Martie,2019olariu/curent/PS/files/probability4.pdf · Repartiţiicomune-exemplu Exemplu. Se dau...

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică










Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi statistică - Curs 4

Martie, 2019













Table of contents I

Caracteristici ale variabilelor aleatoare discreteMedia unei variabile aleatoare discreteDispersia unei variabile aleatoare discrete

Repartiţii discrete remarcabileRepartiţia uniformă Un

Repartiţia Bernoulli şi binomială B(n ; p)Repartiţia geometrică Geometric(p)Repartiţia PoissonRepartiţia hipergeometrică

Repartiţii comune ale variabilelor aleatoare discreteRepartiţii comune

ExerciţiiRepartiţii şi caracteristici ale variabilelor aleatoare discreteRepartiţii discrete remarcabile.Repartiţii comune

Bibliography













Media unei variabile aleatoare discrete

X :

x1 x2 : : : xn : : :

p1 p2 : : : pn : : :

!(1)

Definition 1Fie X o variabilă aleatoare discretă cu repartiţia (1), mediavariabilei X (dacă există) este

E[X ] =Xi

pixi (2)

� Media unei variabile aleatoare discrete este o sumă finităsau suma unei serii infinite (care poate converge sau nu) avalorilor ei, ponderate cu probabilităţile aferente.














Exemplu. Se aruncă două zaruri identice şi se notează cu Xvaloarea maximă de pe cele două feţe. X este evident o variabilăaleatoare cu şase valori posibile: 1; 2; : : : ; 6. Funcţia de masă deprobabilitate este

fX (1) = PfX = 1g = P(f(1; 1)g) =136

;

fX (2) = PfX = 2g = P(f(1; 2); (2; 1); (2; 2)g) =112

;

fX (3) = PfX = 3g = P(f(1; 3); (2; 3); (3; 3); (3; 2); (3; 1)g) =536

;

fX (4) = PfX = 4g = P(f(1; 4); (2; 4); (3; 4); (4; 4); (4; 3); : : :g) =736

;

fX (5) = PfX = 5g = P(f(1; 5); (2; 5); (3; 5); (4; 5); (5; 5); : : :g) =14;

fX (6) = PfX = 6g = P(f(1; 6); (2; 6); (3; 6); (4; 6); (5; 6); : : :g) =1136

:














Repartiţia acestei variabile este0@ 1 2 3 4 5 6

136

112

536

736

14

1136

1A :

Media variabilei este

E[X ] = 1 �136

+ 2 �112

+ 3 �536

+ 4 �736

+ 5 �14+ 6 �

1136

=16136

:|

� Următoarele două propoziţii enumeră câteva proprietăţi im-portante ale mediei unei variabile aleatoare.

Proposition 1Fie X o variabilă aleatoare discretă h : R ! R o funcţiereală. Atunci h(X ) este o variabilă aleatoare şi

E[h(X )] =Xi

h(xi )pi :














proof: Fie Y = h(X ) : ! R; Y este evident o variabilăaleatoare discretă. Funcţia de masă de probabilitate a lui Y estefY : Y () = h(X ())! [0; 1], unde

fY (yj ) = P

[i

fh(xi ) = yj g

!=

Xh(xi )=yj

PfX = xig =X

h(xi )=yj

fX (xi );

Astfel

E[Y ] =Xj

yj fY (yj ) =Xj

yjX

h(xi )=yj

fX (xi ) =

=Xj

Xh(xi )=yj

h(xi )fX (xi ) =Xi

h(xi )fX (xi ):

�














Proposition 2

(i) Dacă X este o variabilă aleatoare discretă, atunci aX +beste o variabilă aleatoare şi E[aX+b] = aE[X ]+b, pentruorice a ; b 2 R.

(ii) Dacă X1 şi X2 sunt variabile aleatoare discrete, atunciX1+X2 este o variabilă aleatoare şi E[X1+X2] = E[X1]+

E[X2].

