CAP II Modele utilizate n teoria tragerilor

ACADEMIA FORELOR TERESTRE

NICOLAE BLCESCU

LUCRARE DE LICEN

TEMA:

STUDIU CU PRIVIRE LA VALIDAREA MODELELOR STATISTICO-MATEMATICE DE FUNDAMENTARE A DECIZIILOR N CADRUL MISIUNILOR DE TRAGERE I INDENTIFICAREA CORECIILOR NECESARE COMPATIBILIZRII CU FENOMENUL REAL

CONDUCTOR TIINIFICLect. univ.drd. Daniela COSMA

AUTOR

Stud. sg. maj. Adrian-Romulus CIRIPAN- SIBIU, 2008

REFERAT DE APRECIERE a lucrrii de licen cu tema Studiu cu privire la validarea modelelor statistico-matematice de fundamentare a deciziilor n cadrul misiunilor de tragere i identificarea coreciilor necesare compatibilizrii cu fenomenul real elaborat de stud. sg. maj. Ciripan Adrian-RomulusCUPRINS

6INTRODUCERE

8CAPITOLUL 1

8ELEMENTE DE PROBABILITI I

HYPERLINK \l "_Toc192577852" STATISTIC MATEMATIC

81.1. Elemente de teoria probabilitilor

81.1.1. Definirea termenului de probabilitate

101.1.2. Scheme clasice de probabilitate

111.1.3. Legi de repartiie

161.1.4. Variabile aleatoare

201.2. Elemente de statistic matematic

201.2.1. Categorii de indicatori i interpretarea acestora

251.2.2. Corelaie i regresie

271.2.3. Verificarea ipotezelor statistice

301.2.4. Modele de analiz grafic

311.2.5. Gruparea i clasificarea datelor statistice

331.2.6. Metode de estimare a parametrilor i eficacitate a estimaiilor metoda celor mai mici ptrate

36CAPITOLUL 2

36MODELE UTILIZATE N TEORIA TRAGERILOR

362.1 Parametrii utilizai n modelele de optimizare specifice teoriei tragerii

362.1.1 Forma traiectorie i nsemntatea ei practic

452.1.2 Probabilitatea de lovire a obiectivelor

462.1.3 Fenomenul mprtierii. Cauzele care produc mprtierea proiectilelor

482.1.4 Modele de calcul ale probabilitii de lovire

572.2 Modele de optimizare a tragerii asupra obiectivelor mobile

592.3 Modele de corectare a tragerii n condiii speciale de presiune i temperatur

592.3.1 Influena presiunii atmosferice asupra traiectoriei glonului

602.3.2 Influena temperaturii asupra traiectoriei glonului.

602.3.3 Recalcularea probabilitii de lovire n condiii speciale de presiune i temperaturatur

612.4 Modele de optimizare a tragerii n pant i contrapant

612.4.1 Recalcularea abaterilor probabile la tragerile n pant

632.4.2 Recalcularea abaterilor probabile n contrapant

632.5. Economia i sigurana tragerii

632.5.1 Consumul de muniie

642.5.2 Ateptarea matematic

66CAPITOLUL 3

66UTILIZAREA TEHNICII DE CALCUL N OPTIMIZAREA INSTRUCIEI TRAGERII PRIN SIMULAREA MODELELOR STATISTICO-MATEMATICE. PRELUCRRI, COLECII I VALIDRI

663.1 Aspecte ale utilizrii tehnicii de calcul n domeniul militar

673.2 Programul de simulare la nivel tactic JCATS

673.3 Etapele procesului de simulare

693.4 Utilizarea tehnicii de calcul n calcularea elementelor traiectoriei

743.5 Simularea tragerii asupra obiectivelor mobile

793.6 Simulare pentru estimarea probabilitii de lovire i al consumului de muniie la tragerea aspura unei inte aflat la orice distan i n orice condiii de presiune i temperatur

88CAPITOLUL 4

88PROIECTAREA UNUI SIMULATOR PENTRU EFECTUAREA TRAGERILOR DE PREGTIRE I ANTRENAMENT

884.1 Simulatorul tragere pe baz de laser

924.2 Proiectarea unui simulator pe baz de laser

97CONCLUZII I PROPUNERI

98BIBLIOGRAFIE

100Anexe

INTRODUCERE

Fiecare dintre cele dou pri va cuta s prevad aciunea celuilalt, trgnd concluzii din caracterul, instituiile, situaia i condiiile n care se afl adversarul, i o va adopta pe a sa servindu-se de legile calculului probabilitilorClausewitz

Suntem martorii unei evoluii continue a complexitii mediului militar, asistnd totodat la diversificarea problemelor pe care acesta le implic. Deosebit de importante, procesele de pregtire, conducere i respectiv de asigurare a aciunilor de lupt se disting prin nglobarea aspectelor cantitative i calitative ale coninuturilor lor, aspecte ce se impun a fi studiate n detaliu.

Domeniul militar este caracterizat de ntmpinarea a numeroase situaii a cror analiz se preteaz a fi efectuat cu ajutorul modelelor matematice Aceste situaii pot fi reprezentate i studiate cu ajutorul modelelor, cum ar fi de exemplu fenonmenul tragerii cu armamentul de infanterie.

Algoritmii dai de diferitele tipuri de modele, pe lng faptul c permit soluionarea rapid si uoar a numeroase probleme din domenii variate de activitate, constituie n acelasi timp procedee eficace de investigaie ce ajut intuiia eliminnd empirismul i rutina.

n condiiile n care informaia reprezint putere pe cmpul de lupt modern, cunoaterea acestor modele este o condiie esenial n formarea unor comandani care s fie capabili s fac fa cerinelor acestuia.

Folosirea metodelor matematice n cunoaterea i descrierea fenomenelor reprezint un pas important spre o treapt superioar de abstractizare n domeniul militar. Metodele matematice folosite sunt foarte diverse, de la cele clasice, analitice, de tip determinist, la cele nedeterministe ce in de teoria probabilitilor i proceselor stochastice.

Succesul pe cmpul de lupt presupune o gndire probabilistico-statistic foarte flexibil, o cunoatere temeinic a metodelor, modelelor i tehnicilor pe care le comport o conducere previzional. Numai aa putem evita eecul n faa inamicului.

Am ales s abordez aceast tem ca studiu, motivat fiind de pasiunea pentru tiinele exacte i inginereti, din dorina de a studia i de a nelege fenomenul tragerii, prin simularea modelelor matematice i prelucrarea rezultatelor obinute n urma simulrii.

Cunotinele de programare i experiena n domeniu m-au ajutat n realizarea unor aplicaii software pe care le-am utilizat n prelucrarea rapid a rezultatelor, programe care pot fi extrem de utile pentru un comandant de subunitatea mai ales n instrucia tragerii cu armamentul de infanterie.

Am structurat lucrarea pe 4 capitole, dup cum urmeaz:

Capitolul 1 structurat pe 2 mari subcapitole noiuni generale de teoria probabilitilor i cteva elemente de statistic matematic.Capitolul 2 prezint adaptri ale modelelor statistico-matematice la domeniul militar, mai exact adaptri la fenomenul tragerii. Sunt descrii principalii parametrii, fenomenul mprtierii loviturilor i cteva modele utilizate n teoria tragerii.Capitolul 3 are un caracter practic aplicativ n care am ncercat s rezolv cteva probleme legate de fenomenul tragerii prin simularea modelelor prezentate la capitolul 2. Am folosit pentru simularea modelelor cteva aplicaii soft realizate n limbajul de programare Delphi.Capitolul 4 este un capitol mai special deoarece ncerc s prezint o soluie de mbuntire a instruciei militarilor romni, soluie avantajoas din toate punctele de vedere, dar mai ales din punct de vedere al economiei de muniie, timpului instruciei i proteciei personalului. Am ncercat s relizez n msura posibilitilor tehnologice pe care le-am avut l-a dispoziie s relizez un simulator de tragere care s redea ct mai fidel condiiile reale din poligon. Prezint totodat aici i posibilitile de mbuntire ale acestui sistem de simulare. Am certitudinea c voi atrage atenia prin aceast lucrare, mai ales prin simulrile pe care le-am realizate i prin care doresc s ncurajez acordarea unei atenii mai mari simulrii n activitatea procesului de instrucie a militarilor i bineneles acordarea unei atenii mai mari nelegerii modelelor statistico-matematice pentru c numai acestea pot apropia simulrile de condiiile reale.

Mulumesc pe aceast cale doamnei lect. univ. drd. Cosma Daniela pentru sprijinul acordat n demersul tiinific realizat.

CAPITOLUL 1

ELEMENTE DE PROBABILITI I STATISTIC MATEMATIC

1.1. Elemente de teoria probabilitilor

1.1.1. Definirea termenului de probabilitate

n nelesul ei cel mai larg, probabilitatea este definit ca msur a posibilitii, ca latur cantitativ a ntemeierii acesteia. Ea caracterizeaz nu att fiinarea fenomenelor actuale, ct mai ales procesele ce au loc la nivelul acestora, micarea i evoluia lor; ea este un atribut al existenei n devenire, al evenimentelor i nu al lucrurilor.

Fiind expresia cantitativ a ntemeierii obiective a perspectivelor de evoluie a unui sistem, a anselor acestuia de a trece n altceva, probabilitatea se exprim matematic printr-o ecuaie de frecven, ca raport ntre numrul de cazuri de realizare efectiv a unui eveniment i numrul total de cazuri posibile.

Formal, matematic, orice eveniment poate fi exprimat n termeni de probabilitate. Evenimentele necesare caracterizate printr-o concordan deplin cu legea fenomenului i printr-o stabilitate i concordan a condiiilor de realizare au o probabilitate egal cu 1, sau o probabilitate de 100%; evenimentele imposibile au o probabilitate 0; iar toate celelalte evenimente, care nu sunt necesare sau imposibil, adic evenimentele ntmpltoare, au o probabilitate cuprins ntre 0 i 1.

n realitate, nu orice devenire, nu orice eveniment are un caracter probabil. Necesitatea i imposibilitatea constituie cazuri limit ale variaiei probabilistice, valoare numeric a raportului probabilistic fiind pentru ele extrem i constant; or, ceea ce este constant i dinainte cunoscut nu poate fi probabil. De aceea, necesitatea i imposibilitatea nu pot fi considerate fenomene probabile. Descrierea acestora n termeni probabilistici nu aduce nimic nou n nelegerea lor i, de aceea, se folosesc n mod curent n descrierea lor teorii i metode matematice neprobabilistice

Probabilitatea este caracteristic fenomenelor lipsite de constan i regularitate, a cror realizare este legat de instabilitatea i caracterul aleatoriu al apariiei condiiilor; ea este deci o caracteristic important a fenomenelor ntmpltoare, care comport o variaie probabilistic ntre necesar i imposibil.

De aceea, probabilitatea este definit drept o dimensiune cantitativ a acestora. Matematic, probabilitatea (P), a unui eveniment ntmpltor (A), este redat de expresia 0 T~Exp(((, ().

Fie v.a. X = numrul de realizari ale unui eveniment n intervalul de timp [0,t]=> X~Po((t) i P(T > t) = P(X=0) = exp(-(t)

4) Repartiia Weibull. W(a,b) este utilizat n teoria fiabilitii.

V.a. X~W(a,b) are repartiia dat de funcia de fiabilitate: P(T>t)=exp(-atb),t>0,a>0,b>0.

Avem M(X)=a-1/b (1+1/b), VarX=a-2/b-M2(X)

Repartiia Weibull se folosete pentru modelarea timpilor de defectare pentru tuburi electronice, bilele de rulmeni, condensatori .a.

p-quantila este dat de P(X< xp)=p i n acest caz xp=[-ln(1-p)/a]1/b.

