1

Cercul Judeean de Excelen la Matematic Prof. Geagatai Musa-Cerchez Constana

Lecia 4. Clasa a VII-a Evaluare

Evaluarea a fost fcut de prof. Geagatai Musa-Cerchez

Nr.crt. Numele elevului 10 12 15 17 19 20 23 Total

1.

Ababei Daniel

L.T.Ovidius C-a

3 4 2 3 3 5 5 25

2.

Brldeanu Alexandru .G. G.Enescu

- - - - - - - -

3.

Blacioti Mihai

.G.Gh. ieica C-a

- - - - - - - -

4.

Clim Mihai

.G.Spectrum - - - - - - - -

5.

Cosma Bianca

L.T.Ovidius 7 3 7 - 7 7 7 38

6.

Creu Olivian-Dan C.N.M.B.

- - - - - - - -

7.

Danciu Teodora

.G.M. Viteazul - - - - - - - -

8.

Datcu Tudor-Rzvan

C.N.M.B.

- - - - - - - -

9.

Efrim Rzvan .G.Spectrum

- - - - - - - -

10.

Ianc Maria

.G.Spectrum - - - - - - - -

11.

Iliant Mihai

C.N.M.B. C-a - - - - - - - -

12.

Luca Octavian

.G.C. Porumbescu C-a - - - - - - - -

13.

Melinte Octavian

L.T.Ovidius C-a

2 3 4 3 2 3 2 19

14.

Menagi Daria-Melisa

L.T.Traian C-a 1 3 1 7 1 1 1 15

15.

Oprea Theodor-Alin

L.T.Ovidius C-a 1 - 1 2 7 5 7 23

16.

Popescu Andreea

.G.M. Viteazul C-a - - - - - - - -

17.

Poirc Atena .G.Gh.ieica C-a

- - - - - - - -

18.

Sandu Ramazan-Sezer

C.N.M.B.

7 7 7 7 7 7 7 49

19.

Stan Ionu-Octavian L.T.Ioan Cotovu Hrova

7 - 3 3 7 7 7 34

2

20.

Stanca Adelin

.G.D.Cantemir C-a 7 1 2 2 7 6 7 32

21.

Timpuriu Mircea

.G.Gh.ieica C-a 7 7 7 7 7 7 7 49

22.

Tones Ioana

L.T.Traian 1 0 0 0 0 0 0 1

10. n triunghiul ABC se tie c m(C) =450, m(B) =300 i punctul F este simetricul

punctului B fa de punctul C. Calculai m(AFB). Concurs Gh. Vranceanu, Bacu, 2005

Soluie. Fie E mijlocul laturii AB ... mlt

CE || AF (Fig.1). Fie AD BC, DBC m(BAD) = 600; A E

B D C F

Fig. 1.

DE este median corespunztoare ipotenuzei n ABD

DEAEBE ADE este echilateral ADDE (1); n

ADC: m(DAC) = m(ACD) = 450 AD DC (2); din

(1) i (2) .tranz

DEDC m(DEC) = m(DCE) = 150, dar BCE BFA ca unghiuri

corespondente m(AFB)150.

12. Pe bisectoarea unghiului AOB, avnd msura egal cu 1500, se fixeaz punctul C astfel nct [AO] [AC] i [BC] [OC]. Perpendiculara pe BC, n punctul C, intersecteaz semidreapta

(BO n punctul D. Calculai m(ADB). Musa Cerchez Geagatai Revista Campina, 2000

Soluie. n Fig. 2: m(BOC) = m(AOC) = 750 m(ACO) = 750, m(OAC) = 300, E C

A

B O

D

Fig. 2.

m(OBC) = 750 i m(OCB) = 300; DC BC

m(BDC) = 150; fie CE OC, E OA; BCD

OCE (U. L.U.) [CD][CE] (1); m(ACD)

m(ACO) m(OCD) 7560 150 m(ACE)

(2); din (1), (2) i AC AC LUL

DCA ECA

m(ADC) m(AEC) 150 m(ADB) 300.

