IntroducaoAlgebraVetorial-v2 (2) (1)

Introducao a Algebra Vetorial

Francisco Edson da Silva

Simone Batista

Conteudo

1 As Grandezas Vetoriais 1

1.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Grandezas Escalares versus Grandezas Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Segmentos Orientados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Sistema de Coordenadas Cartesianas 18

2.1 Sistema de Coordenadas Cartesianas no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.2 Localizando pontos no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.3 Divisao do plano em quadrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.4 Distancia entre dois pontos do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2 Sistema de Coordenadas Cartesianas no Espaco . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.2 Localizando pontos no espaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.3 Divisao do espaco em octantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2.4 Distancia entre Dois Pontos do Espaco . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3 Vetores no Plano e no Espaco 51

3.1 Vetores no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2 Vetores no Espaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3 Determinando as Coordenadas de um Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3.1 Determinando as coordenadas de um vetor no plano . . . . . . . . . 58

3.3.2 Determinando as coordenadas de um vetor no espaco . . . . . . . . 60

3.4 Vetor Nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.5 Igualdade de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.6 Norma de Vetor: Versao Algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

ii

3.7 Coplanariedade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.8 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4 Multiplicacao de Numero Real por Vetor 75

4.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.2 Definicao e Interpretacao Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.3 Propriedades da Multiplicacao de Numero Real por Vetor . . . . . . . . . . 78

4.4 Versao Algebrica da Multiplicacao de Numero Real por Vetor . . . . . . . 79

4.5 Paralelismo entre vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5 Adicao de Vetores 92

5.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.2 Adicao de Vetores: Versao Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.2.1 Regra do Paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.2.2 Regra do Polıgono ou Regra do “Fim de um no comeco do outro” . 95

5.3 Propriedades da Adicao de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.4 Adicao de Vetores: Versao Algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.5 Aplicacoes da Adicao de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.6 Resumo das Propriedades da Multiplicacao de Numero Real por Vetor e

da Adicao de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6 Adicao de Ponto com Vetor 112

6.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.2 Propriedades da Adicao de Ponto com Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.3 Versao Algebrica de Adicao de Ponto com Vetor . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.4 Coordenadas do Ponto Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

7 Produto Escalar 122

7.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7.2 Produto Escalar: versao geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

7.3 Propriedades do Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

7.4 Produto Escalar e Angulo entre Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

7.5 Produto Escalar: Versao Algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7.6 Trabalho de uma Forca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

7.7 Projecao Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

7.8 Decompondo Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

iii

7.9 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

8 Produto Vetorial 148

8.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

8.2 Produto Vetorial: Versao Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

8.3 Propriedades do Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

8.4 Produto Vetorial e Area de Polıgonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

8.5 Produto Vetorial: Versao Algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

8.6 Torque de uma Forca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

8.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

9 Retas e Planos 167

9.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

9.2 Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

9.2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

9.2.2 Retas no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

9.2.3 Retas no Espaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

9.3 Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

9.3.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

9.3.2 Equacoes do Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

9.3.3 Justificativa da Equacao Geral do Plano . . . . . . . . . . . . . . . 184

9.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

10 Posicao Relativa: Disposicao, Angulos e Distancias 189

10.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

10.2 Distancia de Ponto a Ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

10.3 Distancia de Ponto a Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

10.4 Distancia de Ponto a Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

10.5 Posicao Relativa entre Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

10.5.1 Posicao Relativa entre Retas no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . 196

10.5.2 Posicao Relativa entre Retas no Espaco . . . . . . . . . . . . . . . . 201

10.6 Posicao Relativa entre Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

10.6.1 Disposicao entre Dois Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

10.6.2 Angulo entre Dois Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

10.6.3 Distancia entre Dois Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

10.7 Posicao Relativa entre Reta e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

10.7.1 Disposicao entre Reta e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

10.7.2 Angulo entre Reta e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

iv

10.7.3 Distancia entre Reta e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

10.8 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

v

Capıtulo 1

As Grandezas Vetoriais

1.1 Introducao

Ao estudarmos a Algebra Vetorial queremos entender, definir e aprender o que sao

segmentos orientados, pontos e vetores e como representa-los geometrica e algebricamente,

bem como queremos aprender a trabalhar e realizar as diversas operacoes matematicas

com estes elementos matematicos e estudar as principais aplicacoes destas operacoes.

Em nosso livro, a comecar por este capıtulo, vamos estudar, definir e discutir as

grandezas vetoriais, entender as diferencas entre elas e as grandezas escalares e aprender

a realizar as principais operacoes aritmeticas com essas grandezas vetoriais. Assim, neste

capıtulo inicial, aprenderemos a classificar e deferenciar dois tipos de grandezas vetoriais,

os segmentos orientados e os vetores, e, nos capıtulos seguintes, aprendermos a trabalhar

e operar com os vetores.

1.2 Grandezas Escalares versus Grandezas Vetoriais

Antes de comecarmos a classificar os tipos de grandezas vetorias, representa-las e a

operar com elas, precisamos saber o que sao essas grandezas vetoriais e perceber a diferenca

entre grandezas vetoriais e grandezas escalares.

Algumas grandezas podem ser totalmente caracterizadas por sua intensidade ou mag-

nitude associada a uma unidade. Estas grandezas sao chamadas grandezas escalares.

1

Como exemplos deste tipo de grandeza podemos citar:

1. o comprimento de um terreno. 20m;

2. a temperatura da sala: 21oC;

3. a duracao de uma aula: 50min;

4. a altura de uma pessoa;

5. a massa de um objeto;

6. a diferenca de potencial eletrico.

Assim temos que, por definicao, as grandezas que podem ser completamente definidas

por sua magnitude sao chamadas de grandezas escalares.

As grandezas escalares, como vimos pelos exemplos, sao onipresentes em nosso dia-

a-dia. Trabalhar com grandezas escalares e simples e ja estamos bastante acostumados

a trabalhar com elas. Realizar operacoes aritmeticas envolvendo este tipo de grandeza e

realizar operacoes aritmeticas envolvendo numeros reais.

Exemplo:

1. Joao comprou um terreno retangular para contruir a casa de seu sonhos. Sabendo

que o comprimento do terreno e de 20,0 m e que a largura do terreno e de 18,0 m,

calcule a area do terrreno.

Resolucao: Sabemos que a area de um retangulo e o produto de sua largura por

seu comprimento:

A = h · l

Portanto:

A = h · l = 20, 0× 18, 0 = 360m2

Portanto, a area do terreno comprado por Joao para fazer a casa de seus sonhos e

de 360 m2.

2

2. O recorde mundial da maratona e de 2 horas 3 minutos e 28 segundos obtido por

Patrick Makau na maratona de Berlin em 2011. Sabendo que o percurso total da

maratorna e de 42.195 metros, determine a velocidade media de Patrick na prova

em que ele obteve este recorde.

Resolucao: Sabemos que a velocidade media de um movel e dada por:

vm =∆s

∆t

onde ∆s e a distancia percorrida e ∆t e o tempo gasto para percorrer essa distancia.

Assim, como ∆s = 42195 m e ∆t = 7408 s, temos que a velocidade media de Patrick

na maratona em bateu o recorde mundial foi de:

vm =∆s

∆t=

42195

7408∼= 5, 70 m/s

Portanto, a velocidade media de Patrick na prova em que conseguiu o recorde

mundial da maratona foi vm ∼= 5, 70 m/s

Diversos outros problemas e exemplos envolvendo apenas grandezas escalares aparecem

em nosso cotidiano e ja estamos acostumados a trabalhar com esse tipo de grandeza

matematica.

Por outro lado, na maioria dos problemas de Fısica, Matematica e Engenharia, alem

das grandezas escalares, temos que trabalhar com as grandezas vetoriais. Por isto pre-

cisamos entender o que sao esse tipo de grandeza matematica e aprender a trabalhar com

elas.

Diferente das grandezas escalares, ha grandezas que precisam de mais que uma inten-

sidade ou magnitude para serem descritas. Estas precisam de uma intensidade (associada

a uma unidade), de uma direcao e de um sentido para serem totalmente caracterizadas.

Estas grandezas sao chamadas grandezas vetoriais.

Para comecarmos a entender estas grandezas, vamos a um exemplo.

3

Exemplo:

Os irmaos Pedro e Paulo estavam passeando de carro quando este enguicou. Os

irmaos combinaram de empurrar o carro, cada um, com uma forca de 200N para

leva-lo ate o acostamento e, ao descerem do carro, empurraram-no conforme figura

abaixo.

O problema dos irmaos nao foi resolvido!

Pois forca e uma grandeza vetorial, precisamos especificar: intensidade, direcao e

sentido. Especicificar somente a intensidade, como fizeram os irmaos, nao e sufi-

ciente.

A seguir, os irmaos combinaram de cada um aplicar a forca de 200N na direcao hori-

zontal no sentido da esquerda para direita. Assim seus esforcos ficaram organizados

como mostra a figura abaixo:

O problema foi resolvido!

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Como pudemos perceber pelo exemplo acima, para especificar completamente uma

grandeza vetorial precisamos explicitar:

⋄ a intensidade ou o tamanho ou o comprimento ou a magnitude ou a norma;

⋄ a direcao; e

⋄ o sentido.

Neste livro usamos, indiferentemente, as palavras intensidade, tamanho, comprimento,

magnitude e norma para nos referirmos a mesma grandeza: o tamanho de um vetor.

Podemos citar varias grandezas vetorias presentes em nosso dia-a-dia. Vejamos alguns

exemplos simples.

Exemplos:

1. A forca exercida sobre um corpo e uma grandeza vetorial.

Sobre uma bola pendurada no teto atua uma forca de 2N , na direcao vertical, de

baixo para cima.

2. O deslocamento de um corpo e uma grandeza vetorial.

O livro da figura foi deslocado 75 cm sobre a mesa, na direcao horizontal e no sentido

da esquerda para direita.

5

3. A velocidade de um carro e uma grandeza vetorial.

O carro da figura esta a 50 quilometros por hora, na direcao que forma 30◦ com a

horizontal no sentido de baixo para cima.

Apos entendermos, nesta secao, o que sao grandezas vetoriais e observarmos a sua

onipresenca em nosso cotidiano, precisamos classificar e estudar os tipos de grandezas

vetoriais. Na verdade, vamos estudar e trabalhar com dois tipos de grandezas vetoriais:

segmentos orientados; e vetores.

Nosso objetivo principal neste livro e aprender a trabalhar com os vetores, mas nao

vemos sentido em atingir este objetivo sem entendermos, tambem, o que sao segmentos

orientados e quais as diferencas entre vetores e segmentos orientados.

Assim, nas proximas secoes deste capıtulos vamos estudar os conceitos de segmentos

orientados e de vetores. Explicitamente, vamos definir segmento orientado para, a partir

deste conceito, definir vetor.

1.3 Segmentos Orientados

Segmento orientado e um segmento de reta ou um pedaco de reta com um sentido

fixado. Um segmento de reta liga dois pontos do plano ou do espaco tridimensional.

6

Um segmento orientado pode ser definido e define dois pontos: o ponto de inıcio

do segmento que chameremos de ponto inicial e o ponto de termino do segmento que

chamaremos de ponto final.

O segmento orientado que tem o ponto A como ponto inicial e o ponto B como ponto

final sera denotado por:−→AB.

Um segmento orientado tem direcao, sentido e magnitude, mas ele nao e totalmente

determinado por estas suas caracteristıcas pois dois segmentos orientados com mesma

direcao, mesmo sentido e mesmo comprimento que tem, por exemplo, pontos iniciais

diferentes sao segmentos orientados diferentes.

Um segmento orientado e totalmente determinado por seu ponto inicial e seu ponto

final. Dois segmentos orientados com mesmo ponto inicial e ponto final sao o mesmo

segmento orientado.

O ponto inicial e o ponto final de um segmento orientado determinam a direcao,

o sentido e o comprimento deste segmento orientado. Tome por exemplo o segmento

orientado−→AB mostrado na figura abaixo.

Este segmento orientado tem:

⋄ Direcao: a direcao da reta que passa pelos pontos A e B;

⋄ Sentido: do ponto A para o ponto B;

⋄ Norma: o comprimento do segmento de reta AB (medido em cm, mm, m ou outra

unidade qualquer de comprimento).

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Observacoes:

1. O segmento orientado−→AB e diferente do segmento orientado

−→BA. Eles tem a

mesma direcao, e o mesmo comprimento, mas tem sentidos diferentes. Dizemos que−→AB e

−→BA tem sentidos opostos ou que sao vetores opostos.

2. Sera util considerarmos segmentos que tem ponto inicial igual ao ponto final. Dize-

mos que estes segmentos orientados sao ‘degenerados’, pois, na verdade eles nao

sao segmentos orientados. Os segmentos orientados que tem ponto inicial igual

ao ponto final serao denominados de segmentos orientados nulos. Exemplos:−→AA,

−→OO,

−−→BB.

No conjunto dos segmentos orientados vamos definir uma relacao. Dizemos que dois

segmentos orientados se relacionam se eles tem a mesma direcao, o mesmo sentido e o

mesmo comprimento. Se o segmento orientado−→AB se relaciona com o segmento orientado

−−→GH escrevemos

−→AB ∼

−−→GH.

Esta relacao tem propriedades bastante interessantes.

Dados os segmentos orientados−→AB,

−−→CD e

−→EF , temos as seguintes propriedades:

1.−→AB ∼

−→AB.

Propriedade Reflexiva.

2. Se−→AB ∼

−−→CD entao

−−→CD ∼

−→AB

Propriedade Simetrica.

3. Se−→AB ∼

−−→CD e

−−→CD ∼

−→EF , entao

−→AB ∼

−→EF .

Propriedade Transitiva.

Quando uma relacao tem as propriedades reflexiva, simetrica e transitiva dizemos

que esta relacao e uma relacao de equivalencia. A relacao entre segmentos orientados,

definida acima e uma relacao de equivalencia. Esta relacao de equivalencia ‘divide’ ou par-

ticiona o conjunto dos segmentos orientados em subconjuntos que sao chamados classes

de equivalencia ou classes de equipolencia. Esta ‘divisao’ e uma ‘boa’ divisao pois,

cada segmento orientado pertence a uma, e somente uma, classe de equivalencia.

As relacoes de equivalencia foram apresentadas aqui apenas como uma curiosidade

para maiores detalhes voce pode consultar um livro de mais avancado de Algebra.

8

1.4 Vetores

Um vetor e o conjunto de todos os segmentos orientados do espaco que tem mesma

direcao, mesmo sentido e mesmo comprimento. Neste caso, cada segmento orientado e

chamado de representante do vetor.

Chamamos de espaco vetorial e denotamos por V o conjunto de todos os vetores no

plano ou no espaco tridimensional.

Em geral, usaremos letras minusculas, do nosso alfabeto, com uma seta em cima para

designar um vetor.

Por exemplo, as grandezas a seguir sao vetores: −→v , −→u e −→w .

Alguns autores usam letras minusculas, do nosso alfabeto, em negrito para designar

vetores. Nesse caso terıamos como exemplo de representacao de vetores v, u e w.

Em nosso livro, nao vamos usar notacao de vetores em negrito por entendermos que

causa causa confusao e problemas ao estudante tentar representar vetores usando essa

notacao ao escrever ‘a mao’ em cadernos de anotacoes, testes e provas.

O conceito de vetor e, em algum sentido, parecido e algumas vezes ate confundido com

o conceito de segmento orientado. Mas, existem diferencas.

As principais diferencas entre segmentos orientados e vetores estao listadas a seguir:

i. Um segmento orientado tem lugar fixo no plano ou no espaco. Enquanto um vetor

nao tem lugar fixo no plano ou no espaco.

ii. Um segmento orientado nao e totalmente caracterizado por sua direcao, seu sentido

e seu comprimento. Ja um vetor e totalmente caracterizado por sua direcao, seu

sentido e seu comprimento.

iii. Um segmento orientado esta totalmente caracterizado por seu ponto inicial e por

seu ponto final. E um vetor nao tem ponto inicial fixo ou ponto final fixo no espaco.

iv. Um segmento orientado nao ‘anda’ no espaco, o segmento orientado esta fixado no

espaco, tem um ponto inicial A e um ponto final B fixos no plano ou no espaco. E

um vetor ‘anda’ no espaco, ou seja, fixado um vetor e dado um ponto A existe um

representante deste vetor que tem ponto inicial em A, e dado um ponto B existe

um representante deste vetor que tem ponto inicial em B .

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Exemplos

1. Um segmento orientado com:

• Direcao: horizontal,

• Sentido: orientado da esquerda para direita

• Comprimento: 1 cm,

• Pontos inicial e final: inıcio no ponto A e termino no ponto B.

NAO E IGUAL

A um segmento orientado com:



• Comprimento: 1 cm,

• Pontos inicial e final: inıcio no ponto C e termino no ponto D (A = C e

B = D).

Assim:

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2. Um segmento orientado com:



• Comprimento: 1cm,

• Pontos inicial e final: inıcio no ponto A e termino no ponto B.

REPRESENTA O MESMO VETOR

Que um segmento orientado com:



• Comprimento: 1cm,

• Pontos inicial e final: inıcio no ponto C e termino no ponto D (A = C e

B = D).

Assim:

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Do exposto ate o momento, podemos apresentar o seguinte conceito para vetor.

Vetor: e o conjunto de todos segmentos orientados de mesma direcao, mesmo sentido

e mesmo comprimento.

E com a relacao de equivalencia que definimos no conjunto dos segmentos orientados,

na secao anterior, podemos completar a definicao de vetor definindo um vetor como uma

classe de equivalencia ou classe de equipolencia.

Esta e uma definicao, matematicamente, mais precisa. Com esta definicao, vetor,

por ser uma classe de equivalencia, ja tem varias propriedades. Mas, para um primeiro

curso de graduacao podemos ficar com a definicao de vetor como conjunto de segmentos

orientados com mesma direcao, mesmo sentido e mesmo comprimento.

Exemplos

1. Na figura abaixo contida no plano (IR2) temos 30 segmentos orientados. Quantos

vetores temos na figura?

Resposta: Destacando com cores diferentes os diferentes vetores (ver figura a

seguir) vemos que ha 5 vetores na figura.

12

2. Na figura abaixo contida no espaco tridimensional (IR3) temos 20 segmentos orienta-

dos. Quantos vetores temos na figura? (Obs.: Apesar de ser uma figura no espaco,

para facilitar a visualizacao, os vetores nao foram desenhados em profundidade.)

Resposta: Novamente, marcamos os vetores diferentes com cores diferentes (ver

figura a seguir). Desta forma percebemos que ha 4 vetores na figura.

13

3. Na figura abaixo temos um cubo, onde marcamos 12 segmentos orientados. Quantos

vetores temos?

Resposta: Marcando os vetores diferentes com cores diferentes (ver figura a seguir),

percebemos que ha 7 vetores na figura.

14

Vamos querer fazer operacoes com vetores, assim vamos estudar e estruturar melhor

o conjunto V de todos os vetores no espaco.

1. Se −→v e um vetor, ou seja, −→v ∈ V entao −→v e um conjunto de segmentos orientados.

Cada elemento de V e um conjunto. V e um conjunto de conjuntos.

2. Se−→v e um vetor, entao−→v e um conjunto de segmentos orientados, todos com mesma

direcao, mesmo sentido e mesmo tamanho. Cada elemento de −→v e denominado

representante de −→v .

Muitas vezes, inclusive nas operacoes entre vetores, usaremos representantes dos ve-

tores.

Dado um vetor −→v e fixado um ponto A no espaco, existe um representante de −→v que

tem inıcio em A. Fixado outro ponto B, temos outro representante de −→v que tem inıcio

em B. Por isso, algumas vezes dizemos que vetor ‘anda’ no espaco.

Dado um vetor, −→v ∈ V definimos:

⋄ Direcao: A direcao do vetor−→v e a direcao de um, ou seja, de qualquer representante

deste vetor.

⋄ Sentido: O sentido do vetor −→v e o sentido de um dos representantes deste vetor.

⋄ Norma: A norma ou modulo de −→v e o comprimento ou tamanho de um dos

representantes deste vetor. A notacao que vamos usar para norma do vetor −→v e

|−→v |.

Exemplo: Considere o cubo da figura abaixo com vertices ABCDEFGH.

i) Os segmentos orientados−→AB,

−−→DC,

−→EF,

−−→HG sao alguns dos representantes de um

vetor que denotaremos por −→u .

ii) Os segmentos orientados−→BA,

−−→CD,

−→FE,

−−→GH sao alguns dos representantes de um

vetor que denotaremos por −→w .

iii) Os segmentos orientados−→AE,

−→CG,

−−→DH,

−−→BF sao alguns dos representantes de um

vetor que denotaremos por−→t .

iv) Os segmentos orientados−−→EC,

−→GA nao sao representantes de um unico vetor, eles

representam vetores distintos. Tambem nao confundir os segmentos orientados−−→HB

e−−→FD.

Estes vetores sao destacados nos cubos da figura abaixo.

15

1.5 Exercıcios

1. Com sua palavras, diga quais as principais diferencas entre:

a) grandezas escalares e grandezas vetoriais;

b) segmentos orientados e vetores.

16

2. Considere o segmento orientado−→AB. Como voce definiria sua:

a) magnitude;

b) direcao;

c) sentido.

3. Considere o cubo da figura a seguir.

a) Se−−→GH representa o vetor −→v , que outros segmentos orientados podem ser

marcados no cubo e representam o vetor −→v ?

b) Se−−→DA representa o vetor −→w , que outros segmentos orientados podem ser mar-

cados no cubo e representam o vetor −→w ?

c) Se−−→EG representa o vetor −→u , que outros segmentos orientados podem ser mar-

cados no cubo e representam o vetor −→u ?

d) Se−−→ED representa o vetor −→r , que outros segmentos orientados podem ser mar-

cados no cubo e representam o vetor −→r ?

e) Se−−→BH representa o vetor −→s , que outros segmentos orientados podem ser

marcados no cubo e representam o vetor −→s ?

∗ ∗ ∗

17

Capıtulo 2

Sistema de Coordenadas Cartesianas

No capıtulo anterior comecamos a estudar os vetores e a entender sua definicao

matematica, bem como aprendemos as diferencas entre vetores e segmentos orientados

e o que e espaco vetorial. Porem, para que nos proximos capıtulos possamos realizar

operacoes aritmeticas envolvendo vetores, precisamos aprender a localizar e representar

os vetores e outros elementos da Algebra Vetorial no plano e no espaco. Por isto, neste

capıtulo, vamos apresentar aos estudantes a nocao de sistemas de coordenadas cartesianas

no plano e no espaco e veremos como localizar pontos e a calcular a distancia entre eles,

tanto no plano quanto no espaco.

Devemos lembrar que existem varios outros sistemas de coordenadas, mas o sistema

cartesiano e o mais usado e neste livro vamos nos ater exclusivamente a este tipo de

sistema de coordenadas.

2.1 Sistema de Coordenadas Cartesianas no Plano

Para localizar pontos, vetores, retas e outros elementos no plano usaremos a nocao

de Sistema de Coordenadas Cartesianas no Plano. Este sistema de coordenadas

tambem e chamado de Sistema de Coordenadas Retangulares, pois os eixos formam

angulos de 90◦ entre si.

18

2.1.1 Definicao

Para definir o sistema de coordenadas cartesianas no plano:

1. Fixamos um ponto no plano que sera chamado de origem e sera denotado por O.

2. Escolhemos duas retas do plano (que denotaremos por x e y) perpendiculares, que

passem pela origem O. Chamaremos estas retas de eixos: eixo x e eixo y. Em geral,

escolhemos uma reta horizontal, que chamamos de eixo x e uma reta vertical que

chamamos de eixo y.

3. Para cada um dos eixos fixamos um sentido que sera considerado positivo. Em geral,

da esquerda para a direita para o eixo x e de baixo para cima, para o eixo y.

4. Para cada um dos eixos definimos uma escala, associando assim cada ponto do eixo

a um numero real. Associamos a origem O ao numero zero 0. A partir da origem, no

sentido positivo do eixo associamos, de forma crescente, os numeros reais positivos.

E a partir da origem no sentido negativo (sentido oposto ao positivo) associamos,

de forma decrescente, os numeros reais negativos.

Os procedimentos descritos acima nos dao o sistema de eixos coordenados onde a

origem e a interseccao dos eixos. Este sistema de coordenadas esta esquematizado na

figura a seguir.

Neste texto escolhemos sempre escalas iguais para o eixo x e y. As escalas dos eixos

podem ser diferentes. Quando escolhemos escalas diferentes para os eixos muitas das

formulas usadas tambem serao diferentes.

19

2.1.2 Localizando pontos no plano

Definido o sistema de coordenadas que vamos utilizar precisamos aprender a localizar

objetos e elementos da Algebra Vetorial neste sistema de coordenadas e definir o que serao

as coordenadas desses elementos.

Vamos considerar, inicialmente, um ponto e aprender a localiza-lo e a determinar suas

coordenadas em nosso sistemas de coordenadas cartesianas no plano.

Fixado um ponto A do plano, chamaremos de:

⋄ y′ a reta paralela ao eixo y que passa por A,

⋄ Ax o ponto de interseccao entre esta reta e o eixo x.

A coordenada xA (componente do ponto A em relacao ao eixo x) e o numero associado

ao ponto Ax. Ela e chamada de abscissa do ponto A.

Analogamente, fixado um ponto A do plano, chamaremos de:

⋄ x′ a reta paralela ao eixo x que passa por A,

⋄ Ay o ponto de interseccao entre esta reta e o eixo y.

20

A coordenada yA (componente do ponto A em relacao ao eixo y) e o numero associado

ao ponto Ay. Ela e chamada de ordenada do ponto A.

Assim, cada ponto A do plano sera associado a um par de numeros reais xA e yA.

Chamamos (xA, yA) ∈ IR2 de coordenadas ou componentes cartesianas do ponto A no

plano. Chamamos xA ∈ IR de abscissa do ponto A. E yA ∈ IR de ordenada do ponto

A.

O ponto A sera representado por A = (xA, yA).

Alguns autores representam o ponto A e suas coordenadas com a notacao A(xA, yA).

Notacao que nao sera usada nesse livro, mas que citamos para que os estudantes esteja

cientes se, por ventura, depararem-se com ela em outros textos.

Apos apresentadas estas nocoes sobre sistemas de coordenadas cartesianas no plano

vamos aprender, com os exemplos a seguir, a localizar pontos e regioes de pontos no plano

cartesiano.

21

Exemplos:

1. Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, representemos os pontos:

a) A = (0, 3);

b) B = (−2,−4);

c) C = (0, 2);

d) D = (3,−5);

e) E = (1, 6);

f) F = (−4, 0);

g) G = (−1, 1);

h) O = (0, 0);

i) H =(0,−1

3

).

Na figura a seguir e mostrada a localizacao destes pontos no sistema de coordenadas

cartesianas no plano.

22

2. Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano IR2, represente as estruturas

geometricas descritas algebricamente abaixo:

a) Todos os pontos do plano com abcissa igual a zero, ou seja, x = 0.

Resposta: Estes pontos correspondem ao eixo y, destacado na figura a seguir.

b) Todos os pontos do plano com ordenada igual a zero, ou seja, y = 0.

Resposta: Estes pontos correspondem ao eixo x, destacado na figura a seguir.

c) Todos os pontos do plano com abcissa igual a um, ou seja, x = 1.

Resposta: Estes pontos correspondem a reta paralela ao eixo y e destacada

na figura a seguir.

23

d) Todos os pontos do plano com abcissa igual a ordenada, ou seja, x = y.

Resposta: Estes pontos correspondem a reta destacada na figura a seguir.

e) Todos os pontos do plano que distam 1u.c. do ponto P = (−2, 1).

Resposta: Estes pontos correspondem a circunferencia de raio 1 e centrada

no ponto P = (−2, 1).

f) Todos os pontos do plano que distam 1u.c. do ponto P = (−2, 1) e distam

3u.c. do ponto Q = (−1,−2).

Resposta: Estes pontos obedecem, simultaneamente, a equacao das duas cir-

cunferencias especificadas. Portanto, sao as interseccoes entre as duas circun-

ferencias que sao os dois pontos marcados na figura a seguir.

24

g) Todos os pontos do plano que satisfazem as inequacoes x ≤ −3, y ≥ 0 e distam

no maximo 4u.c. da origem O = (0, 0).

Resposta: A regiao explicitada esta marcada na figura a seguir.

Note que os pontos da fronteira da regiao fazem parte da area marcada. Se

tivessemos no enunciado pontos x < −3, y > 0 e que distam menos de 4u.c.

da origem, a fronteira da regiao estaria tracejada na figura e nao faria parte da

regiao marcada.

2.1.3 Divisao do plano em quadrantes

Quando fixamos um sistema de coordenadas no plano IR2 dividimos o plano em quatro

quadrantes, cujos limites podem ser definidos, matematicamente, da seguinte maneira.

⋄ Primeiro Quadrante: {(x, y) ∈ IR2 | x > 0 e y > 0}.

⋄ Segundo Quadrante: {(x, y) ∈ IR2 | x < 0 e y > 0}.

⋄ Terceiro Quadrante: {(x, y) ∈ IR2 | x < 0 e y < 0}.

⋄ Quarto Quadrante: {(x, y) ∈ IR2 | x > 0 e y < 0}.

Estes quadrantes estao destacados e nomeados na figura a seguir.

25

2.1.4 Distancia entre dois pontos do plano

Tendo aprendido a localizar pontos no plano cartesiano, faz-se necessario aprendermos

a calcular a distancia entre dois pontos quaisquer deste plano.

Assim, fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano IR2, vamos deduzir a

formula matematica para a distancia entre dois pontos.

Sejam A = (xA, yA) e B = (xB, yb) dois pontos do plano.

26

Sejam:

⋄ s a reta que passa pelos pontos A e B;

⋄ r a reta que passa por B e e paralela ao eixo y;

⋄ t a reta que passa por A e e paralela ao eixo x;

⋄ C = (xC , yC) o ponto de interseccao entre as retas r e t.

As retas r, s e t e o ponto C estao marcados na figura a seguir.

Assim, podemos aplicar o Teorema de Pitagoras no triangulo retangulo ABC para

determinar a distancia entre A e B.

Usando d(A,B) para indicar a distancia entre os pontos A e B temos:

[ d(A,B) ]2 = |xB − xA|2 + |yB − yA|2

Ou seja,

d(A,B) =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2 (2.1)

27

Exemplos

1. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, determine a

distancia entre os pontos A e B:

a) A = (0, 0) e B = (1, 1).

Resolucao: Usando que:

d(A,B) =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2

obtemos, imediatamente que:

d(A,B) =√

(1− 0)2 + (1− 0)2 =√

1 + 1

d(A,B) =√2 u.c.

b) A = (0, 0) e B = (−1,−1).

Resolucao: Analogamente ao item (a), temos que

d(A,B) =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2

d(A,B) =√

(−1− 0)2 + (−1− 0)2 =√

1 + 1

d(A,B) =√

2 u.c.

c) A = (1, 0) e B = (3,−1).

Resolucao: Para os pontos A e B deste item temos:

d(A,B) =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2

d(A,B) =√

(3− 1)2 + (−1− 0)2 =√

4 + 1

d(A,B) =√5 u.c.

d) A = (1,−1) e B = (−3,−1).

Resolucao:

d(A,B) =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2

d(A,B) =√

(−3− 1)2 + (−1− (−1))2 =√

(−4)2 + 02

d(A,B) =√16 = 4 u.c.

28

e) A = (1,−3) e B = (−3,−1).

Resolucao:

d(A,B) =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2

d(A,B) =√

(−3− 1)2 + (−1− (−3))2 =√

(−4)2 + (−1 + 3)2

d(A,B) =√

16 + 4 =√

20

d(A,B) = 2√

5 u.c.

2. Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, para cada afirmacao

abaixo, esboce uma figura e apresente uma equacao para representa-la.

a) A distancia entre o ponto (x, y) e o ponto (2, 1) e de 3u.c..

Resolucao: O ponto (x, y) corresponde a todos os pontos do plano que distam

3 u.c. do ponto (1, 2). Sao os pontos da circunferencia representada na figura.

Como

d(A,B) =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2

3 =√

(1− x)2 + (2− y)2

Assim, vemos que todos os pontos da circunferencia obedecem a equacao:

(1− x)2 + (2− y)2 = 9

ou

(x− 1)2 + (y − 2)2 = 9

29

b) A distancia entre o ponto (x, y) e o ponto (10,−5) e de 15u.c..

Resolucao: O ponto (x, y) corresponde a todos os pontos do plano que distam

15 u.c. do ponto (10,−5). Sao os pontos da circunferencia representada na

figura.

Como

d(AB) = 15 =√

(10− x)2 + (−5− y)2

Mas (−5− y)2 = (5 + y)2

Assim, os pontos da circunferencia obedecem a equacao:

(10− x)2 + (5 + y)2 = 225

ou

(x− 10)2 + (y + 5)2 = 225

c) A distancia entre o ponto (x, y) e o ponto (xc, yc) e de R unidades de compri-

mento.

Resolucao: Esta circunferencia geral esta esquematizada na figura abaixo.

30

Para os pontos desta circunferencia, temos que:

(xc − x)2 + (yc − y)2 = R2

ou

(x− xc)2 + (y − yc)

2 = R2

que e a equacao geral de uma circunferencia de raior R centrada no ponto

Pc = (xc, yc).

3. Dadas as equacoes de circunferencia abaixo, determine as coordenadas do centro da

circunferencia e o seu raio.

a) (x− 3)2 + (y + 2)2 = 16

Resolucao: Comparando a equacao acima com a equacao geral da circun-

ferencia temos que o centro da circunferencia e o ponto Pc = (3,−2) e raio

R = 4u.c..

b) (x+ 1)2 + (3− y)2 = 25

Resolucao: A equacao acima pode ser reescrita na forma:

(x+ 1)2 + (y − 3)2 = 25

Neste caso, temos que o centro da circunferencia e o ponto Pc = (−1, 3) e raio

R = 5u.c..

31

c) x2 + 4x+ y2 = 0

Resolucao: Os termos na variavel x da equacao acima podem ser reescritos,

a partir da operacao completar quadrados, como sendo:

x2 + 4x = x2 + 4x+ 4− 4 = (x+ 2)2 − 4

Portanto, a equacao da circunferencia acima, pode ser escrita como:

(x+ 2)2 − 4 + y2 = 0 ⇒ (x+ 2)2 + y2 = 4

Assim, o centro da circunferencia e o ponto Pc = (−2, 0) e o raio da circun-

ferencia e R = 2u.c..

4. Calcule o perımetro do triangulo com vertices nos pontos A = (1, 1), B = (2, 0) e

C = (0, 2).

Resolucao: Podemos usar a distancia entre pontos para calcular o perımetro de

polıgonos que tenham vertices em pontos conhecidos.

Assim, o perımetro do triangulo com vertices A, B e C sera dado por:

p = d(AB) + d(BC) + d(CA)

Calculando as distancias em separado:

d(AB) =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2 =√

(2− 1)2 + (0− 1)2 =√2

d(BC) =√

(xC − xB)2 + (yC − yB)2 =√

(0− 2)2 + (2− 0)2 = 2√2

d(CA) =√

(xA − xC)2 + (yA − yC)2 =√

(1− 0)2 + (1− 2)2 =√2

O que nos fornece para o perımetro do triangulo:

p = d(AB) + d(BC) + d(CA) =√2 + 2

√2 +

√2

p = 4√2 u.c.

O perımetro de outros polıgonos com vertices em pontos conhecidos pode ser cal-

culado pelo mesmo procedimento.

32

2.2 Sistema de Coordenadas Cartesianas no Espaco

2.2.1 Definicao

Para localizar pontos no espaco IR3 vamos estender a nocao de sistema de coordenadas

cartesianas do plano, discutida e apresentada na secao anterior, para o espaco.

O procedimento para definicao do sistema de coordenadas no espaco e analogo ao

procedimento para definir o sistema de coordenadas cartesianas no plano. Assim, vamos:

1. Fixar um ponto no plano que sera a origem O.

2. Escolher tres retas do espaco, perpendiculares duas a duas, que passem por O, que

serao os eixos x, y e z.

3. Para cada um dos eixos x, y e z fixamos um sentido que sera considerado positivo.

4. Para cada um dos eixos x, y e z definimos uma escala.

33

O sistema de coordenadas cartesiana no espaco IR3 definido pelo procedimento descrito

acima esta esquematizado na figura a seguir.

2.2.2 Localizando pontos no espaco

Definido o sistema de coordenadas que vamos utilizar para representar o espaco, pre-

cisamos aprender a localizar objetos e elementos da Algebra Vetorial neste sistema de

coordenadas e definir o que serao as coordenadas desses elementos.

Vamos considerar, inicialmente, um ponto e aprender a localiza-lo e a determinar

suas coordenadas em nosso sistemas de coordenadas cartesianas no espaco. Como todos

os outros elementos sao formados e/ou definidos por pontos, poderemos localizar outros

elementos a partir da localizacao de seus pontos.

Fixado um ponto A do espaco, chamaremos de:

⋄ x′ a reta paralela ao eixo x que passa por A,

⋄ y′ a reta paralela ao eixo y que passa por A,

⋄ z′ a reta paralela ao eixo z que passa por A,

⋄ Ax o ponto de interseccao entre a reta x′ e o plano yz

34

⋄ Ay o ponto de interseccao entre a reta y′ e o plano xz

⋄ Az o ponto de interseccao entre a reta z′ e o plano xy

As coordenadas do ponto A no espaco tridimensional serao os numeros xA, yA e zA.