(iii) Fie X > 0, atunci E[X ] > 0, iar E[X ] = 0 numai dacăX � 0.














proof: (i) este imediată.Pentru (ii) reinterpretăm formula pentru medie: pentru o vari-abilă aleatoare discretă X avem

E[X ] =X!2

X (!)P(!); de unde

E[X1 +X2] =X!2

[X1(!) +X2(!)]P(!) =

=X!2

X1(!)P(!) +X!2

X1(!)P(!) = E[X1] + E[X2]:

(iii) Dacă xi > 0, pentru orice i , atunci pixi > 0, 8i şi

E[X ] =Xi

pixi > 0:

�














Exemplu. Se aruncă două zaruri. Să se determine media sumeicelor două zaruri.Soluţie: Fie Xi rezultatul zarului i ; suma celor doua zaruri poatefi scrisă ca X = X1 + X2, deci, conform propoziţiei 2, E[X ] =

E[X1] + E[X2]. Variabilele X1 şi X2 sunt identic repartizate:

X1;X2 :

0@ 1 2 3 4 5 6

16

16

16

16

16

16

1A ;de unde

E[X1] = E[X2] = 1 �16+2 �

16+3 �

16+4 �

16+5 �

16+6 �

16=

216

=72

) E[X ] = 7:|













Dispersia unei variabile aleatoare discrete

Definition 2Fie X o variabilă aleatoare. Se numeşte dispersia (sau var-ianţa) lui X , media pătratului abaterii de la medie (dacăexistă):

Var [X ] = E[(X � E[X ])2] =Xi

pi (xi � E[X ])2 :

� Observăm că o condiţie necesară pentru existenţa disper-siei este ca variabila să aibă medie. O metodă de calcul adispersiei este dată de următorul rezultat.

Proposition 3Fie X o variabilă aleatoare care admite dispersie, atunci

Var [X ] = E[X 2]� (E[X ])2 :














proof:

Var [X ] =Xi

pi (xi�E[X ])2 =Xi

pi

�x 2i � 2xiE[X ] + (E[X ])2

�=

=Xi

pix 2i � 2

Xi

pixi

!E[X ] +

Xi

pi (E[X ])2 =

= E[X 2]� 2E[X ] � E[X ] + (E[X ])2 = E[X 2]� (E[X ])2 :

�

Proposition 4Fie X o variabilă aleatoare care admite dispersie, atunci

(i) Var [X ] > 0 şi Var [X ] = 0 dacă şi numai dacăX � const (variabilă degenerată);

(ii) Var [aX + b] = a2Var [X ], pentru orice a ; b 2 R.














proof: (i) este evident ca Var [X ] > 0 şi că Var [X ] = 0 dacăşi numai dacă xi = E[X ], 8i , i.e. X este constantă (şi egală cumedia sa).(ii) Var [aX+b] = E[(aX + b � aE[X ]� b)2] = E[a2(X�E[X ])2] =

= a2E[(X � E[X ])2]: �

Definition 3Deviaţia standard a variabilei aleatoare X este

StDev [X ] =q

Var [X ]:













Repartiţii discrete remarcabile - Repartiţia uniformă Un

� O variabilă aleatoare se spune că este distribuită uniformcu parametrul n 2 N� dacă are repartiţia

Un :

1 2 : : : n

1=n 1=n : : : 1=n

!

� Este uşor de văzut că media şi dispersia unei astfel de vari-abile sunt

E[X ] =n + 12

şi Var [X ] =n2 � 112

:

� O astfel de repartiţie am întâlnit în cazul aruncării unui zar.













Repartiţii discrete remarcabile - Repartiţia Bernoulli şi binomialăB(n ; p)

� Să considerăm un experiment al cărui rezultat poate fi in-trepretat ca succes sau eşec. Fie X definită astfel

X =

(1; dacă experimentul are succes0; altfel:

(Uzual experimentului i se asociază un eveniment aleator A (cuprobabilitate cunoscută P(A) = p): succesul înseamnă realizareaacestui eveniment.)

� Funcţia de masă de probabilitate este f (0) = 1�p şi f (1) =p. O astfel de variabilă este repartizată Bernoulli cuparametrul p şi are repartiţia

0 11� p p

!:

� Media şi dispersia sunt E[X ] = p şi Var [X ] = p(1� p).













Repartiţia Bernoulli şi binomială B(n ; p)

� Să presupunem acum că un astfel de experiment (cu rezul-tate posibile succes/eşec) este efectuat de n ori în mod in-dependent şi notăm cu X numărul de succese.

� Se spune că variabila X este repartizată binomial cuparametrii n şi p. Utilizând schema binomială putem de-termina tabloul de repartiţie al acestei variabile

B(n ; p) :�

0 1 : : : k : : : nC0

n (1� p)n C1n p(1� p)n�1

: : : C kn pk (1� p)n�k

: : : Cnn pn

�;

� iar caracteristicile sunt E[X ] = np şi Var [X ] = np(1� p).

Proposition 5Fie X1;X2; : : : ;Xn variabile aleatoare independente reparti-

zate Bernoulli cu parametrul p 2 (0; 1). Atunci X =nX

i=1

Xi

este o variabilă repartizată B(n ; p).













