MATRICE

2221

1211

aa

aaA

MATRICE

Tabel de tip matricealÎn diverse activităţi practice legate de

înregistrarea, gruparea, analiza şi interpretarea datelor referitoare la desfăşurarea unui anumit fenomen de natură tehnică sau economică apare necesitatea organizării acestor date informative în diverse tablouri (tabele) care să servească într-o manieră optimă scopului propus.

Să considerăm următoarea situaţie practică:Situaţia vânzărilor la 4 librării dintr-un oraş într-o

perioadă de timp este prezentată în tabelul de mai jos, în care se specifică librăria, tipul de carte vândut şi numărul de exemplare vândute din fiecare tip.

Produsul Carteşcolară

Literaturăuniversală

Cartetehnică

Beletristică Dicţionare

Librăria

Librăria nr.1 55 14 4 20 2

Librăria nr.2 30 24 0 52 10

Librăria nr.3 45 15 8 40 7

Librăria nr.4 28 10 3 50 9

Din acest tabel putem extrage cu uşurinţă informaţii despre vânzările unor librării citind datele situate pe linii, precum şi informaţii privind vânzările unui anumit tip de carte, la cele 4 librării, extrăgând datele situate pe o anumită coloană.

Exemple:-La librăria nr.2 s-au vândut 30 de exemplare de

carte şcolară, 24 de exemplare de literatură universală, nicio carte de tehnică, 52 de cărţi de beletristică şi 10 dicţionare.

-Dicţionarele s-au vândut astfel: două dicţionare la librăria nr.1, 10 la librăria nr.2, 7 la librăria nr.3 şi 9 la ultima librărie.

-Numărul de 50 situat la intersecţia liniei a patra cu coloana a patra a tabelului reprezintă numărul de cărţi de beletristică vândute la librăria nr.4.

Datele tabelului de mai sus pot fi scrise sub o altă formă, într-un tabel format din 4 linii şi 5 coloane astfel:

95031028

74081545

105202430

22041455

Definiţie:Un tabel în care datele sunt scrise pe linii şi pe

coloane se numeşte tabel de tip matriceal.

Un tabel de tip matriceal format din m linii şi n coloane, unde m,n N* are forma următoare:

Coloana 1 Coloana 2 Coloana 3 .......... Coloana n

Linia 1

Linia 2

Linia 3

..........

Linia m

Poziţia unei date din tabelul de tip matriceal este bine precizată când se indică linia şi coloana pe care se află.

Vom utiliza notaţia literală pentru a indicaelementul situat la intersecţia liniei i cu coloana j.

ija

Exemplu:Pentru tabelul de tip matriceal de mai sus avem:

50,7,0,14,55 4435231211 aaaaa etc.

4543253314 9,3,10,8,28 aaaaa etc.

ÎNMULŢIREA MATRICELOR

Definiţie:Fie matricele

nmijaA

şi pnijbB

Se numeşte produsul matricelor A şi B (în această ordine) matricea

pmijcC

ale cărei elemente sunt date

de egalităţile:

mibabababac nkinkikilkilik ,....,2,1,.....3322 şi

Matricea produs se notează .BAC

pk ,......,2,1

Operaţia prin care fiecărei perechi )()(, ,, CMCMBA pnnm

i se asociază produsul de matrice BA se numeşte

înmulţirea matricelor.

Observaţii:Pentru a obţine elementul situat la intersecţia liniei i

cu coloana k în matricea produs AB se face suma tuturor produselor dintre elementele liniei i din matricea A şi elementele omoloage k a matricei B.

Omologia dintre elementele liniei i din matricea A şi elementele coloanei k din matricea B se stabileşte astfel: elementului îi corespunde elementul , elementului ila lkb

2ia îi corespunde elementul kb2 ,....., elementului ina

îi corespunde elementul nkb (vezi diagrama de mai jos).

Regula de înmulţire a două matrice se numeşte pe scurt regula de înmulţire a liniilor cu coloanele sau regula linie-coloană.

Din definiţie se observă că produsul AB are sens numai dacă numărul de coloane ale matricei A este egal cu numărul de linii ale matricei B. Rezultă că nu orice două matrice pot fi înmulţite.

ik

nk

k

k

iniil c

b

b

b

aaa 2

1

2

Dacă )(, CMBA n atunci are sens produsul AB şi produsul

BA. Aşadar, operaţia de înmulţire a matricelor este peste tot definită în mulţimea ).(cM n

Exemplu:Să exemplificăm regula înmulţirii a două matrice.

Fie matricele:

403

211A şi

35

41

22

B

1.Calculăm produsul AB. Avem )(3,2 RMA şi ).(2,3 RMB

Rezultă că ).(2,2 RMBA Notăm .2221

1211

cc

ccBA

Aplicând regula de înmulţire linie-coloană se obţine:

1352112131132112111111 bababac

832412132132212121112 bababac

2654102331232122112121 bababac

634402332232222122122 bababac

Aşadar, .626

813

AB

2.Calculăm produsul ).(3 RMAB Avem:

254

4111

1228

432503153315

442104113411

422202123212

403

211

35

41

22

AB

Se observă că .ABBA

Aşadar, înmulţirea matricelor nu este operaţie comutativă.