MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE Autor: Mocanu...
199
Curs MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE Autor: Mocanu Anastasia
Transcript of MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE Autor: Mocanu...
Curs
MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE
Autor: Mocanu Anastasia
Capitolul 1
Noţiuni de bază din algebra liniară
În activitatea sa economistul analizează sistematic şi calculează diferiţi indicatori economici,
examinează activitatea întreprinderilor şi a ramurilor economiei naţionale, face totaluri şi prognoze. In baza
diferitelor calcule el poate întocmi un program de activitate a unităţilor economice în perspectivă.
Pentru soluţionarea unor probleme de planificare şi dirijare a activităţii economice, specialiştii
analizează şi prelucrează informaţia tehnico-economică, care în majoritatea cazurilor este reprezentată sub
formă de tabele (matrice).
In acest capitol vom exemplifica, în baza unor probleme economice, necesitatea operaţiilor cu matrice, şi
anume adunarea a doua matrice; scăderea a două matrice; înmulţirea a două matrice; inversarea unei
matrice şi utilizarea matricei inverse la rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare, obţinute în procesul de
modelare a balanţei dintre ramurile economice.
1.1. Matrice. Operaţii cu matrice
Definiţia 1.1. Prin matrice de dimensiuni m şi n, unde m, n N*, se înţelege un tablou
dreptunghiular de m∙n numere reale, repartizate pe m linii şi n coloane.Matricea se notează:
A=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
sau A= .mxnija
Numărul liniilor şi coloanelor determină tipul matricei. Se spune că o matrice este de tipul m x n, dacă
ea are m linii şi n coloane. Ma-tricele se notează prin litere mari A, B, C,..., iar elementele lor — cu aij, bij,
Cij,... Primul indice indică linia, iar al doilea - coloana în care se află elementul corespunzător.
1.1.1. Tipuri de matrice
Deosebim următoarele tipuri de matrice:
1. Matrice dreptunghiulară.
Matricea de tipul m n, unde m n, este matrice dreptunghiulară. Ea are m ∙ n elemente.
2. Matrice pătratică.
Matricea este pătratică de ordinul n, dacă m = n. În acest caz ea are n2 elemente. Elementele a i i , i =
n,1 , formează diagonală principală a matricei pătratice.
3. Matrice diagonală.
Matricea pătratică care are toate elementele nule, în afară de cele de pe diagonala principală, se
numeşte matrice diagonală.
4. Matrice unitate.
Matricea diagonală în care aij = 1, i = n,1 , se numeşte matrice unitate şi se notează:
E=
1000
0100
0010
0001
.
5. Matrice nulă.
Matricea care are toate elementele nule se numeşte matrice nulă şi se notează cu litera O. Matricea nulă poate fi
dreptunghiulară sau pătratică.
6. Matrice transpusă.
Dacă într-o matrice A de tipul m n schimbăm liniile cu coloanele de acelaşi ordin, atunci obţinem o altă
matrice A' de tipul n m, numită matrice transpusă. Cu alte cuvinte, dacă
A = (a ij )m ∙n, atunci A' = (aij)n∙m.
7. Matrice-linie.
Matricea care are o singură linie se numeşte matrice-linie sau vector-linie.
8. Matrice-coloană.
Matricea care are o singură coloană se numeşte matrice-coloană sau vector-coloană.
Două matrici A şi B sunt egale, dacă sunt de acelaşi tip şi elementele lor corespunzătoare sunt
egale, adică aij = bij, i = 1, m, j = 1, n.
Se observă cu uşurinţă că dacă A = B, atunci B = A; iar dacă A = B şi B = C, atunci
A = C.
1.1.2. Operaţii cu matrice Adunarea şi scăderea
matricelor
Să examinăm următoarea problemă. La trei întreprinderi se produc 4 tipuri de produse. Datele
despre volumul producţiei în prima şi a doua jumătate ale anului sunt prezentate respectiv în
tabelele 1.1 şi 1.2.
Tabelul 1.1
întreprin- Producţia
derea P1 P2 P3 P4
I 1320 1261 802 1105
II 1613 1415 1168 1206
III 1190 906 1301 1156
Tabelul 1.2
Să se afle volumul anual de producţie pentru fiecare produs la fiecare întreprindere.
Pentru aceasta, evident, este suficient de a aduna elementele respective din tabelele 1.1 şi 1.2. Dacă
notăm
A=
115613019061190
1206116814151613
110580212611320
;
B=
115713039081192
1208117114171613
110780612641328
;
atunci volumul anual de producţie se va reprezenta prin matricea C de acelaşi tip:
cij = aij bij , i = m,1 , j = n,1 .
Adică:
A B =
mnmnmmmm
nn
nn
bababa
bababa
bababa
2211
2222222121
1112121111
.
Astfel am ajuns la noţiunea de sumă a două matrice.
Definiţia 1.2. Suma (diferenţa) a două matrice A = (aij)mxn şi B = (bij)mXn de acelaşi tip este o matrice
C = (c;j)mxn, de asemenea de acelaşi tip, ale cărei elemente sunt egale cu suma (diferenţa) elementelor
corespunzătoare ale celor două matrice:
Cij — aij ± bij, i = m,1 , j = n,1 .
Adică :
A B =
mnmnmmmm
nn
nn
bababa
bababa
bababa
221,1
2222222121
1112121111
.
Adunarea matricelor posedă următoarele proprietăţi:
întreprin- Producţia
derea P1 P2 P3 P4 I 1 328 1264 806 1 107
II 1 613 1417 1171 1 208
III 1 192 908 1303 1 157
1° A + B = B + A (comutaţivitatea);
2° A + (B + C) = (A + B) + C (asociativitatea);
3° A + O = A; O - matrice nulă, de acelaş tip ca şi A.
Aceste proprietăţi rezultă nemijlocit din definiţia sumei a două matrice şi din proprietăţile numerelor
reale.
Înmulţirea unei matrice cu un număr
Definiţia 1.3. Produsul dintre matricea A = (aij)mXn şi numărul k este o matrice B = (bij)mxn de acelaşi
tip ale cărei elemente bij=k∙aij, i= m,1 , j= n,1
Adică:
B = k . A =
mnmm
n
n
kakaka
kakaka
kakaka
21
22221
11211
.
Produsul unei matrice cu un număr are următoarele proprietăţi:
1° 1 - A = A;
2° 0 • A = O (matricea nulă);
3° a(βA) = (aβ)A;
4° (α + β)A =αA + βA;
5° α(A + B) = αA + αB.
Matricea ,,—A" este matricea opusă matricei A şi provine din produsul matricei A cu — 1.
Diferenţa a două matrice o putem defini astfel:
A-B = A+(-l) •B.
Înmulţirea a două matrice
Să examinăm din nou problema celor trei întreprinderi, care produc patru tipuri de produse.
Cunoscând programul anual de producţie al fiecărei întreprinderi (matricea C) şi cantităţile a două
resurse necesare pentru a produce o unitate de producţie (tab. 1.3), să se determine volumul anual de
resurse necesare pentru fiecare întreprindere.
Tabelul 1.3
Pentru a afla volumul anual de consum pentru resursa R1 la prima întreprindere, calculăm suma
produselor elementelor primei linii a matricei C cu elementele corespunzătoare ale coloanei întâi a
matricei
R =
32
64
53
75
.
Obşinem:
d11 = 2648 . 5 + 2525 . 3 + 1608 . 4 + 2212 . 2 = 31671 ;
d21 = 3226 . 5 + 2832 . 3 + 2339 . 4 + 2414 . 2 = 38810 ;
d31 = 2382 . 5 + 1814 . 3 + 2604 . 4 + 2313 . 2 = 32394 .
De asemenia, pentru resurse R2 obţinem:
d11 = 2648 . 7 + 2525 . 5 + 1608 . 6 + 2212 . 3 = 47445;
d21 = 3226 . 7 + 2832 . 5 + 2339 . 6 + 2414 . 3 = 58018 ;
d31 = 2382 . 7 + 1814 . 5 + 2604 . 6 + 2313 . 3 = 48307 .
Aşadar, am obţinut matricea :
D =
3231
2221
1211
dd
dd
dd
=
4830732394
5801838810
4744531671
.
Elementele acestei matrice (numite produsul matricei C cu matricea R) ne arată volumul
anual a celor două resurse necesare pentru fiecare întreprindere. Din cele expuse mai sus se
observă, că pentru a înmulţi două matrice, este necesar ca numărul de coloane ale primei matrice
să fie egal cu numărul de linii ale matricei a doua. Astfel am ajuns la noţiunea de produs a două matrice.
Fie matricele A şi B, atfel încât numărul de coloane ale matricei A este egal cu numărul de linii ale
matricei B, adică A = (aij)mxn> iar B = (bij)nxm
Producţia Resursele
R1 R2
P1
P2
P3
P4
5
3
4
2
7
5
6
3
Definiţia 1.4. Prin produsul A•B al matricelor A şi B se înţelege matricea C = (cij)mXp ale cărei
elemente se obţin în modul următor:
cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ... + ain bnj =
n
k 1
aik bkj , i= m,1 , j = p,1 .
Matricea C = A • B, după cum se observă, va avea atâtea linii câte linii are matricea A şi atâtea coloane
câte coloane are matricea B. Elementul cy a matricei produs A•B, situat pe linia i şi coloana j, se obţine
calculând suma produselor elementelor liniei i a matricei A cu elementele corespunzătoare ale coloanei j a
matricei B.
înmulţirea matricelor posedă următoarele proprietăţi:
1° Fie matricele A,B,C, astfel încât să existe produsele A ∙ B şi B • C, atunci are loc egalitatea
A • (B • C) = (A • B) • C (asociativitatea).
2° Fie matricele A şi B şi un număr a, atunci, dacă există produsul A • B, avem
α(A ∙ B) = (αA)∙B = A∙(αB).
3° Fie matricele A, B, C, astfel încât există A ∙B şi A • C (matricele B şi C fiind de acelaşi tip), atunci are
loc egalitatea
A-(B+C) = A ∙ B + A ∙ C (distributivitatea la stânga).
Dacă însă A şi B sunt de acelaşi tip şi există AC şi B-C, atunci
(A + B ) ∙ C = A ∙ C + B ∙ C (distributivitatea la dreapta).
4° Dacă matricea A este pătratică, iar E - matrice unitară de acelaşi ordin, atunci
A ∙E = E ∙ A = A.
Deoarece pentru noţiunea de produs a două matrice A şi B are importanţă ordinea AB, rezultă că
înmulţirea matricelor nu este comutativă.
Dacă matricele A şi B sunt matrice pătratice de acelaşi ordin, atunci produsul lor este definit.
Cazuri particulare
1. O matrice A de tipul m x n poate fi înmulţită cu un vector-coloană B de tipul n x l numai
la dreapta, adică are sens numai A • B. Ca rezultat vom avea un vector-coloană de tipul
mx1.
2. O matrice A de tipul m x n poate fi înmulţită cu un vector-linie B de tipul 1 x m numai la
stânga, adică are sens numai B • A.
Ca rezultat vom avea un vector-linie de tipul 1 x n.
3. Rezultatul înmulţirii unui vector-coloană de tipul m x 1 cu un vector-linie de tipul 1 x n este
o matrice de tipul m x n.
4. Rezultatul înmulţirii unui vector-linie cu un vector-coloană, având acelaşi număr de
elemente, este un număr.
În încheiere, ne vom opri la proprietăţile operaţiei de transpunere a matricei.
Din definiţia matricei transpuse rezultă următoarele proprietăţi:
1° A" = (A')' = A;
2° (A + B)' = A' + B';
3° (A • B)' = B' • A'; Matricea pătratică A se numeşte simetrică, dacă aij = aji, i= n,1 , j = n,1 .
Pentru matricea simetrică A avem A' = A.
4° Produsul unei matrice cu transpusa sa totdeauna există şi formează o matrice pătratică
simetrică. într-adevăr, dacă notăm A • A' = C, atunci
C = (A • A')' = A" ∙ A' = A • A' = C.
1.2. Sisteme de ecuaţii liniare
În acest paragraf vom analiza sisteme de ecuaţii algebrice liniare, studiind compatibilitatea lor
şi unele metode eficiente de rezolvare. Un ansamblu de ecuaţii liniare alcătuiesc un sistem de
ecuaţii:
,
,
,
2211
22222121
11212111
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
(1.1)
unde x1, x2,.. . ,xn sunt necunoscutele sistemului, iar aij şi bi sunt coeficienţii necunoscutelor şi
respectiv termenii liberi.
Sistemul de ecuaţii este omogen dacă bi = 0, i = l,m, şi neomogen în caz contrar.
Sistemul de ecuaţii liniare poate fi scris sub o formă mai compactă:
n
j
ijij bxa1
, i=1, m
Notând
A =
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
;
X =
nx
x
x
2
1
; B =
mb
b
b
2
1
,
sistemul de ecuaţii liniare poate fi scris şi sub formă matriceală:
A ∙X = B.
Definiţia 1.5. Numim soluţie a sistemului de ecuaţii liniare (1.1) un ansamblu de valori ale
necunoscutelor x1 = a1, x2 = a2, ..., xn = an, care verifică toate ecuaţiile sistemului (fiecare ecuaţie,
pentru aceste valori ale necunoscutelor, se transformă într-o identitate), deci
ai1 1 + ai2 2 + ... + ain n = bi , i = m,1 .
Definiţia 1.6. Sistemul de ecuaţii se numeşte compatibil, are soluţii, în caz contrar sistemul este
incompatibil.
A cerceta un sistem de ecuaţii înseamnă a stabili dacă el este compatibil sau incompatibil. în cazul
când sistemul este compatibil, rezolvarea sistemului înseamnă determinarea tuturor soluţiilor lui. Dacă
sistemul compatibil de ecuaţii liniare are o unică soluţie, atunci îl numim compatibil determinat, iar
dacă are mai multe soluţii - îl numim compatibil nedeterminat.
Exemple:
Sistemul de ecuaţii liniare
142
2432
21
21
xx
xx
are unica soluţie x1
= 6, x 2 = 4. Sistemul este compatibil determinat.
Sistemul de ecuaţii
93
2793
21
21
xx
xx
are o infinitate de soluţii x1
= k, x2 = (9 — k) /3, unde k este un număr real oarecare. Sistemul este compatibil
nedeterminat.
Sistemul
52
,1124
21
21
xx
xx
nu are soluţii, deci este incompatibil.
Definiţia 1.7. Două sisteme de ecuaţii cu aceleaşi necunoscute se numesc echivalente, dacă orice soluţie
a primului sistem este soluţie şi a celui de-al doilea sistem şi, reciproc, soluţiile sistemului al doilea sunt
soluţii şi pentru sistemul întâi. Dacă ambele sisteme de ecuaţii nu au soluţii, atunci de asemenea spunem
că sistemele de ecuaţii sunt echivalente.
Definiţia 1.8. Se numeşte transformare elementară a unui sistem de ecuaţii liniare una dintre
următoarele trei operaţii:
1) înmulţirea ambilor membri ai unei ecuaţii cu un număr nenul;
2) permutarea a două ecuaţii;
3) adunarea la o ecuaţie (membru cu membru) a altei ecuaţii în
mulţite cu un număr.
În particular, dacă o ecuaţie a sistemului se exprimă liniar prin alte ecuaţii, atunci, înlăturând această
ecuaţie, se obţine un sistem echivalent cu cel iniţial.
Se poate arăta că orice sistem de ecuaţii liniare se transformă într-un sistem liniar echivalent lui prin
orice succesiune finită de transformări elementare.
Exemplu. Sistemul
216397
3853
2342
1563
4321
4321
321
4321
xxxx
xxxx
xxx
xxxx
este echivalent cu sistemul
216397
2342
1563
4321
321
4321
xxxx
xxx
xxxx
deoarece ecuaţia a treia a primului sistem este suma primelor două ecuaţii ale lui. Cu alte cuvinte, ecuaţia
a treia a primului sistem depinde liniar de primele două ecuaţii ale lui. Ultimul sistem de ecuaţii este
compatibil nedeterminat, deci şi primul sistem de ecuaţii este compatibil nedeterminat.
1.2.1. Forme liniare. Dependenţa şi independenţa liniară
Pentru a da răspuns la întrebarea când un sistem de ecuaţii liniare este compatibil, vom introduce
noţiunile de rang al sistemului de ecuaţii şi de rang al matricei, care se bazează pe noţiunea de dependenţa
şi independenţa liniară.
Definiţia 1.9. Se numeşte formă liniară expresia:
y1
=с1
x1
+c2x
2+ ... + c n x n
unde x1,x2, . . . , x n sunt variabile, iar c1,c2, . . . , c n - coeficienţi constanţi.
Definiţia 1.10. Se zice că p forme liniare
yi = ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn , i= p,1 ,
sunt liniar dependente, dacă există p numere reale a1
, α2,..., ap nu toate nule, astfel încât
a1
y1
+ α2y
2+ ... + apyp = 0 pentru orice valori ale variabilelor x j , j = n,1 . Dacă egalitatea
p
i
ii ya1
0 nu are loc decât pentru a1
= a2 = ... = ap = 0, atunci formele numesc liniar
independente.
Aceste noţiuni pot fi extinse şi asupra unui sistem de ecuaţii liniare.
Definiţia 1.11. Se spune că p ecuaţii ale sistemului de ecuaţii liniare cu n necunoscute sunt liniar
dependente, dacă există p numere a1, αp,..., ap nu toate nule, astfel încât
1y1 + 2y2 + ... + pyp =0 ,
Unde
yi =
n
j 1
aijxj – bi , i = p,1 .
Dacă
p
i
ii ya1
0 nu are loc decât pentru ai = 0, i = p,1 , atunci ecuaţiile sunt liniar independente.
Definiţia 1.12. Numim rangul sistemului de ecuaţii liniare
numărul maximal de ecuaţii liniar independente ale sistemului.
Se poate arăta că transformările elementare asupra unui sistem de ecuaţii liniare nu schimbă rangul
sistemului. Unui sistem de ecuaţii liniare, în afară de matricea A = (aij)mXn, i se mai poate asocia
matricea extinsă A = (aij; bi)mx(n+1) , care se obţine din A prin adăugarea unei coloane formată din
termenii liberi. Este evident că un sistem de ecuaţii liniare determină în mod unic matricea sa extinsă A
şi reciproc. Fiecare din transformările elementare determină o operaţie corespunzătoare asupra matricei
extinse A a sistemului. Aceste operaţii sunt: înmulţirea unei linii cu un număr nenul; permutarea a două
linii; adunarea la o linie a altei linii înmulţite cu un număr.
Vom numi transformare elementară asupra matricei extinse a unui sistem de ecuaţii liniare orice
transformare realizată prin una din cele trei operaţii menţionate mai sus. Ca rezultat al transformărilor ele-
mentare asupra matricei extinse a unui sistem de ecuaţii liniare se obţine matricea extinsă a unui sistem
de ecuaţii liniare, echivalent cu cel dat.
Rangul matricei. Fie o matrice A = (aij)mXn. Vom zice că p linii ale matricei A sunt liniar
dependente, dacă formele liniare corespunzătoare lor yi=
n
j
jijxa1
, i = p,1 , sunt liniar dependente.
În caz contrar, liniile sunt liniar independente.
Definiţia 1.13. Numim rangul matricei A numărul maximal de linii liniar independente. Se
notează rang (A).
Se poate arăta că transformările elementare asupra matricei nu schimbă rangul ei şi că rangul
matricei este egal cu numărul maximal de coloane liniar independente.
Din cele spuse mai sus reiese că rangul unui sistem de ecuaţii liniare coincide cu rangul matricei
sale extinse.
Exemplu. Fie dat sistemul de ecuaţii liniare:
.54474
,13
,242
,0342
4321
432
4321
4321
xxxx
x
xx
xxx
xx
xx
x
Matricea extinsă a sistemului este
A =
54474
13110
24121
01342
.
Să se calculeze rangul matricei extinse A , adică rangul sistemului.
Rezolvare. Aplicăm transformările elementare, care nu schimbă rangul matricei.
Schimbând linia întâi cu a doua, obţinem matricea:
A 1=
54474
13110
01342
24121
.
Înmulţim prima linie cu (—2) şi o adunăm la linia a doua, apoi o înmulţim cu (-4) şi o adunăm
la linia a patra. Obţinem matricea:
A 2=
312010
13110
49100
24121
.
Permutând liniile 2 şi 3, obţinem matricea:
A 3=
312010
49100
13110
24121
.
Folosind prima coloană a matricei A 3, putem obţine zerouri pe linia întâi. Pentru aceasta înmulţim prima
coloană cu (+2) şi o adunăm la a doua; apoi o înmulţim cu (—1) şi o adunăm la a treia coloană ş.a.m.d.
Obţinem matricea:
A 4=
312010
49100
13110
00001
.
Înmulţim linia a doua a matricei A 4 cu (—1) şi o adunăm la linia a patra. Obţinem matricea:
A 5=
49100
49100
13110
00001
.
Folosind coloana a doua, putem obţine zerouri în linia a doua pentru coloanele trei, patru şi cinci.
Obţinem matricea:
A 6=
49100
49100
00010
00001
.
Folosind coloana a treia, putem obţine zerouri în coloana a patra şi a cincea. Obţinem matricea A 7. Şi, în
sfârşit, folosind linia a treia a matricei A 7, putem obţine zerouri în linia a patra. Ca rezultat, obţinem
matricea A 8.
A 7=
00100
00100
00010
00001
; A 8=
00000
00100
00010
00001
.
Observăm că în matricea A 8 maximum trei linii (sau trei coloane)
sunt liniar independente. Deci,
rang A = rang 8A = 3 .
Dar atunci şi rangul sistemului dat de ecuaţii liniare este egal cu 3. Aceasta înseamnă că una din ecuaţiile
sistemului se exprimă prin celelalte şi deci poate fi înlăturată. Ca rezultat, obţinem un sistem de ecuaţii
echivalent:
,13
,242
,0342
432
4321
4321
x
xx
xxx
xx
xx
x
care este compatibil nedeterminat. Una din soluţii este:
x i = 11, x2 = 9, x3 = 5, x4 = -1.
Exerciţii propuse
1. Să se calculeze rangul matricei:
a) A =
01010
12012
01010
20202
; b) B =
02020
12012
02020
10101
;
c) C =
2814126
12012
20202
14367
; d) D =
3214
2143
1432
4321
;
2. Să se calculeze rangul sistemului de ecuaţii liniare:
a)
;15355
,823
,2262
321
321
321
xxx
xx
xxx
x b)
.14332
,22
,53
321
321
321
xxx
x
x
xx
xx
Răspunsuri
1. a) 3; b) 3; c) 3; d) 4. 2. a) 2; b) 3.
1.2.2. Metode eficiente de rezolvare a sistemelor de ecuaţii liniare
Pentru rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare pot fi aplicate diferite metode.
Metoda Gauss
(metoda eliminării succesive a necunoscutelor)
Ideea metodei Gauss constă în următoarele: se efectuează transformări elementare asupra sistemului de
ecuaţii liniare, care conduc la sisteme echivalente, atfel încât în prima ecuaţie necunoscuta x1 să aibă
coeficientul 1, iar din următoarele ecuaţii necunoscuta x1 se exclude (va avea coeficientul nul). Apoi se
trece la ecuaţia a doua şi se efectuează transformări pentru ca coeficientul necunoscutei x2 (sau a altei
necunoscute cu coeficient nenul) să fie 1, iar din următoarele ecuaţii necunoscuta x2 se exclude ş.a.m.d.
Ca rezultat, dacă sistemul de ecuaţii are o singură soluţie (adică este determinat), vom obţine un sistem
echivalent cu cel iniţial, în care toţi coeficienţii situaţi mai jos de diagonala principală vor fi egali cu zero (se
mai spune că am adus sistemul la forma triunghiulară). Sistemul de ecuaţii în final va avea forma:
.'
,''
,''...
,''...'
,''...''
1,11
333
223232
113132121
nn
nnnnn
nn
nn
nn
bx
bxax
bxax
bxaxax
bxaxaxax
După cum se vede, din ultima ecuaţie avem deja valoarea necunoscutei xn = b'n. înlocuind această
valoare în ecuaţia precedentă ce conţine două necunoscute, determinăm necunoscuta xn-1 ş.a.m.d. În final,
din prima ecuaţie se determină valoarea necunoscutei x1.
Procedeul expus mai sus (metoda lui Gauss) poate fi realizat asupra matricei extinse şi ne permite să
aflăm rangul sistemului de ecuaţii (adică rangul matricei extinse), rangul matricei A a sistemului; să
stabilim dacă sistemul este compatibil sau incompatibil.
Într-adevăr, dacă la o etapă a aplicării metodei Gauss, după eliminarea unui număr de necunoscute, toţi
coeficienţii unei ecuaţii sunt zero, iar termenul liber este diferit de zero, atunci sistemul de ecuaţii este
incompatibil. În acest caz rangul matricei extinse A nu coincide cu rangul matricei A a sistemului. Adică
se observă o legătură între egalitatea rangurilor matricelor A şi A şi compatibilitatea sistemului de ecuaţii
liniare.
Folosind noţiunea de rang al matricei, putem determina (fără a rezolva sistemul) dacă un sistem de m
ecuaţii liniare cu n necunoscute are soluţii (este compatibil).
Teorema Kronecker-Capelli
Teorema 1.1. Condiţia necesară şi suficientă ca un sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute să fie
compatibil este ca rangul matricei sistemului să fie egal cu rangul matricei extinse:
rang A = rang A .
Demonstraţie. Necesitatea. Fie sistemul de ecuaţii liniare:
n
j
ijij bxa1
, i = m,1
Să presupunem că sistemul este compatibil şi fie x1 = α1, x2 = α2 ,…, xn = αn o soluţie a lui. Atunci avem:
n
j
ijij ba1
, i = m,1 .
Transformând matricea extinsă A = (aij;bi)mx(n+i) cu ajutorul operaţiilor elementare, formăm
matricea A* prin adunarea la ultima coloană a celorlalte coloane înmulţite respectiv cu numerele
-a1,-a2,...,-an
*A =
n
j
jmjmmnmm
n
j
jjn
n
j
jjn
abaaa
abaaa
abaaa
1
21
1
2222221
1
1111211
.
Deoarece sistemul de ecuaţii liniare este compatibil, rezultă că ultima coloană a matricei A * este nulă.
Dar atunci matricea A *are acelaşi rang ca şi matricea A = (aij)mxn, întrucât diferă de matricea A numai
prin ultima coloană, care este nulă şi nu influenţează asupra rangului matricei.
Având în vedere că transformările elementare nu schimbă rangul matricei, rezultă:
rang(A) = rang(A ) = rang(A).
Suficienţa. Să presupunem că rang(A) — rang(A) = r. Vom arăta că sistemul de ecuaţii liniare este
compatibil. Reamintim că la rezolvarea unui sistem de ecuaţii liniare prin metoda eliminării succesive a
necunoscutelor se efectuează un şir de transformări elementare asupra matricei extinse A a sistemului.
Dacă r = rang (A) < m, atunci prin transformări elementare putem aduce sistemul iniţial de ecuaţii liniare
la un sistem echivalent lui cu matricea extinsă de forma:
A r =
m
r
rnrrr
nrr
nrr
b
b
baa
baaa
baaaa
'00000
'00000
'''100
''''10
'''''1
1
1,1,
2,21,2,2
1,11,1,112
.
În mod obligator b’i = 0, i = mr ,1 , pentru că, în caz contrar, rangul matricei A r n-ar fi egal cu r.
Dar acestea din urmă şi sunt tocmai condiţiile în care sistemul de ecuaţii liniare este compatibil. ▲
În caz de compatibilitate, sistemul de ecuaţii liniare este determinat, dacă r = n, şi nedeterminat, dacă
r < n, având gradul de nedeterminare n — r.
Consecinţa 1.1. Din teorema Kronecher-Capelli rezultă că orice sistem liniar şi omogen (toţi termenii
liberi bi = 0) cu rangul mai mic decât numărul necunoscutelor posedă soluţii nenule.
Exemplu. Să se determine, prin metoda eliminării succesive a necunoscutelor, o soluţie a sistemului de
ecuaţii liniare:
.544342714
,14332
,2443221
,04333412
xxxx
xxx
xxxx
xxxx
Rezolvare. Permutăm prima şi a doua ecuaţie şi obţinem:
.54474
,13
,0342
,242
4321
432
4321
4321
xxxx
xxx
xxxx
xxxx
Eliminăm necunoscuta x1 din toate celelalte ecuaţii. Ca rezultat, obţinem sistemul
.312
,13
,49
,242
42
432
43
4321
xx
xxx
xx
xxxx
Eliminăm necunoscuta x2. Ca rezultat, obţinem sistemul:
.49
,49
,13
,242
43
43
432
4321
xx
xx
xxx
xxxx
Eliminăm necunoscuta x3 din ecuaţia a patra. Obţinem sistemul:
.49
,13
,242
000
49
13
242
43
432
4321
43
432
4321
xx
xxx
xxxx
xx
xxx
xxxx
Aşadar, am obţinut următoarele:
- rangul sistemului dat de ecuaţii
r = rang(A) = rang( A ) = 3;
- sistemul este compatibil nedeterminat, având gradul de nedeter-
minare
n-r = 4 - 3 = 1
Putem scrie sistemul şi astfel:
.94
,31
,422
43
432
4321
xx
xxx
xxxx
Pentru a determina o soluţie concretă (particulară), este de ajuns să atribuim o valoare concretă
necunoscutei x4. De exemplu, dacă luăm x4 = —1, atunci obţinem:
.5
,4
,22
94
31
422
3
32
321
3
32
321
x
xx
xxx
x
xx
xxx
Aşadar, x3 = 5, dar atunci x2 = 4 +x3 = 4 + 5 = 9 şi
x1= -2 + 2x2 - x3 = -2 + 2 • 9 - 5 = 18 - 7 = 11.
Soluţia particulară: X1 = 11, x2 = 9, x3 = 5, x4 = — 1.
Metoda Jordan—Gauss (metoda eliminării complete)
C. Jordan a propus o modificare a metodei de eliminare succesivă a necunoscutelor. Dacă
exprimăm o necunoscută dintr-o ecuaţie prin celelalte necunoscute, atunci este mai convenabil de
a o exclude nu numai din următoarele ecuaţii ale sistemului, ci şi din toate celelalte.
Fie un sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute:
.
,
,
,
,
2211
2211
2211
222222121
111212111
mnmnsmsmm
rnrnsrsrr
ininsisii
nnss
nnss
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
Fie că dorim să exprimăm necunoscuta xs din ecuaţia cu numărul r prin celelalte. Aceasta este
posibil totdeauna, dacă numai coeficientul ars≠ 0. Avem:
xs = .1
1,
1
1,
22
11
n
rs
rn
s
rs
sr
s
rs
sr
rs
r
rs
r
rs
r xa
ax
a
ax
a
ax
a
ax
a
a
a
b
3
Înlocuind xs prin expresia obţinută, vom avea pentru ecuaţia cu numărul i:
,,,1,2
2
21
1
1 rimia
babx
a
aaax
a
aaax
a
aaa
rs
ris
in
rs
rnis
in
rs
ris
i
rs
ris
i
Sau
,11111111 iiiii bxaxaxaxa
Unde
.,,1,,,1,, sjnjrimia
baabb
a
aaaa
a
aaaa
rs
risrsi
i
rs
rjisrsij
rs
rjis
ijij
Pentru i = r, avem:
,2211 rnrnsjrjrr bxaxxaxaxa
Unde
.,rs
rr
rs
rj
rja
bb
a
aa
În urma acestor transformări, obţinem un sistem de ecuaţii liniare echivalent cu cel dat.
Dacă k = rang(A) < m, atunci putem efectua k paşi (exprima k necunoscute prin celelalte
n — k necunoscute) ale metodei eliminării complete şi ca rezultat obţinem un sistem echivalent a
cărui matrice extinsă are forma:
A k = .
00000
00000
100
010
001
1
1,
221,2
111,1
m
k
kknkk
nk
nk
b
b
baa
baa
baa
Dacă b’ i = 0, i = mk ,1 , atunci sistemul de ecuaţii are soluţii, adică este compatibil,
deoarece vor fi satisfăcute condiţiile teoremei Kronecker-Capelli. Sistemul de ecuaţii liniare va avea
o unică soluţie (sistem determinat), dacă rangul
k = rang A = rang A = n.
În cazul în care A; = rang(A) = rang( A ) < n, sistemul de ecuaţii va avea o infinitate de soluţii
(sistem nedeterminat) şi atunci obţinem soluţia generală, unde k necunoscute de bază xi1, xi2 ,..., xik se
4
exprimă prin celelalte n — k necunoscute libere. Dacă necunoscutelor libere le atribuim valori concrete,
obţinem, de fiecare dată, o soluţie particulară a sistemului de ecuaţii liniare. In particular, dacă necunos-
cutelor libere le atribuim valoarea zero, atunci obţinem o soluţie care poartă denumirea de soluţie de bază.
Numărul soluţiilor de bază ale unui sistem de ecuaţii liniare este un număr finit, ce nu întrece numărul
C k
n(combinaţii din n elemente luate câte k).
Observaţia 1.1. Dacă la o etapă a metodei eliminării complete obţinem că toţi coeficienţii arj = 0,
iar br ≠ 0, atunci sistemul de ecuaţii nu are soluţii (este incompatibil); dacă însă toţi a rj = 0 şi br = 0,
atunci rangul sistemului de ecuaţii va fi mai mic decât m.
Rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare cu ajutorul tabelului Gauss
Pentru a facilita rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare, se folosesc tabelele Gauss. Trecerea de la un
sistem de ecuaţii liniare la altul, echivalent cu el, prin metoda Jordan-Gauss va însemna trecerea de la un
tabel Gauss la altul.
Tabelul iniţial are forma (tab. 1.4):
Tabelu 1.4
x1 x2 … xj … xs … xn B
a11 a12 … a1j … a1s … a1n
a21 a22 … a2j … a2s … a2n
… … … … … … …
ai1 ai2 … aij … ais … ain
… … … … … … …
ar1 ar2 … arj … ars … arn
… … … … … … …
am1 am2 … amj … ams … amn
b1
b2
…
bi
…
br
…
bm
În acest tabel considerăm un element oarecare ars ≠ 0, pe care îl numim pivot (element
dominant). Acest element în tabel se pune în evidenţă cu ajutorul unei casete. Linia şi coloana
în care se află pivotul se numesc respectiv linia pivotului şi coloana pivotului.
Efectuând transformările ce corespund metodei eliminării complete, obţinem în urma
primei iteraţii tabelul 1.5, în care elementele se calculează după formulele obţinute anterior:
5
.,,1,,,1,,,, rimisjnja
baabb
a
aaaaa
a
bb
a
aa
rs
risrsii
rs
rjisrsij
ij
rs
rr
rs
rj
rj
Tabelu 1.5
x1 x2 … xj … xs … xn B
a 11 a 12 … a 1j … 0 … a 1n
a 21 a 22 … a 2j … 0 … a 2n
… … … … … … … …
a i1 a i2 … a ij … 0 … a in
… … … … … … … …
a r1 a r2 … a rj … 1 … a rn
… … … … … … …
a m1 a m2 … a mj … a ms … a mn
b 1
b 2
…
b i
…
b r
…
bm
Observăm că elementele ais, ars, aijj,arj sunt vârfurile unui „dreptunghi" în tabelul lui Gauss.
Fiecare iteraţie, după alegerea pivotului, se efectuează după următoarele reguli:
1) elementele de pe linia pivotului se împart la pivot;
2) celelalte elemente de pe coloana pivotului se înlocuiesc cu zero;
3) toate celelalte elemente se transformă după „regula dreptunghiu
lui", adică a'ij se obţine făcând diferenţa dintre produsul ele
mentelor de pe diagonala ce conţine pivotul (aij ∙ ars) şi pro
dusul elementelor de pe cealaltă diagonală (ais • arj), care apoi
se împarte la pivot.
Acest proces poate fi continuat şi mai departe. Peste k iteraţii (k = rang(A)) în
ultimul tabel obţinem soluţia sistemului, dacă el este compatibil. Dacă în ultimul tabel toţi
coeficienţii a'ij ai unei linii sunt egali cu zero, iar b′i ≠ 0, atunci sistemul este incompatibil. Toate
tabelele obţinute la fiecare iteraţie a metodei Jordan-Gauss pot fi scrise unul sub altul, în continuare
după tabelul iniţial. Vom ilustra cele expuse mai sus prin următorul
Exemplu. Să se rezolve sistemul de ecuaţii liniare:
6
.952
,23
,2563
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Rezolvare. Tabelul iniţial şi toate celelalte tabele obţinute la fiecare iteraţie sunt reprezentate în tabelul
1.6.
Tabelu 1.6
x1 x2 x3 B
Sistemul iniţial 3 -6 -1
1 -1 3
1 2 5
25
2
-9
Prima iteraţie 0 -3 -10
1 -1 3
0 3 2
19
2
-11
A doua iteraţie 0 12 0
1 -5,5 0
0 1,5 1
-36,0
18,5
-5,5
A treia iteraţie 0 1 0
1 0 0
0 0 1
-3
2
-1
La prima iteraţie a fost ales pivotul a21 = 1. Conform regulii dreptunghiului, avem, de exemplu:
.3
1
36
1
1316
21
2211211212
a
aaaaa
La a doua şi a treia iteraţie pivoţii au fost luaţi respectiv a33 = 2 şi a12= 12.
La ultima iteraţie obţinem soluţia sistemului:
x1 =2; x2 = —3; x3 = —1.
Mai jos vom examina un exemplu de sistem de ecuaţii liniare compatibil nedeterminat:
.123345
,23423
54321
54321
xxxxx
xxxxx
Tabelul iniţial şi toate celelalte tabele obţinute la fiecare iteraţie sunt prezentate în tabelul 1.7
Tabelul 1.7
x1 x2 x3 x4 x5 B
Sistemul
inişial
3 2 1 4 -3
5 4 3 3 -1
-2
12
Prima 3 2 1 4 -3 -2
7
iteraţie -4 -2 0 -9 8 18
A doua
iteraţie
-1 0 1 -5 5
2 1 0 4,5 -4
16
-9
Din ultimul tabel putem scrie sistemul respectiv:
.95445,4212
,1655453
xxxx
xxxx
de unde obţinem soluţia generală:
.5516
,45,429
45,429
5516
5413
5412
5412
5413
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
Necunoscutele x2 şi x3 sunt necunoscute de bază, iar x1, x4 şi x5 -necunoscute libere şi lor le putem atribui
valori arbitrare. De exemplu pentru:
1) x1 = 1, x4 = 1 şi x5 =1,
Obţinem soluţia particulară:
X1 =1, x2 = -11,5, x3 = 17, x4 = 1, x5 = 1.
2) x1 =1, x4 = 2, x5 = 1,
Obţinem o altă soluţie pariculară:
X1 = 1, x2 = -16, x3 = 22, x4 = 2, x5 = 1.
3) x1 = x4 = x5 = 0,
Obţinem soluţia de bază:
X1 = 0, x2 = -9, x3 = 16, x4 = 0, x5 = 0.
1.2.3. Soluţii de bază admisibile ale sistemului de ecuaţii liniare
Deseori în probleme economice este necesar de a determina soluţiile de bază admisibile ale unui sistem de
ecuaţii liniare (acele soluţii de bază unde necunoscutele iau valori nenegative). Vom arăta cum pot fi aflate
atare soluţii (dacă eie există). Mai întâi, vom face ca toţi termenii liberi bi ai sistemului de ecuaţii să fie
nenegativi, adică bi ≥ 0 (pentru aceasta înmulţim ambii membri ai ecuaţiei cu (—1), dacă bi < 0).
Pentru a afla una sau mai multe soluţii de bază admisibile, putem folosi metoda Jordan-Gauss, cu
condiţia ca pivotul ars să fie pozitiv şi să fie ales astfel, ca termenii liberi b′i ai sistemului echivalent nou
obţinut să fie totdeauna nenegativi.
