Inele noetheriene

8/13/2019 Inele noetheriene

1/55

2

INELE NOETHERIENE

CUPRINS


2/55

2

Introducere.. 3

Cap. I Noiunea de inel noetherian. 4

!. Condiii de lan.. 4". #odule $i inele noetheriene%artiniene.. &

3.Siruri de co'po(iie. )

Cap. II. Cla$e $peciale de inele noetheriene..!3

!. Con$trucii de 'odule *i inele noetheriene. !3

". Inele de +racii.. !,

3. Inele de polinoa'e.......................................................... "! 3.!. Inelul polinoa'elor -ntro nedeter'inat/.................. "!

3.". Inelul polinoa'elor -n 'ai 'ulte nedeter'inate....... "0

Cap. III. 1e$co'punerea pri'ar/ -n inelele noetheriene ")

!. Nilradicalul unui inel. Ideale pri'are. ")

". 1e$co'punerea pri'ar/ a unui ideal 34

3. 1e$co'punerea pri'ar/ -n inele noetheriene. 42

ilio5ra+ie.43


3/55

2

Introducere

Aceast lucrare are ca scop principal studierea inelelor noetheriene, unele

clase speciale de astfel de inele i deacompunerea primar in inele noetheriene.

n primul capitol se trateaz noiunea de inel noetherian. Pentru aceasta se

studiaz condiia de lan ascendent i condiia de lan descendent, precum i

caracterizri echivalente ale inelelor noetheriene. n ultima parte a capitolului

notiunea de noetherian se generalizeaz pentru module, aici noiunea de modul

noetherian fiind completat prin studiul irurilor de compoziie.

n cel de-al doilea capitol se trateaz tema Clase speciale de inele

noetheriene, unde studiem inelele de fracii, inelele de polinoame i conditii

pentru ca aceste inele s fie noetheriene. !ot "n acest capitol amintim i una dintre

cele mai importante teoreme ale alge#rei i anume Teorema Hilbert a bazei.

n cel de-al treilea capitol, $escompunerea primar "n inele noetheriene,tratm noiunea de nilradical al unui inel, idealele primare, descompunerea primar

a unui ideal "ntr-un inel oarecare i n inelele noetheriene. %n rezultat principal al

acestui Capitol este c "ntr-un inel noetherian idealele sunt decompoza#ile.


4/55

2

Cap. I Noiunea de inel noetherian

!. Condiii de lan

Fie o multime parial ordonat de relaia , unde este

reflexiv, antisimetric i tranzitiv.

Propoziia 1.1.1. Urmtoarele condiii pe sunt

echivalente:

i) fiecare ir n este staionar, adic exist un

astfel nct ;

ii) fiecare submulime nevid a lui are un element

maximal.

Demonstraie. . Dac este fals, atunci exist o

submulime nevid a lui fr elemente maximale. Putem

construi inductiv un ir strict cresctor n , astfel fie nu

e maximal astfel nc!t . "nalo#, x2 nu este

maximal x$ %,astfel nc!t x2 x$etc. &n acest fel am construit

un ir x' x2 x$ ... strict cresctor,deci nestaionar.(ontradicie

cu ipoteza i).

. Fie irul cresctor i fie .

*ubmulimea are un element maximal, fie acesta . "tunci

.

Fie " un inel comutativ unitar.


5/55

2

Dac este mul+imea submodulelor unui modul ,

ordonate de relaia , atunci condi+ia este numit condiia

lanurilor ascendente si condi+ia este numit condiia

maximal. -n modul care satisface una din aceste condi+ii

ecivalente se numete modul noetherian.Dac este ordonat

de rela+ia , atunci condi+ia este numit condiia lanurilor

descendente i condi+ia este numit condiia minimal. -n

modul care indeplinete una din aceste condi+ii ecivalente

este numit artinian.&n continuare, toate inelele care vor fi considerate sunt

comutative.

". #odule $i inele noetheriene%artiniene

Definiia 1.2.1. Un inel se numete noetherian dac

este un modul noetherian. !n acest ca", submodulele lui sunt

idealele inelului #.

Exemple.

'. -n #rup abelian finit poate fi vzut ca un modul i satisface

ambele condiii condiia de lanascendent i condiia de landescendent.


6/55

2

2. /nelul satisface conditia de lant ascendent, dar nu i

condiia de lan descendent. Dac avem

0incluziune strict).

$. se definete astfel fie

dac . 1bservm c dac 'si 2au aceeai

parte fracionar . Dac , atunci i .

1rice clas poate fi reprezentat printro fracie , unde

. "tunci . "cum s fixm p prim

i punem 3 45are

elemente, respectiv,

*criind pe 42si 4$,


7/55

2

observm c 42 4$ ,deoarece si 42.

"adar,

este ir nestaionar, deci

ca modul nu este noeterian.

6. /nelul 0 este corp, este nedeterminata) satisface

condiia de lanascendent 0aa cum vom arta mai 7os), dar

nu i cea de landescendent de ideale.

8. /nelul polinomial ntro infinitate de nedeterminate

nu satisface nicio condiie de lan pe ideale secvena

este lan strict ascendent, i secvena

este lan strict descendent.

Propoziia 1.2.2. este un modul noetherian dac i

numai dac fiecare submodul al lui este finit $enerat.

Demonstraie. Fie un submodul al lui , i fie

mulimea tuturor submodulelor ale lui . "tunci nu estevid 0deoarece ) i are deci element maximal, fie acesta .

