§1 Metoda Monte Carlo

Termenul ,,Metoda Monte Carlo” este sinonim cu termenul ,,Metoda experimentelor statistice”. Apariţia acestei metode se raportează de obicei la anul 1949, în care apare articolul ,,The Monte Carlo method” (Metropolis N., Ulam S.). Întemeietorii metodei sunt consideraţi americanii J. Neumann şi S. Ulam care, în legătură cu lucrările efectuate pentru crearea bombei atomice, au propus să se utilizeze aparatul teoriei probabilităţilor pentru rezolvarea unor probleme cu caracter aplicativ la calculatoarele electronice.

De fapt, ideea utilizării fenomenelor aleatoare în domeniul calculelor de aproximare poate fi raportată la anul 1873, când a apărut o lucrare a lui Hall despre determinarea numărului cu ajutorul aruncărilor la întâmplare a unui ac pe o foaie de hârtie pa care s-au trasat drepte paralele.

Metoda Monte Carlo este o metodă de rezolvare numerică a problemelor matematice, bazată pe modelarea variabilelor aleatoare.

Fie o variabilă aleatoare. Să efectuăm n experimente independente astfel, încât fiecare să se încheie cu o valoare a lui (ne putem imagina că în fiecare experiment, pur şi simplu, se măsoară valoarea lui ). Acest proces de construire pentru a n valori x1, x2, …, xn reprezintă modelarea variabilei aleatoare , iar valorile xi se numesc realizările lui .

Dacă este vorba de studierea unor fenomene reale, atunci modelarea variabilelor aleatoare, legate de ele, este numită ,,simulare”.

Procedeul principal de elaborare a metodei Monte Carlo pentru rezolvarea unei probleme constă în reducerea acesteia la calculul valorilor medii. Mai exact, pentru a calcula valoarea aproximativă a unei mărimi scalare a (care poate fi rădăcina unei ecuaţii, valoarea unei integrale definite etc.) trebuie să găsim o variabilă aleatoare , astfel încât să avem M = a. Atunci, modelând variabila aleatoare , adică construind pentru ea n realizări x1, x2, …, xn, vom considera:

Mărimea a (deci şi ) poate fi atât scalară, cât şi vectorială. Metoda Monte Carlo poate fi aplicată, în primul rând, problemelor

care admit o descriere probabilistă. Dar, aşa cum vom vedea, în multe cazuri se poate construi un model probabilist şi pentru probleme strict deterministe.

Fie că dorim să estimăm aria SG a unei figuri plane mărginite G.

Pentru aceasta alegem un dreptunghi D cu aria SD care să includă pe G (Fig.1). În D luăm la întâmplare n puncte. Fie prin n(G) numărul punctelor care nimeresc în G. Este evident că dacă n e mare, atunci

Fig.1

de unde rezultă estimaţia . În acest exemplu variabila

aleatoare este prezentă implicit şi are două valori posibile: SD, dacă punctul nimereşte în G, şi 0 dacă punctul nimereşte în D\G. Se verifică cu uşurinţă că M = SG, iar

.

Pe lângă noţiunea de modelare a variabilei aleatoare mai putem vorbi şi despre modelarea unui eveniment aleator sau a unui experiment şi, în general, a unui fenomen. De fiecare dată prin modelare vom subînţelege recrearea, reproducerea cu ajutorul calculatorului electronic a funcţionării modelului probabilist al fenomenului.

Exemplu de modelare: modelarea variabilei aleatoare cu legea uniformă de repartiţie pe [0,1].

Să aruncăm de k ori o monedă simetrică şi să punem αi = 1 sau αi = 0 după cum la aruncarea i, i=1, 2, …, k, cade stema sau banul. Este evident că suma

este un număr pe [0,1] şi reprezintă o variabilă aleatoare discretă cu 2k

valori posibile. Dacă k este mare ( ), atunci repartiţia variabilei

2

D

G

aleatoare Sk coincide practic cu repartiţia variabilei aleatoare, uniform repartizate pe [0,1]. Mai exact se poate demonstra că, cu probabilitatea 1,

are legea uniformă de repartiţie pe [0,1].Prin urmare, dacă vrem să modelăm variabila aleatoare cu

repartiţie uniformă pe [0,1], atunci n realizări x1, x2, …, xn pentru le putem obţine aruncând o monedă simetrică de nk ori: fiecare k aruncări ne dau o realizare xi.

Valorile x1, x2, …, xn ale variabilei aleatoare uniforme pe [0,1], se numesc numere aleatoare.

Dacă pentru variabila cu repartiţie uniformă pe [0,1] a fost obţinut un număr necesar de realizări, acestea pot fi înmagazinate în memoria calculatorului (spre a fi folosite ulterior). Tabele de numere aleatoare se găsesc în cărţile de teoria probabilităţilor şi statistică matematică. Astfel de tabele au fost alcătuite cu mult înainte de apariţia metodei Monte Carlo în forma ei actuală. Necesitatea lor apare în legătură cu aplicarea procedeelor de alegere la întâmplare, la planificarea diverselor experimente în biologie, medicină, agricultură etc.

Pentru alcătuirea tabelelor de numere aleatoare Kendall folosea ruleta, alcătuită dintr-un disc divizat în zece sectoare egale corespunzătoare cifrelor 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Tot în acest scop a fost folosit un dispozitiv special cu acţiune rapidă – ruleta electronică, care servea ca generator de numere aleatoare, bazat pe nişte principii fizice (de generare de impulsuri aleatoare).

Totodată, se întreprindeau măsuri de precauţie pentru a asigura imparţialitatea experimentelor. În plus se aplica un complex de teste pentru a verifica dacă numerele care se obţineau erau într-adevăr aleatoare.

Dacă dispunem de un tabel suficient de cuprinzător de numere aleatoare, atunci problema sursei de realizări independente ale variabilei aleatoare uniform repartizate pe [0,1] poate fi considerată rezolvată în principiu. Totuşi, din punct de vedere practic, păstrarea unui tabel amplu în memoria calculatorului este destul de incomodă, de aceea tabelele de numere aleatoare practic nu se utilizează.

În calculele practice realizările variabilei aleatoare uniform repartizate pe [0,1] se obţin cel mai simplu cu ajutorul unui algoritm. Numerele obţinute pe această cale se numesc pseudoaleatoare (spre

3

deosebire de numerele aleatoare, care se obţin, de exemplu, cu ajutorul monedei). Evident, se impune condiţia ca obţinerea acestor numere să aibă loc într-un timp suficient de scurt de funcţionare a calculatorului.

La modelarea variabilei aleatoare cu legea de repartiţie uniformă pe [a, b], vom folosi formula

unde este o variabilă aleatoare cu repartiţie uniformă pe [0,1].Prin urmare realizările y1, y2, …, yn ale lui se obţin din

realizările x1, x2, …, xn ale lui conform formulei: i =1, 2, ..., n.

1.2. Modelarea variabilei aleatoare normale N(0,1)

Fie x1, x2, …, xk variabile aleatoare independente cu repartiţie

uniformă pe [0,1]. Valoarea medie a sumei este , iar dispersia

ei este Prin urmare, variabila aleatoare

(4)

are valoarea medie egală cu 0 şi dispersia egală cu 1. În baza teoremei limită centrale pentru n repartiţia acestei variabile aleatoare tinde către repartiţia normală N(0,1). În practică se consideră că pentru k = 12, când (4) are o formă deosebit de simplă:

, (5)

se obţine o aproximare destul de bună a legii normale N(0,1). Desigur, la rezolvarea unor probleme concrete trebuie să ţinem seama că, dacă există abateri mari, (12) nu poate da rezultate bune.

Formula (4) se foloseşte mai ales atunci când nu suntem interesaţi

de valori mari ale lui . Pentru îmbunătăţirea aproximaţiei a fost propusă formula

4

.

Dacă suntem interesaţi de valori mari ale lui sau dacă avem nevoie de foarte multe realizări, atunci ne putem folosi de formule exacte care cer mai puţine numere aleatoare:

Aici variabilele aleatoare 1 şi 2 vor fi independente cu repartiţia

normală N(0,1), dacă 1 şi 2 sunt independente uniform repartizate pe [0,1].Pentru modelarea variabilei aleatoare N(a, ) se foloseşte relaţia:

= + a, unde N(0, 1).

1.3. Modelarea variabilei aleatoare cu repartiţia Poisson de parametru

Modelarea variabilei aleatoare cu repartiţia Poisson de

parametru se bazează pe faptul că , dacă 0, 1, 2, … sunt variabile aleatoare independente uniform repartizate pe [0,1].

De aici rezultă formula pentru realizările lui :

unde x1, x2, ... sunt numere aleatoare.

5

1.4. Modelarea variabilei aleatoare cu repartiţia binomială

Pentru a obţine o realizare y a lui vom construi mai întâi n realizări x1, x2, ..., xn pentru variabila uniform repartizată pe [0,1] după care considerăm y egal cu numărul cazurilor când xi < p.

Exerciţii Să se modeleze:

1) un punct luat la întâmplare în dreptunghiul [a, b] [c, d];2) un punct luat la întâmplare în cercul x 2 + y 2 r 2;3) variabila aleatoare egală cu numărul bilelor albe scoase la

extragerea a 3 bile din urna conţinând 5 bile albe şi 2 bile negre. Să se considere ambele scheme de extragere;

4) variabila aleatoare discretă cu repartiţia P( = x) = pi, i = 1, 2, … .

6

Textul unui program-model în limbajul Pascal

Cazul schemei cu întoarcereprogram bile;uses CRT;var k1,k2,k3,i,j,ind:longint; x1,x2,csi,ia,n0,ing:longint; s1,s2,disp,p,Ma,eps,xb: extended; s,n,na:longint;BEGINclrscr;randomize;writeln('SCHEMA DE EXTRAGERE CU INTOARCERE');writeln('introdu exactitatea epsilon:');read(eps);writeln('introdu xb tabelar:'); read(xb);writeln('Introdu numarul de experimente n0 pentru calcularea dispersiei:');read(n0);writeln;writeln('Introdu numarul de bile albe k1:');read(k1);writeln('Introdu numarul de bile negre k2:');read(k2);writeln('Introdu numarul de bile rosii k3:');read(k3);

s1:=0; s2:=0; for i:=1 to n0 do begin x1:= random(k1+k2+k3)+1;

7

if x1<=k1 then write(' a') else if x1<=k1+k2 then write(' n') else write(' r');ia:=0; csi:=1; {ia indica daca s-au ales consecutiv doua bile albe}repeat x2:=random(k1+k2+k3)+1; if x2<=k1 then write(' a') else if x2<=k1+k2 then write(' n') else write(' r'); if (x1<=k1) and (x2<=k1) then ia:=1; csi:=csi+1; x1:=x2;until ia=1; {se verifica daca s-au ales consecutiv doua bile albe}

writeln;writeln(' csi=',csi);s1:=s1+csi/n0;s2:=s2+csi*csi/n0;end;

disp:=s2-s1*s1; {se calculeaza dispersia} writeln('Dispersia D=',disp:1:4);n:=trunc(xb*xb*disp/(eps*eps)); {se calculeaza numarul de experimente}writeln('n=',n);readkey;

s:=0; na:=0; {in indica daca s-au ales doua bile negre consecutive}for i:=1 to n dobegin x1:= random(k1+k2+k3)+1; ia:=0; csi:=1; ing:=0;repeat x2:=random(k1+k2+k3)+1;if (x1<=k1) and (x2<=k1) then ia:=1;if (k1<=x1)and (x1<=k1+k2)and(k2<=x2)and(x2<=k1+k2) then ing:=1; csi:=csi+1;x1:=x2;until ia=1;if ing=1 then na:=na+1; {numarul de cazuri

8

favorabile evenimentului A}s:=s+csi;end;writeln;Ma:=s/n;writeln('Valoarea medie Ma=',Ma:1:3);P:=na/n;writeln('Probabilitatea P=',P:1:3);readkey;END.

