UNIVERSITATEA “OVIDIUS” CONSTANŢA FACULTATEA DE INGINERIE MECANICĂ, INDUSTRIALĂ ŞI MARITIMĂSPECIALIZĂRILE EI, IS, IEDM

APLICAŢIA 1. CONSTRUCŢII GRAFICE UZUALE

la disciplinele

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ ŞI DESEN TEHNIC

GRAFICĂ ASISTATĂ DE CALCULATOR

Titular discipline, Ş. l. univ. dr. ing. MIRELA COTRUMBA

1

1.1 CONSTRUCŢII GEOMETRICE SIMPLE EXECUTATE CU AJUTORUL RIGLEI NEGRADATE ŞI AL COMPASULUI

1.1.1 Ridicarea perpendicularelor

a) Ridicarea unei perpendiculare într-un punct de pe o dreaptă (fig. 1.1) Pentru a ridica o perpendiculară în punctul M de pe dreapta ∆, folosind doar

o riglă negradată şi un compas, se procedează astfel: - din punctul M ca centru, cu o rază oarecare în compas, se trasează două arce

de cerc care intersectează dreapta ∆ în punctele A şi B; - din punctele A şi B ca centre, folosind o rază mai mare decât MB, se

trasează două arce de cerc, care se intersectează în punctul N; - dreapta care trece prin punctele M şi N reprezintă mediatoarea segmentului

AB şi este perpendiculara căutată. b) Ridicarea perpendicularei la extremitatea unui segment de dreaptă (fig. 1.2)

Fiind dat segmentul MN, se cere să se ridice o perpendiculară pe acesta în punctul M.

Construcţia se bazează pe teorema conform căreia un unghi cu vârful pe cerc are ca măsură jumătate din arcul cuprins între laturile sale. Se procedează astfel:

- dintr-un punct, O, oarecare, exterior segmentului dat, luat ca centru, se trasează un cerc cu raza MO care intersectează segmentul MN în punctul A;

- trasând diametrul cercului care trece prin A şi O, la intersecţia lui cu cercul rezultă punctul B;

- unind punctele B şi M se obţine perpendiculara căutată.

Fig.1.1 Ridicarea unei perpendiculare într-un punct al unei drepte

(∆)B A M

N

Fig.1.2 Ridicarea unei perpendiculare la extremitatea unui segment

AM N

B

O

2

1.1.2 Construcţia unei drepte paralele cu o dreaptă dată printr-un punct exterior ei Se dă dreapta ∆ şi se cere ca prin punctul C să se ducă o paralelă la dreapta

dată.

Metoda A (fig. 1.3) Construcţia se realizează astfel:

- din punctul C ca centru, cu o rază în compas mai mare decât distanţa de la C la dreaptă, se trasează un arc de cerc care intersectează dreapta dată în punctul B; - din punctul B ca centru, cu aceeaşi rază, se trasează un arc de cerc care trece prin C şi intersectează dreapta dată în punctul A; - luând în compas o rază R=AC, se trasează din B un arc de cerc care intersectează celălalt arc (trasat pentru aflarea punctului B) în punctul D; - unind punctele D şi C se obţine o dreaptă paralelă cu ∆.

Metoda B (fig.1.4.) Această metodă constă în ridicarea perpendicularei din C la dreapta ∆, după

metoda cunoscută. Piciorul perpendicularei este punctul M. Dintr-un punct oarecare N

aparţinând dreptei se ridică încă o perpendiculară pe ∆. Cu distanţa MC în compas, se trasează din N un arc de cerc care intersectează perpendiculara dusă în N, în punctul B.

Punctele C şi B determină dreapta căutată ∆1 paralelă cu ∆.