Dac , considerm submodulul , unde 3


8/55

2

acesta este finit #enerat i contine strict pe , deci avem

contradicie. Prin urmare si este finit #enerat .

Fie un lanascendent de submodule ale lui. "tunci este un submodul al lui . (u ipoteza c

este finit #enerat i fie , avem .

Fie etc.,

, deci . De aici

. &n concluzie,.

Propoziia '.'.$. arat c!t de importante sunt modulelenoeteriene condiia de modul noeterian este exact condi ia definitudine pe care se fundamenteazo serie intrea#de teoreme.9ulte dintre proprietile formale elementare le au, n e#almsur, at!t modulele noeteriene c!t i modulele artiniene.

Corolar 1.2.3.%nelul este noetherian dac i numai dac

fiecare ideal al su este finit $enerat.

Propoziia 1.2.4. &ie un ir exact de

module. #tunci

i)

este noetherian si sunt noetheriene;

ii) este artinian si sunt artiniene.


9/55

2

Demonstraie. -n lanascendent de submodule ale

lui 0sau ) produce un lann , prin urmare lanul din 0sau

) este staionar.

/deea demonstrrii implicaiei este urmtoarea daca

un lanascendent de submodule ale lui , atunci

este un lanin si este lanin . Pentru un destul de

mare, ambele lanuri sunt staionare, de unde rezultci lanul

este staionar. "sadar, fie :..

Demonstrarea punctului este similarcu cea a punctului

.

;. 4rupul al numerelor raionale de forma i

p prim, nu satisface nicio conditie de lan . &ntradevr, avem

irul exact, unde

9ulimea nu satisface conditia de landescendent pentru

cnici nu o satisface, i nu satisface condiia de lanascendent

deoarece nici nu o satisface.


10/55

2

Corolarul 1.2.5. 'ac sunt #module

noetheriene, respectiv module artiniene, atunci este #

modul noetherian(respectiv, artinian).

Propoziia 1.2.6. &ie un inel noetherian, respectiv inel

artinian, un modul finit $enerat. #tunci este noetherian,

respectiv artinian. #ltfel spus, orice modul finit $enerat peste uninel noetherian (respectiv artinian), este noetherioan (respectivartinian).

Exemple.

'. 1rice corp comutativ este artinian i noeterian, deci

este inelul , . /nelul este noeterian, dar nu

este artinian.

2. 1rice inel principal care este domeniu este noeterian

0fiecare ideal este finit #enerat).

$. /nelul nu este noeterian. Dar acesta este un

domeniu de inte#ritate, prin urmare are un camp de

fracii care este noeterian.

6. Fie un spaiu compact infinit


11/55

2

de mulimi ncise n i fie

. "tunci formeaz o secven

strict cresctoare de ideale in deci nu este un

inel noeterian

Propoziia 1.2.7.&ie noetherian (respectiv artinian), un

ideal al lui . #tunci #*% este inel noetherian (respectiv inel

artinian).

Demonstraie. Din propoziia '.'.$., ">/ este noeterian,

respectiv artinian, ca un modul, dar i ca un ">/ modul.

3. 6iruri de co'po(iie

-n lande submodule ale modulului este un ir de

submodule ale lui astfel nc!t

=un#imea lanului este n. -n ir de compo"iiea lui este un

lanmaximal, n sensul c este un lann care nu pot fi inseratesubmodule suplimentare asta este ecivalent cu a spune c


12/55

2

fiecare c!t este simplu 0un modul este simplu

dac sin#urele sale submodule sunt i el insui).

Propoziia 1.3.1. +resupunem c are un ir de

compo"iie de lun$ime . #tunci fiecare ir de compo"iie a lui

are lun$imea i fiecare lan n poate fi extins la un ir de

compo"iie.

Demonstraie. i) . Fie o serie de

compoziie a lui de lun#ime minim, i considerm submodulele

a lui . (um i acesta din urmeste

un simplu modul, avem fie sau 3 rezult,

prin mutri repetate ale termenilor, cavem o serie de compoziie

a lui , astfel incat . Dac , atunci

pentru fiecare prin urmare

, , : i in final .

ii)1rice lanin are lun#imea . Fie s

fie un lan de lun#ime . "tunci din i) avem c

, prin urmare .

iii)(onsiderm orice sir de compoziie a lui . Dac aceasta

are lun#imea , atunci din ii), prin urmare dindefiniia lui . Prin urmare toate seriile de compoziie au aceeai

lun#ime. /n final, considerm orice lant. Dac lun#imea acestuia

este , atunci acesta poate fi o serie de compoziie din ii)3 dac


13/55

2

lun#imea acestuia este , atunci aceasta nu este o serie de

compoziie, rezultand c nu este maximal, i mai departe pot fi

inseraii noi termini panlun#imea este .

Propoziia 1.3.2. are un sir de compo"iie

satisface ambele condiii de lan.

Propoziia 1.3.3. un$imea este o funcie aditiv n

clasa tuturor modulelor de lun$ime finit.

Demonstraie.%rebuie sartm cdaceste o secvenexact, atunci . =um ima#inea

lui pentru orice serie de compoziie a lui si inversa ima#inii lui

pentru orice serie de compoziie a lui , acestea impreun

adunate dau o serie de compoziie a lui , prin urmare rezultatul

cerut.

