7/30/2019 Lectia 3 Transfer de cldur si masa

1/8

2.2.2. Corpuri cu forme geometrice simplecu surse interioare de cldur uniformdistribuite

2.2.2.1. Peretele plan

a) Perete rcit uniform pe ambele fee (fig.2.17a)

Ecuaia diferenial care caracterizeaz conducia termic princorpuri cu surse interioare de cldur uniform distribuite n regim

permanent este ecuaia lui Poisson, care scris pentru cmpul de temperaturunidirecional este:

02

2

=

+vq

dx

Td. (2.106)

Integrnd de dou ori se obine:

1Cx

q

dx

dT v+

= , (2.107)

21

2

2CxCx

qT v ++

= (2.108)

Pentru determinarea constantelor de integrare C1 i C2 se pot punecondiii la limit de ordinul I sau ordinul III. Peretele fiind rcit uniform peambele fee, n centrul plcii temperatura va fi maxim, deci:

lax = 0 , 0=dx

dT. (2.109)

0

S

Tf

Tf

Tp

Q1/2

Q1/2

Tp

Tm

x

qv=const.

=const.

qv=const.

=const.

Q1

Q2

Qx

Qx+dx

x dx

xm

Tm

S

Tf1

Tf2

Tp1

Tp2

1 2

2

0 xb)

7/30/2019 Lectia 3 Transfer de cldur si masa

2/8

Transferul de cldur prin conducie

Fig. 2.17. Distribuia temperaturii printr-un perete plancu sursa interioar de cldur uniform distribuit:a) rcit uniform pe ambele fee; b) rcit neuniform

n cazul condiiile la limit de ordinul I: lax = , T=Tp . (2.110)

Cu aceste condiii la limit cele 2 constante rezult:

01=C i 22

2

+=

vp

qTC .

(2.111)Rezult:

+=

2

21

2

xqTT vp . (2.112)

Temperatura maxim a peretelui va fi:2

2

+=

vpm

qTT . (2.113)

Ecuaia cmpului de temperatur se poate scrie i pornind de latemperatura maxim, punnd condiia la limit:

lax = 0 , T= Tm . (2.114)Rezult: C1 = 0; C2 = Tm i:

=

2

2xqTT vm .

(2.115)

n cazul condiiilor la limit de ordinul III, vom avea:

lax = 0, 0=dx

dT;

lax = , ( )fp TTdx

dT= . (2.116)

10

7/30/2019 Lectia 3 Transfer de cldur si masa

3/8

Transferul de cldur prin conducie

Se obine: C1 = 0 i:

+= vfpq

TT . (2.117)

nlocuind valoarea lui Tp n relaia (2.112), rezult:

+

+=2

21

2

xqqTT vvf . (2.118)

Fluxul termic transmis prin fiecare fa a peretelui cu suprafaa Svafi:

== = SqdxdT

SQ vx

2/1 [W] .(2.119)

b) Perete rcit neuniform pe cele dou fee (fig. 2.17.b)

n acest caz punnd condiiile la limit de ordinul I: lax = 0 , T= Tp1 ; lax = 2 , T= Tp2 ,

rezult:C2 = Tp1 i

+

= vpp

qTTC

2

12

1. (2.120)

Ecuaia cmpului de temperatur va fi:

1

12

2

22p

vppv TxqTTxq

T +

+

+

= . (2.121)

Temperatura maxim se realizeaz la distanax =xm, care rezult din ecuaia

dT/dx = 0 :

+=2

12 pp

v

m

TT

qx .

(2.122)nlocuind valoarea lui xm n ecuaia (2.121), rezult temperatura

maxim:

( ) ( )21

2

122

2

2

1

82pppp

v

vm TTTT

q

qT ++

+

= . (2.123)

11

7/30/2019 Lectia 3 Transfer de cldur si masa

4/8

Transferul de cldur prin conducie

Fluxurile termice transmise prin cele dou fee, avnd suprafaa Seste:

+

== vppmv

qTTSSxqQ

2

12

1 [W] , (2.124)

( )

==

22

12

2

ppvmv

TTqSxSqQ [W] . (2.125)

Condiiile la limit de ordinul III vor fi:

lax = 0 , ( )111 fp TTdxdT = ;

la x = 2 , ( )22 fp TTdx

dT= .

