RANGUL UNEI MATRICE

Siconsiderirnmatricca A e ..'//,,,(A).Daci p€N*, p<min(m,n),numim minordeordinpalmatricei ,4 determinantul unei matrice p[tratice de ordin p formati cu elernentele situate Ia interseclia aplinii qi p coloane din matricea.4.

Dc cxcmptu, penrru rnarricca o:l)i.',, i,:-=.

on'=',

;::.l. .4.r@) .

[r., at: att , ro )

l',, att n,rl lo,,at:,,,.1 1.,. a, n,ol

lr,, et: n=rl,lr=, a:t n.ol - lo.. a:t a-ol sunt minori dc ordin 3

Io, et: ,rrl lr, dt: ,,rl lur= dtt nrol

la.. a,-l la.- a.,l la^. a^"1dctcrminanlii [ " ''l.l '' "l.l '' "l suntminoridcordin2,iardctcnninantii' lo=, or=.1 lo.= ,r,,1' lo' arrl

Deoarece putem alege p linii in Cj moduri Ei p coloane in C! moduri rezulth cd matricea A

e -,//*."(C) are Cl'Cj' minori de ordin p. Si observim ci minorul unui element intr-o matrice pitratici de

ordin n este un minor de ordin n - I al acelei matrice.Si presupunem ci matricea A e . /,/,,.,,(C) este nenuli, deci are cel pulin un element nenul. Atunci I

are cel pufin un minor nenul qi anume minorul de ordin 1 format din acest element.Multimea ordinelor minorilor nenuli ai matricei A_este, in acest caz, nevidd (deoarece il confine pe l)

qi finiti, fiind inclusi in mullimea {1, 2, .., min(m,n)}. tn consecinlS ca arc un cel mai marc elcmnt, adicitexistl un ordin maxim de minori nenuli ai matricei l. Suntem conduqi, in acest fel, cf,tre urmitorul conceptimportant.Definitie

Fie Ae .4,(C) o matrice nenul6. Ordinul maxim al rninorilor nenuli ai matricei I se numeqte

rangul lui A.Observalie. Definilia proccdcnti aratd cd pcntru o matricc ncnuli A e -.ftr,.,,(C), numirul natural ncnul rreprczinti rangul luiA dacil qi numai daci sunt indcplinitc simultan condigiilc:1o. Matricea A are cel pulin un minor nenul de ordin r.20. Toli minorii de ordin r + L ai matricei A (daci, existi) sunt nuli, ceea ce este totuna cu faptul cd tofiminorii de ordin strict mai mare ca r (dacd existi) sunt nuli.

Ultima pafte a conditiei 2" rezultA din faptul ci orice minor de ordinul r * 2 este o combinafie liniarfldc minori de ordinul r + I qi, in consccinti, cl cstc nul, q.a.m.d. Evidcnt, dacd r : mit(m, n) atunci rrntricca Anu are minori de ordin strict mai mare ca r.

Rangul lui,4 estc 2 deoarecc *iro*f l.l 'l ".* ncnul qi ro[i minorii dc ordin 3 sunrl0 4l

nuli av6nd liniilc I gi 3 proporfionalc.FieAe4"(C)omatricenenuliqir>lrangulsiu.Dacifiximunminornenuldeordinral

matricei A, acesta va fi numit minor principul. Cele r linii (coloane) ale lui .,4 corespunziltoare liniilor(coloanelor) minomlui principal se numesc linii (coloane) principale, iar celelalte linii (coloane) ale lui.4 senumesc linii (coloane) secundare.

44

Urmitorul rezlultat este util in cele ce urmeazi.Teoreml (tcorcma minorului principal).

Orice coloani (linie) -a unei matrice nenule este combinalie liniara de coloanele (liniile) principale

alc matricci.

Demonstralie. Fie A e -y'/^.,(C) o matrice nenuli qi r rangul sdu. Deoarece la orice permutare de linii(coloane) in matricea r4, minorii ei iqi schimb6, eventual, doar semnul, putem presupune ci primele r linii qiprimele r coloane sunt cele principale (deci minorul principal, notat Ap, este minorul de ordin r situat in,,colgul stdnga - sus" al matricei,4).

(",,\Fie 7 e t:,2. .. , r) ti marricca coloana ,:=1":.,

IIIlo, )

latxr + anx" + ... + arrxr = arj

Deoarccc detcrminantul matricei sistemului: faz$r+azzx"+

"'+a'rxr =4:r ostg chiar minorul principal al

t""""""""". td,rxr * arzxz+ ... + arrxr = aq.

maticei A, rezulta ci sistemul este Cramer. Daci (o1, ez, ..., e,) este solu{ia lui, atunci:

C'r= o,

Dacd r : m,taorema este demonstrati, deoarece Cf este chiar coloana j amaticeiA.

