L04_2013-2014

Dragomir, T.L., Teoria sistemelor, Curs anul II CTI, 2013/2014

34

1.3 Sisteme. Regimuri de funcionare

1. Modele matematice intrare-ieire i modele matematice intrare-stare-ieire

n contextul cursului, sistemele sunt modele matematice (MM) de tipul: egaliti sau sisteme de egaliti, ale unor sisteme fizice. Este vorba de egaliti de tip ecuaii funcionale, fiecare membru al unei egaliti coninnd aciunea unui operator asupra unor funcii.

n principiu egalitile servesc pentru a determina unele dintre funcii (considerate semnale de ieire) asupra crora acioneaz operatorii n funcie de celelalte funcii (considerate semnale de intrare).

Caracterizarea unui sistem poate s cunoasc diferite niveluri de aprofundare. Un prim nivel l reprezint aprofundarea funcional sau de tip intrare-ieire prin sisteme care opereaz numai cu semnale de intrare i semnale de ieire. Atributul funcional red ideea c, n descrierea matematic, apar semnalele de intrare i de ieire cu care se exprim funcia ndeplinit (rolul ndeplinit) de sistem. n acest context vorbim de MM intrare-ieire (MM-II).

Un al doilea nivel de aprofundare este aprofundarea funcional-structural sau de tip intrare-stare-ieire. n afar de funciile de intrare i de ieire modelul opereaz i cu o a treia categorie de funcii corespunztoare semnalelor de stare, numite i mrimi de stare. Mrimile de stare caracterizeaz ceea ce se ntmpl n interiorul sistemului, adic n structura sistemului de aici, atributul structural. In acest caz vorbim de MM intrare-stare-ieire (MM-ISI).

Exemplul 1: MM-II n timp continuu

)()()( tuKtytyT (MM-II n t.c.)

n general, un model matematic intrare-ieire (MM-II) n timp continuu (t.c.) conine, alturi de )(tu i )(ty , i derivatele acestora. De regul, operm cu forma de ecuaie diferenial ordinar, eliminnd integralele prin derivare n raport cu timpul.

Exemplul 2: MM-II n timp discret

]2[4]1[]2[2]1[0.8-][50 tututytyty. (MM-II n t.d.)

MM-II n timp discret (t.d.) are forma de ecuaie recursiv. ntr-o astfel de ecuaie, n afar de ][tu i ][ty , intr i realizrile lui u i y la alte momente: ]1[ tu , ]2[ tu , ... ; ]1[ ty , ]2[ ty , ... .

S u y

S u y


35

Potrivit celor prezentate n 1.1, seciunea 2, sistemele au, de regul caracter inierial. O informaie util n aceast privin o ofer ordinul sistemului, notat cu n. n cazul MM-II, pentru a stabili ordinul sistemului raionm astfel:

modelele sistemelor n timp continuu (STC), se aduc la forma de ecuaie diferenial ordinar, iar ordinul este dat de ordinul maxim de derivare al mrimii de ieire n condiiile n care n model mrimea de ieire i/sau mrime de intrare apar i sub form nederivat;

o pentru exemplul 1: n = 1; modelele sistemelor n timp discret (STD), se aduc la forma de ecuaie recursiv; ordinul sistemului este dat

de ordinul de recuren al ecuaiei recursive, adic de diferena dintre cel mai mare argument i cel mai mic argument.

o pentru exemplul 2: n = t (t-2) = 2.

Exemplul 3:

)()(10)()(5t

0tadttatctc (MM-II al unui sistem regulator de tip PI cu temporizare)

Modelul este de tip ecuaie integro-diferenial. Pentru a o aduce la forma de ecuaie diferenial, derivm egalitatea, membru cu membru, n raport cu t. Rezult:

2n)()(10)()(5 tatatctc .

Semnificaia ordinului unui sistem e aceea de numr de procese ineriale elementare de acumulare de energie existente n sistem (un proces inerial este un proces care decurge n timp, cu o anumit vitez dependent de parametrii sistemului; n cursul su se modific cantitatea de energie / materie / informaie acumulat n sistem). De exemplu, dac un sistem are ordinul n = 3, nseamn c n interiorul sistemului avem trei procese ineriale elementare de acumulare. Energiile corespunztoare lor pot crete sau scdea.

