE OANA FELICIA 25,50 M

91 V CREŢU ANDREEA C. N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU OANCEA GHEORGHE 25,00 M

92 V ROIU LAVINIA MARIA C. N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU OANCEA GHEORGHE 23,50 M

93 V CRĂCANĂ ANDRA ELENA C. N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU OANCEA GHEORGHE 23,00 M

94 V BOLBOROS ELENA LARISA C. N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU OANCEA GHEORGHE 22,00 M

95 V CÎMPEANU IOANA PETRINA C. N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU OANCEA GHEORGHE 20,50 M

96 V DULHAN PETRU SEBASTIAN C. N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU OANCEA GHEORGHE 20,00 M

97 V GLODOREANU IOANA DIANA ŞC.G. P. RAREŞ, HÂRLĂU ALEXE OANA FELICIA 20,00 M

98 V METELEŢ CORINA GIANINA C. N. ŞTEFAN. CEL MARE, HÂRLĂU OANCEA GHEORGHE 20,00 M

99 VI NECHITA BIANCA ELENA C. N. M. EMINESCU, BOTOŞANI CIUDIN ION 57,00 I

100 VI CRĂCIUN ŞTEFANA MARIA C. N. M. SADOVEANU, PAŞCANI CRĂCIUN DORINEL MIHAI 48,50 II

101 VI VÂNTUR ANTONIA C. N. M. SADOVEANU, PAŞCANI CRĂCIUN DORINEL MIHAI 41,00 III

102 VI IFTIME CRISTIAN BOGDAN C. N. M. SADOVEANU, PAŞCANI CRĂCIUN DORINEL MIHAI 39,00 M

103 VI SCUTARIU IOANA ALEXANDRA C.N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU OANCEA GHEORGHE 33,00 M

104 VI LEAGĂN IASMINA C. N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU OANCEA GHEORGHE 30,00 M

105 VI TUDORACHI ALEXANDRA C. N. M. SADOVEANU, PAŞCANI PRICOP VASILE 23,50 M

106 VI CIUBUC TEODOR COSMIN C.N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU OANCEA GHEORGHE 20,00 M

107 VI AMOŞIESEI DENISA IONELA C.N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU OANCEA GHEORGHE 17,00 M

108 VI MIHĂILĂ MARIA DENISA C.N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU OANCEA GHEORGHE 16,50 M

109 VI LEAGĂN DAN ANDREI C.N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU OANCEA GHEORGHE 16,00 M

110 VII ROŞU RADU ANDREI C. N. M. SADOVEANU, PAŞCANI MACOVEI LIVIU 32,00 I

111 VII MUSTAŢĂ ROBERT ANDREI C.N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU NEICU AUREL 24,00 II

112 VII OLARU ANDREEA L. T. I. NECULCE, TG. FRUMOS DOCA LAURENŢA 23,00 III

113 VII FLOREA ALEXANDRU DANIEL ŞC.G. P. RAREŞ, HÂRLĂU RĂUŢU IOAN 20,00 M

114 VII CIORNEA ILINCA ŞC. NR. 17, BOTOŞANI CLIPA DANIELA 19,00 M

115 VII CARP VALENTIN ŞC. CÂRJOAIA VASILIU ADINA 16,00 M

116 VII IOSUB OVIDIU MARIAN ŞC.G. P. RAREŞ, HÂRLĂU RĂUŢU IOAN 15,00 M

117 VII TIMOFTE BIANCA L. T. I. NECULCE, TG. FRUMOS DOCA LAURENŢA 15,00 M

118 VII PRICOP ANA L. T. I. NECULCE, TG. FRUMOS DOCA LAURENŢA 13,00 M

119 VIII BUZATU ANDREEA C. N. M. SADOVEANU, PAŞCANI PRICOP VASILE 60,00 I

120 VIII CORNEI LAURA C. T. C.F. UNIREA, PAŞCANI ACATRINEI LUMINIŢA 59,00 II

121 VIII VORNICU DENISA C.N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU SĂCĂLEANU IOAN 42,00 III

18

Micii MATEMATICIENI

122 VIII CĂLIN CONSTANTIN C.N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU SĂCĂLEANU IOAN 33,50 M

123 VIII COTIUGĂ ILIE IULIAN C.N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU SĂCĂLEANU IOAN 32,50 M

124 VIII BUZĂMURGĂ RALUCA GEORGIANA C.N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU SĂCĂLEANU IOAN 26,00 M

125 VIII PUHA ALEXANDRU C.N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU SĂCĂLEANU IOAN 24,00 M

126 VIII AŞTEFĂNESEI DANIEL MARIAN C.N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU SĂCĂLEANU IOAN 23,00 M

127 VIII LOGHIN ANDREI FLORIN C.N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU SĂCĂLEANU IOAN 21,50 M

128 VIII SURUNIUC CONSTANTIN C.N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU SĂCĂLEANU IOAN 20,00 M

SUBIECTELE CONCURSULUI MICII MATEMATICIENI EDIŢIA A IX-A, 29 MARTIE 2014

ENUNŢURI. SOLUŢII. BAREME DE CORECTARE

CLASA A III-A: ENUNŢURI SUBIECTUL I (20 PUNCTE): 1. (10p) Să se afle diferenţa dintre înzecitul lui a şi dublul treimii lui b ştiind că :

2 2 2 : 2 2 1 3 6 : 3 3 1a şi

16 : 4 2 0 2014 3 3 1 : 6b .

2. Andrei are nevoie de 80 lei pentru a-şi cumpăra o bicicletă. El depune la bancă suma de 16 lei. După fiecare 6 luni suma creşte cu un sfert din suma existentă, iar după fiecare an suma existentă se măreşte cu încă 7 lei. De câţi lei mai are nevoie dacă retrage banii după doi ani ?

SUBIECTUL II (20 PUNCTE): 1. Calculaţi valoarea expresiei 2 5y x x ştiind că x şi y verifică egalităţile:

90 :9 9 9 : 9 10x şi 2014 2014 2014 2014 : 2014.y

2. Miriapozii numiţi Geophilus longicornus au 4 cm lungime şi cel puţin 49 şi cel mult 57 de perechi de picioare. Un juriu format de 13 păianjeni a câte 7 picioare, căci pe al optulea şi l-au pierdut în lupte, vrea să medieze disputa dintre două familii de miriapozi, fiecare cu câte nouă membri. Aflaţi câte picioare sunt în sala de judecată , ştiind că în fiecare familie de miriapozi nu există doi membri cu acelaşi număr de picioare ?

SUBIECTUL III (20 PUNCTE): 1) Pe tabla ca cea din figura alăturată se aşează 9 fluturi albi şi negri, fiecare pe culoarea

lui. La un moment dat îşi schimbă locurile, cei albi trec pe negru, cei negri trec pe alb. Justificaţi că un fluture rămâne în aer şi precizaţi culoarea lui.

2) Determinaţi valoarea literelor din piramida alăturată cu numere potrivite, ştiind că în fiecare căsuţă se află un număr care este diferenţa celor două numere care se află sub el.

SUBIECTE ELABORATE/MODIFICATE/SELECTATE ŞI PROPUSE DE: PROFESORII: MARIA CREŢU, MARIANA DÂRVARIU, MIRELA MUNTEANU, LUMINIŢA MUŞEI

SOLUŢII. BAREME DE CORECTARE ŞI NOTARE.

I.1. 4 1 2 3 2 3 3 2 6a ... 4p; 4 2 0 9 1 : 6 8 10 : 6 3b ... 4p;

10 2 : 3 10 6 2 3:3 60 6 : 3 60 2 58a b ... 2p. I.2. După 6 luni, Andrei are 16 16 : 4 16 4 20 lei ... 2p, iar după un an el are 20 20 : 4 7 32 lei ... 2p. După un an şi jumătate va avea 32 32 : 4 32 8 40 lei ... 2p, iar după 2 ani, 40 40 : 4 7 57 lei ... 2p. Andrei mai are nevoie de 80 57 23 lei ... 2p .

II.1. Din 10 81: 9 10x 81: 9x 81: 9 9x ...5p. Avem 2014 2014 2014 : 1y

2014 2014 : 2013y 2014 : 1y 2014y ... 4p. Expresia 2 5 2041y x x ... 1p.

II.2. Juriul are 13 7 91 picioare ... 2p. Numărul perechilor de picioare al unei familii de miriapozi

1 00 10 4

19

10

420 1

a b c

d e f

x y z

m n

p t

19

Micii MATEMATICIENI

este 49 50 51 52 53 54 55 56 57 4 106 53 477 ... 4p. Numărul picioarelor

miriapozilor unei familii este 2 477 954 ... 2p, iar numărul total de picioare din sala de judecată

este 2 954 91 1999 ... 2p.

III.1. Fluturele rămas în aer are culoarea neagră ... 4p, deoarece sunt 4 fluturi albi şi 5 negri, iar prin

schimbare, un fluture negru nu îşi va găsi un loc „alb” din cele 4 locuri albe de pe tablă... 3p.

III.2. 20 10 30a a ; 100 100 30 70d a ; 20 70 20 50x d ; 10 4 6e ;

20 20 6 14y e ; 50 14 36m x y ; 10 36 10 26p m ; 19 19 26p t t

26 19 7t ; 10 7 10t n n 10 7 3n ; 4 3 4n z z 4 3 1z ;

1z f 1 1 1 1 2f f ; 4 2 4 4 2 2f b b b ; 1 1 1b c c b .

Pentru fiecare din cele 13 situaţii se acordă câte 1 punct ... 13 1p 13p.

CLASA A IV-A: ENUNŢURI SUBIECTUL I (20 PUNCTE):

1. Arată că numărul 40 : 20 : 7 36 : 4 : 3 24 :9 8 4b verifică egalitatea:

1 1 18 :10 20 : 4 15 4 100b b

.

2. Să spunem că distanţa (în metri) de la casa lui Nică până la casa mătuşii Mărioara este valoarea lui m din egalitatea următoare:

3 4 320 :10 8 10m ,

iar de la mătuşă şi până la cireş, distanţa (măsurată în metri) este valoarea nenulă a lui n din expresia următoare:

: : 202n n n n n . a) Demonstraţi că 300m şi că 200n . b) Pofticios, Nică se duce la cireş de 3 ori într-o zi, trecând de fiecare dată prin faţa ogrăzii

mătuşii. Ce distanţă a parcurs el în acea zi pentru a-şi face pofta de cireşe rumene ? SUBIECTUL II (20 PUNCTE): 1. Trei copii au câte o sumă de bani. Dacă împărţim suma primului copil la suma celui de-al doilea

copil , obţinem restul 2 şi câtul 1; suma celui de-al treilea copil este dublul sumei primului copil şi cu 77 mai mare decât suma celui de-al doilea copil. Câţi lei are fiecare copil ?

2. Determinaţi numărul natural nenul y din egalitatea: 2010 33 3: 6 : 3 2014y y .

SUBIECTUL III (20 PUNCTE): 1. Figura alăturată prezintă schiţa drumurilor pe care le poate parcurge

profesorul Aritmel, dacă pleacă din punctul A şi ajunge în punctul C . Exemplu: un traseu posibil este A→B→O→C Scrieţi toate traseele de la A la C pe care le poate parcurge profesorul Aritmel, fără a trece de două ori prin acelaşi punct .

2. Făt-Frumos are 24 de săgeţi în trei tolbe, împărţite în mod neegal ca număr astfel: a b c cu , ,a b c numere naturale. Dorind ca în fiecare tolbă să fie acelaşi număr de săgeţi, transferă din

prima tolbă în a doua tolbă tot atâtea săgeţi câte sunt în a doua tolbă. Apoi ia din a doua şi transferă în a treia tolbă tot atâtea săgeţi câte sunt în a treia. În final, ia din a treia şi transferă în prima tot atâtea săgeţi câte sunt în prima tolbă. Aflaţi , ,a b c , numărul de săgeţi care erau la

început în fiecare tolbă. SUBIECTE ELABORATE / MODIFICATE / SELECTATE ŞI PROPUSE DE:

PROF. : MARIETA MUŞEI, GABRIELA ONOFREI,VASILICA TEODORESCU, MARIA TEREZA RUGINĂ ŞI IOAN SĂCĂLEANU

A B

C

D

EFG

HO

20

Micii MATEMATICIENI

SOLUŢII. BAREME DE CORECTARE. I. 1. ... 9 :3 24 3 24 27 ...1,5p; ... 7 27 :9 7 3 10 ...1p; ... 20 :10 8 10 ... 1p

40 :10 4 8b ... 1p. Scrierea 1 1 1818b b ... 1p; calculul ... 1818 18 :10 20 180 20 160

... 1,5p; ... 160 : 4 15 40 15 25 ... 1p; finalizarea: 25 4 100 100 100 A ... 1p.

I.2. a) 3 4 320 :10 18m 4 320 :10 6m 320 :10 2m 320 20m

300m ... 4p; 1 1 202 202 2 200n n ... 4p. b) Distanţa de la Nică la cireş şi înapoi este

2 300 200 1000 metri ... 2p , iar distanţa parcursă în acea zi este 3 1000 3000 metri ... 1p.

II.1. Notăm cu , ,a b c sumele de bani ai celor trei copii. Scrierea relaţiilor: 2a b , 2c a şi

77c b ... 3p. Din 2b a 2 77c a 75c a 2 75a a 75a ... 4p, de unde 150c ... 1p, iar 73b ... 1p.

II.2. 33 3: 6 :3 4y y 33 3: 6 12y y 3: 6 21y y ... 3p. Împărţirea 3: y este

posibilă pentru 1y sau pentru 3y ... 4p. Pentru 1y avem: 3:1 6 1 9 21 ... 1p, pentru

3y , 3:3 6 3 1 6 3 7 3 21 şi concluzia că 3y ... 2p.

III.1. Pentru găsirea fiecărui traseu nou dintre cele 9 se acordă câte 1p, şi anume: A B D C ; A B O F E C ; A B O H G F E C ; A H G F O B D C ; A H G F O C ; A H O B D C ; A H O F E C ; A H O C ;A H G F E C şi traseul din exemplu. III.2. 24 :3 8 săgeţi în fiecare tolbă după cele 3 transferuri succesive... 2p, anume: primul transfer a b , 2b , c ... 1p; al doilea transfer a b , 2b c , 2c ... 1p; al treilea transfer 2 2a b , 2b c , 2c a b ... 1p, de unde egalităţile: 2 2 2 2 8a b b c c a b ... 1p. Avem: 4a b adunată cu 2 8c a b 2 12c 6c ... 3p; 2 6 8b 7b ... 1p şi 7 4a 11a ... 1p.

CLASA A V-A: ENUNŢURI

SUBIECTUL I (20 PUNCTE)

1. Calculaţi: 3 3 3 35 6 7 11 .

2. Arătaţi că numărul 20142015 poate fi scris ca sumă de patru cuburi perfecte.

3. Fie mulţimile , 25 2A mn mn prim n m şi 6

,1

aB ab ab prim a

b

. Aflaţi A B .

SUBIECTUL II (20 PUNCTE): Patru numere naturale , , ,a b c d formează un „grup nostim” dacă a b c d ,

2 b a c şi 2 c b d . a) Dă un exemplu de grup nostim în care 5a . b) Aflaţi toate numerele din tabelul alăturat, fără să modifici numerele trecute în

tabel astfel încât numerele de pe fiecare linie şi de pe fiecare coloană să formeze un grup nostim. SUBIECTUL III (20 PUNCTE): 1. Spunem că un număr este factorial dacă el se poate scrie ca produs de două numere consecutive.

Să se arate că nu există un număr factorial de două cifre a cărui răsturnat să fie tot număr factorial .

2. Priveam cu încântare tablourile pictorului român Sabin Balaşa şi am observat cum o furnică se învârtea în acelaşi sens pe marginea tabloului „ Exploratorul” , având dimensiunile de 41 cm şi 49 cm. Pornind dintr-un colţ al tabloului ea ajungea în acelaşi loc după 42 secunde. Precizaţi în ce colţ al tabloului se află furnica şi ce distanţă a parcurs după 8 minute şi 3 secunde ?

SUBIECTE ELABORATE / MODIFICATE / SELECTATE ŞI PROPUSE DE: PROFESORII: PETRONELA CIOBANU, MARIUS BREŞUG, IULIANA BLANARU, IOSIF PAULIUC ŞI IOAN SĂCĂLEANU

88

70

73 99

a b c d

x y z

m n p

u t

21

Micii MATEMATICIENI

SOLUŢII. BAREME DE CORECTARE. I.1. 3 3 3 35 6 7 11 125 216 343 1331 2015 ... 5 1p 5p.

I.2. 3 3 3 32014 2013 671 3 3 3 3 3 671 671 671 6712015 2015 2015 2015 5 6 7 11 2015 5 2015 6 2015 7 2015 11 ... 6p.

I.3. Din 25 2n m 5n m ... 2p, de unde 23;41A ... 2p. Din egalitatea 6

1

aa

b

6 1a a b 10 6 10a a b 6a b ... 2p, 23;61B ... 2p. Deci, 23A B ... 1p.

II.1. a) Din 2b a c b a c b ... 1p, iar 2c b d c b d c b a c b d c sunt condiţiile de constituire a unui grup nostim, în sensul enunţului ... 1p. Găsirea unui exemplu, precum

5a , 6b , 7c , 8d ... 4p şi verificarea condiţiilor de grup nostim ... 2p.

b) 73 99

862

u

; 73

70 672

xx

;

7067 64

2

aa

;

8699 112

2

tt

; 100p

76d ...5p. Din 76

2

bc

şi

64

2

cb

68b , 72c . Analog, 74, 81y z 80, 90m n ...6p.

III.1. Un număr factorial se scrie 1ab n n ... 2p. Numerele factoriale de două cifre sunt:

12 3 4 , 20 4 5 , 30 5 6 , 42 6 7 , 56 7 8 , 72 8 9 şi 90 9 10 ... 3p . Atunci ba este 21, 24, 65, 27 ... 2p şi nu se află printre numerele factoriale de două cifre ... 2p.

III.2. Timpul de 8 min 3 sec reprezintă 8 60 3 483 secunde ... 2p. Împărţirea 1

483: 42 11,5 112

reprezintă că furnica parcurge 11 ture şi jumătate ... 2p. Cum furnica pleacă din A atunci ea va ajunge în punctul C , opus tabloului ... 2p. Lungimea unui tur complet este perimetrul tabloului şi se

calculează cu 2 2 90 180P L l cm ... 2p, atunci distanţa parcursă de furnică este

11 180 180 : 2 1980 90 2070 cm ... 3p.

CLASA A VI-A: ENUNŢURI

SUBIECTUL I (20 PUNCTE): 1. Arătaţi că produsul a două numere naturale consecutive este un număr par.

2. Numerele naturale nenule , ,a b c verifică egalitatea 2 2 3

2 2 1

a a b b c

c

.

Arătaţi că a b c .

3. Câte numere de forma xyz cu x y z şi x este un pătrat perfect verifică egalitatea:

, , , 1x yz y zx z xy x y z .

SUBIECTUL II (20 PUNCTE): 1. Se dau numerele raţionale pozitive , ,a b c cu proprietăţile:

3 4 5

2 3 4

a b c şi 15 4 5 4a b c .

Să se arate că are loc inegalitatea: 1, 3 3 3 5 1,4a b c .

2. Locuitorii unei comune, formate din două sate A şi B , sunt chemaţi la vot. Procentul de participare la vot al aşezării A este de 60% , iar al aşezării B este de 75% . Să se afle cât la sută

reprezintă locuitorii satului A din locuitorii satului B , dacă procentul de participare la nivelul comunei este de 69% .

SUBIECTUL III (20 PUNCTE): 1. Fie 0 1 2 2015, , ,...,A A A A puncte coliniare în această ordine. Știind că 0 1 1 2 1A A A A și

1 12k k k kA A A A pentru orice 2k , să se calculeze lungimea segmentului 0 2015A A .

22

Micii MATEMATICIENI

2. Se dă unghiul alungit AOB și punctele � și � situate în semiplane opuse față de dreapta ��,

astfel încât 80m COD .

a) Dacă ON este bisectoarea unghiului �� și OM este bisectoarea unghiului �� și

140 15'30"m BOC , calculați măsura MON .

b) Dacă OE este semidreapta opusă semidreptei OD , calculați măsura BOE .

SUBIECTE ELABORATE / MODIFICATE / SELECTATE ŞI PROPUSE DE: PROFESORII: OANA ALEXE, DANA TEODORA PAVĂL ŞI IOAN SĂCĂLEANU

SOLUŢII. BAREME DE CORECTARE. I.1. Notăm produsul 1n n p ... 1p. Dacă 2 ,n k k , atunci 2 1p k n p este număr par

... 2p. Dacă 2 1n k , atunci 2 1 2 2 2 1 2 1p k k k k este număr par ... 2p.

I.2. Deoarece 2 1a a a a şi 2 1b b b b sunt pare (din a)), rezultă că 3

1

c

c

... 2p

21

1c

21 , 0c D c 1c ... 1p. Atunci 1 1 4a a b b ... 1p. Dacă unul dintre a

şi b sunt 2 , atunci un termen este mai 4 1 1 2 3 6 4a a b b ... 1p, fals. Deci, 2a şi

1b 1a b ... 1p 1c ... 1p.

