Matematici Aplicate in Economie

UNIVERSITATEA �BABES-BOLYAI�CLUJ-NAPOCAFACULTATEA DE STIINTE ECONOMICE SI GESTIUNEAAFACERILORTRUNCHI COMUN ANUL I zi si IDANUL UNIVERSITAR 2009/2010SEMESTRUL I

I. Informatii generaleDate de identi�care a cursului

Date de contact ale titularilor de curs:1. Muresan Anton S., Birou: Cabinetul 229, Etajul II, E-mail: [email protected],

Consultatii: Luni orele 12,30-13,30, Marti orele 15,50-16,502. Filip Diana Andrada, Birou: Cabinetul 230, Etajul II,E-mail: diana.�[email protected], Consultatii: Marti orele 12,30-13,30,

Joi orele 12,30-13,303. Curt Paula, Birou: Cabinetul 229, Etajul II, E-mail: [email protected],

Consultatii: Luni 12,30-13,30, Miercuri 11,30-12,304. Mihoc Maria, Birou: Cabinetul 229, Etajul II, E-mail: [email protected],

Consultatii: Luni 12,30-13,30, Miercuri 19,30-20,305. Rap Ilie, Birou: Cabinetul 231, Etajul II, E-mail: [email protected],

Consultatii: Luni 13,00-14,00, Miercuri 16,00-17,006. Rosca Alin, Birou: Cabinetul 231, Etajul II, E-mail: [email protected],

Consultatii: Miercuri 15,40-16,40, Joi 16,30-17,30Telefon: 0264-418653Fax: 0264-412570Date de identi�care curs si contact tutori:Numele cursului: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIECodul cursului: EBS0003Anul I, Semestrul ITipul cursului: ObligatoriuPagina web a cursului:Tutori:1. Muresan Anton S.: [email protected]. Filip Diana Andrada, diana.�[email protected]. Curt Paula, [email protected]. Mihoc Maria, [email protected]. Rap Ilie, [email protected]. Rosca Alin, [email protected]. Mihalca Gabriela, [email protected]. Coconet Tiberiu, [email protected]. Filip Darius, �[email protected]. Pop Flaviu, �[email protected] de desf¼asurare a cursului: Cl¼adirea Campus, s¼ali etajul II

1

Programarea în orar a activit¼atilor (la înv¼at¼amâtul de zi): S¼apt¼amânal 2 orede curs + 2 ore de seminar, conform orarului a�sat la sediul facult¼atii(la înv¼at¼amâtul ID) :8 ore activitati tutorialeConditionari si cunostinte prerechizite: -Descrierea cursului :Se vor avea in vedere urmatoarele obiective:� Studierea si rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare, obtinerea de solutii

admisibile de baza, formularea si rezolvarea problemelor de programare liniarasi de transport� Introducerea catorva notiuni de analiza functiilor reale de mai multe

variabile reale care sa constituie pentru studenti instrumente pentru tratareaunor probleme de extrem, pentru a permite ajustarea datelor experimentale,etc.� Crearea bazelor de analiza matematica necesare pentru studiul teoriei

probabilitatilor si pentru statistica matematica.� De�nirea si studiul principalelor proprietati ale conceptelor de baza din

teoria probabilitatilor. Crearea la studenti a unor deprinderi de utilizare a tehni-cilor probabilistice si de folosire a acestora in scop aplicativ. Fundamentareaprobabilistica a statisticii matematice.Organizarea temelor (partilor) in cadrul cursului:Cursul va avea urmatoarele trei parti:1. Elemente de algebra liniara2. Elemente de analiza matematica3. Elemente de teoria probabilitatilorOrganizarea temelor s-a facut avand in vederea ordinea �reasca si gradul de

di�cultate sa urmeze o ordine crescatoare. Informatia relevanta referitoare la�ecare tema (parte) se gaseste in lista bibliogra�ca ce va � prezentata ulterior,iar accesul va � realizat direct.Formatul si tipul activitatilor implicate de curs:Formatul va � unul clasic, permitand studentului de a-si gestiona singur,

fara constrangeri, parcurgerea cursului. De sigur o participare la activitatileplani�cate va usura intelegerea tematicii cursului. Tipurile de activitati ce vor� abordate in cadrul cursului vor � atat cele clasice cat si proiecte de grup.Materiale bibliogra�ce obligatorii:Principalele materiale bibliogra�ce pe care le vom utiliza, si care se vor gasi

la biblioteca facultatii, iar unele vor putea � accesate prin internet, sunt:1. Colectiv, Elemente de algebra liniara, analiza matematica si teoria prob-

abilitatilor, Ed. Mega, Cluj-Napoca, 20092. Colectiv, Analiza matematica, Teoria Probabilitatilor si Algebra liniara

aplicate in economie, Ed. Mediamira, Cluj-Napoca, 2008Materiale si instrumente necesare pentru curs :Vom folosi: suport electronic de curs, materiale multiplicate, calculator,

videoproiector.Calendarul cursului: este prezentat in calendarul disciplineiPolitica de evaluare si notare:

2

Evaluarea si notarea �nala se va face prin rezolvarea de probleme, intocmireaunor teme de casa. Toate acestea se vor realiza pe parcursul semestrului. In-trarea in examenul �nal este conditionata de realizarea sarcinilor ce rezulta dintemele de control de la sfarsitul �ecarui modul al suportului de curs. Studentiivor primi feed-back la rezultatele realizate in examenul �nal prin comunicaredirecta cu cei care solicita. In cazul cand studentul doreste sa revina la un ex-amen de marire a notei, acest nou examen se va desfasura in aceleasi conditii,cu aceleasi cerinte, ca si examenul initial.Elemente de deontologie academica:Pentru a evita situatiile care pun in discutie onestitatea studentilor facem de

la inceput precizarea ca se interzice categoric frauda, iar tentativele de fraudase vor trata conform reglementarilor in vigoare elaborate la nivelul facultatiisi universitatii. Este normal ca atunci cand se utilizeaza anumite date, texte,formulari, etc. luate din alte surse, sa se faca citarea, si astfel sa se asumemeritele doar pentru munca si contributia proprie. Se va cere studentului saaiba un comprtament academic fata de profesori si fata de colegi.Studentii cu dizabilitati:Nu vor avea nici o problema in a se incadra in cerintele cursului si a celorlalte

activitati, sansele in pregatire si obligatiile lor �ind de aceeasi factura ca sipentru studentii fara dizabilitati.Strategii de studiu recomandate:Recomandam studentilor sa se pregateasca mai intai din aspectele teoretice,

asa incat, mai intai, din curs, sa �e studiate modulele cu teoria si exempleleilustrative formulate, apoi sa se abordeze problemele rezolvate, iar apoi si prob-lemele formulate spre rezolvare. Pentru tot cursul, apreciem ca fondul de timpnecesar insusirii complete este de 56 de ore, din care 40 pentru suportul de curs,8 pentru activitatile directe cu tutorii, iar 12 pentru sarcinile individuale destudiu al bibliogra�ei si realizarea temelor de control.

II. Suportul de curs propriu-zisCursul va �structurat pe module, iar dorinta este de a se obtine o prezentare

gradata a notiunilor si rezultatelor.MODULUL I. Elemente de algebra liniaraObiective

� Familiarizarea cu notiunile de transformari elementare, rezolvarea sis-temelor de ecuatii liniare prin metoda lui Gauss;

� De�nirea solutiei admisibile de baza pentru un sistem de ecuatii liniare;

� Formularea si rezolvarea unei probleme de programare liniara;

� Formularea si rezolvarea unei probleme de transport.

Concepte de baza

� Transformari elementare, solutii pentru sisteme de ecuatii liniare, solutiiadmisibile de baza;

3

� Problema de programare liniara, algoritmul simplex;

� Problema de transport, algoritmul distributiv.

Rezultate asteptateIn urma parcurgerii acestui modul se asteapta ca studentii sa cunoasca si sa

opereze cu notiunile introduse, sa �e in stare sa le aplice la problemele concrete:modelul matematic al unei probleme simple de programare liniara, respectiv alunei probleme de transport.SintezaUNITATEA 1. Aplicatii economiceFormulam cateva exemple de probleme economice care se modeleaza cu aju-

torul unor elemente de algebra liniara, respectiv matematici �nanciare si actu-ariale.Exemplul 1. O �rm¼a intentioneaz¼a s¼a produc¼a n tipuri de produse sti-

ind c¼a poate s¼a utilizeze m tipuri de resurse. Se cunosc elementele: cantitatiledisponibile din �ecare resurs¼a pe o perioad¼a precizat¼a (bi cantitatea din resursaRi; i = 1;m), bene�ciile unitare nete pentru �ecare produs (cj pentru valori-�carea unei buc¼ati din Pj ; j = 1; n), coe�cientii tehnologici aij - care reprez-inta cantitatea din resursa Ri ce se foloseste pentru o unitate din produsulPj ; i = 1;m; j = 1; n:Se cere s¼a se determine cantitatile ce urmeaz¼a a �realizate din �ecare produs

xj =?; j = 1; n; astfel încât s¼a �e consumate toate cantitatile disponibile dinresursele existente si sa se obtina bene�ciul total maxim.Modelul matematic al acestei probleme este:xj =?; j = 1; n astfel încât8<: a

11x1 + :::a1nxn = b1

:::::::::::::::::::::::::::::::am1

x1 + :::+ amnxn = bm

9=; sistem de restrictii

xj � 0; j = 1; conditii de nenegativitate

9>>=>>; solutie admisibilade baza.

f = c1x1 + :::+ cnxn ! maxim¼a (functia scop, de e�cient¼a).

Exemplul 2. La m furnizori (produc¼atori) se a�¼a un tip de produs care va� solicitat de c¼atre n bene�ciari (consumatori).Se cunosc:

-cantit¼atile disponibile existente la �ecare furnizor, astfel dac¼a furnizoruleste Fi, not¼am cu ai; i = 1;m cantitatea disponibil¼a la furnizorul Fi;

-cantitatea solicitat¼a de �ecare bene�ciar Bj , atunci bj este cantitateasolicitat¼a, j = 1; n;

-costurile unitare de transport de la �ecare furnizor la �ecare bene�ciarcij de la Fi la Bj :Se cer: cantit¼atile (xij) ce urmeaz¼a a � transportate de la �ecare furnizor la

�ecare bene�ciar astfel încât:-toat¼a cantitatea disponibil¼a s¼a �e transportat¼a;-toat¼a cantitatea solicitat¼a de �ecare bene�ciar s¼a �e primit¼a;-costul total al transportului s¼a �e minim.

4

Modelul matematic al acestei probleme se va obtine prin evidentierea tuturorcerintelor formulate economic prin relatii matematice.In problema economic¼a formulat¼a nu au fost evidentiate din anumite mo-

tive si alte aspecte referitoare la problema de transport, cum ar � costurile deachizitie.C¼aut¼am necunoscutele: xij =? i = 1;m; j = 1; n astfel încâtnPj=1

xij = ai i = 1;m - toat¼a cantitatea de la Fi s¼a �e transportat¼a

mPi=1

xij = bj j = 1; n - toat¼a cantitatea solicitat¼a de Bj s¼a �e primit¼a

xij � 0 i = 1;m; j = 1; n - conditii de nenegativitate.

f 0 =mPi=1

nPj=1

cijxij s¼a �e minim¼a !min.

Bibliogra�e1. Colectiv, Elemente de algebra liniara, analiza matematica si teoria prob-


aplicate in economie, Ed. Mediamira, Cluj-Napoca, 2008UNITATEA 2. Sisteme de ecuatii liniare. Solutii ad-

misibile de baza2.1. Sisteme de ecuatii liniareMulte din problemele matematice, respectiv din aplicatiile matematicii în

alte domenii se reprezint¼a prin intermediul unor sisteme de ecuatii liniare.O ecuatie liniar¼a este aceea care contine una sau mai multe necunos-

cute toate �ind la puterea I.Forma general¼a a unui sistem de ecuatii liniare este:8>><>>:

a11x1 + a12x2 + :::+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + :::+ a2nxn = b2::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::am1x1 + am2x2 + :::+ amnxn = bm

;

unde ai j sunt coe�cienti reali, aij 2 R; i = 1;m; j = 1; n; bi 2 R;i = 1;m sunt termeni liberi iar xj sunt necunoscutele ( j = 1; n)Problema este de a determina xj astfel încât sa �e veri�cate toate ecuatiile

sistemului.2.2. Tranformari elementare în matriciDaca A este matricea coe�cientilor, b- coloana termenilor liberi si X coloana

necunostelor atunci sistemul se poate scrie sub forma unei ecuatii matriceale

A X = b

Pentru a introduce transformarile elementare vom considera matricea Areprezentat¼a într-o form¼a în care se evidentiaz¼a liniile sale

5

A =

[email protected]

1CCCA Li = (ai1; ai2; :::; ain)

Principalele dou¼a tipuri de transform¼ari elementare sunt:t1) înmultirea unei linii cu o constant¼a diferita de 0 : �; Li; � Li ! LiTransformarile elementare se utilizeaza pentru a rezolva sisteme de ecuatii

liniare. Avand in vedere faptul ca prin inmultirea unei ecuatii cu o constantadiferita de zero, si respectiv prin adunarea a doua ecuatii se obtin sisteme echiva-lente (cu aceleasi solutii), folosim transformarile elementare pentru rezolvareasistemelor de ecuatii liniare (metoda eliminarii complete sau a reducerii).Cu transformari convenabile suntem condusi la sisteme de structuri specialedin care putem exprima necunoscutele principale in functie de necunoscutelesecundare.t2) adunarea la elementele unei linii a elementelor corespunz¼atoare

unei alte linii: Li; Lk : Li + Lk ! Li2.3. Solutii admisibile de baz¼aDin multimea tuturor solutiilor unui sistem de ecuatii liniare se poate extrage

o submultime de solutii care are o calitate special¼a, si anume �ecare solutieare toate necunoscutele secundare cu valoarea egal¼a cu 0, iar necunoscuteleprincipale au valorile mai mari sau egale cu 0. Aceste solutii se numesc solutiiadmisibile de baz¼a.La o astfel de solutie admisibil¼a de baza se poate ajunge utilizând metoda

elimin¼arii complete la care alegerea pivotului se face cu respectarea unorconditii:pivotul trebuie s¼a �e pozitiv ,raportul dintre termenul liber si posibilul pivotul sa �e cel mai mic dintre

toate rapoartele care se obtin împ¼artind termenii liberi la elementele pozitivecorespunz¼atoare din coloana pivotuluiBibliogra�e1. Colectiv, Elemente de algebra liniara, analiza matematica si teoria prob-


aplicate in economie, Ed. Mediamira, Cluj-Napoca, 2008UNITATEA 3. Programare liniara3.1. Formularea problemei canoniceIn cadrul domeniului economic sunt adesea întâlnite probleme care în for-

mulare matematic¼a sunt niste probleme de programare liniar¼a.O �rm¼a intentioneaz¼a s¼a produc¼a n tipuri de produse stiind c¼a poate s¼a

utilizeze m tipuri de resurse. Se cunosc elementele: cantitatile disponibile din�ecare resurs¼a pe o perioad¼a precizat¼a (bi cantitatea din resursa Ri; i = 1;m),bene�ciile unitare nete pentru �ecare produs (cj pentru valori�carea unei buc¼atidin Pj ; j = 1; n), coe�cientii tehnologici aij - care reprezinta cantitatea dinresursa Ri ce se foloseste pentru o unitate din produsul Pj ; i = 1;m; j = 1; n:

6

Se cere s¼a se determine cantitatile ce urmeaz¼a a �realizata din �ecare produsxj =?; j = 1; n; astfel încât s¼a se obtina bene�ciul total maxim.Modelul matematic acestei probleme este:xj =?; j = 1; n astfel încât8<: a

11x1 + :::a1nxn = b1

:::::::::::::::::::::::::::::::am1x1 + :::+ amnxn = bm

9=; sistem de restrictii

xj � 0; j = 1; conditii de nenegativitate

9>>=>>; solutie admisibilade baza.

f = c1x1 + :::+ cnxn ! maxim¼a (functia scop, de e�cient¼a).

Problema canonic¼a de programare liniar¼a, în scriere matricial¼a se prezint¼aastfel:Se caut¼a coloana necunoscutelor X astfel încât

AX = b;X � 0;f = C X ! max

3.2. Rezolvarea problemei canonice cu ajutorul algoritmului sim-plexEtapa 1. Se determina o solutie admisibila de baza.Etapa 2. Se veri�ca optimalitatea solutiei. Conditiile de optimalitate

suntcj � fj � 0;8j = 1; n:

(Daca solutia este optima se trece la etapa 5, daca nu este optima se trece laetapa 3.)Etapa 3. Se imbunatateste solutia (alegand o noua necunoscuta prin-

cipala, aceea pentru care nu a fost indeplinita conditia de optimalitate).Etapa 4. Se repeta etapele 2 si 3 (pana cand toate conditiile de opti-

malitate sunt indeplinite).Etapa 5. Se scrie solutia optima (necunoscutele principale au valorile

corespunzatoare din coloana termenilor liberi, necunoscutele secundare au toatevaloarea egala cu zero, iar valoarea optima a functiei scop se extrage din tabel).Bibliogra�e1. Colectiv, Elemente de algebra liniara, analiza matematica si teoria prob-


aplicate in economie, Ed. Mediamira, Cluj-Napoca, 2008UNITATEA 4. Problema de repartitie (de transport)4.1. Formularea problemeiO problem¼a de programare liniar¼a de o structur¼a special¼a este problema de

repartitie. La o astfel de problem¼a se evidentiaz¼a grupul de restrictii carese împarte în dou¼a, conditiile de negativitate si functia scop care deobicei trebuie minimizat¼a.

7

Pentru comoditate vom scrie necunoscutele cu doi indici în scopul evidentieriicelor dou¼a tipuri de parteneri. Ilustr¼am modelul matematic al unei problemede repartitie sub forma unei probleme de transport.Formularea economic¼a.La m furnizori (produc¼atori) se a�¼a un tip de produs care va � solicitat de

c¼atre n bene�ciari (consumatori).Se cunosc:

-cantit¼atile disponibile existente la �ecare furnizor, astfel dac¼a furnizoruleste Fi, not¼am cu ai; i = 1;m cantitatea disponibil¼a la furnizorul Fi;

-cantitatea solicitat¼a de �ecare bene�ciar Bj , atunci bj este cantitateasolicitat¼a, j = 1; n;

-costurile unitare de transport de la �ecare furnizor la �ecare bene�ciarcij de la Fi la Bj :Se cer: cantit¼atile (xij) ce urmeaz¼a a � transportate de la �ecare furnizor la

�ecare bene�ciar astfel încât:-toat¼a cantitatea disponibil¼a s¼a �e transportat¼a;-toat¼a cantitatea solicitat¼a de �ecare bene�ciar s¼a �e primit¼a;-costul total al transportului s¼a �e minim.

Modelul matematic al acestei probleme se va obtine prin evidentierea tuturorcerintelor formulate economic prin relatii matematice. Avem de determinatniste necunoscute care s¼a satisfac¼a restrictiile iar functia scop s¼a aib¼a valoareaminim¼a.Observatie. In problema economic¼a formulat¼a nu au fost evidentiate din

anumite motive si alte aspecte referitoare la problema de transport, cum ar �costurile de achizitie.C¼aut¼am necunoscutele: xij =?; i = 1;m; j = 1; n astfel încâtnPj=1

xij = ai i = 1;m - toat¼a cantitatea de la Fi s¼a �e transportat¼a

mPi=1

xij = bj j = 1; n - toat¼a cantitatea solicitat¼a de Bj s¼a �e primit¼a

xij � 0 i = 1;m; j = 1; n - conditii de nenegativitate.

f 0 =mPi=1

nPj=1

cijxij s¼a �e minim¼a !min.

Observatie. La modelul formulat se mai al¼atur¼a de obicei asa zisa conditiede echilibrare:

mXi=1

ai =nXj=1

bj

care arat¼a c¼a totalul cantit¼atilor disponibile coincide cu totalul cantit¼atilornecesare solicitate.Dac¼a problema nu este echilibrat¼a atunci ea se poate echilibra prin consid-

erarea unui furnizor �ctiv în primul caz sau a unui bene�ciar �ctiv în al doileacaz astfel încât problema s¼a devin¼a echilibrat¼a.În continuare ne vom ocupa doar de cazul problemei echilibrate.Pentru rezolvarea problemei enuntate se va enunta un algoritm numit al-

goritmul distributiv, etapele c¼aruia se parcurg comod prin considerarea unui

8

tabel asociat problemei de transport. In tabelul cu dou¼a intr¼ari se evidenti-az¼a pe linie datele referitoare la furnizori si pe coloane se evidentiaz¼a datelereferitoare la bene�ciari.La intersectia unei linii Fi cu coloana Bj apare în tabel ceea ce se numeste

�c¼asuta cu 4 camere� în �ecare camer¼a urmând a � înregistrat un anumit ele-ment.

Bj

Ficij ui + vj� xij

Exemplu. La doi furnizori se a�¼a acelasi tip de produs în cantitate 80 buc.la primul (F1) si 140 buc. la al doilea (F2): Trei bene�ciari solicit¼a acest produsîn cantit¼atile 60; 90; 70 bucati. Problema este echilibrat¼a. In plus costurile

unitare de transport sunt prezentate mai jos: C =�2 3 54 1 2

�S¼a se determine cantit¼atile ce vor � transportate de la �ecare furnizor la

bene�ciari astfel încât cerintele s¼a �e îndeplinite.Modelul matematic: xij =? ; i = 1; 2; j = 1; 3 astfel încât

Example 1�

x11 + x12 + x13 = 80x21 + x22 + x23 = 1408<: x11 + x21 = 60

x12 + x22 = 90x13 + x23 = 70

xij � 0 i = 1; 2; j = 1; 3f = 2x11 + 3x12 + 5x13 + 4x21 + x22 + 2x23 ! min

Tabelul asociat acestei probleme:

B�F B1 B2 B3 Cant

Fi2

x11

3x12

5x13

80

F214

x21

1x22

2x23

140

Cant 60 90 70 220�220

4.2. Rezolvarea problemei de transportModelul matematic al problemei de transport xij =? ; i = 1;m; j = 1; n

(m - furnizori, n - bene�ciari) astfel încât:nPj=1

xij = ai i = 1;m;mPi=1

xij = bj j = 1; n

xij � 0 i = 1;m; j = 1; n

f =mPi=1

nPj=1

cijxij !min. cu conditia de echilibru:mPi=1

ai =nPj=1

bj :

Examinând modelul matematic rezult¼a c¼a avem mn necunoscute si m + necuatii. Vom avea m+n�1 ecuatii principale (din cauza conditiilor de echilibrurezult¼a c¼a o ecuatie e secundar¼a)

9

Din cele mn necunoscute numai m + n � 1 vor � necunoscute principale,toate celelalte �ind necunoscute secundare.Cum determin¼am care sunt necunoscutele principale?Utiliz¼am în continuare o metod¼a de a g¼asi necunoscutele principale (m+n�1

) prin asocierea la problema de transport a tabelului cu dou¼a intr¼ari. Pe liniivom preciza toate datele referitoare la furnizori iar pe coloane vom trece toateelementele ce corespund bene�ciarilor. La interecttia liniei de indice i vomtrece datele despre Fi (furnizorii Fi ) iar pe coloane cu indice j datele desprebene�ciarul Bj . La intersectia (i; j) vom avea în tabel o asa zis¼a �c¼asut¼a cu 4

camere�cij ui + vj� xij

Avem 2 3 = 6 - necunoscute; 2+3 = 5 - restrictii; 2+3�1 = 4 - necunoscuteprincipale.Algoritmul distributiv pentru rezolvarea problemelor de transporteste similar cu algoritmul simplex, etapele �ind ca formulare teoretic¼a iden-

tice, diferind doar în modul lor concret de parcurgere.Algoritmul distributiv:

Etapa 1. Se determin¼a o solutie initial¼a de baz¼a.Etapa 2. Se veri�c¼a optimalitatea solutiei.Etapa 3. Se îmbun¼at¼ateste solutia.Etapa 4. Se repet¼a etapele 2;3 pân¼a când toate conditiile de optimalitate

vor � îndeplinite.Etapa 5. Se scrie solutia optim¼a si se calculeaz¼a valoarea minim¼a a lui f:Metod¼a de determinare a unei solutii initiale de baz¼a(Metoda Nord-Vest) Atribuim valori necunoscutelor problemei în ordinea N-

V din tabelul asociat problemei de transport sau în subtabelele r¼amase. Incepemcu x11 = min fa1; b1g = 60:In acest caz x21trebuie s¼a ia valoarea 0; devenindnecunoscut¼a secundar¼a. Continu¼am completarea tabelului cu coltul NV r¼amasliber, adic¼a x12 = min fa1 � b1; b2g = 20 (sc¼adem din valoarea lui a1 pe x11 -seconsider¼a c¼a furnizorul F1 trimite c¼atre bene�ciarul B1 60 de buc¼ati, r¼amânândîn stoc doar cu 20). Rationamentul continu¼a în acelasi mod.Ilustr¼am în tabelul de solutii calculele si rationamentele precizate mai sus.

v1 = 2 v2 = 3 v3 = 4

u1 = 02 2

603 3

205 4

� 80 20 0

u2 = �24 0

�1 1

702 2

70140 70 0

60 90 700 70 0

0Convenim ca în tabelul de solutii necunoscutele secundare s¼a le înscriem

cu punct (valorile lor sunt zero). C¼asutele ocupate sunt c¼asutele ce corespundnecunoscutelor principale (acelea la care am înscris valorile). Celelalte c¼asute(cu �) care corespund necunoscutelor secundare se numesc c¼asute libere.Pentru Etapa 2, veri�carea optimalit¼atii se face cu ajutorul unor necunos-

cute �duale�:

10

ui ! care corespund furnizorilorvj ! care corespund bene�ciarilor

Aceste necunoscute sunt solutii ale sistemului de ecuatii

ui+vj = cij ; unde indicii i si j sunt ai necunoscutelor principale (c¼asute ocupate):

Conditia de optimalitate: trebuie sa aiba loc inegalitatile

cij � ui+vj ; unde indicii i si j sunt ai necunoscutelor secundare (c¼asutele libere).

Dac¼a toate conditiile de optimalitate vor � îndeplinite atunci de la etapa a2-a a algoritmului distributiv se trece la etapa a 5-a .Dac¼a îns¼a cel putin o conditie de optimalitate nu este îndeplinit¼a atunci se

va trece la etapa a 3-a (de îmbun¼at¼atire).La exemplul nostru avem urm¼atorul sistem:8>><>>:u1 + v1 = 2u1 + v2 = 3u2 + v2 = 1u2 + v3 = 2

4 necunoscute principale =) 4 ecuatii; 5 necunoscute

In cazul general sistemul ui+vj = cij ; arem+n�1 ecuatii (câte necunoscuteprincipale avem) cu m + n necunoscute. Avem o necunoscut¼a dual¼a secundar¼ac¼areia îi putem da orice valoare. Pentru comoditate i se d¼a valoarea zero si astfelse va putea rezolva sistemul obtinându-se o solutie.In exemplul nostru presupunem u1 = 0 =) v1 = 2; v2 = 3; u2 = �2; v3 =

4:Calculul pentru obtinerea acestor valori ale necunoscutelor duale se poate

face pe tabel.Se testeaz¼a optimalitatea solutiei g¼asite. Pentru aceasta vom calcula sumele

ui + vj în c¼asutele libere.cij � ui + vj ; xij necunoscute secundare

5 � 44 � 0

� 9=; =) sunt îndeplinite conditi-

ile de optimalitate astfel încât se va trece direct la la etapa a 5-a.