Fig. 1.3 Trasarea unei paralele la o dreaptă dată printr-un punct exterior ei

A B

DC

(∆)

Fig. 1.4 Trasarea unei paralele la o dreaptă dată printr-un punct exterior ei

M

C

N

B

(∆)

(∆1)

3

1.1.3 Împărţirea unui segment într-un număr oarecare de părţi egale (fig.1.5)

Fiind dat un segment AB, se cere să se împartă în n (exemplu n = 5) părţi egale. Se procedează astfel:

- dintr-o extremitate a segmentului, de exemplu din A, se trasează o semidreaptă oarecare şi, începând din A se măsoară pe semidreaptă 5 segmente egale, de o lungime aleasă arbitrar;

- ultimul punct de diviziune, 5, se uneşte cu extremitatea B a segmentului dat, apoi, din punctele 1, 2, 3, 4 se duc paralele la dreapta 5B. Se obţin astfel punctele a, b, c, d care împart segmentul dat în 5 părţi egale. 1.1.4 Împărţirea unui unghi

a) Împărţirea unui unghi în două părţi egale (fig.1.6) Fiind dat unghiul AOB, din punctul O ca centru, se trasează un arc de cerc

cu o rază oarecare, care intersectează laturile unghiului dat în C şi D. Din C şi D ca centre, cu o rază mai mare decât ½ CD, se trasează două arce de cerc care se intersectează în punctul E.

Dreapta care trece prin punctele E şi O împarte unghiul dat în două părţi egale (este bisectoarea unghiului AOB). b) Împărţirea unghiului drept în trei părţi egale (fig.1.7)

Fiind dat unghiul AOB = 900, pentru împărţirea lui în 3 părţi egale se trasează din vârful O ca centru, cu o rază arbitrară, un arc de cerc care intersectează laturile unghiului în punctele C şi D.

Cu aceeaşi rază, din C şi D ca centre, se trasează succesiv arce care se vor intersecta cu primul arc în punctele F şi E. Dreptele care trec prin O, E şi O, F împart unghiul în trei părţi egale.

Fig. 1.5 Împărţirea unui segment în 5 părţi egale

A B

12

3 4

5

a b c d

Fig.1.7 Împărţirea unghiului drept în trei părţi egale

AO

C

B

D E

F

Fig. 1.6 Împărţirea unui unghi în două părţi egale

AO

C

B

D F

4

c) Împărţirea unui unghi oarecare în n părţi egale (fig.1.8) Se consideră unghiul AOB, care trebuie împărţit în n = 5 părţi egale. Construcţia se realizează astfel:

- din vârful O ca centru, se trasează un arc de cerc de rază oarecare, cu o lungime mai mare de 1800, care intersectează laturile unghiului în punctele H şi G, iar prelungirea laturii AO în C;

- din punctele H şi C ca centre, se trasează două arce de cerc cu raza HC, la intersecţia căror se află punctul D;

- se trasează dreapta GD, care intersectează latura OA în punctul E; - segmentul HE va fi împărţit în n părţi egale (de exemplu n = 5) după

metoda prezentată la 1.1.3. Dreptele 1D, 2D, 3D, 4D prelungite intersectează arcul HG în punctele M, N, P, Q;

- unind O succesiv cu M, N, P şi Q se obţin drepte care împart unghiul dat în 5 părţi egale.

1.2 RACORDĂRI

Prin racordare se înţelege unirea a două linii (drepte sau curbe) cu altă linie, de obicei curbă, astfel încât să se obţină o trecere lină şi continuă de la o linie la alta. Linia de racordare (dreaptă, curbă oarecare sau arc de cerc) este tangentă la liniile de racordat în punctele de racordare.

Fig.1.8 Împărţirea unui unghi oarecare în 5 părţi egale

A

B

1’2’

3’ 4’

5’

5≡H E CO

D

1 2 3 4

MNP

Q

G

5

Elementele unei racordări sunt: linia de racordare (de obicei arc de racordare), punctele de racordare şi centrul de racordare. 1.2.1 Racordarea a două drepte printr-un arc de cerc a) Racordarea printr-un arc de cerc de rază dată, R, a două drepte concurente sub un unghi oarecare (fig. 1.9)

Pentru racordarea dreptelor D şi D1, s-au trasat dreptele paralele la acestea, d şi d1, la o distanţă egală cu raza de racordare, R.

Dreptele d şi d1 sunt concurente în centrul de racordare O. Perpendicularele trasate din punctul O pe dreptele de racordat le intersectează pe acestea în punctele de racordare C şi C1.

