MatAplEcon_Tema_7_Note_curs.pdf

7/21/2019 MatAplEcon_Tema_7_Note_curs.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/mataplecontema7notecurspdf 1/8

TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE 61

TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE

Obiective:

Definirea principalelor proprietăţi matematice ale integralelor nedefinite

Analiza principalelor proprietăţi matematice ale ecuaţiilor diferenţiale Aplicaţii economice ale integralelor nedefinite

Aplicaţii economice ale ecuaţiilor diferenţiale

Conținut:

7.1 Proprietăţile integralelor nedefinite 62

7.2 Ecuaţii diferenţiale 65

7.3 Aplicaţii economice ale integralelor nedefinite 667.3.1 Costul total şi profitul total 667.3.2 Consumul şi venitul naţional 667.3.3 Aplicaţii ale ecuaţiilor diferenţiale 67

7.4 Concepte cheie 67



62 MODULUL 4: MODELE DE CALCUL INTEGRAL

7.1 Proprietățile integralelor nedefinite

În multe situaţii practice, dispunem de informaţii asupra ratei de schimbare a uneifuncţii – pe care a denumit-o funcţia marginală – şi ne interesează să determinăm funcţiainiţială. Acest tip de probleme aplicative ne conduce din punct de vedere matematic ladeterminarea unei funcţii atunci când se cunoaşte derivata acelei funcţii.

Definiţia 7.1: Func ţ ia ( ) x F se nume şte primitiva (func ţ ia primitivă sau antiderivata)

func ţ iei ( ) x f pe intervalul ( )ba, dacă în orice punct ( )ba x ,∈ func ţ ia ( ) x F este derivabil ă şi

( ) ( ) x f x F =′ .

Dacă ( ) x F este primitiva funcţiei ( ) x f pe intervalul ( )ba, , atunci, în mod evident,

funcţia ( ) K x F + (unde K este o constantă) este, de asemenea, o primitivă a funcţiei ( ) x f pe

intervalul ( )ba , . În general, două primitive ale aceleiaşi funcţii difer ă între ele printr-oconstantă.

Definiţia 7.2: Mul ţ imea tuturor primitivelor unei func ţ ii ( ) x f pe intervalul ( )ba , se

nume şte integrala nedefinit ă a func ţ iei ( ) x f şi se notează:

dx x f ∫ )( . (7.1)

În aceast ă nota ţ ie, semnul ∫ se nume şte semnul de integral ă , iar expresia ( )dx x f se

nume şte elementul de integrare.

Dacă ( ) x F este una din primitivele funcţiei ( ) x f pe intervalul ( )ba , , atunci

( ) ( ) K x F dx x f +=∫ . (7.2)

unde K este o constantă arbitrar ă, respectiv o nedeterminată ce poate să parcurgă toatenumerele reale.

Operaţia de determinare a primitivei sau a integralei nedefinite a funcţiei ( ) x f se

numeşte integrarea func ţ iei ( ) x f .Vom discuta în continuare propriet ăţ ile de baz ă ale integralei nedefinite. Aceste

proprietăţi ale operaţiilor cu integrale sunt:

(1) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) K dx x g dx x f dx x g x f +±=± ∫∫∫ ; (7.3)

(2) ( )[ ] ( ) K dx x f dx x f +⋅=⋅ ∫∫ α α , =α constant. (7.4)

Vom enumera în cele ce urmează primitivele principalelor func ţ ii ce apar în modeleleeconomice, care formează tabloul integralelor nedefinite de bază:

K dx =⋅∫0 ; (7.5)

K xdx +=⋅∫1 ; (7.6)

K xdx x ++

=+

∫ 1

1

α

α

α , ( 1−≠α ); (7.7)




K xdx x

+=∫ ln1

, ( 0≠ x ); (7.8)

K a

a

dxa

x x

+=∫ ln , ( 10 ≠< a ); (7.9)

K edxe x x +=∫ ; (7.10)

K a

x

aa

dx+=

+∫ arctan1

22, 0≠a ; (7.11)

K a x

a x

aa x

dx+

+

−=

−∫ ln2

122

, 0≠a , a x ≠ ; (7.12)

K a

x

a x

dx+=

−∫arcsin

22

, 0≠a , ( )aa x ,−∈ ; (7.13)

( ) K a x xa x

dx+++=

+∫

22

22ln . (7.14)

Să analizăm şi două proprietăţi care sunt consecinţe imediate ale definiţiei date pentru

integrala nedefinită, care implică faptul că simbolurile d (de diferenţiere) şi ∫ (de integrare)

se anulează reciproc. Au loc proprietăţile:

(a) ( ) ( )dx x f dx x f d =∫ ;

(b) ( ) ( )∫ += K x F xdF .

