Modelarea deciziilor monetare seminar

6.2 Portofolii eficiente formate din mai mult de dou active cu risc Frontiera Markowitz i Capital Market Line (CML)1. Presupunem o pia de capital pe care sunt tranzacionate trei active cu risc ( ). Matricea de varian-covarian a activelor,respectiv inversa acestei matrice se prezint astfel :

EMBED Equation.3 ,

Vectorul rentabilitailor ateptate n cazul celor trei active este urmtorul : .Presupunem un investitor raional care urmrete obinerea unei rentabiliti cu risc minim. Pornind de la aceast ipotez s se determine :

a. structura i riscul portofoliului eficient (optim Pareto) P, care asigur o rentabilitate cu risc minim. b. S se calculeze riscul portofoliilor pentru care investitorul raional fixeaz rentabilitile astfel : ,,,. S se reprezinte grafic punctele n planul financiar i s se comenteze rezultatele obinute.c. S se calculeze structura portofoliului cu risc minim global V.

d. s se determine riscul i rentabilitatea portofoliului pentru care tangenta dus la frontiera Markowitz trece prin originea axelor.

e. Presupunem c pe pia de capital exist un portofoliu Z, numit conjugat al unui portofoliului P situat pe frontiera Markowitz cu rentabilitatea 20%. S se determine rentabilitatea, riscul i structura acestui portofoliu (Z). 2. Un investitor raional poate s formeze un portofoliu eficient P, utiliznd fondurile mutuale V i W caracterizate prin : V : W :

a. S se determine ponderea investiiei n V i W astfel nct investitorul s obin o rentabilitate egal cu 20%.

b. S se calculeze covariana ntre V i W, respectiv ntre V i P, portofoliul de la punctul a).3. Pe o pia coteaz un numr de patru active financiare. Se cunosc urmtoarele informaii: a. ,

b. , , ,

c. V : W :

Se cere:

a. Riscurile: , i rentabilitile , .

b. Riscul i rentabilitatea portofoliului P situat pe frontiera Markowitz tiind c rentabilitatea ateptat este .

c. Riscul i rentabilitatea portofoliului Q situat pe frontiera Markowitz tiind c riscul asumat de investitor este .

d. tiind c s se calculeze rentabilitatea, riscul i structura portofoliului pieei M.

e. S se calculeze rentabilitatea, riscul i structura portofoliului S, situat pe CML tiind c

f. S se calculeze coeficienii de volatilitate,, precum i , .g. S se calculeze indicatorul de senzitivitate :

.4. Pe o pia coteaz trei active. Se cunosc:

,

EMBED Equation.DSMT4 S se determine:

a) ecuaia frontierei Markowitz;

b) rentabilitatea, riscul i structura portofoliilor V i W;

c) riscul i structura unui portofoliu P de pe frontiera Markowitz care are rentabilitatea ;

d) rentabilitatea i structura unui portofoliu Q care are riscul ;

e) covariana dintre V i W i dintre V i P;

f) covariana dintre W i P;

g) s se calculeze indicatorii de volatilitate, precum i ponderea din riscul al fiecrui activ care este recunoscut de pia (risc nediversificabil).

h) un investitor i asum un risc de investind n trei fonduri mutuale: V, W, . Portofoliul P este situat pe CML. S se precizeze ponderile investite n cele trei fonduri mutuale.

5. Pe o pia coteaz 2007 de active financiare cu risc i un activ fr risc. Se estimeaz c ecuaia frontierei Markowitz este . Rentabilitatea activului fr risc este .a) s se deteremine rentabilitatea ateptat i riscul portofoliului V;

b) s se determine riscul i structura pe cele dou fonduri mutuale V i W pentru un portofoliu de pe frontiera Markowitz care are rentabilitatea ateptat .

c) cum se modific structura (pe cele 2007 active cu risc) portofoliului de la punctul b) dac riscurile tuturor activelor cresc cu 10%.

d) s se determine riscul i structura pe cele dou fonduri mutuale Rf i M pentru un portofoliu de pe CML care are renbtabilitatea ateptat .