Scriem solutia optim¼a: xopt =�60 20 00 70 70

�; fmin = 120 + 60 + 70 +

140 = 390 (costul total minim al transportului).Etapa 3. Dac¼a cel putin o conditie de optimalitate nu este îndeplinit¼a

ci0j0 < ui0+vj0 înseamn¼a c¼a solutia nu este optim¼a si ea trebuie îmbun¼at¼atit¼a însensul c¼a necunocuta secundar¼a xi0j0 (care are valoarea zero), trebuie s¼a devin¼anecunoscut¼a principal¼a. Aceasta se realizeaz¼a prin adunarea la zero a uneicantit¼ati � unde � se determin¼a astfel încât toate ecuatiile care au necunoscutaxi0j0 s¼a r¼amân¼a satisf¼acute, xi0j0 = 0 + �:Deci dac¼a se adun¼a � într-un loc atunci � trebuie s¼a se scad¼a din alt loc.Sigur

sc¼aderile se vor putea face doar de la necunoscutele care au valori pozitive (suntnecunoscute principale). De fapt acestor operatii de adunare / sc¼adere se vor

11

face într-un asa zis �ciclu de c¼asute�format dintr-o succesiune de c¼asute, primade la care se pleac¼a �ind c¼asut¼a liber¼a, toate celelalte �ind c¼asute ocupate.În acest mod se obtine o nou¼a solutie care este mai bun¼a decât vechea solutie,adic¼a valoarea functiei pentru noua solutie este mai mic¼a decât valoarea functieipentru solutia anterioar¼a.Exemplu. S¼a se rezolve problema de transport dat¼a prin tabelul:

v1 = 1 v2 = 5 v3 = 10

u1 = 34 4

1002 8

�3 13

� 100

u2 = 01 1

505 5� 250

2 10+ � 300 250

u3 = �33 �2

�2 2+ 0

7 7� 200

200

150 250 20050 0

atentie la x0ij = x32 = 0; necunoscuta principal¼a:Trebuie s¼a �e m + n � 1- necunoscute principale. Am gasit o solutie initiala. Avem: f1 = 400 + 50 +1250 + 1400 = 3100 .Etapa 2. Veri�cam optimalitatea (efectuand calculele direct pe tabel).

Deoarece 2 � 10 este fals, solutia nu este optima, deci trebuie facuta im-bunatatirea (etapa a 3-a), adica acel zero (punctul din c¼asuta liber¼a) trebuiemodi�cat. Pentru aceasta vom adauga (� + "): si vom scadea (�) un total de200 care este minimul din casutele notate cu �.Obtinem o noua solutie.Etapa a 4-a consta in repetarea etapelor 2 si 3. Astfel avem:

v1 = 4 v2 = 8 v3 = 5

u1 = 04 4� 100

2 8� 0

3 5�

u2 = �31 1+ 50

5 5� 50

2 2200

u3 = �63 �2

�2 2

2007 �1

�Deoarece 2>8 este fals, solutia imbunatatita nu este optima, iar f2 = 1500:

Continuam succesiv (conform cu etapa a 4-a) si obtinem urm¼atoarele tabele cu� = 50

v1 = 4 v2 = 2 v3 = 5

u1 = 04 4� 50

2 250

3 5+ �

u2 = �31 1+ 100

5 �1�

2 2� 200

u3 = 03 4

�2 2

2007 5

�

12

v1 = 0 v2 = 0 v3 = 1

u1 = 24 2

�2 2

503 3

50

u2 = 11 1

1505 1

�2 2

150

u3 = 23 2

�2 2

2007 3

�Solutia este optima si trecem deci la Etapa 5.

Xopt =

0@ 0 50 50150 0 1500 200 0

1A ; fmin = 100+150+150+300+400 = 1100 u:mBibliogra�e1. Colectiv, Elemente de algebra liniara, analiza matematica si teoria prob-


aplicate in economie, Ed. Mediamira, Cluj-Napoca, 2008Probleme rezolvateProblema 1. Folosind metoda eliminarii complete sa se rezolve urmatorul

sistem de ecuatii:8<: 2x1 +x2 +3x3 = �2x1 �x2 + x3 = �2

�x1 + x3 = �1:

Rezolvare. Vom reduce pe rand coloanele matricii asociate sistemului ale-gand elementele pivot numere pozitive intotdeauna de pe o linie sau coloane depe care nu au mai fost alese alte elemente pivot. Vom aseza matricea sistemuluiintr-un tabel in felul urmator:

b x1 x2 x2 Transformarea:I. �2 2 1 3

�2 1 �1 1 L1 + L2 ! L2�1 �1 0 1

II. �2 2 1 3 (�3)L3 + L1 ! L1�4 3 0 4 (�4)L3 + L2 ! L2�1 �1 0 1

III. 1 5 1 0 17L2 ! L2

0 7 0 0 (�5)L2 + L1 ! L1�1 �1 0 1 L2 + L3 ! L3

IV. 1 0 1 00 1 0 0

�1 0 0 1Prin transformarile elementare efectuate am obtinut o matrice echivalenta

cu matricea sistemului, de forma:

�A � �A0 =

0@ 0 1 01 0 00 0 1

10

�1

1ADin aceasta matrice ne este usor sa citim solutia (unica, sistemul este com-

patibil determinat):

13

8<: x1 = 0x2 = 1x3 = �1

:

Problema 2. Sa se rezolve urmatorul sistem de ecuatii:�2x1 + x2 � x3 = 0x1 � x2 + 4x3 = 3

:

Rezolvare. Vom folosi metoda eliminarii complete:b x1 x2 x3

I. 0 2 1 �13 1 �1 4

II. 0 2 1 �13 3 0 3

III. �2 0 1 �31 1 0 1

In tabelul III observam ca nu a mai ramas nici o line de pe care sa alegemelement pivot. Sistemul nostru a fost redus la un sistem echivalent de forma:�

x2 � 3x3 = �2x1 + x3 = 1

Sistemul este compatibil nedeterminat, x3 (a carui coloana nu a fost redusa)este necunoscuta secundara iar solutia se scrie astfel:8<: x1 = ��+ 1

x2 = 3�� 2x3 = � 2 R

Problema 3. S¼a se rezolve sistemul de ecuatii liniare:8<: x1 � x2 + x3 = 62x1 + x2 � x3 = 7x1 + x2 � x3 = 10

Rezolvare. Folosim metoda eliminarii complete:b x1 x2 x3

I. 6 1 �1 17 2 1 �110 1 1 �1

II. 6 1 �1 113 3 0 0

16 2 0 0III. �2 0 �1 1

�11 0 0 08 1 0 0

Dupa cum se observa in tabelul III nu mai putem alege pivot si de pe linaa 2-a deoarece toate elementele sale sunt nule. In aceasta situatie veri�camcoloana termenilor liberi. Daca si acolo avem tot zero, atunci inseamna caecuatia corespunzatoare liniei respective este o ecuatie secundara. Daca insatermenul liber corespunzator nu este nul, ca si in cazul nostru, inseamna caavem o situatie imposibila, ecuatia respectiva �ind de forma: 0 = �11:Spunemca sistemul este incompatibil.

14

Problema 4. Sa se determine o solutie admisibila de baza pentru urmatorulsistem de ecuatii liniare:�

2x1 + 3x2 � x3 = 9x1 � x2 + x3 = 2

::

Rezolvare. Pentru gasirea unei solutii admisibile de baza elementul pivottrebuie ales astfel incat sa respecte cele doua reguli: sa �e pozitiv si raportulintre termenul liber si pivot sa �e minimul rapoartelor dintre termenii liberi sicelalte elemente pozitive corespunzatoare de pe coloana sa.

b x1 x2 x3 RapoarteI. 9 2 3 �1 9

2 = 4: 5

2 1 �1 1 21 = 2:0

II. 5 0 5 �3 55 = 1

2 1 �1 1 -III. 1 0 1 �3=5

3 1 0 2=5In primul tabel (I.), pentru a alege un element pivot din prima coloana, vom

construi rapoartele dintre termenii liberi si elementele coloanei: 92 si21 : Il alegem

pe cel cu valoarea cea mai mica, adica 21 ; deci element pivot va � 1. In tabelul

al doilea putem alege element pivot de pe coloana lui x2 sau a lui x3: In coloanalui x2 avem o singura varianta de algere a pivotului, deoarece avem un singurelement pozitiv pe coloana. Tabelul III ne furnizeaza o solutie admisibila debaza pe care o citim astfel: necunoscutele secundare (corespunzatoare coloanelornereduse) vor lua valoarea 0, iar cele principale (corespunzatoare coloanelorreduse) se citesc de pe coloana termenilor liberi. Astfel, o solutie de baza asistemului va �:8<: x1 = 3

x2 = 1x3 = 0 - necunoscuta secundara

Problema 5. Sã se rezolve urmãtoarea problemã de programare liniarã:8>>>><>>>>:x1 + 2x2 + 2x3 � x4 = 6x1 + x2 + 2x4 = 52x1 � x2 + x3 + x4 = 8xj � 0; j = 1; 4f = 2x1 + x2 + 5x3 + 3x4 �! max

Rezolvare. Vom rezolva problema folosind algoritmul simplex. Vom con-strui un tabel similar cu cel pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii, doar cã vommai adãuga niste linii si niste coloane:- deasupra coloanelor corespunzãtoare necunoscutelor mai adãugãm o linie

care sã continã valorile coe�cientilor functiei f corespunzãtoare �ecãrei necunos-cute.- în stânga tabelului vom mai adãuga douã coloane, una în care vom trece

necunoscutele principale gãsite iar cealaltã în care vom scrie coe�cientii functieicorespunzãtori acestor necunoscute principale.Primul tabel va arãta în felul urmãtor:

15

2 1 5 3CB B b x1 x2 x3 x4� � 6 1 2 2 �1� � 5 1 1 0 2� � 8 2 �1 1 1

Pentru început nu vom completa coloana B a necunoscutelor principaledeoarece nu avem în matricea sistemului nici o coloanã redusã (nici o necunos-cuta nu este inca principala).Trecem acum la prima etapã a algoritmului simplex, adicã determinarea unei

solutii admisibile de bazã. Pentru aceasta vom avea în vedere ca elementul pivotsã respecte cele douã reguli: sã �e pozitiv iar raportul dintre termenul liber sipivot sã �e minimul rapoartelor similare de pe coloana respectivã:

2 1 5 3CB B b x1 x2 x3 x4 Rapoarte:� � 6 1 2 2 �1 6

2 = 3I � � 5 1 1 0 2 5

1 = 5� � 8 2 �1 1 1 �1 x2 3 1=2 1 1 �1=2 3

12

= 6

II � � 2 1/2 0 �1 5=2 212

= 4

� � 11 5=2 0 2 1=2 1152

= 225

1 x2 1 0 1 2 �3 12

III 2 x1 4 1 0 �2 5 �� 1 0 0 7 �12 1=7

1 x2 5=7 0 1 0 3/7 53

IV 2 x1 30=7 1 0 0 11=7 3011

5 x3 1=7 0 0 1 �12=7fj 10 2 1 5 �5

cj � fj � 0 0 0 83 x4 5=3 0 7=3 0 1

V 2 x1 5=3 0 7=3 0 15 x3 3 0 4 1 0

fi 70=3 2 59=3 5 3cj � fj 0 �56=3 0 0

In tabelul IV observãm cã s-a determinat o primã solutie admisibilã de bazã.Se trece de aceea la etapa urmãtoare a algoritmului, adicã la veri�carea optimal-itãtii acestei solutii. Pentru aceasta avem nevoie sã calculãm diferentele cj �fj ;unde cj- coe�cientul lui xj în f iar fj se calculeazã ca si suma produselor el-ementelor de pe coloana coe�cientilor bazei CB si elementele �ecãrei coloanej; j = 1; 4:Se observã cã în tabel vom trece o linie nouã pentru valorile lui fj si încã

una pentru diferentele cj � fj : Pe linia lui fj si coloana termenilor liberi vomobtine valoarea functiei f pentru solutia testatã.Dacã solutia ar � optimã atunci toate diferentele cj � fj ar trebui sã �e

negative. Se observã însã cã pe coloana lui x4; c4 � f4 = 8 > 0: Trecem la

16

urmãtoarea etapã, adicã îmbunãtãtirea solutiei de bazã gãsite. Acest lucru serealizeazã prin reducerea coloanei pentru care avem diferenta cj � fj pozitivã(în cazul nostru coloana lui x4), alegând elementul pivot cu respectarea celordouã reguli.In tabelul V obtinem astfel o nouã solutie admisibilã de bazã. Calculând si

pentru aceasta diferentele cj � fj constatãm cã sunt toate negative sau zero, deunde deducem cã noua solutie obtinutã este optimã. O �citim�din tabelul Vtinând cont de faptul cã necunoscutele principale vor lua valorile corespun-zãtoare de pe coloana termenilor liberi, adicã x1 = 5

3 ; x3 = 3 si x4 = 53

iar cele secundare, în cazul nostru x2 va � zero. Solutia optimã se scrie:Xtopt =

�53 ; 0; 3;

53

�:

Valoarea optimã a functiei apare în tabelul V pe linia lui fj si coloana ter-menilor liberi: f (xopt) = fmax = 70

3 :Problema 6. Sã se rezolve problema de programare liniarã canonicã:8>>>><>>>>:

�3x1 + x3 + 6x4 = 112x2 � x3 + 4x4 = 8

3x1 � x3 + 4x4 = 8xj � 0; j = 1; 4

f = 4x1 + 2x2 � x3 + 4x4Rezolvare. Vom folosi algoritmul simplex:

4 2 �1 4CB B b x1 x2 x3 x4� � 11 �3 0 1 6 �

I � � 8 0 2 �1 4 82

� � 8 3 0 �1 4 �� 11 �3 0 1 6 �

II 2 x2 4 0 1 �1=2 2 �� 8 3 0 �1 4 8=3

� � 19 0 0 0 10 19=10 = 1; 9III 2 x2 4 0 1 �1=2 2 4=2 = 2

4 x1 8=3 1 0 �1=3 4=3 8=4 = 24 x4 19=10 0 0 0 1

IV 2 x2 1=5 0 1 �1=2 04 x1 2=15 1 0 �1=3 0

fj12815 4 2 � 7

3 4cj � fj � 0 0 4=3 0

In tabelul IV obtinem o solutie admisibilã de bazã a cãrei optimalitate overi�cãm. Observãm însã cã pe coloana lui x3 diferenta c3 � f3 = 4

3 > 0 decisolutia nu e optimã. Dacã însã vrem sã o îmbunãtãtim observãm cã pe coloanalui x3 nu este nici un element pozitiv care sã poatã � ales pivot. Ne a�ãmîntr-un caz special în care functia de optimizat are maxim in�nit.Problema 7. Sã se rezolve problema de programare liniarã canonicã:

17

8>>>><>>>>:x1 + 3x2 + x3 + x4 = 7x1 + x2 + 2x3 + x4 = 73x1 + 2x2 + x3 = 8

xj � 0; j = 1; 4f = 5x1 + x2 + 4x3 + 2x4 �! max

Rezolvare. Aplicam algoritmul simplex5 1 4 2

CB B b x1 x2 x3 x4� � 7 1 3 1 1 7=1 = 7

I � � 7 1 1 2 1 7=2 = 3; 5� � 8 3 2 1 0 8=1 = 8

� � 7=2 1=2 5/2 0 1=2 7=5

II 4 x3 7=2 1=2 1=2 1 1=2 7=1� � 9=2 5=2 3=2 0 �1=2 9=31 x2 7=5 1=5 1 0 1=5 7=1

III 4 x3 14=5 2=5 0 1 2=5 14=2 = 7

� � 12=5 11/5 0 0 �4=5 12=111 x2 13=11 0 1 0 3=11 13=3

IV 4 x3 26=11 0 0 1 6/11 13=3

5 x1 12=11 1 0 0 �4=11fj

17711 5 1 4 7=11

cj � fj � 0 0 0 15=111 x2 0 0 1 �1=2 0

V 2 x4 13=3 0 0 11=6 15 x1 8=3 1 0 2=3 0

fi 22 5 1 396 2

cj � fj 0 0 � 156 0

In tabelul IV observam ca rapoartele minime necesare pentru alegerea piv-otului sunt egale intre ele. In acest caz, pentru a alege pivotul vom folosiordonarea lexicogra�cã pentru a compara cele douã linii. Pentru aceastavom scrie cele douã linii, �ecare împãrtitã la posibilul pivot corespunzãtor:L1 =

�0; 113 ; 0; 1

�si L2 =

�0; 0; 116 ; 1

�In ordonarea lexicogra�cã se comparã elementele celor douã linii 2 câte 2.

Este declaratã mai micã si aleasã ca si linie pivot linia pentru care apare primulelement mai mic decât corespondentul sãu de pe cealaltã linie.In cazul nostru avem 0 = 0; 113 > 0 de unde rezultã cã linia a doua e mai

micã în ordine lexicologicã decât prima si deci alegem pivot pe 611 : Solutia gasitã

în tabelul V este optimã deoarece toate diferentele cj � fj sunt negative. Citimsolutia si avem: Xt

opt =�83 ; 0; 0;

133

�; fmax = 22:

Observatie: Situatia cã am avut nevoie de ordonarea lexicogra�cã pentrua alege între 2 rapoarte minime egale ne indicã faptul cã solutia pe care oobtinem este degeneratã, adicã avem necunoscute principale cu valoarea zero.Intr-adevãr, în xopt avem x2 = 0 chiar dacã x2 este necunoscutã principalã.Problema 8. Sã se rezolve problema de programare liniarã canonicã:

18

8>>>><>>>>:3x1 + 2x2 + 3x3 + x4 + 2x5 = 10�x2 + x1 + 2x3 � 6x4 + 3x5 = 5x1 + x2 + x3 � 2x4 + 2x5 = 4

xj � 0; j = 1; 5f = 5x1 + 4x2 + 8x3 + 2x4 + 3x5 �! max

Rezolvare. Folosim algoritmul simplex:5 4 8 2 3

CB B b x1 x2 x3 x4 x5� � 10 3 2 3 1 2 10=2

I � � 5 �1 1 2 �6 3 5=1

� � 4 1 1 1 �2 2 4=1

� 2 1 0 1 5 �2 2=1II � 1 �2 0 1 �4 1 �

4 x2 4 1 1 1 �2 2 4=15 x1 2 1 0 1 5 �2 2=1

III � � 5 0 0 3 6 �3 5=34 x2 2 0 1 0 �7 45 x1 1=3 1 0 0 3 �1 �

IV 8 x3 5=3 0 0 1 2 �1 �4 x2 2 0 1 0 �7 4 2=4

fj 23 5 4 8 3 3cj � fj � 0 0 0 �1 0

5 x1 5=6 1 1=4 0 5=4 0V 8 x3 13=6 0 1=4 1 1=4 0

3 x5 1=2 0 1=4 0 �7=4 1fj 23 5 4 8 3 3

cj � fj 0 0 0 �1 0Observãm cã în tabelul IV solutia admisibilã de bazã obtinutã este solutia

optimã, deoarece toate diferentele cj � fj � 0. Putem scrie aceastã solutieXtopt 1 =

�13 ; 2;

53 ; 0; 0

�; fmax = 23:

Studiind linia cj � fj observãm cã pe coloana necunoscutei secundare x5avem c5 � f5 = 0: Acest lucru indicã faptul cã problema poate avea mai multesolutii optime, pe care le putem gãsi reducând coloana lui x5:Observatie: Intodeauna când numãrul zerourilor de pe linia cj � fj ; în

cazul unei solutii optime, este mai mare decât numãrul necunoscutelor principaleînseamnã cã problema poate avea mai multe solutii optime.Reducând coloana lui x5 obtinem o nouã solutie: Xt

opt 2 =�56 ; 0;

136 ; 0;

12

�;

fmax = 23:Observatie: Solutia generalã a problemei de programare liniarã se scrie ca

si combinatie liniarã convexã a solutiilor optime.In cazul nostru solutia generalã se scrie: Xt

opt = �1Xtopt 1+�2X

topt 2; �1; �2 �

0; �1 + �2 = 1; Xtopt =

��13 +

5�26 ; 2�1;

5�13 + 13�2

6 ; 0; �22�; fmax = 23:

Problema 9. S¼a se rezolve urm¼atoarea problem¼a de programare liniar¼agenerala:

19

8>>>>>><>>>>>>:

2x1 + x2 + x3 � 50�x1 + 4x2 + x4 � 60x1 + x4 = 15

x3 + x4 = 20xj � 0; j = 1; 4f = 2x3 � 5x4 ! maxima

:

Rezolvare. Observam ca diferenta dintre forma in care este prezentataproblema data si forma canonica a problemei de programare liniara consta inacest caz in faptul ca in sistem apar atat ecuatii cat si inecuatii. Deoarece nuputem aplica algoritmul simplex decat pentru problema canonica de progra-mare liniara, va trebui sa transformam problema data intr-una echivalenta, darscrisa in forma canonica. Pentru aceasta vom transforma inecuatiile in ecuatiiintroducand niste variabile noi, de compensare in �ecare inecuatie. Variabilelede compensare trebuie sa se supuna conditiilor de nenegativitate, si de aceea,in functie de semnul inecuatiilor, le vom aduna sau le vom scadea la membrulstang al inecuatiei pentru a obtine egalitate.Astfel, in prima inecuatie vom adauga variabila de compensare x5 iar in a

doua x6: Problema noastra va deveni:8>>>><>>>>:2x1 + x2 + x3 + x5 = 50�x1 + 4x2 + x4 + x6 = 60x1 + x4 = 15

x3 + x4 = 20xj � 0; j = 1; 6; f = 2x3 � 5x4 ! maxima

Obsevam ca variabilele de compensare nu modi�ca expresia functiei de op-timizat.Avand acum problema scrisa in forma canonica, putem sa aplicam algoritmul

simplex:

20

0 0 2 �5 0 0 RapoartecB B b x1 x2 x3 x4 x5 x6

I 0 x5 50 2 1 1 0 1 0 502 = 25

0 x6 60 �1 4 0 1 0 1 -� � 15 1 0 0 1 0 0 15

1 = 15� � 12 0 0 1 1 0 0 -

II. 0 x5 20 0 1 1 �2 1 0 201 = 20

0 x6 75 0 4 0 2 0 10 x1 15 1 0 0 1 0 0

� � 20 0 0 1 1 0 0 201 = 20

III. 0 x5 0 0 1 0 �3 1 0 01 = 0

0 x6 75 0 4 0 2 0 1 754

0 x1 15 1 0 0 1 0 0 -2 x3 20 0 0 1 1 0 0 -

fj 40 0 0 2 2 0 0cj � fj 0 0 0 �7 0 0

IV. 0 x2 0 0 1 0 �3 1 00 x6 75 0 0 0 14 �4 10 x1 15 1 0 0 1 0 02 x3 20 0 0 1 1 0 0

fj 40 0 0 2 2 0 0cj � fj 0 0 0 �7 0 0

In tabelul numarul II observam ca solutia problemei este degenerata, deoareceavem rapoarte minime egale. Pentru alegerea pivotului am aplicat ordonarealexicogra�ca. Din tabelul III, datorita faptului ca avem mai multe zerouri pelinia diferentelor cj � fj decat numarul de coloane reduse, deducem ca prob-lema s-ar putea sa aiba mai multe solutii. Prin reducerea coloanei respectiveobservam ca solutia nu se modi�ca. Astfel, avem: Xt

optim = (15; 0; 20; 0; 0; 75),fmax = 40:Observatie. Problema generala in care se cere minimul functiei obiectiv se

rezolva in acelasi mod doar ca vom schimba conditia de optimalitate, adica osolutie va � optima daca toate diferentele cj � fj sunt > 0:Problema 10. Sa se rezolve problema de transport data in tabelul:4 2 1

40

2 1 325

10 35 20Rezolvare. In primul rand, veri�cam daca problema data este echilibrata.