O ponto A e suas coordenadas, as retas x′, y′ e z′ e os pontos Ax, Ay e Az estao

marcados na figura abaixo.

Para o ponto A = (xA, yA, zA) ∈ IR3, temos que:

• xA e chamada abscissa do ponto A,

• yA e chamada ordenada do ponto A,

• zA e chamada cota do ponto A.

Exemplos

1. Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaco tridimensional, represen-

tamos os pontos:

a) A = (0, 3, 1),

b) B = (−2,−4,−1),

c) C = (0, 2, 0),

35

d) D = (3,−5, 4),

e) E = (1, 6,−1),

f) F = (−4, 0, 2),

g) G = (−1,−1, 1),

h) O = (0, 0, 0).

Resposta: Estes pontos estao marcados nos graficos da figura a seguir.

36

2. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaco tridimensional

IR3 represente as estruturas geometricas descritas algebricamente abaixo:

a) Todos os pontos com abcissa igual a zero, ou seja, x = 0.

Resposta: A regiao destada na figura a seguir representa todos os pontos que

obedecem a esta condicao, ou seja, os pontos do plano yz sao os pontos do

espaco com abcissa nula.

b) Todos os pontos com ordenada igual a zero, ou seja, y = 0.

Resposta: Os pontos com y = 0 sao os pontos do plano xy. Este plano esta

destacado na figura abaixo.

37

c) Todos os pontos com abcissa igual a zero e com ordenada igual a zero, ou seja,{x = 0

y = 0.

Resposta: Sao os pontos que estao sobre o eixo z, que esta destacado na

figura a seguir.

d) Todos os pontos com abcissa igual a ordenada, ou seja, x = y.

Resposta: Sao os pontos que pertencem ao plano que e paralelo ao eixo z e

que faz um angulo de 45o com o eixo x e tambem com o eixo y. Este plano

esta esquematizado na figura a seguir.

38

e) Todos os pontos que distam 4u.c. do ponto P = (−3, 6, 3).

Resposta: Estes pontos estao na superfıcie esferica de raio R = 4 u.c. e

centrada no ponto P = (−3, 6, 3). Esta esfera e mostrada na figura a seguir.

f) Todos os pontos que distam 4u.c. do ponto P = (−3, 6, 3) e tem cota igual a

zero z = 0.

Resposta: Sao os pontos da interseccao entre a superfıcie esferica de raio

R = 4 u.c. e centrada no ponto P = (−3, 6, 3) e o plano xy, ou seja,sao os

pontos da circunferencia destacada na figura a seguir.

39

g) Todos os pontos que distam 4u.c. do ponto P = (−3, 6, 3) e tem cota igual a

menos um (z = −1).

Resposta: Ha um unico ponto que pertence a superficie esferica de raio R =

4 u.c. e tem z = −1, que e o ponto S = (−3, 6,−1) destacado na figura abaixo.

3. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas, apresente uma equacao, ou

um conjunto de equacoes que caracterizem as estruturas geometricas:

a) Os pontos do eixo x.

Resposta: y = 0 e z = 0, ou seja,

{y = 0

z = 0.

b) Os pontos do eixo y.

Resposta: x = 0 e z = 0, ou seja,

{x = 0

z = 0.

c) Os pontos do eixo z.

Resposta: x = 0 e y = 0, ou seja,

{x = 0

y = 0.

d) Os pontos do plano xy (ou plano Oxy).

Resposta: z = 0.

e) Os pontos do plano xz.

Resposta: y = 0.

f) Os pontos do plano yz.

Resposta: x = 0.

g) Os pontos do plano perpendicular ao eixo x no ponto x = 2.

Resposta: x = 2.

40

2.2.3 Divisao do espaco em octantes

Quando fixamos um sistema de coordenadas no espaco IR3, estamos dividindo o espaco

tridimensional em oito octantes. Esses octantes estao matematicamente caracterizados

de acordo com a divisao a seguir.

⋄ Primeiro Octante: {(x, y, z) ∈ IR3 | x > 0, y > 0 e z > 0}

⋄ Segundo Octante: {(x, y, z) ∈ IR3 | x > 0, y < 0 e z > 0}

⋄ Terceiro Octante: {(x, y, z) ∈ IR3 | x < 0, y < 0 e z > 0}

⋄ Quarto Octante: {(x, y, z) ∈ IR3 | x < 0, y > 0 e z > 0}

⋄ Quinto Octante: {(x, y, z) ∈ IR3 | x > 0, y > 0 e z < 0}

⋄ Sexto Octante: {(x, y, z) ∈ IR3 | x > 0, y < 0 e z < 0}

⋄ Setimo Octante: {(x, y, z) ∈ IR3 | x < 0, y < 0 e z < 0}

⋄ Oitavo Octante: {(x, y, z) ∈ IR3 | x < 0, y > 0 e z < 0}

Na figura abaixo temos esquematizada uma representacao grafica destes octantes.

41

2.2.4 Distancia entre Dois Pontos do Espaco

Agora que sabemos localizar pontos no espaco, precisamos aprender a calcular a

distancia entre dois pontos quaisquer presentes neste espaco e com coordenadas expressas

em termos de coordendas cartesianas.

A expressao matematica para a distancia entre dois pontos no espaco e uma extensao

natural da expressao para a distancia entre dois pontos no plano.

Assim, fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaco tridimensional IR3 e

dados os pontos A = (xA, yA, zA) e B = (xB, yb, zB), a distancia entre A e B e dada por:

d(A,B) =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2 (2.2)

Dadas as coordenadas de dois pontos quaisquer no espaco podemos usar a expressao

dada pela equacao (2.2) para calcular a distancia entre esses pontos.

Vamos treinar um pouco fazendo os exemplos a seguir.

Exemplos

1. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaco, determine a

distancia entre os pontos A e B:

a) A = (0, 0, 0) e B = (1, 1, 1).

Resolucao: Usando a expressao para a distancia entre pontos no espaco

(equacao (2.2)), temos que:

d(A,B) =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2

d(A,B) =√

(1− 0)2 + (1− 0)2 + (1− 0)2 =√

3 u.c.

b) A = (0, 0, 0) e B = (−1,−1,−1).

Resolucao: Pela equacao (2.2) temos que:

d(A,B) =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2

d(A,B) =√

(−1− 0)2 + (−1− 0)2 + (−1− 0)2 =√

1 + 1 + 1

d(A,B) =√3 u.c.

c) A = (1, 0,−2) e B = (3,−1,−3).

Resolucao:Pela equacao (2.2) temos que:

d(A,B) =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2

d(A,B) =√

(3− 1)2 + (−1− 0)2 + (−3− (−2))2

d(A,B) =√

4 + 1 + 1 =√

6 u.c.

42

d) A = (1, 0, 0) e B = (−3, 0, 0).

Resolucao: Da equacao (2.2) temos que:

d(A,B) =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2

d(A,B) =√

(−3− 1)2 + (0− 0)2 + (0− 0)2 =√16 + 0 + 0

d(A,B) = 4 u.c.

e) A = (1,−3,−2) e B = (3,−1, 2).

Resolucao: Da equacao (2.2) temos que:

d(A,B) =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2

d(A,B) =√

(3− 1)2 + (−1− (−3))2 + (2− (−2))2

d(A,B) =√4 + 4 + 16 =

√24 = 2

√6 u.c.

d(A,B) = d(A,B) = 2√

6 u.c.

2. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaco, apresente uma

equacao que represente a afirmacao:

a) A distancia entre o ponto (x, y, z) e o ponto (1, 2, 3) e de 10u.c..

Resolucao: O ponto P = (x, y, z) e um ponto qualquer do espaco, assim

fixando em 10 u.c. a distancia de um ponto qualquer do espaco ate o ponto de

coordenadas Q = (1, 2, 3), estamos fazendo de Q o centro de uma esfera de raio

R = 10 u.c. e escrevendo a espressao para a distancia entre P e Q podemos

escrever a equacao de todos os pontos que estao sobre a superfıcie da esfera, ou

seja, estamos escrevendo a equacao da superfıcie esferica de raio R = 10 u.c.

centrada em Q = (1, 2, 3). Vejamos:

d(A,B) =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2

10 =√

(1− x)2 + (2− y)2 + (3− z)2

(1− x)2 + (2− y)2 + (3− z)2 = 100

ou

(x− 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 100

43

b) A distancia entre o ponto (x, y, z) e o ponto (−1, 2,−3) e de 5u.c..

Resolucao: Analogamente ao item (a) temos que:

d(A,B) =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2

5 =√

(−1− x)2 + (2− y)2 + (−3− z)2

(x+ 1)2 + (2− y)2 + (z + 3)2 = 25

ou

(x+ 1)2 + (y − 2)2 + (z + 3)2 = 25

que e a equacao dos pontos da superfıcie esferica de raio R = 5 u.c. e centrada

em Q = (−1, 2− 3).

c) A distancia entre o ponto (x, y, z) e o ponto (xc, yc, zc) e de Ru.c..

Resolucao: Neste caso podemos obter a equacao de uma superfıcie esferica

geral de raio R e centrada no ponto Q = (xc, yc, zc).

d(A,B) =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2

R =√

(xc − x)2 + (yc − y)2 + (zc − z)2

(xc − x)2 + (yc − y)2 + (zc − z)2 = R2

ou

(x− xc)2 + (y − yc)

2 + (z − zc)2 = R2

A equacao acima e a equacao geral de uma esfera de raio R centrada no ponto

Pc = (xc, yc, zc).

3. Dadas as equacoes de esferas abaixo, diga quais sao o raio e o centro de cada esfera.

a) (2− x)2 + y2 + (z + 1)2 = 3

Resolucao: Comparando a equacao acima com a equacao geral de uma esfera,

temos que o centro da esfera e o ponto Pc = (2, 0,−1) e o raio da esfera vale

R =√3u.c..

b) x2 + y2 + z2 − 4x+ 2y = 0

Resolucao: Usando a operacao completar quadrados, podemos escrever:

x2 − 4x = x2 − 4x+ 4− 4 = (x− 2)2 − 4

e tambem:

y2 + 2x = x2 + 2x+ 1− 1 = (y + 1)2 − 1

44

Portanto, a equacao da esfera toma a forma:

x2 + y2 + z2 − 4x+ 2y = 0 ⇒ (x− 2)2 − 4 + (y + 1)2 − 1 + z2 = 0

(x− 2)2 + (y + 1)2 + z2 = 5

O que nos da para o centro da esfera o ponto Pc = (2,−1, 0) e para o raio

R =√5u.c..

4. Determine o perımetro do triangulo de vertices A = (1, 0, 1), B = (2, 3, 1) e C =

(−1, 3, 0);

Resolucao: O perımetro do triangulo com vertices A, B e C e dado por:

p = d(AB) + d(BC) + d(CA)

Calculando as distancias em separado:

d(AB) =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2 ++(zB − zA)2

=√

(2− 1)2 + (3− 0)2 + (1− 1)2 =√10

d(BC) =√

(xC − xB)2 + (yC − yB)2 + (zC − zB)2

=√

(−1− 2)2 + (3− 3)2 + (0− 1)2 =√10

d(CA) =√

(xA − xC)2 + (yA − yC)2 + (zA − zC)2

=√

(1− (−1))2 + (0− 3)2 + (1− (−1))2 =√17

O que nos fornece para o perımetro do triangulo:

p = d(AB) + d(BC) + d(CA) =√10 +

√10 +

√14

p =(2√10 +

√17)

u.c.

45

2.3 Exercıcios

1. Dados os pontos A = (1, 0), B = (−1, 2), C = (3, 3), D = (−2,−3), E = (1, 1) e

F = (−2, 1). Localize-os em um plano cartesiano.

2. Considere o plano cartesiano da figura a seguir onde estao marcados os pontos A,

B, C, D, E, F e G. E escreva as coordenadas desse pontos.

3. Forneca uma descricao geometrica dos conjuntos de pontos no plano cujas coorde-

nadas satisfazem as seguintes equacoes:

a) x = 2 ;

b) x = 2 e y = −3 ;

c) y = −3 ;

d) x2 + y2 = 3 ;

e) 3x2 + 3y2 + 6x = 9 ;

4. Forneca uma descricao geometrica dos conjuntos de pontos no plano cujas coorde-

nadas satisfazem as seguintes inequacoes e/ou conjunto de inequacoes ou equacoes:

a) x ≤ 2 ;

b) x ≤ 2 e y ≥ −3 ;

c) x ≤ 4 e y = −3 ;

d) x2 + y2 = 16, x ≤ 3 e y ≥ 4 ;

e) (x− 1)2 + (y + 2)2 ≥ 4 e (x− 1)2 + (y − 1)2 ≤ 9 ;

46

f) x2 + y2 − 2x+ 4y − 11 ≤ 0 e x ≥ 1 .

5. Dados os pontos A = (1, 0, 1), B = (−2, 1, 2), C = (1, 2, 3), D = (3, 2, 1), E =

(−2,−1, 0) e F = (0,−2, 1), localize-os em um sistema de coordenadas cartesinas

no espaco.[Dica: Para facilitar a visualizacao voce pode localizar dois ou tres pontos

em cada sitema cartesiano.]

6. Forneca uma descricao geometrica dos conjuntos de pontos no espaco cujas coorde-

nadas satisfazem as seguintes igualdades:

a) x = 2 ;

b) x = 4 e y = −3 ;

c) x = 4, y = 0 e z = −2 ;

d) x2 + (y + 3)2 = 16 ;

e) (x− 1)2 + (y + 2)2 + (z + 1)2 = 36 e x = −2 ;

f) z2 + x2 + y2 + 8x− 6y + 21 = 0 ;

g) x2 + y2 − 2x+ 2y − 14 = 0 e z = 2 ;

h) x2 + y2 − 6x+ 9 = 0 .

7. Forneca uma descricao geometrica dos conjuntos de pontos no espaco cujas coorde-

nadas satisfazem as seguintes conjuntos de inequacoes e equacoes:

a) x ≤ 2 ;

b) x ≤ 4 e y = −3 ;

c) x2 + y2 = 16, x ≤ 3 e y ≥ 4 ;

d) x = 2y ;

e) x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 3 ;

f) x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 10 e z = 1 ;

g) x2 + y2 ≤ 4 e z = 2 ;

h) x2 + (y + 1)2 = 4 e 0 ≤ x ≤ 3 ;

i) x2 + y2 + z2 < 25, x ≥ 0, y ≥ 0 e z ≥ 1 .

8. Descreva o conjunto de pontos do plano atraves de equacoes:

a) A reta perpendicular ao eixo y em (0, 2) ;

47

b) A reta paralela ao eixo y que passa pelo ponto (1,−3) ;

c) A circunferencia de raio 4 centrado em (−1,+3) ;

d) Os pontos do plano equidistantes do ponto (2,−1) e do ponto (1, 1) que per-

tencem a reta y = x .

9. Descreva o conjunto de pontos do espaco atraves de equacoes:

a) O plano perpendicular ao eixo x em (0, 1, 2) ;

b) O plano pelo ponto (1, 0, 0) paralelo ao plano xy ;

c) O plano pelo ponto (−1, 2, 4) paralelo ao plano yz ;

d) O cırculo de raio 1 centrado em (−1, 1, 2) pertencente a um plano paralelo ao

plano xz ;

e) A reta pelo ponto 1 (1, 2,−5) paralela ao eixo z ;

f) O conjunto de pontos no espaco equidistantes da origem e do ponto (0, 2, 0) ;

g) O cırculo no qual o plano que passa pelo ponto (1, 1, 3) perpendicular ao eixo

z encontra a esfera de raio 5 centrada na origem.

10. Descreva o conjunto de pontos do espaco atraves de equacoes e/ou inequacoes:

a) A fatia do plano limitada pelas retas x = −2 e x = 1 ;

b) A fatia limitada pelas retas y = −2 e y = 1 ;

c) Os pontos do plano pertencente ao exterior da circunferencia de raio 16 cen-

trada em (-1,2) e ao exterior da circunferencia de raio 4 centrada em (2,-1)

acima da reta y = 2x ;

d) Os pontos do plano pertencente ao interior da circunferencia de raio 16 centrada

em (-1,2) e ao interior da circunferencia de raio 4 centrada em (2,-1) e acima

da reta y = −x .

11. Descreva o conjunto de pontos do espaco atraves de equacoes e/ou inequacoes:

a) A fatia do espaco limitada pelos planos z = 0 e z = 2 (inclusive z = 2);

b) O semi-espaco formado pelos pontos sobre o plano xy e abaixo dele;

c) O interior da esfera de raio 5 centrada em (1, 3,−1) (inclusive);

12. Encontre a distancia entre os pontos A e B:

a) A = (1, 2) e B = (0, 1) ;

48

b) A = (3, 5) e B = (0, 0) ;

c) A = (1, 2, 0) e B = (0, 1, 0) ;

d) A = (3, 5,−8) e B = (0, 0, 0) ;

e) A = (3, 5,−8) e B = (x, y, z) .

13. Encontre o centro e o raio das circunferencias:

a) (x+ 2)2 + (y + 3)2 = 5 ;

b)(x+

√2)2

+

(z +

3

2

)2

= 17 ;

c) x2 + y2 + 6x− 5y − 2 = 0 ;

d) 9x2 + 6x+ 9y2 − 36y + 1 = 0 .

14. Encontre o centro e o raio das esferas:

a) (x− 3)2 + (y + 2)2 + z2 = 25 ;

b)(x+

√3)2

+

(y − 1

4

)2

+

(z −

√2

2

)2

= 7 ;

c) x2 + y2 + z2 − 6y + 8z = 0 ;

a) 3x2 + 3y2 + 3z2 + 2y − 2z = 9 .

15. Encontre o perımetro do triangulo com vertices nos pontos A, B e C:

a) A = (−2, 1), B = (2, 2) e C = (0, 1) ;

b) A = (−2, 1, 0), B = (2, 2,−3) e C = (0, 1, 0) ;

c) A = (−2, 1, 0), B = (2, 2,−3) e C pertence ao eixo z e ao plano 2x+3y+z = 4 ;

16. Mostre que o ponto M = (3, 1) e equidistante dos pontos P1 = (2,−1) e P2 = (4, 3) .

17. Mostre que o ponto M = (3, 1, 2) e equidistante dos pontos P1 = (2,−1, 3) e P2 =

(4, 3, 1) .

18. Encontre a formula da distancia do ponto P = (x, y, z) ao eixo y

19. Determine o perımetro do quadrilatero com vertices nos pontos

a) A = (1, 0, 1), B = (−2, 1, 2), C = (1, 2, 3) e D = (3, 2, 1);

b) A = (1, 1, 1), B = (−1,−1,−3), C = (3, 2, 1) e D = (4, 0,−1).

49

∗ ∗ ∗

50

Capıtulo 3

Vetores no Plano e no Espaco

Dando seguimento aos nossos estudos sobre vetores, vamos aprender neste capıtulo a

localizar vetores no plano e no espaco descritos por um sistema de coordenadas cartesianas,

a escrever as coordenadas de um vetor a partir das coordenadas dos pontos inicial e final

de um segmento orientado que representa este vetor e vamos tambem apresentar, nas

forma geometrica e algebrica, as nocoes de vetor nulo, igualdade entre vetores, norma de

vetor e coplanariedade..

A nocao de vetores paralelos, que tambem e extremamente importante e necessaria

aos nossos estudos de vetores, sera apresentada no proximo capıtulo que e sobre a multi-

plicacao de numero real por vetor, pois assim poderemos apresentar uma definicao matem-

aticamente completa.

Antes de comecarmos, efetivamente, o conteudo deste capıtulo, cabe uma importante

observacao que devera ser considerada em todo o restante do livro.

Quando nao houver nenhum comentario em contrario, vamos sempre con-

siderar que esta fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano ou no

espaco.

3.1 Vetores no Plano

Ao fixarmos um sistema de coordenadas no plano ou no espaco nossas estruturas

geometricas ‘ganham’ representacoes algebricas. Por exemplo, um ponto no plano agora

e representado por uma dupla de numeros reais, uma reta sera representada por uma

equacao, um cırculo por uma inequacao. Dentro deste esquema, queremos saber como

ficam nossos vetores quando fixamos um sistema de coordenadas no plano.

Um vetor −→v , sera representado por uma dupla de numeros reais, que chamaremos

51

de coordenadas. As coordenadas do vetor −→v serao as coordenadas do ponto final do

representante do vetor −→v que tem ponto inicial na origem O = (0, 0) do sistema de

coordenadas.

Na figura a seguir e mostrado o vetor −→v que tem como coordenadas as coordenadas

do ponto P = (xP , yP )

Ou seja, fixado um sistema de coordenadas no plano IR2, um vetor sera representado,

algebricamente, pelas coordenadas do ponto final de seu representante que tem ponto

inicial na origem O = (0, 0).

Exemplos

1. Consideremos um vetor −→v que tenha:

i) Direcao: horizontal,

ii) Sentido: da esquerda para direita,

iii) Norma: 3 u.c.

Este vetor tem um representante com ponto inicial na origem O = (0, 0) e ponto

final em C = (3, 0), como mostrado na figura abaixo.

52

Assim, as coordenadas deste vetor −→v serao: −→v = (3, 0).

2. Sejam A, B, C e D pontos do plano com coordenadas: A = (1, 1), B = (3, 4),

C = (4, 3), D = (2, 0). ABCD e o paralelogramo representado na figura abaixo.

i) Como podemos observar no primeiro plano cartesiano da figura seguinte, o segmento

orientado−→AB e o segmento orientado

−−→DC representam o mesmo vetor −→v . Desen-

hando o representante do vetor −→v que tem ponto inicial na origem O, observamos

que as coordenadas do vetor −→v sao as coordenadas do ponto P = (2, 3). Este

representante do vetor −→v esta desenhado no segundo plano cartesiano da figura a

seguir.

53

Pela figura, vemos que P = (2, 3) e, consequentemente, temos −→v = (2, 3).

ii) O segmento orientado−−→BC e o segmento orientado

−−→DA representam vetores (−→u e −→w ),

que tem a mesma direcao e a mesma magnitude, mas sentidos opostos (neste caso

sao chamados vetores opostos). Podemos observar isto no primeiro plano cartesiano

mostrado na figura a seguir.

Desenhando, no segundo plano cartesiano da figura, os representantes destes vetores,

que tem ponto inicial na origem e observamos que as coordenadas do vetor −→u sao

(1,−1) e do vetor −→w sao (−1, 1), ou seja, −→u = (1,−1) e −→w = (−1, 1).

54

Queremos fazer uma importante observacao nesse momento do texto.

Ao trabalharmos com vetores no plano, em alguns livros, principalmente nos de Fısica,

usa-se para representar um vetor, por exemplo, −→v = (2,−3), a notacao −→v = 2−→i − 3

−→j ,

onde−→i e o vetor unitario (ou vetor com norma igual a um) com a direcao e o sentido do

eixo coordenado x, ou seja,−→i = (1, 0); e o

−→j e o vetor unitario com direcao e sentido

do eixo y positivo, isto e,−→j = (0, 1). As duas notacoes para vetores −→v = (2,−3) e

−→v = 2−→i − 3

−→j sao completamente equivalentes e, mesmo dando preferencia a primeira

em nosso livro, voltaremos a trabalhar com a segunda em alguns dos proximos capıtulos,

principalmente apos estudarmos a soma de vetores quando a segunda notacao ganhara

um significado mais completo.

3.2 Vetores no Espaco

A extensao direta do estudo de vetores no plano e o estudo de vetores no espaco

tridimensional. Assim, precisamos estudar a representacao algebrica dos vetores no espaco

tridimensioal. Ou seja, queremos saber como ficam nossos vetores quando fixamos um

sistema de coordenadas no espaco tridimensional.

Um vetor −→v , sera representado por uma tripla de numeros reais, que chamaremos de

coordenadas.

As coordenadas do vetor −→v serao as coordenadas do ponto final do representante do

vetor −→v que tem ponto inicial na origem O = (0, 0, 0) do sistema de coordenadas. Ou seja,

fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaco IR3, um vetor sera representado,

algebricamente, pelas coordenadas do ponto final de seu representante que tem ponto

inicial na origem O = (0, 0, 0). Na figura a seguir temos a representacao grafica de um

exemplo generico de um vetor −→v = (xP , yP , zP )

55

Exemplo:

1) Considere um vetor −→v com:

⋄ Direcao: paralelo ao eixo z,

⋄ Sentido: da baixo para cima,

⋄ Norma: 4 u.c.

Esse vetor tem um representante com ponto inicial na origem O = (0, 0, 0) e ponto

final em C = (0, 0, 4), como podemos observar na figura seguinte. Assim, o vetor −→vsera representado por −→v = (0, 0, 4).

2. Sejam A, B, C, D, E, F , G e H pontos do plano com coordenadas: A = (1, 1, 0),

B = (3, 4, 0), C = (4, 3, 0), D = (2, 0, 0), E = (1, 1, 1), F = (3, 4, 1), G = (4, 3, 1) e

H = (2, 0, 1).

Estes pontos definem o paralelepıpedo mostrado na figura seguinte. Ou seja,

ABCDEFGH e um paralelepıpedo.

56

Pela figura, vemos que o segmento orientado−→AB e o segmento orientado

−−→DC rep-

resentam o mesmo vetor −→v .

a) Desenhe o representante do vetor −→v que tem ponto inicial na origem O e

observe que as coordenadas do vetor −→v sao as coordenadas do ponto P =

(2, 3, 0).

Resposta: Tomando o representante de −→v que tem como ponto inicial a

origem do sistema de coordenadas, obtemos o vetor representado na figura

abaixo.

b) O segmento orientado−−→EG e o segmento orientado

−→CA representam vetores (

−→u e −→w ), que tem a mesma direcao, sentidos opostos e mesma norma (neste

caso sao chamados vetores opostos).

57

Desenhe o representante destes vetores, que tem ponto inicial na origem e

observe que as coordenadas do vetor −→u sao −→u = (3, 2, 0) e do vetor −→w sao−→w = (−3,−2, 0).

Resposta: Tomando os representantes de −→u e −→w que tem como pontos inici-

ais a origem do sistema de coordenadas, obtemos os vetores representados no

segundo plano cartesiano da figura abaixo, onde no primeiro plano cartesiano

temos a reapresentacao do paralelepıpedo ADCDEFGH.

Devemos observar que, do mesmo jeito que para vetores no plano, pode-se usar que,

por exemplo, −→v = (2,−1, 3) = 2−→i − −→

j + 3−→k , onde

−→i = (1, 0, 0),

−→j = (0, 1, 0) e

−→k = (0, 0, 1). Essa notacao ganha sentido apos definirmos a adicao de vetores em sua

forma algebrica, por isto vamos mante-la em suspenso ate o capıtulo de adicao de vetores.

3.3 Determinando as Coordenadas de um Vetor

Dados os pontos inicial e final de um segmento orientado (no plano ou no espaco)

devemos saber determinar as coordenadas do vetor que tem neste segmento orientado um

de seus representantes.

As coordenadas deste vetor sao obtidas a partir das coordenadas dos pontos inicial e

final do seguimento orientado. Vejamos como.

3.3.1 Determinando as coordenadas de um vetor no plano

Fixado um sistema de coordenadas no plano ou no espaco poderemos calcular as coor-

denads de um vetor subtraindo as coordenadas do ponto inicial das coordenadas do ponto

58

final.

59

Ou seja, no plano: dado o vetor −→v = (v1, v2) se−→AB e um representante deste vetor,

com A = (xA, yA) e B = (xB, yB), temos:

−→v = (v1, v2) = (xB − xA, yB − yA).

Como pode ser observado na figura a seguir:

Vamos a um exemplo para fixar melhor.

Exemplo: Sejam A = (2, 3), B = (5,−2) dois pontos do plano, quais as coorde-

nadas do vetor −→v que tem−→AB como um de seus representantes?

Resolucao: As coordenadas de −→v sao determinadas por:

−→v = B − A = (5,−2)− (2, 3) = (5− 2,−2− 3) = (3,−5).

3.3.2 Determinando as coordenadas de um vetor no espaco

Por extensao, para vetores no espaco podemos definir as coordenadas do vetor da

mesma forma. Assim, dado o vetor −→v = (v1, v2, v3) se−→AB e um representante deste

vetor, com A = (xA, yA, zA) e B = (xB, yB, zB), temos:

−→v = (v1, v2, v3) = (xB − xA, yB − yA, zB − zA).

Muitas vezes, por abuso de linguagem, escrevemos “O vetor−→AB” ou escrevemos que

=−→AB. Pode-se tambem usar a notacao de Grassmann para vetores: −→v = B − A.

Vamos a um exemplo.

60

Exemplo: Sejam A = (2, 3,−1), B = (5,−2,−5) dois pontos do espaco, quais as

coordenadas do vetor −→v que tem−→AB como um de seus representantes?

Resolucao:

−→v = B − A = (5,−2,−5)− (2, 3,−1) =(5− 2,−2− 3,−1− (−5)

)−→v = (3,−5, 4).

3.4 Vetor Nulo

A partir do proximo capıtulo estudaremos as operacoes envolvendo vetores. Queremos

que estas operacoes sejam fechadas. Ou seja, queremos, por exemplo, que: a soma de dois

vetores sempre resulte em um vetor; a multiplicacao de um numero real por um vetor

sempre resulte em um vetor.

Para isto, precisamos definir o vetor nulo ou vetor zero. Pois, queremos que a

multiplicacao entre o numero real 0 pelo vetor −→v , resulte em um vetor.

Chamamos de vetor nulo e indicamos por−→0 , o vetor que tem as seguintes carac-

terısticas:

◃ Direcao: O vetor que tem todas as direcoes.

Obs: Sera interessante e importante definir a direcao do vetor nulo como todas as

direcoes para podermos dizer que o vetor nulo e paralelo a todos os vetores.

◃ Sentido: O vetor nulo tem todos os sentidos.

◃ Norma: O vetor nulo tem norma nula, ou seja, o vetor nulo tem norma igual a

zero, ou ainda, |−→0 | = 0.

Os segmentos orientados que representam o vetor nulo tem comprimento nulo. Por-

tanto, sao os segmentos orientados que tem ponto inicial igual ao ponto final. Por exemplo,

o segmento orientado−→AA e um representante do vetor nulo.

Fixado um sistema de coordenadas no plano, por definicao as coordenadas do vetor

nulo sao as coordenadas do ponto final de um representante do vetor nulo que tem ponto

inicial na origem O = (0, 0) do sistema de coordendas.

As coordenadas do vetor nulo sao as coordenadas do ponto final do segmento orientado−→OO. Ou seja, sao as coordenadas do ponto O = (0, 0).

Assim, temos que o vetor nulo no plano e dada por−→O = (0, 0)

61

Analogamente temos que, para o caso de um sistema de coordenadas cartesiana no

espaco, por definicao as coordenadas do vetor nulo sao as coordenadas do ponto final de

um representante do vetor nulo que tem ponto inicial na origem O = (0, 0, 0) do sistema

de coordendas. Ou seja, o vetor nulo no espaco e dado por:−→O = (0, 0, 0)

Devemos sempre lembrar que NAO podemos escrever−→0 = 0. Podemos e devemos

escrever que, para o plano−→0 = (0, 0) e para o espaco

−→0 = (0, 0, 0).

3.5 Igualdade de Vetores

Outro conceito importante e necessario que precisamos ter em mente antes de

comecarmos a estudar as operacoes envolvendo vetores e a igualdade entre vetores.

Vamos apresentar esta importante definicao em suas versoes geometrica e algebrica.

a) Versao geometrica da igualdade entre vetores.

Dois vetores −→v e −→w sao iguais se, e somente se, eles tem:

1. A mesma direcao,

2. O mesmo sentido,

3. A mesma norma.

b) Versao algebrica da igualdade entre vetores.

Fixado um sistema de coordenadas cartesianas, temos:

◃ No plano: Os vetores −→v = (v1, v2) e −→w = (w1, w2) sao iguais se, e somente se,

v1 = w1 e v2 = w2.

◃ No espaco tridimensional: Os vetores −→v = (v1, v2, v3) e −→w = (w1, w2, w3) sao

iguais se, e somente se, v1 = w1, v2 = w2 e v3 = w3.

62

Observacoes:

1. Dados dois vetores paralelos (−→v ,−→w ∈ V tal que −→v ∥ −→w ):

◃ Se o vetor −→v tem sentido diferente do sentido do vetor −→w , dizemos que −→v e−→w tem sentidos opostos.

◃ Se o vetor −→v tem sentido igual que o vetor −→w , dizemos que −→v e −→w temmesmo

sentido.

2. Dados dois vetores paralelos e com mesma norma: (−→v ,−→w ∈ V tal que −→v ∥ −→w e

|−→v | = |−→w |),

◃ Se o vetor −→v , tem sentido diferente ao sentido do vetor −→w , dizemos que −→v e−→w sao vetores opostos.

◃ Se o vetor −→v , tem mesmo sentido de −→w , dizemos que −→v e −→w sao o mesmo

vetor.

3.6 Norma de Vetor: Versao Algebrica

Dado um vetor qualquer sua norma, por definicao, e o comprimento de qualquer

representante deste vetor. Ou seja, e a distancia entre o ponto final e o ponto inicial de

um representante qualquer deste vetor. Desta forma, podemos determinar a norma de

um vetor a partir de suas coordenadas ou das coordenadas de seus pontos inicial e final.

a) No plano.

Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, temos que se, −→v = (a, b)

entao a norma do vetor −→v no plano e dada por:

| −→v | = | (a, b) | =√a2 + b2

Se o vetor −→v tem o segmento orientado−→AB como representante, a norma do vetor

−→v no plano e calculada a partir da distancia entre os pontos A e B, ou seja, e dada por:

| −→v | = |−→AB | = | (xB − xA, yB − yA ) |

| −→v | =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2

63

b) No espaco.

Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaco, temos que se o vetor −→v =

(a, b, c) entao a norma do vetor −→v no espaco e dada por:

| −→v | = | (a, b, c) | =√

a2 + b2 + c2

Se o vetor −→v tem o segmento orientado−→AB como representante, com A = (xA, yA, zA)

e B = (xB, yB, zB), a norma do vetor −→v no espaco e a distancia entre os pontos A e

B e, portanto, dada por:

| −→v | = |−→AB | = | (xB − xA, yB − yA, zB − zA ) |

| −→v | =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2 .

Uma importante definicao relacionada a norma de um vetor e o conceito de versor. Se−→v tem norma 1 (|−→v | = 1), entao chamamos −→v de versor. Ou seja, versor e um vetor

com norma igual a um ou vetor unitario.

Exemplos

1. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, sendo −→v =

(1,−1),−→w =(12,−1

2

),−→u =

(1√2, 1√

2

)e−→t =

(−4

5, 35

)calcule:

a) |−→v |Resposta: |−→v | = |(1,−1)| =

√(1)2 + (−1)2 =

√2

b) |−→w |Resposta: |−→w | =

∣∣(12,−1

2

)∣∣ =√(12

)2+(−1

2

)2=√

12= 1√

2u.c.

c) |−→u |

Resposta: |−→u | =∣∣∣( 1√

2, 1√

2

)∣∣∣ =√( 1√2

)2+(

1√2

)2= 1 u.c.

−→u =(

1√2, 1√

2

)e um versor.

d)∣∣∣−→t ∣∣∣Resposta:

∣∣∣−→t ∣∣∣ = ∣∣(−45, 35

)∣∣ =√(−45

)2+(35

)2=√

1625

+ 925

= 1−→t =

(−4

5, 35

)e um versor.

2. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaco tridimensional,

sendo −→v = (1,−1, 1),−→w =(13,−1

3, 13

),−→u =

(1√3, 1√

3, 1√

3

), calcule:

a) |−→v |Resposta: |−→v | = |(1,−1, 1)| =

√(1)2 + (−1)2 + (1)2 =

√3

64

b) |−→w |Resposta: |−→w | =

∣∣(13,−1

3, 13

)∣∣ =√(

13

)2+(−1

3

)2+(13

)2=√

19+ 1

9+ 1

9=√

13= 1√

3u.c.

c) |−→u |

Resposta: |−→u | =∣∣∣( 1√

3, 1√

3, 1√

3

)∣∣∣ =√( 1√3

)2+(

1√3

)2+(

1√3

)2= 1

−→u =(

1√3, 1√

3, 1√

3

)e um versor.

3.7 Coplanariedade

Ao estudarmos conjuntos com varios vetores precisaremos, em alguns casos, deter-

minar se estes vetores sao coplanares entre si. Por isto, nesta secao, vamos definir a

coplanariedade de vetores e estuda-la em sua forma geometrica e algebrica.

Dados n vetores: −→v1 ,−→v2 , . . . ,−→vn , dizemos que estes vetores sao coplanares se existe um

plano no espaco que contem representantes de todos estes vetores.

Da definicao, podemos concluir que quando estudamos vetores representados no plano

IR2, todos os vetores representados sao coplanares. Este fato e descrito pelo seguinte lema.

Lema 3.1: Dois vetores sao sempre coplanares.

Demonstracao:

Dados dois vetores −→v1 e −→v2 , seja A um ponto no espaco, tomemos um representante

do vetor −→v1 que tem ponto inicial A e seja B o ponto final do segmento orientado

que representa o vetor −→v1 .

Tomemos agora um representante do vetor −→v2 que com ponto inicial em B e deno-

taremos por C o ponto final do representante do vetor −→v2 .

