Metode de rezolvareaintegralelor definite.

Calcularea integralei prin utilizarea nemijlocită a proprietăților și tabelului de integrale se numește integrare directă.

Funcțiile care se integrează direct nu epuizează nici măcar funcțiile elementare de bază,nemaivorbind de funcțiile compuse.De exemplu,printre integralele din tabele nu există unele funcții elementare precum ln x,arctg x sau arcctg x.

Problema integrării devine din start principial mai dificilă ca cea a derivării. Întrucît nu există un anumit set de reguli de integrare a produsului, cîtului a funcțiilor compuse sau inverse, se recurge la cîteva metode care permit operația de integrare a unor clase de funcții.Unele din cele mai captivante,interesante și mai des aplivate metode sînt cea a integrării prin părți și a substituției de variabilă.

§1.Metoda schimbării de variabilă

De multe ori introducerea unei noi variabile de integrare permite reducerea calculului integralei date la calcularea unei integrale din tabel,adică se poate trece la o integrare directă sau a unei integrale,ce poatefi calculată prin metode cunoscute.Această metodă se numește metoda substituției sau metoda schimbării de variabilă, care se bazează pe următoarea teoremă:

Teoremă:Fie f:[a,b]→Rșig:[c.d]→[a,b] funcții cu proprietățile: 1.Funcția f este continuă pe [a,b]2.Funcția g cu derivatag′ continuășidiferită de 0 pe[c,d]șig(c)=a,g(d)=b.Atunci:

∫a

b

f ( x )dx=∫a

b

f (g( t)) g ' (t )dt{1}

Edalitatea {1} șe numește Prima formulă a schimbului de variabilă și poati fi calculată conform schemei:

∫a

b

f ( x )dx=‖ x=g ( t ) , x=a , g ( t )=a=¿ t=cdx=g ' ( t )dt , x=b ,g (t )=b=¿ t=d‖=∫a

b

f (g (t ) ) g' ( t ) dt=

¿Φ ( t)|dc=Φ ( d )−Φ(c)

A doua formulă a schimbului de variabilă:

∫a

b

f ( g (x ) ) d ( g ( x ) )=¿∫a

b

f (t)dt ¿

Se calculează conform formulei:

∫a

b

f ( g (x ) ) g' (x ) dx=∫a

b

f ( g (x ) ) d ( g ( x ) )=‖ t=g ( x )x=a=¿ t=g (a )=cx=b=¿ t=g (b )=d‖=¿¿

¿∫a

b

f (t ) dt=F (d )−F (c )

Exemple rezolvate:

1.∫0

1x2

1+x6 dx=‖x3=t

3 x2dx=1 dt|∙ 13

x2 dx=13

dt

x=0=¿ t=0x=1=¿ t=1

‖=∫01 x2

1+(x3)2 dx=13∫0

1dt

1+t2 =13

arctg t|10=¿¿

¿ 13

arctg1−13

ar ctg 0=13

∙π4−1

3∙ 0= π

12

2.∫0

1

x (2 x−1)5dx=¿‖t=2 x−12 x=t+1

x= t+12

dx=12

dt

x=0=¿ t=−1x=1=¿ t=1

‖=∫−1

112

( t+1 )t 5 ∙12

dt=¿¿¿

¿ 14∫−1

1

(t 6+t 5) dt= 14 ( t 7

7+ t 6

6 )|1¿−1=14 ( 13

42+ 1

42 )=14

∙13= 1

12¿

¿

3.∫0

5x

√1+3 xdx=‖

t=√1+3 x

x=t 2−1

3

dx ( t 2−1

3 )'