Să investigăm acum principalele metode de integrare. Prima metodă este metoda

direct ă, care constă în aplicarea directă, acolo unde este posibil, a proprietăţilor operaţiilor cuintegrale (7.3) şi (7.4), precum şi formulele de integrare (7.5) ÷ (7.14).

Una din cele mai uzuale metode de integrare este integrarea prin schimbare de variabil ă

(sau prin substitu ţ ie). Metoda se bazează pe proprietatea că dacă ( ) xt ϕ = , iar ( )t f are

primitiva ( )t F , adică:

( ) ( )∫ += K t F dt t f , (7.15)

atunci există primitiva funcţiei ( )[ ] ( ) x x f ϕ ′⋅ , adică:

( )[ ] ( ) ( )[ ] K x F dx x x f +=′⋅∫ ϕ ϕ ϕ . (7.16)

Integrarea prin păr ţ i este una din cele mai eficace metode de integrare şi se bazează pe proprietatea următoare. Să presupunem că funcţiile ( ) xu şi ( ) xv sunt derivabile. Atunci areloc relaţia:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dx xu xv xv xudx xv xu ′⋅−⋅=′⋅ ∫∫ . (7.17)

Ţinând cont de proprietăţile diferenţialei, relaţia (7.17) se mai poate scrie:

duvvudvu ⋅−⋅=⋅ ∫∫ . (7.18)




Să detaliem acum metodele de integrare a funcţiilor raţionale, de forma:( )( )∫ xQ

x P , unde

( ) x P şi ( ) xQ sunt polinoame. Să analizăm mai întâi integralele de tipul:

∫ ++

+dx

cbxax

nmx2

.

Metoda generală de rezolvare a acestui tip de integrală constă în aducerea trinomului degradul al doilea la forma unei sume sau diferenţe de pătrate:

( ) q p xacbxax ++⋅=++22 ,

unde p şi q sunt constante. În plus, dacă 0=m , metoda conduce la una din formulele deintegrare (7.11) sau (7.12).

Dacă 0≠m , dăm factor comun la număr ător derivata bax +2 a trinomului de gradul al

doilea şi avem:

( )

∫∫ =++

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −++⋅

=++

+= dx

cbxaxa

mbnbax

a

m

dxcbxax

nmx I

22

22

2

( )∫∫ ++⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+

++

+⋅= dx

cbxaxa

mbndx

cbxax

bax

a

m22

1

2

2

2.

În prima integrală facem schimbarea de variabilă t cbxax =++2 , de unde( ) dt dxbax =+2 , iar a doua integrală este de tipul discutat mai sus. Obţinem:

∫ ++⋅⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −+++⋅= dxcbxaxambncbxaxam I 2

2 12ln2 .

În general, pentru rezolvarea integralelor raţionale se aduce expresia la forma

ireductibilă ( )( ) xQ

x P , unde ( ) ( ) x gradQ x gradP < . Mai întâi descompunem polinomul ( ) xQ sub

forma:

( ) ( ) ( )λ α l xa x xQ −⋅⋅−= K ,

unde l a ,,K sunt r ădăcinile reale diferite ale polinomului ( ) xQ , cu ordinele de multiplicitaterespectiv λ α ,,K .

Metoda constă în descompunerea în „ frac ţ ii simple”, scriind:

( )( ) ( ) ( )

KK +−

++−

+−

=α

α

a x

A

a x

A

a x

A

xQ

x P 2

21

( ) ( )λ λ

a x

L

l x

L

l x

L

−++

−+

− K

221 .

