INTEGRALA DEFINITĂ

Proprietatea de monotonie a integralei

Compararea integralelor

Proprietatea de monotonie a integralei

Dacă f,g:[a;b]R sunt funcţii integrabile pe intervalul [a;b]astfei încât f(x)g(x), x [a;b], atunci:

( ) ( )b b

a af x dx g x dx

DemonstraţieDemonstraţie

Observaţie: Proprietatea de monotonie a integralei ne permite să a) comparăm două integrale definite ;b) demonstrăm anumite inegalităţi între două integrale definite.

Exerciţiul 1Fară a calcula integralele să se compare:

2 2

0ln( 1) cu

1

e e

a

xx dx dx

x

RezolvareRezolvare

3 32

1 1

2 2

3 3

5 3

2 2

Folosind proprietatea de monotonie a integralei definite, să se arate că:

a) ( 8) 2(5 8)

3 5 b) ;

1 2

c) 3 ( 1) ;

d) ln( 1)

x dx x dx

x xdx dx

x x

x dx x dx

arctgxx dx

x

1 1

0 0 1dx

Exerciţiul 2

Exerciţiul 3.

3 3

2 2

23 3

1 1

4 4

2 2

2 2 2

1 1

13

0

Să se compare numerele:

1 a) ln şi ;

1 b) ln şi ;

2 2 c) ln şi ;

1 2 3

d) şi ln(1 ) ;

e) sin şi sinn n

xxdx dx

x

xxdx dx

xx

dx dxx x

xarctgxdx x dx

xdx x

3

0

3 53 3

0 0

;

e) cos şi cos .

dx

xdx xdx