15. Pe laturile (AB) i (AC) ale triunghiului ABC se construiesc n exterior triunghiurile

echilaterale ABP, respectiv AQC. Dac punctul O este mijlocul segmentului BC i

[OP][OQ], demonstrai c [AB][AC]. Marius Cavachi, Concursul N.N. Mihaileanu 2012

3

P A

Q

B O C

Fig. 3.

Soluie. n Fig. 3. APC ABQ (L.U.L.) PC BQ (1) i

ABQ ACP (2); POC QOB (L.L.L.) OBQ

OCP(3); din (2) i (3) ABC ACB [AB][AC].

17. n triunghiul isoscel ABC cu AB AC 2BC se construiete bisectoarea (BD a unghiului

ABC, D(AC) i fie M mijlocul segmentului [BD]. Demonstrai c CMD este isoscel. Valeriu Matei, RMI/2010

Soluie. n Fig. 4 punctul N este mijlocul laturii AB BNBC bisectoarea BD este nlime i

C D

Q A M

B P

Fig. 4.

median, deci BDNC i NQQC, unde {Q}=NCBD; fie

APCN, PCN APN BQN (ULU) PNNQQC i

APBQ; QD||AP CDQCAP 3

1

CP

CQ

AP

QD

3

1

BQ

QD

3

1

MBQM

QD

3

1

MDQM

QD

3

1

QDQMQM

QD

3

1

2

QDQM

QD QMQD

QM

QD

2

1

13

1

2 CQ este median i nlime n

MDC, deci MDC este triunghi isoscel.

19. n triunghiul ABC punctul M este mijlocul laturii AB, punctul D este piciorul bisectoarei

unghiului ABC i MD BD. Demonstrai c AB = 3BC. O.J. 2005

Soluie. n ABC (Fig. 5) construind MP||BC 2

1....1.

BC

MPmltr; fie MDBC{N} BMN este

B

M

A

D

C P

N Fig. 5.

isoscel (BD este bisectoare i nlime) BMBN;

MDPNDC (ULU) MPCN BC2CN

.33

1

32

2

23

2

3

2BCAB

AB

BC

BM

BC

BM

BC

BN

BC

20. n triunghiul ABC se tie c m(ABC) = 2 m(ACB). Demonstrai c:

a) ;22 BCABABAC b) AB+BC < 2AC. O.J. 2006

Soluie. a) Construind semidreapta (BM ca bisectoare a unghiului ABC (Fig. 6), M(AC)

4

A

M

D B C

Fig. 6

ABMACB AB

AM

CB

BM

AC

AB , dar BMMC

MC

MCAM

BC

BCAB

AB

AM

BC

MC

MC

AC

BC

BCAB

,

dar BC

MC

AC

AB

AB

AM

AC

ABBCABMCAC ),1(

);2(2ABAMAC adunnd membru cu membru relaiile (1) i (2) obinem: ACMCACAM

ABBCAB2 AC(MCAM)AB2ABBC AC2AB2ABBC.

b) Construim AD||MB, DBC BAD ABM (u. a. i.), BDA MBC (u. coresp.) i cum

ABM MBC BAD BDA ABD este isoscel ABBD; ADB MBC

MCB ADC este isoscel AD AC. n ADC: AD AC > DC 2AC > DC 2AC > DB BC 2AC > ABBC.

23. Fie ABC un triunghi ascuitunghic. Se consider punctele M, N(BC), Q (AB) i P (AC) astfel nct MNPQ este dreptunghi. Demonstrai c dac centrul dreptunghiului MNPQ coincide

cu central de greutate al triunghiului ABC, atunci ABAC3AP. O.J. 2012 A

Q P

E F R G S

B M D N C

Fig. 7.

Soluie. Fie GE || BC (Fig. 7) GR GS i GE GF ER

SF LUL

QRE PSF QER PFS B C

AB AC; GP GM PF FC 2

1

GA

DG

FA

CF

AP

PF FC AB AC 3AP.

Menionm elevii Andreea Popescu, Daniel Ababei, Octavian Melinte, Adelin Stancu,

Ramazan-Sezer Sandu, Teodor Oprea, Alexandru Brldeanu, Bianca Cosma i Mircea Timpuriu

care au dat soluii interesante, diferite de cele publicate, la problemele 10, 20 i 23.