MARIN CHIRCIU

MARIN CHIRCIU

Matematică algebră, analiză matematică

Clasa a XII-a

- pentru pregătirea la clasă și bacalaureat -

CUPRINS

Teste de evaluare iniţială .............................................................11 .... 249

ALGEBRĂ Capitolul I. Grupuri ................................................................. 16 1. Lege de compoziţie internă (operaţie algebrică), parte stabilă, tabla operaţiei ............................................................................... 16 1.1. Proprietăţi ale legilor de compoziţie internă ............................ 19 .... 250 1.2. Evaluare sumativă ................................................................... 29 .... 251 Probleme pregătitoare pentru bacalaureat ...................................... 29 .... 251 2. Grup, exemple: grupuri numerice, grupuri de matrice, grupuri

de permutări, grupul n al claselor de resturi modulo n ................. 33

2.1. Definiţia grupului .................................................................... 33 .... 252 2.2. Grupuri numerice .................................................................... 34 2.3. Reguli de calcul într-un grup ................................................... 40 .... 254 2.4. Evaluare sumativă ................................................................... 43 .... 255 Probleme pregătitoare pentru bacalaureat ...................................... 44 .... 255 2.5. Subgrup ................................................................................... 46 .... 256 2.6. Evaluare sumativă ................................................................... 49 .... 257 Probleme pregătitoare pentru bacalaureat ...................................... 50 .... 257 2.7. Morfisme şi izomorfisme de grupuri ....................................... 51 .... 257 2.8. Evaluare sumativă ................................................................... 63 .... 259 Probleme pregătitoare pentru bacalaureat ...................................... 64 .... 259 2.9. Grup finit, tabla operaţiei, ordinul grupului, ordinul unui element .................................................................................... 66 .... 260 2.10. Evaluare sumativă ................................................................. 72 .... 261 Probleme pregătitoare pentru bacalaureat ...................................... 73 .... 261 Test de autoevaluare .......................................................................... 74 PROBLEME RECAPITULATIVE .................................................. 76 .... 262 Capitolul II. Inele şi corpuri .................................................. 82

1. Inel ....................................................................................................... 82 .... 264

1.1. Definiţia inelului, exemple: inele numerice (, , , ), n,

inele de matrice, inele de funcţii reale ............................................ 82 1.2. Reguli de calcul într-un inel .................................................... 88 .... 265

Enu

nţur

i

Sol

uţii

1.3. Morfisme şi izomorfisme de inele. Inele izomorfe ................. 93 .... 266 EXERCIŢII RECAPITULATIVE ................................................ 95 .... 266 1.4. Evaluare sumativă ................................................................. 101 Probleme pregătitoare pentru bacalaureat .................................... 102 .... 268 2. Corp ..................................................................................................... 104 .... 269

2.1. Definiţia corpului, exemple: corpuri numerice (, , ), p,

p prim, corpuri de matrice ............................................................ 104 2.2. Morfisme şi izomorfisme de corpuri ...................................... 107 EXERCIŢII RECAPITULATIVE .............................................. 113 .... 269 2.3. Evaluare sumativă ................................................................. 118 Probleme pregătitoare pentru bacalaureat .................................... 119 .... 271 Test de autoevaluare ........................................................................ 120 Capitolul III. Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ ............................................................... 122

1. Forma algebrică a unui polinom, funcţia polinomială, operaţii (adunarea, înmulţirea, înmulţirea cu un scalar) ................................. 122 2. Teorema împărţirii cu rest; împărţirea polinoamelor; împărţirea cu Xa, schema lui Horner ................................................................ 125 .... 272 3. Divizibilitatea polinoamelor ............................................................... 129 .... 272 4. Proprietăţi ale relaţiei de divizibilitate la polinoame .......................... 130 5. Teorema lui Bézout ............................................................................ 130 6. Cel mai mare divizor comun al polinoamelor .................................... 131 7. Cel mai mic multiplu comun al polinoamelor .................................... 133 8. Polinoame ireductibile. Descompunerea unor polinoame în factori ireductibili .......................................................................... 134 9. Rădăcini ale polinoamelor, relaţiile lui Viète .................................... 136 .... 272

10. Rezolvarea unor ecuaţii algebrice cu coeficienţi în , , , ,

ecuaţii binome, ecuaţii reciproce, ecuaţii bipătrate ........................... 142 .... 272 EXERCIŢII RECAPITULATIVE .............................................. 153 ..... 272 11. Evaluare sumativă ............................................................................ 156 .... 273 Probleme pregătitoare pentru bacalaureat .................................... 157 .... 274 Test de autoevaluare ........................................................................ 162

7

ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ Capitolul I. Primitive .............................................................. 164

1. Probleme care conduc la noţiunea de integrală .................................. 164 2. Primitivele unei funcţii ......................................................................... 165 3. Integrala nedefinită a unei funcţii ....................................................... 165 4. Proprietăţi ale integralei nedefinite: liniaritate ................................... 166 5. Primitive uzuale ................................................................................. 166 .... 275 6. Evaluare sumativă .............................................................................. 170 7. Metode de calcul al primitivelor ........................................................ 171 7.1. Integrarea prin părţi ................................................................ 171 .... 276 7.2. Evaluare sumativă ................................................................. 172 .... 276 7.3. Prima metodă a schimbării de variabilă ............................... 173 .... 277 7.4. A doua metodă a schimbării de variabilă ............................... 176 .... 277 7.5. Evaluare sumativă ................................................................. 177 .... 278 Test de autoevaluare ........................................................................ 178

Capitolul II. Funcţii integrabile ............................................. 180

1. Diviziuni ale unui interval [a, b], norma unei diviziuni, sistem de puncte intermediare ...................................................... 180 1.1. Sume Riemann, interpretare geometrică ............................... 180 1.2. Funcţii integrabile pe un interval [a, b] ................................. 181 1.3. Formula Leibniz – Newton ................................................... 182 1.4. Proprietăţi ale integralei definite: liniaritate, monotonie, aditivitate ................................................................... 183 1.5. Integrabilitatea funcţiilor monotone şi continue .................... 184 1.6. Teorema de medie, interpretare geometrică .......................... 184 1.7. Teorema de existenţă a primitivelor unei funcţii continue ..... 184 1.8. Metode de calcul ale integralelor definite ............................. 185 1.8.1. Formula integrării prin părţi .......................................... 185 .... 278 1.8.2. Evaluare sumativă ......................................................... 186 .... 279 1.8.3. Formula integrării prin schimbarea de variabilă ............ 186 .... 279 1.8.4. Evaluare sumativă ......................................................... 188 .... 279

1.9. Calculul integralelor de forma ( )

( )

b

a

P xdx

Q x , grad Q 4, prin

metoda descompunerii în fracţii simple ........................................ 188 .... 279 1.10. Evaluare sumativă ............................................................... 190 .... 280 Probleme pregătitoare pentru bacalaureat .................................... 190 .... 280 Test de autoevaluare ........................................................................ 198

Capitolul III. Aplicaţii ale integralei definite ........................... 200 1. Aria unei suprafeţe plane .................................................................... 200 .... 284 2. Volumul unui corp de rotaţie .............................................................. 203 .... 284 3. Calculul unor limite de şiruri folosind integrala definită ................... 205 .... 284 PROBLEME PROPUSE. Aplicaţii ale integralei definite ................ 207 .... 285 4. Evaluare sumativă .............................................................................. 209 .... 286 Test de autoevaluare ............................................................................. 209 EXERCIŢII ŞI PROBLEME RECAPITULATIVE ........................ 211 .... 286

MODELE DE TEZE SEMESTRIALE ............................................... 239 .... 304 SIMULARE BACALAUREAT ............................................................. 244 .... 305

