Laboratorul de fizică 55 TRUSA DE MECANICĂ ASISTATĂ DE ...

Laboratorul de fizică 55

FIZICA ŞI TEHNOLOGIILE MODERNE, vol. 8, nr. 1-2, 2010

Fig. 2

Fig. 1

Fig. 3

TRUSA DE MECANICĂ ASISTATĂ DE CALCULATOR. IV. VERIFICAREA EXPERIMENTALĂ A FORMULEI DISTANŢEI PARCURSE ÎN MIŞCAREA RECTILINIE

UNIFORM VARIATĂ

Alexandru RUSU Universitatea Tehnică a Moldovei

[email protected] Distanţa S parcursă de un

mobil ce efectuează o mişcare uniform accelerată fără viteză iniţială ( 0 0v ) se exprimă prin

relaţia: 2 2S at , (1)

unde a este acceleraţia mobilului, iar t este intervalul de timp în care este parcursă distanţa S . Această relaţie este echivalentă cu relaţia

2S a t , (2) care poate fi verificată cu

ajutorul montajului din fig. 1. Distanţa parcursă de cărucior pe

planul înclinat S este distanţa dintre senzori şi de aceea se măsoară ca diferenţa coordonatelor lor, adică

B AS x x (fig. 2). Coordonatele, la rândul lor, se

măsoară folosind indicatorul căruciorului de pe rigla planului la momentul când obturatorul acestuia începe acoperirea fasciculului senzorului respectiv, adică atunci când cronometrul începe măsurarea primului interval de timp. Distanţa B AS x x este parcursă de

mobil în intervalul de timp 1 2t t , unde 1t este

intervalul de timp în care obturatorul căruciorului în mişcare acoperă fasciculul de radiaţie infraroşie a senzorului A , iar 2t este intervalul

de timp de la descoperirea fasciculului senzorului A până la începutul acoperirii de către obturatorul căruciorului a fasciculului senzorului B (fig. 2). De aceea formula (2) exprimată prin mărimi măsurate în mod direct capătă forma

1 22B Ax x a t t . (3)

Relaţia (3) reprezintă o funcţie liniară de tipul

Y pX b , (4)

unde B AY x x , 1 2X t t , 2p a , iar 0b , întrucât în această experienţă,

56 Laboratorul de fizică


Fig. 4

ca şi la verificarea formulei vitezei [1,2], va fi prezentă o eroare sistematică 0t , eroare ce

influenţează valoarea acceleraţiei mobilului determinată din (3). Una din cauzele apariţiei acestei erori este faptul că între obturatorul mobilului de grosimea d aflat în repaus şi fasciculul senzorului întotdeauna rămâne o mică distanţă S (fig. 3). Din această cauză obturatorul nu declanşează măsurarea timpului la pornirea mobilului, ci numai după ce acesta parcurge distanţa S . Acestei mici distanţe îi corespunde un mic interval de timp 0t ,

prezent la fiecare repetare [2]. Trasând graficul dreptei (3) după punctele experimentale (fig. 4), observăm că eroarea sistematică 0t este egală numeric cu lungimea segmentului tăiat de

prelungirea dreptei pe axa absciselor. Din relaţia (3) şi din fig. 4 se observă că

2a p tg BC AC , iar de aici pentru acceleraţia mobilului se obţine

22 22 2 2a p tg BC AC . (5)

Aici panta dreptei p poate fi calculată atât folosind metoda celor mai mici pătrate [1], cât şi direct din grafic ca raportul BC AC (fig. 4). Valoarea determinată prin această metodă a acceleraţiei nu mai este influenţată de eroarea sistematică 0t . Pentru diminuarea valorii erorii

sistematice senzorul A (fig. 1, 2) se plasează astfel încât atunci când căruciorul se află în poziţia superioară pe plan fasciculul lui să fie cât mai aproape de tangenta la suprafaţa obturatorului fixat pe cărucior. În poziţia superioară căruciorul se sprijină pe suportul barei directoare prin intermediul bulonului de ajustare fină a poziţiei iniţiale (fig. 1). Deşurubând încet acest bulon se poate face ca distanţa parcursă de cărucior înainte ca obturatorul lui să declanşeze măsurarea timpului să fie cât mai mică.

La verificarea relaţiei (3) poate fi folosit un obturator de orice diametru, întrucât la deducerea ei nu a fost folosită vreo aproximaţie privind grosimea obturatorului. Astfel, experienţa poate fi efectuată în mai multe variante folosind obturatoare de diferite diametre. Amintim că trusa dispune de 5 obturatoare de diferite grosimi.