e) un investitor are funcia de utilitate , unde parametrul cuantific aversiunea la risc a investitorului. S se determine rentabilitatea ateptat a portofoliului de pe frontiera Markowitz care va fi ales de ctre investitor. Ce se ntampl dac ? Explicaie.6. Pe o pia coteaz 3 active. Se tie:

a) s se calculeze A, B, C, D

b) s se calculeze i a unui portofoliu situat pe frontiera Markowitz tiind c . tiind c , s se calculeze i s se fac un scurt comentariu financiar.

c) tiind c , s se calculeze

d) s se calculeze i a unui portofoliu situat pe CML tiind c . S se compare . Scurt comentariu.

7. Pe o pia coteaz trei active. Se cunoate:

a) S se calculeze:

b) S se calculeze indicatorii de la punctul a) pentru cazul n care cresc cu 20%

c) S se calculeze indicatorii de la punctul a) pentru cazul n care cresc cu 20%d) pe baza datelor iniiale, s se calculeze tiind c , iar P este situat pe d.1. frontiera Markowitz, d.2. CML

8. Pe o pia coteaz 2007 de active financiare cu risc i un activ fr risc. Se estimeaz c ecuaia frontierei Markowitz este . Rentabilitatea activului fr risc este .

a) s se determine rentabilitatea ateptat i riscul portofoliului V;

b) s se determine riscul i structura pe cele dou fonduri mutuale V i W pentru un portofoliu de pe frontiera Markowitz care are rentabilitatea ateptat .

c) cum se modific structura (pe cele 2007 active cu risc) portofoliului de la punctul b) dac riscurile tuturor activelor cresc cu 10%.

d) s se determine riscul i structura pe cele dou fonduri mutuale Rf i M pentru un portofoliu de pe CML care are rentabilitatea ateptat .

e) un investitor are funcia de utilitate , unde parametrul cuantific aversiunea la risc a investitorului. Investitorul are acces pe piaa internaional unde portofoliul pieei are rentabilitatea ateptat i riscul . Piaa internaional i cea naional nu sunt corelate. S se determine rentabilitatea ateptat a portofoliului ales de investitor. Explicaie. 9. Pe o pia coteaz un numr de trei active. Se cunoate:

Se cere:

a) structura i rentabilitatea a portofoliului pieei

b) tiind c s se calculeze structura portofoliului P situat pe CML cu .

10. Se consider o pia pe care coteaz 3 active. Matricea de varian covarian este:

,

a) s se calculeze portofoliul de frontiera Markowitz care asigur o rentabilitate de 18,5%

b) s se determine structura, rentabilitatea i volatilitatea unui portofoliu de CML cu riscul

c) ca urmare a creterii pieei, toate rentabilitile activelor cresc cu 10%. S se determine modul n care se modific rentabilitatea, riscul i structura portofoliilor V i M.

11. Pe o pia coteaz 4 active cu risc. Pentru frontiera Markowitz se cunosc urmtoarele elemente:

a) s se determine structura i riscul portofoliului P cu rentabilitatea 15%

b) s se determine senzitivitatea riscului portofoliului P n raport cu rentabilitatea sa

c) s se determine n ce interval trebuie s se situeze rentabilitatea lui P astfel nct portofoliul s aib o component, respectiv 2 negative. Exist valori pentru care P are 3 componente negative?

d) s se determine riscul, rentabilitatea i structura lui M dac Rf=7%

e) s se precizeze n ce interval trebuie s se situeze Rf astfel nct M s aib o component sau 2 negative.

