Metodologia rezolvării problemelor

1. Noţiunea de problemă. Elemente structurale ale unei probleme.2. Algoritmul de scriere a rezolvării unei probleme în clasele primare.3. Etapele de lucru asupra unei probleme.4. Matricea problemelor simple de adunare şi de scădere.

1. Noţiunea de problemă. Elemente structurale ale unei probleme.Etimologia cuvîntului problemă este de origine greacă veche: pro –înainte, în faţă; balleim –

obstacol.Semnificaţia cotidiană a cuvîntului problemă este un obstacol, o dificultate care necesită de a fi

înlăturat.În activităţile şcolare întîlnim exerciţii, exerciţii şi probleme, ambele avînd ca elemente structurale

condiţie şi cerinţă. Deosebirile dintre exerciţiu şi problemă se datorează: Caracterul algoritmic (la exerciţiu – caracter euristic; la probleme – raţionament rezolutiv); Gradul de dezvoltare matematică a rezolvatorului (ceea ce prezintă o problemă pentru copilul mic, este un exerciţiu pentru persoanele mature).

Problemele de matematică se divizează în: Probleme nontextuale- formulate doar cu ajutorul simbolurilor şi termenilor matematici; Probleme textuale (cu subiecte de fabulă) – care descriu o situaţie reală sau imaginară.

Se numeşte problemă textuală de matematică un model verbal al unui proces real descris prin parametri cantitativi şi adaptivi specificului de vîrstă a rezolvatorului.În acest model evidenţiem următoarele elemente structurale:

Condiţie şi întrebare (cerinţă); Date şi relaţii: pot fi cunoscute şi necunoscute; constante sau varia bile; prezente explicit

sau implicit în enunţul problemei.Problemă

Ana are 3 mere, iar Ion 2 mere. Cîte mere au copiii la un loc?

Condiţia problemei poate fi exprimată prin una sau cîteva propoziţii sau fraze enunţiative, conţinînd atît construcţii sintactice directe cît şi indirecte.

Întrebarea problemei poate fi intercalată în condiţia sau să fie formulată Printr-o propoziţie separată interogativă sau enunţiativă.

De ex.: condiţie cu construcţie sintactică directă. Ana are 3 mere, iar Ion cu 2 mai multe.Indirectă – Ana are 5 mere, cu 2 mai multe decît Ion.Datele problemei sunt numerele din problemă (2,3).Algoritmul scrierii:

1. Cuvîntul „problemă” se scrie cu majusculă pe mijlocul paginii;2. Schema problemei – pe stânga. Schema poate fi clasică – bazată pe cuvintele cheie;

figurativă – realizată prin segmente sau desene.3. Cuvîntul „rezolvare”se scrie cu majusculă pe mijlocul paginii.4. Scrierea operaţiilor care constituie rezolvarea propriu-zisă. Rezolvarea poate fi scrisă în

mai multe moduri:

Cu formulare textuală a fiecărui pas din rezolvare.

Rezolvare:1) …………………………………………? (.)

3 + 2 = 5 (m.)2) ………………………………………….? (.)

5 + 2 = 7 (m.)Această modalitate se numeşte rezolvare cu plan.

Rezolvare:1) 3 + 2 = 5 (m.) – are Ion;2) 5 + 2 = 7 (m.) – în total.

Acest mod de scriere se numeşte rezolvare cu justificări.Scrierea rezolvării printr-un exerciţiu.

5. Verificarea – acest pas nu este obligatoriu pentru toate problemele şi se introduce doar la solicitarea învăţătorului. Prin verificare de la datele obţinute prin rezolvare trebuie să ajungem la datele şi relaţiile cunoscute în problemă. Verificarea poate să conţină mai multe operaţii în dependenţă de numărul relaţiilor cunoscute pe care trebuie să le verificăm.

6. Scrierea răspunsului. În cazul în care rezolvarea se efectuează cu plan, răspunsul se scrie doar pe scurt. Ex:

Răspuns: 5 mere În cazul cînd rezolvarea se scrie cu justificări sau prin exerciţiu, răspunsul se scrie pe lung. Dacă răspunsul se scrie pe scurt, atunci cuvîntul „răspuns”se scrie la mijloc, în caz contrar – de la începutul rîndului.