În cazul în care experienţa se efectuează folosind softul pentru achiziţia şi procesarea datelor la calculator, la începutul măsurărilor se va cere introducerea numărului de serii n ce vor fi efectuate, a numărului de măsurări N din cadrul fiecărei serii, a coordonatei Ax a

senzorului A şi a coordonatei Bx a senzorului B . Se pot efectua 5n serii a câte 10N

măsurări a intervalelor de timp 1t şi 2t , care se vor transfera de la cronometrul electronic la

calculator prin accesarea butonului Citirea datelor. Totodată se va calcula suma 1 2t t şi

valorile medii ale acesteia la sfârşitul fiecărei serii de măsurări. Trecerea de la o serie de măsurări la alta se realizează prin modificarea poziţiei senzorului B . Din această cauză la terminarea fiecărei serii de măsurări, în afară de ultima, se va cere atât modificarea poziţiei senzorului B , cât şi valoarea nouă a coordonatei acestui senzor. Panta dreptei p , acceleraţia

mobilului a , valoarea termenului liber ,b erorile absolută p şi relativă p p se calculează prin metoda celor mai mici pătrate [1]. Cum rezultă din (5), în acest caz eroarea absolută comisă la determinarea acceleraţiei este

4a p p , (6)



Fig.5

Fig. 6

Fig. 7

unde p este eroarea standard a pantei dreptei, eroarea sistematică fiind 0t b p .

Rezultatele testărilor arată că eroarea aleatorie a depinde de diametrul obturatorului utilizat. Pentru obturatoare subţiri aceasta este mai mare, iar pentru obturatoare mai groase este mai mică. Creşterea erorii aleatorii în cazul obturatoarelor subţiri este legată de valoarea mică a intervalului de timp 1t care în acest caz se măsoară cu o eroare mai mare.

În fig. 5 este reprezentat graficul dependenţei (3) obţinut la calculator cu ajutorul softului elaborat pentru această experienţă. Graficul a fost trasat ca rezultat al efectuării a 7n serii a câte 15N măsurări a intervalelor de timp 1t şi 2t folosind un obturator cu diametrul

15 mmd . La trecerea de la o serie de măsurări la alta senzorul A a fost menţinut fix, iar senzorul B a fost apropiat treptat de senzorul A . Se observă că graficul

dependentei B AY x x în funcţie de 1 2X t t (3)

reprezintă o dreaptă, fapt care confirmă justeţea formulei distanţei parcurse de mobil în mişcarea uniform accelerată fără viteză iniţială 2 2S at . Valoarea determinată 22a p

a acceleraţiei mobilului 21,97 0,02 m sa nu este influenţată de

eroarea sistematică 0 0, 007 st care constituie 1,3 % în prima

serie de măsurări şi 2,1% în ultima serie. În ambele serii, dar şi în seriile intermediare, eroarea sistematică este mai mare decât cea aleatorie şi ea trebuie luată în seamă dacă acceleraţia se determină direct din formula (3).

La fel se poate verifica şi formula distanţei h parcurse la căderea liberă fără viteză iniţială:

2 2h gt , (7)

unde g este acceleraţia gravitaţională, iar 1 2t t t este timpul de

zbor. În acest caz schema experienţei este reprezentată în fig. 6. Aici obturatorul corpului cilindric cu vârf conic este reprezentat ca fiind tangent la fasciculul senzorului A în poziţia iniţială (superioară). În realitate, între obturator şi fasciculul senzorului există întotdeauna o mică distanţă h care, ca şi în experienţa precedentă, conduce la apariţia unei erori sistematice 0t . În fig. 7 este reprezentat graficul

dependenţei B AY x x în funcţie de 1 2X t t în cazul

căderii libere fără viteză iniţială, obţinut în urma efectuării a 5n serii a câte 10N măsurări fiecare. Se observă că

acest grafic reprezintă un segment de dreaptă ceea ce confirmă justeţea formulei (7). Pentru acceleraţia gravitaţională a fost obţinută valoarea 29,7±0,1 m sg

cu o eroare relativă de 0,7 %. Valoarea aşteptată a acceleraţiei gravitaţionale 29,81 m sg se află la marginea intervalului de încredere din experiment. Trebuie, însă, de remarcat faptul că nivelul de încredere este de numai 68,3%. Aceasta înseamnă că mai rămâne probabilitatea de 31,7% ca valoarea adevărată a acceleraţiei gravitaţionale să se afle în afara intervalului



Fig. 8

Fig. 9

Fig. 10

menţionat. Dacă cerem un nivel de confidenţă de 99,7%, atunci 29,7±0,3 m sg şi valoarea adevărată a

acceleraţiei gravitaţionale 29,81 m sg se află în interiorul intervalului de încredere. Valoarea erorii sistematice este 0 0, 01 st şi ea nu se răsfrânge în

niciun fel asupra valorii determinate a acceleraţiei gravitaţionale. Dacă, de exemplu, g ar fi determinat direct din formula (7) folosind valoarea medie a timpului de zbor obţinut în ultima serie de măsurări, dar neluându-

se în seamă 0t , atunci s-ar obţine 22 22 2 0,323 0,24653 10,63 m sg h t . Dacă se

ia în seamă eroarea sistematică, atunci din (7) se obţine

22 0,323 0,25653g = 29,82 m s .