Cunoscând centrul de racordare O şi punctele de racordare C şi C1 se trasează din O ca centru, cu raza dată R, arcul de racordare a dreptelor între punctele C şi C1. b) Racordarea printr-un arc de cerc de rază dată, R, a două drepte concurente şi perpendiculare (fig. 1.10)

Cele două drepte de racordat, D şi D1, sunt concurente în punctul a după un unghi drept. Construcţia se realizează astfel:

- din punctul A ca centru, cu raza R, se trasează un arc de cerc care intersectează dreptele date în punctele de racordare C şi C1;

- din centrele de racordare şi cu raza R în compas se trasează două arce care se intersectează în centrul de racordare O;

- din O ca centru se trasează cu raza R arcul de racordare între C şi C1. Fig.1.9 Racordarea a două drepte concurente sub un unghi

oarecare când se cunoaşte raza de racordare

(D)

(d)

(D1)

(d1)

R

R

C

C1

R

O

Fig. 1.10 Racordarea a două drepte concurente şi perpendiculare

O

C

D1

C1

AD

R

6

c) Racordarea a două drepte paralele prin două arce de cerc egale, când se cunosc punctele de racordare (fig. 1.11)

Fiind date dreptele paralele ∆1, ∆2 şi punctele de racordare R1 ∈ ∆1 şi R2 ∈ ∆2, pentru construcţia curbei de racordare se unesc cele două puncte de racordare printr-o dreaptă al cărei mijloc, M, se determină prin metoda cunoscută. Pe mijlocul segmentului M R1 se ridică o perpendiculară care se intersectează cu perpendiculara dusă din R1 pe ∆2 în centrul de racordare O1.

La fel, perpendiculara ridicată în mijlocul segmentului MR2 intersectează perpendiculara dusă din R2 pe dreapta ∆1 în centrul de racordare O2.

Din O1 şi O2 ca centre şi cu razele egale O1R1 = O2R2 = O2M = O1M se trasează arcele de racordare a dreptelor date.

1.2.2 Racordarea unei drepte cu un cerc printr-un arc de cerc de rază dată, Rr (fig. 1.12)

Se consideră date şi s-au reprezentat dreapta ∆, cercul de rază R şi raza de racordare Rr.

Pentru a obţine racordarea, din O ca centru, se trasează un arc de cerc de rază R + Rr, care intersectează dreapta ∆1 în punctul O1 ce va fi centrul de racordare. Dreapta ∆1 se trasează paralel cu ∆, la distanţa Rr,.

Dreapta ce trece prin O şi O1 intersectează cercul dat în C1, iar piciorul perpendicularei coborâte din O1 pe dreapta dată ∆, cade în punctul C2.

Punctele C1 şi C2 sunt puncte de racordare, între care se va trasa arcul de racordare cu raza Rr = O1C1 = O1C2.

Fig. 1.11 Racordarea a două drepte paralele prin două arce de cerc

R1

M

R2

O2O1

∆1

∆2

Fig. 1.12 racordarea unei drepte cu un cerc printr-un arc de cerc de rază dată

R R+Rr

O1

Rr

C2

C1

O

∆

∆1

R Rr

R + Rr

7

1.2.3 Racordarea a două cercuri printr-o dreaptă

a) Racordarea a două cercuri prin tangenta comună interioară (fig. 1.13) Se dau cercurile de raze R1 şi R2 şi distanţa L = O1O2 dintre centrele lor.

Construcţia se realizează astfel: - din mijlocul segmentului O1O2 (punctul M) se trasează un cerc de rază L/2,

care trece prin O1 şi O2; - din O2 ca centru se trasează un cerc concentric, cu rază egală cu suma

R1+R2; - intersecţia dintre cercurile astfel trasate dă punctul A, care unit cu O1 dă

direcţia tangentei necesare racordării; - raza O2A determină pe cercul O2 punctul de racordare B; - al doilea punct de racordare, C, se obţine la intersecţia dintre cercul O1 şi

paralela dusă prin O1 la direcţia O2A. Dreapta care trece prin B şi C realizează racordarea cercurilor date şi

reprezintă tangenta interioară comună.

b) Racordarea a două cercuri date prin tangenta comun exterioară (fig. 1.14) Se va urmări acelaşi mod de lucru din cazul precedent: - din mijlocul segmentului O1O2 (punctul M) se trasează un cerc de rază L/2