I.3. x99

yzy

99

zxz

99

xyx y z 1 ... 2p; 11 11 11 99 9x y z x y z ... 2p. Dacă

3x 4y 5z , atunci 9 12x y z , fals ... 1p. Deci, pătratul 3x 1x ... 1p

8y z şi 2z y , de unde 2y , 6z ... 1p şi 3y , 5z ... 1p.

II.1. Notăm cu 3 4 5 2 3 4

, ,2 3 4 3 4 5

a b c k k kk a b c ... 2p. Înlocuind în a doua relaţie dată

obţinem că 4

11k ... 2p. Atunci

153 3 5

11a b c ... 1p. Deoarece

4 44 45 151, 3

3 33 33 11 ... 2p şi

15 75 77 71,4

11 55 55 5 ... 2p. Deci, 1, 3 3 3 5 1,4a b c ... 1p.

II.2. Notăm cu a , numărul locuitorilor din satul A şi cu b , numărul locuitorilor din satul B. Atunci 60 75 69

100 100 100a b a b ... 3p. 2 3b a ... 2p.

2

3a b ... 2p. Din

100

pb a

100

pb

2

3b

2

100 3

p 66, 6p % ... 2p.

III.1. 12 3 1 22 2A A A A ; 1 2

3 4 2 32 2 2 2A A A A ; 34 5 3 42 2A A A A ; 4

5 6 4 52 2A A A A ... 2p. ... ; 2013

2014 2015 2A A ... 3p. Atunci 2 20130 2015 0 1 1 2 2 3 20014 2015.. 1 1 2 2 ... 2A A A A A A A A A A ...

2p, 2 3 2013 2 2 3 2013 3 3 2013 20140 2015 2 2 2 2 ... 2 2 2 2 ... 2 2 2 ... 2 ... 2A A ... 3p.

III.2. a) Avem: 0 / / /39 44 30m AOC m AOB m BOC ; m AOD m COD m AOC

0 / / /40 15 30m AOD ; 0 / / /139 44 30m BOD m AOB m AOD ... 3p. Deoarece avem

0130m MON m MOD m AOD m AON ... 2p.

b) Din OE şi OD semidrepte opuse D O E puncte coliniare ... 1p AOB unghi alungit

A O B puncte coliniare ... 1p. Unghiurile BOE , AOD sunt opuse la vârf ... 2p. Prin

urmare, 0 / / /40 15 30m BOE m AOD ... 1p.

23

Micii MATEMATICIENI

CLASA A VII-A: ENUNŢURI

SUBIECTUL I (20 PUNCTE):

Fie mulţimea 1;2;3;...;2014A şi , , , , , , , , ,a b c d x y m n p q A .

a) Calculaţi x y , ştiind că a b c

xa d b d c d

şi d d d

ya d b d c d

.

b) Dacă 3a

mbcd

, 3b

nacd

, 3c

pabd

şi 3d

qabc

, demonstraţi că 4 4 4 4 4a b c d abcd .

c) Demonstraţi că, dacă numerele u şi w nu sunt din A , dar verifică 1 1 1

2014u w , atunci are loc

egalitatea 2014 2014 2014u w .

SUBIECTUL II (20 PUNCTE):

1. Fie n . Ştiind că între numerele raţionale 7

n şi

5

n se găsesc cel puţin două numere naturale,

să se arate că 35n . 2. Să se determine cel mai mare număr natural n pentru care următoarea problemă are soluţie

unică: „ Darius, Emi şi Ilias au împreună n mere. Aflaţi câte mere are fiecare dintre ei, ştiind că Emi are de trei ori mai multe mere decât Darius, iar Ilias are mai multe mere decât Darius şi mai puţine decât Emi.”

SUBIECTUL III (20 PUNCTE): 1. Liniile mijlocii ale unui triunghi isoscel sunt egale cu 3 şi 7 . Demonstraţi că perimetrul

triunghiului este egal cu 34 . 2. Determinaţi toate dreptunghiurile, cu lungimile laturilor exprimate în numere naturale, pentru

care aria şi perimetrul se exprimă prin acelaşi număr.

3. Triunghiul ABC este dreptunghic în A şi are 030m ABC . Considerăm înălţimea AF şi

bisectoarele BE şi AD . Arătaţi că AFD BAE şi că 2BE AD .

SUBIECTE ELABORATE / MODIFICATE / SELECTATE ŞI PROPUSE DE: PROFESORII: BOGDAN DORNEANU, GHEORGHE OANCEA ŞI IOAN SĂCĂLEANU

SOLUŢII. BAREME DE CORECTARE.

I.a. Observăm că 3a d b d c d

x ya d b d c d

... 1p şi că x y , căci altfel am avea

3

2x y A ... 1p , deducem că 1x , 2y sau 2x , 1y ... 2p, de unde 2x y ... 2p.

I.b. Avem 3a

m n p q b c d

3b

a c d

3c

a b d

3d

a b c1 ... 1p şi din , , ,m n p q A

1m n p q ... 1p. Deducem că 4a m abcd , 4b abcd , 4c abcd , 4d abcd ... 2p,

de unde 4 4 4 4 4a b c d abcd m n p q abcd ... 2p.

I.c. Înmulţind relaţia 1 1 1

2014u w cu 2014uw ... 2p, deducem că 2014 2014u w u w ... 1p, de

unde 2 22014 2014 2014 2014uw u w ... 2p 22014 2014 2014u w ... 2p. Atunci

2014 2014 2014u w ... 1p.

24

Micii MATEMATICIENI

II.1. Pornind de la ideea că între două numere raţionale pozitive se află cel puţin două numere

naturale numai dacă diferenţa lor este mai mare decât 2 ... 4p, obţinem că 35

25 7

n n

... 2p, de unde

7 5 70 35n n n ... 2p. II.2. Notăm numărul de mere ale lui Darius cu x , ale lui Emi cu y , iar ale lui Ilias cu z . Obţinem

relaţiile: x y z n , 3y x ... 2p, de unde 4z n x ... 2p. Cum 5 7x z y x n x ... 2p,

de unde 5

nx şi

7

nx ... 2p. Deoarece x este soluţia unică pentru care

7 5

n nx , atunci 2

5 7

n n

... 2p, de unde 35n şi cum n este maxim rezultă că 35n ... 2p.

III.1. Conform teoremei liniei mijlocii, rezultă că lungimile laturilor a , b şi c pot fi 6 sau 7 ... 2p. Verificarea inegalităţii între laturile triunghiului în cele două situaţii: 6a b şi 14c ne dă 6 6 14 , fals ... 1p, iar 14a b şi 6c , verifică ... 1p, de unde perimetrul este 34P ... 1p.

III.2. Notăm dimensiunile dreptunghiului cu L şi l . Atunci: 2 2L l L l ... 1p, de

unde 2 2 4 4L l L l 2 2 4L l ... 2p. Cum ,L l , deducem că 2 4,L

2 1l 6L , 3l ... 1p şi 2 2L , 2 2l 4L l ... 1p.

III.3. Din BE ,AD bisectori 0115

2m EBA m B ... 1p, 01

452

m BAD m A ...

1p; 0 090 60m FAB m B ... 1p, de unde 015m FAD m FAB m BAD ... 1p.

Din 030T

rezultă că 1

2

AF

AB ... 1p. Atunci 015FAD EAB şi 090AFD EAB ...

1p UU

AFD BAE ... 1p 1

2

AD AF

BE AB ... 2p, de unde 2BE AD ... 1p.

CLASA A VIII-A: ENUNŢURI


1. (6p) Fie , ,a b c . Dacă singurul număr natural din intervalul ;a c este b , arătaţi că expresia

2b a c nu depinde de , ,a b c .

2. (7p) Descompuneţi în factori de gradul întâi expresia algebrică 2 3 108E x x x .

3. (7p) Un biciclist trebuie să parcurgă un drum de 36 km şi îşi face socoteala că va ajunge la

destinaţie la o anumită oră. Drumul fiind rău, viteza sa este cu 3 /km h mai mică decât cea

prevăzută şi din cauza aceasta el ajunge la destinaţie cu o întârziere de o oră. Se cere viteza cu care biciclistul a dorit să parcurgă drumul.

SUBIECTUL II (20 PUNCTE): 1. (8p) Demonstraţi egalitatea următoare:

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

b c a a c b a b c a b ca b c

, , ,a b c .

2. (12p) Arătaţi că numărul 2016 poate fi scris şi ca sumă de patru pătrate perfecte şi ca sumă de trei numere naturale, pătrate perfecte.

25

Micii MATEMATICIENI

SUBIECTUL III (20 PUNCTE):

Se consideră un paralelipiped dreptunghic / / / /ABCDA B C D de dimensiuni , , .a b c Notăm cu d

diagonala paralelipipedului, cu 1d , 2d , 3d diagonalele feţelor sale, iar cu / /;u BD BB ;

/ ;v BD BC şi / ; .w BD AB

a) (6p) Arătaţi că 2 2 2 21 2 3 2 .d d d d

b) (6p) Arătaţi că 2 2 2cos cos cos 1.u v w

c) (8p) Ştiind că 21 2 2 3 3 1 2 ,d d d d d d d să se arate că / / / /ABCDA B C D este cub.

SUBIECTE ELABORATE / MODIFICATE / SELECTATE ŞI PROPUSE DE: PROFESORII: MIHAELA TURNEA, RAMONA DARIE ŞI AUREL NEICU

SOLUŢII. BAREME DE CORECTARE.

I.1. Din b singurul din ;a c , ,a c , ,a b c consecutive 1b a şi 2c a ... 2p.

Atunci 2 2b ac a 2a 21 a 2a 1 ... 3p, de unde 2 1b ac nu depinde de , ,a b c ... 1p

I.2. 2 12 9 108E x x x x ... 3p, 12 9 12x x x ... 2p, 12 9x x ... 1p.

I.3. Avem 36

36v t tv

... 1p şi 36 3 1v t 36

13

tv

... 2p,36 36

13v v

2 3 108 0v v ... 2p,2)

12 9 0v v 9v , fals şi 12v soluţia problemei ... 2p.

II.1. 2 2 2 2 2 2 2

2 4

b c a b c a bc ab ac ... 1p,

2 2 2 2 2 2 2

2 4

b c a b c a bc ab ac ...

1p, 2 2 2 2 2 2 2

2 4

b c a b c a bc ab ac ...1p,

2 2 2 2 2 2 2

2 4

b c a b c a bc ab ac ...1p

Prin însumarea relaţiilor se obţine egalitatea din enunţ ... 4p.

II.2. Vom scrie pe 2 2 22016 a b c . Avem 2 2 2 2 22016 4 126 4 1 4 121 4 8 44 , de

unde 4, 8, 44a b c (există mai multe soluţii: 40, 20, 4 sau 36, 24, 12) ... 6p. Pentru o soluţie

găsită se înlocuieşte în egalitatea de la 1) şi se obţine că 2 2 2 22016 16 20 24 28 ... 6p. III.a. Scrierea relaţiilor: 2 2 2

1d a b ... 1p, 2 2 22d c b ... 1p, 2 2 2

3d a c ... 1p, 2 2 2 2d a b c ...

1p. Finalizarea ... 2p.

III.b. Din cosb

ud

... 1p, cosc

vd

... 1p, cosa

wd

... 1p, 2 2 2

2 2 2

2cos cos cos

b c au v w

d

... 2p, 2

2 2 2

2cos cos cos 1

du v w

d ... 1p.

III.c. Din a) 2 2 21 2 2 3 1 3 1 2 3d d d d d d d d d ... 2p,

2 2 2

1 2 2 3 3 1 0d d d d d d ... 3p,

1 2 3d d d ... 1p, 2 2 2 2 2 2a b b c c a a b c / / / /ABCDA B C D este cub ... 2p.

***

ZÂMBETUL ŞTIINŢEI ÎN ACEASTĂ RUBRICĂ VOM TRECE ÎN REVISTĂ CÂTEVA ANECDOTE SEMNIFICATIVE ŞI AMINTIRI DIN VIAŢA CELOR MAI DE FRUNTE MATEMATICIENI .

D’ALE LUI DAVID HILBERT

(MATEMATICIAN GERMAN, 1862-1943)

În timpul uneia dintre prelegerile sale, David Hilbet spunea: – Fiecare om posedă un anumit orizont. Când se îngustează şi devine infinit de mic, el se transformă în punct şi atunci omul zice: "Acesta este punctul meu de vedere".

26

Micii MATEMATICIENI

TESTAREA ABSOLVENŢILOR DE CLASA A IV-A

ÎN VEDEREA ÎNSCRIERII ÎN CLASA A V-A

VARIANTA NR. 1, 17 MAI 2014

SUBIECTUL I (20 PUNCTE): 1. Aflaţi restul împărţirii numărului 2014 la numărul 7 .

2. Calculaţi: 25 54 : 24 18 : 3 : 2 54 : 9 3 .

SUBIECTUL II (30 PUNCTE): Aflaţi valoarea numerică a literelor , ,a b c din egalităţile:

a) 3 2 : 2 4 2015 2000a ;

b) 3 3 3 3 3 102b ;

c) 12 14 4 4c c .

SUBIECTUL III (30 PUNCTE): 1. Suma vârstelor celor patru copii ai unei familii este de 10 ani. Aflaţi vârstele copiilor ştiind

că în familie nu sunt gemeni.

2. O carte, un caiet şi un stilou costă 90 lei. Cartea este mai scumpă decât caietul cu 30 lei şi

mai ieftină decât stiloul cu 12 lei. Cât costă fiecare obiect ?

SUBIECTUL IV (10 PUNCTE): Ce oră arată ceasul meu acum, dacă de la ora 12 a trecut jumătate din timpul care a rămas până la sfârşitul zilei ?


SUBIECTUL I (30 PUNCTE): Să se calculeze valoarea expresiei: 5 4 3 33a b c , ştiind că:

40 60 : 2 20a ; 17 17 4 :17b şi 37 3 37 : 74c .

SUBIECTUL II (25 PUNCTE):

1. Ştiind că 3 2 2014a , calculaţi: 4 100 5 : 6a a .

2. Aflaţi valoarea lui x din egalitatea: 111 408 : 5 260 : 3 9 32 239x .

SUBIECTUL III (25 PUNCTE): 1. Se consideră numerele naturale a şi b cu a b . Aflaţi numerele ştiind că diferenţa lor este 12, iar b este trei sferturi din a . 2. Într-o fructieră erau portocale. Mihaela şi Mihai au mâncat din acele portocale, lăsând în fructieră o treime din numărul lor. Mama a mai pus la loc 5 portocale şi astfel acum sunt 7 portocale în fructieră. Câte portocale erau la început în fructieră ?

SUBIECTUL IV (10 PUNCTE): Suma vârstelor a trei fraţi este de 5 ani. Cel mai mare are ochii negri. Arătaţi că ceilalţi doi sunt de aceeaşi vârstă.

27

Micii MATEMATICIENI



Arătaţi că 5 : 2 3 1 14 :15 3: 1 2 27 : 9 2 : 2 2014 2015 .

SUBIECTUL II (23 PUNCTE): Aflaţi numărul necunoscut din fiecare dintre egalităţile:

a) 260 : 2 3 4 5 1985a ;

b) 10 2014 1014 4004 44b ;

c) 625 : 14 4 13 5 5d .

SUBIECTUL III (18 PUNCTE): Dacă împărţim la patru fiecare termen al unui şir de numere, obţinem mai multe numere consecutive impare. Suma ultimelor două numere obţinute este 96 şi este mai mare cu 16 decât dublul sumei primelor două numere. Să se găsească al cincilea termen al şirului.

SUBIECTUL IV (10 PUNCTE): Pe o creangă stau 31 de veveriţe. Veveriţa Ştefi are în spatele său un sfert din numărul veveriţelor din faţa sa. Pe ce poziţie se află Ştefi ?

SUBIECTE ELABORATE / MODIFICATE / SELECTATE ŞI PROPUSE DE: IOAN SĂCĂLEANU, AUREL NEICU, GHEORGHE OANCEA ŞI RAMONA DARIE

***

CONCURSUL DE CREAŢIE MATEMATICĂ AL REVISTEI CEA MAI FRUMOASĂ PROBLEMĂ -2015

Au răspuns invitaţiei următorii elevi:

PAVEL OANA (clasa a III-a): o problemă;

CURCĂ ALIN (clasa a IV-a): o problemă;

PRIGOREANU ANDREI (clasa a IV-a): o problemă;

ROŞU-PAŞCU PARASCHIVA (clasa a IV-a): trei probleme;

Au fost premiaţi elevii: PAVEL OANA, MENŢIUNE

PRIGOREANU ANDREI, MENŢIUNE.

FELICITĂRI ! Premiile se vor înmâna la festivitatea de deschidere a CONCURSULUI NAŢIONAL MICII MATEMATICIENI,

din 28 martie 2015.

28

Micii MATEMATICIENI

PROIECTUL EDUCAŢIONAL “SUPER MATE”

PROIECTUL EDUCAŢIONAL ,,SUPER MATE” și-a continuat activitatea, și în anul şcolar 2013-2014, la Școala Gimnazială ,,Petru Rareș,, Hârlău. Elevii sunt încântați de complexitatea și atractivitatea exercițiilor și problemelor propuse, dar care sunt rezolvate cu ușurință de cei prezenți, sub îndrumarea profesorilor care fac cu drag această activitate în fiecare sâmbătă. Le mulțumim încă o dată domnilor profesori: MARIANA CHELARU, LUMINIŢA MUŞEI, VASILICA TEODORESCU , PETRONELA CIOBANU , VASILE ROZNOVĂŢ , MIRCEA POPA, BOGDAN DORNEANU , ADRIANA

MELINTE, MIHAELA TOMULESEI, CLAUDIU MORARIU, MIRELA MUNTEANU ( ŞC. ,,PETRU

RAREŞ” HÂRLĂU), GEORGETA ROPCEANU (ŞC. SLOBOZIA), OLGA ȘERBAN ( ŞC. BĂDENI). Elevii cuprinși în proiect au obținut rezultate deosebite la concursurile la care au participat:

CONCURSUL ,,MICII MATEMATICIENI” organizat de Colegiul Național ,,Ştefan cel Mare”,

CLASA A III-A: A: Cozma Elena (M); B: Vornicu David (M), Buznea Alexandru (M), Șalaru Ioana (M), Cuibuș Teodor (M); D: Chitic Denisa (P3), Dascălu Cezar (M), Opincă Larisa (M), Formagiu Marian (M), Prigoreanu Alin (M), Ungureanu Narcisa (M), Bîrlădeanu Rareș (M). CLASA A IV-A: A: Fluturel Alexandru (P1), Moșiesei Alexandra (M), Ențuc Sebastian (M), Sandu Cristian (M), Spinei Irina (M), Cuibuș Alexandru (M), Grigore Raluca (M), Musteață Teofil (M); B: Bran Ionuț (M), Curecheriu Elena (M), David Cristina (M); C: Băhnăreanu Andreea (M), Mihăilă Alexandru (M), Cotună Daria (M), Ciubotaru Ștefana (M); D: Bolboros Gabriela (M); ZAGAVIA: Moisii Bogdan (M).

CONCURSUL ,,EUCLID CLASA A III-A: B: Șalaru Ioana (P1+M+P3), Cuibuș Teodor (P2+P1), Buznea Alexandru (M+P2); D: Prigoreanu Alin (P1+P1+M+CALIFICAT FINALĂ), Ababei Nadia (P1+M+M), Chitic Denisa (P2+P1), Dascălu Cezar (P2+P1+P2+CALIFICAT FINALĂ), Doboș Ioana (M+P3+P3), Ungureanu Narcisa (M+P2), Bîrlădeanu Rareș (M+M+P3), Opincă Larisa (M+P1+P2), Formagiu Marian (M+M). CLASA A IV-A: A: Sandu Cristian (P2+P1+P2), Dumitrache Maria (P3+P2+P3), Spinei Irina (P3+P2+P3), Moșiesei Alexandra (P2); B: Bran Ionuț (P3+P2+P3); C: Mihăilă Alexandru (P3+P2), Băhnăreanu Andreea (P2), Blaga Geanina (M); D: Bolboros Gabriela (P3+P2+P3), Bucur Antonia (M)

CONCURSUL ,,PRÂSLEA CEL ISTEȚ” CLASA A III-A: D: Chitic Denisa (P3) şi Dascălu Cezar (M).

GAZETA MATEMATICĂ JUNIOR CLASA A III-A: B: Șalaru Ioana (97 P); D: Dascălu Cezar (90 P), Formagiu Marian (86 P), Prigoreanu Alin (85 P).

CLASA A IV-A: A: Dumitrache Maria (100 P), Grigore Raluca (100 P), Spinei Irina (100 P), Sandu Cristian (100 P), Moșiesei Alexandra (95 P), Cuibuș Codruț (95 P), Musteață Teofil (85 P); B: David Cristina (82 P); C: Băhnăreanu Andreea (100 P).

