Metode numerice in mecanica fluidelor, aplicabilitate

1.Introducere, generalități

Mecanica fluidelor numerică (MFN),  mecanica fluidelor computerizată  sau dinamica computerizată a fluidelor  ( computational fluid dynamics – CFD) este o ramură a mecanicii , care folosește algoritmi, modele matematice  și computere pentru a modela și a rezolva probleme în care apar curgeri ale fluidelor.

Fig 1.Simularea numerică a curgerii aerului în jurul navetei spatiale în timpul reintrării în atmosferă

Modelarea se bazează pe rezolvarea unui set de ecuatii diferentiale de conservare, completate cu numeroase ecuații  suplimentare, modele, adesea semiempirice, pentru tratarea turbulenței, a presiunii, cavitației, schimbului de căldură, a transportului speciilor chimice  sau a fazelor disperse. Aceste ecuații sunt discretizate prin diferite metode, ca metoda diferențelor finite, a elementelor finite, a volumelor finite sau a elementelor de frontieră. Domeniile de modelat sunt împărțite în părți mici, rezultând rețele de discretizare cu multe noduri. Ecuațiile, scrise pentru fiecare nod, sunt asamblate într-un sistem de ecuații global, care apoi este rezolvat.

Principalul domeniu de aplicare este:

- modelarea curgerilor turbulente sub și supersonice

- în domeniul aerospațial

- aerodinamica vehiculelor  și constructiilor,

- optimizarea proceselor chimice previziuni meteorologice ,

- prospectări geologice dispersia noxelor,

- aplicații medicale sau militare.

Baza teoretică a aproape tuturor modelărilor curgerilor sunt ecuatiile Navier -Stokes, care descriu curgerea unei faze fluide unice.

Se va prezenta, în cele ce urmează, principalele modele matematice utilizate în dinamica fluidelor şi, în particular, în metodele numerice ale dinamicii fluidelor1.

1 http://www.scrigroup.com/educatie/fizica/MODELUL-NAVIERSTOKES

2. Modelul Navier-Stokes

Modelul Navier-Stokes constituie cea mai generală descriere a mişcării unui fluid newtonian în echilibru termodinamic. El este format din:

- ecuaţia de continuitate;- ecuaţiile de impuls (mişcare);- şi ecuaţia energiei.

Completate cu ecuaţiile de stare şi cu legi empirice (pentru exprimarea variaţiei vâscozităţii şi conductivităţii termice funcţie de parametrii curgerii).

Setul de ecuaţii diferenţiale care reprezintă modelul matematic al mişcării fluidului este format din:

- ecuaţia de continuitate:

(1)

- ecuaţiile de impuls:

(2)

unde tensorul tensiunilor văscoase τ este exprimat funcţie de tensorul vitezelor de deformaţie d

(3)

- ecuaţia energiei:

(4)

Eliminând în aceste ecuații termenii care descriu vâscozitatea, se obține un model mai simplu, ecuatiile lui Euller. Eliminând în continuare termenii care descriu vorticitatea se ajunge la ecuațiile curgerii potențiale În final, aceste ecuații pot fi liniarizate.

Deoarece prin rezolvare se urmărește obținerea câmpurilor diferitelor variabile în interiorul zonei în care curg fluidele, respectiv modul în care fluidele interacționează cu suprafețele ce delimitează domeniul în care fluidele curg. În acest scop se folosesc computere, ca urmare mecanica fluidelor numerică poate fi considerată și o ramură a proiectarii asistate de calculator (computer-aided design – CAD), respectiv a ingineriei asistate de calculator ( computer-aided engineering – CAE).. Soluțiile oferite de modelare sunt validate prin compararea cu valori măsurate pe standuri experimentale (de exemplu tunele aerodinamice), sau în condiții reale.

∂ ρ∂ t

+∇( ρV )=0

∂( ρV )∂ t

+∇ [( ρV )⊗V ]=ρf +∇(τ−p I )

τ=2 μ d−23

μ∇ V I

∂( ρE)∂ t

+∇ ( ρ EV )=∇( k ∇ T )+∇( σ V )+ρ fV +qv

3. Aspecte numerice in integrarea ecuaţiilor Navier-Stokes

În final, vom evidenţia şi aspecte strict numerice legate de integrarea ecuaţiilor Navier-Stokes. Problema de bază în calculul numeric al curgerilor turbulente este aceea a coexistenţei unor structuri caracterizate prin scări de timp, de viteze şi lungimi de diferite ordine de mărime: de la scări corespunzătoare mişcării generale de convecţie, până la scări cu câteva ordine de mărime mai mici, caracteristice difuziei turbulente sau vâscoase.

Este evident că, pentru o rezolvare numerică, o reţea de calcul va trebui să aibă o rezoluţie, spaţială şi temporală, mai fină decât scările fizice. Astfel, chiar dacă s-ar dispune de un algoritm numeric de rezolvare a sistemului neliniar, numărul de puncte ale grilei de calcul, precum şi paşii de timp foarte mici, conduc la concluzia că se depăşeşte cu mult capacitatea (sub aspectul timpului de calcul şi a memoriei necesare) celor mai puternice calculatore actuale. De exemplu, considerând suficiente doar 10 puncte pentru a descrie geometria unei structuri turbulente şi, ştiind că scara celor mai mici structuri turbulente este cam de o mie de ori mai mică decât o scară de lungimi în lungul unui perete, ajungem la concluzia că este nevoie de 105 puncte pentru a calcula 1 cm3 din domeniul curgerii.

