Edward H. Julius

TRUCURI ARITMETICE

I-50Foe{

V

FARA CALCULATOR

Edilia a ll-a

Traducerea din limba englezd deCristina Arsene-Onu

Editura Paralela 45

Cuprins

Mullumiri ......7

Introducere ..................... 9

Menliune pentru profesorilfnvdldtori ........-.-. 1'l

Trecere tn revistd a unora dintre cele mai importanteconcepte matematice............... ...... 11

TRUCURI ELEMENTARE DE MATEMATICA MENTALA

Trucuri elementare pentru adundri '......."..... 19

1. Si ne distrim asambl6nd puzzle-uriOperalii de adunare f5rd a mai ,,!ine in minte" ...'..". 19

2. Cochilii are de v6nzare, doar c6nd marea este-n zare

Operalii de adunare prin transform5ri............... '....'...21

3. Plimbarea in caruselCum s5 adunafi, f5rd a respecta o anumitd ordine,cu ajutorul combinaliilor de zece ......... .'..'22

Trucuri elementare pentru scEderi

4. Limonadi de v6nzareOperalii de scddere prin adunare - partea int6i .".........."..,...........24

5. Febra baschetuluiOperalii de scSdere prin adunare - partea a doua ....25

137

Trucuri elementare pentru inmutfiri ..............276. Pasiunea pentru ablibilduriinmullirea cu zerouri .................277. Lumdndricu toptanulinmullirea cu 10........ .................2g8. Trucuri la jocul de cdrliinmullirea cu 4........... ...."...........309. La cinematografinmultirea cu 5........... ................3110. Sus, sus, tot mai susinmultirea cu 11......... ................ 3211. La pisciniRidicarea la pdtrat a numerelor care se terminE cu 5 .................. 3412. Un munte de fursecuriCum sd inmullili doud numere a ciror diferent5 este 2............... 3513. Petrecere cu pizzainmultirea cu 15........ ................. 3714. Munca la fermiinmullirea prin descompunere ...................3g15, Trage, trage la padele!

inmultirea numerelor ca!.e se termind cu +......... .......402

Trucuri elementare pentru impir,tiri ...^..........4216. Premiile muzicaleinnpirlirea cu zerouri. ............."..4217. La sala de jocuriimpbrlirea la 10......... ................4318. Alergare de maratonimpdrlirea la 4........... ................4519. La pescuitimpSfiirea la 5........... ................4G

138

20. Spectacolul spectacolelor

impSrtirea la numere care se termir - 1rd cu 7 ................47

TRUCURI AVANSATE DE MATEMAflCA MENTALA

Trucuri avansate pentru adundri ................... 53

21. Alunec6nd pe ghea15Adunarea numerelor prin ,,vizualizarea" sumei 1or...................... 53

22. Care este scorul?Adunarea de la st6nga la dreapta - partea intdi .......................... 54

23. Tuturor le plac paradeleAdunarea de la st6nga la dreapta - partea a doua .... 56

Trucuri avansate pentru scdderi .................... 58ini cu 5 ..................34

24.Un truc pentru toate v6rsteleScSderea prin transformare ...... 58

rn!5 este 2............... 35 25. La telefonScdderea in doud etape........ ..... 59

28

30

31

32

27

27

40

42

42

37

3g Trucuri avansate pentru inmulliri .................. 61

26. Drumefie montandinmullirea cu zecimale............... ................. 61

27. ,,Pedal6-putere"inmullirea cu 9.......... .................62

28. Flori de v6nzare ,,cu duzina"inmullirea cu 12........ .................64

29. O,,cirutd" de creioaneinmullirea cu 25........ .................65

30. Sezonul fEri infr6ngeriRidicarea la p5trat a oricdrui numSr care se termindcu 1 sau 9............... .....................66

31. Petrecerea aniversarSRidicarea la pdtrat a oricbrui numdr format din doui cifrecare incepe cu 5 .......68

43

45

46

139

32. Plimbarea in montagne russeinmullirea de la stdnga la dreapta............... ................ 6933. Campionatul de bowlinginmullirea pr.in transformare..... .................7134. Cdnd te lupli cu morile de v6nt...inmullirea a douE numere putin mai mari decSt 100........... ..."....7235. Livrarea ziarelorinmullirea incrucigat5 ......"....."...74

