CAPITOLUL IIIINJECTIVITATE ŞI PROIECTIVITATE RELATIVĂ

♦3. CATEGORII ŞI FUNCTORI

CATEGORII

DEFINIŢIA 3.1. Spunem că s-a dat o categorie C dacă s-a dat oclasă ObC ale cărei elemente se numesc obiectele lui C şi pentru orice pereche ordonată (M,N) de obiecte din C s-a dat o mulţime notată HomC(M,N) , eventual vidă , numită mulţimea morfismelor de la M la N astfel încît :(a) pentru orice triplet de obiecte ale lui C s-a dat o aplicaţie μ : HomC(M,N) * HomC(N,P) → Hom C(M,P) prin (u,v) → μ(u,v) = v o u , numită compunerea morfismelor.(b) Compunerea morfismelor este asociativă , adică pentru M,N,P,R obiecte ale lui

C şi u Є HomC(M,N) , v Є HomC(N,P) , w Є HomC(P,R) , atunci w o (vou) = (w o v) o u ;

(c) Oricare ar fi obiectul M al lui C , există 1M Є HomC(M,N) numit morfismul identic al obiectului M astfel încît u o 1M = u şi 1M o v =v , oricare ar fi morfismele u Є HomC(M,Y) şi v Є HomC(X,M) ;

(d) Dacă (M,N) ≠ (M’,N’) , atunci HomC(M,N) ∩ HomC(M’,N’) = Ø .

OBS . Vom scrie M Є ObC M Є C şi u Є HomC(M,N) u : M → N sau M—f→N . Obiectul M se numeşte domeniul (sursa) morfismului u , iar N se numeşte codomeniul (cosursa sau adresa ) morfismului u.

O categorie C în care ObC este o mulţime se numeşte categorie mică . Duala unei categorii , notată CO , este categoria pentru care ObC = ObCO ; HomCO(M,N) = HomC(M,N) , iar pentru u Є HomC(M,N) şi v Є HomC(M,P) , atunci v*u = u o v

Subcategoria C ‘ a lui C este categoria pentru care ObC ‘ ObC ; HomC ‘(M,N) HomC(M,N) pentru M,N Є Ob C ‘ ; compunerea morfismelor în C ‘ este indusă de compunerea din C ; 1M este aceeaşi pentru M Є ObC ‘ . O subcategorie C ‘ a lui C se numeşte plină dacă HomC ‘(M,N) = HomC(M,N) , pentru M,N Є Ob C ‘ .

Fie (Ci )iЄI o familie de categorii. Se numeşte produs de categorii o categorie C pentru care ObC = (Mi) i Є I , Mi Є Ci , i Є I , HomC(M,N) = X i Є I HomCi(Mi,Ni) , unde M = (Mi) iЄI , N = (Ni) iЄI şi M,N Є Ob C . Se notează C = П iЄI Ci .

EXEMPLE :1o.CATEGORIA ENS . Obiectele categoriei sînt mulţimile .Cacă M şi N sînt două mulţimi , atunci

HomEns(M,N) este mulţimea tuturor funcţiilor f : M → N . Compunerea morfismelor în categoria Ens este compunerea uzuală a funcţiilor . Morfismul

35

identic al obiectului M este aplicaţia identică a lui M . Pentru ca punctul (d) al definiţiei 3.1. să fie satisfăcut trebuie să considerăm egale două funcţii M—f→N , M’—g→N’ dacă M = M’ , N = N’ şi f(x) = g(x) , oricare ar fi x Є M .

2o.CATEGORIA GR . Obiectele categoriei GR sînt grupurile . Dacă G şi G’ sînt două grupuri ,

atunci HomGR(G,G’) este mulţimea tuturor morfismelor de grupuri de la G la G’ . Compunerea morfismelor în categoria GR este compunerea uzuală a morfismelor de grupuri .

3o.CATEGORIA AB.Obiectele categoriei AB sînt grupurile abeliene , iar morfismele sînt

morfismele de grupuri .4o.CATEGORIA R – ALG . Obiectele categoriei R – ALG sînt R – algebrele (unde R este un inel

comutativ şi unitar) , iar morfismele categoriei R – ALG sînt morfismele de R – algebre .

5o.CATEGORIA RC = R - MOD . Obiectele categoriei RC sînt modulele la stînga peste inelul unitar R ,

morfismele categoriei RC sînt morfismele de R – module . Se numeşte categoria R – modulelor la stînga . Analog se introduce categoria R – modulelor la dreapta .

DEFINIŢIA 3.2 . Fie C o categorie şi u : M→N un morfism în C . u se numeşte monomorfism dacă oricare ar fi P Є C şi oricare ar fi ξ,η Є

HomC(P,M) atunci din u o ξ = u o η rezultă ξ = η ;u se numeşte epimorfism dacă oricare ar fi P Є C şi oricare ar fi fi ξ,η Є

HomC(P,M) atunci din ξ o u = η o u rezultă ξ = η;u se numeşte izomorfism dacă există u’ : M→N astfel încît u’ o u = 1M şi

u o u’ =1N ; u’ se numeşte inversul lui u .

OBS. Dacă R este inel , atunci în categoria RC noţiunile de monomorfism şi epimorfism coincid cu cele de homomorfisme injective şi surjective .

DEFINIŢIA 3.3. Fie C o categorie şi M Є C , u Є HomC(V,M) şi v Є HomC(V,M) . Spunem că u majorează v şi scriem v u dacă există ξ : V→U astfel încît u o ξ = v .

Dacă există ξ ,cum v = u o ξ este monomorfism rezultă ξ monomorfism şi din u monomorfism , ξ este unic .

Această relaţie este reflexivă şi tranzitivă.Spunem că morfismele u şi v sînt echivalente dacă u v şi v u , adică există

ξ : V→U izomorfism astfel încît v = u o ξ . Astfel relaţia devine echivalentă , deci putem alege , pe baza xiomei alegerii , din fiecare clasă de monomorfisme echivalente , cîte un reprezentant numit subobiect al obiectului M . Vom identifica subobiectele lui M prin perechea (U,u), u : U → M monomorfism numit injecţia canonică .

Noţiunea duală de subobiect este cea de obiect cît , iar monomorfismul canonic se numeşte surjecţie canonică .

36

NOTAŢIE: Pentru un obiect M Є C , P(M) reprezintă clasa subobiectelor lui M , iar Q(M) clasa obiectelor cît ale lui M , ordonate în raport cu relaţia “ ”. Subobiectul asociat monomorfismului M—1N→M îl notăm M şi-l vom numi subobiectul total al lui M ; acesta este ultimul element în mulţimea (P(M), ) .

FUNCTORI

DEFINIŢIA 3.4. Fie C şi D două categorii. Spunem că am definit un functor covariant (respectiv contravariantat) F de la C la D dacă s-au dat :(a) o aplicaţie M→ F(M) de la obiecte ale categoriei C în D;(b) pentru fiecare pereche (M,N) de obiecte din C , o aplicaţie U→ F(U) de la

HomC(M,N)→HomD(F(M),F(N)); respectiv HomC(M,N)→HomD(F(N),F(M)) astfel încît să avem :(b1) F(1M) = 1f(M) , oricare ar fi M Є C ;(b2) M—u→N şi N—v→P morfisme în C , atunci F(vou)=F(v)oF(u)(respectiv F(vou)=F(u)oF(v)) .

Fie F,G functori covarianţi de la C la D . Spunem că s-a dat un morfism functorial φ de la F în G şi notăm φ :F → G dacă pentru orice M Є C s-a dat un morfism φ(M) :F(M) → G(M) astfel încît , dacă u :M → N , atunci următoarea diagramă este comutativă:

F(M) — φ(M) → G(M) F(u)↓ ↓G(u)

F(M) — φ(M) → G(M)

Dacă φ(M) este izomorfism pentru orice M Є C , spunem că φ este izomorfism functorial .

DEFINIŢIA 3.5. Categoria C se numeşte preaditivă dacă :(a) oricare ar fi M,N Є C , se dă pe HomC(M,N) o structură de grup abelian notată

aditiv ; elementul nul (zero) se numeşte morfismul nul (sau zero) de la M la N pe care-l notăm O;

(b) oricare ar fi M,N,P Є C şi u,u2,u1 Є HomC(M,N) , v,v2,v1 Є HomC(N,P) , atunci v o (u1 + u2) = v o u1+ v o u2 şi (v1 + v2) o u = v1 o u + v2 o u ;

(c) există cel puţin un obiect x Є C astfel încît 1X = 0 .

