Lectii de Analiza Matematica

Georgescu Constantin

PREFATA

Abordarea stiintifica actuala a fenomenelor tehnice, economice si stiitifice

tot mai complexe, impune o pregatire matematica superioara si riguroasa, a

celor chemati sa se ocupe de analiza acestor fenomene.

Prezentul curs, Lectii de Analiza Matematica se adreseaza studentilor

din primul an de la facultatile cu profil tehnic, economic si o pot utiliza cu

folos si studentii facultatilor de matematica. Cuprinde continutul matematic,

de baza conform cu programa analitica actuala.

In general notiunile prezentate sunt nsotite de exercitii complet rezolvate.

Se prezinta de asemenea un test de autoevaluare, constand din exercitii com-

plet rezolvate si un test de evaluare, care cuprinde exercitii nerezolvate ce se

pot rezolva usor de cel care a parcurs ntreaga lucrare.

Autorul multumeste, n mod deosebit, celor care si-au adus contributia lor

cu gandul, cu vorba sau cu fapta, la aparitia acestei lucrari.

Multumim de asemenea, celor care vin cu sugestii pentru nbunatatirea

acestei lucrari.

Pitesti, Octombrie 2006 Autorul

3

Cuprins

1 Notiuni preliminare 7

1.1 Elemente de logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Multimi si functii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Multimi indexate si siruri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Relatii binare. Multimi ordonate . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Monotonia functiilor si a sirurilor . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6 Multimea numerelor reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.7 Multimea numerelor complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.8 Numere cardinale. Multimi numarabile . . . . . . . . . . . . . 25

2 Structuri fundamentale ale analizei matematice 30

2.1 Spatii topologice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.1.1 Definitii. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.1.2 Analiza topologica a unei multimi . . . . . . . . . . . . 32

2.1.3 Convergenta si continuitate n spatii topologice . . . . 34

2.2 Spatii metrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2.1 Definitii. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2.2 Multimi specifice spatiilor metrice . . . . . . . . . . . . 37

2.2.3 Convergenta si continuitate n spatii metrice . . . . . . 38

2.3 Spatii cu masura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3.1 Definitii si exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3.2 Masura Lebesque n Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4

3 Siruri de numere reale 46

3.1 Siruri de numere reale; exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2 Moduri de prezentare a unui sir . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3 Clase de siruri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.1 Siruri monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.2 Siruri marginite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3.3 Siruri convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3.4 Siruri fundamentale (Cauchy) de numere reale . . . . . 64

4 Serii numerice 67

4.1 Notiuni generale despre serii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2 Operatii cu serii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.3 Criterii de convergenta pentru serii . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.3.1 Criterii de convergenta pentru serii cu termeni oarecare 71

4.3.2 Criterii de convergenta pentru serii cu termeni pozitivi 73

5 Siruri si serii de functii 84

5.1 Siruri de functii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.1.1 Sir de functii; multime de convergenta . . . . . . . . . 84

5.1.2 Convergenta simpla; convergenta uniforma . . . . . . . 84

5.1.3 Criterii de convergenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.1.4 Transferul de marginire, continuitate, derivabi-litate si

integrabilitate de la un sir de functii la limita sa . . . . 90

5.2 Serii de functii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.2.1 Definitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.2.2 Criterii de convergenta uniforma pentru serii . . . . . . 93

5.2.3 Transferul de continuitate, derivabilitate si integrabil-

itate pentru serii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.2.4 Cazuri particulare de serii de functii . . . . . . . . . . 94

6 Functii de mai multe variabile reale 105

6.1 Definitii si exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5

6.2 Limita si continuitatea functiilor de mai multe variabile . . . . 106

6.2.1 Convergenta sirurilor n Rn . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.2.2 Limita si continuitatea functiilor de mai multe variabile 108

6.2.3 Continuitatea functiilor de mai multe variabile . . . . . 111

6.3 Derivate partiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.4 Diferentiabilitatea functiilor de mai multe variabile . . . . . . 120

6.5 Interpretare economica a derivatelor

partiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6.6 Derivatele si diferentialele functiilor compuse . . . . . . . . . . 131

6.7 Formula lui Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6.8 Extremele functiilor de mai multe variabile . . . . . . . . . . . 140

6.8.1 Extreme libere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.8.2 Extreme cu legaturi (conditionate) . . . . . . . . . . . 149

7 Extinderi ale integralei Reimann 155

7.1 Integrala Riemann - Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

7.2 Integrale improprii (generalizate) . . . . . . . . . . . . . . . . 158

7.2.1 Criterii de convergenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

7.3 Integrale cu parametru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

7.3.1 Definitii si exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

7.3.2 Proprietati ale integralelor cu parametru . . . . . . . . 172

7.3.3 Integrale improprii cu parametru . . . . . . . . . . . . 177

7.4 Integrala Lebesque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

8 Calculul integralelor multiple 185

8.1 Calculul integralelor duble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

8.2 Calculul integralelor triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

8.3 Schimbari de variabile n integrale multiple . . . . . . . . . . . 194

9 Teste de autoevaluare si evaluare 198

9.1 Test de autoevaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

9.2 Test de evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

6

Capitolul 1

Notiuni preliminare

1.1 Elemente de logica

1.1 Definitie. Un enunt despre care se cunoaste ca este adevarat sau fals,

nsa nu si una si alta simultan, se numeste propozitie.

Vom nota propozitiile cu p, q, r, ... si multimea propozitiilor cu P .Pe multimea P definim aplicatia v : P {0, 1},v(p) =

{1, daca p este adevarata;

0, daca p este falsa.,

numita functia valoare de adevar. Tot pe multimea propozitiilor se de-

finesc unele functii speciale numite operatori logici. Astfel avem operatorii:

a)negatie: k : P P , p P , kp (se citeste non p sau negatia lui p)este o propozitie adevarata cand p este falsa si falsa cand p este adevarata.

b) disjunctie: : P P P ( se citeste sau)c) conjunctie: : P P P ( se citeste si)d) implicatie: : P P P ( se citeste implica)e) echivalenta: : P P P ( se citeste echivalent).Cu ajutorul acestor operatori logici, din propozitii simple p, q, ... se pot

forma propozitii compuse. De exemplu, daca p, q, P , formam propozitiakp (non p), p q (p sau q), p q (p si q), p q (p implica q), p q (pechivalent cu q. Valorile de adevar ale acestor propozitii sunt date n tabelul

urmator:

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