Repartiţia Bernoulli şi binomială B(n ; p) - exemple

Exemplu. Se aruncă un zar până apare de trei ori faţa cu numărul6.

(a) Care este probabilitatea ca să fie necesare exact douăzeci dearuncări ale zarului?

(b) Daca zarul este aruncat de douăzeci de ori, care este numărulmediu de apariţii ale feţei şase?

Soluţie: (a) Douăzeci de aruncări sunt suficiente numai dacă înprimele nouăsprezece aruncări faţa 6 apare de exact două ori şimai apare odată la ultima aruncare. Aceste două evenimentesunt independente, deci probabilitatea cerută (a intersecţiei lor)este

192

!�16

�2 �56

�17�16�= 0:035682

(b) Variabila X care numără de câte ori apare faţa şase în douăzeci

de aruncări este repartizată B(20; 1=6). E[X ] = 20 �16=

103�=

3:333 |














Exemplu. O variantă echivalentă a jocului numit Roata norocu-lui este următoarea: un jucător pariază pe unul dintre numerelede la 1 la 6, apoi se aruncă trei zaruri şi dacă apare numărulales de jucător de k ori, acesta câştigă k$ (1 6 k 6 3), iar dacănumărul ales nu apare pe nici un zar, atunci pierde 1$. Joculoferă şanse corecte jucătorului? Care este câştigul mediu?Soluţie: Fie X câştigul jucătorului, valorile lui X pot fi f�1; 1; 2; 3g.Variabila X are funcţia de masă de probabilitate similară cuaceea aunei variabile binomiale. Deoarece probabilitatea ca pefaţa unui zar să apară numărul ales este 1=6, avem

PfX = �1g =

30

!�16

�0 �56

�3=

125216

;














PfX = 1g =

31

!�16

�1 �56

�2=

75216

;

PfX = 2g =

32

!�16

�2 �56

�1=

15216

;

PfX = 3g =

33

!�16

�3 �56

�0=

1216

:

Jocul nu oferă şanse corecte celui care îl joacă deoarece proba-bilitatea de a pierde a acestuia este 125=216 > 1=2, iar câştigulmediu este

E[X ] = (�1) �125216

+ 1 �75216

+ 2 �15216

+ 3 �1

216= �

17216

|













Repartiţii discrete remarcabile - Repartiţia geometrică Geometric(p)

� Să considerăm acum un experiment aleator şi un evenimentaleator A (cu P(A) = p 2 (0; 1)) asociat acestui experiment.Variabilă care notează numărul de repetări independente aleexperimentului până la realizarea evenimentului A se spunecă este repartizată geometric cu parametrul p.

� Tabloul de repartiţie al unei astfel de variabile (vezi schemageometrică) este

G(p) :

1 2 : : : n : : :

p p(1� p) : : : p(1� p)n�1 : : :

!

� Caracteristicile repartiţiei geometrice sunt

E[X ] =1p

şi Var [X ] =1� pp2 :













Repartiţia geometrică Geometric(p) - exemplu

Exemplu. Se aruncă în mod repetat două zaruri până se obţineun produs egal cu 6. Care este media şi dispersia numărului dearuncări?Soluţie: A =" produsul zarurilor este egal cu 6"

A = f(1; 6); (2; 3); (3; 2); (6; 1)g;P(A) =436

:

Fie X = numărul de aruncări necesare realizării evenimentuluiA. X este repartizată geometric cu parametrul p = 1=9.

E[X ] =1p= 9;Var [X ] =

1� pp2 =

89:

Sunt necesare, în medie, 9 aruncări pentru obţinerea unui produsegal cu 6. |













Repartiţii discrete remarcabile - Repartiţia Poisson(�)

� O variabilă aleatoare X este repartizată Poisson cu parametrul� > 0 dacă funcţia sa de masă de probabilitate este

f (k) = PfX = kg = e��k

k !; 8k > 0:

� Tabloul de repartiţie al unei astfel de variabile este

Poisson(�) :

0@ 0 1 : : : n : : :

�0 e��

0!�e��

1!: : : �n e��

n !: : :

1A ;

iar caracteristicile sunt

E[X ] = � şi Var [X ] = �:













Repartiţia Poisson(�)

� În general repartiţia Poisson modelează apariţia evenimentelorcare se produc cu frecvenţă scăzută, într-un interval de timpfixat.

� Astfel de exemple de aplicaţii ale repartiţiei Poisson sunt:numărul de apeluri telefonice greşite dintr-o zi, numărul departicule emise de o sursă radioactivă într-un interval detimp dat, numărul de erori tipografice pe o pagină, numărulde naşteri pe oră într-o anumită zi etc.