Conform transformărilor ce corespund metodei eliminării complete cu condiţiile adăugătoare indicate
mai sus, avem:
8
.00
rs
risi
rs
risrsii
a
bab
a
baabb
Dacă ais 0
Din cele spuse mai sus, rezultă că pentru a afla soluţia de bază admisibilă a unui sistem de ecuaţii
liniare, putem utiliza metoda Jordan-Gauss, cu condiţia că pivotul se determină de fiecare dată în felul
următor:
1) în calitate de coloană a pivotului se alege coloana s ce conţine
cel puţin un element pozitiv,
■
2) dacă coloana pivotului conţine câteva elemente ais pozitive,
atunci aflăm raportul dintre termenii liberi corespunzători bi, şi aceste elemente şi în calitate de linie a
pivotului o alegem pe acea din ele pentru care raportul respectiv este minimal.
Exerciţii rezolvate
1. Să se afle o soluţie de bază admisibilă a sistemului de ecuaţii liniare:
Rezolvare. înmulţim prima ecuaţie cu (—1). Obţinem sistemul echivalent:
.min
,0
0
,0
.00'
0:is
i
ars
r
is
rs
r
is
i
rs
r
is
i
is
rs
ris
i
rs
risrsi
i
a
b
a
b
adicăacarepentruioricepentru
a
b
a
b
a
b
a
b
atunciaDacă
a
bab
a
baabb
is
123345
23423
54321
54321
xxxxx
xxxxx
9
care are toţi termenii liberi nenegativi.
Rezolvarea problemei se conţine în tabelul 1.8.
Tabelul 1.8
Necunos-
cutele
de bază
x1 x2 x3 x4 x5
B
Soluţi
de bază
admisibilă
-3 -1 -4 3
5 4 3 3 -1 2 2
12
23 1 21 -2 23
11 0 5 11 -7
1
8
52 1 0 109 54
511 0 1 511 57
59
58 X=
0,0,
5
8,
5
9,0
2. Să se afle toate soluţiile de bază admisibile ale sistemului de ecuaţii liniare:
Rezolvare. Rezolvarea se conţine în tabelul 1.9.
Tabelul 1.9
Necunos-
cutele
de bază
x1 x2 x3 x4
B
Soluţi
de bază
admisibilă
1 2 1 3
2 -1 4 -2
6
8
0 25 -1 4
1 21 2 -1
2
4
123345
23423
54321
54321
xxxxx
xxxxx
8242
632
4321
4321
xxxx
xxxx
10
x2
x1 0 1 52 58
1 0 59
51
54
522 x1=
0,0,
5
4,
5
22
x4
x1 0 85 41 1
1 81 47 0
21
29 x2=
2
1,0,0,
2
9
x4
x3 71 149 0 1
74 141 1 0
78
718 x3=
7
8,
7
18,0,0
x2
x3 92 1 0 914
95 0 1 91
916
922 x4=
0,
9
22,
9
16,0
Exerciţii propuse
1. Să se rezolve sistemul de ecuaţii liniare:
2. Să se afle soluţiile de bază admisibile ale sistemului de ecuaţii liniare:
3. Să se afle soluţia generală a sistemulu frecuaţii liniare:
22
75
53
321
321
321
xxx
xxx
xxx
a
3232
32
74
332
432
431
421
4321
xxx
xxx
xxx
xxxx
b
22
522
12
12
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
c
21433
11432
14324
13243
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
d
252
742
623
321
321
321
xxx
xxx
xxx
e
11323
732
924
321
321
321
xxx
xxx
xxx
f
.124
,122
;83
,163
321
431
4321
4321
xxx
xxxb
xxxx
xxxxa
;13
,15355
,823
321
321
321
xxx
xxx
xxx
a
;32
,3632
,042
431
4321
4321
xxx
xxxx
xxxx
b
;142426
,18532
4321
4321
xxxx
xxxxc
.7287
,8654
,932
321
321
321
xxx
xxx
xxx
d
11
4.Să se arăte că sistemul de ecuaţii liniare este incompatibil
Răspunsuri
1.2.4. Sisteme de forme liniare. Matricea inversă
Să examinăm un sistem de n forme liniare independente cu n necunoscute:
Dacă necunoscutelor x1, x2,..., xn li se atribuie diferite valori concrete, atunci obţinem
valorile respective pentru y1, y2,..., yn. Aşadar, problema directă se rezolvă uşor.
Să presupunem acum că ne interesează problema inversă: pentru diferite valori ale parametrilor
yi,y2, ...yn , să aflăm valorile respective ale necunoscutelor xi, x2,..., xn. Pentru aceasta, rezolvam un
;2543
,1
,6654
321
321
321
xxx
xxx
xxx
a
;3242
,22
,6243
321
321
321
xxx
xxx
xxx
b
;7642
,646
,432
321
321
321
xxx
xxx
xxx
c
.3373
,1065
,642
)
321
321
321
xxx
xxx
xxx
d
.9;3;0;0,0;4;0;4,0;0;18;6,12;0;12;0
;4;4;0;0,2;0;10;0,0;6;0;10,0;0;12;4.2
;2,1,1;1,1,1
;1,1,1,2;2,2,1,1
;4,3,2,1;2,2,1.1
321321
43214321
4321321
b
a
xxxfxxxe
xxxxdxxxxc
xxxxbxxxa
.2211
22221212
12121111
,
,
nnnnnn
nn
nn
xaxaxay
xaxaxay
xaxaxay
12
sistem de n ecuaţii cu n necunoscute. însă această cale nu este eficientă dacă avem mai multe
variante de valori ale parametrilor y1, y2,...,yn
Utilizând metoda Jordan-Gauss, vom încerca să exprimăm necunoscutele x1,x2, ... xn prin y1,y2,
....,yn- Acest lucru poate fi efectuat dacă formele liniare sunt liniar independente. Ca rezultat vom
obţine sistemul:
Notăm matricea coeficienţilor acestui sistem prin:
Această matrice are proprietatea, că fiind înmulţită la stânga (şi la dreapta) cu matricea
se obţine matricea unitate E, adică A • A-1 = A-1 • A = E. Astfel am ajuns la noţiunea de
matrice inversă.
Definiţia 1.14. Matricea A -1 se numeşte inversa matricei A, dacă A • A-1 = A-1 • A = E,
unde A, E şi A-1 sunt matrice pătratice de acelaşi tip.
Din cele spuse mai sus rezultă că noţiunea de matrice inversă se referă numai la matricea
pătratică. De reţinut că nu orice matrice pătratică are matrice inversă. Putem însă spune că, dacă
pentru matricea A a sistemului de n forme liniare cu n necunoscute Y = A • X,
.2211
22221212
12121111
,
,
nnnnnn
nn
nn
ybybybx
ybybybx
ybybybx
nnnn
n
n
bbb
bbb
bbb
A
21
22221
11211
1
,
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
13
există matricea inversă A-1, atunci, utilizând metoda eliminării complete, vom obţine:
Aşadar, am ajuns la concluzia
că dacă este necesar de a
calcula valorile
necunoscutelor x1,x2,...,xn pentru mai multe variante de valori ale parametrilor y1,y2 , ... ,yn, atunci este
mai eficient de aflat matricea invercă A-1 şi apoi de a o înmulţi cu vectorul-coloană de valori y1, y2, ... ,yn.
Metoda matriceală de rezolvare
a unui sistem de n ecuaţii liniare cu n necunoscute
pentru diferite variante ale termenilor liberi
Fie un sistem de n ecuaţii cu n necunoscute, scris sub forma matriceală A • X = B. Dacă matricea A
admite matricea inversă A-1, adică este inversabilă, atunci sistemul este compatibil determinat, înmulţind
ambii membri la stânga cu A-1, obţinem A-1 • A • X = A-1 • B sau X = A-1 • B, deoarece A-1 • A = E, iar
E • X = X. Metoda de rezolvare a unui sistem de ecuaţii liniare, utilizând matricea inversă A-1, poartă
denumirea de metoda matriceală.
Să ilustrăm cele spuse mai sus prin exemple.
1. Fie sistemul de forme liniare:
Să se exprime necunoscute x1, x2, x3 prin y1, y2, y3.
Rezolvare. Exprimăm necunoscuta x2 din a doua formă liniară prin celelalte şi o eliminăm din celelalte
forme prin înlocuire. Obţinem sistemul echivalent:
.;,2
1
2
1
1
nn y
y
y
Y
x
x
x
XundeYAX
.4
,32
,32
313
3212
3211
xxy
xxxy
xxxy
.4
,32
,4
313
3212
211
xxy
xyxx
yxy
14
La etapa a doua exprimăm necunoscuta x3 din a treia formă liniară. Ca rezultat obţinem sistemul:
Şi, în sfârşit, exprimând necunoscuta
X1 din prima formă liniară, obţinem sistemul de forme liniare, unde deja necunoscutele x1 x2, x3 sunt
exprimate prin y1, y2, y3:
Matricea acestui sistem
este inversa matricei date
.4
,310
,4
313
3212
211
yxy
xxxy
yxy
.
,32
7
2
5
,4
1
4
1
3213
3212
211
yyyx
yyyx
yyx
111
32
7
2
5
04
1
4
1
1A
104
312
312
A
15
Într-adevăr,
Presupunem că ne interesează valorile necunoscutelor x1, x2, x3 pentru câteva variante de
valori ale parametrilor y1, y2, y3 :
a) y1=7, y2=11, y3=3;
b) y1=9, y2=-2, y3=16.
Pentru a afla valorile necunoscutelor x1, x2, x3, este suficient de înmulţit matricea inversă A-1
cu fiecare din vectorii daţi:
- pentru varianta a) obţinem:
pentru varianta b) obţinem:
100
010
001
111
32
7
2
5
04
1
4
1
104
312
3121AA
;1,12,1
1
12
1
3
11
7
111
32
7
2
5
04
1
4
1
321
3
2
1
xxxadică
x
x
x
.27,2
155,
4
11
27
2
155
4
11
16
2
9
111
32
7
2
5
04
1
4
1
321
3
2
1
xxxadică
x
x
x
16
Calculele pentru determinarea matricei inverse A-1 pot fi efectuate mai comod folosind
tabelul Gauss. Pentru aceasta, la dreapta (sau la stânga) matricei A se alătură o matrice
unitate E de acelaşi ordin.
După efectuarea a trei iteraţii, conform algoritmului metodei Jordan-Gauss, în ultimul
tabel, în partea dreaptă, obţinem matricea inversă (tab. 1.10).
Observaţia 1.2. Din tabelul 1.10 se observă că pivoturile au fost alese de fiecare dată pe
diagonala principală (aşa şi se cere). Insă aceasta nu totdeauna este posibil, deoarece pivotul
trebuie să fie diferit de zero. In acest caz, pentru a obţine matricea inversă este necesar de a
schimba locul liniilor în aşa fel, încât în partea stângă să fie matricea unitate. Atunci în partea
dreaptă vom obţine inversa matricei date.
2. Să se afle inversa matricei:
Rezolvare. în urma calculelor obţinem tabelul 1.11. Permutând liniile a doua şi a treia, obţinem
matricea inversă:
020
103
201
A
05
1
5
3
2
100
05
2
5
1
1A
17
Tabelul 1.10
x1 x2 x3 y1 y2 y3
-2 1 3
2 1 3
4 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
-4 0 0
2 1 3
4 0 1
1 -1 0
0 1 0
0 0 1
-4 0 0
-10 1 0
4 0 1
1 -1 0
0 1 -3
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
41 41 0
25 27 -3
1 -1 1
18
În încheiere constatăm că dacă, luând pivotul în diferite linii şi diferite coloane ale matricei date, nu
putem efectua n iteraţii ale algoritmului metodei eliminării complete, atunci nu există matricea inversă.
a. Sisteme de ecuaţii liniare
Tabelul 1.11
Exerciţii propuse:
1. Să se determine inversa matricei:
x1 x2 x3 y1 y2 y3
1 0 2
3 0 1
0 2 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 2
0 0 -5
0 2 0
1 0 0
-3 1 0
0 0 1
1 0 0
0 0 1
0 2 0
-1/5 2/5 0
3/5 -1/5 0
0 0 1
1 0 0
0 0 1
0 1 0
-1/5 2/5 0
3/5 -1/5 0
0 0 1/2
.
113
221
112
312
312
104
;
210
123
021
Cc
BbAa
19
2.Să se rezolve prin metoda matriceală sistemul de ecuaţii liniare:
Răspunsuri
Observaţia 1.3. Daca pentru un sistem dat de ecuaţii nu există matricea inversă, atunci
sistemul nu are soluţie sau are o infinitate de soluţii (este compatibil nedeterminat).
Proprietăţile matricii inverse
1 1BA = 11 AB .
Într-adevăr,
EABBA 11
Şi
EBAAB 11 ,
;1345
,2427
,5234
321
321
321
xxx
xxx
xxx
b
;42
,322
,33
321
321
321
xxx
xxx
xxx
a
;2223
,22
,12
321
321
321
xxx
xxx
xxx
c
;445
,232
,434
321
321
321
xxx
xxx
xxx
d
;253
,1342
,542
321
321
321
xxx
xxx
xxx
e
.12
,12
,223
21
32
321
xx
xx
xxx
f
.3
1;
3
1;
3
1.1;0;1
.10;6;5.3;1;2
87
141;
87
159;
87
60.4;2;1.1
321321
321321
321321
xxxfxxxe
xxxdxxxc
xxxbxxxa
20
Proprietăţile matricei inverse
1̊ (A•B)-1=(B-1•A-1)=E
Într-adevăr,
(A•B) •(B-1•A-1)=E
Şi
(B-1 •A-1) •(A•B)=E
ceea ce înseamnă că B-1 •A-1 este inversa matricei A • B, adică B-1 -A-1 = (A•B) -1. într-adevăr,
conform proprietăţii de asociativitate a produsului matricelor, avem:
2° Transpusa inversei unei matrice pătratice este egală cu inversa matricei transpuse, adică
(A-1)'=(A')-1
într-adevăr, pornind de la egalitatea A • A-1 = E şi de la proprietatea că (A • B)' = B' • A',
obţinem
ceea ce ne arată că:
(A-1)'=(A')-1
Puterea unei matrice
Dacă matricea A este pătratică, atunci putem defini atât pătratul ei
A2 = A • A,
cât şi orice putere cu exponent natural
E.BBBEBBAABBAAB
şi
EAAAEAABBAABBA
111111
1111
11
,EEAAAA11
,AAAAorin
n
21
unde n - număr natural. Dacă matricea A admite A-1, atunci A° = E, A-n = (A-1)n. Se poate
arăta că:
unde m şi n sunt numere întregi.
1.2.5. Rezolvarea problemelor de întocmire a balanţei
dintre ramuri
Să examinăm economia naţională sub forma agregată, compusă din trei ramuri: industria,
agricultura şi celelalte ramuri luate împreună. Presupunem că în baza rezultatelor activităţii tuturor
obiectelor economice a fost întocmită balanţa (în unităţi băneşti) dintre ramuri pe anul precedent
(tab. 1.12). Fiecare ramură figurează în balanţă ca producător şi drept consumator. Datele din
primele trei coloane caracterizează costul producţiei, produse în ramura i şi folosită nemijlocit în
ramura j pentru a obţine volumul de producţie anual (datele din coloana a cincia).
Pentru a afla coeficientul cheltuielilor directe atj, se vor împărţi datele din fiecare coloană
(primele trei coloane) a balanţei la mărimea volumului de producţie anual corespunzător.
Obţinem matricea coeficienţilor cheltuielilor directe:
.
6,28
9,1
2,39
4,2
5,86
3,11
6,28
1,1
2,39
1,5
5,86
8,14
6,28
6,5
2,39
4,8
5,86
5,20
Aa
,AA
,AAA
E,AAA
mnnm
nmnm
0nn
22
Tabelul 1.12
Ramurile în
calitate de
producător
(i)
Ramurile în calitate de
consumator (j)
Producţia
Industria Agricul-
tura
Cele-
lalte ra-
muri
Consu-
mul
final
Volumul
anual de
producţie
1. Industria
2.Agricultura
3. Celelalte
ramuri
20,5
14,8
11,3
8,4 5,1
2,4
5,6
1,1
1,9
52,0
18,2
13,0
86,5 39,2
28,6
Coeficienţii cheltuielilor directe a,ij ne arată cheltuielile din ramura i pentru a produce în ramura j o
unitate de producţie. Cunoscând matricea coeficienţilor cheltuielilor directe A = (aij)nxn, unde n -numărul
de ramuri, se poate întocmi un program de activitate al fiecărei ramuri pe anul viitor, care ar asigura
balanţa dintre ramuri şi volumul consumului final.
Dacă vom nota prin xi, x2, . . ., xn volumul anual de producţie respectiv pentru fiecare ramură, iar prin y1
y2,..., yn volumul consumului final, atunci modelul matematic al balanţei dintre ramuri are forma:
Sub formă matriceală avem: X = A • X - Y sau
E • X = A• X + Y, (E-A) • X = Y.
Rezolvând această ecuaţie matriceală, obţinem:
X=(E- A) -1 •Y.
Pentru exemplu de mai sus avem:
.1
,1
,1
2211
22222121
11212111
nnnnnn
nn
nn
yxaxaxa
yxaxaxa
yxaxaxa
nnnnnnn
nn
nn
yxaxaxax
yxaxaxax
yxaxaxax
2211
222221212
112121111
23
Utilizând metoda Jordan-Gauss, aflăm matricea inversă
Matricea B = (bij)nxm se numeşte matricea coeficienţilor cheltuielilor complete (ale celor directe şi
indirecte). Coeficienţii cheltuielilor complete bij ne arată cheltuielile din ramura i necesare pentru a
produce în ramura j o unitate de producţie pentru consum final. Ştiind matricea B (matricea
coeficienţilor cheltuielilor complete), putem, pentru diferite variante ale consumului final, să
determinăm programul anual de producţie corespunzător pentru fiecare ramură.
In exemplul de mai sus avem:
33213
23212
13211
6,28
9,1
2,39
4,2
5,86
3,11
6,28
1,1
2,39
1,5
5,86
8,14
6,28
6,5
2,39
4,8
5,86
5,20
yxxxx
yxxxx
yxxxx
.6,28
9,11
2,39
4,2
5,86
3,11
,6,28
1,1
2,39
1,51
5,86
8,14
,6,28
6,5
2,39
4,8
5,86
5,201
3321
2321
1321
yxxx
yxxx
yxxx
.
123,1134,0223,0
112,0230,1295,0
320,0379,0450,11
AEB
.
123,1134,0223,0
112,0230,1295,0
320,0379,0450,1
3
2
1
2
2
1
y
y
y
x
x
x
24
Pentru varianta y1= 55, y2 = 21, y3 = 15
vom obţine: x1 = 92,51, x2 = 43,74, x3 = 31,92.
Probleme propuse
1. Se dă balanţa dintre ramuri (tab. 1.13) pe perioada precedentă.
Sase afle coeficienţii cheltuelilor directe. Sase alcătuiască modedul matematic al balanţei dintre
ramuri. Să se afle volumul anual de producţie pentru următoarele variante ale consumului final:
Tabelul 1,13
Ramurile
în calitate
de
producător
(i)
Ramură în
calitate de
consumator (j)
Producţia
1 2 3 Consumul
final
Volumul
annual
I
II
III
100
200
300
30
-
400
400
300
-
470
500
1300
1000
1000
2000
2. La o întreprindere funcţionează 4 secţii. Fiecare din ele produce un singur fel de producţie.
Coeficienţii cheltuielilor directe aij (cheltuielile producţiei din secţia i, folosite ca materie primă
(semifabricate) pentru a produce în secţia j o unitate de producţie) şi volumul de producţie yi din
secţia i prevăzut pentru vânzare sunt prezentate în tabelul 1.14.
Tabelul 1,14
Numărul
secţiei
Coificienţii cheltuelilor
directe
Producţia
pentru vinzare
1 2 3 4
I
II
III
IV
- 0,26
-
0,14
0,30
-
0,15
-
-
0,13
0,20
-
0,25
0,10
-
0,18
220
160
286
105
Să se afle:
.1335,550,480
;1323,533,491
;1315,527,489
321
321
321
yyyc
yyyb
yyya
25
- matricea coeficienţilor cheltuielilor complete;
- volumul anual de producţie (programul de producţie) pentru
fiecare secţie;
- matricea coeficienţilor cheltuielilor indirecte (C = B - A).
3. Fie matricea cheltuielilor directe pentru patru secţii ale unei
întreprinderi:
Să se afle coeficienţii
cheltuielilor complete şi
volumul anual de producţie al
fiecărei secţii pentru următoarea variantă de vânzare a producţiei: y1 = 260, y2 = 190, y3
= 320, y4 = 145.
4. Se dă matricea cheltuielilor directe pentru trei secţii ale unei întreprinderi:
şi volumul anual de producţie al fecărei secţii pentru vânzare:
yx = 200, y2 = 100, y3 = 300.
Să se afle coeficienţii cheltuielilor complete, volumul anual de producţie al fiecărei secţii
şi cheltuielile de materie primă, energetice şi de muncă pentru realizarea programului anual,
dacă se cunosc normele (cheltuielile de materie primă I şi II, energetice şi de muncă la o
unitate de producţie pe fiecare secţie):
1.3. Determinanţi
1.3.1. Determinanţi de ordinul II şi III
Metodele de rezolvare a sistemelor de ecuaţii algebrice liniare, expuse în paragraful
.
16,000,016,000,0
12,015,000,024,0
23,000,025,010,0
A
.
20,010,000,0
10,000,020,0
00,020,000,0
A
.
00,2000,2000,10
60,060,060,0
10,080,100,2
00,000,000,3
N
26
precedent, sunt destul de simple şi necesită efectuarea unor calcule după anumite formule la
fiecare iteraţie. Un neajuns esenţial al acestor metode este faptul că ele nu ne dau posibilitatea să
formulăm în baza datelor iniţiale condiţiile de compatibilitate a sistemului de ecuaţii liniare. Chiar şi
în cazul în care sistemul de ecuaţii liniare este compatibil determinat, aceste metode nu ne permit să
găsim nişte formule cu ajutorul cărora s-ar exprima soluţia sistemului de ecuaţii prin coeficienţii
necunoscutelor şi termenii liberi.
In continuare vom examina sisteme de ecuaţii liniare compatibile determinate în care numărul de
ecuaţii coincide cu numărul necunoscutelor.
Vom începe cu sisteme de două ecuaţii liniare cu două necunoscute.
Aşadar, fie sistemul
Coeficienţii necunoscutelor determină o matrice pătratică:
Pentru a rezolva sistemul, exprimăm, de exemplu, necunoscuta x2 din ecuaţia a doua (acest lucru poate fi
făcut dacă a22 ≠ 0) şi obţinem:
Substituim expresia pentru x2 în prima ecuaţie. Ca rezultat obţinem:
.bxaxa
,bxaxa
2222121
1212111
.
2221
1211
aa
aaA
.2
22
1212
a
xab x
.aaaa
babax;
aaaa
ababx
Atunci0.aaaacăpresupunem
.ababxaaaa
sau
ba
xabaxa
12212211
121211
2
12212211
122221
1
12212211
122221112212211
1
22
1212
12111
27
Numitorul comun pentru valorile necunoscutelor x1 şi x2 se exprimă destul de simplu prin
elementele matricei A a sistemului. El este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principală a
matricei A minus produsul elementelor situate pe diagonala secundară. Acest număr se numeşte
valoarea determinantului matricei A şi se notează:
Deoarece matricea A este matrice de ordinul doi, vom spune că avem determinant de ordinul doi.
Numărătorii în expresiile pentru valorile necunoscutelor x1 şi x2 de asemenea sunt nişte determinanţi de
ordinul doi. Numărătorul expresiei pentru x1 este determinantul matricei, obţinute din matricea A prin
înlocuirea elementelor primei coloane cu termenii liberi ai sistemului de ecuaţii liniare. Numărătorul
expresiei pentru x2 este determinantul matricei obţinute din matricea A prin înlocuirea elementelor
coloanei a doua cu termenii liberi ai sistemului.
Aceste formule, obţinute pentru rezolvarea sistemului de două ecuaţii liniare cu două necunoscute
poartă denumirea de regula lui Cramer.
.det 12212211
2221
1211aaaa
aa
aa A
.10188634243
62.
.43
62
.
Rezolvare
Exemplu doiordinuldetuldeterminancalculezesesă
.Δ
Δxşi
Δ
Δx
Atuci
.ba
baΔ,
ab
abΔ
notaVom
22
11
221
111
2
222
121
1
.53841
32
.
.64
,532
.
21
21
estesistemuluitulDeterminan
liniareecuţcudesistemulrezolveseSă
Rezolvare
xx
xx
Exemplu
28
Deoarece determinantul ∆ ≠ 0, rezultă că putem aplica regula lui Cramer. Avem:
Să examinăm
acum un sistem de trei ecuaţii liniare cu trei necunoscute:
Vom proceda ca şi mai sus. Exprimăm, de exemplu, necunoscuta x3 din ecuaţia a treia (dacă a33 ≠ 0) şi
substituim expresia pentru x3 în prima şi a doua ecuaţie. Mai departe, exprimăm, de exemplu, x2 din
ecuaţia a doua a sistemului echivalent obţinut (dacă a22 ≠ 0) şi substituim expresia pentru x2 în prima
ecuaţie. În urma acestor transformări obţinem:
(a11
a22
a 33 + a12
a22
a 31+ a21
a 32 a 13 - a 31a 22a 13 - a
21a
12a 33 - a 32 a 23 a
11)x
1= b
1a
22a 33 + a
12a
22b 3 +
b2a 32 a 13 - b 3 a
22a 13 - b 2
a12
a 33 - a 32 a 23 b1 .
Coeficientul necunoscutei x\ în această ecuaţie obţinută se numeşte determinant de ordinul trei pentru
matricea A a sistemului de ecuaţii liniare şi se notează:
a11
a22
a 33 +a12
a 23 a 31+a21
a 32 a 13 -a 31a 22a 13 -a 21
a12
a 33 -a 32 a 23 a11
.
.5
7,
5
2:
.751261
52,21820
46
35
22
11
21
xxAşşada
.
.
,
,
333231
232221
131211
3333232131
2323222121
1313212111
aaa
aaa
aaa
A
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
sistemuluimatriceadeterminăelornecunoscutiCoeficenţo
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
29
După cum se observă, primul termen al determinantului este produsul elementelor de pe diagonala
principală a matricei A. Fiecare din următorii doi termeni se obţin ca produsul elementelor ce se află în
vârfurile unui triunghi cu baza paralelă cu diagonala principală a matricei A . Ceilalţi trei
termeni, care sunt cu semnul minus, se calculează la fel, numai că faţă de cealaltă diagonală
(secundară) a matricei A.
Exemplu. Să se calculeze determinantul de ordinul trei
Observăm că membrul drept al ecuaţiei obţinute, ce conţine numai necunoscuta x1, de
asemenea este un determinant de ordinul trei. Acest determinant este determinantul matricei
obţinute din matricea A prin înlocuirea elementelor primei coloane cu termenii liberi ai
sistemului de ecuaţii.
Notăm acest determinant prin ∆1.
Avem:
b1
a22
a 33 +a12
a 23 b 3 +b2a 32 a13 -b 2
a12
a 33 -
-a 32 a 23 b1
.
Aşadar, am obţinut 11 x . Pentru 0 , avem x
1 =
1
Substituind expresia pentru x1
, în ecuaţia a doua a sistemului echivalent, obţinem: x2=
2 ,
.12648302523608412
387
645
921
.
.
387
645
921
.
:Avem
treiordinuldetuldeterminancalculezeseSă
Rezolvare
Exermplu
33323
23222
13121
1
aab
aab
aab
30
unde
Şi, în sfârşit, substituind expresiile pentru x1
şi x2 în ecoaţia a treia, obţinem: x 3 =
3 , unde
Aşadar, dacă determinantul
sistemului din trei ecuaţii liniare
cu trei necunoscute este diferit de zero, atunci pentru rezolvarea sistemului poate fi aplicată regula
lui Cramer:
Deoarece 0, pentru rezolvarea sistemului poate fi aplicată regula lui Cramer. Avem:
.
aba
aba
aba
Δ
33331
23221
13111
2
.
baa
baa
baa
Δ
33231
22221
11211
2
.10
311
212
121
.
.83
,922
,72
.
.,,
321
322
321
33
22
11
estesistemuluitulDeterminan
liniareecuaţcudesistemulrezolveseSă
Rezolvare
xxx
xxx
xxx
Exemplu
xxx
.20
811
912
721
,10
381
292
171
,30
318
219
127
3
21
31
Aşadar: x1 = ,310
301
x2 = ,1
10
102
x3 = .2
10
203
De menţionat că orice termen al determinantului de ordinul trei este produsul a trei elemente
luate câte unul din fiecare linie şi fiecare coloană.
Fie o matrice pătratică de ordinul n:
.
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
Examinăm produsul a câte n elemente ale acestei matrice, luate câte unul din fiecare linie şi fiecare
coloană, adică a1α1 ∙a2α2∙...∙anαn, unde (α1, α 2,.. ., α n) este o permutare a numerelor 1,2, ...,n.
Numărul unor astefel de produse este egal cu numărul de permutări diferite din n simboluri,
adică n! = 1 • 2 • ... • n.
Vom considera toate aceste numere obţinute drept termeni ai determinantului de ordinul n,
corespunzător matricei A. Pentru a determina semnul cu care produsul a1α1 ∙a2α2∙...∙anαn va
apărea ca termen al determinantului, aflăm numărul k de transpoziţii ce aduce permutarea
(1 ,2 , . . . , n) la permutarea (α1, α 2,.. ., α n). Constatăm că la determinanţii de ordinul doi şi
trei cu semnul plus se iau termenii unde numărul de transpoziţii k este par, iar cu semnul
minus - termenii pentru k impar. Este firesc să se păstreze această regulă şi pentru determinanţi
de ordinul n.
Definiţia 1.15. Numim determinant de ordinul n al matricei pătratice A suma a n! termeni de forma
(-l)k α 1α1 ∙ α 2α2∙...∙ α nαn, unde k este numărul de transpoziţii ce aduce permutarea 1,2,..., n la permutarea
ai, α1, α 2,.. ., α n Determinantul de ordinul n se notează:
.
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
Pentru calcurarea determinantilor de ordin n ≥ 4 uneori este mai util sa aplicam proprietatile acestora.
32
1.3.2. Proprietatile determinantilor
1° Determinatul unei matrice este egal cu determinatul matricei transpunse.
Pentru o matrice de ordinul doi, avem
,'
;
21122211
2212
2111
12212211
2221
1211
aaaaaa
aa
aaaaaa
aa
Adică ' .
Pentru matricea de ordinul n, avem că toţi factorii în termenul (-l)k a1α1 ∙a2α2∙...∙anαn al
determinantului ∆, rămân în diferite linii şi coloane în determinantul ∆'. Luând în consideraţie că la
transpunerea matricei ∆ paritatea numărului de transpoziţii k nu se schimbă, rezultă că termenul dat al
determinantului ∆ va fi termen şi în determinantul ∆'.
2° Dacă toate elementele unei linii (sau ale unei coloane) a unei matrice sunt nule, atunci
determinantul matricei este egal cu zero.
într-adevăr, fie că toate elementele unei linii ale matricei sunt egale cu zero. Deoarece în fiecare
termen al determinantului vom avea ca factor un element din aceasta linie, rezultă că toţi termenii
determinantului vor fi egali cu zero.
3° Dacă într-o matrice permutăm două linii (sau două coloane), atunci determinantul îşi schimbă
semnul.
Pentru o matrice de ordinul doi avem:
In cazul unei matrice de ordinul n dacă în determinantul ∆ avem termenul (—l) α1α1, α2α2,.. ., αnan ,
atunci în determinantul ∆o vom avea acelaşi termen numai că cu semnul opus, deoarece toţi factorii
acestui termen vor fi de asemenea din diferite linii şi diferite coloane, iar numărul de transpoziţii k îşi
va schimba paritatea.
.
,
;
0
1221221122111221
1211
2221
0
12212211
2221
1211
adică
aaaaaaaaaa
aa
aaaaaa
aa
33
4° Determinantul matricei care conţine două linii (sau două coloane) identice este egal cu zero.
Fie valoarea determinantului de ordinul n, care conţine două linii identice. Permutând aceste
două linii, obţinem, de fapt, acelaşi determinant. Conform proprietăţii 3°, valoarea acestui determinant
trebuie să fie - .
Aşadar, am obţinut: =- sau + = 0, 2 = 0, = 0.
5° Factorul comun al unei linii (sau al unei coloane) a determinan tului poate fi scos în afara
semnului determinantului.
într-adevăr, fie γ un factor comun pentru elementele unei lninii (de exemplu, liniei a doua).
Avem:
6° Determinantul care conţine două linii (sau coloane) proporţionale este egal cu zero.
într-adevăr, după ce vom scoate în faţa determinantului factorul comun γ din una din aceste
linii, vom obţine un determinant nou cu două linii identice, a cărui valoare va fi zero
(proprietatea 4°).
7° Dacă toate elementele unei linii a determinantului de ordinul n se prezintă ca sumă a doi
termeni: aij = bj + Cj, j = n,1 , atunci determinantul poate fi prezentat ca suma a doi determinanţi
care au aceleaşi linii ca şi determinantul dat, în afară de linia i: în primul determinant linia i este
formată din elementele bj, j = n,1 , iar în al doilea determinant linia i este formată din elementele
CJ, j = n,1 .
într-adevăr, fiecare termen al determinantului dat poate fi prezen tat astfel:
Această proprietate are loc şi atunci când fiecare element al liniei i este suma a m termeni,
.1
1
21
22221
11211
2211
,,
2211
21
22221
11211
,21
nnnn
n
n
nn
k
nn
k
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
n
.11
11
2121
1121121
2121
2121
nini
nn
n
k
n
k
na
k
ni
k
acaaabaa
acbaaaaaa
34
m ≥2.
8° Valoarea determinantului nu se schimbă dacă la elementele unei linii se adună elementele
respective ale altei linii înmulţite cu unul şi acelaşi număr.
într-adevăr, dacă la elementele liniei i1 a determinantului ∆ vom adăuga respectiv elementele
liniei i2 înmulţite cu un număr , atunci în noul determinant, fiecare element al liniei i1va avea forma:
În baza proprietăţii 7°, acest determinant poate fi scris ca sumă a doi determinanţi, primul fiind ∆, iar al
doilea, după ce vom scoate factorul γ, va avea două linii identice şi de aceea are valoarea zero (proprietatea 4°).
Se spune că linia determinantului este combinaţie liniară a altor linii, dacă elementele ei se obţin ca suma
elementelor respective ale acestor linii, fiind înmulţite la careva numere (unul şi acelaşi pentru o linie).
9° Dacă una din linii a determinantului este o combinaţie liniara a altor linii, atunci valoarea determinantului
este egală cu zero.
Să presupunem că linia i1 este combinaţie liniară a s linii. Atunci fiecare element al liniei i1 poate fi prezentat
ca sumă a s termeni. în baza proprietăţii 7°, putem reprezenta determinantul dat ca sumă a s determinanţi,
unde, în fiecare, linia ii va fi proporţională cu o altă linie. Conform proprietăţii 6°, toţi aceşti determinanţi sunt
egali cu zero, dar atunci şi determinantul dat are valoarea zero.
Se observă uşor că proprietăţile 4° şi 6° sunt cazuri particulare ale acestei proprietăţi.
1.3.3. Noţiunea de minor şi de complement algebric. Descompunerea
determinantului după elementele unei linii
După cum s-a menţionat, calcularea determinantului de ordinul n, nemijlocit în baza definiţiei, este destul de
complicată. Există însă metode mai raţionale de calcul al determinantului, bazate pe ideea de a exprima
determinantul de ordinul n prin determinanţi de ordin mai mic. în acest scop vom introduce câteva noţiuni.
Dacă aij este un element al determinantului de ordinul n, atunci prin Mij vom nota minorul acestui element,
adică determinantul de ordinul (n - 1) care se obţine dacă vom elimina linia i şi coloana j. Mai departe, prin Aij
vom nota complementul algebric al elementului aij, adică
.,1,21
njaa jiji
.M1A ij
ji
ij
35
Se poate arăta că dacă vom grupa toţi termenii determinantului care conţin factorul ai1, apoi toţi termenii
care conţin factorul ai2 şi aşa mai departe, toţi termenii care conţin factorul ain şi vom scoate aceşti factori
în faţa parantezei, obţinem:
adică valoarea determinantului ∆ este egală cu suma produselor elementelor unei linii la complemenţii lor
algebrici respectivi.
Dezvoltarea (descompunerea) determinantului poate fi efectuată şi după elementele unei coloane.
Exemplu. Să se calculeze determinantul de ordinul patru
Rezolvare. Calculăm determinantul după elementele liniei a treia:
Folosind proprietatea 8° a determinanţilor, putem calcula determinantul şi în felul următor: adăugăm la
elementele coloanei a doua elementele respective ale coloanei a patra, iar la elementele primei coloane,
elementele coloanei a patra înmulţite cu 3.
Obţinem:
,AaAaAaΔ inini2i2i1ij
.
3531
1013
2343
3112
Δ
.402571911123
531
343
112
11
351
233
312
11
353
234
311
31
43
231̀3
36
1.3.4.
Rezolvarea sistemelor de n ecuaţii liniare cu n necunoscute. Regula lui
Cramer
In continuare, vom arăta cum pot fi rezolvate sisteme de n ecuaţii liniare cu n necunoscute cu ajutorul
determinanţilor de ordinul n.
Observăm că dacă în descompunerea determinantului după elementele liniei i
vom înlocui elementele ai1, ai2,..., ain cu elementele liniei k ak1, ak2, ..., akn, obţinem:
Într-adevăr, determinantul care se obţine în urma acestei înlocuiri va conţine două linii
identice (linia i şi linia k) şi de aceea valoarea lui va fi egală cu zero.
Aşadar, suma produselor elementelor unei linii la complemenţii algebrici respectivi pentru
elementele altei linii este egală cu zero. Acest rezultat este adevărat şi pentru coloane.
Fie A o matrice de ordinul n. Se spune că matricea pătratică A este nedejenerată, dacă
determinantul ei este diferit de zero, adică det (A) = ∆≠0. Vom arăta că dacă matricea A este
nedejenerată, atunci inversa ei va fi:
.4021800160961101
508
329
1411
11
3508
1000
2329
31411
3531
1013
2343
3112
43
inini2i2i1i1 AaAaAaΔ
k.i0,AaAaAa inkni2k2i1k1
.
nn2n1n
n22212
n12111
1
AAA
AAA
AAA
Δ
1A
37
Întradevăr
În mod analog se poate arăta că şi A-1 .A = E. Se poate demonstra că det
(A-1)=1/det(A)
Exemplu. Fie matricea
Să se afle matricea A-1.
Rezolvare. Calculăm determinantul matricei A:
Deoarece ∆ ≠ 0, rezultă că există matricea inversă A-1.
nn2n1n
n22212
n12111
1
aaa
aaa
aaa
AA
.
nn2n1n
n22212
n12111
AAA
AAA
AAA
Δ
1
.
1000
0100
0010
0001
E
Δ
AaAaAa
Δ
AaAaAa
Δ
AaAaAa
Δ
AaAaAa
Δ
AaAaAa
Δ
AaAaAa
nnnnn2n2n1n11nnn12n211n1
nn2nn222n1211n2n12221121
nn1nn212n1111n1n12121111
A
.
121
142
231
A
.01268834
121
142
231
38
1;1211
121A
2;2412
141A
.
AAA
AAA
AAA
Δ
1A:Avem
21
12
11
11
332313
322212
312111
1
.26442
311
;34112
211
;58314
231
;13221
311
;12111
211
;14312
231
;04421
421
33
33
23
32
13
31
32
23
22
22
12
21
31
13
A
A
A
A
A
A
A
39
Aşadar,
Fie dat sistemul din n ecuaţii liniare cu n necunoscute, scris sub forma matriceală AX = B.
Dacă matricea A este nedegenerată (det (A) ≠ 0), atunci sistemul de ecuaţii liniare are o singură soluţie
X = A-1 • B.