Propoziia 1.3.4. +entru spaiul vectorial , urmtoarele

condiii sunt echivalente:

i) este finit dimensional, adic ;

ii) - este de lun$ime finit;

iii) - satisface condiia de lan ascendent;

iv) - satisface condiia de lan descendent;

ai mult, dac aceste condiii sunt satisfcute, atuncilun$imea l()/dimensiunea dim0-.


14/55

2

Demonstraie. este elementar.

rezult din propoziia 1.1.10. . ?mane de demonstrate c

. Presupunem c este fals, atunci aici existun

ir infinit de elemente liniare independente din . Fie ,

respectiv , spaiul vectorilor determinat de respectiv

. "tunci lanul , respectiv lanul , este

infinit si strict ascendent, respectiv strict descendent.

Corolar 1.3.5. &ie un inel in care idealul "ero este un

produs de forma de ideale maximale. #tunci este

inel noetherian dac i numai dac este inel artinian.

Propoziia 1.3.6. um s fie un inel.

+resupunem c este noetherian, atunci este finit $enerat ca o

1 al$ebr i c nu este finit $enerat ca un modul sauinte$rat peste . #tunci este finit $enerat ca o 1 al$ebr.

Demonstraie.=um care #enereaz pe ca o @

al#ebr i lum care #enereaz pe ca un modul.

"tunci exist expresia de forma


15/55

2

Fie o al#ebr #enerat peste de i de . (um este

noeterian, atunci i este noeterian, i .

1ricare element al lui este un polinom n cu coeficieni n

. *ubstituind i repetand n artm c fiecare element al

lui este o combinaie liniar de forma cu coeficieni n , i

prin urmare este finit #enerat ca un modul. Deoarece

este noeterian i este un submodul al lui , rezult c este

finit #enerat ca un modul. Deoarece este finit #enerat ca o@ al#ebr, rezult c este finit #enerat ca o @ al#ebr.

-n ideal este ireductibil dac

Propoziie 1.3.7.!ntrun inel noetherian orice ideal este o

intersecie finit de ideale ireductibile.Demonstraie.Presupunem un, atunci mulimea idealelor

din pentru care lema este fals un este vid, prin urmare exist

un element maximal . Deoarece este reductibil, avem c

unde i . Prin urmare, fiecare dintre i este

o intersecie finit de ideale ireductibile, deci n consecin este o

contradicie.

Propoziie 1.3.8. !ntrun inel noetherian fiecare idealireductibil este primar.


16/55

2

Demonstraie. %rec!nd la coeficientul inelului, estendea7uns s artm c idealul zero este ireductibil, deci esteprimar.

Fie cu i considerm lanul idealelor

. "cest lan este staionar i avem c

pentru unii . ?ezult c ,

dac pentru , atunci , i dac pentru atunci

, prin urmare , prin urmare

, prin urmare , acesta este . Deoarece este

ireductibil i trebuie s obinem c , ceea ce ne i

arat c este primar.

Corolarul 1.3.. 'ac este noetherian i este un ideal

prim al lui , atunci este noetherian.

Corolarul 1.3.1!. 'ac este un inel comutativnoetherian, atunci orice al$ebr comutativ finit $enerat

este inel noetherian.

Demonstraie. Fie un sistem de #eneratori

pentru al#ebra , deci . Axist un morfism de

al#ebre astfel nc!t

"vem


17/55

2

.

De exemplu, deoarece este inel noeterian, rezult c

inelele sunt noeteriene.


18/55

2

Cap. . Cla$e $peciale de inele noetheriene!. Inele de +racii

Fie un inel comutativ cu element unitate, iar o

submulime a lui care conine elementul unitate al lui i

produsul a dou elemente din este n , adic este unsemi#rup unitar cu operaia de nmulire din . 1 astfel de

submulime a lui se numete de obicei un sistem multiplicativ

0ncis) din . &n cele ce urmeaz, vom considera sisteme

multiplicative care nu conin divizori ai lui zero, dei construciile

care urmeaz se pot face, cu unele modificri, i n cazul n care

conine divizori ai lui zero.

"eorema 2.1.1.&ie un inel comutativ cu element unitate

i un sistem multiplicativ din format din nondivi"ori ai lui "ero.

#tunci exist o al$ebr de morfism structural

in2ectiv astfel ncat este un element inversabil n pentru

orice . #ceast al$ebr are n plus urmtoarea proprietate

(numit de universalitate) care o determin pan la un

i"omorfism de al$ebre: oricare ar fi al$ebra de morfism

structural astfel ncat, pentru orice este


19/55

2

inversabil n , exist un morfism unic de al$ebre ,

adic astfel ca dia$ram

s fie comutativ.

# a se construiete dup cum urmea".

(onsiderm produsul cartezian , pe care introducem

urmtoarea relaie binar

pentru . ?elaia binar de mai sus este o relaie de

ecivalen. &ntradevr, reflexivitatea i simetria acestei relaii se

verific imediat. * verificm tranzitivitatea acestei relaii. Fieelemente din , astfel ncat i

. "tunci rezult

&nmulind prima dintre aceste relaii cu i a doua cu , se

obine relaia

Din aceast relaie se obine , deoarece nu este

un divisor al lui zero n . Botm cu mulimea factor a lui


20/55

2

prin aceast relaie de ecivalen. Botm cu 0sau cu ) clasa

elementului i introducem pe urmtoarele dou

operaii al#ebrice. Fie 3

atunci

Deoarece aceste operaii al#ebrice sunt date cu a7utorulunor reprezentani din clasele de ecivalen respective, trebuies ne asi#urm c nu depind de ale#erea acestora. Fie deci

Ca trebui s artm c

i

Com demonstra numai prima dintre aceste relaii, cea dea

doua demonstr!nduse analo# i ciar mai simplu. Din ipotezrezult c

i va trebui s demonstrm c n exist relaia


21/55

2

"vem, inand seama de relaia ,

(u operaiile introduse, este inel comutativ cu element

unitate. Ca trebui s artm c, fa de prima operaie notat

aditiv, formeaz #rup abelian. "sociativitatea i

comutativitatea adunrii se verific imediat. Alemental nul este

clasa elementului , oricare ar fi , iar opusul elementului

este .