Mrimile de stare reprezint un ansamblu de mrimi care exprim tocmai astfel de procese de acumulare dintr-un sistem i care mpreun cu mrimile de intrare ne furnizeaz dou categorii de informaii despre sistem:

indic, n orice moment, tendina de evoluie a sistemului; permit, n orice moment, calcularea mrimii de ieire.

Mrimile de stare sunt utilizate n modelele matematice intrare-stare-ieire (MM-ISI). Aceste modele conin dou grupuri de ecuaii, destinate, respectiv, furnizrii celor dou categorii de informaii menionate anterior. Ordinul n al sistemului este, evident, egal cu numrul mrimilor de stare. Mrimile de stare se noteaz cu ; n consecin, este un vector de forma:

nx

xx

x2

1

.

S a c


36

Un MM-ISI, n cazul timp continuu, are forma:

)1()()1()(

t,u,xgyt,u,xfx

,

iar n cazul timp discret forma:

)2()][][(][)2()][][(]1[

t,tu,txgtyt,tu,txftx

)1( reprezint un sistem de ecuaii difereniale ordinare de ordinul I de forma:

)t,u,,u,x,,x(fx

)t,u,,u,x,,x(fx)t,u,,u,x,,x(fx

mnnn

mn

mn

11

1122

1111

)1( reprezint un sistem de ecuaii algebrice de forma:

)t,u,,u,x,,x(gy

)t,u,,u,x,,x(gy

mnpp

mn

11

1111

Ecuaiile )1( sunt ecuaiile de stare ale sistemului. Prin faptul c aceste ecuaii servesc pentru a calcula pe x , nseamn c ele ne permit s determinm tendina de evoluie a sistemului.

Ecuaiile )1( , numite ecuaii de ieire, permit calcularea valorilor mrimii de ieire la momentul curent t.

Pentru sistemele n timp continuu ecuaiile de stare permit calcularea lui x . Faptul c x se poate calcula nseamn c semnalele x(t) sunt funcii derivabile n raport cu timpul i, ca urmare, ele sunt funcii continue n raport cu t. De aici rezult criteriul de alegere a variabilelor de stare : variabilele de stare trebuie s fie mrimi cu variaie continu n raport cu t ale cror valoari se obin prin integrare (deci, prin acumulare):

n,,i,dt)t,u,,u,x,,x(ftxtxt

t mniii 1)()(

0110 .

Enumerm cteva exemple tipice de mrimi de stare: tensiunea la bornele unui condensator, curentul electric printr-o bobin, poziia sau viteza unui punct material, temperatura unui punct material, .a.m.d. toate aceste mrimi nu pot varia brusc, ci doar continuu.

S x u y


37

Conceptul poate fi extins i spre mrimi discrete, de pild: soldul dintr-un cont bancar, numrul de buci dintr-un anumit produs care se gsesc ntr-o magazie, numrul de credite transferabile acumulate de un student, toate reprezint mrimi care descriu procese de acumulare.

Pentru STD, )2( reprezint ecuaiile de stare, iar )2( ecuaiile de ieire. Ecuaiile de stare se prezint sub forma unui sistem de ecuaii recursive de ordinul I ( 1)1( tt ). n acest caz, tendina de evoluie apare prin faptul c din ][tx i ][tu putem s calculm pe ]1[ tx , adic ceea ce se va ntmpla n pasul urmtor. n rest, lucrurile sunt n principiu aceleai ca i n cazul timp continuu.

n fine, vom observa c orice ecuaie de stare , fie n timp continuu, adic:

n;i),t,u,,u,x,,xftx mnii 1()( 11 ,

fie n timp discret, adic:

n;i),t,tu,,tu,tx,,txftx mnii 1][][][][(]1[ 11 ,

descrie un proces elementar de acumulare (integrarea menionat anterior). Ordinul n nseamn n procese elementare de acumulare i ajungem la interpretarea din cazul intrare-ieire: un sistem conine mai multe procese elementare de acumulare de energie.