Rezultatul.SCHEMA DE EXTRAGERE CU INTOARCEREIntrodu exactitatea eps: 0.01Introdu cuantila xb tabelara: 1.96Introdu numarul de experimente n0 pentrucalcularea dispersiei: 20Introdu numarul de bile albe k1: 2Introdu numarul de bile negre k2: 3Introdu numarul de bile rosii k3: 2

n r n a n a n r n n a a csi=12 n n a n n r n n r n r r r n r n r n n n r a n n a n r n a n n r n a n a r n n n r n n n n r a a csi=48 r n r a n r a a csi=8n a a csi=3 n n a a csi=4 a a csi=2n n a r r n a n n r a a csi=12 r n n n n a a csi=7n n r r r a n n a a csi=10n a n r a n r a r n n r r n r a r a r a n r n a n n r n n r n a r a n n n n n r n r n n r n r n a r r r r n r a n n r a r a n a n n r n n r n a n a r a r n n n n n n r n a r a a csi=89 n a a csi=3n r r n n r n r n a a csi=11n n n r a r r n n n r a a csi=13n n n n n n n a a csi=9 r a rn r n a n n n r n a n n a n n r n n r r a r n n n n a n n n n r a r n a n n a r a a csi=45r n n a n n r r r r n n n a r a n a a

9

csi=19 a r n n n n n r r n a acsi=12 r r n r a n n n a a csi=10n n n n r a r n n r r r r n a n a n a n a n n n a n a a csi=28a r a a csi=4

Dispersia D = 423.7475n =16278683

Valoarea medie Ma=15.755Probabilitatea P=0.718

Cazul Schemei fără întoarcereprogram bile;uses CRT;var k1, k2, k3, k01,k02,k03,i, j:integer; x1, x2,csi,ia,n0,ing,calba,cneagra:integer; disp,p,Ma,eps,xb:real; s1,s2,s,n,na:longint;BEGIN clrscr;randomize;writeln('SCHEMA FARA INTOARCERE');writeln('Introdu exactitatea epsilon:'); read(eps);writeln('Introdu xb tabelar:'); read(xb);writeln('Introdu numarul de experimente pentru calcularea dispersiei n0:');read(n0);writeln;randomize;writeln('Introdu numarul de bile albe k1:');read(k01);writeln('Introdu numarul de bile negre k2:');read(k02);writeln('Introdu numarul de bile rosii k3:');read(k03);

s1:=0; s2:=0;for i:=1 to n0 do begink1:=k01; k2:=k02; k3:=k03; x1:= random(k1+k2+k3)+1;calba:=0; {calba - indica daca culoarea bilei

10

este alba}if (x1<=k1) then begin write(' a'); k1:=k1-1; calba:=1; end else if x1<=k1+k2 then begin write(' n'); k2:=k2-1; end else begin write(' r'); k3:=k3-1; end; ia:=0; csi:=1; repeat x2:=random(k1+k2+k3)+1; if (x2<=k1)and (k1< >0) then begin write(' a'); if calba=1 then ia:=1; k1:=k1-1; calba:=1; end else if (x2<=k1+k2)and(k2<>0) then begin write(' n'); k2:=k2-1; calba:=0; end else if (k3<>0) then begin write(' r'); k3:=k3-1; calba:=0; end;

csi:=csi+1; x1:=x2; until (ia=1)or(k1+k2+k3=0); writeln; writeln(' csi=',csi); s1:=s1+csi; s2:=s2+csi*csi; end;disp:=s2/n0-sqr(s1/n0);writeln('Dispersia D=',disp:1:4);

11

n:=trunc(xb*xb*disp/(eps*eps));writeln('n=',n); readkey; s:=0; na:=0; for i:=1 to n do begin k1:=k01; k2:=k02; k3:=k03; calba:=0; cneagra:=0; {cneagra – indica daca culoarea bilei este neagra} x1:= random(k1+k2+k3)+1; if x1<=k1 then begin k1:=k1-1; calba:=1; end else if x1<=k1+k2 then begin k2:=k2-1; cneagra:=1;end else k3:=k3-1; ia:=0; csi:=1; ing:=0;repeat x2:=random(k1+k2+k3)+1; if (x2<=k1) and (k1<>0) then begin if calba=1 then ia:=1; k1:=k1-1; calba:=1; cneagra:=0; end else if (k2<>0)and (x2<=k1+k2) then begin if cneagra=1 then ing:=1; k2:=k2-1; cneagra:=1; calba:=0; end else if k3<>0 then begin k3:=k3-1; calba:=0; cneagra:=0; end;

csi:=csi+1; x1:=x2; until (ia=1)or(k1+k2+k3=0); if ing=1 then na:=na+1; s:=s+csi; end;

12

Ma:=s/n;writeln('Valoarea medie Ma=',Ma:1:3);P:=na/n;writeln('Probabilitatea P=',P:1:3);readkey;END.Rezultatul

SCHEMA DE EXTRAGERE FARA INTOARCEREIntrodu exactitatea eps: 0.01Introdu cuantila xb tabelara: 1.96Introdu numarul de experimente n0 pentrucalcularea dispersiei: 20Introdu numarul de bile albe k1: 2Introdu numarul de bile negre k2: 3Introdu numarul de bile rosii k3: 2n a n r r a n csi=7 a a csi=2r n a n n a r csi=7r n n n a a csi=6a n n r n a r csi=7 r r n n a a csi=6r a n n n a r csi=7a r n r a n n csi=7a n r n a n r csi=7r a n a r n n csi=7r a r n n a n csi=7n a a csi=3a n r n n a r csi=7 n a n a r n r csi=7a a csi=2n r a n r a n csi=7r n a r n a n csi=7n a r r n n a csi=7 n r a n a r n csi=7r r a n n n a csi=7

Dispersia D=2.7600n=1060

Valoarea medie Ma=6.231Probabilitatea P=0.570

13

1.7. LUCRAREA DE LABORATOR NR.1Calculul valorii medii, a integralei definiteşi a probabilităţii unui eveniment aleator

Această lucrare are ca tematică modelarea variabilelor aleatoare şi aplicarea metodei Monte Carlo la calculul valorii medii, probabilităţii şi a integralei definite.

Sarcinile individuale ale lucrării conţin o variabilă aleatoare şi un eveniment aleator pentru care urmează a fi calculate valoare medie, respectiv probabilitatea (integrala va fi propusă de profesorii responsabili de laborator). Pentru calculul valorii medii se vor modela n valori ale variabilei aleatoare, iar pentru calculul probabilităţii se va modela de n ori evenimentul aleator dat (şi experimentul respectiv).

Fiecare lucrare de laborator care presupune îndeplinirea unei variante concrete se va încheia cu prezentarea dării de seamă, ce va include:

1. Formularea problemei (varianta concretă).2. Expunerea succintă a metodei (testului, algoritmului) aplicate.3. Textul programului ce realizează metoda aplicată elaborat

într-un limbaj algoritmic.4. Rezultatele testării programului.5. Rezolvarea teoretică a problemei (cel puţin pentru unele

cazuri particulare).

Probleme propuse

1. O urnă conţine n1 bile albe, n2 bile negre şi n3 bile roşii. Conform schemei cu întoarcere se extrage câte o bilă până când apare o bilă albă sau una neagră. - numărul de bile roşii extrase. A={ultima bilă extrasă este albă}. 2. O persoană scrie n scrisori la n persoane. Pune fiecare scrisoare în

plic, închide plicurile şi apoi scrie la întâmplare adresele pe plicuri. - numărul scrisorilor care ajung la destinatarul său. A={cel puţin o scrisoare ajunge la destinatarul său}. (M=1, P(A) 1- e-1).3. 1, 2,…, n sunt variabile aleatoare independente cu repartiţia

Bernoulli: P(i =1) = p, P(i =0)=q, q = 1 - p. Definim variabilelealeatoare k, k =1,2,…, n - 1, astfel: k = 0 dacă k = k+1 şi k = 1 dacă k k+1. n = 1+2+…+n – 1. A={ n = n-2}.

14

4. 1 şi 2 sunt variabile aleatoare independente cu repartiţia

normală N(0,1).

5. Se consideră ecuaţia g(x) = x2 – 2ax + b = 0. Fie a şi b variabile aleatoare independente cu repartiţie uniformă pe [0,1]. este valoarea minimală a funcţiei g(x). A={rădăcinile ecuaţiei sunt reale}.6. În condiţiile problemei nr.5 a şi b urmează legea de repartiţie

exponenţială de parametru . - este valoarea minimală a funcţiei g(x). A={ 0}.7. În condiţiile problemei nr.5 este valoarea maximală a funcţiei

g(x) pe segmentul [-1, 5]. A={g(x) atinge valoarea maximală în punctul x=5} (M=20.5, P(A)=1).8. În condiţiile problemei nr.5 a şi b au repartiţie uniformă pe

[-1, 2]. este valoarea minimală a funcţiei g(x), A={g(x) 0}.9. În condiţiile problemei nr.5 a şi b urmează legea de repartiţie

N(0,1). este valoarea minimală a funcţiei g(x), A={g(x) 0}.10. Variabila aleatoare are repartiţia exponenţială de parametru .

=[]. A= , n = 1, 2, … , 10. .

11. Într-un pătrat se iau la întâmplare punctele A şi B. Acest experiment se repetă până când cercul, al cărui diametru este segmentul AB, se va conţine în întregime în pătrat. - numărul experimentelor. A={=1}.12. Pe un cerc de raza 1 se iau la întâmplare punctele A, B şi C. -

aria triunghiului ABC. A={toate unghiurile triunghiului sunt ascuţite}. ( P(A)=1/4).13. În prima urnă sunt k1 bile albe şi k2 negre, iar în a doua urnă sunt

m1 bile albe şi m2 bile negre. Din prima urnă se extrage o bilă la întâmplare care se pune în a doua urnă. De aici se iau la întâmplare două bile. - numărul bilelor albe extrase din a doua urnă. A={=2}.14. Într-o urnă sunt k1 bile albe, k2 bile negre şi k3 bile roşii. Una câte

una se scot toate bilele. - numărul de ordine al extragerii în care prima dată este scoasă o bilă albă. A={o bilă de culoare albă este scoasă înainte de a fi scoasă o bilă de culoare neagră}.15. În condiţiile problemei nr.14 ξ este numărul bilelor albe scoase

în primele k1 extrageri. A={în primele k1 extrageri şi în ultimele k1

extrageri este scos acelaşi număr de bile albe}.

15

16. În condiţiile problemei nr.14 este numărul de bile roşii scoase între prima şi a doua bilă albă. A={ξ = 0}.17. Din mulţimea {1, 2,…, N} se extrage cu întoarcere de s ori câte

un număr. este numărul maximal extras. A={numărul maximal este extras o singură dată}.18. În condiţiile problemei nr.17 ξ este numărul minimal extras.

A={ξ ≥ 2}.19. În condiţiile problemei nr.17 ξ este numărul de numere care nu

au fost extrase nici o dată. A={1 şi N nu sunt extrase}.20. În pătratul OABC cu vârfurile în punctele O =(0,0), A=(0,1),

B=(1,1), C=(1,0) se ia la întâmplare câte un punct până când în triunghiul OAB nimeresc s puncte. - numărul punctelor luate în pătrat. A={numărul de puncte ce nimeresc în triunghiul OAB diferă cu cel mult 2 de numărul punctelor ce nimeresc în triunghiul OBC}.21. În condiţiile problemei nr.20 ξ este numărul punctelor care

nimeresc în ΔABC. A={numărul punctelor care nimeresc în ΔABC diferă de numărul celora care nimeresc în ΔOAC cu cel mult 2}.22. În condiţiile problemei nr.20 ξ este numărul acelor puncte luate

în pătrat, abscisele cărora sunt mai mici decât 1/2. A={în ΔOBC nimereşte un număr par de puncte}.23. Într-o urnă sunt k1 bile albe şi k2 bile negre. Se extrage câte o bilă fără

întoarcere până sunt scoase toate bilele albe. ξ este numărul extragerilor. A={este scoasă o bilă albă înainte de a fi scoasă o bilă neagră}.24. În condiţiile problemei nr.23 este numărul de bile negre

extrase. A={prima bilă extrasă este albă}.25. Într-o urnă sunt k1 bile albe şi k2 bile negre. Se extrage câte o bilă

cu întoarcere până când în s extrageri succesive sunt scoase numai bile de culoare neagră. ξ este numărul extragerilor. A={sunt scoase succesiv cel puţin trei bile negre} (pentru k1=3, k2=7 Mξ ≈ 16.5}.26. Într-un cerc de rază 2 se ia câte un punct până când se obţin două

puncte situate de la centru la o distanţă ce nu întrece 1. este numărul punctelor luate. A={distanţa de la centrul cercului a celui de-al doilea punct nu întrece 1}.27. În condiţiile problemei nr.26 este numărul punctelor luate după

primul ,,succes”. A={8≤ ξ ≤ 10}.28. Se aruncă două zaruri până când apar doi de 6 de 3 ori.

ξ - numărul aruncărilor. A={ξ ≥ 4}.29. În condiţiile problemei nr.28 ξ este numărul de apariţii ale

perechilor (1, 1), (2, 2), ..., (6, 6). A={dintre toate perechile (i, i) cea mai frecventă este (6, 6)}.