12. Se consider pieele de capital din rile Home i Foreign. Pe piaa Home ecuaia frontierei Markowitz este , iar pe piaa din ara Foreign ecuaia frontierei Markowitz este . Rentabilitatea activului fr risc este aceeai n cele dou ri . Se noteaz cu V i V* portofoliul din din vrful frontierei Markowitz din ara Home, respectiv Foreign. Coeficientul de corelaie dintre cele 2 piee de capital este 0. a) S se determine rentabilitatea ateptat i riscul celor dou portofolii V i V*;b) S se determine rentabilitatea ateptat i structura pe cele dou fonduri mutuale V i W pentru un portofoliu de pe frontiera Markowitz din ara Home care are riscul ;

c) S se determine rentabilitatea ateptat i structura pe cele dou fonduri mutuale i M pentru un portofoliu de pe CML din ara Home care are riscul ;

d) Fie U portofoliul de risc minim care se poate construi folosind V i V*. S se determine structura, rentabilitatea i riscul lui U.

e) Rentabilitile ateptate ale tuturor activelor de pe ambele piee de capital cresc cu 10%. Cum se modific structura, riscul i rentabilitatea lui U?

f) S se construieasc un portofoliu eficient format din , V i V* i care are riscul .

Rezolvri1.a) Reamintim faptul c relaia risc-rentabilitate pentru portofoliile eficiente de pe frontiera Markowitz, rezult din rezolvarea unei probleme de minim al investitorului raional, respectiv :

unde : , , ,

Utiliznd rezultatele de mai sus putem scrie structura portofoliului eficient P , cel care asigur investitorului o rentabilitate la riscul minim.

, iar riscul va fi :

b. Pe baza relaiei dintre riscul i rentabilitatea portofoliului P prezentat mai sus putem calcula riscul portofoliilor P1 , P2, P3, P4, nlocuind rentabilitile fixate de investitor n aceast relaie:

EMBED Equation.3 PortofoliuPiPi

P10.100.2754

P20.150.1542

P30.200.1520

P40.250.2715

Prezentm punctele (Pi ,Pi ) de mai sus n planul financiar :

Comentarii : 1) Portofoliile formeaz o hiperbol n planul financiar, frontiera Markowitz a portofoliilor eficiente

2) P3, P4 situate pe parte superioar a hiperbolei sunt portofolii eficiente, iar P1 i P2 sunt portofolii ineficiente ( exist portofolii care la acelai risc aduc o rentabilitate mai mare investitorului ).

c. Folosim formulele pentru V, portofoliul cu cel mai mic risc posibil:

Structura V : Variana: Rentabilitate:

, respectiv riscul

Atenie !!! : portofoliul care asigur riscul minim global (V), va aduce o rentabilitate de 17.57% , investitorul asumndu-i un risc de 13.05% .

d. Notm cu W portofoliul pentru care tangenta dus la frontiera Markowitz trece prin originea axelor.

Riscul portofoliului W rezult din formula :

Rentabilitatea portofoliului W :

Structura portofoliului W:

e. Reamintim faptul c portofoliul Z, numit conjugat al lui P, este acel portofoliu pentru care :

Utiliznd aceast relaie putem calcula rentabilitate portofoliului Z :

2. a. tim c structura oricrui portofoliu eficient se poate scrie ca o combinaie convex a portofoliilor V i W :

, unde : ,

nlocuim valoarea indicatorilor i obinem ca rezultat ponderea pe care investitorul trebuie s o investeasc n fondurile mutuale V i W :

, iar

Observaie : 1. Investitorul face short-selling pe fondul mutual V (vinde 1,5851 uniti V) i cumpr 2,5851 uniti din fondul mutual W.

2. Portofoliul W este acel portofoliu eficient care asigur cea mai mare rentabilitate dac pe pia nu exist posibilitatea de a efectua operaiuni de short-selling.

(acest lucru se realizeaz atunci cnd este subunitar ).

Structura portofoliului P este egal cu:

b. Covariana ntre cele dou fonduri mutuale V i W se determin astfel :

Covariana ntre fondul mutual V i portofoliul eficient P se determin astfel:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 !Atenie! Fondul mutual V, care are riscul minim global, va avea aceai covarian cu orice portofoliu eficient.

3. a. V: Structura V : Variana: Rentabilitate:

, respectiv riscul

W: Riscul portofoliului W :

Rentabilitatea portofoliului W :

b. Riscul un portofoliu eficient de pe Frontiera Markowitz are coordonatele:

(*)

tim c pentru portofoliul P rentabilitatea este i nlocuind n formula (*) obinem .