Avem 10 + 35 + 20 = 40 + 25 = 65: In acest caz putem aplica algoritmuldistributiv pentru rezolvarea problemei de transport. Vom folosi metoda Nord-Vest pentru determinarea unei solutii initiale a problemei:

21

410

230

1� 40 30 0

2�

15

320

25 20 0

10 35 200 5 0

0In continuare veri�cam optimalitatea solutiei rezolvand sistemul de ecuatii

de forma ui + vj = cij; xij sunt necunoscutele principale. In cazul nostru acestsistem are 2+3�1 = 4 ecuatii si 2+3 = 5 necunoscute. Inseamna ca putem alegeuna din necunoscute ca �ind secundara si sa-i dam o valoare oarecare. Pentrucomoditate ii dam valoarea 0 lui u1: Tot pentru comoditate vom rezolva sistemulde ecuatii direct pe tabel, scriind pe bordura din stanga a tabelului valorile luiui iar deasupra tabelului valorile pentru vj : Pentru rezolvarea sistemului a�ampe rand �ecare necunoscuta pornind de la cea la care i-am dat valoare si avandgrija ca pentru casutele ocupate sa aiba loc egalitatea ui + vj = cij : Pe masurace a�am valorile lui ui si vj completam coltul din dreapta sus al �ecarei casuteocupate cu suma lor ui + vj :

v1 = 4 v2 = 2 v3 = 4

u1 = 04 4

102 2- 30

1 4+ � 40 30 0

u2 = �12 3

�1 1+ 5

3 3- 20

25 20 0

10 35 200 5 0

0Dupa rezolvarea sistemului vom completa si pentru casutele neocupate coltul

din dreapta sus cu sumele ui + vj : Solutia determinata este optima daca pen-tru toate casutele neocupate avem inegalitatea ui + vj � cij : Veri�cam asadarcasutele neocupate (cu punct) si constatam ca avem u1 + v3 = 4 > 1 = c13 siu2 + v1 = 3 > 2 = c21. Deducem ca solutia nu este optima, deci trebuie sa oimbunatatim.Imbunatatirea solutie se face pornind de la casuta libera care nu satisface

conditia de optimalitate si diferenta dintre ui + vj si cij este cea mai mare. Incazul nostru, aceasta este casuta (1; 3). Formam ciclul pornind de la aceastacasuta, trecand pe linii sau pe coloane doar prin casute ocupate si marcandalternativ cu + si � casutele prin care trecem. Cautam minimul valorilor dincasutele cu semn �, adica minf30; 20g = 20: Aceasta este valoarea pe care ovom adauga, respectiv scadea din casutele ciclului pentru a obtine o solutie im-bunatatita. Intr-una din casutele ciclului va ramane valoarea 0. In loc de 0 vomtrece �; necunoscuta respectiva va deveni necunoscuta secundara, iar necunos-cuta de la care am pornit ciclul va deveni necunoscuta principala. Urmatorultabel va arata in forma:

22

v1 = 4 v2 = 2 v3 = 1

u1 = 04 4� 10

2 2+ 10

1 420

u2 = �12 3+ �

1 1� 25

3 0�

Veri�cam optimalitatea noii solutii si constatam ca inca nu am ajuns la�nal deoarece in casuta (2; 1) avem u2 + v1 � c21 (2 < 3): Pornim un ciclude la aceasta casuta si trecem la solutia urmatoare adunand, respectiv scazandvalorilor din casutele din ciclu pe � = 10 = minf10; 25g:

v1 = 3 v2 = 2 v3 = 1

u1 = 04 3

�2 2

201 1

20

u2 = �12 2

101 1

153 0

�Pentru noua solutie se veri�ca conditiile de optimalitate, asadar putem scrie

solutia Xoptim =

�0 20 2010 15 0

�pentru care costul total de transport este

minim, si anume: fmin = 2 � 20 + 1 � 20 + 2 � 10 + 1 � 15 = 95:Teme de controlProbleme propuseProblema 1. Sa se rezolve sistemul de ecuatii:8<: �x1 + x3 = 4

x1 + x2 � x3 = �410x2 + x3 = 3

Raspuns. x1 = �1;x2 = 0;x3 = 3:Problema 2. Sa se rezolve sistemul de ecuatii:8>><>>:�2x1 + x2 � x3 + x4 = 4x1 + x2 + 2x3 � x4 = 13x1 � 2x2 + 5x3 = �5�x1 � x2 + x3 � x4 = �1

Raspuns. x1 = �1;x2 = 1;x3 = 0;x4 = 1:Problema 3. Sa se rezolve sistemul de ecuatii:8<: x1 + x2 + x3 = 7

x1 + 2x2 + x3 = 6�x1 � 10x2 � x3 = 20

Rezolvare. Sistemul este incompatibil.Problema 4. Sa se rezolve sistemul de ecuatii:8>>>><>>>>:

3x1 + 4x2 � 5x3 + x4 = 40�7x1 + x2 + 3x3 � x4 = �13x1 + x3 + x4 = 02x1 � x2 + x4 = �1x1 + x2 + x3 + x4 = 5

Raspuns. x1 = 1;x2 = 5;x3 = �3;x4 = 2:Problema 5. Sa se rezolve sistemul de ecuatii:8<: x1 + x2 � x3 + x4 = �4�x1 � x2 + x3 � x4 = 42x1 � 3x3 = �8

23

Raspuns. x1 = �4� 3�� 3�;x2 = �;x3 = �2�� 2�;x4 = �; �; � 2 R::Problema 6. Sa se rezolve sistemul de ecuatii:8<: x1 + 2x2 � x3 = �2� 3b�x1 + x2 + x3 = �1x1 � x2 + x3 = 2a+ 2b+ 1

Raspuns. x1 = a;x2 = �1� b;x3 = a+ b:Problema 7. Sa se determine o solutie admisibila de baza pentru urmatorul

sistem de ecuatii liniare:8<: x1 + 3x2 � x3 + x4 = 1�x1 � x2 + x3 � 5x4 = 22x1 + x2 + x3 + 10x4 = 9

Raspuns. x = (43 ;32 ;

296 ; 0):

Problema 8. S¼a se rezolve urm¼atoarea problem¼a de programare liniar¼astandard:8>>>><>>>>:

3x1 + x2 + 2x3 = 103x1 + x3 + x4 = 45x1 + 2x3 + x5 = 8xj � 0 ; j = 1; 5f = x1 + 2x3 ! max

R¼aspuns. xtoptim = (0; 2; 4; 0; 0) ; fmax = 8Problema 9. S¼a se rezolve urm¼atoarea problem¼a de programare liniar¼a

dat¼a în forma general¼a:8>>>>>><>>>>>>:

3x1 + x2 � x3 + 2x4 = 502x1 � x2 + x3 + 5x4 � 30x1 + 2x2 + 2x3 + x4 � 802x1 � 1x2 + x3 + 2x4 � 70xj � 0 ; j = 1; 4f = 2x1 + 4x2 + 5x3 + x4 ! maxim¼a

R¼aspuns. xtoptim = (2; 1; 2; 0; 2; 0; 0) ; fmax = 18Problema 10. Sa se rezolve urmatoarea problema de transport:8 3 5 2

1000

4 1 6 71500

1 9 4 32500

500 1000 2000 1500

:

Raspuns. fmin = 14000; Xoptim =

0@ 0 0 0 10000 1000 500 0500 0 1500 500

1A :Problema 11. Sa se rezolve urmatoarea problema de transport:

24

2 3 1 170

3 2 3 1240

2 1 4 1190

50 100 250 100


0@ 0 0 70 00 0 180 6050 100 0 40

1A :Problema 12. Sa se determine solutia generala a urmatoarei probleme de

transport:2 3 2 4

700

2 1 3 4100

5 3 2 1200

250 500 150 100

R. fmin = 2200; Xopt =

0@ 250�1 + 250�2 400�1 + 300�2 50�1 + 150�2 00 100�1 + 100�2 0 00 100�1 0 100�1 + 100�2

1AProblema 13. Sa se rezolve urmatoarea problema de transport:2 2 1 3

250

1 2 3 4150

3 2 3 2100

100 150 50 200


0@ 0 100 50 100100 50 0 00 0 0 100

1A :MODULUL II. Elemente de analiz¼a matematic¼aObiectivele modulului

� Introducerea catorva notiuni de analiza functiilor reale de mai multe vari-abile reale care sa constituie pentru studenti instrumente pentru tratareaunor probleme de extrem, pentru a permite interpolarea si ajustarea datelorexperimentale, etc.

� Crearea bazelor de analiza matematica necesare pentru studiul teorieiprobabilitatilor si pentru statistica matematica.

Concepte de baza

25

� Spatiul Rn, distanta in Rn, topologia euclidiana in Rn;

� Limite de functii de la Rn la R, continuitatea functiilor de la Rn la R;

� Derivate partiale, diferentiabilitate si diferentiala pentru functiile de la Rnla R, derivate partiale si diferentiale de ordin superior;

� Extremele functiilor reale de mai multe variabile reale (libere sau cu lega-turi);

� Ajustarea datelor experimentale;

� Integrale Euler.

Rezultate asteptateInsusirea conceptelor de baza mentionate si crearea deprinderilor de utilizare

a acestora. Studentul trebuie sa �e capabil sa aplice in practica notiunile studi-ate pentru analizarea unor situatii concrete din economie, cum ar � de exempluprobleme de gestiunea optima a stocurilor.SintezaUNITATEA 1. Functii reale de mai multe variabile

reale1.1. Elemente de topologie a spatiului RnÎn studiul fenomenelor �zice, economice (si în alte situatii) apare de mai

multe ori necesitatea studiului multimilor �nite cu num¼ar �x de numere reale.De exemplu, spatiul în care tr¼aim este modelat ca o multime de puncte de-terminate de trei coordonate. Fie n un num¼ar natural �xat nenul. Multimeasistemelor de forma:

x = (x1; x2; :::; xn) ;

unde x1; x2; :::; xn sunt numere reale, se numeste spatiul Rn. Elementele acesteimultimi se numesc puncte, iar numerele x1; x2; :::; xn care determin¼a punctul xse numesc coordonatele sau componentele acestui punct.Pe spatiul Rn se pot considera diverse structuri care s¼a extind¼a structura

axei reale.Pentru orice pereche de elemente x si y din Rn, exist¼a în Rn suma lor x+ y

dat¼a de:x+ y = (x1 + y1; x2 + y2; :::; xn + yn) :De asemenea, pentru �ecare � 2 R si x 2 Rn exist¼a în Rn�x = (�x1; �x2; :::; �xn) :Se numeste metric¼a sau distant¼a pe multimea nevid¼a X orice aplicatie

d : X �X �! R (x; y) �! d (x; y)

astfel încât:

D1) d (x; y) � 0; 8x; y 2 X si d (x; y) = 0() x = y

26

D2) d (x; y) = d (y; x) ;8x; y 2 X

D3) d (x; y) � d (x; z) + d (z; y) ;8x; y; z 2 X (inegalitatea triunghiului)

Cuplul (X; d) unde X este o multime nevid¼a iar d este o metric¼a (distanta)pe X se numeste spatiu metric.Aplicatia d : Rn � Rn �! R dat¼a de

d (x; y) =

vuut nXi=1

(xi � yi)2

este o metric¼a pe Rn, numit¼a metrica (distanta) euclidian¼a pe Rn:

� Dac¼a n = 1 atuncid (x; y) = jx� yj ; x; y 2 R:

� Dac¼a n = 2 si n = 3 reg¼asim formula distantei dintre dou¼a puncte dinplan si din spatiu. Intr-adev¼ar dac¼a n = 2 atunci

d (x; y) =

q(x1 � y1)2 + (x2 � y2)2;

iar dac¼a n = 3 atunci

d (x; y) =

q(x1 � y1)2 + (x2 � y2)2 + (x3 � y3)2:

Notiunile de limit¼a si continuitate se pot introduce în orice spatiu metric.Incele ce urmeaz¼a vom considera spatiul Rn înzestrat cu metrica euclidian¼a.Fie a = (a1; a2; :::; an) 2 Rn si r > 0:Se numeste bila deschis¼a cu centrul în a si raza r multimea B (a; r) =

fx 2 Rn; d (x; a) < rgPentru n = 1 respectiv n = 2 adic¼a în R, respectiv în R2 bilele deschise sunt

intervale deschise centrate în a1 de forma (a1 � r; a1 + r) ; respectiv discurideschise cu centrul în a = (a1; a2) :

� Spunem c¼a multimea V � Rn este o vecin¼atate a punctului a 2 Rndac¼a exist¼a o bil¼a deschis¼a cu centrul în a inclus¼a în multimea V , adic¼aB (a; r) � V:Not¼am cu V (a) = fV � Rn jV vecin¼atate a lui ag multimea vecin¼at¼atilorpunctului a:Din de�nitie rezult¼a c¼a orice bil¼a deschis¼a cu centrul în a 2 Rneste o vecin¼atate a lui a.

� Spunem c¼a a 2 Rn este punct interior multimii A � Rn dac¼a 9V 2V (a) astfel ca V � A: intA = fa ja punct interior lui Ag - reprezintãmultimea punctelor interioare multimii A:

� O multime A � Rn care contine numai puncte interioare se numestemultime deschis¼a.

27

� a 2 Rn este punct de acumulare al multimii A � Rn dac¼a oricevecin¼atate V a lui a contine cel putin un punct din multimea A;diferit dea, adic¼a 8V 2 V (a) ; (V n fag) \A 6= ;� A0 = fa 2 Rn ja punct de acumulare pentru ag - reprezint¼a multimeapunctelor de acumulare a multimii A: Din de�nitie rezult¼a c¼a punctul apoate sau nu s¼a apartin¼a multimii A.

� a 2 A este punct izolat al multimii A � Rn dac¼a exist¼a o vecin¼atate Va lui a astfel încât V \A = fag

1.2. Limite si continuitate pentru functii reale de mai multe vari-abileFie A � Rn: Aplicatia

f : A �! R; astfel ca A 3 x = (x1; :::; xn) �! f (x) = f (x1; x2; :::; xn) 2 R

se numeste functie real¼a de n variabile reale.Dac¼a V este venitul unei societ¼ati comerciale, x num¼arul de ore de munc¼a

productiv¼a prestat¼a, y fondurile �xe angajate în productie atunci

V (x; y) = kx�y� ; k; �; � constante pozitive

(functie de productie de tip Cobb-Douglas) este o functie real¼a de 2 variabilereale.

Dac¼a A = [0;1)� [0;1)� [0;1) � R3 atunci functia

f : A �! R; f (x) = f (x1; x2; x3) = x1 x2 x3

(functie real¼a de trei variabile reale) reprezint¼a productia unei intreprinderidac¼a x1 este productivitatea muncii, x2 num¼arul de muncitori, x3 timpul demunc¼a.

Fie A � Rn (n � 1) o multime nevid¼a, a un punct de acumulare al multimiiA, a 2 A0si f : A �! RSpunem c¼a f are limita l 2 R când x tinde c¼atre a si scriem l =

limx!a

f (x) (sau f (x) �!x!a

l) dac¼a 8 " > 0; 9 �" > 0 astfel încât pentru orice

x 2 A n fag cu proprietatea d(x; a) < �" s¼a avem jf (x)� lj < ":

� Limita l = limx�!a

f (x) se numeste limita global¼a a functiei f când x tindec¼atre a; se noteaz¼a prin

l = limx1�!a1x2�!a2::::::::::xn!an

f (x1; x2; :::; xn)

si se citeste limita functiei f când x1 ! a1; x2 ! a2; :::; xn ! an simultansi independent.

28

In cele ce urmeaz¼a, mention¼am câteva propriet¼ati ale limitelor de functii dela Rn la R;propriet¼ati analoage celor ale functiilor reale de o variabil¼a real¼a.Fie n � 2; A � Rn, o multime nevid¼a, a 2 A0; l1; l2 2 R si f; g : A �! R:Dac¼a f are limit¼a atunci când x tinde c¼atre a, atunci limita este unic¼a.Dac¼a lim

x�!af (x) = l1 atunci exist¼a V 2 V (a) astfel încât f este m¼arginit¼a

pe V \A:Dac¼a lim

x�!af (x) = l1 si lim

x�!ag (x) = l2 atunci

limx�!a

(f (x) + g (x)) = l1 + l2; limx�!a

(f g) (x) = l1l2

iar dac¼a l2 6= 0 sif (x)

g (x)are sens pe o vecin¼atate a lui a atunci avem si

limx�!a

f (x)

g (x)=l1l2:

(criteriul major¼arii) Fie ' : A �! R. Dac¼a exist¼a V 2 V (a) astfel încât

a) ' (x) � 0; 8x 2 V \A

b) jf (x)� l1j � ' (x) ;8x 2 V \A

c) limx�!a

' (x) = 0

atunci exist¼a limita functiei f când x tinde la a si limx�!a

f (x) = l1:

In continuare vom studia câteva propriet¼ati relative la continuitatea functi-ilor de�nite pe Rn cu valori în R:Fie A � Rn o multime nevid¼a a 2 A si f : A �! R. Functia f se numeste

continu¼a (sau global continu¼a) în a 2 A dac¼a pentru orice " > 0 exist¼a� > 0 astfel încât pentru orice x 2 A cu d(x; a) < �" avem c¼a jf (x)� f (a)j <":Functia f este continu¼a (sau global continu¼a) pe multimea nevid¼a B � Adac¼a f este continu¼a în orice punct a 2 B:Dac¼a a 2 A este un punct izolat al multimii A atunci f este continu¼a în a.

Dac¼a a 2 A\A0 atunci f este continu¼a în a dac¼a si numai dac¼a limx!a

f (x) = f (a) :

1.3. Derivate partiale, diferentiabilitate si diferential¼a pentrufunctiile reale de mai multe variabile realeSpunem c¼a multimea D � Rn este un domeniu dac¼a este deschis¼a si conex¼a

(format¼a dintr-o singur¼a �bucat¼a�adic¼a nu se poate scrie ca reuniune disjunct¼ade dou¼a multimi deschise si nevide).Mention¼am c¼a dac¼a D � Rn este un domeniu, atunci D nu are puncte izolate

si prin urmare orice punct a 2 D este punct de acumulare pentru multimea D(a 2 D0) :Fie D � Rn (n � 2) un domeniu, a = (a1; :::; an) 2 D si f : D �! R. Fie

i = f1; :::; ng

29

Spunem c¼a f este derivabil¼a partial în raport cu variabila xi în punctula dac¼a

limxi!ai

f(a1;a2;:::;ai�1;xi;ai+1;:::;an)�f(a1;a2;:::;an)xi�ai ; exist¼a si este �nit¼a.

Not¼am aceast¼a limit¼a (dac¼a exist¼a) cu @f@xi

(a) sau f 0xi (a) :

Spunem c¼a f este derivabil¼a partial în raport cu xi pe D dac¼a estederivabil¼a partial în raport cu xi în orice punct a 2 D: Dac¼a f este derivabil¼apartial în raport cu xi pe D atunci se poate vorbi de functia partiala a lui f înraport cu variabila xi notat¼a

@f@xi

si anume@f@xi

: D �! R, x 7�! @f@xi

(x)In cazul n = 2 se noteaz¼a cu (x; y), în loc de (x1; x2) punctul curent din

R2;iar în R3 se noteaz¼a cu (x; y; z) în loc de (x1; x2; x3) : Asadar, o functie dedou¼a variabile f : D �! R, D domeniu, D � R2 este derivabil¼a partial înraport cu x, respectiv cu y în punctul a = (a1; a2) 2 D; dac¼a exist¼a si este �nit¼aurm¼atoare limit¼a

@f@x (a) = lim

x!a1

f(x;a2)�f(a1;a2)x�a1 , respectiv @f

@y (a) = limy!a2

f(a1;y)�f(a1;a2)y�a2 :

Pentru functii elementare (polinoame, functiile rationale, trigonometrice, ex-ponential¼a, logaritmic¼a si compuneri ale acestora, etc.) @f

@x = f 0x se calculeaz¼a

derivând f uzual în raport cu x, considerând y ca parametru, iar @f@y = f 0

y secalculeaz¼a derivând f în raport cu y si considerând x ca parametru.

1) Fie f (x; y) = x2 + xy si a = (5;�3) ; D = R2. In acest caz

@f@x (a) = lim

x!5

f(x;�3)�f(5;�3)x�5 = lim

x!5

x2�3x�10x�5 = lim

x!5

(x�5) (x+2)x�5 = 7

@f@y (a) = lim

y!�3f(5;y)�f(5;�3)

y+3 = limy!�3

5y+15y+3 = 5:

In punctul curent avem @f@x (x; y) = 2x+ y si

@f@y (x; y) = x si dac¼a înlocuim

x = 5; y = �3 reg¼asim valorile anterioare.

2) Dac¼a f (x; y; z) = x2 + sin yz; D = R3; atunci avem

@f@x : R

3 �! R, @f@x (x; y; z) = 2x;

@f@y : R

3 �! R, @f@y (x; y; z) = z cos yz;@f@z : R

3 �! R, (x; y; z) = y cos yz:

3) f : D �! R D = fx 2 Rn jx1 > 0; x2 > 0; :::; xn > 0g

f (x1; :::; xn) = x21 + x

22 + :::+ x

2n�1 +

xnx1: In acest caz derivând în raport cu

câte o variabil¼a si considerând celelalte n� 1 ca parametrii, obtinem@f@x1

(x) = 2x1 � xnx21; @f

@x2(x) = 2x2; :::;

@f@xn�1

(x) = 2xn�1;@f@xn

(x) = 1x1:

Functia f se numeste de clas¼a C1pe D si se noteaz¼a f 2 C1 (D) dac¼a f estederivabil¼a partial peD în raport cu toate variabilele si plus, functiile @f

@x1; :::; @f@xn

sunt continue pe D:

Fie f : R2 �! R, f (x; y) =� xy

x2+y2 ; (x; y) 2 R2 n f(0; 0)g0; (x; y) = (0; 0)

:

Atunci f nu este continu¼a în (0; 0) dar f admite derivate partiale în punctul(0; 0) :

30

Intr-adev¼ar:@f@x (0; 0) = lim

x!0

f(x;0)�f(0;0)x = 0 @f

@y (0; 0) = limy!0

f(0;y)�f(0;0)y = 0:

Fie D domeniu, D � Rn; a 2 D si f : D �! R. Spunem c¼a f estediferentiabil¼a în punctul a dac¼a exist¼a �1; �2; :::; �n 2 R si o functie ! :D �! R cu lim

x!a! (x) = ! (a) = 0 (deci ! continu¼a si nul¼a în a) astfel încât s¼a

avem

f (x)� f (a) =nPi=1

�i (xi � ai) + ! (x) d(x; a); 8x 2 D:

Spunem c¼a f este diferentiabil¼a pe A � D dac¼a este diferentiabil¼a în oricepunct din A.Fie D domeniu, D � Rn; a 2 D si f : D �! R. Dac¼a f este diferentiabil¼a

în a atunci f este continu¼a în a:In continuare vom studia leg¼atura între diferentiabilitatea unei functii într-

un punct si existenta derivatelor partiale în acel punct.Fie D domeniu, D � Rn; a 2 D si f : D �! R. Dac¼a f este diferentiabil¼a

în a atunci f admite derivate partiale în a si @f@xi

(a) = �i pentru orice i = 1; n:

� Rezultatul precedent implic¼a faptul c¼a relatia de de�nitie a diferentiabilit¼atiidevine:

f (x)� f (a) =nPi=1

@f@xi

(a) (xi � ai) + ! (x) d(x; a); 8x 2 D:

Concret, când e nevoie s¼a studiem diferentiabilitatea unei functii într-unpunct este necesar s¼a avem cunoscute conditii su�ciente de diferentiabilitate.Urm¼atorul rezultat rezolv¼a aceast¼a problem¼a.Fie D domeniu, D � Rn; a 2 D si f : D �! R. Dac¼a exist¼a V vecin¼atate

a punctului a astfel încât f are derivate partiale pe V \D si dac¼a acestea suntcontinue în a atunci f este diferentiabil¼a în a.

� Dac¼a f admite derivate partiale continue pe D atunci f este diferentiabil¼a peD:

� Rezultatul precedent prezint¼a conditii su�ciente de diferentiabilitate nusi necesare.

Fie D � Rn; un domeniu a 2 D si f : D �! R o functie diferentiabil¼a îna: Se numeste diferential¼a a functiei f în punctul a notat¼a df(a); aplicatia

df(a) : Rn �! R ; df(a) (h) =nPi=1

@f@xi

(a)hi:

� Fie D � Rn;un domeniu a 2 D si f : D �! R o functie diferentiabil¼a în a:Atunci exist¼a ! : D �! R, ! continu¼a si nul¼a în a astfel încât 8x 2 Davem f (x)� f (a) =

nPi=1

@f@xi

(a) (xi � ai) + ! (x) d(x; a):

xi � ai se numeste cresterea celui de-al i-lea argument a lui f�i = 1; n

�x � a = (x1 � a1; x2 � a2; :::; xn � an) se numeste sistem de cresteri ale ar-

gumentelor lui f:

31

f (x) � f (a) se numeste cresterea functiei corespunz¼atoare sistemului decresteri x� a ale argumentelor.Pentru x su�cient de apropiat de a (adic¼a pentru kx� ak su�cient de mic¼a

astfel încât cantitatea ! (x) kx� ak poate � neglijat¼a) avem evident f (x) �f (a) � df(a) (x� a) adic¼a df(a) aproximeaz¼a cresterea (sau descresterea) functieif în a corespunz¼atoare unui sistem x�a de cresteri ale argumentelor (deci cândse trece de la punctul x la punctul a).

� Consider¼am functiile 'i : Rn �! R, 'i (x1; x2; :::; xn) = xi; 1 � i � n:

Avem: @'i@xj

(x) =

�1; j = i;

�i; j = 1; n

�0; j 6= i; pentru orice x 2 Rn, deci

functiile 'i admit derivate partiale continue pe Rn si prin urmare sunt difer-

entiabile în orice punct a 2 Rn si d 'i(a) (x� a) =nPj=1

@'i(a)@xj

(xj � aj) = xi � ai

, i = 1; n:Pentru simpli�carea notatiilor vom nota d 'i(a) = dxi;

Cu aceasta putem scrie df(a) (x� a) =nPj=1

@f@xi

(a) dxi:

Adesea dx1; dx2; :::; dxn se identi�c¼a cu cresterile argumentelor si deci avem

df(a) (dx1; dx2; :::; dxn) =nPi=1

@f@xi

(a) dxi:

� Interpretând produsul simbolic @@xif (a) ca �ind derivata partial¼a a lui f în

raport cu xi în punctul a�i = 1; n

�se obtine

df(a) =�

@@x1dx1 +

@@x2dx2 + :::+

@@xn

dxn

�f (a) ; a 2 D:

Putem considera astfel operatorul de diferentiered = @

@x1dx1 +

@@x2dx2 + :::+

@@xn

dxn:

1.4. Derivate partiale de ordin superior. Diferentiale de ordinsuperior1.4.1. Derivate partiale de ordin superiorFie D domeniu, D � Rn; a 2 D si f : D �! R o functie ce admite derivate

partiale pe D .Dac¼a derivata @f

@xi: D �! R i = 1; n; este derivabil¼a în raport cu variabila

xj ; j = 1; n în punctul a 2 D, numim derivat¼a partial¼a de ordinul al doilea înpunctul a a functiei f în raport cu variabilele xi; xj (în aceast¼a ordine) num¼arul

@2f@xi@xj

(a) = @@xj

�@f@xi

�(a) ;

Dac¼a i 6= j; i; j 2 f1; :::; ng atunci derivata @2f@xi@xj

(a)not= f 00

xixj (a) se nu-meste derivata mixt¼a în raport cu variabilele xi si xj :

Dac¼a i = j 2 f1; :::; ng atunci vom folosi una dintre notatiile @2f@x2i

(a) =

f 00x2i(a) :

32

In general o functie de n variabile reale f are n derivate partiale de ordinîntâi si n2 derivate partiale de ordinul doi.S¼a calcul¼am derivatele partiale de ordinul întâi si doi pentru functia f :

R2 �! R f (x; y) = ln�x2 + y2 + 1

�@f@x (x; y) = f

0x (x; y) =

2xx2+y2+1 ;

@f@ y (x; y) = f

0y (x; y) =

2yx2+y2+1 :

@2f@x2 (x; y) =

�2x

x2+y2+1

�0x=

2(x2+y2+1)�2x 2x(x2+y2+1)2

=2(�x2+y2+1)(x2+y2+1)2

:

@2f@x@y (x; y) =

�2x

x2+y2+1

�0y= 2x

�� 2y(x2+y2+1)2

�= � 4xy

(x2+y2+1)2:

@2f@y2 (x; y) =

�2y

x2+y2+1

�0y=

2(x2�y2+1)(x2+y2+1)2

:

Se observ¼a c¼a f 00xy (x; y) = f

00yx (x; y). In general, aceste derivate partiale de

ordinul al doilea nu sunt egale. Urm¼atorul criteriu stabileste conditii su�cientepentru ca derivatele partiale mixte s¼a �e egale.(Schwarz). Dac¼a functia f : D �! R , D domeniu, D � Rn , are derivate

partiale de ordinul doi mixte @2f@xi@xj

si @2f@xj@xi

; i; j 2 f1; :::; ng ; i 6= j; într-o vecin¼atate V a punctului a 2 D si dac¼a aceste functii derivate partiale deordinul doi mixte @2f

@xi@xjsi @2f

@xj@xisunt continue în a atunci are loc egalitatea:

@2f@xi@xj

(a) = @2f@xj@xi

(a) :

Pentru simpli�carea notatiilor vom face demonstratia doar în cazul n = 2:Fie (a; b) 2 D � R2:Alegem un punct (x; y) 2 V \Dnf(a; b)g astfel încât dreptunghiul cu vârfurile

opuse (x; y) si (a; b) s¼a �e continut în V \D:Consider¼am functia R : V \D �! R; R (x; y) = f(x;y)�f(x;b)�f(a;y)+f(a;b)

(x�a) (y�b) :

Fie g (t) = f(t;y)�f(t;b)y�b unde t 2 [a; x] sau t 2 [x; a] dup¼a cum a < x sau

a > x:Deoarece g (x) = f(x;y)�f(x;b)

y�b ; g (a) = f(a;y)�f(a;b)y�b rezult¼a c¼a R (x; y) =

g(x)�g(a)x�a :Aplicând teorema lui Lagrange functiei g rezult¼a c¼a exist¼a � între a si x astfel

încât R (x; y) = g(x)�g(a)x�a = g0 (�) :

Pe de alt¼a parte observ¼am c¼a ipotezele din enunt asigur¼a faptul c¼a functia geste derivabil¼a pe (a; x) (respectiv (x; a)) si astfel egalitatea precedent¼a devine:

R (x; y) = g(x)�g(a)x�a = g0 (�) = 1

y�b

�@f@x (�; y)�

@f@x (�; b)

�:

Aplicând din nou teorema lui Lagrange în raport cu variabila y, obtinem c¼aexist¼a � între b si y astfel încât:

R (x; y) = 1y�b

�@f@x (�; y)�

@f@x (�; b)

�= @2f

@x @y (�; �) :

In mod analog, considerând functia h (s) = f(x;s)�f(a;s)x�a ; unde s 2 [b; y] sau

s 2 [y; b] dup¼a cum b < y sau b > y; deducem c¼a exist¼a �1 între b si y si �1 întrea si x astfel încât R (x; y) = @2f

@y @x (�1; �1) :

In concluzie @2f@x @y (�; �) =

@2f@x @y (�1; �1) unde �; �1 se g¼asesc între a si x

iar �; �1 se g¼asesc între b si y.