INDICAŢII, REZOLVĂRI, SOLUŢII ................................................ 249 Soluţii teste autoevaluare ............................................................................... ...... 306

Bibliografie ........................................................................................... 309

9

PROGRAMA ŞCOLARĂ PENTRU CLASA A XII-A MATEMATICĂ

aprobată prin Ordinul Ministrului Educaţiei şi Cercetării nr. 5959/22.12.2006

TRUNCHI COMUN ŞI CURRICULUM DIFERENŢIAT - 4 ore

Competenţe specifice Conţinuturi 1. Identificarea proprietăţilor opera-ţiilor cu care este înzestrată o mulţime. 2. Evidenţierea asemănărilor şi deose-birilor dintre proprietăţile unor opera-ţii definite pe mulţimi diferite şi dintre calculul polinomial şi cel cu numere. 3.1. Determinarea şi verificarea pro-prietăţilor structurilor algebrice, inclu-siv verificarea faptului că o funcţie dată este morfism sau izomorfism. 3.2. Folosirea descompunerii în fac-tori a polinoamelor, în probleme de divizibilitate şi în rezolvări de ecuaţii. 4. Utilizarea proprietăţilor operaţiilor în calcule specifice unei structuri algebrice. 5.1. Utilizarea structurilor algebrice în rezolvarea unor probleme de arit-metică. 5.2. Determinarea unor polinoame, funcţii polinomiale sau ecuaţii alge-brice care verifică condiţiile date. 6.1. Transferarea, între structuri izo-morfe, a datelor iniţiale şi a rezul-tatelor, pe baza proprietăţilor opera-ţiilor. 6.2. Modelarea unor situaţii practice utilizând noţiunea de polinom sau de ecuaţie algebrică.

Elemente de algebră Grupuri

• Lege de compoziţie internă (operaţie alge-brică), tabla operaţiei, parte stabilă.

• Grup, exemple: grupuri numerice, grupuri de

matrice, grupuri de permutări, n.

• Morfism, izomorfism de grupuri. • Subgrup. • Grup finit, tabla operaţiei, ordinul unui ele-

ment.

Inele şi corpuri

• Inel, exemple: inele numerice (, , , ),

n, inele de matrice, inele de funcţii reale.

• Corp, exemple: corpuri numerice (, , ,

), p, p prim, corpuri de matrice.

• Morfisme de inele şi corpuri.

Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ (, , , p, p prim)

• Forma algebrică a unui polinom, funcţia polinomială, operaţii (adunarea, înmulţirea, înmulţirea cu un scalar).

• Teorema împărţirii cu rest; împărţirea poli-noamelor, împărţirea cu X a, schema lui Horner.

• Divizibilitatea polinoamelor, teorema lui Bézout; c.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. al unor polinoame, descompunerea unor polinoame în factori ireductibili.

• Rădăcini ale polinoamelor, relaţiile lui Viète. • Rezolvarea ecuaţiilor algebrice cu coeficienţi

în , , , , ecuaţii binome, ecuaţii recipro-

ce, ecuaţii bipătrate. 1. Identificarea legăturilor dintre o funcţie continuă şi derivata sau primi-tiva acesteia.

Elemente de analiză matematică • Probleme care conduc la noţiunea de integrală.

10

Competenţe specifice Conţinuturi 2. Identificarea unor metode de cal-cul ale integralelor, prin realizarea de legături cu reguli de derivare. 3. Utilizarea algoritmilor pentru calcu-larea unor integrale definite.

4. Explicarea opţiunilor de calcul al integralelor definite, în scopul opti-mizării soluţiilor.

5. Folosirea proprietăţilor unei funcţii continue, pentru calcularea integralei acesteia pe un interval. 6.1. Utilizarea proprietăţilor de mono-tonie a integralei în estimarea valorii unei integrale definite şi în probleme cu conţinut practic.

6.2. Modelarea comportării unei func-ţii prin utilizarea primitivelor sale.

Primitive (antiderivate)

• Primitivele unei funcţii. Integrala nedefinită a unei funcţii, proprietăţi ale integralei nedefi-nite: liniaritate. Primitive uzuale.

Integrala definită • Diviziuni ale unui interval a, b, norma unei

diviziuni, sistem de puncte intermediare. Sume Riemann, interpretare geometrică. Definiţia inte-grabilităţii unei funcţii pe un interval a, b.

• Proprietăţi ale integralei definite: liniaritate, monotonie, aditivitate în raport cu intervalul de integrare. Integrabilitatea funcţiilor continue.

• Teorema de medie, interpretare geometrică, teorema de existenţă a primitivelor unei funcţii continue.

• Formula LeibnizNewton. • Metode de calcul al integralelor definite: inte-

grarea prin părţi, integrarea prin schimbare de variabilă. Calculul integralelor de forma

( )

( )

b

a

P xdx

Q x , grad Q 4,

prin metoda descompunerii în fracţii simple.

Aplicaţii ale integralei definite • Aria unei suprafeţe plane. • Volumul unui corp de rotaţie. • Calculul unor limite de şiruri folosind inte-grala definită.

Notă: Se utilizează exprimarea „proprietate” sau „regulă”, pentru a sublinia faptul că se face referire la un rezultat matematic utilizat în aplicaţii, dar a cărui demonstraţie este în afara programei.

TEME DE SINTEZĂ Notă: Se vor aloca ore pentru teme de sinteză şi pentru rezolvarea de probleme

pregătitoare pentru examenul de bacalaureat.

11

Teste de evaluare inițială

Testul 1 Pentru rezolvarea corectă a cerințelor din Partea I și din Partea a II-a se acordă 90 puncte. Din oficiu 10 puncte. Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru efectiv: 50 minute. Partea I. La exercițiul 1 stabiliți valoarea de adevăr corespunzătoare fiecărei propoziții matematice. La exercițiile 2, 3, 4 scrieți litera corespunză-toare răspunsului corect. (40 puncte) 1. Pentru fiecare dintre propozițiile matematice următoare scrieți (A) dacă

aceasta este adevărată și (F) dacă aceasta este falsă: 2p a) det (A B) = det A det B, oricare ar fi A, B M2 ();

2p b) AB = BA, oricare ar fi A, B M2 ();

2p c) (AB)C= A(BC), oricare ar fi A, B, C M2 ();

2p d) AtA = AAt = I2, oricare ar fi A M2 ();

2p e) A M2 () | det A 0 = A M2 () | A este inversabilă.

10p 2. Se consideră matricea A =1 2 32 3 13 1 2

M3 (). Numărul det (A 2I3)

este egal cu: A. 4 B. 2 C. 0 D. 4

10p 3. Se consideră funcția f : (0, +) , f (x) = 2ex + x + ln x. Derivata

f ʹ(x) este egală cu:

A. 1 1

2 xexx

B. 1 1

22

xexx

C. 1 1xe

xx D.

1 1

2xe

xx

10p 4. Se consideră funcția g : , 2 2

, g (x) = xsin x + 3tg x. Derivata

gʹ (x) este egală cu:

A. sin x + xcos x +2

3

cos x B. 1 + cos x +

3

tg x

C. sin x + xcos x 2

1

cos x D. sin x xcos x +

2

1

cos x

12

Partea a II-a. La următoarele probleme se cer rezolvări complete. (50 puncte)

1. Se consideră matricele A =1 32 3

și B =3 32 1

.

10p a) Arătați că A B = 3I2. 10p b) Determinați inversa matricei A.

2. Se consideră funcția f : , f (x) =

1, 0

21

, 02

xx

xx

xx

.

10p a) Verificați dacă funcția f este continuă în punctul x0 = 0. 10p b) Determinați intervalele de monotonie ale funcției f.

10p c) Arătați că f (x) 1

, 12

, oricare ar fi x .