16

30. Se aruncă două zaruri până când de 2 ori se obţine suma de 5 puncte căzute va fi egală cu 5. - numărul aruncărilor. A={cel puţin o dată cad doi de 6}.31. Se aruncă două zaruri până când de 2 ori suma punctelor va fi 5. -

numărul apariţiilor sumei 9. A={ξ = 2}.32. Din mulţimea {1, 2, …, N} se extrage câte un număr cu

întoarcere până când numărul 1 este scos de 2 ori. ξ este numărul extragerilor efectuate. A={numărul N este scos de cel puţin două ori}.33. În condiţiile problemei nr. 32 ξ este numărul acelor numere care

nu sunt scoase nici o dată. A={toate numerele sunt scoase cel puţin câte o dată}.34. Se aruncă trei zaruri până când cel puţin două dintre ele cad cu 6

puncte. - numărul aruncărilor efectuate. A={ξ[23,31]}.35. În condiţiile problemei nr. 34 este numărul de 6 ce cad la

penultima aruncare. A={la ultima aruncare cad trei de 6}.36. Din mulţimea {1,2,…,N} se extrage cu întoarcere câte un număr până

când sunt scoase s numere divizibile cu 5. este numărul extragerilor efectuate. A={numărul extragerilor este divizibil cu 5}.37. În condiţiile problemei nr. 36 este numărul maximal extras.

A={ξ este par}.38. Se iau la întâmplare două numere de pe segmentul [0,1]: a

(primul) şi b (al doilea). = max(x1, x2), unde x1, x2 sunt rădăcinile ecuaţiei x2 + ax + 2b = 0. A={ξ > 1}.39. În condiţiile problemei nr. 38 = min(x1, x2), A={ξ > 0}.40. Se aruncă zarul până când faţa cu 6 puncte cade de s ori. ξi - numărul

de apariţii ale feţei cu i puncte, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6. A= {ξ1 = ξ2}.41. Pe segmentul [0, 3] se ia la întâmplare câte un punct până când acesta

va nimeri pe segmentul [2, 3]. - numărul de puncte luate. A={pe [0,1] sunt luate mai multe puncte decât pe [1, 2]}.42. În condiţiile problemei nr. 41 este numărul de puncte luate pe

[0,1]. A={pe [1, 2] nu este luat nici un punct}.43. Pe segmentul [0,3] se iau la întâmplare s puncte. ξ este numărul

maximal de puncte care nimeresc pe unul dintre segmentele [0,1], [1,2], [2,3]. A={număr maximal de puncte nimeresc pe [0,1]}.44. Pe segmentul [0, 3] se ia la întâmplare câte un număr până când

pe segmentul [1, 2] nimeresc s puncte. este numărul de puncte luate. A={pe [0,1] nimeresc mai puţine puncte decât pe [2,3]}.45. În condiţiile problemei nr. 44 este numărul de puncte ce

nimeresc pe segmentul [0,1]. A={pe [0,1] nimeresc mai multe puncte decât pe [2, 3]}.

17

46. Se modelează câte o valoare xi a variabilei cu repartiţia N(a, ), până când se obţine o valoare ce nu aparţine intervalului (a - 3, a + 3). ξ este numărul valorilor modelate. A={ultima valoare modelată este mai mare decât a + 3}.47. În condiţiile problemei nr.46 ξ este numărul valorilor modelate

care nimeresc în intervalul (0, a + 36). A={pe (a - 3, a) şi (a, a + 3) nimereşte aproximativ acelaşi număr de valori (diferenţa 2)}.48. Se modelează câte o valoare a variabilei aleatoare cu repartiţie

exponenţială de parametru până când în intervalul [2, 3] nimeresc s valori. ξ este numărul valorilor modelate. A={M ξ < ξ < 2M ξ }.49. În condiţiile problemei nr.48 ξ este valoarea maximală modelată.

A={ξ > 3}.50. O particulă se află iniţial în punctul O al axei numerice. Peste o

secundă ea trece în punctul 1 sau în -1 cu probabilitatea p, respectiv q, p + q = 1. Peste încă o secundă din punctul în care se află particula trece din nou cu o unitate la dreapta sau la stânga cu probabilitatea p, respectiv q ş.a.m.d. ξ t – coordonata particulei peste t secunde. A={ξ t >0}.51. În condiţiile problemei nr. 50 ξ este numărul de reveniri ale

particulei în punctul O după t sec. A={cea mai mare parte de timp particula se află pe partea pozitivă a axei}.52. În condiţiile problemei nr. 50 ξ este coordonata maximală a

particulei în intervalul de timp [0,t], A={ξ [t /2]}.53. Din mulţimea {0, 1, 2, …, 9} se ia de 6 ori câte un număr cu

întoarcere şi aceasta se repetă până când suma primelor trei cifre va fi egală cu suma ultimelor trei cifre. ξ - numărul experimentelor. A={ξ = 1}. (P(A) = 0.005252).54. În condiţiile problemei nr. 53 ξ este suma ultimilor trei cifre

extrase. A ={ξ = s}, s = 10, 11, 12.55. Se aruncă zarul până când suma punctelor prima dată întrece

1000. ξ - numărul aruncărilor. , s = 1, 2, 3, …,

unde ni este numărul feţelor care cad cu i puncte, i = 1, 2, …, 6.56. Din mulţimea {0,1,2,…,N} se extrage câte un număr cu

întoarcere până când sunt extrase r numere diferite. ξ - numărul extragerilor. A={1 a fost extras cel mai des}. (N=10, r = 5, Mξ 16,5; P(A)=0,5).57. În condiţiile problemei nr.56 ξ este lungimea maximală a unei

iteraţii de numere extrase deja cel puţin o dată. A={ultimul este scos numărul 1}.

18

58. În pătratul [0,1] [0,1] se iau la întâmplare 3 puncte A, B, C şi acest experiment se repetă până când aria triunghiului ABC întrece prima dată valoarea 0,45. ξ - numărul experimentelor. A={ξ=1}.59. În condiţiile problemei nr.58 este perimetrul ultimului triunghi

ABC. A={ξ > 2}.60. În pătratul [0,1] [0,1] se ia la întâmplare un punct (x, y) şi acest

experiment este repetat până când va fi satisfăcută condiţia x – y< 0,25. ξ - numărul experimentelor. A={ξ = 1}.61. Sunt date două urne cu bile albe, negre şi roşii. Prima urnă

conţine 2k1 bile albe, k2 bile negre şi k3 bile roşii, iar a doua conţine respectiv, 2r + 2k1, m2 şi m3 bile. Din prima urnă se extrage la întâmplare o bilă care se introduce în a doua urnă după care din aceasta se extrage la întâmplare o bilă care se introduce în prima urnă ş. a. m. d. până când se egalează numărul de bile albe în urne. ξ - numărul de extrageri din prima urnă. A={ξ 2r}.62. În condiţiile problemei nr.61 ξ este numărul de bile roşii extrase

din urna a doua. A={ξ este par}.63. Se aruncă o monedă până când stema cade succesiv de trei ori. ξ -

numărul aruncărilor monedei. A={banul cade cel puţin o dată de trei ori succesiv}. (Mξ 14,P(A) 0.52).64. În condiţiile problemei nr.63 ξ este numărul iteraţiilor de steme.

A={ 5}.65. Se consideră un şir de experimente Bernoulli. k – numărul de

ordine al experimentului în care apare al k-lea succes. A={k = k + 2}. (Mk = k/p).66. În triunghiul cu vârfurile în punctele (0, 0), (2, 1), (2, 0) se ia la

întâmplare un punct. ξ este abscisa, iar - ordonata punctului. A={ + 2}. (M = 4/3, M = 5/12).67. Variabilele aleatoare 1, 2, 3 sunt independente şi au repartiţia

N(0, 1). . A={ 0}.

68. Variabila aleatoare are repartiţie exponenţială de parametru =1. = {}. A={ = } (P(A)=1- e-1).69. Din mulţimea {0, 1, 2, …, N} se extrage câte un număr cu

întoarcere până când suma numerelor extrase prima dată întrece

valoarea . ξ - numărul extragerilor. A={cel puţin unul dintre

numerele 1 şi N nu este extras nici o dată}.

19

70. În condiţiile problemei nr.69 ξ este numărul acelor numere care nu sunt extrase nici o dată. A={1 este scos exact o dată}.71. Se efectuează un şir de experimente Bernoulli, succesul având

probabilitatea p în fiecare experiment. este numărul experimentelor până la apariţia primei secvenţe 00. A={=3}.

72. În condiţiile problemei nr.71 ξ este numărul experimentelor până

la apariţia primei secvenţe 111. A={=5}.

73. În condiţiile problemei nr.71 ξ este numărul experimentelor până

la apariţia primei secvenţe 01. A={ = 4}. .

74. Pe segmentul [0,1] se ia la întâmplare un şir de numere 1, 2, … . – acea valoare a lui k pentru care suma 1 + 2 + …+ k prima dată

întrece 1. A={1 + 2+ …+ k x}.

75. Variabilele aleatoare 1, 2, … , n sunt independente având

repartiţia normală N(0, 1). .

76. În condiţiile problemei nr.75 variabilele aleatoare au densitatea de repartiţie f(x) = cx2 dacă x[0, 2] şi f(x) = 0, dacă x[0,2]. 77. Variabilele 1, 2, … , n sunt independente, uniform repartizate

pe [0,1]. A={2.71 1+2+ …+k 2.72}.

(M=n/3).78. Într-o urnă sunt Mk bile numerotate cu k, k= 1, 2, …, N. Se scot

fără întoarcere n bile. - numărul de numere care nu sunt scoase nici

o dată. A = {M 2M}. ( , M= M1+

…+Mn).

20

79. Din mulţimea {0, 1, 2, …, N} se extrage de k ori câte un număr fără întoarcere. ξ - suma numerelor extrase. A={primele trei numere extrase x1, x2, x3 formează o secvenţă crescătoare:

x1 x2 x3}. .

80. Se efectuează un şir de experimente Bernoulli, succesul având probabilitatea p în fiecare experiment. Considerăm că în experimentul i (i 2) apare secvenţa 00, dacă rezultatele experimentelor i-1 şi i sunt 0. 00 – numărul secvenţelor 00 în n experimente. A={avem s secvenţe 00 succesive}, s = 1, 2, 3, … . (M00= (n-1)q2, q=1- p).81. În condiţiile problemei nr.80 considerăm că în experimentul i (i 3) apare secvenţa 111, dacă rezultatele experimentelor i-2, i-1 şi i sunt 1. 111 – numărul secvenţelor 111 în n experimente. A={avem s secvenţe 111 succesive} s = 1, 2, 3, … . (M111= (n-2)p3).82. Se efectuează k experimente Bernoulli, succesul şi insuccesul

având în fiecare experiment probabilitatea p, respectiv q, p + q =1. – numărul iteraţiilor de succese şi de insuccese. A={ultima iteraţie este de succese}. (p=0.3, M8.98).83. În condiţiile problemei nr.82 este lungimea maximală a unei

iteraţii. A={iteraţia de lungimea maximală este alcătuită din succese}. (k =20, p= 0.5, M4.67; k =50, p= 0.5, M6).84. În condiţiile problemei nr.82 este numărul iteraţiilor de

lungimea 1. A={prima şi ultima iteraţie au aceeaşi lungime}.85. În condiţiile problemei nr.82 este numărul iteraţiilor de

lungimea 2. A={ = 1}.86. Din mulţimea {0,1,2,…,N} se extrage câte un număr cu

întoarcere până când sunt extrase toate numerele pare. ξ – numărul de numere impare care nu sunt extrase nici o dată. A={1 este scos cel puţin de două ori}.87. În condiţiile problemei nr.86 este numărul maximal de

extrageri ale unui număr. A={=k}, k = 5, 6, 7, 8, 9, 10.88. Se aruncă zarul până când cad toate feţele cel puţin câte o dată. - numărul aruncărilor. A={ 12}.89. Se aruncă zarul până când cad toate feţele pare cel puţin câte o

dată. - numărul aruncărilor. A={cel mai des cade faţa cu 6 puncte}.90. În condiţiile problemei nr.89 este numărul de feţe impare care

nu apar nici o dată. A={ = 1}.

21

91. Se aruncă zarul până apar primele trei feţe. - numărul aruncărilor . A={ 5 }, B = {apar toate feţele zarului}.92. Din mulţimea {1, 2, …, N} se extrag unul câte unul toate

numerele şi acest experiment se repetă până când ele sunt scoase în ordinea 1, 2, …, N. ξ – numărul experimentelor efectuate. A={ > M}. (N = 4; M = 22.9; p 0.36).93. În planul XOY se consideră dreptunghiul OABC cu vârfurile în

punctele O = (0, 0), A = (0, 1), B = (2, 1), C=(2, 0). Pe laturile OA şi BC se ia la întâmplare câte un punct Q, respectiv R. - lungimea segmentului QR. A={ > 2.2}.94. Pe segmentul [0,1] se iau la întâmplare două puncte. Aceste

puncte divizează segmentul [0,1] în alte trei segmente. Experimentul este repetat de k ori. k – numărul cazurilor când din cele trei segmente

se poate forma un triunghi. A={ = 1}. 95. Pe segmentul [0,1] se ia la întâmplare un punct. – lungimea

celui mai mare dintre cele două segmente care se obţin.