33

Folosind continuitatea functiilor derivate partiale de ordinul doi mixte înpunctul (a; b), obtinem prin trecere la limit¼a cu x ! a si y ! b (ceea ceimplic¼a faptul c¼a �; �1 ! a si �; �1 ! b) egalitatea @2f

@x @y (a; b) =@2f@y @x (a; b) ;

deci teorema este demonstrat¼a.Dac¼a functia f : D �! R, D � Rn are derivate partiale de ordinul doi mixte

@2f@xi@xj

si @2f@xj@xi

; i; j 2 f1; :::; ng ; i 6= j; pe D si sunt functii continue pe Datunci ele sunt egale pe D adic¼a

@2f

@xi@xj(x) =

@2f

@xj@xi(x) ; x 2 D:

Conditia de continuitate a derivatelor mixte este esential¼a.De exemplu, �ef : R2 �! R,

f (x; y) =

(xy x

2�y2x2+y2 ; dac¼a (x; y) 6= (0; 0)0; dac¼a (x; y) = (0; 0)

:Functia f este derivabil¼a în raport cu x si y pe R2 si anume

@f

@x(x; y) =

�3x2y � y3

� �x2 + y2

�� 2x2y

�x2 � y2

�(x2 + y2)

2 =y�x4 � y4

�+ 4x2y3

(x2 + y2)2

pentru (x; y) 6= (0; 0) ;

@f

@y(x; y) =

�x3 � 3xy2

� �x2 + y2

�� 2xy2

�x2 � y2

�(x2 + y2)

2 =x�x4 � y4

�� 4x3y2

(x2 + y2)2

pentru (x; y) 6= (0; 0) ;iar

@f

@x(0; 0) = lim

x!0

f (x; 0)� f (0; 0)x

= 0

@f

@y(0; 0) = lim

y!0

f (0; y)� f (0; 0)y

= 0:

De asemenea exist¼a, peste tot, derivatele de ordinul al doilea, îns¼a

@2f

@x @y(0; 0) = lim

y!0

@f@x (0; y)�

@f@x (0; 0)

y= lim

y!0

�y5y4

y= �1

@2f

@y @x(0; 0) = lim

x!0

@f@y (x; 0)�

@f@y (0; 0)

x= lim

y!0

x5

x4

x= 1

deci@2f

@x @y(0; 0) 6= @2f

@y @x(0; 0) :

Aceasta se întâmpl¼a din cauz¼a c¼a derivatele mixte nu sunt functii continue.

34

Fie D domeniu, D � Rn; si f : D �! R o functie ce admite derivate partialede ordinul doi pe D . Atunci putem studia existenta derivatelor partiale deordinul 3.Dac¼a derivata @2f

@xi@xj: D �! R ( i; j 2 f1; :::; ng) este derivabil¼a în raport

cu xk (k 2 f1; :::; ng) în punctul a 2 D, numim derivat¼a partial¼a de ordinul altreilea în punctul a a functiei f în raport cu variabilele xi; xj ; xk (în aceast¼aordine) num¼arul

@3f

@xi@xj@xk(a)

not= f 000

xixjxk(a) =

@

@xk

�@2f

@xi@xj

�(a) :

Dac¼a cel putin doi indici dintre i; j; k sunt diferiti derivata se va numi mixt¼a. Incaz contrar, adic¼a i = j = k; se obtine derivata de ordinul 3 în raport cu aceiasivariabil¼a xi

�i = 1; n

�; @3f

@x3i(a) = f 000

x3i(a) :

In mod analog se pot de�ni derivate partiale de ordin mai mare ca trei.Concluzia Teoremei lui Schwarz r¼amâne adev¼arat¼a si pentru derivatele partiale

mixte de ordin mai mare ca doi. De fapt, în ipoteza continuit¼atii acelor functiiderivate mixte de ordin superior, important¼a este nu ordinea în care se facederivarea ci variabilele în raport cu care se face derivarea si de câte ori se de-riveaz¼a în raport cu o variabil¼a. De exemplu avem c¼a @3f

@x2@y =@3f

@x@y@x =@3f@y@x2 :

Fie functia f : R� (0;1) �! R dat¼a de f (x; y) = x ln yDerivatele partiale distincte de ordinul doi, trei se calculeaz¼a astfel:Calcul¼am mai întâi derivatele partiale de ordinul întâi@f(x;y)@x = (x ln y)

0x = ln y;

@f@y (x; y) = (x ln y)

0y =

xy

Calcul¼am derivatele partiale de ordinul doi distincte@2f(x;y)@x2 = @

@x

�@f@x (x; y)

�= @

@x (ln y) = 0

@2f(x;y)@x @y = @

@y

�@f@x (x; y)

�= @

@y (ln y) =1y =

@2f(x;y)@y @x

@2f(x;y)@y2 = @

@y

�@f@y (x; y)

�= @

@y

�xy

�= � x

y2 :

Calcul¼am derivatele partiale de ordinul trei distincte@3f@x3 (x; y) =

@@x

�@2f@x2 (x; y)

�= @

@x (0) = 0

@3f@x2 @y (x; y) =

@3f@x@y@x (x; y) =

@3f@y@x2 (x; y) =

@@y

�@2f@x2 (x; y)

�= @

@y (0) = 0

@3f@x @y2 (x; y) =

@3f@y@x@y (x; y) =

@3f@y2@x (x; y) =

@@x

�@2f@y2 (x; y)

�= @

@x

�� xy2

�=

� 1y2

@3f@y3 (x; y) =

@@y

�@2f@y2 (x; y)

�= @

@y

�� xy2

�= 2x

y3 :

1.4.2. Diferentiale de ordin superiorIn paragraful 1.3. a fost introdus¼a notiunea de diferential¼a a unei functii în

punctul a, notat¼a df(a):

Aceasta este dat¼a de df(a) : Rn �! R, df(a) (h) =nPi=1

@f@xi

(a)hi

35

sau dac¼a not¼am cu dx = (dx1; dx2; :::; dxm) cresterile argumentelor atunci

df(a) (dx) =nXi=1

@f

@xi(a) dxi:

De asemenea, am introdus operatorul de diferentiere

d =@

@x1dx1 +

@

@x2dx2 + :::+

@

@xndxn

cu ajutorul c¼aruia se poate scrie

df(a) =

�@

@x1dx1 +

@

@x2dx2 + :::+

@

@xndxn

�f (a) :

Fie D domeniu, D � Rn; a 2 D si f : D �! R

1) Spunem c¼a f este de dou¼a ori diferentiabil¼a în punctul a sau c¼a arediferentiabil¼a de ordinul doi în a dac¼a f admite derivate partiale în raportcu toate variabilele pe o vecin¼atate V a lui a si functiile derivate partiale@f@xi

; i 2 1; :::; n; (considerate pe V \D) sunt diferentiabile în a.

In general

2) Spunem c¼a functia f este diferentiabil¼a de k ori în punctul a, sau c¼aare diferential¼a de ordinul k în a dac¼a toate derivatele partiale de ordinulk� 1 ale lui f exist¼a într-o vecin¼atate V a lui a si sunt diferentiabile în a.

3) Spunem c¼a functia f este diferentiabil¼a de k ori pe domeniul D dac¼a estediferentiabil¼a de k ori în �ecare punct din D:

Prezent¼am în continuare (f¼ar¼a demonstratie) un rezultat care ne d¼a conditiisu�ciente pentru ca o functie s¼a �e de k ori diferentiabil¼a într-un punct.Fie D domeniu, D � Rn; a 2 D si f : D �! R.Dac¼a f are într-o vecin¼atate V a lui a toate derivatele partiale de ordinul k

si dac¼a aceste functii derivate partiale sunt continue în a, atunci f este difer-entiabil¼a de k ori în a:Diferentiala de ordinul k în punctul a se de�neste prin egalitatea

dkf(a) (dx) =h@@x1dx1 +

@@x2dx2 + :::+

@@xn

dxn

i(k)f (a) ;

unde dx = (dx1; dx2; :::; dxm) iar (k) reprezint¼a puterea simbolic¼a-formal¼a,dup¼a care se dezvolt¼a suma din parantez¼a si apoi se înmulteste formal cu f (a) :Utilizând ridicarea la puterea simbolic¼a se obtine expresia:

dkf(a) (dx) =X

k1+k2+:::+kn=k

k!

k1!; k2!; :::; kn!

@kf (a)

@xk11 :::@xknn

dxk11 dxk22 :::dx

knn :

Operatorul de diferentiere de ordinul k este

36

dk =

�@

@x1dx1 +

@

@x2dx2 + :::+

@

@xndxn

�(k)care este (formal) puterea de ordinul k a operatorului de diferentiere de

ordinul întâi.Pentru o mai bun¼a întelegere a puterii simbolice vom prezenta în continuare

expresia detaliat¼a a diferentialelor de ordinul doi si trei pentru o functie dedou¼a variabile realeDac¼a f : D �! R, D � R2; a = (a1; a2) si dac¼a f este o functie de trei ori

diferentiabil¼a în a atunci

d2f(a1;a2) (dx; dy) =@2f

@x2(a) dx2 + 2

@2f

@x@y(a) dx dy +

@2f

@y2(a) dx dy;

respectiv

d3f(a1;a2) (dx; dy) =@3f

@x3(a) dx3 + 3

@2f

@x2@y(a) dx2dy +

+3@2f

@x@y2(a) dxdy2 +

@3f

@y3(a) dy3:

Scriem diferentialele de ordinul unu, doi si trei pentru functia:f : R� (0;1) �! R prezentat¼a în exemplul 2.4.2.Diferentiala de ordinul unu este

df(a1;a2) (dx; dy) =@f

@x(a1; a2) dx+

@f

@y(a1; a2) dy =

= ln a2dx+a1a2dy:

Diferentiala de ordinul doi este

d2f(a1;a2) (dx; dy) =@2f

@x2(a1; a2) dx

2 + 2@2f

@x @y(a1; a2) dx dy +

+@2f

@y2(a1; a2) dy

2 =2

a2dx dy � a1

a22dy2:

Diferentiala de ordinul trei va �

d2f(a1;a2) (dx; dy) = �3

a22dx dy2 +

2a1a32dy3:

1.5. Extreme pentru functii de mai multe variabile1.5.1. Notiunea de punct de extrem

37

Asa cum pentru functiile de o singur¼a variabil¼a si pentru functiile de maimulte variabile se pune problema, atât teoretic cât si prin prisma aplicatiilor,determin¼arii punctelor de extrem. Derivatele partiale vor juca un rol importantîn aceast¼a determinare, cu ajutorul lor vor � stabilite conditiile necesare si celesu�ciente ca un punct din domeniul de de�nitie al functiei s¼a �e punct de extrem.Fie functia de m variabile f : D ! R, D � Rm.De�nitia 1.5.1. Spunem c¼a punctul a = (a1; a2; : : : ; am) 2 D este punct

de maxim local pentru functia f dac¼a exist¼a o vecin¼atate V (a) a lui a astfelîncât f(x) � f(a) pentru orice x = (x1; x2; : : : ; xm) 2 D \ V (a). Spunem c¼apunctul a 2 D este punct de minim local dac¼a exist¼a o vecin¼atate V (a) a luia astfel încât f(x) � f(a) pentru orice x 2 D \ V (a).Punctele de maxim local respectiv de minim local le numim puncte de ex-

trem local.Observatie. Când inegalit¼atile din De�nitia 1.5.1 sunt îndeplinite pentru

orice x 2 D vom avea puncte de extrem global.De�nitia 1.5.2. Spunem c¼a punctul interior a = (a1; a2; : : : ; am) 2 D este

punct stationar al functiei f : D ! R, D � Rm, dac¼a exist¼a derivatele partiale@ f(a)@xk

, k = 1;m, si @ fk(a)@xk

= 0, pentru k = 1;m.1.5.2. Conditii necesare pentru existenta extremelor localeDin de�nitia punctului de extrem local se constat¼a c¼a diferenta f(x)� f(a)

trebuie s¼a-si p¼astreze semnul pe o întreag¼a vecin¼atate a punctului a asa încâtacesta s¼a �e punct de extrem. A stabili acest semn se dovedeste adesea a � oproblem¼a di�cil¼a. Dar în cazul functiilor care admit derivate partiale se obtinniste conditii necesare de extrem exprimabile foarte simplu. Are locTeorema 1.5.1. Fie f : D ! R, D � Rm, o functie de m variabile care are

punctul interior a = (a1; a2; : : : ; am) 2 D punct de extrem local. Dac¼a exist¼aderivatele partiale @f(a)

@ xk, k = 1;m, atunci

@f (a)@ xk

=0, k=1;m.Observatie. Relatiile precedente constituie conditiile necesare ca un punct

interior a 2 D s¼a �e punct de extrem pentru functia f care are derivate partialede ordinul întâi. În fond se constat¼a c¼a punctele de extrem local (interioare) sea�¼a printre punctele stationare.1.5.3. Conditii su�ciente pentru existenta extremelor localeConsider¼am functia de m variabile f : D ! R, D � Rm, care are derivatele

partiale pân¼a la ordinul doi continue într-o vecin¼atate V (a) a punctului stationara = (a1; a2; : : : ; am). Atunci formula lui Taylor, pentru k = 2 si x 2 D \ V (a),este f(x) = f(x1; x2; : : : ; xm) = f(a) + df(a)(dx) + d

2f(a)(dx) +R2:Dar, cum a este punct stationar, rezult¼a c¼a df(a)(dx) = 0, si în consecint¼a

putem scrief(x)� f(a) = d2f(a)(dx) +R2:

Are loc urm¼atorul rezultat care evidentiaz¼a conditiile su�ciente pentru exis-tenta extremelor localeTeorema 1.5.2. Fie f : D ! R, D � Rm o functie de m variabile care

are derivatele partiale pân¼a la ordinul doi continue într-o vecin¼atate V (a) apunctului stationar a = (a1; a2; : : : ; am) 2 D. Dac¼a:

38

d2f(a)(dx) > 0 atunci a este un punct de minim local;d2f(a)(dx) < 0 atunci a este un punct de maxim local.Observatii. 1. Inegalit¼atile d2f(a)(dx) < 0 respectiv d2f(a)(dx) > 0 arat¼a

c¼a forma p¼atratic¼a d2f(a)(dx) este negativ de�nit¼a respectiv pozitiv de�nit¼a siconstituie conditiile su�ciente de extrem. Când forma p¼atratic¼a d2f(a)(dx) estenede�nit¼a punctul stationar a nu este punct de extrem.2. Dac¼a forma p¼atratic¼a d2f(a)(dx) este semipozitiv de�nit¼a sau semine-

gativ de�nit¼a problema privind natura punctului stationar r¼amâne deschis¼a.Adic¼a sunt cazuri când a este punct de extrem f¼ar¼a ca d2f(a)(dx) s¼a �e de�nit¼a,respectiv sunt cazuri când a nu este punct de extrem f¼ar¼a ca d2f(a)(dx) s¼a �enede�nit¼a.3. Sintetizând toate cele spuse pân¼a acum putem preciza etapele ce trebuie

parcurse pentru a g¼asi punctele de extrem locale interioare.1� Se determin¼a punctele stationare ale functiei f .2� Se calculeaz¼a derivatele partiale de ordinul doi în �ecare punct stationar a

si se determin¼a natura formei p¼atratice d2f(a) (dx). În raport cu natura acesteiase precizeaz¼a tipul punctului stationar a.3� Dac¼a a este punct de extrem local se calculeaz¼a valoarea extrem¼a pentru

functia f .1.6. Ajustarea datelor experimentaleS¼a presupunem c¼a legile teoretice care guverneaz¼a procesul în care apar cele

dou¼a m¼arimi m¼asurabile ne asigur¼a c¼a dependenta dintre aceste dou¼a m¼arimieste descris¼a de relatia y = f(x), unde f 2 F , unde F este o clas¼a precizat¼a defunctii reale de o variabil¼a real¼a. Se pune atunci problema determin¼arii aceleifunctii f din clasa F care d¼a cât mai bine dependenta lui y de x în procesulconcret respectiv.S¼a admitem c¼a n observatii experimentale asupra procesului respectiv dau

pentru x si y valorile din tabelul urm¼ator:x x1 x2 � � � xny y1 y2 � � � yn

Problema pus¼a revine la determinarea functiei f din clasa F ale c¼arei valoriîn punctele x1; x2; : : : ; xn s¼a "se apropie cât mai mult" de datele determinateexperimental.O m¼asur¼a a �apropierii�functiei f de datele experimentale este

Pni=1(f(xi)�

yi)2:

Determinarea functiei f din clasa F pentru carenPi=1

(f(xi) � yi)2 are cea

mai mic¼a valoare posibil¼a va � numit¼a ajustarea datelor experimentale dintabelul

x x1 x2 � � � xny y1 y2 � � � yn

cumetoda celor mai

mici p¼atrate.În cele ce urmeaz¼a vom considera cazul când F este clasa functiilor polino-

miale de grad cel mult m în nedeterminata x, adic¼aF =

�Pm(x) =

Pmk=0 akx

kj ak 2 R; k = 0;m:

A determina functia f revine atunci la a determina coe�cientii a0; a1; : : : ; am.

39

S¼a not¼am F (a0; a1; : : : ; am) =Pn

i=1(Pm(xi)� yi)2:Problema pus¼a se reduce atunci la problema determin¼arii punctului de minim

al functiei F .Punctele stationare ale functiei F sunt solutiile sistemuluiF 0aj (a0; a1; : : : ; am) = 0; j = 0;mcare conduce la sistemul normal8>><>>:

s0a0 + s1a1 + � � �+ smam = t0s1a0 + s2a1 + � � �+ sm+1am = t1: : :sma0 + sm+1a1 + � � �+ s2mam = tm:

unde avem sumele sl =nPi=1

xli si tl =nP

i=1

xliyi:

Aceste sume pot � determinate completând tabelul urm¼atorx0i x1i x2i � � � x2mi x0i yi x1i yi � � � xmi yi1 x1 x21 x2m1 y1 x1y1 xm1 y11 x2 x22 x2m2 y2 x2y2 xm2 y2...

......

......

......

1 xn x2n x2mn yn xnyn xmn yiPs0 s1 s2 � � � s2m t0 t1 � � � tm

în care coloanele x1i si x0i yi sunt date de tabelul de date experimentale.

Fie (a0; a1; : : : ; am) solutia unic¼a a sistemului normal. Atunci punctul(a0; a1; : : : ; am) este punctul stationar unic al functiei F .Având în vedere c¼a F (a0; a1; : : : ; am) =

Pni=1(Pm(xi)� yi)2;

deci c¼a F este o sum¼a de p¼atrate, se poate ar¼ata c¼a dac¼a F are un punct deextrem �nit atunci el este punct de minim si c¼a punctul stationar (a0; a1; : : : ; am)este întotdeauna punctul de minim al functiei F .În acest fel, etapa a doua a procedeului de determinare a extremelor functiei

F nu mai trebuie parcurs¼a si deci polinomul (de grad cel mult m) care ajusteaz¼a- în sensul metodei celor mai mici p¼atrate - datele experimentale considerate estePm(x) = a0 + a1x+ a2x

2 + � � �+ amxm:Mention¼am c¼a, dac¼a m = 1, în locul expresiei "s¼a se determine polinomul

de ajustare de grad cel mult unu", se mai utilizeaz¼a expresia "s¼a se ajusteze cuo dreapt¼a", iar dac¼a m = 2, în locul expresiei "s¼a se determine polinomul deajustare de grad cel mult doi", se mai utilizeaz¼a expresia "s¼a se ajusteze cu oparabol¼a". Aceste exprim¼ari se bazeaz¼a pe faptul c¼a imaginea geometric¼a a unuipolinom de gradul întâi este o dreapt¼a, iar imaginea geometric¼a a unui polinomde gradul doi este o parabol¼a.1.7. Exercitii si probleme rezolvate1.7.1.S¼a se studieze existenta limitei functiilor de mai jos în punctele spec-

i�cate iar atunci când este cazul s¼a se calculeze aceste limite.a) f(x; y) = x2+y2

jxj+jyj ; (0; 0); b) f(x; y) = xypxy+1�1 ; (0; 0); c) f(x; y) =

x2�y2x2+y2 ; (0; 0).Rezolvare. a) Domeniul de de�nitie al functiei este D = R2 n f(0; 0)g . (0; 0)

nu apartine domeniului D dar este punct de acumulare al s¼au. Avem:

40

jf(x; y)j = x2+y2

jxj+jyj �jx2j+jy2j+2jxjjyj

jxj+jyj = (jxj+jyj)2jxj+jyj = jxj+ jyj

si cum lim(x;y)!(0;0)

(jxj+ jyj) = 0, din criteriul major¼arii, rezult¼a c¼a

l = lim(x;y)!(0;0)

f(x; y) = 0:

b) f este de�nit¼a pentru�xy + 1 � 0pxy + 1� 1 6= 0 adic¼a pe D = f(x; y) 2

R2j xy � �1; xy 6= 0gl = lim

(x;y)!(0;0)f(x; y) = lim

(x;y)!(0;0)

xypxy+1�1 =

= lim(x;y)!(0;0)

xy(pxy+1+1)xy = lim

(x;y)!(0;0)

�pxy + 1 + 1

�= 2:

c) Domeniul de de�nitie al functiei este D = R2 n f(0; 0)g.lim

(x;y)!(0;0)f(x; y) = lim x!0

y=mxf(x; y) = lim

x!0

x2�m2x2

x2+m2x2 = limx!0x2(1�m2)x2(1+m2) =

1�m2

1+m2 ;depinde de m si deci f nu are limit¼a în (0; 0).1.7.2. S¼a se cerceteze continuitatea functiei

f (x; y) =

(1�cos(x3+y3)

x2+y2 , dac¼a (x; y) 6= (0; 0)0, dac¼a (x; y) = (0; 0)

Rezolvare. f este continu¼a pe R2 n f(0; 0)g�ind o functie compusa de functiielementare. Mai r¼amâne de studiat continuitatea în punctul (0; 0). Avem:

l = lim(x;y)!(0;0)

1�cos(x3+y3)x2+y2 = lim

(x;y)!(0;0)

2 sin2�x3+y3

2

�x2+y2 =

= lim(x;y)!(0;0)

2 �sin2

�x3+y3

2

��x3+y3

2

�2 ��x3+y3

2

�2x2+y2 = 1

2 lim(x;y)!(0;0)

(x3+y3)2

x2+y2 :

Pentru a calcula limita l, aplic¼am inegalitatea Cauchy-Schwarz-Buniakowsky:(x3 + y3)2 = (x � x2 + y � y2)2 � (x2 + y2)(x4 + y4) � (x2 + y2)3Avem

0 � l � 12 lim(x;y)!(0;0)

(x2+y2)3

x2+y2 = 12 � 0 = 0 = f(0; 0)

adic¼a f este continu¼a si în origine si deci continu¼a pe tot spatiul R2.1.7.3. Folosind de�nitia s¼a se calculeze @f

@x ;@f@y în punctele precizate, pentru

functia de mai jos:f(x; y) = x2 + y2 + xy, (2; 1)

Rezolvare. @f@x (2; 1) = lim

x!2

f(x;1)�f(2;1)x�2 = lim

x!2

(x2+1+x)�(4+1+2)x�2 =

limx!2

x2+x�6x�2 = lim

x!2(x+ 3) = 5

@f@y (2; 1) = lim

y!1

f(2;y)�f(2;1)y�1 = lim

y!1

(4+y2+2y)�(4+1+2)y�1 =

limy!1

y2+2y�3y�1 = lim

y!1(y + 3) = 4

1.7.4. S¼a se calculeze derivatele partiale de ordinul întâi pentru urm¼atoarelefunctii:a) f : D ! R, f(x; y) = x2 + y2 � 3axy

41

b) f : D ! R, f(x; y) = yx

c) f : D ! R, f(x; y) = ln�x+

px2 + y2

�(D este domeniul maxim de de�nitie.)Rezolvare. a) @f@x (x; y) = (x

2 + y2 � 3axy)0x = 2x� 3ay@f@y (x; y) = (x

2 + y2 � 3axy)0y = 2y � 3axb) @f@x (x; y) =

�yx

�0x= � y

x2 si @f@y (x; y) =

�yx

�0y= 1

x

c) @f@x (x; y) =�ln�x+

px2 + y2

��0x= 1

x+px2+y2

�x+

px2 + y2

�0x= 1p

x2+y2

@f@y (x; y) =

1

x+px2+y2

�x+

px2 + y2

�0y= y�

x+px2+y2

�px2+y2

1.7.5. S¼a se scrie diferentialele de ordinele unu, doi si trei pentru functiaf(x; y) = ln(xy) cu xy > 0Rezolvare. Derivatele partiale sunt:@f(x;y)@x = 1

x ;@f(x;y)@y = 1

y@2f(x;y)@x2 = � 1

x2 ;@2f(x;y)@x@y = 0; @2f(x;y)

@y2 = � 1y2

@3f(x;y)@x3 = 2

x3 ;@3f(x;y)@x2@y = 0; @3f(x;y)

@x@y2 = 0; @3f(x;y)@y3 = 2

y3

Diferentiala de ordinul intai este: df(x;y)(dx; dy) =@f(x;y)@x dx+@f(x;y)

@y dy =1xdx+

1ydy

Diferentiala de ordinul doi este:d2f(x;y)(dx; dy) =

@2f(x;y)@x2 dx2+2@

2f(x;y)@x@y dxdy+ @2f(x;y)

@y2 dy2 = � 1x2 dx

2�1y2 dy

2

Diferentiala de ordinul trei va �:

d3f(x;y)(dx; dy) =�@@xdx+

@@ydy

�(3)f(x; y) = @3f(x;y)

@x3 dx3+3@3f(x;y)@x2@y dx

2dy+

3@3f(x;y)@x@y2 dxdy

2+

+@3f(x;y)@x3 dy3 = 2

x3 dx3 + 2

y3 dy3

1.7.6. O fabric¼a produce dou¼a tipuri de bunuri. Costul producerii acestorbunuri este dat prin functia f(x; y), unde x si y reprezint¼a cantit¼atile produsedin �ecare tip de produs. S¼a se minimizeze costul când

f(x; y) = x3 + y3 � 9xy + 100:

Rezolvare. Pentru început determin¼am punctele stationare.(@f(x;y)@x = 3x2 � 9y = 0

@f(x;y)@y = 3y2 � 9x = 0

Solutiile sistemului, adic¼a (0; 0) si (3; 3), vor �punctele stationare ale functieif . Derivatele partiale de ordinul doi vor �

@2f(x;y)@x2 = 6x; @2f(x;y)

@x@y = �9; @2f(x;y)@y2 = 6y

si deci diferentialele de ordinul doi calculate în punctele stationare vor �d2f(0;0)(dx; dy) = �18dxdy

si d2f(3;3)(dx; dy) = 18dx2 � 18dxdy + 18dy2

42

Matricea asociat¼a primei diferentiale de ordinul doi este A =�

0 �9�9 0

�Folosind aceast¼a matrice putem a�rma c¼a punctul stationar (0; 0) nu este

punct de extrem local.Matricea asociat¼a celei de-a doua diferentiale este

A =

�18 �9�9 18

�v

12L1+L2!L2

�18 �90 27

2

�v

12C1+C2!C2

�18 00 27

2

�= D:

Din forma matricei D rezult¼a c¼a forma p¼atratic¼a asociat¼a celei de-a douadiferentiale este pozitiv de�nit¼a. Deci punctul stationar (3; 3) este un punct deminim local. Valoarea minim¼a a costului este fmin = f(3; 3) = 73.1.7.7. Fie datele numerice

x �1 0 1 2y 2 1 2 11

S¼a se ajusteze aceste date numerice:a) printr-un polinom de gradul întâi (o dreapt¼a)b) printr-un polinom de gradul doi (o parabol¼a)Rezolvare. a) Avem gradul polinomului m = 1, deci pentru scrierea sistemu-

lui normal trebuie calculate sumele s0; s1; s2 si sumele t0 si t1.

x0i x1i x2i x0i yi x1i yi1 �1 1 2 �21 0 0 1 01 1 1 2 21 2 4 11 22P4 2 6 16 22

Deci s0 = 4, s1 = 2, s2 = 6, t0 = 16 si t1 = 22. Sistemul normal este:�4a0 + 2a1 = 162a0 + 6a1 = 22

Solutia unic¼a a acestui sistem este: a0 = 135 ; a1 =

145

Atunci polinomul de ajustare de grad cel mult unu este P1(x) = 135 +

145 x;iar

dreapta de ajustare este dreapta de ecuatie y = 135 +

145 x.

b) Având m = 2, pentru scrierea sistemului normal vom calcula sumeles0 = 4, s1 = 2, s2 = 6, s3 = 8, s4 = 18, t0 = 16, t1 = 22, t2 = 48.