Trucuri avansate pentru impdr.tiri ..................7136. Ora meseiimpErtirea cu 2ecima1e.................... ................7137. La picnic cu clasaimp5rtirea la 25 ......... ................7838. Muzicd, muzicd gi iar muzicdimpdrtirea prin descompunere ................... g0

39. ,,Zdmbi!i, vd rog!"impSrtirea prin transformare..... ................. g1

40. A;tept6nd la bariera ciii ferateimp5rlirea numerelor pare......... ................ g3

TRUCURI PENTRU ESilMARI

Cflteva informafii despre calculele estimative ................. gg

41. Oase de dinozaurEstimarea inmullirilor cu 33 sau 34 ............ g9

42. Cildtoria cu magina - episodul I

Estimarea inmultirilor cu 49 sau 51 ............9043. Cil5toria cu magina - episodul ilEstimarea inmullirilor cu 6G sau 67 ............ 9244. CdlStoria cu magina - episodul lllDrumul cdtre cas5. Estimarea impbrlirilor la 33 sau 34.................93

140

45. Sortarea scrisorilorEstimarea impdrtirilor la 49 sau 51 ............. 95

46. Distraclie la planetariuEstirnarea impdrtirilor la 66 sau 67....... ......96

47. Concurs de home-run

x6t 100 ..............^....72 Estimarea imp5rlirilor la 9........ .............."...97

48. Maratonul de jogging

.74 Estimarea imp5rlirilor la 11 ...... 99

TRUCURI PENTRU VERIFICAREA RASPUNSURILOR

Trucuri pentru verificarea rdspunsurilor ...... 105

49. impdtimilii de jocuri videoVerificarea adundrilor gi scdderi1or................ ............. 105

50. Marele finalVerificareainmullirilor;iimpSrliri1on......... ...............107

Concluzie .. 109

Anexa A. Simboluri, termeni 5i tabele ......j.................... 111

83Anexa B. Cdteva trucuri ,,bombd" pentru socializare .... 1 15

Anexa C. Date fascinante;i hazlii despre numere .........121

Solulii...... ..129

88

89

90

92

69

71

77

77

78

80

81

RI

33 sau 34................. 93

Trucuri elementarepentru adunHri

1. 5e ne distrim asasnblamd puua8e-un'l

Operalii de adunare firi a mai ,,!ine in minte"

Ali primit cadou de ziua voastri un puzzle format din 500 depiese. in urmdtoarele patru zile asamblafi: 79 de piese in prima zi, in adoua 48, 57 in a treia ;i 58 in a patra zi. Sunteli curio;i sd aflali numS-

rul total al pieselor pe care le-ali folosit p6nd in prezent. Pentru a

rezolva aceastd problemS, trebuie sd adunali 79 + 48 + 57 + 58.

Trucul pentru o rezolvare rapidi

Putefi aduna aceste numere, fdrd a fi nevoie ,,sd lineli in minte",adundnd mai intdi fiecare coloanS, iar apoi adundnd sumele rezul-tate. Prima oar5, adunali coloana unitSlilor;i notali dedesubt totalul.in continuare adunali coloana zecilor;i scrieli rezultatul cu un spaliumai la st6nga. in cele din urm5, adunali coloana sumelor rezultate gi

veli obline rdspunsul. 5d aplicim aceasti metodi exemplului nostru

cu puzzle-ul, ,,fird a line in minte".

FRCIEL#MIAt 79 + 48 + 67 + 58l:I

H"

Pasul 1. Adunali coloana unitSlilorPasul 2. Adunali coloana zecilor

19

79+4867

58E22

Rispuns: Fde piese

Hf Sa incercdm incd una: 73 + 1g + 54 + 36

Pasul 1. Adunali coloana unitililorPasul 1. Adunali coloana zecilor

TEMA DE REFLECTIE. Acest truc vd poate fi de folos gi in cazul adu_nSrii numerelor de ordinul sutelor. scrieli doar totalul rezultat dincoloana sutelor la un spaliu distanli spre st6nga, iar apoi adunati!Din c6nd in c6nd va trebui sE ,,!ineli in minte" in cazul folosirii aces-tui truc, dar nu prea des.