3. Etapele de lucru asupra problemei. Cunoaşterea şi înţelegerea enunţului problemei; Organizarea enunţului în schemă; Întocmirea planului de rezolvare a problemei; Scrierea rezolvării; Verificarea problemei şi scrierea răspunsului; Activităţi de postrezolvare cu caracter creativ.

Matricea problemelor simple dea adunare şi scădere

Matricea a fost alcătuită de savantul rus metodist Şoroh – Toţki împreună cu un grup de alţi savanţi. Ea este o formă care structurează toate problemele simple sub aspect metodologic şi de modelizare acelor aspecte imaginare care se reflectă în conţinutul problemei.

Ciclul Probleme de adunare

Probleme de scădere

I. DirectăDe aflare a sumei

InversăDe aflare a primului termen

InversăDe aflare a celui de-al doilea

termen

II. InversăDe aflare a

descăzutului

Directă De aflare a restului

InversăDe aflare a scăzătorului

III. Directă De mărire a unui număr cu cîteva

unităţi

InversăDe micşorare a unui număr

cu cîteva unităţi

InversăDe comparare prin scădere

Structura matricei

Prima coloană indică ciclul metodologic.A doua coloană indică tipurile de probleme simple care se rezolvă prin adunare.A treia coloană indică problemele care se rezolvă prin scădere.Pe orizontală este o problemă directă şi cîte 2 probleme inverse.În celule sunt toate problemele posibile de adunare şi scădere.Problemele se pot introduce pe cicluri. Actualmente în manual sunt introduse problemele de

aflare a sumei, apoi a restului, de mărire a unui număr cu cîteva unităţi – adică mai întîi toate tipurile de probleme directe.

Nu este corect să se predea mai întîi toate problemele de adunare apoi cele de scădere.Ciclul I

a) Problemă simplă de aflare a sumei Sensul concret al adunării este reuniunea a două mulţimi disjuncte. Problema trebuie să descrie

o situaţie de reuniune. Mulţimile vor avea nişte proprietăţi caracteristice (cuvinte cheie). Cuvintele principale ale unei probleme de aflare a sumei sunt 2 şi trebuie să îndeplinească funcţii sintactice identice în enunţul problemei. Aceste cuvinte pot exprima:

Nume ale unor personaje (Cine...?). Pe malul rîului, Anca a găsit 2 melci, iar Nicu – 3 melci. Cîţi melci au găsit copiii în total (împreună, la un loc)?

Pentru a sesiza cuvintele cheie se pune întrebarea despre cine se vorbeşte în problemă? Cuvintele principale se scriu în coloniţă unul sub altul, se lasă un pătrăţel apoi se pun 3 puncte în următorul pătrăţel, se mai lasă un pătrăţel şi se completează întrebîndu-se : „Ştim cîţi melci a găsit Ana? etc”.

Denumiri ale unor categorii de fiinţe / obiecte (Ce fel de...?); Sub o tufă de mălin, stau la sfat 3 buburuze şi 2 cărăbuşi. Cîte gâze s-au adunat sub mălin? Cuvîntul generalizator pentru buburuze şi cărăbuşi este insecte, de aceea întrebarea se va pune la cuvîntul generalizator.

Însuşiri ale unor fiinţe / obiecte (De ce culoare / mărime / natură sînt / erau ... ?. Pe răzorul din faţa casei au înflorit 6 lalele roşii şi 3 albe. Cîte lalele au înflorit în total?

1. După ploaie, 2 boboci de raţă şi 4 boboci de gîscă făceau baie într-o băltoacă. Cîţi boboci se scăldau în total în băltoacă?

2. Află cîte oi are bunelul, dacă 5 sînt brumării şi 2 sînt albe.

3. Cîte linguriţe păstrează bunica în cufăr, dacă 4 sînt de aur, iar 6 – de argint?

4. Bunelul a împletit din lozie 4 coşuri mari şi tot atîtea coşuri mici. Cîte coşuri a împletit în total?

5. Cîte plăcinte a copt bunica, dacă 5 sînt cu brînză şi tot atîtea cu cartofi?

Acţiuni / stări succesive ale unui proces (Ce s-a întâmplat întîi? Ce s-a întâmplat apoi?);1. Pe ramurile unui palmier se zbenguiau 3 maimuţe. Apoi, în palmier s-au căţărat încă 6 maimuţe.

