Metoda celor mai mici patrate

x

𝐹

o Facem o serie de experimente atarnind diverse greutati de mase cunoscute de un resort si masuram alungirea resortului fata de lungimea lui initiala. Scriem intr-un tabel aceste valori.

o Stim ca forta elastice este F=kx (de fapt e cu minus, dar pentru

scopul nostru nu conteaza).

o Utilizand valorile experimentale obtinute vrem sa calculam constanta elastica a resortului.

o Cum procedam?

F(N) 2 4 6 8 10 12 14 16 18

X(m) 0.5 1.8 2 4 4.5 6.5 7.5 11.2 11.5

o Trasam graficul F=F(x) o Conform ecuatiei de mai sus graficul ar fi trebuit sa fie o dreapta care trece prin origine. o Din cauza erorilor de masura (aleatoare) punctele experimentale sunt dispersate

Cazul 1 – dreapta care trece prin origine

Metoda celor mai mici patrate o O metoda care permite calculul constantei elastice a resortului si care tine seama de erorile

de masura este metoda celor mai mici patrate o Presupunem ca avem un set de masuratori (xi, yi) cu i=1…n. Stim ca marimea fizica Y depinde

de marimea fizica X sub forma unei drepte care trece prin origine. o Ecuatia dreptei este y=f(a,x)=ax

Calculam diferentele Δ y1 = y1 – f(a,x1) = y1-ax1 Δ y2 = y2 – f(a,x2) =y2-ax2

. . .

Δ yn = yn – f(a,xn) =yn-axn Aceste diferente nu sunt nule pentru ca masuratorile sunt afectate de erori aleatoare. Astfel punem conditia ca suma patratelor acestor diferente sa fie minima:

𝑆 = (∆𝑦𝑖)2

𝑛

𝑖=1

= (𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖)2

𝑛

𝑖=1

= 𝑚𝑖𝑛

Metoda celor mai mici patrate o Conditia de minim inseamna ca derivata intai a lui S in raport cu a trebuie sa fie 0:

𝑑𝑆

𝑑𝑎= 0 →

𝑑𝑆

𝑑𝑎= −2 𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖 𝑥𝑖

𝑛𝑖=1 → 𝑎 =

𝑥𝑖𝑦𝑖𝑛𝑖=1

𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1 cu eroarea 𝜀𝑎 =

(𝑦𝑖−𝑎𝑥𝑖)2𝑛

𝑖=1

(𝑛−1) 𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1

o Calitatea fitarii liniare (o masura a erorii) este date de coeficientul de determinare:

o R2 ia valor intre 0 si 1. Ca urmare valori foarte aproape de 1 indica o dependenta foarte

puternica intre marimile fizice X si Y si putem avea o incredere foarte mare in modelul liniar.

o Exemplu: introducem datele noastre in Origin si calculam constanta elastica k=a (a se mai numeste si panta dreptei).

o Obtinem urmatoarele valori:

a= 1.6662916N/m=k εa= 0.09615816 R2 = 0.97404976

𝑅2 = 1 − (𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖)

2𝑛𝑖=1

(𝑦𝑖)2𝑛

𝑖=1

Metoda celor mai mici patrate

Cazul 2 – dreapta care nu trece prin origine o Masuram rezisenta unui material (roca, filamentul unui bec, etc) functie de temperatura si obtinem urmatoarele valori:

T(°C) 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

R(Ω) 10.5 11.8 12 14 14.5 16.5 17.5 21.2 21.5

o Trasam graficul R=R(T) o Graficul se aseaza pe o dreapta oarecare care nu trece prin origine. o Din cauza erorilor de masura (aleatoare) avem abateri de la linia dreapta o Ecuatia dreptei va fi R=aT+b

o Caz general y=ax+b=f(a,b,x)

Metoda celor mai mici patrate

o Aplicam metoda celor mai mici patrate ca sa calculam a si b si astfel sa determinam in ce fel rezistenta depinde de temperatura. Calculam diferentele:

Δ y1 = y1 – f(a,b,x1) = y1-ax1-b Δ y2 = y2 – f(a,b,x2) =y2-ax2-b

. . . Δ yn = yn – f(a,b,xn) =yn-axn-b

o punem conditia ca suma patratelor acestor diferente sa fie minima:

𝑆 = (∆𝑦𝑖)2

𝑛

𝑖=1

= (𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖 − 𝑏)2

𝑛

𝑖=1

= 𝑚𝑖𝑛

o Aceasta inseamna ca

(𝑑𝑆

𝑑𝑎)𝑏=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡= 0 → −2 𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖 − 𝑏 𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

= 0

(𝑑𝑆

𝑑𝑏)𝑎=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡= 0 → −2 𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖 − 𝑏

𝑛

𝑖=1

= 0

Metoda celor mai mici patrate

o Se rezolva sistemul de 2 ecuatii cu necunoscutele a si b si rezulta:

𝑎 = (𝑥𝑖−𝑥 )(𝑦𝑖−𝑦 )𝑛𝑖=1

(𝑥𝑖−𝑥 )2𝑛

𝑖=1 cu eroarea 𝜀𝑎 =

(𝑦𝑖−𝑎𝑥𝑖)2𝑛

𝑖=1

(𝑛−1) (𝑥𝑖−𝑥 )2𝑛

𝑖=1

𝑏 = 𝑦 − 𝑎𝑥 𝜀𝑏= (𝑦𝑖−𝑎𝑥𝑖)

2𝑛𝑖=1 𝑥𝑖

2𝑛𝑖=1

𝑛(𝑛−1) (𝑥𝑖−𝑥 )2𝑛

𝑖=1

o Cu coeficientul de determinare:

𝑅2 = 1 − (𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖)

2𝑛𝑖=1

(𝑦𝑖 − 𝑦 )2𝑛

𝑖=1

o Exemplu: introducem date noastre in Origin si calculam a si b.

o Obtinem urmatoarele valori:

a=0.00714167 cu εa=5.60178189E-4 b=8.35833333 cu εb=0.63045975 R2=0.95871058

Metoda celor mai mici patrate

Cazul 3 – caz neliniar o In acest caz avem de-a face cu un

polinom de grad 3 care arata in felul urmator:

o Y=c1x3+c2x2+c3x+c4

o Cum aflam coeficientii c1, c2, c3, si c4?

o Putem aplica metoda celor mai mici

patrate dar in acest caz algoritmii de fitare sunt mai complicati

o Cativa algoritmi care lucreaza cu metoda celor mai mici patrate pe caz neliniar:

1. Levenberg-Marquardt 2. Monte Carlo 3. Markov Chain Monte Carlo 4. Simplex 5. Dynamic programming 6. Simulated annealing

In acest caz a fost aplicat un algoritm de tip simplex si s-au obtinut valorile: C1=1; c2=-2; c3=1; c4=-1