Se poate verifica experimental şi formula distanţei S parcurse de un mobil în mişcarea uniform accelerată cu viteza iniţială 0v şi acceleraţia a :

2

0 2S t a t v . (8)

Relaţia (8) se verifică utilizând montajul experimental reprezentat în fig. 8. Din această figură se observă că distanţa B AS x x este parcursă de

cărucior, la fel ca şi în prima experienţă, în timpul

1 2t t t . De aceea relaţia (8) ia forma:

2

0 1 2 1 2 2B Ax x t t a t t v. (9)

Viteza medie pe distanţa egală cu diametrul d al obturatorului coincide cu viteza momentană la mijlocul intervalului de timp 1t , adică

1 0 1 2d t a t v . (10) Determinând viteza iniţială 0v din (10) şi substituind-o în (9),

după unele transformări obţinem următoarea relaţie echivalentă cu (8) şi exprimată prin mărimi direct măsurabile:

1 2 1B Ax x d t t t 2 1 22a t t t

(11) Această relaţie reprezintă, de asemenea, o funcţie liniară de tipul (4), unde

1 2 1B AY x x d t t t , 2 1 2X t t t şi 2p a . Vom considera 0b pentru ca,

în cazul existenţei unei erori sistematice, să păstrăm posibilitatea eliminării influenţei ei asupra valorii determinate a pantei dreptei şi, prin urmare, asupra valorii determinate a acceleraţiei mobilului. Valoarea acceleraţiei mobilului se va determina cu ajutorul relaţiei (5) şi, la fel ca în prima experienţă, ea nu va fi influenţată de eroarea sistematică t b p . Pentru eroarea absolută rămâne valabilă formula (6). Trecerea de la o serie de măsurări la alta pe parcursul experienţei se poate efectua menţinând fixă poziţia unuia din senzori şi variind poziţia celuilalt sau variind poziţiile ambilor senzori. Aceste posibilităţi sunt prevăzute în softul elaborat pentru această experienţă. Evident, în afară de aceste variante pot fi realizate şi altele variind, în limite rezonabile, unghiul de înclinare a planului faţă de orizontală. Experienţa poate fi efectuată cu oricare obturator din setul propus. Trebuie, însă, să



Fig. 11

menţionăm că la schimbarea obturatorului se poate modifica şi acceleraţia căruciorului. Acest fenomen se explică prin modificarea forţei de rezistenţă în rulmenţii roţilor căruciorului în urma descărcării sau încărcării acestuia cu o masă suplimentară. Variaţia acceleraţiei nu este mare, dar în unele cazuri poate depăşi eroarea aleatorie în experiment.

În fig. 9 este reprezentat graficul dependenţei (11) obţinut cu ajutorul softului elaborat după procesarea datelor înregistrate cu cronometrul electronic la efectuarea a 5n serii a câte 10N măsurări ale intervalelor de timp 1 2,t t . A fost utilizat un obturator cu diametrul

10 mmd , iar la trecerea de la o serie de măsurări la alta senzorii au fost îndepărtaţi treptat unul de altul. Se observă că graficul dependenţei (11) reprezintă un segment de dreaptă, fapt care confirmă veridicitatea formulei distanţei parcurse de mobil în mişcarea uniform accelerată cu viteză iniţială (8). Valoarea determinată a acceleraţiei mobilului

21,94 0,03 m sa nu este influenţată de eroarea

sistematică 0,004 st comisă în experiment. Această valoare practic coincide cu valoarea obţinută în prima experienţă pentru acelaşi unghi de înclinare a planului, dar şi pentru acelaşi nivel de confidenţă. Formula (8) poate fi verificată şi în cazul căderii libere când în calitate de mobil se foloseşte un corp cilindric cu vârf conic pe care este fixat un obturator plan cu lăţimea

10 mmd (fig. 10). În fig. 11 este reprezentat graficul dependenţei (11) în cazul căderii libere, trasat după 5n puncte experimentale obţinute în urma procesării la calculator a datelor obţinute la efectuarea a 5n serii a câte 10N măsurări ale intervalelor de timp 1t

şi 2t . La trecerea de la o serie de măsurări la alta senzorii au fost apropiaţi treptat unul de

altul. Se observă că graficul reprezintă un segment de dreaptă ceea ce confirmă veridicitatea formulei distanţei parcurse în căderea liberă cu viteză iniţială: 2 2h t gt 0v . Valoarea

acceleraţiei gravitaţionale 29,9±0,2 m sg a fost determinată în experienţă cu o eroare

relativă de 1,6 %. Valoarea aşteptată 29,8 m sg se află la marginea intervalului de încredere obţinut în experiment. Şi aici este vorba de un nivel de confidenţă de 68,3%. Considerând un nivel de încredere de 99,7%, obţinem: 29,9±0,6 m sg . În acest interval

de încredere deja se înscrie cu certitudine valoarea adevărată 29,8 m sg . Pentru eroarea sistematică s-a obţinut valoarea 0 0, 00018 st . Ea constituie 0,14 % în prima serie de

măsurări şi 0,44 % în ultima serie. Deci eroarea sistematică poate fi neglijată în comparaţie cu cea aleatorie, iar acceleraţia gravitaţională în acest caz poate fi determinată şi direct din formula (11).