Sistemul normal va �:

8<: 4a0 + 2a1 + 6a2 = 162a0 + 6a1 + 8a2 = 226a0 + 8a1 + 18a2 = 48

ce admite solutia unic¼a a0 = 110 ; a1 =

310 ; a2 =

2510 :Polinomul de ajustare

de grad cel mult 2 este P2(x) = 110 +

310x +

2510x

2 iar parabola de ajustare esteparabola de ecuatie: y = 0; 1 + 0; 3x+ 2; 5x2

Teme de control

43

1.8. Exercitii si probleme propuse1.8.1. S¼a se studieze existenta limitelor functiilor de mai jos în punctele

speci�cate iar atunci când este cazul s¼a se calculeze aceste limite:

a) f(x; y) =sin(x3+y3)x2+y2 ; (0; 0); b) f(x; y) = y2+x

y2�x ; (0; 0); c) f(x; y) =p1� x2 � y2;

�12 ;

12

�.

R¼aspuns. a) D = R2 n f(0; 0)g, l = 0, b) D = f(x; y) 2 R2j x 6= 0; y 6=0; x 6= y2g, nu exist¼a limita lui f ,c) D = f(x; y) 2 R2j x2 + y2 � 1g este discul cu centrul în originea axelor

de coordonate si de raz¼a 1, l =p22 .

1.8.2. S¼a se cerceteze continuitatea urm¼atoarelor functii:

f (x; y) =

(3xy2

2x2+9y4 ; dac¼a (x; y) 6= (0; 0)0; dac¼a (x; y) = (0; 0)

R¼aspuns. f continu¼a pe R2 n f(0; 0)g1.8.3. S¼a se calculeze derivatele partiale de ordinul întâi pentru urm¼atoarele

functii:a) z = f(x; y) = x�y

x+y , b) z = f(x; y) = xpx2+y2

, c) z = arctg yx

R¼aspuns. a) @z@x =

2y(x+y)2

, @z@x = � 2x

(x+y)2, b) @z

@x =y2

3p(x2+y2)2

, @z@y =

� y2

3p(x2+y2)2

;c) @z@x = �

yx2+y2 ,

@z@y =

xx2+y2 ,

1.8.4. S¼a se calculeze derivatele partiale de ordinul doi si trei pentru functiaf(x; y; z) = x2yz3

R¼aspuns. a) @2f(x;y;z)@x2 = 2yz2; @2f(x;y;z)

@y2 = 0,@2f(x;y;z)@z2 = 6x2yz; @2f(x;y;z)

@x@y =

2xz3; @2f(x;y;z)@x@z = 6xyz2; @2f(x;y;z)

@y@z = 3x2z2

@3f(x;y;z)@x3 = 0; @3f(x;y;z)

@x2@y = 2z2; @3f(x;y;z)@x2@z = 4yz; @

3f(x;y;z)@y3 = 0; @3f(x;y;z)

@y2@z =

0; @3f(x;y;z)@z3 = 6x2y

@3f(x;y;z)@x@y2 = 0; @3f(x;y;z)

@x@y@z = 4xz; @3f(x;y;z)@x@z2 = 12xyz; @

3f(x;y;z)@y@z2 = 6x2z

1.8.5. S¼a se scrie diferentialele de ordinele doi si trei pentru functia f(x; y) =x2 � xy + 2y3 + 3x� 5y + 10R¼aspuns. d2f(x;y)(dx; dy) = 2dx2�2dxdy+12ydy2; d3f(x;y)(dx; dy) = 12dy31.8.6. S¼a se determine punctele de extrem local pentru functia f(x; y) =

�2x2 + 2xy � 5y2 + 6x+ 6y, (x; y) 2 R2,R¼aspuns. fmax = f(2; 1) = 91.8.7. Se consider¼a datele numerice:

x �2 0 1 2y 48 32 9 8

S¼a se ajusteze aceste date numerice printr-o dreapt¼a si g¼asiti apoi valoarealui y în punctul x = 3.R¼aspuns. y = �10; 89x+ 26; 97; y(3) = �5; 69Rezumat modulIn acest capitol s-au prezentat de�nitii si concepte de baza legate de functiile

reale de mai multe variabile reale cum sunt: elemente de topologie ale spatiului

44

Rn, limite de functii si continuitatea lor de la Rn la R; derivate partiale sidiferentiala. Au fost prezentate notiunile de derivate partiale si derivate deordin superior, extremele functiilor de mai multe variabile (conditii necesaresi su�ciente pentru existenta extremelor locale). De asemenea s-au prezentatsi notiuni legate de ajustarea prin metoda celor mai mici patrate a datelorexperimentale.Bibliogra�e modul1. Colectiv, Elemente de algebra liniara, analiza matematica si teoria prob-


aplicate in economie, Ed. Mediamira, Cluj-Napoca, 2008

UNITATEA 2. Integrale Euler2.1. Integrala lui Euler de speta întâi. Functia betaDe�nitia 2.1. Se numeste integrala lui Euler de speta întâi integralaZ 1

0

xp�1(1� x)q�1dx;

care pentru p < 1 este o integral¼a improprie având ca punct critic pe 0 si pentruq < 1 este o integral¼a improprie având ca punct critic pe 1.Se arata ca integrala lui Euler de speta intai este convergenta pentru p > 0

si q > 0: Astfel putem de�ni o functie reala de dou¼a variabile reale B : (0;1)�(0;1)! R prin relatia

B(p; q) =

Z 1

0

xp�1(1� x)q�1dx:

Aceast¼a functie se numeste functia lui Euler de speta întâi sau functiabeta.În continuare vom da câteva propriet¼ati ale functiei beta.

(B1) B (p; 1) =1

p:

În particular, pentru p = 1 se obtine

B(1; 1) = 1:

(B2)

B

�1

2;1

2

�= �:

(B3)

B(p; q) = B(q; p):

(B4) Dac¼a p > 1 atunci

B(p; q) =p� 1

p+ q � 1B(p� 1; q):

45

Mention¼am c¼a ipoteza p > 1 este necesar¼a pentru ca p � 1 > 0 si deciB(p� 1; q) s¼a existe.Proprietatea (B4) permite micsorarea cu o unitate a primului argument al

functiei B. Ea poate �utilizat¼a succesiv atâta timp cât primul argument r¼amânepozitiv.(B5) Dac¼a q > 1 atunci

B(p; q) =q � 1

p+ q � 1B(p; q � 1):

Proprietatea (B5) permite micsorarea cu o unitate a celui de al doilea argu-ment al functiei B. Ea poate � de asemenea utilizat¼a succesiv atâta timp cât aldoilea argument r¼amâne pozitiv.Observ¼am astfel c¼a prin utilizarea convenabil¼a a propriet¼atilor (B4) si (B5)

se poate calcula B(p; q) pentru p > 1 si q > 1 dac¼a se cunoaste B(fpg; fqg),unde fxg noteaz¼a partea fractionar¼a a lui x.Exist¼a tabele cu valori ale lui B(p; q) pentru 0 < p � 1 si 0 < q � 1.Exemplu de utilizare a propriet¼atilor (B4) si (B5).Avem

B

�3

2;5

2

�=

32 � 1

32 +

52 � 1

B

�3

2� 1; 5

2

�=1

6B

�1

2;5

2

�=

=1

6

52 � 1

12 +

52 � 1

B

�1

2;5

2� 1�=1

6� 34B

�1

2;3

2

�=

=1

6� 34�

32 � 1

12 +

32 � 1

B

�1

2;3

2� 1�=1

6� 34� 12B

�1

2;1

2

�=

=1

6� 34� 12� � = 1

16�:

(B6) Dac¼a m 2 N� si n 2 N� atunci

B(m;n) =(m� 1)! (n� 1)!(m+ n� 1)! :

Astfel, de exemplu

B(5; 4) =4! � 3!8!

=1

280:

(B7) Dac¼a 0 < p < 1 atunci

B(p; 1� p) = �

sin p�:

2.2. Integrala lui Euler de speta a doua. Functia gamaDe�nitia 2.2. Se numeste integrala lui Euler de speta a doua integralaZ 1

0

xa�1e�xdx;

46

care este o integral¼a improprie (având limita superioar¼a de integrare 1) si înplus dac¼a a < 1 are punct critic si pe 0.Se arata c¼a integrala improprie

R 10xp�1e�xdx este convergent¼a dac¼a p > 0.

Acest rezultat ne permite s¼a de�nim functia real¼a de o variabil¼a real¼a � :(0;1)! R prin relatia

�(p) =

Z 1

0

xp�1e�xdx:

Aceast¼a functie se numeste functia lui Euler de speta a doua sau functiagama.În continuare vom da câteva propriet¼ati ale functiei gama.(�1) �(1) = 1.(�2) Dac¼a p > 1, atunci

�(p) = (p� 1)�(p� 1):

Mention¼am c¼a ipoteza p > 1 este necesar¼a pentru a exista �(p� 1).Proprietatea �2) permite micsorarea cu o unitate a argumentului functiei

gama. Prin utiliz¼ari succesive ale acestei propriet¼ati, calculul lui �(p) pentrup > 1 poate � redus la calculul lui �(fpg).Exist¼a tabele cu valori ale functiei gama pentru 0 < p � 1.(�3) Dac¼a m 2 N�, atunci

�(m) = (m� 1)!

Proprietatea �3) sugereaz¼a faptul c¼a functia gama este o generalizare a fac-torialului.S¼a observ¼am în continuare c¼a dac¼a în proprietatea B6) a functiei beta,

B(m;n) =(m� 1)! (n� 1)!(m+ n� 1)! ;

utiliz¼am în locul factorialului valori ale functiei gama date de proprietatea �3)obtinem

B(m;n) =� (m) � (n)

� (m+ n); 8 m;n 2 N�:

Aceast¼a relatie dintre functiile beta si gama r¼amâne adev¼arat¼a si pentruargumente reale, adic¼a are loc proprietatea

(�4) B(p; q) =� (p) � (q)

� (p+ q); 8 p > 0 si 8 q > 0;

cunoscut¼a sub denumirea de relatia lui Euler.

(�5) �

�1

2

�=p�:

2.3. Integrala Euler-PoissonDe�nitia 2.3. Integrala improprie

47

Z 1

0

e�x2

dx =1

2

p�:

se numeste integrala Euler-Poisson.Observatie. Prin calcule elementare se g¼asesc urm¼atoarele rezultateZ 1

�1e�x

2

dx =p� si

Z 1

�1e�

x2

2 dx =p2�:

2.4. Exercitii si probleme rezolvate2.4.1. S¼a se calculeze valorile functiilor lui Euler:a) � (6), b) �

�52

�, c) B (3; 5), d) B

�32 ;

12

�, e) B

�14 ;

54

�Solutie:a) � (6) = 5! = 120b) �

�52

�=�52 � 1

��52 � 1

�= 3

2��32

�= 3

2

�32 � 1

��32 � 1

�=

3212��12

�= 3

p�4

c) B (3; 5) = (3�1)!(5�1)!(3+5�1)! = 2! 4!

7! =485040 =

1105

d) B�32 ;

12

�=

�( 32 )�(12 )

�( 32+12 )

=12

p�p�

1! = �2

e) B�14 ;

74

�=

74�1

14+

74�1

B�14 ;

34

�=

34

1 B�14 ;

34

�= 3

4�

sin �4= 3

4�p22

= 3�2p2

2.4.2. Folosind integralele euleriene s¼a se calculeze integralele:a)R ba

dxp(x�a)(b�x)

, b)R12x e2�xdx, c)

R10

3px

1+x2 dx.

Solutie:a) Facem schimbarea de variabil¼a x�a

b�a = t; dx = (b� a) dt

Limitele de integrare:�x = a;) t = 0x = b;) t = 1

�

Deci,R ba

dxp(x�a)(b�x)

=R 10

(b�a)dtp(b�a)t(b�a)(1�t)

=R 10

dtpt(1�t)

=R 10t�

12 (1� t)�

12 dt = B

�12 ;

12

�= �

b) Facem schimbarea de variabil¼ax� 2 = t ) dx = dt Obtinem astfel:R12xe2�xdx =

R10(t+ 2) e�tdt =

R10te�tdt+2

R10e�tdt = � (2)+� (1) =

1! + 2 1 = 3c) Facem schimbarea de variabil¼a

x2 = t1�t ; dx =

12

�t1�t

�� 12 1(1�t)2 dtR1

0

3px

1+x2 dx =R 10

( t1�t )

16

1+ t1�t

12

�t1�t

�� 12 1(1�t)2 dt =

12

R 10t16�

12 (1� t)�

16+1+

12�2 dt

= 12

R 10t�

13 (1� t)�

23 dt = 1

2B�23 ;

13

�= 1

2B�13 ;

23

�= 1

2�

sin �3= 1

2�p32

= �p3.

Teme de control2.5. Exercitii si probleme propuse:2.5.1. S¼a se calculeze valorile functiilor lui Euler:a) � (8), b) �

�92

�, c)B (2; 2), d) B

�32 ;

32

�,

48

R¼aspuns:a) 5040, b) 105

p�

16 , c) 16 , d) �82.5.2. Folosind integralele euleriene s¼a se calculeze:a)R 10

px5 � x6dx, b)

R �2

0sin4 x cos2 x dx, c)

R10

x3dx(1+x3)2

, d)R10x2e�

x5 dx,

e)R10

3px

(1+x)4dx

R¼aspuns:a) 5�27 , b) �8 , c) 2�

p3

27 , d) 250, e)10�p3

35

RezumatIn aceasta unitate au fost introduse si studiate notiunile privind integralele

Euler de speta intai (functia beta), de speta a doua (functia gama), proprietatileacestora, precum si integrala Euler-Poisson.Bibliogra�e1. Colectiv, Elemente de algebra liniara, analiza matematica si teoria prob-



MODULUL III. Elemente de teoria probabilitatilorObiective

� De�nirea si studiul principalelor proprietati ale conceptelor de baza dinteoria probabilitatilor.

Crearea la studenti a unor deprinderi de utilizare a tehnicilor probabilisticesi de folosire a acestora in scop aplicativ.

Fundamentarea probabilistica a statisticii matematice.

Concepte de baza

� Eveniment aleator, probabilitate, probabilitate conditionata, scheme cla-sice de probabilitate.

� Variabila aleatoare, functie de probabilitate a unei variabile aleatoare dis-crete, functie de repartitie a unei variabile aleatoare, densitate de proba-bilitate, functia de repartitie a unei variabile aleatoare de tip continuu.

� Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare (media, dispersia, mo-mente, corelatia)

� Repartitii clasice.

Rezultate asteptateSe urmareste buna intelegere de catre studenti a tehnicilor de abordare prob-

abilistica a fenomenelor aleatoare, utilizarea adecvata a schemelor probabilis-tice care modeleaza astfel de fenomene, intelegerea conceptului de variabilaaleatoare, precum si formarea deprinderilor de calcul ale caracteristicelor nu-merice pentru variabilelor aleatoare. Se doreste ca studentii sa inteleaga foarte

49

bine semni�catia caracteristicilor pe care le calculeaza si, de asemenea sa inte-leaga motivele aplicarii teoriei probabilitatilor in statistica matematica.SintezaUNITATEA 1. Camp de evenimente. Camp de pro-babilitate. Scheme clasice de probabilitate.1.1. Corp ( �-corp) de p¼arti ale unei multimiDe�nitia 1.1.1. Se numeste corp de p¼arti ale multimii nevide orice

familie nevid¼a K � P () unde P () este multimea p¼artilor lui , astfel încâta) 8 A 2 K =) CA 2 K unde CA = �Ab) 8 A;B 2 K =) A [B 2 KPropozitia 1.1.1.: Fie K un corp de p¼arti ale multimii nevide . Atunci:1) �; 2 K2) 8 A;B 2 K =) A \B 2 K3) 8 A;B 2 K =) A�B 2 KObservatii: Prin de�nitie, un corp de p¼arti K este închis fat¼a de trecerea

la complementar¼a si fat¼a de reuniune. De�nitia corpului de p¼arti garanteaz¼a siînchiderea sa fat¼a de reuniunea sau diferenta de mentiuni.De asemenea, un corp de p¼arti contine în mod necesar submultimile improprii

� si :Prin inductie matematic¼a rezult¼a c¼a un corp de p¼arti este închis si fat¼a de re-

uniunea sau intersectia �nit¼a oarecare de multimi adic¼a pentru oriceA1; A2; :::; An2 K (n � 3) avem si

n[i=1Ai 2 K respectiv

n\i=1Ai 2 K

Exemple:1) Dac¼a 6= � atunci K = P () este un exemplu (banal) de corp de p¼arti

ale lui :2) Fie = f1; 2; 3; 4; 5; 6gK = f�;; f1; 6g ; f2; 3g ; f4; 5g ; f1; 2; 3; 6g ; f1; 4; 5; 6g ; f2; 3; 4; 5gg este un corp

de p¼arti ale lui :De�nitia 1.1.2. Se numeste �-corp de p¼arti ale multimii nevide orice

familie nevid¼a K � P () astfel încâta�) 8 A 2 K =) CA 2 Kb�) 8 (An)n2N� � K

1[n=1

An 2 K1.2. Câmp (�-câmp) de evenimenteVom întelege prin experiment aleator orice experiment al c¼arui rezultate,

considerate din punct de vedere al unui anumit criteriu, nu sunt cunoscuteînainte de efectuarea experimentului (repetând un astfel de eveniment, în conditiiidentice, se pot obtine rezultate diferite, nu se poate preciza rezultatul ci sepoate face doar o list¼a cu rezultatele posibile). Orice rezultat posibil în urmaunui experiment aleator se numeste eveniment aleator. Evenimentele care nuse pot realiza drept consecint¼a a reraliz¼arii altora se numesc evenimente ele-mentare.Consider¼am, de exemplu, experimentul arunc¼arii unui zar (obisnuit,nem¼asluit) si evalu¼am rezultatul din punc de vedere al aparitiei (non-aparitiei)vreunora dintre fetele de la 1 la 6. Folosim notatii de tipul ce urmeaz¼a:A = f1g- aparitia fetei 1.

50

B = f1; 4g- aparitia vreuneia dintre fetele 1 sau 4.C = f2; 5; 6g- aparitia vreuneia dintre fetele 2,5 sau 6,etc.A este evenimentul elementar (analog f2g ; f3g ; f5g ; f6g) dar B nu este

elementar (B se poate realiza ca si consecint¼a a realiz¼arii lui A). Vom reveniulterior, cu mai mult¼a rigoare, asupra conceptului de experiment elementar.Not¼am cu multimea tuturor evenimentelor elementare generate de un ex-

periment aleator. In continuare ne este comod s¼a trat¼am aceast¼a multime ca omultime de puncte pentru care submultimile reduse la un punct corespund eveni-mentelor elementare. se mai numeste si multime fundamental¼a (de referint¼a)sau spatiu de selectie. Orice alt eveniment poate � asimilat cu o submultime aspatiului (în exemplul de mai sus avem = f1; 2; 3; 4; 5; 6g si A;B;C � ).In particular, corespunde evenimentului constând în realizarea a cel puin unuldintre evenimentele elementare posibile ceea ce se întâmpl¼a la orice efectuare aevenimentului si de aceea acest eveniment se numeste eveniment cert sau sigur.Un alt eveniment particular este cel care corespunde multimii vide � si carerevine la nerealizarea a cel putin unui eveniment elementar posibil, ceea ce esteimposibil la orice efectuare a experimentului si din acest motiv acest evenimentse numeste eveniment imposibil. Vom p¼astra pentru evenimentul sigur si eveni-mentul imposibil aceleasi notatii si respectiv � ca si pentru submultimile lui c¼arora le corespund.Fie � multimea tuturor evenimentelor aleatoare generate de un experiment

aleator.De�nitia 1.2.1. Fie A;B 2 �.Se numeste intersectie a evenimentelor A si B, notat¼a A \ B, evenimentul

care se realizeaz¼a dac¼a si numai dac¼a se realizeaz¼a atât A cât si B.Se numeste reuniune a evenimentelor A si B, notat¼a A[B, evenimentul care

se realizeaz¼a dac¼a si numai dac¼a se realizeaz¼a cel putin unul dintre evenimenteleA si B.Se numeste diferent¼a a evenimentelor A si B, notat¼a A � B, evenimentul

care se realizeaz¼a atunci când se realizeaz¼a A dar nu si B (adic¼a A�B = A\CB).Se numeste eveniment contrar evenimentului A, notat CA, evenimentul

care se realizeaz¼a dac¼a si numai dac¼a nu se realizeaz¼a A (evenimentul comple-mentar lui A se mai numeste si eveniment contrar lui A si se mai noteaz¼a A saunonA).Propozitia 1.2.1. Pentru orice A;B;C 2 � au loc propriet¼atile:a) (A [B)[C = A[(B [ C) ; (A \B)\C = A\(B \ C) (asociativitate)b) A [B = B [A; A \B = B \A (comutativitate)c) A [ (B \ C) = (A [B) \ (A [ C) ; A \ (B [ C) = (A \B) [ (A \ C)

(distributivitate)d) A [A = A; A \A = A (...)e) A\CA = �; A[CA = ; A\ = A; A[ = ; A\� = �; A[� = ADe�nitia 1.2.2. Fie A;B 2 �: Se spune c¼a evenimentul A implic¼a eveni-

mentul B (sau c¼a B este implicat de A) si se scrie A � B (respectiv B � A)dac¼a realizarea lui A antreneaz¼a neap¼arat si realizarea lui B.Observatii:

51

1. Relatia de implicatie se poate de�ni si cu ajutorul �[� sau �\�. Maiprecis, pentru A;B 2 � avemA � B () A \B = A() A [B = BCum A \ � = � si A \ = A rezult¼a c¼a � � A si A � adic¼a avem

� � A � ; 8 A 2 �:2. Relatia de implicatie este o relatie de ordine partial¼ape � (adic¼a este

re�exiv¼a, antisimetric¼a si tranzitiv¼a). Intr-adev¼ar avem:a) 8 A 2 � =) A � A (re�exivitate)b) A;B 2 �; A � B si B � A =) A = B (antisimetrie)c) A;B 2 �; A � B si B � C =) A � C3. Se poate ar¼ata c¼a dac¼a A;B 2 �; A[B = ; si A\B = � atunci A = CB

sau, echivalent, B = CA (în particular cum A \ CA = � si A [ CA = avemC (CA) = A si de asemenea din � [ = ; � \ = �rezult¼a c¼a � = C si = C�).Utilizând aceast¼a observatie se poate demonstra propozitia de mai jos (pe

care o admitem f¼ar¼a demonstratie).Propozitia 1.2.2. (relatiile lui De Morgan)Pentru orice A;B 2 � avem:CA[B = CA \ CB si CA\B = CA [ CB :De�nitia 1.2.3. Se spune c¼a evenimentele A;B 2 � sunt incompatibile

dac¼a ele nu se pot realiza simultan, adic¼a A \B = �De�nitia 1.2.4. Se spune c¼a evenimentul A 2 � este eveniment elementar

dac¼a 8 B 2 �; B � A rezult¼a c¼a B = � sau B = A(A nu poate � implicat decât de c¼atre evenimentul imposibil sau de c¼atre el

însusi).De�nitia 1.2.5. Se numeste câmp de evenimente orice corp de p¼arti (;K)

al unei multimi nevide : Se numeste �-câmp de evenimente orice �-corp dep¼arti (;K) al unei multimi nevide :1.3. Câmp (�-câmp) de probabilitateDe�nitia 1.3.1. (de�nitia axiomatic¼a a probabilit¼atii)Fie (;K) un câmp de evenimente. Se numeste probabilitate pe K orice

aplicatie P : K �! R astfel încât:P 1) P (A) � 0; 8A 2 KP 2) P (A [B) = P (A) + P (B) ; 8A;B 2 K, A \B = �P 3) P () = 1Se numeste câmp de probabilitate orice triplet (;K; P ) unde (;K) este un

câmp de evenimente iar peste o probabilitate pe K.Propozitia 1.3.1. Fie (;K; P ) un câmp de evenimente. Atunci:a) P (�) = 0b) P (CA) = 1� P (A) ; 8A 2 Kc) P (B �A) = P (B)� P (A) ; 8A;B 2 K, A � Bd) P (B �A) = P (B)� P (A \B) ; 8A;B 2 K,e) P (A [B) = P (A) + P (B)� P (A \B) ; 8A;B 2 KConsecinte:1. A;B 2 K, A � B =) P (A) � P (B) (monotonie).2. A 2 K =) 0 � P (A) � 1