dt

dx=2 t3

dt

x=5=¿ t=4x=0=¿ t=1

‖=∫14 (t 2−1)∙ 2t9 t

dt=29∫

1

4

(t2−1 ) dt=¿¿

¿ 29 ( t 3

3−t)|4¿ ¿1=2

9 ( 643

−4)−29 ( 1

3−1)=104

27+ 4

27=4¿

¿

4.∫0

1 3√x dx

1+ 3√ x=‖

3√ x=tx=t3

dx=(t 3 )' dtdx=3 t2 dt

x=0=¿ t=0x=1=¿ t=1

‖=∫01 t ∙3 t 2 dt1+ t

=3∫0

1t3

1+tdt=3∫

0

1t 3+1−1

t+1dt=¿¿

¿3∫0

1t 3+1t+1

−3∫0

11

t +1dt=3∫

0

1 (t +1)( t2−t +1)t+1

dt−3∫0

1d (t+1)

t +1=¿¿

=3 ( t 3

3− t 2

2+t)|1¿¿0=−3 ln|t+1||1¿0=3 ( 1

3−1

2+1)−3 ln 2=¿¿

¿¿

¿

¿3( 2−3+66 )−3 ln 2=5

2−3 ln 2

5.∫1

64dx

√ x+23√ x

=‖6√x=tx=t 6

dx=( t6 )' dtdx=6 t 5dt

x=1=¿ t=1x=64=¿ t=2

‖=∫12 6 t5 dtt3+2 t 2=6∫

1

2t 3

t+2dt=¿6∫

1

2t3+8−8

t +2dt ¿=

¿6∫1

2 (t +2)( t2−2 t +4)t +2

dt−48∫1

2d (t+2)

t+2=6 ( t 3

3−2 t 2

2+4 t)|2¿1−48 ln|t +2||

2¿

1

¿¿

¿¿¿=

=6( 83−4+8−1

3+1−4)−48 ln 4+48 ln 3=20−48 ln

34=4 (5−12 ln

34 )

6.∫π /6

π /2cos xsin4 x

dx=‖sin x=t

cosxdx=dt

x= π6=¿ t=1

2

x=π2=¿t=1‖=∫

1/2

1dtt 4 = t−3

−3|1¿

1/2=−13

+ 1

3 ∙18

=¿¿

¿

¿

¿−13+ 8

3=7

3

7.∫1

2

x2 √2−xdx=‖√2−x=t2−x=t2

x=2−t2

dx=−2 tdtx=1=¿ t=1x=2=¿ t=0

‖=∫10 (2−t 2 )2 ∙t ∙ (−2 t )dt=¿¿

¿∫0

1

2 t2 (2−t 2 )2 dt=∫0

1

2t 2 ( 4−4 t2+t 4 ) dt=∫0

1

(8 t 2−8 t 4+2 t6 ) dt=¿¿

¿ ( 8 t 3

3−8 t 5

5+ 2t 7

7 )|1¿¿0= 8❑35

3− 8❑

21

5+ 2❑

15

7=280−168+30

105=142

105¿

¿

8.∫0

ln 5ex √e x−1

exdx=‖ √ex−1=t

ex=t 2+1ex dx=2tdt

x=0=¿ t=0

x=ln 5=¿ t=√eln 5−1=√4=2‖=∫02 t

t 2+4∙2tdt=¿¿

¿2∫0

2t 2

t 2+4dt=2∫

0

2t 2+4−4

t2+4dt=2∫

0

2t 2+4t 2+4

dt−2∫0

24

t 2+4dt=¿¿

¿ 2 t| 20−4

arctgt2|2¿0=4−0−4 (arctg1−arctg0 )=4−4( π

4−0)=4¿

¿-π

9.∫0

1x+ 4√2 x+1√2 x+1

dx

Rezolvare:

1)Notăm:4√2x+1=t ;√2 x+1=t 2; 2x+1=t 4 ; x= t 4−12

dx=( t 4−12 )

'

dt ;dx=(t 4−1 )' ∙ 2−2' ∙(t 4−1)

4dt ;

dx=4 t 3 ∙ 24

dt ;dx=2 t 3dt

Atunci cînd: x= 0 =¿t =1 și x = 1 =¿ t=4√3

2)Obținem: I=∫0

1x+ 4√2 x+1√2 x+1

dx=∫1

4√3t 4−1

2+ t

t 2 ∙2 t3 dt=∫1

4√3

( t 4−12

+t )2 tdt=¿

=∫1

4√3

( t5+2 t2−t ) dt=t6

6 |4√3¿1

+2t3

3 |4√3

¿1− t 2

2|4√3¿1

=¿

¿( ( 4√3 )6

6−

16 )+( 2 ∙ ( 4√3 )3

3−

23 )−(√3

2−

12 )=3

32

6−

16+

2 ∙ 334

3−

23−√3

2+

12=¿

=3√3−1+4 4√27−3√3+36

=4 4√27+26

=2 4√27+13

R : I=2 4√27+13

10.∫1

4

√x (√ x−1)dx=‖√√ x−1=t ,t ≥ 0

√x=t2+1

x=(t 2+1 )2

dx=[ (t2+1 )2 ] '

dt

dx=4 t ( t2+1 ) dtx=1=¿ t=0x=4=¿ t=1

‖=∫01 ( t2+1 ) t ∙4 t (t2+1 ) dt=¿¿

=4∫0

1

t2(t 2+1)2 dt=4∫0

1

(t6+2 t 4+t 2 ) dt=4 ( t 7

7+ 2 t5

5+ t 3

3)| 1¿0

=¿¿

¿4 ( 17+ 2

5+ 1

3 )= 4 ∙ 9105

=368105

11. ∫0

1 /3

21−3 x dx=‖1−3 x=t3x=1−t

x=1−t3

dx=(1−t3 )

'

dt

dx=−13

dt

x=13=¿t=0

x=0=¿ t=1

‖=∫10 2t ∙( 13 )dt=∫

0

12t

3dt=1

3∫0

1

2t dt=

¿ 13

∙2t

ln 2| 1¿0

= 23 ln 2

− 13 ln2

= 13 ln 2

12. ∫−3

0x2

√1−xdx=‖

1−x=tx=1−t

dx=(1−t )' dtdx=−dt

x=0=¿ t=1x=−3=¿ t=4

‖=∫41 −(1−t )2

√ tdt=∫

1

4 (1−t)2

√tdt=¿

¿∫1

41−2 t+t 2

√ tdt=∫

1

41√t

dt−2∫1

4

√ t dt +∫1

4

t 2 ∙ t−12 dt=¿¿

¿2√t|

4

1−2∙t−12

−12

|4¿¿1+ t

52

52|4¿¿1=2√t|

4

1+ 4√ t|

4

1+ 2√ t5

5 |41=¿¿

¿

¿

¿

=(4 - 1) + (2 - 4) + ( 2∙ 325

−25 )=1+ 62

5=67

5=13

25

13.∫0

7 √ x+1+ 3√x+1x+1

dx=‖x+1=tx=t−1

dx=( t−1 )' dtdx=dt

x=7=¿ t=8x=0=¿ t=1

‖=¿∫1

8 √ t+ 3√tt

dt=¿¿¿

¿∫1

81√t

dt +∫1

8

t13 ∙ t−1 dt=2√t|

8

1+ t−23

+1

−23

+1|8¿ ¿1=(2√8−2 )+ t13

13|8¿ ¿1=¿

¿¿

¿

¿¿

¿4 √2−2+33√t|8

1=4√2−2+3

3√8−33√1=4√2−2+3 ∙ 2−3=¿

=4 √2+1

14.∫e e

e√ e

dxx ∙ lnx ∙ ln(lnx)

=‖t=ln (lnx )1

xlnxdx=dt

x=e√e=¿ t=12

x=ee=¿ t=1‖=∫112 1

tdt=lnt|1/2

1=ln

12−ln 1=¿¿

=ln 2−1=−ln 2

15.∫0

π4

cos x−sin xcos x+sin x

dx=‖ cos x+sin x=t( cos x−sin x ) dx=dt

x= π4=¿ t=√2

x=0=¿t=1‖=∫1√2

1t

dt= ln|t||√21

=¿

¿ ln √2−ln1=12

ln 2

Exerciții propuse:

