PLANUL LUCRRII Importana temei i motivaia alegeri ei....................................................................5

CAPITOLUL I Gndirea cel mai important proces psihic implicat n activitatea de nvare a matematicii.................................................................................................. 8 I.1. Probleme generale .......................................................................................................8

I.2. Modaliti de procesare exact a informaiilor............................................................10 I.2.1. Gndirea tiinific ........................................................................................10 I.2.2. Gndirea divergent ......................................................................................11 I.2.3. Gndirea euristic..........................................................................................11

I.3. Procesarea informaiilor prin activitile gndirii........................................................12 I.4. Cultivarea gndirii creative n rezolvarea de probleme ...............................................12

CAPITOLUL II Metodologia i tehnologia instruirii n cadrul orelor de matematic ............17 II.1. Conceptul de strategie didactic................................................................................17

II.2. Metodologia i tehnologia instruirii n cadrul orelor de matematic .........................20 II.2.1. Delimitri conceptuale .................................................................................20

II.2.2. Metodologia didactic ..................................................................................20 II.2.3. Tehnologia didactic ....................................................................................21

II.2.4. Metode euristice folosite n rezolvarea problemelor....................................22 II.3. Bazele psihopedagogice i metodologice ale rezolvrii problemelor........................38 II.3.1. Noiunea de problem ..................................................................................38 II.3.2. Rolul problemelor de matematic n stimularea creativitii elevilor din ciclul

primar ..............................................................................................................................43 II.3.3. Clasificarea problemelor ..............................................................................45

CAPITOLUL III Coordonate metodologice ale cercetrii aplicative.............................................70 III.1. Obiectivele cercetrii n ipoteza de lucru .................................................................70

III.2. Metodologia de cercetare.........................................................................................72 III.2.1. Alegerea eantionului experimental ............................................................72

III.2.2. Etapele cercetrii ........................................................................................73

2

III.2.3. Metode de cercetare, tehnici, instrumente realizate .....................................76

CAPITOLUL IV Prezentarea, analiza i interpretarea rezultatelor cercetrii aplicative............82 IV.1. Prezentarea aplicrii testelor....................................................................................82 IV.2. Rezultatele obinute la evaluarea iniial..............................................................85 IV.3. Rezultatele obinute la evaluarea formativ ...........................................................92 IV.4. Rezultatele obinute la evaluarea final ...............................................................101

CONCLUZII ............................................................................................................111 ANEXE.......................................................................................................................114 1. Proiect didactic ..........................................................................................................114

2. Probleme de logic i perspicacitate ...........................................................................121 3. Probleme de matematic prezentate difereniat, cu unele faciliti n vederea rezolvrii acestora..........................................................................................................................131

BIBLIOGRAFIE.....................................................................................................159

3

Matematica nu este o colecie nesfrit de rezultate expuse in succesiunea: definiie, teorem, demonstraie, ci este mai degrab un arsenal de metode, oferind totodat un limbaj riguros i n acelai timp flexibil pentru descrierea rezultatelor cunoaterii.

Dan Brnzei

Importana temei i motivaia alegerii ei

O descoperire mare rezolv o problem mare, dar exist un grunte de descoperire n soluia oricrei probleme. Putei avea n fa o problem modest; dac ns ea v strnete curiozitatea i v pune n joc facultile de inventivitate i dac o rezolvai prin mijloace proprii, putei simi ncordarea dinaintea descoperirii i v putei bucura de triumful realizrii ei. Astfel de experiene la o vrst de mare receptivitate, pot crea gustul pentru munca intelectual, punndu-i pentru toat viaa amprenta asupra minii i asupra caracterului.[13]

n studierea matematicii exist un moment cnd copilul descoper secretul numerelor i apoi secretul rezolvrii problemelor.

Dar cui revine misiunea de a-l forma pe elev s neleag i s tie s descopere aceste taine? Cum se formeaz la acest nivel tensiunea i pasiunea cunoaterii?

nvmntul matematic are ca rezultat formarea unor deprinderi i capaciti necesare n activitatea de matematic i care devin utile n activitatea practic a omului. Astfel se formeaz o serie de atitudini: a gndi personal i activ, a folosi analogii, a analiza

o problem, a o descompune n probleme mai simple. Rezolvnd probleme de matematic, procesele psihice de cunoatere ale elevului

cu precdere gndirea sunt stimulate la o activitate susinut. Pe msur ce are loc dezvoltarea psihic prin contribuia studiului matematicii, aceast dezvoltare asigur la rndul ei o capacitate mai larg a elevului pentru nsuirea contient a noiunilor.

De aici a izvort dorina de a-i pregti pe elevi, de a cerceta cele mai eficiente

modaliti de antrenare n propria lor formare urmrind stimularea puterii de deducie, convins fiind c flexibilitatea gndirii trebuie format prin exerciii, rezolvri i

compuneri de probleme pe ci ct mai variate.

4

Tratnd difereniat i individualizat elevul i activizndu-l permanent n cadrul procesului de nvare reuim s-i mobilizm energiile creatoare, s-i concentrm atenia, s-i strnim curiozitatea, s-i ctigm adeziunea logic i afectiv, s-i pun n joc imaginaia, nelegerea i memoria, puterea de anticipare.

Problema central a lucrrii const n cercetarea metodelor i procedeelor pe care trebuie s le formm la elevi, n procesul de nvmnt, astfel c, pe baza lor, elevii s

poat rezolva probleme de la cele mai simple la cele mai dificile. n activitatea la catedr am cutat s creez situaii favorabile nvrii fiecrui elev

n parte.

Cadrul cel mai direct al cercetrii n vederea realizrii lucrrii a fost munca

nemijlocit la clas. Aici am verificat modalitile de lucru abordate, am evaluat i comparat rezultatele obinute urmrind permanent obiectivele specifice predrii

matematicii n ciclul primar care deriv din cteva principii generale: Dobndirea unor capaciti de gndire critic i divergent n msur s-i

ajute pe elevi s utilizeze cunotinele i competenele n diferite situaii; Dezvoltarea motivaiei i a disponibilitii de a reaciona pozitiv la

schimbare, ca premis a dezvoltrii personale; Formarea unor capaciti, aptitudini i valori personalizate, necesare

adaptrii mediului social n permanent schimbare. Dei societatea spre care ne ndreptm este informatizat, aducnd modificri

sensibile n programele de educaie ale viitorului, cele patru operaii i rezolvrile de probleme sunt de o importan vital fr de care nu se poate porni i manifesta cu succes n via.

Strategiile didactice dein o poziie privilegiat n ansamblul factorilor responsabili pentru succesul colar al elevilor. Ele pun n eviden capacitatea cadrului didactic de a alege i combina ntr-o anumit ordine metode, procedee i mijloace de instruire, forme de grupare ale elevilor, de a selecta i structura coninutul tiinific n funcie de obiectivele

propuse, de a opta pentru o anume experien de nvare ce urmeaz a fi trit de elevi. Prin prezenta lucrare metodico tiinific doresc s evideniez importana pe care

am acordat-o strategiilor didactice n vederea optimizrii procesului instructiv educativ n cadrul orelor de matematic. Aceasta constituie o permanent preocupare, n vederea gsirii de noi modaliti de lucru, ct mai eficiente.

5

CAPITOLUL I

GNDIREA CEL MAI IMPORTANT PROCES PSIHIC IMPLICAT N ACTIVITATEA DE NVATARE A MATEMATICII

I.1. Probleme generale

I.2. Modaliti de procesare exact a informaiilor I.2.1. Gndirea tiinific I.2.2. Gndirea divergent I.2.3. Gndirea euristic I.3. Procesarea informaiilor prin activitile gndirii I.4. Cultivarea gndirii creative n rezolvarea de probleme

6

CAPITOLUL I

GNDIREA CEL MAI IMPORTANT PROCES PSIHIC IMPLICAT N ACTIVITATEA DE NVATARE A MATEMATICII

I.1. Probleme generale

n ultimii ani s-a ncercat evitarea termenului de gndire, prin dizolvarea coninutului acestuia n coninutul altor termeni. n special psihologia cognitiv utilizeaz n loc de gndire, termenii categorizare, organizarea cunoaterii, procesarea abstract a informaiilor. Cognitivismul promoveaz o nou perspectiv teoretic n studierea gndirii, oferind i posibilitatea modelrii pe calculator. Chiar dac psihologia cognitiv aduce o serie de contribuii importante n interpretarea activitilor cognitive, a aa numitelor activiti finalizate prin sarcini, eliminarea din dicionare a termenului de gndire nu ni se pare a fi o soluie. Cu att mai mult cu ct gndirea rmne un mecanism psihic distinct n concertul celorlalte mecanisme cognitive. Gndirea rmne un mecanism psihic distinct chiar i n conceptul de inteligen, cu care o confrunt unii autori. Inteligena se folosete de gndire, dar nu se reduce i nici nu se confrunt cu ea. Gndirea este deci o parte a inteligenei, una dintre formele ei, care o ajut s se adapteze la real. Dar inteligena presupune mai mult dect att . [20] De asemenea, nimeni i nimic nu poate contesta necesitatea cunoaterii ei, pentru

procesul de predare nvare, de aceea, este regretabil c unii autori, fascinai de ideile teoretice ale psihologiei cognitive, au eliminat din lucrrile lor capitolul i chiar termenul

de gndire. Prin urmare, acest lucru va determina confuzii imprevizibile n activitatea

educatorilor i n formarea i dezvoltarea personalitii elevilor. n ceea ce m privete, voi prezenta n acest capitol al lucrrii unele componente ale gndirii att n lumina psihologiei tradiionale, ct i n lumina psihologiei noi, subliniind contribuiile teoretice ale psihologiei cognitive.

7

Ca activitate mental gndirea este in primul rnd, proces i, n al doilea rnd, produs. n calitate de proces gndirea este o succesiune de operaii mentale, iar ca produs ea se reprezint sub forma conceptelor, noiunilor sau informaiilor. ntruct este masiv implicat n activitatea de predare nvare, considerm c este necesar s prezentm principalele caracteristici generale ale gndirii. Particularitatea fundamental a gndirii este procesualitatea. Activitatea intelectual pornete ntotdeauna de la un punct (care poate fi un grup de informaii stocate n experiena anterioar) i ajunge la un produs (noi informaii, scopuri, obiective). Pe traseu intr n funciune operaiile mentale, care proceseaz informaiile, le interpreteaz i le selecteaz. Din

procesare rezult noi informaii care le ntregesc i le mbogesc pe cele anterioare.

Interpretarea este un proces care imprim noi semnificaii, mai profunde, cunotinelor din structurile cognitive. Selecia izoleaz trsturile mai puin importante i le rein pe cele eseniale, invariante. Dar gndirea nu opereaz numai asupra informaiilor, ci i asupra operaiilor ca atare, pe care le dezvolt, le perfecioneaz, le organizeaz i le coreleaz ntre ele.