Cîte maimuţe sînt acum în palmier?2. Maimuţica Mimi avea 2 banane. A mai primit 5 banane de la Coco, admiratorul ei. Cîte banane are

Mimi în total? 3. Cîţi rinoceri se îndreaptă pe cărare spre cascadă, dacă 2 i-au ajuns din urmă pe alţii 7? 4. Elefănţelul Trompi are o nucă de cocos. Cîte nuci va avea, dacă mama îi va mai da 6 nuci?

Moduri / locuri / momente în care se realizează o acţiune / stare (Cum / Unde / Cînd a avut loc...?).

1. O gaşcă de broscuţe a pornit în călătorie pe lac. Cîte broscuţe călătoare sînt, dacă 4 plutesc pe o creangă, iar 3 - pe o frunză?

2. O şalupă a transportat peste rîu 5 persoane, iar înapoi - 4 persoane. Cîte persoane a transportat şalupa în total, încolo şi înapoi?

3. Cîte maşini s-au oprit la trecerea de pietoni, dacă 2 vin din dreapta, iar 7 – din stînga?

4. Află cîte persoane trec podul, dacă 8 merg pe jos, iar 2 – cu bicicleta.

5. Luni, spre ţările calde au zburat 4 stoluri de cocori şi marţi – tot atîtea. Cîte stoluri de cocori au zburat spre ţările calde în cele două zile la un loc?

6. Cîţi copii s-au plimbat azi cu trăsura în parc, dacă pînă la amiază s-au plimbat 5 şi după amiază – tot atîţia?

b) Problemă simplă de aflare a unui termen necunoscut. Se poate alcătui în baza unei probleme de aflare a sumei. Cuvintele cheie rămîn aceleaşi şi se schimbă doar locul semnului de întrebare.

Toate problemele din primul ciclu au aceeaşi structură a schemei şi aceeaşi semnificaţie a cuvintelor cheie. Toate descriu o situaţie de reuniune a 2 mulţimi.

Ciclul Ia) Probleme de aflare a restului.b) Probleme de aflare a descăzutului.c) Probleme de aflare a scăzătorului.

În toate problemele din acest ciclu cuvinte cheie sînt trei şi toate sunt verbe la acelaşi timp. Gradul de dificultate al percepţiei problemelor simple de aflare a D, S, R creşte în ordinea creşterii dificultăţii identificării

a cuvintelor-cheie: 1. toate cuvintele-cheie se conţin în enunţ; Iulia avea 8 nuci. Ea a dat prietenelor sale 4 nuci. Cîte

nuci i-au rămas?

2. cel puţin unul dintre cuvintele-cheie nu se conţine în enunţ; Radu avea 8 lei. Cîţi lei i-au rămas, după ce a cumpărat un caiet de 3 lei?

a succesiunii cuvintelor cheie: 3. cuvintele-cheie se succed în enunţ în ordinea corespunzătoare etapelor procesului descris; Nicu

avea 4 lei. El a cheltuit 3 lei pentru a cumpăra un pix. Cîţi lei i-au rămas?

4. cel puţin două din cuvintele-cheie se succed în enunţ într-o ordine necorespunzătoare etapelor procesului descris; Anca a cumpărat o ilustrată de 4 lei. Ce rest a primit din 10 lei?

Procedeul metodologic pentru coborîrea gradului de dificultate a percepţiei problemei este personifcarea, dramatizarea. Elevul repovesteşte problema în cuvinte proprii, aranjînd evenimentele în ordinea firească şi precizînd cuvintele cheie.

Ciclul IIIa) probleme simple de mărire a unui număr cu cîteva unităţi.b) probleme simple de micşorare a unui număr cu cîteva unităţi.c) probleme simple de comparare prin scădere.

Schema tuturor problemelor din acest ciclu este alcătuită din 2 rînduri.Ana … ? cr., cu 3 cr. mai mult Ion … 3 cr.

Săgeata indică sintagma „decît”. Cuvintele cheie din problemele acestui ciclu vor avea semnificaţia problemelor din ciclul I. Specificul problemelor din acest ciclu este că acestea pot fi formulate atît într-o construcţie directă cît şi indirectă.

Ana … 5 cr. cu ? cr.Ion … 3 cr.