Testul 2 Pentru rezolvarea corectă a cerințelor din Partea I și din Partea a II-a se acordă 90 puncte. Din oficiu 10 puncte. Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru efectiv: 50 minute. Partea I. Completaţi spaţiile punctate astfel încât să obţineţi propoziţii adevărate. (40 puncte) 5p 1. În mulțimea S3 a permutărilor de 3 elemente se consideră permutările

=1 2 32 1 3

și = 1 2 33 1 2

. Soluția ecuației x = este ................


. Matricea 3A3 este .............

5p 3. Produsul soluțiilor ecuației 1 11 22 1 1

xx

= 0 este egal cu .............

5p 4. Aria triunghiului care are vârfurile A(0, 1), B(1, 2), C(3, 2) este ........

5p 5. Cel mai mic număr natural n, pentru care matricea 2 1

11 3

xx x

n

este

inversabilă pentru orice x , este ................

5p 6. Numărul real L =2

7 3lim

2x

x

x

este egal cu ....................

13

5p 7. Ecuația tangentei în punctul x0 = 1 la graficul funcției f : , f (x) =

= x2 + 2x, este ....................

5p 8. Se consideră funcția f : , f (x) =2 3

x

x . Numărul d =

1

( ) ( 1)lim

1x

f x f

x

este egal cu ..........................



și B =0 22 2

.

5p a) Calculați AB BA. 10p b) Calculați (BA)n, unde n *.

20p 2. Arătați că ecuația x3 + 3x 7 = 0 are o singură soluție reală. 5p 3. a) Dați un exemplu de funcție f : care este continuă, dar nu e

derivabilă în punctul x0 = 1. 5p b) Dați un exemplu de funcție g : care are exact două puncte de

extrem local. 5p c) Dați un exemplu de funcție h : care are un singur punct de

inflexiune.

Testul 3 Pentru rezolvarea corectă a cerințelor din Partea I și din Partea a II-a se acordă 90 puncte. Din oficiu 10 puncte. Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru efectiv: 50 minute. Partea I. Completaţi spaţiile punctate astfel încât să obţineţi propoziţii adevărate. (40 puncte) 5p 1. În mulțimea S3 a permutărilor de 3 elemente se consideră permutările

=1 2 33 1 2

și = 1 2 32 1 3

. Soluția ecuației x = este ................


M3(). Matricea 2A2 este ...........

5p 3. Suma soluțiilor ecuației 2 13 21 2 3

xx

= 0 este egală cu ..............

5p 4. Aria triunghiului care are vârfurile A(0, 1), B(1, 2), C(4, 1) este ...........

14

5p 5. Cel mai mic număr natural nenul k, pentru care matricea 2 3

11 2

xx x

k

din

M3() este inversabilă pentru orice x , este ................

5p 6. Numărul real L =1

2 3lim

1x

x

x

este egal cu ....................

5p 7. Ecuația tangentei în punctul x0 = 1 la graficul funcției f : , f (x) =

= x2 x, este ....................

5p 8. Se consideră funcția f : , f (x) =2 4

x

x

. Numărul d =1

( ) (1)lim

1x

f x f

x

este egal cu ..........................



și B =0 11 1

.

5p a) Calculați AB BA. 10p b) Calculați (AB)n, unde n *.

20p 2. Arătați că ecuația x3 3x + 6 = 0 are o singură soluție reală.

5p 3. a) Dați un exemplu de funcție f : care este continuă, dar nu e

derivabilă în punctul x0 = 1. 5p b) Dați un exemplu de funcție g : care are exact două puncte de

extrem local. 5p c) Dați un exemplu de funcție h : care are un singur punct de

inflexiune.

Testul 4 Subiectul I

1. Calculați 1 1

1 2 1 2i i

.

2. Rezolvați în inecuația x2 10x + 12 0.

3. Determinați inversa funcției f : (1, ) (0, ), f (x) = 3log2 x.

4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr ab din mulțimea nume-relor naturale de două cifre, să avem a b.

5. Determinați coordonatele vârfului D al paralelogramului ABCD, știind că A(2, 9), B(7, 4) și C(8, 3).

15

6. Triunghiul ABC are B =3

și lungimea razei cercului circumscris R = 1.

Calculați lungimea laturii AC. Subiectul II

Se consideră matricea A =1 2 2

2 2 1

.

a) Calculați rangul matricei A. b) Calculați determinantul matricei B = At A. c) Determinați o matrice nenulă C M3,2 (), astfel încât AC = O2.

Subiectul III Se consideră funcția f : , f (x) = ln (x2

+ 2) ln (x2 + 1).

a) Calculați f ʹ(x), x , și precizați monotonia.

b) Calculați 0

( ) (0)limx

f x f

x

.

c) Arătați că 0 f (x) ln 2, x .

16

Capitolul I. Grupuri

1. Lege de compoziţie internă (operaţie algebrică), parte stabilă, tabla operaţiei

Lege de compoziţie internă (operaţie algebrică)

Definiţie. Spunem că pe mulţimea M este definită o lege de compoziţie internă dacă oricărei perechi ordonate de elemente din M i se asociază un element bine determinat, aparţinând aceleiaşi mulţimi M. În limbaj formal, avem definiţia echivalentă:

Fie M, o mulţime nevidă. O aplicaţie : M M M, (x, y) (x, y) se

numeşte lege de compoziţie (operaţie algebrică) pe mulţimea M.

Elementul unic determinat (x, y) din M se numeşte compusul lui x cu y.

Observaţie. Pentru compusul (x, y) utilizăm şi alte simboluri, cum ar fi: x y; x y; x y; x y etc.

Diagrama legii de compoziţie internă

Exerciţiu rezolvat

Fie M = [1, ) şi legea de compoziţie x y = x + y + xy, x, y[1, ). Demonstraţi că „” este lege de compoziţie internă pe M. Soluţie. Vom demonstra că, pentru orice x, y M, avem x y M. Într-adevăr: x, y [1, ), avem x y[1, ) x + y + xy 1 x + y + xy + 1 0 (x + 1)(y + 1) 0, evident, deoarece x + 1 0 şi y + 1 0, pentru x 1 şi y 1.

x,y M (x, y) M

M

(x, y) x

y

17

Exerciţiu propus

Fie 1,

2M

şi legea de compoziţie x y = x + y + 2xy, x, y

1,

2

. Demonstraţi că „” este lege de compoziţie internă pe M.

Parte stabilă. Lege de compoziţie indusă

Definiţie. Fie M, o mulţime nevidă pe care s-a definit o lege de compoziţie

internă . O submulţime nevidă H a lui M se numeşte parte stabilă a lui M în

raport cu legea de compoziţie dacă x, y H (x, y) H.

Dacă H este o parte stabilă a lui M în raport cu legea de compoziţie

internă pe M, atunci pe H putem defini legea de compoziţie:

' : H H H, '(x, y) def (x, y) H, x, y H.

Spunem că ' este lege de compoziţie indusă pe H de către legea de

compoziţie de pe M.

Exerciţiu rezolvat

Fie 1

cos sin( ) 2

2sin cos

x xM A x x

x x

M2().

Demonstraţi că M este parte stabilă a mulţimii M2() în raport cu

înmulţirea matricelor. Soluţie. Vom demonstra că, pentru orice A(x), A(y) M, avem A(x) A(y) M.

Avem 1 1

cos sin cos sin( ) ( ) 2 2

2sin cos 2sin cos

x x y yA x A y

x x y y

= 1 1

cos cos sin sin sin cos cos sin2 2

2sin cos 2cos sin cos cos sin sin

x y x y x y x y

x y x y x y x y

= 1

cos( ) sin( )( )2

2sin( ) cos( )

x y x yA x y

x y x y

M.

18

Exerciţiu propus

Fie 1

cos sin( ) 3

3sin cos

x xM A x x

x x

M2().