Dac T urmeaz o repartiie Weibull atunci U=lnT urmeaz o repartiie Gumbel definit de funcia de repartiie F(w)=1-exp[-exp(y-u)/b] ,yR,b>0.

5) Repartiia hi - ptrat (2(n)

O variabil aleatoare X ((2(n) are densitatea de repartiie:

(1.8)

cu M(X) = n, D(X) = 2n.

Dac Xj ( (2 ((j) independente , 1 ( j ( k ( ( .

Observaie important: O sum de ptrate de n variabile aleatoare independente i repartizate N(0,1) urmeaz o repartiie (2(n)

6) Repartiia StudentO variabil aleatoare X cu densitatea de repartiie

, x ( (-(, (), (1.9)

M(X) = 0,

urmeaz o repartiie Student (t) cu n grade de libertate (scriem X(t(n)).

Se poate arata ca daca U~N(0,1) si V~ atunci W=U urmeaza o repartitie Student cu n grade de libertate.

7) Repartiia Fisher cu n, respectiv m grade de libertate: F(n, m)

O variabil aleatoare X (F(n, m) dac are densitatea de repartiie:

(1.10)8) Repartiia GammaX ( Gamma ((, (), ( > 0, ( > 0. Densitatea de repartiie a v.a. X este:

(1.11)

cu M(X) = (( si D(X) = ((2 9) Repartiia invers Gauss sau repartiia WaldDensitatea de repartiie Wald este:

M(X) = ( i .

Repartiia Wald este folosit ca alternativ a repartiiei Weibull .

10) Repartiia Beta, Be ((, (), ( >0, ( > 0.

Densitatea de repartiie a v.a. X(Be((,() este

(1.12)

Observatie: B=;

11) Repartiia valorilor extremeDeosebit de utile n situaiile practice n care depirea unui anumit nivel de solicitare pentru un sistem mecanic conduce la defectarea sistemului, repartiiile de tipul: U= max(X1, X2, ..., Xn) i V= min(X1, X2, ..., Xn) au fost studiate de Gumbel nc din anul 1958 n cartea sa intitulat Statistics of extremes. n decursul timpului, ele i-au dovedit importana n situaii diverse:

a) un sistem cu componente legate n serie se defecteaz cnd se defecteaz prima component din sistem.

b) un sistem cu componente legate n paralel se defecteaz cnd se defecteaz ultima component.

Repartiiile valorilor extreme sunt de urmtoarele tipuri:

I. (valori maximale):, x ( R, (( R, ( > 0

II. (valori maximale):

III. (valori maximale):

IV. (valori minimale): , x ( R

V. (valori minimale):

VI. (valori minimale) :

12) Repartiia log-normal.

Dac X ~ N(m, (2), atunci Y=eX are densitatea de repartiie:

fY(y) =

, y > 0 (1.13)Variabila aleatoare Y are repartiie lognormal.

Propoziie: Dac X~U(0,1) atunci variabila aleatoare

cu a, b > 0 are densitatea de repartiie f(y) = abyb-1 , 0 < y < ( ( Weibull)

Propoziie: Dac X ~ U(0, 1), atunci variabila aleatoare Y = a ((1-X)-1/b - 1)

cu a,b > 0 are densitatea de repartiie , 0 < y < ( ( Pareto )

Observaie: P(N=k) (Repartiia geometric).

Repartiia geometric poate conduce la o discretizare a repartiiei exponeniale astfel:

Fie Y = ; Y ia valori pe R+i, pentru x > 0 se poate scrie:

P(Y ( x) = P[ln X ( xln(1-p)] = P(X ( exln(1-p)) =1 - exln(1-p) = 1- e-x(ln(1-p)( , x > 0.

Deci, Y ( Exp [(ln(1-p)(]

Dac Y(Exp (() atunci [Y] este repartizat geometric cu p = 1 - e-(.

Teorem: Fie X o variabil aleatoare cu funcia de repartiie F(X) de tip continuu care este strict cresctoare. Atunci v.a. Y=F(X) este repartizat uniform pe (0,1).

Teorem: Fie Y(U(0, 1) i F(x) o funcie de repartiie de tip continuu cu F(a)=0, F(b)=1 i F strict cresctoare pe (a,b). Atunci v.a. X=F-1(Y) este o v.a. continu cu funcia de repartiie F.Teorem: Dac g: R( R, admite o dezvoltare n serie Taylor dup puterile x-x0 i, dac X este o v.a. pentru care exist M(X2), atunci

M(g(X))(g(M(X))+ D(X)

1.1.4. Variabile aleatoare

Prin caracteristic nelegem acea particularitate, proprietate, nsuire a unui fenomen care constituie obiectul msurrii noastre. Exemple de caracteristici: nlimea unei persoane, glicemia, atitudinea fa de alii, sexul, rezultatele colare, gradul militar, etc.

Se numete variabil aleatoare (stohastic) acea variabil a crei realizare constituie un eveniment ntmpltor. Variabila aleatoare reprezint o funcie definit pe mulimea unui sistem determinat de evenimente.

Evenimentele elementare care compun mulimea pe care este definit variabila aleatoare reprezint valorile ce pot fi luate de aceast variabil. Variabila aleatoare exprim variai unei caracteristici.

Atunci cnd evenimentele elementare ce compun mulimea de definiie a variabile aleatoare sunt numere, variabila se mai numete i aleanumeric. Valorile greutii msurate pe un numr de subieci constituie un exemplu de variabile aleanumerice.

Variabila aleatoare nu este neaprat de tip aleanumeric. Distribuia culorii ochilor constituie de asemenea o variabil aleatoare ale crei valori sunt: albastru, verde, cprui, negru. S ne amintim c descoperirea legilor genetice de ctre Mendel s-a bazat pe analiza unor astfel de variabile aleatoare.

Unele variabile aleatoare, numite discrete, pot lua un numr finit de valori, n timp ce altele numite continue, pot lua orice valoare dintr-un interval (a,b).

Variabilele din prima categorie le vom numi discrete, iar variabilele din a doua categorie, continue.

n cazul general, cnd o variabil aleatoare X poate lua un numr oarecare de valori x1, x2,, xn, fiecare cu probabilitatea respectiv p1, p2, , pn este evident c apariia uneia dintre valori exclude apariia alteia.

Suntem deci n prezena unui sistem complet de evenimente:

P(X=x1)=p1; P(X=x2)=p2; ; P(X=xn)=pn, pentru care suma probabilitilor tuturor valorilor posibile ale variabilei aleatoare X este egal cu 1; (1.14)

Dac notm evenimentele sistemului cu A1, A2, , An putem defini astfel conceptul de variabil aleatoare de tip discret.

O mrime X, care variaz la ntmplare i poate lua, cu probabilitile cunoscute pi (i=1,2,3, ,n) una din valorile xi (i=1,2,3,,n) dup cum se verific unul din evenimentele Ai (i=1,2,,n), care formeaz un sistem complet de evenimente, se numete variabil aleatoare discret.

n termeni mai simpli, exprimnd aceeai idee, putem spune:

Se numete variabil aleatoare o mrime care, drept rezultat al unui experiment, poate lua o valoare oarecare, fr s se poat preciza dinainte care anume.

Este evident c n aceste exemple variabila aleatoare X are o mulime infinit de valori, completnd integral un anumit interval i n aceast situaie nu se poate vorbi n general de probabilitatea pi a unei valori izolate xi .

Se poate afirma, n schimb, c exist anumite domenii ale valorilor posibile ale variabilelor aleatoare continue X, care sunt luate cu o anumit probabilitate.

1.1.4.1. Valoarea medie

Fiind dat o variabil aleatoare discret simpl

, (1.15)

vom numi valoare medie a acestei variabile numrul

S scoatem n eviden cteva proprieti ale valorii medii:

1. Valoarea medie a unei constante este egal cu constanta.

2. Dac X este o variabil aleatoare i a o constant , atunci sunt adevarate relaiile:

M(a+X) = a+M(X),

M(aX) = aM(X)

3. Valoarea medie a unei variabile aleatoare X descris la (1.15) este cuprins ntre cea mai mic i cea mai mare din valorile posibile variabile.

4. Valoarea medie a unei sume finite de variabile aleatoare este egal cu suma valorilor medii ale variabilelor aleatoare respective.

5. Valoarea medie a unui produs de dou variabile aleatoare independente este egal cu produsul valorilor medii ale variabilelor considerate.

1.1.4.2. Nomenclatorul de ordinul k

Abaterea medie

Fiind dat o variabil aleatoare X, vom numi momentul de ordinul k al acestei variabile valoarea medie a variabilei Xk. Vom scrie Mk(X)= M(Xk).

Dac X are distribuia dat de relaia (1.15, atunci Mk(X)= p1 xk1+ p2 xk2++pnxkn.

O variabil aleatoare care ia numai valori pozitive are momentul de orice ordin.

Fiind date o variabil aleatoare X i o constant (, vom numi abatere de la constanta ( a variabilei X, variabila X-(.

Momentul de ordinul k raportat la constanta ( al variabilei X , se definete ca valoare medie a variabilei (X-()k.

Pentru (.=0, obtinem momentul iniial de ordin k, sau, scurt, momentul de ordinul k al variabilei X pe care l-am definit la inceputul acestui paragraf . Pentru (.=M(X)=m, obinem momentul centrat de ordin k al variabilei X.

Variabila X- M(X) se numete abaterea de la medie a variabilei X, sau, scurt abaterea variabilei X.

Valoarea medie a abaterii oricarei variabile aleatoare este nula .

ntr-adevr M(X- M(X))=M(X)-M(X)=0

De multe ori , la o variabila aleatoare ne intereseaz ct de mult se abat valorile variabilei de la valoarea medie. Trebuie s stabilim un indicator numeric al mprtierii valorilor variabilei aleatoare n jurul valorilor medii.

Valoarea medie a abaterii de la medie nu poate caracteriza aceast mprtiere, deoarece este nul pentru orice variabil aleatoare. Abaterile diferitelor valori, avnd semne diferite, se compenseaz reciproc. Este foarte important s caracterizam mprtierea variabilei X, prin valoarea medie

a abaterii absolute | X-M(X)| pe care o vom numi abatere medie.

Dac X are distribuia dat de relaia (1.15),atunci distribuia abaterii absolute este

,

unde m=M(X) , iar abaterea medie este

p1|x1-m| + p2|x2-m| +...+ pn |xn-m| .

Dispersia

Vom numi dispersie a unei variabile aleatoare X momentul centrat de ordinul al doilea al acestei variabile.Vom scrie (2=D2(X)= M[(X-m)2] , unde m=M(X).

Dac X are distribuia (1.15),

Atunci: D2(X)= p1(x1-m)2 + p2(x2-m)2 +...+ pn (xn-m)2= p1(x12-2 x1m+m2) + p2(x22-2 x2m+m2) +...+pn (xn2-2 xnm+m2)= p1x12+ p2x22 +...+ pnxn2+ 2m( p1x1+ p2x2 +...+ pnxn)+ m2 (p1+ p2+...+ pn) = M(X2) [M(X)]2.

S scoatem n eviden cteva proprieti mai nsemnate ale dispersiei:

a) Dispersia unei constante este nul D2(a)=0. Este adevarat i reciproca acestei afirmaii.

b) Dou variabile aleatoare care difer printr-o constant au dispersii egale.

S consideram variabila X dat de rel (1.15), i Y=X+a care are distribuia:

tim c m=M(Y)=M(X) +a=m+a.