CONCURSUL ,,PROEDUCAȚIA” CLASA A III-A: C: Pintilie Edi (MS), Lăcureanu Beatris (MS), Tonu Ionela (MS), Curcă Alin (MS); D: Prigoreanu Alin (P2),Ababei Nadia (MS), Chitic Denisa (MS), Ungureanu Narcisa (MS). CLASA A IV-A: C: Ciubotaru Șt. (P2), Băhnăreanu A. (MS); D: Bolboros G. (MS),, Trofin D. (MS).

CONCURSUL ,,FII INTELIGENT LA MATEMATICĂ” CLASA A III-A: B: Vornicu David (95 P);D: Ungureanu Narcisa (M), Opincă Larisa (M).

CLASA A IV-A: A: Dumitrache Maria(100P),Moșiesei Alexandra(100P), Curcă Alexandru(96 P); C: Ciubotariu Ștefana(95 P), Blaga Geanina(90 P), Băhnăreanu Andreea(80 P); D: Bolboros Gabriela(100P)

PROF. ÎNV.PRIMAR MIRELA MUNTEANU,

ŞCOALA GIMNAZIALĂ ,,PETRU RAREŞ” COORDONATOR - CENTRUL NR. 6 - HÂRLĂU

29

Micii MATEMATICIENI

CLUBUL MICILOR MATEMATICIENI

Vom prezenta activitatea cercului CLUBUL MICILOR MATEMATICIENI şi rezultatele obţinute de unii membri ai cercului în anul şcolar 2013-2014, activitate desfăşurată pe următoarele coordonate de referinţă: 1. PREGĂTIREA CONCURSURILOR ŞCOLARE PRIN REZOLVAREA PROBLEMELOR PROPUSE ÎN DIVERSE REVISTE. Astfel, unii membri ai cercului au apărut la RUBRICA REZOLVITORILOR în revistele :

GAZETA MATEMATICĂ, BUCUREŞTI

CLASA A VII-A (PROF. ÎNDRUMĂTOR AUREL NEICU): Musteaţă Robert Andrei; Duhan Dragoş ; Petcu Stelian; Moraru Eduard; Florişteanu Bianca; Bezedică Robert; Maticiuc Cosmin ; Pavel Mihai ; Deleanu Radu şi Vicol Ştefan. 2. DEZVOLTAREA POTENŢIALULUI CREATIV PRIN CREAREA DE NOI PROBLEME. Concursul de creaţie matematică CEA MAI FRUMOASĂ PROBLEMĂ-2014 oferă posibilitatea elevilor de a-şi dezvolta potenţialul creativ şi de a propune probleme originale. Elevul ROMAN RĂZVAN-MIHAI, clasa a IV-a a obţinut MENŢIUNE. 3. REZULTATE OBŢINUTE LA CONCURSURI (PREMII ŞI MENŢIUNI) Participarea membrilor cercului şi rezultatele obţinute la următoarele concursuri :

CONCURSUL ŞCOLAR NAŢIONAL DE COMPETENŢĂ ŞI PERFORMANŢĂ COMPER

EDIŢIA 2013-2014:

CLASELE: A V-A ŞI A VI-A (mentor Gheorghe Oancea ) , A VII-A (mentorAurel Neicu ) şi A VIII-A (I. Săcăleanu).

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ APLICATĂ SPERANŢE OLIMPICE Paşcani, 2 noiembrie 2013:

CLASA A IX-A (A: prof. îndrumător Ioan Săcăleanu) Dolhescu Alexandru-Cătălin (M).

CONCURSUL INTERDISCIPLINAR MATEMATICĂ-FIZICĂ-ŞTIINŢE HENRI COANDĂ

Colegiul Ibrǎileanu, Iaşi, 22 februarie 2014: CLASA A VI-A (îndrumǎtori:Florentina Sârbu şi Gheorghe Oancea): Vornicu Iulian (M). CLASA A VII-A (îndrumǎtori: Anca Maria Bobîrnǎ şi Aurel Neicu): Musteaţă Robert Andrei (M).

CONCURSUL INTERNAŢIONAL DE MATEMATICĂ ÎN LIMBA FRANCEZĂ MATHÉMATIQUES SANS FRONTIÈRES

organizat de Academie de Strasburg, decembrie 2013-martie 2014: PRIX SPECIAL: clasa A X-A A şi TROISIEME PRIX: clasa A XI-A A (îndrumǎtor Ioan Sǎcǎleanu). Au mai participat clasele: A VII-A (îndrumător Aurel Neicu ), A VIII-A A IX-A A (îndrumător Ion Săcăleanu).

OLIMPIADA DE MATEMATICĂ FAZA JUDEŢEANĂ

Iaşi, 8 martie 2014: CLASA A V-A (îndrumǎtor Gheorghe Oancea): Agheorghiesei Horia (M). CLASA A VI-A (îndrumǎtor Gheorghe Oancea): Mihăilă Maria Denisa (M).

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI -ETAPA JUDEṭEANǍ

Iaşi, 8 martie 2014:

CLASA A X-A (B îndrumǎtor Aurel Neicu): Stoica Laurenţiu Ionuţ (M) şi Ţugui Andreea Ioana (M) CLASA A XI-A (B îndrumǎtor Gheorghe Oancea): Leahu Andrei (P3) şi Nucă Ana Maria (M); (C îndrumǎtor Iuliana Blanariu): Gacea Mihaela (P3) şi Gacea Petronela (M); ( G îndrumǎtor Ramona Darie): Procovanu Cosmina Elena (M), Ţuţuianu Ovidiu Dumitru (P3) şi Ilinca Alexandru Gheorghe (M). CLASA A XII-A ( B îndrumǎtor Ioan Sǎcǎleanu): Pletan Denisa Elena (M) şi Găină Petronela (M).

CONCURSUL JUDEŢEAN MICII MATEMATICIENI

Hârlău, 29 martie 2014:

CLASA A V-A (îndrumǎtor Gheorghe Oancea ): Aghiorghiesei Horia (P3), Ifrim Tudor Nicolae (M), Purcel Ioana Elena (M), Rasitariu Dumitru Alexandru (M), Maxim Ştefan Theodor (M), Cozma Alexandra Gabriela (M), Creţu Andreea (M), Roiu Lavinia Maria (M), Crăcană Andra Elena (M), Bolboros Elena Larisa (M), Cîmpeanu Ioana Petrina (M), Dulhan Petru Sebastian (M), Meteleţ Corina Gianina (M).

30

Micii MATEMATICIENI

CLASA A VI-A (îndrumǎtor Gheorghe Oancea): Ciubuc Teodor Cosmin (M); Scutariu Ioana Alexandra (M); Amoşiesei Denisa Ionela (M); Mihăilă Maria Denisa(M); Leagăn Iasmina Maria (M) şi Leagăn Dan Adrian (M). CLASA A VII-A (îndrumǎtor Aurel Neicu): Musteaṭǎ Robert (P3), CLASA A VIII-A (îndrumǎtor Ioan Sǎcǎleanu): Călin Constantin (P3), Loghin Andrei Florin (M), Cotiugă Ilie Iulian (M), Buzămurgă Raluca Georgiana (M), Puhă Alexandru (M), Aştefănesei Daniel Marian (M), Loghin Andrei (M) şi Suruniuc Constantin (M).

RESPONSABILUL CATEDREI DE MATEMATICĂ,

PROF. IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

UNDE ESTE GREŞEALA ?

A. TOATE NUMERELE NATURALE SUNT EGALE ?

Fie 1

: 0 , ( ) .f R R f xx

Calculăm integrala ( )f x dx prin metoda integrării prin părţi:

/

2

1 1 1 1 11 .dx x dx x xdx dx

x x x x x Deci,

1 11dx dx

x x . Deducem că 0 1 .

Dacă egalităţii 0 1 , adunăm 1 obţinem 1 2 . Continuând obţinem egalităţile: 2 3 , 3 4

, …, 1n n 0 1 2 ... 1 ...n n . Deci, toate numerele naturale sunt egale.

Altfel, pornind de la funcţia : 0 , ( ) ,n

f R R f x n Nx

obţinem:

/

2

n n n n ndx x dx x xdx n dx

x x x x x

n ndx n dx

x x , adică 0 ,n n

Prin urmare, orice număr natural este egal cu 0 , adică sunt egale.

B. UN LEU ARE 10 BANI SAU 100 BANI ?

Se ştie că 0,25 25lei bani . Extrăgând rădăcina pătrată din egalitate, obţinem că

0,25 25lei bani , de unde deducem că 0,5 5lei bani . Aşadar, 1 leu are 10 bani.

CULESE DE NEICU MARA, ELEVĂ, CLASA A XII-A

31

Micii MATEMATICIENI

PROBLEME ŞI SOLUŢII

Această rubrică conţine enunţurile şi soluţiile PROBLEMELOR PROPUSE în numărul 8 al

revistei MICII MATEMATICIENI , din martie 2014.

MATEMATICA PITICĂ

P.132: Arătaţi că: 5 : 2 3 1 14 :15 3: 1 2 45 :15 2 : 2 2014 2015 .

PROF. NICOLAE IVĂŞCHESCU, CRAIOVA

SOLUŢIE: 5 : 6 1 14 :15 3: 1 2 3 2 : 2 2015 2014 5 :5 14 :15 3: 1 2 1 1 2

1 14 :15 3: 1 2 2 15 :15 3:3 2 1 1 2 2 2 A .

P.133: Un cangur grăbit face patru sărituri în şase secunde. Pentru a ajunge la concursul

“Cangurul matematic” lui îi mai trebuie 18 sărituri. În cât timp credeţi că ajunge la concurs ? RĂZVAN-MIHAI ROMAN, ELEV, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Din 4 sărituri în 6 secunde deducem că în 3 secunde cangurul face 2 sărituri, de unde 18 9 2 sărituri vor fi făcute în 9 3 27 secunde.

P.134: Să se arate că valoarea expresiei: : : 00 : 2014aaa a aa a a a este acelaşi număr, indiferent de valoarea cifrei nenule a .

PROF. ÎNV. PRIMAR MARIANA DÎRVARIU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

SOLUŢIE: 111 : 11 : 100 : 2014 111 11 100 2014 100a a a a a a 100 2014 2014 .

P.135: Să se afle 3 numere naturale știind că suma succesorilor acelor numere este 24, al doilea

număr este jumătate din suma a celorlalte două și că succesorul celui de al treilea număr este egal cu suma celorlalte două numere.

PROF. IOAN RĂUŢU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Notăm cu , ,a b c cele trei numere. Avem: 1 1 1 24a b c 21a b c .

Din : 2b a c 2a c b 3a b c b 21 3 b 21:3 7b şi 14a c . Din

1c a b 1 7c a 6c a 2 6a c a 14 2 6a 8 : 2 4a şi 10c . P.136: Marius avea o sumă de bani. Pentru ziua de 8 Martie, el a cumpărat 3 eșarfe a câte 18 lei

fiecare pentru mama și bunicele lui și 2 cărți a câte 17 lei fiecare pentru verișoarele lui. I-a rămas o sumă de bani egală cu o cincime din suma inițială. Ce sumă de bani a avut Marius la început și ce sumă de bani i-a rămas ?

PROF. ÎNV. PRIMAR MARIA CREŢU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Costul celor 3 eşarfe este 3 18 54 lei, iar a celor 2 cărţi este 2 17 34 lei. A cheltuit în total suma 54 34 88 lei, care reprezintă 4 cincimi, de unde o cincime este 88 : 4 22 lei, suma de bani rămasă. Suma iniţială este 88 22 110 lei. P.137: Maria vrea să-i ofere mamei sale de 8 Martie un buchet de 9 flori. Erau flori cu 3 petale și 5

petale, în total 33 de petale.Aflați câte flori erau cu 3 petale și câte cu 5 petale ? PROF. ÎNV. PRIMAR MIRELA MUNTEANU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Notăm cu a numărul de flori cu 3 petale, iar cu b pe cel cu 5 petale. Avem: 9a b

3 3 27a b şi 3 5 33a b 3 3 2 33a b b 27 2 33b 2 6b

32

Micii MATEMATICIENI

3b şi 9 3 6a . Deci, sunt şase flori cu 3 petale şi trei flori cu 5 petale. P.138: Cu banii pe care îi are Ioana poate cumpăra un pix şi o carte, care costă cu 12 lei mai mult

decât pixul. Câţi lei are Ioana, dacă preţul cărţii este egal cu costul a 6 pixuri şi încă 2 lei ? ÎNV. MARIETA MUŞEI, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Notăm cu p pereţul pixului, iar cu c preţul cărţii. Avem: 12c p şi 6 2c p , de

unde 2 6 12p p 6 12 2p p 6 10p p 10 6 p p 5 10p

2p lei, iar 14c lei. Ioana are 2 14 16 lei.

P.139: În anul 2008, un tată avea 40 ani, iar cei trei fii aveau 14, 9, respectiv 5 ani. În anul când s-a născut Ilias, al patrulea copil, vârsta tatălui era egală cu suma vârstelor copiilor săi. Aflaţi anul de naştere a lui Ilias.

PROF. IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU SOLUŢIE: Peste x ani, avem: 40 14 9 5x x x x 40 28 2 x 2 12x

6x ani. Prin urmare, anul de naştere a lui Ilias este 2008 6 2014 .

P.140: Câte flori a cules Mateea, ştiind că dacă ar fi cu una mai puţin, atunci jumătate din acel număr ar fi cu unu mai mare decât sfertul lui ?

PROF. ÎNV. PRIMAR TEREZA RUGINĂ, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Notăm cu x numărul de flori culese de Matea. Atunci 1 : 2 1 : 4 1x x . Înmulţind

cu 4 egalitatea, obţinem: 2 1 1 4x x , de unde 2 2 3x x 2 3 2x x 5x .

P.141: Trei copii au împreună 1006 lei. Primii doi au 578, iar al doilea împreună cu al treilea au 770 lei. Ce sumă are fiecare.

ÎNV. VASILE ROZNOVĂȚ, ȘCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREȘ, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Avem: 1006a b c . Cum 578a b 578 1006c 1006 578 428c . Cum 770b c 770 428 342b , iar 578 342 236a . P.142: Suma a cinci numere naturale impare consecutive este egală cu 2015. Aflaţi numerele.

PROF. DOINA STOICA, LICEUL TEHNOLOGIC FRANCISC NEWMAN, ARAD

SOLUŢIE: Avem: 2 4 6 8 2015a a a a a 5 20 2015a 5 1995a

1995 : 5 399a . Numerele sunt 399, 401, 403, 405 şi 407. P.143: Suma vârstelor tatălui şi a fiilor săi gemeni este 51 ani. Peste 5 ani tatăl va avea dublul

sumei vârstelor gemenilor. Care este vârsta fiecăruia ? PROF. ÎNV. PRIMAR IOANA ONOFREI, LICEUL TEHNOLOGIC MIHAI BUSUIOC, PAŞCANI

SOLUŢIE: Notăm cu t vârsta actuală a tatălui şi cu f vârsta actuală a gemenilor. 2 51t f şi

5 2 2 5t f 5 4 20t f 4 15t f 2 6 15t f f , de unde

51 6 15f 6 36f 6f ani, 51 2 6 39t ani.

P.144: Fie şirul de numere 1, 4, 9, 16, ... Care este cel de-al o sutălea număr ?

PROF. ÎNV. PRIMAR MARIA SIMIONESCU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Observăm că 1 1 1 , 4 2 2 , 9 3 3 , 16 4 4 al o sutălea este 100 100 10000 . P.145: Suma a două numere naturale este 590. Jumătate din primul număr este cu 30 mai mică

decât a treia parte din al doilea număr. Aflați numerele. ÎNV. MARIANA CHELARU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Notăm cu a şi b numerele căutate. Atunci 590a b şi : 2 : 3 30a b . Înmulţind cu 6 ultima egalitate şi pe prima cu 3, obţinem: 3 2 180a b şi 3 3 1770a b . Obţinem că

33

Micii MATEMATICIENI

2 180 3 1770b b 5 1770 180b 1950 : 5 390b şi 590 390 200a . P.146: Într-o curte sunt găini și miei, în total 41 de capete și 96 de picioare. Câte găini și câți miei

sunt în curte ? PROF. ÎNV. PRIMAR GABRIELA-LILANA ONOFREI, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Notăm cu g numărul găinilor, iar cu m a meilor. Avem: 41g m 2 2 82g m

şi 2 4 96g m 2 2 2 96g m m 82 2 96m 2 14m 7m

şi 41 7 34g . În curte găsim 7 miei şi 34 găini.

P.147: Găsiţi toate numerele cuprinse între 8 şi 13 care pot fi scrise ca suma unor numere naturale

consecutive. PROF. ÎNV. PRIMAR MARIA SIMIONESCU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Avem: 9 2 3 4 ; 10 1 2 3 4 ; 11 5 6 şi 12 3 4 5 . P.148: Lui Marius îi place să se joace cu bile. La sfârşitul zilei, el are cu opt bile mai mult ca în

dimineaţa acelei zile. Totuşi ziua începuse rău căci la amiază el pierduse trei bile. Ce s-a petrecut după amiaza ?

PROF. ÎNV. PRIMAR IOANA ONOFREI, LICEUL TEHNOLOGIC MIHAI BUSUIOC, PAŞCANI

SOLUŢIE: După amiaza Marius a câştigat 3 bile pierdute şi cu 8 bile, în total 11 bile. P.149: Pe un platou sunt de 4 ori mai multe portocale decât banane. Valentin ia 6 portocale și 3

banane. Pe platou rămân de 6 ori mai multe portocale decât banane. Câte portocale și câte banane au fost la început pe platou?


SOLUŢIA 1: Figurăm datele problemei folosind simbolul P pentru portocale şi B pentru banane. Se iau 6 portocale şi 3 banane. Reprezentarea grupelor va fi astfel:

Se observă că au rămas 6 portocale şi un număr de grupe, pe care nu îl cunoaştem, format dintre o banană şi 4 portocale. Din datele problemei se cunoaşte că acum numărul portocalelor este de 6 ori mai mare decât numărul bananelor, decu fiecărei banana îi corespund 6 portocale. Se vor repartiza cele 6 portocale la grupele existente, pentru a obţine grupe formate din 6 portocale şi o banană. Se vor completa 6 : 2 3 grupe. Deci pe platou au rămas 3 banane şi 3 6 18 portocale. La început au fost: 3 3 6 banane şi 18 6 24 portocale. SOLUŢIA 2: Notăm cu numărul portocalelor cu p , a bananelor cu b . Avem egalităţile: 4p b şi

6 6 3p b 4 6 6 18b b 18 6 6 4b b 2 12b 6b şi 24p .

P.150: Maya vrea să confecționeze două feluri de brățări, având în total 137 mărgele. Ea face

simultan brățări de câte 15 mărgele și de câte 11 mărgele. Câte brățări poate să facă, fără a-i rămâne mărgele ?

PROF. ÎNV. PRIMAR MIRELA MUNTEANU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Notăm numărul brăţărilor cu 15 mărgele cu a , iar cu b pe cele cu 11 mărgele. Deducem că 15 11 137a b 15 137a

9a şi11 137 15b a . Organizând datele în tabelul alăturat, deducem că sunt 4 brăţări a câte 15 mărgele şi 7 brăţări a câte 11 mărgele.

d i m i n e a t a

3 p i e r d u t e

8 b i l e

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .d u p a a m i a z a

s e a r a

..........PPPPB PPPPB PPPPB PPPPB PPPPB PPPPB

...........PPPPB PPPPB PPPPB PPPPB PPPPB PPPPB

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 5 0 1 5 3 0 4 5 6 0 7 5 9 0 1 0 5 1 2 0 1 3 5

1 3 7 1 5 1 3 7 1 2 2 1 0 7 9 2 7 7 6 2 4 7 3 2 1 7 2

1 1 1 3 7 1 2 2 1 0 7 9 2 7 7 6 2 4 7 3 2 1 7 2

7

a

a

a

b

b F F F F F F F F F

34

Micii MATEMATICIENI

P.151: Şase nuci şi două pere cântăresc cât 20 de prune, iar o nucă şi şase prune cântăresc cât o

pară. Câte prune cântăresc cât o pară ? PROF. ÎNV. PRIMAR EMILIA OPREA, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Notăm numărul nucilor cu a , al perelor cu b şi al prunelor cu c . Din enunţ, deducem

relaţiile: :2

6 2 20a b c , de unde 3 10a b c şi 6b a c . Aşadar, prin înlocuirea

lui b , obţinem: 3 6 10a a c c , de aici 4 10 6a c c , adică 4 4a c a c . Prin urmare, 6b c c 7b c , adică o pară cântăreşte cât şapte prune. P.152: Coada unei pisici sălbatice este cu 6 centimetri mai lungă decât coada unui râs. Dacă i s-ar

mai lungi coada cu 20 centimetri, atunci ar fi de două ori mai lungă decât coada râsului. Ce lungime are coada pisicii sălbatice ?

ÎNV. VASILICA TEODORESCU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU SOLUŢIE: Notând cu p lungimea cozii pisicii, iar cu r pe cea a râsului, obţinem relaţiile: 6p r

şi 10 10 2p r , de unde 6 20 2r r 2 26r r , adică 26r cm şi 32p cm .

P.153: Aflaţi termenul necunoscut din egalitatea: 2 : 4 2 : 2 2 :8 28n n n .