Sistemele (1)-(1) i (2)-(2), n care t apare ca argument distinct att n f ct i n g, se numesc sisteme variante n timp. Spre deosebire de ele, sistemele:

)()(

u,xgyu.xfx

(3) i

])[][(][])[]([]1[

tu,txgtyu.xftx

, (4)

care nu mai conin pe t ca argument distinct, se numesc sisteme invariante n timp.

n (1)-(1), (2)-(2), (3) i (4), orice variaie a lui u produce instantaneu i o variaie a lui y. Altfel spus, variaiile intrrii se transmit, sub o form sau alta, instantaneu la ieire. n sistemele fizice nu exist o transmisie instantanee de la intrare la ieire, deci ecuaiile de ieire de pn acum sunt idealizri ale realitii. Spunem c astfel de sisteme sunt la limita de cauzalitate, iar atunci cnd modelul trebuie s fie transpus ntr-un sistem fizic spunem c sistemul este la limita de realizabilitate fizic.

O modelare exact trebuie s conduc la un model strict cauzal, ceea ce nseamn c n MM-ISI ecuaiile de ieire trebuie s aib una din formele:

)4(])[(][)3()()2()],[(][)1()(

txgtyxgy

ttxgtyt,xgy

Exemplul 4:

Fie un corp de mas m, care se deplaseaz sub aciunea unei fore exterioare eF cu viteza v i acceleraia a , pe

distana d . (Adaug figura de la curs!).


38

Alegem mrimile de stare:

v)(d)(

2

1

txtx

.

Deoarece:

)()( 21 txtxvd .

Deci f1 este:

)()( 2211 txF,x,xf e .

De asemenea:

)()()( tFm

txtFm

av ee11

2 .

Ca urmare f2 are expresia:

)(1)( 212 tFmF,x,xf ee

Ne intereseaz, ca mrime de ieire d:

)(1 tx)t(d

deci:

)()( 121 txF,x,xg e

Astfel rezult MM-ISI:

)(

1)(

)()(

1

2

2

1

tx)t(d

)t(Fm

tx

txtx

e

Exemplul 5:

ntr-o cresctorie de crustacee care pot tri cel mult cinci ani, izolat fa de alte animale, se studiaz dinamica populaiei. Definim ca variabile de stare:

x1 - numrul de crustacee aflate n primul an de via; x2 - numrul de crustacee aflate n doilea an de via; x3 - numrul de crustacee aflate n al treilea an de via; x4 - numrul de crustacee aflate n al patrulea an de via; x5 - numrul de crustacee aflate n al cincilea an de via.

Notm cu si - ratele de supravieuire i cu ni - ratele de natalitate n anul de via i = 1, 2, 3, 4.

Din punctul de vedere al exploatrii cresctoriei, ne intereseaz numrul total q de crustacee, indiferent de vrst (mrimea de ieire) n anul curent t.


39

Pentru procesul descris rezult n final MM-ISI n timp discret:

][][][][][][][]1[][]1[][]1[][]1[

][][][][]1[

54321

445

334

223

112

554433221

txtxtxtxtxtqtxstxtxstxtxstxtxstx

txntxntxntxntx

2. Clasificarea sistemelor

n cadrul cursului vom considera c sistemele dinamice se clasific potrivit urmtorului tabel:

Criteriul de clasificare Atributul sistemului Tipul de ecuaie n domeniul timp

Continuitatea timpului* STC* ecuaie diferenial ordinar* STD* ecuaie recursiv*

Liniaritatea liniar ecuaie liniar neliniar ecuaie neliniar Variabilitatea parametrilor MM

n raport cu timpul invariant n timp* ecuaie cu parametri constani n timp* variant n timp* ecuaie cu parametri variabili n timp

Dependena MM de coordonatele spaiale

cu parametri concentrai* ecuaie diferenial sau recursiv*

cu parametri distribuii** ecuaie cu derivate pariale i omoloagele lor n t.d.**

Am notat cu * tipurile de sisteme la care ne-am referit pn acum. Am notat cu ** tipurile de sisteme care nu vor fi studiate n cadrul cursului de fa.

n continuare ne referim la liniaritatea unui sistem.