Structura portofoliului eficient P se scrie ca o combinaie de V i W:

,

unde :

, iar

Observaie 1. investitorul face short-selling pe fondul mutual V (vinde 16.1303 uniti V) i cumpr 17.1303 uniti din fondul mutual W.

Structura portofoliului P este :

c. Se tie c portofoliul Q de pe frontiera Markowitz are riscul egal cu . Folosind relaia (*) obinem: . Rezolvnd ecuaia de gradul 2 obinem:

EMBED Equation.3

,

, iar

d. M: Rentabilitatea portofoliului pieei (M) este egal cu:

Riscul portofoliului pieei este:

Deoarece portofoliul M se afl pe frontiera Markowitz, acesta poate fi format utiliznd portofoliile V i W:

, iar

, iar .

e. S:

Structura portofoliului S situat pe CML:

active cu risc: active fr risc:

EMBED Equation.3

Rentabilitatea portofoliului S:

tiind c ecuaia dreptei CML este:

f. Modelul CAPM presupune c:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 Cunoatem rentabilitatea ateptat pentru fiecare activ n parte i de aici putem s determinm ct este coeficientul de volatilitate:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 ,

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 ,

g. tiim c rentabilitatea ateptat a lui M este:

Astfel

4. a) ecuaia frontierei Markowitz se scrie:

Calculm A, B, C, D:

Frontiera Markowitz

b)

c) se folosete ecuaia frontierei Markowitz n care se nlocuiete

Structura lui P se scrie ca o combinaie de V i W; , iar ponderea n V este dat de:

d) se folosete tot frontiera Markowitz i se rezolv ecuaia de gradul II:

Se alege evident rentabilitatea mai mare adic . Structura se determin tot ca o combinaie de V i W:

e)

n cele de mai sus am folosit faptul c este simetric deci i relaia de transpunere a produsului dou matrici oarecare X i Y .

f)

g) coeficienii de volatilitate se determin folosind formula:

(*)

n acest scop vom calcula structura i variana portofoliului pieei. Pentru a afla structura lui M trebuie s calculm rentabilitatea sa folosind formula:

Determinm variana folosind formula frontierei Markowitz, iar structura folosind descompunerea lui M n V i W.

, iar

Revenim la formula (*), n care cunoatem acum toate elementele. Efectund calculele obinem:

Ponderea din riscul individual recunoscut de pia este egal cu , adic nmulim vectorul BETA cu .

h) portofoliul P care se afl pe CML poate fi descompus n M i activ fr risc astfel:

Pe de alt parte, i portofoliul M se scrie ca o combinaie de V i W cu ponderile pe care le-am determinat mai sus:

5. Formula frontierei Markowitz se scrie astfel:

n problem frontiera Markowitz arat astfel:

Comparnd relaiile obinem:

a.

b.

c. nu se modific! d.

Se scrie ecuaia CML:

Astfel investitorul va investii 80,86% din capitalul initial in active cu risc i 19,13% in active fr risc. n aceste condiii va obine portofoliul P care i asigur o rentabilitate de 12,6%.

e.

Se scrie utilitatea nlocuind inlocuind variana cu ecuaia frontierei Markowitz.

Dac , deci portofoliul ales este chiar V.6. a) A=144,9275; B=18,51; C=2,442; D=11,01;

b)

c)

d)

7. a) A=49,2319 B=8,80129 C=1,6104 D=1,8183

b) Creterea tuturor rentabilitilor cu 10% presupune modificarea vectorului de rentabiliti astfel:

n continuare vom determina felul n care se modific A, B, C odat cu modificarea vectorului de rentabliti.

- evident matricea de varian covarian nu se modific n momentul n care se modific rentabilitile activelor.

Utiliznd aceste informaii, plus faptul c putem determina toate modificrile astfel:

n mod similar se obin toate celelalte modificri.

c) se trateaz n mod similar cu punctul b). de data aceasta, modificarea riscurilor activelor are un impact asupra matricei de varian covarian i nici un impact asupra vectorului de rentabiliti, deci .