Distanţa S parcursă de un mobil ce efectuează o mişcare rectilinie uniform încetinită cu viteza iniţială 0v şi acceleraţia a este determinată de formula:

2

0 2S t a t v, (12)

unde t este intervalul de timp în care are loc mişcarea. Pentru a verifica experimental formula (12) efectuând 5n serii a câte 10N

măsurări trebuie să avem posibilitatea de a repeta de mai multe ori, în aceleaşi condiţii, fiecare măsurare a fiecărei serii. În cazul mişcării uniform accelerate, această condiţie se asigură eliberând căruciorul din poziţia superioară pe planul înclinat ori de câte ori dorim. În cazul mişcării uniform încetinite, trebuie să se asigure, ori de câte ori dorim, aceeaşi viteză iniţială



Fig. 12

0v orientată de-a lungul planului înclinat în sus. Această viteză se asigură la fel ca la

verificarea formulei vitezei în mişcarea rectilinie uniform încetinită [2]. La fel ca în [2], pentru verificarea formulei (12) se utilizează primele 6 intervale consecutive de timp, adică cronometrul se stabileşte în regimul 6n . Distanţa S parcursă de cărucior pe planul înclinat în mişcarea lui uniform încetinită se măsoară ca diferenţa coordonatelor senzorilor B şi A : B AS x x . Fiecare coordonată se determină apropiind obturatorul căruciorului (de jos

în sus pe plan) de fasciculul senzorului respectiv şi observând (cu ajutorul indicatorului căruciorului) pe riglă poziţia la care cronometrul începe măsurarea primului interval de timp. În acest caz se va stabili manual regimul dorit de măsurare al cronometrului. Observăm că distanţa S este parcursă de către cărucior în timpul 5 6t t t . De aceea relaţia (12) capătă

forma:

2

0 5 6 5 6 2B Ax x t t a t t v . (13)

Viteza medie pe distanţa egală cu diametrul d al obturatorului coincide cu viteza momentană la mijlocul intervalului de timp 5t , adică

5 0 5 2d t a t v. (14)

Determinând din (14) valoarea 0v şi substituind-o în (13) se obţine, după unele transformări,

următoarea relaţie echivalentă cu (12):

5 6 5 B Ad t t t x x 6 5 62a t t t

. (15) Relaţia (15) poate fi considerată drept o funcţie liniară de tipul (5), în care

5 6 5 B AY d t t t x x , 6 5 6X t t t , 2p a , considerându-se 0b pentru a

avea posibilitatea de a descoperi şi elimina o eventuală eroare sistematică în experiment. Măsurând intervalele de timp 5t şi

6t pentru diferite valori

ale coordonatelor senzorilor şi trasând graficul dependenţei (15), vom considera că această dependenţă se verifică dacă graficul ei va reprezenta un segment de dreaptă. Panta acestei drepte

este 2p a . Prin

urmare, acceleraţia mobilului

22a p.(16)

Graficul va tăia pe axa absciselor un mic segment ce corespunde intervalului de timp t b p care în acest caz este eroarea



Fig. 13

Fig. 14

sistematică a instalaţiei de măsurare. Totodată valoarea acceleraţiei determinată prin metoda propusă nu depinde de această eroare sistematică. Pentru eroarea absolută la determinarea acceleraţiei rămâne valabilă formula (6).

În fig. 12 este repre-zentată fereastra Efectua-rea măsurărilor din softul elaborat pentru verificarea relaţiei (15). La început aici se cere introducerea numărului de serii n , a numărului de măsurări din cadrul fiecărei serii N , a diametrului obturatorului d fixat pe cărucior, precum şi a coordonatelor iniţială Ax şi finală Bx ale căruciorului. La trecerea de la

o serie de măsurări la alta poate fi menţinută fixă poziţia unuia din senzori şi variată poziţia celuilalt sau pot fi variate poziţiile ambilor senzori. Aceste trei posibilităţi se realizează prin bifarea poziţiei respective. De exemplu, bifarea poziţiei „Variabile” (fig. 12) înseamnă că la trecerea de la o serie de măsurări la alta valorile introduse ale coordonatelor Ax şi Bx vor dispărea şi se vor

cere altele noi, obţinute în urma măsurării poziţiilor modificate ale ambilor senzori. Valorile intervalelor de timp

5t şi 6t citite la cronometrul electronic vor fi trecute în tabel

(fig. 12) şi se vor calcula valorile mărimilor X şi Y pentru fiecare măsurare. La sfârşitul fiecărei serii se vor calcula şi valorile medii ale acestor mărimi.

Relaţia (15) poate fi verificată folosind un obturator de orice diametru şi variind în limite rezonabile unghiul de înclinare a planului faţă de orizontală de la o experienţă la alta. Astfel se pot realiza mai multe variante ale acestei experienţe.