Pentru determinarea coeficienţilor λ α L L L A A A ,,,,,,,, 2121 KKK procedăm fie prin

identificarea cu ( ) x P , fie prin atribuirea de valori convenabile.

Pentru integrarea expresiilor iraţionale de forma: ∫++

+dx

cbxax

nmx2

, procedăm la

descompunerea în sumă sau diferenţă de pătrate a trinomului de la numitor şi apoi aplicăm o

metodă analogă metodei analizate pentru expresiile raţionale, aplicând formulele de calcul(7.13) sau (7.14)




Pentru integralele iraţionale de tipul:( )∫

+++ cbxaxnmx

dx2

, facem schimbarea de

variabilă t nmx =

+

1 şi explicitându-l pe x în funcţie de t şi diferenţiind se obţine o integrală

de tipul celei de mai sus.

7.2 Ecuații diferențiale

Să ne reamintim că am introdus noţiunea de derivată ca fiind rata de schimbareinstantanee a unei funcţii ( )t f y = şi am notat această rată de schimbare în timp cu dt dy . Înfoarte multe procese de creştere, din domeniul economic, dar şi alte domenii cum sunt fizica,

biologia sau ştiinţele sociale, rata de schimbare în timp a cantităţii unui element este propor ţională cu cantitatea actuală a acelui element.Această proprietate se poate scrie sub forma:

kydt

dy= , ( constant=k ). (7.19)

O ecuaţie de tipul de mai sus se numeşte o ecua ţ ie diferen ţ ial ă, deoarece ea conţinediferenţiale sau derivate. Alte exemple de ecuaţii diferenţiale sunt:

(a) ( )1

1

+=′

x x f , (b) t

dt

dy2= , (c) ( )dx y xdy 1+= .

Soluţia unei ecuaţii diferenţiale este o funcţie ce satisface ecuaţia diferenţială iniţială.De exemplu, o funcţie care satisface ecuaţia (a) este o primitivă a lui ( ) x f ′ . De asemenea, se

observă că o soluţie a ecuaţiei (b) este funcţia 2t y = , pentru care avem t dt

dy2= . Dar şi

funcţiile de forma 12 += t y sau 22 −= t y sunt şi ele soluţii ale lui (b).Atunci solu ţ ia general ă a ecuaţiei diferenţiale (b) se obţine integrând în ambii membri:

K t ydt t dt dt

dy+=⇒= ∫∫

22 .

Astfel, K t y += 2 este o soluţie generală a ecuaţiei diferenţiale (b). Dacă determinăm oanumită valoare specifică a lui K , atunci soluţia rezultată se numeşte solu ţ ie particular ă aecuaţiei diferenţiale.

O ecuaţie diferenţială ce conţine diferenţiale sau derivate de ordinul întâi se numeşteecua ţ ie diferen ţ ial ă de ordinul întâi .

Dar nu toate ecuaţiile diferenţiale se rezolvă direct, prin integrare în ambii membri. Deexemplu, ecuaţia (7.19) de mai sus nu poate fi rezolvată direct prin integrarea ambilor membriai ecuaţiei în raport cu variabila t . Totuşi, putem să rescriem ecuaţia, astfel încât termenii careîl conţin pe y să fie într-un membru, iar termenii care îl conţin pe t să fie în celălalt membru.

În cazul nostru rezultă:

dt k y

dy

⋅= . (7.20)




În general, atunci când o ecuaţie diferenţială poate fi rescrisă sub forma:

( ) ( )dt t Bdy y A = sau ( ) ( )dx x f dy y g = ,

spunem că ecuaţia este separabil ă. Soluţia unei ecuaţii diferenţiale separabile se obţineintegrând ambii membri ai ecuaţiei în raport cu variabilele care au fost separate. Astfel, pentrua rezolva ecuaţia (7.19), care a fost scrisă după separarea variabilelor y şi t sub forma (7.20),integr ăm în ambii membri şi obţinem:

21ln K kt K ydt k y

dy+=+⇒⋅= ∫∫ .

Notând 123 K K K −= , rezultă 3ln K kt y += .

Presupunând 0> y şi scriind ecuaţia sub formă exponenţială, obţinem succesiv:

K eeee y kt K kt K kt ⋅=⋅== + 33 ,

unde 3 K e K = .Soluţia K e y kt ⋅= este soluţia generală a ecuaţiei (7.19).

