Axioma marginii superioare . Consecinle Prof. Bucov al6 Zoia Gabriela

Proprietatea lui ArhimedePentru orice numere reale lixatex,y cu x> 0 existi n eN astfel incat nx >y.

Demonstratie:Presupunem prin absurd ca Vn 6 N avem nx < y.Submultimea A : {0 , 2x , 3x , ...}a lui lR ar fi majorata de y si conform axiomei luiCantor ff =supl.

Atunci in intervalul (€ - x,€l exista puncte din A , deci exista p > I natural astfel incat

{ - x < px < € + ( <(p + l)x absurd pentru ca f,=supA si (p+l)x e A .

Corolar: Fie aelR,a>0fixat.Dacapentruorice s>0 rationalavem o4t tatunci a=0.

Demonstratie:Daca a*0 atuncia>0siconformproprietatiiluiArhimede,arexistannaturalnenul

astfelincatna> l.Fie a= t

,conformipotezei rczulta2 n '

1 , .q q- . adica na<l . Conffadictie.2 n '

Teorema de densitate a lui Q in RFiex ry reale cu x<y. Atunci 3aeQ astfel incatx< a<y.

Demonstratie:Cumy-x> 0, dinproprietatealui Arhimede avem caln>l natural astfel incat

n(y-x)> l+x.y- f s i lmeNt ast fe l incatm' l>ny ,adicay<11.n n

r " 'Multimea n = 1 *e N' / y < a I este nevida si fiind o parte a lui N este minorata, deci

t n )SmoeN astfelincatmo =inf B.

E v i d e n t m o - T * B + * o - l . y , m o e B * y s Y Ln n

1 m^ | m" - lx < y - -

n n n n

obtinem *.^o-l < y si evident mo -l

e e

Axioma marginii superioare . Consecinte Prof. Bucov ald, Zoia Gabri e I a

Consecinta : Fie x numar real. Atunci exista doua siruri de numere rationale

(a,)si (b") astfel incat

1 ) a " < x l b n V n e N

2) ao < ar 1 . . .1on. , . s i bo > 4 > . . ,> bn. . .

3)!iyy" = * =I*b,

Demonstratie:Conform teoremei de densitate

1 ao,b,e Q astfel incat x-l 4 on< x < bo< x+ I

n nl l

d e c i 0 < x - q n l ! s i 0 < b " * x < an n

Aplicand din nou teorema de densitate obtinem an+',b,+t e Q astfel incat1 l

max(a,,x- -) 1en+t1x 1bn*rcmin(b,,x+ -) decin + l n + l

6 n l a r + r < x < b n * , < b n

l l0 < x - o , * r < - s i 0 < b o * , - x < - -

n + l n + lAstfel se obtin sirurile din enunt

Principiul lui Cantor sau lema intervalelor inchise incluseFie .Io = /, = Iz>...un sir de intervale nevide, inchise si marginite, din lR oIo=[&o , bnl , n> 0 . Atunci intersectia acestor intervale este nevida .

Demonstratie:conform ipolezei avem inegalitatileoo 3 a, 3 a, 3 . . .3 oo <. . .< bp S. . . 3 4 3 bo

Fie multimile de numere realeA: {ap I p>0}, B = {bcl q>0 }. EvidentA este majorata si B este minorata.

Atunci 1€ =supA si 4=itgCum ao< bo pentru orice p si q naturale , obtinem f < 4Fie /e l€ ,n1*q ,s€<t<r ts6 , vn>0 + te I ,Yn>0 + t . [ - l r " = l€ ,n1 . [^ ] l

n20 n20

Observatie:Daca lungimile intervalelor I,, tind catre zero , atunci0 3€ -rt <t(1") + €=rt = nI" este redusa la un punct .

n>0

Axioma marginii superioare . Consecinle Prof. Bucov ald, Zoia Gabriela

Teorema : Multimea numerelor reale nu este numarabila

Demonstratie:Daca IR ar fi numarabila , am putea scrie lR' = {x,xr,...,x,,...\ cu xn # x-Yn * m

consideram un interval inchis I, =lao,bolcR. astfel incat xo e.Io si /(Io) = 1

Impartind Io in trei parti egale , cel putin unul din subintervale nu va contine Pe xr .