52

Prin inductie matematic¼a, pornind de la P 2), rezult¼a c¼a dac¼a A1; A2; :::; An2 K, Ai \Aj = �; i = 1; ni 6= j atunci P

�n[i=1Ai

�=

nPi=1

= P (Ai) (probabilitatea unei reuniuni �nite

de evenimente incompatibile dou¼a câte dou¼a este suma probabilit¼atilor eveni-mentelor reuniunii). Comportamentul probabilit¼atii fat¼a de o reuniune �nit¼a deevenimente oarecare (nu mai sunt incopatibile dou¼a câte dou¼a) din K este datde propozitia care urmeaz¼a, obtinut tot prin inductie matematic¼a pornind de lasubpunctul e) din propozitia 1.4.1.Propozitia 1.4.2. (formula de adunare a probabilit¼atilor sau formula lui

Poincaré).Fie (;K; P ) un câmp de probabilitate si A1; A2; :::; An 2 K. AtunciP�n[i=1Ai

�=

nPi=1

P (Ai)�nP

i;j=1i<j

P (Ai \Aj) +nP

i;j;k=1i<j<k

P (Ai \Aj \Ak)� :::+

(�1)n�1 P�n[i=1Ai

�:

Observatie. Dac¼a A;B;C;D 2 K avem evident:a) P (A [B [ C) = P (A) + P (B) + P (C) � P (A \B) � P (A \ C) �

P (B \ C) + P (A \B \ C)b) P (A [B [ C [D) = P (A) + P (B) + P (C) + P (D) � P (A \B) �

P (A \ C)� P (A \D)� P (B \ C)� P (B \D)��P (C \D) + P (A \B \ C) + P (A \B \D) + P (A \ C \D)+P (B \ C \D)� P (A \B \ C \D) :De�nitia 1.3.2. Fie (;K; P ) un �-câmp de evenimente. Se numeste

probabilitate �-aditiv¼a pe K orice aplicatie P : K �! R astfel încât:P 1�) P (A) � 0; 8A 2 KP 2�) P

� 1[n=1

An

�=

1Pn=1

P (An) 8 (An)n2N� � K, Ai \ Aj = � 8 i; j 2N�; i 6= j:P 3�) P () = 1Se numeste �-câmp de probabilitate orice triplet (;K; P ) unde (;K) este

un �-câmp de evenimente iar P este o probabilitate �-aditiv¼a pe K.Observatie:Orice �-câmp de probabilitate este si câmp de probabilitate si deci toate

propriet¼atile probabilit¼atii sunt adev¼arate si pentru �- probabilit¼ati. Urm¼arimîn continuare câteva propriet¼ati ale �- probabilit¼atilor.Propozitia 1.3.3. Fie (;K; P ) un �-câmp de probabilitate si (An)n2N�

un sir de evenimente din K. Atunci:P� 1[n=1

An

��

1Pn=1

P (An)

Propozitia 1.3.4. (inegalitatea lui Boole). Fie (;K; P ) un �-câmp deprobabilitate si (An)n2N� un sir de evenimente din K. Atunci:

P� 1\n=1

An

�� 1�

1Pn=1

(1� P (An)) :Observatie. Inegalitatea lui Boole este adev¼arat¼a si pentru un câmp de

probabilitate. Dac¼a: A1; A2; :::; An 2 K atunci

53

P�n\i=1Ai

�� 1�

nPi=1

(1� P (Ai)) =nPi=1

P (Ai)� (n� 1) : Avem deci:

P�n\i=1Ai

��

nPi=1

P (Ai)� (n� 1)

Observatie. Fie = fw1; w2; :::; wng si K = P (): Pe câmpul de eveni-mente (;K) se consider¼a probabilitatea P cu proprietatea P (fw1g) = P (fw2g) =::: = P (fwng)

�= 1

n

�Dac¼a A = fwi1 ; wi2 ; :::; wikg 2 K atunci P (A) = P

�k[j=1

�wij�

=

kPj=1

P��wij�=

kPj=1

1n =

kn :

Se obtine astfel o alt¼a de�nitie a probabilit¼atii, adev¼arat¼a într-un cadru multmai restrictiv decât cel din de�nitia 1.3.1. dar extrem de utilizat¼a în numeroasecazuri practice si constituind din punct de vedere istoric, prima de�niie dat¼aconceptului de probabilitate.De�nitia 1.3.3. (de�nitia clasic¼a a probabilit¼atii):Probabilitatea unui eveniment A, generat de un experiment aleator care

genereaz¼a un câmp �nit de probabilitate cu evenimente elementare egal proba-bile, este egalã cu raportul dintre numãrul evenimentelor elementare favorabilerealizãrii lui A si numãrul total de evenimente elementare posibile.1.4. Probabilitãti conditionate. Independenta evenimentelorIn paragraful precedent, printre alte proprietãti, s-au si proprietãti care arã-

tau comportamentul probabilitãtii fatã de reuniunea evenimentelor. In acestparagraf vom urmãrii comportamentul probabilitãtii fatã de intersectia eveni-mentelor, proprietãti grupate într-un paragraf separat tocmai datoritã impor-tantei deosebite pe care o au în aplicatiile practice.De�nitia 1.4.1. Fie (;K; P ) un câmp de probabilitate si A 2 K cu

P (A) 6= 0:Se numeste probabilitatea evenimentului X 2 K conditionatã de evenimentul

A, notatã P (X jA ) ; raportul

P (X jA ) =P (X \A)P (A)

Observatie:Avem P (X \A) = P (A) P (X jA ) :Dacã A;B 2 K, P (A) 6= 0; P (B) 6= 0;

atunciP (A \B) = P (A) P (B jA ) = P (A) P (A jB ). Am obtinut un prim rezul-

tat care indicã comportamentul probabilitãtii fatã de intersectie.Propozitia 1.4.1. Fie (;K; P ) un câmp de probabilitate si A 2 K cu

P (A) 6= 0:Atunci, aplicatia PA : K �! R, PA (X) = P (X jA ) este de asemenea o

probabilitate pe K adicã (;K; PA) este tot un câmp de probabilitate.Observatie. Analog pornind de la �-câmpul de probabilitate (;K; P ) si

A 2 K cu P (A) 6= 0 se obtine �-câmpul de probabilitate (;K; PA) undePA : K �! R, PA (X) = P (X jA )

54

Propozitia 1.4.2. (formula de înmultire a probabilitãtilor)Fie (;K; P ) un câmp de probabilitate si A1; A2; :::; An 2 K astfel încât

P

�n�1\i=1Ai

�6= 0:Atunci:

P

�n�1\i=1Ai

�= P (A1) P (A2 jA1

) P (A3 jA1\A2) :::P

An

��n�1\i=1

Ai

!:

De�nitia 1.4.2. Fie (;K; P ) un câmp de probabilitate. Se spune cãevenimentul A1; A2; :::; An 2 K formeazã un sistem complet de evenimentedacã:a) P (Ai) 6= 0; 8i = 1; nb) Ai \Aj 6= 0; 8i; j = 1; n i 6= jc)

n[i=1Ai = :

Observatie: A1; A2; :::; An 2 K formeazã un sistem complet de evenimentedacã si numai dacã la orice efectuare a experimentului se realizeazã unul si nu-mai unul dintre evenimentele sistemului. Un exemplu banal de sistem completde evenimente este sistemul fA;CAg unde A 2 K, P (A) 6= 0:Renuntând laconditia a) (cerutã aici pentru comoditate) multimea tuturor evenimentelor el-ementare (poate � o in�nitate mãsurabilã) ale unui câmp de evenimente oferãun alt exemplu de sistem complet de evenimente.Propozitia 1.4.3.(formula probabilitãtii totale)Fie (;K; P ) un câmp de probabilitate si A1; A2; :::; An 2 K un sistem com-

plet de evenimente si X 2 K. Atunci:

P (X) =nXi=1

P (Ai) P (X jAi)

Propozitia 1.4.4. (formula lui Bayes)Fie (;K; P ) un câmp de probabilitate si A1; A2; :::; An 2 K un sistem com-

plet de evenimente si X 2 Kastfel încât P (X) 6= 0. Atunci, pentru orice j 2 f1; 2; :::; ng �xat, avem

P (Aj jX ) =P (Aj) P

�X��Aj

�nPi=1

P (Ai) P (X jAi )

De�nitia 1.4.3. Fie (;K; P ) un câmp de probabilitate si A;B 2 K. Sespune cã A si B sunt independente dacã

P (A \B) = P (A) P (B)

Observatie. De�nitia independentei a douã evenimente, la care s-a datformula mai sus, este echivalentã cu a�rmatia cã A si B sunt independente dacãnu se conditioneazã reciproc. Fie A;B 2 K astfel încât P (A) 6= 0; P (B) 6= 0 siA;B independente în sensul de�nitiei 1.5.3. Atunci:P (A jB ) = P (A\B)

P (B) = P (A)P (B)P (B) = P (A) si P (B jA ) = P (B\A)

P (A) = P (B)P (A)P (A) =

P (B)

55

adicã faptul cã B nu conditioneazã pe A este respins în relatia P (A jB ) =P (A) si analog faptul cãAnu conditioneazã peB rezultã din egalitatea P (B jA ) =P (B) :Propozitia 1.4.5. Fie (;K; P ) un câmp de probabilitate si A;B 2 K.

Dacã A si B sunt independente, atunci CA si B; CB si A;CA si CB sunt de asemenea independente.De�nitia 1.4.4. Fie (;K; P ) un câmp de probabilitate si n 2 N; n � 2:

Se spune cã evenimentele A1; A2; :::; An 2 K sunt independente (în totalitate)dacã oricare ar � i1; i2; :::ir 2 N; 1 � i < i2 < ::: < ir � navem P (Ai1 \Ai2 \ ::: \Air ) = P (Ai1)P (Ai2) :::P (Air ) unde r 2 N�; r �

n:Se spune cã evenimentele A1; A2; :::; An 2 K sunt independente k câte k

(k 2 N; 2 � k � n � 1) dacã oricare k evenimente dintre A1; A2; :::; An suntindependente în (totalitate). Se spune cã familia (Ai)i2I de evenimente din Keste formatã din evenimente independente(în totalitate) dacã orice subfamilie�nitã a sa este formatã din evenimente independente (în totalitate).Se spune cã familia (Ai)i2I de evenimente din K este formatã din evenimente

independente k câte k (k 2 N; k � 2) dacã orice subfamilie �nitã cu cel putink elemente este formatã din evenimente independente k câte k:Incheiem acest paragraf cu trei exemple care sã ilustreze modul de utilizare al

formulelor tratate (formula de adunare si respectiv înmultire a probabilitãtilor,formula probabilitãtii totale si respectiv formula lui Bayes).Exemplul 1. Dintre cei 20 de studenti ai unei grupe, 6 cunosc limba englezã,

5 cunosc limba francezã, 2 cunosc limba germanã. Care este probabilitatea caun student, luat la întâmplare din aceastã grupã, sã cunoascã o limbã strãinã(dintre cele trei mentionate)?Solutie: Considerãm evenimentele:E - studentul considerat cunoaste limba englezã,F - studentul considerat cunoaste limba francezãG - studentul considerat cunoaste limba germanãX - studentul considerat vorbeste o limbã strãinã (dintre cele trei)Din de�nitia clasicã a probabilitãtii avem P (E) = 6

20 ; P (F ) =520 ; P (G) =

220 :Cum X = E [ F [ G si evenimentele E;F;G; nu sunt incompatibile douãcâte douã rezultã (formula lui Poincaré) cã:P (X) = P (E [ F [G) = P (E)+P (F )+P (G)�P (E \ F )�P (E \G)�

P (F \G) + P (E \ F \G)Evenimentele E;F;G; sunt independente în totalitate si deci:P (X) = P (E) + P (F ) + P (G)� P (E)P (F )� P (E)P (G)� P (F )P (G) +

P (E)P (F )P (G) == 6+5+2

20 � 6 5+6 2+5 220 20 + 6 5 2

20 20 20 =1320 �

52400 +

3400 =

211400 :

Exemplul 2. O urnã contine a bile albe si b bile negre. Se xtrag succesiv,fãrã repunere trei bile. Care este probabilitatea ca toate cele trei bile extrase sã�e albe (presupunem a � 3)?Solutie: Considerãm evenimentele:Ai - a i-a bilã extrasã a fost albã, i = 1; 3X - toate cele trei bile extrase au fost albe

56

Avem X = A1 \A2 \A3: Din formula de înmultire a probabilitãtilor avem:P (X) = P (A1) P (A2 jA1 ) P (A3 jA1\A2 ). Utilizând de�nitia clasicã a prob-

abilitãtii obtinem:P (A1) =

aa+b ; P (A2 jA1

) = a�1a+b�1 ; P (A3 jA1\A2

) = a�2a+b�2 : Si deci:

P (X) = aa+b

a�1a+b�1

a�2a+b�2 :

Exemplul 3. Trei urne contin bile albe si bile negre în compozitiile:U1 (a; b) ; U2 (c; d) ;U3 (e; f) : Se extrage o bilã din U3 si dacã ea este albã se pune în U1si se

extrage o a doua bilã din U1 iar dacã este neagrã se pune în U2 si a doua bilãextrage din U2: Sã se a�e probabilitãtile ca:a) a doua bilã extrasã sã �e albã,b) prima bilã extrasã sã �fost albã dacã a doua bilã extrasã sã �fost neagrã.Solutie: Considerãm evenimentele:Ai - a i-a bilã extrasã a fost albã, (i = 1; 2)Ni - a i-a bilã extrasã a fost neagrã, (i = 1; 2)a) Se cere P (A2). Rezolvarea este un exemplu de utilizare a formulei

probabilitãtii totale cu sistemul complet de evenimente A1; N1:Avem:A2 = A2 \ = A2 \ (A1 [N1) = (A2 \A1) [ (A2 \N1)Cum A2 \A1 si A2 \N1 sunt incompatibile rezultã:P (A2) = P (A2 \A1)+P (A2 \N1) = P (A1)P (A2 jA1 )+P (N1)P (A2 jN1 ) =

ee+f

a+1a+b+1 +

fe+f

cc+d+1

Analog:P (N2) = P (A1)P (N2 jA1

) + P (N1)P (N2 jN1) = e

e+fb

a+b+1 +fe+f

d+1c+d+1

(sau P (N2) = 1� P (A2))b) Se cere P (A1 jN2

) : Rezolvarea oferã un exemplu de utilizare a formulei luiBayes care permite interschimbarea raportului de conditionare apriori-aposteori.Probabilitatea P (A1 jN2

) ne este mai putin la îndemânã decât P (N2 jA1) iar

formula lui Bayes ne permite calculul lui P (A1 jN2 ) cu ajutorul lui P (N2 jA1 ) :Avem:

P (A1 jN2 ) =P (A1)P (N2 jA1

)

P (N2)=

ee+f

ba+b+1

ee+f

ba+b+1 +

fe+f

d+1c+d+1

1.5. Scheme clasice de probabilitateSub acest titlu vor � descrise anumite experimente aleatoare si vor � cal-

culate probabilit¼atile unor evenimente ale acestora. Din multiple motive acesteexperimente aleatoare apar foarte des în aplicatii. Traditional descrierea exper-imentelor respective se face cu ajutorul unor urne din care se extrag bile.În cele ce urmeaz¼a vom întelege prin urn¼a o incint¼a în care se a�¼a bile (sfere

identice ca m¼arime si greutate, dar putând avea culori diferite). Din exterior nuse pot vedea culorile bilelor din urn¼a, îns¼a se consider¼a c¼a exist¼a un mecanismcu ajutorul c¼aruia bilele pot � extrase din urn¼a, bilele existente în urn¼a avândtoate aceeasi sans¼a de a � extrase.1.5.1. Schema urnei cu bila nerevenit¼aUrna U contine a bile albe si b bile negre. Din U se fac n extrageri succesive

de câte o bil¼a f¼ar¼a întoarcere, adic¼a f¼ar¼a a reintroduce în urn¼a bilele extrase.

57

(S¼a remarc¼am c¼a modul acesta de a extrage n bile din urna U este echivalent cuextragerea celor n bile deodat¼a.) Se pune problema determin¼arii probabilit¼atiievenimentului Xk;l

a;b c¼a din cele n bile astfel extrase k sunt albe si l = n� k suntnegre. (Evident c¼a a; b; n; k si l sunt numere naturale si n � a+b, k � minfn; ag,l � minfn; bg.)S¼a ne imagin¼am c¼a cele a+b bile existente în urna U ar �numerotate de la 1

la a+ b. Experimentul aleator al extragerii celor n = k+ l bile din aceast¼a urn¼aare Ck+la+b rezultate posibile egal probabile. Dintre acestea, favorabile realiz¼arii

evenimentului Xk;la;b sunt C

kaC

lb c¼aci k bile dintre cele a bile albe existente în urn¼a

pot � alese în Cka moduri diferite, �ec¼arei asemenea alegeri corespunzându-i Clb

moduri diferite de alegere a l bile dintre cele b bile negre existente în urna U .S¼a not¼am

Pa;b(k; l) = P (Xk;la;b):

Dup¼a de�nitia clasic¼a a probabilit¼atii se obtine

Pa;b(k; l) =CkaC

lb

Ck+la+b

:

Exemplu. Urna U contine 3 bile albe si 2 bile negre. Din U se extragdeodat¼a 3 bile (sau - echivalent - se fac 3 extrageri succesive de câte o bil¼a f¼ar¼aîntoarcere). S¼a se calculeze probabilitatea evenimentului A c¼a cel mult dou¼a dinbilele astfel extrase sunt albe.Este clar c¼a evenimentul A se realizeaz¼a dac¼a din cele trei bile extrase din U

exact dou¼a sunt albe, sau exact una este alb¼a, sau nici una nu este alb¼a, adic¼a

A = X2;13;2 [X

1;23;2 [X

0;33;2 :

Evenimentele reunirii care d¼a evenimentul A sunt evident dou¼a câte dou¼aincompatibile, deci

P (A) = P (X2;13;2 ) + P (X

1;23;2 ) + P (X

0;33;2 ) =

= P3;2(2; 1) + P3;2(1; 2) + P3;2(0; 3):

Dar X0;33;2 = ; deoarece este imposibil ca din urna U s¼a �e extrase (f¼ar¼a

întoarcere) 3 bile negre, ea continând doar 2 asemenea bile. Atunci P3;2(0; 3) =P (X0;3

3;2 ) = P (;) = 0 si deci

P (A) = P3;2(2; 1) + P3;2(1; 2) =C23 � C12C35

+C13 � C22C35

=

=3 � 210

+3 � 110

=9

10= 0; 9:

1.5.2. Schema urnei cu bila nerevenit¼a cu mai multe st¼ariO generalizare natural¼a a schemei precedente se obtine considerând c¼a în

urn¼a se g¼asesc bile de mai mult decât dou¼a culori (st¼ari), s¼a zicem de s culori.

58

Urna U contine ai bile de culoarea ci, i = 1; s. Din U se fac n extrageri suc-cesive de câte o bil¼a f¼ar¼a întoarecere (ceea ce este echivalent cu extragerea celorn bile deodat¼a). Se cere probabilitatea evenimentuluiXk1;k2;:::;ks

a1;a2;:::;as c¼a dintre cele nbile extrase ki sunt de culoarea ci, i = 1; s. (Evident c¼a a1; a2; : : : ; as; k1; k2; : : : ; ks

si n sunt numere naturale si c¼asPi=1

ki = n si ki � minfai; ng, i = 1; s.)

În acest caz num¼arul total de evenimente elementare ale experimentuluialeator este Ck1+k2+��+ksa1+a2+��+as , iar num¼arul evenimentelor elementare favorabile eveni-mentului Xk1;k2;:::;ks

a1;a2;:::;as este Ck1a1C

k2a2 : : : C

ksas .

S¼a not¼am

P (Xk1;k2;:::;ksa1;a2;:::;as ) = Pa1;a2;:::;as(k1; k2; : : : ; ks):

De�nitia clasic¼a a probabilit¼atii d¼a

Pa1;a2;:::;as(k1; k2; : : : ; ks) =Ck1a1C

k2a2 : : : C

ksas

Ck1+k2+��+ksa1+a2+��+asExemplu. Dintre cele 10 bilete ale unei loterii unul este câstig¼ator cu

10000 u.m., dou¼a sunt câstig¼atoare cu câte 5000 u.m., trei sunt câstig¼atoarecu câte 1000 u.m. si patru sunt nec¼astig¼atoare. Un juc¼ator cump¼ar¼a patrubilete din aceast¼a loterie. S¼a se calculeze probabilitatea p ca dintre cele patrubilete cump¼arate unul s¼a �e câstig¼ator cu 5000 u.m., dou¼a s¼a �e câstig¼atoare cucâte 1000 u.m. si unul s¼a �e necâstig¼ator.Probabilitatea c¼autat¼a poate � calculat¼a utilizând relatia de mai sus si se

obtine

p = P1;2;3;4(0; 1; 2; 1) =C01C

12C

23C

14

C410=1 � 2 � 3 � 4210

=24

210=4

35� 0; 114:

1.5.3. Schema urnei cu bila revenit¼aUrna U contine bile de dou¼a culori (albe si negre). Compozitia urnei este

cunoscut¼a în sensul c¼a se cunoaste probabilitatea ca o bil¼a extras¼a din U s¼a �ealb¼a (�e aceast¼a probabilitate p) si probabilitatea ca o bil¼a extras¼a din U s¼a �eneagr¼a (o not¼am cu q, q = 1 � p). Din U se efectueaz¼a n extrageri succesivede câte o bil¼a cu întoarcere (adic¼a dup¼a extragerea oric¼arei bile si observareaculorii ei, bila extras¼a este reintrodus¼a în urn¼a înaintea extragerii urm¼atoare).Se cere probabilitatea evenimentului Xk

n; c¼a dintre cele n bile astfel extrase ksunt albe (atunci restul de n� k bile sunt negre), notata prin Pn(k). Evident ksi n sunt numere naturale si k � n. Se obtine

Pn(k) = Cknp

kqn�k:Observatie. Cum membrul drept al relatiei precedente este coe�cientul lui

tk din dezvoltarea cu formula binomului lui Newton a lui (pt+q)n, schema urneicu bila revenit¼a se mai numeste schema binomial¼a. Aceast¼a schem¼a este nu-mit¼a si schema lui Bernoulli. Esential în schema urnei cu bila revenit¼a estefaptul c¼a, din cauza reintroducerii bilei în urn¼a dup¼a �ecare extragere, rezul-tatele extragerilor sunt evenimente total independente si din acest motiv ea este

59

uneori numit¼a schema extragerilor (probelor) repetate si independente,iar schema urnei cu bila nerevenit¼a este numit¼a atunci schema extragerilor (pro-belor) repetate si dependente.Exemplu. Urna U contine 2 bile albe si 3 bile negre. Din U se fac 6 extrageri

succesive de câte o bil¼a cu întoarcerea bilei în urn¼a dup¼a �ecare extragere. S¼ase calculeze probabilitatea ca 4 dintre cele 6 bile extrase s¼a �e albe, iar 2 s¼a �enegre.Cum la �ecare extragere putem obtine oricare dintre cele 2 + 3 = 5 bile ex-

istente în urn¼a, �ecare extragere este un experiment aleator care genereaz¼a câteun câmp de evenimente cu 5 rezultate posibile echiprobabile. Atunci, folosindde�nitia clasic¼a a probabilit¼atii, g¼asim c¼a probabilitatea ca la oricare din cele 6

extrageri s¼a se obtin¼a o bil¼a alb¼a este p =2

5, iar probabilitatea ca la oricare din

cele 6 extrageri s¼a se obtin¼a o bil¼a neagr¼a este q =3

5.

Probabilitatea ca 4 din cele 6 bile extrase s¼a �e albe si 2 s¼a �e negre estedeci

P6(4) = C46

�2

5

�4�3

5

�2= 15� 16

625� 925=432

3125= 0; 13824:

Observatie. Din schema urnei cu bila revenit¼a se obtine urm¼atoarea schem¼anumit¼a schema lui Pascal.S¼a presupunem c¼a urna U contine bile albe si negre. Fie p probabilitatea

ca o bil¼a extras¼a din U s¼a �e alb¼a si q = 1 � p probabilitatea ca o bil¼a extras¼adin U s¼a �e neagr¼a. Se cere probabilitatea evenimentului Y kn ca la efectuareaa n extrageri succesive de câte o bil¼a cu întoarcere din urna U s¼a se obtin¼ak bile albe si n � k bile negre, iar a n-a bil¼a extras¼a din U s¼a �e alb¼a (adic¼aprobabilitatea ca cea de a k-a bil¼a alb¼a s¼a se obtin¼a dup¼a ce au fost extrasen� k bile negre).F¼ar¼a di�cultate se obtine c¼a probabilitatea acestui eveniment este

P (Y kn ) = P (Xk�1n�1 \An):

Deoarece rezultatul unei extrageri nu este in�uentat de rezultatele extrager-ilor precedente (bila �ind reintrodus¼a în urn¼a dup¼a �ecare extragere) avem

P (Y kn ) = P (Xk�1n�1)P (An) = Pn�1(k � 1)p =

= Ck�1n�1pk�1q(n�1)�(k�1)p = Ck�1n�1p

kqn�k:

Observatie. Din schema lui Pascal se obtine ca un caz particular schemageometric¼a luând k = 1. Probabilitatea ca efectuând n extrageri succesive decâte o bil¼a cu întoarcere din urna U (cunoscut¼a în sensul c¼a se stie c¼a proba-bilitatea ca o bil¼a extras¼a din U s¼a �e alb¼a este p, iar probabilitatea ca o bil¼aextras¼a din U s¼a �e neagr¼a este q = 1� p) s¼a se obtin¼a pentru prima dat¼a bil¼aalb¼a în cea de a n-a extragere este

60

P (Y 1n ) = P (X0n�1 \An) = P (X0

n�1)P (An) =

= Pn�1(0)p = C0n�1p

0qn�1�0p = pqn�1:

Denumirea de schema geometric¼a provine de la faptul c¼a probabilitateapqn�1 este al n-lea termen al progresiei geometrice cu primul termen p si ratiaq.1.5.4. Schema urnei cu bila revenit¼a cu mai multe st¼ariAceast¼a schem¼a este o generalizare natural¼a a schemei urnei cu bila revenit¼a,

ea referindu-se la extrageri cu întoarcere dintr-o urn¼a în care exist¼a bile de maimult decât dou¼a culori.Urna U contine bile de s culori: c1; c2; : : : ; cs, s 2 N, s > 2. Compozitia

urnei U este cunoscut¼a în sensul c¼a se cunoaste probabilitatea ca o bil¼a extras¼adin U s¼a aib¼a culoarea ci, i = 1; s. Fie aceast¼a probabilitate pi. Evident pi > 0,

i = 1; s sisPi=1

pi = 1.