Un obiect ce verifică condiţia (c) se numeşte obiect nul al categotiei C . Deoarece două obiecte nule sînt izomorfe , obiectele nule se notează generic O.

Dacă M este un obiect arbitrar în C , există şi sînt unice morfismele O → M şi M→O . Astfel morfismul nul M→N este compunerea morfismelor M→O şi O→N . Cum O → M este un morfism , subobiectul asociat se notează O şi se

37

numeşte subobiectul nul al lui M, iar acum M→O este un epimorfism , obiectul cît asociat se notează O şi se numeşte obiectul cît nul al lui M .

Fie C şi D două categorii preaditive . Functorul F : C → D se numeşte aditiv dacă oricare ar fi M,N Є C şi oricare ar fi u,v Є HomC(M,N) avem F(u+v) = F(u)+F(v) .

DEFINIŢIA 3.6. Fie C o categorie preaditivă şi u: M→N morfism în C . Un nucleu al morfismului u este o pereche (A,i) , cu A Є C şi I : A → M morfism astfel încît :(a) u o I = 0 (b) ( ) x Є C şi oricare ar fi f : X → M pentru care u o f = 0 , există g : X → A

morfism astfel încît f = i o g .

A—i→ M—u→ U

X

Un conucleu al morfismului u este o pereche (B,p) cu B Є C şi p : N → B morfism astfel încît :(c) p o u = 0 ;(d) oricare ar fi y Є C şi oricare ar fi h: N → Y pentru oricare h o u = 0 există

j : B → V morfism astfel încît h = j o p .

M—u→ N—p→ B

Y

O imagine a morfismului u este un nucleu al morfismului p , unde (B,p) este un conocleu al lui u.

O coimagine a morfismului u este un conucleu al morfismului i , unde (A,i) este un nucleu al lui u .

PROPOZIŢIA 3.7.(a) Dacă (A,i) este un nucleu al morfismului u : M → N , atunci i este

monomorfism.(b) Dacă (B,p) este un conucleu al morfismului u : M → N , atunci p este

epimorfism.DEFINIŢIA 3.8. Fie C o categorie preaditivă . Spunem că C satisface

axioma :AB1) dacă pentru orice morfism din C , există un nucleu şi un conucleu.

38

g f

h j

Fie C o categorie care satisface AB1) ; spunem că C satisface :AB2) dacă pentru orice morfism u din C , morfismul canonic : CoIm u → Im u este un izomorfism , unde este dat de :

A—i→ M—u→ N—p→ B

C — → I

Fie C o categorie şi (Mi) iЄI o familie de obiecte din C . Se numeşte produs direct al familiei date de obiecte perechea (M, (pi)iЄI) ,cu M Є C , pi : M → Mi , i Є I , o familie de morfisme astfel încît , aricare ar fi x Є C şi fi : X → Mi , i Є I o familie de morfisme , există un unic morfism fi : X → M pentru care pi o f = fi , pentru toţi i Є I . Se notează M = П iЄI Mi ; pi se numesc proiecţii canonice.

Spunem că C satisface axioma :AB3*) dacă pentru orice familie de obiecte (M i)iЄI din C , cu I mulţime oarecare , axistă in C cel puţin un produs direct al acestei familii .Dacă C satisface AB3*) spunem că C este categorie cu produse directe.

Fie C o categorie şi (Mi)iЄI o familie de obiecte din C . Se numeşte sumă directă (coprodus) a familiei date de obiecte, perechea (M, (αi)iЄI) , cu M Є C , şi αi : Mi → M , i Є I o familie de morfisme , astfel încît , aricare ar fi x Є C şi fi : Mi → X , i Є I o familie de morfisme , există un unic morfism f : M → X pentru care f o αi = fi , pentru toţi i Є I.. Se notează M = iЄI Mi : αi se numesc injecţii canonice.

Spunem că C satisface axioma :AB3) dacă pentru orice familie de obiecte (Mi)iЄI cu I mulţime arbitrară ,există în C, o sumă finită .Dacă C satisface AB3) spunem că C este o categorie cu sume directe.

O categorie preaditivă C cu proprietea că există suma directă a oricăror două obiecte se numeşte aditivă . O categorie C preaditivă ce verifică AB1) se numeşte preabeliană .O categorie aditivă ce verifică AB1) şi AB2) se numeşte abeliană .Dacă ocategorie abeliană C verifică AB3) şi AB3*) , atunci (P(M), ) este o latice completă .

Fie C o categorie ce verifică AB3) . Spunem că C satisface :AB4) dacă orice sumă directă a unei familii de monomorfisme este un monomorfism (sau echivalent functorul sumă directă e exact).AB5) dacă pentru orice familie (Ai)iЄI de subobiecte ale lui M , filtrantă crescător relativ la relaţia “ ” şi pentru orice subobiect B al lui M avem (Σ i Є IAi) ∩ B = Σ i Є I(Ai ∩ B) .

39

q v j

O familie de obiecte (Ui)iЄI din C reprezintă o familie de generatori dacă pentru orice A Є C şi orice B subobiect al lui A ,diferit de obiectul total A , există i Є I şi u : Ui → A morfism care nu poate factoriza prin morfismul α : B → A , cu α injecţia canonică .

Spunem că obiectul U Є C este generator al categoriei dacă familia {U} constituie o familie de generatori pentru categoria C. Noţiunea duala este aceea de cogenerator.

DEFINIŢIA 3.9. O categorie abeliană C satisfăcînd AB5) şi care are un generator se numeşte categorie Grothendieck.

FUNCTORUL HOM ŞI EXACTITATEA

Fie R şi S inele şi U un (R,S) - bimodul . Atunci pentru fiecare R – modul

stîng M există două S – module : HomR(RUS,RM) Є S – MOD şi HomR(RM,RUS) Є MOD – S . Astfel aplicaţiile RM → HomR(RUS,RM) şi RM → HomR(RM,RUS) definesc functorii de la R – MOD la S – MOD respectiv de la R – MOD la MOD – S . Aceşti functori pot fi extinşi la functori aditivi în categoriile de module corespunzătoare şi sînt de importanţă fundamentală în analiza acestor categorii .

Fie RUS un (R,S) - bimodul şi f: RM → RN un morfism în categoria R – MOD . Atunci pentru fiecare γ Є HomR(U,M) , fγ Є HomR(U,N) iar HomR(U,f) : γ → fγ este un S – morfism , unde HomR(U,f) : HomR(U,M) → HomR(U,N) deoarece pentru orice γ 1 , γ2 Є HomR(U,M) şi s1,s2 Є HomR(U,N) avem f o (s1 γ 1 + s2 γ 2) (u) = f (γ1(u s1) + γ2(u s2)) = (f γ1)(u s1) + (f γ2)(u s2) = [s1(f γ1) + s2(f γ2)](u), oricare ar fi u Є U .

Astfel am definit functorul HomR(U,-) : R – MOD → S – MOD prin HomR(U,-) : M → HomR(U,M) şi HomR(U,-) : f → HomR(U,f). Se mai foloseşte notaţia f* = HomR(U,f) ; astfel pentru f : M → N morfism în R – MOD , atunci f*

este caracterizat prin :

M —f→ N

U

Analog pentru R – morfismul f : RM → RN putem defini aplicaţia f* = HomR(f,U) : HomR(N,U) → HomR(M,U) prin γ —f*→ γf . Astfel am definit functorul HomR(-,U) : R – MOD → MOD – S prin

HomR(-,U) : M → HomR(M,U) şi HomR(N,U) : f→ HomR(f,U) . Se arată că f* este un S– morifsm caracterizat prin diagrama :

40

γ f* (γ) = fγ

M —f→ N

U

TEOREMA 3.10 . Fie R şi S inele şi U un (R,S) – bimodul . Atunci :(a) HomR(U,-) : R – MOD → S – MOD este un functor aditiv covariant ;(b) HomR(-,U) : R – MOD → MOD – S este un functor aditiv cotravariant.

DEMONSTRAŢIE: Vom arăta doar că HomR(-,U) inversează compunerile şi păstrează adunarea ; restul demonstraţiei va fi omisă . Fie f : M → M’ , g : M’ → M” şi γ Є HomR(M”,U). Atunci (g o f) * (γ) = γ o (g o f) = (γ o g )o f = f * (γ o g) = f*(g* (γ)) = (f* o g* )(γ) . Deci este contravariant şi (g o f) * = f* o g*.

Fie f,g : M → N şi γ Є HomR(N,U). Atunci (f+g)*( γ) = γ o (f+g) = γ o f + γ o g = f* (γ ) + g* (γ ) = (f*+g*)( γ) .