Ce impact are ns asupra matricei de varian-covarian? Se tie faptul c matricea de varian covarian poate fi descompus astfel:

Fiecare se modific cu 1,1 , deci S se modific cu 1,1, ceea ce nseamn c se modific cu , avnd n vedere c M rmne constant. n concluzie:

EMBED Equation.DSMT4 De aici problema decurge exact ca mai sus:

.a.m.d.

d)

d.1.

d.2.

8. a) A=55,9125 B=7,2093 C=0,9478

b)

c) nu se modific

d)

e) se determin

se investete pe piaa naional n portofoliul pieei i pe piaa internaional n portofoliul pieei

9.10. a)

b)

12. a) pe piaa Home:

pe piaa Foreign:

b)

c)

d)

e) structura si riscul nu se modifica, iar rentabilitatea crete cu 10%.

f)

PAGE 1

_1293741783.unknown

_1295031324.unknown

_1323974468.unknown

_1323975141.unknown

_1323975234.unknown

_1323975275.unknown

_1323976399.unknown

_1323976466.unknown

_1323976481.unknown

_1323976438.unknown

_1323975286.unknown

_1323975256.unknown

_1323975266.unknown

_1323975246.unknown

_1323975193.unknown

_1323975211.unknown

_1323975223.unknown

_1323975202.unknown

_1323975173.unknown

_1323975183.unknown

_1323975158.unknown

_1323974725.unknown

_1323974887.unknown

_1323974909.unknown

_1323975111.unknown

_1323974898.unknown

_1323974782.unknown

_1323974857.unknown

_1323974867.unknown

_1323974814.unknown

_1323974856.unknown

_1323974830.unknown

_1323974793.unknown

_1323974749.unknown

_1323974768.unknown

_1323974738.unknown

_1323974637.unknown

_1323974692.unknown

_1323974708.unknown

_1323974649.unknown

_1323974520.unknown

_1323974556.unknown

_1323974558.unknown

_1323974589.unknown

_1323974542.unknown

_1323974480.unknown

_1295032090.unknown

_1295458867.unknown

_1295460774.unknown

_1323974443.unknown

_1323974457.unknown

_1295461231.unknown

_1295462180.unknown

_1295463086.unknown

_1295461754.unknown

_1295460786.unknown

_1295459143.unknown

_1295459166.unknown

_1295459101.unknown

_1295032368.unknown

_1295032957.unknown

_1295458690.unknown

_1295458797.unknown

_1295033036.unknown

_1295033243.unknown

_1295032477.unknown

_1295032486.unknown

_1295032437.unknown

_1295032232.unknown

_1295032352.unknown

_1295032204.unknown

_1295031913.unknown

_1295031951.unknown

_1295031979.unknown

_1295032018.unknown

_1295031961.unknown

_1295031933.unknown

_1295031942.unknown

_1295031924.unknown

_1295031545.unknown

_1295031699.unknown

_1295031897.unknown

_1295031559.unknown

_1295031352.unknown

_1295031392.unknown

_1295031336.unknown

_1293780807.unknown

_1293817688.unknown

_1293822930.unknown

_1295031007.unknown

_1295031166.unknown

_1295031303.unknown

_1295031024.unknown

_1295030669.unknown

_1295030991.unknown

_1295030966.unknown

_1293823151.unknown

_1293818659.unknown

_1293821399.unknown

_1293822201.unknown

_1293822358.unknown

_1293822586.unknown

_1293822663.unknown

_1293822228.unknown

_1293821837.unknown

_1293821886.unknown

_1293821631.unknown

_1293819401.unknown

_1293819652.unknown

_1293819674.unknown

_1293819524.unknown

_1293818880.unknown

_1293819301.unknown

_1293819383.unknown

_1293819246.unknown

_1293818777.unknown

_1293817893.unknown

_1293817975.unknown

_1293818582.unknown

_1293817924.unknown

_1293817808.unknown

_1293817838.unknown

_1293817717.unknown

_1293817776.unknown

_1293816293.unknown

_1293816742.unknown

_1293817387.unknown

_1293817561.unknown

_1293817637.unknown