Acum e rilndul

S 74+22

36

55

17

17

187

32+59

4760

78+91

25

48

(Verificati rdspunsurile la pagina 129)

* ,..*. ,&

73+18

54

36

21

16

Rdspuns: 1S1

vostru

@ 44+14

83

92

15+4763

52

86+458

92

20

73+18

54

36

21

16

Epuns: 181

,folos gi in cazul adu-rtotalul rezultat dingq iar apoi adunali!-n cazul folosirii aces-

15+47

63

52

2. Cochilii are de v6nzare,doar cAnd marea este-n zarelOperatii de adunare prin transformdri

Una dintre activitdtile voastre preferate c6nd mergeti la plajd estesd strdngefi cochilii de scoici. in aceastb diminea!5 ali strdns 29 de sco-ici, iar dupd-amiazd ali strdns 44. Cdte scoici ali strdns in total? Pentrurezolvarea acestei probleme, trebuie sd adunali 29 + 44.

Trucul pentru rezolvare rapidi

Ori de cdte ori adunali un numdr care se terminS cu cifra 9, adu-nalimai intdi 1 la acest numdr, Tn minte. Astfel, un numdr ca 29 devine30. Apoi scddeli 1 din cel5lalt numir din operatie. Astfel, un numbrca 44 devine 43. in cele din urmd, adunali cele doud numere ,,noi" gi

veli obtine rdspunsul problemei. Haideli sE folosim acest truc pentrua afla cdte scoici ati strdns.

Rispuns: 73 de scoici

Fl pnoeLEMA: 29 + 44

Pasul 1. Adunali 1 cu 29 -+ 29 + 1 = 30

Pasul 2. Scddeli 1 din 44 --> 44 - 1 = 43

Pasul 3. Adunali 30 cu 43 -+ 3O + 43 =73

Hl S; incercSm incd o operafie: 59 + 35

Pasul 1. Adunali 1 cu 59 -+ 59 + 1 = 50

Pasul2. Scddeli 1 din 35 -+ 35 - 1 =34Pasul 3. Adunati 60 cu 34 --> 60 + 34 = 94

1 in text, She se//s seashe//s by the seashore (n.t ).

21

Rbspuns: 94

A* "--&tr-

TEMA DE REFLEGTIE. Multiplii de 10 (ca 20, 30 9i a;a mai departe) suntintotdeauna mai ugor de adunat decat numerele care nu reprezintdmultipli. Pentru folosirea acestui truc trebuie inainte de toate sd trans-formali un numEr care se termind cu cifra 9 intr-un multiplu de 10.cdnd adunali un numbr care se termin5 in g, adunali 2 pentru a-l trans-forma intr-un multiplu de 10. Apoiscideli 2 din celdlalt numdr. in celedin urm5, adunati cele doud numere ;i veli obline rdspunsul. Astfel,48 + 26 va deveni (a8 + 2) + (2G - 2) sau s0 + 24, care este egal cu 74.

Acum e rdndulvostru

@o@

O +g +25-7456+39=

72+19=oo

89+44=

33+69=

59 +97 =

(Verificafi rdspunsurile la pagina 129)

3. Plirnbarea in caruselCum sd adunafi, firi a respecta o anumitd ordine,

cu ajutorul combinafiilor de zece

V5 aflafi aldturi de familie la un parc de distraclii 9i urmeazd sivi dali in carusel. Sunt 6 cai,4 cdmile, 7 girafe;i 3 elefanfi. CAte per-soane se pot da in carusel in acela;i timp? pentru a rezolva aceastiproblemS, trebuie s5 adunati 6 + 4+ 7 + 3.