Vom scrie această soluţie cu ajutorul determinanţilor:
.
100
010
001
121
142
231
210
311
512
AA
,
100
010
001
210
311
512
121
142
231
AA
:Verificare
.
210
311
512
210
311
512
1
1A
1
1
1
.Δ
Δx,,
Δ
Δx,
Δ
Δx
:adică
,
ΔΔ
ΔΔ
ΔΔ
Δ
Δ
Δ
Δ
1
bAbAbA
bAbAbA
bAbAbA
Δ
1
b
b
b
AAA
AAA
AAA
Δ
1BAX
nn
22
11
n
2
1
n
2
1
nnn22n11n
nn2222112
nn1221111
n
2
1
nn2n1N
n22212
n12111
1
40
Astfel a fost demonstrată regula lui Cramer:
Sistemul din n ecuaţii liniare cu n necunoscute cu matricea A nedegenerată este compatibil şi determinat.
Soluţia sistemului se determină după formulele:
unde ∆ - determinantul matricei A, iar ∆j - determinanţi obţinuţi din determinantul ∆ înlocuind elementele
coloanei j cu termenii liberi b1,b2 ,. . . ,bn .
de aceea pentru a
rezolva sistemul de
ecuaţii dat putem aplica regula lui Cramer. Aflăm:
,n1,j,Δ
Δx
j
j
,027
2120
6741
1512
6031
:
.522
,0674
,852
,963
.
432
4321
4321
421
sistrmuluimatriceitulDeterminan
liniareecuaţcuaţidesistemulrezolveseSă
Rezolvare
xxx
xxxx
xxxx
xxx
Exemplu
;81
2125
6740
1518
6039
1
;108
2150
6701
1582
6091
2
;27
2520
6041
0
1812
6931
3
.27
5120
0741
8512
9031
4
41
Dar atunci: x1 = 3, x2 = —4, x3 = —1, x4 = 1.
În încheiere vom menţiona că dacă matricea A a sistemului de ecuaţii liniare este dejenerată
(det(A) = 0), atunci sistemul de ecuaţii liniare sau nu are soluţii, sau are o infinitate de soluţii. în acest
caz, pentru a cerceta şi rezolva sistemul, trebuie aplicată metoda Jordan -Gauss.
Exerciţii propuse
Aplicând regula lui Cramer, să se rezolve sistemele de ecuaţii:
Răspunsuri
a) 2, 5 ,1 ; b) 1, 3, 2; c) 3, 1, 4; d) 1, 1, 1; e) 1, -l, 2, 2; f) 1, 1, 1, 2.
1.4. Vectori şi operaţii
Activitatea unei întreprinderi se caracterizează printr-o serie de indicatori economici, cum ar fi: volumul
producţiei pentru fiecare tip de produs, costul unei unităţi de produs, productivitatea muncii etc. De regulă,
aceşti indicatori economici se trec în documentele respective într-o anumită ordine. De aceea, dacă se schimbă
locul a două numere, se schimbă şi caracteristica activităţii întreprinderii.
0.3x2x3xx
1,2x2xx2x
2,x4x3xx
4,x3x2xx
f
2;x2x3xx
5,2xx2xx
1,xxx2x
1,xx2xx
e
2;2x6x2x
8,5x2xx
3,xx3x
d
8;2x3xx
11,5x2x3x
23,4xx2x
c
1;2x2x3x
4,3xxx
10,x3xx
b
21;2x5xx
23,4x3x2x
15,3x2xx
a
4321
4321
4321
4321
4321
4321
4321
4321
321
321
321
321
321
321
321
321
321
321
321
321
42
1.4.1. Vectori şi operaţii cu vectori
Studiind diferite fenomene şi procese, întâlnim mărimi fizice de diferită natură. Unele mărimi fizice, cum ar fi
volumul corpului, masa, temperatura etc. se caracterizează printr-un singur număr. Aceste mărimi sunt
mărimi scalare. Deopotrivă cu mărimile scalare, există şi mărimi fizice pentru caracterizarea cărora este
necesar de a arăta şi direcţia (sensul). De exemplu, viteza mişcării unui corp, acceleraţia, forţa care acţionează
asupra unui corp. Mărimile fizice care se .caracterizează şi prin direcţie şi sens se numesc mărimi vectoriale
sau vectori.
Vectorul poate fi reprezentat geometric în plan şi în spaţiu ca un segment orientat, adică ca un segment la care
deosebim începutul şi sfârşitul. Dacă A este începutul segmentului orientat, iar B sfârşitul,
atunci vectorul se notează AB.
Lungimea (sau modulul) vectorului AB este distanţa de la punctul A la punctul B şi se notează | AB |. Este
evident că vectorii AB şi BA au aceeaşi lungime, dar sensuri opuse, adică sunt vectori opuşi.
Un vector poate fi definit cunoscând originea lui, lungimea, direcţia şi sensul. însă în multe aplicaţii originea
vectorului nu are importanţă, ci doar lungimea, direcţia şi sensul lui. Deoarece originea vectorului nu are
importanţă, vectorul (numit şi vector liber) poate fi translat, păstrându-i lungimea, direcţia şi sensul. Vectorii
liberi pot fi notaţi cu litere mici cu săgeată: a ,b , c ,u , v ,...
Doi vectori a şi b sunt egali şi se scrie a = b dacă au aceeaşi direcţie, acelaşi sens şi aceeaşi lungime.
Vectorul care are lungimea zero se numeşte vector nul şi se notează cu 0 . Direcţia şi sensul vectorului nul sunt
nedeterminate.
Geometric, suma a doi vectori a şi b este un al treilea vector c = a +b , a cărui origine coincide cu
originea vectorului a , iar extremitatea - cu extremitatea vectorului b , cu condiţia că originea vectoru-
lui b coincide cu extremitatea vectorului a . Regula descrisă se numeşte regula triunghiului de
adunare a vectorilor liberi.
Produsul unui vector a cu un scalar λ este un vector λ • a care se obţine din vectorul a prin întindere
(dacă | λ | > 1) sau prin comprimare (dacă | λ | < 1) de | λ | ori, păstrând sensul vectorului a , dacă λ > 0 şi
schimbându-i sensul în opus, dacă λ < 0.
Produsul vectorului a cu λ = — 1 este vectorul opus — a . Deoarece vectorii a şi — a au aceeaşi lungime
şi sens opus, rezultă că a +(—a ) —0 .
A scădea din vectorul a vectorul b înseamnă a aduna la vectorul a vectorul —b , adică a — (b ) = a
+ (—b ).
43
Din cele spuse mai sus rezultă că într-o egalitate vectorială un vector poate fi trecut dintr-un
membru în altul ^u semnul schimbat (cu sens opus), adică dacă a + b = c , atunci a = c — b .
Dacă a este un vector nenul, atunci vectorul e = aa
.1
de lungile
mea 1 şi care are aceeaşi direcţie şi sens ca şi vectorul a se numeşte versorul corespunzător
vectorului a .
Fie a şi b vectori nenuli. Notăm cu φ Є [0, ] unghiul format de aceşti doi vectori. Numim produs
scalar al vectorilor a şi b numărul real, notat ( a , b ) definit prin relaţia:
Din definiţie rezultă că dacă vectorii a şi b sunt perpendiculari, atunci produsul lor scalar este egal
cu zero.
Fie Oxyz un sistem cartezian de coordonate în spaţiul euclidian E3, iar i , j , k vectori unitari (versori)
pe axele de coordonate respective.
Dacă M(x,y,z) este un punct din spaţiul E3, atunci vectorul OM , numit vectorul de poziţie al
punctului M, poate fi reprezentat în baza vector i lor { i , j , k } as tfel : OM = x . i + y . j + z . k , unde
x, y ş i z , numi te coordona te l e vec tor u lu i , sun t p ro i ec ţ i i l e l u i OM p e axe l e de coo r dona te r e spec t ive .
Aşadar, orice vector a E3 poate fi reprezentat prin coordonate şi vectorii unitari astfel:
a = (a1, a2, a3) — a1∙ i + a2 ∙ j + a3 ∙ k .
Deoarece orice vector se determină complet cunoscând originea şi extremitatea lui, coordonatele
vectorului pot fi exprimate prin coordonatele acestor două puncte. Fie că originea vectorului a se află în
punctul A(x1,y2,z1), iar extremitatea lui - în punctul B(x2,y2,z2).
Examinăm vectorii OA , OB şi AB . Are loc egalitatea
.
,0
,00,cos
,
nulvectorulesteşi
vectoridintreunulpuţuţceldacă
şidacă
ba
baba
ba
44
Lungimea vectorului va fi egală cu distanţa dintre punctele A şi B, adică
Vom exprima acum produsul scalar a doi vectori a şi b prin coordonatele lor. Avem:
Deoarece
Aşadar, am obţinut:
.zz,yy,xxa
sau
kzzjyyixxaAB
adiă
,kzzjyyixx
kzjyixkzjyixOAOBAB
121212
121212
121212
111222
.,,
,,,,,
:
.
111111111
222111
222222111111
3
2
12
2
12
2
12
zyxkzjyixkzjyixa
kzjyixkzjyixba
zyxkzjyixbşizyxkzjyixa
E
zzyyxxa
Atunci,real.număuunλiar
euclidianspaţpaţînvectoridoiFie
,,,,
,,,,
,,,
212121212121
21212121
2121222111
zzyyxxkkzzjkyzikxz
kjzyjjyyijxykizx
jiyxiixxkzjyixkzjyixba
1,,, kkjjii 0,,, kkjjiişi
.
,cos
.,
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
212121
zyxzyx
zzyyxx
ba
ba
zzyyxxba
atunciDar
45
Din această expresie reiese că doi vectori nenuli a şi b sunt perpendiculari (ortogonali) dacă
Aşadar, doi vectori şi b sunt paraleli dacă coordonatele lor sunt proporţionale:
În particular, pentru vectori din spaţiul euclidian E2 avem: (a, b) = xxx2 + yiy2;
Vectorii din spaţiile E2 şi E3 au diferite aplicaţii în fizică, tehnică, în geometria analitică la studiul
diferitelor linii şi suprafeţe.
Pentru rezolvarea multor probleme economice studierea vectorilor bidimensionali şi tridimensionsli nu
este suficient. De exemplu, dacă într-un raion se produce producţie industrială şi agricolă, atunci pentru a
caracteriza activitatea acestui raion este necesar de scris o consecu-tivitate ce conţine un număr mare
de numere reale.
Definiţia 1.16. O consecutivitate formată din n numere reale X = (x1, x2,..., xn) se numeşte
.
.;;
,
.0
2
1
2
1
2
1
212121222111
212121
z
z
y
y
x
x
zzyyxxkzjyixkzjyix
baba
zzyyxx
atunciDar
sauadică
dacăcoliniariparalelisuntşivectoridoideparte,Mai
.2
1
2
1
2
1
z
z
y
y
x
x
.cos
;,
2
2
2
2
2
1
2
1
2121
2121
yxyx
yyxx
yyxxba
.,0
,,
2
1
2
1
2121
2211
y
y
x
xyyxx
yxbyxa
dacăparaleli,şi
dacălare,perpendicusuntşivectoriDoi
46
vector n-dimensional. Numerele x1,x2,..., xn sunt coordonatele vectorului.
În continuare deseori vectorii vor fi notaţi cu litere mari, iar coordonatele lor - cu litere mici.
Dimensiunea vectorului se determină de numărul de coordonate.Doi vectori n-dimensionali
X = (x1, x2,..., xn) şi Y = (y1, y2, ..., yn) sunt egali, dacă coordonatele lor respective sunt
egale, adică xi=yi, i-= n,1 .
Suma a doi vectori X=(x1,x2, … xn) şi Y=(y1,y2, ... yn) este un al treilea vector Z=(z1,z2, ... zn)
având coordonatele
zi = xi + yi, i= n,1 ,
adică
Z = X + Y = (x1 + y1, x2 + y2, … , xn + yn).
Într-adevăr, dacă ne interesează realizarea programului anual de activitate al unei întreprinderi care
produce n produse diferite, atunci este suficient să adunăm rezultatele activităţii pe prima şi a doua jumătate
ale anului.
Diferenţa a doi vectori X şi Y este un al treilea vector
Vectorul care are toate coordonatele egale cu zero se numeşte vector nul şi se notează 0 = (0, 0,..., 0).
Pentru ca doi vectori X şi Y să fie egali este necesar şi suficient ca X — Y = 0.
Produsul unui vector X = (x1,x2,.. . , x n ) cu un număr (scalar) este un vector
Referitor la operaţiile introduse mai sus, în baza proprietăţilor numerilor reale,
pot fi demonstrate următoarele proprietăţi:
unde , şi sunt numere reale.
.,,, 2211 nn yxyxyxYXZ
.,,, 21 nxxxXZ
,000.6;.3
;.5;.2
;.4;.1
XYXYX
XXZYXZYX
XXXXYYX
47
Mulţimea tuturor vectorilor n-dimensionali, pentru care este definită operaţia adunării şi înmulţirii
vectorului cu un scalar formează spaţiul vectorial (liniar) n-dimensional, care de obicei se notează prin Rn.
De exemplu, dacă mărfurile vândute se caracterizează prin vectorul X = (x1,x2,.. . , x n ), iar preţurile
respective prin vectorul C = (c1 c2,.., cn) > atunci suma de bani obţinută de la realizarea mărfurilor va
fi: (C, X) = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn.
Produsul scalar posedă următoarele proprietăţi:
Distanţa din tre două puncte X =(xi ,x2 , . . ,xn) şi Y =( y1, y2, ..., yn) în spaţiul vectorial n-
dimensional se determină din formula:
Spaţiul liniar n-dimensional în care este definit produsul scalar (şi prin urmare este introdusă metrica)
este spaţiul euclidian En.
În baza proprietăţilor produsului scalar a doi vectori se poate demonstra că pentru orice vectori X şi
Y ai spaţiului euclidian En are loc:
.,
,
,,,,,,
2211
2121
nn
nn
yxyxyxYX
adicărespectivelorcoordonateproduselorsumacuegalnumăuuneste
yyyYşixxxXvectoridoia
scalarProdusul
.,
,,,
.,,,,.5
;,,,.4
;,,,,.3
;,,,.2
;0,0,.1
22
2
2
1
21
2121
n
n
xxxXXX
estexxxXvectorului
YXYXYYXX
realnumăuYXYX
adunaredefaţavitateadistributiYXYXYXX
vecomunicatiXYYX
XdacănumaifipoateegalităgalsemnulYX
modululLungimea
n
i
ii yxYXYXd1
2.;
real.număuoriceλunde
,;;, YXYXXXYXYX
48
1.4.2. Combinaţie liniară de vectori. Vectori liniari dependenţi şi liniar independenţi
Se spune că vectorul a 1 este coliniar (proporţional) cu vectorul a 2, dacă există aşa un număr real λ,
încât a 1= λ • a 2. O generalizare a proporţionalităţii vectorilor este noţiunea de combinaţie liniară de
vectori. Fie a 1, a 2, ... a k vectori ai spaţiului liniar Rn.
Definiţia 1.17. Vectorul a se numeşte combinaţie liniară a vectorilor a 1, a 2,..., a k dacă există aşa
numere reale a 1, a 2,..., a k, încât
Definiţia 1.18. Vectorii a 1, a 2, ... a k ai spaţiului liniar Rn se numesc liniar dependenţi dacă există
numerele reale 1, 2,..., k, cel puţin unul diferit de zero, încât are loc egalitatea
Definiţia 1.19. Vectorii a 1, a 2, ... a k ai spaţiului liniar Rn se numesc liniar independenţi dacă ei
nu sunt liniar dependenţi, adică egalitatea
are loc dacă şi numai dacă 1 = 2 = ... = k = 0.
Mai departe vom arăta că vectorii a 1 = (1, 5), a 2 — (2, 3) ai spaţiului liniar R2 sunt liniar
.2211 kk aaaa
.02211 kk aaa
.02211 kk aaa
.00,0,71,5,33,3,44,2,a1a3a2
:avem1α3,α2,αpentrudeoarece,dependenţeliniarsunt
71,5,aşi11,1,a,22,1,avectoriiexemplu,de
321
321
321
035
02
21
21
49
independenţi. Pentru aceasta vom examina combinaţia lor liniară 1 . a 1+ 2
. a 2. Egalăm acest vector
cu vectorul nul, adică 1 . a 1+ 2
. a 2= 0. Avem: 1 (l, 5) + 2 (2, 3) = (0, 0); ( 1, 5 1) + (2 2, 3 2)
= (0, 0); ( 1 + 2 2, 5 1+ 3 2) = (0, 0). Din egalitatea acestor doi vectori, obţinem sistemul de
ecuaţii liniare:
Deoarece sistemul de ecuaţii are o singură soluţie 1 = 2 = 0, rezultă că vectorii a 1 = (1, 5) şi
a 2 = (2, 3) sunt liniar independenţi.
De menţionat că în spaţiile R2 şi R3 orice doi vectori sunt liniar independenţi dacă ei nu sunt paraleli
(coliniari). Orice trei vectori din spaţiul R2 şi orice patru vectori din spaţiul R3 sunt liniar dependenţi.
1.4.3. Baza şi rangul unui sistem de vectori. Descompunerea vectorului
prin vectorii bazei. Baza spaţiului vectorial
Definiţia 1.20. Numărul maximal r de vectori liniar independenţi ai sistemului care conţine k
vectori se numeşte rangul sistemului de vectori, iar înşişi vectorii liniar independenţi alcătuiesc
baza sistemului.
Fie a 1, a 2,..., a k sistemul daţ de vectori ai spaţiului liniar Rn, iar e 1, e 2,..., e r baza acestui sistem de
vectori. Vom arăta că orice vector x al sistemului de vectori poate fi exprimat liniar şi univoc prin
vectorii bazei. Vectorii x , e 1, e 2,..., e r vor fi deja liniar dependenţi. Din aceea că ei sunt liniar
dependenţi rezultă că există aşa numere a, 1, 2,..., k, cel puţin unul fiind diferit de zero, încât
are loc
035
02
21
21
035
2
21
21
0325
2
22
21
07
2
2
21
0
2
2
21
.0
,0
2
1
,
,,,,
.0
,,,
0
,0
.0
22
11
21
21
21
2211
2211
rr
r
r
r
rr
rr
eeex
eeex
eee
eee
eaeex
scrieputemşi0αAşşadar.dependenţeliniarisunt
vectoriicăadevădevărcontraziceaceastaDar
cărezultăţi,independenliniarvectoriideoareceşi
aveavomatuncipresupunemDacă
50
ceea ce înseamnă că orice vector al sistemului de vectori poate fi exprimat prin vectorii bazei.
Vom demonstra că această exprimare este univocă. Fie
două exprimări diferite ale vectorului x prin vectorii bazei e 1, e 2,..., e r. Dar atunci
Aşadar, s-a demonstrat că exprimarea oricărui vector al sistemului prin vectorii bazei e 1, e 2,..., e r
este univocă.
Pentru a afla rangul şi baza unui sistem de vectori din R n, poate fi aplicată metoda Jordan-Gauss.
Fie a i = ( a 1i, a 2i,..., a ni), i = k,1 , un sistem dat de vectori ai spaţiului liniar Rn. Compunem
combinaţia liniară
rrrr eeexşieeex 22112211
.,,,
,0,,0,0
,,,
.0
2211
2211
21
222111
22112211
rr
rr
r
rrr
rrrr
eee
eee
eeexşieeex
sau
avemţi,independenliniarsuntvectoriideoareceDar
sau
.0
,0
,0
:,,,
0
221
2222121
1212111
21
2211
2211
knknnn
kk
kk
k
kk
kk
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
xxx
axaxax
axaxax
elenecunoscutculiniareecuaţcudesistemulsau
vectorialăecuaţcuobţbţinrezultat,Cunul.vectorulcuvectoracestegalăgşi
51
Rezolvând acest sistem de ecuaţii (aplicând metoda Jordan -Gauss), vom obţine necunoscutele de bază
xi1, xi2, ... , xir unde r este rangul sistemului de vectori, iar vectorii a i1, a i2, ..., a ir formează o bază a
sistemului de vectori. în ultimul tabel Gauss vom avea totodată coordonatele fiecărui vector în baza
obţinută.
Pentru a trece la o altă bază, este suficient să se efectueze încă un pas (o iteraţie).
Exemplu. Să se determine rangul şi o bază a sistemului de vectori:
Rezolvam acest sistem de ecuaţii liniare aplicând metoda Jordan-Gauss.
x1 x2 x3
x4
B
5 4 1
3
-3 -3 0
1
-2 1 -3
1
1 3 -2
2
0
0
0
0
x1 x2 x3
x4 B
5 4 1
3
-3 -3 0
1
13 13 0
10
11 11 0
8
0
0
0
0
x1 x2 x3
x4
B
14 13 1
0
-3 -3 0
1
43 43 0
0
0
0
0
.0223
,032
,033
,0345
.2,1,1,3,2,3,0,1
,3,1,3,4,1,2,3,5
4321
4321
421
4321
43
21
xxxx
xxxx
xxx
xxxx
Rezolvare.
aa
aa
:liniareiiecudesistemulAlcălcăt
52
Din ultimul tabel se observă că rangul sistemului de vectori r = 3, necunoscutele x1, x3, x4 sunt necunoscute de bază,
iar vectorii a 1, a 3, a 4 formează o bază a sistemului dat de vectori. Totodată, am obţinut şi coordonatele fiecărui
vector al sistemului în baza a 1 , a 3, a 4. De exemplu, vectorul a 2 = 1 • a 1 + (—1) • a 3 + 0 • a 4.
Aplicând noţiunea de vectori liniar dependenţi şi independenţi, se poate determina dimensiunea şi baza spaţiului
vectorial Rn. În spaţiul vectorial Rn se pot găsi n vectori liniar independenţi. De exemplu, vectorii unitari
sun
t liniar independenţi; vectorii
de asemenea sunt liniari independenţi. Se poate demonstra că orice n+ 1 vectori ai spaţiului liniar Rn
sunt deja liniar dependenţi.
Din cele spuse mai sus rezultă că numărul maximal de vectori liniar independenţi în spaţiul Rn este egal cu
n. Numărul n şi este dimensiunea spaţiului Rn.
Definiţia 1.21. 0 mulţime ordonată de vectori ai spaţiului liniar Rn se numeşte baza lui dacă aceşti
vectori sunt liniar independenţi şi numărul lor coincide cu dimensiunea spaţiului.
In sapaţiul liniar Rn există multe baze (orice n vectori liniar independenţi alcătuiesc o bază), iar dacă
am ales o bază concretă e 1, e 2,.. . , e n , atunci orice alt vector x Rn poate fi exprimat univoc ca o
combinaţie liniară a vectorilor bazei, adică
0
35 35 0
0
x1 x2 x3
x4
B
0 -1 1
0
0 0 0
1
1 1 0
0
0 0 0
0
0
0
0
0
1,,0,0,0,,0,,0,1,0,0,,0,0,1 21 neee
nn eneeeee ',,2',1' 2211
.2211 nn exexexx
53
Coeficienţii x1, x2, ...xn sunt coordonatele vectorului x în baza e 1 , e 2 , . . . , e n .
Se spune că vectorii e 1, e 2, ... , e n spaţiului En sunt ortonormaţi dacă ei sunt ortogonali doi câte doi şi
fiecare din ei are lungimea (norma) egală cu unitatea. Condiţia de ortonormare a vectorilor e 1, e 2, ...
, e k poate fi scrisă sub forma: ( e i, e j) = 0, pentru i ≠ j, şi ( e i, e j) = 1, pentru i = j.
Vectorii i , j , k sunt în spaţiul E3 ortonormaţi. Are loc
Teorema 1.2. Orice mulţime de vectori ortonormaţi sunt liniar independenţi.
Demonstraţie. Fie e 1 , e 2 , . . . , e k o mulţime de vectori ortonormaţi. Vom arăta că egalitatea vectorială
are loc dacă 1 = 2 = ...= k = 0 Pentru aceasta înmulţim ambii membri ai egalităţii de mai sus
scalar cu vectorul e i(unde i - unul din numerele 1,2,. . . ,k). Deoarece vectorii
e 1 e 2 , . . . e k sunt ortonormaţi , vom obţine că 1 = 0. Dar, întrucât acest rezul t a t e s t e
adevăra t pen t ru o r ice i = k,1 , obţ inem 1 = 2 = ...= k = 0. Aşadar, am demonstrat că
vectorii e 1 , e 2 , . . . , e k sunt liniar independenţi. ▲
În încheiere vom menţiona că orice mulţime de vectori ortonormaţi e 1, e 2 , ... , e k ai spaţiului
euclidian En, unde k < n, poate fi extinsă până la o bază ortonormată.
Fie e 1 , e 2 , . . . , e n o bază ortonormată a spaţiului euclidian En. Pentru orice vectori are loc:
02211 kk eee
.
,,
.
,
22
2
2
1
2211
2211
2211
n
nn
nn
nn
xxxx
yxyxyxyx
eyeyeyy
exexexx
vectoruluilungimeaiar
formuladincalculeazăsescalarlorProdusul
54
Exerciţii propuse
1. Vectorii v 1, v 2 si v 3 sunt exprimaţi prin trei vectori liniar independenţi (necomplanari)
a , b şi c :
.
Să se demonstreze că vectorii v 1, v 2, v 3 sunt liniar dependenţi.
2. Fie vectorii a , b , c , d . Să se demonstreze că vectorii a , b , c formează o bază şi să se determine
coordonatele vectorului d în această bază:
Răspunsuri
1.5.
Mul
ţimi
conv
.2,2,2 321 cbavcbavcbav
.4,5,16,3,0,4,4,5,1,3,5,2
.7,5,8,5,4,2,0,3,1,4,1,2
.3,1,2,2,1,0,1,1,2,1,0,1
dcbac
dcbab
dcbaa
.3,52,2,0,7,3,1,5,3,2,6,4
.16,4,0,0,2,0,9,7,5,5,3,1
.12,4,2,9,5,0,7,3,2,5,1,0
dcbaf
dcbae
dcbad
.8,29,2,1,3,1,0,5,2,2,1,6
.15,16,18,1,5,0,3,0,4,1,2,3
.25,2,3,2,1,1,1,6,5,3,1,2
dcbai
dcbah
dcbag
.16,10,3,7,0,4,1,3,2,3,4,5 dcbaj
.32
;432432;723
;35;25;2
;52;43;234.2
cbadj
cbadicbadhcbadg
cbadfcbadecbadd
cbadccbadbcbada
55
exe. Poliedre convexe
În paragraful precedent a fost introdusă noţiunea de spaţiu euclidian n-dimensional En. In continuare vom
examina diferite mulţimi de puncte (vectori) în spaţiul En.
Notaţia M En înseamnă că mulţimea M constă din puncte ale spaţiului En . Dacă punctul X aparţine
mulţimii M, atunci se scrie XM. Fie M1 şi M2 mulţimi de puncte din spaţiul En. Dacă toate punctele mulţimii
M1 se conţin şi în mulţimea M2, atunci se scrie M1 M2.
Definiţia 1.22. Numim segment determinat de punctele X(1) = (x1(1), x2
(1),..., xn(1)) si X(2) = (x1
(2), x2(2),..., xn
(2)) în
spaţiul En mulţimea punctelor X = (x1, x2, ... , xn) ale spaţiului En care se reprezintă ca o combinaţie liniar
convexă a punctelor X(1) si X(2) adică
.
Punctele X(1) şi X(2) sunt extremităţile segmentului.
Definiţia 1.23. Mulţimea M En se numeşte convexă dacă împreună cu oricare două puncte X(1) şi X(2)
ale sale conţine şi segmentul determinat de aceste puncte.
Teorema 1.3. Intersecţia unui număr finit de mulţimi convexe este o mulţime convexă.
Demonstraţie. Fie M1, M2 ,..., Mk mulţimi convexe. Dacă M = k
i 1
Mi constă numai dintr-un singur punct,
atunci mulţimea M este convexă (conform definiţiei, mulţimea care conţine un singur punct este convexă).
Presupunem că mulţimea M = k
i 1
Mi constă din mai multe puncte şi fie X 1 şi X 2 puncte arbitrare ei. ▲
Deoarece fiecare din mulţimile Mi, i = ,,1 k sunt mulţimi convexe, rezultă că segmentul ,, 21
iMXX i =
,,1 k şi, prin urmare, MXX 21 , .
Demostraţie. Fie M1, M2, ..., Mk mulţimi convexe. Dacă
constă numai dintr-un singur punct, atunci mulţimea M este covexă (conform defeniţiei, mulţimea care
.10,, 2121
2
2
1
1 şiundeXXX
k
i
M1
iM
k
i
M1
iM
56
conţine un singur punct este convexă ).
Presupunem că mulţimea constă din mai multe puncte şi fie X(1) şi X(2) puncte arbritare ale ei. Deoarece
fiecare din punctele Mi, i = ,,1 k
Definiţia 1.24. Mulţimea punctelor spaţiului En ale căror coordonate satisfac ecuaţia liniară
Se numeşte hiperplan în spaţiul En .
Cu ajutorul produsului scalar a doi vectori, ecuaţia hiperplanului se scrie astfel:
(C,X) = b.
Teorema 1.4. Orice hiperplan al spaţiului E" este o mulţime convexă.
Demonstraţie. Fie un hiperplan (C,X) = b şi X 1 şi X 2 puncte de pe acest hiperplan. Vom arăta că punctele
X = ,10;1 21 XX
Demonstraţie. Fie un hiperplan (C,X)=b şi X(1) şi X(2) puncte de pe acest hiperplan. Vom arăta că
punctele
X=λ*X(1)+(1- λ)*X(2), 0≤ λ≤1,
de asemenea aparţin acestui hiperplan. într-adevăr,
bxcxcxc nn 2211
.1,1,
1,,
21
21
bbbXCXC
XXCXC
57
În spaţiul E2 hiperplanul este linia dreaptă, iar în spaţiul E3 hiper-planul este planul obişnuit.
Hiperplanul (C, X) = b împarte spaţiul En în două părţi (mulţimi), numite semispaţii: (C, X) ≤ b şi
(C, X) ≥ b.
Teorema 1.5. Orice semispaţiu al spaţiului En este mulţime convexă.
Demonstraţie. Fie semispaţiul (C, X) ≤ b şi două puncte arbitrare X(1) şi X(2) ale acestui semispaţiu. Vom
arăta că punctele
În spaţiul E2 semispaţiul este un semiplan. Intersecţia a mai multor semiplane poate fi un punct, un segment,
o mulţime convexă mărginită sau nemărginită.
în spaţiul E3 , intersecţia unui număr finit de semispaţii poate fi un punct, un segment, un poliedru
convex, sau o mulţime convexă nemărginită.
Definiţia 1.25. Intersecţia unui număr finit de hiperplane şi semispaţii închise ale spaţiului En se numeşte
mulţime poliedrală convexă (dacă nu este vidă). Numim poliedru convex orice mulţime poliedrală convexă
mărginită.
Menţionăm că mulţimea este închisă dacă ea conţine şi toate punctele sale de frontieră.
Ca exemplu de poliedru convex în spaţiul n-dimensional poate servi paralelepipedul n-dimensional
determinat în coordonate prin inegalităţile:
În spaţiul tridimensional corpul format (mărginit) de câteva plane şi situat de o parte faţă de fiecare
din ele este un poliedru convex. Ca exemple de asemenea corpuri pot servi prisma triunghiulară,
piramida triunghiulară, prisma şi piramida regulată.
Definiţia 1.26. Numim punct de extremă (sau vârf) al poliedru-lui convex, punctul care nu poate fi
reprezentat ca o combinaţie liniară convexă a careva două puncte ale poliedrului.
bXC
bbbXCXC
XXCXC
XXX
,
.1,1,
1,,
,10,1
21
21
21
adica
adevar. Îsemispatiuacestuiaparitinasemeneade
nnn222111 βxα,,βxα,βxα
58
Cu alte cuvinte, punctul de extremă al poliedrului convex este aşa un punct care nu poate să
aparţină interiorului segmentului ce uneşte careva două puncte distincte ale poliedrului.
Prin înveliş convex al unei mulţimi M1 se înţelege cea mai mică mulţime convexă M ce conţine
mulţimea M1. O astfel de mulţime M există, deoarece dacă vom lua toate mulţimile convexe ce
conţin mulţimea M1, atunci intersecţia lor şi va fi cea mai mică mulţime convexă ce conţine
mulţimea M1. Cu alte cuvinte, mulţimea M este înveliş convex al mulţimii M1, dacă ea constă din
toate punctele
Teorema 1.6. Orice poliedru convex din spaţiul En este un înveliş convex al vârfurilor sale. Cu alte
cuvinte, orice punct al poliedrului convex este o combinaţie liniară convexă a vârfurilor poliedrului.
Demonstraţie. Pentru simplitate vom demonstra teorema pentru spaţiul En, prin inducţie după
numărul de vârfuri ale suprafeţei poligonale convexe. Dacă suprafaţa poligonală constă dintr-un singur
punct sau dintr-un segment, atunci teorema este adevărată.
Vom examina polgonul care are trei vârfuri (este un triunghi). în interiorul triunghiului P1P2P3 (fig.
1.1) luăm un punct arbitrar P. Unim punctul P1 cu punctul P. Notăm prin P4 punctul de intersecţie a
semidreptei P1P cu latura P2P3 a triunghiului.
Deoarece punctul P se află pe segmentul P1P4, avem:
P=t1*P1+t4*P4, unde t1+t4=1, t1≥0, t4≥0.
.P,,P,Pvectorului
aconvexaliniaracombinatieoestePλXVectorul.Mmultimii
alepunctedearbritrarafinitasubmultimeorigineesteP,,P,Piar
,k1,i0,λ,1unde,PλX
k21
k
1i
ii1
k21
k
1i
1
k
1i
ii
59
Mai departe, punctul P4 se află pe segmentul P2P3, prin urmare,
P4=t2*P2+t3*P3, unde t2+t3=1, t2≥0, t3≥0.
Substituim această expresie în expresie precendentă, obţinem:
P=t1*P1+t4*( t2*P2+t3*P3)P4, unde t1P1t2 t4+t3t4P3.
Notăm: λ=t1, λ2=t2t4, λ3=t3t4. Obţinem :
P= λ*P1+ λ2*P2+ λ3*P3, unde λ1+ λ2+ λ3=1, λ1, λ2, λ3≥0,
ceea ce înseamnă că punctul P este o combinaţie liniar convexă a vârfurilor P1, P2, P3 ale
triunghiului.
Să presupunem că poligonul ne reprezintă o suprafaţă poligonală convexă cu vârfurile P1,
P2,..., Pk, iar P este un punct arbitrar al acestei figuri. Cu ajutorul diagonalelor construi te din
vârful P1, împarţim suprafaţa poligonală convexă în k — 2 triunghiuri. Evident că punctul P va nimeri
în unul din aceste triunghiuri, de exemplu, în triunghiul P1P2P3. Conform celor spuse mai sus vom
avea:
P = λ1 ∙ P1 + λ2 ∙ P2 + λ3 ∙ P3. Adăugând la membrul dreapf al acestei egalităţi celelalte k — 3 vârfuri, adică
k — 3 vectori cu λi = 0, obţinem definitiv
Astfel s-a demonstrat că orice punct al suprafeţei poligonale convexe se exprimă ca o
combinaţie liniar convexă a vârfurilor poligonului. ▲
In încheiere, ne vom opri la una din proprietăţile fundamentale ale mulţimilor convexe. Se
spune că hiperplanul (C, X) = b desparte mulţimile M1 şi M2, dacă (C, X) ≤ b pentru toate punctele
X M1 şi (C, X) ≥ b pentru toate punctele X M2- Cu alte cuvinte, hiperplanul (C, X) = b desparte
mulţimile M1 şi M2 dacă şi numai dacă mulţimea M1 este amplasată în întregime în unul din semispaţiile
formate de hiperplan, iar mulţimea M2 este amplasată în întregime în celălalt semispaţiu.
Hiperplanul (C, X) = b desparte strict mulţimile M1 şi M2, dacă (C, X) < b pentru orice X M1 şi
(C, X) > b pentru orice X M2. Au loc următoarele teoreme:
Teorema 1.7. Pentru două mulţimi convexe închise M1 şi M2 fără puncte comune există hiperplan care le
desparte strict.
Teorema 1.8. Dacă M1 şi M2 sunt mulţimi convexe fără puncte comune, atunci există hiperplan care le
k
1i
iiPλk
i
ii kiundeP1
.1,,1,0,
60
desparte.
Se spune că hiperplanul (C, X) = b este hiperplan-suport al mulţimii M în punctul P0 Є M, dacă
hiperplanul conţine punctul Po, iar mulţimea M se află într-un semispaţiu format de acest hiperplan.
Teorema 1.9 (teorema despre hiperplanul suport). Dacă Po este un punct de frontieră al mulţimii convexe
închise M, atunci există un hiperplan-suport al mulţimii M în punctul Po.
Rezultatele expuse în acest capitol au aplicaţii nemjlocite pentru fundamentarea metodelor de rezolvare a
problemelor de programare liniară.
61
Capitolul 2
Programarea liniară
Schimbările ce au loc în mediul în care activează agenţii economici generează în permanenţă probleme a
căror soluţionare impune luarea şi aplicarea unor decizii.
A decide înseamnă a alege dintr-o mulţime de acţiuni (care poate fi finită sau infinită) pe acea care este
considerată cea mai avantajoasă pentru atingerea unor obiective prestabilite. De calitatea deciziei depinde
eficienţa utilizării fondurilor, reducerea costurilor, creşterea profitului etc.
Printre metodele matematice, folosite pe larg în economie, un rol important îl are programarea matematică.
Scopul principal pe care-1 urmăreşte programarea matematică constă în obţinerea soluţiei optime a unei
probleme economice pe baza unui model matematic.
Sfera de aplicare în economie a programării matematice cuprinde un număr mare şi variat de probleme
privind planificarea economică, operativă şi de perspectivă, conducerea diferitelor procese de producţie,
dirijarea diferitelor procese tehnologice etc.
In problemele de programare matematică procesele economice sunt descrise (exprimate) prin relaţii
matematice în raport cu variabilele pe care le conţin, relaţii care arată dependenţa dintre diferiţi factori ce
intervin în desfăşurarea acţiunilor. Natura, forma şi gradul acestor expresii matematice, precum şi modul de
rezolvare a acestor probleme au determinat diferite direcţii de studii ale programării matematice, cum ar fi:
programarea liniară, când aceste expresii (restricţiile şi funcţia-obiectiv) sunt liniare; programarea
neliniară, când cel puţin o restricţie sau funcţia-obiectiv este de tip neliniar; programarea dinamică, când se
examinează probleme legate de luarea deciziilor în funcţie de timp sau a unor procese compuse din mai
multe etape.
Dintre toate direcţiile programării matematice, programarea liniară este metoda cea mai răspândită
de rezolvare a multor probleme economice, pe de o parte, datorită, caracterului relativ simplu al
aparatului matematic folosit în modelare şi rezolvare, iar pe de altă parte, datorită faptului că este
uşor accesibilă pentru reprezentarea matematică şi analiza fenomenelor economice.
Modelul matematic de programare liniară aplicat la reprezentarea unui sistem economic este
constituit dintr-un ansamblu de relaţii liniare, dintre care una reflectă obiectivul urmărit, iar celelalte
cuprind restricţiile economice sau tehnologice.
Orice problemă de programare liniară se formulează matematic astfel: din mulţimea soluţiilor
sistemului de restricţii, exprimate prin ecuaţii şi inecuaţii liniare, să, se determine o soluţie (soluţia
optimă) ce dă valoarea maximă (sau minimă) a unei expresii liniare, numită funcţie-obiectiv (funcţie-
scop).
62
In continuare se vor examina unele probleme economice care conduc la modele de programare
liniară şi se vor expune metode (algoritmi) de soluţionare a acestor probleme.
2.1. Exemple de probleme de programare liniară
Pentru a ne imagina mai bine ce fel de probleme se rezolvă în programarea liniară, vom prezenta
câteva exemple.