• Se os pontos A, B e C sao nao colineares (nao alinhados) entao estes pontos

determinam um plano α. Este plano contem os representantes−→AB e

−−→BC dos

vetores −→v1 e −→v2 , respectivamente.

• Se os pontos A, B e C sao colineares (alinhados) entao existem varios (in-

finitos) planos que contem os representantes−→AB e

−−→BC dos vetores −→v1 e −→v2 ,

respectivamente.

Assim, concluımos que existe (pelo menos) um plano que contem representantes dos

vetores −→v1 e −→v2 .

65

Exemplo: Verifique se os vetores em destaque na figura sao coplanares ou nao.

a)

Resposta: SIM, pois dois vetores sao sempre coplanares. Os vetores deste

exemplo estao no plano da folha do livro.

b)

Resposta: SIM, pois dois vetores sao sempre coplanares. Os vetores deste

exemplo estao no plano da folha do livro.

66

Para termos a nocao de vetores nao coplanares precisamos estar em tres dimensoes.

Dados tres vetores no espaco, −→v , −→w e −→u , para verificarmos, geometricamente, se estes

vetores sao coplanares devemos proceder da seguinte forma:

1. Colocamos um representante de −→v e de −→w que tenham origem em um mesmo ponto.

2. Verificamos qual e o plano que contem estes vetores.

3. Colocamos o representante de −→u que tem o mesmo ponto inicial dos representantes

de −→v e de −→w e verificamos a disposicao de −→u em relacao ao plano que contem −→v e−→w .

4. Se o representante de −→u tambem estiver contido no plano, os tres vetores sao

coplanares. Se o representante de −→u nao estiver contido no plano, os vetores nao

sao coplanares.

A verificacao descrita pelo procedimento acima advem diretamente da definicao de

coplanariedade.

Exemplo: Verifique se os vetores em destaque na figura sao coplanares ou nao.

a)

Resposta: SIM, pois o vetor que tem como representante o segmento orien-

tado−→AB tambem tem como representante o segmento orietado

−→EF que esta

no plano definido pelos segmentos−−→EC e

−−→DF .

67

b)

Resposta: NAO. Pois, como podemos observar, o vetor que tem−→CG como

representante e o mesmo que tem−→AE como representante. Este vetor, junto

com o vetor que tem−→AB estao contidos num plano que nao contem nenhum

representante de−−→FD.

Dizemos que o vetor representado pelo segmento orientado−−→FD ‘fura’ o plano

definido por−→AE e

−→AB

Como observamos no exemplo acima, a nocao de coplanariedade precisa ser estudada

no espaco tridimensional.

Para definirmos a versao algebrica de coplanariedade vamos considerar dados os ve-

tores, com suas coordenadas em um sistema de coordenadas cartesianas no espaco IR3,−→v = (v1, v2, v3),

−→w = (w1, w2, w3) e−→u = (u1, u2, u3), temos que:

• Se −→v ,−→w e −→u sao coplanares, entao∣∣∣∣∣∣∣v1 v2 v3

w1 w2 w3

u1 u2 u3

∣∣∣∣∣∣∣ = 0

• Se −→v ,−→w e −→u sao nao coplanares, entao∣∣∣∣∣∣∣v1 v2 v3

w1 w2 w3

u1 u2 u3

∣∣∣∣∣∣∣ = 0

68

Assim, para determinarmos se tres vetores sao coplanares devemos calcular o deter-

minante 3× 3 de suas coordenadas.

Ha diversas maneiras praticas de se calcular um determinante 3× 3. Apresentaremos,

a seguir, uma destas formas possıveis de fazer a conta dada por:∣∣∣∣∣∣∣v1 v2 v3

w1 w2 w3

u1 u2 u3

∣∣∣∣∣∣∣ =1. Acrescentamos duas coluna a direita, repetindo a segunda e terceira coluna:

∣∣∣∣∣∣∣v1 v2 v3

w1 w2 w3

u1 u2 u3

∣∣∣∣∣∣∣v1 v2

w1 w2

u1 u2

2. Multiplicamos os numeros de cada uma das tres diagonais (indicadas pelas flechas)

e somamos os resultados, obtendo S1.

3. Multiplicamos os numeros de cada uma das tres diagonais inversas (indicadas pelas

flechas) e somamos os resultados, obtendo S2.

4. O resultado da conta e

∣∣∣∣∣∣∣v1 v2 v3

w1 w2 w3

u1 u2 u3

∣∣∣∣∣∣∣ = S1 − S2

69

Exemplos

1. Fixado um sistema de coordenadas cartesianas, determine se os vetores sao

coplanares:

a) −→v = (1,−2, 3) e −→w = (−4, 3, 9)

Resposta: Dois vetores sao sempre coplanares, portanto os vetores −→v =

(1,−2, 3) e −→w = (−4, 3, 9) sao coplanares.

b) −→v = (1,−2, 5),−→w = (2, 3,−4) e −→u = (1, 0,−2)

Resposta: Como:

Os vetores −→v = (1,−2, 5),−→w = (2, 3,−4) e −→u = (1, 0,−2) nao sao coplanares.

c) −→v = (1, 2, 5),−→w = (2, 3,−4) e −→u = (−1, 0, 23)

Resposta: Calculando o determinante:

Vemos que os vetores −→v = (1, 2, 5),−→w = (2, 3,−4) e −→u = (−1, 0, 23) sao

coplanares.

Para o caso de termos mais de tres vetores, por exemplo quatro, devemos verificar

algebricamente se os tres primeiros sao coplanares e: (i) em caso negativo concluimos que

o grupo de vetores nao e coplanar; (ii) em caso positivo, verificamos se o quarto vetor e

coplanar aos outros tres fazendo a conta para este vetor e para dois dos outros vetores.

70

Pelo estudo de vetores no espaco e lembrando da coplanariedade entre vetores, pode-

mos ver que:

i) Dado um vetor, sempre existe um plano que contem este vetor.

ii) Dado dois vetores, sempre existe um plano que contem estes vetores.

iii) Dados tres vetores, nem sempre existe um plano que contem estes vetores.

Exemplo:

1. Fixado um sistema de coordenadas, nao existe um plano que contem os vetores:−→i = (1, 0, 0),

−→j = (0, 1, 0) e

−→k = (0, 0, 1).

“Pense no plano que contem dois destes vetores, observe que o terceiro vetor ‘fura’

este plano.”

Dada a justificativa geometrica, podemos fazer a verificacao algebrica calculando o

determinante com as coordenadas do vetores−→i ,

−→j e

−→k . Assim:

Assim ∣∣∣∣∣∣∣1 0 0

0 1 0

0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣ = 1 + 0 + 0− (0 + 0 + 0) = 1 = 0

Portanto, os vetores−→i ,

−→j e

−→k nao sao coplanares.

71

3.8 Exercıcios

1. Considere os pontos A = (1, 1), B = (2, 3), C = (−2,−1) e D = (−1, 0). Determine

as coordenadas dos vetores:

a)−→AB;

b)−→AC;

c)−−→AD;

d)−−→BC;

e)−−→CD;

f)−−→DA;

g)−−→BD;

h)−−→DC.

2. Considere os pontos A = (1,−1, 1), B = (1, 2, 3), C = (3, 2, 1) e D = (0, 1, 0).

Determine as coordenadas dos vetores:

a)−→AB;

b)−→AC;

c)−−→AD;

d)−−→BC;

e)−−→CD;

f)−−→DA;

g)−→BA;

h)−−→DB.

3. Encontre as componentes de:

a) os vetores−→PQ e

−→QP onde P = (1, 4, 2) e Q = (1,−2, 0) ;

b) o vetor a partir do ponto A = (2, 3, 1) ate a origem.

4. Determine a norma dos vetores encontrados como respotas nos exercıcios 1, 2 e 3.

5. Em cada item abaixo, verifique se os vetores destacados nas figuras sao coplanares

ou nao sao coplanares.

72

a)

b)

c)

d)

6. Verifique se os vetores a seguir sao coplanares.

73

a) −→v = (1, 2) e −→w = (3, 4);

b) −→v = (1, 2, 3) e −→w = (1, 1, 1);

c) −→v = (1, 2, 3, ), −→w = (3, 2, 1) e −→u = (1, 1, 1);

d) −→v = (0, 1, 0), −→w = (1, 1, 1) e −→u = (1, 1,−1);

e) −→v = (3, 2, 1), −→w = (1, 0,−1) e −→u = (2, 0, 2).

74

Capıtulo 4

Multiplicacao de Numero Real por

Vetor

4.1 Introducao

Neste e nos proximos capıtulos de nosso livro estudaremos as principais operacoes

envolvendo vetores e numeros. Sao elas:

• produto de numero real por vetor,

• soma de vetores,

• soma de ponto por vetor,

• produto escalar (entre dois vetores),

• produto vetorial (entre dois vetores),

Estudaremos cada uma destas operacoes e suas propriedades em versao geometrica e

algebrica, porem e necessario ter sempre muito cuidado: vetor e vetor; numero e numero;

ponto e ponto.

Vetor = Numero. Vetor = Ponto. Ponto = Numero.

A primeira das operacoes envolvendo vetores, a multiplicacao de numero real por

vetor, sera definida e estudada neste capıtulo. A partir dela iremos, tambem, aprender a

determinar se dois ou mais vetores sao paralelos entre si.

75

4.2 Definicao e Interpretacao Geometrica

Dados um vetor (−→v ∈ V) e um numero real (a ∈ IR), a operacao de multiplicacao de

numero real por vetor e definida como:

IR× V → V( a,−→v ) → a−→v

O resultado e um vetor (a−→v ∈ V), definido por:

⋄ Direcao:

{Se a = 0 entao a−→v tem a mesma direcao que −→v ,

Se a = 0 entao a−→v tem todas as direcoes, pois a−→v =−→0 .

⋄ Sentido:

Se a > 0 entao a−→v tem o mesmo sentido que −→v ,

Se a < 0 entao o vetor a−→v tem o sentido oposto a −→v ,

Se a = 0 entao o vetor a−→v tem todos os sentidos, pois −→v =−→0 .

.

⋄ Norma: A norma do vetor a−→v e igual a norma do vetor −→v multiplicada pelo

numero real positivo |a|, ou seja, | a−→v | = |a| | −→v |.

Exemplo: Dado o vetor −→v da figura:

Represente os vetores:

a) 2−→v ,

b) −2−→v ,

c) 0−→v ,

d)1

2−→v ,

e)3

10−→v .

76

Resposta: Os vetores que sao os resultados das multiplicacoes pedidas nos

itens acima estao esquematizados nas figuras abaixo.

77

4.3 Propriedades da Multiplicacao de Numero Real

por Vetor

A operacao multiplicacao de numero real por vetor tem algumas propriedades muito

importantes e que podemos enunciar a partir de sua definicao. Sao elas as propriedades

listadas abaixo:

M1. 1−→v = −→v para todo −→v ∈ V.

M2. a(b−→v ) = ab(−→v ), para todos a, b ∈ IR e −→v ∈ V .

3. −1−→v = −−→v e o vetor oposto a −→v , para todo −→v ∈ V.

4. −a−→v e o vetor oposto a a−→v , para todos a ∈ IR e −→v ∈ V .

5. |a−→v | = | a | |−→v |, para todos a ∈ IR e −→v ∈ V.

5.1. Se a > 0 entao | a−→v | = a | −→v |, para todo −→v ∈ V .

5.2. Se a < 0 entao | a−→v | = −a | −→v |, para todo −→v ∈ V.

6. Temos |a−→v | = |−→v |, para todos a = 1 ∈ IR e −→v ∈ V .

6.1. Se |a| > 1 entao | a−→v | > | −→v |, para todo −→v ∈ V .

6.2. Se 0 ≤ |a| < 1 entao | a−→v | < | −→v |, para todo −→v ∈ V .

Antes de darmos seguimento ao nosso estudo da multiplicacao de numero real por

vetor, queremos ressaltar um simples e muito necessario cuidado que os estudantes devem

ter ao trabalhar com vetores: nao existe divisao de vetores.

Podemos dividir um vetor por um numero real nao nulo. Pois, isto e igual a multiplicar

o inverso deste numero real pelo vetor, ou seja, dado a ∈ IR com a = 0 e seja −→v ∈ V ,temos:

−→va

=1

a−→v

Mas, nao existe divisao por vetor.−→v−→w

\

78

4.4 Versao Algebrica da Multiplicacao de Numero

Real por Vetor

Fixado um sistema de coordenadas no plano ou no espaco e dados um vetor (−→v ∈ V)e um numero real (a ∈ IR), vamos definir a operacao multiplicacao de numero real por

vetor, em sua forma algebrica, como a operacao:

IR× V → V( a,−→v ) → a−→v

O resultado e um vetor (a−→v ∈ V), definido por:

◃ No plano: a−→v = a(v1, v2) = (av1, av2)

◃ No espaco: a−→v = a(v1, v2, v3) = (av1, av2, av3)

Exemplos

1. Dados −→v = (−1, 2) ∈ V e a = 2 ∈ IR

Temos a−→v = 2(−1, 2) = (−2, 4) ∈ V .

2. Dados −→v =(−1

3, 56

)∈ V e a = 3 ∈ IR,

Temos a−→v = 3(−1

3, 56

)=(−1, 5

2

)∈ V .

3. Dados −→v = (−√2,−

√3) ∈ V e a =

√3 ∈ IR

Temos a−→v =√3(−

√2,−

√3) = (−

√6,−3) ∈ V .

4. Dados −→v = (1, 0,−4) ∈ V e a = −√3 ∈ IR

Temos a−→v = −√3(1, 0,−4) = (−

√3, 0, 4

√3) ∈ V.

5. Dados −→v = (1,−8,−4) ∈ V e a = 0 ∈ IR

Temos a−→v = 0(1,−8,−4) = (0, 0, 0) ∈ V (vetor nulo).

6. Dados −→v = (15,−7

3,−2) ∈ V e a = −15 ∈ IR

Temos a−→v = −15(15,−7

3,−2) = (−3, 35, 30) ∈ V .

79

Usando a definicao algebrica da multiplicacao de um numero real por um vetor podemo

obter, a partir de um dado vetor −→v , o versor ou vetor de norma igual a um que tem a

mesma direcao e sentido do vetor. Ou seja:

Lema 4.1: Se −→v e nao nulo, entao o vetor1

| −→v |−→v e um versor com mesma direcao

e mesmo sentido que −→v .

Demonstracao:

1

| −→v |e um numero real positivo.

Assim, os vetores1

| −→v |−→v e −→v tem a mesma direcao e o mesmo sentido.

E a norma de1

| −→v |e dada por:∣∣∣∣ 1

| −→v |−→v∣∣∣∣ = 1

| −→v || −→v | = 1

Assim, o vetor:1

| −→v |−→v e um versor.

Portanto, esta provado que o vetor 1| −→v |

−→v e um versor com mesma direcao e mesmo

sentido que −→v .

Observacao: Dado um vetor nao nulo −→v , alguns autores chamam de direcao de−→v , o versor que e paralelo a −→v e que tem o mesmo sentido de −→v .

Exemplos

1. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, sendo P = (−1, 0)

e Q = (2, 1), calcule:

a) As coordenadas do vetor−→PQ;

Resposta:−→PQ = Q− P = (2, 1)− (−1, 0) = (3, 1)

b) A norma do vetor−→PQ.

Resposta: |−→PQ| = |(3, 1)| =

√(3)2 + (1)2 =

√10

80

c) A direcao do vetor−→PQ.

Resposta: A direcao do vetor ou o versor com mesma direcao e sentido e

obtido dividindo-se o vetor por sua norma. Assim:1

|−→PQ|

−→PQ =

1√10

(3, 1)

2. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaco, sendo P =

(−1, 0, 3) e Q = (2, 1, 4), calcule:

a) As coordenadas do vetor−→PQ.

Resposta:−→PQ = Q− P = (2, 1, 4)− (−1, 0, 3) = (3, 1, 1)

b) A norma do vetor−→PQ.

Resposta: |−→PQ| = |(3, 1, 1)| =

√(3)2 + (1)2 + (1)2 =

√11

c) O versor com mesma direcao e sentido do vetor−→PQ.

Resposta: 1

|−−→PQ|

−→PQ = 1√

11(3, 1, 1)

3. Dado o vetor −→v = (1,−2, 3), determine um versor com a mesma direcao e sentido

oposto ao de −→v .

Resolucao: Dividindo o vetor −→v por sua norma esataremos obtendo um vetor com

norma igual a um e que tem a mesma direcao e sentido que −→v . Se multiplicarmos

este versor obtido por -1 estaremos invertendo o seu sentido. Ou seja, para obtermos

um versor com mesma direcao e sentido oposto ao de −→v , precisamos multiplicar o

vetor −→v por − 1

|−→v |.

Calculando a norma de −→v :

|−→v | =√12 + (−2)2 + 32 =

√14

Assim, o versor pedido e:

−−→v|−→v |

= −(1,−2, 3)√14

=

(− 1√

14,

2√14

,− 3√14

)

81

4.5 Paralelismo entre vetores

Tendo definido a multiplicacao de numero real por vetor, podemos definir o paralelismo

entre vetores em termos dessa operacao que envolve um numero real e um vetor. Mas, o

que estamos chamando de vetores paralelos?

Dois vetores sao ditos paralelos se possuem a mesma direcao.

Lema 4.2: Se −→v1 e −→v2 sao paralelos entao existe a ∈ IR tal que −→v1 = a−→v2 ou b ∈ IR

tal que −→v2 = b−→v1 ou ambos.

Demonstracao:

Um vetor e determinado por sua direcao, seu sentido e sua norma.

Sabemos que, por hipotese, −→v1 e −→v2 sao paralelos, assim sabemos que os dois vetores

tem a mesma direcao.

Primeiro vamos considerar o caso em que −→v1 = −→0 e −→v2 = −→

0 .

Podemos pensar nos versores destes dois vetores, −→w1 =1

|−→v1 |−→v1 e −→w2 =

1

|−→v2 |−→v2 .

Os versores tem a mesma direcao, e ambos sao unitarios.

Agora quanto ao sentido podemos ter duas opcoes:

• Os versores tem o mesmo sentido. Neste caso −→w1 =−→w2.

• Os versores tem sentido oposto. Neste caso −→w1 = −−→w2.

No primeiro caso temos: −→w1 = −→w2 ⇒ 1

|−→v1 |−→v1 =

1

|−→v2 |−→v2 ⇒ −→v1 =

|−→v1 ||−→v2 |

−→v2 ou

−→v2 =|−→v2 ||−→v1 |

−→v1 . Basta entao escolhermos a = |−→v1||−→v2| ou b = |−→v2|

|−→v1| e teremos −→v1 = a−→v2 e

−→v2 = b−→v1 .

Agora vamos considerar o segundo caso, onde temos: −→w1 = −−→w2 ⇒ 1

|−→v1 |−→v1 =

− 1

|−→v2 |−→v2 ⇒ −→v1 = −|−→v1 |

|−→v2 |−→v2 ou −→v2 = −|−→v2 |

|−→v1 |−→v1 . Basta entao escolhermos a = − |−→v1|

|−→v2|

ou b = − |−→v2||−→v1| e teremos −→v1 = a−→v2 e −→v2 = b−→v1 .

Falta estudarmos o caso onde temos vetores nulos.

Se −→v1 =−→0 podemos escrever −→v1 = 0−→v2 . Observe que neste caso, se −→v2 = −→

0 entao

nao existe a ∈ IR tal que −→v2 = a−→v1 .

82

Se −→v2 =−→0 podemos escrever −→v2 = 0−→v1 . Observe que neste caso, se −→v1 = −→

0 entao

nao existe a ∈ IR tal que −→v1 = a−→v2 .

Assim, concluimos a demonstracao.

Observacoes:

1. Como para qualquer vetor, −→v ∈ V , temos que−→0 = 0−→v , faz sentido dizer que o

vetor nulo e paralelo a todos os vetores no espaco, e portanto o vetor nulo tem todas

as direcoes.

2. Alguns livros-texto da area de Fısica referem-se a vetores paralelos como sendo aque-

les que possuem mesma direcao e sentido. Nestes casos, usa-se o termo antiparalelo

para os vetores que possuem mesma direcao e sentidos opostos. Nao usaremos, em

nosso livro, esta definicao para vetores paralelos e, provavelmente, nao usaremos

novamente o termo antiparalelo.

Explicados estes pontos e definida a versao algebrica do paralelismo entre vetores,

vamos a alguns exemplos para podermos fixar melhor estas ideias e conceitos.

Exemplos

1. Considere o hexagono regular abaixo e, para cada item, determine a ∈ IR, se possıvel,

tal que −→v1 = a−→v2 .

83

a) Para −→v 1 =−→AB e −→v 2 =

−→CF .

Resposta: O vetor −→v 1 e paralelo ao vetor −→v 2, tendo mesma direcao e sentido

contrario, como poderemos observar marcando os segmentos orientados que

os representam no hexagono regular ABCDEF .Como mostrado na figura a

seguir.

Alem disso, por construcao, o lado de um hexagono regular e igual a duas vezes

a sua diagonal. Por isto, o tamanho do vetor −→v 2 e duas vezes o tamanho do

vetor −→v 1, de forma que: −→v 1 = −1

2−→v 2.

b) Para −→v 1 =−→AF e −→v 2 =

−−→BC.

Resposta: O vetor −→v 1 NAO e paralelo ao vetor −→v 2. Veja vetores marcados

na figura.

Portanto temos que @ a ∈ IR ⇒ −→v1 = a−→v2 .

84

2. Considere o cubo abaixo e, para cada item, determine a ∈ IR, se possıvel, tal que−→v1 = a−→v2 .

a) Para −→v 1 =−→EF e −→v 2 =

−−→DC.

Resposta: Observe os vetores marcados na figura.

Como podemos observar, o vetor −→v 1 e paralelo ao vetor −→v 2, tendo mesma

direcao e mesmo sentido e, alem disso, tendo o mesmo modulo. Portanto,

temos que: −→v 1 = 1 · −→v 2, ou seja, a = 1.

85

b) Para −→v 1 =−−→ED e −→v 2 =

−→CF .

Resposta: Observe a figura onde os vetores −→v 1 e −→v 2 estao marcados.

O vetor −→v 1 e paralelo ao vetor −→v 2, tendo mesma direcao, sentido contrario e

o mesmo modulo. Portanto, temos que: −→v 1 = −−→v 2, ou seja, a = −1.

c) Para −→v 1 =−−→AH e −→v 2 =

−→CF .

Resposta: Pela figura a seguir:

Vemos que o vetor −→v 1 nao e paralelo ao vetor −→v 2, portanto @a ∈ IR ⇒ −→v 1 =

a−→v 2.

86

Apos definirmos a versao geometrica do paralelismo entre vetores, o passo seguinte,

que sera dado agora, e apresentarmos a sua versao algebrica.

Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano temos que, se −→v e −→w sao

vetores nao nulos paralelos, entao existe um numero real a tal que −→v = a−→w ou −→w = a−→v .

Vamos supor, sem perda de generalidade que, −→v = a−→w . Assim −→v = (v1, v2) = a−→w =

a(w1, w2) ⇒ (v1, v2) = (aw1, aw2). Portanto,{v1 = aw1

v2 = aw2

Ou seja, a =

v1w1

se w1 = 0

a =v2w2

se w2 = 0

Podemos concluir que, se −→v = (v1, v2) ∥ −→w = (w1, w2), entaov1w1

=v2w2

se w1 = 0 e

w2 = 0.

Analogamente, fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaco tridimen-

sional temos que se −→v e −→w sao vetores nao nulos paralelos, entao existe um numero real

a tal que −→v = a−→w ou −→w = a−→v .

Vamos supor, sem perda de generalidade que, −→v = a−→w .

Assim −→v = (v1, v2, v3) = a−→w = a(w1, w2, w3) ⇒ (v1, v2, v3) = (aw1, aw2, aw3)

Portanto,

v1 = aw1

v2 = aw2

v3 = aw3

Ou seja, a =v1w1

=v2w2

=v3w3

se w1 = 0, w2 = 0 e w3 = 0

Podemos concluir que:

Se −→v = (v1, v2, v3) ∥ −→w = (w1, w2, w3)

Entaov1w1

=v2w2

=v3w3

se w1 = 0, w2 = 0 e w3 = 0

Exemplo: Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas1, verifique se os

vetores −→v e −→w sao paralelos:

a) −→v = (−2, 3) e −→w = (2, 5)

Resposta: Como−2

2= 3

5, os vetores −→v = (−2, 3) e −→w = (2, 5) nao sao

paralelos.

1Nao precisa ser cartesianas.

87

b) −→v = (−2, 3) e −→w = (6,−9)

Resposta: Como−2

6=

3

−9, os vetores −→v = (−2, 3) e −→w = (3,−9) sao

paralelos.

c) −→v = (−2, 3, 0) e −→w = (−4, 6,−8)

Resposta: Temos que−2

−4=

3

6, mas

3

6= 0

−8, portanto os vetores −→v =

(−2, 3, 0) e −→w = (−4, 6,−8) nao sao paralelos.

d) −→v = (−2, 3, 1) e −→w = (6,−9,−3)

Resposta: Como−2

6=

3

−9=

1

−3, os vetores −→v = (−2, 3, 1) e −→w =

(2, 5,−3) sao paralelos.

e) −→v = (−2, 3, 1) e −→w = (−4, 0,−8)

Resposta: Como−4

−2= 0

3, os vetores −→v = (−2, 3, 0) e −→w = (−4, 6,−8) nao

sao paralelos.

f) −→v = (−2, 3, 0) e −→w = (−4, 6, 0)

Resposta: Como−2

−4=

3

6, os vetores −→v = (−2, 3, 0) e −→w = (−4, 6, 0) sao

paralelos.

Podemos usar o paralelismo entre vetores para uma simples, porem importante, veri-

ficacao geometrica: determinarmos se tres pontos quaisquer formam um triangulo. Vamos

a um exemplo para ilustrar esta aplicacao.

Exemplo: Considere os pontos A, B e C dados a seguir e determine se eles formam

um triangulo.

a) A = (1, 1, 1), B = (3, 2, 3) e C = (2, 2,−2).

Resolucao: Para fazermos esta verificacao devemos, primeiro, escolher um dos

pontos como vertice primario de nosso possıvel triangulo. Neste caso vamos

tomar o ponto A (poderia ser qualquer dos outros).

A seguir devemos construir os vetores−→AB e

−→AC que, neste exemplo, sao:

−→AB = B − A = (2, 2,−2)− (1, 1, 1) = (1, 1,−3)−→AC = C − A = (3, 2, 3)− (1, 1, 1) = (2, 1, 2)

Se os pontos A, B e C sao os vertices de um triangulo, os vetores−→AB e

−→AC

NAO serao paralelos. E se eles nao determinarem um triangulo os vetores−→AB

e−→AC serao paralelos pois os pontos A, B e C estarao sobre a mesma reta (serao

colineares).

88

Verificando, atraves da razao entre as componentes dos vetores, temos que:

1

2= 1

1= −3

2

Portanto os vetores−→AB e

−→AC nao sao paralelos e, por conseguinte, os pontos

A, B e C sao os vertices de um triangulo.

b) A = (1, 1, 0), B = (2, 0, 2) e C = (3,−1, 2).

Resolucao: Construindo os vetores−→AB e

−→AC:

−→AB = B − A = (2, 0, 2)− (1, 1, 0) = (1,−1, 2)−→AC = C − A = (3,−1, 4)− (1, 1, 0) = (2,−2, 4)

Verificando se−→AB e

−→AC sao paralelos:

1

2=

−1

−2=

2

4

Portanto, os vetores−→AB e

−→AC sao paralelos e, consequentemente, os pontos A,

B e C nao formam um triangulo.

4.6 Exercıcios

1. Considere −→v o vetor de norma 3, de direcao vertical e sentido para cima. E seja

a = −√2. Determine a norma, direcao e sentido do vetor dado por:

a) −→w = a−→v

b) −→u = a2−→v

c) −→r = −3a−→v

2. Considere os vetores −→v = (1, 2, 4), −→w = (−2, 3,−1) e −→u = (0, 2,−3). Determine as

coordenadas dos vetores dados por:

a) 2−→v

b) 3−→w

c) −−→u

d) −3−→v

e) 5−→w

f) 7−→u

89

g) −5−→v

h) −2−→w

i) −2−→u

3. Dados os pontos A = (0, 1, 2), B = (1,−2, 1), C = (3,−2,−3) e D = (2,−2, 2).

Calcule as coordenadas e norma dos vetores a seguir. E tambem determine as

coordenadas do versor com mesma direcao e sentido que os referidos vetores.

a)−→AB

b)−−→DA

c)−−→CB

d)−−→BD

e)−→CA

f)−−→DC

4. Encontre um versor no plano, na mesma direcao e mesmo sentido que o vetor −→v :

a) −→v = (2,−1)

b) −→v =

(2√3,−2

√2√3

)

5. Encontre um versor no espaco, na mesma direcao e mesmo sentido que o vetor −→v

a) −→v = (2,−1,−3)

b) −→v =

(2

3,−1

2,−2

)c) −→v = (2,−4, 7)

d) −→v =

(2√3,− 2√

3,2√3

)6. Considere o vetor −→v = (0,−4, 3) e determine as coordenadas do versor que tem a

mesma direcao e sentido contrario ao vetor −→v .

7. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas, verifique se os vetores −→v e−→w especificados a seguir sao paralelos.

a) −→v = (−2, 7) e −→w = (2, 3);

b) −→v = (−2, 3) e −→w = (8,−12);

90

c) −→v = (−2, 3, 0) e −→w = (−4, 6,−8);

d) −→v = (−2, 3, 1) e −→w = (6,−9,−3);

e) −→v = (−2, 3, 1) e −→w = (−4, 0,−8);

f) −→v = (−2, 3, 0) e −→w = (−4, 6, 0);

g) −→v = (−0, 3, 5) e −→w = (−0, 5, 3);

8. Verifique se os pontos enunciados a seguir formam um triangulo. Em caso afirmativo,

determine o perımetro do triangulo formado.

a) A = (0, 4), B =

(5

2,−2

)e C = (0,−2);

b) A = (0, 4), B =

(5

2,−2

)e C = (5,−8);

c) A = (0, 4, 1), B =

(5

2,−2, 1

)e C =

(1,

12

5, 1

);

d) A = (0, 0, 1), B = (0,−2, 1) e C = (0, 5, 1).

9. Considere os pontos A, B e C no espaco. Sabendo-se que A = (1,−3, 2); B =

(2, 6, 4); e que C esta no plano xy e obedece as equacoes x+y = 1 e 3x2+3y2+6x = 9

com y > 0, prove, algebricamente, que estes pontos formam um triangulo.

∗ ∗ ∗

91

Capıtulo 5

Adicao de Vetores

5.1 Introducao

Apos estudarmos, no capıtulo anterior, a multiplicacao de numero real por vetor,

vamos dar seguimento aos nossos estudos das operacoes aritmeticas envolvendo vetores

estudando, neste capıtulo de nosso livro, a adicao de vetores.

Assim com no caso da multiplicacao de um numero real por um vetor queremos que

a operacao adicao de vetores seja uma operacao fechada, ou seja, queremos que o

resultado da soma de dois vetores seja sempre um vetor. Desta forma, a adicao de vetores

e uma operacao:

V × V → V(−→v ,−→w ) → −→v +−→w

Vamos estudar e aprender a efetuar esta operacao aritmetica envolvendo vetores em

suas versoes geometrica e algebrica.

5.2 Adicao de Vetores: Versao Geometrica

Ha duas regras simples e equivalentes para fazermos, geometricamente, a adicao de

vetores.

A primeira, a regra do paralelogramo, e usada de forma direta apenas para se

somar dois vetores, mas podemos usa-la para somar mais de dois vetores fazendo-se a

soma deles dois-a-dois. A segunda, regra do “fim de um no comeco do outro” ou

regra do polıgono, e equivalente a regra do paralelogramo e pode ser usada diretamente

para se somar um numero qualquer de vetores.

Vamos descrever estas regras a seguir.

92

5.2.1 Regra do Paralelogramo

O procedimento para se somar geometricamente dois vetores usando a regra do para-

lelogramo pode ser descrito pelos passos a seguir:

1. Escolhe-se um ponto A no espaco.

2. Toma-se o representante do vetor −→v que inicia-se em A.

3. Chama-se de B o ponto final do representante do vetor −→v que inicia-se em A.

4. Toma-se o representante do vetor −→w que inicia-se em A.

5. Chama-se de C o ponto final do representante do vetor −→w que inicia-se em A.

6. Constroi-se segmentos paralelos ao representantes dos vetores −→v e −→w . Formando o

paralelogramo ABCD.

7. O resultado da soma −→v +−→w e o vetor −→u que tem o segmento orientado−−→AD como

representante.

Este procedimento esta esquematizado na figura abaixo onde sao mostrados os vetores−→v e −→w e sua soma com os referidos pontos que sao os vertices do paralelogramo.

93

Exemplo: Considere os vetores −→v e −→w marcados nas figuras a seguir e obtenha,

geometricamente, a soma dos vetores usando a regra do paralelogramo. [Observe que

nas figuras representadas em cada temos, na primeira, os vetores a serem somados

e, na segunda, a soma destes vetores feita atraves da regra do paralelogramo.]

a) Os segmentos orientados−→AB e

−→AF do hexagono regular ABCDEF .

b) Os segmentos orientados−→AB e

−−→AH do cubo.

94

5.2.2 Regra do Polıgono ou Regra do “Fim de um no comeco

do outro”

O procedimento para se obter, geometricamente, a soma de dois vetores usando a regra

do polıgono e descrito pelos seguintes passos:

1. Escolhe-se um ponto A no espaco.

2. Toma-se o representante do vetor −→v que inicia-se em A.

3. Chama-se de B o ponto final do representante do vetor −→v .

4. Toma-se o representante do vetor −→w que inicia-se em B.

5. Chama-se de C o ponto final do representante do vetor −→w .

6. O resultado da soma −→v +−→w e o vetor −→u que tem como representante o segmento−→AC.

Este procedimento esta esquematizado na figura abaixo onde sao mostrados os vetores−→v e −→w e sua soma com os referidos pontos de inıcio e fim de cada vetor.

Exemplo

1. Considere os vetores marcados nas figuras a seguir e obtenha, geometricamente, a

soma dos vetores usando a regra de colocar o inıcio do segundo vetor no final do

95

primeiro. [Observe que nas figuras representadas a seguir temos: na primeira figura

de cada item, os vetores a serem somados; e, na segunda, a soma destes vetores feita

atraves da regra do polıgono.]

a) Os segmentos orientados−→AB e

−→AF do hexagono regular ABCDEF .

b) Os segmentos orientados−→AB e

−−→AH do cubo abaixo.

c) Os vetores −→v 1,−→v 2,

−→v 3 e −→v 4 marcados no plano abaixo.

96

d) Os vetores −→v 1,−→v 2,

−→v 3 e −→v 4 marcados no cubo abaixo.

Desta segunda regra geometrica para a soma de vetores, advem uma importante regra

algebrica para a soma de vetores escrita em termos dos segmentos orientados que os

representam.

Considere que queremos somar dois vetores−→v e −→w . Se −→v tem−→AB como representante,

e −→w tem−−→BC como representante, entao o vetor soma tem como representante o segmento

orientado−→AC.

Em termos algebricos, temos:

−→v +−→w =−→AB +

−−→BC =

−→AC = −→u

Assim, temos a regra:−→AB\+

−−→BC\ =

−→AC

Exemplo: Dados os segmentos orientados−→AB e

−−→BC, a soma dos vetores de que

eles sao representados e dada por−→AB +

−−→BC =

−→AC, como pode ser verificar, geo-

metricamente, pela figura a seguir.

97

5.3 Propriedades da Adicao de Vetores

A adicao de vetores tem algumas importantes propriedades que podem ser enunciadas

e mostradas a partir de sua versao geometrica.

Dados −→v ,−→w ,−→u ∈ V e a ∈ IR, temos as seguintes propriedades para a soma de vetores:

S1 −→v +−→w = −→w +−→vPropriedade comutativa.

S2 −→v + (−→w +−→u ) = (−→v +−→w ) +−→uPropriedade associativa.

Portanto, podemos escrever −→v +−→w +−→u .

S3−→0 ∈ V e tal que

−→0 +−→v = −→v

Propriedade do elemento neutro.

S4 Dado −→v ∈ V existe −−→v ∈ V tal que −→v + (−−→v ) =−→0

Propriedade do elemento oposto.

D1 a(−→v +−→w ) = a−→v + a−→wPropriedade distributiva 1.

D2 (a+ b)−→v = a−→v + b−→vPropriedade distributiva 2.

As propriedades distributivas, D1 e D2, relacionam a operacao multiplicacao de

numero real por vetor e soma de vetores.

A soma do vetor −→v com o vetor oposto a −→w , ou seja, −→v + (−−→w ), por abuso de

linguagem, pode ter a notacao: −→v −−→w . Assim, temos que:

−→v + (−−→w ) = −→v −−→w

98

Alem das propriedades acima enumeradas, a soma de vetores ainda tem as pro-

priedades de cancelamento e as propriedades da regra de sinais, abaixo enu-

meradas.

Dados −→v ,−→w ,−→u ,−→x ,−→y ∈ V e a, b ∈ IR, temos:

1. −→v +−→w = −→v +−→u ⇒ −→w = −→u .

2. −→x +−→v = −→y +−→v ⇒ −→x = −→y .

3. Se a−→v = a−→w , com a = 0 entao −→v = −→w .

4. Se a−→v =−→0 , com a = 0 entao −→v =

−→0 .

