Lectia 5 Transfer de căldură si masa

7/30/2019 Lectia 5 Transfer de cldur si masa

1/14

2.4. Conducia termicn regim tranzitoriu

n tehnic procesele termice tranzitorii pot apare n trei categorii de procese: procese tranzitorii care n final ating regimul constant; procese tranzitorii de scurt durat la care nu se atinge regimul constant; procese tranzitorii periodice, n care temperatura i fluxul termic au variaii

ciclice.n prezentul capitol ne vom ocupa numai de prima categorie de procese

tranzitorii, care au o larg rspndire.Cel mai simplu proces de conducie tranzitorie este cele de nclzire a unei piese

ntr-un cuptor (figura 2.32a) n care temperatura este Tf [33]. Corpul ncepe s senclzeasc n timp de la suprafaa acestuia (Tp), temperatura n centrul corpului (T0)ncepnd s creasc dup o perioad de timp. Dup un interval de timp (teoretic infinit)corpul ajunge la echilibru cu mediul din cuptor. Fluxul primit de corp ( Q) descrete ntimp ajungnd 0 la echilibru.

n cazul conduciei printr-un perete ntre un fluid cald cu Tf1 i unul rece cu Tf2(figura 2.32b), dac printr-un salt de temperatur, temperatura fluidului cald crete de la

'

1fT la"

1fT , temperatura fluidului rece rmnnd constant'

2fT , temperaturile

peretelui cresc n timp (figura 2.32b) creterea fiind simit nti pe partea fluidului cald,Tp1, apoi pe partea fluidului rece, Tp2 (figura 2.32c). Variaia fluxurilor termice cedate defluidul cald Q1 i primite de fluidul rece Q2 (figura 2.32d), evideniaz cldura acumulat

n perete (suprafaa haurat) pentru a modifica entalpia acestuia.

La nclzirea sau rcirea n regim tranzitoriu a corpurilor se evideniaz doutipuri de rezistene termice: rezistenele termice interioare, date de procesul deconducie i rezistenele termice de suprafa, datorate conveciei ntre corp i fluidulcu care vine n contact.


2/14

F

Fig. 2.32 Conducia termic n regim tranzitoriu

Tratarea analitic a proceselor de conducie tranzitorie se poate face n treiipoteze:

corpuri cu rezistene interne neglijabile; corpuri cu rezistene de suprafa neglijabile; corpuri cu rezistene interne i de suprafa finite.

1

2 3

''

1fT

'

1fT

'

2fT

'

2pT

''

2pT

''

1pT

'

1pT

0

T

x

b)a)

c) d)

T

T=f()

Tf

Tp T

0

0

Q=f()

Q

0

0 0

'

1pT''

2pT

Tp1

Tp2'

2pT

''

1pT

''

pT

'

pT

QT

Q1

Q2

Q

Q


3/14

2.4.1. Conducia tranzitorie prin corpuricu rezistene interne neglijabile

n acest caz temperatura n interiorul corpului va fi constant, ea variind numai ntimp.

Fluxul de cldur schimbat de corp cu mediul ambiant prin convecie va fi egal cufluxul acumulat n corp:

( )

==d

dTVcTTSQ pf [W] , (2.230)

unde: S,V sunt suprafaa de schimb de cldur, respectiv volumul corpului, Tf, T temperatura fluidului, respectiv a corpului; coeficientul de convecie ntre corp ifluid; , cp densitatea, respectiv cldura specific a corpului.

Separnd variabilele i integrnd ecuaia (2.230) devine:

=

00

dVc

S

TT

dT

p

TT

TT f

f

f

, (2.231)

unde T0 este temperatura corpului la momentul iniial.Rezult:

Vc

S

f

f peTT

TT

=

0

. (2.232)

Relaia 2.232 este analog cu cea care caracterizeaz descrcarea unuicondensator electric pe o rezisten electric:

= eeCReE

E1

0

, (2.233)

unde Re, Ce sunt rezistena, respectiv capacitatea electric. Din aceast analogie se poatedefini o rezisten i o capacitate termic:

ptt

VcCS

R =

= ;1

. (2.234)

Raportul SVc p / poate fi interpretat ca o constant de timp a sistemului, eafiind:


4/14

( ) ttpt CRVcS

=

=

1[s] , (2.235)

unde:Rt este rezistena termic convectiv, n K/W; Ct capacitatea termic, n J/K.Creterea rezistenei i capacitii termice vor face ca rspunsul corpului la

modificarea temperaturii mediului nconjurtor s fie mai lent i echilibrul termic s se

realizeze dup un timp mai mare (figura 2.33).