1.∫0

1dx

3√1+7 x R: 0

2.∫−1

0xdx

(2+x )3 R: 1

3.∫43

43

dx

x √1+x2 R: ln

32

4.∫π2

3 π2

x cos x1+sin2 x

R: −π 2

2

5.∫0

π

e2 x sin 3 xdx R: 3

13(e2 π+1)

6.∫0

π2

3√sin2 xcos xdx R:35

7.∫1

2 √ x−1x

dx R: 2−π

2

8.∫0

ln 2dx

ex+1 R: ln

34

9. ∫−0,4

0

(2+5 x)4 dx R: 3225

=17

25

10.∫−1

1xdx

√5−4 x R:

16

§2.Metoda integrării prin părți

Metoda respectivă se bazează pe următoarea teoremă:

Teoremă:Fie u:[a,b]→R și v: [a,b]→R funcții derivabile pe [a,b] cu derivateleu′:[a,b]→R și v′:[a,b]→R continue pe [a,b].Atunci are loc formula de

integrare prin părți: ∫a

b

udu=uv|b

a−∫a

b

vdu

Integrarea prin părți se aplică la integralelede forma:

∫P ( x ) ∙ f ( x ) dx ,unde :

P(x) este un polinom, iar f(x) una din funcțiile: eax , sin ax , cosax , ln x , arctg x , arcsin x.

Exerciții rezolvate:

1.∫2

4

(2 x−1 ) lnxdx=¿¿

v=∫ (2 x−1 ) dx ; v=2∫ xdx−∫ dx ; v=x2−x ;v=x (x−1)¿=¿

¿

¿12 ln 22−2 ln 2−( x2

2−x)|42=24 ln 2−2 ln 2− (4−0 )=22 ln2−4

2.∫0

1

( x+1 ) e2 x dx=¿¿

v=∫ e2 x dx ; v=12

e2 x¿=( x+1 ) ∙ 12

e2 x|1

0−∫0

112

e2 x dx=¿

¿ ( x+1 ) 12

e2 x|1

0−12∫ e2 x dx=( x+1 ) 1

2e2 x|

1

0−14

e2 x|10=¿¿

¿e2−12−( e2

4− 1

4 )¿e2−12− e2

4+ 1

4=4e2−2−e2+1

4=3 e2−1

4

3.∫π

2 π

(1−2 x )sinx2

dx=¿¿

du=−2 dx ; v=∫sinx2

dx ;v=−2 cosx2

¿¿

¿ (1−2 x ) ∙ (−2cosx2 )| 2 π

¿ π−∫π

2 π

(−2 cosx2)(−2)dx

=¿

¿−2(1−2 x)cosx2| 2 π

¿ π−4∫π

2π

cosx2

dx=¿¿

¿−2 (1−2x ) cosx2| 2 π

¿π−2∙4∫

π

2 π

cosx2

d ( x2 )=¿¿

¿−2(1−2 x)cosx2| 2 π

¿ π−8sin

x2|2 π

¿ π=¿

¿ [−2 (1−4 π ) cosπ ]−[−2 (1−2π )cosπ2 ]−8 sin π+8 sin

π2=¿¿

¿2−8 π+8=10−8π=2(5−4 π )

4.∫1

2

log2 x dx=(u=log2 x ;dv=dx ;du=(log2 x )' dx ;du= 1xln 2

dx ;v=x )

¿ x log2 x|2

1−∫1

2x

xln2dx= x ∙ log2 x|

2

1−∫1

21

ln 2dx=¿

¿

¿ x log2 x|2

1− 1ln 2

∫1

2

dx=2 log22−1 ∙ log21− 1ln 2

x|21=¿¿

¿2− 1ln 2

(2−1 )=2− 1ln2

=2 ln 2−1ln 2

5.∫1

e

( 3 x2+1 ) lnxdx=¿¿

du=1x

dx ; v=∫ (3 x2+1 ) dx ; v=3∫ x2dx+∫1 dx; v=x3+x ;

v=x ( x2+1 )) =

¿ lnx (x3+x)|e

1−∫1

e

x ( x2+1 )∙ 1x

dx=¿¿

¿ lne (e3+e )−ln 1 (1+1 )−∫1

e

( x2+1 ) dx=¿¿

¿e3+e−∫1

e

x2dx−∫1

e

1dx ¿e3+e− x3

3 | e1−x|

e1=¿¿

¿e3+e− e3

3+ 1

3−e+1=3 e3−e3+1+3

3=2 e3+4

3=2

3(e3+2)