5. (−a)−→v = −( a−→v ) = a(−−→v ).

6. (−a)(−−→v ) = a−→v .

Exemplo: Resolva as equacoes a seguir onde a incognita e o vetor −→x .

a) 2−→x − 5−→w =−→t

Resolucao:2−→x − 5−→w =

−→t ⇒ 2−→x = 5−→w +

−→t ⇒ −→x =

5

2−→w +

1

2

−→t

b) 2−→x − 5−→w = 7(−→t + 3−→x )

Resolucao:2−→x − 5−→w = 7(

−→t + 3−→x ) ⇒ 2−→x − 5−→w = 7

−→t + 21−→x ⇒

⇒ 2−→x − 21−→x = 7−→t + 5−→w ⇒ −19−→x = 7

−→t + 5−→w ⇒

⇒ 19−→x = −7−→t − 5−→w ⇒ −→x = − 7

19

−→t − 5

19−→w

5.4 Adicao de Vetores: Versao Algebrica

Considerando, novamente, a adicao de vetores, a operacao definida como:

V × V → V(−→v ,−→w ) → −→v +−→w

Vamos apresentar a sua versao algebrica. Ou seja, vamos aprender a fazer algebrica-

mente a soma de vetores.

Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano ou no espaco, temos:

99

• No plano: os vetores −→v = (v1, v2) ,−→w = (w1, w2) ∈ V , assim sua soma, na forma

algebrica, vale:

−→v +−→w = (v1 + w1, v2 + w2)

• No espaco: os vetores −→v = (v1, v2, v3) ,−→w = (w1, w2, w3) ∈ V , desta forma sua

soma e:

−→v +−→w = (v1 + w1, v2 + w2, v3 + w3)

Exemplos

1. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas e sendo −→v =

(−1, 3,−6), −→w = (−2, 4, 0), −→u = (1, 0,−1),−→t = (5, 8, 7). Calcule:

a) −→v +−→wResposta:

−→v +−→w = (−1, 3,−6) + (−2, 4, 0) = (−3, 7,−6)

b) −→v −−→wResposta:

−→v −−→w = (−1, 3,−6)− (−2, 4, 0) = (1,−1,−6)

c) −→v +−→w +−→uResposta:

−→v +−→w +−→u = (−1, 3,−6) + (−2, 4, 0) + (1, 0,−1) = (−2, 7,−7)

d) −3−→v +3

2−→w −−→u + 5

−→t

Resposta:

−3−→v +3

2−→w −−→u + 5

−→t = −3(−1, 3,−6) +

3

2(−2, 4, 0)− (1, 0,−1) + 5(9, 8, 7)

= (3,−9, 18) + (−3, 6, 0) + (−1, 0, 1) + (45, 40, 35)

= (44, 37, 54)

e)

∣∣∣∣− 5

4−→v∣∣∣∣

Resposta:

100

∣∣∣∣− 5

4−→v∣∣∣∣ =

∣∣∣∣− 5

4(−1, 3,−6)

∣∣∣∣=

∣∣∣∣ ( 5

4,− 15

4,30

4

) ∣∣∣∣=

√(5

4

)2

+

(−15

4

)2

+

(30

4

)2

=

√25

16+

225

16+

900

16

=

√1150

16=

5√46

4u.c.

Ou ainda, poderıamos resolver este item levando em conta que:∣∣∣∣− 5

4−→v∣∣∣∣ = ∣∣∣∣− 5

4

∣∣∣∣ | −→v | = 5

4

√(−1)2 + 32 + (−6)2 =

4√46

4.

2. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, e sendo −→v =

(−1, 2) e −→w = (3,−2), calcule:

a) | −→v |Resposta:

| −→v | = | (−1, 2) | =√

(−1)2 + (2)2 =√5

b) | −→w |Resposta:

| −→w | = | (3,−2) | =√

(3)2 + (−2)2 =√13

c) | −→v +−→w |Resposta:

| −→v +−→w | = | (−1, 2) + (3,−2) | = | (2, 0) | =√

(2)2 + (0)2 =√4 = 2

Note que: | −→v +−→w | = | −→v |+| −→w |, pois | −→v +−→w | = 2 e | −→v |+| −→w | =√5+

√13.

d)

∣∣∣∣ 12−→v∣∣∣∣

Resposta:∣∣∣∣ 12−→v∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ 12(−1, 2)

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ (−1

2, 1

) ∣∣∣∣ =√(

−1

2

)2

+ (1)2 =

√1

4+ 1 =

√5

4∣∣∣∣ 12−→v∣∣∣∣ =

√5

2

Note que poderıamos ter feito este item considerando:

∣∣∣∣ 12−→v∣∣∣∣ = 1

2| −→v |.

101

e)

∣∣∣∣−1

2−→w∣∣∣∣

Resposta:

∣∣∣∣−1

2−→w∣∣∣∣ =

∣∣∣∣−1

2(3,−2)

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ (−3

2, 1

) ∣∣∣∣ =√(

3

4

)2

+ (1)2 =

√9

4+ 1 =

√13

4∣∣∣∣−1

2−→w∣∣∣∣ =

√13

2

Note que poderıamos ter feito este item considerando:

∣∣∣∣−1

2−→v∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−1

2

∣∣∣∣ | −→v |.

102

3. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaco, e sendo −→v =

(−1, 2, 1) e −→w = (3, 0,−2), calcule:

a) | −→v |Resposta:

| −→v | = | (−1, 2, 1) | =√

(−1)2 + (2)2 + (1)2 =√6

b) | −→w |Resposta:

| −→w | = | (3, 0,−2) | =√

(3)2 + (0)2 + (−2)2 =√13

c) | −→v +−→w |Resposta:

| −→v +−→w | = | (−1, 2, 1) + (3, 0,−2) | = | (2, 2,−2) | =√

(2)2 + (2)2 + (−2)2

| −→v +−→w | =√12 = 2

√3

Note que: | −→v +−→w | = | −→v |+ | −→w |.

d)

∣∣∣∣ 12−→v∣∣∣∣

Resposta:

∣∣∣∣ 12−→v∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ 12(−1, 2, 1)

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ (−1

2, 1,

1

2

) ∣∣∣∣ =√(

−1

2

)2

+ (1)2 +

(1

2

)2

∣∣∣∣ 12−→v∣∣∣∣ =

√1

4+ 1 +

1

4=

√3

2=

√6

2

Note que poderıamos ter feito direto por:

∣∣∣∣ 12−→v∣∣∣∣ = 1

2| −→v |.

e)

∣∣∣∣−1

2−→w∣∣∣∣

Resposta:

∣∣∣∣−1

2−→w∣∣∣∣ =

∣∣∣∣−1

2(3, 0,−2)

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ (−3

2, 0, 1

) ∣∣∣∣ =√(

3

4

)2

+ (0)2 + (1)2 =

√9

4+ 1∣∣∣∣−1

2−→w∣∣∣∣ =

√13

4=

√13

2

Note que poderıamos ter feito direto por:

∣∣∣∣−1

2−→v∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−1

2

∣∣∣∣ | −→v |.

103

5.5 Aplicacoes da Adicao de Vetores

Os vetores sao grandezas onipresentes em nosso cotidiano e, em muitos casos, pre-

cisamos somar diversos vetores para resolver problemas ou situacoes em Matematica,

Fısica ou Engenharia. Ou seja, ha inumeras aplicacoes das operacoes envolvendo vetores

e, em especıfico, da adicao de vetores.

Para nao nos estendermos muito, nesta secao vamos apenas definir, a partir da adicao

de vetores, a notacao de vetores que e, em geral, usada nos textos e livros de Fısica e

tambem vamos apresentar dois exemplos do cotidiano onde precisamos obter a resposta

a um problema a partir da adicao de vetores.

1. ♢ Notacao de vetores em termos de versores

Como ja foi mencionado em nosso livro, a maioria dos autores de livros de Fısica, ao

trabalhar com vetores, denotam o vetor −→v = (a, b, c) como sendo −→v = a−→i + b

−→j + c

−→k .

Onde−→i = (1, 0, 0),

−→j = (0, 1, 0) e

−→k = (0, 0, 1)

Nesta notacao, que e completamente equivalente a usada em nosso livro, esta implıcito

que o vetor −→v e igual a:

−→v = (a, b, c) = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1)

Os autores de textos de Fısica dao preferencia a esta notacao, pois, em varios, tra-

balham em muitos problemas e situacoes com o sistema de coordenadas cartesianas ao

mesmo tempo que trabalham com o sistema de coordenadas cilındricas ou com o sistema

de coordenadas esfericas. Assim, ao escrever o vetor na notacao −→v = a−→i + b

−→j + c

−→k

estao explicitando o sistema de coordenadas em que o vetor foi escrito.

Como, em nosso livro, so estamos trabalhando com o sistema de coordenadas carte-

sianas, demos preferencia a manter a notacao de vetores como −→v = (a, b, c). No entanto,

em alguns problemas e exemplos aparecera a notacao do tipo −→v = a−→i + b

−→j + c

−→k , pois

consideramos que e completamente equivalente a nossa e, tambem, para que o estudante

se acostume a trabalhar, indiferentemente, com as duas notacoes.

1. ♢ Exemplos de aplicacoes da adicao de vetores

1. Um garoto quer atravessar um rio a nado. Sabendo que ele nada, em piscina, com

uma velocidade de 1 m/s e que as aguas do rio tem uma velocidade de 2 m/s em

relacao a margem, determine a velocidade do garoto, em relacao a margem do rio,

quando ele estiver atravessando rio.

104

Resolucao: A velocidade do garoto, ao atravessar o rio, sera a soma veorial da sua

velocidade com a velocidade da correnteza do rio.

Considerando que a velocidade total do garoto ao atravessar o rio pode ser escrita

como:

−→v = −→v p +−→v r

onde −→v p e a velocidade com que o garoto nada em piscina; e −→v r e a velocidade da

correnteza do rio.

No problema dado temos que:

−→v p = 1(m/s)−→j

e

−→v r = 2(m/s)−→i

Portanto, a velocidade total do garoto, em relacao a margem, enquanto esta atrav-

essando o rio vale:

−→v = −→v p +−→v r = 2

−→i + 1

−→j em m/s

ou, na nossa notacao usual:

−→v = (2, 1) em m/s

2. Uma partıcula esta sujeita as seguintes forcas1: F1 = 2−→i , F2 = 3

−→i +

−→k , F3 =

−4vecj − 2−→k , F4 = −2

−→i +

−→j −

−→k e F5 = 7

−→k , onde todas as forcas estao dadas

em newtons. Determine a forca resultante sobre a partıcula.

Resolucao: A forca resultante sobre a partıcula e dada por:

−→F R =

−→F 1 +

−→F 2 +

−→F 3 +

−→F 4 +

−→F 5

Desta forma, temos que:

−→F R =

−→F 1 +

−→F 2 +

−→F 3 +

−→F 4 +

−→F 5

−→F R = 2

−→i + 3

−→i +

−→k − 4

−→j − 2

−→k − 2

−→i +

−→j −

−→k + 7

−→k

−→F R = 3

−→i − 3

−→j + 5

−→k (em N)

Ou, em nossa notacao usual:

−→F R = (3,−3, 5) em N

1Forca e um vetor que, em Fısica, costuma ser representado por letras maiusculas

105

5.6 Resumo das Propriedades da Multiplicacao de

Numero Real por Vetor e da Adicao de Vetores

No conjunto dos vetores V , no capıtulo anterior e neste, foram definidas as operacoes

multiplicacao de numero real por vetor e adicao de vetores. Estas operacoes possuem as

seguintes propriedades aqui resumidas:

M1 1−→v = −→v para todo −→v ∈ V.

M2 a(b−→v ) = ab(−→v ), para todos a, b ∈ IR e −→v ∈ V .

S1 −→v +−→w = −→w +−→v ,

S2 −→v + (−→w +−→u ) = (−→v +−→w ) +−→u ,

S3−→0 ∈ V e tal que

−→0 +−→v = −→v ,

S4 Dado −→v ∈ V existe −−→v ∈ V tal que −→v + (−−→v ) =−→0 ,

D1 a(−→v +−→w ) = a−→v + a−→w ,

D2 (a+ b)−→v = a−→v + b−→v ,

Isto confere a V , o que chamamos de, estrutura de ‘Espaco Vetorial’. O conjunto

dos numeros reais e chamado de ‘Corpo de Escalares do Espaco Vetorial V ’.Qualquer conjunto nao vazio munido de duas operacoes com as oito propriedades

anteriores e chamado de Espaco Vetorial. O nome Espaco Vetorial foi inspirado nos

vetores. Um Espaco Vetorial podera ser entendido como um espaco cujo comportamento

e algebricamente identico ao espaco V .Os Espacos Vetoriais serao estudados em Algebra Linear e, ao faze-lo, lembre dos

vetores (espaco dos vetores) como exemplo basico de espaco vetorial.

106

5.7 Exercıcios

1. Considerando o hexagono ABCDEF , classifique em verdadeiro (V) ou falso (F)

cada assertiva abaixo. Para o caso de uma asssertiva falsa, escreva a sentenca

verdadeira.

a)−→AB =

−−→DE ;

b)−→AB = 1

2

−→FC ;

c)−→AB +

−→FE =

−−→FD ;

d)−→AB +

−→EF =

1

2

−−→BE ;

e)−→AC +

−→CF +

−−→DC =

−→0 ;

f)−−→AD +

−−→EB +

1

2

−→CF =

−→0 .

2. Considerando o cubo unitario ABCDEFGH, classifique em verdadeiro (V) ou falso

(F) cada assertiva abaixo. Para o caso de uma asssertiva falsa, escreva a sentenca

verdadeira.

107

a)−→AE =

−→GC ;

b)−−→DG =

−−→EB ;

c)−→AB +

−−→AD =

−−→BD ;

d)−→AB +

−→FE =

1

2

(−−→BE +

−−→HC

);

e)−→AC +

−→FC +

−−→DC =

−→0 .

3. Considerando o hexagono regular ABCDEF de lado 4u.c. abaixo, expresse a soma

como um unico vetor usando as letras A,B,C e D e calcule sua norma:

a) −→v = 2−→AB +

−→AA ;

b) −→v = 2−→AB +

−→AF ;

c) −→v =−−→BC + 2

−−→DE ;

d) −→v = −2−→FE +

−→CF +

−−→EB ;

e) −→v = 2−−→DE −

−−→DC +

−→AB + 1

2

(−−→BE)+−−→DE ;

f) −→v = −−→AB + 2

−−→BC +

−→CF + 2

−→FA .

108

4. Ache a soma dos vetores indicados na figura em cada caso. Preste atencao que os

vetores dos itens (a), (b) e (c) estao no plano e que os vetores do item (d) estao no

espaco.

a)

b)

c)

109

d)

5. Dados os vetores −→v = (2,−3) e −→w = (−2, 4) no plano, encontre as coordenadas e a

norma dos seguintes vetores:

a) 2−→v ;

b) 3−→v + 4−→w ;

c) −−→v − 1

2−→w ;

d)6

11−→v − 2−→w .

6. Dados os vetores −→v = (1, 0,−3) e −→w = (−2, 2, 4) no espaco, encontre as coompo-

nentes e a norma dos seguintes vetores:

a) 3−→v ;

b) 3−→v + 4−→w ;

c)5

3−→v − 2

3−→w .

7. Determine a soma e a subtracao dos vetores−→AB e

−→CA onde A = (1,−1, 0), B =

(−1, 0, 4) e C = (1, 2, 3) .

8. Sendo P1 = (1,−5) e P2 = (1,−1), expresse os vetores a seguir em termos dos

versores−→i = (1, 0) e

−→j = (0, 1)

a) 2−−→P1P2

b) 13

−−→P2P1

110

9. Sejam −→u = (2, 1), −→v = (−1, 4) e −→w = (1,−3). Encontre, se possıvel, a, b ∈−→R tais

que −→u = a−→v + b−→w .

10. Resolva a equacao na incognita −→x : 2−→x − 3−→v = 5(−→x − 3−→v

).

11. Resolva o sistema nas incognitas −→x e −→y :

{ −→x + 2−→y = −→v3−→x −−→y = 2−→v +−→w

∗ ∗ ∗

111

Capıtulo 6

Adicao de Ponto com Vetor

6.1 Definicao

Vamos estudar agora, uma outra operacao basica envolvendo vetores: a adicao entre

ponto e vetor ou adicao de ponto com vetor.

Vamos denotar por E o conjunto dos pontos, ou seja:{No plano: E = IR2,

No espaco: E = IR3.

Assim, a operacao soma de ponto com vetor, e uma operacao definida em:

E × V → E

(P , −→v ) → Q

Ou seja, esta operacao e fechada no conjunto dos pontos.

Seja P um ponto (no plano ou no espaco). Considere o representante do vetor −→vcom ponto inicial P , denotamos por

−→PQ. O resultado da soma P +−→v e o ponto final do

representante de −→v que tem ponto inicial em P , ou seja, o ponto Q.

Esquematicamente, temos:

P +−→v = P +−→PQ = Q

Podemos, tambem, pensar a adicao de ponto com vetor em termos da Notacao de

Grassmann:

P +−→v = P +−→PQ = P + (Q− P ) = Q

112

Esta operacao esta esquematizada na figura abaixo.

Exemplos

1. Considerando o hexagono regular ABCDEF (mostrado na figura abaixo), sendo−→AB,

−−→BC e

−−→CD representantes dos vetores −→v ,−→w e −→u , respectivamente, calcule:

a) A+−→vResposta: Temos, diretamente que:

A+−→v = A+−→AB = B

b) A+ 2−→wResposta: Como: 2−→w = 2

−−→BC =

−−→AD, temos que:

A+ 2−→w = A+−−→AD = D .

c) A+−→uResposta: Em termos de vetores:

−−→CD =

−→AF pois sao representantes do vetor

−→u . Desta forma:

A+−→u = A+−−→CD = A+

−→AF = F .

113

2. Considerando o cubo ABCDEFGH (mostrado na figura a seguir), sendo−→AB,

−−→BC

e−→CG representantes dos vetores −→v ,−→w e −→u respectivamente, calcule:

a) A+−→vResposta: Neste caso, obtemos diretamente que:

A+−→v = A+−→AB = B .

b) A+−→wResposta: O calculo e direto e nos da:

A+−→w = A+−−→BC = A+

−−→AD = D .

c) A+−→uResposta: Temos que:

A+−→u = A+−→CG = A+

−→AE = E .

114

6.2 Propriedades da Adicao de Ponto com Vetor

Se P e Q sao pontos (do plano ou do espaco), ou seja, P,Q ∈ E e −→v ,−→w sao vetores,

portanto −→v ,−→w ∈ V . As propriedades da adicao de ponto com vetor sao:

1. P +−→0 = P

Propriedade do elemento neutro.

2. (P +−→v ) +−→w = P + (−→v +−→w )

Propriedade associativa.

Podemos escrever P +−→v +−→w .

3. P +−→v = P +−→w ⇒ −→v = −→wLei de cancelamento.

4. P +−→v = Q+−→v ⇒ P = Q

Lei de cancelamento.

6.3 Versao Algebrica de Adicao de Ponto com Vetor

Vamos apresentar, nesta seccao, a versao algebrica da adicao de ponto com vetor, tanto

no plano quanto no espaco.

♢ No plano

Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, sendo P = (xP , yP )

e −→v = (v1, v2). Assim, temos que a adicao de ponto com vetor e uma operacao definida

em:

IR2 × V → E

(P , −→v ) → Q

E dada, em sua forma algebrica, por:

P +−→v = (xP , yP ) + (v1, v2) = (xP + v1, yp + v2)

115

♢ No espaco

Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaco, sendo P =

(xP , yP , zP ) e −→v = (v1, v2, v3). A adicao de ponto com vetor e uma operacao definida

em:

IR3 × V → E

(P , −→v ) → Q

E dada, em sua forma algebrica, por:

P +−→v = (xP , yP , zP ) + (v1, v2, v3) = (xP + v1, yp + v2, zP + v3)

Exemplos

1. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, e sendo P = (1, 2)

e −→v = (3,−2), calcule:

a) P +−→vResposta: P +−→v = (1, 2) + (3,−2) = (4, 0)

b) P + 3−→vResposta: P + 3−→v = (1, 2) + 3(3,−2) = (1, 2) + (9,−6) = (10,−4)

c) P − 2−→vResposta: P − 2−→v = (1, 2)− 2(3,−2) = (1, 2) + (−6, 4) = (−5, 6)

2. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaco, e sendo P =

(1, 2,−2) e −→v = (3,−2, 2), calcule:

a) P +−→vResposta: P +−→v = (1, 2,−2) + (3,−2, 2) = (4, 0, 0)

b) P + 3−→vResposta: P + 3−→v = (1, 2,−2) + 3(3,−2, 2) = (1, 2,−2) + (9,−6, 6) =

(10,−4, 4)

c) P − 2−→vResposta: P − 2−→v = (1, 2,−2) − 2(3,−2, 2) = (1, 2,−2) + (−6, 4,−4) =

(−5, 6,−6)

116

6.4 Coordenadas do Ponto Medio

Uma aplicacao simples e direta da soma de ponto com vetor e a obtencao das coor-

denadas do ponto medio de um segmento orientado, as quais chamamos simplesmente de

coordenadas do ponto medio.

A definicao das coordenadas do ponto medio sao mostradas no seguinte lema.

Lema 6.1: Supondo fixado um sistema de coordenadas (No plano ou no espaco).

Se P e Q sao pontos de E1, entao as coordenadas do ponto medio do segmento PQ

sao:

M =1

2(P +Q )

Ou seja:

⋄ No plano

Se P = (xP , yP ) e Q = (xQ, yQ) entao

M =

(xP + xQ

2,yP + yQ

2

)⋄ No espaco

Se P = (xP , yP , zP ) e Q = (xQ, yQ, zQ) entao

M =

(xP + xQ

2,yP + yQ

2,zP + zQ

2

)

Demonstracao do Lema 6.1

Sabemos que Q = P +−→PQ. Assim:

M = P +1

2

−→PQ = P +

1

2(Q− P ) = P +

1

2Q− 1

2P

M =1

2Q+

(P − 1

2P

)=

1

2Q+

(1− 1

2

)P

M =1

2Q+

1

2P =

1

2(P +Q )

Portanto:

M =1

2(P +Q )

1E = IR2 ou E = IR3.

117

Exemplos

1. Na figura, M , N e P sao pontos medios dos segmentos AB, BC e CA, respectiva-

mente.

a) Exprima−−→BP em funcao de

−→AB e

−→AC.

Resolucao: Sabemos que−−→BP =

−→BA+

−→AP .

Como P e ponto medio de AC, sabemos que−→AP = 1

2

−→AC.

Note que−→AP = 1

2

−→CA. Portanto:

−−→BP =

−→BA+

−→AP =

−→BA+

1

2

−→AC

Como−→BA = −

−→AB

−−→BP = −

−→AB +

1

2

−→AC

b) Exprima−−→AN em funcao de

−→AB e

−→AC.

Resolucao: Sabemos que−−→AN =

−→AB +

−−→BN .

Como N e ponto medio de BC, sabemos que−−→BN = 1

2

−−→BC. Vale lembrar para

sempre se ter cuidado com o sentido do vetor.

Portanto:

−−→AN =

−→AB +

−−→BN =

−→AB +

1

2

−−→BC

Como−−→BC =

−→BA+

−→AC, temos:

−−→AN =

−→AB +

1

2

(−→BA+

−→AC)=

−→AB +

1

2

−→BA+

1

2

−→AC

−−→BC =

−→AB − 1

2

−→AB +

1

2

−→AC =

(1− 1

2

)−→AB +

1

2

−→AC

−−→AN =

1

2

−→AB +

1

2

−→AC

118

Portanto:

−−→AN =

1

2

(−→AB +

−→AC)

2. Suponha que A,B e C sejam os vertices de um triangulo e que a, b e c sejam,

respectivamente, os pontos medios dos lados opostos. Mostre que−→Aa+

−→Bb+

−→Cc =

−→0 .

Resolucao: Sabemos que−→Aa =

−→AC +

−→Ca;

−→Bb =

−−→BC +

−→Cb e

−→Cc =

−→CA+

−→Ac

Portanto:

−→Aa+

−→Bb+

−→Cc = (

−→AC +

−→Ca) + (

−−→BC +

−→Cb) + (

−→CA+

−→Ac)

Sabemos tambem que:−→Ca = 1

2

−−→CB;

−→Cb = 1

2

−→CA e

−→Ac = 1

2

−→AB

Portanto:

−→Aa+

−→Bb+

−→Cc =

−→AC + (

1

2

−−→CB) +

−−→BC + (

1

2

−→CA) +

−→CA+ (

1

2

−→AB)

Assim:

−→Aa+

−→Bb+

−→Cc =

−→AC\+1

2

−−→CB+

−−→BC+

1

2

−→CA+

−→CA\+1

2

−→AB =

1

2

−−→CB+

−−→BC+

1

2

−→CA+

1

2

−→AB

Ou ainda:

−→Aa+

−→Bb+

−→Cc = −1

2

−−→BC +

−−→BC︸︷︷︸

12

−−→BC

+1

2

−→CA+

1

2

−→AB︸︷︷︸

12

−−→CB

=1

2

−−→BC +

1

2

−−→CB

Mas, os vetores:−−→BC e

−−→CB sao opostos, sua soma e nula. Concluımos, portanto,

nossa prova:

−→Aa+

−→Bb+

−→Cc =

1

2

−−→BC +

1

2

−−→CB =

−→0

119

6.5 Exercıcios

1. Considere o hexagono regular mostrado na figura abaixo.

Determine:

a) F +−→w ;

b) F +−→v +−→w ;

c) A+−→w +−→u ;

d) B +−→v + 2−→u ;

e) C +−→w −−→v −−→u .

2. Suponha fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaco e sendo P =

(1, 2, 1), −→v = (2,−1, 0) e−−−−→3, 2,−2. Calcule as coordenadas do ponto Q dado por:

a) Q = P +−→v ;

b) Q = P +−→w ;

c) Q = P +−→v +−→w ;

d) Q = P + 2−→v − 3−→w ;

e) Q = P − 5−→v ;

f) Q = P −−→v + 2−→w .

3. Encontre as coordenadas do ponto medio do segmento AB, sendo:

a) A = (1, 2) e B = (0, 1) ;

b) A = (−1, 3) e B = (1, 0) ;

120

c) A = (−1, 3, 2) e B = (1, 0, 3) ;

d) A = (3, 5,−8) e B = (0, 0,−8) .

4. Suponha A, B e C sejam os vertices de um triangulo e que MA, MB e MC sejam,

respectivamente, os pontos medios dos lados opostos. Mostre que−−−→AMA +

−−−→BMB +

−−−→CMC =

−→0 .

5. Prove que o segmento que une os pontos medios dos lados nao - paralelos de um

trapezio e paralelo as bases do trapezio e sua medida e a semi-soma das medidas

das bases.

6. Prove que o segmento que une os pontos medios das diagonais de um trapezio e

paralelo as bases e sua medida e a semidiferenca das medidas das bases.

7. Sendo ABCDEF um hexagono regular de centro O, prove que−→AB +

−→AC +

−−→AD +

−→AE +

−→AF = 6

−→AO .

8. Sejam A,B e C tres pontos distintos e quaisquer. Prove que: X e um ponto da reta

AB se, e somente se,−−→CX = a

−→CA+ b

−−→CB com a+ b = 1 .

9. Sejam B e C dois pontos distintos e M o ponto medio de BC. Prove que, se A e um

ponto qualquer, entao−→AB +

−→AC = 2

−−→AM .

10. Seja A = (4, 2, 0), B = (1, 3, 0) e C = (−1, 2,−1):

a) Verifique se os pontos A,B e C formam um triangulo.

b) Encontre o vetor com ponto inicial em C e ponto final em M , onde M e o

ponto medio do lado AB. (CM e denominada mediana do triangulo ABC).

c) Encontre o vetor com ponto inicial em C e ponto final na mediana CM , local-

izado a 23de C para M .

11. Dados os pontos A,B,C e X tais que−−→AX = m

−−→XB com m ∈

−→R . Expresse

−−→CX em

funcao de−→CA e

−−→CB (e m).

12. Dado um triangulo ABC e os pontos X,Y, Z tais que

−−→AX = m

−−→XB

−−→BY = n

−−→Y C

−→CZ = p

−→ZA

. Exprima

−−→CX,

−→AY ,

−→BZ em funcao de

−→CA e

−−→CB. (e m,n e p).

∗ ∗ ∗

121

Capıtulo 7

Produto Escalar

7.1 Introducao

Neste capıtulo vamos estudar um produto entre dois vetores chamado produto

escalar.

O nome deste produto vem do fato do resultado do produto estar no corpo de escalares,

o que, no nosso caso, significa que o resultado deste produto ‘escalar’ entre dois vetores e

um numero real.

Veremos que o resultado do produto escalar entre dois vetores tem ‘relacao ıntima’

com o angulo entre estes vetores.

Vamos, entao, comecar definindo o angulo entre dois vetores e lembrar alguns nomes

e notacoes.

Dados dois vetores (−→v ,−→w ∈ V), fixamos um ponto A e consideramos os representantes

destes vetores que tem ponto inicial em A. Conforme figura abaixo:

Estes vetores formam dois angulos entre si, que estao marcados na figura acima como

θ e ϕ. Desta figura vemos, imediatamente, que a soma dos angulos θ e ϕ e 360o, ou seja,

θ + ϕ = 360o

Chamamos de angulo entre os vetores −→v e −→w ao menor dos angulos formados entre−→v e −→w . E usamos como notacao para este angulo:

ang(−→v , −→w ) = θ .

122

Assim, so vamos considerar, ao falarmos de angulo entre vetores, o menor angulo. Na

figura abaixo temos a situacao considerada ao fazermos calculos relacionados ao produto

escalar.

Quando o angulo entre dois vetores −→v e −→w e de 90◦, dizemos que os vetores sao

ortogonais. Nao falamos em vetores perpendiculares, pois vetores ‘andam’ no plano ou

no espaco. Por exemplo, se duas retas formam angulo de 90◦ e se interceptam dizemos que

as retas sao perpendiculares. Se duas retas formam angulo de 90◦ e nao se interceptam

dizemos que as retas sao ortogonais.

Quando o angulo entre dois vetores −→v e −→w e menor que 90◦, dizemos que os vetores

formam angulo agudo. Quando o angulo entre dois vetores −→v e −→w e maior que 90◦,

dizemos que os vetores formam angulo obtuso.

Agora, apos termos definido o angulo entre vetores e relembrado o significado de al-

guns termos e definicoes, podemos apresentar e definir o produto escalar em suas formas

geometrica e algebrica e tambem apresentar suas propriedades e algumas aplicacoes sim-

ples.

7.2 Produto Escalar: versao geometrica

O produto escalar e uma operacao entre vetores definida e fechada no espaco dos

vetores. Assim:

V × V → IR

(−→v ,−→w ) → −→v · −→w

O produto escalar entre os vetores −→v e −→w e dado por:

−→v · −→w = |−→v | |−→w | cos θ

onde θ e o (menor) angulo entre −→v e −→w .

123

Aqui cabem algumas observacoes sobre o produto escalar:

1. |−→v | ∈ IR, |−→w | ∈ IR, cos θ ∈ IR. Portanto: |−→v | |−→w | cos θ ∈ IR, ou seja, −→v · −→w =

|−→v | |−→w | cos θ ∈ IR.

2. O nome do produto escalar e, como ja foi dito, devido ao resultado deste produto

(entre dois vetores) ser um escalar, que no nosso contexto significa dizer que e um

numero real.

3. O angulo θ pode ser medido em graus, em radianos, ou outra medida qualquer de

angulos. Neste llivro, por comodidade, usaremos angulos apenas em graus.

4. Existem outras notacoes para produto escalar, como por exemplo: −→v ⊙−→w . Mas no

decorrer de nesse livro iremos utilizar, basicamente, a notacao −→v · −→w .

Antes de darmos seguimento aos nossos estudos de produto escalar, vamos abrir um

breve parentesis para relembrar algumas nocoes importantes sobre angulos e medidas de

angulos.

Como o estudante ja deve saber, existem algumas funcoes, que chamamos de funcoes

trigonometricas, definidas no conjunto de numeros reais, que usamos para ‘avaliar’

angulos. Em particular, nessa parte de nosso livro, o estudante precisara saber somente o

resultado de algumas destas funcoes para alguns angulos notaveis. A tabela abaixo sera

de grande utilidade neste e nos proximos capıtulos de nosso livro.

0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦

seno 0 12

√22

√32

1

cosseno 1√32

√22

12

0

tangente 0 1√3

1√3 ∃�

124

Exemplos

1. Dados os vetores representados pelos segmentos−→AB,

−→AC e

−−→BC do triangulo

retangulo da figura abaixo.

Calcule:

a)−→AB ·

−→AC.

Resolucao:−→AB ·

−→AC =

∣∣−→AB ∣∣∣∣−→AC ∣∣ cos( 90◦) = (5)(5√3)(0) = 0

b)−→AC ·

−→AB.

Resolucao:−→AC ·

−→AB =

∣∣−→AC ∣∣∣∣−→AB ∣∣ cos( 90◦) = (5√3)(5)(0) = 0

Da resolucao dos itens (a) e (b) vemos, explicitamente, que nao importa a

ordem dos vetores no produto escalar, o resultado e sempre o mesmo.

c)−→AB ·

−−→BC.

Resolucao:

−→AB ·

−−→BC =

∣∣−→AB ∣∣∣∣−−→BC∣∣ cos( 120◦) = (5)(10)

(−1

2

)= −25

d)−−→BC ·

−→AB.

Resolucao:

−−→BC ·

−→AB =

∣∣−−→BC∣∣∣∣−→AB ∣∣ cos( 120◦) = (10)(5)

(−1

2

)= −25

Da resolucao dos item (c) e (d) vemos, novamente, que nao importa a ordem

dos vetores no produto escalar, o resultado e o mesmo.

125

e)−→AB ·

−→AB.

Resolucao:−→AB ·

−→AB =

∣∣−→AB ∣∣∣∣−→AB ∣∣ cos( 0◦) = (5)(5)(1) = 52 = 25

f)−→BA ·

−−→BC.

Resolucao:

−→BA ·

−−→BC =

∣∣−→BA∣∣∣∣−−→BC

∣∣ cos( 60◦) = (5)(10)

(1

2

)= 25

7.3 Propriedades do Produto Escalar

As propriedades do produto escalar sao de grande importancia ao utilizarmos esta

operacao entre vetores em suas aplicacoes. Assim, vamos enuncia-las.

Dados os vetores −→v ,−→w ,−→u ∈ V e a, b ∈ IR, podemos enunciar as seguintes propriedades

para o produto escalar:

1. −→v · −→w = −→w · −→vPropriedade Comutativa

2. −→v ·(a−→w

)=(a−→v

)· −→w = a

(−→v · −→w)

3. −→v · (−→w +−→u ) = −→v · −→w +−→v · −→uPropriedade Distributiva

4. −→v · −→v ≥ 0

5. −→v · −→v = 0 se, e somente se, −→v =−→0

6. Se −→v = −→0 e −→w = −→

0

Entao

cos θ =−→v · −→w∣∣−→u ∣∣∣∣−→w ∣∣

7. Como −→v · −→v =∣∣−→v ∣∣∣∣−→v ∣∣ 1︷︸︸︷

cos 0◦ ⇒ −→v · −→v =∣∣−→v ∣∣2

Assim temos que ∣∣−→v ∣∣ = √−→v · −→v

126

As cinco primeiras propriedades sao mais naturais e intuitivas que as duas ultimas

e sao usadas sem sequer notarmos sua utilizacao. As propriedades 6 e 7, por sua vez,

serao utilizadas explicitamente em nossas aplicacoes do produto escalar e nos serao muito

importantes ao fazermos algumas deducoes e calculos.

7.4 Produto Escalar e Angulo entre Vetores

Neste momento de nosso livro cabe uma observacao muito importante sobre o produto

escalar. Pelo que ja vimos ate aqui, a ligacao entre angulo entre vetores e produto escalar

e notavel. Falou em angulo entre vetores pense em produto escalar.

O sinal do produto escalar ja e suficiente para nos fornecer importantes informacoes

sobre o angulo entre os vetores do produto escalar. Pois:

1. Se −→v · −→w = 0, entao:

ou −→v =

−→0

ou −→w =−→0

ou −→v ⊥ −→w.

2. Se −→v · −→w > 0, entao ang(−→v ,−→w ) e agudo.

3. Se −→v · −→w < 0, entao ang(−→v ,−→w ) e obtuso.

4. Se os vetores −→v e −→w sao nao nulos, entao cos θ =−→v · −→w∣∣−→v ∣∣∣∣−→w ∣∣ , onde θ = ang (−→v , −→w ).

Ao trabalharmos com produto escalar devemos ter bastante cuidado. Nao vale a ‘lei

de cancelamento’ para produto escalar, ou seja, se o resultado do produto escalar de dois

vetores −→w e −→u por um terceiro −→v e igual nao significa que os vetores −→w e −→u sao iguais.

−→v · −→w = −→v · −→u ⇒\ −→w = −→u

No lema a seguir, apresentamos qual conclusao podemos chegar quando o resultado do

produto escalar de dois vetores −→w e −→u por um terceiro −→v apresenta o mesmo resultado.