Demonstraţi că M este parte stabilă a mulţimii M2() în raport cu înmulţirea

matricelor.

Tabla operaţiei (legii de compoziţie)

Definiţie. Fie M, o mulţime finită, M = {x1, x2, …, xn}, şi , o lege de compoziţie internă pe M. : M M M, (x, y) (x, y).

În acest caz, legea de compoziţie poate fi dată tabelar prin:

x1 x2 … xj … xn x1 x2

xi …… …… …… (xi, xj)

xn

Figura 2

Tabla operaţiei asociată legii de compoziţie pe mulţimea finită M = {x1, x2, …, xn} este un tabel cu n linii şi n coloane corespunzătoare elementelor mulţimii M, astfel încât la intersecţia liniei i cu coloana j se află compusul (xi, xj) al elementului xi cu elementul xj prin operaţia , după modelul din figura 2. Această organizare tabelară se mai numeşte tabla lui Cayley asociată legii de compoziţie pe mulţimea finită M.

Exerciţiu rezolvat

Fie M2(), mulţimea matricelor pătratice de ordin doi, cu coeficienţi în ,

şi H, o submulţime a sa, H = {E, A, B, C}, unde 1 00 1

E

, 0 11 0

A

,

19

1 00 1

B

, 0 11 0

C . Întocmiţi tabla operaţiei de înmulţire pe mulţimea H şi

arătaţi că H este o parte stabilă a lui M2() în raport cu această operaţie.

Soluţie. Tabla operaţiei induse pe H = {E, A, B, C} de înmulţirea matricelor din

M2() este:

E A B C E E A B C A A B C E B B C E A C C E A B

Deducem că X, Y H X Y H, deci H este o parte stabilă a lui M2() în raport cu înmulţirea matricelor.

Exerciţiu propus

Fie matricea 0 0 11 0 00 1 0

A

şi mulţimea de matrice

*nH A n M3().

Arătaţi că 23, ,H A A I şi alcătuiţi tabla operaţiei induse pe H de

înmulţirea matricelor din M3().

1.1. Proprietăţi ale legilor de compoziţie internă

Asociativitatea

Fie M, o mulţime nevidă pe care s-a definit legea de compoziţie internă „”,

: M M M; (x, y) x y.

Ne propunem să verificăm dacă rezultatul calculului (x y) z (adică rezultatul dintre compusul lui x y şi z) coincide cu rezultatul x (y z) (adică rezultatul dintre x şi y z). În acest sens, avem următoarea definiţie.

Definiţie. O lege de compoziţie : M M M, (x, y) x y, se numeşte

asociativă dacă:

20

(x y) z = x (y z), x, y, z M.

Exerciţiu rezolvat

Pe se defineşte legea de compoziţie „” prin

x y = x + y + 1, x, y .

Arătaţi că legea „” este asociativă. Soluţie. Avem: (x y) z = (x + y + 1) z = (x + y + 1) + z + 1 = x + y + z + 2 (1), iar x (y z) = x (y + z + 1) = x + (y + z + 1) + 1 = x + y + z + 2 (2). Din (1) şi (2) deducem că (x y) z = x (y z), x, y, z , deci legea

de compoziţie „” este asociativă.

Exerciţiu propus

Pe mulţimea a numerelor întregi definim legea de compoziţie internă „” prin:

x y = x + y + k, x, y ,

unde k este un număr întreg dat.

Să se arate că legea de compoziţie „” este asociativă. Comutativitatea Definiţie. Fie M, o mulţime nevidă pe care s-a definit o lege de compoziţie internă „”, : M M M, (x, y) x y.

Legea de compoziţie „” este comutativă dacă: x y = y x, x, y M.

Exerciţiu rezolvat

Fie 1 0

( ) 0 1 00 1

x xM A x x

x x

. Demonstraţi că înmulţirea

matricelor din M este o operaţie comutativă.

21

Soluţie. Avem A(x) A(y) = 1 0 1 0

0 1 0 0 1 00 1 0 1

x x y y

x x y y

1 ( 2 ) 0 20 1 0 ( 2 ) ( 2 )

2 0 1 ( 2 )

x y xy x y xyA x y xy A y x yx

x y xy x y xy

( ) ( )A y A x .

Exerciţiu propus

Fie 0

( , ) 0 1 0 , 0

a bG M a b a b

b a

.

Arătaţi că înmulţirea matricelor din G este comutativă. Element neutru Definiţie. Fie M, o mulţime nevidă pe care s-a definit o lege de compoziţie internă „”, : M M M, (x, y) x y. Un element e M se numeşte element neutru pentru această lege de compoziţie „” dacă: x e = e x = x, x M.

Exerciţiu rezolvat

Pe mulţimea a numerelor raţionale definim operaţia:

2

xyx y x y , x,y .

Cercetaţi dacă operaţia „” admite element neutru.

Soluţie. Studiem dacă există e , astfel încât e x = x e = x, x .

Din e x = x, x , obţinem 2

exe x x , x 1 0

2

xe

,

x e = 0. Deducem că 0 x = x 0 = x, x , adică e = 0 este element

neutru pentru legea de compoziţie „”.

22

Exerciţiu propus

Pe mulţimea a numerelor raţionale diferite de 3 se defineşte operaţia „”

prin:

3

xyx y x y , x ,y .

Cercetaţi existenţa elementului neutru. Elemente simetrizabile Definiţie. Un element x M se numeşte simetrizabil în raport cu legea de compoziţie „” dacă există x M, astfel încât: x' x = x x' = e. Elementul x' se numeşte simetricul lui x în raport cu legea de compoziţie „”. Observaţii: 1. În notaţie aditivă, simetricul lui x se notează x şi se numeşte opusul lui x. Avem ( x) + x = x + ( x) = 0. 2. În notaţie multiplicativă, simetricul lui x se notează x 1 şi se numeşte inversul lui x.

Avem: 1 1 1x x x x . 3. Se notează U(M) mulţimea tuturor elementelor simetrizabile ale lui M în raport cu legea de compoziţie internă „”, asociativă şi cu element neutru. Teoremă. Fie legea de compoziţie internă „” pe mulţimea M, astfel încât „” este asociativă şi admite elementul neutru e. Dacă x M este simetrizabil, atunci simetricul său x' este unic. Teoremă. Dacă x, y M sunt elemente simetrizabile în raport cu o lege de compoziţie „” pe M (asociativă şi cu elementul neutru e), atunci x y şi x' sunt simetrizabile şi au loc egalităţile: a) (x y)' = y' x'; b) (x')' = x.

Exerciţiu rezolvat

Fie matricea A M2(), a b

Ac d

, cu ad + bc = 1.

Demonstraţi că A este inversabilă (simetrizabilă în raport cu operaţia de

înmulţire din M2()) şi inversa 1A M2().

23

Soluţie. Cum det A = ad + bc = 1 0, deducem că A este inversabilă. Avem:

t a cA

b d

; *d b

Ac a

; 1 1

*det

d bA A

c aA

M2().

Se verifică imediat că 1 12A A A A I .

Exerciţiu propus

În mulţimea M2(), fie matricea 2 3

2a b

Ab a

, cu 2 24 3 1a b .

Demonstraţi că A este inversabilă şi arătaţi că 1A M2().

Exerciţii rezolvate

1. Fie R5 = {0, 1, 2, 3, 4} , mulţimea resturilor modulo 5 ale împărţirii

tuturor numerelor întregi prin 5. Să se alcătuiască tablele operaţiilor induse pe R5 de adunarea şi înmulţirea modulo 5; să se deducă din tablele întocmite proprietăţile operaţiilor (asociativitate, comutativitate, element neutru, elemente simetrizabile).