Săgeata indică sintagma „cu cît”. Întrebări posibile: cu cîte mai multe creioane are Ana decît Ion, cu cât mai puţine creioane are Ion decît Ana, cine are mai multe creioane şi cu cât, cine are mai puţine creioane şi cu cât, cîte creioane îi lipsesc lui Ion ca să aibă tot atîtea cîte Ana, cîte creioane trebuie să de Ana ca să aibă tot atîtea cîte are Ion. Săgeta poate fi în o direcţie sau alta sau în ambele.

Problemele sînt diferite după gradul creşterii dificultăţii de identificare a elementelor structurale:

întrebarea este separată de condiţie;- întrebarea este intercalată în condiţie;- condiţia conţine expresia „tot atât”.

Uniţi printr-o săgeată fiecare problemă cu tipul corespunzător. Scrieţi exerciţiul şi formula de rezolvare pentru fiecare problemă

Mama a cumpărat o vază de 64 lei. Ce rest a primit, dacă a achitat cumpărătura cu o bancnotă de 50 lei şi una de 20 lei?

De aflare a restului, în care descăzutul este

reprezentat printr-o sumă

De aflare a restului, în care scăzătorul este reprezentat printr-o sumă

De aflare scăzătorului, în care descăzutul este reprezentat printr-o sumă

De aflare scăzătorului, în care restul este reprezentat printr-o sumă

Ce rest va primi Ana, dacă va achita un dicţionar de 82 lei cu 2 bancnote de 50 lei?

Cîte plăcinte s-au mâncat, dacă au rămas 9, dar au fost 12 cu brânză şi 15 cu varză?

Într-un vălătuc erau 70 m de stofă. Cîţi metri de stofă au rămas, după ce un cumpărător a procurat 7 m, iar altul – 8 m?

Pentru o masă festivă au fost procuraţi 50 l de apă dulce. Cîţi litri au fost consumaţi, dacă au rămas 5 l de limonadă şi 6 l de oranjadă?

Într-o seară, tata şi Alina rezolvau integrame din 42 de cuvinte. Cîte cuvinte au completat, dacă au rămas necompletate 9 cuvinte pe orizontală şi 17 pe verticală?

Cîţi trandafiri a rupt Ana de pe răzor, dacă din 51 au rămas 24 de trandafiri roşii şi 18 galbeni?

Metodologia activităţii de rezolvare a problemelor compuse

Problema care se rezolvă prin două sau mai multe operaţii se numeşte problemă compusă.

Conform curriculumului şcolar, în clasa a II-a se recomandă introducerea problemelor cu 2 operaţii, a

III-a cu 3 operaţii, iar în clasa a IV-a – cu mai multe operaţii.

Operaţia de adunare are 3 sensuri, iar cea de scădere 5 sensuri, deci, în total, ar fi 15 probleme şi

este imposibil de alcătuit o matrice pentru problemele compuse. Deci, tipurile de probleme vor fi

împărţite pe categorii.

I categorie – probleme cu 2 adunări sau scăderi succesive.

Deseori aceste probleme nici nu se includ în categorie problemelor compuse, deoarece rezolvarea

se scrie printr-un exerciţiu.

Exemplul 1. Într-un microbuz erau 14 călători. La staţie au coborît 6 călători şi au urcat 4. cîţi

călători sunt acum în microbuz?

Erau … 14 c.

Au coborît … 6 c.

Au urcat … 4 c.

Sînt … ? c.

Rezolvare:

14 – 6 + 4 = 12 (c.)

La asemenea probleme, schemele nu se respectă cu stricteţe. Acestea probleme pot fi organizate şi

rezolvate în lanţ, pregătindu-i pe elevi pentru rezolvarea problemelor prin metoda mersului invers.

- 6 + 4

Acţiunile sunt succesive şi se reprezintă prin săgeţi. Elevii vor face corespondenţe între verbul din

problemă şi operaţia aritmetică.

Exemplul 2. Să reformulăm problema ca să fie prin metoda mersului invers. Cîţi călători erau în

microbuz, dacă după ce au coborît 6 şi au urcat 4, în microbuz sunt 12 călători?