Din U se fac n extrageri succesive de câte o bil¼a cu întoarcere (adic¼a, dup¼aextragerea oric¼arei bile si observarea culorii ei, bila extras¼a este reintrodus¼a înurn¼a înaintea extragerii urm¼atoare).Se cere probabilitatea evenimentului Xk1;k2;:::;ks

n c¼a dintre cele n bile astfelextrase ki s¼a �e de culoarea ci, i = 1; s. Evident 0 � ki � n, i = 1; s sisPi=1

ki = n.

Vom utiliza notatia

P (Xk1;k2;:::;ksn ) = Pn(k1; k2; : : : ; ks):

Atunci se obtine

Pn(k1; k2; : : : ; ks) =n!

k1!k2!:::ks!pk11 p

k22 : : : p

kss :

Observatie. Deoarece membrul drept al relatiei precedente este coe�cientullui tk11 t

k22 : : : t

kss din dezvoltarea lui (p1t1+p2t2+� � �+psts)n, schema urnei cu bila

revenit¼a cu mai multe st¼ari se mai numeste schema polinomial¼a sau schemamultinomial¼a.Exemplu. Urna U contine 2 bile rosii, 4 bile albe si 3 bile albastre. Din U

se fac 6 extrageri succesive de câte o bil¼a cu întoarcere. Se cere probabilitatea cadintre cele 6 bile extrase una s¼a �e rosie, dou¼a s¼a �e albe si trei s¼a �e albastre.

Avem evident p1 =2

9, p2 =

4

9, p3 =

3

9, n = 6, k1 = 1, k2 = 2 si k3 = 3, deci

probabilitatea cerut¼a este

P6(1; 2; 3) =6!

1!2!3!

�2

9

�1�4

9

�2�3

9

�3� 0; 0325:

1.5.5. Schema urnelor lui PoissonSchema urnelor lui Poisson este o alt¼a generalizare a schemei urnei cu bila

revenit¼a.

61

Experimentul de la schema urnei cu bila revenit¼a poate � imaginat si înmodul urm¼ator: exist¼a n urne U1; U2; : : : ; Un cu compozitii identice, din �ecareurn¼a se extrage câte o bil¼a si se caut¼a probabilitatea evenimentului c¼a dintrecele n bile astfel extrase k sunt albe.O generalizare a acestui experiment se obtine considerând c¼a cele n urne au

compozitii diferite.S¼a presupunem date urnele U1; U2; : : : ; Un si c¼a aceste urne contin bile albe si

negre, compozitiile urnelor sunt cunoscute în sensul c¼a se stie c¼a probabilitateaca o bil¼a extras¼a din Ui s¼a �e alb¼a este pi, i = 1; n (atunci probabilitatea ca obil¼a extras¼a din Ui s¼a �e neagr¼a este qi = 1�pi, i = 1; n). Se extrage câte o bil¼adin �ecare din cele n urne si se cere probabilitatea evenimentului Xk c¼a dintrecele n bile astfel extrase k sunt albe si n� k negre.Evident 0 < pi < 1, i = 1; n si 0 � k � n.Dac¼a Ai este evenimentul c¼a bila extras¼a din Ui este alb¼a atunci P (Ai) = pi

si P (Ai) = 1� pi = qi.Se constat¼a ca probabilitatea ceruta este egal¼a cu coe�cientul lui tk din

polinomul de gradul n în t (p1t + q1)(p2t + q2) : : : (pnt + qq), astfel încâtprobabilitatea P (Xk) este dat¼a de relatia

nPk=0

P (Xk)tk =nQi=1

(pit+ qi):

Remarc¼am faptul c¼a dac¼a în schema urnelor lui Poisson consider¼am toatecele n urne identice (adic¼a pi = p, qi = q, i = 1; n) atunci relatia precedentadevine

nXk=0

P (Xk)tk = (pt+ q)n;

astfel încât

P (Xk) = Cknpkqn�k;

adic¼a P (Xk) = Pn(k).Exemplu. O întreprindere agricol¼a cultiv¼a grâu în 3 ferme. Din date statis-

tice se stie c¼a probabilitatea ca într-un an oarecare productia de grâu la hectars¼a dep¼aseasc¼a 3000 kg este p1 = 0; 5 la prima ferm¼a, p2 = 0; 4 la a doua sip3 = 0; 6 la ferma a treia. Se cere probabilitatea evenimentului X c¼a într-unanumit an productia de grâu la hectar s¼a dep¼aseasc¼a 4000 kg la cel putin dou¼adin cele trei ferme.S¼a not¼am cu Xk evenimentul c¼a exact în k dintre cele 3 ferme productia

de grâu în anul respectiv dep¼aseste 3000 kg la hectar, k = 0; 3. Se observ¼a c¼aevenimentul Xk este de tipul celor descrise în schema urnelor lui Poisson.Vom avea

P (X) = P (X2 [X3) = P (X2) + P (X3):

Relatia (1.5.9) ne d¼a

62

(0; 4t+ 0; 6)(0; 5t+ 0; 5)(0; 6t+ 0; 4) =

= 0; 12 + 0; 38t+ 0; 38t2 + 0; 12t3;

astfel c¼a P (X2) = 0; 38 si P (X3) = 0; 12, deci

P (X) = 0; 38 + 0; 12 = 0; 50:

UNITATEA 2. Variabile aleatoare. Repartitii clasicede probabilitate2.1. Variabile aleatoarePân¼a acum evenimentele au fost studiate mai întâi din punct de vedere

calitativ iar o dat¼a cu introducerea probabilit¼atilor si din punct de vedere can-titativ. Studiul se extinde prin considerarea unei notiuni noi, aceea de variabil¼aaleatoare, variabil¼a care va juca un rol similar în teoria probabilit¼atilor ca sivariabila din cadrul analizei matematice sau din alt¼a parte a matematicii.În cazul variabilelor aleatoare valorile vor � luate dintr-o anumit¼a multime

nu în mod cert ci numai cu o anumit¼a probabilitate. Ca notatie pentru vari-abila aleatoare se utilizeaz¼a de obicei literele mari sau pot � utilizate si literelegrecesti: �; �::::Consider¼am un câmp de probabilitate (;K; P )De�nitia 1. Se numeste variabil¼a aleatoare real¼a orice aplicatie

X : �! R

aplicatie care asociaz¼a �ec¼arei probe ! un num¼ar real X (!) ;

! 7�! X (!)

astfel încâtX�1 (�1; x) 2 K 8x 2 R:

Aici, prin X�1 (�1; x) am notat evenimentul identi�cat cu multimea pro-belor ! 2 astfel încât X (!) < x :

X�1 (�1; x) = f!; ! 2 ; X (!) < xg :Observatie. În cele ce urmeaz¼a vom avea în vedere dou¼a categorii de vari-

abile aleatoare si anume:- variabile aleatoare de tip discret- variabile aleatoare de tip continuuVariabilele aleatoare de tip discret sunt variabile aleatoare pentru care multimea

valorilor (codomeniul lui X) este o multime �nit¼a sau num¼arabil¼a de forma

M = fxi jxi 2 Rgi2I ; I � N:

Variabila aleatoare de tip continuu este variabila aleatoare a c¼arui codomeniulM este un interval M = [a; b] � R închis sau nu.

63

Exemplul 2. Not¼am cuX variabila aleatoare care reprezint¼a suma punctelorobtinute la aruncarea a dou¼a zaruri. Atunci

M = f2; 3; 4; 5; 6; :::; 11; 12g :

Exemplul 3. Fie = f!1; !2; !3g; K = f;; f!1g; f!2; !3g;g; M =fx1; x2g � R; x1 < x2:Ar¼at¼am c¼a X : ! M; X(!1) = x1; X(!2) = x2; X(!3) = x2 este o

variabil¼a aleatoare.X�1((�1; x)) = ; pentru orice x � x1;X�1((�1; x)) = f!1g pentru orice x1 < x � x2;X�1((�1; x)) = f!2; !3g pentru orice x > x2.De�nitia 4. Dac¼a X este o variabil¼a aleatoare de tip discret atunci numim

functie de probabilitate si o not¼am cu fX : M �! R functia care asociaz¼a�ec¼arui xi 7�! fX (xi) = P (fX = xig) unde fX = xig reprezint¼a evenimentulca variabila aleatoare discret¼a X ia valoarea xi:Observatia 5. Atunci când nu e pericol de confuzie indicele X de la functia

f se va omite si vom nota f (xi) cu pi , unde pi reprezint¼a probabilitatea eveni-mentului ca variabila X s¼a ia valoarea xi: Se constat¼a f¼ar¼a greutate c¼a sistemulde evenimente fX = xigi2I este un sistem complet de evenimente si atunci vor� îndeplinite întodeauna urm¼atoarele dou¼a conditii:( P

i2Ipi = 1

pi � 0; i 2 I

Astfel variabilei aleatoare de tip discret X i se asociaz¼a un tabel (tablou) derepartitie (distributie) de forma:

X :

�xipi

�i2Isau detaliat X :

�x1 x2 ::: xn :::p1 p2 ::: pn :::

�:

Se vede c¼a repartitia (distributia) contine pe prima linie valorile pe carevariabila aleatoare le ia, de obicei scrise o singur¼a dat¼a si în ordine cresc¼atoare,iar pe linia a doua sunt trecute probabilit¼atile cu care variabila aleatoare X iavaloarea corespunz¼atoare (pi).Exemplul 6. Revenim la primul exemplu din aceast¼a sectiune si cerem în

plus s¼a construim distributia acestei variabile aleatoare:

X =

�2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12136

236

336

436

536

636

536

436

336

236

136

�:

2.2. Operatii cu variabile aleatoare de tip discretCa si cu variabilele obisnuite si cu variabilele aleatoare se pot face operatii.

Pentru �ecare nou¼a variabil¼a obtinut¼a dup¼a efectuarea operatiilor trebuie s¼acunoastem tabloul de repartitie:1. Adunarea unei variabile aleatoare X cu un num¼ar constant: C +X

64

C +X :

�C + xipi

�i2I

2. Înmultirea unei variabile cu o constant¼a

C X :

�C xipi

�i2I

3. Ridicarea la putere. Fie k 2 N

Xk :

�xkipi

�i2I

când au sens xki se poate lua k 2 Z sau chiar k 2 R.4. Suma a dou¼a variabile aleatoare X;Y : X + Y

X :

�xipi

�i2I; Y :

�yiqi

�i2I

=) X + Y :

�xi + yjPij

�i2I; j2J

undePij = P [fX = xig \ fY = yjg]

Caz particular: Atunci când X si Y sunt independente

fX = xig si fY = yjg 8 (i; j) 2 I � J

vor � tot independente deci Pij este produsul:

Pij = pi qj :

4. Produsul a dou¼a variabile aleatoare

X Y :

�xiyjPij

�i2I; j2J

Pij = P [fX = xig \ fY = yjg]

Exemplul 7. Se consider¼a variabilele aleatoare de distributii

X :

��1 0 20:3 0:5 0:2

�Y :

��2 10:4 0:6

�Presupunem c¼a acestea sunt independente. S¼a se efectueze urm¼atoarele operatii:2X; 3 + Y; X4; X + Y; X Y; X

Y :

2X :

��2 0 40:3 0:5 0:2

�;

3 + Y :

�1 40:4 0:6

�;

X4 :

�0 1 160:5 0:3 0:2

�;

X + Y :

��3 0 �2 1 0 30:12 0:18 0:2 0:3 0:08 0:12

�

65

X + Y :

��3 �2 0 1 30:12 0:2 0:26 0:3 0:12

�;

Y �1 :

�� 12 1

0:4 0:6

�;

XY = X Y �1 :

�(�1)

�� 12

�= 1

2 (�1) 1 = �1 0 0 �1 20:12 0:18 0:2 0:3 0:08 0:12

�XY :

��1 0 1

2 20:26 0:5 0:12 0:12

�2.3. Functia de repartitieStudiul variabilelor aleatoare se poate considera si prin intermediul unei

noi functii asociate variabilei aleatoare. Aceast¼a functie numit¼a uneori functie�cumulativ¼a a probabilit¼atilor� are o serie de propriet¼ati foarte usor de ex-ploatat.mai ales când e vorba de a evalua probabilit¼atile unor evenimente con-struite cu variabile aleatoare.Fie X o variabil¼a aleatoare discret¼a.De�nitia 8. Se numeste functie de repartitie asociat¼a lui X si se noteaz¼a

cu FX : R �! [0; 1] ; functia care asociaz¼a x 7�! FX (x) ; de�nit¼a prin:

FXdef= P (fX < xg) :

Observatia 9. Atunci când nu exist¼a pericolul de confuzie se va renunta laindicele X si la acoladele din membrul drept:

F (x) = P (X < x) :

Exemplul 10. S¼a construim functia de repartitie pentru variabila aleatoareX din exemplul 7Studiem �ecare caz în parte:

x � �1 =) F (x) = P (X < x) = P (;) = 0�1 < x � 0 =) F (x) = P (X < x) = P (x = �1) = 0:30 < x � 2 =) F (x) = P (X < x) = P (fx = �1g [ fx = 0g) == 0:3 + 0:5 = 0:8

x > 2 =) F (x) = P (X < x) = 1

deci putem scrie:

=) F (x) =

8>><>>:0; x � �1

0:3; �1 < x � 00:8; 0 < x � 21; x > 2

:

Propriet¼ati ale functiei de repartitie:Folosind doar de�nitia si propriet¼ati ale probabilit¼atilor se deduc urm¼atoarele

propriet¼ati ale functiei de repartitie:1. 0 � F (x) � 1:

66

2. F (�1) = limx!�1

F (x) = 0:

3. F (+1) = limx!+1

F (x) = 1:

3. F cresc¼atoare: 8 x0; x00 2 R

x0 < x00 =) F (x0) � F (x00) :

4. F este continu¼a la stânga 8 x� 2 R,

F (x�) = F (x� � 0) = limx!0x<x�

F (x) :

5. 8 x0; x00 2 R ; cu x0 < x00 :

P (x0 � X < x00) = F (x00)� F (x0) :2.4. Variabile de tip continuuÎn aplicatii variabilele aleatoare de tip discret nu sunt întotdeauna su�ciente.

Într-adev¼ar exist¼a probleme care sunt descrise de variabile aleatoare care nu suntdiscrete.Exemplul 11. Greutatea unui produs e reprezentat¼a printr-o variabil¼a

aleatoare care ia orice valoare dintr-un anumit interval: Este nevoie s¼a se aib¼aîn vedere o variabil¼a aleatoare de tip continuu.De�nitia 12. Variabila aleatoare real¼a X este de tip continuu dac¼a functia

sa de repartitie F este dat¼a printr-o relatie de forma:

F (x) =

xZ�1

f (t) dt

f �ind o functie integrabil¼a pe orice interval de forma (�1; x); x 2 R.Functia de repartitie a unei variabile aleatoare de tip continuu se bucur¼a de

aceleasi propriet¼ati ca si în cazul variabilelor aleatoare de tip discret precum side propriet¼ati speci�ce.Observatia 13. Din de�nitia de mai sus si având în vedere propriet¼atile

integralelor avem:

f(x) = F 0d(x) = lim�x!0�x>0

F (x+�x)� F (x)�x

:

De�nitia 14. Functia f se numeste functie densitate de probabilitate avariabilei aleatoare de tip continuu, functie care are propriet¼ati similare cu aceleaale functiei de probabilitate din cazul discret.Teorema 15. Dac¼a F este functie de repartitie a unei variabile aleatoare

continue atunci densitatea de probabilitate f are urm¼atoarele propriet¼ati:

1:f(x) � 0; (8)x 2 R

2:

1Z�1

f(t)dt = 1 .

67

Observatia 16. Dup¼a cum în cazul variabilei aleatoare discrete aveam oasa zis¼a repartitie, adic¼a un tablou cu dou¼a linii, pe prima linie �ind trecutevalorile variabilei iar pe a doua functia de probabilitate, tot asa si la variabilelealeatoare de tip continuu vom considera o asa zis¼a repartitie sau distribuitie.Astfel, pentru o variabil¼a aleatoare de tip continuu care ia valori doar dintr-uninterval [a; b] repartitia va avea forma:

X :

�x

f(x)

�x2R

f(x) � 0 (8)x 2 R1Z

�1

f(t)dt = 1:

2.5. Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoareStudiul variabilei aleatoare atât de tip discret cât si de tip continuu se ex-

tinde prin introducerea unor caracteristici numerice cu ajutorul c¼arora se dauinformatii suplimentare despre ele. Aceste caracteristici se împart în mai multecategorii:

� de grupare - care evidentiaz¼a niste numere în jurul c¼arora se grupeaz¼avalorile variabilelor,

� de împr¼astiere (de dep¼artare) care dau informatii asupra gradului de de-p¼artare a valorilor variabilelor fat¼a de o caracteristic¼a de grupare princi-pal¼a,

� privind forma distributiei: simetrie, asimetrie, boltire, turtire, etc.

2.5.1. Caracteristici de grupareSunt niste numere care se determin¼a pornind de la variabila aleatoare con-

siderat¼a, numere în jurul c¼arora se grupeaz¼a toate valorile variabilei aleatoare.Valoarea medieDe�nitia 17. Se numeste valoarea medie a variabilei aleatoare X si se

noteaz¼a M (X) num¼arul calculabil prin una din relatiile:

M (X) =Xi2I

xipi ; -dac¼a X este variabil¼a aleatoare discret¼a

M (X) =

Z +1

�1xf (x) dx:; dac¼a X este variabil¼a aleatoare continu¼a

Exemplul 18. X :

��2 1 20:4 0:3 0:3

�=)

M (X) = �0:8 + 0:3 + 0:6 = 0; 1

Exemplul 19. X :

�x

f (x)

�x2R

unde f (x) =

�3x2 x 2 [0; 1]0 în rest

68

M (X) =

Z +1

�1xf (x) dx =

Z 1

0

x 3x2dx = 3x4

4

��10 =

3

4

Propozitia 20. Valoarea medie are câteva propriet¼ati. Astfel dac¼a X si Ysunt variabile aleatoare, c o constant¼a, avem:1. M (cX) = cM (X) :

2. M (C) = c unde C :�c1

�:

3. M (X + Y ) =M (X) +M (Y ) :4. M (X � Y ) =M (X) M (Y ) ; dac¼a X;Y - independente5. Xmin �M (X) � Xmax unde Xmin ; Xmax sunt valorile minime si maxime

pe care le poate lua X sia � M (X) � b unde X este o variabil¼a aleatoare continu¼a, iar [a; b] e

intervalul pentru care fX (x) 6= 0:Valoarea medie este considerat¼a cea mai important¼a dintre caracteristicile

de grupare.Momente de ordin superiorÎn aceeasi categorie de caracteristici de grupare �gureaz¼a asa zisele momente

de ordin superior. În unele aplicatii este nevoie s¼a se utilizeze puterile naturaleale unei variabile aleatoare X2; X3; :::; Xk; valori pentru care caracteristicile degrupare principale joac¼a un rol important. Astfel introducem momentele deordin superior în urm¼atoarea de�nitie:De�nitia 21. Se numeste moment de ordin k al variabilei aleatoare X si

se noteaz¼a �k:num¼arul:�k =M

�Xk�:

Observatia 22. Se observ¼a c¼a �1 =M (X) ; �0 = 1:Observatia 23. Cele mai des utilizate în aplicatii sunt: �2; �3; �4:

Exemplul 24. Fie X :

��2 1 20:4 0:3 0:3

�: Avem:

�2 =M�X2�= (�2)2 0:4 + 120:3 + 220:3 = 1:6 + 0:3 + 1:2 = 3:1

�3 =M�X3�= (�8) 0:4 + 0:3 + 8 0:3 = 3:2 + 0:3 + 2:4 = 5:9

�4 =M�X4�= 16 0:4 + 0:3 + 16 0:3 = 6:4 + 0:3 + 4:8 = 11:5

Exemplul 25. Pentru X :

�x3x2

�x2[0;1]

avem:

�2 =

Z 1

0

x23x2dx =3

5;

�3 =

Z 1

0

x33x2dx =1

2;

�4 =

Z 1

0

x43x2dx =3

7:

2.5.2. Caracteristici de împr¼astiere (sau de dep¼artare)

69

Dup¼a ce au fost analizate principalele caracteristici de grupare vom evi-dentia cât de dep¼artate sunt valorile variabilei fat¼a de o valoare de grupare.Într-adev¼ar, valoarea medie d¼a informatii asupra num¼arului în jurul c¼aruia segrupeaz¼a valoarile variabilei, dar acestea nu sunt de ajuns. De exemplu în cazulvariabilelor aleatoare care pot � diferite dar s¼a aib¼a aceeasi valoare medie.

Exemplul 26. Fie variabilele X1 :��1 112

12

�si X2 :

��100 10012

12

�:

Avem:M (X1) =M (X2) = 0:

cu toate c¼a valorile lor difer¼a semni�cativ.Exist¼a mai multe caracteristici de împr¼astiere. Cele mai des utilizate sunt

urm¼atoarele:

- dispersia (varianta)

- abaterea medie p¼atratic¼a

- momente centrate de ordin superior

DispersiaDispersia este cea mai important¼a caracteristic¼a de împr¼astiere.De�nitia 27. Se numeste dispersia variabilei aleatoare X num¼arul notat

D (X) de�nit ca valoare medie a p¼atratului variabilei aleatoare abatere [X �M (X)]; adic¼a num¼arul:

D (X) =Mh(X �M (X))

2i:

Observatia 28. Avem:

D (X) =Xi2I

(xi �M (X))2pi �X variabil¼a aleatoare discret¼a

D (X) =

Z 1

�1(x�M (X))

2f (x) dx �X variabil¼a aleatoare continu¼a.

Propozitia 29. Se demonstreaz¼a c¼a dispersia are urm¼atoarele propriet¼ati:1. D (X) � 0:2. D (cX) = c2D (X) :3. D (c) = 0:4. D (X � Y ) = D (X)+ D (Y ) ; dac¼a X;Y - independente.5. D (X) =M

�X2�� (M (X))

2= �2 � �21:

Exemplul 30. Pentru X :

��2 1 20:4 0:3 0:3

�avem M (X) = 0:1:

D (X) = (�2� 0:1)2 0:4 + (1� 0:1)2 0:3 + (2� 0:1)2 0:3 = 3: 09:Sau D (X) = �2 � �21 = 3:1� 0:01 = 3: 09:Exemplul 31. În cazul variabilei aleatoare continue din exemplul 19 avem:

70

D (X) =R 10

�x� 3

4

�23x2dx = 3

R 10(x4 � 3

2x3 + 9

16x2)dx = 3

80

Sau D(X) = �2 � �21 = 35 �

916 =

380 :

Exemplul 32. Pentru X1 din exemplul 26 avem:

D (X1) = (�1� 0)21

2+ (1� 0)2 1

2= 1;

iar pentru X2 din acelasi exemplu vom avea:

D (X2) = (�100� 0)21

2+ (100� 0)2 1

2= 2

1002

2= 10000:

Abaterea medie p¼atratic¼aDe�nitia 33. Se numeste abatere medie p¼atratic¼a a variabilei aleatoare X

si se noteaz¼a � (X) num¼arul dat prin relatia

� (X) =pD (X):

Observatia 34. Abaterea medie p¼atratic¼a a fost introdus¼a pentru c¼a unit¼atilede m¼asur¼a ale acesteia sunt exact aceleasi cu unit¼atile de m¼asur¼a ale valorilorvariabilei aleatoare.Momente centrate de ordin superiorPentru k 2 N se introduc ca o extensie a dispersiei momentele centrate de

ordin superior prin de�nitiaDe�nitia 35. Se numeste moment centrat de ordinil k al variabilei aleatoare

X si se noteaz¼a �k valoarea medie a puterii k a variabilei abatere

�k =Mh(X �M (X))

ki:

Observatia 36. �1 = 0; �2 = D (X) :Cele mai des utilizate sunt �3; �4:Are loc urm¼atorul rezultat:Teorema 37. Între momentele centrate de ordin superior �k si momentele

de ordin superior �k exist¼a relatia de leg¼atur¼a:

�k =kXi=0

Cik (�1)i�k�i (�1)

i:

În particular avem:

�2 = �2 � �21;�3 = �3 � 3�2�1 + 2�31;�4 = �4 � 4�3�1 + 6�2�21 � 3�41:

2.6. Distributii clasice ale variabilelor aleatoare

Tipurile de distributii clasice se asociaz¼a schemelor clasice de probabilitate.Distributii de variabile aleatoare discrete:

71

a) Distributia binomial¼a (corespunz¼atoare schemei urnei cu bila revenit¼a):

X :

�k

Cknpkqn�k

�k=0;n

; p+ q = 1; p; q > 0:

b) Distributia hipergeometric¼a (corespunz¼atoare schemei urnei cu bila nerevenit¼a):

X :

�k

Cka �C

n�kb

Cna+b

�k=0;n

:

c) Distributia lui Poisson (se obtine printr-un proces de trecere la limit¼a dindistributia binomial¼a - n!1 , np = � (const.))

X :

�k

�k

k! e��

�k=0;1;:::

d) Distributia lui Pascal (corespunz¼atoare schemei lui Pascal):

X :

�k

Ckn+k�1 � pn � qk

�k=0;1;:::

; p+ q = 1; p; q > 0

Caz particular, pentru n = 1 avem distributia geometric¼a:

X :

�k

p � qk

�k=0;1;:::

; p+ q = 1; p; q > 0:

Distributii de variabile aleatoare continue:a) Distributia uniform¼a:

X :

�x1b�a

�x2[a;b]

:

b) Distributia normal¼a este cea mai des utilizat¼a:

X :

�x

1�p2�e�

(x�m)2

2�2

�x2(�1;1)

; �;m 2 R; � > 0:

În leg¼atur¼a cu aceast¼a distributie amintim urm¼atorul rezultat (IntegralaEuler-Poisson-Gauss):

1Z�1

e�t2

2 dt =p2�:

Media si dispersia in cazul distributiilor clasice

72

Prezent¼am în continuare valoarea medie si dispersia în cazul variabileloraleatoare care urmeaz¼a distributii clasice.