Soluţie. 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4

0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 1 2 3 4 0 1 0 1 2 3 4 2 2 3 4 0 1 2 0 2 4 1 3 3 3 4 0 1 2 3 0 3 1 4 2 4 4 0 1 2 3 4 0 4 3 2 1

Deducem: a) Adunarea modulo 5 este asociativă, comutativă, admite element

neutru pe „0” şi orice element din R5 admite simetric (opus) în raport cu

adunarea şi acesta este tot din R5; avem 0 = 0; 1 = 4; 2 = 3; 3 = 2; 4 = 1.

b) Înmulţirea modulo 5 este asociativă, comutativă, admite element neutru pe „1”

şi orice element nenul din R5 admite simetric (invers) în raport cu înmulţirea şi

acesta este tot din R5; avem 11 1 ; 12 3 ; 13 2 ; 14 4 , adică U(R5) =

= {1, 2, 3, 4} este mulţimea elementelor inversabile din R5.

24

2. Pentru ce valori ale parametrului real intervalul (3, ) este o parte stabilă a

lui în raport cu legea de compoziţie „”, definită prin:

x y = xy 3x 3y + , x, y ?

Soluţie. Cum x,y (3, ), avem x 3 0, y 3 0, deci (x 3)(y 3) 0, adică xy 3x 3y + 9 0. Avem x y =

0

3 3 9 9 9xy x y

. Trebuie

ca − 9 3. Deducem 12.

3. Fie 1 0 2

( ) 0 1 0 10 0 1

xM A x x

x

.

a) Să se arate că M este o parte stabilă a lui M3() în raport cu operaţia de

înmulţire a matricelor. b) Studiaţi proprietăţile referitoare la asociativitate, comutativitate, element neutru, elemente simetrizabile în raport cu operaţia de înmulţire a matricelor din M.

Soluţie. a) Avem: 1 0 2 1 0 2 1 0 2( )

( ) ( ) 0 1 0 0 1 0 0 1 00 0 1 0 0 1 0 0 1

x y x y xyA x A y

x y x y xy

( )A x y xy şi x + y + xy − 1 (x + 1)(y + 1) 0, evident, deoarece x −1

şi y − 1. b) Înmulţirea matricelor este o operaţie asociativă. Din A(x) A(y) = A(x + y + xy) = A(y + x + yx) = A(y) A(x), deducem că înmulţirea matricelor din M este comutativă. A(0) este elementul neutru, deoarece A(0) A(x) = A(x) A(0) = A(x)

Pentru element simetrizabil cercetăm dacă există A(x') M, astfel încât A(x) A(x') = A(x') A(x) = A(0).

Avem A(x) A(x') = A(x + x' + xx') = A(0) x + x' + xx' = 0

'1

xx

x

1.

Deducem că orice element din M este simetrizabil în raport cu înmulţirea

(adică inversabil) şi inversa matricei A(x) este matricea 1

xA

x

M.

25

Exerciţii propuse

1. Fie R6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} , mulţimea resturilor împărţirii unui număr

întreg dat la 6. Să se alcătuiască tablele operaţiilor induse pe R6 de adunarea şi înmulţirea modulo 6. Să se deducă din tablele întocmite proprietăţile operaţiilor (asociativitate, comutativitate, element neutru, elemente simetrizabile).

2. Rezolvaţi în R6 ecuaţiile: a) 3 x = x 3; 5 x = x 5; b) 3 x 2 = 5; c) 4 x 3 = 2, unde şi sunt simbolurile adunării şi înmulţirii modulo 6. (Remarcă: operaţia are prioritate faţă de ).

3. Arătaţi că submulţimea H = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} este o parte stabilă a lui

în raport cu legea de compoziţie: , (x, y) x y

şi alcătuiţi tabla operaţiei induse.

4. Pentru ce valori ale parametrului intervalul (a, ), unde a , este o parte

stabilă a lui în raport cu legea de compoziţie „”, dată prin:

x y = xy ax ay + , x, y .

5. Fie 1 0

( ) 0 1 0 10 0 1

axM A x x

x

, unde a este fixat.

a) Să se arate că M este o parte stabilă a lui M3() în raport cu operaţia de

înmulţire a matricelor. b) Studiaţi proprietăţile referitoare la asociativitate, comutativitate, element neutru, elemente simetrizabile.

6. Pe mulţimea G = ( a, ), unde a , a fixat, se defineşte legea de

compoziţie „”, dată prin x y = xy + ax + ay + a(a 1), x, y .

a) Să se arate că G este o parte stabilă a lui în raport cu operaţia „”.

b) Studiaţi proprietăţile referitoare la asociativitate, comutativitate, element neutru, elemente simetrizabile.

7. Fie a,b,c , b 0. Pe definim legea de compoziţie „” prin:

def

( )x y axy b x y c , () x, y .

a) Arătaţi că legea de compoziţie „” este asociativă dacă şi numai dacă 2 0b b ac .

26

b) Dacă 2 0b b ac , legea de compoziţie „” are element neutru dacă şi numai dacă bc.

8. Pe mulţimea (0, ) definim legile de compoziţie:

a b def

2

a b (media aritmetică);

a b def ab (media geometrică);

a b def

21 1

a b

(media armonică);

a b def

2 2

2

a b (media pătratică);

oricare ar fi a,b (0, ). Arătaţi că aceste legi de compoziţie sunt comutative. Admit element neutru?

9. Pe M2() se defineşte legea de compoziţie „” prin:

A B def AB BA, A, B M2().

Arătaţi că legea de compoziţie nu este comutativă, nu este asociativă şi nu admite element neutru.

Calculaţi (A B) C + (B C) A + (C A) B, A, B, C M2().

10. a) Pe M2() se defineşte legea de compoziţie „” prin:

A B def AB + BA, A, B M2().

Arătaţi că legea de compoziţie este comutativă şi nu este asociativă. Admite element neutru?

b) Pe mulţimea , , a b

M a b a bb a

se defineşte legea de compo-

ziţie „” prin: A B = AB + BA, A, B M. Arătaţi că legea „” este comutativă, asociativă, admite element neutru şi determinaţi elementele simetrizabile.

11. Pe definim legea de compoziţie

, (x, y) x y, unde x y = x + y + 3xy.

Arătaţi că această lege de compoziţie este comutativă, asociativă şi admite element neutru.

Intervalul 1,

3

este o parte stabilă a lui în raport cu legea de compoziţie „”?

12. Determinaţi părţile stabile finite ale lui în raport cu înmulţirea.

27

13. Fie H, mulţimea numerelor reale de forma a + b 3 , cu a, b , care

satisface condiţia 2 23 1a b .

Arătaţi că H este o parte stabilă a lui în raport cu înmulţirea şi că toate

numerele lui H sunt inversabile. 14. Arătaţi că mulţimea H = [3, ) este o parte stabilă a lui în raport cu

operaţia x y = xy + 3(x + y) + 6.

15. Fie M, mulţimea matricelor 1 0

( ) 0 1 0

0 0 x

xA x

e

, unde x . Arătaţi că

înmulţirea matricelor este internă pe M, este comutativă, asociativă, admite element neutru şi orice element din M este inversabil.

16. Fie M, mulţimea matricelor 1 ln 0

( ) 0 1 00 0

xA x

x

, unde x 0. Arătaţi că

înmulţirea matricelor este lege de compoziţie internă pe M, este comutativă, asociativă, admite element neutru şi orice element din M este inversabil.

17. Fie H = [3, ] şi operaţia „” pe H, 2 2 9x y x y .

Cercetaţi proprietăţile operaţiei „”. Determinaţi elementele simetrizabile.

18. Fie H = [2, ] şi operaţia „” pe H, x y = 3xy 6(x +y) + 14. Cercetaţi proprietăţile operaţiei „”. Determinaţi elementele simetrizabile.

19. Fie H = \ {2} şi 2

x yx y x y

, x, y H.

