metode numerice

PREZENTAREA GENERAL

METODE NUMERICE

MATHCAD

Titular disciplin: Dan Doru MICU, Dr. Ing. Mat.

Conferentiar

[email protected]

Laborator:

Denisa TE, .l. Dr. Ing. Andrei CECLAN, Dr. Ing.

[email protected]

Metode numerice? Modelare fizic modelare matematic metode numerice Rezultate numerice cu semnificaie.

uzA

dcyyudxxzyxK

b

a

];[,,

Ecuatii diferentiale

Aplicaie: Stimulare magnetic activarea fibrelor nervoase controlul micrii

Integrare numeric

Aplicaie: expunerea la cmpuri electrice ntr-o staie de transformare

Ecuatii diferentiale

Aplicaie: Tratamentul leziunilor canceroase nclzirea local prin radiofrecven

Interpolare numeric

Sisteme de ecuaii algebrice i difereniale

Aplicaie: studierea funciilor respiratorii - determinarea unor parametri intrapulmonari

Sisteme de ecuaii algebrice

Aplicaie: efectul utilizrii telefoanelor mobile asupra corpului uman - SAR

Softuri de calcul

Cod de programare

Mathematica

Matlab

Maple

Vizuale

Mathcad

b

a

2 dxx3

)b,a,x))),2,x(pow*3(abs(sqrtint(

vs

Limbaj de programare:

Editor WYSIWYG (What You See Is What You Get):

Operatori de definire

Egal de atribuire := (tasta :) Egal de evaluare = (tasta =) Egal boolean = (tasta Ctrl =)

Nu este necesar declararea n prealabil a variabilelor

var i,x,n:integer

Se poate da click oriunde n fereastra de comand pentru a repoziiona cursorul

Dup introducerea comenzilor se poate tasta sau se poate da click n afara csuei de introducere a comenzilor

a 4

b 5

a b 9

x1 3

x2

x1

a b

x2 0.192

Se atribuie variabilei a valoarea 4 Se atribuie variabilei a valoarea 5 Se afieaz suma celor dou numere Se atribuie variabilei x1 valoarea 3 Indicii care sunt folosii pentru denumirea unor variabile se numesc indici formali i se introduc utiliznd tasta punct .

Afiaj Mathcad Tastele introduse Observaii

a : 4 b : 4 a + b = x . 1 : \ 3 x . 2 : / x . 1 a + b x . 2 =

x 0 2 x

0

1

2

x 8 7.9 7 x

-8

-7.9

-7.8

-7.7

-7.6

-7.5

-7.4

-7.3

-7.2

-7.1

-7

Pasul implicit la definirea unui ir este 1. Se poate schimba pasul irului prin introducerea unui al doilea element. Diferena dintre primul i al doilea element va desemna att pasul pentru toate elementele irului, ct i direcia acestuia.


x : 0 ; 2 x = x : - 8 , - 7 . 9 ; - 7 x =

x1

0

x2

3

x4

4

x

0

0

3

0

4

Indicii care sunt folosii pentru a face referire la elementele unui ir (vector) se numesc indici vectoriali i se introduc utiliznd tasta parantez ptrat [ Se observ c numerotarea elementelor irului ncepe de la 0.

Dac introducum ORIGIN:=n, numerotarea elementelor tuturor vectorilor i matricelor aflate la dreapta sau sub aceast comand se va ncepe de la numrul natural n.


x [ 1 : 0 x [ 2 : 3 x [ 4 : 4 x =

Greeli frecvente

Utilizarea simbolului = n loc de := pentru atribuire / definire.

Folosirea simbolului . n loc de [ pentru indicele variabil.

Separarea zecimalelor cu tasta , n loc de tasta .

Introducerea tastei = n loc de tasta = la scrierea ecuaiilor.

f x( ) sin x( )

n loc de a introduce numele funciilor, se poate selecta i Function din meniul Insert. Apare o fereastr cu toate funciile disponibile n Mathcad.

Afiaj Mathcad Tastele introduse

f ( x ) : s i n ( x )

Fig. 1.1.

Fig. 1.2.

Pentru a reprezenta grafic o funcie se apeleaz toolbar-ul Graph. Se selecteaz X Y Plot (Shortcut @), conform figurii 1.3.

Fig. 1.3. Paleta de reprezentari grafice

Apare un sistem de coordonate bidimensional xOy. Pe axa Ox se introduce variabila x, iar pe axa Oy se introduce funcia (f(x)), conform figurii 1.4.

Fig. 1.4.

f x( ) sin x( )

10 5 0 5 101

0.5

0

0.5

1

f x( )

x

Pe grafic se pot modifica limitele intervalelor de afiare schimbnd valorile aflate la stnga i la dreapta de X, respectiv jos i sus de Y.

Fig. 1.5.