În fig. 13 este reprezentat graficul dependenţei (15) obţinut la calculator cu utilizarea softului elaborat. Pentru aceasta au fost utilizate rezultatele a 5n serii a câte 10N măsurări ale intervalelor de timp 5 6,t t , folosind un obturator cu diametrul 15 mmd şi

îndepărtând treptat senzorii A şi B unul de altul la trecerea de la o serie de măsurări la alta. Se observă că graficul dependenţei (15) reprezintă o linie dreaptă ceea ce confirmă veridicitatea formulei distanţei parcurse de mobil în mişcarea uniform încetinită (12). Acceleraţia căruciorului în mişcarea uniform încetinită în sus pe planul înclinat este

2( 2,34±0,04 ) m sa cu un nivel de confidenţă de 68,3% şi a fost determinată cu o eroare relativă ce nu întrece 1,7 %. Se observă o micşorare de aproximativ 2 ori a erorii de măsurare indirectă a acceleraţiei în comparaţie cu cazul utilizării obturatorului cu diametrul 5d mm când s-a obţinut

22, 23 0,07 m sa . Valoarea acceleraţiei obţinută în

această experienţă se află în interiorul intervalului de încredere obţinut în varianta efectuată cu un obturator având diametrul 5d mm. Eroarea sistematică este

0, 002 st , fiind necesară luarea în seamă a acesteia dacă acceleraţia se determină direct din formula (15). În caz contrar, la determinarea acceleraţiei se va comite o eroare relativă suplimentară de 3,8 % în prima serie de măsurări şi de 9,6 % în ultima serie. Se observă o micşorare de 8,5 ori a erorii sistematice în comparaţie cu cazul 5d mm când

0,0176 st (fig. 14). Însă şi în acest caz metoda folosita în experienţă permite excluderea influenţei erorii sistematice a instalaţiei de măsurare asupra valorii determinate a acceleraţiei mobilului.



REFERINŢE 1. A. Rusu, C. Pîrţac, S. Rusu. Trusa de mecanică asistată de calculator. Procesarea

datelor. Fizica şi tehnologiile moderne. Vol. 6, Nr. 3-4 (23-24), 2008, p. 10-21. 2. A. Rusu. Trusa de mecanică asistată de calculator. Verificarea formulei vitezei la

mişcarea rectilinie uniform variată. Fizica şi tehnologiile moderne. Vol.7, Nr. 3-4 (24-25), 2009.

Primit la redacţie: 21 martie 2010

DETERMINAREA EXPERIMENTALĂ A COEFICIENTULUI DE FRECARE LA ROSTOGOLIRE

(LUCRARE PRACTICĂ)

M. COTOROS Profesor de fizică, Grad didactic superior

„Cursul teoretic este lipsit de valoare, dacă el nu este plasat într-un context practic” Faraday

Categorii taxonomice Obiective educaţionale Elevul va fi capabil:

Cunoaştere - să definească noţiunile de forţă de frecare la alunecare şi la rostogolire; - să identifice utilajul necesar pentru efectuarea experimentului; - să cunoască etapele succesive de efectuare a experimentului.

Înţelegere Aplicare

- să efectueze cu suficientă precizie măsurările respective, trecând în tabel datele obţinute; - să exprime rezultatele măsurărilor în unităţi SI; - să calculeze corect valoarea coeficientului de frecare la rostogolire.

Analiză Sinteză

- să analizeze rezultatele măsurărilor şi calculelor efectuate; - să generalizeze datele experimentale obţinute ţinând seama de tema de cercetate; - să estimeze erorile absolute si relative; - să formuleze concluzii referitor la precizia efectuării experimentului.

Vom studia mişcarea unui cilindru ce se află pe o suprafaţă orizontală cu asperităţi.

Dacă acţionăm asupra cilindrului cu o forţă orizontală F , al cărei suport trece prin centrul de greutate al lui, observăm că cilindrul începe să se rostogolească atunci când această forţă atinge o anumită valoare. Aici se presupune că cilindrul nu alunecă, deci coeficientul de frecare nu este foarte mic.

Dacă contactul dintre cilindru ar fi un segment de dreaptă (în secţiune, un punct), atunci

suporturile forţelor mg , N şi F (forţa de frecare statică) s-ar intersecta într-un singur punct, O (fig. 1).

Momentele forţelor mg şi N în raport cu punctul O vor fi egale cu zero şi doar



momentul forţei F va rămâne diferit de zero. Deci, orice forţă F , oricât de mică ar fi, ar provoca rostogolirea cilindrului. În realitate însă corpurile ce vin în contact se deformează şi

suportul forţei N se deplasează în sensul forţei F la o distanţă h, care poate fi determinată din condiţia de echilibru (ecuaţia momentelor):

hNRF .