"sociativitatea i comutativitatea celei dea doua operaii

definit pe , notat multiplicative, rezult imediat din

asociativitatea i comutativitatea nmuliri n , iar elemental din

este evident elemental unitate la nmulire. *e verific, deasemenea, imediat c nmulirea definit n este distributiv

fa de adunare. Dac , se spune c este

numrtorul i numitorul elementului .

9orfismul se definete astfel i se

verific imediat c este un morfism unitar de inele, ncat cu acest

morfism structural, devine al#ebr. 9orfismul este

in7ective, cci dac , atunci , de unde rezult .


22/55

2

dac , atunci i se observ c are invers n pe .

Fie acum o al#ebr cu propriettile din teorem. "tunci

se definete astfel . "rtm mai

ntai c nu depinde de ale#erea reprezentantului din .

&ntradevr, dac , rezult i deci

, din care rezult

. * verificm acum c este un morfismde al#ebre. "vem

ceea ce arat c pstreaz sumele. "vem de asemenea

adic pstreaz produsele.

Pentru a demonstra c este morfism de al#ebre, trebuie

s mai verificm c . Fie . "tunci, din definiia lui ,

rezult


23/55

2

* mai observm c este unicul morfism de al#ebre de

la la . &ntradevr, fie un alt morfism de al#ebre.

"tunci

9ai rmane s artm c este determinat de proprietatea

de mai sus n mod unic pan la un izomorfism de al#ebre. Fie

o alt al#ebr cu morfismul structural care are aceeai

proprietate ca i . "adar, , pentru , este elementinversabil n i pentru orice al#ebr cu aceeai

proprietate, exist un unic morfism de al#ebre de la la . *

considerm atunci al#ebra . Din ipotez rezult c exist

morfismele de al#ebre i . Deoarece

este un morfism de al#ebre de la la ea nsi i cum

morfismul identic al lui are aceeai proprietate, rezult c

. &n mod analo#, rezult c , adic i sunt

izomorfisme.

Definiia 2.1.2. &ie un inel comutativ nenul cu element

unitate i un sistem multiplicativ de nondivi"ori ai lui "ero n .

#tunci inelul definit n teorema precedent se numete inelul de

fracii al lui n raport cu i se mai notea" cu .


24/55

2

Propoziia 2.1.3.'ac este un inel noetherian i este o

submulime multiplicativ nchis a lui , atunci este inel

noetherian.

Demonstraie. /dealele lui sunt in corespondenta

bi7ectiva, pstrand incluziunea, cu idealele lui , deci satisfac

condiia maximal. 0 1 demonstraie alternativ ar fi dac este

un ideal al lui , atunci are un sistem finit de #eneratori, fie

acesta . /dealul este #enerat de )

Axemple 0de inele de fracii noeteriene).

'. Dac , atunci este inelul nul.

2. Fie i lum . &n acest caz, inelul se

noteaz de re#ul cu , iar elementele lui sunt fraciile

cu numitori puteri ale lui .

$. Fie un ideal oarecare n i lum mulimea

tuturor elementelor de forma , unde . *i#ur

este submulime multiplicativ ncis.

6. Fie un ideal prim al lui . "tunci este

multiplicativ ncis 0de fapt, este multiplicativ ncis

dac i numai dac este prim).


25/55

2

&n acest caz, scriem pentru . Com arta c inelul

noeterian este un inel cu un sin#ur ideal maximal.

Fie . "tunci este ideal n . Dac ,

atunci , prin urmare i mai departe este inversabil n

cu inversul . ?ezult c este ideal maximal n . Dac

este un ideal maximal , atunci ca mai sus rezult c

elementele din sunt inversabile i deci , contrar cu

maximalitatea lui . "adar, este unicul ideal maximal n .

Procesul de trecere de la la este numit locali"aren .

Propoziia 2.1.4. 3peraia este exact, altfel spus,

dac este ir exact in , atunci

este ir exact n .

Demonstraie. "vem c , prin urmare

, prin urmare . Pentru

demonstraia invers, lum , atunci n

, prin urmare exist astfel ncat n . Dar

cu toate c este un omomorfism modul, prin

urmare i mai departe pentru

. Prin urmare n avem


26/55

2

. Prin urmare

.

Corolarul 2.1.5.&ormarea de fracii comut cu formarea desume finite, de intersecii finite i cturi. ai precis, dac ,

sunt submodule ale modulului , atunci:

i) ;

ii) ;

iii) modulele i sunt

i"omorfe.

Propoziia 2.1.6.&ie un modul. #tunci modulele

i sunt i"omorfe, mai precis, exist un i"omorfism

unic

dat prin

Demonstraie.?elaia definit de

este @ biliniar i induce un omomorfism


27/55

2

care satisface . Prin urmare, este sur7ectiv

i este unic definit de .