Fig. 2.33 Rspunsul termic tranzitoriu pentru corpuricu rezistene interne neglijabile

Ecuaia (2.232) poate fi generalizat pentru cteva forme geometrice simple prin

utilizarea criteriilor adimensionale Biot i Fourier.Criteriul lui Biot reprezint raportul dintre rezistena termic de conducie irezisten termic convectiv:

L

L

R

RBi

cv

cond ===1

(2.236)

Criteriul lui Fourier, care are semnificaia de timp relativ este definit de relaia:

2

L

aFo

= (2.237)

Lungimea caracteristic L pentru plci este egal cu jumtate din grosime, iarpentru cilindri sau sfere cu raza.

n funcie deBi iFo, ecuaia (2.232) devine:

V

SL

L

aL

f

fe

TT

TT

=

2

0

; (2.238)

tt

p

t CRS

Vc=

=

1

2

3

4

f

f

TT

TT

=

00

1

0


5/14

sau:

BiFoG

f

fe

TT

TT=

0

, (2.239)

unde:V

SLG = este factorul geometric al corpului care are valorile: G =1 pentru plci

infinite; G = 2 pentru cilindri infinii; G = 3 pentru sfere.Fluxul termic transferat la un timp oarecare se determin cu relaia:

( ) ( ) VcSff peTTSTTSQ== /0 [W] (2.240)

Cantitatea de cldur transferat n intervalul de timp de la = 0 la timpul este:

( )

==0

/

0

0

VcS

fpeTTSQdQ ; (2.241)

( ) = )/(0 1VcS

fppeTTVcQ [J]. (2.242)

Ipoteza rezistenei interne neglijabile este valabil analitic numai dac , ceeace n practic nu se poate realiza. Dac ns rezistenele interne sunt mult mai mici dectcele de suprafa ipoteza se poate utiliza cu bun aproximaie. Aceasta se poate realizapentru corpurile cu mare i grosimea sau diametru mici, care primesc sau cedeazcldur cu coeficieni de convecie redui (convecie natural la gaze). Verificarea se faceprin calcularea criteriului Biot. Dac Bi < 0,1 ipoteza rezistenelor interne neglijabilese poate utiliza cu bune rezultate.

Influena lui Biot asupra distribuiei tranzitorii a temperaturii printr-o plac esteprezentat n figura 2.34. Se observ c pentruBi > 1, diferena ntre temperatura peretelui i a fluidului este

neglijabil (rezistenele de suprafa sunt neglijabile).

Fig. 2.34 Distribuia tranzitorie a temperaturii pentruvalori diferite ale criteriului Biot [20]

T(x,0)=T0 T(x,0)=T

0

L L L L-L -L -L -L

Tf

Tf Tf

Tf

t

Bi1T=T(x,t)

Tf,

Tf,


6/14

a)Bi 1

2.4.2. Conducia tranzitorie prin corpuri cu rezistene de suprafa neglijabile

n acest caz temperatura peretelui corpului este egal cu temperatura fluiduluinconjurtor i este constant n timp. Ipoteza este valabil pentru valori mari alecriteriului Biot (figura 2.34c).

Pentru o plac plan infinit (figura 2.35) ecuaia care caracterizeaz procesuleste:

2

2

x

Ta

T

=

, (2.243)

cu urmtoarele condiii iniiale i la limit: la = 0, T = T0(x); lax = 0, T = Tf; lax =L, T = Tf

Fig. 2.35 Plac infinit cu rezistenede suprafa neglijabile

Soluia ecuaiei, determinat prin metoda separrii variabilelor (vezi paragrafulurmtor), n cazul n care la = 0, T= T0 = ct. este:

( )Fon

np

pex

L

n

nTT

TT2/

10

sin14

=

=

, (2.244)

T

L

x

0

Tf=T

pT

f=T

p

1

2

=0T=T

0(x)


7/14

unde n = 1, 3, 5, 7 ....Variaia temperaturii centrale la diferite corpuri cu forme geometrice simple, n

ipoteza rezistenei interne neglijabile este prezentat n figura 2.36.[39]

Fig. 2.36 Variaia temperaturii centralepentru corpuri cu geometrii simple

2.4.3. Conducia tranzitorie prin corpuri curezistene interne i de suprafa finite

n acest caz, n special pentru forme geometrice i condiii iniiale i la limitcomplexe, tratarea analitic a problemei este practic imposibil de abordat, singuramodalitate util de rezolvare a problemei fiind utilizarea metodelor numerice.

Rezolvarea analitic a ecuaiei conduciei n acest caz se poate totui realizapentru forme geometrice simple.

2.4.3.1. Perete plan infinit

cT

TT

=


8/14

Se consider un perete plan infinit cu grosimea 2L, mult mai mic dect limea inlimea sa (figura 2.37), astfel nct ipoteza transferului conductiv unidirecional esteapropiat de realitate.