În cazul când suprafaţa şi forţa F sunt orizontale, avem: hmgRF (1)

Forţa F , în principiu, poate să crească nelimitat, în timp ce h (evident, pentru rigide) este mult mai mic decât raza cilindrului. Atunci când h atinge valoarea sa maximă ( maxh ),

cilindrul începe să se rostogolească, în cazul dat în sens orar. se numeşte coeficient de frecare la rostogolire şi are dimensiunea de lungime, deci se exprimă în metri (în SI), spre deosebire de coeficientul de frecare la alunecare care este o mărime adimensională.

Pe cale experimentală s-a stabilit că coeficientul de frecare la rostogolire depinde nu numai de proprietăţile fizice ale corpurilor în contact, ci şi de raza corpului care se rostogoleşte.

Spre exemplu, pentru o roată care se rostogoleşte pe un plan, acest coeficient este proporţional cu rădăcina pătrată din raza ei:

Rk (2)

Coeficientul k depinde de materialul roţii şi cel al suprafeţei. La rostogolirea unei roţi de oţel pe şina de cale ferată putem considera că, aproximativ, k = 0,00063, şi pentru o roată de rază R = 0,6 m obţinem m, δ 00050 .

EXPERIMENT PENTRU DETERMINAREA COEFICIENTULUI DE FRECARE LA ROSTOGOLIRE

În continuare, propunem următorul experiment pentru determinarea coeficientului de frecare la rostogolire, .

O placă plană (de oţel, sticlă, lemn sau plastic) se fixează sub un unghi α faţă de orizont (fig. 2). O bilă de oţel se leagă de un fir lung, subţire, inextensibil. Se prinde firul de un cui O

N

F

fF

C

Omg

h

Fig. 1



astfel ca el să fie paralel cu planul înclinat. Pe acest plan se lipeşte o scală circulară gradată în grade sau în milimetri. Punctul 0 de pe scală corespunde poziţiei de echilibru a acestui pendul gravitaţional.

Deviem pendulul cu un unghi mic, φ0 = 5o, de la poziţia de echilibru până la poziţia A0, şi notăm acest unghi pe scală. Pentru a exclude efectul de paralaxă, pe planul înclinat se poate fixa o oglindă, la fel ca la aparatele electrice de măsură de înaltă precizie.

Eliberăm apoi cu grijă pendulul fără a-i imprima viteză iniţială. Notăm numărul n de oscilaţii complete efectuate de pendul până la oprire şi citim amplitudinea unghiulară φn. Aplicăm teorema energiei cinetice pentru bilă, luând drept poziţie iniţială punctul A0 (v0 = 0) şi drept poziţie finală

An (v = 0) 0 fLhmg (3)

unde Lf este lucrul momentului de frecare:

ff MR

SL

.

Aici R este raza bilei, S – drumul parcurs de centrul de masă al bilei, deci de centrul ei

geometric, iar cosmgNM f este momentul forţei de frecare. Deoarece unghiul de

abatere φ al pendulului este mic, avem sin şi putem scrie:

2202

sinsincos1 n

LLh (4)

Aici am aplicat formula

2sin2cos1 2 ,

unde l este lungimea firului. Distanţa parcursă S poate fi calculată cu ajutorul

amplitudinii medii, 2

0 nm

, obţinându-se

nnlS 02 .

Substituind mărimile respective în formula (3), obţinem formula pentru determinarea coeficientului de frecare la rostogolire:

tgn

Rn 04

(5)

De menţionat că mărimile 0 şi n se vor exprima în radiani. Această formulă se aplică

pentru n = 5, 6, 7, 8, 9, 10 şi se calculează media aritmetică a coeficientului de frecare la rostogolire, δ.

Pentru a ne convinge că acest coeficient depinde de raza bilei, efectuăm experimentul cu bile de raze diferite. Vom constata că valoarea acestui coeficient creşte odată cu creşterea razei bilei. Coeficientul determinat în acest experiment poate fi numit coeficient cinetic.

Se poate determina şi coeficientul static de frecare la rostogolire. Aşezăm bila pe un plan orizontal. La înclinarea planului sub unghiul α, bila începe să se rostogolească (fig. 3).

Dat fiind faptul că asupra corpului acţionează doar trei forţe ( mg , N şi F ), suporturile lor în

poziţia de echilibru (şi în cazul când S ) se intersectează într-un singur punct, O.

O

φn

φ0

A0

An 0

α

Fig. 2



Din fig.3 obţinem:

SR sin (6)

În acest experiment eroarea relativă poate fi inadmisibil de mare din cauza valorilor mici ale unghiului α. Dacă, de exemplu, planul are lungimea L=1 m, iar raza bilei este de 1 cm, atunci luând în considerare formula (2) se poate demonstra prin calcule estimative că e necesar ca acest plan să fie ridicat cu doar câţiva milimetri mai sus.

Propunem un experiment cu măsurători mai exacte folosind un cilindru. Cilindrul se aşează pe un plan strict orizontal (fig. 4).