O alt particularitate a gndirii const n caracterul ei acional. Dewey (1859 1952) a criticat cunoaterea contemplativ i a respins gndirea considerat ca reflectare a realitii. El concepea cunoaterea i gndirea ca pe un mijloc mai rafinat i superior de adaptare la mediu i de selectare a mijloacelor i scopurilor care asigur utilitatea practic. Omul gndete ntotdeauna asupra aciunilor sale, le anticipeaz i le probeaz, mai nti, prin gndire. Janet, Wallon, Piaget, Galperin .a. au relatat problema aciunilor i au elaborat teoria interiorizrii, conform creia gndirea este procesul de trecere de la aciunile externe, materiale cu obiectele la aciunile i operaiile intelectuale, care sunt aciuni sau operaii interne.

O particularitate important a gndirii const n caracterul ei generalizat i abstract. n gndire se nscriu proprietile eseniale, generale ale obiectelor i fenomenelor. Se tie c exist dou feluri de concret: unul senzorial i altul gndit (logic). Prin abstractizare i generalizare gndirea se ridic de la concretul senzorial la abstract i de la abstract la concretul logic.

n sfrit, o alt particularitate a gndirii const n faptul c omul nu efectueaz o activitate la ntmplare. La nceput el o planific n minte, i stabilete obiectivele, i fixeaz etapele, i imagineaz efectele, ntr-un cuvnt o anticipeaz. Abia dup ce demersurile gndirii s-au finalizat ntr-un produs (o idee, un principiu, o ipotez) omul trece la executarea propriu-zis a activitii.

8

i pot fi oare cadrului didactic indiferente succesiunea operaiilor gndirii n elaborarea, de exemplu a unui proiect? Sau rezultatele, produsele gndirii sale n prezena diferitelor sarcini colare? Bineneles c nu. Monitorizarea didactic a mersului gndirii a elevului i a produselor ei semnific o eficient predare i nvare.

Tot astfel de particulariti ale gndirii, precum anticiparea, i faciliteaz cadrului didactic stabilirea curriculumului colar, fiind implicate n selecia cunotinelor de

matematic n coninutul diferitelor obiecte de nvmnt.

I.2. Modalitatea de procesare abstract a informaiilor Tipurile de informaii care sunt procesate, prelucrate reprezint coninutul gndirii. Operarea, prelucrarea informaiilor reprezint latura ei funcional sau operatorie.

n psihologie sunt cunoscute mai multe tipuri de gndire difereniate dup diferite criterii i care sunt implicate n procesarea abstract a informaiilor. Astfel:

dup orientare: direcionat i nedirecionat; dup tipul operaiilor presupuse: algoritmic i euristic; dup finalitate: reproductiv, productiv i critic; dup sensul de evoluie: divergent i convergent;

dup demersurile logice: inductiv, deductiv, analogic; dup modul de desfurare: vertical i lateral;

dup valoare: pozitiv i negativ; dup corespondena cu realitatea: vigil i autistic

dup eficien: eficient i neeficient. n procesul de predare nvare se va urmri cu prioritate dezvoltarea gndirii

economice divergente, a gndirii euristice i a gndirii productive.

I.2.1.Gndirea tiinific

Gndirea tiinific nu este o trstur proprie numai omului de tiin, ea devenind o condiie din ce n ce mai imperios necesar n toate domeniile de activitate uman. Gndirea tiinific se difereniaz de gndirea empiric prin faptul c opereaz cu abstractizri i generalizri; presupune cutarea creativ i flexibilitate; include aptitudini

cognitive care permit cutarea creatoare a noului; face posibil transferul de strategii i

9

cunotine; avanseaz pn la nivelul generalizrilor constructive; exercit intercorelarea

dintre componenta teoretic i cea experimental. n procesul de predare nvare formarea i dezvoltarea gndirii tiinifice este o preocupare important a educatorului. Cercetrile au artat c metoda cea mai adecvat de

stimulare a gndirii tiinifice este nvarea prin descoperire dirijat. n unele cazuri aceasta poate mbrca forma nvrii prin cercetare, care presupune investigare sistematic

n vederea descoperirii noului.

I.2.2.Gndirea divergent

n modelul tridimensional al intelectului, psihologul J.G.Guilford (1959) a propus termenul de gndire divergent i cel de gndire convergent.

Gndirea divergent presupune cutarea a ct mai multor soluii pentru rezolvarea unei probleme prin ndeprtarea de la punctul iniial de pornire nspre ct mai multe direcii. Specificul acestui tip de gndire presupune urmtoarele:

capacitatea de a combina unele date pentru a obine ct mai multe variante de

soluionare a unei probleme; capacitatea de explorare i punere n valoare a ct mai multor structuri verbale i

figurale;

capacitatea de enumerare a ct mai multor utilizri a unor obiecte; capacitatea de a gsi i forma ct mai multe cuvinte, ntrebri, propoziii.

Prin aceste capaciti, gndirea divergent probeaz flexibilitatea i mobilitatea gndirii. Gndirea convergent se bazeaz pe reguli precise i algoritmice. Este o gndire mai rigid, care caut soluii la probleme, preponderent, n direcii cunoscute. Guilford a pus gndirea divergent la baza creativitii iar, dup opinia lui cea convergent, caracterizeaz inteligena.

I.2.3. Gndirea euristic

Gndirea euristic caut soluii la probleme n mai multe direcii, exploreaz posibiliti diversificate de realizare a unei sarcini. Demersurile ei sunt probabiliste, posednd numeroase posibiliti de rezolvare.

10

Spre deosebire de gndirea algoritmic, gndirea euristic poate ajunge la rezultatele incerte, nesigure i chiar eronate. De asemenea, gndirea euristic este flexibil, ea se mic cu uurin n orice direcie, i modific facil orice operaie pe care o efectueaz dac aceasta nu este orientat n direcia propus. Aceast gndire este plastic

i inovatoare, n timp ce gndirea algoritmic este automatizat i rigid. Gndirea euristic i probeaz eficiena n situaii noi, neobinuite. Cea algebric este eficient n mprejurri cunoscute, familiare. De asemenea, acest ultim tip de gndire este eficient n rezolvarea problemelor bine definite, pe cnd gndirea euristic este eficient n rezolvarea problemelor slab determinate. Aceste date pe care le-am prezentat dup I. Zlate ar putea conduce la concluzia c gndirea euristic ar fi total opus gndirii algoritmice.

n realitate aceste dou tipuri de gndire interacioneaz strns. Nu exist o gndire pur sau exclusiv algoritmic, pur exclusiv euristic, ci forme de gndire predominant de un tip sau altul, nlocuindu-se sau completndu-se una pe alta, dependent de particularitile situaiilor rezolutive. [13]

I.3. Procesarea informaiilor prin activitile gndirii

n psihologie exist operaii fundamentale (analiza, sinteza, comparaia, generalizarea, abstractizarea i concretizarea); operaii instrumentale (tipuri de operare, proceduri: algoritmice, aritmetice, productive, reproductive, divergente, convergente), operaionale complexe (modulare activitate de memorie asociativ i controlat prin sarcinile pe care subiectul trebuie s le mplineasc). n ceea ce privete educaia cognitiv, aceste mecanisme prin care se realizeaz procesarea abstract a informaiilor prezint importana major prin rolul operaional, activ pe care l au n rezolvarea sarcinilor, n antrenarea elevilor, n mod direct, n modificarea metodologiei instruirii.

I.4. Cultivarea gndirii creative n rezolvarea de probleme

Formarea gndirii logice i creative la copiii din clasele I IV se formeaz cu preponderen n cadrul orelor de matematic.

n activitatea gndirii distingem cele patru operaii principale:

11

1. Analiza i sinteza sunt operaii mintale opuse. Prin analiz se nelege procesul de desfacere mintal a obiectului n prile sale componente stabilind relaia ntregului fa de aceste pri componente. Sinteza este operaia invers analizei, constnd n unificarea mintal ntr-un ntreg a prilor sau

nsuirilor obiectelor considerate. 2.Comparaia este operaia de stabilire a asemnrilor i deosebirilor dintre lucruri. 3.Abstractizarea este operaia mintal prin care desprindem o anumit nsuire a unui obiect sau fenomen dintr-un ntreg. 4.Generalizarea este operaia mintal prin care ne ridicm de la un obiect sau un grup limitat de obiecte la o categorie pe baza unor nsuiri comune constante.

Aceste operaii nu se desfoar separat, ele se mpletesc strns n dinamica real a gndirii, n activitatea de cunoatere i rezolvare a problemelor ntlnite.

Studiul matematicii n clasele primare urmrete s-i narmeze pe elevi n mod contient i sistematic cu acele cunotine, priceperi i deprinderi care sunt necesare rezolvrii problemelor practice la nivelul vrstei lor i constituie suportul indispensabil continurii nvrii matematicii n celelalte clase.

Prin predarea acestei discipline, care are puternice valori formative i care contribuie ntr-un mod categoric la dezvoltarea gndirii logice i creatoare se urmresc

anumite obiective: Dobndirea unui cuantum de cunotine necesare studiului matematicii n etapele

ulterioare ciclului primar, precum i cerinele impuse n via;

Dezvoltarea priceperilor i deprinderilor de a aplica cunotinele dobndite i n alte domenii de activitate;

Formarea simului de disciplin i ordine; Formarea unei comportri corecte n munc i n societate.

Procesul de nsuire a cunotinelor de matematic se face n decursul anilor, ntr-un sistem bine nchegat. Matematica este disciplina care contribuie nemijlocit la dezvoltarea gndirii creatoare i independente, la realizarea laturii formative a sistemului de nvmnt acesta realizndu-se prin activiti care solicit independena n

investigaie, originalitate.

ntruct procesul omenirii nu este posibil fr activitatea creatoare a oamenilor este firesc ca aceasta sa fie considerat drept forma cea mai nalt a activitii omeneti. Creativitatea e un proces care duce la un anumit produs caracterizat prin originalitate sau

noutate i prin valoare sau utilitate pentru societate.

12

n procesul cunoaterii nu se poate face o delimitare a dimensiunilor creativitii, deoarece gndirea, prin nsi natura ei, are un caracter creator, iar aceast activitate creatoare se refer i la gsirea de soluii, idei, probleme, metode care nu sunt n societate dar la care s-a ajuns pe o cale independent. Prin creativitate se nelege deseori factori psihologici poteniali ai unor viitoare performane creatoare ntr-un domeniu sau altul al activitii omeneti. Educarea acestor factori poate ncepe la diferite nivele de vrst, cnd

copilul i manifest spontan tendina de a executa o activitate altfel dect ceilali. Aceast activitate ncepe din nvmntul precolar, iar nvmntul primar are menirea de a valorifica experiena acumulat de copii n direcia creativitii i de a o continua i extinde.

Analiznd activitile desfurate cu elevii n aceast direcie precum i a procedeelor de evaluare a progresului colar, se poate afirma cu certitudine c smna

creativitii exist n fiecare elev, rmnnd ca noi s-o facem s ncoleasc i s se dezvolte. Creativitatea se poate educa prin activiti care permit obinerea unor rezultate deosebite ntr-o anumit perioad de timp, ani colari sau cicluri de nvmnt. n acest scop este necesar s introducem suficiente probleme i exerciii de acest gen. Asemenea activiti ridic nelegerea elevilor deasupra amnuntelor problemelor i permit nsemnate

progrese n compunerea i rezolvarea lor. Prin creaie, copilul nelege mai bine algoritmul unei probleme, le recunoate mai uor n cazuri de analiz, le gndete mai uor. ntr-un astfel de scop, am propus elevilor urmtoarea problem:

Un val de mtase are 24 m, iar al doilea are jumtate din primul. Le-am cerut elevilor s pun ntrebarea astfel nct problema s se rezolve cu ajutorul unei singure operaii, cu dou operaii, cu trei operaii. Pentru primele dou sarcini au dat rspunsuri bune 75% dintre elevi, iar pentru a treia sarcin au rspuns corect 25%. ntrebrile formulate au fost: 1.Ci metri are al doilea val?