D2 (Y)= p1(x1+a-m)2 + p2(x2+a-m)2 +...+pn (xn+a-m)2=p1(x1+a-m-a)2 + p2(x2+a-m-a)2 +...+ pn (xn+a-m-a)2 = p1(x1-m)2 + p2(x2-m)2 +...+ pn (xn-m)2 = D2 (X)

c) Dispersia produsului dintre o constant i o variabil aleatoare este egal cu produsul dintre ptratul constantei i dispersia variabilei D2 (aX)=a2 D2 (X).

d) Una din cele mai importante proprieti ale dispersiei este urmtoarea: dispersia unei sume finite de variabile aleatoare independente este egal cu suma dispersiilor variabilelor adunate,

D2(X1+X2++Xn) = D2 (X1)+ D2 (X2)+...+ D2 (Xn).

De obicei, gradul de mprtiere al unei variabile aleatoare X se exprim nu prin dispersie, ci prin abaterea medie patratic D(X) dat de relaia

(= D2 (X).

Aceasta are avantajul c se exprim prin aceleai uniti de masur ca i valorile variabilei X.

Proprietile mai importante ale abaterii medii patratice sunt:

D(a)=0, daca a este o constant

D(X+a)=D(X);

D(aX)=aD(X).

Aceste proprieti le are i trebuie s le aib orice mrime menit s msoare gradul de mpratiere. n plus , abaterea medie ptratic are proprietatea c dac (1=D2(X1), (2=D2(X2) ; ... ; (n=D2(Xn)

unde X1, X2 ,,Xn, sunt variabile aleatoare independente, atunci

.

1.2. Elemente de statistic matematic1.2.1. Categorii de indicatori i interpretarea acestora

Indicatorul statistic n sens larg reprezint expresia numeric a unor fenomene i procese social-economice, definite n timp, spaiu i structur organizatoric. Indicatorii statistici pot fi primari i derivai.

Indicatorii primari se obin, de regul, n etapa de sistematizare a datelor statistice, prin centralizarea i agregarea acestora.Indicatorii derivai se obin prin prelucrarea mrimilor absolute ale indicatorilor primari.

Cele trei proprieti majore ale seriilor de date numerice, pe care le putem analiza folosind indicatorii statistici sunt cele privitoare la tendina central, la variabilitatea si la forma distribuiilor.

1.2.1.1. Indicatori ai tendinei centrale

O clasificare a indicatorilor tendinei centrale se poate face, n funcie de modul de determinare a lor. n:

indicatori (mrimi) medii de calcul: media aritmetic, armonic, ptratic, geometric etc;

indicatori medii de poziie: modul, mediana.

Indicatorii fundamentali ai tendinei centrale sunt: media aritmetic, modul i mediana, dar n anumite cazuri speciale putem apela i la alte tipuri de medii.

Media aritmetic reprezint valoarea care nlocuind toi termenii unei serii nu modific nivelul lor totalizator i se calculeaz ca suma valorilor raportat la numrul lor.

(1.16)Media unei variabile de tip alternativ

n cazul n care variabila studiat este de tip alternativ (dihotomic), atunci celor dou variante de rspuns (afirmativ i negativ) li se vor acorda, convenional, valorile numerice 1 i, respectiv, 0.

(1.17)Indicatori de poziie

Indicatorii medii de poziie sunt: modul i mediana. Mediana face parte din indicatorii (mai generali) de poziie, numii cuantile. alturi de cuaitile, decile etc.

Modul (Mo) reprezint valoarea cel mai des ntlnit ntr-o serie statistic sau cea care are cea mai mare frecven de apariie.

n cazul seriilor de distribuie de frecvene pe intervale de variaie, determinarea modului presupune mai nti, identificarea intervalului cu frecven maxim (int M0). Apoi, modul se poate determina confomi relaiei:

, (1.18)Unde

EMBED Equation.3 limita inferioar a intervalului modal ;

mrimea intervalului modal;

diferena dintre frecvena intervalului modal i frecvena intervalului precedent;

diferena dintre frecvena intervalului modal si frecvena intervalului urmtor intervalului modal;

Mediana (Me) este un indicator mediu de poziie care face parte din categoria cuantilelor. Ea reprezint valoarea/varianta din mijlocul unei serii de date, serie n care observaiile au fost ordonate cresctor (sau descresctor).

Alte tipuri de mediiMedia armonic xh este o medie de calcul cu aplicaii speciale, care se determin, pentru o serie de date cantitative, ca valoarea invers a mediei aritmetice, calculat din inversele valorilor seriei. Aadar media armonic simpl este:

(1.19)Media ptratic xp este tot o medie de calcul cu aplicaii speciale i reprezint valoarea care, nlocuind termenii seriei, nu modific suma ptratelor lor. Aadar:

sau (1.20)Media geometric xg se calculeaz ca rdcina de ordinul n din produsul celor n valori ale unei serii de date. Ea este deci, acea valoare care nlocuind temienii seriei nu modific produsul lor:

sau (1.21)1.2.1.2. Indicatori ai variabilitii

Indicatori simpli ai variabilitii

Aceti indicatori msoar mprtierea valorilor individuale ale seriei, una fa de alta, ori fa de o valoare tipic.

Amplitudinea variaiei (Ax) se calculeaz ca valoarea maxim minus valoarea minim a variabilei:

Ax=xmax-xmin (1.22)n expresie relativ amplitudinea se calculeaz ca:

(1.23)Abaterea intercuartilic i semiintercuartilic.

Un alt indicator simplu al variaiei este abaterea intercuartilic:

AQ=Q3-Q1 (1.24)Indicatorul are unitatea de msur a variabilei studiate i uneori se folosete i valoarea sa njumtit, indicator cunoscut ca abaterea semiintercuartilic:

(1.25)Abaterea individual. Un alt indicator simplu al variaiei este abaterea individual: (1.26)care ne arat mprtierea fiecrei valori de la nivelul mediu.Abaterea individual se poate calcula i n expresie relativ:

(1.27)Indicatori sintetici ai variabilitii

Abaterea medie liniarO prim soluie la care putem apela pentm a surprinde, printr-o singur msur, ntreaga mprtiere din serie este s calculm media abaterilor individuale. Dar, pentru c aceste abateri se compenseaz reciproc, trebuie s le considerm n valoare absolut. Obinem, astfel, abaterea medie liniar (dx) calculat pentru o serie simpl:

(1.28)Abaterea medie ptraticn studiul variabilitii datelor se folosete rdcina ptrat a dispersiei, indicator munit abaterea medie ptratic:

(1.29)Abaterea medie ptratic (numit i abatere tip, abatere standard, deviaie standard sau ecart tip) este calculat ca o medie ptratic din abaterile termenilor seriei de la media lor.

Dispersia se calculeaz ca media aritmetic a ptratelor abaterilor individuale ale valorilor de la tendina central (uzual de la medie). Pentru o serie simpl, formula dispersiei este:

(1.30)

Coeficientul de variaiePentru asigurarea comparabilitii mprtierii datelor se folosete expresia relativ a variabilitii, coeficientul de variaie:

(1.31)Cu ct valoarea coeficientului de variaie este mai mic, cu att acest lucra semnific o omogenitate crescut a datelor.

Forma uniei distribuii de frecvene se analizeaz, comparativ cu distribuia ideal, normal, prin: indicatori asimetrici (oblicittii) i indicatori ai boltirii (excesului).

Indicatori ai asimetriei (oblicittii)

Asimetria, n valoare absolut, se poate msura cu indicatorii:

(1.32)sau

(1.33)indicatori care au unitatea de msur a variabilei studiate i care sunt pozitivi sau negativi, n funcie de tipul de asimetrie (coada mai lung a distribuiei spre valorile mari sau spre valorile mici).

Coeficientul de asimetrie (Pearson) este:

sau (1.34)

Coeficientul de asimetrie (Fisher) este:

(1.35)

Coeficientul 1 va avea valoare mai mare dect zero n cazul asimetriei pozitive, valoare mai mic dect zero n cazul asimetnei negative i va fi egal cu zero n cazul seriei perfect simetrice.

O msur altemativ asimetriei poate s fie dat i de:

ASQ=Q3+Q1-2Me

Dar, pentru a o exprima n coeficieni adimensionali, o vom raporta la indicatorul de mprtiere abaterea intercuartilic AQ i obinem coeficientul de asimetrie (Yule i Kendall): (1.36)1.2.2. Corelaie i regresie

Regresia liniar simpl

Relaia dintre variabila efect (Y) i variabila cauz (X) studiat de re-gresia simpl liniar ntr-o populaie statistic poate fi descris prin modelul liniar matematic general:

Yi = +Xi + i

Valoarea parametrului arat punctul n care linia intercepteaz (taie) axa OY (vezi figura de mai jos), iar i reprezint componenta rezidual (eroarea aleatoare) pentru fiecare unitate, adic partea din valoarea variabilei Y care nu poate fi msurat prin relaia sistematic existent cu variabila X.

Fig. 1.3 modelul liniar unifactorial

Dac datele disponibile provin dintr-un eantion, modelul de regresie liniar n eantion este:

yi = a+bxi+ei (1.37)cu componenta predictibil:

ei = yi (a+bxi)

Un criteriu pentru determinarea valorilor a i b este metoda minimizrii sumei ptratelor deviaiilor (abaterilor sau reziduurilor) ei. Metoda, cunoscut ca metoda celor mai mici ptrate, nseamn minimizarea relaiei:

Se obine astfel:

Corelaia simpl liniar

Covariana ntre dou variabile X i Y, ne arat ct de mult se modific mpreun cele dou variabile:

(1.38)

Covariana are valoare pozitiv dac legtura dintre variabile este direct i negativ, dac legtura dintre variabile este invers. Dac valoarea covarianei este egal cu zero, acest lucru implic lipsa legturii ntre variabile, sau, cel puin, lipsa legturii liniare.

Coeficientul de corelaie liniar standardizeaz media produselor abaterilor: semnul coeficientului indic direcia legturii, iar valoarea lui indic intensitatea legturii.

(1.39)

Raportul de corelaie reprezint un alt indicator relativ pentru msurarea intensitii legturii dintre variabile, rdcina ptrat a coeficientului de determinaie, adic: (1.40)

Raportul de corelaie ia valori cuprinse ntre 0 i 1. Cu ct valoarea indicatorului este mai apropiat de 1, cu att legtura dintre variabile este mai puternic. Valori apropiate de 0 ne indic legturi de intensitate slab ntre variabile.

Regresia multipl liniar extinde analiza regresiei, utiliznd dou sau mai multe variabile independente. Astfel, dac lum n consideraie o variabil dependent (Y) i dou variabile independente (X1 i X2), modelul de regresie multipl liniar n colectivitatea general devine:

(1.41)iar n eantionul cu care lucrm, linia de regresie multipl este:

n eantion, coeficienii b1 i b2 sunt numii coeficieni de regresiepariali i ei ne arat doar influena parial a fiecrei variabile independente, atunci cnd influena tuturor celorlalte variabile independente este considerat constant.

Corelaia multipl liniar

Pentru a studia intensitatea legturii dintre o caracteristic dependent (Y) i mai multe caracteristici independente utiliznd metoda corelaiei, calculm raportul de corelaie multipl:

(1.42)

Raportul (coeficientul) de corelaie multipl are valori cuprinse ntre 0 (dac nu exist legtur ntre variabil dependent i variabilele independente) i 1 (dac exist legtur perfect).

Regresie neliniar

- Modelele polinominale reprezint o categorie des ntlnit printre modelele neliniare ce descriu relaiile dintre caracteristicile social-economice. Modelul de regresie n eantion are forma general:

(1.43)- Modelele ce necesit transformarea variabilelor n vederea linia-rizrii sunt cele n care aplicarea regresiei presupune o schimbare de variabil, astfel nct relaia ntre transformat i cealalt variabil s fie de tip liniar.De pild, n cazul unui model exponenial

Logaritmnd expresia funcional exponenial, obinem:

Corelaia neliniar

Pentru analiza intensitii legturii dintre variabile cu ajutorul indicatorilor corelaiei indicatori precum covariana sau coeficientul de corelaie liniar nu sunt potrivii n cazul legturii neliniare. Calculm, deci, raportul de corelaie R dup formula (1.42), indicator care ia valori ntre 0 i 1 i arat o corelaie cu att mai puternic ntre variabile, cu ct valoarea sa este mai apropiat de 1.