=um s fie oricare element al lui . Dac

, avem

Deci atunci oricare element al lui este de forma .

Presupunem c . "tunci , prin urmare

pentru unii , i

Deoarece este i in7ectiv, atunci este un izomorfism.

". Inele de polinoa'e

".!. Inelul polinoa'elor -ntro nedeter'inat/.

Fie " un inel comutativ i unitar. Com face o construcie ainelului de polinoame ntro nedeterminat peste ", care la


28/55

2

nceput nu folosete scrierea obinuit a polinoamelor cu a7utorulunei nedeterminate .

Peste inelul " se considera irurile ,

a.. toi termenii si, n afar de un numr finit dintre ei, sunt nuli.

Fie mulimea tuturor irurilor de acest tip. Eirurile

i sunt e#ale dac i numai dac

, pentru orice i. Pentru se definesc dou operaii

al#ebrice , adunarea i nmulirea, n raport cu care devine un

inel comutativ si unitar.

Fie . "tunci

adunarea se definete astfel

.

Aste evident ca f # are numai un numr finit de termeni

nenuli, deci . * verificm ca este #rup

abelian .

&ntradevr, dac ,

, atunci

i


29/55

2

(um adunarea n inelul " este asociativ , avem

, de unde 0f #) G f

0# ) . "nalo# se arat c f # G # f.

Dac H G 0H, H, H, :) , atunci

, deci H este element neutru pentru adunare. Dac

, atunci este opusul

lui f i f 0 f) G 0 f) f G H .

&nmulirea pe " se definete astfel

unde

Aste clar ca . &nmulirea pe "I, astfel definit , este

asociativ, comutativ i are element unitate. * artm maint!i asociativitatea .

Fie , unde

i s artm

c .

Fie . "tunci


30/55

2

De asemenea, fie , unde

Dac , atunci

i fie unde

Deci pentru orice m. Deci 0f#) G f0#) .

(omutativitatea nmulirii rezult din faptul c nmulirea n inelul" este comutativ, iar n expresia produsului polinoamelor f i #termenii factorilor intervin n mod simetric.

Alementul unitate din "I este irul 0', H, H, :). &nmulirea pe"I este distributiv fa de adunare. &ntradevr, cu notaiile de

mai sus, rezult

(um operaia de nmulire pe " este distributiv fa deadunare rezult f0# ) G f# f. Avident are loc i relaia 0f #) G f # i afirmaia sa demonstrat.

Propoziia 2.2.1.1. 'ac # este un inel unitar comutativ,atunci mulimea #4 ( a irurilor de elemente din #, care au numai


31/55

2

un numr finit de termeni nenuli) mpreun cu operaiile deadunare i nmulire definite mai sus este un inel comutativ siunitar.

Alementele acestui inel se numesc polinoame peste Asaupolinoame cucoeficieni din A.

Dac este un polinom nenul 0adic nu toi

termenii ai sunt nuli ) i dac neste cel mai mare numr naturalcu proprietatea c , atunci n se numete gradul

polinomului f . Pentru polinomul nul nu se definete #radul.(onvenim s considerm #radul su ca fiind n . Dac #radul 0f)

G n , atunci se numesc coeficienii polinomului f.

Fie aplicaia u ""I definit prin . "plicaia

u este in7ectiv , deoarece, dac , atunci

. De asemenea,

, deoarece, dup

definiie, este evident c i

.

Deci este omomorfism in7ectiv. "cest fapt permite sa se

identifice elementul cu ima#inea sa prin , adic polinomul

0a, H, :) din "I. "stfel, " se poate considera ca un subinel al lui"I. Botm prin polinomul 0H, ', H, :), care se numetenedeterminata. 1binem


32/55

2

Pentru orice a ", avem . Fie acum un

polinom de #radul n ,

Daca , spunem c polinomul este unitar. /nelul "I

obinut se numete inelul polinoamelor in nedeterminata Xcu coeficieni in inelul A0sau peste inelul A) i se noteaz cu

. 1bservm c f are #radul H sau dac i numai dac f

aparine inelului ". Din definiia sumei i produsului a doupolinoame , rezult c #rad 3

.

Dac " este un domeniu de inte#ritate , se poate nlocui adoua ine#alitate printro e#alitate.

Propoziia 2.2.1.2. 'ac # este un domeniu de

inte$ritate,atunci inelul de polinoame #5x6 este domeniu deinte$ritate.

Demonstraie#Fie f, #"JxK 3

"tunci


33/55

2

" fiind domeniu de inte#ritate, rezult din c

, adic . &n particular , pentru un corp comutativ L,

inelul polinoamelor de o nedeterminat cu coeficieni in L este

un inel inte#ru.

Propoziia 2.2.1.3. &ie # un domeniu de inte$ritate i #576inelul polinoamelor n nedeterminata 7 cu coeficieni n #. #tuncielementele inversabile ale inelului #576 coincid cu elementeleinversabile ale inelului #. 'eci, cu notaiile cunoscute, avem:u(#576)/u(#).

Demonstraie#Fie a " , inversabil n " , adic exist b"a.i. a b G '. Avident, aceast relaie are loc i n "JK , deoarece

a i b sunt polinoame de #radul zero, deci a este inversabil n "JK.