Spunem c un sistem este liniar atunci cnd pentru el este valabil principiul superpoziiei.

Interpretarea:

o Fie )(1 tu un semnal de intrare admisibil; el va produce la ieire un rspuns )(1 ty . De asemenea, fie )(2 tu un alt semnal de intrare admisibil; el va produce la ieire un rspuns )(2 ty .

o Fie )(c)(c)( 22113 tututu un semnal de intrare admisibil unde c1 i c2 sunt constante. Notm rspunsul cu )(3 ty .

o Spunem c sistemul verific principiul superpoziiei, sau al liniaritii, dac: 21 u,u admisibile, 21 c,c arbitrare, rezult c )(c)(c)( 22113 tytyty .

S u y


40

Criteriu de recunoatere a liniaritii (condiie de suficien):

Liniaritatea unui sistem o recunoatem prin aceea c n modelul su matematic toi termenii trebuie s fie funcii de gradul I n raport cu funciile de timp, considerate ca variabilele care pot lua orice valori reale.

Altfel spus: Fiecare ecuaie a unui model matematic trebuie s aib toi termenii expresii de gradul I continue n raport cu funciile de timp (funcii propriu-zise i derivatele lor pentru cazul timp continuu sau realizri ale funciilor propriu zise la diferite momente n cazul timp discret)), iar acestea, la rndul lor s poat lua orice valori reale.

Atunci cnd condiiile acestui criteriu nu sunt ndeplinite, sistemul este neliniar.

Ultim condiie din enunul criteriului nseamn c de fapt niciuna din variabilele modelului matematic nu este mrginit. Cum n realitate, majoritatea variabilelor care apar n modelele matematice sunt supuse unor limitri rezult c n din punct de vedere matematic modelele matematice sunt neliniare. ntruct n funcionare normal aceste variabile nu i ating limitele, se consider c operm cu sisteme liniare.

Observaii:

1) Definiia dat pentru un sistem liniar este valabil att n cazul timp continuu ct i n cazul timp discret. 2) O definiie complet ine seama i de condiiile iniiale, n sensul c impune acceai combinaie liniar i

condiiilor iniiale. Dac operm cu MM-ISI, condiiile iniiale sunt de forma )( 0tx sau ][ 0tx , adic valorile strilor la un

moment iniial t0. Dac operm cu MM-II, condiiile iniiale se refer la valorile intrrii i ieirii la momentul iniial, al

derivatelor acestora pn la ordinul n-1 sau a valorilor acestora pentru n-1 momente anterioare.

Exemple:

liniartutytyT )()()( (SL)

neliniartutytyty )()()()( (SN)

)(70)()(5 tu.tyty reprezint un SL n timp continuu de ordin 1n ; )()(80)(y tuty.t reprezint un SL n timp continuu de ordin 2n ;

)()()()( tutvtvtv reprezint un SN n timp continuu de ordin 1n ;

]1[]2[]1[20][ tutyty.ty reprezint un SL n timp discret de ordin 2n ;

][]1[][ tutyty reprezint un SN n timp discret de ordin 1n . El poate fi scris sub forma:

0]1[,][]1[][0]1[,][]1[][

tytutytytytutyty

3. Identificare. Realizare fizic

n tehnic, n special, i n tiin, n general, apar dou tipuri de probleme de baz n legtur cu gestionarea MM.


41

Prima problem o reprezint obinerea MM pentru a putea realiza cu ajutorul lor analize i operaii de sintez. Aceast operaie este denumit n mod curent identificare;

A doua problem o reprezint implementarea fizic a MM atunci cnd ceea ce am sintetizat trebuie s fie utilizat efectiv, fizic.

Aceast operaie este denumit n mod curent realizare fizic. Nu orice MM este fizic realizabil. n acest context vorbim despre realizabilitate fizic.

Problema identificrii face obiectul unei discipline aparte, identificarea sistemelor.