4. Ipoteze folosite in rezolvarea numerică, Conjectura lui Poincaré

Aproape un secol ne desparte de timpurile de când geniul Poincaré uimea cu spectrul său larg al gândului ştiinţific întreaga elită contemporanilor săi. Numele lui Poincaré se află alături de Newton şi Arhimede, fiind un pisc enorm în lantul raţiunii şi gândirii umane. Istoricul american E. Bell l-a numit ca "ultimul universalist". Ultimul, deoarece Poincaré împreună cu Hilbert au încheiat lanţul marilor matematicieni cu titlul de universalişti. În timp de 30 ani de lucru continuu Poincaré a lăsat lucrări fundamentale practic în toate ramurile matematicii, ceea ce l-a facut lider recunoscut de contemporanii săi.

Termenul conjectură înseamnă în matematică presupunere, ipoteză, în sensul unei afirmaţii nedemonstrate, care poate fi adevarată cu o probabilitate destul de mare (spre exemplu, este adevărată în mai multe cazuri particulare, ca în cazul inducţiei incomplete). Conjectura lui Poincaré se referă la caracterizarea sferei tridimensionale cu ajutorul unor proprietăţi topologice uşor de intuit şi a fost propusă de Poincaré în 1904. Jules Henri Poincaré (29 aprilie 1854 -17 iulie 1912) a fost unul dintre cei mai mari matematicieni francezi; a fost, în acelaşi timp, un mare fizician teoretic şi un filosof al ştiinţei. Poincaré este

descris adesea ca Ultimul matematician universal, deoarece a excelat în toate domeniile matematice, cu adevărat importante, ce existau în perioada vieţii sale (relativ scurte). La moartea sa, a fost caracterizat ca matematician, geometru, filosof şi om de litere; a fost un poet al infinitului, un fel de bard al ştiinţei.

Până în momentul formulării conjecturii, existau suficiente informaţii şi rezultate legate de caracterizarea suprafeţelor (varietăţi bidimenionale) orientabile, mărginite şi închise din spaţiul euclidian tridimensioanal. Aceste suprafeţe pot fi caracterizate de genul lor. Acesta este un număr întreg nenegativ (g ≥ 0) care poate fi descris intuitiv ca numărul de găuri ale suprafeţei. Spre exemplu, sfera uzuală, definită ca locul geometric binecunoscut în geometria euclidină clasică (sau ca frontiera bilei) are genul zero pentru că nu are nici o gaură. Torul, asimilat cu suprafaţa unui covrig are genul 1 pentru că are o gaură2.

Enunţul Conjecturii lui Poincare:

Dacă într-un spaţiu închis tridimensional orice arc de cerc închis se poate micşora până la un punct, acest spaţiu este echivalent din punct de vedere topologic cu o sferă tridimensională.

Problema avea mai mult de 100 de ani în momentul în care a fost rezolvată de Grigori Perelman, un matematician rus  ce trăiește în Sank Petersburg.

Este cunoscut pentru contribuțiile sale la geometria rimenniană ,dar mai ales pentru faptul că a rezolvat Conjectura lui Poincaré. De remarcat că Grigori Perelman a refuzat Medalia Fields un premiu în matematică echivalent cu premiul Nobel, fiind prima persoană din lume care a făcut acest lucru. Perelman a refuzat în anul 2010 și recompensa de un milion de dolari pe care Clay Mathematics Institute din orașul american Cambridge Massachusetts a oferit-o pentru rezolvarea Conjecturii lui Poincaré.

Bibliografie

2

[1] W.J. Layton ,Introduction to the Numerical Analysis of Incompressible Viscous Flows

SIAM 2008

[2] L.Dragoş, N. Marcov, Solutions of the boundary integral equatins in the theory of

incompressible fluids, Universitatea Bucureşti, Matematică-Informatică, 1996.

[3] L.Dragoş, Mecanica fluidelor, Ed. Academiei, Bucureşti, 1999.

[4] Evans, E.A. & Skalak, R., Mechanics and Thermodynamics of Biomembranes. CRC Press:

Boca Raton, 1980.

[5] C. Iacob, Introducere matematică în mecanica fluidelor, Ed. Academiei Române,

Bucureşti, 1959.

[6] Galdi, G.P.,An Introduction to the Mathematical Theory of the Navier-Stokes Equations.

Springer-Verlag: Berlin, 1998.

[7] Ladyzhenskaya, O.A., The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flow.

Gordon and Breach: New York, 1963.

[8] Ladyzhenskaya, O.A., The Mathematical Theory of Viscous IncompressibleFlow.

Gordon and Breach: New York, 1969.

[9] Mikhlin, S.G., Mathematical Physics, an Advanced Course. North-Holland Publishing

Company: Amsterdam, 1970.

[10] Pozrikidis, C., Fluid Dynamics. Theory, Computation, and Numerical Simulation.

Accompanied by the Software Library FDLIB. Kluwer: Boston, 2001.

[11] http:// www.wikipwdia.org

[12] http://www.scrigroup.com/educatie/fizica/MODELUL-NAVIERSTOKES