Notam cu Ir acest interval si avem xr 4 I, l(f,) = IJ

Repetand procedeul se obtine un sir descrescator de intervale inchise si marginite (/,),.^

cu proprietatile : xn E I, Yne N si t(1,)=!.vr. N 'J

Rezulta ca intersectia acestor intervale este nevida , decifxelR. astfel incatxeln Vn eN. Darconform constructiei intervalelor x*xn VneN,

contradictie Cu .r € IR = {re,x1, ...,xn,..,}

Lema lui CesaroOrice sir marginit de numere reale contine un subsir convergent

DemonstratieFie (x,),r" un sir marginit de numere reale , atunci toti termenii sirului apartin unui

interval inchis Io = [ao , bo] , ao < bo .

Fie co =b*, atunci cel putin unul din intervalele [ao, co] , [co , bo] contine o

infinitate de termeni ai sirului (xo) , si fie acesta 11 : [a1 , b1]Repetand procedeul obtinem un sir descrescator de intervale inchise si marginite care ,conform principiului lui Cantor , au intersectia nevida .

Obtinem ca 1{. [-l/, .220

Alegem ko < kr< k2 <... astfel incat xo e Io , xk, € It , x, e I, ,-..(acest lucru este

posibil deoarece fiecare interval contine o infinitate de termeni ai sirului)

Cum f eI,Yn>0 =+ l.r.-t! l( l ,)=!n# +limxr.={

Axioma marginii superioare . Consecinte Prof. Bucov al6 Zoia Gabriela

Definitie : Un sir de numere reale se numeste sir Cauchy daca :Vs > 0 ,1n" eN astfel incat lx" -x-l< e Yn,m) n"

Teorema (criteriul general al lui Cauchy)Un sir de numere reale este convergent daca si numai daca el este un sir Cauchy

DemonstratieFie (x,),.^ un sir convergent de numere reale cu x, -> I , afunci

Ve > 0 , 1n, eN asry'l incat lx,-4.I Yn) n,

Daca m, n2n"= lr, -t l. i , l*^l, lq.i, aruncik -

l *^-*,1=lx^-� l+l-x, l<lr , - t l+lx, - / l . ; . i - g ) (r , ) , .^ este sir Cauchy .

Reciproc , fir (r,),.* un sir Cauchy de numere reale .

Vom demonstra ca sirul este marginit .Fie e=1 atunci lNe N astfet incat lx,-", l.IYn,m) N

In particularpentru m:N si n ).1[ avem

lr,l = lr, -x" +xrl s lx, -x"l +lrrl . I +lx"lAsadar termenii sirului , de rang mai mare decat N , sunt cuprinsi in intervalul(-t - lx" l, t * lr, l), rezulta ca sirul este marginit .

Conform lemei lui Cesaro el va contine un subsir convergent , fie acesta/ \(", ),.* cu k, < kt < kz <... , xr, -+ I

Fie a > 0 arbitrar fixat . Atunci existaNr natural , astfel incat lxr- -t1.1 Yn2 N,r " o | 2

Cum (r, ),"* este sir Cauchy, exista N2 natural, astfel incat lx, - r, | . I Vrz, n e N

Fie N" = max(..M,,i/r) si n > ff,. Luam fii = kn si cum

knZn + m)N" + l* , - r , l . i . obt in"t

-

l*, - tl=l*, - *0, + xr. - tlslx, - x o.l + l+, - { . i * i = € Y n 2 N ",adica (x, ),.* este

convergentsi x, -+/

Teorema Weierstrass : Orice sir monoton si marginit de numere reale, esteconvergent.