Modelul matematic al unui sistem poate fi obinut plecnd de la procese fizice cunoscute din discipline precum fizica, chimia, biologia, sociologia, finane .a. sau tratnd sistemul fizic ca un black box. n cel de-al doilea caz, sistemul este excitat cu diferite semnale de intrare; se nregistreaz aceste semnale (experiment), precum i rspunsul sistemului, apoi se prelucreaz nregistrrile n ideea identificrii unei relaii ntre intrare i ieire care s conduc la o comportare ct mai apropiat de cea constatat experimental.

Din punct de vedere matematic, la nivelul cursului, realizabilitatea fizic a unui STC o verificm astfel: un STC, pentru a fi fizic realizabil, trebuie s se caracterizeze printr-un ordin maxim de derivare al mrimii de ieire mai mare dect ordinul maxim de derivare al mrimii de intrare; n caz de egalitate, el se gsete la limita de realizabilitate fizic.

Exemple:

)()()( tutytyT

este un model fizic realizabil;

)()()(50)(2 tutyty.ty

este un model la limita de realizabilitate fizic;

)(0.5)(3)( tututy

nu este un model fizic realizabil.

Pentru ca un STD s fie fizic realizabil, argumentul maxim al mrimii de ieire trebuie s fie mai mare dect argumentul maxim al mrimii de intrare.

Exemple:

]1[]2[50]1[][ tuty.tyty

este un model fizic realizabil;

][]1[][ tutyty

este un model la limita de realizabilitate fizic;

][]1[][ tututy

nu este un model fizic realizabil.

n unele situaii operm ntr-o prim instan i cu modele care nu sunt fizic realizabile.


42

Problematica identificrii i realizabilitii fizice o surprindem prin urmtoarea figur care se refer la conceperea unui sistem de reglare automat:

Figura sintetizeaz ciclul care se parcurge pentru realizarea sistemului de reglare.

Sistemul de reglare (conducere) este partea reprezentat cu linie ntrerupt de culoare verde. Rolul sistemului este s fac ca procesul condus s realizeze o anumit funcie (s asigure anumite cerine referitoare la conducere).

n acest scop: i) se determin un MM al procesului condus (identificare linia albastr), ii) se sintetizeaz un MM al dispozitivului de conducere (sintez linia violet) i iii) se implementeaz rezultatul ntr-un sistem fizic (realizare fizic linia roie).

5. Punct de funcionare. Regimuri de funcionare. Clasificri ale regimurilor de funcionare.

Ansamblul valorilor tuturor mrimilor caracteristice ale unui sistem, considerate la un moment dat, se numete punct de funcionare al sistemului. Prin mrimi caracteristice ale sistemului se neleg mrimi relevante pentru comportarea sistemului i monitorizarea funciei sistemului.

Notm punctul de funcionare cu i convenim s considerm valorile mrimilor caracteristice drept coordonate ale acestuia. Vom scrie, de exemplu, (u, y) atunci cnd mrimile caracteristice sunt u i y, (umed, ymed) atunci cnd mrimile caracteristice sunt valorile medii ale mrimilor u i y asociate de o anumit manier momentului curent .a.m.d. n timp valorile coordonatelor se modific.

MM al dispozitivului de conducere

Dispozitiv de conducere

MM al procesului condus

Proces condus

Sinteza dispozitivului de conducere

(pe baza cerinelor referitoare la conducerea procesului)

Identificare (modelare matematic)

Realizare fizic (modelare fizic +

implementare) Sisteme abstracte

Sisteme fizice

Bucl de reglare (Conducere n circuit nchis)


43

Prin regim de funcionare al unui sistem fizic se nelege un mod de comportare n timp al sistemului. El este caracterizat printr-o succesiune continu sau discret de puncte de funcionare n spaiul coordonatelor, succesiune numit traiectorie asociat regimului de funcionare. Traiectoria reprezint o imagine a variaiei temporale a mrimilor caracteristice n cursul unui regim de funcionare, deci o imagine a acestuia.

Dac T reprezint orizontul de timp cruia i corespunde traiectoria, atunci vom nota traiectoria cu T (u, y) , T (umed, ymed) .a.m.d. punnd n eviden orizontul de timp i mrimile caracteristice.