PROF. ÎNV. PRIMAR MARIANA DÎRVARIU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Notăm :8n p 8n p : 4 2n p şi : 2 4n p . Atunci 4 8 2 28p p p

14 28p 28:14 2p , de unde 8 2 16n .

P.154: “Suntem un grup de sportivi. Toţi jucăm fotbal, în afară de 22. Toţi jucăm handbal, în afară

de 22. Toţi jucăm baschet, în afară de 22.” Arătaţi că fiecare sport este practicat de acelaşi număr de sportivi din grup şi aflaţi numărul lor.

PROF. ÎNV. PRIMAR TEREZA RUGINĂ, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Notăm cu f , cu h şi cu b numărul jucătorilor care joacă fotbal, care joacă handbal,

respectiv care joacă baschet. Avem egalităţile: 22h b , 22b f şi 22f h . Prin adunare

şi apoi prin împărţire la 2, obţinem numărului gupului de sportivi: 33f h b şi 11f h b .

P.155: Patru numere au suma egală cu 2014. Dacă din fiecare se scade acelaşi număr se obţin

patru numere consecutive a căror sumă este 2010. Aflaţi cele patru numere. ÎNV. ADRIANA MELINTE, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Notăm cu , , ,a b c d numerele căutate şi cu x , cel care se scade. Avem:

2014a b c d şi a x p , 1b x p , 2c x p şi 3d x p . Datele din enunţ

pot fi scrise astfel: 1 2 3 2010p p p p şi 2010a x b x c x d x

4 6 2010p şi 4 6 2012a b c d x 501p şi 2014 4 2010x 1x .

Prin urmare, 502a , 503b , 504c şi 505c . NOTA REDACŢIEI. Nu era nevoie să ştim suma numerelor consecutive. Într-adevăr, din enunţ deducem că cele patru numere căutate sunt consecutive cu suma 2014.

P.156: Aflaţi numărul natural abcd pentru care 2014a ab abc abcd . PROF. AUREL NEICU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Din scrierea: 0 00 0 000 00 0 2014a a b a b c a b c d , rezultă că

2014aaaa bbb cc d . Cum 0a şi 2014aaaa 1a , de unde 903bbb cc d .

Dacă 7b , atunci 903 777 99 9 885bbb cc d , absurd. Deci, 8b şi cum 903bbb

8b . Atunci 15cc d . Din 15cc 1c şi 4d . Prin urmare, 1814abcd .

35

Micii MATEMATICIENI

MATEMATICA GIMNAZIALĂ CLASA A V-A

5.105 : Arătaţi că

2015 2015 2015 20151 3 7 1 1 1 1 1 1 1 1

: 5 6 :9 : 2014 ...2 4 8 15 1 15 2 15 19 15 20

.

PROF. RAMONA DARIE, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Se observă că membrul drept al inegalităţii este nul întrucât produsul conţine factorul 2015

1 10

15 15

. Inegalitatea este

5 41 1: 5 : 2014 0

4 8 9

5

4

1

5

2

8

1007

9 1

41 1 2014 0 A .

5.106 : Un leu mănâncă o oaie într-o oră şi 40 minute, lupul în două ore şi jumătate, iar câinele în cinci ore. În cât timp ar mânca o oaie împreună ?

PROF. ADINA VASILIU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ CÂRJOAIA, IAŞI

SOLUŢIE: În 5 ore, câinele mănâncă 1 oaie, lupul 2 oi, iar leul 3 oi. Împreună vor mânca 6 oi în 5 ore, adică 300 minute. Deci, o oaie ar fi mâncată împreună în 50 minute.

5.107 : Aflaţi n astfel încât are loc egalitatea: 2 3 20151 ... nn n n n n n n .

PROF. OANA ALEXE, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Înmulţind parantezele, obţinem: 2n 3n ... nn 1nn n 2n ... nn 2013n n

1 2013nn n , de unde 1n sau 1 2013n , căci 0n . Deci, 1;2012n .

5.108 : Găsiţi pătratele de forma abc , având cifrele numere naturale consecutive. PROF. IULIANA BLANARU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Calculând cele 22 pătrate de trei cifre existente, descoperim că singurele numere cu cifre

consecutive sunt 2324 18 şi 2576 24 .

5.109 : Găsiţi cel puţin cinci soluţii ale ecuaţiei: z zx z t , unde , ,x y t şi sunt numere prime. PROF. NICOLAE IVĂŞCHESCU, CRAIOVA

SOLUŢIE: Din condiţia de existenţă a puterii 0z . Numerele x şi z nu pot avea aceeaşi paritate,

căci ar rezulta t par şi prim 2t 2 1zz z , fals. Deci, 2x sau 2z . Vom căuta

soluţii cu 2z şi 2 4t x prim. Pentru 2;3;5;7;11;13;17x 8t ;13;29;53; 125 ;173;293 .

5.110 : Se consideră egalitatea: 2

248 1369abc cab bca . Determinaţi cel mai mic şi cel mai

mare număr natural al cărui pătrat este numărul abc . PROF. IOSIF MIHAI PAULIUC, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Avem 2 2 22 2 2111 3 37abc cab bca a b c a b c . Cum 21369 37

2 82a b c 16a b c . Valoarea cea mai mare a lui 2961 31abc , iar cea mai mică

este 2169 13abc . Numerele căutate sunt 13 şi 31.

5.111 : Să se arate că numărul 2 3 2014...x x x x nu poate fi pătrat perfect, oricare ar fi x . PROF. MIHᾺLY BENCZE, SĂCELE, BRAŞOV

36

Micii MATEMATICIENI

SOLUŢIE: Avem 2 3 4 2013 2014 2 4 2012... 1 1 ...not

S x x x x x x x x x x x . Pentru

ca S să fie pătrat perfect trebuie ca 2 4 2010 20121 ...not

a x x x x să fie par deoarece 1x x este

multiplul lui 2. Indiferent de paritatea lui x , numărul a este impar, contradicţie. Deci, S nu poate fi pătrat perfect.

5.112 : Arătaţi că nu există numerele naturale x şi y cu proprietatea 2 25 2013x y . PROF. NICOLAE IVĂŞCHESCU, CRAIOVA

SOLUŢIE: Din 2 25 2013x y 2 25 2013U x U y 0;1;4;9;6;5 3;8 , fals. q.e.d.

5.113 : Aflaţi ultimele trei cifre ale numărului 3 5 20157 7 7 ... 7a . PROF. GHEORGHE OANCEA, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Din cei 1008 termeni ai numărului a facem 252 grupe de câte 4 termeni. Atunci avem

scrierea lui 3 5 7 9 11 13 15 2009 2011 2013 20157 7 7 7 7 7 7 7 ... 7 7 7 7a , de unde

2 5 2 8 16 20087 1 7 7 1 7 1 7 7 ... 7a 4 8 16 20087 50 1 7 1 7 7 ... 7a

8 16 20088407 100 1 7 7 ... 7a . Cum 47 1kU ...700 ...2 ...400a .

5.114 : Câte perechi de numere naturale ;a b verifică egalitatea: 32b aa b .


SOLUŢIE: Datorită simetriei expresiei deducem că soluţia ;a b atrage şi soluţia ;b a şi că este

suficient să găsim soluţiile cu a b . Dacă 0a 1 32 F . Dacă 1a 1 32 31b b .

Dacă 2a 22 32b b 2 32b 5b şi b număr par 2 . Verifică numai 4b . Dacă

3a 3b , de unde 3 332 3 3 54b aa b , fals. Deci, ; 1;31 , 2;4 , 4;2 , 31;1a b .

5.115 : Demonstraţi adevărul inegalitaţii: 183 671 20142 2048 3 27 5 . PROF. IOSIF MIHAI PAULIUC, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Avem: 183183 11 2013 20132 2048 2 2 2 2 2 5 şi

671671 3 2013 20133 27 3 3 3 3 3 5 .

Prin adunare 183 671 2013 2013 2013 2013 20142 2048 3 27 2 5 3 5 5 2 3 5 5 5 .

5.116 : Determinaţi numărul natural zxy astfel încât fracţia xx yy

xzzx

să fie echiunitară.

PROF. GHEORGHE IACOB, LICEUL TEHNOLOGIC MIHAI BUSUIOC, PAŞCANI

SOLUŢIE: Avem xx yy xzzx 211 1001 110xy x z 11 91 10xy x z , de unde 11 91y

9y şi 8 10x z 5x şi 4z . Deci, 459zxy este numărul căutat.

5.117 : Arată că 39 20 107 54 107 54n n n n n nN n n n n este divizibil cu 2014, n .


SOLUŢIE: Grupând şi dând factor comun, avem: 39 20 107 1 54 1n n n nN n n n

1 39 20 107 54n n n nN n n . Pentru ca N să fie divizibil cu 2014 2 19 53 este

suficient să se dividă cu numerele prime 2, 19 şi 53. Ţinând seama că 39 19 2 1 , 20 19 1 1 ,

107 53 2 1 şi 54 53 1 1 , obţinem: 19 531N n n M M . Deoarece 1n n este produs

37

Micii MATEMATICIENI

de numere consecutive, el este divizibil cu 2, de unde vom obţine 2 19 53 2014N M M M M , n

5.118 : Diferenţa dintre un număr natural abc şi răsturnatul său este pătrat perfect. Aflaţi toate aceste numere naturale.

PROF. BOGDAN DORNEANU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Avem: 100 10abc cba a b 100 10c c b 299 99 3 11a a c a c este

pătrat dacă 211a c k . Deoarece 9a c 211 9k 0k a c . Numerele sunt de

forma aba cu 0a 9 10 90 numere. 5.119 : Un număr natural n are proprietatea că se poate descompune atât ca sumă, cât şi ca produs al aceloraşi numere naturale. Demonstraţi că n este număr compus.

PROF. AUREL NEICU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Fie 1x , 2x , …, px cu p şi 2p astfel 1 2 ... pn x x x şi 1 2 ... pn x x x .

Vom demonstra prin metoda reducerii la absurd. Presupunem că n este număr prim 1x n şi

2 3 ... 1px x x , de unde n n 1 1p 1p , fals. Deci, n este număr compus.

5.120 : La o masă rotundă stau 2008 persoane, a căror sumă a vârstelor este 311 ani. Arătați că, indiferent cum se așază la masă aceste persoane, vor exista două persoane alăturate a căror sumă a vârstelor este mai mare de 81 de ani.

PROF. MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS

SOLUŢIE: Presupunem că suma vârstelor oricăror două persoane alăturate este mai mică sau egală cu 81. Atunci: 1 2 81a a , 2 3 81a a , …, 2007 2008 81a a şi 2008 1 81a a . Adunând aceste

inegalităţi, obţinem că 1 2 20082 ... 2008 81a a a , de unde găsim că 11 42 3 2008 3

2 43 73 2 41004 3 2187 1004 , absurd. Deci, există două două persoane alăturate a căror

sumă a vârstelor este mai mare decât 81 ani.

5.121 : Câte numere de forma abcd cu proprietatea că 11a b c d sunt divizibile cu 11 ? PROF. PETRU ASAFTEI, ŞCOALA NORMALĂ VASILE LUPU , IAŞI

SOLUŢIE: Din 11abcd M 11990 10 99 10a a b b c d M 1110 10a b c d M

119 9a c a b c d M 119 2 11a c M 11a c M cu 0a şi 0 18a c

11a c . Cum

11a b

b c şi d a . Numerele abba sunt divizibile cu 11 şi 11 9 2 9b a a sunt 8 astfel de numere.

5.122 : Să se determine cifrele nenule şi distincte din produsul: 0ABCDE F GJKF . PROF. IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

SOLUŢIE: 21735 4 86940 CLASA A VI-A

6.84 : Determinaţi cifrele distincte , , , , , , , , ,A B C D E F G J K L din suma ABC DEF GJKL . PROF. IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

SOLUŢIE: 859 743 1602 ; 853 749 1602 ; 843 759 1602 şi 849 753 1602 .

38

Micii MATEMATICIENI

6.85 : Aflaţi numerele prime , ,x y z ştiind că 261 183 2013 13x y z . PROF. NICOLAE IVĂŞCHESCU, CRAIOVA

SOLUŢIE: Din egalitatea dată şi că 183 61 3 şi 2013 61 33 , deducem că z este multiplul lui 61

şi prim 61z . Înlocuind în egalitatea dată, obţinem: 2 3 46x y 2 46x 2;3;5x

2 4;9;25x 3 42;37;21y 7y şi 5x .

6.86 : Fie 2014 2014 2014

1 1 ... 12015 2016 2014

kAk

şi

2014 2014 20142015 1 1 ... 1

2 3pB

p

,

,k p . Demonstraţi că numerele kA şi pB sunt inverse dacă şi numai dacă k p .


SOLUŢIE: Presupunem, prin absurd, că k p . Dacă k p că există n cu p k n . Avem:

1 21

2015k pA B

2016...

k

2014 k

2015

2016

1

2

2014...

k

k

2014 2014 20141 1 ... 1 1

1 2k k k n

absurd. Analog se ajunge la contradicţie şi în cazul k p . Conform metodei reducerii la absurd

concluzionăm că k p , situaţie în care se verifică uşor că 1k kA B .

6.87 : Rezolvaţi, în mulţimea numerelor întregi negative, ecuaţia: 2 7 5 1x .


SOLUŢIE: Ecuaţia 2 7 5 1;1x 2 7 4;6x 2 7 6; 4;4;6x

2 1;3;11;13x 2 1;1; 3;3; 11;11; 13;13x 1;3; 1;5; 9;13; 11;15x .

Deci, mulţimea soluţiilor este 11; 9; 1S .

6.88 : Arătaţi că există numere naturale nenule , , ,a b c d astfel ca 4 4 4 4 20132018a b c d . PROF. NICOLAE IVĂŞCHESCU, CRAIOVA

SOLUŢIE: Prin calcul se verifică uşor că 4 4 4 46 5 3 2 1296 625 81 16 2018 . Obţinem

că 4 42013 503 4 1 503 503 4 4 4 42018 2018 2018 2018 2018 6 5 3 2 . Prin urmare, pentru

5036 2018a , 5035 2018b , 5033 2018c , 5032 2018d avem 4 4 4 4 20132018a b c d . 6.89 : Distanţa dintre două oraşe este parcursă de către un mobil în felul următor: o pătrime din

drum în trei ore, iar restul drumului,tot în trei ore. Ştiind că cel mai mic multiplu comun al numerelor care reprezintă cele două viteze este 30, să se afle distanţa dintre cele două oraşe.


SOLUŢIE: Notăm cu d distanţa dintre cele două oraşe, iar cu 1v şi 2v cele două viteze. Avem:

1

13

4d v ; 2

33

4d v , de unde 1 212 4v d v 2 13v v . Cum 1 2; 30cmmdc v v că există

x , y astfel încât 1 30v x , 2 30v y şi ; 1x y . Găsim 3y x x y ; 1x x y

şi 3y . Distanţa dintre cele două oraşe este 23 4 30 120 3 360d v y km .

6.90 : Găsiţi fracţiile ordinare ireductibile astfel încât fiecare din ele să aibă proprietatea că

mărind atât numărătorul, cât şi numitorul cu 3 se obţine o fracţie de trei ori mai mare. PROF. ADINA VASILIU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ CÂRJOAIA, IAŞI

SOLUŢIE: Fie a

b fracţia ireductibilă cu proprietatea din enunţ. Avem

33

3

a a

b b

, ,a b .

39

Micii MATEMATICIENI

Rezultă că 3 3 9 3 2 9ab b ab a b a b 6 27

2 32 9 2 9

ba

b b

272 9b D

2 9 1; 3; 9; 27b . Deci, 3 1 1

3; 1; ;2 9 3 9

a

b b

.

6.91 : Determinaţi numărul soluţiilor întregi ale inecuaţiei: 7x y .

PROF. MIRCEA MARIO STOICA, LICEUL TEORETIC ADAM MULLER GUTTENBRUNN, ARAD

SOLUŢIE: Suma 0not

S x y . Ea poate lua şapte valori distincte: 0; 1; 2; 3; 4; 5 şi 6. Pentru fiecare

valoare nenulă a lui S sunt S soluţii cu component naturale. Pentru fiecare soluţie naturală sunt 4

soluţii întregi. De exemplu: pentru 2S sunt 4 2 8 soluţii întregi şi anume: 2;0 , 1; 1 ,

1;1 , 0; 2 , 0;2 , 1;1 , 1; 1 şi 2;0 . Prin urmare, inecuaţia va avea 1 4 1 4 2 ... 4 6

soluţii întregi, adică 85.

6.92 : Determinaţi cel mai mic multiplu al numărului 5, care are exact 15 divizori. PROF. IOSIF MIHAI PAULIUC, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Deoarece 15 1 15 3 5 rezultă că numărul căutat x poate avea în descompunerea sa, un singur factor cu exponentul 14 sau doi factori cu exponenţii 2 sau 4. Din 5x M 145x sau

2 45x p . Cum x trebuie să fie cel mai mic 2p 2 45 2 400x .

6.93 : Determinaţi numerele naturale n astfel încât 5 7n divide numărul 7 5n . PROF. MIHᾺLY BENCZE, SĂCELE, BRAŞOV

SOLUŢIE: Din ipoteza 5 7 7 5n n 5 7 35 25n n 5 7 7 5 7 24n n 5 7 24n , de

unde 5 7 1;2;3;4;6;8;12;24n 5 6; 5; 4; 3; 1;1;5;17n 1;1n . Deci, 1n .

6.94 : Arătaţi că, pentru orice cifră x , numărul raţional 1

9xy reprezintă o fracţie zecimală

periodică. PROF. GHEORGHE IACOB, LICEUL TEHNOLOGIC MIHAI BUSUIOC, PAŞCANI

SOLUŢIE: Un număr raţional poate fi fracţie zecimală finită sau fracţie zecimală periodică. Vom arăta că numărul dat nu poate fi fracţie zecimală finită, prin metoda reducerii la absurd. Presupunem că

fracţia este finită. Deducem că numitorul 9xy are ca divizori numai puteri ale lui 2 şi 5 . Numărul

9xy nu poate fi numai o putere a lui 2 , deoarece 9 102 512 9 1024 2xy şi nici numai putere a

lui 5 , deoarece 4 55 625 9 3125 5xy . Prin urmare, 9xy are pe 2 şi 5 divizori se divide cu

10 are ultima cifră 0y . Pentru ca fracţia 1

9 0x să fie finită trebuie ca 9x să aibă ca divizori

numai puteri ale lui 2 şi 5. Din 6 72 64 9 128 2x şi 2 35 25 9 125 5x rezultă că 9x nu

poate fi numai o putere a lui 2 sau a lui 5. Aşadar, 9x se divide cu 10, de unde 0x . Se ajunge la

fracţia 1

0,00 1900

care nu este finită, contradicţie. Deci, fracţia dată este periodică.

6.95 : Considerăm punctele coliniare , ,A O B şi punctele , ,M N P de aceeaşi parte a dreptei AB

astfel încât MO ON şi OP bisectoarea unghiului AON . Ştiind că măsurile unghiurilor AON

şi MOB sunt direct proporţionale cu 4 şi 5, determinaţi m AOP , m POM şi m NOB .


40

Micii MATEMATICIENI

SOLUŢIE: Avem: 4m AON k , 5m MOB k , 090m MON . Din A O B coliniare

rezultă că 0 0 04 90 5 180 10k k k , de unde 040m AON şi 050m MOB . Atunci

0

01 4020

2 2m AOP m AON , 0 0 020 90 110m POM m PON m NOM ,

iar 0 0 090 50 140m NOB m NOM m MOB .

6.96 : Triunghiurile ABC şi ADC sunt situate în semiplane diferite faţă de dreapta AC . Fie

punctele E BC şi F DC astfel încât fiecare dintre măsurile unghiurilor BAE , EAC ,

CAF şi FAD este media aritmetică a măsurilor celorlalte trei unghiuri, iar AC EF .

Demonstraţi că ; ;d E AB d F AD şi AB AD .


SOLUŢIE: Din enunţ se deduce uşor că BAE EAC CAF FAD , de unde AE şi AF sunt

bisectoarele BAC , respectiv DAC . Rezultă că , ,d E AB d E AC şi , ,d F AD d E AC ,

conform proprietăţii bisectoarei. Ţinând cont că AO este bisectoare şi înălţime în AEF deducem

că , ,d E AC OE OF d F AC . Prin urmare, , ,d E AB d F AD , unde O AC EF .

Din proprietatea mediatoarei, rezultă că AE AF şi cum, ,CAE CAF AC AC că

CAE CAF LUL , de unde ACE ACF care împreună cu CAB CAD şi AC AC

conduce la CAB CAD LUL , de unde AB AD .

CLASA A VII-A

7.71 : Dacă ,x y şi 2 3 22x y , să se afle cea mare şi cea mai mică valoare a sumei x y

şi a produsului x y . PROF. NICOLAE IVĂŞCHESCU, CRAIOVA

SOLUŢIE: Notăm cu S x y şi cu P x y . Din 2x şi 22 numere pare rezultă că y este număr

par. Din ,x y şi 2 3 22x y , deducem că 3 22y 2;4;6y . Găsim 8;5;2x , de

unde 10;9;8S şi 16;20;12P . Prin urmare , max 10S , max 20P , min 8S , min 12P .