1.2.3. Verificarea ipotezelor statistice

n statistic, ipotezele apar ntotdeauna n perechi: ipoteza nul i ipoteza alternativ. Ipoteza statistic ce urmeaz a fi testat se numete ipotez nul i este notat, uzual, H0. Ea const ntotdeauna n admiterea caracterului ntmpltor al deosebirilor, adic n presupunerea c nu exist deosebiri eseniale. Respingerea ipotezei nule care este testat implic acceptarea unei alte ipoteze. Aceast alt ipotez este numit ipotez alternativ, notat H1.

Procedeul de verificare a unei ipoteze statistice se numete test sau criteriu de semnificaie. O secven general de pai se aplic la toate situaiile de testare a ipotezelor statistice.1. Se identific ipoteza statistic special despre parametrul populaiei sau legea de repartiie (H0).

2. ntotdeauna ipoteza nul este nsoit de ipoteza alternativ, H1, ce reprezint o teorie care contrazice ipoteza nul. Ea va fi acceptat doar cnd exist suficiente dovezi, evidene, pentru a se stabili c este adevrat.3. Se calculeaz indicatorii statistici n eantion, utilizai pentru a accepta sau a respinge ipoteza nul i se stabilete testul statistic ce va fi utilizat drept criteriu de acceptare sau de respingere a ipotezei nule.

4. Se stabilete regiunea critic, Rc.. Regiunea critic este delimitat de valoarea critic, C - punctul de tietur n stabilirea acesteia. n baza legii numerelor mari, numai ntr-un numr foarte mic de cazuri punctul rezultat dm sondaj va cdea n Rc, majoritatea vor cdea n afara regiunii critice. Nu este ns exclus ca punctul din sondaj s cad n regiunea critic, cu toate c ipoteza nul despre parametrul populaiei este adevrat.

Eroarea pe care o facem eliminnd o ipotez nul, dei este adevrat, se numete eroare de genul nti. Probabilitatea comiterii unei astfel de erori reprezint riscul de genul nti () i se numete nivel sau prag de semnificaie.

Nivelul de ncredere al unui test statistic este (1-) iar n expresie procentual, (1-) 100 reprezint probabilitatea de garantare a rezultatelor. Eroarea pe cere o facem acceptnd o ipotez nul, dei este fals, se numete eroare de genul al doilea, iar probabilitatea (riscul) comiterii unei astfel de erori se noteaz cu p. Puterea testului statistic este (1-).

Fig. 1.4 legtura dintre probabilitile i

5) Dup ce am stabilit pragul de semnificaie i regiunea critic, trecem la pasul urmtor. n care vom face principalele presupuneri despre populaia sau populaiile ce sunt eantionate (normalitate etc).6) Se calculeaz apoi testul statistic i se determin valoarea sa numeric, pe baza datelor din eantion.7) La ultimul pas, se desprind concluziile: ipoteza nul este fie acceptat. fie respins, astfel:a) Dac valoarea numeric a testului statistic cade n regiunea critic (Re), respingem ipoteza nul i concluzionm c ipoteza alternativ este adevrat. Vom ti c aceast decizie este incorect doar n 100 a % din cazuri;

b) Dac valoarea numeric a testului nu cade n regiunea critic (Re), se accept ipoteza nul H0.

Putem aminti ca exemplu de test testul Z privind diferena mediilor a dou populaii normale

Testul Z se aplic dac se cunoate abaterea standard a variabilei dependente la nivelul populaiei sau dac numrul de subieci cuprini n eantionul comparativ este suficient de mare (de regul peste 30 de subiecti).

Fie i dou selecii independente de volum respectiv din dou populaii normale i cu dispersiile i cunoscute i fie i mediile celor dou relaii. Ne propunem s verificm o ipotez referitoare la diferena a mediilor , ale celor dou populaii adic ipoteza: fa de alternativa . Pentru aceasta vom folosi teorema conform creia:

are o repartiie normal tip N(0,1), deci aplicm testul Z. Regiunile critice ale ipotezei fa de alternativa sunt:

(testul unilateral dreapta, );

(testul unilateral stnga, )

sau

1.2.4. Modele de analiz grafic

a) Cronograma (historiograma) este, aa cum i arat i numele, reprezentarea grafic tipic, specific a SCR. Ea se traseaz ntr-un sistem de axe rectangulare, de obicei n cadranul nti al acestuia. Pe cele dou axe se vor reprezenta: timpul pe abscis (se marcheaz momentele sau intervalele

dup cum seria este format din mrimi de stoc sau de flux), iar termenii SCR pe ordonat.

Fig. 1.5 - Cronograma

Termenii seriei cronologice se figureaz ca puncte n plan, care se unesc, de regul, prin segmente de dreapt.

Diferenele ntre SCR de momente i SCR de intervale se observ i din modul de reprezentare grafic.

Fig. 1.6- Tipuri de serii cronologice: a) SCR de moment; b) SCR de intervale

b) Diagrama prin coloane n care timpul se reprezint pe abscis,

iar termenii SCR pe ordonat (fig. 1.7)

Fig. 1.7 Diagrama prin coloane

c) Diagrama prin benzi - este recomandat a se folosi atunci cnd se reprezint (simultan) termenii unor SCR, termeni care constituie nite indicatori strns legai ntre ei (exemplu: venituri-cheltuieli, profit-pierderi, import-export, etc.) (fig. 1.8.)

Fig. 1.8. Diagrama prin benzi

d) Diagrame polare (numite i diagrame radiale sau diagrame n spiral) se construiesc cu ajutorul reelelor radiale i se utilizeaz n special n reprezentarea SCR afectate de fluctuaii sezoniere.

1.2.5. Gruparea i clasificarea datelor statisticePrincipiile gruprii/clasificrii. Sistematizarea datelor se realizeaz prin gruparea i clasificarea (latelor statistice, adic prin mprirea lor n grupe/clase omogene, dup unul sau mai multe criterii de grupare/clasificare.O grup/clas este omogen dac unitile din interiorul ei tind s se asemene ct mai mult ntre ele din punctul de vedere al criteriului utilizat, adic dac ntre unitile din aceeai grup/clas exist variaii ct mai mici. date de prezena factorilor aleatori, ntmpltori.

Criteriul de grupare/clasificare reprezint variabila (caracteristica) statistic n funcie de care sistematizm datele. Dup cum avem de-a face cu un singur criteriu sau mai multe criterii de grupare/clasificare, vom vorbi de grupri/clasificri simple sau combinate.Dac sistematizarea datelor se face dup o variabil nenumeric, procesul se numete clasificare.Gruparea reprezint sistematizarea datelor dup o variabil (caracteristic) numeric. n funcie de tipul acesteia, gruparea se poate face dup o variabil discret sau continu.

Gruparea pe intervale de variaie. Intervalul de variaie reprezint un ir de valori ale variabilei studiate, delimitat de intervalele vecine prin limita inferioar i limita superioar. Intervalele de variaie pot fi de mrime egal sau neegal.

Pentru gruparea pe intervale de variaie se recomand utilizarea unui numr moderat de grupe. Deseori, un numr de 4 pn la 10 grupe este arbitrar recomandat, dar felul datelor poate necesita un alt numr de grupe. Pentru alegerea numrului de intervale de grupare (r) se poate utiliza i relaia lui Sturges (n ipoteza repartiiei aproximativ normale a unitilor dup variabila studiat):r = 1 + 3,322 log10n (1.44)unde n reprezint numrul total de uniti din colectivitate (volumul colectivitii). Pentru sistematizarea datelor pe intervale de variaie se recomand utilizarea intervalelor de mrime egal, cu excepia cazurilor n care analiza datelor, descoperirea unor tipuri calitative n colectivitate, necesit folosirea unor intervale de mrime neegal. Mrimea intervalului (h) se recomand a se rotunji la o valoare convenabil. Punctul de plecare n alctuirea intervalelor de grupare se alege, convenabil, 0 sau un numr ntreg puin mai mic dect valoarea minim din setul de date.

Limitele intervalelor de grupare trebuie stabilite cu acuratee, respectnd precizia datelor (cu acelai numr de zecimale, dac valorile sunt de aceast manier).

Limitele intervalelor de grupare se stabilesc exact, fr ambiguiti sau suprapunere, astfel nct fiecare unitate s poat fi ncadrat ntr-o singur clas.

Aadar, pentru sistematizarea datelor pe intervale egale de grupare se prezint urmtorii pai:1. Se stabilete amplitudinea variaiei caracteristicii:

2. Se stabilete numrul de grupe, r, n care vor fi sistematizate datele;3. Se calculeaz mrimea aproximativ a intervalelor de grupare:

4. Se stabilesc intervalele de grupare pornind de la xmin (sau de la o valoare puin mai mic):

Se obin, astfel, r grupe, pentm care vom stabili frecvenele prin numrarea unitilor care se ncadreaz n fiecare grup. Dac exist grupe cu frecven nul. ori multe grupe cu o singur observaie, poate fi necesar revizuirea mrimii intervalelor sau a numrului de intervale.

1.2.6. Metode de estimare a parametrilor i eficacitate a estimaiilor metoda celor mai mici ptrate

Fie f: [a. b] R o funcie. Fie x0, x1.....xn n+1 puncte distincte dinintervalul [a,b] pentru care se cunosc valorile funciei yi = f(xi) pentru orice i = 0,1....n. Aproximarea funciei f printr-un polinom de interpolare nu este indicat n urmtoarele situaii: cnd n este un numr foarte mare. ceea ce determin un volum mare de calcul pentru determinarea coeficienilor de inteipolare cnd valorile yi = f(xi) nu sunt exacte.n aceste situaii se poate folosi aproximarea funciei prin metoda celor mai mici ptrate.Fie H un spaiu Hilbert i H0 un subspaiu Hilbert al su. Fie u un element al lui H. Aproximarea lui u pe H0 presupune determinarea unui element u0 H0 proprietatea c

U0 se numete element de cea mai bun aproximare pentru u. Elementul de cea mai bun aproximare este unic i are proprietatea c u u0 este ortogonal tuturor elementelor din H0: = pentru orice v H0.

Considerm mulimea funciilor definite pe intervalul [a,b], i cele n+1 puncte distincte din intervalul [a, b] x0, x1, .... xn. Spunem c funciile f i g din aceast mulime sunt egale aproape peste tot (i vor fi identificate ) dac f(xi) = g(xi) pentru orice i = 0,1.....n.

Introducem urmtorul produs scalar

unde p(x) este o funcie pondere introdus n ipoteza c aproximrile f(xi) sunt diferite ca ordin de mrime. Funcia p are urmtoarele proprieti:

p(xi)>0

Relativ la produsul scalar introdus norma lui f este definit prin

Fie 1, 2,..., m un sistem de m funcii liniar independente definite pe [a,b], cu m < n. Convenim s numit spaiul generat de ele spaiul polinoamelor generalizate i s-1 notm Hm. Deci un polinom generalizat F Hm este de forma

n cazul metodei celor mai mici ptrate, elementul F0 care d cea mai bun aproximare a funciei f pe Hm trebuie s satisfac condiia:

Determinarea coeficienilor cj ai polinomului generalizat F0 cu ajutorul acestei relaii este dificil. Se folosete proprietatea: = 0 pentru orice j = 0, 1, 2.. .ni, ceea ce revine la:

Notm

Pentru determinarea coeficienilor cj ai polinomului generalizat F0 se rezolv sistemul:

(1.45)

Determinantul acestui sistem fiind un determinant Gramm (elementele sale sunt produse scalare) este diferit de zero, deoarece sistemul de funcii 1, 2,..., m este un sistem liniar independent.