Fig. 2.37 Perete plan infinit

Ecuaia care caracterizeaz conducia unidirecional tranzitorie va fi dat derelaia (2.243), care cu schimbarea de variabil fTT= , devine:

2

2

xa

=

, (2.245)

cu condiiile iniiale i la limit:

la = 0 ( ) ( )xFTxfTT ff === 0 ; lax = 0 0=

x

;

lax = L

=x

.

Pentru rezolvarea ecuaiei se va utiliza ca i n paragraful 2.3.1 metoda separriivariabilelor, scriind [21]:

( ) ( ) ( )xx == , (2.246)

Atunci ecuaia (2.245) devine:

( ) ( ) ( ) ( )

=

2

2

x

xax , (2.247)

sau:

( ) ( ) ( ) ( )= xax "' .(2.248)

T

x

Tf

T0

0

2L


9/14

Separnd variabilele se obine:

( )

( )

( )

( ) ==

=

constx

x

a

"'

(2.249)

Deoarece o soluie ne banal pentru ( )x se obine numai pentru < 0, vom alege:2k= , obinndu-se sistemul de ecuaii:

( ) ( ) 0' 2 =+ ak ; (2.250)

( ) ( ) 0" 2 =+ xkx .(2.251)

Soluiile celor dou ecuaii difereniale sunt:

( ) =2

1

akeC ; (2.252)( ) ( ) ( )kxCkxCx cossin 32 += . (2.253)

Atunci:( ) ( )[ ]kxCkxCeC ak cossin

321

2

+= (2.254)

Determinarea constantelorC1, C2, C3 i kse face utiliznd condiiile iniiale i lalimit.

Din condiia 00

=

=xx, rezult:

( ) ( )[ ] 0sincos 03212

= =

x

ak kxCkxCkeC (2.255)

Pentru a avea aceast egalitate rezult: C2 = 0. Soluia general devine:( ) ( )kxAekxeCC akak coscos 2231 == . (2.256)

Punnd cea de a doua condiie la limit rezult:

Lx

Lxx=

=

=

, (2.257)

sau:

( ) ( )kLAekLkAe akak cossin 22 =

De unde:

( )

= LkLkLctg (2.258)

Dar:

=L

Bi i notm kL = . Rezult:

Bictg

= (2.259)


10/14

Fig. 2.38 Reprezentarea grafic a ecuaiei (2.259)

Reprezentarea grafic a ecuaiei (2.259) evideniaz faptul c vom avea pentruconstanta un ir infinit de soluii. Primele patru soluii n funcie de valoarea criteriuluiBiot sunt prezentate n tabelul 2.6.

Tabelul 2.6

Valorile constantelor n funcie de BiBi 1 2 3 4 Bi 1 2 3 4

0 0,0000 3,1416 6,2832 9,4248 1,0 0,8603 3,4256 6,4373 9,52930,001 0,0316 3,1419 6,2833 9,4249 1,5 0,9882 3,5422 6,5097 9,58010,002 0,0447 3,1422 6,2835 9,4250 2,0 1,0769 3,6436 6,5783 9,6296

0,004 0,0632 3,1429 6,2838 9,4252 3,0 1,1925 3,8088 6,7040 9,72400,006 0,0774 3,1435 6,2841 9,4254 4,0 1,2646 3,9352 6,8140 9,81190,008 0,0893 3,1441 6,2845 9,4256 5,0 1,3138 4,0336 6,9096 9,89280,01 0,0998 3,1448 6,2848 9,4258 6,0 1,3496 4,1116 6,9924 9,96670,02 0,1410 3,1479 6,2864 9,4269 7,0 1,3766 4,1746 7,0640 10,03390,04 0,1987 3,1543 6,2895 9,4290 8,0 1,3978 4,2264 7,1263 10,09490,06 0,2425 3,1606 6,2927 9,4311 9,0 1,4149 4,2694 7,1806 10,15020,08 0,2791 3,1668 6,2959 9,4333 10,0 1,4289 4,3058 7,2281 10,20030,1 0,3111 3,1731 6,2991 9,4354 15,0 1,4729 4,4255 7,3959 10,38980,2 0,4328 3,2039 6,3148 9,4459 20,0 1,4961 4,4915 7,4954 10,5117