� O parte dintre aplicaţiile acestei repartiţii se datorează fap-tului că pentru n suficient de mare şi p suficient de mic(astfel încât np să fie o valoare rezonabilă) repartiţia bino-mială B(n ; p) poate fi aproximată cu Poisson(np).













Repartiţia Poisson(�) - exemplu

Exemplu. Într-o maternitate, naşterile au loc cu o rată de 2:1 peoră.

(a) Care este probabilitatea ca într- oră să se nască patru copii?(b) Dar ca într-o anumită oră să se nască cel puţin trei copii?

Soluţie: Fie X numărul de naşteri pe oră, X este distribuităPoisson(2:1).

(a) PfX = 4g = �4 e��

4!�= 0:099231 (� = 2:1)

(b) Pentru a doua cerinţă putem evita calculul sumei unei seriiastfel

PfX > 3g =Xk>3

PfX = kg = 1�2X

k=0

PfX = kg =

= 1� PfX = 0g � PfX = 1g � PfX = 2g =

= 1� e�� e�� 2

2e�� = 0:350368 (� = 2:1):|













Repartiţii discrete remarcabile - Repartiţia hipergeometrică

� Reluăm contextul schemei bilei neîntoarse: într-o urnă suntn bile de două culori (n1 albe şi n2 neagre) şi se extragsimultan k bile din urnă. Se notează cu X numărul de bilealbe obţinute; această variabilă se spune că este repartizatăhipergeometric.

� Tabloul său de repartiţie (vezi şi schema bilei neîntoarse)este

X :

0@ 0 1 : : : j : : : r�n1

0

��n2

k

��nk

� �n1

1

�� n2

k � 1

��nk

�: : :

�n1

j

�� n2

k � j

��n

k

� : : :

�n1

r

�� n2

k � r

��nk

�1A ;

unde r = min fk ;n1g.

� Media şi dispersia ei sunt

E[X ] =kn1

n;Var [X ] = k �

n � kn � 1

�n1

n�n2

n













Repartiţii comune

� Fie X şi Y două variabile aleatoare discrete cu repartiţiile

X :

x1 x2 : : : xn : : :

p1 p2 : : : pn : : :

!şi Y :

y1 y2 : : : ym : : :

q1 q2 : : : qm : : :

!:

Definition 4Repartiţia comună a celor două variabile este formată dinmulţimea tripletelor

(xi ; yj ;PfX = xi \Y = yj g)i ;j













Repartiţii comune

� Dacă notăm cu rij = PfX = xi\Y = yj g repartiţia comunăse poate reprezenta într-un tablou astfel:

Xx1 x2 � � � xi � � �

Y

y1 r11 r21 � � � ri1 � � � q1

y2 r12 r22 � � � ri2 � � � q2...

...... � � �

... � � �

yj r1j r2j � � � rij � � � qj...

...... � � �

... � � �

p1 p2 � � � pi � � �













Repartiţii comune

� Se observă că probabilităţile aferente celor două variabile potfi obţinute adunând probabilităţile din repartiţia comună pelinii (pentru Y ) respectiv pe coloane (pentru X ):

Xi

rij = qj ; 8 j şiXj

rij = pi ; 8 i :













Repartiţii comune - exemplu

Exemplu. Se dau două urne: U1 care conţine două bile albe,două negre şi trei bile roşii şi U2 care conţine trei bile albe, douănegre şi o bilă roşie. Din prima urnă se extrage o bilă care seintroduce în cea de-a doua urnă, iar apoi se extrage o bilă din ceade a doua urnă. Se notează cu X numărul de bile albe obţinuteşi cu Y numărul de bile negre obţinute.

(a) Să se determine repartiţia comună a variabilelor X şi Y .

(b) Să se determine repartiţia şi apoi media variabilei X +Y .

Soluţie: Observăm că variabilele X şi Y sunt dependente: suntlegate prin relaţia X + Y 6 2. Notăm cu Ai evenimentul "ai-a bilă extrasă este albă", cu Bi evenimentul "a i-a bilă extrasăeste neagră" şi cu Ci evenimentul "a i-a bilă extrasă este roşie"(i = 1; 2).













Repartiţii comune - exemplu

X0 1 2

Y0 6=49 11=49 8=49 25=491 ? ? 0 ?

2 ? 0 0 ?

? ? 8=49













Exerciţii pentru seminar

� Caracteristici ale variabilelor aleatoare: I.1(a, c), I.4,I.7(a), I.8, I.9, I.15, I.16.

