Matematica.clasa11.Arhimede.2014.11 29

Concursul Na Concursul Na Concursul Na Concursul NaŃional de Matematic ional de Matematic ional de Matematic ional de Matematică “Arhimede” “Arhimede” “Arhimede” “Arhimede” Edi Edi Edi EdiŃia a XII ia a XII ia a XII ia a XII-a, Etapa I a, Etapa I a, Etapa I a, Etapa I, , , , 29 noiembrie 29 noiembrie 29 noiembrie 29 noiembrie 201 201 201 2014 Clasa a Clasa a Clasa a Clasa a XI XI XI XI-a I. Se consideră şirul de numere reale ( ) 1 ≥ n n x care satisface relaŃiile: 2 1 = x ; 1 2 1 − = + n x x x , 1 ≥ n . Fie ( ) 1 log 2 − = n n x a , 1 ≥ n . (3p) a) Să se calculeze: 2 x , 3 x , 4 x , 1 a , 2 a , 3 a , 4 a . (3p) b) Să se calculeze: n n a a − +1 , 1 ≥ n . (3p) c) Să se determine termenul general al şirului ( ) 1 ≥ n n a şi să se arate că 1 2 1 + = − n n x , 1 ≥ n . II. (9p) Fie ) ( , 2 Z M B A ∈ cu 0 ) det( ≠ A , 0 ) det( ≠ B şi [ ] [ ] 2 ) ( ) ( I AB B A Tr A B Tr − = ⋅ + ⋅ . Să se demonstreze că ) det( AB este pătratul unui număr întreg. prof.Marius Drăgan III. Fie ( ) 1 ≥ n n x un şir de numere reale care satisface relaŃiile: a x = 1 ; b x = 2 şi n x x x x n n + + + = + ... 2 1 1 , 2 ≥ n . (3p) a) Să se calculeze în funcŃie de a şi b termenii 3 x , 4 x şi 5 x . (3p) b) Ce condiŃii trebuie să îndeplinească a şi b astfel încât şirul ( ) n x să fie monoton? (3p) c) Să se demonstreze că ( ) 1 ≥ n n x este convergent şi să se calculeze n n x ∞ → lim . IV. (9p) Fie 3 ≥ n un număr natural. Să se determine cel mai mare număr natural k cu proprietatea că există n k S ∈ σ σ σ ,..., , 2 1 transpoziŃii distincte în fiecare din cazurile: a) i j j i σ σ σ σ = oricare ar fi { } k j i ,..., 2 , 1 , ∈ b) i j j i σ σ σ σ ≠ oricare ar fi { } k j i ,..., 2 , 1 , ∈ Sorin Rădulescu, Marius Rădulescu Notă. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se notează de la 1 la 10 p. La fiecare subiect se acordă 1p din oficiu. Punctajul maxim la o problemă se acordă pentru rezolvare corectă, completă şi cu explicaŃii clare. Timp de lucru: 3 ore.

Upload
dragomir-radu
Category

Documents
view
212
download
0

Embed Size (px):

description

Fise matematica

Transcript of Matematica.clasa11.Arhimede.2014.11 29

Concursul NaConcursul NaConcursul NaConcursul Naional de Matematicional de Matematicional de Matematicional de Matematic ArhimedeArhimedeArhimedeArhimede

EdiEdiEdiEdiia a XIIia a XIIia a XIIia a XII----a, Etapa Ia, Etapa Ia, Etapa Ia, Etapa I, , , , 29 noiembrie29 noiembrie29 noiembrie29 noiembrie 2012012012014444

Clasa a Clasa a Clasa a Clasa a XIXIXIXI----aaaa

I. Se consider irul de numere reale ( )1nnx care satisface relaiile: 21 =x ; 121 =+ nx xx , 1n .

Fie ( )1log2 = nn xa , 1n .

(3p) a) S se calculeze: 2x , 3x , 4x , 1a , 2a , 3a , 4a .

(3p) b) S se calculeze: nn aa +1 , 1n .

(3p) c) S se determine termenul general al irului ( )1nna i s se arate c 12

1 += nnx , 1n .

II. (9p) Fie )(, 2 ZMBA cu 0)det( A , 0)det( B i [ ] [ ] 2)()( IABBATrABTr =+ .

S se demonstreze c )det(AB este ptratul unui numr ntreg.

prof.Marius Drgan

III. Fie ( )1nnx un ir de numere reale care satisface relaiile: ax =1 ; bx =2 i n

xxxx nn

+++=+

...211 ,

2n . (3p) a) S se calculeze n funcie de a i b termenii 3x , 4x i 5x .

(3p) b) Ce condiii trebuie s ndeplineasc a i b astfel nct irul ( )nx s fie monoton?

(3p) c) S se demonstreze c ( )1nnx este convergent i s se calculeze n

nx

lim .

IV. (9p) Fie 3n un numr natural. S se determine cel mai mare numr natural k cu proprietatea c exist

nk S ,...,, 21 transpoziii distincte n fiecare din cazurile:

a) ijji = oricare ar fi { }kji ,...,2,1,

b) ijji oricare ar fi { }kji ,...,2,1,

Sorin Rdulescu, Marius Rdulescu

Not. Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se noteaz de la 1 la 10 p. La fiecare subiect se acord 1p din

oficiu. Punctajul maxim la o problem se acord pentru rezolvare corect, complet i cu explicaii clare.

Timp de lucru: 3 ore.