A={[0.55,0.65]}. 96. În condiţiile problemei nr.95 – lungimea celui mai mic dintre cele

două segmente care se obţin. A={[0.2,0.3]}. (P(A) = 1/4.)97. Dintr-o urnă care conţine k1 bile albe, k2 bile negre şi k3 bile roşii

se scoate câte o bilă cu întoarcere până când se obţin s iteraţii de bile albe. - numărul bilelor extrase. A={bile negre sunt scoase mai multe decât roşii}.98. În condiţiile problemei nr.97 este numărul iteraţiilor de bile

negre extrase. A={bile albe sunt scoase mai multe decât negre}.99. În condiţiile problemei nr.97 este numărul total al iteraţiilor de

bile albe, negre şi roşii. A={prima iteraţie corespunde culorii albe}.100. Dintr-o urnă care conţine k1 bile albe, k2 bile negre şi k3 bile

roşii se scoate câte o bilă cu întoarcere până când se obţine o iteraţie alcătuită din s bile albe. - numărul iteraţiilor de bile albe. A={prima iteraţie corespunde culorii albe}.101. Dintr-o urnă care conţine k1 bile albe, k2 bile negre şi k3 bile

roşii se scoate câte o bilă cu întoarcere până când se obţine cel puţin o iteraţie de bile pentru fiecare culoare. - numărul bilelor extrase. A={prima iteraţie corespunde culorii roşii}.

22

102. În condiţiile problemei nr.101 este numărul bilelor în cea mai lungă iteraţie. A={cea mai lungă este iteraţia ce corespunde culorii albe}.103. Se modelează un şir de valori ale variabilei aleatoare cu

repartiţie Poisson de parametru până când se obţine o valoare xi din segmentul [2, 3]. - numărul valorilor modelate. A={se obţine cel puţin o valoare mai mare decât 3}.104. În condiţiile problemei nr.103. este numărul valorilor

modelate mai mici decât . A={numărul valorilor modelate, mai mici decât , diferă de numărul valorilor mai mari decât cu cel mult 2}.105. Se modelează un şir de valori xi ale variabilei aleatoare cu

repartiţie Poisson de parametru până când se obţin s valori mai mari decât . - numărul valorilor modelate. A={cel puţin una dintre valorile x1, x2 este mai mare decât }.106. Se efectuează n experimente Bernoulli, succesul având

probabilitatea p în fiecare experiment. n – numărul iteraţiilor de succese. A={n = 0}, B={n = 1}. (Mn = npq + p2 , P(A) = qn, P(B) = nqn(q - p) - p(qn - pn) dacă p q; P(B) = 2-n, dacă p = q = 1/2).

107. Pe segmentul [0, 5] apar la întâmplare unul după altul punctele t1, t2, … , tn. Se cere să întrerupem acest proces pe cât este posibil la punctul de abscisă maximală = max{t1, t2, … , tn }.

Considerăm următoarea strategie: fixăm un număr m (în funcţie de N) şi urmărim acest proces până apar primele m puncte de ,,probă”, oprindu-ne apoi la primul punct abscisa căruia este mai mare decât abscisele primelor m puncte (sau la ultimul punct). m - abscisa

primului punct la care ne oprim. A= (m = 1, 2, …, N-1).

(Mm este maximală pentru m N/e). 108. Variabilele aleatoare 1, 2 şi 3 sunt independente, având aceeaşi

lege de repartiţie cu valoare medie finită (normală, uniformă, exponenţială etc.). Fie (1) (2) (3) seria variaţională a lor. 1 = ((3) - (1)),

A={(2) - (1) (3) - (2)}. (M((1) - (2)) = 3/2 M ).109. În spaţiul R3 se consideră triunghiul isoscel OAB, format din

vectorul unitar OA, situat pe axa OX şi vectorul unitar OB care formează cu OA un unghi cu repartiţie uniformă pe segmentul [0, 2]. - lungimea laturii AB. C = {triunghiul OAB se conţine în primul octant}. (M = 8/6).

23

110. Pe cercul de raza 1 se iau la întâmplare punctele A1, A2, …, An. - lungimea celui mai mic arc al cercului ce conţine aceste puncte. A = { x}, x 1/2. ( P(A) =nxn-1).111. Din mulţimea {0, 1, 2, …, N} se extrage câte un număr cu

întoarcere până când numărul 1 este scos de k ori. ξ – valoarea minimală a lui k pentru care toate numerele 2, 3, …, N sunt scoase cel puţin câte o dată. A={2 şi 3 sunt scoase de acelaşi număr de ori}.

112. Variabila aleatoare este determinantul matricei - , unde aij sunt variabile aleatoare independente, uniform repartizate pe [-1, 1]. A={prima linie a matricei conţine numai elemente pozitive}. (M = 0).113. În condiţiile problemei nr.112 aij urmează legea de repartiţie

normală N(0,1). A={prima coloană conţine numai elemente negative}. (M = 0).114. Din mulţimea {1,2, …,N} conform schemei fără întoarcere se

extrag numerele x1, x2, …, xk+1, k N - 1. Primele k numere extrase se scriu în ordine crescătoare: x(1) x(2) … x(k). ξ = x(k), Al ={ x(l) x(k+1)

x(l+1)}, l = 1, 2, .., k-1. .115. În planul de coordonate XOY se consideră triunghiul isoscel

format din vectorul unitar OA, situat pe axa OX, şi vectorul unitar OB, ce formează cu OA un unghi aleator, care are repartiţie uniformă pe segmentul [0, ]. - aria triunghiului OAB, C = {triunghiul OAB se situează în primul cadran}. (M = 1/).116. 1, 2, …, n sunt variabile aleatoare independente, având

repartiţie uniformă pe segmentul [0,1]. n = (n) - (1). A={(2) - (1)

}. .117. În condiţiile problemei nr.116 = (3) - (2), A={

118. În interiorul sferei de rază 1 cu centrul în originea de coordonate se iau două puncte la întâmplare. - distanţa dintre punctele luate. A={ambele puncte nimeresc în primul octant}. (M = 36/35).

24

119. 1, 2, …, n sunt variabile aleatoare independente, având

repartiţie exponenţială de parametru . i = (i) - (i-1), .

.120. Pe cercul cu centrul în originea de coordonate 0 se iau la

întâmplare n puncte A1, A2, …, An. - numărul minimal n pentru care poligonul convex cu vârfurile A1, A2, …, An conţine punctul 0. A={n 3}. (M = 5).121. Pe cercul cu centrul de rază r se iau la întâmplare punctele A1,

A2, …, An. Notăm cu A(1), A(2), …, A(n) punctele A1, A2, …, An scrise în ordinea în care le întâlnim pe cerc la parcurgerea lui în sensul mişcării acelor ceasornicului. - lungimea arcului A(1)A(2). A={arcul A(2)A(3) e mai mare decât arcul A(1)A(2)}. (M = 2r/n).122. În condiţiile problemei nr.121 notăm prin i lungimea arcului

A(i)A(i + 1). = max{1, 2, …, n }. A={ =1 sau = 2}.

dacă n e mare123. Pe cercul de rază 1se iau la întâmplare punctele A, B şi C. -

aria triunghiului ABC. D = {triunghiul ABC nu conţine centrul cercului}(M = 3/2 = 0.4774…).124. În condiţiile problemei nr.123 1 este perimetrul triunghiului

ABC, 2 – raza cercului înscris în triunghiul ABC. D = { ABC /2 }(M1 = 12/ 3.8197, M2 = 12/2 -1 0.2158).125. În figura plană convexă G, având aria 1, se iau la întâmplare

punctele A1, A2, A3, A4. - aria triunghiului A1A2A3. A = {învelişul convex al punctelor A1, A2, A3, A4 este un triunghi}. Să se considere cazul când G este un triunghi cu vârfurile în punctele (0, 0), (2, 0), (0, 1).126. În condiţiile problemei nr.125 G este un dreptunghi cu

vârfurile în punctele (0, 0), (2, 0), (0, 0.5), (2, 0.5).127. În condiţiile problemei nr.125 G este pătratul cu vârfurile în

punctele (0, 0), (1, 0), (0,1), (1, 1).

128. În condiţiile problemei nr.125 G este cercul de rază R =

cu centrul în originea de coordonate.

25

Problemele nr. 129-131 au ca tematică permutările mulţimii X = {1, 2, …, n}. Amintim că o permutare a mulţimii X = {1, 2, …, n} este o aplicaţie bijectivă a mulţimii X pe ea însăşi. Dacă f este o permutare a mulţimii X, atunci vom reprezenta-o astfel:

Notăm, de asemenea: f2(k) = f(f(k)), f3(k) = f(f(f(k))), ... . Fie k un număr din X. În şirul k, f(k), f 2(k), … primul element care se repetă este k. Fie r cel mai mic exponent pentru care . Permutarea

se numeşte ciclu şi se notează [k, f(k), f 2(k),…, f r-1(k) ]. Se poate demonstra că orice permutare poate fi scrisă în mod

unic ca un produs de cicluri ( fără elemente comune). Aceste cicluri se determină astfel:

se consideră secvenţa 1, f(1), f 2(1), … şi se formează ciclul care îl conţine pe 1, dacă f(1) =1, ciclul este format din 1 şi se notează [1]);

din mulţimea X= {1, 2, …, n} se elimină elementele ce se conţin în ciclul format deja;

se notează cu i1 cel mai mic element al mulţimii obţinute şi se formează secvenţa i1, f (i1), f 2(i1), … .

Astfel se obţine ciclul care îl conţine pe i1. După aceasta în mod analog se construieşte următorul ciclu ş. a. m. d.

Mulţimea X fiind finită, acest proces se încheie după un număr finit de paşi.

Exemplu. =[1, 5, 4] [2, 9, 3] [6, 8]

[7].129. n este numărul ciclurilor unei permutări a mulţimii X= {1, 2,

…, n}, luate la întâmplare. A = {există cel puţin un ciclu de lungimea

1}. (Mn = = ln n + c + o(1), c = 0.5772).

130. l este numărul ciclurilor de lungimea l ale unei permutări a mulţimii X= {1, 2, …, n}, luate la întâmplare. A={există cel puţin un ciclu de lungimea 1}. (Pentru n are repartiţie Poisson de parametru =1/l, P(A) 1-1/l).

26

131. Se ia la întâmplare o permutare a mulţimii X= {1, 2, …, n}.

- lungimea ciclului care îl conţine pe 1. A={ = 1} .

132. n este numărul ciclurilor de lungimea 3 al unei permutări a mulţimii X= {1, 2, …, n} luate la întâmplare. A={1, 2 şi 3 formează un ciclu de lungimea 3}. (Pentru n n are repartiţie Poisson de parametru 1/3, P(A) =2/(n(n-1)(n-2)).133. n este numărul ciclurilor de lungimea 1 ale unei permutări a

mulţimii X = {1, 2, …, n} luate la întâmplare. A={elementul 1

formează ciclu de lungimea 1}. (M 1, P(A) ).

134. În N urne se plasează câte o bilă la întâmplare până când în fiecare urnă nimereşte cel puţin câte o bilă. Se presupune că fiecare

bilă poate nimeri în oricare dintre urne cu probabilitatea . i – numărul urnelor în care nimeresc exact câte i bile. A={1 3 }. (N= 20, M 3.6, P(A) 0.4793).135. În condiţiile problemei nr.134 este numărul maximal de bile

care nimeresc într-una din urne. A={ N/10 }. Pentru ce N are loc P( 5) = 1?136. În condiţiile problemei nr.134 este numărul bilelor plasate.

A={ kN } k =1, 2, 3, 4, 5. 137. În N urne se plasează câte o bilă la întâmplare până când într-

una din urne nimeresc k bile. – numărul bilelor plasate. A={în toate urnele nimereşte cel puţin câte o bilă}.138. În condiţiile problemei nr.137 este numărul urnelor în care

nimeresc k-1 bile. A={ = 1}.139. În N urne se plasează câte o bilă la întâmplare până când în

fiecare urnă nimereşte cel puţin o bilă. – numărul bilelor plasate. A={în prima urnă nimeresc k bile}.140. În N urne se plasează câte o bilă la întâmplare până când în s

urne nimeresc cel puţin câte 2 bile. – numărul urnelor în care nu nimereşte nici o bilă. A={=k}, k = 0, 1, 2, …, N-s.141. În N urne se plasează câte o bilă la întâmplare până când în

primele s urne nimereşte cel puţin câte o bilă. – numărul urnelor în care nu nimereşte nici o bilă. A={=k}, k = 0, 1, 2, …, N-s.

