Metode Pentru Calculul Unor Determinanți
-
Upload
dumitruionutandrei -
Category
Documents
-
view
215 -
download
5
description
Transcript of Metode Pentru Calculul Unor Determinanți
-
METODE DE CALCUL A UNOR DETERMINANI
1. S se calculeze determinantul matricei
a b c db a d c
Ac d a bd c b a
Soluie: Calculm produsul dintre matrice i transpusa ei :
2 2 2 2
2 2 2 22 2 2 2
42 2 2 2
2 2 2 2
0 0 00 0 00 0 00 0 0
t
a b c d a b c db a d c b a d c
A Ac d a b c d a bd c b a d c b a
a b c da b c d
a b c d Ia b c d
a b c d
2 2 2 24
42 2 2 24
det det
det det det
t
t
A A a b c d I
A A a b c d I
42 2 2 2 2
22 2 2 2
det
det
A a b c d
A a b c d
2. S se calculeze determinantul matricei
a b c db a d c
Ac d a bd c b a
i demonstrai identitatea :
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
a b c d x y z t
ax by cx dt ay bx ct dz az bt cx dy at bz cy dx
Soluie: Calculm produsul dintre matrice i transpusa ei :
t
a b c d a b c db a d c b a d c
A Ac d a b c d a bd c b a d c b a
-
2 2 2 2
2 2 2 22 2 2 2
42 2 2 2
2 2 2 2
0 0 00 0 00 0 00 0 0
a b c da b c d
a b c d Ia b c d
a b c d
2 2 2 24
42 2 2 24
det det
det det det
t
t
A A a b c d I
A A a b c d I
42 2 2 2 2
22 2 2 2
det
det
A a b c d
A a b c d
Pentru demonstarea identitii calculm produsul:
, , , , , ,
m
n
a b c d x y z tb a d c y x t z
A a b c d A x y z tc d a b z t x yd c b a t z y x
ax by cz dt ay bx ct dz az bt cx dy at bz cy dx
ay bx ct dz ax by cz dt at bz cy dx az bt cx dy
a
p
q
z bt cx dy at bz cy dx ax by cz dt ay bx ct dz
at bz cy dx az bt cx dy ay bx ct dz ax by cz dt
, , , det , , , , , , det , , ,m n p qn m q p
A m n p q A a b c d A x y z t A m n p qp q m nq p n m
Aplicm rezultatul obinut anterior i avem:
2 22 2 2 2 2 2 2 2
22 2 2 2
a b c d x y z t
ax by cz dt ay bx ct dz az bt cx dy at bz cy dx
De unde rezult identitatea
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
a b c d x y z t
ax by cx dt ay bx ct dz az bt cx dy at bz cy dx
-
3. S se calculeze determinantul2
2
2
a x ab acba b x bcca cb c x
'
Soluie: Adugm convenabil o linie i o coloan astfel nct valoarea determinantului ' s fie la fel:
2
2
2
1 0 0 0a a x ab acb ba b x bcc ca cb c x
'
Efectum operaii convenabile cu coloanele astfel nct s scpm de elementele cu puterea a doua. Scdem prima coloan nmulit cu a din coloana a doua, scdem prima coloan nmulit cu b din coloana a treia i scdem prima coloan nmulit cu c din coloana a patra.
2 13 14 1
2
2
2
1 0 0 0 10 0
0 00 0
C aCC bCC cC
a b ca a x ab ac a xb ba b x bc b xc ca cb c x c x
'
Acum dezvoltm determinantul dup linia a doua i obinem:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
10 0 00 0 0
a b c b ca x x b x
x c x
a x x x c x b x a x x x c b x a b c x
'
4. S se calculeze determinantul
2
2
2
2
11
11
a ab ac adba b bc bdca cb c cdda db dc d
'
Soluie: Adugm convenabil o linie i o coloan astfel nct valoarea determinantului ' s fie la fel:
2
2
2
2
1 0 0 0 01
11
1
a ab ac adab ba bc bdbc ca cb cdcd da db dc d
'
-
Efectum operaii convenabile cu coloanele astfel nct s scpm de elementele cu puterea a doua. Scdem prima coloan nmulit cu a din coloana a doua, scdem prima coloan nmulit cu b din coloana a treia, scdem prima coloan nmulit cu c din coloana a patra i scdem prima coloan nmulit cu d din coloana a cincea.
2 13 14 15 1
2
2
2
2
1 0 0 0 0 11 0 0 010 1 0 010 0 1 010 0 0 11
C aCC bCC cCC dC
a b c da ab ac ad aab ba bc bd bbc ca cb cd ccd da db dc dd
'
Acum dezvoltm determinantul dup linia a doua i obinem: 1
0 1 0 0 1 0 00 0 1 0 0 1 00 0 0 1 0 0 1
a b c d b c db
acd
'
Primul determinant este triunghiular i al doilea l dezvoltm dup linia a doua i obinem:
2
2 2 2 2 2 2 2 2
10 1 0 1 00 0 1 0 1
1 1
b c d c da b c
d
a b d c a b c d
'
metode-smechere-c3aen-calculul-unor-determinanc5a3i-1metode-smechere-c3aen-calculul-unor-determinanc5a3i-2