_1293817648.unknown

_1293817554.unknown

_1293817289.unknown

_1293817328.unknown

_1293817264.unknown

_1293816623.unknown

_1293816692.unknown

_1293816558.unknown

_1293791460.unknown

_1293791727.unknown

_1293791828.unknown

_1293792494.unknown

_1293815932.unknown

_1293792396.unknown

_1293791773.unknown

_1293791483.unknown

_1293791552.unknown

_1293791472.unknown

_1293780850.unknown

_1293780889.unknown

_1293791330.unknown

_1293780823.unknown

_1293779782.unknown

_1293780152.unknown

_1293780229.unknown

_1293780642.unknown

_1293780205.unknown

_1293780096.unknown

_1293780124.unknown

_1293779810.unknown

_1293779429.unknown

_1293779668.unknown

_1293779729.unknown

_1293779538.unknown

_1293741835.unknown

_1293778297.unknown

_1293779268.unknown

_1293779015.unknown

_1293742805.unknown

_1293741807.unknown

_1293308811.unknown

_1293392770.unknown

_1293741558.unknown

_1293741660.unknown

_1293741736.unknown

_1293741775.unknown

_1293741707.unknown

_1293741613.unknown

_1293741636.unknown

_1293741572.unknown

_1293393496.unknown

_1293697804.unknown

_1293741298.unknown

_1293741470.unknown

_1293698145.unknown

_1293698536.unknown

_1293697880.unknown

_1293697094.unknown

_1293697205.unknown

_1293696893.unknown

_1293393289.unknown

_1293393428.unknown

_1293393471.unknown

_1293393339.unknown

_1293393206.unknown

_1293393232.unknown

_1293392828.unknown

_1293310049.unknown

_1293391704.unknown

_1293392243.unknown

_1293392665.unknown

_1293392760.unknown

_1293392275.unknown

_1293391845.unknown

_1293390893.unknown

_1293391032.unknown

_1293390564.unknown

_1293309464.unknown

_1293309835.unknown

_1293309865.unknown

_1293309537.unknown

_1293309762.unknown

_1293309059.unknown

_1293309182.unknown

_1293309218.unknown

_1293309249.unknown

_1293309088.unknown

_1293308937.unknown

_1293309014.unknown

_1293308853.unknown

_1272128148.unknown

_1293306556.unknown

_1293307059.unknown

_1293307207.unknown

_1293307328.unknown

_1293308119.unknown

_1293308389.unknown

_1293308747.unknown

_1293308346.unknown

_1293307557.unknown

_1293308059.unknown

_1293307429.unknown

_1293307436.unknown

_1293307383.unknown

_1293307259.unknown

_1293307176.unknown

_1293306788.unknown

_1293306944.unknown

_1293306587.unknown

_1272130085.unknown

_1272133821.unknown

_1272134479.unknown

_1272174379.unknown

_1272174704.unknown

_1272175198.unknown

_1293306525.unknown

_1272174865.unknown

_1272174559.unknown

_1272174094.unknown

_1272174266.unknown

_1272174299.unknown

_1272173921.unknown

_1272134882.unknown

_1272134898.unknown

_1272134466.unknown

_1272130998.unknown

_1272131057.unknown

_1272130181.unknown

_1272129012.unknown

_1272129959.unknown

_1272128165.unknown

_1272128622.unknown

_1229939818.unknown

_1242822410.unknown

_1242822979.unknown

_1272127706.unknown

_1272128119.unknown

_1242823285.unknown

_1242823367.unknown

_1242823548.unknown

_1242822995.unknown

_1242822794.unknown

_1242822852.unknown

_1242822438.unknown

_1229956422.unknown

_1229975052.unknown

_1229975223.unknown

_1229956523.unknown

_1229951807.unknown

_1229955905.unknown

_1229941591.unknown

_1229940167.unknown

_1229928043.unknown

_1229938859.unknown

_1229939377.unknown

_1229928290.unknown

_1229927814.unknown

_1229927892.unknown

_1167645406.unknown

_1229927667.unknown

_1167608112.unknown