7.72 : Se consideră numerele prime a şi b cu proprietatea că numărul 9b b a a este pătrat

perfect. Comparaţi numerele a şi b . Aflaţi a şi b ştiind că a b este număr prim. PROF. IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Deoarece un pătrat perfect este 0 rezultă că 9 0b b a a . Vom demonstra,

prin reducere la absurd, că a b . Presupunem că a b . Cum 2 0b rezultă că 0b b a , de

unde

9 0a

0a , în contradicţie cu a număr prim ( , 2a a ). Aşadar, a b .

Numerele a şi b au parităţi diferite, căci altfel am avea a b este număr par şi prim 2a b ,

de unde 2b şi 0a , fals, întrucât 2a . Cum a b 2a . Obţinem 2 22 18b b k ,

k , de unde 2 21 19b k 1 1 19b k b k 1 1b k şi 1 19b k .

Eliminând k obţinem 11b şi 13a b , număr prim.

41

Micii MATEMATICIENI

7.73 : Explicaţi de ce ecuaţia 79 2015 43x x nu are soluţii în mulţimea reală. PROF. DOINA STOICA, LICEUL TEHNOLOGIC FRANCISC NEWMAN, ARAD

SOLUŢIE: Radicalii există dacă 79x şi 2015x , de unde 2015

79x

2015 1936x

2015 44x , de unde 43 79 2015 2015 44x x x , fals. Deci, nu are soluţii.

7.74 : Fie triunghiul ABC dreptunghic în A . Prelungim mediana AM cu MD AC și fie S

punctul de intersecție dintre bisectoarea unghiului CAM și bisectoarea unghiului CMD . Să se

arate că punctele C , S , D sunt coliniare dacă și numai dacă 054m ABC .


SOLUŢIE: Demonstrăm dubla implicaţie.

" ": Presupunem că punctele ,C ,S D sunt coliniare şi demonstrăm că 54 .m ABC Deoarece

AM mediană în triunghiul dreptunghic ABC rezultă că .AM BM CM Unghiul CMD fiind

exterior triunghiului isoscel AMC rezultă că 2 .m CMD m MCA Dar MS este bisectoarea

CMD rezultă că ,SMC MCA de unde .MS AC Dreapta AS secantă şi MS AC , deci

,ASM SAC SAM de unde AMS este isoscel cu .AM MS Cum SMD MAC

rezultă că ,CDM CAM adică CAD este isoscel cu .MD DC AC Dacă m ACM x

atunci ,m MAC x

2 ,m CMD x

,m ADC x

2 .m DCM x Utilizând suma

unghiurilor în ACD obţinem 36m CAD iar 54 .m ABC

" ": Ştim 54m ABC şi arătăm că 180 .m DSC Deoarece 54ABM BAM

36ACM CAM , 72m CMD şi MS bisectoare 36CMS MCA de

unde MS AC iar AMS isoscel cu .AM MS Însă AM CM de unde CMS isoscel, iar

72 .m MSC Pe de altă parte SMD MAC . .LU L de unde 108 .m MSD

108 72 180 ,m DSC m MSD m MSC adică punctele ,D ,S C sunt coliniare.

7.75 : Aflaţi , ,x y z ştiind că 5xy xz yz şi 2 2 2 0x y z y x z z x y xyz .


SOLUŢIE: Facem calculele în relaţia dată şi descompunem 2 2 2 2 2 2 0x y x z y x y z z x z y xyz

2 2 2 2 2 2 0x y xyz x z y x y z xyz z x z y xyz 0xy yz xz x y z

5 0x y z z x y . Înlocuind în 5xy z x y 2 5xy z 2 5z 0;1;2z

Dacă 0z 0x y 0x y 0 5xy , absurd. Dacă 1z 1x y 0x sau

0y , de unde 0xy , dar 4xy 0 4 , absurd. Dacă 2z , atunci 1xy 1x y .

7.76 : Se consideră triunghiul dreptunghic ABC cu 090m A , AB c , BC a şi AC b .

Să se arate că este adevărată egalitatea: 2

cos cosc B b C b c ctgB ctgC .


SOLUŢIE: Ţinând cont că cosc

Ba

, cosb

Ca

, c

ctgBb

, b

ctgCc

şi că 2 2 2a b c , concluzia

devine succesiv: 2

c b c bc b b c

a a b c

22 2c bb

a

c

2 2c b

b

c

2a

a

2

2a

A .

42

Micii MATEMATICIENI

7.77 : Rezolvaţi în mulţimea numerelor întregi ecuaţia: 2 2 7 9 32 0x y x y . PROF. MIRCEA MARIO STOICA, LICEUL TEORETIC ADAM MULLER GUTTENBRUNN, ARAD

SOLUŢIE: Avem: 2 24 3 12 4 5 20 0x x x y y y 4 3 4 0x x y .

Deoarece 1 0,n n n , rezultă că 4 3 4 5 0x x y y . Din că are loc

egalitate dacă 4 3 0x x şi 4 5 0y y ; 3; 5 , 3; 4 , 4; 5 , 4; 4x y .

7.78 : Se consideră triunghiul echilateral ABC având cevienele AP , BS şi CT concurente în

punctul M . Ştiind că AP BS CT , demonstraţi că M este centrul de greutate al ABC .

PROF. IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU SOLUŢIE: Fie 1A , 1B şi 1C mijloacele laturilor triunghiului echilateral

ABC . Atunci 1 1 1AA BB CC şi 01 1 1 90AA P BB S CC T .

Cum AP BS CT rezultă, conform cazului de congruenţă IC , că

1 1 1AA P BB S CC T , de unde 1 1 1

NOT

A P B S C T x . Se observă că

dacă 0x atunci 1A P , 1B S , 1C T AP , BS , CT sunt mediane,

de unde M este centrul de greutate al ABC . Vom arăta că 0x . Avem de analizat două situaţii: Dacă două dintre punctele , ,P S T se află pe un singur triunghi dintre 1 1AB C , 1 1BA C , 1 1CA B

(fie 1 1,T S AB C ), atunci TS BC şi BT CS BTSC este trapez isoscel, iar diagonalele se

intersectează pe mediatoarea bazelor, de unde 1M AA AP 1P A 1 0X PA .

Dacă toate cele trei puncte sunt în triunghiuri diferite, atunci AT BP CS l x , unde l este jumătatea laturii triunghiului echilateral, iar BT AS CP l x . Din teorema lui Ceva

rezultă că 1AT BP CS

BT CP AS

3 3l x l x 0x .

7.79 : Considerăm un triunghi ABC în care 090m B m C . Dacă AP BC , demonstraţi

adevărul egalităţii: 2PA PC PB . PROF. BOGDAN DORNEANU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Avem: 0 090 90m B m C B PC . Atunci 0180m ABP m ABC

090m ABP m C m PAC . Cum APB APC APB CPA PA PB

PC PA .

CLASA A VIII-A 8.62 : Determinaţi cea mai mică valoare a numărului:

2 2 22 1000001 6 652873 10 42874n a a b b c c , , ,a b c . PROF. MIRCEA MARIO STOICA, LICEUL TEORETIC ADAM MULLER GUTTENBRUNN, ARAD

SOLUŢIE: Avem 2 2 2

1 1000000 3 652864 5 42849n a b c . Cea mai mică

valoare a lui n este 1000000 652864 42849 1000 808 207 2015 .

8.63 : Să se rezolve, în mulţimea numerelor întregi, ecuaţia: 2 214 4 4x y x x .


A

B C1A

1B1C

P

ST

43

Micii MATEMATICIENI

SOLUŢIE: Avem 2 2196 16x y x 2 2 180x y x 2 1 180x y , de unde 2180x D

2 1;4;9;36x ; 1;181 , 2;46 , 3;21 , 6;6 , 1;181 , 2;46 , 3;21 , 6;6x y .

8.64 : Să se rezolve, în mulţimea numerelor reale, ecuaţia: 2014 2014 2014 3x x x ,

unde prin a s-a notat partea întreagă a numărului real a .


SOLUŢIE: Dacă 2014x 2014 2014x x 2014 3x 3 2014 4x 2017 x

de unde x . Dacă 2014x 2014 2014x x ecuaţia 2014 4031 2x x . Notăm

cu 2014k x , k 2

2014 1k x k

3

2 2 4028 2 2k x k

, de unde

3 2 4031 2 1 2k x k 2

3 2 1 2k

k k k

3 3 1k 1

13

k k , căci k

x . Prin urmare, ecuaţia nu are soluţii reale.

8.65 : Un bazin are forma unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile bazei exprimate în metri

şi 2L l . Pentru accesul în interiorul bazinului se construieşte o scară de la un vârf la centrul

bazei opuse. Ştiind că scara face cu planul bazei un unghi de măsură 030 şi că are lungimea de

2 3l l metri, determinaţi volumul în litri a bazinului.


SOLUŢIE: Fie / / / /ABCDA B C D paralelipipedul cu O , centrul bazei ABCD . Lungimea scării este

/ 2 3A O l l şi triunghiul dreptunghic /A OA are / 030m A OA . Rezultă că / /1

2h A A A O

şi / 0cos 30AO A O / 3AC A O. .T P

2 2 3 3L l l l 4l , 2h . Atunci volumul

este 3 332 2 32000 2V L l h m dm (litri).

8.66 : Considerăm ABC cu laturile de lungimi , ,a b c , ortocentrul H şi M , mijlocul laturii

BC . Fie D , simetricul lui H faţă de M . Să se afle aria şi volumul cilindrului circular drept cu

înălţimea de lungime abc şi având ca bază cercul circumscris triunghiului BDC . PROF. NICOLAE IVĂŞCHESCU, CRAIOVA

SOLUŢIE: Deoarece M este mijlocul segmentelor BC şi HD rezultă că BHCD este paralelogram,

de unde CD BH şi BD CH 090m ACD BH AC şi 090m ABD CH AB

0180m ABD m ACD ABDC este inscriptibil cercul circumscris BCD coincide cu

cercul circumscris dat ABC raza bazei este 4 4ABC

abc abcr

S p p a p b p c

şi ţinând

cont de formulele pentru arie 2tA r r h şi pentru volum 2V r h găsim valorile căutate.

8.67 : Fie numerele naturale , , , , ,a b p s m n pentru care ma b p şi na b s . Există m n

astfel ca numerele , , ,a b p s să fie simultan numere prime ? PROF. IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Răspunsul este afirmativ. Este suficient să luăm 1m n , 5a , 2b , 3s şi 7p .

44

Micii MATEMATICIENI

8.68 : Segmentele AB și CD sunt situate pe drepte necoplanare, iar M AB , N CD ,

Z MD , X MC , Y BN , T AN astfel încât 2 AM BM , 3CN ND , 3 ZD MZ ,

3 MX XC , 2 YN BY , 2 AT TN . Demonstrați că punctul X YZT .


SOLUŢIE: În MCD avem 3

1

CX CN

XM ND , de unde, conform reciprocei teoremei lui Thales, aflăm

că XN MD . În mod analog, ZN MC , adică patrulaterul MXNZ este paralelogram, deci MN şi

XZ au acelaşi mijloc P . Se arată asemănător că MYNT este paralelogram, deci MN şi TY au

acelaşi mijloc XZ şi YT au acelaşi mijloc, de unde XYZT este paralelogram X YZT .

*** ZÂMBETUL ŞTIINŢEI

ÎN ACEASTĂ RUBRICĂ VOM TRECE ÎN REVISTĂ CÂTEVA ANECDOTE SEMNIFICATIVE ŞI AMINTIRI DIN VIAŢA CELOR MAI DE FRUNTE MATEMATICIENI .

"Omul pentru care faptul că "2 2 4" e de la sine înţeles nu va deveni niciodată mare

matematician" BERTOLT BRECHT (1898-1956, DRAMATURG, POET ŞI REGIZOR GERMAN)

GOTTFRIED WILHELM FREIHERR LEIBNIZ (1646-1716, FILOSOF ŞI MATEMATICIAN GERMAN)

Gottfried Leibniz era credincios in felul său. Pentru el posibilitatea de a scrie toate numerele cu ajutorul simbolurilor "0" şi "1" , adică cu ajutorul sistemului binar, constituie demonstraţia

matematică a creaţiei lumii din nimic, Dumnezeu fiind "1" , iar nimicul "0" .

PAFNUTI LVOVICI CEBÂŞEV (1821-1894, MATEMATICIAN RUS)

Atunci când în anul 1884 studenţii Universităţii din Petersburg i-au dăruit academicianului P. L. Cebâşev culegerea de lucrări, proaspăt ieşită de sub tipar a cercului de matematică condus de el, Pafnutii Lvovici le-a spus: – Scrieţi, scrieţi domnilor, dar nu uitaţi, că în timpurile noastre este mai uşor şă găseşti trei cărţi decât un cititor.

CARL FRIEDRICH GAUSS

(1862-1943, MATEMATICIAN, FIZICIAN ŞI ASTRONOM GERMAN)

Carl Gauss se distingea încă din şcoală prin agerimea minţii sale. Odată învăţătorul său îi zise: – Carl, aş vrea să-ţi dau două întrebări. Dacă la prima o să răspunzi corect, apoi la a doua poţi să nu mai răspunzi. Aşadar, câte ace are bradul şcolii noastre, împodobit de Anul Nou ? – 65786 de ace, domnule învăţător, – a răspuns imediat Gauss. – Bine, dar cum ai aflat acest lucru? – îl întrebă învăţătorul. – Această întrebare de acum este cea de a doua, – remarcă cu promptitudine elevul.

CULESE DE NEICU MARA, ELEVĂ, CLASA A XII-A

45

Micii MATEMATICIENI

MATEMATICA LICEALĂ CLASA A IX-A

9.63 : Fie funcţiile , :f g , 5f x x şi 5 1g x x . Deteminaţi f g şi g f .


SOLUŢIE: Avem :f g şi :g f având legile de corespondenţă:

5 1 54 1

5 1 5,dacă ;15 5

5

5 1 51 6

5 1 5,dacă ;15 5

, 5 5

, 5 5 1 54

5 1 5,dacă ;15

5

5

5 1 5,dacă

x

x xx

x

x xx

g x g xf g x f g x

g x g x x

x xx

x

45 4, ;

5

4 15 4, ;

5 5

1 65 6, ;

5 5

65 6, ;

1 5 56

;15

5

x x

x x

x x

x xx

xx

şi

15 4

5 5 1,dacă 4 ;555

5

15 1

5 5 1,dacă 5;55155 1, 55

1 15 1, 5 4

5 5 1,dacă ;45 55

5

xx x

x

xx x

f x f x xg f x g f x

f x f x xx x

x

45 24, ;4

5

45 24, 4 ;5

5

15 26, 5;5

5

15 26, 5 ;

1 55 1

5 5 1,dacă 5 ;55

5

x x

x x

x x

x x

xx x

x

9.64 : Numerele ,a b și x verifică relația x a b a b . Demonstrați că

1a b şi că x este număr irațional. PROF. MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS

SOLUŢIE: Prin ridicare la pătrat, obţinem: 0a b a b 1 0a b a b .

Deoarece 0a b , ,a b rezultă că 1a b , de unde 1x a b a a .

Dacă a nu este pătrat perfect, atunci a este iraţional şi cu atât mai mult rezultă că /x .

Dacă a este pătrat perfect, atunci 2 ,a n n şi 2 1x n n . Din 1n x n /x .

9.65 : Fie , ,x y z cu proprietatea că x y z . Arătaţi că 3 3 3

32 2 2 n

x y z

x y z

2nz .


SOLUŢIE: Din 2x y z 2 2 22x xy y z 2 2 2 2 1x y z xy . Din 3x y z

3 3 33x y xy x y z 3 3 3 3 3 2x y z xy x y xyz . Deci3 3 3

32 2 2 n

x y z

x y z

2nz .

46

Micii MATEMATICIENI

9.66 : Arătaţi că partea întreagă a numărului 1 1 1 1

1 ...2 3 29 30

este egală cu 10.


SOLUŢIE: Din 1 1k k k , k rezultă că 1 2 1k k k k k , k ,

de unde 1 1 1

1 2 1k k k k k

, k

11 1

2k k k k

k , k .

Sumând de la 1 la 30, obţinem inegalităţile: 30 30 30

1 1 1

12 1 2 1

k k k

k k k kk

1 1 19,1 2 31 2 1 ... 2 30 10,96

2 3 30 . Deci,

1 1 11 ... 10

2 3 30

.

9.67 : Rezolvaţi ecuaţia 2 1

5 43

xx

, unde a reprezintă partea întreagă a numărului a .

PROF. MIHALY BENCZE, SĂCELE, BRAŞOV

SOLUŢIE: Avem: 2 1

5 4 5 33

xx x

15 12 2 1 15 9x x x 12 13 1 9x

13 13 10x 10

113

x 50

5 513

x 2

1 5 413

x . Deoarece 5 4x ,

rezultă că 5 4 0;1x , de unde 4

;15

x

.

9.68 : Determinaţi mulţimea 0 1 2; ; ;...; nA a a a a pentru care 1 , ,k k ka a a k k n

,

şi 32na , unde prin x s-a notat partea întreagă a numărului real x .

PROF. AUREL NEICU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU SOLUŢIE: Din relaţia de recurenţă deducem că 0 1 2 1, , ,..., ka a a a sunt numere naturale şi distincte.

Pentru 0;1;2;...; 1k n avem: 41 1k k k ka a a a

441 1k k k ka a a a

Avem 31 32n na a 1 3na . Dacă 1 3na , atunci 4 43 3 32 4 A şi 4

2 2 3n na a

2 0;1na . Atunci: 0;1;3;32A sau 0;3;32A sau 1;3;32A . Dacă 1 2na , atunci 4

2 2 2n na a 2 0;1na . Atunci: 0;1;2;32A sau 0;2;32A sau 1;2;32A .

9.69 : Demonstraţi că ecuaţia 2 2 2 22 2 2 1 0x a b x a b b are soluţii reale şi

pozitive, ştiind că ecuaţia cu coeficienţi reali 2 0x ax b are soluţii reale. PROF. IOSIF MIHAI PAULIUC, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Ecuaţia 2 0x ax b are soluţii reale implică că 1 0 2 4 0a b . Ecuaţia

2 2 2 22 2 2 1 0x a b x a b b are soluţii reale 22 2 22 2 4 2 1 0a b a b b

2 22 22 1 4 1 0a b a b

24 24 1 4 1a a b b

224 4 1a b 0

4 2 24 4a a b a 24a 0 2 2 4 0a a b 2 4 0a b 1 0 A din . Vom arăta că

soluţiile 1,2x sunt pozitive. Din 22

1 2 1 0x x a b 1 2,x x au acelaşi semn. Vom demonstra

47

Micii MATEMATICIENI

că 1 2 0x x 2 2 2 0a b , evident adevărată pentru 0b . Dacă 0b1

2 0b

, de unde

212a b

2 2 0a b

2 2 2 2 0a b 1 2 0x x .

9.70 : Se consideră funcţia : ; ;f a a , 2f x ax bx c cu proprietatea că

intervalul ;a este maximal pentru a asigura inversabilitatea funcţiei f .

a) Să se determine funcţia f ştiind că , ,a b c sunt în progresie geometrică (în această ordine).

b) Să se determine funcţia f ştiind că , ,a b c sunt în progresie aritmetică (în această ordine).

PROF. IOAN SĂCĂLEANU , COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Presupunem că 0a : 0; 0;f , f x bx c este de gradul întâi. Dacă

0b , atunci f este strict descrescătoare Im ;f c Im 0;f f nu este şi

surjectivă, în contradicţie cu ipoteza. Dacă 0b f este strict crescătoare Im ;f c

0; ;c 0c . Condiţiile de progresie de la a) şi b) ne conduc la 0b f x c

Im 0;f c , contrazice surjectivitatea funcţiei .

Deci, 0a . Atunci, din injectivitatea funcţiei Va x 22 0b a , iar, din surjectivitate

Vy a şi 0a 24a 2 24 4b ac a 4 2

:44 4 4

aa ac a 3c a a .

a) Deoarece , ,a b c în progresie geometrică 2b a c 4 34a a a a 2 24 1a a

5

5a

5

5a ,

2

5b ,

4 5

25c .

b) Din , ,a b c în progresie aritmetică 2b a c 2 3

: 04

aa a a a

2 4 2 0a a cu

24 1,2 2 6a 6 2a , 20 8 6b , 42 17 6c .

9.71 : Fie ,x y cu proprietatea că 3x y . Arătaţi că 3 3 1, ,

3x y x y .

PROF. MADLENA BULBOACĂ, LICEUL PEDAGOGIC DIMITRIE ŢICHINDEAL, ARAD

SOLUŢIE: Avem 3 3 3 3x y x y xy x y 3 327 9x y xy 3 3 27 9x y xy .

Atunci 3 3 1

3x y

127 9

3xy

80

27xy 27 3 80x x 227 81 80 0x x , care

este adevărată pentru orice x , căci 27 0a şi 281 4 27 80 2079 0 . 9.72 : Numerele reale pozitive , , ,x y z t verifică egalitatea: 12x y z t . Demonstraţi

inegalitatea 2 2

2 2 49 25

z tx y . În ce caz avem egalitate ?