� Repartiţii discrete remarcabile: II.1, II.2, II.6, II.9,III.1, III.4, III.6, IV.1, IV.3.

� Repartiţii comune: V.1.

� Rezervă: I.5, I.6, I.12, II.3, III.2, IV.4, V.3, V.2.













Sfârşit













Exerciţii - repartiţii şi caracteristici ale variabilelor aleatoare discrete

I.1. Determinaţi media şi dispersia fiecăreia dintre următoarelevariabile aleatoare

a)X :

0@ �1 1 2 3

14

14

316

516

1A b)Y :

0@ 0 1 2

13

59

19

1A c)Z :

0@ �2 0 2

17

47

27

1A :

I.2. O monedă falsificată are probabilitatea de a apare stema lao aruncare 2=3. Moneda se aruncă de patru ori. Fie X variabilaaleatoare care notează numărul maxim de apariţii consecutive alestemei. Să se determine repartiţia, media şi dispersia variabileiX .I.3. Sunt alese două bile la întâmplare dintr-o urnă care conţineopt bile albe, patru bile negre şi două bile galbene. Să pre-supunem că o bilă neagră valorează 2$, iar una albă 1$. Senotează cu X câştigul obţinut; să se determine repartiţia, me-dia şi dispersia variabilei X .














I.4. Fie X diferenţa dintre numărul de apariţii ale stemei şiale banului la aruncarea de trei ori a unei monede. Determinaţirepartiţia şi media variabilei aleatoare X .I.5.

(a) Se aruncă un zar şi se notează cu X numărul de puncteobţinute. Să se determine repartiţia, media şi dispersia vari-abilei X .

(b) Se aruncă două zaruri. Care este media şi dispersia sumeicelor două zaruri? Dar ale produsului?

I.6. Se aruncă o monedă până apare banul sau până apare decinci ori stema. Care este numărul mediu de aruncări care săîndeplinească această condiţie?














I.7. Un zar se aruncă de două ori. Fie X1 şi X2 rezultateleobţinute. Se definesc

X = min fX1;X2g şi Y = max fX1 +X2;X1 �X2g:

Să se determine repartiţiile variabilelor a) X şi b) Y .I.8. Se dau trei urne. Prima conţine o bilă albă şi una neagră,cea de-a doua conţine două bile albe şi şase negre iar a treia o bilăalbă şi trei negre. Din prima urnă se extrage o bilă şi se introduceîn cea de-a doua, după care se extrage o bilă din cea de-a douaurnă şi se introduce în cea de-a treia; în sfârşit se extrage o bilădin ultima urnă. Să se determine media şi dispersia număruluide bile albe extrase.I.9. O anumită familie regală are copii atâta vreme cât nu aapărut un băiat sau sunt mai puţin de trei copii în familie. Săse determine media şi dispersia numărului de fete într-o astfel defamilie. (Probabilitatea ca un nou născut să fie fată este 1=2.)














I.10. O monedă se aruncă până când apare stema de patruori sau până apare banul de patru ori (oricare apare mai întâi).Determinaţi media şi dispersia numărului de aruncări necesare.I.11. Patru bile se repartizează uniform şi independent în treiurne. Notăm cu X numărul de urne ocupate şi cu Y numărulde bile din cea de-a doua urnă. Să se determine repartiţiile şimediile celor două variabile.I.12. Se dau trei urne. Prima conţine două bile albe si douănegre, cea de-a doua conţine cinci bile albe şi trei negre, iar atreia conţine trei bile albe şi trei negre. Se extrage câte o bilădin fiecare urnă. Se cer repartiţia, media şi dispersia număruluide bile negre obţinute.I.13*. Cinci numere distincte sunt distribuite aleator uniform lacinci jucători numerotaţi de la 1 la 5. Când doi dintre jucătoriîşi compară numerele, câştigă cel care are numărul mai mare.














Mai întâi jucătorii 1 şi 2 îşi compară numerele, apoi câştigă-torul dintre ei cu jucătorul 3 şi aşa mai departe. Fie X variabilaaleatoare care numără de câte ori jucătorul 1 este câştigător. De-terminaţi repartiţia şi media lui X .I.14*. A şi B joacă următorul joc: A scrie pe o hârtie unuldintre numerle 1 sau 2 şi B trebuie să ghicească numărul scris.Dacă numărul scris este i şi B îl ghiceşte atunci B primeşte i$de la A. Dacă B greşeşte, atunci îi plăteşte 0:75$ lui A.

(a) Să presupunem că B alege 1 cu probabilitate p şi 2 cuprobabilitate (1� p). Deteminaţi câştigul mediu al lui B ,dacă A scrie (i) numărul 1, respectiv (ii) numărul 2.