1. Problema utilizării raţionale a resurselor
O întreprindere dispune de m resurse R1, R2,..., Rm în cantităţile b1, b2,..., bm. Pe baza acestor resurse
se pot fabrica n produse P1, P2,..., Pn, care vor aduce întreprinderii beneficiile unitare respective
c1,c2, . . . ,c n .
Cunoscând că pentru a produce o unitate de produs Pj, j = m,1 , sunt necesare atJ unităţi de
resursă Ri, i = m,1 , se cere de a determina ce cantităţi de fiecare produs va trebui să producă
întreprinderea, astfel încât beneficiul total de la vânzarea producţiei să fie maxim.
Datele iniţiale ale problemei le putem include în următorul tabel (tab. 2.1).
Tabelul 2.1
Resursele Producţia Limitele
resurselor P1 P2 ... Pj ... Pn
R1
R2
...
Ri
...
Rm
a11
a12
...
ai1
...
am1
a12
a22
...
ai2
...
am2
...
...
...
...
...
...
a1j
a2j
...
aij
...
amj
...
...
...
...
...
...
a1n
a2n
...
ain
...
amn
b1
b2
...
bi
...
bm
Beneficiul
unitar
c1 c2 ... cj ... cn
Pentru a scrie modelul matematic al problemei formulate, vom nota cu xj volumul de producţie
Pj, j = n,1 , care va fi fabricat din resursele existente, iar prin X = (x1, x2, ... , xn) programul de
producţie al întreprinderii.
Se poate trece de la aspectul economic al problemei la aspectul matematic, scriind sub formă algebrică
restricţiile economice. Aceste restricţii sunt de două tipuri: restricţii datorate limitării resurselor şi
restricţii impuse' de sensul economic al variabilelor. Deoarece xj, j = n,1 , reprezintă mărimi
63
economice ale căror valori negative ar fi lipsite de sens, variabilele Xj trebuie să fie nenegative. Scopul
în această problemă este de a maximiza beneficiul total, obţinut ca sumă a beneficiilor pentru fiecare
produs în parte.
Aşadar, modelul matematic al problemei de utilizare raţională a resurselor (problema sortimentului
optim) are forma:
Mai compact modelul matematic poate fi scris astfel:
Problema considerată se formulează matematic astfel: din mulţimea soluţiilor sistemului de inecuaţii (2.1)
să se determine o soluţie ce dă valoarea maximă a funcţiei (2.2).
Exemplu. Pentru a produce două feluri de marfă P1 şi P2, o fabrică de tricotaj foloseşte lână, nitron şi
silon ale căror rezerve constituie respectiv 820 kg, 430 kg şi 310 kg. Cantităţile (în kilograme) de fire toarse
necesare pentru fabricarea unei unităţi de produs finit şi beneficiul căpătat la vânzarea unei unităţi de
producţie sunt prezentate în tabelul 2.2.
Tabelul 2,2
Felurile de
materii
prime
Cantităţile de fire
necesare
Limitile
resurselor
P1 P2
Lâna
Nitron
Silon
0,4
0,2
0,1
0,2
0,1
0,1
820
430
310
2.2.max
1.2
0,,0,,0,0
,
,
,
2211
21
2211
222222121
111212111
nnjj
nj
mnmnjmjmm
nnjj
nnjj
xcxcxcxcXZ
xxxx
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
n
1j
jj
j
n
1j
ijij
max.xcXZ
n1,j0,x
,m1,i,bxa
64
Beneficiul
unitar
7,8 5,6
Să se determine programul de activitate care va aduce fabricii un beneficiu (profit) maxim.
Notăm prin x1 şi x2 volumul de producţie P1 şi respectiv P2. Modelul matematic al problemei este:
2. Problema amestecului
optim (meniului optim)
Se ştie că pentru a realiza un amestec se pot folosi n tipuri de materii prime Mj, j = n,1 . Amestecul
trebuie să conţină m substanţe Si, i = m,1 , care se găsesc în materiile prime, în aşa fel ca fiecare
substanţă Si să intre în unitatea de amestec în cantitatea necesară bi, i = m,1 .
Cunoscând cantitatea aij de substanţă Si ce se conţine într-o unitate de materie primă Mj şi costurile
unitare cj pentru materiile prime Mj, se cere de a determina cantităţile de materie primă necesare pentru
a obţine unitatea de amestec cu componenţa prescrisă la costul total minim.
Datele iniţiale ale problemei le includem în tabelul 2.3.
Tabelul 2.3
Substanţele Materia primă Cantitatea necesară
minimală de substanţă M1 M2 ... Mn
S1
S2
...
Sm
a11
a21
...
am1
a12
a22
...
am2
...
...
...
...
a1n
a2n
...
amn
b1
b2
...
bm
Costul unei unităţi
de materie primă
c1 c2 ... cn
Pentru a scrie modelul matematic al problemei , vom nota cu x j, j = n,1 , cantitatea de
materie primă Mj necesară pentru a obţine unitatea de amestec cu componenţa prescrisă.
Modelul matematic al problemei
amestecului are forma:
max.5,6x7,8xXZ
0x0,x
310,0,1x0,1x
430,0,1x0,2x
820,0,2x0,4x
21
21
21
21
21
n
1j
jj
j
n
1j
ijij
min.xcXZ
n1,j0,x
,m1,i,bxa
65
Restricţiile în modelul matematic exprimă faptul că într -o unitate de amestec trebuie să se
conţină nu mai puţin de cantitatea necesară pentru fiecare substanţă.
3. Problema de transport
La m producători A1, A2,..., Am se află un produs care trebuie transportat la punctele de destinaţie (la
consumatori) B1, B2, ... , Bn. Cunoscând cantităţile disponibile ai, i = m,1 , şi cantităţile necesare bj, j = n,1 ,
precum şi costurile unitare de transport cij de la producătorul Ai la consumatorul Bj, se cere să se
determine cantităţile xij de produs care urmează a fi repartizate de la producători la consumatori, astfel ca
cererea să fie satisfăcută exact în fiecare centru de consum, iar cheltuielile totale la transportarea produsului să
fie minime.
Datele iniţiale ale problemei le trecem în tabelul 2.4.
Tabelul 2.4
Producătorii Consumatorii Disponibil
B1 B2 ... Bn
A1 c11
c12
... c1n
a1
A2 c21
c22
... c2n
a2
... ... ... ... ... ...
Am cm1
cm2
... cmn
am
Necesar b1 b2 ... bn
Modelul matematic al problemei are forma:
njmix
bxxx
bxxx
bxxx
axxx
axxx
axxx
ij
nmnnn
m
m
mmnmm
n
n
,1,,1,0
,
,
,
,
,
,
21
222212
112111
21
222221
111211
66
Modelul matematic al problemei de transport în mod compact poate fi scris în modul următor:
Evident, problema de transport este de asemenea o problemă de programare liniară şi va avea
soluţii admisibile, dar atunci şi soluţieoptimă, dacă şi numai dacă
2.2. Diferite forme de prezentare
a modelului matematic al problemei de programare liniară
Analizând modelele prezentate în paragraful precedent, se observă că într-o problemă de
programare liniară pot apărea restricţii scrise sub formă de inecuaţii (de tipul „≤” sau „≥”) şi
restricţii sub formă de ecuaţii. De asemenea, criteriul de optimizare ales impune în unele cazuri
min12121111 mnmnijij xcxcxcxcZ
m
i
n
j
ijij
ij
m
i
jij
n
j
iij
xcXZ
njmix
njbx
miax
1 1
1
1
.min
,1,,1,0
,,1,
,,1,
m
i
n
j
ji ba1 1
.
67
maximizarea funcţiei-obiectiv, iar în alte cazuri - minimizarea acesteia. In unele probleme de
programare liniară nu se va cere neapărat ca variabilele să ia valori nenegative.
Pentru a efectua studiul şi interpretarea soluţiilor unei probleme de programare liniară, se aplică
diferite forme de prezentare a modelului matematic al problemei de programare liniară.
Se spune că o problemă de programare liniară este dată sub forma standard dacă toate
restricţiile se reprezintă prin ecuaţii şi tuturor variabilelor li se impun condiţii de nenegativitate,
adică avem:
Din start am prezentat forma standard a unei probleme de programare liniară, deoarece aflarea
soluţiei oricărei probleme de programare liniară cu ajutorul unor metode analitice necesită forma ei
standard. In forma standard se mai cere ca toţi bi ≥ 0, i = m,1 . Pentru a obţine aceasta, dacă bi < 0,
vom înmulţi ecuaţia respectivă cu (—1).
Se spune că o problemă de programare liniară este dată sub forma canonică dacă toate
restricţiile sunt inecuaţii de acelaşi sens şi tuturor variabilelor li se impun condiţii de nenegativitate.
Dacă sensul restricţiilor este de tipul ,,≤”, atunci funcţia-obiectiv trebuie maximizată, iar dacă sensul
restricţiilor este de tipul ,,≥”, funcţia-obiectiv trebuie minimizată.
Putem constata că orice problemă de programare liniară dată sub forma canonica poate fi adusă
la forma standard introducând variabile de compensare (variabile ecart) nenegative. în funcţia-
obiectiv variabilele de compensare se includ cu coeficienţii egali cu zero.
Modelul matematic al problemei de utilizare raţională a resurselor scris în forma standard se
prezintă astfel:
.max
0,,0,0
,
,
,
2211
21
2211
22222121
11212111
nn
n
mnmnmm
nn
nn
xcxcxcXZ
xxx
bxaxaxx
bxaxaxa
bxaxaxa
.max
0,,0,0,,0,0
,
,
,
2211
121
2211
222222121
111212111
nn
nmnn
mmnnmnmm
nnn
nnn
xcxcxcXZ
xxxxx
bxxaxaxx
bxxaxaxa
bxxaxaxa
68
De reţinut că în aplicaţiile practice apar deseori situaţii în care modelul matematic al problemei
conţine simultan restricţii de toate tipurile. Dar orice problemă de programare liniară poate fi adusă
la forma standard (sau la forma canonică) cu ajutorul unor transformări efectuate asupra restricţiilor,
precum şi a operatorului minim în maxim (sau invers) aplicat funcţiei-obiectiv. Aceste transformări sunt:
a) Schimbarea semnului unei inecuaţii se realizează prin înmulţirea
ei cu (—1).
d) Inecuaţiile se transformă în ecuaţii ţinând seama de faptul că inecuaţia
n
j
ijij bxa1
poate fi scrisă ca o
ecuaţie
n
j
iinjij bxxa1
, adăugînd variabile de compensare .0inx În mod analog o inecuaţie de forma
n
j
ijij bxa1
se transformă în ecuaţia
n
j
iinjij bxxa1
prin scăderea variabilei de compensare .0inx De
menţionat că variabilele de compensare nu are în funcţia-obiectiv.
e) Transformarea operratorului minim în maxim (sau invers) se bazează pe egalitatea;
,maxmin XZXZGXGX
Adevărată pentru orice mulţime G şi orice funcţie reală XZ definită pe mulţimea G.
Transformările menţionate mai sus ne dau posibilitatea să obţinem forma standard (sau canonică)
pentru oricare problemă de programare liniară. Importanţa acestor transformări va apărea într-un
mod elocvent atunci când se va pune problema utilizării algoritmului simplex pentru rezolvarea unei
probleme sau când se vor considera probleme duale ale problemelor de programare liniară.
n
1j
n
1j
ijijijij
n
1j
ijij
"
j
'
j
"
j
'
jj
j
.bxasibxa:contrar
sensdeinecuatiieurmatoarelcuaechivalentestebxa
ecuatiacafaptuluibazapeinecuatiiintransformaseEcuatilec
0.xsi0xunde,xxx
adicanegative,iledouavariabadiferentacueînlocuiest
sesemn,derestrictiiimpuneseicarei,xvariabilaOb
69
Pentru studiul de mai departe al problemei de programare liniară vom avea nevoie de noţiunile de
soluţii admisibile şi soluţie optimă.
Numim soluţia admisibilă a problemei de programare liniară vectorul nxxxX ,,, 21 ale cărui
coordonate satisfac toate restricţiile programei.
Soluţia admisibilă **
2
*
1
* ,,, nxxxX pentru care funcţia-obiectiv XZ îşi realizează valoarea maximă
(minimă) se numeşte soluţia optimă.
Am constatat deja că orice problemă de programare liniară poate fi adusă la forma standard. Vom arăta
acum că, rezolvînd problema standard, se obţine soluţia optimă a problemei iniţiale.
Fie ( **
2
*
1 ,,, nxxx , **
2
*
1 ,,, mnnn xxx ) soluţia optimă a problemei aduse la forma standard. Vom demonstra că
vectorul **
2
*
1
* ,,, nxxxX este soluţia optima pentru problema iniţială.
Vom arăta, mai întâi, că X* — (x*1, x*
2,..., x*n) este o soluţie admisibilă pentru problema
iniţială. într-adevăr, coordonatele acestui vector satisfac toate restricţiile problemei iniţiale:
coordonatele lui sunt nenegative (aceaste cerinţe sunt şi în problema standard) şi deoarece numerele
x*n+1, x
*n+2, ... , x
*n+m sunt de asemenea nenegative, din egalităţile
,,1,**
22
*
11 mibxaxaxa iininii
rezultă inegalitatea
.,1,**
22
*
11 mibxaxaxa ininii
Presupunem acum că vectorul X* = (x*1, x*
2,..., x*n) nu este soluţie optimă pentru problema
iniţială. în acest caz se va găsi o altă soluţie
X = (x1, x2,..., xn), pentru care Z(X) > Z(X*). Vom arăta că aceasta este imposibil. Pentru aceasta este
suficient de construit un vector ale cărui coordonate vor satisface toate restricţiile problemei sub
forma standard şi în el funcţia-obiectiv va lua o valoare mai mare decât pentru soluţia (x*1, x
*2, ... ,
x*n, x*
n+1, x*n+2, ... , x*
n+m), ceea ce va fi în contradicţie cu faptul că (x*1, x
*2, ... , x
*n, x
*n+1, x
*n+2,
... , x*n+m) este soluţie optimă pentru problema standard.
Examinăm vectorul ,~,,~,~,~,,~,~2121 mnnnn xxxxxx unde .,1,~~~~
2211 mixaxaxabx niniiiin
Întrucît vectorul X = nxxx ~,,~,~21 satisface restricţiile problemei iniţiale, rezultă că .,1,0~ mix in În
acest caz vectorul mnnnn xxxxxx ~,,~,~,~,,~,~
2121 satisface toate restricţiile problemei standard şi totodată
Z(X) > Z(X*), ceea ce contrazice că (x*1, x
*2, ... , x
*n, x
*n+1, x
*n+2, ... , x
*n+m ) este soluţie optimă pentru
problema standard. Contradicţia obţinută ne demonstrează faptul că vectorul X* = (x*1, x
*2, ... , x
*n) este
soluţie optimă a problemei iniţiale.
Aşadar, orice problemă de programare liniară poate fi adusă la forma standard:
njx
mibxa
j
n
j
ijij
,1,0
,,1,1
70
n
j
jj xcXZ1
.max
Problema standard poate fi scrisă şi sub formă vectorială:
njx
BxA
j
n
j
jj
,1,0
,1
max,, XCXZ
Unde nnmjjjj cccCbbbBaaaA ,,,,,,,,,,, 212121
şi ,,,, 21 nxxxX şi sub forma
matricială:
0
,
X
BAX
max,, XCXZ
unde nmijaA
.
Probleme propuse
Să se scrie modelele matematice ale următoarelor probleme:
1. Pentru confecţionarea (fabricarea) a trei articole se folosesc utilaje de frezat, strunjire, sudură şi de
şlefuire (polizare). Timpul necesar pentru prelucrarea unui articol cu fiecare utilaj, timpul (săptămânal)
disponobil pentru fiecare utilaj şi profitul de la vânzarea unui articol de fiecare tip este dat în tabelul 2.5.
Tabelul 2.5
Utilajele de Consumul de timp (ore)la
prelucrarea unui articol
Timpul disponibil
(ore)
1 2 3
Frezat
Strujire
Sudori
Polizare
3
2
7
5
4
8
5
6
5
6
4
7
230
300
250
340
Prufitul
unitar
52 73 66
Să se afle câte articole de fiecare tip trebuie fabricate, pentru ca profitul de la vânzarea lor să fie
maxim.
2. Pentru fabricarea a patru feluri de bomboane fabrica foloseşte trei feluri de materie primă (de
bază): zahăr, melasă (glucoza alimentară) şi piure de fructe. Cheltuielile de materie primă necesară
pentru a produce o tonă de bomboane şi profitul de la vânzare sunt date în tabelul 2.6.
71
Tabelul 2.6
Felul de
materie
primă
Norma de consum (t) de materie primă la
producerea unei tone de bomboane
Rezervele
de materie
primă 1 2 3 4
Zahăr
Melasă
Piure de
fructe
0,6
0,4
-
0,6
0,3
0,1
0,7
0,2
0,1
0,5
0,4
0,1
990
720
180
Profitul
unitar
664 685 672 613
Se se întocmească planul de producere a bomboanelor ce garantează un profit maxim.
3. La o fabrică de mobilă din foi standard se taie forme speciale de trei tipuri pentru a satisface
necesarul: 38 de bucăţi, 64 de bucăţi şi 52 de bucăţi. Fiecare foaie poate fi tăiată prin două metode
(moduri). Numărul de forme obţinute la aplicarea uneia din metode, precum şi cantitatea deşeurilor
respective sunt date în tabelul 2.7.
Tabelul 2.7
Tipul
formei
Numărul de forme obţinute ce
corespund metodei de tăere
Numărul
necesar
de forme 1 2
I
II
III
3
4
6
2
5
4
38
64
52
Cantitatea
deşeurilor (cm2)
124 114
Să se determine câte foi şi prin ce metodă trebuie tăiate pentru a obţine cantităţile necesare de forme şi o
cantitate minimă de deşeuri.
4. La îngrăşarea suplimentară a pământului însămânţat, la fiecare hectar se introduc nu mai puţin de 10 unităţi
de substanţe chimice A, 25 de unităţi de substanţe chimice B şi 20 de unităţi de substanţe chimice C.
O gospodărie cumpără îngrăşăminte minerale de două feluri (tipuri). Conţinutul substanţelor chimice şi
preţurile de cumpărare sunt date în tabelul 2.8.
Să se determine cantităţile necesare de îngrăşăminte procurate, astfel încât cheltuielile totale să fie minime.
72
5. La stabilirea raţiei zilnice pentru animale putem folosi două feluri de furaje: fân (nu mai mult de 50 kg)
şi silos (nu mai mult de 80 kg). Raţia trebuie să conţină cel puţin 950 g de proteine (albumine), 96 g de calciu şi
Tabelul 2.8
Substanţele
chimice
Conţinutul substanţelor chimice
într-o unitate de masură (greutate)
a îngrăşămintelor
Cantităţile necesare
de substanţe chimice
(la hectar)
1 2
A
B
C
2
9
4
6
4
5
10
25
20
Preţul 50 30
90 g de fosfor. În tabelul 2.9 sunt date cantităţile de componente necesare conţinute de o unitate (1 kg) din
fiecare furaj şi preţurile de cost ale acestor furaje.
Tabelul 2.9
Compo-
nentele
raţiei
Cantităţile componentelor
necesare ce se conţin în fiecare
furaj (g/kg)
Cantităţile (minime) necesare
de componente din raţia
zilnică (g)
Fân silos
Proteine
Calciu
Fosfor
46
1,6
2,6
12
2,4
1,1
950
96
90
Preţul 2,4 1,6
Să se determine cantităţile de fân şi silos necesare pentru a satisface cerinţele biologice, astfel încât cheltuielile
să fie minime.
2.3. Proprietăţile soluţiilor admisibile
în problema de programare liniară.
Teoremele fundamentale
Fie o problemă de programare liniară scrisă sub forma standard:
0
,
X
BAX
max,, XCXZ
73
Vom presupune că problema are soluţii admisibile. In acest paragraf vom demonstra unele proprietăţi
importante ale problemelor de programare liniară.
Teorema 2.1. Mulţimea soluţiilor admisibile ale unei probleme de programare liniară este o mulţime convexă
(dacă nu este vidă).
Demonstraţie. Dacă mulţimea soluţiilor admisibile constă numai dintr-un singur punct, atunci ea este
convexă. Presupunem că mulţimea soluţiilor admisibile constă din mai multe puncte şi fie X(1) şi X(2) două
puncte (două soluţii admisibile) distincte. Deoarece ele sunt soluţii admisibile, avem:
AX(1) = B, X(1)0 şi AX(2) = B,
X(2) 0. Examinăm combinaţia lor lineară convexă (adică segmentul determinat de punctele X(1) şi X(2)) X =
X(1) + (1+ X(2), .10 Vom arăta că vectorul X este soluţia admisibilă.
Într-adevăr, AX = A .)1()1()1( )2()1()2()1( BBBAXAXXX Deoarece
10 , X(1) 0 şi X(2) 0, rezultă că X 0. Prin urmare, mulţimea soluţiilor admisibile în problema de
programare liniară este o mulţime convexă.
74
Dacă mulţimea soluţiilor admisibile este mărginită, atunci ea va fi un poliedru convex.
În continuare vom presupune că mulţimea soluţiilor admisibile este mărginită (majoritatea problemelor
practice sunt de tipul acesta).
Teorema 2.2 (teoremade bază). Dacă mulţimea soluţiilor admisibile a problemei de programare liniară este nevidă şi
mărginită, atunci funcţia-obiectiv ia valoarea optimă într-un punct de extremă (într-un vârf) al poliedrului convex al
soluţiilor admisibile.
Demonstraţie. Fie X(1), X(2), ..., X(s) vârfurile poliedrului de soluţii admisibile ale problemei de programare
liniară. Presupunem că funcţia-obiectiv ia valoarea optimă nu într-un vârf al poliedrului convex al soluţiei
admisibile. În baza teoremei despre reprezuentare punctelor unui poliedru convex putem scrie
,)(
1
ks
k
k XX
unde
s
k
k
1
= 1, .,1,0 skk Dar atunci
max
1
maxmax
1
)(
1
)(
1
)(
1
)(),(,),()( ZZZXZXCXCXCXZs
k
k
s
k
k
ks
k
k
ks
k
k
ks
k
k
Aşada
r, am obţinut că Z(X) maxZ , unde maxZ = ).( )(
maxk
k
XZ
În cazul în care domeniul soluţiilor admisibile ale problemei de programare liniară este nemărginit, teorema
se formulează astfel:
Dacă funcţia obiectiv în problema de programare liniară este mărginită superior pe mulţimea soluţiilor
admisibile, atunci valoarea maximă a ei se realizează într-un vârf al mulţimii poUedrale convexe (care descrie
mulţimea soluţiilor admisibile).
Teorema 2.3 (teorema despre alternative). Dacă funcţia-obiectiv ia aceeaşi valoare optimă în mai multe puncte
de extrem (vârfuri) ale mulţimii soluţiilor admisibile, atunci orice combinaţie liniară convexă a acestora este soluţie
optimă a problemei de programare liniară.
Demonstraţie. Fie X(1), X(2), ..., X(s) vârfurile domeniului de soluţii admisibile pentru care fincţia-obiectiv îşi
realizează valoarea maximă. Examinăm punctele ,)(
1
kq
k
k XX
unde
q
k
k
1
= 1, .,1,0 qkk
Avem: max
1
maxmax
1
)(
1
)(
1
),(,),()( ZZZXCXCXCXZq
k
k
q
k
k
kq
k
k
kq
k
k
Aşadar, s-a demonstrat că mulţimea soluţiilor optime ale problemei de programare liniară este o mulţime
convexă.
Rezultatele obţinute mai sus servesc drept bază pentru elaborarea metodelor eficiente de rezolvare a
problemelor de programare liniară.
2.4. Interpretarea geometrică a problemelor de programare liniară
75
Pentru înţelegerea problemelor prezentate în paragraful precedent şi a tehnicii de rezolvare a lor, vom
analiza interpretarea geometrică în spaţiul R2. în acest caz datele problemei pot fi prezentate grafic în plan în
sistemul de coordonate x1Ox2.
Fie problema de programare liniară:
Mai întâi să clarificăm cum se determinia şi se reprezintă în planul de coordonate x1Ox2 mulţimea
soluţiilor admisibile ale problemei de programare liniară. Este clar că fiecare din inecuaţiile ai1x1 + ai2x2
≤ bi, i = m,1 , determină unul din cele două semiplane în care dreapta ai1x1 + ai2x2 ≤ bi, împarte planul
x1Ox2. Pentru a determina care semiplan închis satisface inecuaţia ai1x1+ai2x2≤bi, este suficient de luat
un punct interior al unuia din semiplanele date şi de verificat dacă coordonatele lui satisfac inecuaţia ai1x1
+ ai2x2 ≤ bi, Dacă coordonatele punctului considerat satisfac inecuaţia ai1x1 + ai2x2 ≤ bi, , atunci
semiplanul închis căutat va fi acel care conţine punctul luat, în caz contrar, semiplanul căutat va fi
celălalt semiplan închis.
Din cele expuse mai sus rezultă că, luând în consideraţie condiţiile x1 ≥ 0 şi x2 ≥ 0, precum şi
intersecţia semiplanelor ai1x1 + ai2x2 ≤ bi, , i = m,1 , se va obţine o suprafaţă poligonală convexă.
Să presupunem că mulţimea de soluţii admisibile ale problemei de programare liniară se reprezintă
prin suprafaţa poligonală convexă ABCDE (fig. 2.1). Vom determina mulţimea de puncte ale suprafeţei
poligonale convexe ABCDE pe care funcţia-obiectiv Z(X) = c1x1 + c2x2 ia valoarea maximă şi valoarea
minimă.
Examinăm mulţimea de puncte din plan, în care funcţia-obiectiv Z(X) = c1x1 + c2x2 ia una şi aceeaşi
valoare Z(X) = Z0. Mulţimea acestor puncte este o linie dreaptă c1x1 + c2x2 = Z0. Această dreaptă este
perpendiculară pe vectorul c = (c1, c2). Luăm, de exemplu, Z = 0 şi construim dreapta c1x1 + c2x2 = 0.
Funcţia-obiectiv Z(X) determină pentru diferite valori ale lui Z o mulţime de drepte paralele între ele.
Vom deplasa dreapta c1x1+c2x2 = 0 paralel cu ea însăşi în direcţia creşterii valorilor funcţiei-obiectiv
.max
0,0
,
,
,
2211
21
2211
2222121
1212111
xcxcXZ
xx
bxaxx
bxaxa
bxaxa
mmm
76
Z(X), adică în direcţia vectorului c = (c1,c2). După cum se observă (fig. 2.1), maximum funcţiei-
obiectiv se obţine în vârful B, iar minimum - în vârful D.
Ideile expuse mai sus stau la baza metodei grafice de rezolvare a problemelor de programare liniară.
Probleme rezolvate
1. Aplicând metoda grafică să se rezolve problema de programare liniară:
Rezolvare. Determinăm mulţimea soluţiilor admisibile. Aceasta va fi suprafaţa poligonală convexă
OABCD (fig. 2.2). Construim vectorul c = (4, 2) şi ducem linia de nivel 4x1 + 2x2 = 0 a funcţiei-obiectiv Z(X).
Această dreaptă este perpendiculară pe vectorul c = (4, 2). Se observă (vezi fig. 2.2) că maximum funcţiei-
obiectiv Z(X) se obţine în vârful C al mulţimii de soluţii admisibile.
Aflăm coordonatele acestui vârf. Pentru aceasta rezolvăm sistemul de ecuaţii liniare:
max.xxXZ
0x0,x
10,xx
,xx
,xx
21
21
21
21
21
24
2
93
1832
77
2. Aplicând metoda grafică, să se rezolve problema:
Rezolvare. Determinăm mulţimea soluţiilor admisibile. Aceasta va fi suprafaţa poligonală convexă
ABCDE (fig. 2.3). Construim vectorul c = (2, -4) şi ducem linia de nivel 2x1 - 4x2 = 0 a funcţiei-
obiectiv Z(X). Această dreaptă este perpendiculară pe vectorul c = (2,-4). Se observă (vezi fig. 2.3)
că maximum funcţiei-obiectiv Z(X) se obţine în vârfurile D şi E. în acest caz problema are o
infinitate de soluţii optime, şi anume toate punctele segmentului DE.
Aflăm coordonatele vârfurilor D şi E:
max.xxXZ
0x0,x
0xx
4,x2x
4,2xx
2,xx
21
21
21
21
21
21
42
.2822642;62
6
84
1832
2
1832max
2
1
2
21
ZsiC
x
x
x
xx
10,xx
,xx
21
21
78
D:
33
7
7
42
2
21
21
21
x
xx
xx
xx
Aşadar, avem D(6; 1) şi E(4;0). Atunci mulţimea soluţiilor op time va fi: X* = (6; 1) + (1 - )(4; 0)
= (6 ; ) + (4(1 - ); 0) = = (2 + 4; ), unde 0 < < 1. Valoarea maximă a funcţiei-obiectiv Zmax
= 2(2 + 4) - 4 = 4 + 8 - 4 = 8.
3. Să se rezolve problema de programare liniară (aplicând metoda grafică):
Rezolvare. Determinăm domeniul soluţiilor admisibile (fig. 2.4). Construim vectorul c = (2, —1) şi
ducem linia de nivel 2x1 — x2 = 0.
Observăm că domeniul soluţiilor admisibile nu mai este limitat de o linie poligonală închisă.
Deoarece funcţia obiectiv Z(X) nu este mărginită superior, rezultă că problema nu are soluţie optimă.
max.xxXZ
0x0,x
,xx
,x
21
21
21
21
2
12
1x
79
Este uşor de constatat că interpretarea geometrică în plan poate fi efectuată pentru orice
problemă de programare liniară dată sub forma standard cu parametrii m şi n, numai dacă n — m =2.
într-adevăr, exprimând toate necunoscutele prin două dintre ele, de exemplu, prin x1 şi x2, şi luând
în consideraţie că toate necunoscutele xj ≥ 0, j = n,1 , obţinem o problemă de programare liniară cu
două necunoscute x1 şi x2 şi cu restricţii sub formă de inecuaţii.
În cazul n = 3 domeniul de soluţii admisibile ale problemei de programare liniară poate fi
reprezentat în spaţiul R3.
4. Să se rezolve problema de programare liniară (aplicând metoda grafică):
Rezolvare. Deoarece m = 3 şi n = 5, avem n — m = 2 şi deci condiţia de mai sus se
îndeplineşte. Exprimăm variabilele x3, x4 şi x5 prin x1 şi x2:
max.XZ
x
,
21
21
21
223
5,1,0
,44
,1622
22232
432
5
43
43
xxx
jx
xx
xxxx
xxxx
j
80
Funcţia-obiectiv în forma Z(X)=3x2-(10-2x1-x2)+2(6-x2)-2=2x1+2x2. Folosind condiţiile xj≥0 obţinem
oproblemă echivalentă cu două necunoscute sub forma cananică
Rezolvăm această problemă aplicând metoda grafică. Mulţimea soluţiilor admisibile se reprezintă prin
suprafaţa poligonală convexă ABCDE (fig. 2.5).
.44
,6
,210
44
2216
36
44
2216
32222
215
24
213
215
2143
24
215
2143
2143
xxx
xx
xxx
xxx
xxxx
xx
xxx
xxxx
xxxx
.max22max22
0
60
44
102
044
06
0210
2121
1
2
21
21
21
2
21
xxXZxxXZ
x
x
xx
xx
xx
x
xx
81
Prin urmare, soluţia optimă a problemei este: X* = (2; 6; 0; 0; 10) şi Zmax = Z{X*) = 16.
5. Să se rezolve problema de programare liniară (aplicând metoda grafică):
Rezolvare. Şi în această problemă n — m = 5 — 3 = 2. Deci, o putem transforma în una echivalentă cu două
variabile (forma canonică). Cu ajutorul transformărilor elementare obţinem sistemul echivalent:
Deplasînd drepta 2x1+2x2=0 (Z=0) în direacţia vectorului normal c =(2,2), obţinem
Zmax=Z(C)=2*2+2*6=16, unde C(2;6)-punctul de intersecţie a dreptelor I şi III:
6
2
6
102
2
1
2
21
x
x
x
xx
6
2
6
102
2
1
2
21
x
x
x
xx
.min62
5,1,0
,1752
,332
,9
4321
5321
4321
321
xxxxXZ
jx
xxxx
xxxx
xxx
j
82
În figura 2.6 este prezentată mulţimea G a soluţiilor admisibile ale sistemului de restricţii. Deplasând
dreapta 2x1 - 3x2 = 0 (Z = 0) în direcţia opusă a vectorului normal c — (2, -3), obţinem:
.min32
5,1,0
,843
,1223
,9
:
.32
623129
.5,1,0
,438
,22312
,9
5,1,0
,843
,1223
,9
21
1
21
21
21
21
212121
3215
3214
213
521
4321
321
xxXZ
jx
xx
xx
xx
esteechivalentModelul
xx
xxxxxxXZobiectivFunctia
jx
xxx
xxxx
xxx
jx
xxx
xxxx
xxx
jj
.5
,4
352
9
3543
9
:
,743425;4
2
1
2
21
21
21
min
x
x
x
xx
xx
xx
IIII
ZBZZ
sidrepteloraintersexiedepunctuleste4;5Bunde
83
84
Pentru modelul iniţial avem:
054438438
105243122312
05499
*
2
*
1
*
5
*
2
*
1
*
4
*
2
*
1
*
3
xxx
xxx
xxx
Deci, soluţia optimă este X* = (4; 5; 0; 10; 0), Zmin =Z(X*) = -7.
Interpretarea geometrică a problemei de programare liniară în care intervin trei variabile
Restricţiile problemei se exprimă printr-un sistem de inecuaţii de forma:
Funcţia-obiectiv este:
Z(X)=c1x1+c2x2+c3x3→ max. Ecuaţiile ai1x1 + ai2x2 + ai3x3 = bi, i= m,1 , reprezintă plane în 3 şi
fiecare plan determină două semispaţii, care sunt definite de una din inecuaţiile ai1x1 + ai2x2 + ai3x3
< bi sau ai1x1 + ai2x2 + ai3x3 > b, (i= m,1 ).
Dacă sistemul de ecuaţii este compatibil, mulţimea soluţiilor admisibile reprezintă un
poliedru convex, numit poliedrul soluţiilor admisibile.
Funcţia Z(X) ia o valoare determinată pe fiecare plan perpendicular pe vectorul c
=
(c1, c2, c3); este crescătoare când planul se deplasează în direcţia vectorului c
şi descrescătoare
când planul se deplasează în direcţie opusă vectorului c
şi ia valoarea optimă (maximă sau
minimă) când planul trece printr-un anumit vârf al poliedrului soluţiilor admisibile. În acest caz
problema admite o singură soluţie optimă.
Dacă vectorul c
este perpendicular pe o muchie sau o faţă a poliedrului soluţiilor
admisibile, funcţia-obiectiv Z(X) ia aceeaşi valoare în toate punctele acestei muchii sau feţe; în
acest caz problema admite o infinitate de soluţii optime.
Interpretarea geometrică a problemei de programare liniară în care intervin n variabile
În mod analog se reprezintă goemetric problema de programare liniară în care intervin n
variabile:
max,)(
,1,0
2211
2211
22222121
11212111
nn
j
mnmnmm
nn
nn
xcxcxcXZ
njx
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
,0,0,0 321
332211
2323222121
1313212111
xxx
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
mmmm
85
Ecuaţiile ai1x1 + ai2x2 +…+ ainxn = bi (i= m,1 ) reprezintă hiperplane în 3 (spaţiul n-
dimensional). Fiecare hiperplan împarte spaţiul în două semispaţii. Punctele unuia din semispaţii
verifică inecuaţia ai1x1 + ai2x2 +…+ ainxn < bi, iar ale celuilalt semispaţiu- inecuaţia ai1x1 + ai2x2
+…+ ainxn > bi. Dacă sistemul de restricţii ale problemei de programare liniară este compatibil,
atunci mulţimea soluţiilor admisibile reprezintă un poliedru convex - poliedrul soluţiilor admi-
sibile. Funcţia-obiectiv Z(X) ia o valoare determinată pe fiecare din hiperplanele
Z(X)=c1x1+c2x2+...+cnxn. Valoarea funcţiei Z(X) creşte când hiperplanul
Z(X)=c1x1+c2x2+…+cnxn se deplasează în direcţia vectorului normal c
= (c1, c2, … ,cn) şi
descreşte daca hiperplanul se deplasează în direcţia opusă a vectorului c
.
Pot avea loc următoarele situaţii:
1. Hiperplanul în deplasarea lui ia o poziţie când el conţine numai
un singur punct (vârf) al poliedrului soluţiilor admisibile; problema
admite o singură soluţie optimă (într-un singur vârf al poliedrului).
2. Vectorul c
= (c1, c2, …, cn) este perpendicular pe o muchie sau
pe o faţă a poliedrului, problema admite o infinitate de soluţii optime
(toate punctele muchiei sau ale feţei).
Probleme propuse
Utilizând metoda grafică, să se rezolve următoarele probleme de programare liniară.
.max3)(
,1,0
,2623
,63
.1
21
21
21
21
xxXZ
xx
xx
xx
.max4)(
,0,0
,832
,1553
,162
.2
21
21
21
21
21
xxXZ
xx
xx
xx
xx
.max52)(
,0,0
,1553
,162
,832
.3
21
21
21
21
21
xxXZ
xx
xx
xx
xx
.max23)(
,0,0
,843
,1223
,9
.4
21
21
21
21
21
xxXZ
xx
xx
xx
xx
.max7)(
,0,0
,183
,143
,2
.5
21
21
21
21
21
xxXZ
xx
xx
xx
xx
.max34)(
,50
,0
,102
,142
,132
.6
21
2
1
21
21
21
xxXZ
x
x
xx
xx
xx
.min2)(
,2,0
,3662
,123
,32
.7
21
21
21
21
21
xxXZ
xx
xx
xx
xx
.min2)(
,0,0
,75.0_
,2022
,95.15.0
,2
.8
21
21
21
21
21
21
xxXZ
xx
xx
xx
xx
xx
.max32)(
,0,0
,142
,10
,123
,183
.9
21
21
21
21
21
21
xxXZ
xx
xx
xx
xx
xx
.max3)(
,0,0
,3234
,122
,1052
.11
21
21
21
21
21
xxXZ
xx
xx
xx
xx
.max3)(
,0,0
,304
,303
,202
,1532
.12
21
21
21
21
21
21
xxXZ
xx
xx
xx
xx
xx
.max3)(
,0,0
,142
,035
,132
,632
.10
21
21
21
21
21
21
xxXZ
xx
xx
xx
xx
xx
86
Răspunsuri
1. Zmax = Z(8; 1) = 25. 2. Zmax = Z(7;2) = 30. 3. Zmax = Z(5;6) = 40.
4. Zmax = Z(6;3) = 24. 5. Zmax = Z(2; 4) = 30. 6. Zmax= Z(5;4) = 32.
7. Zmin= Z(l;2) = 5. 8 Z min, = Z(3;5) = -7. 9. Zmax= Z(6; 4) = 24.
10.Zmax= Z(7;0) = 21. Z min, =(7
10;
7
6)=4. 11.Zmin = Z(5;4) = -6.
12. Poliedrul G este nemărginit: Zmax = ∞. 13. Zmax = Z(0;0;6;26) = 26. 14. Zmin = Z(6;2;0;0) =
Z(0;4;0;4) = -10. 15. Sistemul de restricţiii este incompatibil: G = Ø , Z(X) nu are extreme.
16.Zmax = Z(5;6; 16;0;0)=72 17.Zmax = Z(l;3;0) = 2.