6.∫0

1

x arctg x dx=¿¿

du=1

x2+1dx ; v=∫ xdx; v= x2

2¿¿=

¿arctgx ∙ ( x2

2 )| 1

0−12∫

0

1x2

1+x2 dx= x2

2arctg x|

1

0−12∫0

1x2+1−1

x2+1dx=¿¿

¿ 12

arctg1−12∫0

1

1 dx+ 12∫0

11

x2+1dx=π

8−1

2x|

1

0+12

arctg x|10=¿¿

¿ π8−1

2+ π

8+1

2ar ctg 0=2 π

8−1

2=π

4−1

2=π−2

4

7.∫0

π3

xcos2 x

dx=¿¿

v=tgx )¿ xtg x|

π3

0−∫0

π3

tgx dx=( π3

tgπ3−0)−∫

0

π3

sinxcosx

dx=¿¿

¿ π3

∙√3+∫0

π3

d (cos x )cos x

=π √33

+ ln|cos x||π30=π √3

3+ln

12= π √3

3−ln 2

8.∫0

π

x2 sinxdx=¿¿

¿ v∫ sinxdx ;v=−cosx ¿=¿

¿−x2 cosx|π

0+∫0

π

2 xcosxdx=x2 cosx| 0π+2

∫0

π

xcos xdx=¿¿

¿(0−π¿¿2 cosπ )+2∫0

π

xcoxdx=π2+2∫0

π

xcos x dx ;¿

Not ă m :2∫0

π

x cos x dxdx=I

I=(u=x;dv=cosx dx;v=∫ cosx dx ; v=sin x ; du=x ' dx ;du=dx ¿=¿

¿ x sin x|π

0−∫0

π

sinxdx=( π ∙ sin π−0 )+cos x|π0=cos π−cos0=¿¿

=−1−1=−2

Deci,∫0

π

x2 sinxdx=π2+2 I=π2+2 ∙ (−2 )=π2−4

9.∫1

eln2 xx3 dx=¿¿

v=∫ 1x3 dx ; v= x−2

−2;v= 1

−2 x2 ¿¿=

¿ ln 2 x ∙ ( −1

2 x2 )|e

¿1−∫1

e1

−2 x2

∙2 lnx

x=−ln2 x

2 x2 |e

¿1+∫1

elnx

x3 dx .