/nvers, fie f un polinom din "JK inversabil. "tunci exist unpolinom # "JK a.i. f# G ' i , deci, #rad0f) #rad0#) G #rad0')G H, adic f, # ". Deci f " i f este inversabil in ". &n

particular, pentru un corp comutativ L, polinoamele inversabiledin LJK sunt polinoame de #radul H i numai acesta. Dac " nueste domeniu de inte#ritate, putem avea u0"JK)u0"). &ntradevr, polinomul neconstant '2 MJK este inversabil,

deoarece 0'2x)0'2x) G '.

"eorema 2.2.1.4. (8eorema 9ilbert a ba"ei) 'ac este un

inel noetherian comutativ, atunci este noetherian.

Demonstraie. Fie un ideal al inelului . Botm cu

mulimea coeficienilor termenilor dominani ai polinoamelor din .


34/55

2

*e verific uor apoi c este un ideal al inelului . (um este

noeterian, este finit #enerat i fie un sistem de

#eneratori al idealului . Pentru fiecare , ale#em un

polinom astfel ncat

i fie idealul #enerat de in inelul . Fie

i submodulul lui #enerat de

. "vem

&ntradevr cum i , rezult . Pentru

a dovedi incluziunea cantrar, fie . (um ,

avem

Dac , atunci . Dac , atunci

i #radul lui este strict mai mic ca . Dac #radul lui este ,

aplicm lui acelai tratament ca lui . Dup un numr finit de

pai #sim


35/55

2

deci avem i incluziunea .

(um este submodul al lui i este modul

noeterian, rezult c este finit #enerat peste , s zicem depolinoamele . "vand n vedere relaia , rezult acum

c polinoamele #enereaz n inelul idealul

.

2.2. Inelul polinoamelor de mai multe

nedeterminate.

Fie " un inel. "tunci inelul polinoamelor n nedeterminatele

cu coeficieni n inelul " se definete inductiv astfel

dac este inelul polinoamelor n nedeterminata , cu

coeficieni n inelul , este inelul polinoamelor n

nedeterminata cu coeficieni n inelul i, n #eneral

este inelul polinoamelor n nedeterminata cu

coeficieni n inelul . Pe lam construit de7a i

n mod recurent

........


36/55

2

Dac f este un polinom n inelul , atunci el

este polinom n nedeterminata cu coeficieni n ineluli, deci,

unde pentru orice i G H, ', :, n. Din aproape

n aproape , f se scrie ca o suma finit de forma

n care se numesc coeficienii polinomului f,

unde sunt numere nenaturale . -n polinom din "J',

2, : nK de forma a'2$: n, a H , se numete monom .

Definiia 2.2.2.1. e numete $radul monomului

, a n raport cu ansamblul nedeterminatelor

7,?, 7n, suma i


37/55

2

Propoziia 2.2.2.3. &ie # un inel i f, $ .

#tunci:() dac, n plus, # este domeniu de inte$ritate , atunci la punctul(=) vom avea e$alitate; mai mult, U( ) / U(#).

Propoziia 2.2.2.4. 'ac este inel noetherian, atunciinelul de polinoame ntrun numr finit de nedeterminate

este noetherian.

Cap.3. 1e$co'punerea pri'ar/ -n inelele noetheriene

!. Nilradicalul unui inel. Ideale pri'are

&n acest para#rap se noteaz cu un inel unitar i

comutativ cu . -n element se numete nilpotent dac

exist astfel nc!t . Avident, elementul zero al lui

este nilpotent, elementul unitate al lui nu este nilpotent. &n

elementul zero este sin#urul element nilpotent. Alementele

nilpotente ale lui sunt . &n inelul matricea


38/55

2

este nilpotent pentru c .

Dac este un ideal n inelul , atunci definim

este un ideal al lui , numit radicalul idealului . Dac ,

atunci observm c radicalul

coincide cu mulimea elementelor nilpotente ale inelului . "cest

din urm inel se numete nilradicalul lui .

&n multe manuale, nilradicalul se mai noteaz

pentru a exprima n mod direct le#tura cu inelul. "vem

.

&n cele ce urmeaz vom descrie nilradicalul unui inel cua7utorul idealelor prime.

$ema 1.1. &ie o parte multiplicativ a inelului astfel

nct . Axist un ideal prim al lui astfel nct .

Demonstraie.

Fie mulimea tuturor idealelor ale lui astfel nc!t

. Avident, idealul zero este n , aadar . *e verific

uor c , ordonat cu incluziunea, este mulimea inductiv.


39/55

2

Folosind lema lui Morn, fie un element maximal n . Aste

suficient s artm c este ideal prim al lui . Fie i

. %rebuie artat c . Dac , atunci

(um idealele i includ stric pe , exist

astfel nc!t i, folosind 0'), rezult

, contradicie. ?m!ne adevrat c este ideal prim.

Propoziia 1.2. Bilradicalul unui inel coincide cuintersecia idealelor prime ale lui .

Demonstraie.

Fie intersecia tuturor idealelor prime ale inelului . Dac

, fie astfel nc!t . "adar , deci

oricare ar fi idealul prim al lui , de unde .

Fie acum i . (um un este

nilpotent, rezult c . (um este parte multiplicativ a lui ,

exist un ideal prim astfel astfel nc!t . "adar, ,

deci .

?ezultatul de mai sus poate fi mbuntit dup cumumeaz


40/55

2

$ema 1.3. 3rice ideal prim al lui conine un ideal prim

minimal (element minimal n mulimea tuturor idealelor prime ale

lui , ordonat cu inclu"iunea).

Demonstraie.