Arătaţi că operaţia „” este internă, comutativă, asociativă, admite element neutru şi orice element din H este simetrizabil.

20. Pe se definesc legile de compoziţie „” şi „ ” prin:

x y = 3(x + y) + 5xy + 2; x y = 2(x + y) + 2xy + 1, x, y .

a) Cercetaţi dacă cele două legi de compoziţie sunt asociative şi dacă admit element neutru.

b) Să se rezolve sistemul ( ) 4 60( ) 3 39x yx y

.

21. Pe se definesc legile de compoziţie „” şi „ ” prin:

x y = x + y + 2xy + 1 şi x y = 2x + 2y + xy + 1, x, y .

a) Studiaţi proprietăţile legilor de compoziţie „” şi „ ”.

28

b) Rezolvaţi în sistemul 2 2

2 2

5

6

x y

x y

.

22. Pe + se definesc legile de compoziţie:

x y = 2(x + y) + xy + 1; x y = x + y + 2xy + 1, x,y +.

a) Studiaţi proprietăţile acestor legi de compoziţie.

b) Rezolvaţi sistemul 2 2

2 2

6

5

x y

x y

.

23. Pe se defineşte legea de compoziţie:

(a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc). Determinaţi elementul unitate şi elementele simetrizabile.

24. Pe se defineşte legea de compoziţie x y = xy 4(x + y) + 20, x, y.

a) Arătaţi că H = (3, 5) este o parte stabilă a lui în raport cu legea „”.

b) Arătaţi că legea „” este comutativă şi asociativă. Admite legea „” element neutru în H ?

25. Pe mulţimea + a numerelor raţionale pozitive se defineşte operaţia „” astfel

încât pentru orice x, y, z + să avem:

(1) (x y) (z t) = (x z) (y t); (2) x x = 1; (3) x 1 = x. Calculaţi 13 14.

26. Să se arate că înmulţirea numerelor complexe este lege de compoziţie internă pe Un = {z z n = 1}. (Un este mulţimea rădăcinilor de ordinul n ale unităţii).

27. Fie [i] = {a + bia,b } (mulţimea întregilor lui Gauss).

Să se arate că înmulţirea este lege de compoziţie internă pe [i], comutativă,

asociativă şi admite element neutru. Să se determine elementele simetrizabile,

adică U([i]).

28. Pe mulţimea a numerelor complexe se defineşte legea de compoziţie „”

prin: 1z 2z = 1z + 2z 1z 2z , 1z , 2z .

a) Arătaţi că submulţimea H = \ {1} este o parte stabilă a lui în raport cu

legea de compoziţie „”. b) Studiaţi proprietăţile operaţiei „” referitoare la comutativitate, asociativi-tate, element neutru, elemente simetrizabile.

29

1.2. Evaluare sumativă

Testul I 1. a) Pe mulţimea (0, ) se defineşte operaţia: x y = 2 2log logx y .

Să se arate că mulţimea [2, ) este parte stabilă în raport cu operaţia „”. b) Pe mulţimea (0, ) se defineşte operaţia: x y = log loga ax y , unde a 1 este fixat. Să se determine valorile lui a, pentru care mulţimea [a, ) este parte stabilă în raport cu operaţia „”.

2. a) Pe mulţimea a numerelor reale se defineşte legea de compoziţie:

1

( 1)2

x y x y xy , x, y .

Să se arate că această lege este asociativă, comutativă şi are element neutru. Să se determine elementele simetrizabile.

b) Pe se defineşte operaţia 1

( 1)x y x y xy kk

, x, y , unde

k * este fixat. Arătaţi că operaţia este asociativă, comutativă şi admite

element neutru. Să se determine elementele simetrizabile.

3. a) Fie M, mulţimea matricelor 1 0 0

( ) 2 1 0

0 0 x

A x x

e

, unde x . Arătaţi că

înmulţirea matricelor este operaţie internă pe M, este comutativă, asociativă, admite element neutru şi orice element din M este simetrizabil.

b) Fie M, mulţimea matricelor 1 0 0

( ) 1 0

0 0 x

A x ax

e

, unde x , iar a

este fixat. Arătaţi că înmulţirea matricelor este internă pe M, este comutativă, asociativă, admite element neutru şi orice element din M este inversabil.

Probleme pregătitoare pentru bacalaureat 1. Pentru a, b din mulţimea M = [0, ) se defineşte a b = ln(ea + eb − 1).

a) Să se arate că, pentru orice a,b M, a b M. b) Să se arate că legea de compoziţie „” este asociativă.

30

c) Pentru n , n 2, să se determine a M, astfel încât de ori

... 2n a

a a a a .

(Bacalaureat 2008, M1, varianta 2)

2. Pe mulţimea se defineşte legea de compoziţie x y = x + y + xy.

a) Să se arate că legea „” este asociativă.

b) Să se calculeze 1 1 1

1 ...2 3 2008

.

c) Să se afle toate numerele reale a, pentru care mulţimea M = [a, ) este o parte stabilă a lui în raport cu legea de compoziţie „”.


3. Pe mulţimea se consideră legea de compoziţie xy = axy − x − y + 6, x,

y , unde a este o constantă reală.

a) Pentru 1

3a , să se demonstreze că legea „” este asociativă.

b) Să se arate că legea „” admite element neutru dacă şi numai dacă 1

3a .

c) Să se arate că, dacă operaţia „” este o lege de compoziţie pe intervalul

[0; 6], atunci a 1 1

;6 3

. (Bacalaureat 2008, M1, varianta 34)

4. Se consideră mulţimile G = (−1, 1) şi P = (0, ), funcţia : G ,

1( )

1

xf x

x

, şi corespondenţa (x, y)

1

x yx y

xy

, x, y G.

a) Să se arate că această corespondenţă defineşte o lege de compoziţie pe G. b) Să se arate că x, y G, (x y) = (x) (y).

c) Să se calculeze 1 1 1

...2 3 99 . (Bacalaureat 2008, M1, varianta 45)

5. Se consideră matricele 21 0

0 1I

, 1 2

3 1A

şi mulţimea K = {a · I2 + b · A

a, b }.

a) Să se arate că A2 = K. b) Să se arate că mulţimea K este parte stabilă în raport cu înmulţirea matricelor din 2 ( )M .

c) Să se arate că, pentru orice X K, X 02, există Y K, astfel încât X · Y = I2. (Bacalaureat 2008, M1, varianta 88)

6. Fie 3 2

6 4A

şi mulţimea M = {X(a)X(a) = I2 + a · A, a }.

31

a) Să se demonstreze că X(a) · X(b) M, a, b .

b) Să se arate că există e , astfel încât X(a) · X(e) = X(a), a .

c) Să se calculeze produsul X(2) · X(3) · … · X(2008). (Bacalaureat 2008, M1, varianta 94)

7. Pe mulţimea numerelor reale definim operaţia x y = xy + 4x + 4y + 12, x,y.

a) Să se verifice că x y = (x + 4)(y + 4) − 4, x, y .

b) Să se calculeze x (−4). c) Ştiind că operaţia este asociativă, să se calculeze: (−2008) (−2007) … 2007 2008.

(Bacalaureat 2008, M2, varianta 1) 8. În mulţimea numerelor reale definim operaţia x y = 2xy − 6x − 6y + 21.

a) Să se verifice dacă x y = 2(x − 3)(y − 3) + 3, x, y .

b) Să se rezolve, în mulţimea numerelor reale, ecuaţia: x x = 11. c) Ştiind că operaţia „ ” este asociativă, să se calculeze 1 2 3 ... 2008 .


9. Fie mulţimea

0

( ) 0 0 0

0

a a

M A a a

a a

.

a) Să se verifice dacă A(a)·A(b) = A(2ab), a, b .

b) Arătaţi că 1

2A

este element neutru faţă de operaţia de înmulţire a

matricelor. c) Să se determine simetricul lui A(1) M în raport cu operaţia de înmulţire a matricelor pe mulţimea M.


