BISECTOAREA UNUI UNGHIBISECTOAREA UNUI UNGHIBISECTOARELE UNUI TRIUNGHIBISECTOARELE UNUI TRIUNGHI

BISECTOAREA UNUI UNGHIBISECTOAREA UNUI UNGHI

Definitie:Definitie:BISECTOAREABISECTOAREA unui unghi este semidreapta unui unghi este semidreapta interioara care formeaza cu laturile unghiului doua unghiuri interioara care formeaza cu laturile unghiului doua unghiuri congruente.congruente.

A

O

B

M

Proprietatea bisectoarei unui unghiProprietatea bisectoarei unui unghi

Un punct interior unui unghi apartine Un punct interior unui unghi apartine bisectoarei unghiului daca si numai bisectoarei unghiului daca si numai daca este egal departat de laturile daca este egal departat de laturile unghiului. unghiului. (OC=bis(<AOB)(OC=bis(<AOB)

MM apartine (AC apartine (AC

d(M,OA)=d(M,OB)d(M,OA)=d(M,OB)

A

O

B

MC

Concurenta bisectoarelor unui Concurenta bisectoarelor unui triunghitriunghi

Teorema: Bisectoarele unui triunghi sunt Teorema: Bisectoarele unui triunghi sunt concurente concurente intr-un intr-un punct egal departat de laturile triunghiului, notat punct egal departat de laturile triunghiului, notat II si este si este centrul cercului inscris in triunghi.centrul cercului inscris in triunghi.

I= centrul cercului inscris in I= centrul cercului inscris in

triunghiul ABCtriunghiul ABC

d(I,AB)=d(I,AC)=d(I,BC)=raza d(I,AB)=d(I,AC)=d(I,BC)=raza

cercului inscris in triunghi cercului inscris in triunghi

A

B C

I

MEDIATOAREA UNUI SEGMENTMEDIATOAREA UNUI SEGMENTMEDIATOARELE LATURILOR MEDIATOARELE LATURILOR

UNUI TRIUNGHIUNUI TRIUNGHI

MEDIATOAREAMEDIATOAREA UNUI SEGMENT UNUI SEGMENT

DEFINITIE:DEFINITIE: Mediatoarea Mediatoarea unui segment este unui segment este dreapta perpendiculara in mijlocul acestuia.dreapta perpendiculara in mijlocul acestuia.

A B

Mediatoarea segmentului AB

Proprietatea mediatoarei unui Proprietatea mediatoarei unui segmentsegment

Un punct apartine mediatoarei unui Un punct apartine mediatoarei unui segment daca si numai daca este segment daca si numai daca este egal departat de capetele egal departat de capetele segmentului.segmentului.

M

A B

m

m este mediatoarea [AB]

M apartine lui m MA=MB

Concurenta mediatoarelor laturilor unui Concurenta mediatoarelor laturilor unui triunghitriunghi

Teorema: Mediatoarele laturilor unui triunghi sunt Teorema: Mediatoarele laturilor unui triunghi sunt concurenteconcurente intr-un punct egal departat de varfurile intr-un punct egal departat de varfurile triunghiului, notat triunghiului, notat O O si este si este centrul cercului circumscris centrul cercului circumscris triunghului.triunghului.

o

A

B

C

O centrul cercului circumscris triunghului ABCOA=OB=OC=raza cercului circumscris triunghiului

INALTIMILE UNUI TRIUNGHIINALTIMILE UNUI TRIUNGHI

Definitie: Numim Definitie: Numim inaltimeainaltimea unui triunghi segmentul unui triunghi segmentul ce uneste varful triunghiului cu piciorul ce uneste varful triunghiului cu piciorul perpendicularei duse din varf pe dreapta ce include perpendicularei duse din varf pe dreapta ce include latura opusa.latura opusa.

A

BC

D

[AD]=inaltime in triunghiul ABC

Concurenta inaltimilor unui triunghiConcurenta inaltimilor unui triunghiTeorema: Dreptele determinate de Teorema: Dreptele determinate de inaltimileinaltimile unui triunghi unui triunghi sunt concurente intr-un punct notat sunt concurente intr-un punct notat H H si numit si numit ortocentrulortocentrul triunghiului.triunghiului.

A

BC

H

Triunghi ascutitunghic

AA B

C

=H

Triunghi dreptunghic

H

A

B

C

Triunghi obtuzunghic

MEDIANELE UNUI TRIUNGHIMEDIANELE UNUI TRIUNGHI

Definitie:Numim Definitie:Numim medianamediana unui triunghi segmentul unui triunghi segmentul determinat de varful unui triunghi cu mijlocul laturii determinat de varful unui triunghi cu mijlocul laturii opuse.opuse.

A

BC

M

[BM]= mediana in triunghiul ABC

Concurenta medianelor unui triunghiConcurenta medianelor unui triunghi

Teorema: Teorema: MedianeleMedianele unui triunghi unui triunghi sunt concurente intr-un punct, notat sunt concurente intr-un punct, notat G G si reprezinta si reprezinta centrul de greutatecentrul de greutate..

A

B C

G

Teoreme importanteTeoreme importante

TeoremaTeorema: Centrul de greutate al unui : Centrul de greutate al unui triunghi se afla pe fiecare mediana la triunghi se afla pe fiecare mediana la doua treimi de varf si la o treime de doua treimi de varf si la o treime de baza.baza.

TeoremaTeorema: Mediana unui triunghi : Mediana unui triunghi imparte triunghiul dat in doua imparte triunghiul dat in doua triunghiuri de arii egaletriunghiuri de arii egale