Dac i(x) =xj, j=0,1,...,m, mn i p=1/(n+1), atunci:

(1.46)i sistemul anterior devine:

CAPITOLUL 2MODELE UTILIZATE N TEORIA TRAGERILOR2.1 Parametrii utilizai n modelele de optimizare specifice teoriei tragerii2.1.1 Forma traiectorie i nsemntatea ei practic

2.1.1.1 ntinderea traiectoriei

ntinderea traiectoriei se caracterizeaz prin nlimea maxim a traiectoriei deasupra liniei de ochire. Cu ct traiectoria este mai intins cu att mai mare va fi distana pe care o int de o nlime dat va putea fi lovit, cu aceeai poziie a nltorului.

n aceasta const nsemntatea practic a ntinderii traiectoriei. Traiectoria pe o anumit distan este cu att mai intins cu ct se ridic mai puin deasupra liniei de ochire.

n afara de aceasta asupra intinderii traiectoriei se pot face aprecieri i pe baza valorii unghiului de cdere, traiectoria este cu atat mai intins cu ct unghiul de cdere este mai mic.

Forma traiectoriei depinde de mrimea unghiului de tragere. Odat cu mrimea unghiului de tragere pn la o anumit limit se va mri nlimea traiectoriei i distana de tragere (btaia).

Daca unghiul de tragere se mreste peste aceasta limit (cca. 30-35) nltimea traiectoriei continu s se mreasc iar distana de tragere (btaia) ncepe s se micoreze ex. (fig. 2.1.).

Fig 2.1. Unghiul distanei maximeUnghiul de tragere cu care se obine cea mai mare distan de tragere (btaie) a glonului se numete unghiul distanei maxime (limit). Traiectoriile care se obin cu unghiuri de tragere mai mici dect unghiul distanei maxime se numesc traiectorii intinse (razante). Traiectoriile care se obin cu unghiurile distanei maxime se numesc "Traiectorii curbe". Traiectoriile care au aceeai distan de tragere, dar sunt obinute cu unghiuri de tragere diferite se numesc "Traiectorii conjugate" (fig. 2.2.).

Fig 2.2. Traiectoriile conjugate2.1.1.2 Razanta traiectoriei, nlimea traiectoriei Razanta traiectoriei se caracterizeaz prin ridicarea mai mare sau mai mic a acesteia deasupra liniei de ochire. La o anumit distan, traiectoria este cu att mai razant, cu ct se ridic mai puin deasupra liniei de ochire.

Lovitura a crei traiectorie nu se ridic deasupra liniei de ochire mai sus de nlimea unui obiectiv, pe ntreaga ntindere a distanei ochite, se numete LOVITUR RAZANT.Distana pe care glonul (proiectilul) nu depete nlimea unui obiectiv se numete DISTANA LOVITURlI DIRECTE (RAZANTE) (Fig. 2.3.)

Fig 2.3. Distana loviturii directe asupra intei alergnd la tragerea cu puca mitralier cu nltor 6

Distana loviturii directe depinde de:

- nlimea obiectivului

- de razanta traiectoriei.

Cu ct este mai nalt obiectivul i mai razant traiectoria cu att este mai mare distana loviturii directe pe care obiectivul respectiv poate fi lovit cu acelai nltor. Distana loviturii directe se poate determina prin compararea nltorului obiectivului cu ordonata traiectoriei medii.

2.1.1.3 Spatiul periculos al nltoruluiAdncimea spaiului periculos al nltorului (s.p..) se numete distana pe linia de ochire pe intinderea creia ramura cobortoare a traietoriei nu se ridic mai sus dect inta (fig. 2.4.).

Fig. 2.4. Spaiul periculos al nlatorului

Spaiul periculos al nltorului depinde de:

- nlimea obiectivului (va fi cu att mai mare, cu ct este mai nalt obiectivul);

- razanta traietoriei (cu ct traectoria este mai razant, cu att Spaiul periculos al nltorului este mai mare).

nsemntatea practic a s.p.i. const n faptul c n limitele adncimii acestui spaiu inta poate fi lovit cu unul i acelai nltor (fr modificarea nltorului sau punctului de ochire n nlime).

Spaiul periculos al nltorului compenseaz ntr-o oarecare msur erorilor comise n determinarea elementelor iniiale de tragere. n limitele distanei loviturii directe ntinderea spaiului periculos al nltorului se determin prin compararea ordonatelor ramurii cobortoare a traietoriei medii cu nlimea obiectivelor.

Cnd nlimea obiectivului este mai mic dect 1/3 din ordonata ramurii cobortoare a traietoriei medii, ntinderea spaiului periculos al nltorului se determin prin calcul, inmulind nlimea obiectivului cu coeficientul spaiului periculos.

Coeficientul spaiului periculos se gsete calculat n tabele i este determinat cu ajutorul raportului :

(2.1.)S.p.i. n raport de nlimea intei i a traietoriei se determin prin urmatoarele procedee:

Cu ajutorul formulei miimi sau cu ajutorul coeficientului spaiului periculosProcedeul se aplic n cazul cnd nlimea intei este mai mic de 1/3 din nlimea traietoriei la tragerea cu nltorul respectiv. (2.2.)Unde: UC=unghiul de cdere.

Relatia se numete coeficientul spaiului periculos i se noteaz cu K;

n acest caz: s.p.i.=I.tK.

Valoarea coeficientului spaiului periculos este data n tabelele de tragere. Cu ajutorul tabelei ordonatelor traietoriei prin compararea nltimii ramurii cobortoare a traietoriei cu nlimea intei. 2.1.1.4 Spaiul periculos al terenuluiPortiunea de teren pe ntinderea creia traiectoria nu se ridic mai sus de nlimea obiectivului se numete SPAIUL PERICULOS AL TERENULUI (Sp.P.T.).

Spaiul periculos al terenului depinde de:

nalimea obiectivu1ui;

razanta traiectoriei; relieful terenului n care se gsete obiectivul; unghiul de inciden.

Cu ct este mai nalt obiectivul si mai razant traiectoria, cu att este mai mare intinderea de teren pe care obiectivu1 poate fi lovit fr schimbarea nltoru1ui (fig.2.5.).

Fig. 2.5. Dependena spaiului periculos al terenului de nlimea obiectivului i razanta traiectorieiAdncimea spaiu1ui periculos al terenului nclinat este de attea ori mai mic (mare) dect adncimea Sp.P.i. de cte ori unghiul de inciden este mai mare (mai mic) dect unghiul de cdere (fig. 2.6.).

Fig. 2.6. Adncimea spatiu1ui periculos al terenului inclinat

Pentru a mri adncimea Sp.P.T. n teren inclinat este necesar ca poziia de tragere sa fie astfel aleas nct suprafaa terenului i inamicul s se afle pe ct posibil n pre1ungirea liniei de ochire. Panta terenu1ui micoreaz spaiu1 periculos al terenu1ui, iar contrapanta il mrete (dac unghiul de cdere este mai mare dect unghiul de pant).

UI > UC; SP.P.T. < SP.P.I.

UI < UC; SP.P.T. > SP.P.I.

Fig. 2.7. Dependena spaiului periculos al terenului de unghiul de inciden

La tragerea de sus n jos, spaiul periculos al terenului se micoreaz, iar la tragerea de jos n sus, se mrete (fig. 2.8.).

Fig. 2.8. Influena unghiului de teren al obiectivului asupra spaiului periculos al terenului

a) Cnd obiectivul se afl mai jos de orizontala armei.

b) Cnd obiectivul se afl mai sus de orizontala armei.Mrimea spaiului periculos al terenului este egal cu spaiul periculos al nltorului inmulit cu raportul dintre unghiul de cdere i unghiul de inciden.

Se utilizeaz formula:

Sp.P.T.=Sp.P.I.* sau Sp.P.T. = (2.3.)Unde: UI.=unghiul de inciden care se calculeaza dup formula general: UI= UC+ UP Utob.

2.1.1.5 Spaiul defilat i spaiul protejatPoriunea de teren dinapoia unei adpostiri pe care nu poate cdea glonul (proiectilul) dac traiectoria rmne neschimbat se numete SPAIUL DEFILAT (SP.D.) sau:

SPAIUL DEFILAT se numete poriunea dintre punctul de inciden i obstacol (acoperire) unde nu vor cdea gloane trase cu o arma fr a se schimba poziia sau unghiul de tragere.

Spaiul defilat va fi cu att mai mare, cu ct este mai nalt adpostul i cu ct traiectoria este mai nalt.

Spaiul defilat se determin cu ajutorul formulei:

Sp. D. = H (2.4.)Unde:

Sp.D = spaiul defilat, n metri;

H = nlimea adpostirii, n metrii

Uc = unghiul de cdere. Traiectoria ntins ngreuneaz lovirea obiectivelor adpostite, iar traiectoria curb uureaz lovirea lor (fig. 2.9.).

Fig. 2.9. Lovirea obiectivelor adapostite

O parte din spaiul defilat, i anume acea n care o int de o nlime dat nu poate fi lovit de gloane se numete SPAIU PROTEJAT (Sp.p) sau SPAIUL MORT (Sp.rm.) fig. 2.10.

Spaiul protejat se determin cu ajutorul formulei:

Sp.P=(H-h) (2.5.)n care:

Sp.P = spaiul protejat, n metri;

= coeficientul spaiului periculos;

Cealalt poriune din spaiul defilat n care obiectivul, cu toate c nu este vzut, poate fi lovit se numete SPAIU PERICULOS (Sp.P) (fig. 2.10). Importana practic a cunoaterii spaiului defilat i a spaiului protejat (mort) const n nvarea folosirii judicioase a adpostirilor contra focului inamic, precum i a posibilitilor de lovire ale obiectivelor inamicului dispuse napoia unor adpostiri.

Fig. 2.10. Spaiul defilat , protejat i periculosAdncimea spaiului defilat depinde de nltimea i intinderea traietoriei, iar adncimea spaiului protejat n afara de acesta i de nltimea tintei.

Adncimea spaiului defilat se determin prin aceleai procedee ca i spaiul periculos:

Cu ajutorul tabelelor ordonatelor traiectoriei.

Din tabelele ordonatelor traietoriei prin tatonare, se determin ordonata corespunzatoare cu nlimea adpostirii i distana pn la ea. nltorul traietoriei respective constituie btaia, iar diferena ntre btaia total i distana pn la adapostire constituie adncimea spaiului defilat.

Cu ajutorul formulei miimii sau coeficientului spaiului periculos Cnd distana pn la acoperire este de 800 m i mai mult.

n acest caz utilizm formula:

sau Sp.d. = IA*K (2.6)Cu ajutorul unghiului de ochire (fig. 2.11.)

Din tabele extragem unghiul de tragere corespunztor distanei la acoperire. Dup aceasta determinm unghiul acoperirii iar valoarea lui o adaugm la unghiul de tragere. Suma realizat este de fapt un nou unghi de tragere care corespunde btii orizontale a glonului , care trece tangent la creasta acoperirii.

Diferena dintre distana la acoperire i btaie ce se obine cu unghiuri nsumate este chiar spaiul defilat.