PROPZIŢIA 3.11. Fie Fie C şi D două categorii pline ale categoriei de module stîngi , respectiv drepte peste inelele R şi S ; F : C → D , G : C → D , doi functori aditivi covarianti , respectiv contravarianti .Dacă O→L— f→M—g→N→O este un şir exact scindat în C , atunci ambele şiruri O→F(L)—F(f) →F(M)—F(g) →F(N)→O , respectiv O→G(N)—G(g) →G(M)—G(f) →G(L)→O sînt exact scindate în D . În particular dacă g : M →N este un izomorfism , atunci F(g) , G(g) sînt izomorfisme.Vom demonstra acest rezultat împreună cu următoarea propoziţie .

PROPZIŢIA 3.12. În aceleaşi condiţii dacă M , Mi ,i = sînt module în RC şi M = Mi , cu ii , Πi , i = injectiile şi proiecţiile canonice , atunci :(a) F(M) = F(Mi) cu injecţiile F(ii) şi proiecţiile F(Πi) , i = ;(b) G(M) = G(Mi) cu injecţiile G(Πi) şi proiecţiile G(ii), i = .

DEMONSTRAŢIE: Avem că F : HomR(M,N) → HomS(F(M),F(N)) este morfism de grupuri , iar pentru aplicaţia nulă , F este nul.(a) Din aditivitatea şi covariaţia lui F avem: Σn

i=1 F(ii) F(Πi) = F(Σni=1 ii Πi) = F(1M)

= 1F(M) şi F(Πi) F(ij) = F(Πi ij) = F (τij 1Mi) = τij 1F(Mi) .(b) Se demonstrază în mod analog .Propoziţia anterioară este un caz particular al acesteia.

În aceleaşi condiţii fie fi : Mi →N , i = morfisme în RC ; atunci aplicînd F diagramei corespunzătoare avem pentru fiecare i = :

Mi — fi→ N F( Mi) = F( Mi) —F( fi)→ F(N)

41

F ii fi F(ii) F(fi)

f* (γ) = γf γ

Mi F(Mi)

Din propozoţia 3.12. şi din unicitatea aplicaţiei sumă directă avem : F( fi) = F( fi), deci relativ la injectivele F(ii) , i = F păstează sumele directe finite de morfisme la fel ca şi de module.Analog avem F(Пn

i=1 gi ) = Пni=1 F (gi ) ; G( fi) = Пn

i=1 G (fi ) şi G(Пn

i=1 gi ) = G( gi) .

SUME ŞI PRODUSE DIRECTE SUB HOM

Pentru U un (R,S) bimodul ştim că functorii HomR(-,U) şi HomR(U,-) sînt aditivi . Rezultă din propziţia anterioară că “păstrează” sumele directe finite. De fapt ei se comportă chiar mai bine după cum arată următoarea propoziţie.

PROPOZIŢIA 3.13. : Fie U un (R,S) bimodul şi (Mα) αЄA o mulţime indexată de R – module stîngi .(a) Dacă (M, (gα)αЄA) este produs direct al lui (Mα)αЄA, atunci (HomR(US ,M) ,

HomR(US , (qα)αЄA) este un produs direct al S – modulelor stîngi HomR(US , (Mα)αЄA).

(b) Dacă (M, (jα) αЄA) este sumă directă a lui (Mα) αЄA, atunci (HomR(M , US) , HomR(jα ,US)αЄA )este un produs direct al S – modulelor drepte HomR(Mα ,US )αЄA.

DEMONSTRAŢIE : (a) se demonstrază analog cu (b)(c) Fie (Пα) αЄA proiecţiile pentru produsul direct П αЄA HomR(Mα ,US ) . Ştim de la

sume şi produse directe că există un S – morfism în care face comutativă diagramele pentru toţi αЄA :

HomR(M ,US ) —η→ П αЄA HomR(Mα ,US )

HomR(Mα ,US )

Dacă γ = Ker η , atunci : 0 = (П α o η) (γ) = HomR(jα ,US ) (γ) = γ jα , pentru toţi αЄA . Cum M Σ αЄA Im jα reyultă γ = 0 , deci η este monomorfism . Dacă (γ α) αЄAЄ П αЄA HomR(Mα ,US ) , atunci aplicaţia sumă directă αЄA γ α , făcînd diagramele comutative, pentru orice αЄA satisface:

M — αЄA γα→ U

42

j α γ α

HomR(jα ,US ) П α

Mα

(П α o η) ( αЄA γα) = HomR(jα ,US ) ( αЄA γα) = ( αЄA γα) j α = γα

Astfel η este este un izomorfism şi demonstraţia este completă.

Inversînd variabilele observăm că propoziţia 3.13. leagă functorii HomR(αЄA Uα , - ) şi HomR( - , П αЄA Uα) de functorii HomR(Uα , - ) şi HomR( - ,Uα) , adică HomR( αЄA Uα , M) П αЄA HomR(Uα , M) şi HomR(M , П αЄA Uα) П αЄA

HomR(M, Uα). Următorul corolar arată că aceste relaţii sînt “naturale” :

COROLAR 3.14. Fie (Uα )αЄA o mulţime indexată de R – module stîngi . Dacă M,N sînt R – module stîngi , atunci există Z – izomorfismele ηM , ηN , γM , γN

astfel încît pentru orice f : RM → RN diagramele următoare sînt comutative:

HomR ( A Uα , f)

HomR ( A Uα , M) HomR ( A Uα , N)

П A HomR (Uα , M) П A HomR (Uα , N) П A HomR (Uα , f)

HomR (f , П A Uα)

HomR (N , П A Uα) HomR (M , П A Uα)

П A HomR (N , Uα ) П A HomR (M , Uα) П A HomR (f , Uα)

43

ηM ηN

γN γM

DEMONSTRAŢIE : (a) se demonstrează similar cu (b)(b) Fie (g α) αЄA proiecţiile pentru П A Uα şi fie (П α) αЄA , (П’ α) αЄA proiecţiile pentru П A HomR (N , Uα ) şi П A HomR (M , Uα) respectiv .Din propoziţia 3.13. există izomorfismele : γN : HomR ( N , П A Uα) → П A HomR (N , Uα ) şi γM : HomR (M , П A Uα) → П A HomR (M , Uα) , astfel încît П α γN = HomR (N , g α) şi П’α γM = HomR

(M , g α) , pentru toţi αЄA .Dacă γ Є HomR ( N , П A Uα) , atunci pentru toţi αЄA , avem : П’α(П A HomR (f , Uα) (γN(γ))) = HomR (f , Uα)( Пα(γ)) = HomR (f , Uα)( HomR (M , gα)( γ)) = gα γ f = HomR (M , gα) (HomR (f , П A Uα) (γ)) = П’α (γM(HomR (f , П A Uα) (γ)) . Astfel diagrama comută aşa cum doream .

FUNCTORI EXACŢI

DEFINIŢIA 3.15. Fie C şi D subcategorii pline ale categoriei de module şi F : C → D un functor covariant . Dacă pentru fiecare şir exact scurt în C , O→L→M→N→O, şirul O→F(L)→F(M)→F(N) este exact în D , atunci F se numeşte exact la

stînga ; şirul O→F(L)→F(M)→F(N) →O este exact în D , atunci F se numeşte exact la

dreapta ; Un functor exact la stînga şi la dreapta se numeşte functor exact .Analog se definaşte un functor contravariant .

PROPOZIŢIA 3.16. Functorii Hom sînt exacţi la stînga . Astfel , în particular , dacă U este un R – modul stîng , atunci pentru fiecare şir exact O→L—f→M—g→N→O în R – MOD , avem că şirurile :O → HomR(U , L) —f*→ HomR(U , M) —g*→HomR(U , N)O → HomR(N , U) —g*→ HomR(M , U) —f*→ HomR(L , U) sînt exacte .

DEMONSTRAŢIE: Prezentăm numai cazul contravariant .Dacă γ Є HomR(N,U) şi 0 = g*( γ) = γg γ = 0 (g este epimorfism) . Astfel , g* este monomorfism .Deoarece functorii Hom sînt aditivi avem f*g* = (gf)* = 0 * = 0 , adică Im g* Ker f* . Pentru incluziunea inversă , fie β Є Ker f* f*(β) = 0 = βf. Deci Ker β Im f = Ker g . Astfel , teorema factorizării arată că β factorizează prin g , adică β = γg = g* (γ) Є Im g* ; deci Ker f* Im g* . Aceasta implică egalitatea Im g* = Ker f* şi deci exactitatea şirului .