(b) Să presupunem acum că A alege să scrie 1 cu probabilitateq şi 2 cu probabilitate (1� q). Determinaţi pierdereamedie al lui A, dacă B alege (i) numărul 1, respectiv (ii)numărul 2.














I.15*. Într-un meci de tenis dintre doi jucători P1 şi P2, învingecel care câştigă primul două seturi. P1 câştigă fiecare set, inde-pendent, cu probabilitatea 1=3. Notăm cu X numărul de seturijucate de P1 până la sfârşitul meciului şi cu Y numărul de seturicâştigate de P2. Să se determine repartiţiile şi mediile variabilelorX şi Y .I.16*. Probabilitatea de a apărea stema la aruncarea unei mon-ezi este 1=3. Moneda este aruncată de trei ori. Se notează cuX numărul de apariţii ale banului şi cu Y numărul maxim deapariţii consecutive ale stemei. Să se determine repartiţiile şimediile variabilelor X şi Y .I.17*. Un zar este aruncată de trei ori. X este variabila carenotează de câte ori apare un număr par, iar Y notează de câteori apare un număr prim. Să se determine repartiţiile şi mediilevariabilelor X şi Y .














I.18. Într-o urnă sunt 5 bile albe şi 4 bile roşii. Se extrage dinurnă o bilă şi se înlocuieşte cu o bilă de culoare opusă. Apoi semai extrage o bilă. Fie X numărul de bile albe şi Y numărul debile roşii extrase. Aflaţi repartiţiile variabilelor X şi Y .I.19*. Într-o urnă sunt 3 bile negre şi 5 bile verzi. Se extrage obilă din urnă şi se procedează astfel: dacă bila este neagră ea estepusă la loc în urnă împreună cu o bilă verde, iar dacă este verdese înlocuieşte cu două bile de culoare neagră. Apoi se extrageîncă o bilă. Fie X numărul de bile negre şi Y numărul de bileverzi extrase. Aflaţi repartiţiile şi mediile variabilelor X şi Y .I.20*. Se dau două urne: una conţine 2 bile albe şi 2 bile negre,iar cealaltă o bilă albă şi 2 bile negre. Se aruncă un zar, dacăapare un multiplu de 3, se extrage o bilă din prima urnă, altfel,se extrage o bilă din a doua urnă. Fie X numărul de bile alberămase în prima urnă şi Y numărul de bile negre din a douaurnă. Determinaţi repartiţiile şi mediile şi variabilelor X şi Y .














I.21*. Într-o urnă sunt 4 bile albe şi 5 bile negre. Se extragedin urnă o bilă şi se procedează astfel: dacă bila este albă ea estepusă la loc în urnă, iar dacă este neagră se înlocuieşte cu o bilăde culoare albă. Apoi se extrage încă o bilă. Fie X numărul debile albe şi Y numărul de bile negre extrase. Să se determinerepartiţiile şi mediile variabilelor X şi Y .I.22*. Într-o urnă sunt 3 bile roşii şi 4 bile negre. Se extrage dinurnă o bilă şi se înlocuieşte cu două bile de culoare opusă. Apoise extrage încă o bilă. Se notează cu X numărul de bile roşiiextrase şi cu Y numărul de bile negre rămase în urnă. Găsiţirepartiţiile, mediile şi dispersiile variabilelor X şi Y .I.23. Fie X o variabilă aleatoare care admite medie şi dispersie(E[X ] = � şi Var [X ] = �2 > 0). Calculaţi media şi disper-

sia variabileiX � �

�(aceasta este operaţia numită de standard-

izare).














I.24. Arătaţi că Var [X + Y ] + Var [X � Y ] = 2Var [X ] +

2Var [Y ].I.25. Fie X şi Y două variabile aleatoare independente cuaceeaşi medie şi dispersie. Arătaţi că M

�(X �Y )2

�= 2Var [X ].

I.26. Dacă X şi Y au aceeaşi dispersie, atunci

E[(X +Y )(X �Y )] = E[X +Y ]E[X �Y ]:













Exerciţii - repartiţia binomială

II.1. Se aruncă două monede de şapte ori. De câte ori se obţineîn medie stema pe amândouă monedele?II.2. O sursă generează independent biţi (0 cu probabilitate 0:6).

(a) Care este probabilitatea ca într-o secvenţă de şapte biţi săapară doi de 1 şi cinci de 0?

(b) Care este numărul mediu de biţi egali cu 0 într-o secvenţăde cinci biţi?