3

y1=ctg y

1 y1 y1

1 2 3

4

2

0

y

'2 Biy

=


11/14

0,3 0,5218 3,2341 6,3305 9,4565 30,0 1,5202 4,5615 7,6057 10,65430,4 0,5932 3,2636 6,3461 9,4670 40,0 1,5325 4,5979 7,6647 10,73340,5 0,6533 3,2923 6,3616 9,4775 50,0 1,5400 4,6202 7,7012 10,78320,6 0,7051 3,3204 6,3770 9,4879 60,0 1,5451 4,6353 7,7259 10,81720,7 0,7506 3,3477 6,3923 9,4983 80,0 1,5514 4,6543 7,7573 10,86060,8 0,7910 3,3744 6,4074 9,5087 100,0 1,5552 4,6658 7,7764 10,88710,9 0,8274 3,4003 6,4224 9,5190 1,5708 4,7124 7,8540 10,9956

Rezult ca vom avea pentru fiecare valoare i o distribuie a temperaturii, de tipul:

=

=

=

2

2

2

2

2

2

2

1

cos

...........................

cos

cos

222

111

L

a

nnn

L

a

L

a

n

eL

xA

eL

xA

eL

xA

(2.260)

Soluia general va fi atunci suma irului de soluii:

=

=

1

2

2

cosn

L

a

nn

n

eL

xA (2.261)

ConstantaAn se va determina din conducia iniial ( = 0):( )

==

= L

xAxF n

n

n cos1

0 . (2.262)

Pentru determinarea lui An vom folosi proprietile funciilor ortogonale, n mod similarcu cele prezentate la studiul analitic al conduciei bidirecionale (vezi paragraful 2.3). nrelaia (2.214) vom alege:

( )

=

L

xxg nn cos , i

( ) ( )xFxf = .Se va obine:

( )

dxL

x

dxL

xxF

AL

L

n

L

L

n

n

=

2cos

cos

. (2.263)

innd seama c:

24

2sincos

2 x

m

mxmxdx += , (2.264)


12/14

( )

n

nnn

n

n

L

L

L

Ln

nL

L

n

LL

L

x

L

L

x

L

x

+=+=

=+

=

cossin

2

2sin

24

2sin

cos 2

(2.265)

Atunci:

( )( ) dx

L

xxF

LA n

L

Lnnn

nn

+

=

coscossin

(2.266)

Soluia general a ecuaiei conduciei va fi:

( )( )

2

2

coscoscossin1

L

a

n

L

L

n

n nnn

nn

eL

xdx

L

xxF

L

=

+

= . (2.267)

Dac vom considera c la momentul iniial corpul are aceeai temperatur n toatmasa sa:F(x) = 0 = ct.,

n

n

L

L

n

n

L

L

n

L

L

xLdxL

x

sin2sincos 000 =

=

(2.268)

Atunci soluia general devine:

2

coscossin

sin2

10

L

a

n

n nnn

nn

eL

x

=

+

= (2.269)

Mrimile LxLan ,,, 20 sunt adimensionale.

Dac vom nota:

0

= temperatura adimensional,L

xX = coordonata adimensional, 2L

aFo

=

criteriul lui Fourier, soluia general devine:

( ) ( )FoX nn

n

nnn

n 2

1

expcoscossin

sin2

+

=

=(2.270)

Analiza soluiei. irul 1, 2, 3, n este rapid cresctor i cu ct este mai mare icu att rolul elementului urmtor din ir este mai mic asupra lui .

Studiile au artat c pentru procese tranzitorii care nu sunt foarte rapide,Fo 0,3n ecuaia (2.270) este suficient s considerm numai primul termen al irului:

( ) ( )FoX 211111

1 expcoscossin

sin2

+

= (2.271)


13/14

Dar1 este numai funcie de criteriul Biot. De obicei intersecteaz temperatura n centrulplciiX=0 sau pe suprafaa saX=1.

Atunci:

( )FoBiNX

2

1

00

exp)( =

=

; (2.272)

( )FoBiPX

2

1

10

exp)( =

=

. (2.273)

n figurile (2.39) i (2.40) sunt prezentate variaiile calculate cu relaiile (2.272) i(2.273) pentru plci.

Soluiile obinute n paragrafele anterioare pentru cmpul de temperatur n cazulrezistenelor interne neglijabil (Bi < 0,1, 1 0) sau rezistenelor de suprafaneglijabil (Bi), pot rezulta i ca nite cazuri particulare ale relaiei 2.270.

2.4.3.2. Discretizarea ecuaiei diferenialea conductei tranzitorii

Se va considera sistemul bidirecional din figura 2.31. n cazul conducieitranzitorii bidirecionale fr sursa interioar de cldur ecuaia este:

2

2

2

21

y

T

x

TT

a +

=

. (2.274)

Fig.2.39 Variaia =f(Fo,Bi) pentru centul plcii


14/14

Fig. 2.40 Variaia =f(Fo,Bi) pentru suprafaa plcii

Lectia 5 Transfer de căldură si masa

Documents

Transcript of Lectia 5 Transfer de căldură si masa