44

♦4. MODULE M – INJECTIVE ŞI M – PROIECTIVE

Conceptele de module M – njective şi M - proiective au fost introduse de Sandomierski în 1964 şi independent , de Robert în 1969 . Aceste două concepte duale extind noţiunile de module cvasi – injective şi cvasi – proiective şi sînt analoage modulelor - plate ale lui Bourbaki (1961 - 1965) .

Scopul acestui paragraf este de a da proprietăţile de bază ale modulelor M – injective şi M – proiective şi de asemenea reformularea lor în situaţii generate pe categorii abeliene .

DEFINIŢIA 4.1. Fie M un R – modul stîng . Un R – modul stîng Q se numeşte M – injectiv (sau injectiv relativ la M) dacă pentru fiecare monomorfism j Є HomR(M’,M) şi fiecare f Є HomR(M’,Q) , atunci există Є HomR(M,Q) astfel încît următoarea diagramă este comutativă , adică f = o j .

O → M’ —j→ M

Q

Un R - modul stîng P se numeşte M – proiectiv (sau proiectiv relativ la M) dacă pentru fiecare epimorfism p Є HomR(M,M”) şi fiecare g Є HomR(P,M”) , atunci există Є HomR(P,M) astfel încît următoarea diagramă este comutativă , adică g = p o .

P

M —p→ M” → O

PROPOZIŢIA 4.2 . Fie R,Q Є R – MOD . Atunci următoarele afirmaţii sînt echivalente :(a) Q este M – injectiv ;(b) Pentru fiecare submodul M’ M , morfismul f Є HomR(M’,Q) poate fi extins la

un morfism Є HomR(M,Q) (adică f factorizează prin iM’ :M’ → Q);(c) pentru fiecare şir exact acurt din R - MOD cu termenul din mijloc M ,

O → M’ —j→ M —p→ M” → O , şirul de grupuri abeliene O → HomR(M”,Q) —p*→ HomR(M,Q) —j*→ HomR(M’,Q) → O este exact .

DEMONSTRAŢIE :

45

g

f

(a) (b) demonstraţia este evidentă din faptul că M’ e submodul în M şi din definiţia 4.1.(a) (c) din propoziţia 3.16.functorul HomR(-,Q) , hQ : R – MOD → ab este exact la stînga . Atunci , şirul O → HomR(M”,Q) —p*→ HomR(M,Q) —j*→ HomR(M’,Q) → O este exact dacă şi numai dacă j* este surjectiv pentru orice f Є HomR(M’,Q) , există Є HomR(M,Q) astfel încît j*( ) = f = o j Q este M – injectiv .

PROPOZIŢIA 4.3 . Fie M,P Є R – MOD . Atunci următoarele afirmaţii sînt echivalente :(a) P este M – proiectiv ;(b) Pentru fiecare submodul M’ M , fiecare morfism g Є HomR(P,M/M’)

factorizează prin epimorfismul natural nM’ : M → M/M’ ;(d) Pentru fiecare şir exact scurt din R – MOD cu termenul din mijloc M ,

O → M’ —j→ M —p→ M” → O , şirul de grupuri abeliene O → HomR(P,M’) —j*→ HomR(P,M) —p*→ HomR(P,M”) → O este exact .

DEMONSTRAŢIE : (a) (b) demonstraţia este evidentă din faptul că M’ M şi din definiţia 4.1.(a) (c) ţinînd cont de propoziţia 3.16. şirul O → HomR(P,M’) —j*→ HomR(P,M) —p*→ HomR(P,M”) → O este exact dacă şi numai dacă p* este surjectiv pentru orice g Є HomR(P,M”) există Є HomR(P,M) astfel încît p* = g = p o Q este M – proiectiv.

În consecinţă cu definiţia 4.1. avem Q Є R – MOD se numeşte injectiv dacă Q este injectiv relativ la fiecare M Є R – MOD şi P Є R – MOD se numeşte proiectiv dacă P este proiectiv relativ la fiecare M Є R – MOD .

COROLAR 4.4. Un modul Q este injectiv dacă şi numai dacă functorul aditiv contravariant HomR(-,Q) este exact în R – MOD . Un modul P este proiectiv dacă şi numai dacă functorul aditiv covariant HomR(P,-) este exact în R – MOD .

CLASE DE INJECTIVITATE ŞI PROIECTIVITATE RELATIVĂ

Fie C o clasă nevidă de R – module stîngi .

DEFINIŢIA 4.5. Un R – modul stîng X este C – injectiv dacă X este M – injectiv , pentru fiecare M Є C . Un R – modul stîng X este C – proiectiv dacă X este M – proiectiv , pentru fiecare M Є C .

NOTAŢII : I (C) = clasa tuturor R – modulelor stîngi C - injective . P(C) = clasa tuturor R – modulelor stîngi C - proiective .

Dacă C conţine un singur R – modul stîng M , atunci vom folosi notaţiile I(M) şi P(M) pentru I (C) respectiv P(C) .

46

OBS . 1o. Pentru fiecare clasă nevidă C de R – module stîngi , avem O Є P(C) ∩ I(C) (adică modulul O este M – injectiv şi M – proiectiv oricare ar fi M Є C) şi R – MOD = I (O) = P(O) (adică orice R – modul stîng este O – injectiv şi O – proiectiv ) .

2o. I(R – MOD) = clasa tuturor R – modulelor stîngi injective . P(R – MOD) = clasa tuturor R – modulelor stîngi proiective .

EXEMPLE :1o. Pentru fiecare R – modul stîng semisimplu M avem I(M) = I(P) = R – MOD .2o. Fiecare grup abelian fără torsiune , este injectiv relativ la fiecare grup de torsiune , adică dacă notăm F = clasa grupurilor abeliene fără torsiune şi T = clasa grupurilor abeliene de torsiune , atunci avem F I(T) . 3o. Fiecare grub abelian divizibil este Z – proiectiv .

DEFINIŢIA 4.6. Fie C o clasă nevidă de R – module stîngi . Spunem :(a) C este închisă la obiecte factor dacă pentru fiecare şir exact X→ X” → O în

R – MOD avem X Є C X” Є C ;(b) C este închisă faţă de subobiecte dacă pentru fiecare şir exact O→X’→X în

R – MOD avem X Є C X’ Є C ;(c) C este închisă la extensii dacă pentru fiecare şir exact O→X’→X→X” →C în

R – MOD avem X’ Є C şi X” Є C X Є C ;(d) C este închisă la sume directe (respectiv închisă la sume directe finite) dacă

pentru fiecare mulţime nevidă I (respectiv mulţime nevidă finită I) şi pentru fiecare familie (Xi)iЄI oricare ar fi i Є I , atunci i Є I Xi Є C ;

(e) C este stabilă (sau închisă la anvelope injective) dacă pentru fiecare X Є C , anvelopa sa injectivă E(X) Є C ;

(f) C este o clasă Serre dacă este închisă la subobiecte , odiecte factor şi extensii .

PROPOZIŢIA 4.7. Fie C o clasă nevidă de R – module stîngi şi (X i)iЄI o familie nevidă de R – module stîngi . Atunci :(a) П iЄI Xi Є I(C) dacă şi numai dacă Xi Є I(C) , pentru toţi i Є I ;(b) iЄI Xi Є P(C) dacă şi numai dacă Xi Є P(C) , pentru toţi i Є I .

DEMONSTRAŢIE : (a) Fie şirul exact în R – MOD , cu M Є C , O → M’ —j→ M —p→ M” → O .

Avem corespunzător diagrama comutativă cu liniile exacte :

O → HomR(M”, П i Є I Xi) → HomR(M, П i Є I Xi) —j*→ HomR(M’, П i Є I Xi)

O→П i Є IHomR(M”,П i Є I Xi)→П i Є IHomR(M,П i Є I Xi)→П i Є IHomR(M’,П i Є I Xi)

Deci HomR(j, ПiЄI Xi) = j* este epimorfism dacă şi numai dacă ПiЄIHomR(j ,Xi) este epimorfism dacă şi numai dacă HomR(j ,Xi) este epimorfism , pentru orice j Є I . Deci are loc (a) .

47

j j j

(b) se demonstrază analog .

OBS . Propoziţia anterioară arată că clasa I (C) este închisă la produse directe , iar clasa P(C) este închisă la sume directe . În general nici clasa I (C) nici P(C) nu sînt închise la la subobiecte , obiecte factor şi extensii .

COROLAR 4.8. Fie (Xα)αЄA o mulţime indexată de R – module stîngi . Atunci : (a) αЄA Xα este proiectiv dacă şi numai dacă Xα este proiectiv , pentru orice α Є A ;

(b) ПαЄA Xα este injectiv dacă şi numai dacă Xα este injectiv , pentru orice α Є A .