PROF. MIHAI CRĂCIUN, COLEGIUL NAŢIONAL MIHAIL SADOVEANU, PAŞCANI

SOLUŢIE: Cu inegalitatea lui Cauchy 2 2

2 2 2 2 2 21 1 3 5 1 13 5 3

z t zx y x y

35

t 5

2

2 212x y z t . Obţinem

2 22 2 144

49 25 36

z tx y . Egalitatea se realizează dacă avem

1

1 1 9 25 36 3

x y z t x y z t , de unde

1

3x ,

1

3y , 3z şi

25

3t .

48

Micii MATEMATICIENI

9.73 : Să se determine numerele pozitive 1x , 2x , ..., 89x care verifică egalităţile:

1 2 89... 1x x x şi 00 0

891 2 891 22 2 ... 2 178x tgx tg x tg . PROF. MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS

SOLUŢIE: În formula: 090 1tgx tg x tgx ctgx dând valorile 0 0 0 01 ;2 ;3 ;...,44 lui x , obţinem:

0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 01 2 ... 44 45 46 ... 88 89 1 2 ... 44 45 44 ... 2 1 45 1tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg ctg ctg ctg ctg tg .

Din faptul că 1 2 3 89... 1x x x x şi inegalitatea mediilor pentru 89 891 1 2 22 , 2 , ..., 2x tgxx tgx x tgx avem: 89

891 2 89 1 2 891

89 8989 89 89 ... ... 89 8989

11

178 2 89 2 89 2 89 2 89 2 89 2 178k k

k k k k k

x tgxx x x tgx tgx tgxx tgx x tgx

kk

.

Deducem că 1 1 2 2 89 89...not

x tgx x tgx x tgx p 89

1 2 1 2... ... 1p x x tgx tgx 1p .

În concluzie, 0

0

1, 1,89kx ctgk k

tgk .

9.74 : Într-un patrulater convex ABCD , se consideră punctele M BC , N DC şi P care

verifică 4AP PM

şi 3 2BP PN

. Arătaţi că AB DC

dacă şi numai dacă 2BD MN

. PROF. AUREL NEICU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Notăm 0NC

tDC

şi 0BM

kBC

. Din M BC şi N DC rezultă că NC t DC

şi BM k BC

. Atunci 4 4 5 4AB AP PB PM PB PB BM PB PB BM

3 2 4 2 2 4 2 4 2 2 4AB PB PB BM NP PB BM NB BM NC CB k BC

2 4 2AB t DC k BC

1 , iar 1MN MB BC CN k BC t DC

2 .

Deoarece

1 1

2 1 4 2 0 2 1 4 2 02

AB DC t DC k BC t k t k

, iar

21 1 1 1 1 1

1 02 2 2 2 2 2

MN BD k BC t DC BC DC k BC t DC k t

,

deducem echivalenţa cerută în enunţ.

9.75 : Numerele , ,a b c verifică: 2

8a b c ab . Demonstraţi că c nu se află între a şi b .


SOLUŢIE: Fără a restrânge generalitatea presupunem că a b . om demonstra prin metoda reducerii

la absurd. Presupunem că ;c a b . Deducem imediat că 0a b , de unde ,a b au acelaşi semn.

Dacă 0a , 0b , atunci 0 2a b a b c 2 2

2 8a b a b c ab , de unde găsim

că 2 24 4 8a ab b ab 2

0 2 0a b , absurd. Dacă 0a , 0b , atunci avem că

2 0a b c a b 2 2

2 8a b a b c ab , de unde găsim că 2 24 4 8a ab b ab

2

0 2 0a b , absurd. Prin urmare c nu se află între a şi b .

49

Micii MATEMATICIENI

CLASA A X-A

10.42: Patrulaterul ABCD are ADC ABC şi AD BC . Atunci 2 2AD AC AB DC .


SOLUŢIE: Notăm m ADC a şi m ACD t . Aplicând teorema sinusurilor în ADC ,

respectiv ABC : sin sin

AD AC

t a ,

sin sin

BC AC

BAC a

, obţinem sin sint BAC , de unde b BAC

sau 180b BAC . Dacă m BAC b , atunci AB DC ABCD este trapez isoscel

m BCD a 090a 2 2 2 2AC AD DC AD DC AB 2 2AC AD DC AB ,qed.

Dacă 0180m BAC t , atunci 2 2 2 2 cosAD AC DC AC DC t (teorema cosinusului) şi 2 2 2 2 cosBC AC AB AC AB t . Prin scădere, 2 2 2 cos 0AB DC AC t AB DC , de

unde cos2

DC ABt

AC

1 . Tot cu teorema cosinusului: 2 2 2 2 cosAC AD DC AD DC a şi

2 2 2 2 cosAC BC AB BC AB a

2 cos 0AB DC AB DC AD a .

Dacă 0AB DC 1

cos 0t 090t . .T P

2 2 2AD AC DC 2 2AC AD DC AB .

Dacă cos2

AB DCa

AD

, atunci

sin

teorema

usurilor

sin sin

AD AC

t a 2 2 2 21 cos 1 cosAD a AC t

2 2

2 2

2 24 1 4 1

4 4

DC AB AB DCAD AC

AD AC

2 22 24 4AD DC AB AC AB DC

2 24AD DC 22DC AB AB 2 24AC AB 22DC AB DC 2 2AD AC AB DC .

10.43: Rezolvaţi, în mulţimea numerelor reale, ecuaţia: 2015 2013 2015 2015 2014x x x . PROF. MIRCEA MARIO STOICA, LICEUL TEORETIC ADAM MULLER GUTTENBRUNN, ARAD

SOLUŢIE: Avem: 2013 2014

2015 1 20152015 2015

x x

f x g x ,

unde : 0;f , 2014

20152015

x

f x

, iar :g ,

2013

2015 12015

x

g x

sunt funcţii logaritmice cu baze subunutare.

Se observă că graficele celor două funcţii au un singur punct comun şi anume 1;2014P .

10.44: Să se rezolve ecuaţia: 2 2 1 ln 0,nx x x n .


SOLUŢIE: Ecuaţia se mai scrie: 2 2 2 1ln lnn n n nx x x x 2 2 1 2ln lnn n n nx x x x

1n nf x f x , unde : 0;f , 2 lnf x x x este o funcţie strict crescătoare pe 0; ,

întrucât este suma dintre funcţia logaritmică cu baza 1e şi funcţia de gradul al doilea. Atunci

ecuaţia este 1n nx x 0;1x . Deci, 1S .

2016

2015

2014

1

fG

gG

50

Micii MATEMATICIENI

10.45: Rezolvați ecuația

3

13

3

log 3lg 41

3 710

xx

.


SOLUŢIE: Ecuaţia are sens pentru 27;x . Notăm 31

3

log 3x a şi 3lg 4x b , iar de aici

avem: 313

3

a

x

şi 310 4b x 3 3 3ax şi 3 10 4bx , de unde 3 10 7 1a b

Ecuaţia din enunţ devine: 10 3 7 2a b . Adunând relaţiile 1 şi 2 vom obţine:

3 3 10 10 0a b a b . Parantezele au acelaşi semn cu a b . Pentru a avea egalitate trebuie

ca a b , de unde 2 10 3 7b b 1 3

7 110 10

b b , care are soluţia unică 1b , deoarece

funcţia : lg7; 0;f , 1 3

710 10

b b

f x

are 1 1f şi este strict descrescătoare, deci

injectivă. Obţinem că 1 33 10 4 6 6 216 27;x x .

10.46: Arătaţi că este adevărată inegalitatea: 25 5log 5 1 log 5 1x x x , 0;x .

PROF. MADLENA BULBOACĂ, LICEUL PEDAGOGIC DIMITRIE ŢICHINDEAL, ARAD

SOLUŢIE: Din 2 25 1 5x x 2 25 5log 5 1 log 5 2x x x . Se ştie că

2

4

a ba b

, ,a b .

Atunci:

2 22 2

5 5 5 25 5

log 5 1 log 5 1 log 5 1 4log 5 1 log 5 1

4 4 4

x x x

x x xx

.

10.47: Determinaţi afixul ortocentrului H al triunghilui ABC în funcţie de afixele vârfurilor triunghiului ortic asociat.

PROF. MARIUS BREŞUG, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS

SOLUŢIE: Fie ABC şi triunghiul său antiortic // / / / /A B C

că ABC este triunghiul ortic al / / / / / /A B C . Deoarece

ortocentrul I al / / / / / /A B C coincide cu centrul cercului înscris în ABC , problema revine la a determina afixul centrului

înscris în ABC . Notăm BC a , AB c , AC b şi cu /A

piciorul bisectoarei din A / / /A AA BC . Aplicând

teorema bisectoarei în ABC , avem /

/

A B c

A C b . Atunci

/B C

A

b z c zz

b c

şi /

/ C BBA

c z z a cBA z z

b c b c

.

Aplicând teorema bisectoarei în /ABA , avem succesiv: / /IA BA a

IA BA b c

şi atunci

/

1

AA

I

az z

b cza

b c

, de unde concluzia că A B CI

a z b z c zz

a b c

.

AB

C//A

/A

//B

/B

//C/C

I

51

Micii MATEMATICIENI

10.48: Arătaţi că un triunghi pentru care punctele O şi coincid este echilateral, unde O este centrul cercului circumscris şi este punctul lui Gergonne asociat triunghiului.

TEMISTOCLE BÎRSAN, IAŞI

SOLUŢIE: Fie D punctul de contact al cercului înscris ABC cu latura BC . Se ştie că BD p b

şi CD p c ; ca urmare BD p b

DC p c

, cu notaţiile uzuale , , ,

2

a b ca BC b AC c AB p

.

Fie 0A punctul în care diametrul cercului circumscris ABC ce trece prin A intersectează latura BC .

Din faptul că acest diametru şi înălţimea dusă din A sunt izogonale (formează cu laturile din

unghiuri congruente), rezultă că 02

m A AC B

; similar,

02

m A AB C

. Cu teorema sinusurilor, aplicată în 0A AB şi

0A AC , obţinem: 0

0

sincos2

cossin

2

C cBA c C

A C b BB b

. Coincidenţa punctelor O

şi revine la coincidenţa punctelor 0A şi D şi a analoagelor lor: 0B şi E , 0C şi F ; adică la

egalitatea cos

cos

c C p b

b B p c

şi analoagele ei cos cos cosa p a A b p b B c p c C . Scriind

aceste egalităţi sub forma

cos cos cosp p a p p b p p c

A B Cbc ac ab

şi ţinând cont de

formulele lui Neper

cos2

p p aA

bc

şi analoagele, de 2 1 cos

cos2 2

A A şi analoagele, obţinem

2 2 2cos cos cos cos cos cos2 2 2

A B CA B C 2 2 2cos cos cos cos cos cos

not

A A B B C C k .

Funcţia :f , 2f x x x k are ca rădăcini numerele cos A , cos B şi cosC . Deoarece o

ecuaţie de gradul al doilea are cel mult două soluţii, rezultă cel puţin două dintre rădăcini sunt egale.

Fie acestea 1 cos cosx A B . Cum funcţia cosinus este strict descrescătoare pe 0; , deci

injectivă A B , de unde 22 cos cos 2 cos 2 1 2 cosx C A A A . Din relaţiile lui

Viètte avem 1 2 1x x cos 1A 22cos 1A , de unde 1

cos2 3

A A B C

sau

cos 0A2

A B

şi 0C , ,A B C coliniare, fals. Deci, ABC este echilateral.

CLASA A XI-A

11.34: Rezolvaţi, în mulţimea 2 , ecuaţia matricială 237 28

21 16X

.

PROF. DOINA ŞI MIRCEA MARIO STOICA, ARAD

SOLUŢIE: Fie 2

x yX M

z t

. Din

22

2

x yz xy ytX

xz tz yz t

28y x t , 21z x t şi

2 37x yz ; 2 16yz t

21x t x t 721;28x t M M 1; 7x t 21; 3x t ,

de unde ; ; ; 5; 4; 3; 2 , 5;4;3;2 , 11;28;21; 10 , 11; 28; 21;10x y z t .

A

B C0AD

O

E

0B

F0C

52

Micii MATEMATICIENI

11.35: Fie şirul n nx

cu 1n

nx a , a . Studiaţi convergenţa şirului 0

n

n kk

S x

.

PROF. IOSIF MIHAI PAULIUC, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Dacă 1a , atunci 0nx 0nS şirul n nS

este convergent. Pentru 1a avem

1 1

11

n

n

aS n

a

. Dacă 1a 1lim 0n

na

lim n

nS

n n

S este divergent. Dacă

1a 1lim n

na

1

1 1

1 1 1 1lim lim 1 0

1 1n

n n nn n

nS a

a a a a

nS

este divergent. Dacă 1a a b cu 1b , atunci considerăm următoarele subşiruri:

1

1 1

1

1 1

1 1 11 ,

1

1 1 11 ,

1

n

n n

n

n

n n

nb pentru n par

b b bS

nb pentru n impar

b b b

. Rezultă că şirul n nS

nu are limită.

Prin urmare, şirul n nS

este convergent numai pentru 1a .

11.36: Calculați 1

1lim lim ...

n

n xk f dek ori

f f fn

, unde :f ,

21

xf x

x

.


SOLUŢIE: Vom demonstra prin inducţie matematică : 2

... , :1n ori

xf f f x n P n

n x

I. Arătăm 1P adevărată 21 1

xf x

x

f x f x , A .

II. Ştim P k adevărată 2

...1k ori

xf f f x

k x

. Demonstrăm că 1P k este adevărată

2

...1 1k ori

xf f f x

k x

2 21 1 1

f x x

k f x k x

2 2 2 21 1 1

x x

x k f x k x x

1 2 2k f x x 2 2 1kx f x 2 2kx x :k 21 x

2

21

x

x

2x A

21

1 1lim lim lim lim

1

n

n x n xk

x xL

n nkx

x

1

1

2

1

lim1

n

nk

nk

k

nk

x

. Aplicăm criteriul Stoltz

Cesaro

1

1 1

1 1

1 1lim lim

1 1

n n

k k

n n

n nk kL

nn n n

1 n limn

n

11 1

n

n

2

11

n

.

NOTA REDACŢIEI: Avem: 11

0 0 01

1 1 1lim lim ; ; lim 2lim 2

n

n

n kn

k

L f c xn k x

n

,

unde 1 2 1

0; ; ;...; ;n

nn

n n n

este diviziunea echidistantă a intervalului 0;1 cu norma diviziunii

53

Micii MATEMATICIENI

1n

n tinzând la zero, şirul de puncte intermediare , 1;k

kc k n

n şi funcţia continuă

: 0;1f , 1

f xx

, integrabilă pe 0;1 .

11.37: Să se calculeze puterea a n -a a matricei

5 13

2 2

0 2 1

2 1 0

A

.

PROF. CLAUDIA BUHA, LICEUL TEHNOLOGIC FRANCISC NEWMAN, ARAD

SOLUŢIE: Teorema lui Hamilton-Cayley susţine că orice matrice pătratică de ordin 3 îşi satisface

propria ecuaţie caracteristică: 3 3detnot

Ap x A x I O 3Ap A O . Polinomul caracteristic

este 3

5 13

2 2

1 0 2 1 3 2 0 5 2 3 0

2 1A

x

p x x x x x x x

x

, de unde

3 2 2 24 4 1 4 1 1 4 1 2 2Ap x x x x x x x x x x x x .Aflăm restul

împărţirii lui nX la Ap X . Avem: 22 1 2nX X X X C X a X b X c . Dând

lui x valorile 2, 1, 2 obţinem sistemul de ecuaţii: 4 2 2na b c ; 1a b c şi

4 2 2n

a b c , de unde 3 2 4 2

12

nn

a

, 2 2

4

nn

b

şi 8 3 2 2

6

nn

c

.

Atunci nAA p A

3

23

3 2 4 2 2 2 8 3 2 2

12 4 6

n n nn n n

OC A A A I

.

Calculăm

2

1 15 10 1 3 53 3 2

8 2 42 2 2 2 2 2

3 0 2 1 4 1 2 2 3 2

5 1 6 3 23 2 2 2 1 2 1 1

2 2

A

şi obţinem că

1

27 2 2 16 32 23 2 39 2 32 27 2 5 2

12 48 24

3 2 2 4 4 3 2 2 8 3 2 5 2

6 12 12

2 2 1 2 2 2

n n nn n n

n n nn n nn

n n n

A

.

11.38: Să se arate că are loc: 2

2 2 sin1 1 sin 2 1

2

x xx x

, pentru 1;1x .

PROF. AUREL NEICU , COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Vezi Nota matematică de la pagina 8.

54

Micii MATEMATICIENI

CLASA A XII-A

12.35: Aflaţi funcţia polinomială :f ştiind că / / / ,f x f x f x x şi / / 0 2f .

PROF. IOSIF MIHAI PAULIUC, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

SOLUŢIE: Dacă grad f n , atunci / 1grad f n şi / / 2grad f n . Din / / /f f f rezultă că

1 2n n n 3n , de unde 3 2f x ax bx cx d cu derivatele / 23 2f x ax bx c

/ / 6 2f x ax b . Din / / 0 2f 1b . Înlocuind în egalitatea din enunţ şi identificând

coeficienţii, obţinem: 218a a , de unde 1

18a ; 4 6ac c , de unde 6c şi 12d .

Prin urmare, :f , 3 216 12

18f x x x x este funcţia căutată.

12.36: Să se determine toate funcțiile :f care admit primitive și verifică egalitatea:

2 ,f x F x x x , 1 1f , unde F este o primitivă fixată a lui f .


SOLUŢIE: Pentru 1x avem 1 1 1f F 1 1F . Atribuind lui : 2x x obţinem

egalitatea 2 2f x F x x , de unde 2 2 2 2f x F x f x F x x , care se scrie:

/ /2 2 2 2F x F x F x F x x /

2 2 2F x F x x . Prin integrare, obţinem

22 2F x F x x x k . Pentru 1x 2 1 1 2F k k . Cum 2 2 2 0,x x x

2 0.F x F x Obţinem

2

2

2 2 2

f x f x F x x

F x F x F x x x

. Prin integrare, se obţine că

/

2 2 2

F x xdx dx

F x x x

22

1 2 2 1ln

2 2 2 1 1

xF x k dx dx

x x x

, de unde

21ln ln 2 2 1

2F x k x x arctg x 2ln 2 2 1 12 2 2

x x arctg x arctg xF x e x x e

căci, pentru 1 0x k . Atunci

1

22 2 2 2 2

arctg xx xf x e

F x x x

, de unde

soluţia unică 1

2 2 2

arctg xxf x e

x x

.

12.37: Funcţia derivabilă : 0; 0;f cu 0 1f admite primitiva : 0; 0;F cu

1 1F . Demonstraţi că şirul n nx

definit prin 1

0

nx

nx f t dt şi lim 1nn

x

este crescător.


SOLUŢIE: Din definiţia funcţiilor rezultă că 0F x şi 0, 0;f x x , de unde 0 0F şi

0

0,nx

f t dt n 0,nx n . Cum F derivabilă pe 0; F continuă pe 0; nx ,

n . Formula Leibnitz-Newton ne dă: 1

0

0nx

n nx f t dt F x F . Trecem la limită:

55

Micii MATEMATICIENI

1lim lim 0n nn n

x F x F

1 1 0F F 1 0 1 1F F 0 0F 0 0F şi

1 1F . Deci, 1 ,n nx F x n .

Vom demonstra prin inducţie matematică faptul că n nx

este strict crescător

1, :n nx x n P n Etapa 1: Arătăm că 0P este adevărată 0 1x x 0 0x F x . Din F

primitivă / 0, 0F x f x x F este crescătoare pe 0; . Considerăm funcţia

: 0; 0;g , g x x F x 0 0 0g F şi 1 1 1 0g F . Avem:

/ 1g x f x ; / / / 0g x f x /g este descrescătoare pentru 0x / / 0g x g

/ 1 0g x f / 0g x g este descrescătoare pe 0; 0 0g x g

, 0;x F x x , de unde 0 0x F x q.e.d.

Etapa 2: Ştim că P k este adevărată 1k kx x . Demonstrăm că 1P k este adevărată

1 2k kx x 1k kF x F x

1k kx x , adevărată din ipoteza inductivă. Q.E.D.

12.38: Calculaţi integrala: 2

2 3

3 2 3cos sin

cosx

x x x xI dx

x e x

.


SOLUŢIE: Numitorul 2 3 cosxf x x e x are derivata / 32 3 sinxf x x e x . Atunci

/ 23 2 3 sin 3cosf x f x x x x x .Rezultă că

/ /33

f x f x f xI dx dx x

f x f x

2 33 ln 3 ln cosxI x f x k x x e x k

12.39: Arătaţi că rădăcinile polinomului 3 2X aX bX c sunt în progresie aritmetică dacă şi

numai dacă 32 27 9a c ab . TEMISTOCLE BÎRSAN, IAŞI

SOLUŢIE: Condiţia ca rădăcinile 1x , 2x , 3x să fie în progresie aritmetică se scrie: 1 3 22 1x x x .