Lema 7.1: Dados os vetores −→v ,−→w e −→u nao nulos, com −→w = −→u , temos:

−→v · −→w = −→v · −→u ⇒ −→v ⊥ (−→w −−→u )

127

A demonstracao deste lema e simples e direta. Vamos a ela.

Demonstracao do Lema 7.1: Considere os vetores −→v ,−→w e −→u nao nulos, de forma

que:

−→v · −→w = −→v · −→u

Neste caso podemos escrever que:

−→v · −→w −−→v · −→u = 0 ⇒ −→v · (−→w −−→u ) = 0

O que nos da:

−→v ⊥ (−→w −−→u )

7.5 Produto Escalar: Versao Algebrica

Apresentado o produto escalar em sua forma geometrica e tambem suas propriedades,

precisamos definir sua versao algebrica e comecar a usar e combinar as duas versoes do

produto escalar para resolver os problemas e situacoes que nos forem apresentados.

Para apresentarmos a versao algebrica do produto escalar, vamos considerar, nova-

mente, que o produto escalar e uma operacao definida em:

V × V → IR

(−→v ,−→w ) → −→v · −→w

Assim, fixado um sistema de coordenadas cartesianas (no plano ou no espaco), temos:

⋄ No plano: Se −→v = (v1, v2) e−→w = (w1, w2), entao:

−→v · −→w = v1w1 + v2w2

⋄ No espaco: Se −→v = (v1, v2, v3) e−→w = (w1, w2, w3), entao

−→v · −→w = v1w1 + v2w2 + v3w3

128

Exemplos

1. Fixado um sistema cartesiano de coordenadas (no plano ou no espaco), calcule.−→v · −→w , para:

a) −→v = (−1, 2) e −→w = (2, 5).

Resolucao: Para estes vetores temos que:

−→v · −→w = (−1, 2) · (2, 5) = −2 + 10 = 8

b) −→v = (−1, 2) e −→w = (2, 5).

Resolucao:

−→w · −→v = (2, 5) · (−1, 2) = −2 + 10 = 8

c) −→v = (−1, 2) e −→w = (2, 1).

Resolucao:

−→w · −→v = (−1, 2) · (2, 1) = −2 + 2 = 0

d) −→v = (−1, 2) e −→w = (0, 0).

Resolucao:

−→w · −→v = (2, 5) · (0, 0) = 0 + 0 = 0

e) −→v = (−1, 0, 2) e −→w = (2, 5, 0).

Resolucao:

−→v · −→w = (−1, 0, 2) · (2, 5, 0) = −2 + 0 + 0 = −2

f) −→v = (−1, 2, 3) e −→w = (2, 5, 1).

Resolucao:

−→w · −→v = (2, 5, 3) · (−1, 2, 1) = −2 + 10 + 3 = 11

g) −→v = (−1, 2,−4) e −→w = (2, 1, 1).

Resolucao:

−→w · −→v = (−1, 2,−4) · (2, 1, 1) = −2 + 2− 4 = −4

h) −→v = (−1, 2, 3) e −→w = (0, 1, 5).

Resolucao:

−→w · −→v = (−1, 2, 3) · (0, 1, 5) = 2 + 15 = 17

129

2. Fixado um sistema de coordenadas no plano ou no espaco, determine o cosseno do

angulo entre os vetores −→v e −→w , para:

a) −→v = (−1, 2) e −→w = (2, 1).

Resolucao: ∣∣ (−1, 2)∣∣ =√(−1)2 + (2)2 =

√5∣∣ (2, 1) ∣∣ =√(2)2 + (1)2 =

√5

−→v · −→w = (−1, 2) · (2, 1) = −2 + 2 = 0

Portanto:

cos θ =−→v · −→w∣∣−→v ∣∣∣∣−→w ∣∣ = 0√

5√5= 0

Assim, cos θ = 0 =⇒ θ = 90o. Portanto, os vetores −→v = (−1, 2) e −→w = (2, 1)

sao ortogonais. Ou seja, −→v ⊥ −→w .

b) −→v = (−3, 1) e −→w = (1,−1).

Resolucao: ∣∣−→v ∣∣ = ∣∣ (−3, 1)∣∣ =√(−3)2 + (1)2 =

√10∣∣−→w ∣∣ = ∣∣ (1,−1)

∣∣ =√(1)2 + (−1)2 =√2

−→v · −→w = (−3, 1) · (1,−1) = −3− 1 = −4

Portanto:

cos θ =−→v · −→w∣∣−→v ∣∣∣∣−→w ∣∣ = −4√

10√2= − 4

2√5= − 2√

5

cos θ = − 2√5

Assim, dizemos que θ e ‘o angulo cujo cosseno da’ − 2√5, ou θ = ‘o arco cujo

cosseno da’ − 2√5. Matematicamente:

θ = arccos

(− 2√

5

)c) −→v = (1,−1, 4) e −→w = (2,−2,−1).

Resolucao: ∣∣−→v ∣∣ = ∣∣ (1,−1, 4)∣∣ =√ (1)2 + (−1)2 + (4)2 =

√18∣∣−→w ∣∣ = ∣∣ (2,−2,−1)

∣∣ =√ (2)2 + (−2)2 + (−1)2 =√9 = 3

130

−→v · −→w = (1,−1, 4) · (2,−2,−1) = 2 + 2− 4 = 0

cos θ =−→v · −→w∣∣−→v ∣∣∣∣−→w ∣∣ = 0

3√18

= 0

Como cos θ = 0 =⇒ θ = 90o. Dizemos que os vetores sao ortogonais: −→v ⊥ −→w .

d) −→v = (−2, 6, 3) e (1,−2, 5).

Resolucao:∣∣−→v ∣∣ = ∣∣ (−2, 6, 3)∣∣ =√ (−2)2 + (6)2 + (3)2 =

√49 = 7∣∣−→w ∣∣ = ∣∣ (1,−2, 5)

∣∣ =√ (1)2 + (−2)2 + (5)2 =√30

−→v · −→w = (−2, 6, 3) · (1,−2, 5) = −2− 12 + 15 = 1

cos θ =−→v · −→w∣∣−→v ∣∣∣∣−→w ∣∣ = 1

7√30

cos θ =1

7√30

θ = arccos

(1

7√30

)e) −→v = (−3, 0, 1) e −→w = (3, 1, 0).

Resolucao: ∣∣−→w ∣∣ = ∣∣ (3, 1, 0) ∣∣ =√ (3)2 + (1)2 + (0)2 =√10∣∣−→v ∣∣ = ∣∣ (−3, 0, 1)

∣∣ =√ (−3)2 + (0)2 + (1)2 =√10

−→v · −→w = (−3, 0, 1) · (3, 1, 0) = −6

cos θ =−→v · −→w∣∣−→v ∣∣ ∣∣−→w ∣∣ =

−9√10√10

cos θ = − 9

10

Assim,

θ = arccos

(− 9

10

)

131

3. Fixado um sistema de coordenadas no espaco e sendo A = (1, 0, 2), B = (1, 1, 1) e

C = (2, 0, 0), calcule:

a)−→AB ·

−→AC.

Resolucao: Cuidado: Nao podemos fazer produto escalar com as coorde-

nadas dos pontos! Primeiramente, vamos encontrar as coordenadas dos ve-

tores:−→AB = B − A = (1, 1, 1)− (1, 0, 2) = (0, 1,−1)

−→AC = C − A = (2, 0, 0)− (1, 0, 2) = (1, 0,−2)

Agora, podemos calcular o produto escalar:−→AB ·

−→AC = (0, 1,−1) · (1, 0,−2) = 0 + 0 + 2 = 2

−→AB ·

−→AC = 2

b) O cosseno do angulo entre−→AB e

−→AC.

Resolucao: Determinando as coordenadas dos vetores (calculo ja feito no item

anterior), temos:−→AB = (0, 1,−1)

−→AC = (1, 0,−2)

Calculando os modulos destes vetores:

|−→AB| = |(0, 1,−1)| =

√2

|−→AC| = |(1, 0,−2)| =

√5

e pelo produto escalar entre eles (tambem ja calculado no item anterior):−→AB ·

−→AC = 2

Podemos calcular o cosseno do angulo entre os vetores como sendo:

cos θ =

−→AB ·

−→AC

|−→AB| |

−→AC|

=2√2√5=

2√10

cos θ =2√10

Ou, se quisermos racionalizar a fracao:

cos θ =

√10

5.

132

4. Supondo fixado um sistema de coordenadas no espaco, determine se o angulo entre

os vetores e agudo, obtuso ou reto.

a) −→v = (1,−2,−3) e −→w = (1, 1, 0).

Resolucao: Para determinarmos se o angulo entre os vetores e agudo, ob-

tuso ou reto, devemos calcular o valor do produto escalar entre os vetores e

verificarmos se ele e positivo, negativo ou nulo, respectivamente.

Assim:

−→v · −→w = v1w1 + v2w2 + v3w3 = 1 · 1 + (−2) · 1 + (−3) · 0 = −1

Como, −→v · −→w = −1 < 0, o angulo entre os vetores −→v e −→w e obtuso.

b) −→v = (1,−2,−3) e −→w = (−2, 4,−6).

Resolucao: Neste caso, temos que:

−→v · −→w = v1w1 + v2w2 + v3w3 = 1 · (−2) + (−2) · 4 + (−3)(− 6) = 8

Desta forma, −→v · −→w = 8 > 0, portanto o angulo entre os vetores −→v e −→w e

agudo.

c) −→v = (5,−3, 1) e −→w = (2, 1,−7).

Resolucao: Neste caso, temos que:

−→v · −→w = v1w1 + v2w2 + v3w3 = 5 · 2 + (−3) · 1 + 1 · (−7) = 0

Como, −→v · −→w = 0, portanto o angulo entre os vetores −→v e −→w e reto.

5. Prove que as diagonais de um quadrado sao perpendiculares.

Resolucao: Vamos considerar o quadrado ABCD,−−→DC = −→v e

−−→CB = −→w , conforme

a figura a seguir:

133

Neste caso, podemos escrever que: diagonal−−→DB = −→v +−→w ; e diagonal

−→AC = −→v −−→w .

Queremos provar que as diagonais sao perpendiculares, portanto basta provar que:

(−→v +−→w ) · (−→v −−→w ) = 0.

(−→v +−→w ) · (−→v −−→w ) = −→v · −→v −−→v · −→w +−→w · −→v −−→w · −→w = |−→v |2 − |−→w |2

Como |−→v | = |−→w |, temos que:

(−→v +−→w ) · (−→v −−→w ) = 0

E esta provado o que querıamos demonstrar: que as diagonais de um quadrado sao

perpendiculares.

6. Mostre que o vetor −→v =−→BA

|−→BA|+

−−→BC

|−−→BC|e paralelo a bissetriz do angulo ABC, qualquer

que seja o angulo ABC.

Resolucao: Observe que:

⋄−→BA

|−→BA|e um versor na direcao do vetor

−→BA.

⋄−−→BC

|−−→BC|

e um versor na direcao do vetor−−→BC.

Vamos considerar os representantes destes versores com ponto inicial B:

⋄−→BA

|−→BA|

=−−→BM

⋄−−→BC

|−−→BC|=

−−→BN

Vamos considerar um representante de−−→BM com ponto inicial em N ,

−−→BM =

−−→NP .

O triangulo BNP , e um triangulo isosceles, pois |−−→BN | = |−−→NP | = 1 e, portanto, os

angulos PBN e BPN sao iguais.

Vamos considerar um representante de−−→BN com ponto inicial em M ,

−−→BN =

−−→MP .

O triangulo BMP , e um triangulo isosceles, pois |−−→BM | = |

−−→MP | = 1 e, portanto, os

angulos MBP e MPN sao iguais.

Observarmos que os triangulos BNP e BMP sao identicos.

Concluimos que os angulos MBP e PBN sao iguais.

134

Assim, provamos que:

−−→BP =

−−→BM +

−−→MP =

−→BA

|−→BA|

+

−−→BC

|−−→BC|

e paralelo a bissetriz do angulo MBN .

7. Considerando fixado um sistema de coordenadas cartesianas, ache −→u de norma√3,

ortogonal a −→v = (4,−1, 5) e a −→w = (1,−2, 3).

Resolucao: Sendo −→u = (a, b, c), temos:

⋄ A norma de −→u e√3, ou seja, |−→u | =

√3 ⇒ |(a, b, c)| =

√3 ⇒√

a2 + b2 + c2 =√3 ⇒ a2 + b2 + c2 = 3.

⋄ −→u ortogonal a −→v , ou seja −→u · −→v = 0 ⇒ (a, b, c) · (4,−1, 5) = 0 ⇒4a− b+ 5c = 0.

⋄ −→u ortogonal a −→w , ou seja −→u · −→v = 0 ⇒ (a, b, c) · (1,−2, 3) = 0 ⇒a− 2b+ 3c = 0.

Assim, ficamos com o sistema:

a2 + b2 + c2 = 3

4a− b+ 5c = 0

a− 2b+ 3c = 0

Multiplicando a segunda equacao por −2, temos:

a2 + b2 + c2 = 3

−8a+ 2b− 10c = 0

a− 2b+ 3c = 0

Somando a segunda com a terceira equacao obtemos a equacao: −7a− 7c = 0 ⇒a = −c

Voltando e substituindo a = −c na terceira equacao, temos: −c− 2b + 3c = 0 ⇒b = c

Substituindo b = c e a = −c na primeira equacao, temos;

(−c)2 + (c)2 + c2 = 3 ⇒ 3c2 = 3 ⇒ c = 1 ou c = −1.

Conclusao: temos dois vetores que satisfazem as condicoes do enunciado.

Para:

135

⋄ c = 1 ⇒ a = −1 e b = 1, ⇒ −→u = (−1, 1, 1)

⋄ c = −1 ⇒ a = 1 e b = −1, ⇒ −→u = (1,−1,−1)

E, portanto: −→u = (−1, 1, 1) ou −→u = (1,−1,−1).

7.6 Trabalho de uma Forca

Uma importante aplicacao do produto escalar esta na Fısica e e o calculo de uma das

grandezas mais importantes da Fısica: o trabalho realizado por uma forca sobre

um corpo ou partıcula.

No primeiro componente curricular da area de Fısica que os estudantes universitarios

da area de exatas fazem na graduacao, eles aprendem a calcular o trabalho, qual seu

significado e como isto influencia e determina a energia total e a variacao de energia da

partıcula e do sistema a sua volta. Por enquanto, basta-nos apenas saber que o trabalho

de uma forca e definido em termos de um produto escalar e aprender a calcula-lo.

Considere uma partıcula ou corpo que estejamos estudando. Esta partıcula realiza um

deslocamento ∆−→r ao longo de uma reta enquanto esta sob a acao de uma forca constante−→F 1. Veja que tanto o deslocamento quanto a forca sao vetores e, por isto, estao definidos

por modulo, direcao e sentido.

O trabalho realizado pela forca−→F sobre a partıcula durante o movimento e definido,

matematicamente, por:

W =−→F ·∆−→r

Por ser o resultado de um produto escalar, o trabalho e uma grandeza escalar, nao

tendo nenhuma direcao ou sentido associados a ele. Pela definicao de trabalho, vemos

que uma forca aplicada sobre um corpo so realiza trabalho se houver um deslocamento

do corpo e, mais ainda, se este deslocamento nao for perpendicular a direcao da forca.

Vemos tambem que o trabalho pode ser uma grandeza positiva ou negativa ou mesmo

nula, mesmo com os modulos da forca e do deslocamento diferentes de zero.

No Sistema Internacional de Unidades (SI), que e o sistema de unidades mais utilizado

na Fısica, a unidade de distancia e o metro (m) e a de forca e o newton (N) e a unidade

de trabalho e o joule (J).

Vamos a alguns exemplos para compreendermos melhor o conceito e o calculo do

trabalho de uma forca.

1A forca e um dos vetores que na Fısica sao representados por uma letra maiuscula.

136

Exemplos

1. Um bloco de pedra esta sendo deslocado com velocidade constante sobre o piso

de uma fabrica por um operario que faz, sobre o bloco, uma forca de magnitude

igual a 50 N com um angulo de 30o com o sentido do movimento do bloco. Qual

o trabalho realizado pelo operario enquanto desloca o bloco por 10 metros sobre o

piso da fabrica?

137

Resolucao: O trabalho realizado pelo operario sobre o bloco e dado por:

W =−→F ·∆−→r =

∣∣−→F ∣∣ ∣∣∆−→r∣∣ cos θ

Como o angulo entre a forca e o deslocamento vale

θ = 30o ⇒ cos θ = cos 30=√3

2

Temos que o trabalho sera:

W = 50 · 10 ·√3

2∼= 433, 0127 J ∼= 430 J

2. Um homem, no alto de uma ladeira e por meio de uma corda, segura uma cacamba

de ferro que desce lentamente ladeira abaixo. Sabendo que o homem faz uma forca

de 1000 N sobre a cacamba e que esta desce 80 m pela ladeira, determine o trabalho

realizado pelo homem sobre a cacamba.

Resolucao:A forca que o homem faz sobre a cacamba enquanto ela se desloca tem

sentido contrario ao movimento, portanto:

θ = 180o ⇒ cos θ = −1

Assim, o trabalho realizado sobre a cacamba e dado por:

W =−→F ·∆−→r =

∣∣−→F ∣∣ ∣∣∆−→r∣∣ cos θ

W = 1000 · 80 · (−1) = −80000 J = −8, 0× 104 J

3. Sobre uma partıcula puntiforme e aplicada uma forca dada por−→F = (3, 5,−4),

em newtons, equanto ela se desloca, em linha reta, do ponto P1 = (2,−3, 5) ate

a posicao P2 = (7,−10, 5), onde as coordenadas das duas posicoes sao dadas em

metros. Determine o trabalho realizado pela forca−→F sobre a partıcula.

Resolucao: Neste caso, precisamos usar a forma algebrica do produto escalar para

calcular o trabalho.

Para obtermos o vetor deslocamento da partıcula precisamos usar as coordenadas

dos pontos inicial e final. Assim:

∆−→r = P2 − P1 = (7,−10, 5)− (2,−3, 5) = (5,−7, 0)

Desta forma, o trabalho realizado pela forca−→F sobre a partıcula vale:

W =−→F ·∆−→r = F1∆r1 + F2∆r2 + F3∆r3

W = 3 · 5 + 5 · (−7) + (−4) · 0 = −20 J

138

Ao estudar a dinamica de um corpo, o estudante aprendera que o trabalho e a quan-

tidade de energia transferida dos arredores para a partıcula ou da partıcula para os

arredores. Assim, percebera que um trabalho positivo significa que ha transferencia de

energia dos arredores para o corpo; que um trabalho negativo e a transferencia de energia

do corpo para os arredores; e que se o trabalho total realizado pela forca for nulo nao

houve transferencia de energia entre o corpo e os arredores durante o deslocamento.

O estudante tambem aprendera a usar o calculo do trabalho para prever o movimento

e/ou a posicao de um corpo em dado instante de tempo. Mas, por enquanto, basta que

o estudante saiba calcular o trabalho de uma forca sobre um corpo e que esta e uma

importante aplicacao do produto escalar.

7.7 Projecao Ortogonal

Usando o produto escalar entre dois vetores podemos definir a projecao de um vetor

na direcao de outro. Esta projecao e chamada de projecao ortogonal e e definida e

estudada nesta seccao.

Dados dois vetores, nao nulos, −→v e −→w , o vetor:

proj−→v−→w =

[ −→w · −→v−→v · −→v

]−→v

e a projecao do vetor −→w na direcao do vetor −→v , ou seja, e a projecao ortogonal de −→wsobre −→v . Esta projecao esta mostrada esquematicamente na figura abaixo.

Referente a projecao de vetores podemos fazer as seguintes observacoes:

1. Temos que −→w · −→v ∈ IR e −→v · −→v ∈ IR, portanto,

[ −→w · −→v−→v · −→v

]∈ IR. Assim o vetor[ −→w · −→v

−→v · −→v

]−→v e paralelo ao vetor −→v .

2. Ja o vetor

[ −→v · −→w−→w · −→w

]−→w e paralelo ao vetor −→w . Portanto, se −→v = −→w entao

proj−→w−→v = proj−→v

−→w .

139

3. Em geral, escrevemos:

proj−→w−→v =

−→v · −→w−→w · −→w

−→w ou proj−→w−→v =

−→v · −→w|−→w |2

−→w

4. Se |−→w | = 1, ou seja, −→w e um versor, temos que proj−→w−→v = (−→v · −→w )−→w

Exemplos: Para cada par de vetores −→v e −→w dados a seguir, determine proj−→v−→w e

proj−→v−→w .

a) −→w = (1,−2) e −→v = (−2,−3)

i)


−→w · −→v−→v · −→v

−→v =(1,−2) · (−2,−3)

(−2,−3) · (−2,−3)(−2,−3)


−→w · −→v−→v · −→v

−→v =4

13(−2,−3) =

(−8

13,−12

13

)ii)


−→v · −→w−→w · −→w

−→w =(−2,−3) · (1,−2)

(1,−2) · (1,−2)(1,−2)


−→v · −→w−→w · −→w

−→w =4

5(1,−2) =

(4

5,−2

5

)b) −→w = (1,−2,−3) e −→v = (1, 1, 1)

i)


−→w · −→v−→v · −→v

−→v =(1,−2,−3) · (1, 1, 1)(1, 1, 1) · (1, 1, 1)

(1, 1, 1)


−→w · −→v−→v · −→v

−→v = −4

3(1, 1, 1) =

(−4

3,−4

3,−4

3

)ii)


−→v · −→w−→w · −→w

−→w =(1, 1, 1) · (1,−2,−3)

(1,−2,−3) · (1,−2,−3)(1,−2,−3)


−→v · −→w−→w · −→w

−→w = − 4

14(1,−2,−3) =

(−2

7,4

7,6

7

)

140

7.8 Decompondo Vetores

A decomposicao de vetores e uma aplicacao direta da projecao ortogonal e, por isto,

uma aplicacao do produto escalar.

Quando falamos em decomposicao de um vetor −→v , por exemplo, estamos falando em

escrever este vetor em termos de um vetor −→w e de um outro vetor que seja perpendicular

a −→w . Ou seja, dado um vetor −→v , queremos escrever este vetor como soma de um vetor

paralelo a −→w e um vetor ortogonal a −→w , sendo −→w vetor nao nulo.

Sempre que decompomos um vetor −→v estamos escrevendo este vetor em termos de

dois vetores: um vetor paralelo ao vetor −→w e outro ortogonal a −→w , sendo −→w = −→0 . Ou,

em outras palavras, queremos −→v = −→a +−→b , com −→a ∥ −→w e

−→b ⊥ −→w com −→w = −→

0 .

Como −→a e paralelo a −→w podemos pensar em tomar −→a = proj−→w−→v . Neste caso, como:


[−→v · −→w−→w · −→w

]−→w , teremos:

−→v = −→a +−→b = proj−→w

−→v +−→b =

[−→v · −→w−→w · −→w

]−→w +

−→b ⇒

−→b = −→v −

[−→v · −→w−→w · −→w

]−→w

Portanto:

−→v =

[−→v · −→w−→w · −→w

]−→w︸︷︷︸

Paralelo a −→w

+

(−→v −

[−→v · −→w−→w · −→w

]−→w)

︸︷︷︸Ortogonal a −→w

Exemplos

1. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas, escreva o vetor −→v como

soma de um vetor paralelo a −→w e um vetor ortogonal a −→w .

a) −→v = (1,−2) e −→w = (3, 2).

Resolucao: A projecao ortogonal de −→v na direcao de −→w e dada por:


−→v · −→w−→w · −→w

−→w =(1,−2) · (3, 2)(3, 2) · (3, 2)

(3, 2) =−1

13(3, 2)


(− 3

13,− 2

13

)Assim, temos que:

−→v − proj−→w−→v = −→v −

−→v · −→w−→w · −→w

−→w = (1,−2)−(− 3

13,− 2

13

)=

(16

13,−24

13

)

141

Portanto:

−→v =

(− 3

13,− 2

13

)︸︷︷︸Paralelo a (3,2)

+

(16

13,−24

13

)︸︷︷︸Ortogonal a (3,2)

b) −→v = (−1, 2, 3) e −→w = (2, 0, 1).

Resolucao: A projecao ortogonal de −→v na direcao de −→w e dada por:


−→v · −→w−→w · −→w

−→w =(−1, 2, 3) · (2, 0, 1)(2, 0, 1) · (2, 0, 1)

(2, 0, 1)

textrmproj−→w−→v =

1

5(2, 0, 1) =

(2

5, 0,

1

5

)Assim, temos que:

−→v − proj−→w−→v = −→v −

−→v · −→w−→w · −→w

−→w = (−1, 2, 3)−(2

5, 0,

1

5

)−→v − proj−→w

−→v =

(−7

5, 2,

14

5

)Desta forma:

−→v =

(2

5, 0,

1

5

)︸︷︷︸

Paralelo a (2,0,1)

+

(−7

5, 2,

14

5

)︸︷︷︸Ortogonal a (2,0,1)

c) Uma forca−→F = 2

−→i +

−→j − 3

−→k e aplicada a uma espaconave com velocidade

vetorial −→v = 3−→i − −→

j . Expresse−→F como uma soma de um vetor paralelo a

−→v e um vetor ortogonal a −→v .

Observacao:

Neste problema, os vetores estao escritos em termos dos versores−→i ,

−→j e

−→k .

Assim, temos:

⋄−→F = 2

−→i +

−→j − 3

−→k = (2, 1,−3)

⋄ −→v = 3−→i −−→

j = (3,−1, 0)

Portanto:

proj−→v−→F =

−→F · −→v−→v · −→v

−→F =

(2, 1,−3) · (3,−1, 0)

(3,−1, 0) · (3,−1, 0)(3,−1, 0)

proj−→v−→F =

5

10(3,−1, 0) =

1

2(3,−1, 0) =

(3

2,−1

2, 0

)142

E, desta forma, temos que:

−→F − proj−→v

−→F = (2, 1,−3)−

(3

2,−1

2, 0

)=

(1

2,3

2,−3

)Assim, ficamos com:

−→F =

(3

2,−1

2, 0

)︸︷︷︸Paralelo a −→v

+

(1

2,3

2,−3

)︸︷︷︸Ortogonal a −→v

Ou seja:

−→F =

(3

2,−1

2, 0

)︸︷︷︸Paralelo a −→v

+

(1

2,3

2,−6

2

)︸︷︷︸Ortogonal a −→v

Ou seja, temos que:

−→F =

(3

2

−→i − 1

2

−→j

)︸︷︷︸

Paralelo a −→v

+

(1

2

−→i +

3

2

−→j − 3

−→k

)︸︷︷︸

Ortogonal a −→v

Ou podemos escrever que:

−→F =

−→F ∥−→v +

−→F ⊥−→v

onde

−→F ∥−→v =

3

2

−→i − 1

2

−→j e

−→F ⊥−→v =

1

2

−→i +

3

2

−→j − 3

−→k

143

7.9 Exercıcios

1. Dado o hexagono de lado l mostrado na figura abaixo, calcule os produtos escalares

indicados:

a)−→BA ·

−−→BC ;

b)−→BA ·

−−→BD ;

c)−→BA ·

−−→BE ;

d)−→BA ·

−−→BF ;

e)−→BA · −→AF ;

2. Ache o cosseno do angulo entre os vetores −→v e −→w :

a) −→v = (2, 0) e −→w = (−20, 100) ;

b) −→v = (3, 3) e −→w = (−2, 1) ;

c) −→v =

(√3

2,1

2

)e −→w =

(√32, 12

);

d) −→v = (2, 0, 2) e −→w = (−20, 100, 20) ;

e) −→v = (3, 3, 0) e −→w = (−2,−1, 2) ;

f) −→v =

(√3

2,1

2, 0

)e −→w =

(√32, 12.√3).

144

3. Determine −→u ·−→v , |−→u |, |−→v |, o cosseno entre −→u e −→v e as projecoes proj−→v−→u e proj−→u

−→vpara os seguintes conjuntos de −→u e −→v .

(a) −→u = (1, 2,−1) e −→v = (2, 1,−3);

(b) −→u = (4, 0,−7) e −→v = (0,−3,−8) ;

(c) −→u = (3,−1,−1) e −→v = (2,−4, 7) ;

(d) −→u =

(3

2,1√5, 0

)e −→v =

(2,−

√45,

√3).

4. Ache x de modo que −→v ⊥ −→w :

a) −→v = (x, 3) e −→w = (1,−x) ;

b) −→v = (x, x) e −→w = (4, x) ;

c) −→v = (x, 3) e −→w = (x,−x) ;

d) −→v = (x, 0, 3) e −→w = (1, x, 3) ;

e) −→v = (x+ 1, 1, 2) e −→w = (x− 1,−1,−2) ;

f) −→v = (x,−1, 4) e −→w = (x,−3, 1) ;

5. Decomponha o vetor −→u em um vetor paralelo a −→v e outro vetor perpendicular a−→v :

a) −→u = (4,−3,−2) e −→v = (1,−1, 0) ;

b) −→u = (1,−2, 5) e −→v =

(2

3,1

2,−1

5

).

6. Encontre as medidas dos angulos do triangulo cujo os vertices sao A = (2, 0), B =

(−2, 0) e C =

(0,

2√3

3

).

7. Encontre a medida dos angulos entre as diagonais do retangulo cujo os vertices sao

A = (1, 0), B = (0, 3), C = (3, 4) e D = (4, 1).

8. Se −→u 1 e −→u 2 forem vetores unitarios ortogonais e −→v = a−→u 1 + b−→u 2 encontre −→v · −→u 1

e −→v · −→u 2.

9. Obtenha um vetor −→u ortogonal a −→v = (4,−1, 5) e a −→w = (1,−2, 3) tal que −→u ·(1, 1, 1) = −1.

10. Obtenha um vetor −→u ortogonal a −→v = (1, 1, 0) tal que |−→u | =√2 e a medida angular

entre −→u e −→w = (1,−1, 0) seja π4.

145

11. Ache −→v de norma 3√3, sabendo que −→v e ortogonal a −→u = (2,−4). E calcule o

angulo que o vetor encontrado forma com o vetor (1, 0).

12. Ache −→v ortogonal a −→w = (4,−1) que satisfaz −→v · (1, 1) = −1.

13. Ache −→v de norma 3√3, sabendo que −→v e ortogonal a −→w = (2, 3,−1) e a −→u =

(2,−4, 6). Dos vetores −→v encontrados, qual o que forma angulo agudo com o vetor

(1, 0, 0)?

14. Ache −→v ortogonal a −→w = (4,−1, 5) e a −→u = (1,−2, 3) que satisfaz −→v ·(1, 1, 1) = −1.

15. Calcule | 2−→v + 4−→w |2, sabendo que | −→v | = 1, | −→w | = 2 e que o angulo entre −→v e −→we 120◦.

16. Se −→v +−→w +−→u =−→0 , | −→v | = 3

2, | −→w | = 1

2e | −→u | = 2, calcule −→v · w+−→w ·−→u +−→u ·−→v .

17. Sabendo que ang(−→v ,−→w

)= 45◦ e que | −→v | =

√2 e tambem que | −→w | = 1 ache o

angulo entre os vetores −→v +−→w e −→v −−→w .

18. Dado −→v = (0, 1). Decomponha −→w = (−1, 3) como soma de dois vetores −→w 1 e −→w 2

com −→v 1 ⊥ −→v e w2 ∥ −→v .

19. Dado −→v = (0, 1, 3). Decomponha −→w = (−1,−3, 2) como soma de dois vetores −→w 1

e −→w 2 com −→w 1 ⊥ −→v e w2 ∥ −→v .

20. Uma locomotiva foi feita para puxar trens de 6000 toneladas com uma forca de

tracao de 600000 N. Neste nıvel de forca, quanto trabalho, aproximadamente, a

locomotiva realiza na jornada de 600 Km (aproximadamente em linha reta) de Sao

Paulo ao Rio de Janeiro?

21. Quanto trabalho e necessario para deslizar um engradado 20 m ao longo de um cais

puxando-o com uma forca de 200 N em um angulo de 30◦ com a horizontal?

22. Joao esta puxando uma mala com uma forca |−→F | = 10N cujo o angulo com a

horizontal e 30◦. Determine:

a) as componentes perperdicular e paralela ao movimento da forca;

b) o trabalho realizado por Joao para arrastar a mala por 250 metros.

23. Um foguete de 2000 toneladas no campo gravitacional da Terra sobe com uma

aceleracao de 30 m/s2. Supondo que forca da gravidade e constante dada por

P = mg (g = 10 m/s2), calcule o trabalho realizado pelos motores desde a superfıcie

da Terra ate uma altura de 30 Km.

146

24. Uma arma com velocidade de saıda de 400 m/s e disparada a um angulo de 15◦

acima do horizonte. Encontre as componentes horizontal e vertical da velocidade.

25. Suponha que AB seja o diametro de um cırculo com centro O e que C seja um ponto

sobre um dos dois arcos que ligam A e B. Mostre que−→CA e

−−→CB sao ortogonais.

26. Mostre que as diagonais de um losango (paralelogramo com lados de comprimento

iguais) sao perpendiculares.

27. Mostre que os quadrados sao os unicos retangulos com diagonais perpendiculares.

28. Prove que um paralelogramo e um retangulo se e somente se suas diagonais tiverem

comprimentos iguais.

∗ ∗ ∗

147

Capıtulo 8

Produto Vetorial

8.1 Introducao

Neste capıtulo vamos estudar um produto entre dois vetores chamado produto veto-

rial e aprender algumas aplicacoes simples desta multiplicacao entre vetores.

O nome deste produto vemdo resultado do produto estar no conjunto dos vetores V .Veremos, ainda neste capıtulo, que o resultado do produto vetorial entre dois vetores

tem ‘relacao ıntima’ com a area do triangulo e do paralelogramo formado por estes

vetores.

O resultado do produto vetorial de dois vetores nao paralelos e um vetor ortogonal e

estes dois vetores, portanto para esta operacao produto vetorial precisamos que os vetores

estejam no espaco tridimensional

Nao existe produto vetorial no plano. Ou seja, nao existe produto vetorial entre

vetores dados por duplas (duas coordenadas).

8.2 Produto Vetorial: Versao Geometrica

O produto vetorial e uma operacao definida por:

V × V → V(−→v ,−→w ) → −→v ×−→w

−→v ×−→w =

{O vetor:

−→0 se −→v ∥ −→w

O vetor: −→u se −→v ∦ −→w

148

Onde o vetor −→u dado por:

⋄ Direcao: Ortogonal aos vetores −→v e −→w .

⋄ Sentido: dado pela regra da mao direita (veremos logo a seguir).

⋄ Norma: | −→v ×−→w | = | −→v | | −→w | senθ.

Na figura a seguir temos representados os vetores −→v e −→w e tambem o vetor −→u que e

o produto vetorial −→v ×−→w .

Dissemos acima que o sentido do vetor resultado do produto vetorial e dado pela regra

da mao direita. Por isto, precisamos enteder esta importante regra associada ao produto

vetorial.

Na verdade, vamos definir a regra da mao direita de duas formas equivalentes. Cabe

ao estudante escolher a forma que lhe for mais conveniente.

Regra da Mao Direita: Primeira Forma

Dizemos que os vetores do conjunto B =(−→v ,−→w ,−→u

), nesta ordem, obedecem

a regra da mao direita se:

1. Posicionamos o indicador da mao direita na direcao e sentido do primeiro vetor.

2. Posicionamos o dedo medio da mao direita na direcao e sentido do segundo

vetor.

3. E possıvel posicionar o polegar na direcao e sentido do terceiro vetor do con-

junto B.

Na figura a seguir temos, esquematizada a regra da mao direita nessa forma.

149

Regra da Mao Direita: Segunda Forma

⋄ Posicionando os quatro dedos da mao direita aberta na direcao do primeiro vetor

(vetor −→v ), fechamos a mao na direcao do segundo vetor (vetor −→w ) e, com a mao

fechada, o polegar da a direcao e o sentido do terceiro vetor (vetor −→u ).

Voltando a tratar do produto vetorial, devemos lembrar que quando apresentamos o

resultado de um produto vetorial, por ser um vetor, precisa ser explicitado com norma,

direcao e sentido.

A ‘formula’ do produto vetorial, | −→v ×−→w | = | −→v | | −→w | sen θ, so explicita a norma do

vetor resultado da conta −→v ×−→w . Devemos verificar a direcao e sentido do vetor usando

a regra da mao direita.

O angulo θ pode ser medido em graus, em radianos, ou outra medida de angulos

qualquer. Neste capıtulo de nosso livro, por comodidade, continuaremos usando angulos

em graus.

Existem outras notacoes para produto vetorial. Duas bastante usadas sao: −→v ∧−→w ou−→v ⊗−→w .

150

Exemplos

1. Dado o cubo ABCDEFGH de lado l = 1, calcule os produtos pedidos:

a)−→AB ×

−−→AD

Resposta: Como−→AB ∦

−−→AD:

−→AB ×

−−→AD e um vetor dado por:

• Direcao: a direcao do vetor−→AE.

• Sentido: o mesmo sentido do vetor−→AE.

• Norma: |−→AB ×

−−→AD | = |

−→AB | |

−−→AD |sen90◦ = (1)(1)(1) = 1.

Portanto,−→AB ×

−−→AD e um vetor

−→AE.

b)−→AC ×

−→AB

Resposta: Como−→AC ∦

−→AB:

−→AB ×

−−→AD e o vetor dado por:

• Direcao: a direcao do vetor−→AE.

• Sentido: o sentido oposto ao do vetor−→AE.

• Norma: |−→AC ×

−→AB | = |

−→AB | |

−−→AD |sen45◦ = (

√2)(1)

(√22

)= 1.

Portanto,−→AC ×

−→AB e o vetor

−→EA.

151

c)−−→AD ×

−→GF

Resposta: Como−−→AD ∥

−→GF , temos:

Temos que−−→AD ×

−→GF =

−→0 .

d) 12

−−→BC ×

−−→GB

Resposta: Como 12

−−→BC ∦

−−→GB, temos:

12

−−→BC ×

−−→GB e o vetor dado por:

• Direcao: a direcao do vetor−→AB.

• Sentido: o sentido do vetor−→BA (oposto ao sentido de

−→AB).

• Norma:∣∣∣ 12−→AB ×

−−→GB

∣∣∣ = ∣∣∣ 12−→AB ∣∣∣ | −−→GB |sen45◦ =(12

√2)(1)(√

22

)= 1

2.

Portanto,−→AC ×

−→AB e o vetor 1

2

−→BA.

8.3 Propriedades do Produto Vetorial

Dados os vetores −→v ,−→w ,−→u ∈ V e a, b ∈ IR, podemos enunciar as seguintes propriedades

para o produto vetorial:

1. −→v ×−→w = −−→w ×−→v

2. −→v ×(a−→w

)=(a−→v

)×−→w = a

(−→v ×−→w)

3. −→v × (−→w +−→u ) = −→v ×−→w +−→v ×−→uPropriedade Distributiva.

4. (−→w +−→u )×−→v = −→w ×−→v +−→u ×−→vPropriedade Distributiva.

5.−→0 ×−→v =

−→0 e −→v ×−→v =

−→0

6. −→v ×−→w =−→0 se, e somente se,

(−→v ,−→w)e LD.

Para o produto vetorial, nao vale a propriedade associativa, ou seja, −→v ×(−→w ×−→u

)=(−→v ×−→w

)×−→u

Podemos observar isto fazendo o produto vetorial entre os versores−→i ,

−→j e

−→k , que

sao os versores das direcoes dos eixos do sistema de coordenadas cartesianas. Assim

−→i ×

(−→i ×−→

j)=

−→i ×

−→k = −−→

j

152

e (−→i ×−→

i)×−→

j =−→0 ×−→

i =−→0

De onde percebemos, diretamente, que:

−→i ×

(−→i ×−→

j)=(−→i ×−→

i)×−→

j

Para o produto vetorial, tambem nao vale a ‘lei de cancelamento’, ou seja:

−→v ×−→w = −→v ×−→u ⇒\ −→w = −→u

A relacao entre tres vetores cujos produtos vetoriais, dois a dois, sao iguais e dada

pelo seguinte lema.

Lema 8.1: Dados os vetores −→v ,−→w e −→u , com −→w = −→u , temos:

−→v ×−→w = −→v ×−→u ⇒ −→v ∥ (−→w −−→u )

Demonstracao

−→v ×−→w = −→v ×−→u ⇒ −→v ×−→w −−→v ×−→u =−→0 ⇒ −→v × (−→w −−→u ) =

−→0 ⇒

⇒ −→v ∥ (−→w −−→u )

Ha mais duas importantes propriedades do produto vetorial. Estas relacionam o pro-

duto vetorial entre dois vetores com a area do triangulo e do paralelogramo definidos por

estes vetores. Tais propriedades estao enunciadas logo a seguir.

8.4 Produto Vetorial e Area de Polıgonos

O produto vetorial esta diretamente relacionado a area do triangulo e do paralelogramo

definidos pelos vetores do produto vetorial. Vamos estudar e entender esta relacao. Mas,

antes, devemos entender como podemos definir um triangulo e um paralelogramo em

termos de dois vetores nao paralelos.

153

Triangulo

Se o conjunto −→v e −→w sao vetores nao-paralelos, podemos dizer que estes vetores

formam um triangulo.

O triangulo, definido pelos vetores −→v e −→w e construıdo a partir do seguinte proced-

imento:

1. Escolha um ponto A do espaco.

2. Escolha o representante−→AB do vetor −→v .

3. Escolha o representante−→AC do vetor −→w .

O triangulo definido pelos vetores −→v e −→w esta mostrado na figura abaixo.

Paralelogramo

Se os vetores −→v e −→w sao vetores nao-paralelos, podemos dizer que os vetores −→v e−→w formam um paralelogramo.

O paralelogramo, definido pelos vetores −→v e −→w e construıdo a partir do seguinte

procedimento:

1. Escolha um ponto A do espaco.

2. Escolha o representante−→AB do vetor −→v .

3. Escolha o representante−→AC do vetor −→v .

4. Escolha o representante−−→BD do vetor −→w .

5. Escolha o representante−−→CD do vetor −→v .

O paralelogramo definido pelos vetores −→v e −→w esta mostrado na figura abaixo.

154

Apos definirmos o triangulo e o paralelogramo a partir dos vetores−→v e−→w , vamos enun-

ciar a relacao entre o produto vetorial de −→v e −→w e a area destes polıgonos. Estas relacoes

sao as propriedades 6 e 7 do produto vetorial que completam a lista de propriedades

comecadas na secao anterior e estao explicitadas abaixo.

Para enuncia-las precisamos lembrar que −→v e −→w sao vetores nao-paralelos do espaco.

Assim, as propriedades 7 e 8 do produto vetorial sao:

7. A area do paralelogramo formado pelos vetores −→v e −→w e:

A♢ = | −→v ×−→w |

8. A area do triangulo formado pelos vetores −→v e −→w e:

A△ =1

2| −→v ×−→w |

A ligacao entre area de polıgonos e a norma de produto vetorial e notavel. Falou em

area de polıgonos pense em norma de produto vetorial.

Dados os os vetores (na verdade representantes de vetores)−→AB e

−→AC, temos:

1. Area do paralelogramo: AABCD = |−→AB ×

−→AC |

2. Area do triangulo: AABC =1

2

∣∣−→AB ×−→AC

∣∣

155

Exemplos

1. Dado o hexagono regular ABCDEF de lado l = 1 u.c., calcule:

a) A area do retangulo ABDE.

Resolucao: Podemos calcular a area do retangulo ABDE em termos do pro-

duto vetorial entre os vetores−→AB e

−→AE. Assim:

AABDE =∣∣−→AB ×

−→AE∣∣ = ∣∣−→AB∣∣ ∣∣−→AE∣∣ senθ

O modulo de−→AB e igual ao lado do hexagono, ou seja:

−→AB = l = 1 u.c.

Para calcularmos−→AE, podemos ver que

−→AE serve de cateto para o triangulo

retangulo ABE, que tem hipotenusa igual a 2l e o outro cateto igual igual a l.

Assim: ∣∣−→AE∣∣2 + l2 = (2l)2 =⇒∣∣−→AE∣∣2 + 1 = 4∣∣−→AE∣∣ = √3

Como θ = 90o =⇒ senθ = sen90o = 1.


AABDE = 1 ·√3 · 1 =

√3 u.a.

b) A area do triangulo ABE.

Resolucao: Para o triangulo ABE temos que:

AABE =1

2

∣∣−→AB ×−→AE∣∣ = 1

2

√3

AABE =

√3

2u.a.

156

c) A area do hexagono ABCDEF

.Resolucao: A area do hexagono pode ser calculada em termos da area do

retangulo ABDE e das areas dos triangulos AFE e BCD. Assim:

Ahex = AABDE + AAFE + ABCD

A area do retangulo ABDE foi calculada no item (a) deste exemplo e vale

AABDE =√3.

A area do triangulo BCD e, por simetria, igual a area do triangulo AFE, que

pode ser calculada em termos do produto vetorial−→FA×

−→FE como sendo:

AAFE =1

2

∣∣−→FA×−→FE∣∣ = 1

2

∣∣−→FA∣∣ ∣∣−→FE

∣∣ senθMas temos que

∣∣−→FA∣∣ = ∣∣−→FE

∣∣ = l = 1 e θ = 120o =⇒ sen(120o) =

√3

2. Desta

forma:

AAFE =1

2· 1 · 1 ·

√3

2=

√3

4u.a.

Substituindo estes valores, temos que a area do hexagono vale:

Ahex =√3 +

√3

4+

√3

4=

4√3 +

√3 +

√3

4=

6√3

4

Ahex =3√3

2u.a.

2. Dado o cubo ABCDEFGH de lado l = 1, calcule:

a) A area do triangulo AHB.

Resolucao: A area do triangulo AHB pode ser calculada como:

AAHB =1

2

∣∣−→AB ×−−→AH

∣∣ = 1

2

∣∣−→AB∣∣ ∣∣−−→AH∣∣ senθ157

Neste caso, temos que: ∣∣−→AB∣∣ = l = 1 u.c.∣∣−−→AH∣∣ = l√2 =

√2 u.c.

senθ = sen(90o) = 1 (8.1)

Assim:

AAHB = 1 ·√2 · 1 =

√2 u.a.

Observacao: Esta area tambem poderia ter sido calculada usando-se o pro-

duto vetorial entre os vetores−−→HA e

−−→HE e a resposta seria exatamente a mesma.

3. Considerando os versores−→i ,

−→j e

−→k que formam a base do sistema de coordenadas

cartesianas, calcule:

a)−→i ×−→

j ;

Resolucao: Usando a a definicao geometrica do produto vetorial e a regra da

mao direita podemos calcular facilmente este produto vetorial.

O modulo: ∣∣−→i ×−→j∣∣ = ∣∣−→i ∣∣ ∣∣−→j ∣∣ senθ = 1 · 1 · sen90o = 1 .

Tomando a regra da mao direita para determinarmos a direcao e sentido do

vetor−→i ×−→

j , temos que se o indicador representar o versor−→i e o dedo medio

representar o versor−→j , o polegar determinara a direcao e sentido do produto

vetorial que sera exatamente a direcao e sentido do versor−→k .

Portanto, o produto vetorial−→i × −→

j tem modulo igual a 1 (e tambem um

versor) e tem o sentido de−→k . Ou seja:

−→i ×−→

j =−→k

b)−→j ×

−→k ;

Resposta: Usando o mesmo procedimento e raciocınio do item (a) deste exem-

plo, temos que:−→j ×

−→k =

−→i

c)−→k ×−→

i .

Resposta: Usando o mesmo procedimento e raciocınio do item (a) deste exem-

plo, temos que:−→k ×−→

i =−→j

158

8.5 Produto Vetorial: Versao Algebrica

Considerando o produto vetorial entre vetores como a operacao definida por:

V × V → V(−→v ,−→w ) → −→v ×−→w

Vamos, agora, apresentar sua versao algebrica.

Dados dois vetores quaisquer do espaco, −→v = (v1, v2, v3) e−→w = (w1, w2, w3), escritos

em coordenadas cartesianas, o produto vetorial entre esses dois vetores pode ser calculado

pelo determinante simbolico1:

−→v ×−→w =

∣∣∣∣∣∣∣−→i

−→j

−→k

v1 v2 v3

w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣∣Ou seja:

−→v ×−→w = (v2w3 − v3w2)−→i + (v3w1 − v1w3)

−→j + (v1w2 − v2w1)

−→k

Exemplos

1. Dados −→v = (1, 2, 3),−→w = (−1, 0, 1) e −→u = (0,−3, 4), calcule:

a) −→v ×−→w .

Resolucao:

−→v ×−→w =

∣∣∣∣∣∣∣−→i

−→j

−→k

1 2 3

−1 0 1

∣∣∣∣∣∣∣ ⇒ 2−→i − 4

−→j + 2

−→k = (2,−4, 2)

b) −→v ×−→w .

Resolucao:

−→w ×−→u =

∣∣∣∣∣∣∣−→i

−→j

−→k

−1 0 1

0 −3 4

∣∣∣∣∣∣∣ ⇒ −3−→i + 4

−→j + 3

−→k = (−3, 4, 3)

1Simbolico pois ‘seria’ um determinante envolvendo numeros e vetores!

159

2. Supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaco, sendo A =

(1, 2, 3), B = (4,−2, 1) e C = (0, 0, 1), calcule:

a)−→AB ×

−→AC.

Resolucao: Cuidado: Nao podemos usar as coordenadas de pontos para

fazer produto vetorial!

Primeiramente, vamos calcular as coordenadas dos vetores:−→AB = B − A = (4,−2, 1)− (1, 2, 3) = (3,−4,−2)−→AC = C − A = (0, 0, 1)− (1, 2, 3) = (−1,−2,−2)

Agora, podemos calcular:

−→AB ×

−→AC =

∣∣∣∣∣∣∣−→i

−→j

−→k

3 −4 −2

−1 −2 −2

∣∣∣∣∣∣∣ = 4−→i + 8

−→j − 10

−→k = (4, 8,−10)

b) A area do triangulo ABC

Resolucao: Denotando a area do triangulo por AABC , usando o resultado do

item (a) e sabendo que:

AABC =1

2

∣∣−→AB ×−→AC∣∣

temos que:

AABC =1

2

∣∣−→AB ×−→AC∣∣ = 1

2

∣∣(4, 8,−10)∣∣

AABC =1

2

√42 + 82 + (−10)2 =

1

2

√180 =

6√5

2

AABC = 3√5 u.a.

Portanto, area do triangulo ABC vale AABC = 3√5 u.a..

c) A altura hA do triangulo ABC relativa ao vertice A.

Resolucao: Sabemos que a area do triangulo ABC e 3√5.

Sabemos tambem que a area do triangulo ABC e metade do produto da base

pela altura do triangulo, ou seja:

AABC =1

2base× altura

Como queremos a altura em relacao ao vertice A, ou seja hA, a base e BC, isto

e, a base vale |−−→BC|.

160

Primeiramente, vamos calcular as coordenadas do vetor−−→BC

−−→BC = C −B = (0, 0, 1)− (4,−2, 1) = (−4, 2, 0)

|−−→BC| = |(−4, 2, 0)| =√20 = 2

√5

Ficamos com:

AABC =|−−→BC| · hA

2=⇒ 3

√5 =

2√5hA

2=⇒ hA = 3 u.c.

A altura do triangulo ABC, relativa ao vertice A e hA = 3u.c.

8.6 Torque de uma Forca

Ao fazer o primeiro componente curricular da area de Fısica na graduacao, os estu-

dantes aprenderao que ao aplicarmos uma forca em um corpo causamos, no geral, uma

alteracao em seu estado de movimento. Para corpos que nao tenham pontos fixos esta

alteracao no estado de movimento e bem simples de se estudar e corresponde a uma

aceleracao translacional na direcao e sentido da forca aplicada.

No entanto, quando o corpo esta fixo por um ponto ou conjunto de pontos (como

uma porta fixa numa das laterais pelas dobradicas) ou a forca e aplicada fora da linha

do centro de massa do corpo2, a forca aplicada tende a mudar o estado de movimento do

corpo alterando sua velocidade translacional e tambem fazendo-o girar.

A medida da variacao desta quantidade de movimento rotacional, ou melhor dizendo,

a causa das variacoes no movimento rotacional de um corpo e o torque produzido pela

forca aplicada sobre o corpo.

Para entendermos como o torque e definido matematicamente, consideremos a figura

a seguir, onde e aplicada uma forca−→F sobre a chave de boca fazendo-a girar ao redor do

eixo que passa pelo ponto O.

2O conceito de centro de massa tambem sera estudado na Fısica. Em uma primeira e grosseira

aproximacao, pense no centro do objeto ou no cruzamento entre as linhas de simetria do objeto.

161

A forca−→F e aplicada, em geral, fazendo um angulo θ em relacao ao vetor posicao −→r

que da a posicao do ponto de aplicacao da forca em relacao ao ponto O. Assim, o torque

produzido pela forca−→F na chave em relacao ao eixo que passa por O e dado por:

−→τ = −→r ×−→F

Devemos ter em mente que o torque so e definido e calculado quando especificamos

um eixo de referencia em torno do qual o objeto tende a girar e em relacao ao qual e

medido o vetor distancia, −→r , deste eixo ao ponto de aplicacao da forca−→F .

Pela definicao matematica do torque e observando a figura acima, vemos que a com-

ponente da forca−→F que e paralela a −→r , que e F cos θ, nao causa rotacao ao redor do eixo

que passa no ponto O, pois sua linha de acao passa exatamente pelo ponto O. Isto pode

ser percebido, por exemplo, ao tentarmos fechar uma porta empurrando-a ou puxando-a

pela extremidade na direcao das dobradicas.

Devemos frisar que o torque esta para o movimento rotacional como a forca esta para

o movimento translacional e, portanto, para determinarmos a aceleracao angular de um

corpo devido ao torque de certa forca precisamos medir a quantidade de inercia rotacional

deste corpo, uma grandeza fısica que e chamada de momento de inercia e, no geral,

representada pelo sımbolo I. Assim, como os estudantes verao ao esturdar movimentos

rotacionais na Fısica, o torque produzido por uma forca em um corpo em relacao a um

dado eixo esta relacionado a aceleracao angular do corpo, α, pela expressao:

−→τ = I−→α

Combinando as duas equacoes acima para o torque temos que:

−→τ = −→r ×−→F = I−→α

162

Exemplo

1. Para abrir uma porta que possui momento de inercia de 250 kg·m2 em relacao as

suas dobradicas, e aplicada uma forca de 50 N perpendicular a area da porta e a uma

distancia de de 50 cm das dobradicas. Determine a aceleracao angular produzida

pelo torque desta forca sobre a porta.

Resolucao: Neste caso temos que a forca e perpendicular a area da porta e, por-

tanto, perpendicular ao vetor −→r , de forma que o torque produzido sobre a porta

sera:

−→τ = −→r ×−→F = rF senθ = 0, 5 (m) · 250 (N) · sen(90o) = 125 N ·m

Relacionando o torque a aceleracao angular, temos, em modulo, que:

τ = I · α =⇒ α =τ

I

Assim:

α =τ

I=

125 (N ·m)

250 (kg ·m2)= 0, 5 rad/s

onde expressamos todas as unidades das grandezas fısicas em unidades do Sistema

Internacional de Unidades ou SI.

8.7 Exercıcios

1. Considere o hexagono regular da figura:

Calcule o modulo de cada produto vetorial a seguir e indique o sentido do vetor

resultante (entrando na pagina ou saind da pagina) usando a regra da mao direita:

163

a)−→AB ×

−→AF ;

b)−→AB ×

−−→BE ;

c)−→FC ×

−−→AD ;

d)−−→CE ×

−→AC .

2. Calcule −→v ×−→w e −→w ×−→v :

a) −→v = (6,−2,−4) e −→w = (−2,−4, 2) ;

b) −→v = (7, 0,−3) e −→w = (1,−2, 3) ;

c) −→v = (1,−3, 1) e −→w = (1, 1, 2) ;

d) −→v = (2, 1, 2) e −→w = (−4,−2,−4) ;

e) −→u =

(1

2,5

3,3

2

)e −→v =

(−2

7,4

3, 2

);

f) −→u =

(3

2,1√5, 0

)e −→v =

(2,−

√45,

√3).

3. Esboce os eixos das coordenadas e inclua os vetores −→u , −→v e −→u ×−→v com inıcio na

origem.

(a) −→u = (2, 0, 0) e −→v = (0, 1, 0);

(b) −→u = (1, 0,−1) e −→v = (0,−1, 0);

(c) −→u = (1, 0,−1) e −→v = (0, 1, 2).

4. Se ang(−→v · −→w

)= 30◦, | −→v | = 1 e | −→w | = 7, calcule:

a) | −→v ×−→w | ;

b)

∣∣∣∣ 13−→v × 2

3−→w∣∣∣∣ .

5. Sendo ABCD um tetraedro regular de lado unitario, calcule |−→AB ×

−→AC | .

6. Encontre a area do triangulo determinado pelos pontos P , Q e R, e o versor per-

pendicular a este triangulo.

(a) P = (1, 2, 0), Q = (1, 3, 0) e R = (−1, 2,−1) ;

(b) P = (−4,−2, 1), Q = (1, 3, 1) e R = (−1, 2,−2) .

164

7. Encontre as areas dos triangulos cujos vertices sao dados a seguir:

(a) A = (0, 0), B = (−2, 3) e C = (3, 1) ;

(b) A = (−6, 0), B = (10,−5) e C = (−2, 4) .

8. Encontre as areas dos paralelogramos cujos vertices sao dados a seguir:

(a) A = (1, 0), B = (0, 1), C = (−1, 0) e D = (0,−1) ;

(b) A = (−6, 0), B = (3, 1), C = (1,−4), e D = (−4, 5) .

9. Encontre uma formula para a area de um triangulo com vertices (a1, a2), (b1, b2) e

(c1, c2).

10. Se A = (1,−2, 3), B = (1,−1, 1) e C = (0, 0, 3):

a) Verifique se ABC e um triangulo.

b) Sendo D = C +−→AB. Calcule a area do paralelogramo ABCD.

c) Calcule a altura do paralelogramo relativa a base AB.

d) Calcule a altura do paralelogramo relativa a base AC.

e) Calcule a area do triangulo ABC.

f) Calcule a altura do triangulo ABC relativa ao vertice A.

11. Calcule a area e a altura relativa ao vertice B do triangulo ABC sendo−→AC =

(−1, 1, 0) e−→AB = (0, 1, 3).

12. Calcule a area e a altura relativa ao lado AB do paralelogramo ABCD sendo−→AB =

(−1,−1, 1) e−−→AD = (−2,−1,−4).

13. Ache um vetor unitario ortogonal a −→v = (1,−3, 1) e a w = (−5, 5, 5).

14. Dados A = (1, 2, 3), B = (1, 1, 0) e C = (−1, 0, 2), determine:

a) um vetor na direcao da altura hA , altura relativa ao vertice A do triangulo

ABC;

b) um vetor na direcao da bissetriz bC , bissetriz relativa ao vertice C;

c) um vetor na direcao da mediana mA, mediana relativa ao vertice A.

15. Prove que | −→v ×−→w |2 +(−→v · −→w

)2= | −→v |2| −→w |2.

165

16. Usando a definicao dos vetores da base canonica, ou seja,−→i = (1, 0, 0),

−→j = (0, 1, 0)

e−→k = (0, 0, 1), prove que∣∣∣−→v ×−→

i∣∣∣2 + ∣∣∣−→v ×−→

j∣∣∣2 + ∣∣∣−→v ×

−→k∣∣∣2 = 2 |−→v |2 .

17. Prove que:

a) | −→v ×−→w |2 ≤ |−→v |2| −→w |2

b) | −→v ×−→w | = | −→v | | −→w | se, e somente se, −→v ⊥ −→w .

18. ABC e um triangulo, e P e Q sao pontos tais que 3−→AP =

−→AC e 3

−−→BQ = 2

−−→BC.

Calcule a razao entre as areas dos triangulos BPQ e ABC.

19. Sejam −→u = (1, 2,−1), −→v = (−1, 1, 1), −→w = (1, 1, 0) e −→r =(−π

2,−π,

π

2

). Deter-

mine quais vetores sao paralelos e quais sao perpendiculares entre si.

20. Resolva os sistemas para −→v = (v1, v2, v3):

(a)

{ −→v × (1, 1, 0) = −(1, 1, 0)−→v · (1, 1, 0) = 2

(b)

{ −→v × (1, 1,−1) = (1,−2,−1)−→v · (1, 3,−2) = 7

21. Mostre que o sistema

{(1, 1,−1)×−→v = −(−1, 2)

(1, 1,−2) · −→v = 4nao tem solucao. Explique

geometricamente porque isto ocorre.

∗ ∗ ∗

166

Capıtulo 9

Retas e Planos

9.1 Introducao

Em nosso livro, ate o momento, estudamos um pouco de Algebra Vetorial, focada na

representacao e uso de vetores e nas principais operacoes envolvendo os vetores.

Neste e no proximo capıtulo, vamos usar nosso estudo de vetores para descrever

matematicamente as retas e planos e tambem para determinar a posicao relativa (dis-

posicao, distancia e/ou angulo) entre pontos, retas e planos tomados dois a dois. Estes

estudos nos ajudarao a entender melhor as aplicacoes da Algebra Vetorial na Geometria

Analıtica.

9.2 Retas

9.2.1 Introducao

Uma reta e um segmento infinito (no plano ou no espaco) que tem direcao constante.

Podemos definir uma reta a partir de pois pontos ou de um vetor e de um ponto e, desta

forma, escrever sua representacao matematica.

Vamos comecar nosso estudo de retas por sua representacao no plano e, logo a seguir,

estudaremos as retas no espaco.

Considerando uma reta qualquer (no plano ou no espaco) usamos, em geral, uma letra

minuscula para designa-la e usamos uma equacao (ou algumas equacoes) para descreve-la.

167

Temos tres tipos de equacoes para descrever uma reta, cada um dos tipos usado em

situacoes diferentes. As equacoes usadas para descrever uma reta sao classificadas nos

seguintes tipos:

• Equacao Vetorial.

• Equacoes Parametricas.

• Equacoes Simetricas.

Para escrever cada uma das equacoes de uma reta precisaremos ter: um vetor com

mesma direcao que a reta, que e chamado de vetor diretor da reta; e um ponto qualquer

da reta, ou seja, precisamos saber as coordenadas de pelo menos um ponto da reta que e

um ponto de referencia da reta.

Tambem costuma-se dizer que uma reta e definida pelas coordenadas de dois pontos

pertencentes a ela. Esta afirmacao e completamente equivalente a descricao acima que diz

que uma reta e definida por um vetor diretor e por um ponto de referencia pertencente

a reta, pois com dois pontos no espaco sempre podemos encontrar um vetor que seja

representado, por exemplo, pelo segmento orientado que liga os dois pontos. Ou seja,

tambem neste caso o que vamos utilizar para escrever as equacoes da reta e um ponto da

reta e um vetor com a mesma direcao que a reta.

Feitas estas observacoes iniciais, vamos comecar nosso estudo com retas no plano e,

depois, estudaremos as retas no espaco.

9.2.2 Retas no Plano

Fixado um sistema de coordenadas cartesianas e sejam:

• Pr = (xP , yP ) as coordenadas de um ponto da reta r; e

• −→v r = (v1, v2) um vetor com mesma direcao que a reta r, ou seja, um vetor diretor

da reta.

Podemos escrever a equacao vetorial da reta r que passa em Pr e tem a direcao de−→v r como:

r : (x, y) = (xP , yP ) + λ(v1, v2), λ ∈ IR (9.1)

Todos os pontos que obedecem a equacao (9.1), ou seja, os pontos com coordenadas

(x, y) que satisfazem esta equacao pertencem a reta r.

168

A equacao vetorial de uma reta no plano pode ser separada em duas ao ser “escrita

na vertical”, ou seja, escrevendo-se uma equacao para cada coordenada. Assim, podemos

separar a equacao vetorial da reta r nas equacoes parametricas da reta r que sao:

r :

{x = xP + λv1

y = yP + λv2, λ ∈ IR (9.2)

A partir das equacoes parametricas da reta no plano e supondo v1 = 0 e v2 = 0,

podemos isolar o parametro λ em cada uma das equacoes em (9.2). Desta forma, temos

que:

x = xP + λv1 ⇒ x− xP = λv1 ⇒ x− xP

v1= λ

e

y = yP + λv2 ⇒ y − yP = λv2 ⇒ y − yPv2

= λ

Igualando os λ’s, temos:

x− xP

v1=

y − ypv2

(9.3)

Ou, trabalhando algebricamente a equacao acima:

v2x− v2xP = v1y − v1yP ⇒ v2x− v1y = v2xp − v1yP

Chamando v2 = a, −v1 = b e v2xp − v1yP = c, temos:

r : ax+ by = c (9.4)

Na forma da equacao (9.3) ou da equacao (9.4), a equacao da reta r e chamada

equacao simetrica da reta r.

Se b = 0 na equacao simetrica da reta r, entao temos que:

ax+ by = c ⇒ by = −ax+ c ⇒ y = −a

bx+

c

b

Chamando −a

b= m e

c

b= b, temos:

y = mx+ b (9.5)

que e chamada de equacao simetrica reduzida de r. O numerom e chamado coeficiente

angular da reta e b e o coeficiente linear da reta. O coeficiente angular nos da a direcao da

reta. Na verdade, m = tgθ, onde θ e angulo que a reta forma com o eixo x. O coeficiente

linear nos da a ordenada de um ponto P = (0, b), que e o ponto onde a reta intercepta o

eixo y.

169

Resumindo

Seja: Pr = (xP , yP ) ponto (qualquer) da reta r e −→v = (v1, v2) vetor diretor da reta r,

temos que as equacoes que podem ser utilizadas para definir matematicamente a reta r

sao:

i) Equacao Vetorial da reta r:

r : (x, y) = (xP , yP ) + λ(v1, v2), λ ∈ IR

ii) Equacoes Parametricas da reta r:

r :

{x = xP + λv1

y = yP + λv2, λ ∈ IR

iii) Equacao Simetrica da reta r:

r :x− xP

v1=

y − ypv2

ou r : ax+ by = c

iv) Equacao Simetrica Reduzida da reta r:

r : y = mx+ b

Exemplos

1. Determine as equacoes vetorial, parametricas e simetricas da reta que passa pelos

pontos A = (1,−2) e B = (0, 2).

Resolucao: Para encontrarmos a equacao vetorial da reta r precisamos de um

ponto da reta (temos dois) e de um vetor com a mesma direcao que a reta r.

Como vetor diretor podemos usar o vetor−→AB, ou qualquer outro vetor paralelo a

ele, como−→BA, ou ainda 1

2

−→AB, ou qualquer outro paralelo a

−→AB.

−→v r =−→AB = B − A = (0, 2)− (1,−2) = (−1, 4)

Como ponto de referencia da reta podemos usar o ponto Pr = A = (1,−2), ou

qualquer outro ponto da reta, por exemplo o ponto B = (0, 2) que tambem foi dado

no enunciado.

Temos que Pr = (1,−2) e −→v r = (−1, 4), portanto a equacao vetorial da reta r e:

(x, y) = (1,−2) + λ(−1, 4), λ ∈ IR

170

Escrevendo esta equacao “na vertical” temos as equacoes parametricas de r que sao:{x = 1− λ

y = −2 + 4λ, λ ∈ IR

Isolando o parametro λ nas equacoes acima e igualando as duas expressoes para

esteaprametro, temos a equacao simetrica de r na forma:

x− 1

−1=

y − (−2)

4⇒ 1− x =

y + 2

4ou

y + 4x = 2

Isolando o y no primeiro membro da equacao acima encontramos a equacao simetrica

reduzida de r:

y = 2− 4x

2. Determine as equacoes vetorial, parametricas e simetricas da reta no plano que passa

pelo ponto P = (7,−5) e tem coeficiente angular m = −3.

Resolucao: Lembrando que precisamos de um ponto e um vetor diretor da reta,

devido aos dados fornecidos no enunciado do exemplo ha duas maneiras distintas

mas equivalentes de resolver este exemplo. Vamos resolve-lo das duas formas para

deixar como ilustracao.

i) Primeira forma de resolver:

Usaremos o ponto Pr = (7,−5) como ponto de referencia da reta.

Para determinar o vetor diretor −→v r = (v1, v2), usaremos o coeficiente angular.

Sabendo, como pode ser inferido da deducao da equacao simetrica reduzida da

reta, que:

m =v2v1

Assim:

−5 =v2v1

⇒ −5v1 = v2 ⇒ −→v r = (v1,−5v1)

ou

−→v r = v1(1,−5)

Como podemos usar qualquer vetor nao nulo paralelo a reta, fazemos v1 = 1 e

usaremos:

171

−→v = (1,−5)

Assim, podemos escrever diretamente a equacao vetorial da reta r como:

(x, y) = (7,−5) + λ(1,−5), λ ∈ IR

E para as equacoes parametricas temos:{x = 7 + λ

y = −5− 5λλ ∈ IR

Ja a equacao simetrica, obtida das equacoes parametricas, e dada por:

x− 7

1=

y + 5

−5ou y + 5x = 30

E, finalmente, a equacao simetrica reduzida tem a forma:

y = 30− 5x

ii) Segunda forma de resolver:

Neste caso, usaremos o coeficiente angular da reta e o ponto P para determinar,

primeiramente, a equacao simetrica reduzida da reta r. Sabendo que esta

equacao tem a forma:

y = mx+ b

vamos substituir o valor de m, de forma que:

y = −5x+ b

Como a reta r passa no ponto P = (7,−5), este ponto deve obedecer a equacao

da reta, assim, substituindo estas coordenada de P na equacao da reta podemos

descobrir o valor do coeficiente linear b, de forma que:

−5 = −5 · 7 + b ⇒ b = 30

assim:

y = −5x+ 30

que e a equacao simetrica reduzida da reta r.

Desta equacao podemos escrever a equacao simetrica da reta como

y + 5x = 30

172

No entanto, nao podemos partir diretamente da equacao simetrica ou simetrica

reduzida para a equacao vetorial da reta.

Lembrando que, neste caso, ja sabemos de dois pontos que estao na reta, o

ponto P = (7,−5) e o ponto Q = (0, 30), pois o coefiente linear, por definicao,

da a ordenada do ponto em que a reta intercepta o eixo y. Vamos usar estes

pontos para descobrir um vetor diretor para a reta. Este vetor e dado, por

exemplo, por:

−→v =−→PQ = Q− P = (0, 30)− (7,−5) = (−7, 35)

Usando este vetor e o ponto P podemos escrever a equacao vetorial da reta r

como:

(x, y) = (7,−5) + λ(−7, 35) , λ ∈ IR

E para as equacoes parametricas:{x = 7− 7λ

y = −5 + 35λλ ∈ IR

Observacao: As equacoes vetoriais (e tambem parametricas) obtidas para a reta

r pelas duas formas que usamos para resolver o exemplo podem, a primeira vista,

parecer diferentes, mas sao completamente equivalentes. E, como podemos observar,

as equacoes simetricas que encontramos (pelos dois procedimentos) sao exatamente

iguais.

3. Dada a reta (x, y) = (1, 2) + λ(−3, 1), λ ∈ IR, determine 3 pontos da reta.

Resolucao: Para determinarmos pontos da reta com sua equacao dada na forma

vetorial, basta atribuirmos diferentes valores reais para o parametro λ. Assim,

podemos, por exemplo, fazer:

i) λ = 0 que nos da P1 = (1, 2);

ii) λ = 1 que nos fornece P2 = (1, 2) + (−3, 1) ⇒ P2 = (−2, 3); e

iii) λ = −1 temos P3 = (1, 2)− (−3, 1) ⇒ P3 = (4, 1).

Assim, os pontos P1 = (1, 2), P2 = (−2, 3) e P3 = (4, 1) sao pontos que pertencem

a reta dada.

173

4. Dada a reta r :x+ 2

3= −y

2, determine dois pontos de r.

Resolucao: Neste caso, para descobrirmos pares ordenados que satisfazem a

equacao simetrica da reta basta escolhermos valores para x e calcularmos o y cor-

respondente ou escolhermos valores para y e calcularmos o x correspondente.

Por exemplo:

i) fazendo x = 0 temos0 + 2

3= −y

2⇒ y = −4

3o que nos da o ponto P1 =

(0,−4

3); e

ii) fazendo x = 1 temos1 + 2

3= −y

2⇒ y = −2 o que nos fornece o ponto

P2 = (1,−2).

5. Determine as equacoes vetorial, parametricas e simetricas da reta s que passa pelo

ponto O = (0, 0) e e paralela a reta r : y = −2x+ 5.

Resolucao: Precisamos de um vetor diretor e um ponto da reta s.

Temos um ponto da reta s, o ponto O = (0, 0).

Sabemos que a reta s e paralela a reta r, ou seja as duas retas tem o mesmo

coeficiente angular m = −2. Assim, a equacao simetrica reduzida da reta s e

y = −2x+ b

O ponto O = (0, 0) pertence a reta s, portanto: 0 = −2(0) + b ⇒ b = 0, ou seja, a

equacao simetrica reduzida da reta s e:

y = −2x

e a equacao simetrica pode ser escrita como:

y + 2x = 0

Pela equacao simetrica da reta s podemos decobrir um segundo ponto da reta para

calcularmos um vetor diretor para ela. Fazendo, por exemplo, x = 1 obtemos que

y = −2, desta forma, o ponto B = (1,−2) pertence a reta s.

Podemos considerar como vetor diretor para a reta:

−→v r =−−→OB = B −O = (1,−2)− (0, 0) = (1,−2)

Portanto, a equacao vetorial de s pode ser escrita como:

s : (x, y) = (0, 0) + λ(1,−2), λ ∈ IR

174

E as equacoes parametricas de s sao:

s :

{x = 0 + 1λ

y = 0− 2λ, λ ∈ IR

ou seja:

s :

{x = λ

y = −2λ, λ ∈ IR

9.2.3 Retas no Espaco

A partir de nosso estudo de retas no plano, vamos estudar, como extensao natural, as

retas no espaco tridimensional.

Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaco IR3, sejam Pr = (xP , yP , zP )

um ponto qualquer da reta r e −→v = (v1, v2, v3) um vetor diretor da reta. Temos as

seguintes equacoes que podem ser utilizadas para descrever os pontos pertencentes a reta

r:

⋄ Equacao Vetorial:

r : (x, y, z) = (xP , yP , zP ) + λ(v1, v2, v3), λ ∈ IR (9.6)

⋄ Equacoes Parametricas: x = xP + λv1

y = yP + λv2

z = zP + λv3

, λ ∈ IR (9.7)

⋄ Equacoes Simetricas:

x− xP

v1=

y − yPv2

=z − zPv3

(9.8)

onde supomos que v1 = 0, v2 = 0 e v3 = 0.

Para retas no IR3 nao ha equacao simetrica reduzida.

175

Exemplos

1. Encontre as equacoes vetorial, parametricas e simetricas da reta que passa pelos

pontos A e B, sendo A = (1, 0, 1) e B = (−2,−3, 0).

Resolucao: Precisamos de um ponto qualquer da reta e de seu vetor diretor.

Podemos usar o ponto A = (1, 0, 1) e o vetor

−→v r =−→AB = B − A = (−2,−3, 0)− (1, 0, 1) = (−3,−3,−1)

Assim, temos como equacao vetorial de r:

(x, y, z) = (1, 0, 1) + λ(−3,−3,−1), λ ∈ IR

E, como equacoes parametrica, temos:x = 1− 3λ

y = −3λ

z = 1− λ

, λ ∈ IR

E, finalmente, como equacoes simetricas:

x− 1

3= − y

3= z − 1

2. Dada a reta r :

x = 2− 3λ

y = −3 + 5λ

z = −2− λ

, λ ∈ IR, deteminar se os pontos A = (−1, 2,−7) e

B = (−1, 2,−3) pertencem a r.

Resolucao: Para verificar se o ponto A = (−1, 2,−7) pertence a reta, fazemos:−1 = 2− 3λ

2 = −3 + 5λ

−7 = −2− λ

o que nos da:−1 = 2− 3λ ⇒ 3λ = 3 ⇒ λ = 1 ⇒ λ = 1

2 = −3 + 5λ ⇒ −5λ = −5 ⇒ λ = 1 ⇒ λ = 1

−7 = −2− λ ⇒ λ = 5 ⇒ λ = 5

Diferentes

Como os valores do parametro λ encontrado para as diferentes coordenadas do ponto

A = (−1, 2,−7) foram diferentes entre si, o ponto A nao pertence a reta r.

Para o ponto B = (−1, 2,−3), fazemos o mesmo. Ou seja, substituimos as suas

coordenadas nas equacoes parametricas da reta. Assim:

176

−1 = 2− 3λ

2 = −3 + 5λ

−3 = −2− λ

De forma que:−1 = 2− 3λ ⇒ 3λ = 3 ⇒ λ = 1 λ = 1

2 = −3 + 5λ ⇒ −5λ = −5 ⇒ λ = 1 λ = 1

−3 = −2− λ ⇒ λ = 1 λ = 1

Iguais

Comoo os valores encontrados para o parametro λ para as diferentes coordenadas

do ponto B foram iguais, o ponto B = (−1, 2,−3) pertence a reta r.

3. Dada a reta s :x− 1

3=

3− y

2= z, determine equacoes vetoriais e parametricas

de s.

Resolucao: Ha duas maneiras simples e equivalentes de ser resolver este exemplo.

Vamos fazer as duas maneiras para ilustrar os dois procedimentos.

i) Para resolver pelo primeiro procedimento devemos lembrar que precisamos de

um ponto e um vetor diretor para escrevermos a equacao vetorial de uma reta.

Usando a equacao simetrica da reta, vamos encontrar dois pontos, o que pode

ser feito igualando os termos da equacao simetrica, para cada ponto, ao mesmo

valor numerico.

Assim, igualando as equacoes simetricas a zero:

x− 1

3=

3− y

2= z = 0

temos que: x−13

= 0 ⇒ x− 1 = 0 ⇒ x = 13−y2

= 0 ⇒ 3− y = 0 ⇒ 3 = y

z = 0

Portanto, o ponto A = (1, 3, 0) ∈ s.

Por outro lado, igualando as equacoes simetricas a um temos que:

s : x−13

= 3−y2

= z = 1

temos que:

177

x−13

= 1 ⇒ x− 1 = 3 ⇒ x = 43−y2

= 1 ⇒ 3− y = 2 ⇒ 1 = y

z = 1

Assim, o ponto B = (4, 1, 1) ∈ s.

Usando os pontos obtidos acima, podemos determinar um vetor diretor da reta

s como sendo:

−→v s =−→AB = B − A = (4, 1, 1)− (1, 3, 0) = (3,−2, 1)

Assim, a equacao vetorial da reta s pode ser escrita como:

(x, y, z) = (1, 3, 0) + λ(3,−2, 1), λ ∈ IR

E as equacoes parametricas sao:x = 1 + 3λ

y = 3− 2λ

z = λ

, λ ∈ IR

ii) Para resolver o problema da segunda maneira devemos lembrar que as equacoes

simetricas costumam ser obtidas isolando-se o parametro livre das equacoes

parametricas e igualando os valores obtidos.

Assim, partindo da equacao:

x− 1

3=

3− y

2= z

podemos escrever que:

λ =x− 1

3; λ =

3− y

2e λ = z

Isolando as variaveis x, y e z nas equacoes acima podemos escrever as equacoes

parametricas da reta s como:x = 1 + 3λ

y = 3− 2λ

z = λ

, λ ∈ IR

que, neste caso, tem exatamente a mesma forma encontrada pelo procedimento

anterior.

Das equacoes parametricas da reta s podemos escrever, imediatamente, a

equacao vetorial da reta s como:

(x, y, z) = (1, 3, 0) + λ(3,−2, 1), λ ∈ IR

178


pontos A = (1,−2, 3), B = (1, 2, 1).

Resolucao: Precisamos de um ponto e um vetor diretor.

Temos, por exemplo, o ponto A = (1,−2, 3) e o vetor−→AB = (0, 4,−2). Assim

podemos escrever a equacao vetorial da reta pedida como:

(x, y, z) = (1,−2, 3) + λ(0, 4,−2), λ ∈ IR

As equacoes parametricas, desta forma, sao:x = 1

y = −2 + 4λ

z = 3− 2λ

E as equacoes simetricas sao:

y + 2

4=

z − 3

−2e x = 1

Observe que, como a equacao parametrica referente a abcissa, nao tem o parametro

λ, pois o vetor diretor tem abcissa nula (todos os vetores diretores terao abcissa

nula!), as equacoes simetricas ficam um pouco diferentes.


pontos A = (1,−2, 3) e B = (1,−2, 1).

Resolucao: Precisamos de um ponto e um vetor diretor.

Temos o ponto A = (1,−2, 3) e o vetor−→AB = (0, 0,−2). Assim a equacao vetorial

da reta pedida e:

(x, y, z) = (1,−2, 3) + λ(0, 0,−2), λ ∈ IR

As equacoes parametricas sao: x = 1

y = −2

z = 3− 2λ

E as equacoes simetricas sao:

x = 1 e y = −2

Observe que as equacoes parametricas referente a abcissa e a ordenada, nao tem o

parametro λ, pois o vetor diretor da reta tem componentes x e y iguais a zero e,

179

assim, todos os vetores diretores paralelos a reta tambem tem abcissa e ordenada

nulas. Neste caso, as equacoes simetricas ficam diferentes, elas praticamente se

confundem com as equacoes parametricas. Mais ainda, neste caso especıfico, a reta

e uma reta paralela ao eixo z.

Vale ressaltar, ainda sobre o estudo das retas, que para decrever retas no plano usamos,

em geral, a equacao simetrica da reta. Ja para descrever retas no espaco, as tres formas

(equacao vetorial, parametricas e simetricas) sao igualmente usadas.

9.3 Planos

9.3.1 Introducao

A nocao de plano nos e bastante familiar. No entanto, precisamos definir, matemati-

camente, um plano e aprender a descreve-lo em termos de equacoes simples.

Assim, podemos dizer que um plano e uma regiao infinita do espaco, definida de tal

modo que quaisquer dois pontos desta regiao podem ser ligados por um segmento de reta

ou por um segmento orientado inteiramente contido nesta regiao.

Esta regiao do espaco que definimos como plano pode ser representada, matematica-

mente, em termos de uma equacao vetorial, de equacoes parametricas ou de uma equacao

chamada de equacao geral do plano. Vamos estudar estes tres tipos de equacoes para o

plano e aprender a escreve-las.

9.3.2 Equacoes do Plano

Para definirmos ou representarmos um plano podemos faze-lo por duas maneiras dis-

tintas.

1. Usando um ponto qualquer do plano e dois vetores nao paralelos entre si e que sejam

paralelos ao plano e que chamaremos vetores diretores do plano.

Neste caso, para definir o plano, podemos escrever diretamente a equacao vetorial e

as equacoes parametricas do plano. Ou seja, dado o ponto P = (xP , yP , zP ) um ponto

qualquer do plano π, e −→v = (v1, v2, v3) e−→w = (w1, w2, w3) vetores paralelos a π com −→v e

−→w nao paralelos entre si, temos que a equacao vetorial do plano π e dada por:

π : (x, y, z) = (xP , yP , zP ) + λ(v1, v2, v3) + t(w1, w2, w3) λ, t ∈ IR (9.9)

180

E as equacoes parametricas do plano π, que sao a equacao vetorial do plano escrita

“na vertical”, podem ser escritas como:

π :

x = xp + λv1 + tw1

y = yP + λv2 + tw2

z = zP + λv3 + tw3

, λ, t ∈ IR (9.10)

Como veremos nos exemplos, este procedimento para se obter a equacao vetorial e

equacoes parametricas do plano tambem pode ser realizado utilizando-se, no lugar do

ponto e dos dois vetores paralelos ao plano, tres pontos nao colineares do plano ou mesmo

uma reta do plano e um ponto que nao pertenca a reta mas que tambem esteja no plano.

2. Usando um ponto do plano e um vetor normal ao plano.

Usando um ponto do plano e um vetor normal ao plano, podemos escrever a chamada

equacao geral do plano. Para compreendermos esta equacao vamos, primeiro, definir

o que e um vetor normal a um plano.

Dado um plano π, um vetor −→n e denominado normal a π se −→n e ortogonal a todos os

vetores paralelos a π, ou seja, se o angulo entre o vetor −→n e o plano π e de 90o.

Na figura a seguir esta representado o plano π e um vetor −→n normal a este plano.

Desta forma, a equacao geral do plano π que contem o ponto P = (xp, yP , zP ) e e

normal ao vetor −→n = (a, b, c), e escrita como:

π : ax+ by + cz + d = 0 (9.11)

onde o coeficiente d e determinado usando-se as coordenadas do ponto P e vale:

d = −(axP + byP + czP )

Devemos, ainda, lembrar que para descrever planos a equacao geral do plano e, nor-

malmente, mais usada que as equacoes vetorial e parametricas.

181

Exemplos

1. Determine as equacoes vetorial, parametricas e geral do plano que contem os pontos

A = (1,−3, 0), B = (1, 1, 1) e C = (0,−1, 2).

Resolucao: Para escrevermos a equacao vetorial e as equacoes parametricas do

plano precisamos de um ponto e dois vetores diretores.

Podemos usar, por exemplo, o ponto A = (1,−3, 0) e os vetores

−→v =−→AB = B − A = (1, 1, 1)− (1,−3, 0) = (0, 4, 1)

e

−→w =−→AC = C − A = (0,−1, 2)− (1,−3, 0) = (−1, 2, 2)

Assim, temos que a equacao vetorial do plano e:

π : (x, y, z) = (1,−3, 0) + λ(0, 4, 1) + t(−1, 2, 2) λ, t ∈ IR

E as equacoes parametricas do plano π sao:

π :

x = 1 +0λ −1t

y = −3 +4λ +2t

z = 0 +1λ +2t

, λ, t ∈ IR

Para encontrarmos a equacao geral, precisamos de um vetor (qualquer) que seja

normal ao plano. E temos que um vetor dado pelo produto vetorial entre os vetores

diretores do plano, −→n = −→v ×−→w , e normal ao plano.

Assim, temos que

−→n = −→v ×−→w =

∣∣∣∣∣∣∣−→i

−→j

−→k

0 4 1

−1 2 2

∣∣∣∣∣∣∣ = 6−→i − 1

−→j + 4

−→k = (6,−1, 4)


π : 6x− 1y + 4z + d = 0

Podemos determinar o valor do coeficiente d usando qualquer um dos pontos perte-

centes ao plano e dados no enucnciado. Usando o ponto A = (1,−3, 0), temos

que:

π : 6x− 1y + 4z + d = 0 ⇒ 6(1)− 1(−3) + 4(0) + d = 0 ⇒ d = −9

182

Assim, obtemos a equacao geral do plano π que e:

6x− y + 4z − 9 = 0

2. Dado o plano π : 2x−y+3z−4 = 0, determine as equacoes vetorial e parametricas

deste plano.

Resolucao: Precisamos de um ponto e dois vetores diretores do plano que sejam

linearmente independentes.

Lembrando que um ponto P = (xP , yP , zP ) pertence ao plano se suas coordenadas

obedecem a equacao geral do plano, podemos encontrar pontos pertencentes ao

plano π atribuindo valores a duas das coordenadas na equacao geral e determinando

o valor da terceira coordenada.

Por exemplo, dizemos que o ponto A = (1, 1, zA) ∈ π, se existe valor de zA ∈ IR de

modo que a equacao geral do plano seja satisfeita. Ou seja:

2(1)− (1) + 3zA − 4 = 0 ⇒ zA = 1

assim o ponto A = (1, 1, 1) ∈ π.

O ponto B = (0, yB, 0) ∈ π e yB vale:

2(0)− (yB) + 3(0)− 4 = 0 ⇒ yB = −4

o que nos da o ponto B = (0,−4, 0).

O ponto C = (xC , 0, 0) ∈ π e xC vale:

2x− (0) + 3(0)− 4 = 0 ⇒ xC = 2

e o ponto C tem coordenadas C = (2, 0, 0).

Assim, temos A,B,C ∈ π, o que nos permite calcular os vetores paralelos ao plano:

−→v =−→AB = B − A = (0,−4, 0)− (1, 1, 1) = (−1,−5,−1)

−→w =−→AC = C − A = (2, 0, 0)− (1, 1, 1) = (1,−1,−1)

Como:−1

1= −5

−1= −1

−1, temos que −→v e −→w nao sao paralelos entre si e, portanto

podem ser usados como vetores diretores do plano.

Se tivessemos encontrado vetores diretores paralelos entre si so poderıamos usar

um deles e precisarıamos que nao fosse paralelo a eles antes de dar seguimento aos

calculos.

183

A equacao vetorial de π pode, entao, ser escrita, a partir do ponto A e dos vetores−→v e −→w como:

(x, y, z) = (1, 1, 1) + λ(−1,−5,−1) + t(1,−1,−1), λ, t ∈ IR

E as equacoes parametricas serao:x = 1 −1λ +1t

y = 1 −5λ −1t

z = 1 −1λ −1t

9.3.3 Justificativa da Equacao Geral do Plano

A partir dos vetores diretores do plano π e de seu ponto de referencia, vamos justificar

a equacao geral do plano π.

Primeiramente, dados −→v = (v1, v2, v3) e−→w = (w1, w2, w3), vetores diretores do plano

π, vamos calcular o produto vetorial −→v ×−→w :∣∣∣∣∣∣∣−→i

−→j

−→k

v1 v2 v3

w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣∣ = (v2w3 − v3w2)−→i + (v3w1 − v1w3)

−→j + (v1w2 − v2w1)

−→k

Entao, um vetor normal ao plano π e

−→n = (v2w3 − v3w2)−→i + (v3w1 − v1w3)

−→j + (v1w2 − v2w1)

−→k

Fazendo:

−→n = (v2w3 − v3w2)︸︷︷︸a

−→i + (v3w1 − v1w3)︸︷︷︸

b

−→j + (v1w2 − v2w1)︸︷︷︸

c

−→k

Temos:

−→n = (a, b, c)

Agora, se P = (xP , yP , zP ) e um ponto (qualquer) fixo do plano, vamos observar que

o ponto X = (x, y, z) pertence ao plano π, se e somente se, os vetores−−→PX, −→v e −→w sao

coplanares (observe que se X ∈ π todos os vetores sao paralelos ao plano π).

Lembrando que:

−−→PX = X − P = (x− xP , y − yP , z − zP )

e

−→v = (v1, v2, v3) e−→w = (w1, w2, w3)

184

Temos: ∣∣∣∣∣∣∣x− xp y − yP z − zP

v1 v2 v3

w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣∣ = 0

O que nos leva a:

(x− xP )(v2w3 − v3w2) + (y − yP )(v3w1 − v1w3) + (z − zP )(v1w2 − v2w1) = 0

Usando o resultado obtido a partir do produto vetorial −→v ×−→w , ou seja:

(v2w3 − v3w2) = a, (v3w1 − v1w3) = b, (v1w2 − v2w1) = c .

A equacao:

(x− xP )(v2w3 − v3w2) + (y − yP )(v3w1 − v1w3) + (z − zP )(v1w2 − v2w1) = 0

fica:

(x− xP )a+ (y − yP )b+ (z − zP )c = 0

Ou seja:

ax+ by + cz + (−axP − byP − czP ) = 0

Portanto, fazendo: (−axP − byP − czP ) = d,

Temos a equacao geral do plano π:

π : ax+ by + cz + d = 0

Onde −→n = (a, b, c) e um vetor qualquer normal ao plano π. E d e tal que axP + byP +

czP + d = 0.

Exemplos

1. Dado o plano π1 : 2x − y + 4 = 0, determine a equacao geral do plano π2 paralelo

a π1 que passa pelo ponto O = (0, 0, 0).

Resolucao:

π1 : 2x− y + 4 = 0 ⇒ 2x− y + 0z + 4 = 0

Portanto, o vetor −→n = (2,−1, 0) e normal ao plano π1.

Como π2 e paralelo a π1 o vetor −→n = (2,−1, 0) e normal a π2. Portanto, sabemos

que a equacao do plano π2 e:

185

2x− 1y + 0z + d = 0

Para encontrar a equacao do plano π2, basta encontrar d. Mas, sabemos que o ponto

O = (0, 0, 0) pertence ao plano π2, portanto satisfaz a equacao do plano π2, ou seja:

2(0)− 1(0) + 0(0) + d = 0

o que nos leva a concluir que d = 0. Portanto:

π2 : 2x− 1y + 0z + 0 = 0

ou:

π2 : 2x− y = 0

2. Dado o plano π : (x, y, z) = (1,−1, 0)+λ(1, 1, 1)+ t(1,−2−3), λ, t ∈ IR, determine

as equacoes parametricas e geral de π.

Resolucao: Para obtermos as equacoes parametricas a partir da equacao vetorial

so precisamos escreve-la na “vertical”. Assim, as equacoes parametricas do plano π

sao: x = 1 + λ+ t

y = −1 + λ− 2t

z = λ− 3t

Para a equacao geral, precisamos de um vetor normal ao plano. Este vetor pode

ser obtido pelo produto vetorial dos vetores diretores do plano −→v 1 = (1, 1, 1) e−→v 2 = (1,−2,−3). Assim:

−→n = −→v 1 ×−→v 2 =

∣∣∣∣∣∣∣−→i

−→j

−→k

1 1 1

1 −2 −3

∣∣∣∣∣∣∣ = (−1, 4,−3)

O que nos permite escrever a equacao geral do plano como:

−x+ 4y − 3z + d = 0

Para determinarmos o valor de d usamos o ponto P pertencente ao plano e dado

por P = (1,−1, 0). Assim:

−1 + 4 · (−1)− 3 · 0 + d = 0 ⇒ d = 5

186

Desta forma temos, finalmente, a forma final da equacao geral do plano:

−x+ 4y − 3z + 5 = 0

ou

x− 4y + 3z − 5 = 0

9.4 Exercıcios

1. Determine as equacoes vetorial, parametricas e simetricas da reta:

a) que passa por A = (1, 2) e B = (3,−1).

b) que passa por P = (1,−2, 3) e Q = (−1,−1, 1).

c) que passa por Q = (1, 1) e e paralela a reta y = 2x+ 2.

d) que passa por O = (0, 0, 0) e e paralela a reta

x = 2− 3t

y = 2

z = 8t

, t ∈ IR

2. Determinar a equacao de duas retas concorrentes no ponto A = (1, 2, 3) sendo uma

delas perpendicular a reta r :x− 1

2= y − 2 e z = 0 e a outra reta passa por

B = (1,−1,−1).

3. Determine as equacoes geral, vetorial e parametricas dos planos:

a) que passa por A = (1,−1, 0), B = (2,−2, 3) e C = (2, 0, 3).

b) que passa por A = (1, 2, 3), B = (0, 0, 1) e C = (2,−1,−2).

c) que passa por P = (1,−1, 0) e e paralelo ao plano π : 2x+ y − 2z − 2 = 0.

4. Dadas as retas r :x− 2

2=

y

2= z e s : x − 2 = y = z, obtenha uma equacao geral

para o plano determinado por r e s.

5. Sejam P = (4, 1,−1) e r : (x, y, z) = (2 + t, 4− t, 1 + 2t).

a) Mostre que P /∈ r;

b) Obtenha a equacao geral do plano determinado por r e P .

187

6. Dados os planos π1 : x− y + z + 1 = 0 e π2 : x + y − z − 1 = 0, determine o plano

que contem π1 ∩ π2 e e ortogonal ao vetor (−1, 1,−1).

7. Ache a equacao da reta que passa pelo ponto P = (1, 0, 1) e e paralela aos planos

2x+ 3y + z + 1 = 0 e x− y + z = 0.

8. Seja a reta determinada pela interseccao dos planos x+y−z = 0 e 2x−y+3z−1 = 0.

Ache a equacao do plano que passa por A = (1, 0,−1) e contem a reta r.

9. Ache a equacao do plano paralelo ao plano 2x − y + 5z − 3 = 0 que passa por

P = (1,−2, 1).

10. Encontre a equacao do plano que passa pelo ponto P = (2, 1, 0) e e perpendicular

aos planos x+ 2y − 3z + 2 = 0 e 2x− y + 4z − 1 = 0.

11. Encontrar a equacao do plano que passa pelos pontos P = (1, 0, 0) e Q = (1, 0, 1) e

e perpendicular ao plano y = z.

12. Determine as equacoes vetorial, parametricas, simetrica e simetrica reduzida da reta

s que passa pelo ponto O = (1,-1) e e paralela a reta r : y = −x+ 3.

∗ ∗ ∗

188

Capıtulo 10

Posicao Relativa: Disposicao,

Angulos e Distancias

10.1 Introducao

Neste capıtulo vamos estudar a posicao relativa entre elementos da geometria: ponto

e ponto; ponto e reta; ponto e plano; reta e reta; reta e plano; e plano e plano.

Assim, dados dois pontos ou um ponto e outro objeto (reta ou plano) queremos saber

qual a distancia entre eles. E dados dois destes outros objetos (retas e/ou planos) que-

remos saber se eles sao paralelos, se eles se interceptam, qual o angulo entre eles, se eles

sao perpendiculares, se eles sao ortogonais, qual a distancia entre eles, etc.

Para responder a estas perguntas usaremos nossos conhecimentos de Algebra Vetorial

e o estudo da representacao por equacoes dos planos e das retas que foi feito no capıtulo

anterior.

10.2 Distancia de Ponto a Ponto

Determinar a posicao relativa entre dois pontos significa determinar a distancia entre

eles. Vamos a essa determinacao.

Fixado um sistema de coordenadas cartesianas e sejam P = (xP , yP , zP ) e Q =

(xQ, yQ, zQ) dois pontos do espaco, vamos considerar o vetor:−→PQ = Q − P = (xQ −

xP , yQ − yP , zQ − zP ).

A distancia entre os pontos P e Q e igual a norma do vetor que tem no segmento

orientado−→PQ um de seus representantes e, por conseguinte, tambem e igual a norma de

−→QP .

189

Portanto, dados os pontos P e Q, a distancia entre eles e dada por:

d(P,Q) =∣∣−→PQ

∣∣ = ∣∣(xQ − xP , yQ − yP , zQ − zP )∣∣

portanto:

d(P,Q) =√

(xQ − xP )2 + (yQ − yP )2 + (zQ − zP )2 (10.1)

Exemplo

1. Determine a distancia entre os pontos P = (1,−2, 3) e Q = (1, 0,−1).

Resolucao:

d(P,Q) =∣∣−→PQ

∣∣ = ∣∣(1− 1,−2− 0, 3− (−1))∣∣ = ∣∣(0,−2, 4)

∣∣d(P,Q) =

√(0)2 + (−2)2 + (4)2 =

√0 + 4 + 16 =

√20

d(P,Q) = 2√5 u.c.

10.3 Distancia de Ponto a Reta

Determinar a posicao relativa entre um ponto e uma reta significa determinar a menor

distancia entre o ponto e a reta. Na verdade, sempre que falarmos em ditancia entre

dois elementos/objetos da Geometria Analıtica estamos falando da menor distancia entre

eles.

Vamos a determinacao da posicao relativa entre um ponto e uma reta.

Fixado um sistema de coordenadas cartesianas e sejam P = (xP , yP , zP ) e r :

(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t(v1, v2, v3), onde Q = (x0, y0, z0) e um ponto qualquer mas fixo

da reta e −→v r = (v1, v2, v3) e um vetor diretor da reta.

Para determinarmos a expressao matematica que e a menor distancia entre o ponto P

e a reta r podemos considerar o triangulo ou o paralelogramo formado pelos vetores−→QP

e −→v r.

Para obtermos a expressao para a distancia entre a reta r e o ponto P , em nosso livro,

vamos considerar o triangulo definido pelos vetores−→QP e −→v r e que esta marcado da figura

abaixo:

190

A area deste triangulo pode ser calculada, como vimos no capıtulo sobre produto

vetorial, como sendo:

A△ =1

2

∣∣−→QP ×−→v r

∣∣Por outro lado, a area de um triangulo e, sempre, igual a:

A△ =1

2base× altura

Como a base do triangulo e∣∣−→v r

∣∣ e a altura e a distancia entre o ponto P e a reta r,

temos:

1

2

∣∣−→QP ×−→v r

∣∣ = 1

2

∣∣−→v r

∣∣d(P, r)o que nos da:

d(P, r) =

∣∣−→QP ×−→v r

∣∣∣∣−→v r

∣∣ (10.2)

Sempre que precisarmos calcular a distancia entre um ponto e uma reta podemos

usar a expressao deduzida acima, para tanto precisamos das coordenadas do ponto, das

coordenadas de um ponto fixo da reta e das coordenadas de um vetor diretor desta reta.

Exemplo

1. Determine a distancia entre o ponto P = (1,−2, 3) e a reta r : (x, y, z) =

(1, 1,−4) + t(1, 0,−5).

Resolucao: Temos P = (1,−2, 3), Q = (1, 1,−4) e −→v r = (1, 0,−5), portanto

prcisamos determinar as coordenadas do vetor−→PQ. Assim:

−→PQ = P −Q = (1,−2, 3)− (1, 1,−4) = (0,−3, 7)

Portanto, temos que:

d(P, r) =

∣∣−→PQ×−→v r

∣∣∣∣−→v r

∣∣ =

∣∣(0,−3, 7)× (1, 0,−5)∣∣∣∣(1, 0,−5)

∣∣191

Como: ∣∣∣∣∣∣∣−→i

−→j

−→k

0 −3 7

1 0 −5

∣∣∣∣∣∣∣ = 15−→i + 7

−→j + 3

−→k = (15, 7, 3)

Temos:

d(P, r) =

∣∣−→PQ×−→v r

∣∣∣∣−→v r

∣∣ =

∣∣(0,−3, 7)× (1, 0,−5)∣∣∣∣(1, 0,−5)

∣∣ =

∣∣(15, 7, 3)∣∣∣∣(1, 0,−5)∣∣

d(P, r) =

√152 + 72 + 32√12 + 02 + (−5)2

=

√283√26

d(P, r) =

√283

26u.c.

10.4 Distancia de Ponto a Plano

Para determinarmos a posicao relativa entre um ponto e um plano precisamos, nova-

mente, calcular a menor distancia do ponto ate o elemento considerado, no caso o plano.

Vamos obter a expressao matematica para a distancia entre um ponto e um plano.

Fixado um sistema de coordenadas cartesianas e sejam o ponto P = (xP , yP , zP ) e o

plano π : ax + by + cz + d = 0, onde −→n = (a, b, c) e um vetor normal ao plano π. Para

obtermos a distancia entre o ponto P e o plano π, vamos considerar a reta que passa pelo

ponto P = (xP , yP , zP ) e tem o vetor normal ao plano π, como vetor diretor. Ou seja,

vamos considerar a reta:

s : (x, y, z) = (xP , yP , zP ) +m(a, b, c)

Esta reta intercepta o plano π em um ponto que iremos chamar de Q.

O ponto P , o plano π, o vetor −→n , o ponto Q e a reta s estao esquematizados na figura

abaixo.

192

Para acharmos as coordenadas do ponto Q, lembrando que ele e a interseccao entre a

reta s e o plano π, basta-nos resolver o sistema:xQ = xP +ma

yQ = yP +mb

zQ = zP +mc

axQ + byQ + czQ + d = 0

(10.3)

Lembrando que P = (xP , yP , zP ),−→n = (a, b, c) e d sao numeros, as variaveis do sistema

de equacoes acima (equacao (10.3)) sao m, xQ, yQ e zQ, mas estamos interessados apenas

nas coordenadas do ponto Q, ou seja, nas variaveis xQ, yQ e zQ.

Para resolver o sistema, vamos substituir as tres primeiras equacoes na quarta equacao,

e encontrar m em termos de x0, y0 e z0. Depois vamos substituir o m encontrado nas tres

primeiras equacoes e, desta forma, encontraremos os valores de xQ, yQ e zQ.

Temos, portanto:

a(xP +ma) + b(xP +mb) + c(zP +mc) + d = 0

axP +ma2 + byP +mb2 + czP +mc2 + d = 0

m(a2 + b2 + c2) + axP + byP + czP + d = 0

Como −→n = (a, b, c) e vetor normal ao plano π, ele nao e o vetor nulo, portanto

a2 + b2 + c2 = 0, podemos isolar m como:

m =−axP − byP − czP − d

a2 + b2 + c2(10.4)

Agora, substituindo o valor de m da expressao acima nas tres primeiras equacoes do

sistema (equacao (10.3)), encontramos:

193

xQ = xP +

(−axP − byP − czP − d

a2 + b2 + c2

)a

yQ = yP +


a2 + b2 + c2

)b

zQ = zP +


a2 + b2 + c2

)c

(10.5)

Assim, temos que a distancia entre o ponto P e o plano π e:

d(P, π) = d(P,Q) =∣∣−→PQ

∣∣ (10.6)

Portanto:

−→PQ = Q− P = (xQ − xP , yQ − yP , zQ − zP ) (10.7)

Substituindo as coordenadas do ponto Q encontradas na equacao (10.7) e fazendo as

devidas simplificacoes, ficamos com:

−→PQ = Q− P =


a2 + b2 + c2

)(a, b, c) (10.8)

Combinando as equacoes (10.6) e (10.8), temos que:

d(P, π) =

∣∣∣∣ (−axP − byP − czP − d

a2 + b2 + c2

) ∣∣∣∣ ∣∣ (a, b, c) ∣∣d(P, π) =

(∣∣− axP − byP − czP − d∣∣

a2 + b2 + c2

)√

a2 + b2 + c2

Permitindo-nos chegar, finalmente, a expressao:

d(P, π) =

∣∣axP + byP + czP + d∣∣

√a2 + b2 + c2

(10.9)

que e a expressao matematica para a distancia entre o ponto P = (xP , yP , zP ) e o plano

π : ax+ by + cz + d = 0. Ou seja, sempre que precisarmos determinar a distancia entre

um ponto e um plano podemos utilizar a equacao (10.9) para calcular tal distancia.

194

Exemplos

1. Calcule a distancia entre o ponto P = (1,−2, 3) e os planos:

a) π1 : 2x− 3y + 4 = 0;

Resolucao: Podemos determinar a distancia entre o ponto P e o plano π1 apli-

cando diretamente a formula de distancia entre um ponto e um plano (equacao

(10.9)).

Como π : 2x − 3y + 0z + 4 = 0, temos que: a = 2, b = −3, c = 0 e d = 4.

Temos tambem que P = (1,−2, 3), ou seja, xP = 1, yp = −2 e zP = 3.


d(P, π) =

∣∣axp + byP + czP + d∣∣

√a2 + b2 + c2

=

∣∣(2)(1) + (−3)(−2) + (0)(3) + (4)∣∣√

(2)2 + (−3)2 + (0)2

d(P, π) =

∣∣2 + 6 + 0 + 4∣∣

√4 + 9 + 0

=12√13

u.c.

b) π2 : 2x+ y − 3z + 9 = 0

Resolucao: Neste caso temos que 2x+ y − 3z + 9 = 0, ou seja, a = 2, b = 1,

c = −3 e d = 9. Temos ainda que P = (1,−2, 3), ou seja, xP = 1, yP = −2 e

zP = 3. Assim:

d(P, π) =

∣∣(2)(1) + (1)(−2) + (−3)(3) + 9∣∣√

(2)2 + (1)2 + (−3)2= 0

O resultado obtido nao e estranho pois, como podemos verificar, p ∈ π e,

portanto, d(P, π) = 0

195

10.5 Posicao Relativa entre Retas

Nesta secao vamos estudar a posicao relativa entre duas retas no plano e entre duas

retas no espaco tridimensional. Como cada um destes estudos tem suas peculiaridades,

assim vamos estudar separadamente estas posicoes relativas.

10.5.1 Posicao Relativa entre Retas no Plano

Dadas duas retas r e s no plano, podemos ter uma das seguintes disposicoes entre elas:

1. As retas sao coincidentes, r ≡ s.

2. As retas sao paralelas, r ∥ s.

3. As retas sao concorrentes, r ⌢| s.

Na figura a seguir mostramos, como exemplo, tres casos de retas r e s que sao, respec-

tivamente, coincidentes, paralelas e concorrentes.

Para determinarmos a posicao relativa entre duas retas, primeiro precisamos determi-

nar se elas sao coincidentes, paralelas ou concorrentes. Para isto precisamos determinar

o angulo entre estas retas, pois o angulo entre duas retas determina a disposicao de uma

reta em relacao a outra, ou seja, determina o seu posicionamento relativo.

Dadas duas retas r e s no plano, temos que:

1. Se as retas sao coincidentes (r ≡ s) ou paralelas (r ∥ s) o angulo entre elas e igual

a zero. Ou seja:

ang(r, s) = 0◦

Ou, equivalentemente, podemos dizer que em termos de suas equacoes vetoriais, es-

tas retas tem vetores diretores paralelos; e em termos de suas equacoes simetricas

reduzidas, elas tem o mesmo coeficiente angular.

196

2. Se as retas sao concorrentes, r ⌢| s, entao os vetores diretores das retas nao sao

paralelos e o ang(r, s) = 0 e e o menor angulo formado entre os vetores diretores−→v r e

−→v s. O angulo entre duas retas e sempre um angulo entre 0◦ e 90◦.

Para tomarmos ciencia deste ultimo ponto, imaginemos duas retas concorrentes como

mostradas na figura a seguir.

Podemos pensar em dois angulos entre as retas, θ e ϕ. Pela figura vemos que, neste

caso, θ e o menor angulo entre as retas, portanto quando falamos de angulo entre retas

estamos falando de θ. Vemos tambem que θ + ϕ = 180o e que temos sempre ϕ ≥ θ,

portanto o menor angulo entre as retas e sempre θ ≤ 90o.

Para determinarmos o menor angulo entre as retas r e s, ja sabendo que elas sao

concorrentes, ou seja, que seus vetores diretores NAO sao paralelos, consideramos seus

vetores diretores, −→v r e−→v s, e calculamos:

cos θ =−→v r · −→v s∣∣−→v r

∣∣ ∣∣−→v s

∣∣Entao, se:

i) cos θ > 0 entao ang(r, s) = arccos

(−→v r·−→v s∣∣−→v r

∣∣ ∣∣−→v s

∣∣ ).ii) cos θ < 0 entao ang(r, s) = 180◦ − arccos

(−→v r·−→v s∣∣−→v r

∣∣ ∣∣−→v s

∣∣ ).Conhecido o angulo e a disposicao entre as retas r e s no plano, para determinarmos

completamente sua posicao relativa precisamos determinar a distancia (menor distancia)

entre elas.

197

Dadas duas retas r e s no plano, temos:

1. Se as retas sao coincidentes, r ≡ s entao d(r, s) = 0.

2. Se as retas sao paralelas, r ∥ s entao d(r, s) > 0.

3. Se as retas sao concorrentes, r ⌢| s entao d(r, s) = 0.

Assim, nos casos de retas coincidentes ou concorrentes, a distancia entre elas e igual

a zero. Para o caso de retas paralelas precisamos determinar a distancia.

A distancia entre as retas paralelas r e s e a distancia entre um ponto (um ponto qual-

quer mas fixo) de uma das retas e a outra reta. Assim, para determinarmos a distancia

entre duas retas paralelas usamos, no geral, “a formula” da distancia entre ponto e reta

(equacao (10.2)), deduzida e explicada na secao anterior. Nos exemplos a seguir ilus-

traremos bem estes calculos.

Antes de apresentarmos os exemplos e ilustrarmos uma maneira de calcular a posicao

relativa entre duas retas, queremos lembrar que existem varias maneiras de descobrir a

posicao relativa de duas retas e que, se feita corretamente, sao completamente equiva-

lentes. Mas, para que este nao venha a se tornar o texto muito extenso apresentaremos

apenas uma maneira para cada item do exemplo a seguir (retas paralelas, concorrentes e

coincidentes).

Exemplo

1. Determine a posicao relativa (a disposicao, a distancia e o angulo) entre as seguintes

retas no plano:

a) y = 2x− 3 e y = x+ 5;

Resolucao: Neste caso foi dada a equacao simetrica reduzida de cada reta.

Para sabermos a disposicao de uma para com a outra podemos olhar, direta-

mente, seus coeficientes angulares.

Como: mr = 2 ems = 1, ou seja,mr = ms as retas sao concorrentes. Portanto,

a distancia entre elas e dada por:

d(r, s) = 0

Para descobrirmos o angulo entre as duas retas precisamos descobrir um vetor

diretor de cada reta e calcular o produto escalar entre eles. Assim, precisamos

de dois pontos de cada reta.

Para a reta r, fazendo x = 0 temos que y = −3, assim Pr = (0,−3). E fazendo

x = 1 temos y = −1, entao Qr = (1,−1). Desta forma podemos tomar como

vetor diretor da reta r:

198

−→v r =−−−→PrQr = Qr − Pr = (1,−1)− (0,−3)

−→v r = (1, 2)

cujo modulo vale:

|−→v r| = |(1, 2)| =√12 + 22

|−→v r| =√5

Para a reta s, fazendo x = 0 temos que y = 5, assim Ps = (0, 5). E fazendo

x = 1 temos y = 6, entao Qs = (1, 6). Desta forma podemos tomar como vetor

diretor da reta s:

−→v s =−−−→PsQs = Qs − Ps = (1, 6)− (0, 5)

−→v s = (1, 1)

cujo modulo vale:

|−→v s| = |(1, 1)| =√12 + 12

|−→v s| =√2

Usando que:

cos θ =−→v r · −→v s

|−→v r| |−→v s|temos que:

cos θ =(1, 2) · (1, 1)√

5√2

=1 · 1 + 2 · 1√

10

cos θ =3√10

(10.10)

Como cos θ > 0, o angulo entre as retas r e s vale:

θ = arccos

(3√10

)Podemos, tambem, encontrar o ponto de interseccao entre as retas resolvendo

o sistema:

199

{y = 2x− 3

y = x+ 5

Temos: 2x− 3 = x+ 5 ⇒ x = 8 ⇒ y = 8 + 5 ⇒ y = 13

Assim, temos:

r ∩ s = { (8, 13) }

b) 2x+ 3y − 7 = 0 e 4x+ 6y − 4 = 0;

Resolucao: Isolando o y nas equacoes de ambas as retas, r e s, temos que:

r : 2x+ 3y − 7 = 0 ⇒ y = −2

3x+

7

3

e

s : 4x+ 6y − 4 = 0 ⇒ y = −2

3x+

2

3

Como: ms = −23= mr e

73= br = bs =

23, as retas sao paralelas. Portanto, o

angulo entre elas vale:

ang(r, s) = 0◦

Para calcular d(r, s), vamos usar a equacao (10.2):

d(P, s) =

∣∣−→PQ×−→v s

∣∣∣∣−→v s

∣∣onde P e um ponto da reta s e Q um ponto da reta r e −→v s e o vetor diretor da

reta s que, como as retas sao paralelas, tambem e igual ao vetor diretor de r.

Pelas equacoes podemos verificar facilmente que (2, 1) ∈ r, (−1, 3) ∈ r, (1, 0) ∈s e (−2, 2) ∈ s.

Como so podemos fazer o produto vetorial no espaco, vamos considerar as retas

no plano xy mas que todos os seus pontos (e vetor diretor) estao escritos no

espaco. Ou seja, vamos considerar: (2, 1, 0) ∈ r, (−1, 3, 0) ∈ r, (1, 0, 0) ∈ s e

(−2, 2, 0) ∈ s e que, portanto, um de seus vetores diretores vale −→v r = (3,−2, 0)

e −→v s = (3,−2, 0).

Usando Pr = (2, 1, 0) ∈ r e Qs = (1, 0, 0) ∈ s assim:−→PQ = (−1,−1, 0)

Como:

−→PQ×−→v r =

∣∣∣∣∣∣∣−→i

−→j

−→k

−1 −1 0

3 −2 0

∣∣∣∣∣∣∣ = (0, 0, 5)

200

temos que:

d(r, s) = d(P, r) =

∣∣−→PQ×−→v r

∣∣∣∣−→v r

∣∣ =

∣∣(0, 0, 5)∣∣∣∣(3,−2, 0)∣∣ =

5√13

c) (x, y) = (0,−3) + λ(1, 2) e (x, y) = (1,−1) + λ(−2,−4).

Resolucao: Pela razao entre as coordenadas dos vetores diretores das retas r

e s:1

−2=

2

−4podemos ver que estes vetores sao paralelos, portanto as retas

ou sao paralelas ou coincidentes e o angulo entre elas vale:

ang(r, s) = 0◦

Para verificarmos se elas sao paralelas ou coincidentes podemos escrever a

equacao vetorial de uma das retas, reta r por exemplo, na forma parametrica e

usando um ponto da outra reta (reta s) verificar se este ponto obedece tambem

a equacao de r. Assim: {x = λ

y = −3 + 2λ

Usando o ponto PS = (1,−1) temos que:{x = λ ⇒ 1 = λ ⇒ λ = 1

y = −3 + 2 ⇒ −1 = −3 + 2λ ⇒ λ = 1

Como encontramos o mesmo valor para o parametro λ, o ponto P = (1,−1)

tambem pertence areta r. Desta forma, podemos concluir que as retas r e s

sao coincidentes e, por isto, temos que:

d(r, s) = 0

10.5.2 Posicao Relativa entre Retas no Espaco

Apos estudarmos e aprendermos a determinar a posicao relativa entre duas retas no

plano, vamos estudar a posicao relativa entre duas retas no espaco tridimensional.

E importante ressaltar que o processo que utilizaremos para encontrar a posicao re-

lativa entre retas no espaco tambem pode ser utilizado para encontrar a posicao relativa

entre retas no plano!

201

Duas retas r e s no espaco podem ser:

i) Coincidentes, r ≡ s ;

ii) Paralelas, r ∥ s ;

iii) Concorrentes, r ⌢| s ;

iv) Reversas, r rev s .

Devemos ter em mente que se duas retas sao: coincidentes, elas tem todos os pontos

em comum; concorrentes, tem um unico ponto em comum; paralelas, nao tem nenhum

ponto em comum mas sempre podemos encontrar um plano que contem as duas retas;

reversas, nao tem nenhum ponto em comum, mas nao podemos encontrar um plano que

contenha as duas retas. No caso de retas reversa, podemos pensar que sao retas que estao

em planos paralelos, ou seja, se a reta r e reversa a reta s, o plano que contem a reta r e

paralelo ao plano que contem a reta s.

Na figura a seguir, e mostrado um exemplo para cada tipo de disposicao de retas no

espaco.

Assim, dadas as equacoes de duas retas no espaco, para encontrar a posicao relativa

entre elas devemos realizar o procedimento descrito a seguir.

202

a) Determinacao da disposicao entre duas retas no espaco tridimensional

Para determinarmos a disposicao entre duas retas no espaco devemos:

1) Comparar os vetores diretores das retas. Pois:

a) se os vetores diretores das retas forem paralelos as retas serao: coincidentes ou

paralelas,

b) se os vetores diretores das retas nao forem paralelos, as retas sao concorrentes

ou reversas.

Assim, com uma conta simples (descobrir se dois vetores sao paralelos ou nao) ja

diminuiremos nosso problema pela metade!

2.1) Se os vetores diretores sao paralelos, vamos verificar se um ponto (um ponto qual-

quer, mas fixo) de uma das retas pertence a outra reta. Pois:

a) Se o ponto de uma das retas pertencer a outra, as retas sao coincidentes.

b) Se o ponto de uma das retas nao pertencer a outra, as retas sao paralelas.

2.2) Se os vetores diretores nao sao paralelos, vamos considerar os vetores diretores das

retas e o vetor−→PQ, sendo P o ponto de uma das retas e Q (um ponto da outra

reta). Pois:

a) se os vetores diretores das retas e o vetor−→PQ sao coplanares, as retas sao

concorrentes;

b) se os vetores diretores das retas e o vetor−→PQ nao sao coplanares, as retas sao

reversas.

203

Resumindo

Fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaco tridimensional e dadas r e s

com P ponto de r e Q ponto de s e −→v r vetor diretor de r e −→v s vetor diretor de s, temos:

⋄ Se −→v r ∥ −→v s e P ∈ s entao r ≡ s.

⋄ Se −→v r ∥ −→v s e P /∈ s entao r ∥ s.

⋄ Se −→v r ∦ −→v s e os vetores −→v r,−→v s e

−→PQ sao coplanares, entao r ⌢| s.

⋄ Se −→v r ∦ −→v s e os vetores −→v r,−→v s e

−→PQ nao sao coplanares, entao r rev s.

b) Determinacao do angulo entre duas retas no espaco tridimensional

Dadas duas retas r e s no espaco com vetores diretores iguais a −→v r e −→v s, respectiva-

mente, devemos verificar se seus vetores diretores sao paralelos ou nao. Entao:

1) Se os vetores diretores sao paralelos, as retas sao paralelas ou coincidentes o angulo

entre as retas e zero.

ang(r, s) = 0o

2) Se os vetores diretores nao sao paralelos, as retas sao concorrentes ou reversas o

angulo entre elas e o menor angulo formado entre seus vetores diretores. Ou seja,

se −→v r e−→v s sao os vetores diretores de r e s respectivamente, calculamos:

cos θ =−→v r · −→v s∣∣−→v r

∣∣ ∣∣−→v s

∣∣Entao se:


( −→v r · −→v s∣∣−→v r

∣∣ ∣∣−→v s

∣∣)

ii) cos θ < 0 entao ang(r, s) = 180◦ − arccos

( −→v r · −→v s∣∣−→v r

∣∣ ∣∣−→v s

∣∣)

204

c) Determinacao da distancia entre dua retas no espaco

Dadas as retas r e s no espaco e sabendo-se a disposicao entre elas, ou seja, se sao

coincidentes, concorrente, paralelas ou reversas, podemos determinar a distancia entre

elas. Assim, temos que:

1) Se as retas sao coincidentes entao a distancia entre as retas e zero.

d(r, s) = 0

2) Se as retas sao concorrentes entao a distancia entre as retas e zero.

d(r, s) = 0

3) Se as retas sao paralelas a distancia entre as retas e a distancia entre um ponto de

uma das retas e a outra reta. Ou seja, se r : (x, y, z) = (xP , yP , zP ) + t(v1, v2, v3)

e s : (x, y, z) = (xQ, yQ, zQ) +m(w1, w2, w3), entao:

d(r, s) = d(P, s) = d(Q, r) =

∣∣−−−→PrQs ×−→v r

∣∣∣∣−→v r

∣∣ =

∣∣−−−→PrQs ×−→w s

∣∣∣∣−→w s

∣∣4) Se as retas sao reversas, a distancia entre elas e a distancia entre o plano que

contem umas das retas (e que e definido pelos vetores diretores das retas e um

ponto de uma das retas) e um ponto da outra reta. Ou seja, se r : (x, y, z) =

(xP , yP , zP ) + t(v1, v2, v3) e s : (x, y, z) = (xQ, yQ, zQ) +m(w1, w2, w3), entao, ache

a equacao geral do plano que tem: −→v = (v1, v2, v3) e−→w = (w1, w2, w3) como vetores

diretores e contem o ponto Q = (xQ, yQ, zQ).

Vamos chama-lo de π : ax+ by + cz + d = 0.

Entao, achamos a distancia entre o plano π e o ponto P = (xP , yP , zP ) que e dada

por:

d(r, s) = d(P, π) =

∣∣axP + byP + czP + d∣∣√

(a)2 + (b)2 + (c)2

Vamos ilustrar o procedimento e os calculos descritos acima para determinar a posicao

relativa entre retas no espaco nos exemplos a seguir.

205

Exemplos

1. Determine a posicao relativa (a disposicao, a distancia e o angulo) entre as retas r

e s:

a) r : (x, y, z) = (1,−2, 3) + t(1, 0, 3) e s : (x, y, z) = (0,−2, 0) +m(−2, 0,−6)

Resolucao: Como: −→v r = (1, 0, 3) e paralelo a −→v s = (−2, 0,−6) as retas sao

paralelas ou coincidentes.

Vamos verificar se P = (1,−2, 3) ∈ r pertence a reta s. Para isto, vamos

considerar as equacoes parametricas de s:

s :

x = −2m

y = −2

z = −6m

Como:

1 = −2m ⇒ m = −12

−2 = −2

3 = −6m ⇒ m = −12

Como o valor encontrado para o parametro m foi o mesmo na equacao

parametrica das diferentes coordenadas, o ponto Pr = (1,−2, 3) tambem per-

tence a s, portanto as retas sao coincidentes.

Se as retas r e s sao coincidentes, o angulo entre elas e zero e a distancia

entre elas tambem e zero. Matematicamente:

ang(r, s) = 0o e d(r, s) = 0

b) r : (x, y, z) = (1,−2, 3) + t(1, 0, 3) e s : (x, y, z) = (0, 0,−3) +m(1, 1, 1).

Resolucao: Como −→v = (1, 0, 3) nao e paralelo a −→w = (1, 1, 1), as retas sao

concorrentes ou reversas.

Para determinarmos a rela disposicao entre estas retas, vamos considerar um

ponto de cada reta: P = (1,−2, 3) ∈ r e Q = (0, 0,−3) ∈ s, desta forma,

temos que:

−→u =−→PQ = (−1, 2,−6)

Vamos verificar se os vetores −→v , −→w e −→u sao coplanares calculando o determi-

nante da matriz de suas coordenadas. Assim:

206

∣∣∣∣∣∣∣v1 v2 v3

w1 w2 w3

u1 u2 u3

∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣

1 0 3

1 1 1

−1 2 −6

∣∣∣∣∣∣∣ = −6 + 0 + 6− (−3 + 0 + 2) = 1 = 0

Como o determinante deu diferente de zero, os vetores −→v , −→w e −→u nao sao

coplanares e as retas r e s sao reversas.

Sabendo que as retas r e s sao reversas, precisamos descobrir o angulo e tambem

a distancia entre elas.

Para descobrirmos o angulo vamos cacular o angulo entre os seus vetores

diretores usando o produto escalar entre. Temos que −→v r = (1, 0, 3) e−→w s = (1, 1, 1), assim:

−→v r · −→w s = (1, 0, 3) · (1, 1, 1) = 4

|−→v r| =∣∣(1, 0, 3)∣∣ = √

10

|−→w s| =∣∣(1, 1, 1)∣∣ = √

3

E, portanto:

cos θ =4√

10√3> 0

O que nos da:

ang(r, s) = arccos

(4√30

)Falta a distancia entre as retas r e s.

Temos: −→v r = (1, 0, 3) , −→w s = (1, 1, 1), Pr = (1,−2, 3) e Qs = (0, 0,−3).

Mas precisamos da equacao geral do plano que contem uma das retas para

determinar a distancia deste plano a um ponto da outra reta.

Para determinarmos a equacao geral do plano que contem a reta r vamos

primeiro calcular as coordenadas do vetor normal a este plano. Calculando:

−→v r ×−→w s =

∣∣∣∣∣∣∣−→i

−→j

−→k

1 0 3

1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣ = −3−→i + 2

−→j +

−→k = (−3, 2, 1)

Portanto, o plano determinado a partir dos vetores diretores das retas tem

equacao

207

−3x+ 2y + z + d = 0

Usando o ponto Pr = (1,−2, 3), podemos determinar o valor da constante d

e, assim, teremos a equacao geral do plano que contem a reta r e e paralelo a

reta s. A equacao deste plano e:

π : −3x+ 2y + z + 4 = 0

Calculando a distancia entre o plano π e o ponto Qs = (0, 0,−3), a partir da

equacao (10.9), temos que:

d(r, s) = d(Qs, π) =

∣∣(−3)(0) + (2)(0) + (1)(−3) + 4∣∣√

(−3)2 + (2)2 + (1)2

d(r, s) = d(Qs, π) =1√14

u.c.

Assim, para as retas r e s, temos que:

{r rev sang(r, s) = arccos

(4√30

)d(r, s) = 1√

14u.c.

Como pode ser observado por este item do exemplo, o caso das retas reversas e

o demanda um maior numero de calculos para se determinar a posicao relativa

entre as retas r e s no espaco.

c) r : (x, y, z) = (1,−2, 3) + t(1, 0, 3) e s :x− 2

3=

2 + y

4=

6− z

3.

Resolucao: Passando a equacao da reta s da forma simetrica para a forma

vetorial obtemos s : (x, y, z) = (2,−2, 6) + t(3, 4,−3).

Assim, os vetores diretores da reta r e s sao −→v r = (1, 0, 3) e −→w s = (3, 4,−3).

Como1

3= 0

4=

3

−3, os vetores −→v r e −→w s nao sao paralelos, portanto as retas

r e s sao concorrentes ou reversas.

Tomando os pontos de referencia das retas Pr = (1,−2, 3) e Qs = (2,−2, 6)

temos que o vetor −→u =−−−→PrQs = (1, 0, 3).

Verificando se os vetores −→v r,−→w s e

−→u sao coplanares pelo calculo do determi-

nante de suas coordenadas:∣∣∣∣∣∣∣v1 v2 v3

w1 w2 w3

u1 u2 u3

∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣1 0 3

3 4 −3

1 0 3

∣∣∣∣∣∣∣ = 0

208

Assim vemos que os vetores −→v r,−→w s e ,

−→u =−−−→PrQs sao coplanares. E, portanto,

as retas r e s sao concorrentes.

Se tivessemos ficado um pouco mais atentos terıamos visto que os vetores−→v r

e −→u sao o mesmo vetor e, por isto, so tınhamos dois vetores que, por serem so

dois vetores, soa, por definicao, coplanares.

Como as retas sao concorrentes, elas se interceptam e a distancia entre elas e:

d(r, s) = 0

E o angulo entre elas e calculado a partir do produto escalar entre seus vetores

diretores. Assim:

cos θ =−→v r · −→v s

|−→v r| |−→v s|= − 3√

85

Como cos θ < 0, o angulo entre as retas sera:

θ′ = 180o − arccos

(− 3√

85

)

d) r : (x, y, z) = (2,−2,−3) + t(1, 0, 3) e s : 3x− 9 = z e y = −2

Resolucao: Escrevendo a equacao da reta s na forma vetorial encontramos

que

s : (x, y, z) = (3,−2, 0) + t

(1

3, 0, 1

)Portanto os vetores diretores das duas retas, −→v r = (1, 0, 3) e −→w s =

(1

3, 0, 1

)sao paralelos e as retas r e s sao paralelas ou coincidentes.

Verificando que o ponto de referencia de r, Pr = (2,−2,−3) nas equacoes

parametricas de sλ = 3x− 9 ⇒ λ = 3 · 2− 9 ⇒ λ = −3

y = −2 ⇒ −2 = −2

λ = z ⇒ λ = −3

Vemos que o ponto Pr = (2,−2,−3) tambem obedece a equacao da reta s e

concluimos que as duas retas sao coincidentes e temos que:

d(r, s) = 0 e ang(r, s) = 0o

209

10.6 Posicao Relativa entre Planos

No capıtulo anterior comecamos a estudar retas e planos, aprendendo a escrever suas

equacoes vetoriais, parametricas, simetricas e gerais. Neste capıtulo estamos aprendendo

a determinar a posicao relativa entre alguns dos elementos da Geometria Analıtica.

Nas seccoes anteriores deste capıtulo estudamos a posicao relativa entre dois pontos,

entre um ponto e uma reta, entre um ponto e um plano e entre duas retas. Assim, nesta

seccao vamos estudar a posicao relativa entre dois planos.

10.6.1 Disposicao entre Dois Planos

Dois planos π1 e π2 podem ser:

i) coincidentes, π1 ≡ π2 ;

ii) paralelos, π1 ∥ π2 ;

iii) transversos, π1 ⌢| π2 .

Na figura a seguir, sao mostrados exemplos de planos com diferentes disposicoes entre

si.

Para determinarmos a disposicao entre dois planos, vamos considerar que, fixado um

sistema de coordenadas cartesianas no espaco tridimensional, temos os planos:

α : ax+ by + cz + d = 0

β : ax+ by + cz + d = 0

Note que usamos as letras gregas α e β para designar os planos no lugar de π1 e

π2, respectivamente, para nao sobrecarregarmos a nossa notacao a partir daqui levando

ındices de ındices.

Para os planos α e β temos que os vetores normais aos planos sao, respectivamente,

os vetores −→n α = (a, b, c) e −→n β = (a, b, c). Comparando esses vetores temos que:

210

1. se −→n α = (a, b, c) e paralelo a −→n β = (a, b, c) e existe P ∈ α com P ∈ β, entao os

planos sao coincidentes;

2. Se −→n α = (a, b, c) e paralelo a −→n β = (a, b, c) e NAO existe P ∈ α com P ∈ β, entao

os planos sao paralelos;

3. Se −→n α = (a, b, c) nao e paralelo a −→n β = (a, b, c) entao os planos sao transversais (se

cortam).

10.6.2 Angulo entre Dois Planos

Apos determinarmos a disposicao entre os plano, o passo seguinte e determinar o angulo

entre eles.

Para isto vamos considerar que, fixado um sistema de coordenadas cartesianas no

espaco e considerando os planos:

α : ax+ by + cz + d = 0

β : ax+ by + cz + d = 0

Temos que:

1. Se −→n α = (a, b, c) e paralelo a −→n β = (a, b, c) entao os planos sao paralelos ou coinci-

dentes e o angulo entre eles e zero, ou seja,

ang(α, β) = 0◦

2. Se −→n α = (a, b, c) nao e paralelo a −→n β = (a, b, c) entao os planos sao transversais e

o angulo entre eles e o menor angulo entre −→n α e −→n β. Ou seja, se:


( −→n α · −→n β∣∣−→n α

∣∣ ∣∣−→n β

∣∣)

ii) cos θ < 0 entao ang(r, s) = 180◦ − arccos

( −→n α · −→n β∣∣−→n α

∣∣ ∣∣−→n β

∣∣)

211

10.6.3 Distancia entre Dois Planos

Sabendo ao disposicao e o angulo entre os planos, precisamos determinar a distancia

entre eles. Assim, fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaco e considerando

os planos:

α : ax+ by + cz + d = 0

β : ax+ by + cz + d = 0

Temos que:

1. Se −→n α = (a, b, c) e paralelo a −→n β = (a, b, c) e existe P ∈ α com P ∈ β entao os

planos sao coincidentes e a distancia entre eles e zero. Ou seja:

d(α, β) = 0

2. Se −→n α = (a, b, c) e paralelo a −→n β = (a, b, c) e NAO existe P ∈ α com Q ∈ β entao os

planos sao paralelos e a distancia entre eles e a distancia entre um ponto (qualquer

mas fixo) de um dos planos para o outro plano. Ou seja, usamos a equacao (10.9)

para determinar a distancia entre os planos. Assim:

d(α, β) = d(P, β) = d(Q,α)

d(α, β) =|axP + byP + czP |+ d√

a2 + b2 + c2|=

axQ + byQ + zzQ + d√a2 + b2 + c2

(10.11)

3. Se −→n α = (a, b, c) nao e paralelo a −→n β = (a, b, c) entao os planos sao transversais ou

transveros e a distancia entre eles e zero.

d(α, β) = 0

Vamos ilustrar a determinacao da posicao relativa entre dois planos a partir dos exem-

plos a seguir.

Exemplos

1. Determine a disposicao, o angulo e a distancia entre os planos.

a) α : 2x− 3y + z + 3 = 0 e β : 3x− y − z + 1 = 0.

Resolucao:

Como os vetores normais aos planos −→n α = (2,−3, 1) e −→n β = (3,−1,−1) nao

sao paralelos, os planos α e β sao transversais.

212

Assim, a distancia entre eles vale:

d(α, β) = 0

Calculando:

cos θ =−→n α · −→n β

|−→n α| |−→n β|=

4√35

vemos que o angulo entre os planos vale:

θ = arccos

(4√35

)

b) α : 2x− 3y + z + 3 = 0 e β : 2x− 3y + z + 1 = 0.

Resolucao:

Como −→n α = −→n β e dα = dβ, os planos α e β sao paralelos.

Portanto:

ang(α, β) = 0o

Considerando o ponto P = (1, 1,−2) que pertence ao plano α, podemos calcu-

lar a distancia entre os planos α e β como sendo a distancia entre o ponto P e

o plano β.

Assim:

d(α, β) = d(P, β) =

∣∣axP + byP + czP d∣∣√

a2 + b2 + c2=

2√14

u.c.

c) α : 2x− 3y + z + 3 = 0 e β : −4x+ 6y − 2z − 6 = 0.

Resolucao:

Como os vetores normais aos planos −→n α = (2,−3, 1) e −→n β = (−4, 6,−2) sao

paralelos, os planos α e β sao paralelos ou coincidentes.

Se multiplicarmos ambos os lados da equacao do plano α por −2 obtemos

α : −4x + 6y − 2z − 6 = 0, que e a equacao do plano β, portanto concluimos

que os planos α e β sao o mesmo plano. Ou seja, os planos α e β sao coincidentes

e

d(α, β) = 0 e ang(α, β) = 0o

213

10.7 Posicao Relativa entre Reta e Plano

Nesta ultima secao deste capıtulo onde estamos estudando a posicao relativa entre ele-

mentos da Geometria Analıtica (pontos, retas e planos), vamos estudar a posicao relativa

entre uma reta e um plano.

10.7.1 Disposicao entre Reta e Plano

O que primeiro precisamos determinar e a disposicao entre a reta e o plano. Para isto

vamos considerar que fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaco tridimen-

sional, sejam a reta r e o plano π dados por:

r : (x, y, z) = (xP , yP , zP ) + t(v1, v2, v3)

π : ax+ by + cz + d = 0

onde P = (xP , yP , zP ) ∈ r; −→v = (v1, v2, v3) e o vetor diretor de r; e −→n = (a, b, c) o vetor

normal ao plano π.

Entao, temos que:

1. Se −→v · −→n = 0 e P = (xP , yP , zP ) /∈ π entao a reta r e paralela ao plano π.

2. Se −→v · −→n = 0 e P = (xP , yP , zP ) ∈ π entao a reta r esta contida no plano π, ou

seja, a reta r pertence ao plano π.

3. Se −→v · −→n = 0 entao a reta r e transversal ao plano π.

10.7.2 Angulo entre Reta e Plano

Determinada a disposicao da reta r em relacao ao plano π, precisamos calcular o angulo

entre eles.

Assim, fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaco e sejam a reta r e o

plano π dados por:

r : (x, y, z) = (xP , yP , zP ) + t(v1, v2, v3)

π : ax+ by + cz + d = 0

onde P = (xP , yP , zP ) ∈ r; −→v = (v1, v2, v3) e o vetor diretor de r; e −→n = (a, b, c) vetor

normal ao plano π, temos que:

214

1. Se a reta r e paralela ao plano π entao o angulo entre a reta e o plano e zero.

ang(r, π) = 0

2. Se a reta r pertence ao plano π entao o angulo entre a reta e o plano e zero.

ang(r, π) = 0

3. Se a reta r e transversal ao plano π entao o angulo entre a reta e o plano esta

relacionado ao menor angulo entre um vetor normal ao plano e um vetor diretor da

reta. Ou seja,

◃ Se −→v r · −→n > 0 entao

ang(r, π) = 90o − arccos

( −→v r · −→n∣∣−→v r

∣∣ ∣∣−→n ∣∣)

◃ Se −→v r · −→n < 0 entao

ang(r, π) = arccos

( −→v r · −→n∣∣−→v r

∣∣ ∣∣−→n ∣∣)

− 90◦

10.7.3 Distancia entre Reta e Plano

Conhecido a disposicao e o angulo entre a reta e o plano, precisamos determinar a

distancia entre estes elementos da Geometria Analıtica.

Assim, fixado um sistema de coordenadas cartesianas no espaco tridimensional, sejam

a reta r e o plano π dados por:

r : (x, y, z) = (xP , yP , zP ) + t(v1, v2, v3)

π : ax+ by + cz + d = 0

onde P = (xP , yP , zP ) ∈ r; −→v = (v1, v2, v3) e o vetor diretor de r; e −→n = (a, b, c) vetor

normal ao plano π.


215

1. Se a reta r e paralela ao plano π, a distancia entre a reta e o plano e a distancia

entre um ponto qualquer da reta e o plano. Ou seja, usamos a equacao (10.9):

d(r, π) = d(P, π) =


√a2 + b2 + c2

onde P = (xP , yP , zP ) ∈ r e π : ax+ by + cz + d = 0

2. Se a reta r pertence ao plano π entao a distancia entre a reta e o plano e zero.

d(r, π) = 0

3. Se a reta r e transversal ao plano π entao a distancia entre a reta e o plano e zero.

d(r, π) = 0

O procedimento para se determinar a posicao relativa entre uma reta e um plano sera

ilustrado no exemplo a seguir.

Exemplo: Determine a posicao relativa entre a reta e o plano em cada um dos

itens a seguir.

a) r : (x, y, z) = (1,−1, 0) + t(2,−1, 3) e π : 2x+ 3y − z + 4 = 0.

Resolucao:

Usando o vetor diretor da reta r, −→v r = (2,−1, 3) e o vetor norml ao plano π,−→n = (2, 3,−1), calculamos:

−→v r · −→n = (2,−1, 3) · (2, 3,−1) = 4− 3− 3 = −2 = 0

Entao, a reta r e transversal ao plano π. Assim:

d(r, π) = 0

Para determinarmos o angulo entre entre r e π calculamos:

cos θ =−→v r · −→n|−→v r| |−→n |

=−2√14

√14

= − 2

14= −1

7

Desta forma, temos que o angulo entre r e π vale:

θ′ = arccos

(−1

7

)− 90o

216

b) r : (x, y, z) = (1,−1, 0) + t(2,−1, 3) e π : 3x+ 3y − z + 4 = 0.

Resolucao:

Usando o vetor diretor da reta r, −→v r = (2,−1, 3) e o vetor normal ao plano π,−→n = (3, 3,−1), calculamos:

−→v r · −→n = 0

Entao a reta r ou e paralela ao plano π ou esta contida no plano π e, por isto,

temos que:

ang(r, π) = 0o

Verificando que o ponto de referencia da reta r nao satisfaz a equacao do plano

π, concluimos que a reta r e paralela ao plano π.

Usando o ponto de referencia da reta r, P = (1,−1, 0), podemos calcular a

distancia entre a reta r e o plano π como sendo a distancia entre o ponto P e

o plano π. Ou seja, podemos usar a equacao (10.9) que nos da:

d(r, π) = d(P, π) =


√a2 + b2 + c2

d(r, π) =|3 · 1 + 3 · (−1)− 1 · 0 + 4|√

32 + 32 + (−1)2=

4√19

u.c.

c) r : (x, y, z) = (1,−1, 4) + t(2,−1, 3) e π : 3x+ 3y − z + 4 = 0.

Resolucao: Usando o vetor diretor da reta r, −→v r = (2,−1, 3), e o vetor normal

ao plano π, −→n = (3, 3,−1), calculamos:

−→v r · −→n = 0

Entao a reta r ou e paralela ao plano π ou esta contida no plano π.

Verificando que o ponto de referencia da reta r satisfaz a equacao do plano π,

concluimos que a reta r esta contida no plano π.

Assim:

d(r, π) = 0 e ang(r, π) = 0o

217

10.8 Exercıcios

1. Determine a posicao relativa (a disposicao, o angulo e a distancia) entre as retas r

e s:

a) r : y = 2x− 3 e s : x = 8. (no plano)

b) r : 2x− y + 3 = 0 e s : −x+ 2y − 8 = 0. (no plano)

c) r : (x, y, z) = (1,−1, 0) + λ(1,−1, 0), λ ∈ IR ex+ 2

2=

−y + 2

2e z = 0.

d) r :

x = 2 + 3t

y = 3t

z = 4

e s :

x = −1 + 2λ

y = 2 + 5λ

z = 4 + λ

e) r :x− 2

3=

y

2=

−z + 4

1e s :

x = −1 + 2λ

y = 2 + 5λ

z = 4− λ

2. Determine a posicao relativa (a disposicao, o angulo e a distancia) entre os planos:

a) π1 : 2x+ 3y − z + 2 = 0 e π2 : 4x+ 6y − 2z = 0.

b) π1 : 2x− 3y = 0 e π2 : y − 2z + 8 = 0.

c) π1 : (x, y, z) = (0, 0, 0) + λ(3, 2,−1) + t(1, 2, 0) e π2 : 2x− 3y = 0.

3. Determine a posicao relativa (disposicao, angulo e distancia) entre a reta e o plano

em cada item a seguir:

a) r : (x, y, z) = (1, 2,−1) + t(1,−2, 0), t ∈ IR e π : 2x+ y − z − 2 = 0.

b) r :x+ 1

1=

y + 2

2e z = 0 e π : 2x+ y − z = 0.

c) r :

{x+ y + z − 3 = 0

2x− z = 4e π : 2x+ y − z + 2 = 0.

4. Determine a posicao relativa (disposicao, angulo e distancia) entre:

a) as retas r : (x, y, z) = (1, 2, 3) + λ(1, 0,−1) e s : (x, y, z) = (1, 2, 3) +

λ(−2, 0, 2);

b) as retas r : (x, y, z) = (1, 2, 3)+λ(1, 1, 2) e s : (x, y, z) = (1, 2, 3)+λ(−2, 0, 5);

218

c) as retas r : (x, y, z) = (1, 1, 1) + λ(1, 3,−2) e s : (x, y, z) = (1, 2, 3) +

λ(−2,−6, 4);

d) as retas r : (x, y, z) = (1, 1, 1) + λ(1, 3, 1) e s : (x, y, z) = (1, 2, 3) + λ(1, 2, 3);

e) os planos π1 : 2x+ 5y − z = 0 e π2 : 2z − 4x− 10y + 3 = 0.

5. Encontrar o angulo entre o plano 2x − y + z = 0 e o plano que passa pelo ponto

P = (1, 2, 3) e e perpendicular ao vetor −→v =−→i + 2

−→j +

−→k .

6. Seja π1 o plano que passa pelos pontos A = (1, 1, 1), B = (1, 0, 1) e C = (1, 1, 0)

e π2 o plano que passa pelos pontos P = (0, 0, 1) e Q = (0, 0, 0) e e paralelo ao

vetor−→i +

−→j . Ache o angulo entre π1 e π2.

7. Ache uma reta que passa pelo ponto (1,−2, 3) e que forma angulos de 45o e 60o com

os eixos x e y, respectivamente.

8. Obtenha os vertices B e C do triangulo equilatero ABC, sendo A = (1, 1, 0) e

sabendo que o lado BC esta contido na reta r : (x, y, z) = t(0, 1,−1). Sugestao:

Determine os pontos Pr da reta r tais que−−→PrA faz angulo de 60o (e 120o) com o

vetor diretor da reta r.

9. Determine a area do triangulo que tem como um de seus vertices a interseccao da

reta r : y =x

2+2 com a reta s : (x, y) = (2, 3)+λ(2,−2) e como os outros vertices

as interseccoes entre as retas r e s com o eixo x.

10. Seja π o plano que passa pela origem e e perpendicular a reta que une os pontos

A = (1, 0, 0) e B = (0, 1, 0). Encontre a distancia do ponto C = (1, 0, 1) ao plano π.

11. Seja r1 a reta que passa pelos pontos A = (1, 0, 0) e B = (0, 2, 0), e r2 a reta

x− 2 =y − 3

2=

z − 4

3.

a) Calcule a distancia entre r1 e r2;

b) Encontre as equacoes da reta perpendicular as retas r1 e r2.

12. Dados A = (0, 2, 1), r : (x, y, z) = (0, 2,−2) + t(1,−1, 2), ache os pontos de r que

distam√3 de A. A distancia do ponto A a reta r e maior, menor ou igual a

√3?

Por que?

13. Dada a reta r : (x, y, z) = (1, 0, 0)+t(1, 1, 1) e os pontos A = (1, 1, 1) e B = (0, 0, 1),

ache o ponto da reta r que esta equidistante de A e de B.

219

14. Encontre a equacao do lugar geometrico dos pontos equidistantes de A = (1,−1, 2)

e B = (4, 3, 1). Este plano passa pelo ponto medio de AB? Ele e perpendicular ao

segmento AB?

15. Considere as retas (x, y, z) = t(1, 2,−3) e (x, y, z) = (0, 1, 2)+ s(2, 4,−6). Encontre

a equacao geral do plano que contem estas duas retas.

16. Ache as equacoes dos planos em IR3 (espaco tridimensional) ortogonais ao vetor

(2, 2, 2), que distam√3 do ponto (1, 1, 1).

17. Obtenha uma equacao geral do plano π, que contem a reta r :

{x− 2y + 2z = 0

3x− 5y + 7z = 0

e forma com o plano π1 : x+ z = 0 um angulo de 60o.

18. Prove que o lugar geometrico dos pontos do espaco que equidistam de dois pontos

distintos A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2) e um plano que passa pelo ponto medio

do segmento AB e e perpendicular a ele. Este plano e chamado de plano mediador

do segmento AB.

19. Mostre que a distancia de um ponto P0 = (x0, y0, z0) a um plano π : ax+by+cz+d =

0 e d(P0, π) =|ax0 + by0 + cz0 + d|√

a2 + b2 + c2.

∗ ∗ ∗

220

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