Fie un ideal al lui . Botm cu mulimea tuturor idealelor

prime ale lui incluse n . Dac este o familie total

ordonat 0prin incluziune) de ideale , se verific uor c

este un ideal prim al lui din . ?ezult c este mulimea

inductiv fa de relaia , deci n exist elemente minimale

0=ema lui Morn) care, evident , sunt ideale prime minimale ale lui

coninute n .

Corolar 1.4.Bilradicalul unui inel coincide cu intersecia

tuturor idealelor prime minimale ale lui .

-n ideal al inelului se numete nilpotent dac exist

astfel nc!t . (um oricare ar fi , rezult c

elementele unui ideal nilpotent sunt nilpotente. Pot exista idealecu toate elementele nilpotente 0nilideale) fr ca s fie idealenilpotente. "cest fenomen un are loc n inele noeteriene.

Propoziia 1.5.'ac este inel noetherian, iar este un

ideal inclus n , atunci este nilpotent. !n particular,

nilradicalul unui inel noetherian este nilpotent.


41/55

2

Demonstraie.

Fie un sistem de #eneratori pentru . Fie

astfel nc!t i . Dac , atunci, cu . ?ezult c pentru avem

unde cel puin un Nndice , aadar, , deci .

Dac este un ideal al inelului i este morfism

canonic, este clar c

(um corespondena dintre idealele prime ale

lui i idealele prime ale lui care includ pe este bi7ectiv i

pstreaz interseciile i natura incluziunilor, rezult cnilradicalul lui este intersecia tuturor idealelor prime ale lui

care cuprind pe . De asemenea, coincide cu intersecia

tuturor idealelor minimale n mulimea tuturor idealelor prime ale

lui care cuprind pe .

Propoziia 1.6.'ac Ci sunt ideale ale inelului , atunci

Propoziia 1.7.&ie un inel noetherian, Ci dou ideale

ale lui astfel nct . #tunci exist astfel nct


42/55

2

( este nilpotent modulo ). !n particular, este nilpotent

modulo .

-n inel se numete redus dac un are elemente nilpotente. "stfel, inelul este redus. Avident, este redus dac i

numai dac .

Propoziia 1.8. %nelul factor este redus, altfel spus

.

Demonstraie.

Fie un element nilpotent al inelului . "adar

exist astfel nc!t , de unde . Deci exist

astfel nc!t , de unde , aadar .

Propoziia 1..'ac este o parte multiplicativ a lui ,

atunci

!n particular, dac este redus, atunci este redus.

Demonstraie.

Dac , atunci exist astfel nc!t. "adar, exist astfel nc!t . Deci , de unde

i atunci


43/55

2

?eciproc, dac este n , atunci , deci

pentru un ntre# , de unde

-n modul se numete coprimar dac

&n ali termini, modul este coprimar dac pentru

orice omotetia este sau in7ectiv sau aproape

nilpotent. /nelul se numete coprimar dac conceput canonic

ca modul este coprimar. "ceasta revine la faptul c orice divisor

al lui zero din este nilpotent. /nelul nu este coprimar pentru

c este divisor al lui zero n 0avem ), dar nu este

nilpotent cci oricare ar fi .


44/55

2

". 1e$co'punerea pri'ar/ a unui ideal

0 inel inte#ru) este prim dac din sau

sau . se numete prim dac

sau .

Definiia 2.1. se numeCte primar dac

sau astfel nct .

%&ser'aia 2.2. () Ci primar n fD< este primar n .

Propoziia 2.3.'ac este primar este prim Ci este

cel mai mic ideal prim ce conine pe .

Demonstraie.

astfei nc!t

sau astfel nc!t sau . Dac

este prim i prim, .

Dac e primar i , atunci spunem c este

primar.


45/55

2

Propoziie 2.4. este ideal maximal este primar. !n

particular, maximal toate idealele sunt primare.

Demonstraie.

Fie . "tunci nseamn c

este prim, . Dac este maximal , adic

e unicul ideal prim ce conine pe .

9orfismul canonic asi#ur o coresponden bi7ectiv

ntre idealele ale lui care conin pe i idealele prime ale lui

e unicul ideal prim n . &n consecin, n

.

$em( 2.5.&ie , sunt primare este

primar.

Demonstraie. . "poi,

nseamn . &n caz

contrar, astfel nc!t . Dar primar astfel nc!t

. Deci

, deci

astfel nc!t .

1 descompunere primar a idealului nseamn o scriere

a lui ca o intersecie


46/55

2

&n acest caz, spunem c este decompozabil.

"cum, dat o descompunere primar , cu

i) &n intersecia #rupm toate idealele al cror radical

e , toate idealele al cror radical e , etc. 1binem

descompunerea primar

ii) "cum dac , atunci i poate fi

eliminat din descompunerea idealului . Deci

e o descompunere primar a lui . Dup un numr finit de astfel

de pai, obinem

unde sunt distinci i .

*e obine o descompunere primar minimal a lui .

$em( 2.6.&ie un ideal primar Ci . #tunci:

0i);

0ii) este primar;

0iii) .

Demonstraie.0i) este demonstrat cu a7utorul definiiei.

0ii) . "cum


47/55

2

0iii) . Dac cumva , atunci

, deci . &n consecin, .

"eorema 2.7. (de unicitate) &ie un ideal decompo"abil Ci

fie o descompunere primar minimal cu .

#tunci, sunt exact idealele prime care se afl n mulimea de

ideale prime , cnd parcur$e mulimea . #ltfel spus,

!n consecin, mulimea idealelor prime este aceeaCi

pentru oricare descompunere primar minimal a lui .