II.3. La începutul secolului XIX încercarea de a contacta pecineva prin telefon avea o probabiliate de sucees egală cu 0:75.Care era numărul mediu de succese din douăsprezece încercăride a contacta pe cineva prin telefon?














II.4. Un individ susţine că are ESP (percepţii extra-senzoriale);este testat în felul următor: o monedă este aruncată de zece orişi i se cere să ghicească în avans rezultatele. Şapte din cele zecerăspunsuri se dovedesc a fi corecte. Care este probabilitatea de afi dat un răspuns cel puţin la fel de bun dacă nu ar fi avut ESP?II.5. Un canal de comunicare transmite mesaje sub forma unorbiţi, dar datorită interferenţelor electrostatice un bit transmiseste receptat eronat cu probabilitate 0:2. Se transmite un mesajformat dintr-un singur bit; pentru a reduce erorile de receptare înloc de 0 se transmite 00000 şi 11111 în loc de 1. Dacă receptorulfoloseşte metoda majorităţii pentru a decoda mesajul, care esteprobabilitatea ca mesajul să fie decodat greşit? (Se presupunecă biţii sunt transmişi independent.)II.6. Se extrag zece cărţi dintr-un pachet de cărţi de joc, cuîntoarcere. Care este numărul mediu de trefle obţinute în celezece extrageri?














II.7. Pe un canal de comunicaţie se transmit biţi în mod aleatorşi independent (0 apare cu probabilitate 0:4). Sunt recepţionateopt perechi. Care este media şi dispersia numărului de perechi0� 1 recepţionate?II.8. Un canal de comunicaţie transmite şase secvenţe de câtetrei biţi; fiecare bit este transmis aleator şi independent (1 aparecu probabilitate 0:2). Care este media şi dispersia numărului desecvenţe 0� 1� 0 recepţionate?II.9. Se aruncă două zaruri de opt ori. De câte ori în medieapare un produs par?II.10**. Un vânzător de ziare cumpără New York Times cu0:50$ şi îl vinde cu 0:75$, dar exemplarele nevândute nu le poatereturna. Cererea pentru acest ziar urmează o distribuţie binomi-ală cu parametrii n = 8 şi p = 0:25. Care este numărul (6 8)aproximativ de exemplare pe care trebuie să le cumpere pentrua-şi maximiza profitul mediu?













Exerciţii - repartiţia geometrică

III.1. Care este numărul mediu de de aruncări a două zarurinecesar obţinerii unui produs mai mic strict decât 7? Dar a uneisume pare?III.2. Se extrag cărţi dintr-un pachet (cu întoarcere). Care estenumărul mediu de extrageri necesar obţinerii unei trefle?III.3. 1% din biţii transmişi de-a lungul unei căi de comunicaţiesunt recepţionaţi eronat. Biţii se transmit până la apariţia primeierori. Care este numărul mediu de biţi transmişi?III.4. Se extrage câte o carte dintr-un pachet de cărţi de joc,cu întoarcere, până când se obţine o figură care nu este caro.Care este numărul mediu de extrageri necesare realizării acestuieveniment?III.5. Se aruncă două zaruri de mai multe ori. Care este numărulmediu de aruncări până când exact unul dintre cele două zarurieste un număr prim? Dar numărul mediu de aruncări necesareobţinerii unei sume divizibile prin cinci?













Exerciţii - repartiţia geometrică

III.6. Pe un canal de comunicaţie se transmit biţi în mod aleatorşi independent (0 apare cu probabilitate 0:4). Biţii sunt re-cepţionaţi în perechi. Care este media şi dispersia număruluide perechi recepţionate până când apare o pereche 0� 0?III.7. Un canal de comunicaţie transmite secvenţe de câte treibiţi; fiecare bit este transmis aleator şi independent (1 apare cuprobabilitate 0:2). Care este media şi dispersia numărului desecvenţe recepţionate până când apare o secvenţă 0� 0� 1?













Exerciţii - repartiţia Poisson

IV.1. Între orele 7 şi 8 numărul mediu de accidente de pe oautostradă este 0:7. Care este probabilitatea ca într-o zi întreorele 7 şi 8

a) să se producă cel puţin trei accidente?b) să se producă exact un accident?

IV.2. O companie de transport are trei maşini pe care le închiri-ază diverşilor clienţi câte o zi întreagă. Numărul de cereri pentrumaşini pe zi este distribuit Poisson cu media � = 1:5. Să secalculeze proporţia zilelor în care

(a) nici o maşină nu este cerută;(b) este nevoie să se refuze cereri de închiriere.