(l)

Dacd,r < z, considerimi e{r*1, r*3, ..., z} $i determinantulde ordinrf l,lou *tz dt, orrl

lo.,, o., dz, o=,1

A,: 1... ...l.eOu"a-hcoloana r+ LaluiAicoloana linmultiticuttlar, ar2 cln a,il

l'^ aiz Qi, orl

A,=

- cr,r, coloana 2 inmullitii cu - o2, .. ,, coloana r inmulfiti cu - or. Oblinem:

unde D =ai-d.tait*dzaiz*...-d,ai,. Deoarece rangul lui./ este r qi d este

minorde ordin r* Ireanltici 0 = Li=b. A,o,deci b=0.Cum a, = dto it * ct ld p + ... + s. $ n, din rela$a (l) deducem ci

lo, arz 01, 0l

lo=, ozz 02, ol

lr,".:;tt i,larj

d.,

:

d,

ai

att

dzt

arl

oit

dtz

ozz

o,r,

diz

a,tr

a^

:

dn

an

+... + cl,r=dr t&z

Deoarece ultima egali0ate estc adevirati pcntru V I e {r + I, r + 2, ..., ra}, oblinem Cr: cr,1C1 ** s.zCz + ... + o,C,, unde C, este coloanaT a matricei A Si C; Cz, ..., C', sunt primele r coloane (deci cele

principale) ale matricei l. Demonstrafia pentru linii este analog6.Observalii:1". Orice coloani principali a matricei I este, evident, combinafie liniari de coloanele principale ale lui A.De exemplu Cr =l-Ct+0.C2 +0.C3 +... +0.C, .

20. Pentru a demonstra ci o coloani C, cu7 > r este combinalie liniari de coloanele principale, nu este

neapirat necesar sd presupunem ci tofi minorii de ordin r * I sunt nuli ci doar cei obfinuri din A, prinadiugarea coloaneiT qi a unei linii i cu I > r (determinafii din demonstrafie notali A;).

Aceasti ultimi observa[ie ne conducc citre urmitoarea defini1ie.

'"on'f iu"[Aesteun minordeordinral matrice iA e.4,,,(c), cur< min(m,n), numim bordatalluiLun minor dc ordin r + I al matricci .,{ obfnut prin adiugarca la A a unci linii qi a unci coloanc ,,r5mase inafara" lui A.

S[ observIm ci numlru] bordalilor lui A este (m - r)(n - r), numdr sensibil mai mic decdt cel altuturor minorilor de ordin r + I ai matricei,4.

Urmitorul rezultat di o metodi pentru calculul rangului unei matrice.

Propozi{ieDaci intr-o matrice A e.,il*.,(C) existi un minor nenul de ordin r qi toli bordafii s6i (daca existi)

sunt nuli, atunci rangul matricci -4 cste cgal cu r.Demonstrapie. Fie A un minor de ordin r < min(m, r) ca in enun$. Deoarece A este nenul qi tofi bordafii luisunf nuli, din demonstra[ia teoremei minorului principal qi observaliile 1o qi 2", rezulti- ci orice coloani a lui.,4 este combina$e liniard de cele r coloanc ale lui ,4 corespunzdtoare lui A. Conform proprietSlii 3 adeterminanfilor, orice minor de ordin r + I al matricei A este combina$e liniari de minori de ordin r * Iformagi numai cu cele r coloane ale lui,4 corespunzdtoare lui A. Cum fiecare din aceqti minori are cel pufindou[ coloane egale, ei sunt nuli qi, in consecinfi, orice minor de ordin r + 1 al lui I este nul. Rezulti cirangul matricei A este r.Observalie: Din punct de vedere practic, pentru calculul rangului, proccddm astfel: g[sim un numdr ncnul deordin r1 (de obicei h = 2) qi formim bordafii sii; daci toli sunt nuli rangul este rr: daci existi un bordatnenul, acesta are ordinul t2= tt + I gi formim bordafii sli. Continuim procedeul pdni glsim un minor nenulde ordin rr ai cirui bordafi sunt nuli (sau nu existi). Atunci rangul lui,4 este rr.

Exnuplu:

Ei r rangul siu.

(2 -r 3 4)lr o -l 2lFiel=lo I _s il..*^tol[, r -74)_il lz -r 3l

Ol=, *0, rezulti cdr>2.Bordafli lui Asunt: A,: ll 0 -ll.lor{l

Deoarece ^

= l?

12 -r 4l 12 -r 3l

12 -r 4t

az = lt o ,1,4, : lt o -rl, a"+: lr 0 , Dupd un calcul simplu se consrari cd ro[i acesti bordali

lorol l, r-71 l, r4lsunt nuli Ei atunci, inbaza propozitiei precedente, rentltb r = 2.

46

Eagrciyii ryl. Si se calculeze rangul urmltoarelor matrice:

, (l ?), , (; ;'), o(:, -,'), , (l i i),

.,(; ; t,), ,(1 l' B), ,[i i] ,,[i l'J,

orice numdrr real.