Relaţiile lui Viète: 1 2 3x x x a , 1 2 2 3 3 1x x x x x x b , 1 2 3x x x c , ţinând cont de 1 ,

se scriu: 23 x a , 2 1 3 1 3x x x x x b , 1 2 3x x x c sau 23 x a , 22 1 22 x x x b ,

1 2 3x x x c şi, înmulţind a doua relaţie cu 2x , obţinem: 32 1 2 3 22 x x x x b x ; înlocuind aici

pe 2x din relaţia 23 x a , vom avea în final 32 27 9 3a c ab . Invers, dacă rădăcinile

polinomului verifică relaţia 3 , atunci, utilizând relaţiile lui Viète 2 , obţinem:

3

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 32 27 9 4x x x x x x x x x x x x x x x .

Vom arăta că relaţia 4 este echivalentă cu 1 sau analoagele ei. Într-adevăr, cu calcule de rutină,

avem: egalitatea 4 3 3 3 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 2 2 3 2 3 1 3 1 32 6 3x x x x x x x x x x x x x x x x x x

2 2 2 2 2 23 1 2 1 2 3 1 3 2 3 1 2 1 3 1 2 3 1 3 2 32 5 2 2 5 2 2x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

2 2 23 1 2 1 3 1 2 3 1 3 2 32 5 2 2 0x x x x x x x x x x x x , de unde avem descopunerea

1 2 3 2 1 3 3 2 12 2 2 0x x x x x x x x x 1 2 32x x x sau 2 1 32x x x sau 3 1 22x x x .

56

Micii MATEMATICIENI

PROBLEME PROPUSE

MATEMATICA PITICĂ

P.157: Catinca a cules viorele. A oferit 5 şi i-au rămas de trei ori mai multe decât triplul numărului de viorele oferite. Câte viorele a cules?

PROF. ÎNV. PRIMAR TEREZA RUGINĂ, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU P.158: Cu cele 36 abţibilduri şi cu ale fratelui său, Ioana a decorat şase dulapuri cu câte nouă

abţibilduri. Aflaţi câte abţibilduri are fratele său ? PROF. ÎNV. PRIMAR ADRIANA MELINTE, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

P.159: Eu am 10 ani. Când m-am născut eu, bunicul avea dublul vârstei mamei mele. Dacă mama

are cu 4 ani mai mult dacât împătritul vârstei mele, câţi ani avea bunicul la naşterea mea ? OANA PAVEL, ELEVĂ, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

P.160: La cercul de matematică „Micii matematicieni” s-au înscris la începutul anului școlar 12

băieți și 8 fete. În fiecare săptămână se mai înscriu 2 fete și un băiat. Câți membri va avea cercul atunci când numărul băieților va fi egal cu cel al fetelor?

PROF. ÎNV. PRIMAR MARIETA MUŞEI, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

P.161: Un număr este mai mare decât altul cu 77. Suma dintre o şeptime din primul şi o şeptime din

al doilea este 35. Aflaţi numerele. PROF. ÎNV. PRIMAR MARIANA DÎRVARIU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

P.162: Maria a numărat florile din grădina bunicii: 12 trandafiri și 8 crizanteme. Constată că în

fiecare zi au mai înflorit 2 crizanteme și 1 trandafir.Câte flori vor fi în total atunci când numărul trandafirilor va fi egal cu numărul crizantemelor?

PROF. ÎNV. PRIMAR MIRELA MUNTEANU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU P.163: În patru lăzi sunt cantităţi egale de portocale. Dacă din fiecare ladă se iau 45 kg de portocale,

rămân în toate lăzile, la un loc, atâtea kg de portocale câte erau la început în fiecare ladă. Câte kg de portocale erau la început în cele patru lăzi la un loc ?


P.164: Mama, tata și cei doi fii ai lor au împreună 124 ani. Vârstele părinților, cât și vârstelor celor

doi fii sunt reprezentate prin numere naturale consecutive. Câți ani are fiecare dintre ei, dacă copiii au împreună de 3 ori mai puțini ani decât părinții lor ?


P.165: Anul înființării Colegiului Național „Ștefan cel Mare” Hârlău este reprezentat de un număr de

patru cifre impare distincte. Știind că cifra miilor este cel mai mic număr natural nenul, că diferența dintre cifra zecilor și cea a unităților este 2, iar suma dintre cifrele sutelor, a zecilor și unităților este 17, să se afle câți ani „aniversează” Colegiul în anul 2015.


P.166: Ștefania a cumpărat un stilou, două pixuri și două ascuțitori pentru care a plătit 60 lei. Un pix

costă de 3 ori mai mult decât o ascuțitoare sau un sfert din prețul stiloului. Cât costă fiecare obiect cumpărat de Ștefania ?


57

Micii MATEMATICIENI

P.167: Cei 24 de elevi ai clasei a II-a A au plecat împreună cu învăţătoarea lor în excursie. Ei vor să

traverseze un râu, cu barca. Proprietarul bărcii le spune că în barcă încap 6 persoane. Câte traversări ale râului va face acesta pentru a-i transporta pe malul celălalt ?

PROF. ÎNV. PRIMAR MARIANA DÎRVARIU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU P.168: Andreea are o colecţie de păpuşi. Ea vinde jumătate din sfertul numărului de păpuşi pe care le

avea. Aflaţi câte păpuşi a avut colecţia Andreei, ştiind că acum a rămas cu 14 păpuşi. PROF. ÎNV. PRIMAR ADRIANA MELINTE, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

P.169: Un automobil parcurge distanţa Hârlău – Iaşi astfel: în prima zi parcurge 3

9 din distanţă, a

doua zi cu 1

9 mai puţin decât în prima zi şi mai are de parcurs până la Hârlău 40 km. Care este

distanţa Iaşi – Hârlău? ANDREI PRIGOREANU, ELEV, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

P.170: Dintr-o panglică s-au tăiat o bucată de 5 metri şi o alta de 3 ori mai lungă. Câţi metri de

panglică au fost la început dacă după tăierea celor două bucăţi au rămas dublul metrilor tăiaţi ? PROF. ÎNV. PRIMAR GABRIELA ONOFREI, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

P.171: La un concurs de matematică fiecare elev are de rezolvat 10 probleme. Pentru fiecare

problemă rezolvată corect se acordă 7 puncte, iar pentru fiecare problemă rezolvată greşit se scad 2 puncte. Câte probleme au rezolvat corect primii trei clasaţi, dacă au obţinut respectiv 61, 52 şi 43 de puncte ?

PROF. ÎNV. PRIMAR MARIANA DÎRVARIU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU P.172: Aflaţi numerele naturale care respectă condiţiile: 33 5a b , 40 3a d ,

31 7c d şi 1928a b c d . PROF. ÎNV. PRIMAR VASILE ROZNOVĂȚ, ȘCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREȘ, HÂRLĂU

P.173: Adunând un număr natural x cu triplul predecesorului său şi cu dublul succesorului său

obţinem 2015. Aflaţi numărul! PROF. ÎNV. PRIMAR ADRIANA MELINTE, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

P.174: Cu cincimea jumătăţii din jumătatea unei sume de bani pe care o are, Ionel poate cumpăra o

carte care costă 5 lei. Ce sumă are Ionel? PROF. ÎNV. PRIMAR LUMINIŢA MUŞEI, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

P.175: Pentru a face compot, o gospodină taie 48 de mere în două, după care jumătate din numărul

bucăţilor le mai taie în două, apoi jumătate din numărul total de bucăţi le taie iarăşi în două. Câte bucăţi de mere are gospodina pentru compot ?

PROF. ÎNV. PRIMAR EMILIA OPREA, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

P.176: Suma a două numere este 2016 , iar dintre jumătatea primului şi sfertul celuilalt este 2094. Aflaţi produsul dintre sfertul celui de al doilea şi jumătatea celuilalt.

PROF. ÎNV. PRIMAR VASILE ROZNOVĂȚ, ȘCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREȘ, HÂRLĂU

P.177: Suma a trei numere naturale este 69. Aflaţi numerele, ştiind că dacă mărim cu 5 treimea

primului număr, mărim cu 9 treimea celui de al doilea număr şi cu 8 treimea celui de al treilea număr obţinem trei numere consecutive.


58

Micii MATEMATICIENI

MATEMATICA GIMNAZIALĂ

Clasa a V-a

5.123 : Sunt un număr natural de două cifre cu suma lor 9. Dublul meu se termină în 6, iar triplul este un număr impar. Cine sunt eu ?

ÎNV. MARIANA CHELARU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

5.124 : Îmi aleg două numere naturale. Însumând suma acestor numere cu produsul lor obţin 146, adică de trei ori primul număr adunat cu al doilea. Ce numere am ales ?


5.125 : Elevii prezenţi la concursul “Micii matematicieni” au fost repartizaţi în mod egal în 18 săli de clasă, astfel încât în fiecare sală numărul elevilor să fie mai mare decât 11 şi mai mic decât 17. Dacă numărul băieţilor este de patru ori mai mic decât numărul fetelor, să se afle numărul concurenţilor.

PROF. ÎNV. PRIMAR EMILIA OPREA, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

5.126 : Produsul a două numere naturale este egal cu 96. Dacă un număr se micșorează cu 9, iar celălalt se mărește de 4 ori, produsul nu se schimbă. Să se afle numerele.


5.127 : Se consideră două numere naturale de două cifre astfel încât cifra unităţilor de la al doilea număr este jumătate din cifra zecilor primului număr, iar ultima cifră al primului este dublul cifrei zecilor celui de al doilea. Calculaţi suma tuturor numerelor care îndeplinesc aceste condiţii.


5.128 : Demonstraţi că exact două dintre cifrele x , y şi z sunt egale, ştiind că numărul 925 este un

divizor al numărului xyz xzy yxz yzx zxy zyx . PROF. DOINA ŞI MIRCEA MARIO STOICA, ARAD

5.129 : Găsiţi cifrele distincte , , , ,a b c d e astfel încât să avem egalitatea: ab cd eee . PROF. NICOLAE IVĂŞCHESCU, CRAIOVA

5.130 : Arătaţi că numerele de forma 53 2 243n n , unde n , sunt divizibile cu 1215. PROF. GHEORGHE IACOB, LICEUL TEHNOLOGIC MIHAI BUSUIOC, PAŞCANI

5.131 : Să se calculeze suma: 1 1 1 1

...30 120 264 1380

S .


5.132 : Arătaţi că nu există numere naturale care împărţite la 31 să dea restul 13 şi împărţite la 2015 să dea restul 155 .

PROF. GHEORGHE OANCEA, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

5.133 : Determinați numărul abc , știind că 14 7 6 11138 64 128 3 1024abc abc abc . PROF. MIHAI CRĂCIUN, COLEGIUL NAŢIONAL MIHAIL SADOVEANU, PAŞCANI

5.134 : Aflaţi restul împărţirii numărului 5090 2016 la 900 . PROF. MIRCEA MARIO STOICA, LICEUL TEORETIC ADAM MULLER GUTTENBRUNN, ARAD

59

Micii MATEMATICIENI

5.135 : Există numere naturale ab pentru care avem egalitatea: 3111

aab ?


5.136 : Să se determine ultimele patru cifre ale numărului 100825 . PROF. IOAN RĂUŢU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

5.137 : Determinaţi mulţimile A , B şi C , ştiind că sunt îndeplinite simultan condiţiile:

1 10;11;12;13A B C , 2 / 10;11A B , 3 / 11;12A C şi 4 / 12;13B C .


5.138 : Ordonaţi crescător numerele 67164a , 100716b şi 403625c după numărul divizorilor săi. PROF. IONELA CRISTINA SIMIONESCU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

5.139 : Suma a 8 numere naturale nenule este 33 . Arată că cel puţin două numere sunt egale. PROF. MIRCEA MARIO STOICA, LICEUL TEORETIC ADAM MULLER GUTTENBRUNN, ARAD

5.140 : Profesorul Aritmel cere elevilor săi patru numere de două cifre. La auzul numărului 85 dă răspunsul 13, la 63 dă 20, la 86 dă 12, iar la 61 dă 60. Află răspunsul la auzul numărului 99 ?


5.141 : Fie n . Arătaţi că numărul 1

000...00 000...00de n oride n ori

x a a

este cubul unui număr natural dacă şi

numai dacă numărul n este multiplul numărului a . PROF. AUREL NEICU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

5.142 : Demostraţi că .. ... ... .. ... ... ... ..de n ori de n ori de n ori de n oride n ori de n ori de n ori de n ori

aa a ee e bb b dd d cc c ff f dd d gg g este un multiplu a lui 3 ,

dacă literele reprezintă cifre distincte, , , ,a b c d sunt crescător consecutive, iar , , ,e d f g sunt pare,

consecutive crescător. PROF. IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

Clasa a VI-a

6.97 : După 3 ore de mers cu bicicleta, mai aveam 4 kilometri până la jumătatea drumului. După 5 ore trecusem de jumătate cu 16 kilometri. Ce lungime are drumul pe care trebuia să-l parcurg ?


6.98 : Numerele a şi b verifică egalitatea 3 10a b a b . Demonstraţi că a b sau b a .


6.99 : Află , ,x y z , ştiind că: 3922 5 4016

x y z şi 2008 10 1961x y z x y x z y z .


6.100 : Fie A mulţimea numerelor de două cifre care au proprietatea că diferenţa dintre număr şi suma cifrelor sale este 45 şi B mulţimea numerelor de trei cifre al căror produs este un număr prim. Câte submulţimi ale lui A au suma elementelor egală cu un număr din B ?


60

Micii MATEMATICIENI

6.101 : Aflați câte numere naturale de forma abcabcd sunt divizibile cu 440. PROF. MIHAI CRĂCIUN, COLEGIUL NAŢIONAL MIHAIL SADOVEANU, PAŞCANI

6.102 : Demonstraţi egalitatea: 0 / 0 / 0 / / 0 /1 51 6 48 :102 4 20 : 3 9 32 3 59 .


6.103 : Aflaţi numerele abc , ştiind că 2 3 5n n nabc ab bc ca , unde n este un număr natural. PROF. MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS

6.104 : Aflaţi multiplul lui 5 de trei cifre, care adunat cu numerele 1, 2, respectiv 3 se obţine un

multiplu de 6, 7, respectiv 8. PROF. ADINA VASILIU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ CÂRJOAIA, IAŞI

6.105 : Să se găsească două numere prime astfel încât suma lor să fie un număr natural impar de

forma aa (Numerele sunt scrise în baza 10). PROF. GHEORGHE IACOB, LICEUL TEHNOLOGIC MIHAI BUSUIOC, PAŞCANI

6.106 : Rezolvaţi în următoarea ecuaţie 2016 5x y y x . PROF. NICOLAE IVĂŞCHESCU, CRAIOVA

6.107 : Demonstraţi că cel puţin unul dintre numerele: 5 2n n şi 5 2n n se divide cu 7 , n .

PROF. MIHᾺLY BENCZE, SĂCELE, BRAŞOV

6.108 : Folosind un compas şi o riglă negradată construiţi 3 unghiuri congruente în jurul unui punct.


6.109 : Suma a trei numere naturale este 2007. Împărţind al treilea număr la suma primelor două se

obţine câtul 20 şi restul 12. Determinaţi numerele, ştiind că cel mai mare divizor comun al primelor două numere este 19.


6.110 : Fie numerele naturale nenule n , m , p , 2 3 6 3a n m p şi 3 6 9 4b n m p . Să

se determine a şi b , ştiind că au cel mai mic multiplu comun egal cu 330 . PROF. NICOLAE IVĂŞCHESCU, CRAIOVA

6.111 : Aflaţi numerele , ,a b c dacă 6 9 10a b c şi 21 5 2016a b c .


6.112 : Punctele A , M şi C verifică egalităţile: 2AC AM şi 2m CAM m ACM .

Demonstraţi că AM MC sau M este mijlocul segmentului AC .


6.113 : Stabiliţi existenţa ABC şi, în caz afirmativ, stabiliţi natura sa dacă 0

2 15m BAC x ,

0

17 2m ABC x şi 0

22 2m ACB x , unde x .


6.114 : Se consideră punctele , , , , ,A B C D E astfel încât DE ABC ACB BAC , E AC

şi D BC . Demonstraţi că DE AB şi că C DE .

61

Micii MATEMATICIENI


CLASA A VII-A

7.80 : Determinaţi mulţimile A , B , C şi D , ştiind că îndeplinesc simultan condiţiile:

1 0;1;2;3;4A B , 2 / 6;1 , 6;3 , 7;1 , 7;3 , 8;1 , 8;3C D A B ,

3 5;6;7;8;9;10C D , 4 / 0;5 , 0;9 , 4;5 , 4;9A B D C .


7.81 : La începutul primăverii, Ștefana cumpără 25 de mărțișoare într-un interval de 17 zile. Știind că în fiecare zi a cumpărat cel puțin un mărțișor, să se arate că există un număr de zile consecutive în care a cumpărat în total exact 8 mărțișoare.


7.82 : Fără a extrage rădăcina pătrată, să se demonstreze inegalitatea:

2 6 12 20 30 423

3 5 7 9 11 13 .


7.83 : Demonstraţi că 5 1 5 2 5 4 4A n n n este un număr iraţional, pentru n .


7.84 : Să se demonstreze inegalitatea: 1 3 5 2015 1 3 5 ... 2015

...4 8 12 2016 4


7.85 : Determinaţi 0;1x din inecuaţia: 1 1 2015

2015 220152015

xx

xx

.


7.86 : Scrieţi numărul 2 2 2 22 3 4A a b c d ca sumă de două pătrate, ştiind că a , b , c , d sunt numere întregi consecutive în această ordine.


7.87 : Fie triunghiul ABC şi AD BC . Se construiesc OM bisectoarea unghiului ADB, M AB

şi ON bisectoarea unghiului ADC, N AC . Dacă MN BC , determinaţi natura triunghiului ABC. PROF. BOGDAN DORNEANU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

7.88 : Se consideră înălţimea AD şi medianele ,CE BF ale triunghiului ABC . Demonstraţi că:

a) dreptele ED şi DF sunt perpendiculare dacă şi numai dacă 090m BAD ;

b) patrulaterul AEDF este romb dacă şi numai dacă ABC este triunghi isoscel de bază BC . PROF. IOAN RĂUŢU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

7.89 : Fie patru puncte distincte din plan cu proprietatea că formează exact trei unghiuri drepte. Să se calculeaze suma tuturor distanţelor şi suma tuturor unghiurilor nenule ce se pot forma cu aceste

puncte, ştiind că cel mai mic dintre aceste unghiuri are măsura de 030 şi cea mai mare dintre distanţe este de 28 cm .


62

Micii MATEMATICIENI

CLASA A VIII-A

8.69 : Demonstraţi că numărul 1 1 1 1 1 1

...13 14 15 50 51 52

n nu este natural şi că 16

13n .


8.70 : Găsiţi soluţii întregi nenule ale ecuaţiei: 3 3 32016 2 a b c . PROF. NICOLAE IVĂŞCHESCU, CRAIOVA

8.71 : Arătaţi că numărul 1 2 3 1n n n n este număr natural oricare ar fi n .

PROF. IULIANA BLANARU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

8.72 : Numerele raţionale nenule verifică egalitatea: 1 1 1

1x y z . Demonstraţi că numărul

1 1 1x y y z x z

Az x y

este pozitiv şi că A este raţional.


8.73 : Ştiind că ecuaţia 21 2 1 2 1 2 0a a x b b x c c are soluţii reale şi că 2b este media geometrică

a cifrelor 2a şi 2c , să se demonstreze că ecuaţia 21 1 1 0a x b x c are soluţii reale.


8.74 : Să se demonstreze inegalitatea: 2 2 2

a b ca b c

a b c

, , , 0;2a b c .


8.75 : Determinaţi toate funcţiile de gradul 1 :f cu proprietatea 9f f x x , x .


8.76 : Fie punctele de 2,3 , 1,1A B . Dacă C este simetricul punctului A faţă de axa Ox,

determinaţi aria triunghiului ABC, sinusul ACB şi aria discului înscris triunghiului ABC. PROF. BOGDAN DORNEANU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

8.77 : Se dă paralelipipedul dreptunghic / / / / .ABCDA B C D Dacă ,AC BD O / ,P OC

/ ,BP C D F / ,DP BC E atunci arătaţi că dreptele / / /, ,D F B E CC sunt concurente.


8.78 : Se dă cubul ABCDA B C D de muchie 6 cm şi punctele M, N, P astfel încât

2 1 1

, , , , ,3 2 2

M AA AM AA N A B A N AA P CC CP AA . Determinaţi perimetrul

secţiunii determinat de planul care trece prin cele trei puncte. PROF. BOGDAN DORNEANU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

8.79 : Se dă dreptunghiul ABCD , simetricul E a lui A faţă de DB . În B se ridică perpendiculara BI pe planul dreptunghiului. Ştiind că 8AB cm , 6AD cm , 10BI cm , să se calculeze:

a) măsurile unghiurilor ,IBE IED şi ;DB IEC ;

b) volumul şi aria totală a tetraedrului IDEB .