2.5. Soluţii de bază admisibile. Corespondenţa dintre soluţiile de bază admisibile şi vârfurile
mulţimii de soluţii admisibile
Fie o problemă de programare liniară dată sub forma standard şi scrisă sub forma vectorială:
unde Aj = (a1j, a2j,..., amj)', j .max),()(
,,1,0
,1
XCXZ
njx
BxA
j
n
j
jj
.max)(
,0,0,0
,4
,4
.17
321
321
331
321
xxxXZ
xxx
xxx
xxx
.max432)(
4,1,0
,2623
,63
.13
321
421
321
xxxXZ
jx
xxx
xxx
j .max2226)(
4,1,0
,8
,123
.14
4321
421
321
xxxxXZ
jx
xxx
xxx
j
.min2)(
0,5
,5
,7
.15
21
21
21
21
xxXZ
xx
xx
xx
.max88)(
5,1,0
145
,232
,832
.16
32
5421
5321
321
xxXZ
jx
xxxx
xxxx
xxx
j
87
= n,1 sunt vectori-coloană.
Presupunem că problema are soluţii admisibile şi rangul matricei
A=(A1, A2, …, An) este egal cu m, unde m < n. Dacă m = n, atunci sistemul de ecuaţii va avea o
singura soluţie.
Problema de programare liniară poate fi interpretată astfel: din toate reprezentările vectorului-
coloana B sub formă de combinaţie liniara a vectorilor A1, A2, …, An cu coeficienţi nenegativi să se aleagă
o aşa reprezentare, încât funcţia-obiectiv Z(X) să ia valoarea maximă.
Definiţia 2.1 Soluţia nenulă
)0...,0,0,,...,,( 21
mn
smss xxxX
se numeşte soluţie de bază admisibilă dacă sistemul de vectori As1, As2, …, Asm care corespunde
coordonatelor pozitive xs1, xs2, …, xsm sunt liniar independenţi, adică alcătuiesc o bază a sistemului de
vectori A1, A2, …, An.
Faptul că vectorii As1, As2, …, Asm sunt liniar independenţi înseamnă că necunoscutele xs1,
xs2, …, xsm pot fi exprimate prin celelalte n - m necunoscute libere, adică
mixxxx j
Jj
ijis oi,1,
unde J - mulţimea indicilor necunoscutelor libere; Xij - coordonatele vectorului Aj în baza As1, As2, …, Asm;
xio - coordonatele vectorului B în această bază.
Exemplu. Fie problema de programare liniară:
În această problemă A1=
1
2,
A2=
0
1, A3=
2
3, A4=
1
0, B=
2
4
. Rangul sistemului de ecuaţii este r = m = 2. Soluţia admisibilă X1=(0;4;0;2) este soluţie de bază
admisibilă, deoarece vectorii A2=
0
1 şi A4=
1
0 sunt liniar independenţi; soluţia admisibilă X2 = (l;2;0;l)
nu este soluţie de bază admisibilă, deoarece are trei coordonate pozitive şi se ştie că în spaţiul 2 orice trei
vectori sunt liniar dependenţi.
Soluţia de bază admisibilă este nedegenerată, dacă ea conţine exact m coordonate pozitive, iar dacă
numărul coordonatelor pozitive este mai mic decât m, atunci soluţia de bază admisibilă este degenerată.
În exemplul de mai sus, soluţia de bază admisibilă X1= (0;4;0;2) este nedegenerată, iar soluţia de
bază admisibilă X3 = (2; 0; 0; 0) este degenerată.
Fie X=(xs1, xs2, …, xsm, 0, 0,…,0) o soluţie de bază admisibilă. Se spune că vectorii liniar
independenţi Asl, As2 ..., Asm formează o bază pentru soluţia de bază admisibilă. Dacă soluţia de bază
admisibilă este nedegenerată, atunci ei îi corespunde o singură bază, în caz contrar îi corespund mai multe
baze. În exemplul de mai sus, pentru soluţia de bază admisibilă X1= (0;4;0;2) avem baza compusă din
vectorii A2, A4, iar pentru soluţia de bază admisibilă degenerată X3 = (2;0;0;0) avem două baze A1, A2 şi
.max243)(
,0,0,0,0
,22
,432
4321
4321
431
321
xxxxXZ
xxxx
xxx
xxx
88
respectiv A1, A3.
În continuare vom demonstra teorema care stabileşte legătura dintre vârfurile domeniului de
soluţii admisibile şi soluţiile de bază admisibile în problema de programare liniară.
Teorema 2.4. Fiecărei soluţii de bază admisibile în problema de programare liniară îi
corespunde un vârf al mulţimii de soluţii admisibile şi invers, fiecărui vârf îi corespunde o soluţie de bază
admisibilă.
Demonstraţie. Suficienţa. Fie X soluţie de bază admisibilă. Pentru comoditate presupunem că
primele k coordonate sunt pozitive, iar celelalte n-k vor fi zerouri, adică
X=(x1, x2, ..., xk, 0, 0, ..., 0), k≤m
Deoarece X este o soluţie de bază admisibilă, rezultă că vectorii A1, A2, ..., Ak sunt liniar independenţi,
adică 01
k
j
jjA dacă şi numai dacă toţi αj= 0, kj ,1 .
Soluţia de bază admisibilă X=(x1, x2, …, xk, 0, 0,…, 0), ca soluţie admisibilă, satisface
egalitatea
k
j
jj BxA1
. Vom arăta că X este un vârf al mulţimii de soluţii admisibile. Presupunem că X
nu este un vârf al mulţimii de soluţii admisibile. Atunci soluţia admisibilă X poate fi reprezentată ca o
combinaţie liniar convexă a două puncte diferite X(1) şi X(2) ale mulţimii de soluţii admisibile, adică X=λ •
X(1)+ (1 - λ) • X(2), 0 <λ< 1. Dar deoarece λ> 0 şi 1-λ> 0, rezultă că şi vectorii X(1) şi X(2) au acelaşi aspect, şi
anume:
X(1)=(x(1), x(2), …, 2
kx , 0, 0,…, 0)
şi
X(2)=( 22
2
2
1 ,...,, kxxx , 0, 0,…, 0)
Soluţiile X(1) şi X(2) sunt soluţii admisibile şi de aceea,
Scăzând membrii respectivi ai
acestor două egalităţi, obţinem:
0... 21
2
2
2
1
21
2
1
1
1 kkk AxxAxxAxx
Deoarece punctele X(1) şi X(2) sunt distincte, rezultă că cel puţin un coeficient în ultima egalitate
este diferit de zero. Dar aceasta înseamnă că vectorii A1, A2, ..., Ak sunt liniar dependenţi, ceea ce contrazice
că X=(x1, x2, …, xk, 0,0,..., 0) este soluţie de bază admisibilă. Prin urmare, presupunerea nu este adevărată şi
deci X este un vârf al mulţimii de soluţii admisibile.
Necesitatea. Fie X= (x1, x2, ..., xk, 0, 0,... ,0), k ≤ n, un vârf al mulţimii de soluţii admisibile.
Vom arăta că X este o soluţie de bază admisibilă. Pentru aceasta e suficient să arătăm că vectorii A1, A2, …,
Ak sunt liniar independenţi.
Presupunem că vectorii Ai, A2,..., Afc sunt liniar dependenţi.
Atunci 01
k
j
jjA şi cel puţin unul dintre coeficienţii αj≠0.
Soluţia X fiind admisibilă, avem BxAk
j
jj 1
. înmulţim prima egalitate cu un număr (parametru) Ø şi
rezultatul obţinut îl adăugăm (scădem) la a doua egalitate. Ca rezultat obţinem:
k
j
k
j
jjjj BxAşiBxA1 1
)2()1( .
89
Deoarece xj > 0, j= k,1 , este evident că se poate determina o valoare θo a parametrului θ, pentru care în
ambele egalităţi obţinute toţi coeficienţii vor fi nenegativi. Dar aceasta ne spune că
X(1)=(x1+θ0·α1, x2+θ0·α2, …, xk+θ0·αk, 0, 0, …, 0)
vor fi soluţii admisibile.
Observăm totodată că
X(2)=(x1-θ0·α1, x2-θ0·α2, …, xk- θ0·αk, 0, 0, …, 0)
ceea ce contrazice că X este un vârf al mulţimii de soluţii admisibile. Rezultatul obţinut contrazice faptul
că vectorii A1, A2, ..., Ak sunt liniar dependenţi. Prin urmare, vectorii A1, A2, ..., Ak sunt liniar independenţi
şi deci X este soluţie de baza admisibilă. ▲
Din această teoremă se desprind următoarele concluzii:
1. Deoarece numărul de soluţii de bază admisibile este un număr
finit < C™, rezultă că şi numărul de vârfuri ale mulţimii de soluţii
admisibile a problemei de programare liniară este un număr finit.
2. Soluţia optimă a problemei de programare liniară trebuie căutată
printre soluţiile de bază admisibile.
3. Trecerea de la un vârf al mulţimii de soluţii admisibile la altul
înseamnă trecerea de la o soluţie de bază admisibilă la alta.
2.6. Trecerea de la o soluţie de bază admisibilă
la alta. Principiul de optimalitate a soluţiei de bază admisibile. Metoda simplex
De menţionat că în metoda analitică (metoda simplex) de rezolvare a problemelor de programare liniară se
realizează trecerea de la o soluţie de bază admisibilă la alta, astfel încât de fiecare dată baza se înnoieşte cu
un singur vector. Cu alte cuvinte, printre variabilele de bază va fi de fiecare dată inclusă câte o variabilă
nouă, iar alta exclusă.
Considerăm o problemă de programare liniară:
În continuare vom presupune că rangul
sistemului de ecuaţii este r = m şi toţi bi 0, mi ,1
.
Pentru a determina o soluţie de bază admisibilă, dacă astfel de soluţii există, putem aplica
metoda Jordan-Gauss (capitolul 1, secvenţa 1.2.3).
k
j
k
j
jjjjjj BxABxA1 1
.)(;)(
n
j
jj
j
n
j
jjij
xcXZ
njx
mibxa
1
1
.max
,1,0
,,1,
90
Ca rezultat obţinem problema echivalentă:
unde J - mulţimea indicilor
necunoscutelor libere;
xij - coordonatele vectorului Aj în baza Asl, As2, ..., Asm;
xio - coordonatele vectorului termenilor liberi B în această bază;
Δo - valoarea funcţiei obiectiv (2.4) în soluţia de bază admisibilă obţinută X=(x1o, x2o, ..., xmo, 0,
0, ..., 0), iar Δj - coeficienţii necunoscutelor libere xj, jJ
Aceşti coeficienţi se calculează din formula
m
i
jijsjjj cxcczi
1
.
Mărimile j= zj-cj se mai numesc estimaţii ale necunoscutelor xj (vectorului Aj) pentru soluţia de bază
admisibilă respectivă. Evident, coeficienţii j pentru toate necunoscutele de bază sunt egali cu zero.
Următoarea teoremă specifică condiţiile în care o soluţie de bază admisibilă este soluţie optimă.
Teorema 2.5 (principiul de optimalitate a soluţiei de bază admisibile) . Soluţia de bază
admisibilă X* = (*,*
2
*
1 ,...,, mooo xxx , 0, 0 ..., 0) este soluţie optimă a problemei (2.3)-(2.4) dacă j≥0, j =
n,1 .
Demonstraţie. Fie X = (x1, x2, ..., xn) o soluţie admisibilă diferită de soluţia de bază admisibilă
X*. În baza celor expuse mai sus, avem
n
j
iojij xxx1
* Dar atunci, faptul că teorema este adevăratăn rezultă
din relaţiile:
Aşadar,
dacă Δj=zj-cj≥0, j= n,1 , atunci soluţia de bază admisibilă X* determină valoarea maximă a funcţiei-obiectiv
(2.4) şi este deci soluţie optimă a problemei de programare liniară.▲
Verificând dacă soluţia de bază admisibilă este optimă, poate fi unul din următoarele cazuri:
1. Δj ≥ 0 pentru toţi j = n,1 ;
2. pentru un careva j=k avem Δk<0 şi toate componentele
xik ≤0, i = m,1 ;
3. Δj<0 pentru unii indici j şi pentru fiecare astfel de indice j cel
puţin unul din numerele xij este pozitiv.
În primul caz, după cum urmează din principiul de optimalitate a soluţiei de bază admisibile, soluţia de
bază admisibilă X este soluţie optimă.
În cazul al doilea, funcţia-obiectiv (2.4) este nemărginită superior pe mulţimea soluţiilor admisibile
)()( *
1
*
1 11 1 1 10
XZxccxxxxcxzxcXZm
i
isisi
m
i
n
j
jij
n
j
n
j
j
n
j
m
i
ijsiiijj
)4.2(max)(
)3.2(
,1,0
,,1,
0
0
Jj
ij
j
Jj
jijis
xXZ
njx
mixxxxi
91
(problema nu are soluţie optimă).
Cel mai des se întâlneşte cazul trei. În această situaţie, aplicând metoda Jordan-Gauss (capitolul 1, secvenţa
1.2.3), se poate exprima necunoscuta xs (Δs < 0) din ecuaţia cu numărul r, pentru care
is
io
xrs
r
x
x
a
b
is
min0.
, şi
ca rezultat se trece de la soluţia de bază admisibilă X la o nouă soluţie X' pentru care Z(X') > Z(X).
Pentru soluţia de bază admisibilă X' verificăm cazurile posibile de mai sus. Dacă iarăşi va avea loc cazul
3), atunci vom trece la o altă soluţie de bază admisibilă ş.a.m.d. În cazul nedegenerat (când numărul ecuaţiei
r se determină univoc), valoarea funcţiei-obiectiv va creşte mereu şi de aceea cazul 3) poate să se repete
numai de un număr finit de ori.
Aşadar, în cazul nedegenerat, peste un număr finit de treceri de la o soluţie de bază admisibilă la alta,
vom obţine soluţia optimă sau ne vom convinge că problema nu are soluţie optimă (funcţia-obiectiv este
nemărginită superior pe mulţimea soluţiilor admisibile).
Metoda expusă mai sus poartă denumirea de metoda simplex. Trecerea de la o soluţie de bază
admisibilă la alta este o iteraţie a metodei simplex.
2.7. Algoritmul metodei simplex. Tabelele simplex
După cum s-a menţionat mai sus, metoda simplex ne dă posibilitatea, pornind de la o soluţie de bază
admisibilă, să trecem succesiv de la o soluţie de bază admisibilă la alta, astfel încât valoarea funcţiei-
obiectiv să crească, când funcţia-obiectiv se maximizează (sau să scadă, când funcţia-obiectiv se
minimizează). Peste un număr finit de treceri de la o soluţie de bază admisibilă la alta, vom obţine soluţia
optimă a problemei de programare liniară sau ne vom convinge că problema nu are soluţie optimă. Fiecărei
iteraţii îi corespunde trecerea de la un tabel simplex la altul. Algoritmul mtodei simplex oferă criterii în baza
cărora putem decide dacă problema de programare liniară nu are soluţie optimă sau funcţia-obiectiv este
nemărginită.
Aşadar, considerăm o problemă de programare liniară sub forma canonică:
Cu ajutorul variabilelor de compensare mix in ,1,
scriem modelul matematic al problemei sub forma standard:
Deoarece toţi mibi ,1,0
rezultă că X =(0,0, ..., 0, b1, b2, …, bm) este o soluţie de bază admisibilă iniţială (vectorii unitari An+1, An+2,
…, An+m formează o bază).
Algoritmul metodei simplex
1. Completăm tabelul simplex iniţial (tab. 2.10). În prima coloană a tabelului
.max0)(
,1,0
,1,
1 1
1
n
j
m
i
injj
j
n
j
iinjij
xxcXZ
mnjx
mibxxa
.max)(
,1,0
,1,
1
1
n
j
jj
j
n
j
ijij
xcXZ
njx
mibxa
92
sunt trecute necunoscutele de bază. În loc de necunoscutele de bază se
pot arăta vectorii care formează baza respectivă. În coloana a doua sunt scrişi coeficienţii din
funcţia-obiectiv ai variabilelor de bază. În ultima linie a
tabelului simplex se scriu coeficienţii Δj = zj - cj, ai necunoscutelor xj, j= n,1 . Coeficienţii Δj se
calculează din formula
Tabelul
2.10
2. Se analizează valorile Δj=zj-cj (criteriul de intrare în bază). Dacă Δj=zj-
-cj≥0, j = n,1 , atunci soluţia de bază admisibilă examinată este optimă. Problema este
rezolvată.
3. Dacă există cel puţin un indice j, astfel încât Δj=zj-cj<0, atunci se determină indicele s pentru
care Δs=zs-cs= minj
(zj - cj).
4. Se stabileşte vectorul ce urmează a ieşi din bază.Dacă în coloana s toţi
ais≤0, atunci funcţia-obiectv este nemărginită superior. Dacă însă în coloana s există ais > 0,
atunci se determină linia r, astfel încât să se satisfacă relaţia
5. Se înlocuieşte în baza iniţială vectorul An+r cu vectorul As (cu alte cuvinte, se exprimă
necunoscuta xs din ecuaţia cu numărul r). ceea ce înseamnă că se transformă mărimile din tabel conform
relaţiilor:
Ca rezultat, obţinem
un nou tabel simplex (tab. 2.11).
Baza ci B c1 … cs … cn 0 … 0
x1 … xs … xn xn+1 … xn+m
xn+1
xn+2
…
xs
…
xm+n
0
0
…
cs
…
o
b1
b2
…
br
…
bm
a11
a21
…
ar1
…
am1
…
…
…
…
…
…
a1s
a2s
…
ars
…
ams
…
…
…
…
…
…
a1n
a2n
…
arn
…
ams
1
0
…
0
…
0
…
…
…
…
…
…
0
0
…
0
…
1
∆j=zj-cj 0 -c1 … -cs … -cn 0 … 0
.,,1;,,1
,,
;,1,,
0
0
rimisjnj
a
baabx
a
aaaax
nja
ax
a
bx
rs
risrsii
rs
rjisrsij
ij
rs
rj
rj
rs
rr
rs
r
is
i
a a
b
a
b
is
0min
m
i
jjijinjjj njccaccz1
.,1,
93
Tabelu 2.10
În
aces
t tabel, Δo este valoarea funcţiei-obiectiv Z(X) pentru soluţia de bază admisibilă obţinută; Δj, j — n,1 ,
sunt coeficienţi ai necunoscutelor xj în soluţia de bază admisibilă obţinută. Coeficienţii Δj se determină
din formula
Menţionăm, totodată, că valorile Δj, ca
şi xij, pot fi calculate conform formulei recurente (regula dreptunghiului). Posibilitatea de a calcula Δj, j =
0,1,2, ..., n + m, prin două modalităţi ne permite să verificăm calculele la fiecare iteraţie a metodei simplex.
Coeficienţii x1j, x2j, …, xmj, j=0,1,2, ..., n + m, sunt nu altceva decât coordonatele vectorilor B,A1,A2,. ..,
Am+n în baza nouă. Dacă în tabelul obţinut toţi Δj ≥0, j= mn,1 , atunci soluţia de bază admisibilă obţinută
este optimă şi Zmax = Δo. Dacă însă există valori Δj < 0 şi pentru fiecare din ele avem cel puţin un element
xij> 0, atunci procesul de rezolvare continuă. În cazul nedegenerat, peste un număr finit de iteraţii vom
obţine soluţia optimă sau vom determina că funcţia-obiectiv este nemărginită superior.
Remarcă. Dacă în ultimul tabel simplex (unde am obţinut soluţia optimă) există cel puţin o necunoscută
liberă pentru care Δj = 0, atunci problema are o infinitate de soluţii optime. Dacă la fiecare iteraţie a
algoritmului simplex valoarea funcţiei-obiectiv creşte (aceasta este posibil dacă de fiecare dată linia
pivotului se determină univoc), atunci peste un număr finit de iteraţii vom obţine soluţia optimă.
Dacă însă după o anumită iteraţie valoarea funcţiei-obiectiv nu creşte, atunci nu este exclusă
posibilitatea ca pe parcurs să se repete o soluţie de bază admisibilă deja obţinută. Acest fenomen poartă
denumirea de ciclare. Ciclarea va avea loc atunci când la o careva iteraţie se obţine o soluţie de bază
admisibilă degenerată. Pentru a preîntâmpina ciclarea, există diferite metode. Una dintre ele, propusă de
Cearnes, constă în modificarea termenilor liberi în sistemul de restricţii ale problemei în modul următor:
unde ε > 0 este un număr pozitiv
destul de mic.
Probleme rezolvate
1. Să se rezolve problema de programare liniară aplicând metoda simplex:
Baza ci B c1 … cs … cn 0 … 0 … 0
x1 … xs … xn xn+1 … xn+r … xn+m
xn+1
xn+2
…
xs
…
xm+n
0
0
…
cs
…
o
x10
x20
…
xr0
…
xm0
x11
x21
…
xr1
…
xm1
…
…
…
…
…
…
0
0
…
1
…
0
…
…
…
…
…
…
x1n
x2n
…
xrn
…
xmn
1
0
…
0
…
0
…
…
…
…
…
…
x1,n+r
x2,n+r
…
Xr,n+r
….
xm,n+r
…
…
…
…
…
…
0
0
…
0
…
1
∆j=zj-cj ∆0 ∆1 … 0 … ∆n 0 … ∆n+r … 0
.max24)(
0,0
,102
,93
,1832
21
21
21
21
21
xxXZ
xx
xx
xx
xx
n
j
n
j
j
jji ABxA1 1
m
i
jijijjj cxccz1
94
Rezolvare. Aducem problema la forma standard:
Alcătuim tabelul simplex iniţial (tab. 2.12)
Tabelul 2.12
Deoarece în ultima linie a
tabelului avem Δj < 0, rezultă că
soluţia de bază admisibilă iniţială Xo = (0; 0; 18; 9; 10) nu este optimă. Valoarea funcţiei-obiectiv Z(Xo) = 0.
Pentru a obţine o nouă soluţie de bază admisibilă, mai bună decât cea precedentă, exprimăm necunoscuta
x1(introducem în bază vectorul A1).
Pentru a determina din care ecuaţie trebuie exprimată necunoscuta x1 (a stabili vectorul ce urmează
a ieşi din bază), aflăm 52
10
2
10;
2
18min
. Aşadar, este necesar de a exprima necunoscuta x1 din
ecuaţia a treia şi deci în noua soluţie de bază admisibilă necunoscuta x1 devine necunoscută de bază, iar
necunoscuta xs devine liberă. Cu alte cuvinte, vectorul A1 va ocupa în bază locul vectorului A5.
În urma transformărilor, bazate pe metoda Jordan Gauss cu pivotul a31=2, obţinem o nouă soluţie de
bază admisibilă (tab. 2.13).
Tabelul 2.13
Baza Ci B 4 2 0 0 0
x1 x2 x3 x4 x5
x3
x4
x5
0
0
0
18
9
10
2
-1
2
3
3
-1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
∆j=zj-cj 0 -4 -2 0 0 0
Baza Ci B 4 2 0 0 0
x1 x2 x3 x4 x5
x3 0 8 0 4 1 0 -1
.max24)(
,0,0,0,0,0
,102
,93
,1832
21
54321
521
421
321
xxXZ
xxxxx
xxx
xxx
xxx
95
Deoarece Δ2 =-4 < 0, rezultă că nici soluţia de bază admisibilă x1= (5;0;8; 14; 0) nu este optimă, dar este
mai bună decât cea precedentă. Valoarea funcţiei-obiectiv Z(X1) = 20.
Pentru a determina din care ecuaţie trebuie exprimată necunoscuta x2, aflăm 24
8
2/5
14;
4
8min
.
Aşadar, este necesar de a exprima necunoscuta x2 din prima ecuaţie. Ca rezultat, obţinem soluţia de bază
admisibilă, pentru care necunoscuta x2 devine necunoscută de bază, iar x3 - necunoscută liberă (vectorul A2,
va ocupa în baza nouă locul vectorului A3).
În urma transformărilor simplex cu pivotul a12— 4, obţinem tabelul 2.14.
Tabelul 2.14
j= 5,1 , rezultă că Deoarece Δ j>0,
soluţia de bază admisibilă X* - (6;2;0;9;0) este soluţie optimă şi Zmax = 28.
Soluţia obţinută prin aplicarea metodei simplex coincide cu soluţia obţinută prin metoda grafică
(exemplul 1 din secvenţa 2.4).
2. Să se rezolve problema de programare liniară aplicând metoda simplex:
Rezolvare. Aducem problema la forma standard:
x4
x1
0
4
14
5
0
1
5/2
-1/2
0
0
1
0
1/2
1/2
∆j=zj-cj 20 0 -4 0 0 2
Baza Ci B 4 2 0 0 0
x1 x2 x3 x4 x5
x2
x4
X1
2
0
4
2
9
6
0
0
1
1
0
0
1/4
-5/8
1/8
0
1
0
-1/4
9/8
3/8
∆j=zj-cj 28 0 0 1 0 1
.max2)(
,0,0,0,0,0,0
,5
,102
,152
,122
21
654321
62
521
421
321
xxXZ
xxxxxx
xx
xxx
xxx
xxx
.max2)(
,0
,50
,102
,152
,122
21
1
2
21
21
21
xxXZ
x
x
xx
xx
xx
96
Etapele de utilizare a algoritmului simplex sunt indicate în tabelul 2.15, în care
se mai adaugă coloana raportului 0is
is
i aa
b pentru calcularea liniei pivotului (ars).
În secţiunea T2 a fost obţinută soluţia de bază admisibilă X1=(0; 5; 2; 10; 15; 0) şi Z(X1)=10. Soluţia nu
este optimă, deoarece Δ1=-l<0. După următoarea iteraţie cu pivotul a11=1 (coloana 1 şi linia 1 din T2), am
obţinut secţiunea T3 în care toţi Δj≥0. Deci, soluţia optimă este *
1X = (2; 5; 0; 6; 11; 0) şi Zmax = Z(*
1X ) =
12.
Observaţie. Observăm că în ultima linie a tabelului avem Δ6 = 0 ce corespunde variabilei libere x6.
Deci, variabila x6 poate fi introdusă în bază în locul variabilei x4, luând drept pivot valoarea 3 din această
coloană. Ca rezultat, vom obţine o altă soluţie optimă *
2X =(6;3;0;0;l;2), pentru care Zmax=Z(*
2X )=12.
Mulţimea soluţiilor optime cuprinde şi orice combinaţie liniară convexă a acestor două soluţii optime.
Tabelul 2.15
Din punct de
vedere economic,
existenţa mai multor
soluţii optime are o
importanţă deosebită.
într-adevăr, dacă
obiectivul problemei
de programare liniară
Baza Ci B 1 2 0 0 0 0 bi/ais
(ais>0) x1 x2 x3 x4 x5 x6
\x3
x4
x5
x6
0
0
0
0
12
15
10
5
1
2
2
0
2
1
-1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
12:2=6
15:1=15
−−−
5:1=5←
∆j=zj-cj 0 -1 -2 0 0 0 0
\x3
x4
x5
x2
0
0
2
0
2
10
15
5
1
2
2
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
-2
-1
1
1
2:1=2←mi
n
10:2=5
15:2=7,5
____
∆j=zj-cj 10 -1 0 0 0 0 2
\x1
x4
x5
x2
1
0
0
2
2
6
11
5
1
0
0
0
0
0
0
1
1
-2
-2
0
0
1
0
0
0
0
1
0
-2
3
5
1
-----
6:3=2←mi
n
11:5=2,2
5:1=5
∆j=zj-cj 12 0 0 1 0 0
97
este stabilirea unui plan optim de producţie şi după rezolvare am obţinut mai multe soluţii optime, atunci
putem alege una dintre ele, astfel încât planul ales să satisfacă şi alte cerinţe, care nu au fost incluse în
condiţiile iniţiale.
Propunem cititorului să rezolve grafic această problemă (problema 2) şi să compare rezultatele obţinute.
3. Să se rezolve problema de programare liniară aplicând metoda simplex:
Rezolvare.Aducem modelul la forma standard:
In tabelul 2.16 este prezentată rezolvarea acestei probleme.
Tabelul 2.16
T1
T2
Soluţia obţinută nu
este optimă, deoarece
Δ1=-5<0 şi toţi ais < 0.
Procesul rezolvării s-
a terminat. Funcţia
Z(X) este nemărginită pe domeniul soluţiilor admisibile (domeniul este nemărginit de sus).
Baza Ci B 2 3 0 0 0 bi/ais
(ais>0) x1 x2 x3 x4 x5
x3
x4
x5
0
0
0
2
3
8
-1
2
-4
1
-4
3
1
0
0
0
1
1
0
0
1
2/1=2←min
8/3=2(2/3)
∆j=zj-cj 0 -2 -3 0 0 0
x2
x4
x5
3
0
0
2
11
2
-1
-2
-1
1
0
0
1
4
-3
0
1
0
0
0
1
∆j=zj-cj 6 -5 0 3 0 0
.max32)(
,0,0,0,0,0
,342
,2
21
54321
421
321
xxXZ
xxxxx
xxx
xxx
.max32)(
,0,0
,834
,342
,2
21
21
21
21
21
xxXZ
xx
xx
xx
xx
98
Observaţie. Metoda simplex se aplică fără modificări esenţiale şi în cazul în care problema de
programare liniară cere determinarea valorii minime a funcţiei-obiectiv.
2.8. Determinarea soluţiei de bază admisibile
iniţiale. Metoda bazei artificiale
cu coeficienţii de penalizare
Din cele expuse mai sus concluzionăm că utilizarea algoritmului simplex necesită cunoaşterea unei soluţii
de bază admisibile iniţiale.
Dacă modelul matematic al problemei de programare liniară este de tipul problemelor de folosire
raţională a resurselor
AX ≤ B
X ≥ 0
Z(X) = (C, X) - max
atunci, aducându-1 la forma standard şi utilizând variabile de compensare, obţinem totdeauna o soluţie de
bază admisibilă corespunzătoare bazei formate din vectorii auxiliari. Dar, deoarece nu toate problemele
practice sunt de această formă, rezultă că este necesar să cunoaştem şi alte metode pentru determinarea
soluţiei de bază admisibile iniţiale.
Dat fiind faptul că-algoritmul metodei simplex se aplică numai în cazul modelului
matematic de forma standard, vom considera problema de programare liniară dată sub forma:
Unde bi ≥ 0, i = m,1 .
Determinarea unei soluţii de bază admisibile iniţiale în varianta penalizărilor constă în următoarele:
max,)~
( 212211 mnnnnn MxMxMxxcxcxcXZ
max,)(
,1,0
2211
2211
22222121
11212111
nn
j
mnmnmm
nn
nn
xcxcxcXZ
njx
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
99
Se înlocuieşte problema dată cu o problemă modificată sau „problemă extinsă", şi anume:
unde M este un număr pozitiv, destul de mare.
Dacă se cere de minimizat funcţia obiectiv Z(X), atunci
ZM (X) = c1x1 + c2x2 +… +cnxn+
+Mxn+1 + Mxn+2 + . . . + Mxn+m max,
Vectorii unitari An+1, An+2,..., An+m ce corespund aşa-nu mitelor variabile artificiale xn+1, xn+2,..., xn+m
alcătuiesc o bază. In continuare vom arăta că, rezolvând problema extinsă, vom rezolva şi problema
iniţială.
Teorema 2.6. Dacă în soluţia optimă a problemei extinse X* necunoscutele x*n+i = 0, i = m,1 ,
adică X* = (x*1, x*
2, ... , x*n, 0, 0,.. . ..., 0), atunci X* = (x*
1, x*2, ... , x*
n )esfe soluţie optimă
pentru problema iniţială.
Demonstraţie. Observăm că dacă X* este soluţie optimă a problemei extinse, atunci X* este
soluţie admisibilă a problemei iniţiale şi Zm(X*) = Z(X*).
Vom demonstra că X* este soluţie optimă a problemei iniţiale. Presupunem contrariul, că X* nu
este soluţie optimă pentru problema iniţială. Atunci există o aşa soluţie admisibilă X (1) = (x (1),
x (1), ... ,xn(1)) p e n t r u p r o b l e m a i n i ţ i a l ă , î n c â t Z ( X ( 1 ) ) > Z ( X * ) . D a r atunci pentru soluţia
problemei extinse X (1 ) = (x1(1 ) , x2
( 2 ) , .. . ,xn(1 ) , 0, 0, .. . ,0)avem:
Inegalitatea obţinută ZM(X (1) > ZM(X*) contrazice că X* este soluţie optimă a problemei
extinse. ▲
Aşadar, dacă în soluţia optimă a problemei extinse x *n+1 = 0, i = m,1 , atunci primele n
componente ale acestei soluţii determină soluţia optimă a problemei iniţiale.
Probleme rezolvate
max,)(
,1,0
2211
2211
222222121
111212111
nn
j
mmnnmnmm
nnn
nnn
xcxcxcXZ
mnjx
bxxaxaxa
bxxaxaxa
bxxaxaxa
100
1. Să se rezolve problema de programare liniară:
Rezolvare. Adăugând în fiecare ecuaţie a sistemului de restricţii câte o necunoscută artificială, obţinem
problema extinsă:
Alcătuim tabelul simplex iniţial (tab. 2.17).
Tabelul 2.17
Deoarece în tabel avem valori ∆j
negative, rezultă că soluţia de bază admisibilă iniţială nu este optimă. Trecem, mai departe, la o altă
soluţie de bază admisibilă. Exprimăm necunoscuta x2 din ecuaţia a doua, deoarece ∆2 = — 5M — 6
< 0 şi min
2
4;
3
9 =
2
4 = 2
Ca rezultat, obţinem o nouă soluţie de bază admisibilă pentru problema extinsă (vezi tab. 2.18).
Baza Ci B 1 6 4 -M -M
x1 x2 x3 x4 x5
x4
x5
-M
-M
9
4
1
2
3
2
3
1
1
0
0
1
∆j=zj-cj -3M -3M-1 -5M-6 -4M-4 0 0
.max46)~
(
,0,0,0,0,0
,422
,933
54321
54321
5321
4321
MxMxxxxXZ
xxxxx
xxxx
xxxx
.max46)~
(
,0,0,0
,422
,933
321
321
321
321
xxxXZ
xxx
xxx
xxx
101
Tabelu 2.18
-2
3 M — 1 < Deoarece ∆3 =
0, rezulta că soluţia de bază adisibilă X = (0; 2; 0; 3; 0) nu este optimă. Exprimăm necunoscuta
x3 prima ecuaţie, deoarece min
2/1
2;
2/3
3 =
2/3
3= 2. Ca rezultat,
ţinem o nouă soluţie de bază admisibilă pentru problema extinsă ( tab. 2.19).
Tabelul 2.19
Deoarece, în ultimul tabel simplex, toate valorile ∆j ≥ 0, j = 5,1 , finem că soluţia de bază
admisibilă X* = (0; l ;2;0;0) este soluţie timă pentru problema extinsă. Dar atunci X* = (0; 1; 2)
este soluţie ;imă a problemei iniţiale, deoarece valorile necunoscutelor x4 şi x5 sunt nule.
Remarcă. Dacă problema iniţială nu are soluţii admisibile, atunci uţia optimă a problemei
extinse va conţine cel puţin o componentă x*n+1 > 0
2. Să se rezolve problema de programare liniară:
Rezolvare. Deoarece sistemul de restricţii conţine o necunoscută de bază (necunoscuta x3 ce
lipseşte în ecuaţia a doua), introducem vari-la artificială numai în ecuaţia a doua. Prob
Baza Ci B 1 6 4 -M -M
x1 x2 x3 x4 x5
x4
x2
-M
6
3
2
-2
1
0
1
3/2
1/2
1
0
-3/2
1/2
∆j=zj-cj -3M+12 2M+5 0 -3/2M-
1
0 5/2M+3
Baza Ci B 1 6 4 -M -M
x1 x2 x3 x4 x5
x3
x2
4
6
2
1
-4/3
5/3
0
1
1
0
2/3
-1/3
-1
1
∆j=zj-cj 14 11/3 0 0 M+2/3 M+2
.max23)(
,0,0,0
,82
,6
321
321
421
321
xxxXZ
xxx
xxx
xxx
102
Rezolvăm această problemă prin metoda simplex (tab. 2.20).
în tabelul T1 cea mai mică valoare a coeficienţilor ∆j este ∆j = 2M — 2, ce corespunde variabilei x1 (vectorului
A1), care se introduce în bază în locul variabilei x4 (vectorului A4), deoarece ei îi corespunde min
2
8;
1
6 =
2
8 = 4 (linia a doua)
Tabelul 2.20
T1
T2
Soluţia obţinută în T2 este optimă, fiindcă
toate valorile ∆j ≥0. Astfel am obţinut soluţia optimă a problemei iniţiale X* = (4;0;2) şi Zmax = 14.
Pe parcursul rezolvării problemei extinse urmează să excludem din tabel coloanele variabilelor artificiale (vectori
artificiali) pe măsura ieşirii lor din bază.
In cazul dat aceasta este coloana ce corespunde lui x4 din T2. Aceasta reiese din faptul că un vector artificial
ieşit din bază nu va mai fi reîntors în bază şi deci nu va mai fi necesar să i se calculeze componentele la schimbările
de bază.
3. Să se rezolve problema de programare liniară:
Baza Ci B 3 2 1 -M bi/ais
(ais>0) x1 x2 x3 x4
x3
X4
1
-M
6
8
1
2
1
1
1
0
0
1
6:1=6
8:2=4←
∆j=zj-cj -
8M+6
-2M-2 -M-1 0 0
x3
x1
x5
1
3
0
2
4
5
0
1
0
1/2
1/2
1
0
-1/2
×
.max23)~
(
,0,0,0,0
,82
,6
4321
4321
421
321
MxxxxXZ
xxxx
xxx
xxx
103
Rezolvare. Aducem modelul la forma standard, schimbard şi funcţia-obiectiv la maxim.
Pentru această problemă (problema iniţială) alcătuim problema extinsă, adăugând la primele două ecuaţii câte o
variabilă artificială (în a treia ecuaţie avem deja variabila de bază x5):
Rezolvăm problema obţinută folosind tabelele simplex (tab. 2.21).
.max2~
7,1,0
5
,5
,42
76211
7421
7421
6321
MxMxxxXZ
jx
xxxx
xxxx
xxxx
j
.max2)(
0,0,0,0,0
32
,5
,42
211
54321
521
421
6321
xxXZXZ
xxxxx
xxx
xxx
xxxx
.min2)(
,0,0,0
,32
,5
,42
21
321
21
21
21
xxXZ
xxx
xx
xx
xx
104
Tabelul 2.21
T1
T2
T3
Deoarece în tabelul
T3 avem ∆j ≥ 0, j = 1,5,
rezultă că X* = (3; 2)
este soluţie optimă a
problemei iniţiale (variabilele artificiale x6 = x7 = 0) şi Zmin = -Zi max = -(-4) = 4.
Probleme propuse
Aplicând metoda simplex, să se rezolve următoarele probleme de programare liniară.
Baza Ci B -2 1 0 0 0 -M -M bi/ais
(ais>0) x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
x6
x7
x5
-M
-M
0
4
5
3
2
1
-1
-1
1
-1
-1
0
0
0
-1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
4:2=2←
5:1=5
−−−
∆j=zj-cj -9M -
3M+2
-1 M M 0 0 0
x1
x7
x5
-2
M
0
2
3
5
1
0
0
-1/2
3/2
-5/2
-1/2
1/2
-1/2
0
-1
0
0
0
1
× 0
1
0
___
3:3/2=2←
___
∆j=zj-cj
x1
x2
x5
-2
1
0
3
2
10
1
0
0
0
1
0
-1/3
1/3
1/3
-
1/3
-
2/3
-
5/3
0
0
1
× ×
∆j=zj-cj -4 0 0 1 0 0
.max2486
0,0,0,0
,1022
,1242
,623
.2
.max235
0,0,0
242
,823
,1632
.1
4321
4321
431
4321
421
321
32
21
321
321
xxxxXZ
xxxx
xxx
xxxx
xxx
xxxXZ
xxx
xx
xxx
xxx
105
.max2224
0,0,0,0
,1
,32
.4
.max868
0,0,0
,25532
,2032
5
,82
.3
4321
4321
421
321
321
32
321
321
321
xxxxXZ
xxxx
xxx
xxx
xxxXZ
xxx
xxx
xxx
xxx
.max442
.