(L = O1O2), iar din O2 ca centru se trasează un cerc concentric de rază R2 - R1; - intersecţia dintre cele două cercuri astfel trasate determină punctul A; - prelungind segmentul AO2 se obţine, la intersecţia cu cercul de rază R2,

punctul 2 de racordare; - se trasează dreapta AO1, care indică direcţia tangentei comune la cele două cercuri; - pentru obţinerea tangentei comune exterioare se duce prin O1 o paralelă la

AO2 şi se determină punctul de racordare 1. Dreapta care trece prin 1 şi 2 realizează racordarea cercurilor date şi

reprezintă tangenta exterioară comună. Fig. 1.13 Racordarea a

două cercuri prin tangenta comună interioară

O2

O1

M B

C

A

R1 R2

R1 + R2 R1 R2

R2 – R1

O2

O1

M

A

1

2

Fig. 1.14 Racordarea a două cercuri prin tangenta comună exterioară

8

1.2.4 Racordarea a două cercuri printr-un arc de cerc de rază dată

a) Racordarea printr-un arc de cerc de rază R3 tangent exterior cercurilor date (fig.1.15)

Se dau cercurile O1 şi O2 de raze R1 şi respectiv R2. Centrul de racordare O3 se va găsi la intersecţia arcelor de cerc trasate din

O1 ca centru şi O2 cu razele R1+R3 şi respectiv R2+R3. Punctele de racordare 1 şi 2 se găsesc respectiv la intersecţia dreptei O1O3 cu cercul O1 şi la intersecţia dreptei O2O3 cu cercul O2.

Din centrul de racordare, cu raza de racordare dată, R3, se trasează arcul de racordare între cele două puncte, 1 şi 2. Problema admite soluţie numai dacă se îndeplineşte condiţia:

( )1 23 2

L R RR

− +≥

unde L reprezintă distanţa dintre centrele cercurilor date, considerată mai mare decât suma razelor acestora.

R1R3

R3 R2

O2O1

L

R1

R2+R3

R2

R1+R3

1

2 R3

O3

Fig.1.15 Racordarea a două cercuri printr-un arc de cerc tangent exterior

9

b) Racordarea printr-un arc de cerc de rază R3 tangent interior cercurilor date (fig.1.16)

Se dau cercurile O1 şi O2 de raze R1 şi respectiv R2. Centrul de racordare O3 se va afla la intersecţia arcelor de cerc trasate

respectiv din O1 şi O2 ca centre cu razele R3-R1 şi R3-R2. Punctele de racordare 1 şi 2 se află la intersecţia cercurilor date O1 şi O2 cu prelungirea segmentelor O1O3 şi respectiv O2O1.

Cunoscând centrul de racordare, O3, punctele de racordare şi raza de racordare, R3, se poate trasa arcul de racordare căutat. Problema admite soluţie numai pentru:

( )1 23 2

L R RR

+ +≥

unde L reprezintă distanţa dintre centrele cercurilor date, considerată mai mare decât suma razelor acestora.

Fig.1.16 Racordarea a două cercuri printr-un arc de cerc tangent interior

O2

O1

R1

R3-R2

R2

R3-R1

1

2

R3

O3

L

R3

R3 – R2 R2

R1R3–R1

10

1.3 CONSTRUCŢIA POLIGOANELOR REGULATE Poligoanele regulate pot fi convexe (ale căror laturi se intersectează o singură dată) şi stelate (ale căror laturi se intersectează de mai multe ori – exemplu poligonul stelat cu 5 laturi reprezentat în figura 1.17).

Împărţirea cercului prin construcţii grafice (realizate cu rigla şi compasul) în 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 şi 12 părţi egale a fost cunoscută încă din antichitate. Gauss a demonstrat că împărţirea unui cerc în 3, 4, 5, 6, 8, 10 etc. părţi egale se poate face exact cu rigla şi