63

Micii MATEMATICIENI


MATEMATICA LICEALĂ

CLASA A IX-A

9.76 : Se consideră notaţia 1 2 3 ... !n n , n . Demonstraţi că 2

! 1 !n

nk

S k k n

nu depinde

de numărul natural 2n . PROF. IONELA CRISTINA SIMIONESCU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

9.77 : Să se determine 25 numere întregi consecutive, dacă suma pătratelor lor este pătrat perfect. PROF. IOAN RĂUŢU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

9.78 : Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuația 2 1 23 2

2 3x x x .


9.79 : Determinaţi toate funcţiile de gradul 1 :f cu proprietatea 9f f x x , x .


9.80 : Se consideră numerele reale pozitive 1 2, ,..., , 0nx x x a cu 1 2 ... nx x x a . Demonstraţi

că are loc inegalitatea: 3

2 21 1 2

ni

i i i

x a

x x

, ştiind că 1 1nx x .


9.81 : Numerele reale pozitive verifică 1x y y z z x . Să se demonstreze inegalitatea: 2 2 2 1

2

x y z

x y y z z x

.


9.82 : Patrulaterul convex ABCD are ADC ABC şi DC BC . Arătaţi că AC BD .


9.83 : Se consideră ABC cu semiperimetrul p şi aria S şi punctele 1A BC , 1B AC şi 1C AB .

Ştiind că 1 1 1

1 1 1 p

AA BB CC S , să se demonstreze că 1AA , 1BB şi 1CC sunt concurente în ortocentrul

triunghiului ABC . PROF. IOAN SĂCĂLEANU , COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

9.84 : Se consideră ABC şi punctele , , ,M N P Q astfel încât BM MC

, 2AN NC

,

3AP PB

. Demonstraţi că 3 8BN BQ

dacă şi numai dacă Q este mijlocul segmentului MP .


9.85 : Fie ABC cu 11BC , 13AC , 3AB şi punctele D AC , E AB , F BD CE

astfel încât 11 14BF FD

şi 3 22CF FE

. Arătaţi că BD este bisectoare şi CE este mediană. PROF. IOAN SĂCĂLEANU , COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

64

Micii MATEMATICIENI

CLASA A X-A

10.49: Efectuați împărțirea 1 3 : 1i i și determinați valoarea 12

tg

.

PROF. DANA TEODORA PAVEL, ŞCOALA GIMNAZIALĂ DELENI, IAŞI

10.50: Demonstraţi că are loc inegalitatea:

2

3 3 3

1 1 1 3 3 51 ... ,

2 1 22 2 3 3

n nn

n nn n

.


10.51: Aflaţi n , ştiind că 24 4 2 22 sin cos 1 sin cos 1n n n nx x x x , pentru 0;

4x

.


10.52: Demonstraţi că are loc inegalitatea: 1 2 1 2z z z z , pentru 1 2,z z .

PROF. DANA TEODORA PAVEL , COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

10.53: Să se calculeze câte numere de 10 cifre cu produsul cifrelor lor 36, există. PROF. IOAN RĂUŢU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU

10.54: Demonstraţi că 2 4 2 4

cos cos 2 cos cosn n n n

m m m m

, pentru orice ,n m .


10.55: Să se rezolve în mulţimea numerelor reale, ecuaţia: 2 1 1 25 11 5 5 60 53 4 0x x xx x x .


10.56: Se consideră înălţimea AD a triunghiului ABC . Să se demonstreze că CD

BC este soluţie

unică a ecuaţiei 2 2 2 2 2 2 0BC x BC AB AC x DC .


10.57: Să se rezolve în intervalul 1; ecuația : 23log 3log 2 1 1x x .


CLASA A XI-A

11.39: Discutaţi după parametrul întreg a , compatibilitatea sistemului următor: 2

3

4 4

16 6

64 10

ax y z

a x y z

a x y z

şi, în caz afirmativ, stabiliţi natura soluţiilor sale. PROF. MADLENA BULBOACĂ, LICEUL PEDAGOGIC DIMITRIE ŢICHINDEAL, ARAD

11.40: Demonstraţi că funcţia :f , 28 8 4 42 sin cos 1 sin cos 1f x x x x x este

o funcţie constantă. PROF. GHEORGHE OANCEA, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

65

Micii MATEMATICIENI

11.41: Se consideră matricele 3

1 2 6

1 3 4

1 3 6

A

şi 3

1 3 12

1 4 9

1 4 12

B

. Să se

demonstreze dubla inegalitate: 0 det det 1A x B B x A , 2; 1x .

PROF. AUREL NEICU , COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU

11.42: Fie matricea nA cu proprietatea că 3 4A A . Să se demonstreze că matricea 2

nI A A este inversabilă și să se afle inversa sa. PROF. MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS

11.43: Calculaţi limita şirului n nx

, definit prin recurenţa:

0

3 21

2,5

2 9 12 5n n n n

x

x x x x

.


CLASA A XII-A

12.35: Pe mulţimea se defineşte legea 4 4 20x y xy x y . Ştiind că soluţia naturală a

ecuaţiei 12x y z este şi o soluţie a sistemului:

125

118

118

ax by cz

bx cy az

cx ay bz

, să se demonstreze că

, ,a b c sunt rădăcinile polinomului 3 219 118 240f X X X .


12.36: Se consideră grupul comutativ ;G , astfel încât funcţia :f G G , 2016f x x este un

morfism surjectiv. Mulţimea ,G x G x y y x y G se numeşte centrul grupului G .

Să se demonstreze că 2015 ,x G x G .


12.37: Fie

1n na

şi

1n nb

două şiruri de numere nenegative cu următoarele proprietăţi:

a şirul 1n n

a

este mărginit;

b 0nb pentru n ;

c există 0;1 astfel încât 1n n na a b pentru orice 2n .

Să se demonstreze că 0na pentru n . RADU PRECUP, CLUJ-NAPOCA

12.38: Fie : 0;f o funcție care admite primitiva F cu proprietatea că 0 1F .

Demonstrați că funcția : 0; 0;g definită prin lng x x F x este bijectivă.


66

Micii MATEMATICIENI

RUBRICA REZOLVITORILOR Au dat soluţii corecte la PROBLEMELE PROPUSE în numărul 8 al revistei, următorii elevi:

ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ , HÂRLĂU, IAŞI

CLASA A IV-A (PROF. MARIETA MUŞEI): MORUZI ALEXANDRU (18P)

CLASA A V-A (PROF. BOGDAN DORNEANU): BUCUR ANTONIA(10P); MIHALACHE CLAUDIU(10P) ŞI ZAPAN

DANIEL(10P).

CLASA A VI-A (PROF. OANA ALEXE): MELINTE DARIA(14P).

CLASA A VII-A (PROF. PETRONELA CIOBANU): GHEORGHIAN VIVIANA(14P).

CLASA A VIII-A (PROF. IOAN RĂUŢU): IOSUB MARIAN(14P) ŞI TENCHIU TEODOSIA(14P).

COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU, IAŞI

CLASA A V-A (PROF. GHEORGHE OANCEA): DUMITRACHE MARIA(20P); SANDU IOAN-CRISTIAN(18P); SPINEI

IRINA MARIA(14P); ALEXA SAMI(10P); BĂHNĂREANU ANDREEA SIMONA(10P); CIUBOTARU ŞTEFANA PAULA(14P);

CUIBUŞ CODRUŢ ALEXANDRU(10P); CURECHERIU MARIAN RĂZVAN(10P); FORMAGIU JESICA(10P); MIHĂILĂ

ALEXANDRU(10P); MOISII BOGDAN(10P); PETCU ELENA GABRIELA(10P); CURCĂ FLORIN ALEXANDRU(10P);

PRICOP ANA MARIA(10P); CHIRIAC DENISA(10P); ENŢUC SEBASTIAN ŞTEFAN(10P) ŞI BRAN IONUŢ(10P).

CLASA A VI-A (PROF. GHEORGHE OANCEA): MAXIM ŞTEFAN-THEODOR(14P); PURCEL IOANA ELENA(10P);

AGHIORGHIESEI HORIA(10P); AVORNICESEI CĂTĂLIN IONUŢ(10P); CIUBUC COSMIN CONSTANTIN(10P) ŞI ROIU

LAVINIA MARIA(10P).

CLASA A VII-A (PROF. GHEORGHE OANCEA): SCUTARIU IOANA ALEXANDRA(10P); CIUBUC TEODOR

COSMIN(10P); LEAGĂN IASMINA MARIA(10P); MIHĂILĂ MARIA DENISA(10P); OPREA ANASTASIA(10P) ŞI

VIŢELARU ALIN TEODOR(10P).

CLASA A VIII-A (PROF. AUREL NEICU): PAVĂL MIHAI(10P); .

CLASA A IX-A (PROF. IOAN SĂCĂLEANU ):COJOCARU COSMIN-CONSTANTIN(14P); GĂINĂ ANDREI(11P);

FILIMON ANA ROXANA(10P) ŞI LĂBUŞCĂ PATRICIA PAULA(10P) . (PROF. RAMONA DARIE): MAXINOEA MARIA-

MĂDĂLINA(20P); VINTILĂ SIMONA-GEORGETA(12P) CURPĂN ANDREI(10P) ŞI COŞOFREŢ ŞTEFAN(10P);

(PROF. IONELA CRISTINA SIMIONESCU): GHEORGHIŢĂ ALEXANDRA(10P); TĂTĂRUŞANU DANIELA-ŞTEFANA(14P)

ŞI UNGUREANU RAMONA-ELENA(11P);

CLASA A X-A (PROF. IOAN SĂCĂLEANU ):CIUBUC REMUS(10P) ŞI BALTAG MARISA IOANA(10P).

(PROF. IULIANA BLANARU):GĂINĂ ANDREEA MIHAELA(10P); CIOBANU CODRUŢA DANIELA(10P); CIMPOI

OANA(10P) ŞI LAIU MARIA(10P)

CLASA A XI-A (PROF. IOAN SĂCĂLEANU ) : OLARIU DUMITRU ALEXANDRU(10P); PORUŞNIUC IULIANA

BIANCA(10P); MUNTEANU ALIN MIHĂIŢĂ(10P); MURARIU MARIA(10P) ŞI CIUBUC MIHAELA(10P). (PROF.AUREL

NEICU ): ACORNICESEI GEORGIANA(24P); COROEANU ANDREI(22P); OLARU MĂDĂLINA ELENA(10P); STOICA

ALEXANDRA GABRIELA(15P); STOICA LAURENŢIU IONUŢ(13P) ŞI ŢUGUI ANDREEA IOANA(14P); (PROF. RAMONA

DARIE ): AZOIŢEI CRISTINA VASILICA(11P); PUNGUŢĂ IULIANA ELVIRA(10P); LUCEAC ALEXANDRA IOANA(10P);

PRICOPE ANA MARIA(20P); ZAPAN DANIELA(10P); DARIE ANDREI(10P) ; CIMPOI GEORGIANA(10P) ŞI TĂNASĂ

ANDREI(10P). (PROF. IULIANA BLANARU ):LAVRIC IONUŢ(15P).

CLASA A XII-A (PROF. IOAN SĂCĂLEANU ): Mititelu Melisa(10P) ŞI BOCA IOAN BOGDAN(10P). (PROF. IULIANA

BLANARU ):PORUŞNIUC NICOLETA(10P); GAGEA PETRONELA(12P); GAGEA MIHAELA(20P) ŞI MARŢIN

GABRIEL(13P). (PROF. RAMONA DARIE ): CHIPERI GEORGIANA(10P); CERNESCU RAMONA MARINELA(10P); ILINCA

ALEXANDRU GHEORGHE(20P); PROCOVANU COSMINA ELENA(24P) ŞI ŢUŢUIANU OVIDIU DUMITRU(19P).

67

Micii MATEMATICIENI

CONCURSUL DE CREAŢIE MATEMATICĂ AL REVISTEI CEA MAI FRUMOASĂ PROBLEMĂ - 2016

te invită să îţi pui la încercare intuiţia, perspicacitatea , creativitatea în conceperea de probleme

originale LA EDIŢIA DIN FEBRUARIE 2016.

Acum ai ocazia să propui şi tu probleme, nu numai să rezolvi problemele propuse de alţii.

Aşadar, este o invitaţie la efort, care va fi încununată de satisfacţii pe măsură, pentru acei elevi

care au înţeles că matematica nu înseamnă numai probleme “încruntate” de calcul, mai mult sau mai

puţin asemănătoare, ci înseamnă creativitate, imaginaţie, efort de gândire, toate grefate pe o solidă

pregătire teoretică.

Concursul se adresează tuturor elevilor (clasele I-XII) .

Elevii pot participa DOAR CU PROBLEME ORIGINALE.

! Problemele care nu sunt originale nu vor fi publicate sau nu vor participa la premiere.

Fiecare problemă propusă trebuie sǎ fie însoţită de rezolvarea completă.

Expediaţi problemele folosind una din variantele:

prin POŞTĂ , pe adresa: COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU, STR. MIHAI

EMINESCU, NR. 5 cu menţiunea PENTRU CONCURSUL CEA MAI FRUMOASĂ PROBLEMĂ – 2016.

DIRECT profesorului IOAN SĂCĂLEANU.

prin E-MAIL, pe adresa : [email protected].

În luna februarie a fiecărui an, vor fi stabiliţi câştigătorii pentru fiecare clasă .

Va fi PREMIAT autorul celei mai originale probleme .

Alte informaţii găsiţi pe site-ul liceului http://www.colegiulharlau.info/

ÎN ATENŢIA ELEVILOR !

ELEVII care vor trimite REDACŢIEI SOLUŢII CORECTE la PROBLEMELE PROPUSE în acest număr

al revistei, până pe 31.01.2016, vor fi menţionaţi în RUBRICA REZOLVITORILOR .

Se va ţine seama de următoarele reguli:

1. Pot trimite soluţii la MINIM 10 PROBLEME propuse în acest număr ; pe o foaie va fi redactată

soluţia unei singure probleme;

2. Elevii din clasele III—VI au dreptul să trimită soluţii la PROBLEME PROPUSE până la clasa lor şi

pentru orice clasă mai mare. Elevii din clasele VII-XII pot trimite soluţii la PROBLEME PROPUSE

pentru clasa lor, pentru orice clasă mai mare şi din DOUĂ clase mai mici , IMEDIAT ANTERIOARE.

3. Vor fi menţionate următorele date personale: NUMELE ŞI PRENUMELE, TELEFON-EMAIL, CLASA, ŞCOALA,

LOCALITATEA ŞI PROFESORUL CLASEI. 4. Plicul cu PROBLEME REZOLVATE se va trimite prin poştă pe adresa REDACŢIEI:

COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÎRLĂU, STR. MIHAI EMINESCU, NR. 5

sau va fi adus direct PROF. IOAN SĂCĂLEANU.


68

Micii MATEMATICIENI

MIORIŢA PARODIE MATEMATICĂ

Pe-un picior de PLAN

EUCLIDIAN

Iată vin în cale

TRANSLATÂND la vale,

Trei MULŢIMI de PUNCTE

Toate trei DISJUNCTE

De FUNCŢII păzite

Toate diferite.

Ele sunt tot trei:

Una-i INJECTIVA,

Alta-i BIJECTIVA,

Şi-alta-i SURJECTIVA.

Iar cea INJECTIVĂ

Şi cea SURJECTIVĂ,

Mari se vorbiră

Şi se sfătuiră

Să rămână treze

Până-o să-nsereze

Şi s-o ANULEZE

Pe cea BIJECTIVĂ,

C-are PRIMITIVĂ

Şi ASIMPTOTE multe

Câte şi mai câte,

Că e INVERSABILĂ

Şi chiar DERIVABILĂ.

Dar într-o MULŢIME

Asta s-a aflat

Şi s-au indignat

C-ale lor cuvinte

Întrec orice LIMITE.

Dar de la f(0)-ncoace

Unui PUNCT nu-i place

Să mai stea-n MULŢIME

Şi de treabă a se ţine.

BIJECTIVA se-n treba:

– PUNCTUL ăsta ce-o avea?

Şi se duse şi îi spuse:

– Dragă PUNCTULEŢUL meu

Ce rău, oare, îţi fac eu,

Sau nu-ţi place poate

C-ai COORDONATE

NATURALE toate?

Vrei să stai mai jos

Crezi că-i mai frumos?

Nu vrei un` te-am pus

Vrei cumva mai sus?

– Dragă BIJECTIVĂ

Eu chiar dimpotrivă,

Mă simt foarte bine

Dar e rău de tine!

Când o să-nsereze,

Vor să te-ANULEZE

Funcţia INJECTIVA

Şi cea SURJECTIVA.

– Dacă s-o-ntâmpla

De m-or ANULA

Să mă-ngropi în zori

În CÂMP DE VECTORI

Într-o VECINĂTATE

Pe-aici pe-aproape

Sau chiar în MULŢIME

Să fiţi tot cu mine.

Iar la cap să-mi pui

CALCUL INTEGRAL

Ori un MANUAL

Sau poate-un TRATAT

Cât mai inspirat

Şi de l-or citi

Îşi vor aminti

Cei ce au uitat

Că am existat

Şi voi fi propusă

În SUBIECTE inclusă

Pentru OLIMPIADĂ

Sau BALCANIADĂ.

Şi-n loc de ANULAT

Să le spui curat

C-am INTERSECTAT

Mândrele ELIPSE

Că am PUNCTE FIXE

RĂDĂCINI REALE

Şi IMAGINARE

Şi că am DARBOUX.

Dar mai află tu

Că de-oi întâlni

O SFERĂ bătrână

Cu un CERC de lână

Prin SPAŢIU alergând

Şi la toţi zicând:

– Cine mi-a văzut

Sau mi-a cunoscut

O FUNCŢIE – AFINĂ

Cu o PANTĂ lină

Bine DEFINITĂ

Şi NEMĂRGINITĂ?

Să te-nduri de ea

Şi să-i spui aşa:

C-am INTERSECTAT

Mândrele ELIPSE

Că am PUNCTE FIXE

Rădăcini COMPLEXE

Şi că am DARBOUX.

Dar nu-i spune tu

De cele REALE

Că de-i povesteşti

Mult ai s-o mâhneşti

Şi va şti de-ndat

Că m-au ANULAT.

Şi încă te mai rog

Ca-ntre colegi buni!

Tot ce am avut

Tu să le aduni

Să le scoţi din SPAŢIUL

Cu trei DIMENSIUNI,

Iar tu dragul meu

Să te INTEGREZI

Să te ANEXEZI

La altă MULŢIME

Că-i greu fără mine

Dar îţi va fi bine

Şi vei rezista, cât va EXISTA

MATEMATICA!

SUMARUL

ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE

DESPRE ÎNCEPUTURILE BIOMATEMATICII, RADU PRECUP………………………………………… 1

DE LA MINIM LA MAXIM ,,, FĂRĂ ANALIZA MATEMATICĂ, ANA MĂRIOARA ŞI GHEORGHE SPIRIDON……………………………………………………… 5

NOTĂ MATEMATICĂ, IOAN SĂCĂLEANU…………………………………………………………... 8

“PARADOXURILE MINCINOSULUI” ŞI CAPCANELE GÂNDIRII LOGICE (III), RAMONA BUJOR……… 10

ELEVII ŞI TEHNOLOGIA WEB, DUMITRU-CRISTIAN VATAVU……………………..……………... 13

VIAŢA MATEMATICǍ ZONALǍ

CONCURSUL „MICII MATEMATICIENI”, EDIŢIA A IX-A DIN 29 MARTIE 2014 RAPORT DE ACTIVITATE, EDIŢIA A IX-A....................................................................... 15 REZULTATELE CONCURSULUI ...................................................................................... 16 PROBLEMELE CONCURSULUI. SOLUŢII. BAREME DE CORECTARE ................................ 18

TESTAREA PENTRU CLASA A V-A. VARIANTELE PROPUSE ÎN MAI 2014 ..................................... 26

CEA MAI FRUMOASĂ PROBLEMĂ-2015 ……………………………………………….…….… 27

PROIECTUL EDUCAŢIONAL “SUPER MATE” ........................................................................... 28

CLUBUL MICILOR MATEMATICIENILOR. RAPORT DE ACTIVITATE …...…………………….… 29

PROBLEME ŞI SOLUŢII

SOLUŢIILE PROBLEMELOR PROPUSE ÎN NUMĂRUL 8 / 2014

MATEMATICA PITICĂ .............................................................................................. 31 MATEMATICA GIMNAZIALĂ ....................................................................................... 35 MATEMATICA LICEALĂ .......................................................................................... 45

PROBLEME PROPUSE

MATEMATICA PITICĂ .................................................................................................................. 56 MATEMATICA GIMNAZIALĂ ...................................................................................................... 58 MATEMATICA LICEALĂ ............................................................................................................... 63

RUBRICA REZOLVITORILOR ...................................................................................... 66

CU OCHII ÎN 3,14 ............................................................................................................... 68

Micii Matematicieni (Online) - ISSN 2344 - 4827 cu ISSN (2014).pdf · ştiinţific. Ne poate...

Documents

Transcript of Micii Matematicieni (Online) - ISSN 2344 - 4827 cu ISSN (2014).pdf · ştiinţific. Ne poate...