0,0,0,0
,222
,1
.5
4321
432
431
432
xxxxXZ
xxxx
xxx
xxx
.max246
,0,0,0
,223
,1234
.7
.max223
0,0,0,0,0
,4
,22
,2
.6
321
321
321
321
54321
5432
532
432
321
xxxXZ
xxx
xxx
xxx
xxxxxXZ
xxxxx
xxx
xxx
xxx
.max108
0,0
114
,1333
,1023
.9
.max108
0,0
,224
,2633
,2023
.8
21
21
21
21
21
21
2
21
21
21
xxXZ
xx
xx
xx
xx
xxXZ
xx
xx
xx
xx
106
`
.max24
.
0,0
,2535
,335
,1232
.10
21
2
21
21
21
xxXZ
xx
xx
xx
xx
.max4
.
0,0
,2535
,3034
,65.1
.11
21
2
21
21
21
xxXZ
xx
xx
xx
xx
.max58469
5,1,0
,1323
,7
,8
.13
.max4
0,0
1
,1
,1
,2
.12
54321
543
5432
321
21
2
21
21
21
21
xxxxxXZ
jx
xxx
xxxx
xxx
xxXZ
xx
xx
xx
xx
xx
j
.max45
.
0,0,0
,4
,92
,83
,1
.14
321
32
32
31
321
21
xxxXZ
xxx
xx
xx
xxx
xx
.max423
.
0,0,0
,6234
,322
.15
321
32
321
321
xxxXZ
xxx
xxx
xxx
107
.max343
.
0,0,0,0
,483485
,86227
,642
.16
4321
432
5321
4321
421
xxxxXZ
xxxx
xxxx
xxxx
xxx
.max3
.
0,0,0,0
,485
,1
,133
.17
54321
432
54321
54321
54321
xxxxxXZ
xxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
.max33
0,0,0
,0
,223
.19
.max52
0,0,0
,593
,9113
.18
321
321
21
321
321
32
321
321
xxxXZ
xxx
xx
xxx
xxxXZ
xxx
xxx
xxx
108
Răspunsuri
.max2224
0,0,0
,33
,1
.21
.min32
0,0
,45
,826
,4
.20
4321
321
321
321
21
2
21
21
21
xxxxXZ
xxx
xxx
xxx
xxXZ
xx
xx
xx
xx
.max284
.
0,0,0,0
,3
,2
,52
.22
4321
432
32
421
321
xxxxXZ
xxxx
xx
xxx
xxx
.max222
0,0,0
,0
,215
.23
321
321
321
321
xxxXZ
xxx
xxx
xxx
109
1. X* = (l;0;5), Zmax = 15. 2. X* = (0;3;5;0), Zmax = 44. 3. X* =
4
17;0;
8
15, Zmax = 49. 4. X* =
(0; 3; 0; 4), Zmax = 14. 5. Funcţia obiectiv Z(X) este nemărginită superior. 6. X* = (4; 2; 0; 0; 2), Zmax =
18. 7. Nu are soluţi i optime. 8. X* = (3,6; 4,6), Zma x = 74,8. 9 . X* = (1,8; 2,3), Zmax - 37,4. 10. X*
= (8; 5), Zmax = 42. 11. X* = (3; 6), Zmi„ = = -27. 12. X* =
2
3;
2
1, Zmin = -
2
11. 13. X* = (0; 2; 3; 0;
2), Zmin = 34. 14. X* =
4
5;
4
21;
2
13 , Zmax =
4
59. 15. X* = (1; 0; 1), Zmax = 7.
16. X* = (0; 3; 1; 0), Zmax = 15. 17. X* = (1; 1; 1; 0; 0), Zmax = 3. 18. X* = (3; 4; 0), Zmax = 11.
19. X* = (1; 1; 0), Zmax = -2. 20. X* =
7
4;
7
8 , Zmin = 4. 21. X*
1 = (0; 0; 1), X*2 = (2; 1; 0), X* = λX1
* +
( l -λ)X 2* , 0 ≤ λ≤ l , Zm a x = 4 . 22. X * = (0; 0; 5 ; 2) , Z m a x = 8. 23. Soluţ i i le de bază
admisibi le opt ime: X* = ( l ; 0 ; l ) , X2* =
0;
8
1;
8
1 . Mulţimea soluţiilor optime: X* = λX* + (1 -
λ)X2*, 0 ≤ A ≤ 1, Zmax = 0.
2.9. Problema duală în programarea liniară
Fiecărei probleme de programare liniară i se poate asocia o altă problemă de programare liniară, numită
problema duală. Ca urmare, putem vorbi despre existenţa unui cuplu, primal-dual, de probleme de
programare liniară care are aplicaţii în modelarea matematică a fenomenelor economice. Rezolvarea
problemei duale furnizează informaţii suplimentare pentru analiza proceselor economice şi fundamentarea
deciziilor.
Pentru înţelegerea conţinutului economic al parametrilor problemei duale, vom scrie problema duală pentru
problema de utilizare raţională a resurselor.
Modelul matematic al problemei de utilizare raţională a resurselor are forma:
a11x1 + a12x2 + ... + a1jxj + ... + a1nxn ≤ b1,
a21x1 + a2x2 + … + a2jxj + … + a2nxn ≤ b2
… … … … … … … … … … … … …
am1x1 + am2x2 + … + amjxj + …+ amnxn ≥ bm,
xj ≥ 0, j = 1,n
Z(X) — c1x1 + c2x2 + ... + cixi + ... + cnxn - max
110
A rezolva o problemă de utilizare raţională a resurselor înseamnă i determina un program de activitate
(un plan de producţie) X* = = (x*1, x*2, ... , x*n), pentru care se obţine beneficiul total maxim sornind de
la resursele disponibile, adică Z(X*) = maxZ(X).
Pentru a scrie problema duală, notăm prin yj valoarea unei unităţi le resurs R i, i = l,m. Atunci valoarea
totală a resurselor este W(Y) = b1y1 + b2y2 + . . . + bmym, iar valoarea consumului de •esurse
(ingredienţi) pentru a produce o unitate de produs P j este a1jyj + a2jy2 + ... + amjym ≥ cj, Evident, beneficiul
unitar cj nu depăşeşte /aloarea respectivă a consumului de ingredienţi, adică
a1jyj + a2jy2 + ... + amjym j = 1.n
si prin urmare, cu cât mai mici vor fi cheltuielile neproductive în proce->ul de producţie, cu atât mai deplin se
va include valoarea cheltuielilor ifectuate în valoarea produsului obţinut.
Aşadar, rentabilitatea programului de lucru al întreprinderii constă n includerea deplină a valorilor
cheltuielilor de ingredienţi în valoarea inei unităţi de produs, adică pentru planul rentabil de lucru
valoarea cheltuielilor totale de ingredienţi trebuie să fie egală cu valoarea producţiei obţinute.
Aşadar, variabilele y1 i = 1, m, trebuie să satisfacă restricţiile:
a1jyj + a2jy2 + ... + amjym j = 1.n
Evident, aceste valori trebuie să fie nenegative: yi, ≥ 0, i = 1, m. Astfel, am obţinut problema duală:
a11y1 + a21y2 + … + am1ym ≥ c1,
a12y1 + a22y2 + … + am2ym ≥ c2,
……………………………………
a11y1 + a21y2 + … + am1ym ≥ c1,
yi ≥ 0, i = 1,m
Aşadar, pentru a scrie problema duală, fiecărei restricţii din pro -ilema iniţială i se ataşează o variabilă
nenegativă yi-, i = l,m.
Coeficienţii funcţiei-obiectiv a problemei iniţiale devin termeni liberi în problema duală, iar termenii liberi din
problema iniţială devin coeficienţi ai funcţiei-obiectiv a problemei duale. Dacă în problema iniţială se cere să se
maximizeze funcţia-obiectiv Z{X), atunci scopul problemei duale este de a minimiza funcţia-obiectiv W(Y).
Fiecărei variabile xj, j — 1, n, din problema iniţială îi corespunde o restricţie în problema duală, prin urmare,
coeficienţii variabilei xj devin coeficienţi ai unei restricţii în problema duală. Aşadar, problema duală are n
restricţii, iar coeficienţii necunoscutelor y; formează matricea A' (transpusa matricei A din problema iniţială).
De menţionat că problema duală a dualei este problema iniţială şi de aceea se poate afirma că problema iniţială
(primală) şi cea duală formează un cuplu de probleme reciproc duale.
Se spune că avem cazul de probleme duale simetrice dacă toate restricţiile în aceste probleme sunt exprimate
111
prin inecuaţii.
Exemplu. Fie o problemă de programare liniară:
Problema duala este:
Modelul matematic al problemei iniţiale şi respectiv al problemei duale poate fi scris, mai compact, astfel:
Orice pereche de probleme duale posedă următoarele proprietăţi:
Lema 2.1 Pentru orice soluţie admisibilă X = ( ) a problemei iniţiale şi orice soluţie
admisibilă Y =, •( ) o problemei duale are loc inegalitatea Z(X) ≤ W(Y)
Demonstraţie. într-adevăr,
.max17108
0,0,0
,4034
,3232
,4564
,3423
1
321
32
321
321
321
221
xxxXZ
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
.min40324534
0,0,0,0
,173
,10342
,3443
4321
4321
321
4321
4321
yyyyYW
yyyy
yyy
yyyy
yyyy
m
i
jj
i
m
i
jjij
ybYW
miy
njcya
1
1
.min
,.1,0
,,1,
n
j
jj
j
n
j
ijij
xcXZ
njx
mibxa
1
1
.max
,.1,0
,,1,
112
Lema 2.2. Daca pentru soluţiile admisibile X* =
( ) are loc egalitatea Z(X*) = W(y*), atunci X* şi
Y* sunt soluţii optime ale problemei iniţiale şi celei duale respectiv .
Demonstraţie. In baza lemei 2.1, pentru orice soluţii admisibile X şi Y are loc Z(X) ≤ W(Y). în
particular, vom avea Z(X*) ≤ W{Y). De aici şi din egalitatea Z(X*) = W(Y") obţinem că W(Y*) ≤
W{Y). Această inegalitate ne arată că Y* este soluţie optimă pentru problema duală.
în mod analog avem Z(X) ≤ W{Y*) sau Z(X) ≤ Z(X*), adică X* este soluţie optimă pentru
problema iniţială. ▲
Teorema 2.7 (teorema dualităţii). Dacă problema iniţială are soluţie optimă, atunci problema duală de
asemenea are soluţie optimă şi pentru aceste soluţii X* şi Y* are loc egalitatea Z(X*) — = W(Y*).
Dacă funcţia-obiectiv în una din probleme este nemărginită (superior pentru problema iniţială sau inferior
pentru problema duală), atunci cealaltă problemă nu are soluţii admisibile.
Demonstraţie. Presupunem că problema iniţială are soluţii optime şi fie X* = ( , 0, 0, ...
,0) una din ele, obţinută prin metoda simplex. Acestei soluţii de bază admisibile îi cores punde baza
(vectori liniar independenţi) ASl, AS2,..., ASm. In ultimul tabel simplex vom avea: ∆ j = Z j — C j > 0,
j = 1, n, adică z j cj, j=1,n, unde
Sub formă vectorială putem scrie ( ) ∙ unde A = m*n
matricea coeficienţilor problemei iniţiale, iar D~l - inversa matricei D- (As1,As2,...,Asm). Aşadar,
avem:
m
i
m
i
iii
n
j
jij
n
j
n
j
j
m
i
iijjj
YWybyxa
xyaxcXZ
1 11
1 1 1
.
.
Cnc,2,c1,cA*1D*smc,s2,cs1,
c
m
i
csixij1
113
Fie ca
Atunci inegalitatea de mai sus poate fi scrisă astfel Y* • A ≥ C. Dar aceasta şi înseamnă că vectorul
Y* = myyy *,...,2*,1* soluţie admisibilă pentru problema duală. Vom demonstra că Y* este soluţie
optimă pentru problema duală. Avem:
W ( Y * ) = ( B , Y * ) = ( Y * , B) = ∙ D-1, B) = ∙ D-1, B) =
, ( = ( C , X * ) = Z( X * ) .
Conform lemei 2.2, rezultă că Y* este soluţie optimă a problemei duale. Demonstrarea părţii a doua a
teoremei. Admitem că funcţia-obiectiv în problema iniţială este nemărginită superior pe mulţimea
soluţiilor admisibile. în acest caz vom demonstra că problema duală nu are soluţii admisibile.
Presupunem contrariul, adică considerăm că problema duală are soluţii admisibile şi fie Y una din ele.
Deoarece funcţia-obiectiv în problema iniţială este nemărginită superior, rezultă că există o soluţie
admisibilă X, astfel încât Z(X) > W(Y), ceea ce contrazice Ierna 2.1. ▲
Având în vedere cele demonstrate mai sus, există doar următoarele posibilităţi logice referitor la perechea
de probleme duale:
1) problema iniţială şi problema duală nu au soluţii admisibile (se poate construi un exemplu în care să
întâlnim această situaţie);
2) problema iniţială nu are soluţii admisibile şi problema duală are funcţie-obiectiv nemărginită inferior;
3) problema iniţială are funcţie-obiectiv nemărginită superior şi problema duală nu are soluţii
admisibile;
4) problema iniţială şi problema duală au soluţii optime şi pentru aceste soluţii optime valorile
funcţiilor-obiectiv sunt egale.
Conform teoremei dualităţii, conchidem că programului rentabil de lucru X* = ( ) si numai lui
îi corespunde un set de valori Y* = ( ) ale ingredienţilor folosiţi, astfel încât şi X* şi Y* sunt
soluţii optime ale cuplului de probleme duale de programare liniară.
Teorema 2.8 (teorema ecarturilor complementare). Pentru ca soluţiile admisibile X* = (
) şi Y* = ( ) să fie soluţii optime este necesar şi suficient ca aceste soluţii să verifice simultan
relaţiile:
*Yny,2,y1,yA*1D*smc,s2,cs1,c
;,1,0)1
miyxaba i
n
j
jiji
;,1,0)1
njxcyab i
n
j
jjij
114
Demonstraţie. Necesitatea. Fie X* şi Y* soluţii optime pentru problema iniţială şi cea duală respectiv.
Ca soluţii optime ele satisfac restricţiile problemei iniţiale şi ale celei duale respectiv. Aşadar:
Deoarece X* şi Y* sunt soluţii optime, în baza teoremei dualităţii,
avem
Dar atunci:
Din prima egalitate urmează că 0*
1
*
1
j
m
i
jiij
n
j
xcya si deoarece toţi termenii *
1
*
j
m
i
jiij xcya
sunt
nenegativi, rezultă că
Din a doua egalitate urmează că 0*
1
*
1
i
n
j
jiji
m
i
yxab . Întrucât şi aici toţi termenii în această suma
sunt nenegativi, rezultă că
Suficienţa. Fie că pentru soluţiile de bază admisibile X* şi Y* se verifică relaţiile a) şi b). Adunând între ele
n
j
n
j
m
i
m
i
iii
n
j
jijj
m
i
jijjj ybyxaxyaxc1 1 1 111
n
j
m
i
iijj ybxc1 1
n
j
n
j
m
i
m
i
iii
n
j
jijj
m
i
jijjj ybyxaşixyaxc1 1 1 111
n
j
n
j
j
m
i
jijjj njxyaxc1 1 1
.,1,0
;,1,01
miyxab i
n
j
jiji
n
i
n
j
m
i
iiijij ybyxa1 1 1
,
n
j
n
i
m
i
jjjiij xcxya1 1 1
.,
115
relaţiile de tipul a) şi respectiv cele de tipul b), obţinem:
Deoarece membrii stângi sunt egali, rezultă că
m
i
n
j
jjii xcyb1 1
**.
În baza lemei 2.2, conchidem că soluţiile de bază admisibile X* şi Y* sunt soluţii optime pentru
problema iniţială şi cea duală, respectiv.
În baza teoremei ecarturilor complementare se pot formula urmă toarele concluzii:
1) dacă ,0* iy atunci
n
j
ijij bxa1
*;
2) dacă
n
j
ijij bxa1
*, atunci
*
iy = 0;
3) dacă 0* jx , atunci
m
i
jiij cya1
* ;
4) dacă
m
i
jiij cya1
*, atunci 0* jx .
Prima relaţie arată că variabila duală corespunzătoare unei resurse utilizate integral are o valoare
pozitivă, iar relaţia a doua arată că y*i = 0, dacă resursa Ri nu este utilizată integral în programul
optim de producţie.
Analizând relaţiile 3) şi 4), ajungem la concluzia că dacă fabricarea produsului Pj este eficientă (el a
intrat în programul optim al problemei iniţiale), atunci estimarea resurselor utilizate la fabricarea unei
unităţi de acest produs este egală cu beneficiul unitar Cj, iar dacă această estimare este mai mare decât Cj,
atunci nu este eficient să includem în programul optim fabricarea produsului Pj.
Făcând analiza soluţiei optime în problemele de programare riniară, deseori apare întrebarea: în ce limite
pot varia componentele vectorului termenilor liberi pentru ca să se păstreze nomenclatura produselor
determinată de soluţia optimă.
într-adevăr, componentele vectorului termenilor liberi se pot modifica faţă de nivelul lor prestabilit ca
urmare a schimbării capacităţii mijloacelor de muncă, a disponibilului de resurse umane sau de materie
primă şi materiale.
Fie B = ( bm) nivelul iniţial al resurselor. Dacă resursa Ri şi-a schimbat nivelul iniţial cu
mărimea ∆bi, atunci vom avea:
B = ( bm) + (0, 0, ... , 0, ∆bi, 0, ..., 0) =
116
= ( bm) + ∆bi ∙(0, 0, ... ,0, 1, 0, ... ,0)
In urma transformărilor simplex, în ultimul tabel simplex, obţinem soluţia optimă:
x*i1 = b'1 + ∆bi * α1; x*i2 = b'2 + ∆bi * α2; ... ; x*im = b'2 + ∆bi * αm
unde α1, α2,..., αm sunt coordonatele vectorului unitar e1, = (0,0,... ..., 0,1,0,0,..., 0) în baza optimă.
Evident, pentru a păstra nomenclatura produselor determinată de soluţia optimă, este necesar să
cerem ca valorile necunoscutelor de bază x* i1 , x*i2 ,..., x*im să fie nenegative, adică
Rezolvând acest sistem de inecuaţii, obţinem:
Şi
Este evident că ∆bj < 0, iar ∆bi, > 0.
Aşadar, dacă volumul resursei R i va varia în intervalul [bi + ∆bi; bi + ∆bi ], atunci nomenclatura
produselor în soluţia optimă va rămâne aceeaşi. De menţionat că dacă volumul resursei Ri aparţine acestui
.0
,0
,0
'
2
'
2
1
'
1
mim
i
i
bb
bb
bb
0,
,max'
0
i
i
i
i
toţodacă
b
b i
0,
,max'
0
i
i
i
i
toţodacă
b
b i
max25151020
0,0,0,0
,18002
,600242
,120032
4321
4321
321
431
4321
xxxxXZ
xxxx
xxx
xxx
xxxx
117
interval, atunci valoarea variabilei duale respective y* rămâne constantă.
Vom ilustra cele expuse mai sus printr-un exemplu:
Să se rezolve problema de folosire raţională a resurselor şi să se determine intervalele de variaţie ale
resurselor:
Rezolvând problema prin metoda simplex, obţinem ultimul tabel simplex (tab. 2.22). Soluţia optimă este:
x*1 = 180, x*2 = 780, x*3 = 60, x*4 = 0, Zmax = 12 300.
Soluţia optimă a problemei duale este:
y*1 = 8, y*2 = 3/2, y*3 = 1, Wmin = 12 300.
După cum se observă, cea mai deficitară este prima resursă. Vom determina intervalul de variaţie \[bi
+ ∆bi; bi + ∆bi ] pentru care y*1 = 8 va rămâne constantă.
2.9. Problema duală în programarea, liniara
Tabelul 2.22
Să presupunem că la prima
resursă s-a schimbat nivelul iniţial cu mărimea ∆bi. Volumul nou al resurselor va fi
B = + ∆bi ∙
Din ultimul tabel simplex se vede că vectorul B s-a transformat în vectorul ( 180 780 60) iar vectorul ( 1 0 0 ) - în
vectoru ( 4/5 -1/5 -2/5).
Prin urmare, vectorul B s-a transformat în vectorul B = ( 180 780 60) + ∆bi (4/5 -1/5 -2/5)
Pentru ca variabilele x1, x2 şi x3 să rămână variabile de
bază, este necesar să aibă loc:
Baza ci B 20 10 15 25 0 0 0
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
x1
x2
x3
20
10
15
180
780
60
1
0
0
0
1
0
0
0
1
11/5
-4/5
-3/5
4/5
-1/5
3/10
-
1/10
-
1/10
3/10
-
2/5
3/5
1/5
∆j=zj-cj 12300 0 0 0 2 8 3/2 1
.05
260
,05
1780
,05
4180
1
1
1
b
b
b
118
Rezolvând sistemul de inecuaţii, obţinem:
Aşadar, intervalul de variaţie a primei resurse, pentru care y*1 = 8 va rămâne aceeaşi, este: [1200 - 225; 1200 +
150] sau [975; 1350]. în mod analog pot fi determinate şi intervalele de variaţie ale celorlalte resurse: [400; 2 400] şi
respectiv [1500; 2 250].
Considerând aceste intervale, poate fi efectuată o anumită analiză economică. De exemplu, dacă se
măreşte volumul primei resurse cu ∆bi = 25, beneficiul maxim se va mări cu 2002581
*
1max byZ
Să presupunem că volumul disponibil bi, al resursei Ri s-a mărit cu ib şi devine ii bb . În acest
caz, şi Zmax = Z(X*) se va mări cu o valoare ΔZmax. Dar atunci ii
b b
Z
b
Z
i
maxmax
0lim . Luând în
consideraţie că Zmax =
n
j
m
i
iijj ybxc1 1
**, obţinem
*maxi
i
yb
Z
, mi ,1
Prin urmare, pentru o problemă de programare liniară scrisă sub forma canonică, în care se urmăreşte
maximizarea funcţiei-obiectiv Z(X), mărimea y* reprezintă valoarea unei unităţi folosite în producţie din
resursa R1. Având în vedere că ma,xZ(X) = min W(Y), rezultă că dacă cantitatea disponibilă din resursa Ri
va creşte cu o unitate, atunci valoarea funcţiei-obiectiv va creşte cu y*i unităţi, deci y*i măsoară creşterea
valorii funcţiei-obiectiv, determinată de creşterea cu o unitate a cantităţii disponibile b i,. în particular,
dacă y*i = 0, atunci resursa Ri nu este deficitară, ceea ce înseamnă că mărirea ei cu o unitate nu
influenţează creşterea funcţiei-obiectiv Z(X).
Valorile optime miyi ,1,* , ale necunoscutelor duale ne permit să determinăm dacă este raţional sau nu
realizarea unor acţiuni. Acţiunea va fi eficientă dacă va asigura un beneficiu suplimentar. Ca exemplu,
vom presupune că a apărut necesitatea de a lărgi producţia prin fabricarea unui nou produs Pn+1,
cunoscând cheltuielile ( ale resurselor respective la fabricarea unei unităţi de produs
şi beneficiul cn+i obţinut la vânzarea unei unităţi de produs.
,22554
180maxmax
'
01
i
ibb
i
.15052
60;
54
780maxmax
'
01
i
ibb
i
119
Evident, dacă cheltuielile vor fi mai mari ca beneficiul, adică
m
i
nini cyz1
1
*
1, , atunci extinderea
producţiei nu este eficientă, iar dacă
m
i
nini cya1
1
*
1, , atunci extinderea producţiei este eficientă.
Din cele spuse mai sus rezultă că valorile optime y* i ale necunoscutelor duale furnizează
informaţii suplimentare pentru analiza eficienţei economice a resurselor şi a diferiţilor indicatori
economici care apar în restricţiile unei probleme de programare liniară. In baza lor se pot fundamenta
deciziile privind alocarea judicioasă a resurselor, se pot stabili măsuri de stimulare a consumului raţional al
resurselor, se poate determina cât mai corect nivelul minim şi maxim al diferiţilor indicatori tehnici şi
economici de care depinde structura programului de producţie optim.
Pentru o problemă scrisă sub forma canonică, în care se cere minimizarea funcţiei Z(X), restricţiile se
referă la caracteristici economice cărora li se impun limite inferioare. în acest caz, valorile variabilelor duale
y*i măsoară creşterea costului total al producţiei, a cheltuielilor de muncă etc, determinată de creşterea cu
o unitate a componentei bi a vectorului termenilor liberi.
2.9.1. Probleme duale nesimetrice
In paragraful precedent au fost examinate probleme duale simetrice, în care sistemul de restricţii, atât în
problema iniţială, cât şi în cea a duală, sunt exprimate prin inecuaţii. De menţionat că variabilelor
nenegative din problema iniţială le corespund inegalităţi concordante (corespunzătoare) în problema duală.
Paralel cu astfel de probleme prezintă interes sistemul problemelor duale nesimetrice. Forma nesimetrică a
problemei duale corespunde cazului când în problema iniţială condiţiile sunt exprimate şi prin ecuaţii.
Considerăm problema de programare liniară sub forma standard:
.
.max
0,,0,0
,
,
,
2211
21
2211
22222221
11212111
nn
n
mnmmmm
nn
nn
xcxcxcXZ
xxx
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
.min
,
,
2211
2211
22222121
11212111
mm
nmmnnn
mm
mm
ybybybYW
cyayaya
cxayaya
cxayaya
120
După cum se observă, restricţiilor scrise sub formă de ecuaţii le corespund variabile duale ce nu sunt supuse
restricţiilor de semn.
Deoarece orice problemă de programare liniară poate fi adusă la forma standard şi invers, rezultă că orice
pereche de probleme duale simetrice pot fi reduse la o pereche de probleme duale nesimetrice şi invers,
orice pereche de probleme duale nesimetrice pot fi reduse la o pereche de probleme duale simetrice, pentru
care a fost expusă teoria dualităţii.
In paragraful precedent s-a demonstrat că, rezolvând problema iniţială, se obţine soluţia optimă atât a
problemei iniţiale, cât şi acelei duale. într-adevăr, dacă X* — (x*s1,, x*s2,..., x*sm, 0,0,.. . , 0 ) este
soluţie optimă a problemei iniţiale, atunci soluţia optimă a problemei duale se detrmină din relaţia Y*
= CB • D -1, unde CB = = (cSl, cS2,..., cSm), iar D~x este inversa matricei D compusă din vectorii ASl, AS2,...,
ASm ce alcătuiesc baza respectivă.
Rezolvând problema iniţială, în ultimul tabel simplex, obţinem soluţia optimă a problemei iniţiale,
precum şi datele necesare pentru a scrie soluţia optimă a problemei duale.
>
Probleme rezolvate
1.Pentru problema de programare liniară
2.crie problema duală şi să se afle soluţiile lor optime. Rezolvare. Problema duală este:
Rezolvăm problema iniţială prin metoda simplex. Alcătuim tabelul simplex iniţial (tab. 2.23).
Tabelul 2.23
max11352
0,0,0,0
,62
,832
4321
432
432
421
xxxxXZ
xxxx
xxx
xxx
.min68
1123
,3
,52
,2
21
21
2
21
1
yyYW
yy
y
yy
y
121
După prima iteraţie a metodei simplex, obţinem o nouă
soluţie de bază admisibilă (tab. 2.24).
Tabelul 2.24
După a doua iteraţie, obţinem soluţia optimă a problemei iniţiale (tab. 2.25) X* = (0; 34/7: 0; 4/7) si Zmax
= 214/7
Tabelul 2.25
Pentru a determina soluţia optimă a problemei duale, este necesar de a efectua următoarele calcule simple
Baza ci B -2 5 3 11
x1 x2 x3 x4
x2
x3
-2
3
8
6
1
-0
2
1
0
1
-3
2
∆j=zj-cj 2 0 -6 0 1
Baza ci B -2 5 3 11
x1 x2 x3 x4
x2
x3
5
3
4
2
1/2
-1/2
1
0
0
1
-3/2
7/2
∆j=zj-cj 26 3 0 0 -8
Baza ci B -2 5 3 11
x1 x2 x3 x4
x2
x4
5
11
34/7
4/7
2/7
-1/7
1
0
3/7
2/7
0
1
∆j=zj-cj 214/7 13/7 0 16/7 0
.7
37;
7
1
7
2
7
1
7
3
7
2
11;51*
DCY B
122
Aşadar, am obţinut y*1 = -1/7; Y*2 = 37/7 si Wmin = 214/7
Deoarece Y* — CB ∙ D-1 si z j = = ∆j + cj rezultă că pentru a afla y*, i = l,m, la valorile Aj,
corespunzătoare necunoscutelor de bază Xj în soluţia de bază admisibilă iniţială, trebuie de adăugat
valoarea coeficienţilor respectivi din funcţia-obiectiv Z(X).
In exemplul dat, avem: y*1 = 13/7+(-2) = -1/7; y*2 = 16/7+3=37/3
De menţionat că s-ar fi putut rezolva problema duală şi în ultimul tabel simplex am fi obţinut şi soluţia
optimă a problemei iniţiale.
In exemplul de mai sus, este mai comod de a rezolva problema duală prin metoda grafică, deoarece,
aplicând metoda simplex, am fi avut tabele simplex de dimensiuni mai mari (şi deci calcule voluminoase)
faţă de tabelele simplex, rezolvând problema iniţială.
2. Să se rezolve problema de programare liniară prin metoda
grafică, rezolvând problema duală
Rezolvare. Problema duală este:
Rezolvăm problema aplicând metoda grafică.
După cum se observă (fig. 2.7), domeniul de soluţii admisibile ale problemei este o mulţime nemărginită.
Funcţia obiectiv W(Y) îşi atinge valoarea minimă în vârful B al mulţimii de soluţii admisibile. Aflăm
coordonatele vârfului B rezolvând sistemul de ecuaţii liniare:
.max448
0,0,0
,12
,3
321
32
321
321
xxxXZ
xxx
xxx
xxx
.min3
4
,42
,8
21
21
21
21
yyYW
yy
xy
yy
123
Aşadar, am obţinut Y* = (6; 2) şi Wmin — -20. Mai departe, leoarece a doua restricţie în problema duală pentru
y*1 = 6 şi y*2 = 2 e satisfac ca inegalitate strictă, rezultă că necunoscuta x^ în soluţia iptimă a problemei iniţiale va
fi egală cu zero. Dar atunci sistemul de estricţii ale problemei iniţiale va avea forma:
Rlezolvând acest sistem, obţinem: x1 = 2; x3 = 1.
Prin urmare, soluţia optimă a problemei iniţiale este X* = (2; 0; 1) si Zmax = -20
Diferite tipuri de probleme duale. Probleme duale simetrice
Problema iniţială
Z(X) = (C,X) – max
Problema duală
W(Y) = (B,Y) – min
.2;6;122
4
,8
211
21
21
yyy
yy
yy
.131
,331
xx
xx
0X
BXA
0
'
Y
CYA
124
Problema iniţială
Z(X) = (C,X) – min
Problema duală
W(Y) = (B,Y) – max
Pentru a scrie corect problema duală, se recomandă ca sistemul de restricţii în problema
iniţială să fie adus la forma respectivă.
Exemplul 1. Pentru problema dată să se scrie problema duală:
Rezolvarea. Vom scrie problema sub forma:
Problema duala va fi:
Problema duala va fi:
0X
BXA
0
'
Y
CYA
.min523
0,0,0
,1632
,155
,14
321
321
321
321
321
xxxXZ
xxx
xxx
xxx
xxx
.max161514
0,0,0
,53
,25
,32
321
321
321
321
321
yyyYW
yyy
yyy
yyy
yyy
125
Probleme duale nesimetrice
Problema iniţială
Z(X) = (C,X) – max
Problema duală
W(Y) = (B,Y) – min
Problema iniţială
Z(X) = (C,X) – min
Problema duală
W(Y) = (B,Y) – max
Considerăm o problemă de programare liniară scrisă sub forma generală (restricţiile se
reprezintă prin ecuaţii şi inecuaţii):
Problema duală are forma:
Exemplul 2. Pentru problema dată să se scrie problema duală:
.min523
0,0,0
,1632
,5̀15
,14
321
321
321
321
321
xxxXZ
xxx
xxx
xxx
xxx
0X
BXA
0
'
Y
CYA
0X
BXA
0
'
Y
CYA
n
j
jj
j
n
j
ijix
n
j
ijij
xcXZ
nnnjx
mmibxa
mmmibxa
1
11
1
1
1
11
.max
,,1;0
,,1;
,,,1;
126
Problema duala are forma:
Exemplu 2. Pentru problema data sa se scrie problema duala:
Rezolvare. Vom scrie problema iniţială sub for
Problema duală este:
.max13109
0,0
,8
,622
,22
321
31
321
321
321
xxxXZ
xx
xxx
xxx
xxx
.max13109
0,0
,8
,622
,22
321
31
321
321
321
xxxXZ
xx
xxx
xxx
xxx
m
i
ii
i
m
i
jiij
m
i
jiij
ybYW
mmmiy
nnjcya
mnnjcya
1
11
1
1
1
11
.min
,,1;0
,,1;
,,,1;
.min862
0,0
,132
,102
,92
321
21
321
321
321
yyyYW
yy
yyy
yyy
yyy
127
Probleme propuse
Pentru următoarele probleme să se scrie problema duală. Să se rezolve una din ele utilizând
metoda simplex şi să se arate soluţia optimă a problemei iniţiale şi a celei duale.
construieşte o consecutivitate de soluţii de bază ale problemei iniţiale, astfel încât prima soluţie de
bază admisibilă obţinută va fi o soluţie optimă a problemei iniţiale.
Considerăm un cuplul de probleme duale:
Să presupunem că pentru problema iniţială s-a ales o bază formată din vectorii Ai1, Ai2,..., Aim, astfel
încât cel puţin o componentă a soluţiei de bază X = (xi1, xi2..xim.,0 ,0 , .. .,0) este negativă, iar pentru
toţi vectorii Aj are loc relaţia ∆j = Zj — Cj ≥ 0, j = 1, n.
.max8713
0,0,0
,4
,823
,32
,5
.1
321
321
32
321
21
21
xxxXZ
xxx
xx
xxx
xx
xx
.max8713
0,0,0,0
,3324
,525
.2
321
4321
4321
4321
xxxXZ
xxxx
xxxx
xxxx
max,
0
,
XCXZ
X
BXA
iniţniţiproblema
min,
,'
YBYW
CYA
dublăproblema
128
Din demonstraţia teoremei dualităţii se deduce imediat că vectorul Y = C∙D -1 = (yi1, yi2, ... ,yim
0,0, . . ., 0) este o soluţie admisibilă a problemei duale, unde CB = (ci1, ci2,..., cim), iar D-1 este
inversa matricei D = (Ai1, Ai2,..., Aim).
Soluţia admisibilă Y = (yi1, yi2,..., yim, 0,0,..., 0) a problemei duale nu este optimă, deoarece în
baza aleasă Ai1, Ai2,..., Aim
Soluţia de bază X = (xix, Xi2,..., x,m, 0, 0,..., 0) are cel puţin o componentă negativă şi deci nu este
soluţie admisibilă a problemei iniţiale.
Presupunem că în soluţia de bază X = (xi1, xi1,...,xim,0,0,.. . ,0 ) a problemei iniţiale componenta
Xir < 0. In acest caz, vectorul Air, ce corespunde componentei xir < 0, trebuie exclus din bază. Pentru
a afla vectorul ce va intra în bază, se examinează elementele liniei r. Dacă în linie nu avem
elemente xrj < 0, atunci funcţia-obiectiv W(Y) a problemei duale este nemărginită inferior pe
mulţimea soluţiilor admisibile, iar problema iniţială (conform teoremei dualităţii) nu are soluţii
admisibile.
Dacă însă în linia r avem unele elemente xrj < 0, atunci, pentru coloanele ce conţin aceste
valori negative, determinăm max
Aşadar, vectorul As va intra în bază în locul vectorului A ir.
Cu alte cuvinte, necuniscuta xs va deveni necunoscută de bază în locul necunoscutei Xir.
Vom arăta că dacă vectorul As va intra în bază, atunci valorile ∆j se vor păstra nenegative. într-
adevăr, conform formulelor de transformare simplex, avem:
Deoarece xrs < O, rezultă că ∆′j vor fi nenegative, dacă ∆j• xrs — ∆s • xrj < 0. Dacă ∆s =
0, atunci ∆′j= ∆j. Dacă însă ∆s > 0 şi luând în consideraţie că xrs < 0, vom avea: ∆j ≥
trebuia demonstrat.
Trecând la valori absolute, regula de mai sus poate fi scrisă şi astfel:
După ce a fost ales corect pivotul xra, se execută transformările elementare, bazate pe metoda
Jordan-Gauss, necesare în tabelul simplex asociat problemei iniţiale şi ca rezultat obţinem o nouă
soluţie de bază, în care xs a devenit necunoscuta de bază, în locul necunoscutei x !r.
Peste un număr finit de iteraţii ale algoritmului simplex dual vom obţine o soluţie de bază
admisibilă a problemei iniţiale (care şi va fi soluţie optimă) sau ne vom convinge că problema iniţială
nu are soluţii admisibile. Algoritmul simplex dual este algoritmul simplex aplicat problemei duale
fără însă a construi problema duală.
Algoritmul simplex dual porneşte de la o soluţie duală realizabilă, dar care nu este realizabilă
pentru problema iniţială, şi urmăreşte eliminarea din bază a variabilelor negative, menţinând, în
fiecare iteraţie, îndeplinit criteriul de optimalitate Aj > 0, j = l,n.
Vom ilustra utilizarea algoritmului simplex dual rezolvând următoarea problemă de programare
129
liniară:
înmulţind restricţiile de bază cu (-1), obţinem:
Cu ajutorul variabilelor de compensare, aducem problema la forma standard:
Alcătuim tabelul simplex iniţial (tab. 2.26).
Tabelul 2.26
Soluţia de bază X- = (0; 0; 0; 0; -8; -16) conţine componente negative şi de aceea nu este soluţie de
bază admisibilă a problemei iniţiale. Stabilim vectorul ce va ieşi din bază. în calitate de linie pivot
luăm linia a doua, deoarece ei îi corespunde componenta negativă cea mai mică în soluţia de bază.
Aşadar, avem r = 2; ir = 6. Pentru a afla vectorul ce va intra în bază în locul vectorului A6, aflăm
Baza ci B -4 -3 -10 -5 0 0
x1 x2 x3 x4 x5 x6
x5
x6
0
0
-8
-16
0
-3
1
-2
3
1
-6
5
1
0
0
1
∆j=zj-cj -16 1 1 11 0 0 1
.max51034
4,1,0
,61523
,863
4321
4321
432
xxxxXZ
jx
xxxx
xxx
j
.max51034
4,1,0
,61523
,863
4321
1
4321
432
xxxxXZ
jx
xxxx
xxx
j
.max51034
4,1,0
,61523
,863
4321
1
64321
5432
xxxxXZ
jx
xxxxx
xxxx
j
130
Prin urmare, în bază va intra vectorul A4. Efectuând transformările simplex cu elementul pivot a24 =
-5, obţinem o nouă soluţie de bază în care necunoscuta x4 a devenit necunoscută de bază în locul
necunoscutei x6 (vezi tab. 2.27).
Tabelul 2.27
Deoarece toate componentele soluţiei de bază sunt nenegative şi valorile ∆j ≥ 0, j = 1,6, am obţinut
soluţia optimă a problemei iniţiale:
În exemplul precedent totul a fost destul de simplu, deoarece pentru soluţia de bază iniţială toate valorile ∆j, j
= 1, 6, au fost nenegative.
Algoritmul simplex dual constă din două etape: în prima etapă se determină o soluţie de bază a
problemei iniţiale pentru care ∆j = Zj — Cj să fie nenegative; în etapa a doua, păstrând ∆j nenegative, se
obţine soluţia de bază cu toate componentele nenegative (soluţia optimă a problemei iniţiale).