27

142. În N urne se plasează la întâmplare n bile. Fie r(n, N) numărul urnelor în care nimeresc exact câte r bile, r 0. A={0(n, 2n) 1(n, 2n)}.

În problemele nr.141-143 P este matricea probabilităţilor de trecere la un pas a unui lanţ Markov omogen, iar P0 este repartiţia iniţială.

143. , P0 =(0.5, 0, 0.5, 0)

- numărul paşilor după care sistemul trece prima dată în starea 4. A={ = 2}.

144. , P0 =(0.5, 0.5, 0, 0)

- numărul paşilor după care sistemul trece prima dată în starea 4. A={ k}, k = 2, 3, …, 10.

145. , P0 =(1, 0, 0, 0).

Urmărim evoluţia sistemului din momentul 0 până când nimereşte în starea 4.

i - numărul de treceri prin starea i, i = 1, 2, 3. A={ }.

28

§2 Verificarea ipotezelor de concordanţă

Verificarea ipotezelor este legată într-o formă sau alta de compararea diferitor ipoteze cu date obţinute prin observaţii. Este limpede că dacă datele (faptele) observate nu sunt compatibile cu ipoteza formulată aceasta trebuie să fie respinsă. Dacă însă datele sunt compatibile cu această ipoteză, atunci ea poate fi acceptată.

Definiţie. Vom numi ipoteză statistică orice presupunere privind repartiţia necunoscută (funcţia de repartiţie, densitatea de repartiţie etc.) a unei variabile aleatoare sau valorile necunoscute ale parametrilor unei repartiţii.

Dacă a fost formulată o ipoteză (care de obicei se numeşte ipoteză principală sau nulă şi se notează prin H0), atunci problema constă în elaborarea unui algoritm (procedeu), care, în baza rezultatelor unor observaţii(care se mai numesc date statistice) ne-ar permite să acceptăm sau să respingem ipoteza dată. Un astfel de algoritm se numeşte test statistic.

Presupunem că obiectul observaţiilor noastre este o variabilă aleatoare cu funcţia de repartiţie F(x). Mulţimea valorilor posibile ale lui în statistică se numeşte populaţie statistică cu funcţia de repartiţie F(x).

Dacă efectuăm n experimente independente, în fiecare ,,măsurându-se” valoarea variabilei aleatoare , atunci ca rezultat obţinem n valori x1, x2, …, xn, care constituie o selecţie de volum n din populaţia statistică cu funcţia de repartiţie F(x).

2.1 Testul de concordanţă 2 (Pearson)Fie că este o variabilă aleatoare, funcţia de repartiţie F(x) a

căreia nu o cunoaştem. Presupunem că în baza unor raţionamente (teoretice, intuitive etc.) am ajuns la concluzia că aceasta ar putea fi o anumită funcţie F(x) (de exemplu, normală, Poisson etc.). Atunci se formulează ipoteza:

H0: F(x) = F(x),care se numeşte ipoteză de concordanţă.

29

Testul de concordanţă cu ajutorul căruia se poate verifica ipoteza H0 constă în următoarele:

1. În baza selecţiei se estimează parametrii necunoscuţi ai legii de repartiţie ipotetice a lui (dacă există astfel de parametri).

De exemplu, ca estimaţie pentru valoarea medie M se ia media

de selecţie pentru dispersia D se ia dispersa de selecţie

2. Mulţimea de valori posibile a lui se împarte în r clase disjuncte două câte două 1, 2, …, r (clasele pot fi intervale, dacă este absolut continuă şi pot consta din valori aparte, dacă este discretă). 1 sau r, sau chiar ambele clase pot fi nemărginite.

Se calculează ni - numărul de elemente ale selecţiei care aparţin clasei i, i = 1, 2, …, r.

Este evident că n1 + n2 +…+ nr = n.3. Cu ajutorul funcţiei de repartiţie ipotetice F(x) se calculează

probabilitatea pi ca valoarea lui să aparţină clasei i : pi = P(i), i = 1, 2, …, r.

Este evident că p1 + p2 +…+ pr = 1.Dacă, de exemplu, i = [ui-1, ui], atunci pi = F (ui) – F(ui-1). De asemenea, se calculează frecvenţele teoretice (ipotetice) npi ,

i = 1, 2, …, r.4. Se calculează funcţia

, X = (x1 , x2, …, xn),

care se numeşte statistica testului 2.

Remarca 1. Se observă că această funcţie:a) se anulează dacă şi numai dacă există o concordanţă

perfectă dintre ipoteza emisă şi observaţii, în sensul că în acest caz frecvenţele observate n i ale evenimentelor i coincid cu frecvenţele teoretice npi;

b) are o valoare mai mare dacă există o neconcordanţă puternică dintre ipoteza emisă şi selecţie.

O valoare mică corespunde intuitiv la întărirea convingerii în valabilitatea ipotezei H0, iar o valoare mare conduce la respingerea lui H0.

30

Ipoteza H0 este verificată cu ajutorul valorii observate a statisticii

Fie T mulţimea valorilor posibile ale statisticii Pentru un

număr > 0, suficient de mic, ales dinainte, vom determina o submulţime T1 T astfel, încât probabilitatea evenimentului aleator {

T1} în cazul când ipoteza H0 este adevărată (simbolic P(

T1/H0) ) să satisfacă condiţia:

P( T1 / H0) .

Mulţimea T 1 se numeşte regiune critică a ipotezei H0, iar - nivel (sau prag) de semnificaţie al testului şi poate fi considerat probabilitate de respingere greşită a ipotezei H0.

Remarca ne sugerează forma regiunii critice T: T1 = [t , ),

t urmând a fi ,,calculat”.Odată stabilită regiunea critică T1, esenţa algoritmului de

verificare a ipotezei H0 poate fi formulată astfel:Dacă pentru selecţia X = (x1 , x2, …, xn) avem T1,

atunci aceasta înseamnă că s-a produs un eveniment foarte puţin probabil şi ipoteza trebuie respinsă ca necorespunzătoare datelor statistice. În caz contrar (adică T \ T1) nu avem motive să

respingem ipoteza formulată şi, prin urmare, o acceptăm, constatând că observaţiile nu sunt în contradicţie cu ipoteza.

5. Construirea regiunii critice a testului.

Teorema ce urmează justifică teoretic alegerea regiunii critice.Teoremă (Pearson). Dacă ipoteza H0 e adevărată, atunci

variabila aleatoare tinde în repartiţie, când n , către o variabilă aleatoare cu repartiţie 2 cu k = r-s-1 grade de libertate cu funcţia de repartiţie:

, x 0.

(Aici s este numărul de parametri necunoscuţi ai funcţiei F(x), estimaţi în baza datelor statistice x1 , x2, …, xn).

31

Pentru construirea regiunii critice, această teoremă se foloseşte

astfel: se alege un nivel de semnificaţie şi considerând că urmează (aproximativ) legea de repartiţie 2 cu k =r - s - 1 grade de libertate, în tabela de valori a funcţiei de repartiţie a acestei legi găsim

* pentru care statistica satisface condiţia:

P( <*) = 1 – .

Evident, * nu este altceva decât ,,1 - – cuantila” variabilei aleatoare 2 cu k = r - s - 1 grade de libertate şi se notează

Atunci, în baza teoremei, pentru n suficient de mare cu o probabilitate egală aproximativ cu , are loc egalitatea:

În consecinţă regiunea critică se alege astfel:

T1 = [ , ).

Astfel testul 2 de verificare a ipotezei de concordanţă H0 este

construit şi se aplică în felul următor: dacă

atunci ipoteza H0 este respinsă ca nefiind în concordanţă cu datele

statistice x1 , x2, …, xn; dacă , atunci ipoteza H0

este acceptată ca fiind în concordanţă cu datele statistice x1 , x2, …, xn.

De reţinut că dacă valoarea a statisticii nu nimereşte în

regiunea critică, aceasta nu este o demonstraţie a veridicităţii ipotezei H0; aceasta înseamnă doar că datele statistice şi presupunerile teoretice concordă destul de bine (,,la nivelul ”).

32

Remarca 2. Pentru verificarea aceleiaşi ipoteze pot fi construite mai multe teste de concordanţă, iar pentru a alege într-o situaţie concretă un test sau altul trebuie să avem un criteriu conform căruia testele ar putea fi comparate.

Numărul r al claselor i trebuie ales nu prea mare. Se recomandă să se aleagă astfel, încât npi 5, ni 5 (n 50). Pentru respectarea acestor condiţii eventual unele clase pot fi unite.

Pentru k = 1, 2,…, 10 dăm câteva cuantile ale repartiţiei 2.

k \ 1- 0.90 0.95 0.9901 2.71 3.81 6.632 4.61 5.99 9.213 6.25 7.81 11.34 7.78 9.49 13.35 9.24 11.1 15.16 10.6 12.6 16.87 12.0 14.1 18.58 13.4 15.5 20.19 14.7 16.9 21.710 16.0 18.3 23.2

Exemplul 1. Cu scopul de a determina rezistenţa la rupere în kg a unor fire de bumbac s-au ales 300 de gheme cu aţă din bumbac. Rezultatele xi ale experimentului, grupate pe intervale, sunt date în tabelul 1.

Tabelul 1i intervalul i ni i intervalul i ni

1 0.50 – 0.64 1 8 1.48 – 1.62 532 0.64 – 0.78 2 9 1.62 – 1.76 253 0.78 – 0.92 9 10 1.76 – 1.90 194 0.92 – 1.06 25 11 1.90 – 2.04 165 1.06 – 1.20 37 12 2.04 – 2.18 36 1.20 – 1.34 53 13 2.18 – 2.38 17 1.34 – 1.48 56 --- ----------------- ------

33

0

1-

2,1 k

x

)()(2 xf

k

Să se verifice ipoteza H0 că variabila aleatoare ce reprezintă rezistenţa la rupere a firelor din bumbac are repartiţie normală (considerăm nivelul de semnificaţie = 0.05).

Soluţie. Valoarea medie a şi dispersia 2 nu sunt cunoscute. Prin urmare, va trebui să estimăm aceşti doi parametri. Pentru aceasta vom folosi estimaţiile:

, .

Deoarece intervalele din tabelul 1 nu sunt prea largi, putem presupune, când calculăm şi , că observaţiile sunt plasate în

mijlocul intervalului; notăm mijlocul fiecărui interval prin . Astfel, din tabelul 1 obţinem următorul tabel:

Tabelul 2

i ni i ni

1 0.57 1 8 1.55 532 0.71 2 9 1.69 253 0.85 9 10 1.83 194 0.99 25 11 1.97 165 1.13 37 12 2.11 36 1.27 53 13 2.28 17 1.41 56 ----- ----- -----

Din acest tabel obţinem: = 1.41, = 0.26. Deoarece primele două şi ultimele două intervale sunt prea mici (ni < 5), unim primele două intervale cu al treilea, iar ultimele două cu al 11-lea interval. Astfel, numărul intervalelor se reduce de la 13 la 9. În plus, extindem primul interval până la - , iar ultimul până la + (ţinând cont de faptul că o variabilă aleatoare cu repartiţie normală are ca mulţime de valori posibile intervalul (-,+ ) ).

După aceasta trebuie să calculăm probabilităţile pi. Vom observa că dacă i = [ui - 1 ,ui), i = 1, 2, …, r (u0 = -, ur =), atunci

34

.

De exemplu, p1 = P( i) = P( - < < 0.92) =

= Ф(- 1.88) - Ф(-) = 1- Ф(1.88)

= = 1 – 0.9699 = 0.0301;

p2 = P( [0.92, 1.06) ) =

= = 1 – Ф(1.346) – (1 – Ф(1.885)) = 0.9699 – 0.9115 = 0.0584.

În mod analog calculăm p3, p4, .., p9 şi trecem aceste probabilităţi în tabelul 3.

Tabelul 3

i intervalul i ni pi nipi

1 - – 0.92 12 0.0301 9.32 0.92 – 1.06 25 0. 0584 17.523 1.06 – 1.20 37 0.1205 36.154 1.20 – 1.34 53 0.1846 55.385 1.34 – 1.48 56 0.2128 63.46 1.48 – 1.62 53 0.1846 55.387 1.62 – 1.76 25 0.1205 36.158 1.76 – 1.90 19 0.0584 17.529 1.90 – + 20 0.0292 8.76

Total --------------- 300 -------- 300.0

35

Ţinând cont de aceste date obţinem:

= 22.07.