%dealele se numesc ideale prime asociate lui . Alementele

minimale din mulimea se numesc ideale prime

minimale asociate lui .

ulimea Ci se numeCte aosciatorul lui .Demonstraie.

Fie minimal , deci

i . Dar i .

-rmeaz c

Fie . "tunci


48/55

2

Dac e prim, atunci din astfel nc!t

.

Propoziia 2.8.&ie ideal decompo"abil. #tunci, orice ideal

prim conine un ideal (prim) minimal asociat lui . !n

consecin, idealele minimale asociate lui sunt exact elementele

minimale n mulimea idealelor prime ce conin pe .

Demonstraie.Din

"tunci astfel nc!t .

%&ser'aie 2.. 'ac ideal care nu

sunt elemente minimale se numesc ideale isolate asociate lui .

$ema 2.1!. 'ac mulimea divi"orilor lui ai lui ,

atunci

Demonstraie.


49/55

2

astfel nc!t astfel nc!t

astfel nc!t

astfel nc!t

astfel nc!t .

Dac este o submulime a lui , definim

Aste clar c . "re loc relaia

$ema 2.11.'ac este mulimea divi"orilor ai lui , atunci

Demonstraie.

i) i astfel nc!t . Fie

. "tunci astfel nc!t , deci

astfel nc!t . Pentru c . Deci

.

Propoziia 2.12. i) 'ac este ideal decompo"abil n ,

atunci


50/55

2

ii) ai $eneral, dac este decompo"abil, atunci

Demonstraie.

Fie o descompunere primar minimal a lui cu

.

"tunci

"tunci

ii) Dac cu , atunci n avem

(onform lui i), avem


51/55

2

mulimea divizorilor lui n .

&n avem

(orolar 2.'$. Dac H este ideal decompozabil, atunci

i

3. 1e$co'punerea pri'ar/ -n inele noetheriene

&om arta c "ntr-un inel noetherian idealele sunt decompoza#ile.

Definiia 3.1. este ideal reductibil dac astfel nct

!n consecin, este reductibil .

Lema 3.2. !ntrun inel noetherian , orice ideal este o

intersecie finit de ideale ireductibile.Demonstraie.


52/55

2

$ac e'ist ideale care nu sunt intersecii finite de ideale ireducti#ile, fie

familia acestor ideale. este inel noetherian are element ma'imal pe . este

reducti#il, deci cu i . este ideal ma'imal sunt

intersecii finite de ideale ireducti#ile. (ai mult, este o intersecie finit de

ideale ireducti#ile, contradicie cci .

Lema 3.3. !ntrun inel noetherian, orice ideal ireductibil esteideal primar.

Demonstraie.

)ie un ideal astfel "nc*t . n inelulnoetherian , enunul lemei "nseamn ideal ireducti#il ideal primar.

)ie i . Considerm irul cresctor

astfel "nc*t . Afirmm c . ntr-

adevr

Acum ideal ireducti#il i , deci .

Teorema 3.4. !ntrun inel noetherian orice ideal are odescompunere primar.

Propoziia 3.5.!ntrun inel noetherian , orice ideal conine o

putere a radicalului su, adic astfel nct .

Demonstraie.


53/55

2

. Presupunem

Presupunem c . $ac , atunci

$ac , atunci , de unde i

.

$eci, dac , atunci .

Corolar 3.6.!ntrun inel noetherian, nilradicalul e nilpotent.

Demonstraie.

astfel "nc*t astfel "nc*t

Corolar 3.7.&ie un inel noetherian, ideal maximal Ci un

ideal oarecare. Urmtoarele afirmaii sunt echivalente:i) este ideal primar;

ii) ;

iii) astfel nct

Demonstraie.

i+ ii+. este clar.

ii+ i+. )olosim propoziia de la descompunerea primar, idealma'imal este ideal primar. n particular, idealele sunt -primare.

ii+ iii+. este ideal astfel "nc*t , deci .


54/55

2

iii+ ii+. ,

respectiv .

Lema 3.8. i) 'ac e un morfism de inele, atunci

este ideal primar n ideal primar n .

ii)'ac sunt dou ideale n , atunci este ideal primar

n ideal primar n .

iii)'ac sunt trei ideale n , atunci

#Cadar, dac sunt ideale n , atunci

este descompunerea primar a lui n .

Propoziia 3.8. &ie un ideal ntrun inel noetherian .

#tunci idealele prime asociate cu sunt idealele prime din familia

de ideale .

Demonstraie.

!rec*nd de la la este suficient s artm c idealele prime asociate cu

sunt idealele prime din familia de ideale .


55/55

ilio5ra+ie

'. %. "lbu, *. ?aianu, ecii de al$ebr comutativ, -niv.Oucureti, Oucureti, 'Q6.

2. "l. Orezuleanu, B. ?adu, ecii de al$ebr %%%, #l$ebra local,-niv. Oucureti, Oucureti, 'Q2.$. B. ?adu, %nele locale, vol. %, Ad. "cademiei, Oucureti, ';Q.. !ofan, , &olf, A.C. Algebra, Inele, Module, Teorie Galois, d. (atri' /om,

0ucureti, 1223

4. 5stsescu, C., .a.,Bazele algebrei, &ol.., d.Acad., 0ucureti, 3678

8. on, $.., /adu, 5.,Algebra, $P, 0ucureti, 3673963

Inele noetheriene

Documents

Transcript of Inele noetheriene