DOMENII DE INJECTIVITATE ŞI PROIECTIVITATE RELATIVĂ

DEFINIŢIA 4.9. Pentru fiecare clasă nevidă C de R – module stîngi : I-1 (C) = {M Є R – MOD / X este M – injectiv , oricare ar fi X Є C} se numeşte domeniu de relativă injectivitate a lui C ;P-1(C) = {M Є R – MOD / X este M – proiectiv , oricare ar fi X Є C} se numeşte domeniu de relativă proiectivitate a lui C .

OBS . 1o. Dacă C conţine un singur R – modul stîng , atunci vom folosi notaţiile I-1 (X) şi P-1(X) pentru I-1 (C)şi respectiv P-1(C) .

2o. Aceste clase sînt nevide deoarece O Є I-1 (C) ∩ P-1(C) . 3o. X este injectiv I-1 (X) = R – MOD şi X este proiectiv P-1 (X) = R – MOD .

Vom studia în continuare comporatrea claselor I-1 (C) şi P-1(C) relativ la subiecte , obiecte factor , sume şi produse directe .Vom arăta în acest sens că se comportă mai natural decît clasele I(C) şi P(C) .

LEMA 4.10. Fie în R – MOD diagrama comutativă cu liniile exacte :

E —f→ F —g→ G

E’—f’→F’—g’→G’

Dacă β este un epimorfism şi f’ , γ sînt monomorfisme , atunci α este un epimorfism .

PROPOZIŢIA 4.11. Fie Q un R – modul stîng . Atunci avem : (a) Dacă O → M’ —j→ M —p→ M” → O este un şir exact în R – MOD şi Q este M – injectiv , atunci Q este M’ – injectiv şi M” – injectiv .

48

α β γ

(b) Dacă (Mi)iЄI este o familie de R – module stîngi şi Q este Mi – injectiv pentru fiecare i Є I , atunci Q este iЄI Mi – injectiv .

DEMONSTRAŢIE : (a) Presupunem că avem şirul exact din ipoteză şi că Q este M – injectiv . Arătăm că Q este M’ – injectiv .

Pentru aceasta fie şirul exact O → N’ —h’→ M’ cu h’ monomorfism ; atunci functorul T = hQ = HomR(- , Q) este contravariant , iar şirul HomR(M’ , Q) —h’*→ HomR(N’ , Q) →O este exact , unde h’* = hQ(h’) = T (h’) este epimorfism . Cum h’ : N’ → M’ şi j : M’ → M sînt monomorfisme , rezultă că j o h’ Є HomR(N’ , M) este monomorfism şi deoarece Q este M – injectiv rezultă că există T(j o h’) = T (h’) o T (j) epimorfism , deci T (h’) este epimorfism ceea ce implică Q este M’ – injectiv . Arătăm că Q este M” – injectiv .

Pentru aceasta fie şirul exact O → N” —h”→ M” cu h” monomorfism ; atunci există diagrama comutativă cu liniile şi coloanele exacte :

O O↓ ↓

O → M’ → N’→ N” → O ║1M’ ↓h ↓h”

O → M’ → M → M” → O

Aplicînd functorul contravariant T = hQ = HomR(- , Q) acestei diagrame , obţinem următoarea diagramă comutativă cu liniile exacte :

T(M”) —T(P)→ T(M) —T(j)→ T(M’) ↓T(h”) ↓T(h”) ↓T(1M’) = 1T(M’)

O → T(N”) → T(N’) → T(M’)

Deoarece Q este M – injectiv rezultă că pentru h monomorfism , avem T(h) este epimorfism şi conform lemei 4.10. rezultă T(h”) este epimorfism , ceea ce implică Q este M” – injectiv .(b) Notăm M = iЄI Mi şi fie L M şi f Є HomR(L , Q) . Considerăm mulţimea F = {(L’,f’) / L L’ M, f’ Є HomR(L’ , Q) şi f’/L = f } care poate fi ordonată în raport cu următoarea relaţie de ordine dată prin : (L’,f’) (L”,f”) dacă şi numai dacă L L’ şi f”/L’ = f’ .Evident aceatsă mulţime ordonată este inductivă deoarece :

fie fi Є {(Lα,fα) αЄΩ} o familie total ordonată de elemente din L ; considerăm L* = αЄΩ Lα care este submodul al lui M şi aplicaţia f* : L* → Q definită astfel : dacă x Є L* , atunci există αЄΩ astfel încît x Є Lα ; în acest caz luăm f*(x) = fα(x) . Dacă Lα Lβ , atunci f*(x) = fα(x) = f β/ Lα(x) = f β(x) , adică f* este bine definită . Este clar acum că (L*,f*) Є F şi deci (F , ) este inductivă .Fie acum (Lo,fo) Є F , element maximal în F . Este suficient să arătăm că λi(Mi)

Lo , pentru orice i Є I , unde λi : Mi → M sînt injecţiile naturale .

49

Fie Mi’ = λi(Mi) ∩ Lo pentru fiecare i Є I . Deoarece Q este Mi – injectiv pentru toţi i Є I rezultă Q este λi(Mi) – injectiv , deci există pentru fiecare i Є I , f i Є HomR(λi(Mi),Q) astfel încît următoarea diagramă este comutativă :

O → Mi’—i→λi(Mi)

QDacă mi Є λi(Mi) şi x Є Lo astfel încît mi + x = 0 , atunci mi = -x ∈ Mi’ şi fi (mi) + fo(x) = fo(-x) + fo(x) = 0 , deci : λi(Mi) + Lo → Q prin mi + x → fi (mi) + fo(x) este un morfism bine definit . Deoarece / Lo = fo , din maximalitatea lui (Lo,fo) se deduce că λi(Mi) Lo pentru fiecare i Є I , deci Lo = M . Astfel Q este i Є

I Mi – injectiv .

COROLAR 4.12. Pentru fiecare clasă nevidă de R – module stîngi , C , I-1 (C) este închisă la subobiecte , obiecte factor şi sume directe . În general I -1 (C) nu este închisă nici la extensii nici la produse directe .

PROPOZIŢIA 4.13. Fie P un R – modul stîng . Atunci avem : (a) Dacă O → M’ —j→ M —p→ M” → O este un şir exact în R – MOD şi P este M – proiectiv , atunci P este M’ – proiectiv .(b) Dacă (Mi)i = este o familie finită de R – module stîngi şi P este Mi – proiectiv pentru fiecare i = , atunci P este iЄI Mi – proiectiv .(c) Dacă P este finit generat şi (Mi) iЄI este o familie de R – module stîngi , astfel încît P este Mi – proiectiv pentru fiecare i Є I , atunci P este iЄI Mi – proiectiv .

DEMONSTRAŢIE : (a)demonstraţia este similară celei de la propoziţia 4.1.(a) în care se consideră functorul contravariant T = HomR(P,-) .(b) considerăm cazul particular n = 2 şi N M1 M2 submodul , g : M1→ M1 M2 injecţia canonică . Atunci următoarea diagramă comutativă avînd ca săgeţi aplicaţiile canonice , are liniile şi coloanele exacte :

O M1 i1 M1 M2 П2 M2 O

O (i1(M1)+N)/N (M1 M2)/N (M1 M2)/ (i1(M1)+N) O

50

fo/ Mi’ fi

O O O

Aplicînd functorul covariant T = HomR(P,-) = hP obţinem următoarea diagramă comutativă avînd liniile exacte :

O T(M1) T(M1 M2) T(M2) O

O T((i1(M1)+N)/N) T((M1 M2)/N) T((M1 M2)/ (i1(M1)+N)) O

Ultima săgeată verticală este evident monomorfism şi cum P este Mi – proiectiv , i = rezultă că celelalte săgeţi verticale pline sînt endomorfisme . Din lema celor cinci morfisme rezultă că săgeata verticală din centru , punctată , este epimorfism , deci P este M1 M2 – proiectiv .

(c) Fie diagrama cu q epimorfism : P ↓f

iЄI Mi —q→ M” → O

P fiind finit generat rezultă Im(f) este finit generată şi cum q este epimorfism , atunci există x1, … , xk Є i Є I Mi astfel încît Im(f) este generată de elementele q(x1), … , q(xk) Є M” .Fie acum M’ = R x1 + … + R xk i Є I Mi ; atunci există J I o submulţime finită astfel încît M’ iЄJ Mi . Din (b) rezultă că P este iЄJ Mi – proiectiv şi cum M’

iЄJ Mi , din (a) avem că P este M’ – proiectiv , deci există Є HomR(P,M) care face comutativă diagrama , adică q/M’ o = f

P

M’ —q/M’→ Im(f) → O

de unde rezultă evident că q o = f , adică P este iЄI Mi – proiectiv .