Pe axa cilindrului se fixează o ramă de sârmă de forma П, de care se leagă un fir trecut peste scripetele S. La capătul firului este atârnat un taler. Notăm cu δ distanţa dintre forţa normală N şi forţa de greutate m1g, cu m1 - masa cilindrului, iar cu m2 - masa talerului împreună cu masele marcate de pe el. Pe taler se pun succesiv mase etalonate. Să se demonstreze că în acest caz coeficientul de frecare la rostogolire este:

1

2

m

mR (7)

unde R este raza cilindrului. Această metodă poate fi aplicată şi

pentru bile. Două bile identice se unesc printr-o o tijă rigidă ce trece prin centrele lor. Experimentul se desfăşoară ca şi în cazul cilindrului (fig. 4).

Mai propunem o metodă valabilă pentru bile şi pentru cilindri (fig. 5). Eliberăm corpul din punctul A fără viteză iniţială. El se va opri pe planul orizontal în punctul D. Dacă ambele plane sunt din acelaşi material, atunci aplicând teorema energiei cinetice obţinem:

ED

AER

R

BD

R

EBAE

R

BDmg

R

ABmgAEmg

MMAEmg ff

cos

21 21

(8)

unde R este raza bilei sau a cilindrului.

gm1

N

F

gm2

S

D

A

E α

mg

xF

N

C

O

Fig. 3

N

Fig. 4

α

αδ

B

Fig. 5



REFERINŢE: 1. M. Marinciuc, S. Rusu. Fizica-10. Chişinău, Ştiinţa, 2006. 2. D. Turcitu, D. Oniciuc. Fizica-10. Radical, 2005. 3. M. Colpajiu, V. Caraganciu, M. Ţopa. Mecanica teoretică. Chişinău, Ştiinţa, 1994.

Primit la redacţie: 7 aprilie 2010

PRINCIPIUL FUNDAMENTAL AL DINAMICII ÎN MIŞCAREA CIRCULARĂ. VERIFICARE EXPERIMENTALĂ

Mircea COLPAJIU, Tudor ŞTUBEI

Liceul Academiei de Ştiinţe a Moldovei

Dinamica mişcării circulare poate fi studiată cu ajutorul pendulului conic (fig.1), care reprezintă un fir inextensibil ce poartă la capătul liber un corp mic şi greu. Firul este trecut prin orificiul O şi este legat de dinamometrul D. Făcînd corpul A să se mişte pe o traiectorie circulară de rază R, în plan orizontal, măsurăm aceasta rază şi înălţimea h.

Din ecuaţia mac

uru mg

r T

ur, proiectată pe axele

Ax şi Ay, obţinem o relaţie între mărimile ce pot fi

măsurate: T mg R2 h2

h , (1)

unde T este tensiunea din fir, indicată de dinamometru. Această relaţie este satisfăcută, în limitele erorilor, de mărimile măsurate în experiment.

Acest experiment însă necesită o anumită iscusinţă a experimentatorului pentru a face ca corpul A să descrie o traiectorie cît mai aproape de cea circulară. În afară de aceasta, există şi unele dificultăţi la măsurarea mărimilor R si h, precum şi la reducerea forţei de frecare în orificiul O.

Fig. 1



Propunem aici o metodă şi un dispozitiv mecanic, pentru câteva experimente, repartizate pe 5 niveluri. Instalaţia respectivă este reprezentată în fig. 2 şi poate fi uşor confecţionată în orice instituţie preuniversitară.

Firul inextensibil este trecut peste scripeţii O1 şi O2 (fig. 3) şi poartă la capete corpurile

A şi B cu masele m1 şi, respectiv, m2, unde m1<m2. La distanţa O2E OA

2 este fixată o bară

E. NIVELUL I

Întrucât m1<m2 sistemul se află în echilibru. Deviem corpul A sub un unghi φ0 şi îl eliberăm fără viteză iniţială. Aplicând legea conservării energiei mecanice şi ecuaţia

fundamentală a dinamicii, ţinând cont de relaţia ac v2

R, unde R O2A , calculăm tensiunea

din fir când el formeaza cu verticala unghiul : T m1g(3cos 2 cos0 ) (2) Tensiunea din fir atinge valoarea maximă atunci când =0: Tmax m1g(3 2cos0 ) (3).

Mărind treptat unghiul 0, observăm că la o anumită valoare minimă min corpul B se

desprinde de pe suportul pe care se află. Momentul desprinderii poate fi constatat cu ajutorul corpului mic Q, suspendat de un fir ce se află sub corpul B.

Desprinderea va avea loc atunci când tensiunea din fir va fi egală cu forţa de greutate m2g. Din ecuaţia (2) obţinem expresia pentru unghiul min:

cosmin 1

2(3

m2

m1

) (4)

Această relaţie este satisfăcută în limitele erorilor.

Dacă m2=3m1, avem cosφmin= 0, adică desprinderea va avea loc atunci când, iniţial, porţiunea O2A a firului este orizontală.