:

Distributia M(X) D(X)Binomial¼a np npq

Hipergeometric¼a n aa+b n a

a+bba+b

a+b�na+b�1

Poisson � �Pascal (Geometric¼a) 1

pqp2

Uniform¼a a+b2

(b�a)212

Normal¼a m �2

:

2.7. Exercitii si probleme rezolvate2.7.1. Se studiaz¼a alegerea unui proiect de modernizare a unei companii.

S-au prezentat 3 proiecte care pot �viabile sau nu. Dac¼a not¼am cu Ai; i = 1; 3,evenimentul �proiectul i este viabil�, s¼a se exprime în functie de A1; A2; A3urm¼atoarele evenimente:a) toate proiectele sunt viabile;b) cel putin un proiect este viabil;c) dou¼a proiecte sunt viabile;d) cel mult dou¼a proiecte sunt viabile;e) un singur proiect este viabil.Solutie:Not¼am cu �Ai; i = 1; 3, evenimentul �proiectul i nu este viabil�.a) Not¼am cu A evenimentul �toate proiectele sunt viabile�A = A1\A2\A3,

adic¼a toate cele 3 proiecte sunt rentabile.b) Not¼am cu B evenimentul �cel putin un proiect este viabil�si astfel putem

scrie B = A1 [A2 [A3c) Not¼am cu C evenimentul �dou¼a proiecte sunt viabile�.C =

�A1 \A2 \ �A3

�[�A1 \ �A2 \A3

�[��A1 \A3 \A3

�d) Not¼am cu D evenimentul �cel mult dou¼a proiecte sunt viabile�. Eveni-

mentul D este echivalent cu a spune c¼a: nici un proiect nu este viabil, doar unproiect este viabil sau dou¼a proiecte sunt viabile.D =

��A1 \ �A2 \ �A3

�[�A1 \ �A2 \ �A3

�[��A1 \A2 \ �A3

�[��A1 \ �A2 \A3

�[C:

e) Not¼am cu E evenimentul �un singur proiect este viabil�. Atunci:E =

�A1 \ �A2 \ �A3

�[��A1 \A2 \ �A3

�[��A1 \ �A2 \A3

�:

2.7.2. O moned¼a este aruncat¼a de 3 ori si secventa de m¼arci si steme esteînregistrat¼a.a) Scrieti spatiul evenimentelor elementare b) Scrieti urm¼atoarele evenimente, folosind evenimentele elementare:A-s¼a apar¼a cel putin 2 stemeB-primele 2 arunc¼ari sunt stemeC-ultima aruncare este marc¼ac) Determinati urm¼atoarele evenimente:1) CA ; 2) A \B; 3) A [ CSolutie: Spatiul evenimentelor aleatoare este: = fSSS; SSM; SMS;MSS; MMS; MSM; SMM;MMMg, unde cu S

not¼am aparitia stemei, iar cu M aparitia m¼arcii.

73

b) Evenimentele A;B;C;se scriu folosind evenimentele elementare din dup¼a cum urmeaz¼a:A = fSSS; SSM; SMS; MSSgB = fSSM;SSSgC = fSSM; SMM;MMM; MSMgc) Evenimentele CA; A \B;A [B se scriu folosind punctul b) astfel:CA = �A = fSMM;MMM;MMS;MSM gA \B = fSSM;SSSgA [ C = fSSS; SSM; SMS;MSS; SMM; MMM;MSMg2.7.3. Presupunem c¼a într-o camer¼a sunt 5 persoane. Care este probabili-

tatea ca cel putin 2 persoane s¼a aib¼a aceiasi zi de nastere.Solutie: Fie A evenimentul �cel putin 2 persoane au aceiasi zi de nastere�.

Atunci �A este evenimentul �cele 5 persoane au zile de natere diferite�Presupunem c¼a anul are 365 zileAsadar P

��A�= 365 364 363 362 361

3655

Deci, P (A) = 1� P��A�= 1� 365 364 363 362 361

3655

2.7.4. In România numerele de înmatriculare ale masinilor au 7 caractere:2 litere urmate de 2 cifre si alte trei litere. Dac¼a toate secventele de 7 caracteresunt egal probabile, care este probabilitatea ca num¼arul de înmatriculare al uneimasini noi s¼a nu contin¼a cifre si litere identice?Solutie: Not¼am cu A evenimentul cerut.Alfabetul contine 26 litere, iar cifrele de pe num¼arul de înmatriculare pot

�: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Num¼arul total de pl¼acute de înmatriculare este 265 �102(corespunz¼atoare celor 5 litere si 2 cifre). Num¼arul pl¼acutelor ce contin literesi cifre diferite este: (26 25) � (10 9) � (24 23 22) (corespunz¼atoare primelor 2litere diferite, urmate de 2 cifre diferite si alte trei litere diferite de primele 2 sidiferite între ele).Deci, P (A) = 26 25 10 9 24 23 22

265102 = 0; 5972.7.5. Fie PB (A) = 1

2 ; P �B (A) =12 si PA (B) =

12 . Se cere :

a) s¼a se determine P (A) si P (B).b) evenimentele A si B sunt independente?Solutie:Folosind de�nitia probabilit¼atii conditionate se obtin·e:PB (A) =

P (A\B)P (B) = 1

2

P �B (A) =P(A\ �B)P( �B)

= P (AnB)1�P (B) =

P (A)�P (A\B)1�P (B) = 1

2

PA (B) =P (B\A)P (A) = P (A\B)

P (A) = 12

Dac¼a not¼am P (A) = x; P (B) = y; P (A \B) = z, se obtine sistemulliniar:8<:

zy =

12

x�z1�y =

12

zx =

12

,

8<: z = 12y

z = 12x

x� z = 12 �

12y

, de unde prin calcule x = 12 ; y =

12 ;

z = 14 .In concluzie: P (A) = 1

2 ; P (B) = 12

Conditia ca evenimentele A si B s¼a �e independente este: P (A \B) =P (A) P (B)

74

Deoarece P (A \B) = 14 =

1212 = P (A) P (B) se obtine c¼a evenimentele A

si B sunt independente.2.7.6. O �rm¼a de asigur¼ari are clienti din 3 categorii de risc: ridicat, mediu,

sc¼azut, care au respectiv probabilit¼atile de a cere desp¼agubiri în caz de accidente:0,02, 0,01, 0,0025 într-un an. Proportiile celor 3 categorii de clienti în cadrulcompaniei sunt respectiv 10%, 20%, 70%. Care este probabilitatea ca un cliental �rmei s¼a �e desp¼agubit? Care este proportia de desp¼agubiri ce provin într-unan de la clientii cu risc ridicat?Solutie:Not¼am cu B evenimentul �un client al companiei este desp¼agubit�si

cu:A1-evenimentul �clientul provine din categoria de risc ridicat�A2-evenimentul �clientul provine din categoria de risc mediu�A3-evenimentul �clientul provine din categoria de risc sc¼azut�Sistemul fA1; A2; A3g, formeaz¼a un sistem complet de evenimente deoarece

reuniunea lor este evenimentul sigur si sunt dou¼a câte dou¼a incompatibile.Astfel conform formulei probabilit¼atii totale:

P (B) = P (A1) P�BA1

�+P (A2) P

�BA2

�+P (A3) P

�BA3

�= 0; 1 0; 02+0; 2

0; 01 + 0; 7 0; 025 = 0; 00575:Pentru a r¼aspunde la a doua întrebare folosim formula lui Bayes:P (A1=B) =

P (A1) P (B=A1)P (A1) P (B=A1)+P (A2)P (B=A2)+P (A3)P (B=A3)

= 0;1 0;020;00575 = 0; 347:

2.7.7. La o loterie sunt 100 bilete, din care 10 sunt câstig¼atoare. Opersoan¼acump¼ar¼a 15 bilete. S¼ase determine probabilitatea ca:a) 1 bilet s¼a �e câstig¼ator;b) s¼a se obtin¼a toate cele 10 bilete câstig¼atoare;c) cel putin 2 bilete s¼a �e câstig¼atoare.Rezolvare: Se aplic¼a schema urnei cu 2 st¼ari si bila nerevenit¼a.

a) P10;90 (1; 14) =C110 C14

90

C15100

b) P10;90 (10; 5) =C1010 C5

90

C15100

c) Fie A evenimentul ca �cel putin 2 bilete s¼a �e câstig¼atoare�. Consider¼am�A evenimentul contrar ca ca cel mult unul din cele 15 cump¼arate s¼a �e câstig¼ator.Are loc:P��A�= P10;90 (0; 15)+ P10;90 (1; 14) =

C010 C15

90

C15100

+C110 C14

90

C15100

Probabilitatea cerut¼a va � P (A) = 1� P��A�

2.7.8. Un depozit de piese auto are în stoc piese de la 4 furnizori în urm¼a-toarele cantit¼ati: 100 de la furnizorul F1, 50 de la F2, 30 de la F3 si 80 de laF4.In decursul unei s¼apt¼amâni, depozitul a vândut 45 piese. Care e probabili-

tatea ca din cele 45 de piese vândute, 15 s¼a provin¼a de la furnizorul F1, 5 de laF2, 10 de la F3 si 15 de la F4.Rezolvare: Se aplic¼a schema urnei cu 4 st¼ari si bila nerevenit¼a, unde

a1 = 100; a2 = 50; a3 = 30; a4 = 80k1 = 15; k2 = 5; k3 = 10; k4 = 15. Probabilitatea cerut¼a este:P100;50;30;80 (15; 5; 10; 15) =

C15100 C

550 C

1030 C

1580

C45260

75

2.7.9. Pe parcursul unei s¼apt¼amâni s-a dat predictia cursului valutar, astfelîncât cursul poate s¼a creasc¼a zilnic cu probabilitatea 1

4 , respectiv s¼a scad¼a cuprobabilitatea 3

4 . Stabiliti probabilitatea ca:a) în 5 zile ale s¼apt¼amânii cursul valutar s¼a creasc¼a;b) în cel mult 3 zile cursul valutar s¼a creasc¼a;c) în cel putin 2 zile cursul valutar s¼a creasc¼a;Rezolvare: Consider¼am evenimentul A �cursul valutar s¼a creasc¼a într-o

zi�. In �ecare zi poate avea loc A sau �A.Se aplic¼a schema urnei cu 2 st¼ari si bila revenit¼a (schema binomial¼a), unde:

n = 7; p = P (A) = 14 ; q = P

��A�= 3

4 ,Probabilitatea de a se produce A de k ori este: P (k) = Ck7 p

kq7�k.a) Probabilitatea cerut¼a este: P7 (5) = C57 p

5q7�5 = C57�14

�5 � 34

�2b) Probabilitatea cerut¼a este:3P

k=0

P7 (k) =3P

k=0

Ck7 pk q7�k =

3Pk=0

Ck7�14

�k � 34

�7�k.

c) Not¼am cu C evenimentul �cursul valutar s¼a creasc¼a în cel putin 2 zile�.Atunci C este evenimentul: �cursul valutar s¼a nu creasc¼a în nici o zi sau s¼acreasc¼a într-o zi�. Asadar putem scrie:P�C�= P7 (0) + P7 (1) = C

07

�14

�0 � 34

�7+ C17

�14

�1 � 34

�6Probabilitatea cerut¼a este:P (C) = 1� P

��C�.

2.7.10. Un supermarket vinde urm¼atoarele sortimente de cafea: natural¼a,cappuccino si expresso. Probabilitatea ca un client s¼a cumpere cafea natural¼aeste 0,55, cappuccino 0,3, iar expresso 0,15.Determinati probabilitatea ca din 100 clienti, 70 s¼a cumpere cafea natural¼a,

20 s¼a cumpere cappuccino, iar 10 s¼a cumpere expresso.Rezolvare: Aplic¼am schema urnei cu 3 st¼ari si bila revenit¼a (schema multino-

mial¼a)Fie Ai, evenimentul ca un client s¼a cumpere sortimentul i de cafea , i = 1; 3.

Avem evident:p1 = P (A1) = 0; 55, p2 = P (A2) = 0; 3, p3 = P (A3) = 0; 15, n = 100,

k1 = 70, k2 = 20, k3 = 10Probabilitatea cerut¼a este:P100 (70; 20; 10) =

100!70!20!10! (0; 55)

70(0; 30)

20(0; 15)

10

2.7.11. Care e probabilitatea ca al 80-lea client care intr¼a într-o banc¼a, s¼a�e a 20-a persoan¼a care încheie o polit¼a de asigurare, stiind c¼a probabilitatea cacineva s¼a încheie o polit¼a de asigurare este de 0,6.Rezolvare: Se aplic¼a schema lui Pascal cu n = 80 (num¼arul clientilor),

k = 20 (num¼arul succeselor), p = 0; 6, q = 0; 4.Probabilitatea cerut¼a este: Ck�1n�1 p

k qn�k = C1979 (0; 6)20(0; 4)

60.2.7.12. La trei reprezentante ale concernului Nokia se g¼asesc telefoane mo-

bile cu ecran color sau alb-negru în urm¼atoarele proportii: la prima reprezen-tant¼a 14 cu ecran color si 16 cu ecran alb-negru, la a doua 13 cu ecran color si17 cu ecran alb-negru, iar la a treia 14 cu ecran color si 18 cu ecran alb-negru.

76

Se alege la întâmplare câte un telefon mobil de la �ecare reprezentant¼a, pentrua � supus unor probe de veri�care. Care e probabilitatea ca din cele 3 telefoanealese dou¼a s¼a �e cu ecran color, iar unul cu ecran alb-negru?Rezolvare:Aplic¼am schema lui Poisson. Pentru aceasta not¼am cu pi pro-babilitatea ca telefonul ales de la reprezentanta i s¼a aib¼a ecran color, i = 1; 3.

Avem c¼a:p1 =

1430 ; q1 =

1630 ; p2 =

1330 ; q2 =

1730 ; p3 =

1432 ; q3 =

1832

Conform schemei lui Poisson, probabilitatea cerut¼a este dat¼a de coe�cientullui t2 al polinomului(p1t+ q1) (p2t+ q2) (p3t+ q3)adic¼a de:

p1p2q3 + p1q2p3 + q1p2p3 =1430

1330

1832 +

1430

1730

1432 +

1630

1330

1432 = 0; 33.

Teme de control2.8. Exercitii si probleme propuse2.8.1. In drum spre locul de munc¼a un om trece prin 3 intersectii consecu-

tive, semaforizate. La �ecare semafor se opreste sau îsi continu¼a drumul. Dac¼anot¼am cu Ai; i = 1; 3 evenimentul �la intersectia i continu¼a drumul�, s¼a seexprime folosind A1; A2; A3 urm¼atoarele evenimente:a) persoana are liber la toate intersectiile,b) persoana opreste la toate intersectiile,c) persoana opreste la cel putin o intersectie,d) persoana opreste la cel mult o intersectie.Solutie:a) A = A1 \A2 \A3b) B = �A1 \ �A2 \ �A3c) C = �A1 [ �A2 [ �A3d) D = A [

�A1 \A2 \ �A3

�[�A1 \ �A2 \A3

�[��A1 \A2 \A3

�2.8.2. Se arunc¼a o moned¼a de dou¼a ori. Care este probabilitatea ca marca

s¼a apar¼a cel putin o dat¼a?Solutie: p = 0; 752.8.3. Doi tr¼ag¼atori trag simultan asupra unei tinte. Probabilitatea de a

nimeri tinta este p, respectiv p2cu p 2 (0; 1) pentru cei doi. Stabiliti valoarealui p astfel încât probabilitatea ca primul s¼a nimereasc¼a tinta si al doilea s¼a nuo loveasc¼a s¼a �e cel putin egal¼a cu 0; 375.

Solutie: p 2h12 ;

p13�14

i2.8.4. Se arunc¼a 2 zaruri. Care este probabilitatea ca suma fetelor s¼a �e 6,

stiind c¼a suma acestor fete a dat un num¼ar par?Solutie:Folosind formula probabilit¼atii conditionate se obtine p = 5

18 .2.8.5. Un lift ce contine 5 persoane se poate opri la oricare din cele 7 etaje

ale unei cl¼adiri. Care este probabilitatea ca 2 persoane s¼a nu coboare la acelasietaj?Solutie: 0; 152.8.6. Ocompanie produce în 3 schimburi. Intr-o anumit¼a zi, 1% din arti-

colele produse de I schimb sunt defecte, 2% din cele produse în al II-lea schimbsi 3% din al III-lea schimb. Dac¼a cele trei schimburi au aceeiasi productivitate,

77

care este probabilitate ca un produs din acea zi s¼a �e defect? Dac¼a un produseste defect, care este probabilitatea ca el s¼a � fost fabricat în schimbul al III-lea?Solutie: Folosind formula probilit¼atii totale si formula lui Bayes se obtine:

0; 02 respectiv 0; 52.8.7. Presupunem c¼a ocupatiile în cadrul unei mari companii sunt gru-

pate în 3 nivele de performant¼a: superior (U), mijlociu (M), si inferior (L).U1reprezint¼a evenimentul c¼a tat¼al este în nivelul superior, iar U2 evenimentulc¼a �ul este în nivel superior, etc. S-a determinat urm¼atorul tabel privind mo-bilitatea ocupational¼a unde indicele1 se refer¼a la tat¼a, iar indicele 2 la �u:

FiuTat�a U2 M2 L2U1 0; 45 0; 48 0; 07M1 0; 05 0; 70 0; 25L1 0; 01 0; 50 0; 49

Prima linie a tabelului se citeste astfel: dac¼a tat¼al este în nivelul ocupationalU probabilitatea ca �ul s¼a �e în U este 0; 45, probabilitatea ca �ul s¼a în M este0; 48, respectiv probabilitatea ca �ul s¼a �e în L este 0,07 (celelalte linii aletabelului se citesc analog). Presupunem c¼a 10% din generatia tat¼alui suntU ,40% sunt M si 50% în L. Care este probabilitatea ca un �u din generatiaurm¼atoare s¼a �e în U? Dac¼a un �u este în nivelul ocupational U , care esteprobabilitatea ca tat¼al s¼a � fost în U?Solutie: Folosind formula probilit¼atii totale si formula lui Bayes se obtine:

0; 07 si 0; 64.2.8.8. Intr-un lot de 400 piese, 10 sunt defecte. Se aleg aleator 20 piese. S¼a

se calculeze probabilitatea ca între piesele alese :a) 4 piese s¼a �e defecte;b) s¼a �e cel mult 6 piese defecte;c) s¼a nu �e nici o pies¼a defect¼a

R¼aspuns: a) P10;390 (4; 16) =C410 C

16390

C20400

; b)6P

k=0

P10;390 (k; 20� k); c)

P10;390 (0; 20)2.8.9. O comisie international¼a este format¼a din 5 români, 7 italieni, 4

olandezi si 6 elvetieni. Se aleg la întâmplare 10 persoane pentru a forma osubcomisie. S¼a se calculeze probabilitatea ca din cele 10 persoane alese, 2 s¼a �eromâni, 3 italieni, 3 olandezi si 2 elvetieni.

R¼aspuns: P5;7;4;6 (2; 3; 3; 2) =C25 C

37 C

34 C

26

C1022

2.8.10. Pe parcursul a 10 zile de var¼a s-a dat prognoza meteo astfel încâtzilnic pot c¼adea precipitatii cu probabilitatea 0,2.Calculati probabilitatea de aploua:a) în 3 zile;b) în cel mult 4 zile;c) în cel putin 3 zile.

R¼aspuns: a) P10 (3) = C310 (0; 2)3(0; 8)

7; b)4P

K=0

P10 (k); c) 1 �

78

2PK=0

P10 (k).

2.8.11. Se arunc¼a un zar de 20 de ori. S¼a se calculeze probabilitatea ca de8 ori s¼a apar¼a un num¼ar prim, de 10 ori un num¼ar compus si de 2 ori fata cu unpunct.

R¼aspuns: P20 (8; 10; 2) =20!

8! 10! 2!

�36

�2 � 26

�10 � 16

�22.8.12. Avem 4 grupe de studenti: în prima grup¼a sunt 20 fete si 5 b¼aieti, în

a doua grup¼a sunt 15 fete si 10 b¼aieti, în a treia grup¼a sunt 10 fete si 15 b¼aieti, îna patra grup¼a sunt 24 fete si 1 b¼aiat. Se alege câte un student din �ecare grup¼apentru a participa la o actiune publicitar¼a pentru promovarea unui produs.S¼a se calculeze probabilitatea ca între studentii alesi:a) trei s¼a �e fete;b) s¼a �e numai fete;c) s¼a �e cel putin o fat¼a.R¼aspuns: Se aplic¼a schema lui Poissona) 0; 453, b) 2025

1525

1025

2425 = 0; 184, c) 1� 5

251025

1525

125 = 0; 998

Rezumat modulIn acest modul s-au introdus notiunile de eveniment, probabilitate, operatii

cu evenimente.S-au de�nit variabilele aleatoare de tip discret si continuu, functiade repartitie precum si caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare.In cazul repartitiilor clasice, s-au precizat functiile de probabilitate si den-

sitate de probabilitate si au fost calculate valorile medii si dispersiile acestorvariabile aleatoare.Bibliogra�e modul1. Colectiv, Elemente de algebra liniara, analiza matematica si teoria prob-



III. AnexeBibliogra�a completa a cursului:1. Colectiv, Elemente de Algebra liniara si Analiza matematica pentru

economisti, Ed. Todesco, Cluj-Napoca, 20032. Colectiv, Elemente de teoria probabilitatilor si statistica matemetica pen-

tru economisti, Ed. Todesco, Cluj-Napoca, 20043. Colectiv, Elemente de algebra liniara, analiza matematica si teoria prob-

abilitatilor, Ed. Mega, Cluj-Napoca, 20094. Muresan A.S., Blaga P., Matematici aplicate in economie, vol. I, Ed.

Transilvania Press, Cluj-Napoca, 19965. Colectiv, Analiza matematica, Teoria Probabilitatilor si Algebra liniara

aplicate in economie, Ed. Mediamira, Cluj-Napoca, 20086. Colectiv, Elemente de teoria probabilitatilor si statistica matemetica pen-

tru economisti, Ed. Todesco, Cluj-Napoca, 20047. Mihoc I., Calculul probabilitatilor si statistica matematica, lito UBB,

Cluj-Napoca, 1998

79

8. Muresan A.S., Blaga P., Matematici aplicate in economie, vol. I, Ed.Transilvania Press, Cluj-Napoca, 1996

Scurta biogra�e a titularilor de cursNumele si prenumele MURESAN ANTON SILVIUData nasterii 31 mai 1947Functia didactic¼a actual¼a ProfesorInstitutia la care este titular Catedra de Statistica-Previziuni-Matematica,

FSEGA, UBBStudii Data absolvirii InstitutiaDoctorat in matematica 1976 UBBLicenta in matematica 1970 UBBBacalaureat 1965 Sc. Medie nr. 2 Baia MareCariera didactic¼a �Denumirea functiei didactic Perioada Calitatea

Titular/asociat Institutiade înv¼at¼amântProfesor universitar 1994-prezent Titular UBBConferentiar universitar 1990-1994 Titular UBBLector universitar 1976-1990 Titular UBBAsistent universitar 1974-1976 Titular UBBAsistent universitar 1970-1974 Stagiar UBBPublicatii, alte rezultate ale activit¼atii didactice si de cercetare stiinti�c¼a

Num¼arC¼arti, monogra�i, materiale de studiu 63Alte articole 47Particip¼ari la conferinte internationale 15Particip¼ari la conferinte interne 29Membru în comitete de organizare sau stiinti�ce ale unor conferinte 5Alte rezultate (denumirea) Premiu UBB 1Visiting Professor Italia Univ. La Sapienza Roma 1Activit¼ati în domeniul ID Denumirea/perioada Institutia organiza-

toareProfesor Matem. aplicate in economie UBBProfesor Matem. �nanciare si actuariale UBBProfesor Teoria jocurilor si aplicatii UBB

Numele si prenumele FILIP DIANA ANDRADAData nasterii 18-03-1969Functia didactic¼a actual¼a ProfesorInstitutia la care este titular Catedra de Statistica-Previziuni-Matematica,

FSEGA, UBBStudii Data absolvirii InstitutiaDoctorat in matematica 1999 UBBLicenta in matematica 1993 UBB

80

Bacalaureat 1988 Liceul "Nicolae Balcescu"Cluj-NapocaDenumirea functiei didactic Perioada Calitatea

Titular/asociat Institutiade înv¼at¼amântConferentiar universitar 2004 - prezent Titular UBBLector universitar 2000 - 2004 Titular UBBAsistent universitar 1996 - 2000 Titular UBB

Preparator universitar 1994-1996 Titular UBB

Profesor de matematica 1993-1994 Titular Liceul TraianVuia Cluj-NapocaPublicatii, alte rezultate ale activit¼atii didactice si de cercetare stiinti�c¼a

Num¼arC¼arti, monogra�i, materiale de studiu 6Articole BDI 6Particip¼ari la conferinte internationale 8Particip¼ari la conferinte interne 12Membru în comitete de organizare sau stiinti�ce ale unor conferinte 4Activit¼ati în domeniul ID Denumirea Institutia organizatoareConferentiar Matem. aplicate in economie UBBConferentiar Matem. �nanciare si actuariale UBB

Numele si prenumele CURT PAULAData nasterii 31 mai 1964Functia didactic¼a actual¼a ConferentiarInstitutia la care este titular Catedra de Statistica-Previziuni-Matematica,

FSEGA, UBBStudii Data absolvirii InstitutiaDoctorat in matematica 1997 UBBLicenta in matematica 1986 UBBBacalaureat 1982 Liceul �Andrei Muresanu"

DejDenumirea functiei didactic Perioada Calitatea

Titular/asociat Institutiade înv¼at¼amântConferentiar universitar 2003-prezent Titular UBBLector universitar 1995-2003 Titular UBBAsistent universitar 1990-1995 Titular UBBPublicatii, alte rezultate ale activit¼atii didactice si de cercetare stiinti�c¼a

Num¼arC¼arti, monogra�i, materiale de studiu 6Articole BDI 27Particip¼ari la conferinte internationale 15Particip¼ari la conferinte interne 10

81

Membru în comitete de organizare sau stiinti�ce ale unor conferinte 5Activit¼ati în domeniul ID Denumirea Institutia organizatoareConferentiar Matem. aplicate in economie UBBConferentiar Matem. �nanciare si actuariale UBB

Numele si prenumele MIHOC MARIAData nasterii 27-01-1941Functia didactic¼a actual¼a ConferentiarInstitutia la care este titular Catedra de Statistica-Previziuni-Matematica,

FSEGA, UBBStudii Data absolvirii InstitutiaDoctorat in matematica 1981 UBBLicenta in matematica 1963 UBBBacalaureat 1957 - Liceul Teoretic �G. Cosbuc�(Regina

Maria) Cluj-NapocaDenumirea functiei didactic Perioada Calitatea

Titular/asociat Institutiade înv¼at¼amântConferentiar universitar 1995 - Titular UBBLector universitar 1990 �1995 Titular UBBCercetator 1963 �1990 Titular UBBPublicatii, alte rezultate ale activit¼atii didactice si de cercetare stiinti�c¼a

Num¼arC¼arti, monogra�i, materiale de studiu 16Articole BDI 25Particip¼ari la conferinte internationale 27Particip¼ari la conferinte interne 40Activit¼ati în domeniul ID Denumirea Institutia organizatoareConferentiar Matem. aplicate in economie UBBConferentiar Matem. �nanciare si actuariale UBB

Numele si prenumele RAP ILIEData nasterii 29-09-1940Functia didactic¼a actual¼a LectorInstitutia la care este titular Catedra de Statistica-Previziuni-Matematica,

FSEGA, UBBStudii Data absolvirii InstitutiaLicenta in matematica 1963 UBBBacalaureat 1956 Liceul Alba IuliaDenumirea functiei didactic Perioada Calitatea

Titular/asociat Institutiade înv¼at¼amântLector universitar 1973 - Titular UBBAsistent 1968 - 1973 Titular UBBCercetator 1963 �1968 Titular Institutul de

Fizica Atomica Cluj

82

Publicatii, alte rezultate ale activit¼atii didactice si de cercetare stiinti�c¼aNum¼arC¼arti, monogra�i, materiale de studiu 15Articole BDI 33Particip¼ari la conferinte internationale 2Particip¼ari la conferinte interne 2Contracte de cercetare 12Activit¼ati în domeniul ID Denumirea Institutia organizatoareLector Matem. aplicate in economie UBBLector Matem. �nanciare si actuariale UBB

83

Matematici Aplicate in Economie

Documents

Transcript of Matematici Aplicate in Economie