COROLAR 4.14 . Pentru fiecare clasă nevidă de R – module stîngi , C , P-1(C) este închisă la subobiecte , obiecte factor şi sume directe finite .

51

F f

COROLAR 4.15 . Fie X un R – modul stîng şi G un generator al lui R –MOD . Atunci : (a) X este G – injectiv dacă şi numai dacă X este modul injectiv ; (b) Dacă X este finit generat , atunci X este G – proiectiv dacă şi numai dacă X este proiectiv .

DEMONSTRAŢIE : Fiecare R – modul stîng este un epimorfism al unei sume directe de copii ale lui G şi folosind propoziţiile 4.11. şi 4.13. demonstraţia se încheie .

OBS. Dacă aplicăm corolarul 4.15. cazului G = RR redescoperim binecunoscutul criteriu de injectivitate al lui Baer . Un criteriu similar pentru module proiective nu există . Astfel , Q considerat că Z – modul este Z – proiectiv , dar Q nu este un Z – modul proiectiv .

Fie A ocategorie abeliană arbitrară .Ca în cazul particular al categoriei modulelor putem defini noţiunile relative

de obiect X – injectiv şi X – proiectiv , unde X Є A . Putem reformula acum rezultatele anterioare stabilite pentru categoria R – modulelor stîngi R – MOD într-un context general al unei categorii abeliene A .

Fie acum C o clasă nevidă de obiecte ale lui A . Notăm cu [C] subcategoria plină a lui A constînd din toate obiectele lui A care sînt cîturi de subobiecte ale lui

n iЄi Xi , unde n Є N şi Xi Є C , pentru toţi i Є I = {1,2,…,n} . Se oservă că [C]

este o categorie abeliană şi , mai mult , [C] este cea mai mică subcategorie abeliană plină a lui A , care conţine C şi a cărei clasă de obiecte este închisă la subobiecte şi obiecte factor.

PROPOZIŢIA 4.16. Fie A,A’ două categorii abeliene , C o clasă nevidă de obiecte ale lui A şi T :A → A’ un functor contravariant , exact la stînga sau la dreapta .Presupunem că pentru fiecare şir exact din A , O→X’→X→X”→O , cu x Є C , şirul obţinut prin aplicarea functorului T şirului anterior este exact în A’ . Atunci restricţia T[C] : [C] → A’ a lui T la categoria abeliană [C] este un functor exact .

DEMONSTRAŢIE : se procedează exact ca în cazul modulelor în propoziţiile 4.11. şi 4.13.

REMARCĂ : 1o. Un rezultat similar , mai general este dat de E. de Robert.2o. Dacă luăm A = R –MOD , A’ =AB şi E Є R – MOD , T = - R E şi C = {RR} atunci o variantă a propoziţiei 4.16. arată că E este un R – modul plat dacă şi numai dacă pentru fiecare ideal stîng a al lui R şirul O → a R E → R R E este exct în AB (adică E este R - plat) .

Ca şi în cazul modulelor putem utiliza notaţiile I(C) , I -1(C) , P(C) şi P-1(C) pentru fiecare clasă nevidă C de obiecte ale categoriei abeliene A . Din propoziţia 4.16. rezultă că : I(C) = I([C]) şi P(C) = P([C]) .

52

PROPOZIŢIA 4.17. Fie A o categorie abeliană .Pentru fiecare clasă nevidă de obiecte ale lui A , C , I-1(C) şi P-1(C) sînt subcategorii abeliene ale lui A . Dacă A are un generator , atunci I-1(C) şi P-1(C) au amîndouă un generator . Mai mult , dacă A este o categorie Grothendieck , atunci I-1(C) este de asemenea o categorie Grothendieck .

DEMONSTRAŢIE : Din propoziţia 4.16. , I-1(C) şi P-1(C) sînt închise la subobiecte , obiecte cît şi sume directe finite .Atunci subcategoriile pline I -1(C) şi P-1(C) ale lui A sînt evident categorii abeliene .

Dacă G este un generator pentru A , considerăm mulţimea G = {G/G’ / G’G şi G/G’ Є I’(C)} care este evident nevidă deoarece G/G’ Є I-1(C) . Fie acum X Є I-1(C) şi X’ X . Deoarece G este un generator pentru A , rezultă că există f :G → X astfel încît Im(f) X’ . Însă Im(f) G / Ker f . Notînd G’ = Ker f G , rezultă că Im(f) G /G’ şi cum X Є I-1(C) avem că G/G’ Є I-1(C) . Astfel , am găsit un obiect G/G’ Є I-1(C) şi un morfism G/G’ —g→ X astfel încît Im(g) X’ , adică G este o mulţime de generatori pentru I-1(C) . Într-o manieră similară {G/G” / G” G şi G/G” Є P-1(C)} este o mulţime de generatori pentru P-1(C).

Presupunem acum că A este o categorie Grothendieck (adică A este o categorie abeliană cu limite directe exacte şi cu un generator) . Va fi suficient să demonstrăm că I-1(C) este închisă la sume directe .Pentru aceasta fie (Mi)iЄI o familie de obiecte ale lui I-1(C) .Atunci pentru fiecare Q Є C avem că Q este Mi – injectiv , pentru toţi iЄ I . Vom demonstra că Q este iЄI Mi – injectiv . Păstrăm notaţiile din propoziţia 4.13. (b) ; această demonstraţie dată pentru module poate fi modificată pentru categoria Grothendieck arbitrară A astfel :

Mai întîi F este o mulţime inductivă deoarece A satisface condiţia AB5) a lui Grothendieck . Considerăm următoarea diagramă :

M’i

λi(Mi) λi(Mi) LO LO

Q

Există un morfism φ ce face comutativă diagrama . Pe de altă parte din şirul exact O → λi(Mi)∩ LO → λi(Mi) LO → λi(Mi) + LO → O rezultă φ / M’i = 0 deoarece fi/ M’i = fO / M’i , deci există Fi : λi(Mi) + LO → Q astfel încît Fi / LO = fO .

De aici se continuă demonstraţia ca în propoziţia 4.11.

53

-fi φ fO

Următorul rezultat este de obicei demonstrat urmînd căi mai complicate :

COROLAR 4.18. (criteriul lui Baer pentru categorii Grothendieck) : Fie A o categorie Grothendieck şi G un generator al lui A . Atunci Q Є A este un obiect injectiv dacă şi numai dacă Q este G – injectiv .

DEMONSTRAŢIE : Q este G – injectiv Q Є I(G) G Є I –1(Q) G(I)

Є I –1(Q) pentru fiecare mulţime I şi fiecare G’ G(I) A I –1(Q) Q Є I(A)

Q este injectiv .

O variantă a propoziţiei 4.13.(c) este :

PROPOZIŢIA 4.19. Fie A o categorie Grothendieck şi C o clasă nevidă de obiecte finit generate ale lui A . Atunci P-1(C) este o categorie Grothendieck .

54

♦5. MODULE CVASI – INJECTIVE ŞI CVASI – PROIECTIVE

Modulele cvasi – injective au fost introduse de Johnson şi Wong în 1961 , dar Jacobson a demonstrat în 1956 că ele satisfac aşa numita condiţie a dublu anulatorului .

Noţiunea duală de module cvasi - proiective a fost considerată mai întîi de Miyashita şi Wu în 1966 şi de Jans în 1967 .

DEFINIŢIA 5.1 . Un R – modul stîng M se numeşte cvasi – injectiv dacă M este M – injectiv . Un R – modul stîng M se numeşte cvasi – proiectiv dacă M este M – proiectiv .

NOTAŢIE: Dacă M este un modul cvasi – injectiv (respectiv cvasi – proiectiv ) vom nota simplu acest fapt scriind că M este QI (respectiv QP) .

OBS. M este QI (respectiv QP) dacă şi numai dacă M Є I(M) sau M Є I-1(M) (respectiv M Є P(M) sau M Є P-1(M)) .

Utilizînd proprietăţile 4.17. şi 4.19. obţinem :

PROPZIŢIA 5.2. Fie M un R – modul stîng . Atunci : (a) M este QI dacă şi numai dacă M este un obiect injectiv al categoriei

Grothendieck I-1(M) . (b) M este QP dacă şi numai dacă M este un obiect proiectiv al categoriei abeliene

P-1(M) . (c) Dacă M este finit generat , atunci M este QP dacă şi numai dacă M este un

obiect proiectiv al categoriei Grothendieck P-1(M) .