Fig. 2.11. Determinarea adncimii spaiului defilat cu ajutorul unghiului de ochire

Adncimea spaiului protejat (mort) se determin prin efectuarea diferenei ntre SD i spaiul periculos al nltorului:

Sp=ST-Spi

n cazul cnd distana la acoperire este de 800 m i mai mult, spaiul protejat se determin cu ajutorul formulei:

(2.6.)2.1.1.6 Determinarea nltorului i a loviturii razante

Pentru ca glonul s ajung la obiectiv i s-l loveasc este necesar ca inainte de darea focului eava armamentului s capete o anumit poziie n plan orizontal i vertical. Stabilirea corect a nltorului n funcie de tipul intei, distana la care se trage i diferena de nivel dintre orizontala armei i nivelul obiectivului influeneaz ntr-un mod pozitiv rezultatele tragerilor, mrind astfel probabilitatea de lovire a intelor.

n acelai timp este foarte util s cunoatem nsemntatea traiectoriilor razante. Traiectoriile razante sunt traiectoriile obinute cu unghiuri mai mici dect unghiul distanei maxime. Cu ct o traiectorie este mai intins cu att mai mare este ntinderea de teren de-a lungul creia obiectivele pot lovite fr modificarea nltorului, i deasemenea anihileaz, n parte efectele negative ale greelii de nltor.

Pentru a putea rezolva problema pe care tocmai am propus-o i anume de a afla unghiul de aruncare i apoi nltorul trebuie s cunoatem urmtoarele notaii:

Durata traiectoriei (t) este intervalul de timp din momentul plecrii glonului pn n momentul ajungerii n punctul final

Unghiul de aruncare (ua) - unghiul dintre linia de aruncare i orizontala armei

Unghiul de nltor (ui) - unghiul dintre linia de ochire i linia de aruncare

Unghiul de teren (ut) - unghiul dintre linia de ochire i orizontala armei

Distanta orizontala (x) - abscisa unui punct pe traiectorie

Diferenta de nivel (h) - dintre trgtor i obiectiv

nalimea obiectivului (ht)

Viteza iniiala a glonului (Vo)

Pentru a putea calcula ecuaia taiectoriei, am considerat faptul c micarea are loc n vid, am neglijat unghiul de zvcnire i forele de frecare cu aerul.

Ecuaiile micrilor pe vertical i orizontal sunt:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 (2.7.)nlocuind timpul din prima ecuaie n a doua vom obine ecuaia traiectoriei:

;

Dac h i x sunt cunoscute, egalitatea devine o ecuaie de gradul 2 n tgu:

Calculm discriminantul:

De aici rezult:

si

Rezolvnd ecuaia vom obine dou unghiuri u1 si u2, soluia cutat fiind unghiul mai mic. Pentru a transforma unghiul tim c la fiecare nltor, punctul ochit aflat la distana exprimat n sute de metri de acesta concide cu traietoria glonului.

Pentru a afla traiectoria razant punem condiia ca nlimea maxim s fie nlimea intei.

Aplicnd legea spaiului pentru traiectoria ascendent a proiectilului obinem:

De aici extragem unghiul:

Ca sa aflam lungimea traiectoriei razante nlocuim valoarea unghiului n formula:

(2.8)2.1.2 Probabilitatea de lovire a obiectivelor

n teoria tragerilor, valoarea probabilitii de lovire a unui obiectiv, n condiii de tragere date, st la baza celor mai importante calcule i reguli de tragere. Cunoaterea probabilitii de lovire permite aprecierea eficacitii tragerii pe baza unor indici importani ca sigurana i economia tragerii. De asemenea, cunoscnd valoarea probabilitii de lovire se poate determina consumul mediu de lovituri necesar obinerii unui efect stabilit sau consumul de lovituri pentru obinerea efectului propus cu o siguran dat.Pentru a putea construi modele utilizate n calculul acestui parametru este necesar, n prealabil, o analiz a fenomenelor aleatoare complexe de mas, a fenomenelor care caracterizeaz tragerile (mprtierea proiectilelor, apariia erorilor), a variabilelor asociate experimentelor de tragere (abaterile X, Y, Z de la direcie, nlime i btaie, consumul de munie C, pierderile provocate prin tragerea unui numr n de cartue P). Analiza presupune identificarea legilor pe care le urmeaz aceste variabile (normale, geometrice, binomiale) calculul sau estimarea principalelor caracteristici i formularea unor reguli (modele matematice) de utilizare a acestor parametrii n scopul optimizrii misiunilor de tragere pe baza unor criterii cum ar fi creterea siguranei, economia de muniie, de timp, de fore.

Arbitrar, unitatea de msur pentru mprtiere s-a stabilit a fi abaterea medie (este abaterea care n valoare absolut este mai mare dect fiecare dintre abaterile celeilalte jumti); de fapt abaterea probabil este o median a variabilei , reprezentnd abaterea de la axa n direcie (locul geometric al abaterilor medii n direcie mx = M(x)).

n concluzie, orice abatere mai mic sau mai mare dect abaterea medie are probabilitatea de producere de 50 %. Astfel, abaterea medie este egal cu abaterea probabil.

Fiindc abaterile se repartizeaz n nlime, n direcie, n btaie, abaterea probabil, ca unitate de msur, exist n toate cele trei planuri: ; ; .

Cu ct abaterea probabil este mai mic, cu att precizia tragerilor este mai mare. Astfel, precizia este fenomenul invers mprtierii avnd urmtoarele uniti de msur :

Valorile abaterilor probabile sunt determinate experimental i sunt nscrise n tabelele de tragere ale fiecrui tip de armament, variind n funcie de tipul glonului folosit i de distana pn la care se execut tragerea.

2.1.3 Fenomenul mprtierii. Cauzele care produc mprtierea proiectilelorLa tragerea unui numr de lovituri cu o arm bine reglat, fiecare glon, datorit influenei unor cauze aleatoare, va descrie o traiectorie diferit de traiectoriile celorlalte gloane. Acest fenomen poart denumirea de mprtiere normal a loviturilor. Ea nu poate fi evitat deoarece depinde de o serie de cauze a cror aciune nu poate fi luat n considerare nainte de ochirea armei spre int.

Cauzele care influeneaz asupra traiectoriei determin apariia unui snop de traiectorii ale crui puncte de cdere se repartizeaz pe o suprafa numit suprafaa de mprtiere. Pe suprafaa de mprtiere se poate determina un punct care va fi mediu n raport cu celelalte puncte.

Cauzele care genereaz mprtierea tragerii pot fi socotite: obiective i subiective.

a. Cauzele obiective sunt:

variaiile condiiilor atmosferice n care se produce micarea gloanelor;

variaiile de vitez iniial a glonului, determinate de muniie i armament.

b. Cauzele subiective sunt:

inconstana n ochirea orizontal i vertical a armei la fiecare cartu (serie de cartue trase);

incorectitudinea poziiilor pentru tragere, aezrii armei n umr, folosirii reazemului i mnuirii trgaciului la tragerea fiecrui cartu (serie de cartue trase);

vibraiile neuniforme ale evii armamentului automat ca urmare a micrii mecanismelor pe timpul rencrcrii;

inconstana i neuniformitatea n meninerea armamentului automat n mn pe timpul tragerii.

Cunoscnd cauzele care produc mprtierea, se poate micora influena fiecreia din ele i, prin aceasta, se va micora mprtierea.

Legitatea de dispunere a punctelor de cdere pe o suprafa poart denumirea de: lege de mprtiere.

mprtierea (dispersia) traiectoriilor este limitat, simetric i neuniform. Astfel, la tragerea cu un numr foarte mare de lovituri snopul de traiectorii ocup un volum practic limitat (finit).

Pentru msurarea suprafeei de mprtiere, pentru compararea mprtierii gloanelor la tragerea cu diferite categorii de armament de infanterie, se folosesc urmtoarele uniti de msur ale mprtierii:

- abaterea probabil;

- abaterea medie;

- abaterea normal;

- abaterea tolerat;

- fia jumtii favorabile;

- fia central (fia de miez).

a) Abaterea probabil este egal cu a opta parte din dreptunghiul de mprtiere i reprezint limea fiei nvecinate cu axa de mprtiere, care conine aproximativ 25% din punctele de cdere. Se noteaz cu Ap i poate fi:

- Apd - abatere probabil n direcie;

- Ap - abatere probabil n nlime;

- Apb- abatere probabil n btaie.b) Abaterea medie este egal cu dou abateri probabile i cuprinde 50% din cele mai bune puncte de inciden. Ca valoare metric, este egal cu 1/4 din nlimea (limea) dreptunghiului de mprtiere.

c) Abaterea normal este egal cu opt abateri probabile (4 abateri medii) i cuprinde 100 % din punctele de inciden.

d) Abaterea tolerat cuprinde totalitatea punctelor de inciden i este egal cu 16 abateri probabile sau de dou ori dreptunghiul mprtierilor normale. Dac se mparte suprafaa de mprtiere la trei fii egale atunci n fia central se vor gsi 70 % din punctele de cdere, iar n fiile laterale cte 15%.

e) Fia jumtii favorabile este fia care cuprinde 50% din punctele de inciden i este dispus simetric de-a lungul axei mprtierii.

f) Fia de miez este fia central care cuprinde 70% din punctele de cdere i se noteaz cu Fc. Poate fi:

- Fcd - fia de miez n direcie;

- Fc - fia de miez n nlime;

- Fcb - fia de miez n btaie.

ntre abaterea probabil i fia central exist urmtoarea relaie:

8Ap = 3Fcde unde:

Ap = 3/8 Fc ( F/3;

Fc = 8/3 Ap ( 3Ap.

Ali parametrii utilizai n modelarea matematic sunt:

Cadena de tragere numrul de lovituri care se pot executa ntr-un minut cu fiecare categorie de armament;

Viteza de nimicire pierderile medii realizate de inamic prin tragerea unui numr n de proiectile ntr-o unitate de timp (n=*p);

Distana la care se execut tragerea aceasta este prevzut n tabelele de tragere i se numete distana loviturii eficace. Aceast distan depinde de nlimea obiectivului i de tipul tragerii;

Viteza obiectivelor cunoaterea vitezei de deplasare are o importan deosebit n calculul coreciei probabilitii de lovire;

Consumul mediu de muniie se calculeaz n funcie de tipul experimentului de tragere binomial cm=an/p sau geometric cm=1/p i este un parametru important n modelele care au ca i criteriu de optimizare economia de muniie;

Densitatea de foc numrul de lovituri trase n unitatea de timp pe un front cu o anumit lungime. Se calculeaz innd cont de armamentul avut la dispoziie i cadena acestuia.

2.1.4 Modele de calcul ale probabilitii de lovire

Probabilitatea de lovire a unui obiectiv n condiii de tragere se poate obine prin calcul folosind teoreme i relaii fundamentale de teoria probabilitilor i erorilor sau pe cale grafic cu ajutorul scrilor (reelei) mprtierii.

Indiferent de metoda folosit, pentru determinarea unei valori ct mai exacte a probabilitii de lovire a obiectivului este necesar s se stabileasc (determine) toate mrimile ce caracterizeaz aciunea factorilor de care depinde probabilitatea de lovire, corespunztor condiiilor de tragere, astfel:

pentru dimensiunile obiectivului: frontul (2f) i dimensiunea (2l) iar pentru obiectivele circulare raza (r0) exprimate n metri;

pentru poziia CIP fa de centrul obiectivului: coordonatele rectangulare ale centrului obiectivului (xc i zc) sau deprtarea acestuia (d) n raport cu CIP, precum i valorile abaterilor probabile recalculate () care caracterizeaz legea de repartiie a punctelor de cdere fa de punctul pentru care s-au pregtit elementele (centrul obiectivului);

pentru mrimea mprtierii tragerii: valorile abaterilor probabile din tabelele de tragere () n cazul mprtierii elipsoidale sau valoarea abaterii circulare () n cazul mprtierii circulare. n cazul cnd tragerea se execut pe un teren n pant (contrapant), valorile abaterilor probabile din tabelele de tragere se recalculeaz innd seama de panta terenului, folosind relaiile cunoscute:

i (2.9) pentru orientarea direciei de tragere fa de dimensiunea principal a obiectivului: abaterea probabil rezultant, obinut prin compunerea vectorial a i ;

pentru suprafaa eficace a loviturii: mrimea razei suprafeei eficace (re), deprtarea centrului exploziei de centrul obiectivului (d) i dimensiunile (raza) obiectivului (r0).

n raport cu numrul factorilor care intervin i cu mrimile ce caracterizeaz condiiile respective de tragere, pot fi difereniate cteva metode reprezentative de determinare a probabilitii de lovire a obiectivului.