Deoarece au fost estimaţi doi parametri (s = 2), numărul gradelor de libertate este 6: k = r - s - 1 = 9 - 2 - 1 = 6. Din tabelele de repartiţie 2 pentru k = 6 şi = 0.05 găsim cuantila = 12.6. Cum

, ipoteza H0 este respinsă.

Remarca 3 În tabelul 2 am efectuat nişte uniri de intervale. De reţinut că altă variantă mai simplă ar fi unirea într-o singură clasă a tuturor intervalelor i, la care ni şi npi sunt mai mici decât 5. În cazul tabelului 2 am putea uni într-o clasă aparte patru intervale: primele două şi ultimele două.

Remarca 4. Pentru a calcula probabilitatea

putem aplica formula aproximativă

unde ,

p = 0.2316419, a1 = 0.3193815, a2 = - 0.3565638, a3 = 1.781478, a4 = - 1.821256, a5 = 1.330274. Eroarea maximală este 710-7.

Remarca 5. Pentru a calcula valoarea lui x care satisface ecuaţia

, (0 < p 5),

putem aplica formula aproximativă

,

(1)

36

unde

(2) a0 = 2.515517, a1 = 0.802853, a2= 0.010328, b1 = 1.432788, b2= 0.189269, b3 = 0.001308.

Dacă p > 0.5, atunci în (2) p este înlocuit cu 1 - p; lui x i se schimbă semnul.

Exemplul 2. O monedă simetrică este aruncată în sus până când cade stema. Fie numărul aruncărilor monedei. S-au efectuat n = 490 experimente. Rezultatele (valorile respective ale lui ) sunt date în tabelul 4. Să se verifice ipoteza H0 că variabila aleatoare are repartiţie geometrică: P( = i) = p(1 – p) i-1, i = 1, 2, .. (p = 1/2 ).

Se va lua nivelul de semnificaţie = 0.05.

i 1 2 3 4 5 6 7ni 243 119 67 28 12 10 11 n = 490

Soluţie: Calculăm probabilităţile pi conform formulei P( = i) = p(1 – p) i-1= (1/2)i şi completăm tabelul 4.

Tabelul 4

i ni pi npi

1 243 0.5 2452 119 0.25 1123 67 0.125 61l.54 28 0.625 30.6255 12 0.03125 15.31256 10 0.015625 7.65625

7 11 0.015625 7.65625

Nu reproducem detaliile calculării statisticii:

.

Deoarece s = 0, i = 1, r = 7, numărul gradelor de libertate k = 7 – 0 –1 = 6. Din tabelele repartiţiei 2 pentru k = 6 şi = 0.05 găsim =

12.6. Deoarece < 12.6, ipoteza este acceptată.

37

Exemplul 3. Un contor Geiger a înregistrat emisiile de particule pe parcursul a 2608 de intervale (cu durata de 7.5 secunde fiecare). Rezultatele cu privire la numărul de intervale ni în care au fost înregistrate i particule sunt trecute în tabelul 5:

Tabelul 5

i ni i ni

0 57 6 2731 203 7 1392 383 8 453 525 9 274 532 10 165 408 n = 2608

Să se verifice ipoteza H0 că numărul de particule emise într-un interval de timp de 7.5 sec. urmează repartiţia Poisson. Considerăm nivelul de semnificaţie = 0.05.

Soluţie. Repartiţia Poisson este determinată de un singur parametru . Deoarece nu este cunoscut îl estimăm în baza datelor

din tabel: . Calculăm probabilităţile teoretice pi

de a fi emise exact i particule într-un interval de 7.5 secunde:

(pentru aceasta putem folosi tabelele

repartiţiei Poisson).Rezultatele şi calculele de mai departe le trecem în tabelul 6:

Tabelul 6

i pi npi ni – npi (ni – npi)2

0 0.021 54.8 2.2 4.84 0.0881 0.081 211.2 - 8.2 67.24 0.3182 0.156 406.8 - 23.8 566.44 1.3923 0.201 524.2 0.8 0.64 0.0014 0.195 508.6 23.4 547.56 1.0075 0.151 393.2 14.2 201.64 0.5126 0.097 253.0 20.0 400.00 1.581

38

7 0.054 140.8 - 1.8 3.24 0.0238 0.026 67.8 - 22.8 519.84 7.6679 0.011 28.7 - 1.7 2.89 0.10110 0.007 18.3 - 2.3 5.29 0.289---- 1.000 -------- ---------- ------------ n

2 = 13.049

Deoarece a fost estimat un parametru determinat (s = 1), numărul gradelor de libertate este 9: k = r – s – 1 = 9. În tabelul repartiţiei 2 pentru k = 9 şi = 0.05 găsim . Întrucât n

2 < 16.9, ipoteza este acceptată.

Exemplul 4. În pătratul [0,1]×[0,1] se ia la întâmplare un punct K(x, y). Fie aria triunghiului AKD. Să se verifice ipoteza că are următoarea funcţie de repartiţie: F(x) = 0 dacă x 0; F(x) = 2x dacă 0< x 0.5 şi F(x) = 1 dacă x > 0.5.

x

La început analizăm domeniul de valori al variabilei aleatoare . Observăm că valoarea minimă este 0 (când K nimereşte pe latura AD), iar valoarea maximă este S = 0.5 (când K nimereşte pe latura BC). Astfel, în program împărţim intervalul (min, max) = (0, 0.5) în intervale egale alegând numărul intervalelor k, de exemplu, conform formulei lui Sturges: k = 1 +3.322lg n şi lungimea intervalelor h.

Textul unui program-model în limbajul Pascal

program ipoteza;

uses CRT;var i,j,k,n:integer;min,max,h,csi,s,alfa,comp:real;

39

D

CB

A

K(x,y)

y

niu:array[1..1000] of integer;p:array[1..1000] of real;Function FR(x:real):real;begin if x<=0 then FR:=0 else if x<=0.5 then FR:=2*x {valorile functiei de repartitie} else FR:=1;end;

Beginclrscr;randomize;writeln('Introdu alfa'); read(alfa);writeln('Introdu volumul selectiei'); read(n);min:=0; max:=0.5;k:=Round(1+3.322*ln(n)/ln(10)); {numarul de intervale}h:=(max-min)/k; {lungimea intervalelor} writeln('Numarul de intervale k=',k);writeln(' Lungimea intervalului h=',h:1:3);

for i:=1 to n dobegincsi:=0.5*1*random; { write(' ',csi:1:3);}for j:=1 to k doif ((min+(j-1)*h)<=csi)and(csi<(min+j*h)) then niu[j]:=niu[j]+1;end;

for j:=1 to k do p[j]:=FR(min+j*h)-FR(min+(j-1)*h);s:=0;writeln;writeln('Intervalele','| ni':7,'| n*pi':13);writeln('-------------------------------------');for j:=1 to k dobegin s:=s+sqr(niu[j]-n*p[j])/(n*p[j]); writeln(min+(j-1)*h:1:2,' : ',min+j*h:1:2,' |':4,niu[j]:5,' |':6,n*p[j]:7:3); end; writeln;writeln('sHI^2=',s:1:4);

40

writeln;write('Introdu valoarea din tabel pentru HI^2:(',k-1,',',alfa:1:2,')= ');read(comp);writeln;if s<comp then writeln(s:1:2,' < ',comp:1:2,' Ipoteza se accepta’) else writeln(s:1:2,' > ',comp:1:2,' Ipoteza nu se accepta');readkey;end.RezultatulIntrodu alfa0.05Introdu volumul selectiei200Numarul de intervale k=9Lungimea intervalului h=0.056

Intervalele | ni | n*pi-----------------------------0.00 : 0.06 | 19 | 22.2220.06 : 0.11 | 27 | 22.2220.11 : 0.17 | 15 | 22.2220.17 : 0.22 | 25 | 22.2220.22 : 0.28 | 25 | 22.2220.28 : 0.33 | 24 | 22.2220.33 : 0.39 | 22 | 22.2220.39 : 0.44 | 23 | 22.2220.44 : 0.50 | 20 | 22.222

sHI^2=4.9300

Introdu valoarea din tabel pentru HI^2:(8, 0.05)= 15.51

4.93 < 15.51 Ipoteza se acceptă.

41

2.2. Testul Kolmogorov

Acest test de concordanţă se aplică în cazurile când funcţia de repartiţie ipotetică F(x) a variabilei aleatoare (a populaţiei statistice) este continuă. Statistica acestui test este funcţia

Dn = Dn(x) = .

Aici Fn(x) reprezintă funcţia empirică de repartiţie a variabilei aleatoare , ce corespunde selecţiei x1 , x2, …, xn, şi este definită prin relaţia

,

unde x reprezintă numărul valorilor de selecţie inferioare lui x, - < x < .

În opoziţie cu funcţia empirică de repartiţie, funcţia de repartiţie F(x) a lui se numeşte funcţie teoretică de repartiţie.

De menţionat că pentru orice x Fn(x) este o estimaţie optimală a funcţiei teoretice de repartiţie. Deci, la creşterea volumului n al selecţiei, Fn(x) se apropie de F(x). Prin urmare, cel puţin pentru valori mari ale lui n, în acele cazuri când ipoteza

H0: F(x) = F(x)

este adevărată, valoarea Dn nu trebuie să difere substanţial de zero. De aici rezultă că regiunea critică a testului bazat pe statistica Dn trebuie să aibă forma:

T 1 = {t: t t}.

Kolmogorov a demonstrat că pentru orice funcţie de repartiţie continuă F(x) are loc relaţia:

Dn

Pentru n 20 repartiţia statisticii Dn practic nu depinde de n. Prin urmare, dacă n 20, atunci punem lua

T 1

unde K() = 1 - .

42

De exemplu, pentru = 0.05 avem = 1.3581; pentru = 0.01 avem = 1.6276. Alte valori putem găsi în tabelele funcţiei K(). Astfel, dacă valoarea calculată t = Dn(x) a statisticii satisface condiţia ,

adică , atunci ipoteza H0 este respinsă, iar în caz contrar H0 este

acceptată.

Exemplul 5. În tabelul 7 sunt trecute rezultatele observaţiilor asupra temperaturii medii în grade C în decursul a douăzeci şi patru de ore timp de 320 de zile.

Tabelul 7

i intervalul i = [ui-1, ui) ni i i = [ui-1, ui) ni

1 (-40) – (-30) 5 6 10 – 20 81

2 (-30) – (-20) 11 7 20 – 30 36

3 (-20) – (-10) 25 8 30 – 40 20

4 (-10) – 0 42 9 40 – 50 8

5 0 – 10 88 10 50 – 60 4

Aplicând testul lui Kolmogorov, să se verifice ipoteza H0 că temperatura medie urmează o repartiţie normală cu valoarea medie a = 8.75 şi abaterea medie pătratică = 16.85(considerăm = 0.05).

Soluţie. Mai întâi reducem intervalele [ui-1, ui) la intervalele

după care calculăm frecvenţele cumulative,

funcţia empirică de repartiţie Fn(x) şi funcţia teoretică de repartiţie în punctele

Rezultatele le trecem în tabelul 8.

Tabelul 8

43

i,

Frecvenţa

Cumulată

-

1 -40 – -(30) [-2.89, -2.23) 5 0.0156 0.0129 0.00272 -30 – -(20) [-2.23, -1.71) 16 0.0500 0.0436 0.00643 -20 – -(10) [-1.71, -1.11) 41 0.1281 0.1335 0.00544 -10 – 0 [-1.11, -0.52) 83 0.2594 0.3315 0.07215 0 – 10 [-0.52, 0.07) 171 0.5344 0.5279 0.00656 10 – 20 [0.07, 0.67) 252 0.7875 0.7486 0.03897 20 – 30 [0.67, 1.26) 288 0.9000 0.8962 0.00388 30 – 40 [1.26, 1.92) 308 0.9625 0.9726 0.01019 40– 50 [1.92, 2.45) 316 0.9875 0.9929 0.005410 50– 60 [2.45, 3.04) 320 1.000 0.9988 0.0012

Din acest tabel observăm că Dn = 0.0721 şi, deci, Dn= = 1.2899. Deoarece pentru = 0.05 avem = 1.358

şi 1.2899 < 1.258, ipoteza H0 este acceptată.

44

3.3 LUCRAREA DE LABORATOR NR.2Verificarea ipotezei statistice

cu privire la legea de repartiţiea unei variabile aleatoare

Va fi aplicat testul de concordanţă 2 şi/sau testul Kolmogorov. Sarcinile individuale conţin o variabilă aleatoare şi o ipoteză H despre funcţia de repartiţie F(x), densitatea de repartiţie sau repartiţia ipotetică a acestei variabile aleatoare. Îndeplinirea lucrării urmează să înceapă de la generarea unei selecţii de n valori ale variabilei aleatoare date, după care acestei selecţii i se va aplica testul respectiv.