Comportatrea moduleleor QI şi QP faţă de sumele directe finite este dată de următoarea propoziţie :

PROPZIŢIA 5.3. Fie (Mi)i= o familie finită de R – module stîngi . Atunci n

i=1 Mi este QI (respectiv QP) dacă şi numai dacă M i este Mj – injectiv (respectiv Mi este Mj – proiectiv) pentru toţi i,j = .

DEMONSTRAŢIE : Din propoziţiile 4.7. , 4.11. şi 4,13, avem : ni=1 Mi

este QI (respectiv QP) ni=1 Mi este n

i=1 Mi – injectiv (respectiv ni=1 Mi –

proiectiv) Mi este nj=1 Mj – injectiv (respectiv n

j=1 Mj – proiectiv) , pentru toţi i = Mi este Mj – injectiv (respectiv Mj – proiectiv) pentru toţi j = .

55

COROLAR 5.4. (Harada 1972 , de Robert 1969) : Fie M un R – modul stîng şi n Є N , n 1 . Atunci M este QI (respectiv QP) dacă şi numai dacă Mn este QI (respectiv QP) .

EXEMPLE : 1o. Orice modul semisimplu este QI şi QP ;2o. Orice factor direct al unui modul QI (respectiv QP) este QI (respectiv QP) ; 3o. Dacă R este un domeniu ideal principal , atunci pentru fiecare a Є R - {0} , R/Ra este un R – modul QI şi un R – modul QP;4o. R este un R – modul stîng QI dacă şi numai dacă IR este un inel self injectiv la stînga ;5o. Dacă R este un domeniu Dedekind , atunci R – modulele QI şi QP pot fi complet determinate .6o. Dacă a este un ideal bilateral al lui R şi M Є R – MOD este un modul injectiv (respectiv proiectiv) , atunci aM (respectiv M/Ma) este un modul QI (respectiv QP). 7o. Dacă M este un R – modul QP şi M’ M este un R – submodul plin invariant al lui M (adică f(M’) M’ pentru fiecare f Є End (RM)) , atunci M/M’ este QP . 8o. Dacă m,n Є N - {0} , m n şi p > 0 este un număr prim , atunci suma directă a Z – modulelor Z/pnZ şi Z/pmZ nu este un Z – modul QI .

În loc să dăm cîteva criterii uzuale de cvasi – injectivitate , stabilim cîteva rezultate mai generale despre modulele M – injective .

PROPZIŢIA 5.5. Fie U,M Є R – MOD . Atunci U este M – injectiv dacă şi numai dacă pentru fiecare f Є HomR(M,ER(U)) avem Im(f) U .

DEMONSTRAŢIE : Presupunem că are loc concluzia şi să arătăm că U este M – imjectiv . Pentru aceasta considerăm şirul exact în categoria R – MOD , O→M’—j→M cu j monomorfism şi g Є HomR(M’,U) dat prin diagrama :

O→M’—j→M

U —i→ ER(U)

Cum ER(U) este o anvelopă injectivă a R – modulului U rezultă că ER(U) este un R – modul injectiv , deci este injectiv şi în raport cu M . Deci , pentru i : U → ER(U) injecţia canonică , rezultă că există Є HomR(M,ER(U) care face diagrama comutativă , adică o j = i o j . Conform ipotezei pentru Є HomR(M,ER(U)) avem Im( ) = (M) U , adică defineşte g1 : M → U astfel încît g1 o j = g ; deci U este M – injectiv.

Invers , presupunem că U este M – injectiv şi fie f Є HomR(M,ER(U)) . Arătăm că Im(f) U .

56

g gi

Notăm X = f-1(U) (deoarece U ER(U)) care evident este submodul al lui M . Deci avem diagrama următoare :

X —j→M

U —→ ER(U)

Unde notăm cu f1 = f/x şi în care U fiind M – injectiv rezultă că există g : M → U morfism ce face comutativă diagrama , adică g o j = f1 , unde j este morfismul canonic (de incluzine) . Evident că Ker(f – i o g) = x . Presupunem că x M , adică pentru un anumit x Є M – x avem (f – i o g )(x) 0 . Dar (f – i o g )(x) Є ER(U) , deci există a Є R - {0} astfel încît 0 (f – i o g )(x)a = (f – i o g )(ax) Є U - {0} (deoarece ER(U) este extensie esenţială a lui U) , deci f(ax) – i(g(ax)) = f(ax) – g(ax) Є U f(ax) Є U ax Є f-1(U) = x , adică (f – i o g )(ax) = 0 ceea ce este o contradicţie . Deci X = M ceea ce implică f = i o g Im f = Im (i o g) = Im g U .

COROLAR 5.6. Dacă C este o clasă nevidă de R – module stîngi , atunci I(C) este închisă la extensii esenţiale .

COROLAR 5.7. (Johnson şi Wong - 1961) : Un R – modul stîng M este QI dacă şi numai dacă f(M) M pentru fiecare f Є End (ER,(RM)) .

Putem da acum o nouă demonstraţie pentru propoziţia 4.12.

COROLAR 5.8. Pentru fiecare clasă nevidă C de R – module stîngi , I -1(C) este închisă la sume directe .

DEMONSTRAŢIE : Fie (Mi)iЄI o familie de subobiecte din I-1(C) . Atunci U este Mi – injectiv , pentru orice U Є C şi orice iЄI . Considerăm f Є HomR( i=1

Mi, ER(U)) , atunci conform propoziţiei 5.5. avem că f(M i) U , oricare ar fi iЄI , deci Im f U, adică U este i=1 Mi – injectiv dacă şi numai dacă i=1 Mi Є I-1(C).

COROLAR 5.9. Fie Q un R – modul stîng injectiv şi a un ideal bilateral al lui R . Atunci N = {x Є Q / ax = 0 } este un R – modul QI şi un R/a – modul injectiv (N fiind considerat ca un R/a – modul în mod canonic) .

DEMONSTRAŢIE : Putem presupune că ER(N) Q şi fie f Є EndR (ER,(RN)). Arătăm că f(N) N . Avem că f poate fi extins la Є End (RQ) , lucru ce rezultă din injectivitatea lui Q . Cum pentru orice g Є End (RQ) avem că g(N) N rezultă că f(N) N , adică N este QI (din propoziţia 5.7.) .

Fie N’ = ER/a(N) . Deoarece N N’ este o extensie esenţială peste R , putem presupune că N’ Q . Dar N’ Є R/a – MOD , deci aN’= 0 , adică N’ N . Astfel ER/a(N) = N şi este un modul injectiv în R/a – MOD .

57

f1 g

COROLAR 5.10 . Pentru orice R – modul stîng injectiv Q , Q este injectiv ca R/AnnR(Q) – modul .

DEMONSTRŢIE : Luînd a = R/AnnR(Q) (în cazul particular al propoziţiei 5.9.) idealul bilateral şi Q = {x Є Q / ax = 0 } rezultă conform acestuia că Q este injectiv ca R/AnnR(Q) – modul .

REMARCĂ : 1o. Propoziţia 5.5. poate fi reformulată astfel : U este M – injectiv dacă şi numai dacă morfismul natural HomR(M,U) → HomR(M,ER(U)) este un izomorfism .

Fie M Є R – MOD şi A = EndR (ER,(RN)). Conform propoziţiei 5.7. avem că AM = ΣfЄAf(M)este un R – modul QI şi mai mult AM este intersecţia tuturor submodulelor QI ale lui ER(M) ce conţin pe M .

DEFINIŢIA 5.11. Printr–o extensie QI minimală a lui M înţelegem perechea (Q,I) , unde Q este un modul QI şi i : M → Q este un monomorfism avînd proprietatea că Q este unicul submodul QI al lui Q ce conţine i(M) . Astfel că (AM,i) este o extensie QI – minimală a lui M , unde i : M → AM este injecţia canonică .

PROPZIŢIA 5.12 . (Faith şi Utumi - 1964) : Orice două extensii QI minimale ale unui R – modul stîng M sînt izomorfe peste M .

DEMONSTRAŢIE : Din observaţiile anterioare rezultă că pentru un R – modul M perechea (AM,i) este o extensie QI minimală . Fie acum (Q,j) o altă extensie QI a lui M , adică Q este un modul QI şi j : M → Q este un monomorfism. Notăm cu E = ER(Q) . Cum AM este extensie esenţială a lui M , atunci în diagrama următoare

M —i→ AMj↓ ↓fQ —→ ER(Q) = E

monomorfismul M —j→ Q → E poate fi extins la monomorfismul f : AM → E . Notăm N = f (AM) ∩ Q E , E’ = ER(f (AM)) , E” = ER(N) , Ω = End R(RE) , Ω’ = End R(RE’) , Ω” = End R(RE”) . Evident putem presupune E” E’ E .