2.1.4.1 Calculul probabilitii de lovire cu ajutorul scrii mprtierii

Probabilitatea de lovire cu ajutorul scrii mprtierii se determin n felul urmtor:

se deseneaz obiectivul la o scar oarecare;

pe acest desen i la aceeai scar se deseneaz scara mprtierii n nlime i direcie, innd seama de dispunerea traiectoriei medii i lund din tabelele de tragere valorile abaterilor n nlime i direcie;

se calculeaz probabilitatea de lovire separat n nlime i direcie (P i Pd)

probabilitatea de lovire se determin cu formula:

P=P(Pd(k; unde: k este coeficientul de figur al obiectivului.

Fig. 2.12. Scara mprtierii n direcie i inlime2.1.4.2 Modelul de calcul a probabilitii de lovire n cazul n care punctul mediu al loviturilor coincide cu centrul inteiPentru determinarea probabilitii de lovire n cazul n care PML coincide cu centru intei se folosete urmtoarea formul:

(2.10)n care :

Y - jumtate din lungimea obiectivului; Z - jumtate din limea obiectivului;

- abaterea medie probabil n inlime;

- abaterea medie probabil n direcie;

K coeficientul de figur;

F functia de repartiie normal:

Functia F mai poate fi scrisa si sub forma:

F(x)= ,

unde (z)= reprezint legea de repartiie normal (vezi mai jos graficul funciei) ( funcia lui Laplace), m i 2 reprezentnd media respective dispersia.

Fig. 2.13. Graficul repartiiei normale

Pentru m=0 i =1 se obine o form particular a repartiiei normale numit repartiia normal normat. Astfel, densitatea de repartiie unei variabile aleatoare X cu o repartiie este:

f(x)=, iar funcia de repartiie a lui X este

F(x)=(x). (2.11.)Se folosete aceast funcie deoarece s-a ajuns la concluzia c multe din fenomenele tragerii, n special mprtierea proiectilelor, urmeaz acest lege.

nu reprezint altceva dect probabilitile corespunztoare evenimentelor ncadrrii proiectilului n dreptunghiul de contur al intei n nlime i direcie n jumtatea dimensiunilor ei considerndu-se punctul mediu al loviturilor aflat n centrul obiectivului, adic m=0, iar = respectiv =. Deoarece functia F este greu de calculat, fiind o integral nedefinit, exist tabele cu valorile acesteia sau cu valorile funciei .K reprezint probabilitatea geometric ca proiectilul ce se ncadreaz n dreptunghiul de contur s nimereasc n interiorul intei. El se calculeaz evident ca raport dintre suprafaa intei i suprafaa dreptunghiului care o ncadreaz. Coeficienii de figur pentru principalele tipuri de inte sunt trecui n rgulamentele specifice instruciei tragerii.Valorile , s-au calculat experimental i sunt specifice fiecrui tip de armament n parte.

2.1.4.3 Probabilitatea de lovire a unui obiectiv avnd o form geometric neregulat (oarecare)

Sunt situaii cnd obiectivul asupra cruia se execut tragerea nu poate fi ncadrat ntr-o suprafa dreptunghiular cu laturile paralele cu axele elipsei de mprtiere. Calculul probabilitii de lovire a obiectivului, n aceste situaii, este destul de dificil, necesitnd mprirea obiectivului (cnd este posibil) n suprafee cu forme geometrice regulate i determinarea probabilitii de lovire a fiecrei suprafee elementare. Calea direct de determinare a probabilitii de lovire a unui astfel de obiectiv este cea grafic, folosind scara mprtierii n plan.

Pentru a determina probabilitatea de lovire a unui obiectiv folosind scara mprtierii n plan, coordonatele rectangulare ale punctelor, care definesc conturul obiectivului n raport cu axele mprtierii (cu originea n CIP) se exprim n abateri probabile. Cunoscnd aceste coordonate se raporteaz obiectivul pe scara mprtierii i se traseaz conturul. Probabilitatea de lovire a obiectivului se obine nsumnd valorile tuturor probabilitilor nscrise n ptratele scrii acoperite de obiectiv. Valorile probabilitilor de lovire din ptratele acoperite parial de obiectiv se stabilesc proporional, din vedere.

La raportarea obiectivului pe scara mprtierii n plan se obine un contur deformat fa de cel real datorit folosirii n construirea scrii mprtierii n plan a unor scri de reducere diferite pentru abaterile probabile; influena acestui fapt este nesemnificativ, deoarece scara mprtierii se construiete n fraciuni de abateri probabile i nu n uniti metrice.

Ca urmare a acestui avantaj, scara mprtierii n plan (circulare) poate fi folosit pentru determinarea probabilitii de lovire a unui obiectiv de orice form, situat att n plan orizontal ct i n plan vertical.

2.1.4.4 Probabilitatea de lovire a unui obiectiv cu suprafa circular

Calculul probabilitii de lovire a unui obiectiv circular prezint unele dificulti determinate n principal de faptul c, n majoritatea cazurilor, mprtierea este elipsoidal, iar CIP nu poate fi suprapus ntotdeauna pe centrul obiectivului. Ca urmare, n mod frecvent probabilitatea de lovire a unui obiectiv circular se va determina cu ajutorul unor tabele numerice antecalculate. Astfel, n determinarea probabilitii de lovire a unui astfel de obiectiv se pot ntlni dou cazuri mai reprezentative:

a) Centrul de mprtiere a punctelor (CIP) corespunde centrului geometric al obiectivului (fig. 2.14).b) Fig. 2.14.Pentru cazul general, cnd mprtierea este elicoidal, probabilitatea de lovire a obiectivului circular de raz r0 se determin folosind tabelul cu dubl intrare. Valorile nscrise n tabel s-au calculat folosind relaia:

(2.12.)

n raport cu mrimea razei obiectivului (r0) i valoarea excentricitii elipsei de mprtiere.

Pentru intrarea n tabel se folosesc urmtorii parametrii, determinai corespunztor condiiilor de tragere, cu relaiile:

(2.13.)

n care: r1 parametrul de intrare n prima coloan a tabelului avnd valori ntre 0,1 i 5 ; reprezint raza obiectivului exprimat n abateri probabile;

r0 raza obiectivului n m;

a valoarea celei mai mari abateri probabile (semiaxa mare a elipsei unitate de mprtiere), adic sau ;

(2.14.)

n care: e1 parametrul de intrare n prima linie a tabelului avnd valori ntre 0 i 1;

a, respectiv b, reprezint semiaxa mare, respectiv mic, a elipsei unitate de mprtiere ( sau ).

Rezult pentru acest parametru valorile:

, cnd >

, cnd > .

Cnd = = , valoarea parametrului e1 este egal cu 0, deci mprtierea este circular.

c) Centrul de mprtiere al proiectilelor (CIP) este n afara centrului geometric al obiectivului (fig. 2.15).

fig. 2.15.Pentru cazul general cnd mprtierea este elipsoidal, determinarea prin calcul a probabilitii de lovire este dificil i rezultatele obinute sunt de cele mai multe ori aproximative.

Cu o aproximaie acceptabil i mult mai rapid se poate determina valoarea probabilitii de lovire a unui obiectiv pe cale grafic, folosind scara mprtierii n plan . Modul de lucru este acelai ca i n cazul unui obiectiv de form oarecare, cu deosebirea c obiectivul circular se raporteaz pe scara mprtierii n plan cu ajutorul coordonatelor centrului (xc i zc) fa de CIP i al razei (r0), toate exprimate n abateri probabile.

Probabilitatea de lovire a unui obiectiv circular, n situaia cnd centrul obiectivului se gsete la o distan d fa de CIP poate fi determinat cu precizie suficient numai n cazul particular, cnd mprtierea este circular (==) sau este elipsoidal, dar caracteristicile acesteia i permit nlocuirea mprtierii elipsoidale cu mprtierea circular.

Pentru intrarea n tabel se folosesc valoarea deprtrii centrului obiectivului de CIP (d) i raza obiectivului circular (r0), ambele exprimate n abateri (erori) medii ptratice ((), astfel:

n prima coloan a tabelului se intr cu mrimea d/(;

n prima linie a tabelului se intr cu mrimea r0/(.

Pentru determinarea abaterii (erorii) medii ptratice (() se folosesc relaiile ntre abaterile caracteristice.

Conform relaiei: h * Ap = 0,477 sau h = 0,477/Ap

dar modulul de precizie

deci:

de unde rezult: sau .

Considernd mprtierea circular, relaia devine:

(2.15.)2.1.4.5 Probabilitatea de lovire a unui obiectiv cu suprastructur

Toate cazurile de calcul al probabilitilor de lovire prezentate anterior s-au referit la obiecte plane. Se pot ntlni i obiective care ocup un volum. Pentru determinarea probabilitii de lovire a unor astfel de obiective, n raport cu condiiile concrete de tragere, se pot ntlni dou cazuri:

a) dac tragerea se execut cu traiectorie ntins asupra prii frontale a suprastructurii obiectivului (asupra peretelui vertical) probabilitii de lovire a obiectivului se determin prin unul din procedeele prezentate, lundu-se n considerare dimensiunile obiectivului din planul vertical i abaterea probabil n nlime;

b) dac tragerea se execut cu traiectorie curb, n calculul probabilitii de lovire este necesar s se introduc suprafaa obinut prin proiectarea dimensiunilor obiectivului n planul de tragere dup direcia tangentei la traiectorie n punctul de impact (graficul umbrei).

Mrimea acestei suprafee depinde de nlimea i lungimea obiectivului; frontul obiectivului rmne nemodificat.

Cunoscnd dimensiunile obiectivului n spaiu (nlimea h, lungimea l i frontul 2f) i valoarea tangentei la traiectorie n punctul de impact (tg () se determin valoarea proieciei nlimii n planul orizontal (d) folosind relaia (fig. 2.13).

d=h/(tg () (2.16)

Fig. 2.16. Graficul umbrei

Lungimea total a obiectivului n planul orizontal (2l) va fi: 2l = L +d sau

(2.17.)

n care:

L lungimea (adncimea) real a obiectivului;

H nlimea suprastructurii obiectivului;

( - unghiul de cdere, corespunztor distanei de tragere.

Determinarea probabilitii de lovire a obiectivului cu suprastructur se reduce astfel la determinarea probabilitii de lovire a suprafeei din planul orizontal, ale crei dimensiuni sunt: 2f, 2l; aceasta deoarece toate punctele de cdere cuprinse n limitele acestei suprafee vor lovi obiectivul.

Exist numeroase cazuri cnd obiectivul se afl n glacis sau contrapant.

Fig. 2.17. Teren n contrapant

Fig. 2.18. Teren n glacis

tg ((-n) = h/d; rezult .

tg ((+n) = h/d; rezult .

2.2 Modele de optimizare a tragerii asupra obiectivelor mobileCaracteristicile obiectivelor care se mic sunt: distana, viteza i direcia de deplasare (fa de trgtor) i unghiul de drum.