Notăm:∫1

elnxx3 dx=I

I=∫1

elnxx3 dx=¿¿

v=−1

2 x2dx ¿=−lnx ∙

1

2 x2|e

1+∫1

e1

2 x2 ∙1x

dx=¿¿

=lnx2 x2| 1

e+ 12∫

1

e1x3 dx=( ln 1

2 ∙1− lne

2∙ e2 )− 14 x2|e

1=−1

2 e2−14 ( 1

e2 −1)=¿¿

=−12 e2 −

14e2 +

14= e2−3

4 e2

Deci:∫1

eln2 x

x3 = ln 2 x2 x2 |

1

e+ e2−34 e2

=−12 e2 +¿ e2−3

4 e2 = e2−54 e2 ¿

10.∫0

π2

ex cos2 xdx

I=∫0

π2

ex ∙1+cos 2x

2dx=1

2∫0

π2

ex dx+ 12∫0

π2

ex cos2 xdx=¿¿

¿ 12(e

π2 −1)+ 1

2∙∫

0

π2

ex cos 2 xdx

Notam I 1=∫0

π2

ex cos2xdx

I 1=∫0

π2

ex cos2 xdx=(u=ex ;dv=cos2 xdx; du=e x dx ;v=12

sin 2 x)=¿

¿ 12

ex sin 2 x|π2

0−12

∫0

π2

e x sin 2 xdx=12

(eπ2 ∙ sinπ−e0 ∙sin 0)−1

2∫0

π2

ex sinxdx=¿

¿−12∫

0

π2

ex sin 2 xdx I 2 ,adică I 1=

−12

∙ I 2{1}

.I 2=(u=e¿¿x ;dv=sin2 xdx ;du=ex dx ;v=−12

cos2 x)=¿¿

=−12

ex cos 2 x|π2

0+ 12

∫e x cos2 xdx=¿¿

=−12

(eπ2 ∙ cosπ−e0 ∙cos 0)+ 1

2∫

0

π2

ex cos2 xdx=12

(eπ2 +1)+ 1

2∙ I 1

Deci I 2=12(e

π2 +1)+ 1

2∙ I 1{2} și înlocuind în {1} obținem:

I 1=12 [ 1

2(e

π2 +1)+ 1

2I 1]≤¿−1

4(e

π2 +1)−1

4I 1=I 1≤¿

¿> 54

I 1=−14

(eπ2 +1)≤> I 1=

−15

(eπ2−1) {3 }

Din I=12 [1

2(e

π2 −1)+ 1

2I1]=¿ I=1

2(e

π2 −1)− 1

10(e

π2 +1)=¿

¿5 e

π2−5−e

π2 −1

10=

4 eπ2−6

10

❑

=2 e

π2 −35

=2√eπ−3

5

R-s: I=2 eπ2−35

.

11.Calculați: ∫0

2 π

e−x|sinx|dx

R-re:

I=∫0

π

e−x sinxdx+∫π

2 π

e−x (−sinx )dx=¿¿

¿∫0

π

e− x sinxdx−∫π

2 π

e−x sinxdx ;

Notăm A=∫ e−x sinxdx ; A=¿¿

v=−cosx)=−e− x cosx−∫ e−x cosxdx ;

Notam B=∫ e−x cosxdx;

B=(u=e− x ;dv=cosxdx ;du=−e−x dx; v=sinx ¿=¿

¿e− x sinx+∫e− x sin xdx=e− x sinx+ A ,dar atunci ob ț inemcă :

A¿−e−x cosx−e−x sinx−A≤¿2 A=−e− x(cosx+sinx )≤¿

.¿> A=−sinx+cosx

2 ex {1}

Relația {1} o înlocuim în I obținînd:

I¿−sinx+cosx

2e x |π

¿0+ sinx+cosx2 ex |

2 π¿ π

= sinx+cosx2 ex |

0

¿π+ sinx+cosx2 ex |

2 π¿ π

=¿

¿( sin 0+cos0

2e0 −sinπ+cosπ

2eπ )+( sin 2π+cos2 π

2e2 π −sinπ+cosπ

2eπ )=¿

.¿12+ 1

2 eπ+ 1

2 e2 π+ 1

2 eπ=1

2+ 2

2eπ+ 1

2 e2 π=¿

¿ 1❑e2 π

2+ 1❑

2 eπ

eπ + 12e2 π = e2 π +2 eπ+1

2 e2 π =¿

.¿ (eπ +1)2

2 e2 π =12(eπ +1

eπ )2

.

R-s:∫0

2 π

e−x|sinx|dx=(eπ+1)2

2 e2 π

Exemple propuse:

1.∫0

π2

xcosxdx R: π2−1

2.∫1

e

(x+1) lnxdx R: e2+54

3.∫0

1

x2 ∙3x dx R:3

ln 3− 6

ln23+ 4

ln3 3

4.∫π4

π3

4 x tg2 xdx R:−7 π 2

72+ 4√3 π

3−π−2 ln 2

5.∫1

e2

ln2 xdx R: 2 e2−2

6.∫1

3

x ∙ log3 xdx R: 3− 2l n3

7.∫−1

0

9 x2 ∙ ln (x+2)dx R: 24ln2−16

8.∫0

1

arctgxdx R: π−ln 4

4

9.∫0

π

(x2+x+1)cosxdx R: -2(π+1)

10.∫0

π2

x3 sinxdx R: 3 π2

4