+ 6 - 4

Exemplu 3. Probleme nontextuale (fără subiect). Am micşorat cu 4 numărul obţinut la mărirea

numărului 9 cu 2 unităţi. Cît am obţinut? Operaţiile nu sunt date în ordinea în care se efectuează, de

aceea trebuie refăcută ordinea operaţiilor: 9 mărit cu 2, l-am micşorat cu 4.

+2 - 4

14 8 12

12

9 11

Elevii trebuie să formuleze după lanţ diverse formulări. De exemplu, adun pe 9 cu 2, din rezultat scad

4. Ce număr am obţinut?

Nicuşor a pus în buzunar nişte castane, dar a pierdut 6 care s-au strecurat printr-o gaură. Apoi, a

mai pus în buzunar 8 castane şi 7 au căzut prin gaură jos. Cîte castane a pus iniţial în buzunar, dacă,

la urmă, s-a ales cu 9 castane?(metoda mersului invers).

II categorie (primele probleme compuse).

Probleme compuse de aflare a sumei, rezolvabile prin formula a + (a +/- b) (conţinut neobligatoriu

în clasa I şi obligatoriu în clasa a II-a).

Exemplu 1. O riglă costă 6 lei, iar un penar este cu 15 lei mai scump. Cît costă rigla şi penarul la un

loc?

Este o problemă compusă. Prima operaţie corespunde primei probleme simple din care se

formează problema compusă – de mărire a unui număr cu cîteva unităţi. A doua problemă simplă are

tipul de aflare a sumei. Legătura dintre problemele simple – răspunsul primei probleme aste o dată a

problemei a doua.

Problemele de mărire sau de micşorare pot fi formulate direct sau indirect.

Exemplu 2: Căpetenia unui trib african poartă poartă la gît o salbă făcută din 30 de gheare de tigru şi

cu 4 mai puţine gheare de leu. Cîte ghiare conţine salba în total?

III categorie – probleme compuse de mărire sau micşorare a unui număr cu cîteva unităţi

rezolvabile prin formula

(a +/- b) +/- c

Problemele din această categorie pot fi compuse din:

o problemă simplă de aflare a sumei şi una simplă de mărire sau micşorare a unui număr;

o problemă simplă de mărire sau micşorare cu cîteva unităţi.

Exemplu 1: Un iepure are 28 de dinţi, iar o vulpe - 42 de dinţi. Ariciul are cu 34 dinţi mai puţin decît

iepurele şi vulpea la un loc. Cîţi dinţi are ariciul?

Exemplu 2. Pentru reparaţia muşuroiului furnicile au adus: 65 fire de iarbă, cu 15 mai multe decît

nuieluşe, află cîte frunze au adus, dacă nuieluşe erau cu 12 mai multe decît frunzuliţe.

IV categorie – probleme compuse de aflare a restului sau scăzătorului, rezolvabile prin

formulele a – (b + c), (a +b) - c

Această categorie include probleme compuse:

De aflare a restului, cînd descăzutul este reprezentat printr-o sumă;

De aflare a restului, cînd scăzătorul este reprezentat printr-o sumă;

De aflare a scăzătorului, cînd descăzutul este reprezentat printr-o sumă;

De aflare a scăzătorului, cînd restul este reprezentat printr-o sumă.

De exemplu:

1) Mama a cumpărat o vază de 64 lei. Ce rest a primit, dacă a achitat cumpărătura cu o bancnotă

de 50 lei şi una de 20 lei? (cuvintele-cheie nu sunt în ordinea în care ar trebui scrise).

2) Diana a cumpărat o carte de 58 lei şi o revistă de 12 lei. Ce rest a primit din 100 lei?

3) Tata a achitat un cec cu 2 bancnote de 20 lei şi a primit 13 lei rest. Află preţul cecului.

4) Pentru o masă festivă au fost procuraţi 50 l de apă dulce. Cîţi litri au fost consumaţi, dacă au

rămas 5 l de limonadă şi 6 l de oranjadă?

V categorie – probleme compuse de aflare a descăzutului, rezolvabile prin formulele

a + (b +/- c), a + (a +/- b)

Această categorie include probleme în care:

Restul este reprezentat printr-o sumă;

scăzătorul este reprezentat printr-o sumă;

relaţia dintre scăzător şi rest aste exprimată prin sintagme de tipul: „cu …mai mult/mai puţin”,

în construcţii sintactice directe sau indirecte.