10. Se consideră mulţimea M = [k, ) , k , şi legea de compoziţie

x y = xy − k(x + y) + k2 + k, x, y M. a) Să se determine k , astfel încât 2 3 = 2.

b) Pentru k = 2, să se rezolve ecuaţia x x = 6. c) Să se demonstreze că, pentru orice x, y M, rezultă x y M.


11. Pe mulţimea se consideră legea de compoziţie 2 2 2x y x y .

a) Să se rezolve ecuaţia x x = x. b) Să se demonstreze că legea de compoziţie „” este asociativă. c) Să se determine elementul neutru al legii de compoziţie „”.


32

12. Pe mulţimea se defineşte legea de compoziţie x y = − xy + 2x + 2y − 2.

a) Să se rezolve în ecuaţia: x 4 = 10.

b) Să se determine a , astfel încât x a = a x = a, x .

c) Ştiind că legea este asociativă, să se calculeze: 2008 2008 2008

...1 2 2008

.


13. Pe mulţimea se defineşte legea de compoziţie 3 33x y x y .

a) Să se calculeze x 0. b) Să se demonstreze că legea „” este asociativă.

c) Ştiind că x0 şi xn = x0 xn−1, n *, să se arate că x7 . (Bacalaureat 2008, M2, varianta 49)

14. Se consideră mulţimea G = (0, ) {1} şi operaţia x y = x 3 ln y, x, y G. a) Să se determine mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei x e = 1, unde e este baza logaritmului natural. b) Să se demonstreze că x y G, x, y G. c) Să se arate că operaţia „ ” este asociativă pe mulţimea G.


15. Pe se defineşte legea de compoziţie: x y = 3xy + 7x + 7y + 14.

a) Să se determine elementul neutru al legii „”.

b) Să se rezolve în inecuaţia 7

3x x .

c) Să se determine elementele simetrizabile în raport cu legea „”. (Bacalaureat 2008, M2, varianta 89)

33

2. Grup, exemple: grupuri numerice, grupuri de matrice, grupuri de permutări, grupul n

al claselor de resturi modulo n

2.1. Definiţia grupului

Definiţie. Cuplul (G, ), format cu o mulţime nevidă G şi cu o lege de compoziţie internă „” pe G, se numeşte grup dacă legea de compoziţie internă „” este asociativă, are element neutru şi orice element din G este simetrizabil. Dacă, în plus, legea „” este comutativă, atunci G se numeşte grup comutativ sau abelian. Condiţiile de mai sus (axiomele) ce trebuie verificate ca un cuplu (G, ) să fie grup se pot scrie detaliat: G1: axioma de asociativitate: (x y) z = x (y z), x, y, z G; G2: axioma de existenţă a elementului neutru: e G, astfel încât e x = x e = x, x G; G3: axioma elementelor simetrizabile: x G, x' G, astfel încât x' x = x x' = e. Elementul e G din axioma G2 este unic determinat şi se numeşte elementul neutru al grupului G.

Observaţie. În notaţie aditivă, e = 0 se numeşte elementul nul al grupului G. În notaţie multiplicativă, e = 1 se numeşte elementul unitate al grupului G. Elementul x', unic determinat, din axioma G3, se numeşte simetricul lui x.

Observaţie. În notaţie aditivă, punem x' = x şi se numeşte opusul lui x.

În notaţie multiplicativă, punem 1'x x şi se numeşte inversul lui x. Ansamblul de condiţii: G1, G2, G3 poartă numele de axiomele grupului. Dacă, în plus, este satisfăcută axioma: G4: axioma de comutativitate: x y = y x, x, y G, atunci G este grup comutativ (abelian). Dacă în prezentarea de mai sus axioma G3 de simetrizabilitate nu este verificată, atunci cuplul (G, ) se numeşte monoid. Altfel spus:

Definiţie. Un cuplu (M, ), format cu o mulţime nevidă M şi o lege de compoziţie „” pe M, se numeşte monoid dacă legea „” este asociativă şi are element neutru. Exprimând formal cele două axiome, avem: M1: axioma de asociativitate: (x y) z = x (y z), x, y, z M;

34

M2: axioma de existenţă a elementului neutru: e M, astfel încât e x = x e = x, x M. Dacă, în plus, este satisfăcută şi axioma: M3: axioma de comutativitate: x y = y x, x, y M, atunci cuplul (M, ) se numeşte monoid comutativ.

Exemplu: (, +) este monoid comutativ.

Se observă că monoidul (M, ) devine grup dacă este verificată axioma G3 de simetrizabilitate a oricărui element din M. Într-un grup, U(G) = G. Un grup (G, ) se numeşte grup finit dacă mulţimea G este finită. Un grup (G, ) este grup infinit dacă mulţimea G nu este finită. Fie (G, ), un grup finit. Se numeşte ordinul grupului G cardinalul mulţimii G şi se notează ord(G).

2.2. Grupuri numerice

a) (, +) este grup abelian şi se numeşte grupul aditiv al numerelor întregi.

b) (, +) este grup abelian şi se numeşte grupul aditiv al numerelor raţionale.

c) (, +) este grup abelian şi se numeşte grupul aditiv al numerelor reale.

d) (, +) este grup abelian şi se numeşte grupul aditiv al numerelor complexe.

e) (*, ) este grup abelian şi se numeşte grupul multiplicativ al numerelor

raţionale nenule.

f) ( , ) este grup abelian şi se numeşte grupul multiplicativ al numerelor

raţionale strict pozitive. g) (*, ) este grup abelian şi se numeşte grupul multiplicativ al numerelor

reale nenule.

h) ( , ) este grup abelian şi se numeşte grupul multiplicativ al numerelor

reale strict pozitive. i) (*, ) este grup abelian şi se numeşte grupul multiplicativ al numerelor

complexe nenule. Afirmaţiile a) h) rezultă din proprietăţile adunării şi înmulţirii numerelor. Grupurile a) h) se numesc grupuri numerice.

Exerciţiu rezolvat

Să se arate că (S3, ) este grup necomutativ.

35

Soluţie. S3 = {e, , , , , }, unde 1 2 31 2 3

e

, 1 2 32 3 1

, 1 2 33 1 2

,

1 2 31 3 2

, 1 2 33 2 1

, 1 2 32 1 3

.

Tabla operaţiei induse de compunerea funcţiilor este:

„ ” e e e e e e e e

Din tabla operaţiei se verifică axiomele grupului necomutativ. Deducem că (S3, ) este grup necomutativ.

Exerciţiu propus

a) Să se arate că (S1, ) este grup comutativ. b) Să se arate că (S2, ) este grup comutativ.

Exerciţii propuse

Monoid 1. Fie M = {z z = a+ bi, a, b , i 2 = 1} = [i] (mulţimea întregilor lui

Gauss). a) Demonstraţi că (M, ) este monoid comutativ. b) Determinaţi elementele simetrizabile ale monoidului (M, ).

2. a) Fie M = [1, ) şi operaţia 2 2 1x y x y .

Demonstraţi că (M, ) este monoid comutativ. Determinaţi elementele simetrizabile ale monoidului (M, ).

b) Fie M = [a, ), unde a 0, şi operaţia 2 2 2x y x y a .

Demonstraţi că (M, ) este un monoid comutativ. Determinaţi mulţimea U(M) a elementelor simetrizabile ale monoidului (M, ).

36

3. Fie M, mulţimea matricelor AM3(), de forma 0 0

0 00 0

aA b

c

, cu a, b, c .

a) Arătaţi că M este o parte stabilă a lui M3() în raport cu înmulţirea

matricelor. b) Demonstraţi că (M, ) este monoid. c) Determinaţi elementele simetrizabile ale monoidului (M, ).