2.Ci metri au cele dou valuri la un loc? 3.Cte rochii se pot face, dac pentru o rochie se folosesc 4m de mtase?

Copilul de vrst colar mic are o mare predilecie spre creativitate, manifestare ce trebuie ncurajat de nvtor. Aceast creativitate este mult folosit n alctuirea problemelor ce au la baz adunri, scderi, nmuliri i mpriri cu numere de la 0 la 1000.

13

n ceea ce privete atitudinea elevilor fa de sarcinile cu caracter creator, aceasta este cu totul surprinztoare: s-a constatat c elevii nu numai c nu se simt suprasolicitai de ele, dar le doresc, le ateapt i de la un timp, le solicit. Dup ndeplinirea sarcinilor cu caracter creator, elevii par mai recreai, mai

odihnii. Copiii manifest un interes ct mai mare fa de diferite activiti care cer mai multe eforturi, n care-i pot ncerca posibilitile i prin care cer mai multe eforturi, n

care-i pot ncerca posibilitile i prin care reuesc s se afirme. Sunt mulumii de reuit i nemulumii cnd ncercrile dau gre. Chiar i elevii mai timizi i mai slabi dobndesc ncredere n forele proprii obinnd rezultate mai bune. nvtorul trebuie s fie receptiv la ceea ce le place elevilor, la ceea ce ei vor i pot realiza, modificnd, prin activiti ct mai variate posibilitile i dorinele lor, satisfcndu-le astfel interesele.

Aadar n cadrul orelor de matematic, prin moduri n care concepem leciile, elevii vor fi atrai de acest obiect dac vor fi antrenai n compunerea de exerciii i probleme asemntoare celor rezolvate n clas, dup exerciii sau scheme date nainte, dup observarea i gsirea metodelor de rezolvare a problemelor i a jocurilor matematice interesante. Cu ct elevul este lsat mai liber n alegerea datelor i mijloacelor de rezolvare, cu att i activitile creatoare devin mai uoare. n lipsa unor indicaii precise gndirea i imaginaia elevului acioneaz prin asociaii mai mult sau mai puin ntmpltoare.

14

CAPITOLUL II

METODOLOGIA ACTIVITII DE REZOLVARE A PROBLEMELOR

II.1. Conceptul de strategie didactic II.2. Metodologia i tehnologia instruirii n cadrul orelor de matematic II.2.1. Delimitri conceptuale II.2.2. Metodologia didactic

II.2.3. Tehnologia didactic II.2.4. Metode euristice folosite n rezolvarea problemelor II.3. Bazele psihopedagogice i metodologice ale rezolvrii problemelor II.3.1. Noiunea de problem II.3.2. Rolul problemelor de matematic n stimularea creativitii elevilor din ciclul primar

II.3.3. Clasificarea problemelor

15

CAPITOLUL II METODOLOGIA ACTIVITII DE REZOLVARE A PROBLEMELOR

II.1.Conceptul de strategie didactic

Strategiile didactice sunt sisteme de metode, procedee, mijloace i forme de organizare a activitii educaionale, integrate n viziune sistemic, n structuri operaionale unitare i coerente, care vizeaz construirea experienelor de nvare, formarea de abiliti,

capaciti i competene i raionalizarea procesului instructiv educativ. Considernd strategia didactic un mod de combinare optim a metodelor i

mijloacelor de nvmnt, I. Cerghit enumer urmtoarele criterii pentru stabilirea ei: concepia pedagogic general a epocii i concepia pedagogic

personal a educatorului; obiectivele instructiv-educative; natura coninutului;

tipul de experien de nvare propus elevilor (experien bazat pe demonstraie; experien bazat pe observaie; experien bazat pe descoperire; experien bazat pe mici experimente);

principiile / normele, regulile didactice; dotarea didactico-material a colii; timpul colar disponibil.

Dup C. i Ghe. Dumitriu strategiile didactice au fost clasificate dup urmtoarele

criterii:

dup particularitile evolutive ale gndirii elevilor:

strategii inductive (de la fapte concrete la elaborarea noiunilor; percepia-gndirea abstract; particular-general);

strategii deductive (de la definiie la concretizri, exemplificri; de la noiune la exemple concrete; de la general la particular);

strategii analogice-bazate pe modelare; strategii mixte.

dup gradul de dirijare / nondirijare a nvrii:

16

strategii algoritmice;

strategii semialgoritmice (nvarea semiindependent); strategii nealgoritmice (euristice, bazate pe descoperire, rezolvare de

probleme, strategii creative). Joia E. a fcut urmtoarea clasificare a strategiilor didactice:

dup activitatea dominant n procesul instruirii:

de predare: de prezentare, de urmrire a unor norme,

reguli de tip algoritmic, prin expunere, demonstraie, exerciiu;

de activizare a elevilor n predare; de combinare a celor dou modaliti de

predare. de nvare:

algoritmic (prin imitare, prin repetare, prin receptare);

euristic (prin rezolvare de probleme deschise, prin dezbateri, prin cercetri de

grup); de evaluare:

iniial, continu sau sumativ;

de verificare prin metode specifice; de msurare, notare a rezultatelor; de interpretare, apreciere calitativ; de stimulare, de ameliorare, de prognosticare.

dup natura obiectivelor dominante: de realizare a scopurilor (informative, formative,

educative, n combinaie); de realizare a obiectivelor operaionale (cognitive,

afective, psihomotorii, combinate); de realizare a obiectivelor specifice temelor,

domeniilor. dup modul de dirijare al nvrii:

de dirijare;

17

de semidirijare; de nonintervenie parial.

dup tipul de raionament abordat: de predare-nvare inductiv;

de predare-nvare deductiv; de predare-nvare transductiv;

de nvare prin analogie; de combinare a raionamentelor.

dup categoriile de aciuni predominante: bazat prioritar pe aciunea de comunicare;

bazat prioritar pe nvarea prin cercetare; bazat prioritar pe aciunea practic-aplicativ;

bazat prioritar pe aciuni programate; bazat prioritar pe ameliorarea rezultatelor; bazat pe adaptarea la schimbri, prin utilizarea de

transferuri.

n clasele I-IV, specifice predrii-nvrii matematicii sunt strategia inductiv i strategia analogic. n strategia inductiv, nvtorul i elevii fac experimente asupra situaiei date sau n cadrul ei, realiznd aciuni reale cu obiecte fizice sau cu obiecte create de gndire. Pe baza observaiilor fcute, elevii sunt condui spre rezolvri de probleme. n schimb, strategia analogic are ca baz fundamental o prim i esenial caracteristic a gndirii matematice i anume relevana ei logic-analogic. Dup I. Dncil, un absolvent al ciclului primar cunoate / sau ar trebui s cunoasc cei 4 pai de care are nevoie n rezolvarea unei probleme:

Primul pas: nelege problema: Ai neles toate cuvintele din enun?

Poi s redai problema cu propriile cuvinte?

tii ce se d? tii ce se cere?

Ai suficiente informaii (date)? Sunt informaiile de care ai nevoie? Ai mai ntlnit probleme asemntoare?

18

Al doilea pas: F-i un plan:

Un elev absolvent al ciclului primar este capabil / sau ar

trebui s fie capabil s utilizeze urmtoarele strategii: 1. Ghicete i testeaz; 2. Desf problema n probleme simple; 3. Descoper o regul;

4. Determin (precizeaz) i caut numrul necunoscut; 5. Realizeaz un desen; 6. ntocmete o list.

Al treilea pas: Utilizeaz planul fcut: Scrie operaiile matematice adecvate i efectueaz calculele cu

mare atenie;

Scrie cu luare aminte propoziiile de rspuns.

Al patrulea pas: ntoarcere la enun: Rspunsurile gsite satisfac toate condiiile problemei ?

Sunt rezolvabile?

Nu exist o soluie mai simpl?

II.2. Metodologia i tehnologia instruirii n cadrul orelor de matematic

II.2.1. Delimitri conceptuale

Dirijor al procesului educaional, nvtorul apeleaz la o serie ntreag de instrumente pentru a uura i accelera asimilarea i aplicabilitatea informaiilor.

II.2.2. Metodologia didactic n 1982 R. Mucchieli definea conceptul de metodologie ca totalitatea metodelor utilizate de o tiin.

Metodologia didactic semnific ansamblul metodelor i procedeelor utilizate n procesul de instruire avnd la baz o concepie unitar cu privire la actul de predare-nvare principiile i legile care-l guverneaz. [8]

19

Cu alte cuvinte, ea pune la dispoziia celui interesat precizri cu privire la natura, funciile i clasificrile elementelor.

n semnificaia originar, cuvntul metod provine din grecescul methodos (odos - cale, drum; metha- spre, ctre), ceea ce nseamn cale de urmat n vederea atingerii unui scop sau, un mod de urmrire, de cutare i aflare a adevrului. [6]

II.2.3. Tehnologia didactic

Tehnologia didactic nglobeaz ansamblul de forme, metode, mijloace, tehnici i relaii cu ajutorul crora se vehiculeaz coninuturi n vederea atingerii obiectivelor, desemneaz demersul ntreprins de profesor n vederea aplicrii principiilor nvrii ntr-o situaie practic de instruire.

Din perspectiva instruirii didactice, iniiale i continue este oportun s acceptm o abordare a conceptului de tehnologie didactic care ncearc a stabili nite limite n necuprinsul proces de conturare a personalitii umane. Eficacitatea organizrii, realizrii procesului de nvmnt din perspectiva

tehnologiei educaionale const n orientarea didactic-pedagogic spre construirea soluiilor de predare i nvare eficient, recomandarea strategiilor, care tind spre cea mai

reuit ncercare de a rspunde ntrebrilor persistente n procesul educaional: Ce s predea i cum s predea? Ce s nvee i cum s nvee? Ce s se autoevalueze i cum s se autoevalueze ?

Pentru sporirea productivitii nvmntului n sensul creterii ritmului de asimilare de ctre elevi a unor cunotine selecionate i tot mai concentrate i formarea priceperilor i deprinderilor sunt solicitate tehnici de investigare i descoperire, se cere o metodologie didactic bazat pe utilizarea ntr-o manier nou a metodelor clasice de nvmnt prin orientarea lor ntr-o direcie euristic.

Nici o metod nu poate fi declarat cu prioritate pasiv sau activ. Orice metod poate conine un anumit grad de activizare. Important este de a avea n vedere n ce msur

o metod utilizat corespunde nivelului de dezvoltare a elevului, n ce msur este adecvat obiectivelor i coninutului, ct de activ este antrenat elevul.