Dac mrimile caracteristice sunt variabilele de stare, x, ale sistemului, traiectoriile T (x) se numesc traiectorii de stare.

n acord cu principiul cauzalitii un regim de funcionare al unui sistem este determinat de un anumit semnal de

intrare i/sau de o stare iniial de echilibru sau dezechilibru a sistemului.

Exemplu: Se consider sistemul liniar

)t(x)t(y)t(u.)t(x.)t(x.)t(x

)t(x)t(x)t(x

1

212

211202040

la intrarea cruia se aplic semnalul ramp unitar t)t(u n condiii iniiale nule, i.e. 0000 21 )(x,)(x .

Intervalul de timp de studiu este de 10 secunde. Prin aplicarea la intrare a semnalului ramp declanm un regim de

urmrire. n figura de mai jos apar diferite modaliti de a reda acest regim.

n figura din stnga sunt redate variaiile mrimilor de intrare i de ieire, u(t) i y(t), n ideea c cele dou mrimi

sunt mrimi caracteristice ale sistemului.

n figura din mijloc apare traiectoria y(u) corespunztoare punctului de funcionare (u, y), adic traiectoria

[0,10](u, y). Pentru a evidenia regimul care se instaleaz, evoluia punctului de funcionare pe traiectorie este

sugerat cu o sgeat.

Ambele reprezentri sugereaz c urmrirea se produce cu ntrziere, semnalul de ieire avnd o vitez diferit de

cea a semnalului de intrare.

0 2 4 6 8 100

2

4

6

8

10

t [sec]

u, y

u

y

0 5 100

1

2

3

u

y

0 1 2 30

1

2

3

4

x1

x2


44

n figura din dreapta regimul este redat prin traiectoria de stare x2(x1) corespunztoare punctului de funcionare (x1,

x2), adic traiectoria [0,10](x1, x2). Cu privire la aceas figur vom observa c procesul de urmrire nu mai este

transparent. n schimb obinem o imagine a ceea ce se ntmpl n interiorul sistemului.

n consecin, un regim de funcionare poate fi urmrit prin intermediul mai multe mrimi caracteristice i mai

multor tipuri de traiectorii. Depinde de noi, respectiv de scopul urmrit, alegerea celei mai potrivite forme de

reprezentare.

Pentru clasificarea regimurilor de funcionare exist numeroase criterii. Astfel, din punctul de vedere al variaiei n timp ale mrimilor caracteristice distingem dou tipuri de regimuri:

regimuri permanente, caracterizate prin faptul c mrimile caracteristice variaz n timp dup funcii cores-punztoare unor semnale standard: funcia treapt unitar, funcia ramp unitar, funcia parabol unitar, funcia sinusoidal .a.

regimuri tranzitorii, caracterizate prin faptul c variabilele informaionale variaz n timp dup funcii neti-pizate, sistemul trecnd, eventual, de la un regim permanent la altul (v. Fig.1, Fig.2).

Principalele tipuri de regimuri permanente sunt:

1) Regimul staionar sau permanent constant, - este caracterizat prin faptul c variabilele informaionale ale mrimilor caracteristice sunt constante pe subintervale de timp. Acest regim se instaleaz dup ncheierea regimului tranzitoriu (teoretic pentru t ) declanat de aplicarea la intrarea sistemului a unui semnal constant. Convenim s notm valorile coordonatelor punctului de funcionare pentru t cu indicele . Vom scrie (u, y ) sau, simplu, . Punctul este fix, ceea ce nseamn c n regim staionar traiectoria sistemului se reduce la un punct.

0

u

t

u

0

y

t

y

t

re g im s t a i o n a r

r e g im s t a i o n a r

r eg i m t ra n z i t o r i u

Fig. 1

2) Regimul permanent proporional - este caracterizat de faptul c variabilele informaionale asociate mrimilor caracteristice variaz n timp dup funcii ramp. n acest regim toate derivatele de ordinul I n raport cu timpul sunt constante, adic ,constu)t(u , consty)t(y . Teoretic se poate considera c regimul este declanat dup aplicarea la intrarea sistemului a unor semnale ramp ca n Fig.2. n figur se pleac dintr-un regim permanent care poate fi interpretat att ca regim staionar ct i ca regim permanent proporional determinat de o intrare nul. In

regim permanent proporional )( yu , este un punct fix, pe cnd (u, y) este un punct mobil care descrie o se-midreapt sau un segment de dreapt.