Fig. 2

Fig. 3



NIVELUL II

Formula (4) este valabilă în lipsa forţelor de frecare în scripeţi. Dacă rezultanta acestor

forţe de frecare este Ff, formula (4) devine: cosm 1

2(3 (

m2

m1

Ff

2m1g)) (5)

Există mai multe metode de determinare a forţei Ff. Propunem următoarea metodă: înlocuim corpul A cu unul având masa egală cu m2 (masa corpului B). Sistemul se află în echilibru. Punem treptat deasupra corpului A corpuri cu masă mică, până când corpul B se desprinde. Evident Ff=m0g, unde m0 este suma maselor acestor corpuri mici. NIVELUL III

Ca şi în experimentele precedente, deviem corpul A şi îl eliberăm fără viteză iniţială. În punctul E pe verticala AB fixăm un cui la distanţa OE = x (fig.3). Să se demonstreze, neglijând forţele de frecare, că valoarea minimă a unghiului φmin,

la care corpul B se desprinde, se calculează cu formula: cosmin 1x

2l

m2

m1

1

(6)

În cazul particular, când x 1

2OE , demonstraţi că formula (6) ia forma:

cosmin 1

45

m2

m1

(7)

NIVELUL IV

Firul este trecut prin orificiul suportului şi este legat de un corp foarte uşor (un chibrit). Să se determine unghiul minim φmin, pentru care corpul Q va cădea. În cazul echilibrului tensiunea din fir este egală cu m1g şi corpul Q este menţinut de această forţă dintre chibrit şi partea de jos a suportului. Corpul va cădea când tensiunea din fir va deveni egală cu zero, adică atunci când corpul A va abandona traiectoria circulară.

Deviem firul sub unghiul 0 (poziţia 1) şi determinăm tensiunea din fir în poziţia arbitrară 2, în care firul face unghiul α cu verticala. Proiectînd

ecuaţia mac

uru mg

r T

ur pe axa Ax, obţinem:

T mgcos mv2

R (8),

unde R 1

2. Aplicăm legea conservării energiei la mişcarea corpului din poziţia 1 în

poziţia 2: mg(h1 h2 ) mv2

2 (9)

unde h1 h2 l

2 l cos0

l

2cos .

Rezolvînd sistemul de ecuaţii (8) si (9), obţinem

Fig. 4



T mg(2 4 cos0 3cos ) (10) Conform formulei (8) tensiunea din fir T nu poate fi egală cu zero, pentru valori

pozitive ale cos . Valoarea minimă a unghiului 0 va fi pentru cos φ =0 şi v 0 . Aceasta va avea loc atunci când porţiunea EA a firului va fi orizontală, adică α = 900 . În acest caz, din formula (10) rezultă că desprinderea va avea loc, deci căderea corpului va avea loc pentru

cos0 1

2, adică 0 = 600. Acest rezultat poate fi obţinut şi prin raţionamente mai simple,

pornind de la faptul că tensiunea din fir poate deveni egală cu 0 în poziţia 0 = 900 şi v2 0 .

Din legea conservării energiei avem: mv2

2

2

mv21

2 mg(h2 h1) 0 . Întrucât v1 0 , v2 0 ,

rezultă că h1 h2 (fig. 5).

Din triunghiul OEA rezultă cos0 l / 2

l

1

2, adică 0 = 600.

Fig. 5

NIVELUL V

Considerăm nivelul IV, luând masa corpului m2<m1. Corpul B de masă m2 se află sub suport (fig. 5).

Scriem legea a II-a a lui Newton pentru poziţia 2: m(ac

uru a

uru) mg

r T

ur. Proiecâînd



această ecuaţie pe axa Ax şi aplicând legea conservării energiei (E1=E2) şi relaţia ac v2

R obţinem:

T m1g(2 4 cos 3cos ) (11) Corpul m2 se va desprinde de suport, adică corpul Q va cădea atunci când

T m2g (12) Din formula (11) şi (12) rezultă relaţia dintre unghiurile şi :

m2

m1

2 4 cos 3cos

(13)

care poate fi verificată experimental. De exemplu, daca m2

m1

1

2, iar = 900, atunci

=1200. Adică corpul m2 se va desprinde de suport atunci când firul va face un unghi de 300

cu orizontala. Din triunghiul OEA rezultă cos0 l / 2

l

1

2, adica 0 600 .

REFERINŢE

1. A. Hristev. Probleme de fizică. Editura Prometeu, 1991. 2. M. Colpajiu, Gh. Ţurcanu, V. Păgînu. Manual de fizică, clasa X. Chişinău, Univers

Pedagogic, 2008. 3. M. Colpajiu. De la pendul la laser. Chişinău, Lumina, 1984. 4. A. Detlaf, B. H. Iavorski. Curs de fizică. Chişinău, Lumina, 1991.

Primit la redacţie: 7 iunie 2010

Laboratorul de fizică 55 TRUSA DE MECANICĂ ASISTATĂ DE ...

Documents

Transcript of Laboratorul de fizică 55 TRUSA DE MECANICĂ ASISTATĂ DE ...