4. Se consideri matricele ^=1,Is

-2 -2 +\I a + l. Se se dctermine numerele reale a qi D

-r I b)

,[i i iJ ,,I i i] '[i i i] ,,[i 11l]Z. Si se precizeze rangul urmitoarelor matrice, discut6nd dupi valorile parametrului real a

(a t z\ (a t t\ (a I l\ (-r t 2 3\,[; j, r'J' ',[i i N' r[l ; l, r[: ? ;' B,J',

:l '[; 1i ;] ,[: + i,:]It 2 3 a

")lr a 9 a'

[rB27a'

3. Sr sc dctcrminc valorilc rcate ale tui rn astfol incflt matric * ^=(1, : ;j

,, aib6 rangul3, pentru

-z -z\ (r

-', 1 l' '= [3pcntru carc rangr4 = rang8.

a) Matriceal e.4$R) verifici relafia ,' = (; l) oo*, rangut matricei,{.

b) Matricea Ae ../40R) verifici relalia ,' = (l l) ,.r.r*,nafi rangul matricei l.

Fiel e .,//-."(R),8 e.//r,n{R) dou[matrice.

Si se arate cL rang AB < min(rang,4, rang B).7. Fie"4 e -d/r."(R),8 e,.4/r(R). SisearatecidaciEestematriceinversabiliatunci rangAB=rangA.8. Fie.4 e ,4^,,(lR\ o matrice de rang l. Si se arate ci existi matricele C e,d^,r(R) gi /- e -,/(.,(lR) astfel

caA: CL.

9. Fic A,Be.'/{^.,(C).fuetalicI rang(,,{+B)<rang(,4)+rang(B). Exemplificalicazuldecgalitatc.

10. Seconsiderdmatricele A.Be.4,(q astfblincit AB=BA gi ,43= B'=1,. Sisearate cArang(A*B)=n.11. Fie A e .fl(R\ astfcl incit A1 -3A' +3A = 0,. S{ sc arate c[ rang(.4 - I o) = r.

47

1

12. Se consider matricea1 2 2

2 2 1A . V4

a) S se calculeze rangul matricei A.b) S se demonstreze c det 0tA A .

c) S se determine o matrice nenul 3,2B M astfel încât 2AB O .

13. Se consider matricea 2 2 23 3 3

a b cA a b c

a b c, unde *, ,a b c . V14

a) S se calculeze rangul matricei A.b) S se arate c exist d astfel încât 2A dA .c) S se arate c exist matricele 3,1 1,3iK M L M astfel încât A K L

14. Se consider o matrice 3A M . Se noteaz cu tA transpusa matricei A. V24

a) S se demonstreze c 33, , det detz X M zX z X .

b) S se demonstreze c det 0tA A .

c) tiind c tA A , s se demonstreze c 2trang A A .

15. Se consider matricele 1,3 3,1

41 2 3 , 5

6K M L M i A LK . V34

a) S se calculeze suma elementelor matricei A .b) S se arate c 2 32A A .c) S se arate c rangul matricei nA este 1, oricare ar fi *n .

16. Se consider matricele1 2 1 22 2 0 , 11 4 3 5

A B . V35

a) S se arate c ecua ia AX B are o infinitate de solu ii 3,1X M .

b) S se verifice c 3 10A A .c) S se determine rangul matricei *A , adjuncta matricei A .

17. Se consider matricea1 21 2 , ,

1 1

a a aA b b b a b

a. V37

a) S se arate c det 1A a b a .

b) S se calculeze det tA A .c) S se arate c 2 , ,rangA a b .

18. Se consider matricele 2,A B M cu AB BA A i matricele 0

0 1,

0 0A

0

1 00 2

B . V42

a) S se determine rangul matricei 0A . b) S se arate c 0 0 0 0 0A B B A A . c) S se demonstreze c n n nA B BA nA , pentru orice , 2n n .

2

19. Se consider matricele

1 0 0 10 0 0 00 0 0 01 0 0 1

A i

0 0 0 00 1 1 00 1 1 00 0 0 0

B . V44

a) S se calculeze AB BAb) S se arate c rang A B rangA rangB .

c) S se demonstreze c *,n n nA B A B n

20. Se consider matricele 1 2

,3 4

A 1 10 1

B i func ia

2 2: ( ) ( ),f M M f X AX XA . V47 a) S se determine rangul matricei A.b) S se calculeze f Bc) S se arate c ecua ia f X B nu are solu ii.

21. Se consider mul imea a,b a,b 3

1 a bG M M 0 1 0 ,a, b M

0 0 1. V61

a) S se arate c a,b c,d a c,b dM M M , a,b,c,d . b) S se arate c orice matrice din G este inversabil .c) S se calculeze în func ie de a i b, rangul matricei t

a ,b a ,bM M unde ta ,bM este

transpusa lui a,bM

22. Se consider matricea

2

2

2

11

1

a ab acA ba b bc

ca cb c, cu a,b,c i *A adjuncta sa.

V76 a) S se calculeze determinantul matricei A .b) S se verifice c 2*det A det A .c) S se arate c matricea 3A I are rangul cel mult 1.

23. Fie matricea 2

1 2( ) , ,

4A M A x

x V91

a) S se determine x tiind c 2 5A Ab) Pentru 2x s se calculeze 2009Ac) S se determine x pentru care 1trang A A

24. Se consider matricea

1 2 11 1

3 0 2A a unde a . Bac2011 o

a) Calcula i det A .

b) Ar ta i c 3rangA oricare ar fi a .

c) Determina i valorile întregi ale lui a tiind c matricea 1A are toate elementelenumere întregi .