compasul, iar împărţirea în 7, 9, 11, 13, 14 etc. părţi egale se poate face prin construcţii grafice aproximative. 1.3.1 Împărţirea cercului în 3, 6, 12 părţi egale în vederea construcţiei triunghiului echilateral, hexagonului şi dodecagonului înscris (fig.1.18) a) În cercul de rază R se trasează două diametre perpendiculare. Dintr-o extremitate a unui diametru, de exemplu din punctul D luat ca centru, se trasează un arc de cerc de rază egală cu a cercului dat. Arcul intersectează cercul în punctele 2 şi 3. Lungimea arcului 23 este a 3-a parte din lungimea cercului dat. Unind succesiv punctele 1, 2, 3 se obţine triunghiul echilateral (fig.1.18 a). b) Pentru construirea hexagonului înscris în cerc, din ambele extremităţi ale aceluiaşi diametru, luate ca centre, se trasează succesiv arce de cerc de rază egală cu a cercului. Se vor găsi punctele 2, 3, 5 şi 6 care împreună cu punctele considerate centre (1 şi 4) împart cercul în 6 părţi egale. Se unesc pe rând punctele 1 cu 2, 2 cu 3, ş.a.m.d., obţinându-se hexagonul căutat (fig.1.18 b). c) La împărţirea cercului în 12 părţi egale se vor trasa arce de cerc din cele patru extremităţi ale celor două diametre perpendiculare, luate ca centre. Punctele de la intersecţia arcelor cu cercul (2, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 12), împreună cu extremităţile celor două diametre (1, 4, 7, 10), împart circumferinţa cercului în 12 părţi egale, iar prin unirea succesivă a tuturor punctelor se obţine poligonul regulat cu 12 laturi sau dodecagonul (fig.1.18 c).

Fig.1.17 Poligon regulat stelat cu 5 vârfuri

a) b) c)

Fig. 1.18 Obţinerea triunghiului echilateral, hexagonului şi dodecagonului

11

1.3.2 Împărţirea cercului în 4 şi în 8 părţi egale în vederea construirii pătratului, respectiv a octogonului regulat (fig.1.19) a) În cercul de rază R se duc două diametre perpendiculare între ele, care intersectează cercul în punctele 1, 2, 3, 4, obţinându-se astfel împărţirea cercului în 4 părţi egale. Prin unirea succesivă a acestor puncte, se obţine pătratul înscris în cerc. b) Dacă arcele obţinute prin împărţirea cercului în 4 părţi egale se împart fiecare în câte două părţi egale, prin metoda cunoscută (cap. 1.1.4 a, fig. 1.6), se obţine împărţirea cercului în 8 părţi egale şi latura octogonului, l8. 1.3.3 Împărţirea cercului în 5 şi 10 părţi egale în vederea obţinerii pentagonului şi decagonului (fig.1.20) a) După trasarea celor două diametre perpendiculare în cercul de rază R, se împarte OA în două părţi egale, obţinându-se punctul M. Considerând punctul M centru, se trasează un arc de cerc de rază MC, care intersectează diametrul AB în punctul N. Coarda CN subîntinde un arc a cărui lungime este egală cu a 5-a parte din lungimea cercului dat (latura pentagonului, l5). Luând în compas segmentul CN = l5 şi, aşezându-l consecutiv pe circumferinţa cercului, se obţin vârfurile pentagonului regulat. b) Segmentul ON are lungimea coardei ce subîntinde un arc de lungime egală cu a 10-a parte din lungimea aceluiaşi cerc. Luând în compas segmentul ON = l10 şi, aşezându-l consecutiv pe circumferinţa cercului, se obţin vârfurile decagonului regulat.

1.3.4 Împărţirea cercului în 7 părţi egale printr-o construcţie grafică aproximativă (fig.1.21)

În cercul cu centrul în O se trasează două diametre perpendiculare AB şi CD. Dintr-o extremitate a unui diametru, de exemplu din D, considerat centru, se trasează un arc de cerc de rază egală cu raza cercului dat. El intersectează cercul în punctele P şi Q. Segmentul MQ = l7 subîntinde un arc de lungime aproximativ egală cu 1/7 din lungimea cercului dat. Luând segmentul l7, care reprezintă latura poligonului regulat cu 7 laturi în compas, se măsoară consecutiv pe circumferinţa cercului şi, astfel, se vor găsi vârfurile heptagonului regulat.

O

l7

Fig.1.19 Împărţirea cercului în 4 şi 8 părţi egale

Fig. 1.21. Împărţirea cercului în 7 părţi egale

Fig.1.20 Împărţirea cercului în 5 şi 10 părţi egale

O

M

l5

l10

A N B

D

C≡1l10

2

3 4

5