Rezult temperaturile suprafeelor peretelui:

+

+

+

++=

1

2

1

2

12

11

21

12 vff

fp

qTT

TT ; (2.126)

+

+

+

++=

2

1

2

1

21

22

21

12 vff

fp

qTT

TT . (2.127)

nlocuind aceste valori n ecuaia (2.121) se stabilete ecuaia cmpului detemperatur.

2.2.2.2. Peretele cilindric (fig. 2.18)

Ecuaia lui Poisson pentru conducia unidirecional n coordonatecilindrice are forma:

01

2

2

=+

vq

dr

dT

rdr

Td, (2.128)

cu soluia general:

21

2

ln4

CrCrq

T v ++

= . (2.129)

Punnd condiiile la limit:

12

7/30/2019 Lectia 3 Transfer de cldur si masa

5/8

Transferul de cldur prin conducie

la r= 0 , 0=dr

dT;

la r = 0 , T= Tm ,rezult: C1 = 0 i C2 = Tm. Ecuaia cmpului de temperatur va fi:

=

4

2rqTT vm .

(2.130)Temperatura peretelui se obine pentru r = R:

= 4

2RqTT vmp . (1.131)

Fluxul termic generat n perete i transmis prin suprafaa acestuiaeste:

( ) lTTlqRdr

dTSQ pmv

r

====

42

0

[W] . (1.132)

Fig. 2.18 Perete cilindric cu surse interioarede cldur uniform distribuite

2.2.2.3. Perete cilindric tubular

13

qv

= const.

= const.Tf

Tf

Tp Tp

Tm

Qr+dr

Qr

drrl

R

r0

7/30/2019 Lectia 3 Transfer de cldur si masa

6/8

Transferul de cldur prin conducie

n cazul transferului de cldur printr-un perete tubular, dac tubulcilindric are perei subiri (de/di 1,1) el poate fi tratat cu bun aproximaieca un perete plan. n cazul tuburilor cu perei groi (de/di > 1,1) se potntlni trei cazuri:

tubul are suprafaa interioar izolat termic, fiind rcit numai laexterior (fig. 2.19.a);

tubul are suprafaa exterioar izolat termic, fiind rcit numai lainterior (fig. 2.19.b);

tubul termic este rcit pe ambele fee (fig. 1.19.c).

Ecuaiile cmpului de temperatur, razei la care apare temperatura maximi fluxurile transmise prin cele dou fee sunt prezentate n tabelul 2.3

14

qv=const. qv=const.

qv=const.

=const.=const.

=const.

Suprafaizolat

termic

Suprafaizolat

termic

Fluid dercire

Fluid dercire

Fluid dercire

Fluid dercire

Re

Re

Re

Ri

Ri

Ri

Ti

Ti

Ti

Te

Te

Te

Tm

Rm

Qe

Qe

Qi

Qi

a) b)

c)

7/30/2019 Lectia 3 Transfer de cldur si masa

7/8

Transferul de cldur prin conducie

Fig. 2.19. Perete tubular cu surse interioare de clduruniform distribuite:

a) rcit la exterior; b) rcit la interior; c) rcit pe ambele fee

15

7/30/2019 Lectia 3 Transfer de cldur si masa

8/8

Transferul de cldur prin conducie

Tabelul2.3

Perete tubular cu surse interioare de cldur

Mrimea

Rcit la exterior(fig.2.19.a)

Rcit la interior(fig.2.19.b)

Rcit pe ambele fee(fig.2.19.c)

Cmpuldetemperatur

= l24

22

i

ivi

R

rRqTT

= ln2

4

22

e

eve

R

rRqTT

( )

( )( )

+

=

4

l

l

4

22

22

ievei

ivi

RRqTT

RrqTT

Raza lacaretemperaturaestemaxim

Rm =RiRm =Ri

( ) (

i

ev

ev

ie

m

R

Rq

Rq

TT

R

ln2

4

2

+

=

Fluxultransmisprinpereteleinterior

( viei lqRRQ22

= 0 ( vimi lqRRQ22

=

Fluxultransmisprinpereteleexterior

0 ( viee lqRRQ22

= ( vmee lqRRQ22

=

16