Fie g” Є Ω” , atunci g” poate fi extins la g’ Є Ω’şi g’ poate fi extins la g Є Ω. Deci : g”(N) = g’(N) = g(N) = g(f (AM) ∩ Q) g(f (AM)) ∩ g(Q) = g’(f (AM)) ∩ g(Q) f (AM) ∩ Q = N (deoarece f (AM) este QI rezultînd din propoziţia 5.7.) . Tot de aici avem că g”(N) N N este QI deci f-1(N) este o extensie QI a lui M conţinută în AM , însă din minimalitatea lui AM rezultă că f-1(N) = AM , deci N = f(AM) Q .

Dacă (Q,j) este acum o extensie QI – minimală a lui M , atunci f : AM → Q este încă epimorfism , deoarece f(AM) este QI , j(M) f(AM) Q şi (QN) este minimală .

58

Astfel fiecare extensie QI – minimală a lui M este izomorfă sub M cu extensia minimală QI(AM,i) a lui M .

NOTAŢIE : Pentru fiecare M Є R – MOD notăm cu QR(M) o extensie QI minimală a lui M , care este unic determinată modulo un izomorfism sub M .Din propoziţia 5.12. observăm că QR(M) este o extensie esenţială a lui M .

Dorim să dăm acum criteriul lui Fuchs de cvasi – injectivitate . Putem să prezentăm ca o consecinţă trivială a unui rezultat mai general despre modulele M – injective .

Reamintim că dacă N este o clasă de R – module stîngi , atunci M Є R – MOD spunem că este N – generat (sau că N generează M) dacă există o familie (Nα) αЄI în N şi un epimorfism αЄI Nα → M .

PROPZIŢIA 5.13. Fie U, M Є R – MOD .(a) Dacă U este M – injectiv , atunci fiecare N Є R – MOD are proprietatea : (*) pentru fiecare submodul N’ N şi fiecare f Є HomR(N’,U) pentru care există α Є HomR(N,M) cu Ker (f) Ker (α) , există g Є HomR(N,U) care face următoarea diagramă comutativă :

O→N’ —→ N

U M

(b) Dacă N este o mulţime de R – module care generează pe M , astfel încît fiecare N Є N are proprietatea (*) , atunci U este M - injectiv .

DEMONSTRŢIE : (a) Fie p : N’ → α(N”) surjecţia canonică şi j: α(N’) → M injecţia canonică . Deoarece prin ipoteza (*) Ker(f) Ker (α) Ker (p) rezultă că există f1

: α(N’) → U ce face comutativă diagrama :

N’ N U f2 M

59

p f α(N’) α f1 j

f g α

Prin definiţie avem f1(α(x’)) = α(x’) , pentru orice x’ Є N’ . Cum însă U este M – injectiv rezultă că există f2 Є HomR(M,U) estfel încît f2 o j = f1 .

Notăm acum g = f2 o α Є HomR(N,U) ; atunci g/N’ = f .(b) Pentru a arăta că U este M – injectiv conform propoziţiei 5.5. este suficient să arătăm că pentru fiecare h Є HomR(M,ER(U)) , Im(h) U şi deoarece M este N – generat aceasta este echivalent cu Im(h o α) U pentru toţi N Є N şi α Є HomR(N,M) .

Fie N’ = (h o α)-1(U) şi f = (h o α)/N’ . Evident Ker (f) Ker (α) deci conform proprietăţii (*) există g : N → U astfel încît g extinde f :

N’ N U i ER(U)

Presupunem că i o g h o α . Atunci x = Ker (i o g - h o α) N şi N’ x . Alegem x Є N – x pentru care avem că (i o g - h o α)(x) Є ER(U) - {0} , deci (i o g - h o α)(x) Є U - {0} pentru un anumit a Є R astfel încît (h o α)(ax) Є U. Rezultă că ax Є (h o α)-1 (U) = N’ şi cum N’ x , avem ax Є X , adică (i o g - h o α)(ax)= 0 ceea ce este o contradicţie . Astfel avem X = N , adică h o α = i o g aşa cum am dorit . Rezultă că Im(h o α) = Im(i o g) = Im(g) U , deci conform propoziţiei 5.5. U este M – proiectiv .

Pentru fiecare M Є R – MOD putem folosi următoarea notaţie : Ω(M) = {a / a RR astfel încît există x Є M cu a AnnR(x)} .

COROLAR 5.14. Fie U,M Є R – MOD . Atunci U este M – injectiv dacă şi numai dacă pentru fiecare ideal drept a al lui R şi fiecare f Є HomR(a,U) cu Ker(f) Є Ω(M) , f poate fi extins la R .

DEMONSTRAŢIE : În propoziţia 5.13. luăm N = { R} . Dacă a este un ideal al lui R , a RR şi f Є HomR(a,U) atunci cu Ker(f) Є Ω(M) dacă şi numai dacă există α : R → M astfel încît Ker(α) = AnnR(x) Ker(f) , unde x = α(1) Є M şi se aplică propoziţia 5.13.

Deoarece U este M – injectiv dacă şi numai dacă U este Mn – injectiv , pentru toţi n 1 , rezultă că în afirmaţia din propoziţia 5.14. putem înlocui Ω(M) cu (M) , unde (M) = { a / a RR astfel încît a AnnR(S) , pentru o anumită mulţime nevidă finită S M} .

60

α f g M h

COROLAR 5.15. (Fuchs - 1969) : Fie M Є R – MOD . Atunci M este QI dacă şi numai dacă pentru fiecare ideal drept a al lui R şi fiecare f Є HomR(a,M) cu Ker(f) Є Ω(M) (sau Ker(f) Є (M)) f poate fi extins la R .

Ca o consecinţă directă a criteriului Fuchs dăm acum un rezultat uzual :

PROPOZIŢIA 5.16. Fie M un R – modul stîng QI . Atunci M este un R/AnnR(M) – modul injectiv canonic , cu condiţia ca M să satisfacă una din următoarele două cerinţe : (a) condiţia lanţului descendent (DDC) are loc în mulţimea { AnnR(x) / x Є M } ;(b) Meste un EndR(RM) – modul drept finit generat .

DEMONSTRAŢIE : Întîi vom demonstra că AnnR(E) Є (M) dacă M satisface (a) sau (b) .

Presupunem că M satiasface (a) :Atunci AnnR(M) = ∩xЄM AnnR(x) = AnnR(x1) ∩…∩AnnR(xn) , pentru anumiţi x1,…, xn Є M . Deoarece { AnnR(x) / x Є M } satisface DDC rezultă că AnnR(x) Є (M) .

Presupunem că M satisface (b) :Fie y1,…, ym Є M astfel încît M = y1S+…+ ymS , unde am notat S = EndR(RM) . Luăm a Є ∩m

i=1 AnnR(yi) şi y Є M . Atunci y = f1(y1) + … +fm(ym) , cu fi Є S , pentru toţi i = . Deci ay = Σm

i=1 fi(ayi) = 0 , de unde rezultă că ∩mi=1 AnnR(yi)

AnnR(M) , adică AnnR(M) Є (M) . Fie acum a’ = a/AnnR(M) un ideal drept al lui R’ = R / AnnR(M) , p : a → a’

surjecţia canonică şi f Є HomR’(a’,M) . Deoarece AnnR(M) Ker (f o p) Є (M) , deci există g : R → M care face comutativă diagrama .

a R M

Evident g factorizează prin epimorfismul natural R → R’ = R/AnnR(M) şi g’/a’ = f, deci M este un R’ – modul injectiv din criteriul lui Baer .

REMARCĂ : 1O. Fie M Є R – MOD . Dacă M este injectiv (respectiv proiectiv ) ca R / AnnR(M) – modul , atunci M este un R – modul QI (respectiv QP) deci are loc o reciprocă a propoziţiei 5.16.2o. Dacă M este R – modul QI nu rezultă că M este injectiv ca un R / AnnR(M) – modul .

61

φ g

a’ R’

f g’

Într – adevăr Z modulul semisimplu M = p -prim Zp este QI dar nu este un modul injectiv peste Z / AnnZ(M) = Z . Totuşi , următoarea afirmaţie are loc : M este injectiv peste R / AnnR(M) dacă şi numai dacă MI este un R – modul QI pentru fiecare mulţime I (Fuller , 1969) .

62