Dimensiunile graficului se pot schimba prin tragerea ferestrei cu ajutorul cursorului.

Fig. 1.6.

Apasand dublu-click pe grafic se pot edita proprietile acestuia. Exemple: se poate schimba culoarea de afiare, tipul axelor, indicatoarele de punct, sau grila.

Fig. 1.7.

De asemenea, se poate schimba grosimea i stilul de afiare a urmei funciei reprezentate grafic, selectnd tab-ul.

Fig. 1.8.

Fig. 1.9.

0 2 4 6

1

0.5

0.5

1

Functia sinus

Axa X

Axa

Y

f x( )

x

Pot fi afiate i mai multe funcii pe acelai grafic:

f x( ) sin x( ) g x( )x3

6x2

x

0 2 4 6

2

2

4

6

8

10

f x( )

g x( )

x

Fig. 1.10.

Se pot schimba limitele de afiare, de asemenea i numrul punctelor n care este reprezentat funcia:

x 1 1.01 6 f x( ) sin x( ) g x( )x3

6x2

x

0 2 4 6

2

2

4

6

8

f x( )

g x( )

x

Fig. 1.11.

Se pot folosi diferite argumente i intervale pentru diferite funcii, de exemplu:

x 1 1.01 7

y 0 0.01 5.5 f x( ) sin x( ) g y( )y

3

6y

2 y

0 2 4 6

2

1

1

2

3

f x( )

g y( )

x y

Fig. 1.12.

3x 2 11 Se introduce o ecuaie cu necunoscuta x.


3 x + 2 Ctrl+= 11

Pentru a afla soluia acestei ecuaii se poziioneaz cursorul pe x. Din meniul principal se selecteaz Symbolics Variable Solve.

3x 2 11

3

Fig. 1.13.

Pentru a introduce o matrice n Mathcad, este necesar toolbar-ul Matrix. Din toolbar-ul Matrix, se selecteaz icoana Matrix or Vector, prezentat pe figura 1.14. (Ctrl+M).

Fig. 1.14.

Apare fereastra Insert Matrix, prezentat pe figura 1.15. Se poate specifica numrul de coloane ale matricii n rubrica Columns i numrul de linii n rubrica Rows. Dac se dorete inserarea unui vector, aceasta trebuie s fie o matrice cu o singur coloan. Dup precizarea numrului de rnduri (Rows) i de coloane (Columns), apare o matrice goal n fereastra de comand, unde se pot introduce valorile dorite n fiecare poziie, conform figurii 1.16.

Fig. 1.15. Fig. 1.16.

Referirea la elementele unei matrice se face n modul urmtor: Ma,b unde M este matricea, a este linia, iar b este coloana. Numerotarea coloanelor i rndurilor ncepe implicit de la 0. Matricelor li se pot aplica diferite comenzi, care ne ofer direct determinantul, inversa, transpusa matricei, .a.m.d. Comanda se poate aplica unei variabile de tip matrice, sau direct unei matrice.

Cnd comanda se aplic direct unei matrice, cursorul de selecie trebuie s fie lng paranteza stnga sau dreapta a matricii, nu pe un element al acesteia, dup cum se prezint n figura 1.17.

Fig. 1.17.

M2

3

0

7

3

4

3

2

1

5

4

5

6

7

8

9

0

1

1

2

3

5

4

5

3

3

2

8

8

7

6

5

6

4

4

3

9

0

0

5

5

6

5

5

6

2

1

0

9

1

6

6

8

7

4

5

6

8

7

6

7

9

0

9

12

14

16

14

3

5

3

2

6

3

0

27

24

23

12

8

9

A1

2

5

9

0

8

4

6

7

B A1

B

0.3

0.1

0.1

0.194

0.081

0.231

0.338

0.013

0.113

A B

1

0

0

0

1

0

0

0

1

Introducerea unei matrice

Calculul inversei

matricii A Verificarea rezultatelor


A : Ctrl+M B : A ^ (Shift+6) 1 B = A * B =

A1

2

5

9

0

8

4

6

7

A1 1

0

ORIGIN 1

A0 0

0

A1 1

1

A3 3

77

A

1

2

5

9

0

8

4

6

77

Sintaxa de referire la un singur element al unei matrice Schimbarea originii Schimbarea valorii unui element


A = A [ 1 , 1 = ORIGIN : 1 A [ 0 , 0 = A [ 1 , 1 = A [ 3 , 3 : 77 A =

f x( )3

x

ex2

1ln x( )

1

x

j

1

x

0

1

yy( )

2

3

1

10

i

sin i( )

3y

d

2 1

lim

d

d

3

1. Folosind paletele programului Mathcad, s se introduc n fereastra de comand urmtoarea expresie:

PREZENTARE GENERAL

METODE NUMERICE

MATHCAD

MULUMESC!

metode numerice

Documents

Transcript of metode numerice