20

II.2.4. Metode euristice folosite n rezolvarea problemelor

Mai presus de transmiterea informaiei, i mai important dect acest deziderat, este necesitatea de a-i nva pe elevi s utilizeze informaiile asimilate i de a ajunge, prin intermediul lor, la noi informaii. Vocaia nvmntului de azi este de a forma oameni capabili de a mnui informaii, de a face din informaia existent n memorie un instrument

de cutare, de cercetare, de descoperire a unor noi adevruri. Aceast tendin duce la folosirea pe scar larg a acelor metode care-i nva pe tineri s foloseasc informaiile, s le verifice n sprijinul obinerii altor informaii i acestea sunt metode euristice bazate pe reflecie, pe gndire.

Euristica sau euretica a fost numele unei anumite materii de studiu nu prea clar descrise, aparinnd logicii sau filozofiei, sau psihologiei, care a fost adesea caracterizat

n linii mari, foarte rar expus n amnunt i practic dat uitrii astzi. Cele mai celebre ncercri de a construi un sistem de euristic se datoreaz lui Descartes i lui Leibniz, amndoi mari matematicieni i filozofi. Dicionarul de psihologie definete noiunea -euristica- arta investigrii, cutrii

i descoperirii prin intermediul gndirii, a cilor de soluionare i a inventivitii umane. Euristica s-a constituit ca o ramur special a metodologiei tiinei.

n general, se numesc euristice acele metode care, bazate pe raionamentul inductiv i / sau deductiv ori transductiv impun o transformare a informaiilor achiziionate n vederea obinerii unei noi informaii sau a rezolvrii unei probleme. Acestea privesc, dup Bruner, o reorganizare interioar a unei idei anterioare cunoscute, pentru a se ajunge la noi legturi, la noi date. Dup H. Aelbi, metodele euristice caut s pun n valoare acea tendin a gndirii de a construi o nou reacie, de a forma noi operaii. Pentru a ajunge aici, elevul urmeaz s fie pus, mai nti de toate, n fa unor teme cu grij selectate n vederea cercetrii care sunt generatoare de ntrebri, care conduc la o situaie de explorare din care s rezulte

o problem de cutare i cercetare i care s se poat rezolva cu ajutorul cunotinelor i capacitilor existente n prealabil n mintea elevilor, contndu-se pe un efort independent

de gndire. n acest sens, euristica se sprijin pe exerciiul sever al refleciei personale i pe experimentul mintal. n general euristica este cluzit de sarcini teoretice, abstracte, realizabil cu metode inductive, deductive i transductive.

21

n cazul metodelor inductive, subiectul progreseaz de la construcia unor cunotine sau structuri cognitive specifice sau particulare, existente deja n memorie, la descoperirea unor structuri cognitive cu un grad mai nalt de abstractizare, de tipul unor concepte, idei, principii. Demersul inductiv poate aprea sub forma trecerii de la

percepiile unor discipline particulare la generalizri mai cuprinztoare i mai profunde. Toate acestea sunt regsite n:

conversaia euristic;

metoda problematizrii; metoda expozitiv .

n cazul metodelor deductive, demersul este invers celui deductiv, n sensul c subiectul implicat n deducie pornete de la cunotine cu caracter general, ajungnd la cunotine cu caracter particular; de la o noiune, idee, principiu definite pentru a ajunge la cazul particular sau specific; de la o generalizare superioar la o alta inferioar. Dup Ausubel, Drumul normal al cunoaterii concentrate i recapitulative din activitatea colar este al deduciei, de la vrf spre baza piramidei conceptuale a fiecrei discipline [1] sunt folosite n scopul prezentrii de adevruri sub form de axiome, postulate, idei, noiuni n formarea gndirii ipotetico-deductive. Metodele transductive, divergente, implic relaii ilogice, treceri de la particular la

general, ca n gndirea artistic sau imaginativ, responsabil de elaborarea unor idei originale. Sunt indicate, ndeosebi, n predarea literaturii, a muzicii, a artelor plastice i a diferitelor meserii. Metodele euristice confer, deci, o valoare operaional a cunotinelor nsuite. Principalul este ca elevul s fie pus n situaia de a face apel la propriile lui informaii, pe ct posibil din proprie iniiativ, nvtorului revenindu-i urmtoarele sarcini:

s sprijine prin ntrebri de descoperire efortul elevilor; s provoace contradicii n mintea elevilor; s-l nvee pe elev s exploreze aceste contradicii din gndirea lui, din

cuprinsul cunotinelor sale.

Practicarea pe o perioad mai ndelungat a unor asemenea proceduri conduce la

formarea unor strategii cognitive (au sensul unor deprinderi intelectuale de un tip special, de capaciti care guverneaz comportamentul de nvare, de memorizare i gndire al elevului) corespunztoare, cu valoare euristic de tipul induciei, deduciei i analogiei. Metodologia euristic incit activitatea intelectual a elevului, l oblig s

gndeasc i s reflecteze n cursul nvrii, stimuleaz capacitatea de asociaie, d loc la

22

noi asociaii, face s se nasc noi idei. Metodologia euristic arat ca un arbore de posibiliti ale crui brae de susinere a coroanei sunt:

reflecia euristic;

conversaia euristic;

demonstraia teoretic; dezbaterea euristic;

nvarea prin rezolvarea de probleme; modelarea euristic; jocurile de simulare;

1. Conversaia euristic (socratic, maieutic) Este o metod folosit n scopul sintetizrii i aprofundrii cunotinelor

matematice i nu numai. Este acea form a conversaiei care are drept scop descoperirea unor noi adevruri de ctre elevi, n urma unui efort de cutare propriu. Avnd un caracter verbal, conversaia euristic are un grad mai mare de activizare, n msura n care l oblig pe elev s porneasc la aflarea unor soluii. Acestea pot fi gsite pentru c ele preexist n

cunoaterea anterioar asimilat de elevi. Rolul nvtorului n utilizarea conversaiei euristice este acela c, prin ntrebri

bine concepute, ordonate ntr-o anume nlnuire s conduc din aproape n aproape procesele de cunoatere ale elevului pn cnd acesta va ajunge la naterea unui nou adevr. Principalul instrument de lucru n cadrul acestei metode este ntrebarea, un loc aparte l ocup tipologia ntrebrilor ca i exigena formulrii lor. Exemple de utilizare a conversaiei euristice n cadrul orelor de matematic. Tema : Scderea numerelor naturale n concentrul 0 -20. Se poate porni de la o problem de tipul: Ana are 40 de pere, ea druiete prietenilor si 20 pere. Mai trziu, bunica sa i

ofer nc 10 pere. Cte pere are Ana? Ce cunoatem n problem? (...Ana are 40 de pere) Ce face Ana? (Druiete prietenilor si 20 pere) Aceasta nseamn c ea va avea mai multe pere sau mai puine pere dect la

nceput ? (mai puine) Prin ce operaie aflm cte pere are Ana dup ce le-a druit prietenilor si

cteva ? (scdere: 40 pere - 20 pere = 20 pere)

23

Ce a fcut bunica Anei ? (i-a druit acesteia 10 pere) Aceasta nseamn c fetia are acum mai multe sau mai puine pere ? (mai multe) Cu ct mai multe ? (cu 10 pere) Prin ce operaie aflm cte mere are Ana n final ? (adunare: 20 pere + 10 pere = 30

pere) M. Ionescu ofer o tipologie a ntrebrilor dup criteriul modului de adresare astfel:

TIPUL NTREBRII CARACTERISTICI EXEMPLE 1. Frontal (general) Adresat tuturor elevilor Care este cauza? De ce? 2. Direct Adresat unui anume elev. X: Ce te face s susii c... ?

3. Inversat Primit de la conductorul discuiei de la unul din elevi i returnat acestuia.

Elevul: Ce se ntmpl dac...? Profesorul: Tu ce prere ai...?

4. De releu i de completare

ntrebare pe care un elev o adreseaz educatorului, iar acesta o repune unui alt elev

sau rspunsul se construiete

prin completare de ali

participani.

Elevul X: Nu credei c...? Profesorul: Colegul vostru X a ridicat o problem extrem de

important, ce prere avei voi

despre asta ?

5. De revenire ntrebare pe care educatorul o pune relund o observaie, o idee, o prere emis anterior de unul din elevi a crei luare n seam nu era indicat n

acel moment.

Z i-a manifestat mai devreme

opinia c...

Cum credei c poate fi influenat de ...?

6. Imperativ Se formuleaz o cerere necondiionat.

V rog s rezumai prerea

dumneavoastr, analizai urmtorul caz, explicai

diferenele .a.

7. De controvers Presupune rspunsuri ce par

contradictorii, n chestiuni

principale.

Ne natem oameni sau

devenim oameni ? Geniile se

nasc sau se formeaz ?

Talentul se motenete ?

24

Esenial este faptul c nvtorul orienteaz n permanen gndirea elevului, prin felul i ordinea n care formuleaz ntrebrile, astfel c din aproape n aproape s ajung la noutatea propus.

Conversaia euristic are i o formul specific de desfurare. Adic, se poate

observa c ntrebrile i rspunsurile se ncheag n serii compacte, fiecare nou ntrebare avndu-i originea sau punctul de plecare n rspunsul anterior.

2. nvarea prin descoperire

Este o metod a fost elaborat n ultimele decenii ale secolului XX. Aceast metod

este considerat o metod didactic modern. Pentru a vorbi de aceast metod trebuie mai nti s definim nvarea. nvarea este o aciune, un proces de cunoatere care se desfoar ntr-o anumit situaie spaio-temporal. Definit n termeni de conduit i comportament, nvarea const ntr-o modificare sistematic a conduitei. Aadar, aceast metod este o cale de a intra n posesia adevrurilor prin fore

proprii. Elevul, n procesul de nvmnt, observ, acioneaz i mediteaz asupra existenei, dobndete noi informaii i deprinde noi semnificaii. Se bazeaz pe fora

personal de cunoatere. O astfel de descoperire este nsoit de o dirijare exterioar, din partea cadrului didactic.

3. Brainstorming-ul

Brainstorming-ul sau asaltul de idei este mai mult o metod euristic de stimulare a creativitii i de descoperirea unor soluii inovatoare, dect o metod didactic. Aceast metod mai poart numele i de metoda evalurii amnate. n concepia Elenei Danciu, anularea cenzurii intelectuale blocheaz capacitatea creativ. Brainstorming-ul va avea eficien dac grupurile de elevi n care se realizeaz nu vor depi cincisprezece membri, vor fi eterogene, se vor evita tendinele de nchidere,

atmosfera inhibitorie. Se vor respecta reguli ca:

se accept ca avnd caracter de cunotine toate ideile, excluse fiind glumele;

nu se critic nici o sugestie;

25

se pune accent mai mult pe cantitate dect pe calitate; evaluarea soluiilor preconizate se realizeaz dup un anumit timp prin compararea i selectarea ideilor valoroase; se accept apartenena colectiv a ideilor, evitndu-se minimalizarea.

4. Modelarea

Modelarea ca metod pedagogic este definit ca un mod de lucru prin care gndirea elevului este condus la descoperirea adevrului cu ajutorul modelului, graie raionamentului prin analogie.

Modelarea similar const n realizarea unui sistem de aceeai natur cu originalul care s permit evidenierea trsturilor eseniale ale originalului. Aceast

metod este frecvent ntlnit n matematic i informatic, n elaborarea algoritmilor utiliznd o anumit metod clasic de elaborare. Metoda analogic nu presupune o asemnare perfect cu originalul, ci numai o analogie.