Trucul pentru rezolvare rapidd

cSnd aduna!i, incercali sE identificali combinatiire care au carezultat cifra 10, chiar dac5 trebuie sE adunati, oarecum, in manier5dezordonatS. Numerele care se adun5 cu 10 se calculeazd cel mai ugor;i mai rapid. Toate perechile urmitoare de cifre adunate dau l0: 1 + 9,2 + 8, 3 +7, 4 + 6gi 5 + 5. Vd propun si incercdm acest truc pentrurezolvarea problemei ridicate de plimbarea in carusel.

22

iaga mai departe) suntele care nu reprezintdilnte de toate sE trans-rtr-un multiplu de 10.mali2 pentru a-ltrans-cel5lalt num5r. in cele

fine r5spunsul. Astfel,care este egal cu 74.

dffordine,EE

listrac-tii ;i urmeazS sd

5i 3 elefanfi. Cdte per-nru a rezolva aceastb

mbinatiile care au ca

, (xlrecum, Tn manierdalculeazi cel mai u;oradunatedau 10: 1+9,5m acest truc pentruarusel.

;.1

1jRdspuns: 20 persoane

tr# 8+4+2+9+1

8*l4l

:i24

FL **otlEMA: G+4+7+3Pasul 1. Uitafi-vi la 6 9i 4

;i gSndili-vd la ,,10"Pasul 2. Uitafi-vd la 7 9i 3

gi g6ndili-v5la ,,2o"

55 ne concentrdm asupra unui alt exemplu:

Pasul 1. Uitali-v5 la cifra 8, treceli direct lacifra 2 ti retineti deja suma ,,10"

Pasul 2. Uitali-v5 la cifra 4;i calculali mintal ,,14.

Pasul 3. Uitafi-vi la 9 9i 1 pi

g6ndili-vd la suma ,,24"

REspuns:

TEMA DE REFLECTIE. Rdesea, existS mai multe modalitili princare puteli efectua operalii de adunare, f5ri a respecta o anu-mit6 ordine in operalii, cu ajutorul zecilor. Tn exemplul anterior,s-ar putea si fi observat ci 9 + 1 este egal cu 10 imediat dupd ceali observat ci 8 + 2 reprezint5 10. DupE aceea, ar trebui sd gdn-dili operalia pornind de la .1O, 20, 24" . Cifra 4 este ultima adu-nat5. Cu toate acestea, nu vE pierdeli in adunSri, pentru cds-ar putea i5 uitali sau sd pierdeli vreo cifrE din calcul.

Acum e rilndul vostru

@s+3+5+7+2=22 @.g*7+5+1 +9=

@s+t+8+G+4- @z+4+4+G+3=Or*5+5+4+7= @l+5+3+9+5=

(Verificafi rdspunsurile la pagina 129)

23

Trucuri elennentarepentru sc5deri

4. LimonadS de v6nzaneOperafii de scidere prin adunare - partea int6i

Este o zi torid5 de var5. impreund cu cel mai bun prieten ati insta-lat un stand cu limonadd la coltul strdzii. La inceputul zilei aveali 32 del5mdi. Dupd o or5, v-au mai rdmas 18 l5m6i. cdte l5m6i atiforosit p6n5acum? Pentru rezolvarea acestei probleme trebuie sb scddeti 1g din 32.

Trucul pentru rezolvare rapidS

in loc s5 faceti o scidere pentru a afla rdspunsul, incercali sd facelio adunare. De obicei este mai u;or sE adunali dec6t si scddeti si, inafard de asta, este ugor sd adunati zeci. Dal din moment ce scbdereaeste opusul adun5rii, pentru a calcula operalia 32 - 18, v-ati putea?ntreba ,,18 plus cdt este egal cu 32?" Ve propun sd Tncerc5m aceastdmetodd pentru problema noastr5 cu limonada.

t-tff pnoeLEMA: 32 - 18

Pasul 1. GAndifi-vd aga: ,,18 plus c6t este egal cu32?',

Pasul 2. Gdndili-v5 a9a: ,,18+ 10=28",iar ,,28+4=32,'. Ali adu-nat mai intdi 10, iar apoi 4. in continuare, adunali acestedouS numere pentru a obtine rdspunsul.

24

Rispuns: 14 lSm6i

areI'l

]eruca intai

a brnr prieten ali insta-puhrl zilei aveali 32 deeEmai alifolosit p6n5

iesi scddeli 18 din 32.

rarl incercali sd facelidecft si scddeli gi, in

n moment ce scSderea

ia 32 - 18, v-a!i putean sE incercim aceastS

nl cu 32?"

.78 + 4 -- 32" . Ali adu-inuare, adunali acesteunsul.

Riispuns: 14 lSmdi

4

l==ll# 55 ne concentrdm asupra unui alt exemplu: 54 - Za

Pasul 1. GAndi!i-v5 a;a: ,,28 plus cdt este egal cu 54?,,

Pasul 2. Gdndifi-v5 a;a: ,,28 +'10 = 38", ,,38 + 10 = 48,,,iar ,,48 + 6 = 54." Ali adunat 20 (10 + l0), apoi 6,pentru a ajunge la rdspuns.

Rispuns: 26

TEMA DE REFLECJIE. Pentru ?nceput, s-ar putea si fie nevoie sd vdfolosili degetele de la m6ini pentru a numdra c6te zeci ali adunat.Totu;i, exersdnd, veli reusi si obline1i r5spunsulfoarte rapid.

Acum e rdndul vostru

Rezolvali urmdtoarele operalii de scSdere prin intermediul adu-ndrii:

O23-7 =16

@4r-26=O 36 - 19 =

@ 62-37 =

Oso-11=(O 84 -37 =

(Verificafi rdspunsurile Ia pagina 129)

5. Febra baschetuluiOperalii de scddere prin adunare - partea a doua

Tocmai ali asistat la primul vostru meci de baschet profesionist.Echipa gazdelor a cigtigat cu un scor de 1'l 1 la 85. Cu un avantaj dec6te puncte au c6;tigat gazdele? Pentru rezolvarea acestei problemetrebuie sE scbdeli 85 din 1 1 '1.

Trucul pentru rezolvare rapidi

Mijlocul rapid pentru a obline rdspunsul este sd scSdefi, adu-nind diferenta dintre cele douS numere si cifra 100. Pentru folosirea

25

'driru*

i4i i*$$\s-

acestui truc, unul dintre numere trebuie sd fie mai mare dec6t 100,iar celSlalt trebuie sE fie mai mic dec6t r00. in exemplul nostru cu sco-rul meciului de baschet, 111 este mai mare decdt 100, iarg5 mai micdec6t 100. Pentru rezolvarea acestei probleme, gdndifi-vd la c6t dedeparte este 111 de 100. in continuare, g6ndili-vd la diferenta din_tre 85;i 100. Adunati cele dou5 valori giveli obline rispunsul corect.

oos

iffi. **n,*rEMA: 111 - 8s

Pasul 1. Gdndifi-vd astfel: ,,111 este cu l r mai mare dec6t 100.-Pasul2. Gdndili-v5 astfel: ,,g5 este cu 15 mai mic dec6t 100."Pasul 3. Adunali: 11 + 15 - 26.

Rdspuns: 26 de puncte

j--t^ -

v

iA'" 5a ne concentr5m asupra unui alt exemplu: 134_97

Pasul 1. Gdndifi-vd astfel: ,,134 este cu 34 mai mare dec6t 100.-

Pasul 2. G6ndifi-vd astfel: ,,97 este cu 3 mai mic dec6t 1oo.-

Pasul 3. Adunali:34+ 3 = 37

Rdspuns: 37

TEMA DE REFLEcf,IE" Acest truc va funcliona ;i in cazul numerelor maimari sau mici de 200, 300 si aga mai departe.

Acum e rindul vostru

Rezolvali urmdtoarele operalii de scidere prin intermediul adu-nirii:

121 -93 =111-65=

148-89=

ffi 107 -e2- 1s

m 112 -75=

(Verificafi rdspunsu rile la pagi na t 2e)