Algoritmul simplex dual
Etapa 1
1. Se examinează valorile ∆j, j= l,n. Dacă ∆j = ZJ -CJ ≥0, j = 1, n, se trece la pasul 1 etapa a
2-a.
2. Alegem vectorul-coloană Ak pentru care ∆k < 0.
Baza ci B -4 -3 -10 -5 0 0
x1 x2 x3 x4 x5 x6
x5
x4
0
-5
56/5
16/5
18/5
16/5
17/5
2/5
9/5
-1/5
0
1
1
0
-6/5
-1/5
∆j=zj-cj -16 1 1 11 0 0 1
.15
5,
2
3,
3
4min
.16;5
16;0;0;0 max
*
ZX
131
3. în coloana A^ căutăm un număr pozitiv ark şi linia r care conţineacest număr o luăm drept linie pivot.
Dacă în coloana Ak nu suntnumere pozitive, atunci problema nu are soluţie optimă.
4. Se calculează raporturile duale (raporturile nepozitive ale valorilor ∆j la elementele respective ale
liniei pivot r). Valoarea cea mai mică, după modul, a acestor raporturi determină coloana
pivot s. Dacă raportul minim este egal cu zero, atunci numitorul se ia drept pivot, dacă el este
negativ.
5. Având pivotul ars, efectuăm transformările simplex respective.Analiza tabelului simplex obţinut
începe cu pasul 1.
Etapa a 2-a
1. Se examinează coloana termenilor liberi. Dacă toate elementele coloanei B sunt nenegative,
atunci avem soluţia optimă a problemei iniţiale.
2. Dacă în coloana termenilor liberi sunt elemente negative, printreele aflăm elementul minimal.
Acest element minimal determinălinia pivot r.
3. Elementul pivot xrs se determină din relaţia
Dacă în linia pivot nu sunt elemente negative, atunci problema iniţială nu are soluţii
admisibile.
4. Având pivotul xrs efectuăm transformările simplex respective. Analiza tabelului simplex
obţinut începe cu pasul 1 etapa a 2-a.
Vom ilustra cele expuse mai sus printr-un
Exemplu. Utilizând metoda simplex duală să se rezolve problema de programare liniară:
Rezolvare. Înmulţim inecuaţiile de bază ale sistemului de restricţii cu (—1). Ca rezultat, obţinem:
max45
0,0,0
,4
,1
,92
321
321
31
21
32
xxxxZ
xxx
xx
xx
xx
132
Cu ajutorul variabilelor de compensare se aduce problema la forma standard:
Alcătuim tabelul simplex iniţial (tab. 2.28).
Tabelul 2.28
Alegem coloana A1 pentru care ∆1 = -5 < 0. Această coloană conţine elemente pozitive în
liniile a doua şi a treia. Luăm drept linie pivot linia a doua. Aflăm min
Prin urmare, elementul pivot va fi a22= - 1.
Având pivotul a22 = - l, efectuăm transformările simplex respective şi obţinem tabelul simplex
2.29.
Baz
a
c
i
B 5 -1 -4 0 0 0
x1 x2 x3 x4 x5 x6
x4
x5
x6
0
0
0
-9
-1
4
0
1
1
-1
- 1
0
-2
0
-1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
∆j=zj-cj 0 -5 1 4 0 0 0
max45
0,0,0
,4
,1
,92
321
321
31
21
32
xxxxZ
xxx
xx
xx
xx
max45
6,1,0
,4
,1
,92
321
631
521
432
xxxxZ
jx
xxx
xxx
xxx
j
133
Tabelul 2.28
In acest tabel, ∆1 = -4 < 0. În coloana A1 avem un singur element pozitiv. Considerăm drept
linie pivot linia a treia. Deoarece, ezultă că drept element pivot putem lua x31 = 1. Obţinem
tabelul 2.30.
Tabelul 2.30
Deoarece acest tabel nu conţine valori ∆j negative, etapa 1 a algoritmului a luat sfârşit. Trecem la
etapa a 2-a. Printre termenii liberi este un element negativ. Considerăm prima linie drept linie pivot. Cal-
culăm min= 0. Efectuând transformările sim plex respective cu pivotul (tab. 2.31).
Tabelul 2.31
= —3, obţinem tabelul simplex final
În acest tabel, şi valorile ∆j, j = 1,6, şi termenii liberi sunt nenegative. Aşadar, am obţinut soluţia
Baza ci B 5 -1 -4 0 0 0
x1 x2 x3 x4 x5 x6
x4
x2
x6
0
-1
0
-8
1
4
-1
-1
1
0
1
0
-2
0
-1
1
0
0
-1
-1
0
0
0
1
∆j=zj-cj -1 -4 0 4 0 1 0
Baza ci B 5 -1 -4 0 0 0
x1 x2 x3 x4 x5 x6
x4
x2
x1
0
-1
5
-4
5
4
0
0
1
0
1
0
- 3
-1
-1
1
0
-0
-1
-1
0
1
1
1
∆j=zj-cj 15 0 0 0 0 1 4
Baza ci B 5 -1 -4 0 0 0
x1 x2 x3 x4 x5 x6
x3
x2
x1
-4
-1
5
4/3
19/3
16/3
0
0
1
0
1
0
1
0
0
-1/3
-1/3
-1/3
1/3
-2/3
1/3
-1/3
2/3
2/3
∆j=zj-cj 15 0 0 0 0 1 4
134
optimă a problemei iniţiale:
În acest tabel avem şi soluţia problemei duale Y* = (0;l;4);
Vmin = 15.
Probleme propuse
1. Intr-o gospodărie agricolă pe două parcele pot fi semănate două culturi agricole (grâu şi porumb).
Datele din problemă sunt prezentate în tabelul 2.32.
Să se determine aria suprafeţelor care trebuie semănate pe fiecare parcelă cu grâu şi respectiv cu
Tabelul 2.32
realizate să fie maxim, dacă se ştie că conform
cererii pe piaţa de desfacere se va comercializa nu mai puţin de 4 600 q de grâu şi nu mai puţin
de 7 860 q de porumb.
Indicaţie. Dacă notăm cu xi şi xi aria suprafeţelor care vor fi semănate cu grâu pe fiecare
parcelă, iar cu £3 şi x\ aria suprafeţelor semănate respectiv cu porumb, atunci modelul matematic este:
2. O întreprindere fabrică patru categorii de produse P1, P2, P3, P4 utilizând trei tipuri de
resurse R1, R2, R3, Necesarul de resurse pentru fabricarea unei unităţi de fiecare produs,
limitele resurselor, precum şi beneficiile unitare de la vânzarea produselor sunt
Parcela Productia la
hectar
Aria
parcelei
(hectare) Griu Porumb
I
II
42
36
52
46
146
130
Pretul de
vinzare a
unui
chintal
.150;0;0;3
4;
3
19;
3
16max
*
ZX şi
.max50605720936010920
4652110)3642(260
0,0,0,0
78604652
,46003642
,130
,146
4321
6321
4321
43
21
42
31
xxxx
xxxxXZ
xxxx
xx
xx
xx
xx
135
prezentate în tabelul 2.33.
Tabelul 2.33
Să se determine structura optimă a producţiei şi în baza soluţiei optime a problemei duale
să se facă analiza economică respectivă.
Indicaţie. Dacă notăm cu XJ cantitatea de produs P,, atunci modelul matematic are forma:
Tabelul 2.34
Resurse Produse Limitele
resurselor P1 P2 P3 P4
R1 2 1 1 3 600
R2 1 0 2 1 150
R3 1 2 1 0 900
Beneficiul
unitar
8 4 6 10
Tipul
de
piese
Modalitatole de
croire
a unei foi metalice
1 2 3 4
A
B
3
1
2
6
1
9
0
13
.max10648
0,0,0,0
,9002
,1502
,60032
4321
4321
321
431
4321
xxxxXZ
xxxx
xxx
xxx
xxxx
136
Indicaţie. Dacă vom nota cu x} numărul de foi metalice croite prin modalitatea thnologică j, atunci
modelul matematic are forma:
4. O întreprindere poate fabrica două tipuri de produse P1 şi P2, utilizând trei tipuri de
resurse: materie primă (R1), utilaj (R2) şi resurse umane (R3). Cheltuielile şi volumul disponibil de
resurse, precum şi beneficiul de la vânzarea unei unităţi de produs sunt date în tabelul 2.35.
Să se determine câte unităţi de fiecare tip de produs trebuie fabricate, astfel încât beneficiul total de
la vânzarea producţiei să fie maxim. în baza soluţiei optime a problemei duale să se facă analiza
economică respectivă.
Tabelul 2.3
Resurse Cheltuielile unitare
ale resurselor la fa-
brica produselor
Limita
resurselor
P1 P2
R1
R2
R3
3
2
4
5
3
1
22
14
18
Beneficiul
unitar
12,5 15,0
.min
4,1,0
,8001396
,160023
4321
4321
321
xxxxXZ
jx
xxxx
xxx
j
137
Răspunsuri
1. X* = (109,846; 0; 36,154; 130), Y* = (10920; 9660; 0; 100), Zmax = Wmin = = 2 064120. 2.
X* = (90; 390; 30; 0), Y* = (3,2; 1,2; 0, 4), Zmax = Vmin = = 2 460. 3. X* = (500; 50; 0; 0),
Y* = (0,313; 0,063), Zmin = Wmax = 550. 4. X* = (4; 2),Y* = (2,794; 0; 1,029); Zmix = Wmin
= 80.
2.10. Problema programării liniare în numere întregi. Metoda Gomory
Problemele de programare liniară în numere întregi reprezintă o clasă de probleme foarte importante
pentru practică. In multe probleme practice variabilele Xj, j = 1,n , reprezintă mărimi fizice ce pot lua numai
valori întregi. Multe probleme de optimizare cu caracter combinatorie pot fi de asemenea modelate ca
probleme de programare liniară în numere întregi.
Modelul matematic al problemei de programare liniară în numere întregi se scrie astfel:
1. Se rezolvă problema de programare liniară obţinută din problema dată prin renunţarea la restricţiile
ca Xj să fie întregi (numită problema relaxată).
2. Dacă soluţia- optimă a problemei relaxate are componentele întregi, atunci aceasta este o soluţie
optimă şi pentru programul în numere întregi iniţial.
3. Dacă în soluţia optimă a problemei relaxate este cel puţin ocomponentă cu o valoare neîntreagă,
atunci se construieşte o nouă problemă relaxată, obţinută din problema relaxată anterioară prin
adăugarea unei restricţii suplimentare, astfel construită, încât ea nu este satisfăcută de soluţia optimă
găsită, dar este satisfăcută de orice soluţie admisibilă întreagă a problemei iniţiale.
Deoarece mulţimea soluţiilor admisibile ale problemei considerate se împarte mereu în două, prin
introducerea unei restricţii suplimentare numai una din părţi fiind cercetate în continuare, un algoritm de
n
j
jj
j
n
j
ijij
xcXZ
njx
mjbxa
1
1
.max
,,1,0
,,1;
138
acest tip este denumit algoritm de secţionare
.
Din cele de mai sus rezultă că rezolvarea unei probleme de programare liniară în numere întregi se reduce
la rezolvarea unui şir de probleme de relaxare. Regulile după care sunt construite restricţiile suplimentare
determină diferiţi algoritmi de secţionare. Unul dintre cei mai simpli algoritmi de secţionare este algoritmul lui
Gomory pentru rezolvarea problemelor de programare liniară total în numere întregi.
În cele ce urmează vom prezenta algoritmul Gomory de rezolvare a problemei de programare
liniară total în numere întregi. 1. Se rezolvă problema relaxată:
aplicând algoritmul simplex. Fie X*= (X*10, X*20, . ..., x*m0, 0, 0,..., 0) soluţie optimă. Dacă toate
componentele X*10, X*20, ..., x*m0 sunt numere întregi, atunci problema este rezolvată.
2 . Fie x ∫ 0 o componentă neîntreagă. Pornind de la l inia ∫ a ultimului tabel simplex, vom
deduce restricţia suplimentară de secţionare. Pe baza datelor din ultimul tabel simplex putem scrie
că unde J este mulţimea indicilor necunoscutelor libere.
Exprimând fiecare număr xl} prin partea lui întreagă [a;,.] plus partea fracţionară 7(j, obţinem:
Sau
Această relaţie are loc pentru orice soluţie admisibilă X = (x1, x2, ..., xn) a problemei relaxate. Să
presupunem acum ca X este o soluţie admisibilă întreagă a problemei relaxate. Luând în consideraţie
că membrul stâng al relaţiei de mai sus este număr întreg, urmează că
n
j
jj
j
n
j
ijij
xcXZ
njx
mjbxa
1
1
.max
,,1,0
,,1;
j
Jj
ijijS xxxxi
*
10
*
10
Jj Jj
jijjijS xxxxxi
*
10
*
10
139
jeJ
unde f - număr întreg. Deoarece 0 < 7 ( j < 1, rezultă că ^7,^ > 0
şi 7(* < 1. Dacă vom admite că £ < — 1, atunci obţinem ^^7, Xj
< *y*Q. Din această inegalitate rezultă că y*o > 1, ceea ce contrazice
că 7,; < i.
Rămâne să recunoaştem £ ≥ 0, adică să recunoaştem inecuaţia Tij^j > 7,o' care es^e adevărată
pentru orice soluţie admisibilă
întreagă a problemei relaxate.
Inecuaţia 7, -x > j*0 este tocmai restricţia suplimentară
căutată, deoarece ea defineşte o secţionare admisibilă, astfel încât soluţia optimă X* = (x*10, x*20, ... xm0,
0,0,..., 0) a problemei relaxate nu verifică această inecuaţie, dar orice soluţie admisibilă a problemei de
programare liniară în numere întregi verifică această inecuaţie.
Dacă γlj. = 0 pentru orice j €J, atunci putem constata că problema de programare liniară total în
numere întregi nu are soluţii admisibile.
3. In continuare se rezolvă, utilizând algoritmul simplex dual, următoarea problemă relaxată:
Dacă soluţia optimă a acestei probleme nu are toate componentele întregi, atunci se va construi o
nouă problemă de programare liniară (problemă relaxată) prin adăugarea la restricţiile date a unei
noi restricţii (secţionări) obţinute prin procedeul descris mai sus. Vom ilustra cele expuse mai sus
printr-un
Exemplu. Să se rezolve problema de programare liniară în numere întregi:
, Xj + 1 <
n
j
jj
j
Jj
jij
n
j
ijij
xcXZ
njx
x
mjbxa
1
*
10
1
.max
,,1,0
,
,,1;
140
Rezolvare. Aplicând algoritmul simplex pentru rezolvarea problemei relaxate problemei date scrise sub
forma standard
obţinem următorul tabel simplex final (tab. 2.36).
Tabelul 2.36
Soluţia optimă x*1 = 18/10 = 9/5, x*2 = 23/10, x*3 = 7/10 pentru problema relaxată nu este întreagă.
Vom construi o nouă problemă de programare liniară prin adăugarea la restricţiile anterioare a unei
secţiuni, de exemplu, pentru X3:
Sau
Baza ci B 4 5 1 0 0 0
x1 x2 x3 x4 x5 x6
x1
x2
x3
4
5
1
18/10
23/10
7/10
1
0
0
0
1
0
0
0
1
4/10
-1/10
-9/10
-
2/10
3/10
-
3/10
0
0
1
∆j=zj-cj 194/10 0 0 0 2/10 4/10 1
.max54
4,1
,0,0,0
,1333
,114
,1023
321
321
321
21
21
xxxXZ
jx
xxx
xxx
xx
xx
j întregi,
.max00054
6,1,0
,1333
,114
,1023
654321
6321
521
421
xxxxxxXZ
jx
xxxx
xxx
xxx
j
10
7
10
7
10
154 xx
141
Adăugând o necunoscută suplimentară X7, obţinem ecuaţia
Prin urmare, avem următoarea problemă relaxată (adusă la forma standard):
Tabelul simplex respectiv are forma (tab. 2.37):
Tabelul 2.37
Se observă că problema obţinută este dual admisibilă. Aplicând algoritmul simplex dual, obţinem
următorul tabel simplex (tab. 2.38), care ne dă soluţia optimă întreagă x*1 = 2, x*2 = 2, x*3 = 1 şi
Zmax=19
Debitorii Creditorii Disponibil (mii u.m.) B1 B2 B3 B4
A1 4
12
3
3
2
2
15
A2 5
6
14
2
6
4
20
A3 3
2
4
13
3
12
25
Necesar (mii u.m.)
12 17 19 12
.10
7
10
7
10
154 xx
.10
7
10
7
10
1754 xxx
.max54
7,1,0
,10
7
10
7
10
1
,1333
,114
,1023
321
754
6321
521
421
xxxXZ
jx
xxx
xxxx
xxx
xxx
j
142
Tabelul 2.38
Probleme propuse
Să se rezolve problemele de programare liniară total în numere întregi.
Baza ci B 4 5 1 0 0 0 0
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
x1
x2
x3
x5
4
5
1
0
18/10
23/10
7/10
-7/10
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
4/10
-1/10
-9/10
-1/10
-2/10
3/10
-3/10
7/10
0
0
1
0.
0
0
0
1
∆j=zj-cj 194/10 0 0 0 2/10 4/10 1 0
.max68
.
0,0
,965
,25
,444
.1
21
2
21
21
21
xxXZ
xx
xx
xx
xx
.max224
0,0,0
,1823
,7
,1622
.2
321
32
31
21
321
xxxXZ
xxx
xx
xx
xxx
.min246
0,0,0
,72
,1442
,103
.3
321
32
32
31
321
xxxXZ
xxx
xx
xx
xxx
143
.min363
0,0,0
,432
,12
,32
.4
321
32
32
21
321
xxxXZ
xxx
xx
xx
xxx
.max4555
0,0
,4
,82
,1043
.5
21
2
21
21
21
xxXZ
xx
xx
xx
xx
.max108
0,0
,224
,2633
,2023
.7
21
2
21
21
21
xxXZ
xx
xx
xx
xx
.max868
0,0,0
,25532
,2032
5
,832
.6
321
32
321
321
321
xxxXZ
xxx
xxx
xxx
xxx
.max108
.
0,0
,114
,1333
,1023
.8
21
2
21
21
21
xxXZ
xx
xx
xx
xx
144
11Răspunsuri
1. X* = (6; 18), Zmax = 156. 2. X*1 = (6;0;5), X*2= (6;1;4), Zmax - 34.
3. X* = (0;2;4), Zmin = 16. 4. X*1= (0;l;l), X*2 = (l;0;2), Zmin = 9.
5. X* = (3;0), Zmax = 165. 6. X*1 = (1;4;2), X*2* = (2;0;4),Zmax = 48.
7. X* = (4; 4), Zmax = 72. 8. X*1 = (2; 2), Zmax = 36. 9. X* = (0;l),
Znin = -4.
2.11. Metode matematice pentru
fundamentarea deciziilor în probleme
cu mai multe funcţii-obiectiv
Problemele de programare matematică sunt probleme de luare a deciziilor cu o infinitate de
soluţii admisibile (de variante posibile). 0 categorie aparte o reprezintă problemele de programare
matematică cu mai multe funcţii-obiectiv.
In continuare vom examina problema de programare liniară cu două funcţii-obiectiv. Modelul
matematic al unei astfel de probleme este:
În acest caz problema poate fi redusă la o problemă de programare liniar-fracţionară, adică la
.max4555
0,0
1
,1
,1
,2
.9
21
2
21
21
21
21
xxXZ
xx
xx
xx
xx
xx
6.2.minmax
5.2
,,1,0
,,1;
1 1
020
1
n
j
n
j
jjjj
j
n
j
ijij
dxdXZşicxcXZ
njx
mjbxa
145
o problemă de folosire raţională a resurselor în care funcţia-obiectiv reprezintă rata profitului. Rata
profitului este raportul dintre masa profitului şi costul de producţie (sau capitalul avansat) şi reflectă
gradul de rentabilitate a factorilor de producţie. Modelul matematic al problemei de programare
liniar-fracţionară are forma:
Vom examina cazul când mulţimea soluţiilor admisibile Sî descrisă de sistemul de restricţii (2.7) este
nevidă şi mărginită, iar . Mai departe vom arăta cum, în condiţiile expuse mai sus, o
problemă de programare liniar-fracţionară poate fi redusă la o problemă de programare liniară.
Notăm
8.2.max
7.2
,,1,0
,,1;
1
0
1
0
1
n
j
jj
n
j
jj
j
n
j
ijij
dxd
cxc
XZ
njx
mjbxa
n
j
jj dxd1
0
1
146
şi trecem la necunoscute noi .
Înmulţim fiecare din restricţiile sistemului (2.7) cu ξ> 0 şi obţinem problema de programare liniară:
Fie ξ*, , j = 1,n, soluţia optimă a problemei (2.9)-(2.10). Soluţia optimă a problemei (2.5)-(2.6)
va fi: x*j= y*j/ξ*, j=1,n
În continuare vom prezenta unele procedee utilizate la rezolvarea problemelor de programare liniară cu
două funcţii-obiectiv scrise sub forma:
Se poate constata că la o atare formă poate fi adusă orice problemă de programare liniară cu două funcţii-
obiectiv datorită faptului că Z(x1, x2,...,xn) = -max(x1, x2,..,xn)).
njxz jj ,1,
n
j
jj
j
n
j
jj
n
j
ijij
cycYZ
njy
dyd
mibya
1
0
1
0
1
)10.2(.max),(
)9.2(
,1,0,0
,1
,,1,0
n
j
n
j
jjjj
j
n
j
jij
dxdXZşicxcYZ
njx
mibxa
1 1
0201
1
)12.2(.max)(max)(
)11.2(
,1,0
,,1,
147
Definiţie. Soluţia admisibilă se numeşte soluţie eficientă (nedominantă sau
Pareto) dacă nu există o altă soluţie admisibilă pentru care are loc
şi cel puţin una din aceste inegalităţi este strictă.
Este evident că soluţia compromis (soluţia optimă) X*= (x*1,x*2..., ) a problemei
(2.11)-(2.12) trebuie căutată în mulţimea Pareto (mulţimea soluţiilor eficiente).
Pentru determinarea soluţiei compromis X*= (x*1,x*2..., ) pot fi aplicate diferite procedee:
metoda cedării succesive; metoda punctului ideal; metoda optimizării unităţilor globale şi alte
metode.
Vom ilustra printr-un exemplu metoda punctului ideal.
Considerăm problema de programare liniară cu două funcţii -obiectiv:
Mulţimea soluţiilor admisibile Ω pentru problema (2.13)-(2.14) este reprezentată în figura 2.8.
Trecem de la această problemă la o altă problemă, cu necunoscutele Z1 şi Z2. Pentru aceasta
exprimăm necunoscutele x1 şi x2 prin Z1 şiZ2.
Obţinem:
Aşadar, am obţinut problema de programare liniară cu două funcţii-obiectiv cu
necunoscutele Z1 şi Z2:
)14.2(.max6max2
)13.2(
40
20
62
212211
2
1
21
xxZşixxZ
x
x
xx
.22
1
2
1
,42
1
2
1
82
2
6
2
6
2
212
211
211
121
221
121
221
121
ZZx
ZZx
ZZx
Zxx
Zxx
Zxx
Zxx
Zxx
148
sau
Mulţimea soluţiilor admisibile u pentru problema (2.17)-(2.18) este reprezentată în figura 2.9.
Mulţimea punctelor segmentelor B1C1 şi C1 D1 alcătuiesc mulţimea Pareto. Determinăm coordonatele
16.2maxmax
15.2
44
,128
,122
1
2
3
21
21
21
21
ZZ
ZZ
ZZ
ZZ
şi
18.2maxmax
17.2
4
,4
,12
,8
,243
21
21
21
21
21
21
ZZ
ZZ
ZZ
ZZ
ZZ
ZZ
şi
149
punctelor (vârfurilor) fii, C1 D1. Avem:
Punctul N*(7; 8) poartă denumirea de punct utopic. Punctul M* din mulţimea Pareto pentru care
are loc N*M* C1D1 va fi punctul ideal, care şi se ia drept soluţie de compromis (soluţie optimă).
Aflăm coordonatele punctului ideal M*. Avem: Z1 + Z2 = 12; Z2=-Z1 +12; k1 1; k2 = -1/K1 =
1. Ecuaţia dreptei M*N* va fi:
Z2 - 8 = 1 • (Z1 - 7) sau Z1 - Z2 + 1 = 0. Pentru a afla coordonatele punctului ideal M*,
rezolvăm sistemul de ecuaţii liniare
Aşadar, am obţinut M*(11/2;13/2). Dar atunci: x*1=1/2∙11/2+1/2∙13/2-4=2; x*2=1/2∙11/2-
1/2∙13/2+2=3/2; Z1max=2+3/2+2=11/2; Z2
max=2-3/2+6=13/2.
Metoda cedării consecutive şi metoda optimizării unităţilor globale se aplică cu succes în cazul
în care problema de programare liniară conţine un număr finit k≥ 2 de funcţii-obiectiv.
Considerăm o problemă liniară cu mai multe funcţii-obiectiv (mul-ticriterială):
;3;73
7
284
4
243
4: 1
1
1
1
21
21
21
1 BZ
Z
Z
ZZ
ZZ
ZZB
;6;66
6
122
12
243
12: 1
1
1
1
21
21
21
1 CZ
Z
Z
ZZ
ZZ
ZZC
;8;48
4
82
12
4
12: 1
1
1
1
21
21
21
1 DZ
Z
Z
ZZ
ZZ
ZZD
.213
,211
211
12
112
12
1
12
2
1
1
21
1
21
21
21
Z
Z
Z
ZZ
Z
ZZ
ZZ
ZZ
n
j
jkjk
r
j
n
j
jij
rkxcXZunde
XZXZXZ
njx
mibxa
1
21
1
.,1,
20.2,max;;max;max
)19.2(
,1,0
,,1,
150
Funcţiile-obiectiv (X), k = l ,r , având diferit sens economic, pot fi măsurate în unităţi de măsură
diferite. Metoda cedării succesive constă, din mai multe iteraţii.
La prima iteraţie rezolvăm problema de programare liniară cu funcţia-obiectiv Z1(X). La sistemul de
restricţii (2.19) adăugăm o restricţie nouă Z1(X)≥Z1max - γ1, unde Z1
max este valoarea maximă a funcţiei-obiectiv
Z1(X), iar γ1 – o mărime ce indică cedarea după primul criteriu.
La iteraţia a doua rezolvăm problema nouă de programare liniară cu funcţia-obiectiv (X). La sistemul
de restricţii adăugăm încă o restricţie Z2(X) > Z2max – γ2, unde Z2
max este valoarea maximă a funcţiei-obiectiv
Z2(X), iar γ2 – o mărime ce indică cedarea după al doilea criteriu.
Această procedură se va repeta de r — 1 ori. Ca rezultat, obţinem la ultima iteraţie soluţia compromis
X*.
Ideea de bază, a metodei optimizării utilităţilor globale este să se înlocuiască funcţiile-obiectiv cu
semnificaţie economică concretă prin funcţii de utilitate în sens von Neumann-Morgenstern, care vor putea fi
însumate pentru a obţine funcţia-obiectiv sinteză.
Conceptul de utilitate apare în teoria deciziei ca urmare a necesităţii de a compara între ele diferite
variante decizionale caracterizate prin mai multe consecinţe.
Aşadar, utilitatea măsoară importanţa pe care o are pentru manager o anumită variantă de decizie, care
aparţine unei mulţimi de variante admisibile. Stabilirea utilităţilor uik pentru fiecare criteriu şi a
variantei de decizie Vi se poate face prin metoda interpolării liniare între 0 şi 1.
Daca varianta de decizie Vi este cea mai avantajoasă potrivit unui anumit criteriu Ck, atunci uik — 1, iar
dacă varianta V; este cea mai dezavantajoasă, atunci utilitatea u;fc = 0.
Din cele relatate mai sus rezultă că pentru a transforma funcţiile-obiectiv Z1(X), Z2(X), . . . , Zr(X) care
au semnificaţii economice distincte în funcţii de utilitate, este necesar să se rezolve 2r probleme de
programare liniară şi ca rezultat să se determine Zkmax = maxZk(X), k = l , r , şi Zk
min = minZk(X), k
= l,r, şi apoi să se rezolve r sisteme de ecuaţii liniare:
obţinându-se valorile
Cu ajutorul coeficienţilor ak şi bk (k=1,r) se transformă funcţiile (2.20) ăn funcţii
,,1,0
,1
min
max
rkbZa
bZa
kkk
kkk
.,1,1
minmax
min
minmaxrk
ZZ
Zbşi
ZZa
kk
kk
kk
k
151
deutilitate, efectuând următoarea transformare liniară:
Alegerea variantei decizionale optime după mai multe criterii presupune şi determinarea
importanţei fiecărui criteriu prin acordarea de către experţi a unor coeficienţi de importanţă αk,
unde .
Având coeficienţii de importanţă ak,k ‚= l , r , pentru fiecare funcţie-obiectiv iniţială, putem
determina funcţia-sinteză de utilitate
Rezolvând problema de programare liniară definită de sistemul de restricţii (2.19) şi de
funcţia-sinteză (2.21), obţinem o soluţie de maximă utilitate, care ţine cont de toate funcţiile -obiectiv
(2.20) ale problemei.
2.12. Problema transporturilor
În paragrafele precedente au fost examinate proprietăţile de bază ale problemelor de programare
liniară şi metodele lor de rezolvare. In practică se întâlnesc multe probleme care, fiind probleme de
programare liniară, au şi ceva specific şi de aceea pentru atare probleme pot fi elaborate metode mai
eficiente de rezolvare.
Ca exemplu, putem considera o problemă particulară de programare liniară, frecvent întâlnită în
aplicaţii şi cunoscută sub numele „problema transporturilor". Fiind o problemă de programare
liniară, problema transporturilor poate fi rezolvată aplicând metoda simplex. De menţionat însă că
aplicarea metodei simplex la rezolvarea problemei de transport nu este raţională, deoarece metoda
simplex, fiind o metodă universală, nu va lua în consideraţie specificul modelului matematic a l
problemei transporturilor.
In acest paragraf vom descrie o metodă eficientă de soluţionare a problemei de transport
(metoda potenţialelor).
2.12.1. Problema transporturilor. Modelul matematic
Din punct de vedere economic problema transporturilor se enunţă astfel:
La m producători (depozite) A1, A2,..., Am se află un produs omogen, care trebuie transportat
la n consumatori B1, B2,..., Bn. Cunoscându-se cantităţile disponibile a1 , a2 , . . . , am , necesităţile
respective b1, b2,..., bn precum şi costurile unitare de transport Cij de la producătorul A i, i = l,m, la
)21.2(.)()(~
1 1
axmbxcaXZr
k
n
j
kjkjkk
rkbxcaXZr
j
kjkjk ,1,)(~
1
152
consumatorul Bj, j = l , n (tab. 2.39), se cere să se stabilească planul de transport al produsului
de la producători la consumatori, astfel încât cheltuielile totale de transport să fie minime.
Tabelul 2.39
Dacă vom nota cu x ij cantitatea de produs transportată de la producătorul Ai la consumatorul
Bj, atunci modelul matematic al problemei de transport, în cazul când disponibilul total este egal
cu cererea
totală
m
i
n
j
ji ba1
, va avea forma:
Debitorii Creditorii Disponibil (mii u.m.) B1 B2 … B3 … B4
A1 c11
c12
…
c1j
…
c1n
a1
A2 c21
c22
… c2j
… c1n
a2
…
…
…
…
…
…
…
…
A3 c i 1
c i 2
… c i j
… c i n
a i
…
…
…
…
…
…
…
…
A3 Cm
1
Cm2
…
Cm
j
…
c i n
am
Necesar b1 b2 … 19 … 12 …
m
i
n
j
ijij
ij
m
i
jij
n
j
iij
xcZ
nix
njbx
miax
1 1
1
1
.min
,1,0
,,1,
,,1,
153
Modelul matematic expus mai sus corespunde unei probleme de transport de tip echilibrat
. După cum se observă, problema transporturilor este o problemă de programare
liniară, în care fiecare necunoscută are doi indici. Primele m ecuaţii ale sistemului de restricţii ne arată că
de la fiecare producător Ai, i = l,m, se transportă toată producţia, iar ultimele n ecuaţii ne indică faptul
că se satisfac cerinţele fiecărui consumator Bj, j = 1, n. Modelul matematic al problemei de transport
conţine m + n ecuaţii şi m ∙n necunoscute. Matricea sistemul de educaţii are forma:
După cum se vede, fiecare coloană a matricei A conţine exact câte două unităţi, celelalte sunt zerouri; mai
mult decât atât, o unitate în primele m linii, cealaltă unitate - în ultimele n linii ale matricei. Da torită
acestei proprietăţi ale matricei A se pot elabora metode eficiente de soluţionare a problemelor de
transport.
Teorema 2.9. Pentru ca problema de transport să aibă soluţie op-
timă este necesar şi suficient ca , adică disponibilul total
sa fie egal cu cererea totală.
Demonstraţie. Pentru a demonstra această teoremă este suficient de arătat că, în condiţiile date,
există cel puţin o soluţie admisibilă şi că funcţia-obiectiv Z pe mulţimea soluţiilor admisibile este
mărginită.
Într-adevăr, dacă vom lua drept valori ale necunoscutelor
atunci ele satificat toate restricţi ile problemei: ele sunt nenegative şi
nnn
A
111
111
111
111
111
111
154
Funcţia obiectiv Z este mărginită pe mulţimea soluţiilor, deoarece 0 ≤ Xij≤min{ai; bj}. ▲
Teorema 2.10. Rangul matricei A a sistemului de ecuaţii al modelului problemei de transport este
egal cu m + n — 1.
Demonstraţie. Observăm că ultima linie a matricei A este o combinaţie liniară a celorlalte linii,
deoarece, dacă din suma primelor m linii ale matricei A vom scădea suma următoarelor n — 1 linii,
vom obţine ultima linie. Evident că se poate exprima şi orice altă linie a matricei A ca o combinaţie
liniară a celorlalte linii.
Din cele spuse mai sus rezultă că rangul r(A) < m + n — 1. Vom demonstra că r(A) = m + n — 1.
Pentru aceasta este suficient să găsim un minor (determinant) de ordinul m + n — l diferit de zero.
Excludem din matricea A ultima linie. Din matricea rămasă luăm în ordinea următoare coloanele
An, A2n, A3n, ..., Amn, Au A2, A3, ...,An-i-1
Aceste coloane alcătuiesc un minor de ordinul m + n — 1, care este diferit de zero.
Într-adevăr:
Aşadar, r(A) =m+n-1 ▲
Această proprietate ne vorbeşte despre faptul că orice soluţie de bază admisibilă în problema de
transport va avea nu mai mult decât m + n — 1 coordonate pozitive. In cazul nedegenerat, soluţia de
bază admisibilă va avea exact m + n — 1 cmponente pozitive.
De menţionat că toate rezultatele obţinute referitor la problema de programare liniară râmân în
;,1,
;,1,
11 1
11 1
njbaD
b
D
bax
miabD
a
D
bax
i
m
i
ji
m
i
m
i
ji
ij
i
n
j
ji
n
j
n
j
ji
ij
155
vigoare şi pentru problema transporturilor. In particular, soluţia optimă a problemei de transport
trebuie căutată printre soluţiile de bază admisibile.
Teorema 2.11 (principiul de optimalitate a soluţiei de bază admisibile). Pentru ca soluţia de bază
admisibilă X* = (x*ij) m n în problema de transport să fie optimală este necesar §i suficient ca să
existe sistemul de m + n numere reale u*1, u*2,..., u*m; v*1 , v*2,...,v*n care satisfac condiţiile:
Demonstraţie. Pentru problema de transport problema duală este:
Conform teoriei dualităţii, cunoaştem că soluţia de bază admisibilă X* = (x*ij)mXn va fi optimală
pentru problema de transport, dacă va exista soluţia (u*i,v*j), i — l,m, j = l,n, problemei duale,
care satisface condiţiile:
Din aceste relaţii urmează că egalitatea u* + v* = cij va avea loc de fiecare dată, dacă
x*ij > 0. Dar deoarece (u*1,v*j), i = l,m, j = l,n, este soluţie admisibilă pentru problema
duală, este necesar să se satisfacă inegalitatea u*1+ v*j ≤CIJ, i = 1,m, j = 1,n. ▲
Numerele reale u* şi v*j se numesc potenţiale respectiv pentru producători şi consumatori.
In baza acestei teoreme a fost elaborată metoda potenţialelor pentru soluţionarea problemei de
transport.
Pentru a rezolva o problemă de transport, se va porni de la o soluţie de bază admisibilă iniţială.
2.12.2. Determinarea soluţiei de bază admisibile
iniţiale. Metoda colţului de Nord-Vest.
Metoda costului minim
In cele ce urmează ne vom referi la tabelul problemei de transport, care va fi un tablou
njmicvu ijji .1,,1,
njmicvu ijji .1,,1,
.0,)
,1,,1,)
**
**
ijijji
ijji
xpentrucvub
njmicvua
156
dreptunghiular cu m linii şi n coloane şi care va conţine m • n casete (celule). Liniile tabelului
corespund celor m producători, iar coloanele - celor n consumatori. In fiecare celulă (i;j) a
tabloului, situată la intersecţia liniei i cu coloana j, figurează următoarele elemente: costul unitar de
transport Cij şi variabila xij (cantitatea de produs transportată de la producătorul Ai la consumatorul
Bj).
Pentru a determina o soluţie de bază admisibilă, se aplică diferite metode.
Metoda colţului de Nord-Vest. Componentele soluţiei de bază admisibile se determină pe rând,
începând cu x11. Se ia x11 = min{a1;b1} şi se atribuie valoarea zero tuturor variabilelor (nebazice)
de pe aceeaşi linie sau coloană cu x11 în funcţie de următoarele situaţii:
dacă a1 > b1, vom considera x11 = b1 şi xi1 =0, i = 2,m;
dacă a1 < b1, vom considera x11 = a1 şi x1j = 0, j =2, n;
dacă a1 =b1, vom pune x11 = a11 =b11, iar x12 sau x21 = 0 şi restul componentelor de pe linia şi coloana lui
xu vor fi considerate egale cu zero.
Ultima situaţie conduce la obţinerea unei soluţii de bază admisibile degenerate.
Se modifică apoi valorile a1 şi b1, înlocuindu-le cu a1 — x11 şi respectiv b1 = x11.
Procedeul expus mai sus se repetă pentru restul celulelor care formează deja un tablou cu m linii şi n
— 1 coloane sau m — 1 linii şi n coloane, după cum au loc situaţiile de mai sus. Pentru a nu confunda
componentele nule ale soluţiei de bază admisibile cu componentele nebazice, celulele corespunzătoare
acestora din urmă rămân libere (nu scriem zero în ele).
Vom ilustra cele spuse printr-un exemplu (vezi tabelul 2.40).
Tabelul 2.40
Fără a lua în consideraţie costurile unitare de transport, începem a satisface cerinţele primului
consumator B1 pe baza disponibilului producătorului A1, adică luăm x11 = min{a1;b1} = min{15; 12} = 12.
Cerinţele consumatorului B1sunt satisfăcute şi la producătorul A1 au mai rămas 3 unităţi de produs.
Debitorii Creditorii Disponibil (mii u.m.) B1 B2 B3 B4
A1 4
12
3
3
2
2
15
A2 5
6
14
2
6
4
20
A3 3
2
4
13
3
12
25
Necesar (mii u.m.)
12 17 19 12
157
Satisfacem cerinţele consumatorului B2 luând în consideraţie că au rămas 3 unităţi de produs la
producătorul A1. Luăm x12 = min{a1 — b1; b2} = min{3; 17} = 3. Cerinţele consumatorului B2 au rămas
nesatisfăcute cu 14 unităţi de produs. Satisfacem aceste cerinţe din contul producătorului A2, adică luăm x22 =
min{b2 - x12; a2} = min{14;20} = 14. Procesul de completare a celulelor continuă până ce vor fi satisfăcute
cerinţele tuturor consumatorilor.