Momentele cunoaterii n procesul modelrii sunt: trecerea de la original la model;

transformarea modelului sau experimentarea pe model; transferul pe original a rezultatelor obinute pe model; verificare experimental pe original a proprietilor obinute pe model;

Trecerea de la original la model se face prin simplificare. Se impune ca simplificarea s nu fie exagerat pentru a nu se omite prin ea etape eseniale ale

originalului. Totodat trebuie s nu se scape din vedere c valoarea modelului va fi apreciat prin prisma eficacitii lui, adic a posibilitilor pe care le ofer pentru atingerea scopului i c noile informaii obinute pe baza modelului vor fi comparate stabilindu-se diferena dintre model i original.

5. Alte metode de rezolvare, puncte de sprijin, aplicaii.

Copilul care intr n clasa I are 4 ani de nvmnt precolar. nainte de a porni la modernizarea gndirii copilului trebuie s ne gndim c ea este direct influenat de viaa social. Elevul are deci anumite cunotine de matematic: tie s numere, cunoate irul

numerelor naturale 0-10, tie c succesorul unui numr este cu o unitate mai mare dect

26

numrul dat i tie s compun i s rezolve probleme compuse dup imagini date. Deci, n vocabularul su, este prezent cuvntul problem, iar la ntrebarea: Ce este o problem? dau rspunsuri variate, ingenioase de felul: O propoziie, O scurt istorioar, O ntmplare i chiar rspunsuri mai complete, mai aproape de adevr: Un text cu exerciii, O poveste

scurt cu operaii.

n urma discuiilor purtate cu elevii am ajuns la concluzia c, n acelai timp cu rezolvarea primelor probleme, trebuie predat noiunea n sine. Elevii sunt receptivi att n activitatea de rezolvare a problemelor propuse de nvtor sau de manual, din culegeri ct i n activitatea de compunere a lor. Cei care nu reuesc s rezolve probleme simple nseamn c nu neleg relaiile dintre date i cerine.

Valorile numerice se leag greu de coninut, numerele exercitnd asupra elevului o anume fascinaie, o presiune psihic care l determin s ignore coninutul problemei.

Dificulti apar din pricina limbajului matematic care poate deruta elevul, acesta nerezolvnd sarcina dat. De aici reiese o sarcin important a nvtorului, aceea de a-i nva pe elevi s traduc textul unei probleme n limbajul operaiilor aritmetice. Cel mai atractiv mijloc de a nva o problem este punerea ei n scen prin ilustrarea cu materialul didactic i a altor mijloace intuitive. n anul colar 2008 2009, la clasa I, la coala ,, Ion Creang , am folosit un mod deosebit de a introduce i preda noiunea de problem; prima problem de matematic a fost prezentat sub forma unui scenariu.

Un pota mi-a adus astzi 2 scrisori i 5 vederi. Cte scrisori i vederi am primit eu astzi ? Pe catedr aveam cele 2 scrisori i 5 vederi. S-au purtat discuii n care s-a specificat c sunt 2 scrisori i 5 vederi. S-a citit ntrebarea i s-a precizat c propoziia interogativ este ntrebarea problemei. Se puncteaz prile problemei:

Se cunoate din problem: c sunt 2 scrisori i 5 vederi. Deci, partea care arat ce se tie n problem se numete TEXTUL PROBLEMEI, conine datele i valorile numerice 2, 5 i relaiile dintre date aici: relaia de reuniune, operaia de adunare;

Ce nu se cunoate, ce trebuie s se afle este totalul de scrisori i vederi aduse i constituie NTREBAREA PROBLEMEI.

Dup stabilirea problemei se trece la rezolvarea ei:

Cum gndim?

27

La 2 scrisori s-au adugat 5 vederi. 2 + 5 = 7

Cum verificm? Prin numrare (un elev numr totalul scrisorilor i vederilor de pe catedr).

Se consolideaz prin rezolvarea unei alte probleme simple. Cnd se rezolv problema, nvtorul face analiza i sinteza ei, pentru ca elevul s

aib un model de analiz i sintez. O condiie necesar pentru rezolvarea problemei o constituie cunoaterea elementelor sale de structur care nu se poate realiza, numai ntr-o lecie ci se va consolida pe parcursul unor numeroase lecii.

n manualele de matematic apar, nc din clasa I, numeroase imagini suport pentru compunerea problemelor necesare predrii i consolidrii noiunii de numr natural

i operaiilor aritmetice de adunare i scdere. Din primele lecii, noiunea de problem este predat odat cu formarea conceptului de numr natural pentru c, n esen, formarea unui numr conform axiomelor lui Peano, este o problem de tipul n + 1, iar pentru a compune problema corect dup imagini, elevul trebuie s cunoasc elementele de

structur, s stpneasc conceptul de problem. O alt problem ce se ivete n faa colarului mic este introducerea unor notaii

matematice cu grad maxim de abstractizare deci, de dificultate sporit i folosirea limbajului matematic. Elevul trebuie s cunoasc limbajul matematic i trebuie s tie c este foarte important respectarea lui, deoarece:

Limbajul sugereaz operaiile mai mult cu, mai mare cu adunare i mai mic cu, mai puin cu scdere.

Limbajul indic ordinea operaiilor: adun cu 2 diferena numerelor 9 i 4, ( 9 - 4) +2 ; adun 2 cu 3 i nmulete rezultatul cu 6, ( 2+3 ) x 6;

n cadrul mulimilor arat apartenena unui element la un grup de elemente cu o proprietate dat: 2< x 8, x {3, 4, 5, 6, 7, 8, } sau x ( 3; 8]. Dac n exerciii sensul anumitor semne este ntotdeauna clar (+ , - , x, :), n probleme ce se dovedete a fi polisemantic, deci elevul trebuie s-l cunoasc sub diferitele

lui exprimri.

Dac nu va nva sensul acestor exprimri va ntmpina, mai trziu, greuti de limb n rezolvarea problemelor i nu de raionament. La nceput de drum, n rezolvarea problemelor, sensul semnelor matematice va fi

redat prin cuvinte: adugat, crescut, venit, adus (pentru adunare) i s-au consumat, au

28

plecat, s-a micorat cu (pentru scdere) ca, mai trziu s devin tot mai variate aceste sensuri pentru a putea permite trecerea de la cuvnt la semnul aritmetic respectiv. Dac rsfoim manualul de matematic de clasa I observm c problemele de tipul a + b, a b, reprezint un procent de 80% din total n timp ce restul au o pondere foarte

mic. Ele au rolul de a consolida deprinderile de calcul, noiunea de problem i rezolvarea ei. Reprezint i primii pai spre exersarea flexibilitii i fluenei gndirii cnd elevii sunt

condui s compun probleme prin analogie, abordnd o mare varietate de enunuri. Problemele simple sunt uor de neles de ctre elevi. n rezolvarea lor trebuie depistate dificulti de genul: neglijarea ntrebrii, confundarea operaiilor, neglijarea unor date, includerea rspunsului n enun.

Voi enumera cteva posibiliti pe care nvtorul le are la dispoziie pentru rezolvarea acestor sarcini:

Propunerea unui numr suficient de probleme de diverse tipuri; Analiza temeinic a acestora;

Prezentarea unor probleme cu date incomplete pe care elevii s le completeze i apoi s le rezolve;

Prezentarea unor probleme n care lipsete ntrebarea cu sarcina stabilirii ei; Prezentarea unor probleme la care sunt posibile mai multe ntrebri.

Exemplu: ntr-o clas sunt 18 fete i 12 biei . Ci elevi sunt? Cu ct este mai mare numrul fetelor dect al bieilor? Cu ct este mai mic numrul bieilor dect al fetelor?

Prezentarea unor probleme glume.

Exemplu: Din patru pui de rndunic,

Ce n cuib stau cuminei,

Doi zboar fr fric Ci mai rmn din ei?

Completarea unui text dat cu valori numerice conforme cu realitatea; Probleme de perspicacitate;

Probleme ghicitori.

29

Exemplu: Orict de mare ai fi Cu mine te vei nmuli Nu-i voi folosi!

(R=0)(G.M. nr. 1/1979) Alctuirea de probleme n mod liber;

Alctuirea de probleme cu respectarea anumitor cerine: exerciii, scheme; Crearea unor probleme dup modelul unei probleme rezolvate anterior; Transformarea problemelor compuse n exerciii cu ordinea operaiilor n

succesiunea jumtilor de relaie corespunztoare coninutului problemei; Transformarea problemelor compuse n exerciii cu parantez care indic ordinea

operaiilor;

Compunerea de probleme fr ntrebare, cu ntrebare probabil sau cu nceput dat; Modificarea coninutului problemei i a datelor problemei cu trei variabile:

Acelai coninut i date noi; Coninut schimbat cu meninerea datelor problemei;

Coninut i date schimbate. Sarcinile care stau n faa copilului sunt numeroase, existnd posibiliti nelimitate

de a rezolva i alctui probleme care s se deosebeasc ntre ele. Pn i problemele simple, prin coninutul lor variat, l pot pune pe elev n faa unor situaii diferite. Problemele compuse aduc elevilor o dificultate n plus, aceea de a descompune n cel puin dou probleme simple. Adevrata dificultate ntr-o problem cu dou sau mai multe operaii const n efortul de a pstra legtura ntre verigi. De aceea este necesar ca trecerea de la rezolvarea problemelor simple la cele compuse s se fac progresiv, prin rezolvarea la nceput a unor probleme compuse alctuite din succesiunea a dou probleme simple, n care enunul indic i calea de rezolvare. Exemplu: a + (a b) = O florreas a vndut ntr-o zi 55 garoafe, cu 22 mai puine crizanteme. Cte crizanteme a vndut? Cte flori a vndut florreasa?

Sau: a b c = ntr-un irag sunt 64 bile. Unui biat i se dau 21 bile i unei fetie 10. Cte bile au rmas pe irag?

Rezolvarea 1: 1. Cte bile au rmas pe irag dup ce s-au dat 21?

30

64 21 = 43 (bile) 2. Cte bile au rmas pe irag dup ce s-au dat 10? 43 10 = 33 (bile) Formula literal: a b c =

Rezolvarea 2: 1. Cte bile s-au dat celor dou persoane?

21 + 10 = 31 (bile) 2. Cte bile au rmas pe irag? 64 31 = 33 (bile) Formula literar: a (b + c) = Exemplu: De la un stup s-au scos 16 kg miere de albine. Dup ce s-au vndut 9 kg, s-au mai scos 11 kg. Cte kg de miere sunt dup ce s-au mai scos a doua oar?

Rezolvarea 1: 1. Cte kg au rmas dup vnzarea celor 9 kg? 16 kg 9 kg = 7 kg 2. Cte kg sunt dup scoaterea celor 11 kg?