DemonstratieFie (.r,),.^ un sir monoton crescator si marginit . Atunci exista M:sup{xn} .

Vom arata ca limx, - l,[

Fie e > 0 arbitrar, fixat . Cum M - e un este majorant al sirului, existaun termen al

sirului, x1q depinzandde e, astfel incat x" > M -e . Avem M -e <x* 1 M

Sirul fiind crescator si marginit superior de M + x, 3 x, < M Yn> N

+ M - e l x n S M < M + a Y n ) N + l * " - M l . e Y n > N + x n - + M

Propozitie : Fie I c lR o multime nevida majorata si a = sup A. Atunci a este

limita unui sir de elemente din A

Demonstratie

a fiind cel mai mic majorant al multimii A +Yn€ N*,4-1 nu este majorant al lui An

=1a, e A astfel incat a -). o,< a si prin urmare a = liman

Teorema lui Knaster (de Punct fix)Fie b si c numere reale, b<c si f : [b, cl+[b, c] o functiecrescatoare.

Atunci exista xo efb,cl astfel incat f(x6) = xs .

DemonstratieFie E : {x eft,clt x< f (r)} . Multimea E este nevida deoarece/(f) e [a,c] + b < f (b)

E fiind o multime majorata de numere reale , exista x6: sup E

Avem *o =I*b, cu bn e n c.fb,cl+ .r0 € lt,"l ,prin urmare are sens f(xo) .

Fie xe E=x(xo sicumfestecrescatoare =f ( r )<, f ( t r ) .Dar x eE+r<f (*)

e.r < f (d Yx e E = f (tr) majorant al multimii E + xo < "f(t')

cumf estecrescatoare = f (xo)<f (f (*,))=/(r ') eE= f (n)(ro =supE

Obtinem x, < f (xr) sil(xo) s xo = f @')- x0 .

Axioma marginii superioare . Consecinle Prof. Bucovali Zoia Gabriela

Teorema de existenta a radicalului de ordin nPentru orice numar real a > 0 si orice numar natural tr > 0, exista xo> 0, unic, cuproprietatea x[ = s

DemonstratieDaca a: 0 atunci x0 : 0 . Presupunem a > 0 si vom aplicateorema lui Knaster .

F i e f : [ 0 , a + 1 ] d R , f ( r ) = * * 9 1 -n1a+l\ ' - '

Demonstram ca f este crescatoare

F i e 0 < ) c < y < a + l + x r < ( a + l ) t , y r 3 ( a + 1 ) * v f t e N '

+ xn-t + x"-2 y + .,.+ ry'-' + y"-t -< n(a +l)'-'

= r_x'- ' + x"-2 y +...+ ryn-z + y"-t,

On(a+l) ' - '

f (*)- f (y) = (y - 4- l' -

l-r=, = (, - 4( r-x'-' + x'-' v-+ "'!2"-' + v"-'), on \ 4 + r ) \ n ( 4 + I , )

=+ /(t) < f (y), deci f este crescatoare.

Demonstram ca f (10, a +tl) c [O.a + t]

A v e m / ( 0 ) = , 3 - 2 0 s i f ( a + t ) = a * l * t ; ( t + 3 a + 1 , c u m f e s t en \a+r ) n \a+ t )

crescatoare rezulta f (*\ .[0, a + t] Vr e [0, a + l]

Conform teoremei lui Knaster , 3ro e [O,a+t] astfel incat (xo) = xs , adica

a- x ixo+f t= . ro + a= lc t . ,

n l q + I )

Unioitatea:presupunemcaexistadouanumererealexs>0sixr>0,diferite,astfelincat .rfr =a si xl =a . Jq*xo= xr )ro sau \<xo .

Daca xr < x6 atunci xi < xt + s <a contradictie .

Daca x1> xo atunci xi > xi * a> a contradictie