Probleme propuseÎn problemele 1–5 variabila aleatoare urmează legea de

repartiţie exponenţială de parametru .1. = 2F(x) +1; H : are repartiţie uniformă pe segmentul [1, 3]. 2. = ; H : F(x) = 1- dacă x 0 şi F(x) = 0 dacă x 0 .

3. =2; H : f(x) = dacă x 0 şi f(x) = 0 dacă x 0 .

4. ={} (partea frecţionară); H : f(x) = dacă x

[0,1] şi f(x) = 0 dacă x[0,1]. 5. = 1- e - ; H : are repartiţie uniformă pe segmentul [0,1].

În problemele nr.6–14 1, 2 şi 3 sunt variabile aleatoare independente, având repartiţie uniformă pe [0,1].

6. = ; H : F(x) = dacă 0 x 1, F(x) = dacă x

1 şi F(x) = 0 dacă x 0.

7. = 12 ; H : F(x) = 0 dacă x 0, F(x) = dacă

0 x 2 şi F(x) = 1 dacă x 2.

8. = 1 + 2 ; H :F(x) = 0 dacă x 0, F(x) = dacă 0 x 1.

45

9. = 12 ; H : f(x) = dacă x (0,1) şi f(x) = 0 dacă x(0,

1).10. = - ln(1-1); H: are repartiţie exponenţială de parametru

= 1.11. = 1 - 2 ; H :f(x) = (1- ) dacă 1 şi f (x) = 0

dacă 1.

12. = ; H :f(x) = dacă x [0,1], f(x) = dacă x 1 şi

f(x) = 0 dacă x 0.13. = min(1, 2, 3); H :F(x) = x(3 – 3x + x2) dacă x [0,1],

F(x) = 0 dacă x 0 şi F(x) = 1 dacă x 1.14. = max(1, 2, 3) ; H:F(x) = x3 dacă x [0,1], F(x) = 0

dacă x 0 şi F(x) = 1 dacă x 1.15. În triunghiul cu vârfurile în punctele (0, 0), (2, 1), (2, 0) se ia

la întâmplare punctul (1,2). = 1; H : F(x) = 0 dacă x 0, F(x) =

dacă x [0, 2], F(x) = 1 dacă x 2.

16. În condiţiile problemei nr.15 = 2; H : F(x) = 0 dacă x 0, F(x) = 1 - (1 – x)2 dacă x [0,1], F(x) = 1 dacă x 1.

17. În planul XOY se consideră triunghiul isoscel OAB format de vectorul unitar OA, aparţinând axei OX, şi vectorul unitar OB, ce formează cu OA un unghi care are repartiţie uniformă pe segmentul [0, ]. - aria triunghiului OAB; H : F(x) = 0 dacă x 0,

F(x) = dacă x şi F(x) = 1 dacă x 1/2.

În problemele nr.18–20 variabilele aleatoare 1 şi 2 sunt variabile aleatoare independente, având repartiţie exponenţială de parametru .

18. =13; H: F(x) = 0 dacă x 0 , F(x) = dacă x 0 .

19. = max(1, 23) ; H:F(x) = 0 dacă x 0, F(x) =

dacă x 0.

20. = 3 + 21; H: F(x) = 0 dacă x 3, F(x) =

dacă x 3.

46

În problemele nr.21–24 variabilele aleatoare 1 şi 2 sunt variabile aleatoare independente, având repartiţie exponenţială de parametru =1.

21. = 1+ 2; H: f(x) = 0 dacă x 0, f(x) = xe- x dacă x 0.22. = 1 - 2 ; H :f(x) = 0 dacă x 0, f(x) = e- x dacă x 0.

23. = , H: f(x) = 0 dacă x 0, f(x) = dacă x 0.

24. = , H: f(x) = 1 dacă x [0,1], f(x) = 0 dacă

x[0,1].25. 1 şi 2 sunt variabile aleatoare independente cu repartiţie

uniformă pe segmentul [0,1], respectiv [0, 2]. = 1+ 2; H: F(x) = 0

dacă x 0 , F(x) = dacă x [0,1], F(x) = dacă x (1, 2],

F(x) = dacă x (2, 3], F(x) = 1 dacă x 3.

26. 1 şi 2 sunt variabile aleatoare independente, având repartiţie uniformă pe segmentul [0,1], respectiv repartiţie exponenţială de parametru = 1. = 1+ 2; H: f(x) = 0 dacă x 0, f(x) = 1- e-x dacă x [0,1] şi f(x) = e-(x-1) – e-x dacă x 1.

27. 1 şi 2 sunt variabile aleatoare independente: P(1 = 0) = P(1

= 1) = 1/2, iar 2 are repartiţie uniformă pe segmentul [0,1]. = 1+ 2, H: f(x) = 1/2 dacă x [0, 2], f(x) = 0 dacă x [0, 2].

În problemele nr.28–31 1 şi 2 sunt variabile aleatoare independente cu repartiţie uniformă pe [-1, 1].

28. =13; H: F(x) = 0 dacă x -1, F(x) = dacă x(-

1, 1], F(x) = 1 dacă x 1.29. = max(1, 2

3); H : F(x) = 0 dacă x -1, F(x) =

dacă x(-1, 1], F(x) = 1 dacă x 1.

30. = 1- 2 ; H: F(x) = 0 dacă x 0, F(x) = dacă

x(0, 2], F(x) = 1dacă x 2.

31. = 3 + 21; H: F(x) = 0 dacă x 1 , F(x) =

dacă x(1, 5], F(x) = 1 dacă x 5.

47

32. are repartiţie uniformă pe segmentul [a, b]. - aria cercului

de rază /2; H: F(x) = 0 dacă x , F(x) =

dacă x , F(x) = 1 dacă x .

33. În condiţiile problemei nr.32 are repartiţie exponenţială de

parametru ; H: F(x) = 0 dacă x 0 , F(x) = dacă x 0.

În problemele nr.34–37 variabila aleatoare are repartiţie

Cauchy: , x(-,).

34. = ; H: F(x) = 0 dacă x 0 , F(x) =

dacă x (0, 1], F(x) = 1 dacă x > 1.

35. = ; H: are repartiţie Cauchy.

36. = ; H: are repartiţie Cauchy.

37. = ; H: F(x) = 0 dacă x 0, F(x) = dacă

x (0, 1], F(x) = 1 dacă x > 1.38. În triunghiul cu vârfurile în punctele O = (0, 0), A = (1, 1), B

= (2, 0) se ia la întâmplare punctul C. - distanţa lui C de la latura OB. H: F(x) = 0 dacă x 0, F(x) = 1- (1- x)2 dacă x (0,1], F(x) = 1 dacă x > 1.

39. Variabila aleatoare are repartiţie uniformă pe .

= sin. H: dacă x (-1, 1), f(x) = 0 dacă x(-1,

1).

48

40. Pe segmentul [0, l] se iau la întâmplare două puncte. -

distanţa dintre ele. H: F(x) = 0 dacă x 0, F(x) = dacă x

(0, l], F(x) = 1 dacă x > l.41. Variabila aleatoare are repartiţie exponenţială de parametru

. = []. H: are repartiţie geometrică de parametru p = 1- e-.42. 1 şi 2 sunt variabile aleatoare independente, 1 are repartiţie

exponenţială de parametru =1, iar 2 are densitatea de repartiţie f(x)

= dacă x [2, 3] şi f(x) = 0 dacă x [2, 3]. = max{1,

2 }. H: F(x) = 0 dacă x 2 , F(x) = dacă x

(2, 3], F(x) = 1 – e-x dacă x > 3.43.În condiţiile problemei nr.42 = min{1, 2 }. H: F(x) = 0

dacă x 2, F(x) = dacă x (2, 3], F(x) = 1

dacă x > 3.În problemele nr.44–45 se efectuează un şir de experimente

Bernoulli, succesul având probabilitatea p în fiecare experiment.44. - lungimea primei iteraţii (de succese sau insuccese); H: P(

= k) = pkq + qkp, k = 1, 2, … .45. - lungimea celei de a doua iteraţii (de succese sau

insuccese); H: P( = k) = p2qk-1 + q2pk-1, k = 1, 2, … .În problemele nr.46-47 variabila aleatoare are funcţia de

repartiţie F(x). ; H: F(x) = 0 dacă x 0 , F(x) = F(x) dacă

x > 0.46. F(x) = (x).47. F(x) – funcţia de repartiţie uniformă pe [1, 2].

În problemele nr.48–54 variabilele aleatoare 1, 2, …, k sunt

independente având aceeaşi lege de repartiţie. , k

10; H: are repartiţia N(0, 1).48. 1 are repartiţie uniformă pe segmentul [a, b].

49

49. 1 are repartiţie exponenţială de parametru .50. 1 are repartiţie Poisson de parametru .51. 1 este numărul de aruncări ale monedei simetrice până la

obţinerea a două steme.52. 1 este numărul maximal obţinut în urma a s extrageri cu

întoarcere din mulţimea {1, 2, …, N}.53. 1 este numărul de bile albe obţinute în urma a k extrageri cu

întoarcere dintr-o urnă care conţine n1 bile albe, n2 bile negre şi n3 bile roşii.

54. 1 este numărul iteraţiilor de steme obţinute la aruncarea unei monede simetrice de s ori.

55. 1, 2, …, k sunt variabile aleatoare independente cu

repartiţie exponenţială de parametru . ; H:

F(x) = 0 dacă x 0 şi F(x) = dacă x > 0.56. În condiţiile problemei nr.55 i = (i) - (i -1); H: Fi (x) = 0 dacă x

0, Fi (x) =1-e- (k- i +1)x dacă x > 0.

57.În condiţiile problemei nr.55 = ; H: f (x) =2(1-x)

dacă x [0,1], f(x) =0 dacă x[0,1].

În problemele nr.58–60 1, 2, …, k sunt variabile aleatoare independente identic repartizate, având funcţia de repartiţie F(x). =

(i); H:

58. F(x) = 0 dacă x 0 , F(x) =1-e-x dacă x >0.59. F(x) - funcţia de repartiţie uniformă pe [-1,1].

60. F(x) = dacă x [1, 2] şi F(x) = 0 dacă x [1, 2].

61. Într-un pătrat de latură 1 se ia la întâmplare punctul A. - distanţa lui A de la cea mai apropiată latură a pătratului; H: F(x) = 0 dacă x 0 , F(x) = 1- (1 – 2x)2 dacă x (0, ½], F(x) = 1 dacă x > 0.5.

62. Se consideră triunghiul dreptunghic ABC: AC = , AB =BC = 1. Pe latura AC se ia la întâmplare punctul D. = min{aria ABD, aria BDC}. H: F(x) = 0 dacă x 0 , F(x) = 4x dacă x (0, 1/4], F(x) = 1 dacă x > 1/4.

50

63. În condiţiile problemei nr.62 = max{aria ABD, aria BDC}; H: F(x) = 0 dacă x 1/4, F(x) = 4x - 1 dacă x (1/4, 1/2], F(x) = 1 dacă x > 1/2.

64. În triunghiul dreptunghic isoscel ABC cu laturile AB = 1, AC = 1, BC = se ia la întâmplare punctul D.

Fie d(D, AB) şi d(D, AC) distanţa lui D de la latura AB, respectiv de la AC. = min{d(D, AB), d(D, AC) }; H: F(x) = 0 dacă x 0, F(x) = 4x(1-x) dacă x (0, ½ ], F(x) = 1 dacă x > ½.

65. Dintr-o urnă în care se conţin n1 bile albe şi n2 bile negre se extrag una câte una toate bilele. - numărul iteraţiilor de bile albe; H:

P( = k) = , k = 1, 2 … .

66. În condiţiile problemei precedente n este numărul bilelor negre, extrase înainte de a fi extrasă a n-a bilă albă. H: P(n = k) =

, k = 1, 2 … .

67. 1 şi 2 sunt variabile aleatoare independente, 1 are repartiţie exponenţială de parametru , iar 2 are repartiţie cu densitatea

dacă x [0, 3] şi f(x) = 0 dacă x [0, 3]. = max{1,

2}. H: F(x) = 0 dacă x 0, F(x) = x2(1 - e-x) dacă x (0, 3], F(x) = 1- e-x dacă x > 3.

68. În condiţiile problemei precedente = min{1, 2}; H:

F(x) = 0 dacă x 0 , F(x) = 1- e-x + x2(1 - e-x) dacă x (0, 3], F(x) = 1 dacă x > 3.

69. În planul XOY din originea de coordonate se duce la întâmplare o rază până la intersecţia cu dreapta l, paralelă cu OX şi situată la distanţa 1 de la aceasta. Considerăm unghiul format de rază cu direcţia pozitivă a axei OX ca având repartiţie uniformă pe [0, ]. - abscisa punctului de intersecţie a razei cu dreapta l; H: F(x) =

x(-, ).