7 kg + 11 kg = 18 kg Formula literal: (a b) + a = Rezolvarea 2: Un elev a observat c, vnznd 9 kg i scond 11 kg, se va mri cantitatea iniial cu 2 kg i a propus rezolvarea:

1. Cte kg de miere va avea n plus? 11kg 9 kg = 2 kg 2. Cte kg de miere vor fi dup scoaterea celor 11 kg? 16 kg + 2 kg = 18 kg Formula literal: a +(c b) = Stabilirea formulei numerice i apoi elaborarea formulei literare, dup planul de rezolvare, oblig elevul s gndeasc asupra ntregului raionament, avnd imaginea

tuturor relaiilor posibile din problem. Prin planul de rezolvare elevii sesizeaz mersul raionamentului i nva s elaboreze tactica i strategia rezolvrii. Examinarea unei probleme se face, de regul, prin metoda analitic sau sintetic. n rezolvarea problemelor elevii vor descoperi mai multe metode de rezolvare discutndu-le

pe fiecare i alegnd calea cea mai economicoas, mai elegant, mai simpl. Se apreciaz

31

att modul de rezolvare ct i cel de verificare, se ncurajeaz orice ncercare pentru a preveni descurajrile copiilor care ntmpin dificulti. Dup o perioad n care s-au rezolvat suficiente probleme, ajutm elevii s sesizeze c fiecrei probleme i se asociaz un model logico-matematic obinut prin etape succesive.

Elaborarea modelului se poate face n forme variate: scheme, diagrame, grafice, desene, exerciii, formule literare, fiind un instrument deosebit de eficace. Prin acest model elevul

dovedete c a neles structura logic a coninutului i i exerseaz gndirea divergent, cresctoare.

n problematicul matematic, se recunosc trei tipuri: a. problematicul n sens aleatoriu (n gsirea soluiei unei probleme matematice poate interveni ntmplarea ca atare) aici se nscriu problemele de probabilistic care constituie un prezent, unele din cele mai moderne i mai bogate tipuri ntlnite foarte des n viaa

omului.

Acestea conin experiene, probe, ncercri, observaii sau procese ce pot avea rezultate diferite n funcie de circumstanele ntmpltoare ce nu pot fi cunoscute n prealabil.

Exemple: 1. ntr-o cutie sunt bile albe i roii. Scot la ntmplare, fr s privesc, 3 bile. Ce culoare pot avea cele trei bile? aaa / rrr /ara/rra Sunt 4 posibiliti. b. problematicul legat de rezolvarea unor condiii de manifestare a unor abiliti senzoriale (a percepe selectiv o figur geometric); c. problematicul legat de aducerea la cunotin a unor fapte cunoscute (aducerea aminte a unor metode de rezolvare a problemelor). Exist probleme n matematic pe care nu le putem rezolva numai prin efort, ci mai este necesar o puternic voin i dorina de a reui. Cnd descoperi soluia unei probleme grele te felicii, te bucuri c ai descoperit soluia.

Rezolvarea de probleme se bazeaz pe gndire personal, iniiativ cresctoare. Dac n alte discipline, se comunic fapte, idei deja cunoscute ( Exemplu: Unirea cea mare a avut loc la 1 Decembrie 1918, apa nghea la 0C), n matematic nu exist dect probleme; unele cu indicaii de rezolvare mai complete sau mai restrnse, altele fr nici o indicaie din exterior. Exist probleme de cercetare n care rezultatul nu este tiut, n care prima

problem este s ghiceasc rezultatul, iar a doua s se verifice dac rezultatul bnuit poate

32

fi demonstrat sau poate fi infirmat. Muli elevi care rezolv din Gazeta Matematic ncearc s propun probleme, adic s descopere o relaie algebric sau geometric, pentru ca s cear altora demonstraia. Problemele de tip colar nu se reduc doar la aplicarea corect a unei metode de

nvare, la aplicarea unor algoritmi. Din rezolvarea unei probleme apare elementul creativ, elevul va mbina cunoscutul cu noul, va pune n valoare o serie de cunotine i metode

cunoscute prin aezarea lor ntr-o mbinare nou. n toat activitatea matematic vom ntlni aceast continu mpletire ntre ceea ce tiu i ceea ce afl, ntre ceea ce au nvat i

ceea ce sunt pe cale de a nva. Cu fiecare problem rezolvat, elevul a mai nvat ceva, a fcut un pas nainte spre rezolvarea altei probleme, a creat ceva.

A nva i a crea, n matematic, sunt doi poli care nu se pot separa. Uneori, suntem pui n situaia de a nu aplica ceea ce tim, printr-o metod obinuit.

Un elev din clasa a III-a a avut de rezolvat urmtoarea problem: n dou lzi sunt 100 de portocale. Una dintre ele are cu 40 mai puin dect cealalt.. Cte portocale sunt n fiecare lad? Prima reacie a fost s aplice operaia de mprire dar, imediat, a observat o

dificultate n problem: nu era un numr egal de portocale n cele dou lzi. Deci ar mpri la doi dac ar avea un numr egal de portocale n cele dou lzi. Ce s fac? S egalizeze

prile: s scad cele 40 de portocale pe care una dintre lzi le are n plus sau s adauge 40 de portocale la lada cu mai puine portocale. Prin reprezentarea grafic rezolvarea se va face cu mai mult uurin.

S egalizm prile:

Caz I: Caz II 1. 100 40 = 60 (de 2 ori a doua lad) 100 + 40 = 140 (de 2 ori portocale din I lad) 2. 60 : 2 = 30 (portocale n a II-a lad) 140 : 2 = 70 (portocale n I lad) 3. 30 + 40 = 70 (portocale n I lad) 70 40 = 30(portocale n a II-a lad) Caz III: numr mai mic = (S D) : 2 = (100 40) : 2 =30 numr mai mare = (S +D) : 2 = (100 + 40) : 2 = 70 Un elev din clasa a V-a, aceeai problem o va rezolva algebric, fcnd sistem de ecuaii. El s-a dezobinuit s judece aritmetic: a b = 40 a + b =100 ---------------

33

2a = 140

a = 140 : 2

a = 70

70 b = 40 b = 70 40 b = 30 Deci, sarcina nvtorului rmne aceea de a-l pune pe elev n faa noului, de a-i cultiva gndirea creatoare, dar i de a transforma cunotinele n instrumente de lucru, destul de solide dar flexibile, putnd fi aplicate n condiii variate pentru a fi mnuite cu dibcie. Succesul activitii de rezolvare depinde, nu numai de perfeciunea instrumentelor

de lucru, ci i de felul cum sunt ele puse n aplicare, de felul cum ntreaga personalitate se angajeaz n munc. Matematica se nva nu numai cu cartea de matematic n fa, ci i cu caietul de ncercri alturi; la matematic nu se fac conspecte ca la alte discipline, ci i nsuete anumite cunotine prin efort propriu de gndire, prin descoperire. Dac le propun o problem elevilor, m ntreb dac le ofer ceva nou. Chiar i la

leciile de consolidare, de fixare a cunotinelor, nu efectuez doar exerciii ablon. Atunci elevii bat pasul pe loc, nu sunt pui s nfrunte o situaie problematic. S-a constatat,

adesea, c aceleai exerciii rezolvate mecanic, fr neles, le amoresc mintea, nu o nclzesc. Sunt metode care se repet, dar condiii variate, iar repetarea trebuie s nceteze de la sine atunci cnd coninuturile nu mai prezint nici o noutate. Deci, problemele nu vor fi ablonizate deoarece aritmetica este att de vast nct rmne un cmp destul de larg pentru iniiativ, pentru gndire proprie. Punerea elevului n contact cu noul, cu problemele de gndire, nseamn crearea condiiilor care l fac s propulseze, s se depeasc pe el nsui. Am propus, la clasa a III-a, o problem de perspicacitate. Am vrut s verific nu numai ce tiu elevii, ci i cum aplic ceea ce au nvat, capacitatea lor de adaptare la condiii noi.

Exemplu: La o ferm sunt animale. Un copil, trecnd pe acolo, l ntreb pe paznic:

- Sunt 100 de animale ? - Nu, rspunde paznicul. Ca sa fie 100 ar mai trebui un animal. Ele sunt o parte gini, de 4 ori mai multe oi dect gini, iar cai de 6 ori mai muli dect gini. Socotete tu cte gini sunt, cte oi i ci cai?

34

Mersul gndirii elevilor trebuie s fie sistematic, pornind de la ideea c sunt 100 1 = 99 animale compuse de 1 parte gini plus de 4 ori mai multe oi plus de 6 ori mai muli cai = 11 pri.

G

O 99

C

99 : 11= 9 ( gini ) 9 x 4 = 36 ( oi ) 9 x 6 = 54 ( cai ) Proba: 9 + 36 + 54 = 99 Pentru probleme cu mai multe operaii, cu mai muli pai, dup citirea problemei se solicit elevilor s identifice ntrebarea final, apoi s mearg napoi, din aproape n

aproape formulnd ntrebri pariale. Abia dup aceea se redacteaz planul de rezolvare. Pentru nelegerea semnificaiei problemelor este util s se parcurg, mpreun cu

elevii clasei, urmtoarea list de ntrebri, adecvat fiecrei probleme n parte: 1. Ce cunoatem n problem? 2.Ce se cere s aflm? 3.Rezolvai problema. Ce observai? 4. Care date (informaii) nu intervin n rezolvarea problemei? 5. Reformulai problema fr a utiliza datele n plus. 6. Compunei o alt problem n care informaiile n plus s intervin efectiv n rezolvare.

Exemplu: 48 de maini au participat la o curs de automobile. n fiecare main erau 2 oameni. 340 de oameni au privit cursa. 8 maini s-au accidentat pe parcurs. Cte maini i

ci oameni au participat la curs pn la sfrit?

Rezolvare: 1.Cte maini au participat n curs pn la sfrit? 48 8 = 40 (maini) 2. Ci oameni au participat n curs pn la sfrit?

35

40 x 2 = 80 (oameni) Date inutile n problem: cei 340 de oameni care erau spectatori ntrebare care trebuia formulat pentru a utiliza datele (informaiile) n plus ar fi: Ci oameni au fost prezeni la acea curs de automobile ?

Complicarea unei probleme prin introducerea de noi date i noi ntrebri reprezint un antrenament care ajut elevul s neleag problema. Copiii sunt ajutai, ncurajai i ndrumai s caute, s descopere, nu numai soluiile unor probleme ce invit la o atitudine activ, ci i s compun altele asemntoare, care s-i ndrume la creaii, s formeze atitudini, capaciti. Crearea problemelor se poate face, nu numai dup scheme simbolice, ci i pornind

de la numere izolate. Sarcin: Compunei o problem cu numerele 2 i 8 i apoi rezolvai-o.

La aceast sarcin, majoritatea elevilor rezolv sarcina de creaie . Apar ns i erori ce pun n eviden unele fapte importante. n cele mai multe cazuri, raionamentul matematic este corect, dar formularea literar s-a fcut defectuos. De exemplu: La aniversarea Ioanei au venit 2 invitai, iar dup o or au mai venit nc 8 invitai. Ci

invitai au venit la aniversarea Ioanei?

Stngciile, erorile apar la nivelul limbajului. O alt greeal se refer la prile problemei. De pild, Dan mi-a dat 2 banane i 8 portocale. Din problem lipsesc ntrebarea i rezolvarea. Deci, elevului nu-i sunt clare datele unei probleme. Sunt cazuri n care elevul respect numerele date, dar compune o problem folosind o alt operaie dect cea dat. Ca dovad c nu a neles sarcina primit. O ultim categorie de greeli sunt cele de calcul. Dei problema este compus corect, sunt elevi care greesc la calcule, ca dovad c aceste deprinderi nu s-au consolidat nc.