7.3 Aplicații economice ale integralelor nedefinite

7.3.1 Costul total şi profitul total

Revenim cu analiza noastr ă asupra modelelor economice de şi aplicaţiilor care implică

funcţiile de cost, de venit şi de consum. După cum s-a observat, am reluat aceste concepte încontexte şi cu abordări diferite, deoarece ale sunt fundamentale în studiul modeleloreconomice.

Vom utiliza în continuare metodele de integrare pentru a obţine funcţiile de cost total şi profit total, pe baza funcţiilor marginale corespunzătoare. Unul din motivele utilizăriifuncţiilor marginale este acela că în practică pot fi observate schimbările marginale dinactivitatea curentă, pe baza cărora pot fi dezvoltate metodele privind costul total. Să remarcămcă, în mod natural, în aplicaţiile în care am utilizat derivatele, abordarea a fost de la costultotal către costul marginal. Prin metodele de integrare, parcurgem calea inversă, care esteuneori mai aproape de situaţiile practice.

Să presupunem că funcţia de cost marginal pentru un anumit produs este

( ) ( ) xC xCM ′= , unde ( ) xC este funcţia de cost total. Ştiind expresia funcţiei de cost marginal,atunci vom determina prin integrare funcţia de cost total, adică:

( ) ( )∫= dx xCM xC . (7.21)

7.3.2 Consumul şi venitul național

Am analizat anterior funcţia de consum naţional ( ) ( ) x f xC N = , unde x este venitul

naţional disponibil. Tendin ţ a marginal ă na ţ ional ă de consum este derivata funcţiei deconsum, respectiv:

( ) x f dx

dC N ′= . (7.22)




Invers, dacă cunoaştem tendinţa de consum, prin integrare obţinem funcţia de consumnaţional:

( ) ( ) K x f dx x f C N +=′= ∫ . (7.23)

De o manier ă similar ă, dacă ( ) xV N reprezintă funcţia venitului net naţional, atunci

N N V C x += sau N N C xV −= . Atunci tendin ţ a marginal ă a venitului net na ţ ional este:

dx

dC

dx

dV N N −=1 . (7.24)

Procedând invers, dacă cunoaştem tendinţa de consum marginală ( ) x f dx

dC N ′= , prin

integrare obţinem func ţ ia de venit na ţ ional net :

( ) ( ) x f xdx x f xV N −=′

−= ∫ . (7.25)

7.3.3 Aplicații ale ecuațiilor diferențiale

Dacă p este preţul unui anumit produs la momentul t , putem să consider ăm preţul ca ofuncţie de timp. Similar, numărul de unităţi de produs cerut de consumatori C q şi numărul de

unităţi oferite de producători Oq , în orice moment de timp, pot fi considerate, de asemenea,

funcţii de timp.Atât cantitatea cerută, cât şi cantitatea oferită depind însă nu numai de preţul la un

moment dat, dar şi de direcţia şi de rata de schimbare cu care consumatorii şi producătorii

estimează că va evolua preţul.De exemplu, cu toate că preţul este ridicat, dacă consumatorii estimează că preţul va

creşte, cererea ar putea să crească. Analog, dacă preţurile sunt scăzute, dar producătoriiestimează că preţurile vor mai scădea, atunci oferta ar putea să crească.

Dacă presupunem că preţurile sunt stabilite pe o piaţă cu competiţie de cerere şi ofertă,atunci vom căuta să determinăm echilibrul de piaţă. Egalând oferta cu cererea, obţinem oecuaţie diferenţială de ordinul întâi.

7.4 Concepte cheie

Funcţie primitivă

Integrală nedefinită

Integrare directă

Integrare prin schimbare devariabilă

Integrare prin păr ţi

Ecuaţie diferenţială

Ecuaţie diferenţială de ordinulîntâi

Ecuaţie diferenţială separabilă

Tendinţă marginală de consum

Tendinţă marginală a venituluinet

MatAplEcon_Tema_7_Note_curs.pdf

Documents

Transcript of MatAplEcon_Tema_7_Note_curs.pdf