4. Fie M, mulţimea cifrelor în baza 10 şi operaţia x y = ultima cifră a produsului xy. a) Cercetaţi dacă (M, ) este monoid. b) Determinaţi submulţimile stabile ale lui M în raport cu operaţia „”.

5. Fie M = {x 2 22x a b , a, b }.

a) Arătaţi că (M, ) este monoid. b) Câte elemente inversabile are monoidul (M, )? c) Să se decidă dacă 2003 M.

6. Fie F = { : , (x) = ax + b, a, b }.

a) Arătaţi că (F, ) este monoid.

b) Determinaţi , g F, astfel încât g g .

c) Determinaţi , g F, astfel încât g = g .

d) Determinaţi elementele inversabile ale monoidului (F, ).

e) Calculaţi de ori

...n f

f f f , n *, F.

7. Pe se defineşte legea de compoziţie x y = xy + ax + by.

Determinaţi a, b , astfel încât (, ) să fie monoid.

În acest caz, determinaţi elementele inversabile.

8. a) Fie I = [0, 1] şi operaţia 1

x yx y

xy

. Arătaţi că (I, ) este monoid

comutativ.

b) Fie I = [0, a], unde a 0, şi operaţia

21

x yx y

xy

a

.

Arătaţi că (I, ) este monoid comutativ.

9. Fie 0

0 0 , 0

a aM b a b

a a

.

a) Demonstraţi că (M, ) este monoid comutativ. b) Determinaţi mulţimea U(M) a elementelor inversabile ale monoidului (M, ).

37

Grup

10. Fie 2( ) TM A A A E M , unde TA este transpusa matricei A, şi

1 00 1

E

. Să se arate că:

a) Pentru orice A M, det A = 1. b) Operaţia de înmulţire a matricelor determină pe M o structură de grup.

11. Se consideră M2() mulţimea matricelor pătratice de ordinul doi peste ,

submulţimea G = {A M2()det A = 1 sau det A = 1} şi legea de compoziţie

înmulţirea matricelor. Admitem că G este parte stabilă a lui M2() faţă de

operaţia de înmulţire a matricelor. Precizaţi şi justificaţi valoarea de adevăr a următoarelor propoziţii:

(1) (M2(), ) are o structură de grup.

(2) (G, ) are o structură de grup. 12. a) Pe mulţimea G = (1, ) definim legea de compoziţie x y = xy + x + y.

Demonstraţi că (G, ) este grup abelian. b) Pe mulţimea G = (a, ), a , definim legea de compoziţie:

x y = xy + ax + ay + a 2 a. Demonstraţi că (G, ) este grup abelian.

c) Pe mulţimea ,b

Ga

, a, b , a 0, definim legea de compoziţie:

x y = axy + bx + by + 2b b

a

.

Demonstraţi că (G, ) este grup abelian.

13. a) Să se demonstreze că mulţimea 2 22 , , 2 1G x y x y x y

împreună cu înmulţirea este grup abelian.

b) Fie k , astfel încât k . Să se demonstreze că mulţimea

2 2, , 1G x y k x y x ky împreună cu înmulţirea este grup abelian.

14. a) Pe intervalul I = (1, 1) se defineşte operaţia 1

x yx y

xy

.

Demonstraţi că (I, ) este grup abelian.

b) Pe intervalul I = (a, a), unde a 0, se defineşte operaţia

21

x yx y

xy

a

.

Să se arate că (I, ) este grup abelian.

38

c) Fie I = (1, 1) şi a I. Arătaţi că (x, y) (1 )

1 ( )

x y a xyx y

xy a x y

,

x, y I, este internă pe I şi (I, ) este grup abelian. 15. Fie F = { : bijectivă şi (1) = 1}. Demonstraţi că (F, ) este grup.

16. Fie 1 0 0

1 0 , 1

G M a a bb a

.

a) Demonstraţi că (G, ) este grup abelian. b) Calculaţi M n, n *.

17. Pe mulţimea a numerelor complexe se defineşte legea de compoziţie „”

prin 1z 2z = 1z + 2z 1z 2z , 1z , 2z . Arătaţi că:

a) C1 = \ {1} este o parte stabilă a lui în raport cu operaţia „”.

b) (C1, ) este grup abelian. 18. Pe mulţimea se defineşte operaţia:

1z 2z = 1z 2z a( 1z + 2z ) + a(a + 1), 1z , 2z , unde a este fixat.

Arătaţi că: a) 1z 2z = ( 1z a)( 2z a) + a.

b) Ca = \ {a} este o parte stabilă a lui în raport cu operaţia „”.

c) (Ca, ) este grup abelian.

19. Pe se defineşte legea de compoziţie x y = xy + (x + y) + , unde ,

sunt parametrii reali. Determinaţi şi , astfel încât \ , să fie grup abelian.

20. a) Legea de compoziţie x y = xy 5x 5y + 30 determină pe o structură

de grup? Dar pe \ {5}?

b) Legea de compoziţie x y = xy ax ay + a(a + 1) determină pe o

structură de grup? Dar pe \ {a}?

21. a) Să se arate că mulţimea 2 24 2*, , 2 1

7 4x y y

G x y x yy x y

împreună cu operaţia de înmulţire a matricelor formează un grup comutativ.

b) Fie a fixat. Să se arate că mulţimea 2

*,(1 4 ) 2x ay ay

G xa y x ay

2 2, 1y x ay împreună cu operaţia de înmulţire a matricelor formează

un grup comutativ.

39

22. a) Fie G = (0, ) \ {1} şi legea de compoziţie ln yx y x .


b) Fie G = (0, ) \ {1} şi a G, a fixat. Arătaţi că operaţia loga xx y x determină pe G o structură de grup abelian.

c) Fie G = (0, ) \ {1} şi legea de compoziţie 2ln yx y x .


d) Fie G = (0, ) \ {1} şi legea de compoziţie 2loga yx y x , unde a G este

fixat. Arătaţi că (G, ) este grup abelian.

e) Fie G = (0, ) \ {1} şi n *, n fixat. Arătaţi că operaţia lnn yx y x

determină pe G o structură de grup abelian.

f) Fie G = (0, ) \ {1}, a G, a fixat, şi n *, n fixat. Arătaţi că operaţia logan yx y x determină pe G o structură de grup abelian.

23. a) Fie G = \ {1} şi 1

( 2)3

x y x y xy , x, y G.


b) Fie G = \ {1} şi 1

( 1)x y x y xy kk

, x, y G, unde k *

este fixat. Demonstraţi că (G, ) este grup abelian.

24. a) Fie G = \ {3} şi 3

xyx y x y , x, y G.

Arătaţi că (G, ) este grup abelian.

b) Fie G = \ {k}, unde k * este fixat. Definim legea de compoziţie

xyx y x y

k , x, y G. Arătaţi că (G, ) este grup abelian.

25. a) Fie ,2 2

G

şi

sin sinarcsin

1 sin sin

x yx y

x y

, x, y G.


b) Fie G = (0, ) şi cos cos

arccos1 cos cos

x yx y

x y

, x, y G.


c) Fie ,2 2

G

şi x y = arctg(tg x + tg y), x, y G.

Demonstraţi că (G, ) este grup abelian. d) Fie G = (0, ) şi x y = arcctg(ctg x + ctg y), x, y G. Demonstraţi că (G, ) este grup abelian.

COMENZI – CARTEA PRIN POȘTĂ Adresa: IAȘI , Bd. Ștefan cel Mare și Sfânt, nr. 2 -

700124 Telefon: 0763 082 213 E-mail: [email protected]

Tipărit în România

MARIN CHIRCIU

Documents

Transcript of MARIN CHIRCIU