Creaii pornind de la exerciii: Spre deosebire de creaiile prezentate mai sus, n acest caz a aprut un element n plus i anume, relaia dintre cifre. Sarcina: Compunei o problem dup exerciiul 8 2 = ? Creai pornind de la indicaii verbale (au cerinele formulate exclusiv verbal): Creai o problem simpl de scdere. Creai o problem compus, n care s utilizai dou operaii de adunare.

36

Greelile care apar n compunerea acestor probleme indic necesitatea predrii separate a limbajului matematic, i nevoia de a diferenia clar i explicit diferitele tipuri de probleme. Creaiile libere ar trebui s permit elevilor performane mari cci ofer

posibilitatea ca fiecare s abordeze tipul de problem care i se pare mai uor, mai cunoscut, cu cifre alese convenabil.

Sarcina: Compunei o problem cum vrei voi. Din practic am ajuns la concluzia c, dei manualele de matematic insist foarte mult asupra anatomiei sau prilor componente ale unei probleme (date, limbaj, nvare final) totui, nu s-a reuit ca toi elevii s le poat mnui cu uurin. Acest lucru nseamn c exerciiul trebuie s continue i n anul urmtor, fiind complicat pe msur ce crete i complexitatea problemelor.

O constatare ciudat este c elevii dau performane mai mari la crearea problemelor dect la analiza lor obinuit. Copiii creaz mai uor dect analizeaz. Concluzionez cu ideea c exist, n copil, fore intelectuale pe care nvarea clasic nu le exerseaz sau chiar le nbu, n ciuda valorii i uurinei de a le valorifica.

Aceast activitate de compunere a problemelor, trezete fore intelectuale latente, fcnd din matematica modern un obiect plcut i atractiv.

II.3. Bazele psihopedagogice i metodologice ale rezolvrii problemelor

Rezolvarea problemelor reprezint o activitate de profunzime, cu caracter de analiz i sintez superioar. Ea mbin eforturile mintale de nelegere a celor nvate i de aplicare a algoritmilor cu structurile conduitei creative, inventive, totul pe fondul stpnirii unor cunotine matematice solide (noiuni, definiii, reguli, tehnici de calcul) precum i deprinderi de aplicare a acestora. Elevii sunt pui n situaia de a descoperi ei nii modalitile de rezolvare i

soluia, s formuleze ipoteze i apoi s le verifice.

II.3.1. Noiunea de problem

Cuvntul i are originea n limba latin i folosit de matematicieni i psihologi pro ballein are semnificaia:ceea ce i se arunc n fa ca obstacol sau provocare.

37

Dup DEX cuvntul are urmtoarele definiii: Problem chestiune care prezint aspecte neclare, discutabile, care necesit o lmurire, o precizare;

Problem sarcin important care constituie o sarcin, o preocupare major i care cere o soluionare imediat; Problem enun care, coninnd anumite date, ipoteze, necesit o regul, una sau mai multe soluii care se pot obine pe baza unor calcule sau raionamente. O problem de gndire apare atunci cnd n calea omului se ivete un obstacol. Cnd situaia se poate rezolva pe baza experienei de care dispune individul, a deprinderilor anterior formate, atunci gndirea nu mai este confruntat cu o problem.

C. Lupu spunea: n matematic, prin problem se nelege o situaie a crei rezolvare se obine prin procese de gndire i calcul. Problema de matematic reprezint transpunerea unei situaii sau a unui complex de situaii practice n relaii cantitative i n care, pe baza valorilor numerice date i aflate ntr-o anumit dependen unele fa de altele, se cere determinarea acestor valori necunoscute. [11] ntr-o situaie problematic intervine o discordan ntre mijloace i scopuri, ntre posibiliti i cerine. n acelai timp, o problem implic i un conflict cognitiv i motivaional afectiv. Problema constituie, dup Gonseth, modalitatea prin care se dezvolt cunoaterea n ordinea succesivelor descoperiri sau investiii. Urmrind aceast idee am ajuns la concluzia c elevul este permanent descoperitor i redescoperitor. El afl, nva lucruri i fapte demult cunoscute cu aceeai emoie i bogie de sentimente pe care le-au avut cei care le-au descoperit pentru ntia oar. n general noiunea de problem are un coninut larg i cuprinde o gam larg de preocupri i afeciuni din domenii diferite. Orice chestiune de natur practic sau teoretic care reclam o soluionare, o rezolvare, poart numele de problem.

Referindu-ne la matematic, prin problem se nelege o situaie a crei soluionare

se obine prin procese de gndire i de calcul. A rezolva o problem nseamn ca din datele cunoscute s deducem valoarea

numeric necunoscut care se afl n relaii determinate cu datele cunoscute, dar relaii care nu sunt exprimate n textul problemei, ci trebuie aflate, descoperite. Aflarea rspunsului problemei necesit deci elaborarea unui ir de raionamente pe baza datelor cunoscute.

38

Acest ir de raionamente se constituie ntr-o metod de rezolvare a problemei. Metoda poate utiliza datele abstracte oferite de enunul problemei, dar i o serie de elemente auxiliare care pot contribui la nelegerea problemei i rezolvarea acesteia.

Prima sarcin pe care elevul o are este aceea de a nelege esena problemei, miezul

ei, scopul pe care i-l propune. Dup ce am neles problema n ansamblu ne concentrm atenia asupra prilor ei principale.

Astfel vom distinge: o necunoscut sau mai multe ce anume trebuie s gsim, cci dac totul ar fi

cunoscut, nu am avea nimic de cutat; elemente cunoscute, datele problemei dac nimic nu este dat, nu am putea

recunoate c am gsit ceea ce cutm,

condiie - care stipuleaz n ce fel, prin ce relaii necunoscute este legat de datele problemei. Cum vom putea ti dac elevul a neles pe deplin problema? Urmrind dac tie s

repete enunul problemei, dac distinge datele necunoscute i explic cu propriile lui cuvinte condiia.

n general, rezolvarea unei probleme presupune parcurgerea mai multor etape metodice:

nsuirea (nelegerea) enunului problemei; examinarea (judecata) problemei; alctuirea planului de rezolvare a problemei; rezolvarea propriu-zis, alegerea i efectuarea operaiilor corespunztoare

succesiunii judecilor din planul de rezolvare. n cadrul rezolvrii unei probleme putem s introducem activiti suplimentare cum

ar fi:

verificarea rezultatului;

scrierea sub form de exerciiu;

gsirea altei ci sau metode de rezolvare; compunerea de probleme pe o schem identic.

nsuirea enunului problemei necesit o analiz aprofundat a datelor cunoscute ale problemei, a valorii necunoscute i a relaiilor dintre acestea, desprinzndu-se ct mai clar posibil semnificaiile valorilor numerice cunoscute sau nu i ale relaiilor ce decurg din coninutul problemei. Este necesar n acelai timp stabilirea domeniului din realitatea

obiectiv la care se refer datele problemei pentru ca elevul s-i imagineze aciunea care

39

se petrece n problem, pentru a vedea problema ca pe un aspect practic n via. nsuirea enunului unei probleme nu se confund cu reproducerea textului problemei.

nelegerea enunului unei probleme se va solda prin posibilitatea abstractizrii acesteia, prin construcia logic a unei scheme prin care se extrage esenialul eliminndu-se

aspectele descriptive, nematematice. n esen, schema este un proces de sintez a problemei n cadrul creia gndirea se orienteaz spre relaiile dintre mrimi,

concentrndu-se pe esenial. n aritmetic mijloacele de schematizare nu sunt unitare. Schematizarea se face prin

imagini sintetice, uneori figurate ntr-un desen, alteori numai gndite. n cazul unor probleme complexe, schematizarea va ajunge la strategia numrul 2

,, desf problema n probleme simple . Examinarea sau judecata problemei este cea mai important etap n rezolvarea

problemei, ea conducnd la descoperirea cii de rezolvare a problemei. Elevul, sprijinit sau nu de un ndrumtor, efectueaz un sir de raionamente prin

care se stabilesc relaii adecvate ntre perechi de valori numerice, alctuindu-se probleme simple al cror rezultat ipotetic este, de asemenea pus n noi relaii, pn se ajunge la aflarea rspunsului problemei.

Elaborarea acestui ir de raionamente presupune emiterea i verificarea unor

ipoteze.

Examinarea unei probleme se poate face pe cale sintetic sau pe cale analitic. Examinarea sintetic const n elaborarea unui raionament pe baza unor sinteze

succesive.

n acest scop sunt legate ntre ele perechi de valori numerice n relaii utile pentru rezolvarea problemei desprinzndu-se, n acelai timp, probleme simple prin a cror rezolvare succesiv se poate ajunge la rezolvarea problemelor date.

Examinarea analitic necesit cuprinderea problemei n ntregul su. Aceast modalitate de judecat este mai grea, oblig la un efort de gndire mai mare. n esen examinarea analitic pornete deductiv de la valoarea necunoscut a problemei ctre valorile numerice cunoscute.

Alctuirea planului de rezolvare presupune extragerea i reinerea pe cale oral sau scris a ntrebrilor problemelor simple n ordinea n care urmeaz a fi rezolvate.

Rezolvarea problemei este etapa final n care se efectueaz calculele, utiliznd operaiile aritmetice cunoscute.

40

Aceste etape nu sunt puse n eviden pentru orice problem, ele se pot suprapune sau suprima n funcie de capacitatea intelectual i experiena celui care rezolv problema.

Marele matematician american G. Plya, n cartea sa: Cum rezolvm o problem? ne prezint rspunsul complex la aceast ntrebare, evideniind patru mari etape n

rezolvarea unei probleme, astfel:

CUM REZOLVM O PROBLEM? [13] 1. Trebuie s nelegem

problema nelegerea problemei Care este necunoscuta? Care sunt datele? Care este condiia?

Poate fi satisfcut condiia? Este condiia suficient pentru a determina necunoscuta? Sau este insuficient? Sau contradictorie? S facem un desen. S introducem notaii corespunztoare. S separm diversele pri ale condiiei. Le

putem scrie ntr-un limbaj matematic? 2. S gsim legtura

dintre date i necunoscut. Nu este

exclus s fim pui n

situaia de a considera probleme auxiliare dac nu izbutim s

gsim o legtur

direct. Eventual, ar

trebui obinut un plan al soluiei.

ntocmirea unui plan Am mai ntlnit aceast problem? Sau poate c am avut de-a face cu ea ntr-o form oarecum diferit? Cunoatem vreo problem nrudit? Cunoatem vreo teorem care ar putea fi util aici?

S cercetm necunoscuta! i s ne gndim la o problem cunoscut, avnd aceeai necunoscut sau una similar. Iat o

problem nrudit cu a noastr i rezolvat anterior. Am putea s o folosim? Am putea cumva s-i folosim metoda? Nu am

putea s introducem vreun element auxiliar pentru a o face utilizabil? S-ar putea reformula problema? Am putea s-o reformulm oarecum altfel? S revenim la definiii. Dac nu putem s rezolvm problema propus, ncercm s rezolvm

mai nti o problem nrudit. [...] Au fost utilizate toate datele? A fost utilizat ntreaga

condiie? S-a inut seama de toate noiunile eseniale care intervin n problem?