De exemplu:

1) De pe o stîncă de la malul mării şi-au luat zborul 23 de păsări. Cîte păsări erau iniţial pe

stîncă, dacă au rămas 26 de pescăruşi şi 17 albatroşi.

2) Pe fundul mării, într-o corabie naufragiată, se adăposteau căşuţi de mare. 28 dintre

aceştia s+au mutat cu traiul într-un tufiş de alge, 36 –au mutat într-un recif coralier, iar 45 au

rămas în corabie. Cîţi căluţi de mare se adăposteau iniţial în corabie?

3) Riţa a mîncat 32 de ghinde şi i-au rămas cu 7 mai puţine decît a mîncat. Cîte ghinde a

avut iniţial?

4) Cîte bucăţi de zahăr pregătise dresorul înainte de spectacol, dac i-au rămas 5 bucăţi, cu

26 mai puţin decît le-a dat animalelor?

VI categorie – probleme compuse de aflare a unui termen, rezolvabile prin formulele

a - (b + c), a + (b + c)

Această categorie include probleme în care:

Ce cere aflarea unuia dintre 3 termeni ai unei sume, cînd se dă suma şi 2 termeni;

Se cere aflarea unuia dintre 2 termeni ai unei sume, cînd se dă celălalt termen şi descompunerea

sumei în alţi 2 termeni.

De exemplu:

1) Într-o zi la magazin au fost vîndute 90 de mingi: roţii, verzi şi albastre. Cîte mingi

albastre au fost vîndute, dacă roşii erau 35, iar verzi – 25?

2) Într-o zi la magazin au fost vîndute 90 de păpuşi şi maşinuţe. Cîte maşinuţe s-au vîndut,

dacă s-au vîndut 35 de păpuşi blonde şi 25 brunete?

3) La Revelion, 25 de elevi s-au mascat în iepuraşi, iar 16 – în ursuleţi. Cîţi băieţi erau,

dacă fete erau 19?

VII categorie – probleme compuse de comparare prin scădere

De exemplu: Pe un răzor cresc 38 de lalele roşii, 25 de lalele galbene şi 46 de narcise. Cu cîte mai

multe lalele sunt decît narcise? (compararea a 2 termeni, cînd unul dintre termeni este

reprezentat printr-o sumă).

Întrebări posibile: Cîte lalele trebuie să mai rupem ca sa fie tot atîtea cîte narcise?

Cîte narcise trebuie să mai sădim ca să fie tot atîtea cîte lalele?

În autobuz erau 18 călători. Au coborît 4 bărbaţi şi 3 femei. Au rămas mai mulţi sau mai puţini

călători decît au coborît? Cu cît?

Erau … 18 c.

Au coborît … ?(4 şi 3)c. cu ? c c.

Au rămas …? c.

SHAPE \* MERGEFORMAT

Compararea prin scădere se poate efectua atît în situaţii ce descriu adunări (se compară prin

scădere termenii), cît şi în situaţii în care se descriu scăderi (se compară prin scădere componentele

scăderii).

Matricea problemelor simple de înmulţire şi împărţire

Ciclul Probleme de înmulţire Probleme de împărţire

IV. DirectăDe aflare produsului

InversăDe împărţire în părţi egale

InversăDe împărţire prin cuprindere

V. InversăDe mărire a unui număr de cîteva ori

Directă De micşorare a unui număr de

cîteva ori

InversăDe comparare prin împărţire

VI. Directă De aflare a unui întreg după o parte a sa

InversăDe aflare a unei părţi dintr-un

întreg

InversăDe aflare a raportului

?

Tipologia problemelor compuse cu înmulţiri şi împărţiri

Categoria I. Probleme rezolvabile după formulele a + b· a; a + b : a; a – a : b; b· a – a

Categoria II. Probleme rezolvabile după formulele a+b· c; a-b· c; b· c - a; a+b : c; a-b: c; b:c – a; b ·

c+a; a+b· c.

Categoria III. Probleme rezolvabile după formulele

a · (b + c); (b + c) · a; a : (b + c); (b + c) : a; - - - - Categoria IV. Probleme rezolvabile după formulele: a · b + c · d; a : b + c : d. - - Categoria V. Probleme rezolvabile după formulele:a · b · c ; a : b : c; a · b : c