- b -


45

0

u

t

0

y

t t

r e g i m t r a n z i t o r i u

r e g i m p e r m a n e n t p r o p o i o n a l

r e g i m p e r m a n e n t

Fig. 2

3) Regimul permanent parabolic - este caracterizat de faptul c variabilele informaionale asociate mrimilor caracteristice variaz n raport cu timpul dup funcii parabolice. Deci, derivatele lor de ordinul II n raport cu timpul sunt constante. Declanarea regimului este consecina aplicrii de semnale parabolice la intrarea sistemului. Punctul

)( y,u este fix, iar punctele )( y,u i (u, y) sunt mobile.

4) Regimul permanent sinusoidal, numit i regim armonic sau sinusoidal cvasistaionar - este caracterizat prin aceea c toate mrimile caracteristice, coordonate ale punctului de funcionare, variaz n timp dup funcii sinusoidale (de exemplu, y(t) n Fig.3). Sistemul ajunge ntr-un astfel de regim n urma aplicrii la intrare a unor semnale sinusoidale. Datorit variaiei temporale periodice a coordonatelor, cu o perioad comun, punctul (u, y) este mobil pe o curb nchis.

Fig. 3

Deoarece n regimurile 2, 3 i 4 i n regimurile tranzitorii mrimile variaz n timp ele poart i denumirea de regimuri dinamice sau de regimuri nestaionare.

n cazul sistemelor liniare invariante n timp se folosesc n mod frecvent conceptele de regim liber i de regim forat.

Prin regim liber se nelege un regim de funcionare determinat de o stare iniial dat a sistemului (de regul condiii iniiale nenule care corespund unei situaii de dezechilibru) n situaia n care semnalul de intrare este nul (u(t) = 0), iar prin regim forat un regim de funcionare determinat de aplicarea la intrarea sistemului a unui semnal u(t) 0 n condiii iniiale nule.

0 2 4 6 8 10 t

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 y


46

0

u

t

u 0 + u

u 0

t 0

0

y

t

y0+y

t t0

y0

Fig. 4

Observaii:

1) In Fig. 1 i 4 sunt ilustrate rspunsurile la semnale treapt a dou sisteme liniare. Iniial sistemele se gsesc n stare de echilibru. In primul caz starea de echilibru este o stare de repaus. n al doilea caz starea de echilibru corespunde unui regim staionar determinat de un semnal treapt de amplitudine u0. Ori de cte ori este posibil reducem (prin schimbri adecvate de variabile) strile iniiale de echilibru la stri de repaus.

2) Figurile 1, 2 i 4 mai evideniaz un aspect importat: teoretic, un regim staionar (permanent) se obine pentru t dar din punct de vedere practic aceast situaie nu convine i ca urmare se consider c regimul staionar (permanent) rezult dup un interval finit de timp t adoptat n funcie de necesitile sau posibilitile de percepie ale semnalului (n cazul de fa: de semnalul de ieire).

3) Utilizarea noiunilor de regim liber i regim forat se justific numai pentru sisteme liniare, prin considerente de superpoziie.

Din considerente practice se impune menionarea a nc doi termeni: regim nominal i regim oarecare. Sistemele tehnice sunt concepute astfel nct s funcioneze ntr-un anumit regim caracterizat de indicatori tehnici i energetici bine precizai. Un astfel de regim este numit regim nominal. In realitate sistemele ajung s lucreze n regimuri oarecari, adic n regimuri mai mult sau mai puin "ndeprtate" de regimul nominal. Regimurile oarecari pot fi cla-sificate, la rndul lor, n regimuri normale, regimuri de avarie .a.m.d.

L04_2013-2014

Documents

Transcript of L04_2013-2014