3. S ne realizm planul. Realizarea planului n cadrul realizrii planului soluiei, se verific fiecare pas.

41

Ne putem da limpede seama c pasul este corect?

4. S realizm rezultatul

obinut. Privirea retrospectiv Se poate verifica rezultatul? Putem verifica argumentarea? Se poate obine rezultatul i pe alt cale? Ne putem da seama de aceasta dintr-o privire? Se poate folosi rezultatul ca metod la o alt problem?

II.3.2. Rolul problemelor de matematic n stimularea creativitii elevilor din ciclul primar n coala primar rezolvarea problemelor de matematic constituie una din laturile fundamentale ale studierii matematice. Prin rezolvarea problemelor elevul ajunge s neleag mai profund cele studiate la matematic i capt deprinderi de munc

intelectual foarte necesare n via.

Rezolvnd probleme, elevii nva s aplice matematica n practic, capt deprinderea de a rezolva probleme pe care viaa le ridic n faa lor. Rezolvarea problemelor contribuie la mbogirea cunotinelor elevilor, ei ajungnd s neleag cele mai simple corelaii dintre diferite mrimi cu care se ntlnesc n via: cantitate, pre i valoare; viteza; timpul; distana; dimensiunile liniare i aria unei figuri geometrice etc. Prin

rezolvarea sistematic a problemelor nu se urmrete numai formarea desprinderilor de a rezolva probleme ci i formarea unor priceperi i deprinderi care s dea posibilitatea

elevilor s rezolve probleme n mod independent. Calculele, proprietile operaiilor, cunotinele matematice servesc n general ca un

mijloc care-i ajut pe elevi s dezlege probleme i s gseasc cheia rezolvrii lor. Dnd exemple din activitatea practic a elevilor, artm i apoi explicm c problema de matematic reprezint transpunerea unei situaii practice sau a unui complex de situaii practice.

Problematizarea este definit, n primul rnd, ca metod de nvmnt de tip

euristic, folosit n procesul de nvmnt n scopul de a declana activitatea independent a elevului, gndirea i efortul personal al acestuia.

La elevul din clasele primare aceast activitate independent nseamn mai multe obiective de ordin formativ viznd cultivarea unor procese psihice bazate la rndul lor pe prezena i educarea unor elemente de creativitate n funcie de specificul disciplinei

42

respective i de nivelul de ordine psihic i social a elevilor (gndire, fantezie, activitate).

n contextul preocuprilor pentru modernizarea nvmntului, pentru racordarea lui la cerinele epocii moderne, cele destinate ridicrii calitii n nvmntul matematic

ocup un loc prioritar.

n nvmntul matematic modern, un pas important l constituie formarea convingerii la elevi c aceast disciplin este una a realitii, c ea are o aplicabilitate practic, elevii au tendina s considere c matematica nu are nimic n comun cu realitatea, ci constituie o lume a abstraciunilor greu accesibile, dac nu chiar inutile.

n acest context devine necesar deprinderea unor instrumente de lucru nc din primii ani de formare, instrumente care s asigure o bun integrare n ciclurile urmtoare.

Rezolvarea problemelor de matematic este una din cele mai sigure ci ce vor

conduce la dezvoltarea gndirii, imaginaiei, ateniei i a spiritului de observaie ale elevilor. Totodat prin rezolvarea de probleme ct mai variate se asigur i consolidarea deprinderilor de calcul i utilizarea acestora n practic.

ndrumarea elevului spre nsuirea tehnicilor rezolvrii problemelor de aritmetic este o activitate special i solicit nvtorul spre dou aspecte foarte importante i anume:

n permanen s fie dirijat gndirea elevului s depisteze n enunul problemei acele aspecte eseniale care fac ca acesta s aparin acelui grup de probleme care se rezolv dup anumite procedee cunoscute.

cel de-al doilea aspect este legat de efortul depus pentru dirijarea gndirii elevului spre generalizare.

Exist dou ci principale n rezolvarea unei probleme:

a) Raionamentul aritmetic; b) Prin algebr punerea problemei n ecuaie i rezolvarea ecuaiei sau a sistemului de ecuaii obinut.

Orice problem de matematic este alctuit din: datele problemei (valorile numerice cunoscute); relaiile dintre datele problemei; ntrebarea problemei.

A rezolva o problem nseamn c din datele cunoscute s deducem valoarea numeric, care se afl n relaii determinate cu datele cunoscute dar care nu sunt exprimate

43

n textul problemei ci trebuie aflate, descoperite. Deci, prin elaborarea unui ir de raionamente bazate pe datele cunoscute, elevul poate s rspund la ntrebarea problemei.

Astfel rezolvarea unei probleme necesit un efort mai mare al gndirii din partea elevului dect rezolvarea exerciiilor.

Este necesar ca problemele propuse spre rezolvare s fie ordonate dup gradul de dificultate, s aib enunarea clar conform experienei de via a elevului, nivelul su

intelectual i, gradul su de pregtire. ndrumarea elevului spre nsuirea tehnicilor rezolvrii problemelor de matematic,

presupune din partea nvtorului mult rbdare, pricepere i mai ales munc sistematic i bine organizat.

II.3.3. Clasificarea problemelor De-a lungul vremii s-au fcut in psihopedagogie multiple ncercri de clasificare i

ncadrare a problemelor ntr-o anumit tipologie. Din perspectiva educrii creativitii, W. Reitman clasific problemele n cinci

categorii:

1. Reproductiv-necreative probleme de aplicare a algoritmilor de lucru, de consolidare i nelegere matematic, care necesit doar o gndire reproductiv, rezolvarea lor

implicnd folosirea strategiilor algoritmice. Exemplu: David are 15 mere i 14 pere. Cte fructe are David n total? Rezolvare: 15+14=29( fructe) R:29 fructe 2. Demonstrativ-aplicative, probleme ce includ aflarea a dou numere cnd se cunoate suma i diferena lor, probleme tip n general, probleme de micare, de aliaj.

n astfel de probleme, rezolvarea final este bine specificat, drumul spre rezolvare gsindu-se prin respectarea unor reguli de aplicare. Exemplu: Suma a dou numere este 747. S se afle cele dou numere tiind c diferena lor este 23.

Rezolvare: a + b = 747 23 747 a - b = 23 Aceast problem se poate rezolva n dou moduri:

44

Primul mod prin aflarea lui b scznd din 747 pe 23, apoi mprindu-le la 2 (numrul prilor egale), iar al doilea mod, adugnd la 747 pe 23 i-l aflm pe a mprind suma obinut la numrul prilor egale. R: a=385 b=362

3. Euristic-creative probleme ce presupun specificarea noiunilor soluiilor i cerinele pe care trebuie s le satisfac. Exemplu: Aflai numerele a,b,c care s satisfac urmtoarele condiii:

o a i b sunt pare o a,b i c sunt mai mici dect 20;

o b = 4a; o c : a=5 rest 1.

Rezolvare: a) a i b fiind pare, a,b {2;4;6;8} b) b = 4a a = 2 b = 8 a = 4 b = 16 a = 6 b = 24 > 20 => a 6 a = 8 b = 32 > 20 => a 8 c) c : a=5 rest 1 a = 2 c = 5a + 1 c = 5 x 2 + 1 c = 11

a = 4 c = 5a + 1 c = 5 x 4 + 1 c = 21> 20 => a 4 Soluia acestei probleme este: a=2, b=8, c=11 4. Inventiv-creative sunt probleme n care ipoteza este bine specificat, menionnd elementele prin care se presupune atingerea strii finale oferite. Aici se ncadreaz

problemele compuse de elevi. 5. Probleme de optimizare sunt probleme rar ntlnite n ciclul primar. Aceste probleme

au un grad de dificultate sporit care solicit mai ales procesul de transfer al cunotinelor. Problemele de matematica din ciclul primar se pot clasifica i n funcie de

urmtoarele criterii [11]:

45

A) Dup finalitate i dup sfera de aplicabilitate:

1) Probleme teoretice probleme referitoare la numere, operaii i proprietile operaiilor.

Exemplul 1 : Calculai a x b x c x d tiind c a = 3; a x b = 12; b : c =2; c x d = 24 Rezolvare: Din relaia: a x b = 12 => b = 12 : 3 => b = 4; b : c = 2 => c = 4: 2 => c = 2; c x d = 24 => d = 24 : 2 => d = 12; a x b x c x d = 3 x 4 x 2 x 12 = 288 Exemplul 2: Din cel mai mare numr impar de cinci cifre identice scade cel mai mic numr impar de cinci cifre identice. La rezultat adaug dublul numrului 635. Ce numr ai obinut?

Rezolvare: (99 999 11 111) + 635 x 2 = 88 888 + 1 270 = 90 158

2) Probleme practice probleme referitoare la mrimi. Exemplul 1: La un depozit s-au adus ntr-o zi 1570 kilograme de cartofi i ceap. tiind c cartofii au fost de 4 ori mai muli dect ceapa, aflai cte kilograme de legume de fiecare fel s-au adus.

Rezolvare: Cartofi 1570 kg. Ceap

1. Ce cantitate de ceap s-a dus ? 1 570(kg) : 5 = 314 (kg) 2. Ce cantitate de cartofi s-a dus ?

314 x 4 = 1 256 (kg) R: 314 kg ceap

1 256 kg cartofi Exemplul 2: La o ferm de animale se consum zilnic 17 647 litri de ap pentru adpatul animalelor. Unei vaci i se dau 45 litri ap, unui cal cu 13 litri mai mult, iar unei oi 8 litri. Dac n cresctorie sunt 320 vaci i 53 cai, afl numrul oilor. 1. numrul de litri ap consumai de vaci

46

320 x 45 L = 14 400 L 2. numrul de litri ap consumai de un cal 45 L + 13 L = 58 L 3. numrul de litri ap consumai de 53 de cai 53 x 58 L = 3 074 L 4. numrul de litri ap consumai de vaci i cai

14 400 L + 3 074 L = 17 474 L 5.numrul de litri ap consumai de oi 17 674 L 17 474 L = 200 L 6. numrul oilor 200 L : 8 = 25 (oi)

B) Dup coninut:

1) Probleme de geometrie Exemplu: 1. Perimetrul unui dreptunghi este de 458 metri. Dac lungimea este cu 141 metri mai mare dect limea, ci metri are fiecare latur? Rezolvare: P = 2 x L + 2 x .

L = + 141 (m) Deci fiind dou lungimi i dou limi, diferena va fi i ea de dou ori 141 x 2 = 282 (m) 1. Care ar fi perimetrul dac laturile ar fi egale? 458 282 = 176 (m) 2. Care este limea? 176 : 4 = 44 (m) 3.Care este lungimea? 44 + 141 = 185 (m) R: L = 185 m; =44 m. 2. ntr-un triunghi oarecare AC este cu 40 centimetri mai mare dect AB. Dac mrim pe AB cu 10 centimetri i micorm pe AC cu 30, obinem un triunghi echilateral. tiind c perimetrul triunghiului echilateral este de 594 centimetri, afl perimet