Viteza obiectivelor care se mic poate fii:

Obiectivul viteza

Militari care se deplaseaz pe jos, 1,5-3,0m/s---5-10km/h

Automobile, transportoare blindate,; 3-8m/s---10-30km/h

Tancuri 3-6m/s---10-20km/h

Mijloace de trecere a cursurilor de ap 3m/s---10km/h

Direcia de deplasare a obiectivelor care se mic este definit de unghiul de drum al obiectivului care se noteaz simbolic cu litera k; unghiul de drum al obiectivului care se mic este format ntre planul de tragere i planul care conine direcia de deplasare a obiectivului:

Fig 2.19 Unghiul de drum al obiectivului care se mic.

TO=direcia de tragere

direcia de deplasare a obiectivului;

unghiul de drum al obiectivului;

n funcie de direcia de deplasare a obiectivului fa de trgtor, deplasarea se consider :

de front (a): daca obiectivul se deplaseaz n acelai plan cu planul de tragere (se apropie sau se departeaz de trgtor);

de flanc (b): dac obiectivul se deplaseaz sub un unghi drept fa de planul de tragere paralel cu frontalul trgtorului;

oblic (c): dac obiectivul se deplaseaz sub un unghi ascuit sau obtuz fa de planul de tragere; .Particularitatea principal a tragerii asupra intelor mobile este determinat de necesitatea calculrii coreciei de deplasare (corecia de deplasare =distana pe care o parcurge obiectivul pe timpul ct dureaz traiectul glonului-ea se masoar n metri), adic stabilirea prin calcule a acelui punct n care glonul trebuie s se ntlneasc cu obiectivul.Determinarea coreciilor de deplasare la tragerile asupra obiectivelor mobile terestre: Spaiul S parcurs de int pe timpul micrii glonului se calculeaz prin nmulirea vitezei de deplasare a intei V cu durata de traiect a glonului T la care se adaug distana Ti parcus de obiectiv n timpul de ntrziere al trgtorului:

S=V*T (2.18.) Dar mrimea coreciei n direcie C i a coreciei n btaie C care determin poziia punctului viitor al obiectivului se pot determina astfel:

Cd=S*sin k=V*T*sin k+Ti;

Cb=S*cos k=V*t*cos k;

Prin urmare, corecia de deplasare depinde de V, T i k.

Corecia este maxim n cazul deplasrii de flanc i minim la deplasare pe o direcie apropiat de cea frontal.

Cnd obiectivul se deplaseaz pe o direcie de flanc avansul n distan este nul. Pentru o mai uoar apreciere transformm expresia coreciei din metri n miimi: utiliznd formula paralaxei:

Cd(miimi) =(Cd(metri)*1000)/D;

Corecia de deplasare va fi mai mare dac obiectivul se mic de flanc (deoarece sin=1) i mai mic dac obiectivul se mic pe o direcie apropiat de cea de front (deoarece sin=0,9; sin=0,7; sin=0,5).

2.3 Modele de corectare a tragerii n condiii speciale de presiune i temperatur

Tragerile cu armamentul de infanterie se pot executa n condiii normale, pe care n practic avem foarte puine anse s le ntlnim, sau speciale.

Sunt considerate condiii meteorologice de tragere normale urmtoarele:

presiune atmosferic (barometric) la orizontala armei egal cu 750 mm, care corespunde unei altitudini de 100 metri deasupra nivelului mrii;

temperatura la orizontala armei egal cu 15C:

umiditatea relativ a aerului de 50%:

lipsa total de vnt

Condiiile de tragere normale sunt greu de obinut att n poligon ct mai ales pe cmpul de lupt, pregtirea militarilor pentru condiii speciale, altele dect cele normale, devenind mai mult dect o necesitate.

2.3.1 Influena presiunii atmosferice asupra traiectoriei glonului

Scderea presiunii atmosferice cauzat de creterea altitudinii influeneaz btaia armamentului. Pe msur ce altitudinea crete, atmosfera se rarefiaz, iar densitatea ei se micoreaz (scade presiunea atmosferic) i n funcie de aceasta scade fora de rezisten a aerului, ceea ce contribuie la creterea btii armamentului.

Experimental s-a stabilit c la fiecare cretere a altitudinii cu 100 de metri fa de ceea normal, presiunea atmosferic scade n medie cu 9 mm. Pentru aceasta sunt necesare corecii pentru schimbarea punctului de ochire sau pentru micorarea nltorului cu gradaiile corespunztoare diferenei de presiune.

Variaiile presiunii atmosferice pn la altitudinea de 500 de metri sunt nensemnate i nu necesit o influen hotrtoare asupra formei traiectului glonului. Din aceste considerente la tragerile executate cu armamentul de infanterie sub aceast altitudine, aceste variaii nu se iau n considerare i deci, nu se face nici un fel de corecie. La altitudini mai mari, presiunea atmosferic i, prin urmare, densitatea i fora de rezisten a aerului scad considerabil, exercitnd o influen mai mare asupra traiectoriei, mrind btaia gloanelor (distana de tragere).

Aceasta nseamn c toate elementele care caracterizeaz traiectoria armei respective se schimb, gradaiile nltorului nu mai corespund; prin urmare, pentru a lovi un anumit obiectiv la o anumit distan, trebuie s se micoreze nltorul n funcie de altitudine, distana de tragere i felul armamentului. Coreciile necesare se fac prin schimbarea punctului de ochire (ochind mai jos), fie prin micorarea nltorului cu gradaiile de nltor corespunztoare diferenei de presiune.

2.3.2 Influena temperaturii asupra traiectoriei glonului.Cnd temperatura aerului este ridicat peste +15oC densitatea aerului se micoreaz, n consecin, se micorez i fora de rezisten a aerului. n asemenea situaii se mrete simitor lungimea traiectoriei i prin urmare este necesar sa micorm nltorul corespunztor coreciilor calculate (sau se modific punctul de ochire).

Cnd temperatura aerului este sczut (ger), densitatea i fora de rezisten a aerului se mresc, ca urmare a acestui fapt se micoreaz simitor traiectoria glonului. n asemenea situaii trebuie s mrim nltorul corespunztor coreciilor calculate (sau se modific punctul de ochire).

2.3.3 Recalcularea probabilitii de lovire n condiii speciale de presiune i temperaturaturn condiii speciale de presiune i temperatur abaterile medii probabile se vor modifica sub influena erorilor ce apar. Formula de recalculare a abaterilor medii se numete formula abaterilor medii patratice i are urmtoarea form:

A.p.r.=, (2.19.)

unde A.p.r reprezint abaterea medie recalculat n funcie de influena erorilor a, b, c

n cazul nostru vom avea :

A.p.i=

A.p.d=

unde a i b vor fi abaterile cauzate de schimbarea presiunii, respective ale temperaturii mediului nconjurtor, cu influene asupra tragerii.

Astfel, probabilitatea de lovire va fi:

P=F()*F()*k

Valorile a i b ale erorilor ce apar la schimbarea condiiilor meteorologice la tragerea cu pistolul i puca mitralier sunt date n tabelele de la Anexa 4 i 5.2.4 Modele de optimizare a tragerii n pant i contrapant2.4.1 Recalcularea abaterilor probabile la tragerile n pant

Fig. 2.20.Legea dintre Api i Apb este: ;

*Apb, Api abaterile probabile n btaie i nlime;

Rezult c Apb = ;

Recacularea abaterii probabile in bataie: Conform teoriei sinusurilor rezult c :

;

Din punctul de vedere al infanteritilor care au calculat prima dat, care aproximeaz cos(u.c.)=1, adic tg(u.c.)=sin(u.c.), cos(u.c.+u.p)=1 ; tg(up)=sin(up) ;

Rezult : ; (2.20.)n rndul matematicienilor calculele sunt mai precise : tg = ;

sin = ; rezult: Apb= ; (2.21.)

Recalcularea abaterii probabile n nlime

; (2.22.)adic : ;rezult: Api = = ;

Rezult c Api = = Api;

2.4.2 Recalcularea abaterilor probabile n contrapant

Fig. 2.21.La recalcularea abaterilor probabile n nlime i btaie n contrapant procedeul este similar cu cel din pant numai c aici avem:

u.i. = u.c. u.p.; rezult c : Apb= (2.23.)i la fel ca i n pant abaterea probabil n nlime rmne aceei ca i n teren plat i anume: Api=; (2.24.)2.5. Economia i sigurana tragerii2.5.1 Consumul de muniieLa trageri ntlnim deseori mrimi variabile care la repetarea unor probe n condiii identice iau valori paticulare accidentale. Aa de exemplu, n tragerea asupra unui obiectiv, focul executdu-se n condiii voite a fi identice, consumul de muniie necesare pentru obinerea unui anumit efect este o mrime variabil.

Acest lucru rezult din faptul c n unele cazuri lovirea obiectivului se a obine dup primele lovituri trase, iar n alte cazuri, dup tragerea unui numr mai mare de lovituri.

Consumul total de muniie pentru ndeplinirea misiunilor de foc depinde de muli factori i inainte de toate de :

posibilitatea observrii rezultatelor tragerii; introducerea oportun a modificrilor necesare n poziia aparatelor de ochire care s fac nimicirea intei ct mai sigur.Consumul de muniie este diferit de la o tragere la alta i de aceea trebuie s se ia n consideraie o valoare medie a lui.

Cantitatea medie de muniie necesar pentru nimicirea unei intei izolate este egal cu raportul care are la numrtor, numrul de lovituri necesare n int, iar la numitor, probabilitatea de lovire a unei lovituri.

Numrul necesar de lovituri n int la tragerea lovitur cu lovitur, cnd rezultatela tragerii pot fi observate, iar focul poate fi mutat sau ndeprtat imediat ce inta a fost lovit, se ia egal cu o lovitur.

Astfel, cantitatea medie de cartue se determin cu formula :

n = 1 p, unde : n numrul necesar de lovituri n int

p probabilitatea de lovire a unei lovituri.

Dac ns este necesar ca n int s se obin mai multe lovituri pentru ca inta s fie considerat nimicit, la numrtorul formulei se va introduce numrul dorit de lovituri n int.

Consumul mediu - care reprezint o valoare medie a unei mrimi variabile - se poate determina i pe baza ateptrii matematice.2.5.2 Ateptarea matematicPrin definiie, ateptarea matematic a unei mrimi variabile este suma produselor dintre toate valorile particulare posibile ale mrimii date i ale probabilitilor corespunztoare. Ea se exprim prin egalitatea:

(2.25.)unde: xv x2, xz ... xs sunt valorile particulare ale mrimii x,

iar p1, p2, p3 ... ps - probabilitatea corespunztoare acestor valori.

Pentru cazurile cele mai des ntlnite la trageri, ateptarea matematic soluionez o serie de probleme referitoare la: Numrul mediu de lovituri ateptat (a) s cad ntr-un obiectiv - daca este cunoscut probabilitatea lovirii obiectivului' pentru o singur lovitura (p) -, atunci cnd se trage n condiii identice un numr oarecare (S) de lovituri . Consumul mediu ateptat (S) n cazul cnd se trage - n, aceleai condiii - un numr oarecare de lovituri, pentru a se obine un anumit numr de lovituri (a) n obiectiv. Deprtarea poziiei punctului mediu (M) fa de obiectiv.

Pentru rezolvarea primelor dou categorii de probleme trebuie pornit de la cazul particular al ateptrii matematice, cnd mrimea variabil pentru o prob are numai dou valori particulare :

x1 = 1 i x2 = 0.Aceste dou valori corespund evenimentelor opuse (lovitur, n obiectiv i lovitur n afara obiectivului, lung sau scurt, dreapta sau stnga).Dac se noteaz cu p" probabilitatea lovirii obiectivu