51

70.Variabila aleatoare are repartiţie uniformă pe [0,1].

= sin2 ; H: F(x) = 0 dacă x 0 , F(x) = dacă

x (0, 1], F(x) = 1 dacă x > 1.71. Pe cercul x 2 + y 2 = 1 se ia la întâmplare un punct. - proiecţia

punctului luat pe axa OX. H: f(x) = ½ , dacă 1 şi f(x) = 0 dacă > 1.

72. Se consideră mersul simetric al unei particule prin punctele de abscise întregi ale axei numerice. Particula porneşte din punctul 0. - numărul de reveniri ale particulei în originea de coordonate în

decursul a 2n paşi; H: P( = k) = , k = 0, 1, 2 …, n.

73. Din mulţimea {1, 2, …, N} se extrage de s ori câte un număr

cu întoarcere. - numărul maximal extras; H: P( = k) =

, k = 1, 2 …, N.

În problemele nr.74–76 1 şi 2 sunt variabile aleatoare independente, 1 are funcţia de repartiţie uniformă pe segmentul

[-1, 1], iar 2 are repartiţie F(x). =1 + 2; H: F(x) =

74. F(x) = 0 dacă x 0 , F(x) = 1- e-x dacă x > 1.

75.F(x) = 0 dacă x 1 , F(x) = dacă x(1, 2], F(x) =

1 dacă x > 2.

76. F(x) = 0 dacă x , F(x) = dacă x

, F(x) = 1, dacă x > .

În problemele nr.77–79 în N urne se plasează la întâmplare n bile astfel încât fiecare bilă nimereşte cu probabilitatea 1/N în fiecare urnă. Notăm prin r(n, N) numărul urnelor în care nimeresc câte r bile.

52

77. unde N 365, n = cN,

; H: are repartiţia N(0, 1).78. = 0(n, N), n = N4/3, N 365; H: are repartiţia Poisson.79. = r(n, N), r 1, n = N5/4, N 365; H: are repartiţia

Poisson.80. Pe segmentul [-1, 2] se iau la întâmplare 10 puncte care se

scriu în ordine crescătoare: x(1)< x(2)<… <x(10). = x(9)- x(8); H: are repartiţie uniformă.

81. 1, 2, 3 sunt variabile aleatoare independente având

repartiţia normală N(0, 1). ; H: F(x) = 0 dacă x 0, F(x)

= dacă x(0, 1] şi F(x) = 1 dacă x > 1.

82. Pe segmentul [0,1] se iau la întâmplare trei puncte, care îl divizează în patru intervale mai mici. este lungimea celui mai mic dintre ele; H: F(x) = 1- [1- 4x]3 dacă x [0, 1/4], F(x) = 0 dacă x < 0,. F(x) = 1 dacă x > 1/4.

83. Se efectuează s experimente Bernoulli, succesul având probabilitatea p în fiecare experiment. este lungimea celei mai lungi iteraţii de succese; H: are repartiţie Poisson.

84. Pe sfera x2 + y2 + z2 = 1 se ia la întâmplare un punct A=(1, 2, 3). = 1; H: f(x) =1/2 dacă 1 şi f(x) = 0 dacă > 1.

85. În interiorul unei sfere de rază R se iau la întâmplare două puncte. - distanţa dintre aceste două puncte. H: F(x) = 0 dacă x 0,

F(x) = dacă x (0, 2R], F(x) = 1 dacă x > 2R.

86.Într-un cerc de rază R se ia la întâmplare un punct. - distanţa de la centru cercului până la punctul luat. H: F(x) = 0 dacă

x 0, F(x) = dacă x (0, R], F(x) = 1 dacă x > R.

87. Numim ciclu şirul de experimente Bernoulli efectuate până la primul insucces. Experimentele efectuate după primul insucces până

53

la apariţia următorului insucces, de asemenea, reprezintă un ciclu ş. a. m. d. Sr – numărul de succese în primele r cicluri; H: P(Sr = k) =

, k = 0, 1, 2, … .

88. În condiţiile problemei nr.87 R este numărul ciclurilor consecutive până la al -lea succes (adică al - lea succes aparţine

ciclului al R-lea); H: P(R = r) = , r = 1, 2, … .

89.Pe cercul x 2 + y 2 = R2 se ia la întâmplare punctul A prin care se duce tangenta la cerc până la intersecţia ei cu axa OX într-un punct B. - lungimea segmentului AB; H: f (x) = 0 dacă x 0, f(x) =

dacă x[0,1].

90.Pe segmentul [0,1] se iau la întâmplare n puncte. Notăm prin x(k) - abscisa celui de-al k - lea punct la parcurgerea punctelor de la stânga spre dreapta (x(1) – punctul cel mai din stânga, x(n) – punctul cel

mai din dreapta). = x(n - 1). H: F(x) = dacă x

[0,1] şi F(x) = 0 dacă x [0,1].91. În condiţiile problemei nr.90 = x(n)- x(1). H: f(x) =n(n-1)xn-

2(1-x) dacă x [0,1] şi f(x) = 0 dacă x [0,1].92. Pe segmentul [0,1] se iau la întâmplare n puncte. Aceste

puncte divizează segmentul [0,1] în n +1 segmente, lungimile cărora le notăm (de la stânga spre dreapta) prin 1, 2, …, n+1. H: i are

repartiţie uniformă pe segmentul .

93. În condiţiile problemei nr.92 = 1+ 2; H: F(x) = 0 dacă x

0, F(x) = dacă x , F(x) =

dacă x şi F(x) = 1 dacă x >

.

54

94. În condiţiile problemei nr.92 = min{1, 2, … n+1}. H: F(x) =

0 dacă x 0, F(x) = 1 –[1 –(n+1)x]n dacă x şi F(x) = 1 dacă

x > .

95. În planul XOY se consideră cercul unitar cu centrul în originea de coordonate. Prin punctul (1, 0) se duce la întâmplare o coardă (ceea ce presupune că unghiul format de ea cu axa OX are repartiţie uniformă pe [-/2, /2]). - lungimea coardei; H: F(x) = 0

dacă x 0, F(x) = dacă x (0, 2] şi F(x) = 1 dacă x

>2.96. În planul XOY se consideră triunghiul isoscel OAB format de

vectorul unitar OA ce aparţine axei OX şi vectorul unitar OB, care formează cu OA un unghi cu repartiţie uniformă pe [0, 2].

- lungimea laturii AB. H: F(x) = 0 dacă x 0, F(x) =

dacă x (0, 2], F(x) = 1 dacă x >2.97. Se consideră variabila aleatoare din problema precedentă în

cazul spaţiului R3. H: F(x) = 0 dacă x 0, F(x) = dacă x

(0, 2], F(x) = 1 dacă x >2.98. Se consideră triunghiul dreptunghic isoscel ABC: ABC =

/2, AB = BC, AC = 4. În acest triunghi se ia la întâmplare punctul D. - distanţa lui D de la cea mai apropiată latură; H: F(x) = 0 dacă

x 0, F(x) = dacă x (0, 2( -1)], F(x) = 1

dacă x >2( -1).99. Se efectuează m experimente Bernoulli cu probabilitatea

succesului p = şi a insuccesului q = 1 – p. m – numărul iteraţiilor

de succese; H: P( = k) = , k = 0, 1, 2, …, unde = M.

100. Pe cercul de rază r se iau la întâmplare punctele A1, A2, …, An. Notăm aceste puncte cu A(1), A(2), …, A(n) în ordinea în care le întâlnim pe cerc la parcurgerea lui în sensul mişcării acelor

55

ceasornicului. - lungimea arcului A(1)A(2); H: F(x) = 0 dacă x 0,

F(x) = dacă x (0, 2r], F(x) = 1 dacă x >2r.

101. Se consideră un şir de m (m 50) experimente Bernoulli, succesul având probabilitatea p în fiecare experiment. 0(p) – numărul iteraţiilor de 1 şi 0; H: 0(p) are repartiţie Poisson de parametru = mpq.

102. În condiţiile problemei precedente

. H: 0(p) are repartiţia N(0, 1).

103. Se ia la întâmplare o permutare (a1, a2, …, an) a numerelor 1, 2, …, n. Elementele ai şi aj formează o inversiune dacă ai

> aj, iar i < j. Notăm prin n numărul inversiunilor permutării luate.

; H: n are repartiţia N(0, 1).

104. În permutarea (a1, a2, …, an) a numerelor 1, 2, …, n elementele ai şi aj formează o creştere dacă ai < ai+1. Apriori vom considera că a1 formează o creştere. Fie n numărul creşterilor într-o

permutare luată la întâmplare. ; H: n are repartiţia N(0, 1).

În problemele nr.105–108 se consideră un pătrat a cărui latură este egală cu 1. În acest pătrat se iau la întâmplare k puncte v1, v2, …, vk şi se construieşte un graf neorientat în felul următor:

1).vârfuri ale grafului sunt considerate punctele luate; 2) orice pereche de puncte (vi, vj) reprezintă o muchie cu probabilitatea p, p(0, 1).

105. - numărul vârfurilor terminale ale grafului; H: are repartiţia Poisson.

106. este numărul de componente conexe ale grafului; H: are repartiţia Poisson.

56

107. i este numărul vârfurilor de grad i; H: i are repartiţia Poisson.

108. este numărul de cicluri simple; H: are repartiţia Poisson.

109. este numărul muchiilor grafului; H: urmează repartiţia binomială de parametru p.

110. este lungimea celei mai mici muchii; H: are funcţia de repartiţia F(x) = 0 dacă x 0, F(x) = 1 – (1- x/c)np dacă 0 <

x c, F(x) = 1 dacă x > c (să se ,,încerce” valorile c = , k

= 0, 1, 2, …, 9).

57

Bibliografie

1. Ermakov S. M.. Metoda Monte Carlo şi probleme înrudite. -Bucureşti: Editura Tehnică, 1976.

2. Iosifescu M., Mihoc G. H., Theodorescu R.. Teoria probabilităţilor şi statistica matematică. -Bucureşti: Editura Tehnică, 1966.

3. Poştaru A., Leahu A.. Probabilitate, procese aleatoare şi aplicaţii. -Chişinău: Ştiinţa, 1991.

4. Иванова В. М.. Случайные числа и их применение. –Москва: Финансы и Статистика, 1984.

5. Ивченко Г. И., Медведев Ю. И.. Математическая статистика. –Москва: ВШ, 1984.

6. Зубков А. М., Севастьянов Б. А., Чистяков В. П. Сборник задач по теории вероятностей. -Москва: Наука, 1989.

7. Козлов М. В.. Элементы теории вероятностей в примерах и задачах. –Москва: Изд-во МГУ, 1990.

8. Прохоров А. В., Ушаков В. Г., Ушаков Н. Г.. Задачи по теории вероятностей. –Москва: Наука, 1986.

9. Сборник задач по математике (для втузов). Теория вероятностей и математическая статистика. Под ред. А. В. Ефимова. –Москва: Наука, 1990.

10. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. Под ред. А. А. Свешникова. -Москва: Наука, 1970.

11. Феллер В.. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1. –Москва: Мир, 1984.

58

CUPRINS

§1 Metoda Monte Carlo …………………………………………....3

1.1 Modelarea variabilelor aleatoare cu repartiţii absolut continui. Metoda inversării funcţiei de repartiţie ……………..…………………….………………….71.2 Modelarea variabilei aleatoare normale N(0,1) …..……………...91.3 Modelarea variabilei aleatoare cu

repartiţia Poisson de parametru ………………...…………...101.4 Modelarea variabilei aleatoare

cu repartiţia binomială ….………….………………………10

1.5 Aplicaţii …………………………………………………………111.6 Precizia metodei Monte Carlo …………………………………..131.7 Lucrarea de laborator nr.1 ………………………………………23

§2 Verificarea ipotezelor de concordanţă …………………….….39

2.1 Testul de concordanţă 2 (Pearson)……………..……………….392.2 Testul Kolmogorov……………………………………………...522.3 Lucrarea de laborator nr.2……………………………………….55

Bibliografie……………………………………………..…………..68

59

A. Poştaru, O. Benderschi

TEORIA PROBABILITĂŢILORŞI STATISTICA MATEMATICĂ

(Lucrări de laborator)

Redactor Eugenia BALANMachetare computerizată şi coperta Vitalie ILAŞCU

Bun de tipar 23.07.2004. Formatul 60x84 1/16.Coli de tipar 4,2. Coli editoriale 2,9.

Comanda xx. Tirajul 50 ex.

Centrul Editorial-poligrafic al USMstr. A.Mateevici, 60. Chişinău, MD 2009

60