Metoda coardelor (secantei)

Metoda coardelor 1. Metoda este utilizată pentru găsirea rădăcinii

aproximative a ecuaţiei f(x)=0 izolate într-un interval a, b în cazul în care f(a)*f(b)<0 cu aproximarea prestabilită.

2. Se consideră ecuaţia f(x)=0. Funcţia f(x) este continuă pe[a, b]. Presupunem că în urma unui proces de separare a rădăcinilor ecuaţia f(x)=0 are cel mult o rădăcină în [a, b].

3. Prin - notăm rădăcina ecuaţiei pe [a, b]. 

Metoda coardelor Intervalele succesive a1, b1, a2, b2 … ai, bi se obţin prin împărţirea intervalului anterior în raportul f(ai -1,)/f(bi -1)

Metoda secantei este echivalentă cu înlocuirea f(x), prin coarda care trece prin punctele (ai, f(ai)) şi (bi,

f(bi))

Metoda coardelor Din ecuaţia coardei

se poate obţine coordonata punctului de intersecţie xi al coardei cu axa absciselor

După un anumit număr de paşi se obţine, fie o rădăcină exactă =xi, astfel încît f(xi)=0, fie o secvenţă de intervale

[a0, b0], [a1, b1]… [ai, bi]…

Cu ai+1 = ai , bi+1= xi , dacă f(ai)*f(bi)0

ai+1 = xi , bi+1= bi , dacă f(ai)*f(xi)0.

Metoda coardelor Fie f'' (x) > 0, unde a   х   b (cazul f'' (x) < 0 se reduce la cazul analizat dacă ecuaţia este rescrisă în formă - f(x) = 0. Atunci curba у = f(x) este concavă şi se află mai jos de coarda sa АВ. Sunt posibile două situaţii: 1) f(а) > 0 (Fig. 2, а) şi 2) f(a) < 0 (Fib 2, b).

Metoda coardelor În primul caz capătul а al segmentului rămîne nemişcat, dar iteraţiile consecutive: x0 = b;

formează un şir mărginit, monoton descrescător cu proprietate:În cazul al doilea rămîne nemişcat capătul b, dar iteraţiile consecutive: x0 = а;

(2)

Generalizînd, conchidem:

1. Nemişcat este acel capăt al intervalului pentru care semnul funcţiei f (х) coincide cu semnul derivatei de ordinul doi f'' (х);

2. Aproximări consecutive xn se află în acea parte de rădăcină unde funcţia f (х) are semnul opus semnului derivatei de ordinul doi f'' (х).

ExercițiiDeterminaţi soluţiile ecuaţiilor, utilizând metoda coardelor: