Integrala nedefinita (primitive)˘ - grupa 5107 | Just ... · PDF filePrimitive.Tabelul...
Transcript of Integrala nedefinita (primitive)˘ - grupa 5107 | Just ... · PDF filePrimitive.Tabelul...
Integrala nedefinitaIntegrala definita
Integrala nedefinita (primitive)
1 Integrala nedefinitaPrimitiveIntegrarea prin partiSchimbarea de variabilaIntegrarea functiilor rationaleIntegrarea functilor trigonometriceIntegrarea functiilor irationale
2 Integrala definita
Integrala
Integrala nedefinitaIntegrala definita
Integrala
februarie 2011
Integrala
Integrala nedefinitaIntegrala definita
PrimitiveIntegrarea prin partiSchimbarea de variabilaIntegrarea functiilor rationaleIntegrarea functilor trigonometriceIntegrarea functiilor irationale
Primitive.Tabelul primitivelor
Definitia
Fie f : J → R, J ⊂ R un interval. Functia F : J → R se numesteprimitiva sau antiderivata a functiei f pe J, daca
1. F este derivabila pe J2. F ′(x) = f (x), ∀x ∈ J
Multimea tuturor primitivelor se mai numeste integralanedefinita si se noteaza∫
f (x)dx = F (x) + c, c ∈ R.
Integrala
Integrala nedefinitaIntegrala definita
PrimitiveIntegrarea prin partiSchimbarea de variabilaIntegrarea functiilor rationaleIntegrarea functilor trigonometriceIntegrarea functiilor irationale
Tabelul primitivelor
1∫
xn dx =xn+1
n + 1J ⊂ R
2∫
xa dx =xa+1
a + 1, J ⊂ (0,+∞), a ∈ R \ {−1}
3∫
ax dx =ax
ln a, J ⊂ R, a ∈ R+ \ {0,1}
4∫
1x
dx = ln |x | J ⊂ (−∞,0) sau J ⊂ (0,+∞)
5∫
1x2 − a2 dx =
12a
ln∣∣∣∣x − ax + a
∣∣∣∣ , x ∈ J ⊂ R \ {−a,a},a 6= 0
Integrala
Integrala nedefinitaIntegrala definita
PrimitiveIntegrarea prin partiSchimbarea de variabilaIntegrarea functiilor rationaleIntegrarea functilor trigonometriceIntegrarea functiilor irationale
6∫
1x2 + a2 dx =
1a
arctanxa, x ∈ J ⊂ R, a 6= 0
7∫
sin x dx = − cos x , x ∈ J ⊂ R
8∫
cos x dx = sin x , x ∈ J ⊂ R
9∫
1cos2 x
dx = tan x , x ∈ J ⊂ R \ {(2k + 1)π
2}, k ∈ Z
10∫
1sin2 x
dx = − coth x , x ∈ J ⊂ R \ {kπ}, k ∈ Z
Integrala
Integrala nedefinitaIntegrala definita
PrimitiveIntegrarea prin partiSchimbarea de variabilaIntegrarea functiilor rationaleIntegrarea functilor trigonometriceIntegrarea functiilor irationale
11∫
tan x dx = − ln | cos x | x ∈ J ⊂ R \ {(2k + 1)π
2}, k ∈ Z
12∫
coth x dx = ln | sin x | x ∈ J ⊂ R \ {kπ}, k ∈ Z
13∫
1√x2 + a2
dx = ln(x +√
x2 + a2), a 6= 0, x ∈ J ⊂ R
14∫
1√x2 − a2
dx = ln |x +√
x2 − a2|, a > 0,
x ∈ J ⊂ (−∞,−a) sau J ⊂ (a,∞)
15∫
1√a2 − x2
dx = arcsinxa, a > 0, x ∈ J ⊂ (−a,a)
Integrala
Integrala nedefinitaIntegrala definita
PrimitiveIntegrarea prin partiSchimbarea de variabilaIntegrarea functiilor rationaleIntegrarea functilor trigonometriceIntegrarea functiilor irationale
1 Aratati ca orice doua primitive ale functiei f pe un interval Jdifera printr-o constanta.
2 Aratati ca o functie care admite primitive pe un interval areproprietatea lui Darboux.
3 Aratati ca urmatoarele functii nu au primitiva pe R
1. f (x) =
{0, daca x ≤ 12x , daca x > 1
2. f (x) = [x ], x ∈ R unde prin [ ] s-a notat partea întreagaa numarului x .
3. f (x) =
{x , daca x ∈ Qx3, daca x /∈ Q
Integrala
Integrala nedefinitaIntegrala definita
PrimitiveIntegrarea prin partiSchimbarea de variabilaIntegrarea functiilor rationaleIntegrarea functilor trigonometriceIntegrarea functiilor irationale
1 Aratati ca orice doua primitive ale functiei f pe un interval Jdifera printr-o constanta.
2 Aratati ca o functie care admite primitive pe un interval areproprietatea lui Darboux.
3 Aratati ca urmatoarele functii nu au primitiva pe R
1. f (x) =
{0, daca x ≤ 12x , daca x > 1
2. f (x) = [x ], x ∈ R unde prin [ ] s-a notat partea întreagaa numarului x .
3. f (x) =
{x , daca x ∈ Qx3, daca x /∈ Q
Integrala
Integrala nedefinitaIntegrala definita
PrimitiveIntegrarea prin partiSchimbarea de variabilaIntegrarea functiilor rationaleIntegrarea functilor trigonometriceIntegrarea functiilor irationale
1 Aratati ca orice doua primitive ale functiei f pe un interval Jdifera printr-o constanta.
2 Aratati ca o functie care admite primitive pe un interval areproprietatea lui Darboux.
3 Aratati ca urmatoarele functii nu au primitiva pe R
1. f (x) =
{0, daca x ≤ 12x , daca x > 1
2. f (x) = [x ], x ∈ R unde prin [ ] s-a notat partea întreagaa numarului x .
3. f (x) =
{x , daca x ∈ Qx3, daca x /∈ Q
Integrala
Integrala nedefinitaIntegrala definita
PrimitiveIntegrarea prin partiSchimbarea de variabilaIntegrarea functiilor rationaleIntegrarea functilor trigonometriceIntegrarea functiilor irationale
Aratati ca urmatoarele functii au primitiva
1 1. f (x) =
{ sin xx
, daca x ∈ R \ {0}1, daca x = 0
pe R
2 2. f (x) =
{x sin
1x, daca x ∈ R \ {0}
0, daca x = 0pe R
3 f (x) =1
4 + 3 cos xpe intervalele [0, π] si [0,2π].
Integrala
Integrala nedefinitaIntegrala definita
PrimitiveIntegrarea prin partiSchimbarea de variabilaIntegrarea functiilor rationaleIntegrarea functilor trigonometriceIntegrarea functiilor irationale
Aratati ca urmatoarele functii au primitiva
1 1. f (x) =
{ sin xx
, daca x ∈ R \ {0}1, daca x = 0
pe R
2 2. f (x) =
{x sin
1x, daca x ∈ R \ {0}
0, daca x = 0pe R
3 f (x) =1
4 + 3 cos xpe intervalele [0, π] si [0,2π].
Integrala
Integrala nedefinitaIntegrala definita
PrimitiveIntegrarea prin partiSchimbarea de variabilaIntegrarea functiilor rationaleIntegrarea functilor trigonometriceIntegrarea functiilor irationale
Aratati ca urmatoarele functii au primitiva
1 1. f (x) =
{ sin xx
, daca x ∈ R \ {0}1, daca x = 0
pe R
2 2. f (x) =
{x sin
1x, daca x ∈ R \ {0}
0, daca x = 0pe R
3 f (x) =1
4 + 3 cos xpe intervalele [0, π] si [0,2π].
Integrala
Integrala nedefinitaIntegrala definita
PrimitiveIntegrarea prin partiSchimbarea de variabilaIntegrarea functiilor rationaleIntegrarea functilor trigonometriceIntegrarea functiilor irationale
Formula de integrare prin parti
Teorema(Integrarea prin parti) Daca f ,g : J → R sunt derivabile cu
derivate continue, atunci functiile fg, f ′g, fg′ admit primitive siare loc relatia∫
f (x)g′(x)dx = fg −∫
f ′(x)g(x)dx . (1)
Integrala
Integrala nedefinitaIntegrala definita
PrimitiveIntegrarea prin partiSchimbarea de variabilaIntegrarea functiilor rationaleIntegrarea functilor trigonometriceIntegrarea functiilor irationale
Exercitii
Determinati primitivele urmatoarelor functii
1. ln x 2. arctan x 3. arcsin x
4. x sin x 5. x cos 3x 6.xex 7. eax cos bx
Integrala
Integrala nedefinitaIntegrala definita
PrimitiveIntegrarea prin partiSchimbarea de variabilaIntegrarea functiilor rationaleIntegrarea functilor trigonometriceIntegrarea functiilor irationale
Schimbarea de variabila
TeoremaFie I, J ⊂ R doua intervale si
1. f : J → R o functie continua.2. ϕ : I → J este o functie bijectiva, derivabila cu derivatacontinua si nenula pe I.3. G este o primitiva a functiei (f ◦ ϕ)ϕ′
atunci G ◦ ϕ−1 este o primitiva a lui f .
Integrala
Integrala nedefinitaIntegrala definita
PrimitiveIntegrarea prin partiSchimbarea de variabilaIntegrarea functiilor rationaleIntegrarea functilor trigonometriceIntegrarea functiilor irationale
Exercitii
1. xe−(x2+1) 2. x7x2 3. e1x
x2 4. ex
ex−1 5. ex√
a− bex 6. ax
1+a2x
7. 12x+3 8. ex
1−e2x 9. cos√
x√x 10. sin(lg x)
x 11. sin 2x
12. xcos2(x2)
13. tan x 14. coth x 15. 1sin x cos x 16. x 5
√5− x2
Integrala
Integrala nedefinitaIntegrala definita
PrimitiveIntegrarea prin partiSchimbarea de variabilaIntegrarea functiilor rationaleIntegrarea functilor trigonometriceIntegrarea functiilor irationale
Primitivele functiilor rationale
Definitia
O functie f : J → R se numeste rationala daca este de forma
f (x) =P(x)
Q(x), Q(x) 6= 0, ∀x ∈ J
unde P,Q sunt doua polinoame cu coeficienti reali.
Se cunoaste ca orice functie rationala poate fi descompusaîntr-o suma finita de fractii simple. Reamintim aceste formesimple si primitivele lor.
Integrala
Integrala nedefinitaIntegrala definita
PrimitiveIntegrarea prin partiSchimbarea de variabilaIntegrarea functiilor rationaleIntegrarea functilor trigonometriceIntegrarea functiilor irationale
Observatie Daca f : J → R este o functie rationala, atunci prinîmpartirea lui P la Q, se obtine
f (x) =P(x)
Q(x)= L(x) +
R(x)
Q(x)
unde grad R < grad Q.
Integrala
Integrala nedefinitaIntegrala definita
PrimitiveIntegrarea prin partiSchimbarea de variabilaIntegrarea functiilor rationaleIntegrarea functilor trigonometriceIntegrarea functiilor irationale
Fractii simple
1 a0xn + a1xn−1 + . . .+ an−1x + an are primitiva imediata,data de punctul 1 din tabel.
21
(x − a)n , n ∈ N pe intervalul J ⊂ (a,∞) sau J ⊂ (−∞,a)
are primitiva data de punctul 4 din tabel, daca n = 1 , iardaca n > 1 data de punctul 1.
Integrala
Integrala nedefinitaIntegrala definita
PrimitiveIntegrarea prin partiSchimbarea de variabilaIntegrarea functiilor rationaleIntegrarea functilor trigonometriceIntegrarea functiilor irationale
Fractii simple
1 a0xn + a1xn−1 + . . .+ an−1x + an are primitiva imediata,data de punctul 1 din tabel.
21
(x − a)n , n ∈ N pe intervalul J ⊂ (a,∞) sau J ⊂ (−∞,a)
are primitiva data de punctul 4 din tabel, daca n = 1 , iardaca n > 1 data de punctul 1.
Integrala
Integrala nedefinitaIntegrala definita
PrimitiveIntegrarea prin partiSchimbarea de variabilaIntegrarea functiilor rationaleIntegrarea functilor trigonometriceIntegrarea functiilor irationale
Fractii simple
1bx + c
(x2 + px + q)n , n ∈ N∗,p2 − 4q < 0; semnalam doua
cazuri particulare importante:2 Daca bx + c este derivata numitorului si n = 1 , atunci
primitivaeste ln(x2 + px + q), iar daca n > 1 primitiva este
(x2 + px + q)−n+1
−n + 1.
3 Daca b = 0, c = 1 si n = 1, primitiva functiei1
x2 + px + qeste
2√4q − p2
arctan2x + p√4q − p2
Integrala
Integrala nedefinitaIntegrala definita
PrimitiveIntegrarea prin partiSchimbarea de variabilaIntegrarea functiilor rationaleIntegrarea functilor trigonometriceIntegrarea functiilor irationale
Fractii simple
1bx + c
(x2 + px + q)n , n ∈ N∗,p2 − 4q < 0; semnalam doua
cazuri particulare importante:2 Daca bx + c este derivata numitorului si n = 1 , atunci
primitivaeste ln(x2 + px + q), iar daca n > 1 primitiva este
(x2 + px + q)−n+1
−n + 1.
3 Daca b = 0, c = 1 si n = 1, primitiva functiei1
x2 + px + qeste
2√4q − p2
arctan2x + p√4q − p2
Integrala
Integrala nedefinitaIntegrala definita
PrimitiveIntegrarea prin partiSchimbarea de variabilaIntegrarea functiilor rationaleIntegrarea functilor trigonometriceIntegrarea functiilor irationale
Fractii simple
1bx + c
(x2 + px + q)n , n ∈ N∗,p2 − 4q < 0; semnalam doua
cazuri particulare importante:2 Daca bx + c este derivata numitorului si n = 1 , atunci
primitivaeste ln(x2 + px + q), iar daca n > 1 primitiva este
(x2 + px + q)−n+1
−n + 1.
3 Daca b = 0, c = 1 si n = 1, primitiva functiei1
x2 + px + qeste
2√4q − p2
arctan2x + p√4q − p2
Integrala
Integrala nedefinitaIntegrala definita
PrimitiveIntegrarea prin partiSchimbarea de variabilaIntegrarea functiilor rationaleIntegrarea functilor trigonometriceIntegrarea functiilor irationale
Descompunerea functiilor rationale în fractii simple
TeoremaFie f : J → R o functie rationala de forma
f (x) =P(x)
Q(x),Q(x) 6= 0, ∀x ∈ J si P,Q doua polinoame prime
între ele. Presupunem ca Q se descompune în factori primi
Q(x) = (x−a1)α1 . . . (x−am)αm(x2+p1x+q1)
β1 . . . (x2+pnx+qn)βn .
Atunci f se descompune unic
f (x) = L(x) +m∑
i=1
(A1,i
(x − ai)αi+
A2,i
(x − ai)αi−1 + . . .+Ai,i
x − ai
)+
Integrala
Integrala nedefinitaIntegrala definita
PrimitiveIntegrarea prin partiSchimbarea de variabilaIntegrarea functiilor rationaleIntegrarea functilor trigonometriceIntegrarea functiilor irationale
Teorema
n∑j=1
(B1,jx + C1,j
(x2 + pjx + qj)βj
+B2,jx + C2,j
(x2 + pjx + qj)βj−1 + . . .+
Bj,jx + Cj,j
(x2 + pjx + qj)
)
unde L este un polinom cu coeficienti reali,ai ,pj ,qj ,Aj,i ,Bi,j ,Ci,j ∈ R si p2
j − 4qj < 0.
Integrala
Integrala nedefinitaIntegrala definita
PrimitiveIntegrarea prin partiSchimbarea de variabilaIntegrarea functiilor rationaleIntegrarea functilor trigonometriceIntegrarea functiilor irationale
Exercitii
1.∫
dx(x + a)(x − b)
2.∫
x2 − 5x + 9x2 − 5x + 6
dx 3.∫
dxx3 + 1
4.∫
dx(x2 + 1)2 5.
∫dx
x(x + 1)2 6.∫
5x3 + 2x3 − 5x2 + 4x
dx
7.∫
dx(x2 − 4x + 3)(x2 + 4x + 5)
8.∫
dxx4 + x2 + 1
Integrala
Integrala nedefinitaIntegrala definita
PrimitiveIntegrarea prin partiSchimbarea de variabilaIntegrarea functiilor rationaleIntegrarea functilor trigonometriceIntegrarea functiilor irationale
Functii rationale de forma∫
R(cos x , sin x)dx
R este o functie rationala. Substitutia generala este
tanx2
= t , sin x =2t
1 + t2 , cos x =1− t2
1 + t2
Cazuri particulare1 Daca R(− sin x , cos x) = −R(sin x , cos x) se face
substitutia t = cos x2 Daca R(sin x ,− cos x) = −R(sin x , cos x) se face
substitutia t = sin x3 Daca R(− sin x ,− cos x) = R(sin x , cos x) se face
substitutia
t = tan x , cos2 x =1
1 + t2 , sin2 x =t2
1 + t2
Integrala
Integrala nedefinitaIntegrala definita
PrimitiveIntegrarea prin partiSchimbarea de variabilaIntegrarea functiilor rationaleIntegrarea functilor trigonometriceIntegrarea functiilor irationale
Functii rationale de forma∫
R(cos x , sin x)dx
R este o functie rationala. Substitutia generala este
tanx2
= t , sin x =2t
1 + t2 , cos x =1− t2
1 + t2
Cazuri particulare1 Daca R(− sin x , cos x) = −R(sin x , cos x) se face
substitutia t = cos x2 Daca R(sin x ,− cos x) = −R(sin x , cos x) se face
substitutia t = sin x3 Daca R(− sin x ,− cos x) = R(sin x , cos x) se face
substitutia
t = tan x , cos2 x =1
1 + t2 , sin2 x =t2
1 + t2
Integrala
Integrala nedefinitaIntegrala definita
PrimitiveIntegrarea prin partiSchimbarea de variabilaIntegrarea functiilor rationaleIntegrarea functilor trigonometriceIntegrarea functiilor irationale
Functii rationale de forma∫
R(cos x , sin x)dx
R este o functie rationala. Substitutia generala este
tanx2
= t , sin x =2t
1 + t2 , cos x =1− t2
1 + t2
Cazuri particulare1 Daca R(− sin x , cos x) = −R(sin x , cos x) se face
substitutia t = cos x2 Daca R(sin x ,− cos x) = −R(sin x , cos x) se face
substitutia t = sin x3 Daca R(− sin x ,− cos x) = R(sin x , cos x) se face
substitutia
t = tan x , cos2 x =1
1 + t2 , sin2 x =t2
1 + t2
Integrala
Integrala nedefinitaIntegrala definita
PrimitiveIntegrarea prin partiSchimbarea de variabilaIntegrarea functiilor rationaleIntegrarea functilor trigonometriceIntegrarea functiilor irationale
Exercitii
1.∫
1sin x
dx 2.∫
1cos x
dx 3.∫
13 + 5 cos x
dx
4.∫
1sin x + cos x
dx 5.∫
18− 4 sin x + 7 cos x
dx
6.∫
cos xcos x + 1
dx 7.∫
sin5 xcos4 x
dx 8.∫
sin2 x cos3 xdx
9.∫
dxsin4 x cos2 x
Integrala
Integrala nedefinitaIntegrala definita
PrimitiveIntegrarea prin partiSchimbarea de variabilaIntegrarea functiilor rationaleIntegrarea functilor trigonometriceIntegrarea functiilor irationale
Integrarea functiilor irationale
Calculati
1.∫
dx√2x − 1− 4
√2x − 1
2.∫
dx√x + 3√
x
3.∫
x
√x − 1x + 1
dx
Integrala
Integrala nedefinitaIntegrala definita
PrimitiveIntegrarea prin partiSchimbarea de variabilaIntegrarea functiilor rationaleIntegrarea functilor trigonometriceIntegrarea functiilor irationale
Substitutiile lui Euler
Substitutiile lui Euler pentru integrale de forma∫R(x ,
√ax2 + bx + c)dx , unde R este o functie irationala.
1. Daca a > 0√
ax2 + bx + c = x√
a + t2. Daca c > 0
√ax2 + bx + c =
√c + tx
3. Daca ax2 + bx + c = 0 are radacinile x1, x2 atunci facemsubstitutia
√ax2 + bx + c = t(x − x1) sau t(x − x2)
Integrala
Integrala nedefinitaIntegrala definita
PrimitiveIntegrarea prin partiSchimbarea de variabilaIntegrarea functiilor rationaleIntegrarea functilor trigonometriceIntegrarea functiilor irationale
Exercitii
Calculati
1.∫
xdx(x − 1)
√1 + x − x2
2∫
dxx√−x2 + 5x − 6
3.∫
x2dx√1− 2x − x2
Integrala
Integrala nedefinitaIntegrala definita
PrimitiveIntegrarea prin partiSchimbarea de variabilaIntegrarea functiilor rationaleIntegrarea functilor trigonometriceIntegrarea functiilor irationale
Integrale binome (Cebâsev)
Integrale binome (Cebâsev)∫
xm(a + bxn)pdx , m,n,p ∈ Q
1. Daca p ∈ Z se face schimbarea x = t r unde r este cel maimic multiplu comun al numitorilor lui m si n.
2. Dacam + 1
n∈ Z se face schimbarea a + bxn = ts unde s
este numitorul lui p.
3.Dacam + 1
n+ p ∈ Z se face schimbarea ax−n + b = ts unde
s este numitorul lui p.
Integrala
Integrala nedefinitaIntegrala definita
PrimitiveIntegrarea prin partiSchimbarea de variabilaIntegrarea functiilor rationaleIntegrarea functilor trigonometriceIntegrarea functiilor irationale
Calculati
1.∫ 3√
1 + 4√
x√x
dx
2.∫
x3(1 + x2)−32 dx
3.∫
dx4√
1 + x4
4.∫
dxx4√
1 + x2
5.∫
dxx 3√
1 + x5
Integrala
Integrala nedefinitaIntegrala definita
Integrala definita
Determinati semnul integralelor
1.∫ 10
0ex2
dx
2.∫ π
π2
sin xx
dx
Determinati cea mai mare dintre integralele
1.∫ 1
0
√1 + x2dx si
∫ 1
0xdx
2.∫ 1
0x2 sin2 xdx si
∫ 1
0x sin2 xdx
Integrala
Integrala nedefinitaIntegrala definita
Aratati ca are loc
23≤∫ 1
0
dx√2 + x − x2
≤ 1√2
Aratati ca are loc ∫ π4
0ln(1 + tan x)dx =
π
8ln 2
Integrala
Integrala nedefinitaIntegrala definita
Calculati
1 Im =
∫ π2
0sinm xdx
2
∫ a
0(a2 − x2)ndx
Integrala
Integrala nedefinitaIntegrala definita
Calculati
1 Im =
∫ π2
0sinm xdx
2
∫ a
0(a2 − x2)ndx
Integrala
Integrala nedefinitaIntegrala definita
1 Calculati aria delimitata de curbele y = 2− x2 si y3 = x2.2 Calculati aria elipsei.3 Calculati lungimea astroidei, curba de ecuatie
x23 + y
23 = a
23 , a > 0
4 Calculati lungimea cicloidei, curba de ecuatii{x = a(t − sin t)y = a(1− cos t)
, t ∈ [0, π]
Integrala
Integrala nedefinitaIntegrala definita
1 Calculati aria delimitata de curbele y = 2− x2 si y3 = x2.2 Calculati aria elipsei.3 Calculati lungimea astroidei, curba de ecuatie
x23 + y
23 = a
23 , a > 0
4 Calculati lungimea cicloidei, curba de ecuatii{x = a(t − sin t)y = a(1− cos t)
, t ∈ [0, π]
Integrala
Integrala nedefinitaIntegrala definita
1 Calculati aria delimitata de curbele y = 2− x2 si y3 = x2.2 Calculati aria elipsei.3 Calculati lungimea astroidei, curba de ecuatie
x23 + y
23 = a
23 , a > 0
4 Calculati lungimea cicloidei, curba de ecuatii{x = a(t − sin t)y = a(1− cos t)
, t ∈ [0, π]
Integrala
Integrala nedefinitaIntegrala definita
1 Calculati aria delimitata de curbele y = 2− x2 si y3 = x2.2 Calculati aria elipsei.3 Calculati lungimea astroidei, curba de ecuatie
x23 + y
23 = a
23 , a > 0
4 Calculati lungimea cicloidei, curba de ecuatii{x = a(t − sin t)y = a(1− cos t)
, t ∈ [0, π]
Integrala