IV.3. Presupunând că numărul de erori tipografice urmează odistribuţie Poisson cu o medie de 3 erori pe pagină, să se de-termine probabilitatea ca pe o pagină dată să avem cel puţin 4greşeli tipografice.














IV.4. Numărul de defecte de fabricaţie într-un cablu de fibrăoptică urmează o distribuţie Poisson: în 100m de cablu numărulmediu de defecte este 1:5

(a) Care este probabilitatea ca în 100m de cablu să existe exactdouă defecte de fabricaţie?

(b) Care este probabilitatea ca în 100m de cablu să existe celpuţin patru defecte de fabricaţie?

IV.5. Numărul de incidente aviatice lunare este de 3:5. Careeste probabilitatea ca în luna următoare

(a) să aibă loc exact 2 accidente?(b) să aibă loc cel mult un accident?

IV.6. Presupunând că numărul de aterizări pe un aeroporturmează o repartiţie Poisson cu media de 3 pe minut, să se deter-mine probabilitatea ca într-un interval de un minut să aterizezecel mult 2 avioane.














IV.7. Numărul de apeluri telefonice la recepţia unui hotel urmeazăo distribuţie Poisson cu media 2 pe minut. Să se determine prob-abilitatea ca într-un anumit minut să apară cel puţin un apel.IV.8. Numărul de cereri pentru un server web urmează o dis-tribuţie Poisson cu o medie de 4 cereri pe minut, să se determineprobabilitatea de a avea cel puţin 3 cereri într-un minut.IV.9. Numărul de asigurări de viaţă pe care le vinde un agentde asigurări urmează o distribuţie Poisson cu media 3 pe zi. Careeste probabilitatea ca într-o anumită zi agentul sa vândă cel multo asigurare?IV.10. Numărul de expoziţii de artă organizate le Palatul Cul-turii urmează o distribuţie Poisson cu media 5 pe an. Să sedetermine probabilitatea ca într-o anumit an să se organizeze celmult două astfel de expoziţii.














IV.11*. Fie X o variabilă aleatoare repartizată Poisson cu parametrul� 2 N�. Studiaţi monotonia funcţiei i 7! PfX = ig. Pentru cevaloare a lui i îşi atinge această funcţie maximul?IV.12*. Fie X o variabilă aleatoare repartizată Poisson cu parametrul�. Arătaţi că

PfX este parg =12

�e� + e��

�:

(Folosiţi dezvoltarea în serie Taylor, convergentă pe toată axa

reală, ex =Xk>0

x k

k !.)

IV.13*. Fie X o variabilă Poisson cu parametrul �. CalculaţiE[X !].













Exerciţii - repartiţii comune

V.1. Să presupunem că X şi Y au următoarea repartiţie comună

Y�3 2 4

X1 0:1 0:2 0:23 0:3 ? 0:1

Determinaţi repartiţiile individuale ale variabilelor X şi Y .

V.2. O monedă este aruncată de trei ori. Fie X o variabilă egalăcu 1 dacă apare stema şi 0 dacă apare banul la prima aruncare,iar Y o variabilă egală cu numărul de apariţii ale stemei în toatearuncările. Determinaţi repartiţia comună acelor două variabile.













Exerciţii - repartiţii comune

V.3. Fie X o variabilă aleatoare cu următoarea distribuţie şiY = X 2 0

@ �2 �1 1 214

18

14

38

1A :

Determinaţi repartiţia lui Y şi repartiţia comună a celor douăvariabile.

V.4. Într-o urnă sunt trei bile roşii şi cinci bile negre. Se extragedin urnă o bilă şi se înlocuieşte cu o bilă de culoare diferită. Apoise extrage încă o bilă. Se notează cu X numărul de bile roşii şicu Y numărul de bile negre extrase. Să se determine repartiţiacomună a variabilelor X şi Y .













Bibliography

Bertsekas, D. P., J. N. Tsitsiklis, Introduction toProbability, Athena Scietific, 2002.

Gordon, H., Discrete Probability, Springer Verlag, NewYork, 1997.

Lipschutz, S., Theory and Problems of Probability,Scahaum’s Outline Series, McGraw-Hill, 1965.

Ross, S. M., A First Course in Probability , Prentice Hall,5th edition, 1998.

Stone, C. J., A Course in Probability and Statistics,Duxbury Press, 1996.

Martie,2019olariu/curent/PS/files/probability4.pdf · Repartiţiicomune-exemplu Exemplu. Se dau...

Documents

Transcript of Martie,2019olariu/curent/PS/files/probability4.pdf · Repartiţiicomune-exemplu Exemplu. Se dau...