Soluţia de bază admisibilă iniţială este indicată în tabelul 2.40. Cheltuielile totale de transport
pentru această soluţie iniţială sunt:
Z = 4-12 + 3-3 + 6-14 + 2 - 6 + 4-13 + 3-12 = 241 (unităţi monetare).
Metoda costului minim. In această metodă, pentru determinarea soluţiei de bază
admisibile, se iau în consideraţie costurile Cjj. Se va determina mai întâi componenta xkl pentru care
CKL = min Cij. Se consideră apoi XM = mm{ak,bi}, rămânând valabile situaţiile descrise în metoda
precedentă.
Vom ilustra metoda costului minim pentru exemplul precedent (vezi tabelul 2.41
Tabelul 2.41
Deoarece în celula (1;3)
costul unitar de transport este minimal, avem: = min{15;19} = 15. La fel = min{20;4} =
4, = min{25;17} = 17, = min{8; 12} = 8, = min{16;4} = 4, = min{12; 12} =
12. Cheltuielile totale de transport pentru această soluţie iniţială sunt:
Z = 2-15+ 5-12+ 2 - 4 + 4 - 4 + 2-17+ 3 - 8 = 172 (unităţi monetare).
2.12.3. Metoda potenţialelor
In baza teoremei 2.11, putem spune că pentru ca soluţia de bază admisibilă în problema de
transport să fie optimă, este necesar să se îndeplinească următoarele condiţii:
Debitorii Creditorii Disponibil (mii u.m.) B1 B2 B3 B4
A1 4
3
2
15 -
2
+
15
A2 5
12
6
2
4 +
4
4 -
20
A3 3
2
17
4
3
8
25
Necesar (mii u.m.)
12 17 19 12
158
a) pentru orice celulă completată (x ij > 0) suma potenţialelor ui şi vj trebuie să fie egală cu cij,
adică ui + vi = cij
b) pentru orice celulă liberă (xij = 0) suma potenţialelor ui şi vj trebuie să nu depăşească cij, adică
ui + vi ≤ cij.
Dacă cel puţin pentru o celulă liberă nu se respectă această inegalitate, atunci soluţia de bază
admisibilă nu este optimă şi această soluţie poate fi schimbată spre bine (îmbunătăţită)
introducând în bază necunoscuta celulei respective. Soluţia optimă o vom căuta din nou printre
soluţiile de bază admisibile. Se poate obţine o nouă soluţie de bază admisibilă dacă unei componente
xij, care era egală cu zero, i se atribuie o valoare xij > 0, iar celelalte componente sunt modificate
în compensaţie, astfel încât restricţiile modelului matematic să fie satisfăcute.
Pentru a verifica soluţia de bază admisibilă la optim este necesar, de fiecare dată, să determinăm
potenţialele ui şi vj. Vom expune algoritmul metodei potenţialelor şi vom ilustra aplicarea lui,
pornind de la soluţia de bază admisibilă iniţială, obţinută în tabelul 2.41.
1. Determinarea potenţialelor . Fie că avem o soluţie de bază admisibilă. Pentru
determinarea potenţialelor ui şi vj vom utiliza condiţia ca ui + vj = cij. Dacă pentru acele celule unde
xij > 0. Potenţialele pot fi determinate numai în cazul în care soluţia de bază admisibilă este
nedegenerată. Astfel de soluţie conţine m + n — 1 celule completate (xij > 0) şi de aceea obţinem un
sistem de m + n — 1 ecuaţii liniar independente cum + n necunoscute. In acest sistem avem cu o
ecuaţie mai puţin decât necunoscute. Sistemul de ecuaţii este compatibil şi nedeterminat (are o
infinitate de soluţii) şi de aceea uneia dintre necunoscute i se atribuie o valoare concretă arbitrară
(de regulă se ia u1 = 0). După aceasta celelalte potenţiale se determină univoc şi deci aflăm o soluţie
particulară a sistemului de ecuaţii.
Din prima teoremă a dualităţii şi din faptul că problema de transport este de tip echilibrat rezultă
că sistemul de ecuaţii este compatibil. Pentru exemplul precedent, referitor la soluţia de bază
admisibilă determinată prin metoda costului minim (tabelul 2.41), avem:
Sistemul de ecuaţii are 6 ecuaţii şi 7 necunoscute. Determinăm o soluţie particulară. Pentru aceasta
3
2
4
2
5
2
43
23
42
32
12
31
vu
vu
vu
vu
vu
vu
159
luăm, de exemplu, u1 = 0. Ca rezultat, obţinem potenţialele:
2. Verificarea criteriului de optimalitate.
Pentru fiecare celulă liberă (xij = 0) se verifică dacă se îndeplineşte condiţia (xij = 0) se verifică dacă se
ăndeplineşte condiţia ui + vj ≤ cij . Dacă pentru celulele libere vom avea ΔIJ = (ui + vj )— cij ≤ 0,
atunci soluţia de bază admisibilă este optimă, în caz contrar soluţiade bază admisibilă nu este optimă.
În tabelul 2.41 pentru celulele libere (1; 1), (1;4), (3; 1) condiţiile de optimalitate nu se îndeplinesc şi de
aceea soluţia de bază admisibilă iniţială nu este optimă. Pentru a îmbunătăţi soluţia de bază admisibilă,
putem introduce în bază una din necunoscutele x11, x14, x13. Pentru fiecare celulă liberă, în care nu se
respectă criteriul de optimalitate, determinăm mărimile δij = (ui + vj) —cij. Avem: δ11 = (0 + 5) - 4 = 1,
δ14 = (0 + 4) - 2 = 2, δ31 = (-1 + 5) - 3 = 1.
3. Determinarea celulei libere care trebuie completată.
In problema de transport urmărim scopul de a minimiza cheltuielile totale de transport, de aceea,
conform metodei simplex, în primul rând, trebuie completată acea celulă pentru care valoarea δij este
maximală. In exemplul nostru, avem: max δij = max{l;2; 1} = 2. Aşadar, trebuie completată celula
liberă (1;4), adică trebuie introdusă în bază necunoscuta x\4. Apare totodată întrebarea, locul cărei
necunoscute va ocupa necunoscuta x14? Pentru a găsi răspunsul, este necesar mai întâi de determinat
câte unităţi de produs trebuie repartizate în celula (1;4).
4. Stabilirea ciclului şi determinarea valorii necunoscutei libere care trebuie introdusă în
bază. Pentru a afla valoarea necunoscutei libere xij care trebuie introdusă în bază, se notează cu semnul ,,+"
celula respectivă (i1, j1). Ca rezultat în tabel apare un ciclu, toate celulele (vârfurile) căruia, în afară de
celula (i1, j1), notată cu semnul „+", sunt celule completate. Atare ciclu pentru celula (i1, j1) este unic. Un
şir de celule (i1, j1), (j1, i2), (j2, i2), ... , (j1, i2), (i1, j1), care începe cu celula liberă (i1, j1) şi se termină cu
aceasta, conţinând în rest numai celule ocupate corespunzătoare componentelor bazice ale soluţiei, şi
anume câte două din aceeaşi linie sau coloană, se numeşte ciclul celulei l ibere (i1, j1).
In ciclul examinat, cu celula liberă (i1, j1), atribuim fiecărui vârf al celulei semnul ,,+" sau , ,—
" după regula: celulei-vârf (i1, j1) i se atribuie semnul ,,+", celulei-vârf învecinate cu celula-vârf
(ii,ii) -semnul , , — ", următorului vârf - semnul ,,+" ş.a.m.d. Deoarece numărul de vârfuri într-un
ciclu de recalculare este par, obţinem că toate vârfurile ciclului vor avea un anumit semn atribuit
,,+" sau ,,-" şi oricare două vârfuri învecinate ale ciclului vor avea semne diferite.
,1
,0
,0
3
2
1
u
u
u
,4
,2
,3
,5
4
3
2
1
v
v
v
v
160
Ciclul de recalculare al celulei libere (i1, j1) în care toate celulele-vârfuri, începând cu celula-vârf
(i1, j1), au semnele ,,+" şi , ,—", astfel încât două celule-vârf învecinate au semne diferite, se numeşte
ciclu menţionat pentru variabila x1j1,. Pentru acest ciclu aflăm valoarea Θ= min{xij}, unde xij
sunt valorile necunoscutelor din celulele notate cu semnul ,,—". Se scade valoarea Θ din valorile x,j
situate în celulele notate cu semnul , ,—" şi se adaugă valoarea Θ la valorile xij situate în celulele
notate cu semnul ,,+".
Dacă prin procedeul de scădere a valorii minime Θ în celulele notate cu semnul , ,—" s-a obţinut
numai o variabilă de valoare zero, atunci soluţia nouă de bază admisibilă va fi nedegenerată, iar
dacă prin procedeul de scădere s-au obţinut mai multe variabile de valoare zero, atunci una dintre
ele iese din bază, iar celelalte vor face parte din bază cu valoarea zero, ceea ce înseamnă că vom
avea o soluţie de bază degenerată.
In exemplul nostru celula (1;4) se notează cu semnul ,,+". Pentru această celulă stabilim ciclul de
recalculare: (1;4), (2;4), (2;3), (1;3). în acest ciclu celulele (1;4) şi (2;3) sunt notate cu semnul ,,+", iar
celulele (2;4) şi (1;3) - cu semnul , , — ". Pentru acest ciclu aflăm valoarea Θ= min{15;4} = 4.
Se scade valoarea Θ= 4 din valorile x,j situate în celulele notate cu semnul , ,—" şi se adaugă
valoarea Θ = 4 la valorile X{j situate în celulele notate cu semnul ,,+". Ca rezultat, obţinem o nouă
soluţie de bază admisibilă (vezi tabelul 2.42): = 11, x14 = 4, x23 = 12, x23 = 8, x32 = 17, x34 =
8. Cheltuielile totale de transport Z = 2 - 1 1 + 2-4 + 5-12 + 2-8-1-2-17 + 3 - 8 = 164 sunt mai mici
decât în soluţia de bază admisibilă iniţială.
Pentru a verifica dacă soluţia obţinută este optimă, trebuie din nou să determinăm
potenţialele u1 şi vj şi să verificăm condiţiile de
Tabelul 2.42
optimalitate. Dacă soluţia
obţinută nu este optimă, atunci trebuie să completăm toate calculele prevăzute în punctul 4.
Procesul se va repeta de un număr finit de ori, până ce vom obţine soluţia optimă.
Debitorii Creditorii Disponibil (mii u.m.) B1 B2 B3 B4
A1 4
3
2
11 -
2
4 +
15
A2 5
12 -
6
2
8 +
4
20
A3 3
+
2
17
4
3
8 -
25
Necesar (mii u.m.)
12 17 19 12
161
Continuăm rezolvarea problemei. Referitor la soluţia obţinută (vezi tabelul 2.42) alcătuim
sistemul de ecuaţii liniare
Aflăm o soluţie particulară. Luăm u1 = 0. Ca rezultat, obţinem potenţialele:
Pentru fiecare celulă liberă (pentru care xij = 0) verificăm condiţia de optimalitate: ui + vj < cij.
Pentru celulele (1;1) şi (3;1) condiţia de optimalitate nu se îndeplineşte. Calculăm valorile δ11 = (0 +
5) - 4 = 1, δ31 = (1 -f- 5) - 3 = 3. Deoarece δij = max{l; 3} = 3, rezultă că trebuie introdusă în bază
necunoscuta .
Notăm cu semnul ,,+" celula liberă (3;1) şi construim ciclul de recalculare: (3;1), (3;4), (1;4),
(1;3), (2;3), (2;1). în acest ciclu celulele (3;1), (1;4) şi (2;3) sunt notate cu semnul ,,+", iar
celulele (3;4), (1;3) şi (2;1) - cu semnul , ,—". Pentru acest ciclu determinăm Θ = min{ll; 12;8} =
8. Realizând calculele necesare, obţinem soluţia de bază admisibilă (vezi tabelul 2.43 ): x 13 =
3, x14 = 12, x21 = 4, x23 = 16, x31 = 8, x32 = 17. Cheltuielile totale de transport sunt:
,1
,0
,0
3
2
1
u
u
u
,2
,2
,1
,5
4
3
2
1
v
v
v
v
3
2
2
5
2
2
43
23
32
12
41
31
vu
vu
vu
vu
vu
vu
.140172831624512232 Z
162
Tabelul 2.43
Referitor la soluţia obţinută (vezi tabelul 2.43), alcătuim sistemul de ecuaţii:
Determinăm o soluţie particulară. Luăm u1 = 0 şi obţinem:
Pentru fiecare celulă liberă verificăm condiţia de optimalitate: ui + vj ≤ cij. Pentru celulele
(1;1) şi (1;2) condiţia de optimalitate nu se îndeplineşte. Calculăm valorile δ11 = (0 + 5) — 4 =
1, δ12 = (O + 4) — 3 = 1. Deoarece δij = max{l; 1} = 1, rezultă că putem introduce în bază oricare din
necunoscutele x11 sau x12. Luăm, de exemplu, celula (1;1). Notăm cu semnul ,,+" celula liberă (1;1) şi
construim ciclul de recalculare: (1;1), (1;3), (2;3), (2;1). în acest ciclu celulele (1;1) şi (2;3) sunt
notate cu semnul ,,+", iar celulele (1;3) şi (2;1) - cu semnul , , — ". Pentru acest ciclu determinăm Θ =
Debitorii Creditorii Disponibil (mii u.m.) B1 B2 B3 B4
A1 4
+
3
2
3 -
2
12
15
A2 5
4 -
6
2
16 +
4
20
A3 3
8
2
17
4
3
25
Necesar (mii u.m.)
18 25 27 16
,2
,0
,0
3
2
1
u
u
u
,2
,2
,4
,5
4
3
2
1
v
v
v
v
2
3
2
5
2
2
23
13
32
12
41
31
vu
vu
vu
vu
vu
vu
163
min{3;4} = 3.
Efectuând calculele necesare, obţinem soluţia (vezi tabelul 2.44): xu = 3, a;u = 12, x2\ - 1, x23
= 19, x31 = 8, x32 = 17.
Tabelul 2.44
Cheltuielile totale de transport sunt:
Z = 4∙3+2∙12+5∙1+2∙19+3∙8+ 2 ∙ 1 7 = 137.
Verificăm dacă soluţia obţinută este optimă. Alcătuim sistemul de ecuaţii:
Aflăm o soluţie particulară. Luăm = 0 şi obţinem potenţialele:
Deoarece pentru celulele libere se satisface condiţia de optimalitate: ui + vj < cij, soluţia obţinută la a treia
Debitorii Creditorii Disponibil (mii u.m.) B1 B2 B3 B4
A1 4
3
3
4
5
12
15
A2 5
1
5
3
19
1
20
A3 3
8
4
17
4
2
25
Necesar (mii u.m.)
12 17 19 12
,1
,1
,0
3
2
1
u
u
u
,2
,1
,3
,4
4
3
2
1
v
v
v
v
2
3
2
5
2
4
23
13
32
12
41
11
vu
vu
vu
vu
vu
vu
164
iteraţie a algoritmului metodei potenţialelor este optimă.
Aşadar, soluţia optimă (planul optim de transport) este
Cheltuielile totale minimale sunt egale cu: Zmin = 137.
Caracteristic pentru problema de transport este că poate avea două sau mai multe soluţii de bază
admisibile optime şi deci o infinitate de soluţii optime.
2.12.4. Problemele de transport degenerate
Problemele de transport, ca şi problemele de programare liniară, pot fi degenerate. Aceasta înseamnă că
printre soluţiile de bază admisibile există cel puţin una care conţine mai puţin de m + n - 1 componente
pozitive.
Vom examina o problemă de transport degenerată (tabelul 2.45).
Determinăm soluţia de bază
admisibilă iniţială prin metoda colţului Nord-Vest. Verificăm dacă soluţia obţinută este optimă.
Alcătuim sistemul de ecuaţii:
Debitorii Creditorii Disponibil
(mii u.m.) B1 B2 B3 B4
A1 4
18 -
3
12 +
2
2
30
A2 5
12 -
5
13 -
3
12 +
1
27
A3 3
+
4
4
13 -
4
16
29
Necesar
(mii u.m.)
18 25 27 16
2
4
3
5
3
4
43
33
32
22
21
11
vu
vu
vu
vu
vu
vu
17,8,19,1,12,3 323123211411 xxxxxx
165
Aflăm o soluţe particulară a sistemului:
Pentru celula (3;1) condiţia de optimalitate nu se îndeplineşte. Construim ciclul de recalculare (3;1),
(3;3), (2;3), (2;2), (1;2), (1;1). Pentru acest ciclu aflăm Θ = min{l8; 13; 13} = 13. Ne amintim că dacă
numărul Θ este minimal pentru câteva celule, atunci, efectuând calculele necesare, vom obţine o soluţie de
baza admisibilă deg13 -
enerată (vezi tabelul 2.46), unde în celula completată (3;3) vom avea x33 = 0.
Tabelul 2.46
Debitorii Creditorii Disponibil
(mii u.m.) B1 B2 B3 B4
A1 4
15
-
3
25
4
+
5
30
A2 5
5
3
27
1
27
A3 3
13
+
4
4
13 -
2
16
29
Necesar 18 25 27 16
,3
,2
,0
3
2
1
u
u
u
,1
,1
,3
,4
4
3
2
1
v
v
v
v
166
Verificăm dacă soluţia de bază admisibilă obţinută este optimă. Alcătuim sistemul de ecuaţii:
Aflăm o soluţie particulară avem:
Pentru celula (1;3) condiţia de optimalitate nu se îndeplineşte. Construim ciclul de recalculare (1;3),
(3;3), (3;1), (1;1). Aflăm Θ = min{5;0} = 0. Efectuând calculele necesare, obţinem soluţia de bază
admisibilă (tabelul 2.47).
Tabelul 2.47
(mii u.m.)
Debitorii Creditorii Disponibil (mii u.m.) B1 B2 B3 B4
A1 4
5 -
3
25
4
+
5
30
,1
,2
,0
3
2
1
u
u
u
,3
,5
,3
,4
4
3
2
1
v
v
v
v
2
4
3
3
3
4
43
33
13
32
21
11
vu
vu
vu
vu
vu
vu
167
Pentru această soluţie avem
sistemul de ecuaţii:
Soluţia particulară este:
Pentru celula (2;4) condiţia de optimalitate nu se îndeplineşte. Construim ciclul de recalculare: (2;4),
(3;4), (3;1), (1;1), (1;3), (2;3). Aflăm 0 = min{16;5;27} = 5. Efectuând calculele necesare, obţinem soluţia
de bază admisibilă (tabelul 2.48).
Tabelul 2.48
A2 5
5
3
27
1
+
27
A3 3
13 +
4
4
0 -
2
16 -
29
Necesar (mii u.m.)
18 25 27 16
Debitorii Creditorii Disponibil (mii u.m.) B1 B2 B3 B4
A1 4
3
25
4
5
30
A2 5
5
3
22
1
5
27
,1
,1
,0
3
2
1
u
u
u
,3
,4
,3
,4
4
3
2
1
v
v
v
v
2
3
3
4
3
4
43
13
32
31
21
11
vu
vu
vu
vu
vu
vu
168
Pentru această soluţie avem:
Deoarece pentru toate celulele se satisfac condiţiile de optimalitate ui + vi ≤ cij, rezultă că această soluţie
este optimă:
Zmin = 242.
Se poate arăta că vom avea cazul degenerat în problema de transport dacă şi numai dacă va
exista un grup din p < m producători, suma disponobilului cărora este egală cu suma necesarului
unui grup din q < n consumatori.
Observaţie. în aplicarea algoritmului metodei potenţialelor in cazul problemelor degenerate pot
să apară soluţii de bază admisibile degenerate care pot duce la apariţia fenomenului de ciclaj.
Pentru a evita apariţia fenomenului de ciclaj, se utilizează aşa-numita metodă a perturbării.
Disponibilul ai, i = l,m, se înlocuieşte cu ai(ε) = di + ε, i = 1, m, iar necesarul
A3 3
18
4
4
2
11
29
Necesar (mii u.m.)
18 25 27 16
,
,)(
njpentrumb
njpentrubb
j
j
j
11,18,5,22,5,25 343124231312 xxxxxx
2
3
1
3
4
3
43
13
42
32
31
21
vu
vu
vu
vu
vu
vu
,0
,1
,0
3
2
1
u
u
u
,2
,4
,3
,3
4
3
2
1
v
v
v
v
169
unde ε este un număr pozitiv destul de mic.
In final pentru a obţine soluţia problemei considerate, se face ε= 0.
2.12.5. Problema de transport neechilibrată
Problemele de transport în care se numesc neechilibrate. Dacă ,
problema se reduce la o problemă de tran-sport echilibrată prin considerarea unui nou consumator
fictiv Bn+1.
cu necesarul (cererea) şi cu costurile unitare de
transport c,,n+x =0, i = 1, m.
In cazul în care reduce la o problemă
de transport echilibrată prin considerarea unui nou producător fictiv
Am+1 cu disponibilul am+1 = , care să acopere diferenţa şi cu costurile unitare de
transport cm+1)J = 0, j = .
Referitor la problema de transport, de reţinut că dacă şi sunt numere întregi pozitive, atunci orice
soluţie de bază admisibilă (şi soluţia optimă) constă din componente numere întregi.
In încheiere constatăm că metodele de soluţionare a problemei de transport pot fi aplicate şi la rezolvarea
multor probleme care după conţinutul lor economic nu se referă la transportarea producţiei.
2.12.6. Modele liniare de transfer al fondurilor
Fie m creditori (bănci) C1C2,...,Cm dispun la un moment dat
de anumite sume de bani a1,a2,.. .,am, pe care le pot împrumuta
(transfera) la n debitori D1, D2,..., Dn, care au nevoie de sumele
b1,b2 ,...,bn.
Cunoscând beneficiile unitare Cij, i = l,m, j = l,n, pe care băncile le obţin în urma creditării, se pune
problema realizării unui transfer optim care ar asigura un beneficiu total maxim.
Dacă vom nota cu xij, i = 1, m, j = 1, n, cantitatea (suma) de bani pe care creditorul o dă debitorului
Dj, atunci modelul matematic al problemei
formulate mai sus este:
m
i
n
j
ijij
ij
n
j
jij
n
j
iij
xcZ
njmix
njbx
miax
1 1
1
1
max
,,1,,1,0
,,1,
,,1,
170
Pentru ca problema să aibă soluţie, trebuie ca
Dacă , atunci cel puţin un debitor nu va fi satisfăcut
cu creditul necesar. în acest caz, problema poate fi rezolvată prin introducerea unui creditor
fictiv, care „dispune" de suma de bani egala cu
Dacă însă , atunci problema are soluţie şi cel puţin
unui creditor îi Va rămâne o sumă de bani nesolicitată. Pentru a rezolva problema, în acest caz, se poate
considera un debitor fictiv, care „are nevoie" de o sumă de bani egală cu .
Exemplu. Presupunem că trei bănci dispun de anumite sume de bani, pe care le pot împrumuta la un
moment dat la patru debitori în anumite condiţii. Disponibilui fiecărei bănci, necesarul fiecărui debitor, precum
şi beneficiile unitare pe care băncile le au de pe urma creditării sunt prezentate în tabelul 2.49.
Tabelul 2.49
Să se determine un transfer optim care ar asigura un beneficiu total maxim.
Rezolvare. Determinăm o soluţie de bază admisibilă prin metoda „nord-vest". Beneficiul total pentru
această soluţie este egal cu
Zo = 0,3 ∙220 000 + 0,5 • 80 000 + 0,3 • 80 000 + 0,4 • 230 000+0,3 • 40 000 + 0,4 • 250 000 = 334 000.
Debitorii Creditorii Disponibil (mii u.m.) D1 D2 D3 D4
C1 0,3
220 -
0,5
80 +
0,2
0,2
300
C2 0,2
0,3
80 -
0,4
230
0,3
40 +
350
C3 O,4
+
0,2
0,3
0,4
250 -
250
Necesar (mii u.m.)
220 160 230 290
171
Pentru a rezolva problema de transfer optim, vom aplica metoda potenţialelor, care, în cazul dat, ne spune
că soluţia de bază admisibilă va fi optimă dacă există numerele ui, i=l,m, şi vj, i = l,n, încât:
O soluţie particulară a acestuia este:
Soluţia de bază admisibilă iniţială nu este optimă, deoarece u3 + v1 = -0,1 + 0,3 = 0,2 < 0,4.
Pentru celula (3;1) construim ciclul de recalculare.
Aflăm Θ - min{250; 80; 220} = 80. Efectuând.calculele necesare, obţinem o nouă soluţie de bază
admisibilă (tab. 2.50).
Soluţia obţinută este optimă, deoarece am găsit aşa numere (potenţiale) ui şi vj, încât se
îndeplinesc toate condiţiile de tipul
Debitorii Creditorii Disponibil (mii u.m.) D1 D2 D3 D4
C1 0,3
220 -
0,5
80 +
0,2
0,2
300
C2 0,2
0,3
80 -
0,4
230
0,3
40 +
350
C3 O,4
+
0,2
0,3
0,4
250 -
250
Necesar (mii u.m.)
220 160 230 290
1,0
2,0
0
3
2
1
u
u
u
5,0
6,0
5,0
3,0
4
3
2
1
v
v
v
v
4,0
3,0
4,0
3,0
5,0
3,0
:,u ele)(potential afla aPentru
0____)
0____)
43
42
32
22
21
11
i
vu
vu
vu
vu
vu
vu
ecuaţcudesistemulscriemvşi
xpentrucvub
xpentrucvua
j
ijijji
ijijji
172
Aşadar, am determinat soluţia optimă de transfer al fondurilor băneşti: x*11 = 140 000 u.m.; x*12
- 160 000 u.m.; x*23 = 230 000 u.m.; x*24 = 120 000 u.m.; x*31 = 80 000 u.m.; x*34 = 170 000 u.m.
Beneficiul maxim total este Zmax = 350 000 u.m.
La un model matematic asemănător se ajunge şi în cazul următoarelor tipuri de probleme de
transfer al fondurilor:
1) o bancă dispune de o sumă de bani pe care o poate plasa eşalonat
în timp de m ani la n debitori;
2) un număr de m bănci urmează să crediteze eşalonat în n ani o
investiţie;
3) în cadrul unei convenţii interbancare m bănci C1,C2, . . . , C m
pot coopera cu alte n bănci D1, D2, ..., Dn pentru transfer reciproc
de fonduri, în caz de necesitate.
Pentru toate modelele de probleme expuse mai sus se presupune existenţa unei cooperări între
partenerii din aceeaşi clasă, încât să aibă sens noţiunea de optim global.
Probleme propuse
1. La construcţia a patru obiecte se foloseşte cărămidă fabricată la trei uzine. Fiecare uzină
poate fabrica pe zi respectiv 200 m3, 300 m3 şi 100 m3 de cărămidă. Zilnic necesitatea de
cărămidă la fiecare construcţie este respectiv egală cu 150 m3, 160 m3, 120 m3 şi 170 m3. Se cunosc
cheltuielile pentru a transporta un metru cub de cărămidă de la fiecare fabrică la fiecare construcţie:
Să se întocmească un plan de transportare a cărămizii fabricate, astfel încât cheltuielile totale la
transportare să fie minime.
2. într-un oraş, la trei combinate se produce pe zi respectiv 50 t, 40 t şi 70 t de făină. Făina
trebuie transportată la patru fabrici de pâine în cantităţile respective 58 t, 42 t, 24 t şi 36 t. Se cunosc
cheltuielile (tarifele) pentru a transporta o tonă de făină de la fiecare combinat la fiecare fabrică de
pâine:
3256
6523
5378
c
173
Să se întocmească un plan de transportare a făinii, astfel încât cheltuielile totale să fie minime.
3. La trei depozite de combustibil în fiecare zi se acumulează respectiv 350 t, 250 t şi 280
t de benzină. Această benzină trebuie transportată la patru staţii de alimentare cu benzină în
cantităţile respective 360 t, 220 t, 120 t şi 80 t. Se cunosc cheltuielile pentru a transporta o tonă de
benzină de la depozite la staţiile de alimentarecu benzină:
Să se determine un plan de transportare a benzinei, astfel încât cheltuielile totale la
transportare să fie minime.
4. O asociaţie de producţie are în componenţa sa trei filiale, careproduun anumit tip de produs
în cantităţile respective: 100, 60 şi 20 de unităţi. Această producţie trebuie transportată la patru
consumatori în cantităţile respective: 60, 60, 20 şi 40 de unităţi. Se cunosc cheltuielile pentru a
transporta o unitate de produs de la producători la consumatori:
Să se determine planul de transportare a producţiei, pentru care cheltuielile totale să fie minime.
5. O asociaţie de producţie are în componenţa sa trei întreprinderi, care pot produce oricare din
cele patru tipuri de produse. Capacităţile de producţie ale întreprinderilor permit să se producă anual
pe fiecare tip de produs respectiv 50, 60 şi 20 de mii de unităţi, iar necesarul anual pe fiecare tip
de produs este respectiv 15, 40, 10 şi 50 de mii de unităţi. Matricea
caracterizează preţul de cost al unei unităţi de produs i, fiind produsă la întreprinderea j.
Să se determine un program de repartizare optimă
a producţiei pe întreprinderi.
6. Pe trei loturi se poate semăna porumb, grâu, secară
şi orz. Aria fiecărui lot este egală respectiv cu 300 ha, 90 ha şi 110 ha. Luând în consideraţie disponibilul
de seminţe, urmează a fi semănate 145 ha cu porumb, 90 ha cu grâu, 55 ha cu secară şi 210 ha cu orz.
Roadă de pe fiecare hectar pentru fiecare cultură de pe fiecare lot este diferită şi se prezintă prin matricea
6746
4875
7458
c
26,123
3132
1321
c
2643
2132
1543
c
174
Să se determine numărul de hectare pe fiecare teren care vor fi semănate respectiv cu porumb, grâu, secară şi
orz, astfel ca recolta totală să fie maximă.
7. O bancă dispune de o anumită sumă de bani pe care o poate plasa eşalonat timp de trei ani
către patru debitori. Necesarul anual şi pe debitor, precum şi beneficiile unitare anuale care îi revin
băncii sunt prezentate în tabelul 2.51.
Tabelul 2.51
Ani Debitorii Necesar anual (mii
u.m.)
D1 D2 D3 D4
1 0,35
0,45
0,25
0,2
280
2 0,25
0,35
0,4
0,3
340
3 0,4
0,25
0,3
0,4
240
Necesar pe debitor (mii u.m.)
210 150 220 280
142218
202226
242830
484338
c
175
Se cere să se realizeze o plasare eşalonată optimă, adică necesarul pe ani să fie asigurat, necesarul pentru
debitori de asemenea să fie asigurat, iar beneficiul total realizat să fie maxim.
8. Trei bănci analizează posibilitatea de creditare a unei investiţii eşalonat, timp de patru ani.
Disponibilul fiecărei bănci, necesarul anual, precum şi beneficiile unitare anuale care revin băncilor sunt
prezentate în tabelul 2.52.
Tabelul 2.52
Să se realizeze
o plasare eşalonată
optimă, adică necesarul pe ani să fie asigurat, disponibilul creditorilor să fie realizat, iar beneficiul total
să fie maxim.
Răspunsuri
1. Zmin = 1830. 2. Zmin = 500. 3. Zmin = 2030. 4. Zmin = 320. 5. Zmin = 505.
6. Zmax = 14915. 7. Zmax = 333000. 8. Zmax = 366000.
Creditori Ani Disponibil
(mii u.m.)
D1 D2 D3 D4
C1 0,4
0,3
0,2
0,3
260
C2 0,3
0,4
0,5
0,4
330
C3 0,4
0,2
0,3
0,5
230
Necesar annual (mii u.m.)
200 140 210 270
176
BIBLIOGRAFIE
1. Bal Lascu. Analiza matematică, Bucureşti, 1971.
2. Boldur-Lăţescu Ch. ş. a. Cercetare operaţională cu aplicaţii în economie, Bucureşti, 1979.
3. Diaconiţa Vasile. Matematici superioare. Algebra şi geometria analitică, Iaşi, 1973.
4. Diaconiţa V., Manolachi A., Rusu Ch. Matematici aplicate în economie, laşi, 1992.
5. Dochitoiu C, Matei A. Matematici economice generale, Bucureşti, 1995.
6. Drăgan Irinel. Tehnici de bază în programarea liniară, Bucureşti, 1976.
7. MihailăN. Introducere în programarea liniară, Bucureşti, 1970.
8. Moraru V, Pârţachi I., Berzan R. Introducere în optimizarea liniară, Chişinău, 1997.
9. Onoi Vasile. Algebră liniară şi geometrie analitică, Chişinău, 2001.
10. Popescu Octavian ş.a. Matematici aplicate în economie. Voi. 2, Bucureşti, 1993.
11. Railean V. Programarea liniară, Chişinău, 1990.
12. Ungureanu V. Programarea matematică, Chişinău, 2001.
13. Zambiţchi D., Bunu I. Matrice şi sisteme de ecuaţii liniare cu aplicaţii în economie, Chişinău, 1996.
177
14. AKyjiHH H.JI. MameMamunecKoe npozpaMMupoeamie e npuMepax
u 3adanax, MocKBa, 1986.
15. AuiMaHOB CA. Jlimeunoe npozpaMMupoeanue, MocKBa, 1981.
16. BncjiaBCKHH M.H. Jluneuncm anze6pa unimeimoe npozpaMMupo-
eaHue, MHHCK, 1966.
17. FaMeuKHH A.O., COJIOMOH J\M.. MccnedoeaHue onepaifuu. TOM
l,KHUiHH3y, 2004.
18. rbjibiirreHH E.E, ¥DJXHH JJ,.B. Hoeue Hanpaenenufi e nimeuHOM
npozpaMMupoeanuu, MocKBa, 1966.
19. KajiHXMaH H.JI. JIuneuHan amedpa u npoepcmMupoeaHue, Moc
KBa, 1967.
20. KanHXMaH H.JI., C6opuuK 3adcm no MameMamunecKOMy npo-
apaMMupoeanwo, MocKBa, 1975.
21. KapaceB A.H., AKCiOTHHa 3.M., CaBenteBa T.H. Kypc ebicweu
MameMamuKu dnn SKOHOMunecKux ey3oe. HacTb 1 H 2, MocKBa,
1982.
22. KapneneBHH O.H., Ca^OBCKHH JI.E. 3neMeHmu nuneirnou ame-
6pbi u nuHeuHoao npoepaMMupoeanufi, MocKBa, 1963.
23. Ky3HeuoB A.B., Xojioa H.H., KOCTCBHH JI.C. PyKoeodcmeo K
peiuemiK) 3adan no MameMamimecKOMy npozpaMMupoeanuK),
MHHCK, 1978.
24. Ky3HeuoB IO.H., Ky3y6oB B.H., BoJiomeHKO A.B. MameMamunec-
Koe npozpaMMupoeaHue, MocKBa, 1964.
25. JIOTOB A.B. Beedehue e 3KOHOMUKO-MameMamuHecKoeModenupo-
eanue, MocKBa, HayKa, 1984.
26. LUHUIKHH E.B., HxapTHUiBHHH A.F. MameMamunecKue Memodu u
178
Modenu e ynpaenenuu, MocKBa, 2000.
179
Cuprins
Capitolul 1. Noţiuni de bază din algebra liniară
1.1. Matrice. Operaţii cu matrice .....................................
1.1.1. Tipuri de matrice ...................................................
1.1.2. Operaţii cu matrice ...........................................
1.2. Sisteme de ecuaţii liniare ................................................
1.2.1. Forme liniare. Dependenţa şi independenţa liniară
Exerciţii propuse ....................................................
1.2.2. Metode eficiente de rezolvare a sistemelor de ecuaţii liniare .
1.2.3. Soluţii de bază admisibile ale sistemului de ecuaţii liniare . .
Exerciţii propuse ....................................................
1.2.4. Sisteme de forme liniare. Matricea inversă ........
Exerciţii propuse ....................................................
1.2.5. Rezolvarea problemelor de întocmire a balanţei dintre ramuri
Probleme propuse ..............................................
1.3. Determinanţi .....................................................................
1.3.1. Determinanţi de ordinul II şi III ..........................
1.3.2. Proprietăţile determinanţilor ................................
1.3.3. Noţiunea de minor şi complement algebric. Descompunerea
determinantului după elementele unei linii ........
1.3.4. Rezolvarea sistemelor de n ecuaţii liniare cu n necunoscute.
Regula lui Cramer .................................................
Exerciţii propuse ....................................................
1.4. Vectori şi operaţii .............................................................
1.4.1. Vectori şi operaţii cu vectori ................................
1.4.2. Combinaţie liniară de vectori. Vectori liniari dependenţi şi
liniar independenţi .................................................
1.4.3. Baza şi rangul unui sistem de vectori. Descompunerea vec
torului prin vectorii bazei. Baza spaţiului vectorial
Exerciţii propuse ....................................................
1.5. Mulţimi convexe. Poliedre convexe...............................
Capitolul 2. Programarea liniară
180
2.1. Exemple de probleme de programare liniară ..............
2.2. Diferite forme de prezentare a modelului matematic al problemei de
programare liniară ...........................................................
Probleme propuse . ..........................................................
2.3. Proprietăţile soluţiilor admisibile în problema de programare liniară.
Teoremele fundamentale ..................................................
2.4. Interpretarea geometrică a problemelor de programare liniară . . . .
Probleme propuse.............................................................
2.5. Soluţii de bază admisibile. Corespondenţa dintre soluţiile de bază
admisibile şi vârfurile mulţimii de soluţii admisibile .
181
Cuprins _____________________________________________ 203
2.6. Trecerea de la o soluţie de bază admisibilă la alta. Principiul de
optimalitate a soluţiei de bază admisibile. Metoda simplex 108
2.7. Algoritmul metodei simplex. Tabele simplex ............. 111
2.8. Determinarea soluţiei de bază admisibile iniţiale. Metoda bazei ar
tificiale cu coeficienţii de penalizare ............................. 120
Probleme propuse ............................................................ 126
2.9. Problema duală în programarea liniară ....................... 130
2.9.1 Probleme duale nesimetrice ................................. 141
Probleme propuse .............................................. 148
2.9.2 Metoda simplex duală ........................................... 150
Probleme propuse .............................................. 157
2.10.Problema programării liniare în numere întregi. Metoda Gomory . . 160
Probleme propuse ............................................................. 166
2.11.Metode matematice pentru fundamentarea deciziilor în probleme cu
mai multe funcţii-obiectiv ............................................... 168
dξ 2.12. Problema transporturilor ........................................ 174
2.12.1.Problema transporturilor. Modelul matematic 175
2.12.2.Determinarea soluţiei de bază admisibile iniţiale. Metoda
colţului de Nord-Vest. Metoda costului minim 179
2.12.3. ................................................................................. Metoda potenţialelor 181
2.12A. Problemele de transport degenerate ............ 188
2.12.5.Problema de transport neechilibrată ................. : 192
2.12.6.Modele liniare de transfer al fondurilor ............. 193
Probleme propuse .............................................. 196
Bibliografie 200
Seria Teorie Economică, Matematică, Informatică
Lucrarea a fost realizată în cadrul Institutului de Matematică Aplicată şi Informatică al
Academiei de Transporturi, Informatică şi Comunicaţii şi la catedra „Matematică şi
182
econometrie" a Academiei de Studii Economice din Moldova.
Dumitru ZAMBIŢCHI,
doctor în ştiinţe fizico-matematice, profesor universitar, ASEM
Mircea ZAMBIŢCHI,
doctor în ştiinţe fizico-matematice, conferenţiar universitar, ASEM
MATEMATICI
APLICATE ÎN ECONOMIE
Algebra liniară. Programarea liniară
Bun de tipar 28.10.2005. Format 60 x 90 1/16.
Coli de tipar 12.75
Comanda nr.
Editura Evrica,
str. Vlad Ţepeş, 3,
MD 2028, or. Chişinău, Republica Moldova.
Tipografia AŞM, str. Petru Movilă, 8, or. Chişinău, Republica Moldova
