1

Analiza static

(Reluare teorie de la prezentarea MEF)

Sistemul de ecuaii difereniale care se rezolv n cazul analizei statice este:

}]{[}{ uKF (1)

unde {F} este vectorul forelor exterioare care acioneaz n toate nodurile structurii i pe toate

direciile, [K] - matricea de rigiditate a ntregii structuri, iar {u} este vectorul deplasrilor n toate

nodurile structurii. Matricea [K] se numete matrice de rigiditate global i se formeaz prin

asamblarea matricelor de rigiditate elementare - se adun elementele care se refer la acelai nod i

la acelai grad de libertate pe nod.

Matricea de rigiditate [K] este entitatea fundamental a calculelor prin elemente finite. Ea

este o matrice: simetric - se poate lucra numai cu jumtatea superioar, band - elementele nenule

se pot grupa n apropierea diagonalei principale, rar - conine un numr relativ mic de elemente

nenule, singular.

Metoda de rezolvare a sistemului de ecuaii (1) este determinant pentru performanele

programului de analiz structural prin elemente finite. Din sistemul de ecuaii (1) se calculeaz

deplasrile nodale {u}, pe baza crora se stabilesc deformaiile specifice {} (2) i tensiunile {}

(3). La fel ca i n cazul deplasrilor, ultimele dou sisteme de ecuaii se obin prin generalizarea

sistemului de ecuaii care se refer la un element finit

}{][}{ uB (2)

}{][}{ D (3)

Metoda frontului de und

n ANSYS rezolvarea sistemului de ecuaii (1) se face prin Metoda frontului de und [2].

Prin front de und se nelege numrul de ecuaii care sunt active la un moment dat

j

L

j

jk ukF

1

(4)

unde k - este numrul ecuaiei, j - coloana, iar L - numrul total de ecuaii.

Timpul de rezolvare este proporional cu ptratul valorii medii a frontului de und. Fiecare

nod care se rezolv este eliminat din matrice prin metoda de eliminare Gauss. Matricea de rigiditate

se expandeaz sau se contract dup prima, respectiv ultima apariie a unui nod pe un element.

2

Starea spaial de tensiuni

Pentru starea plan de tensiuni, relaia dintre tensiuni i deformaii este

}{][}{ D (1)

unde matricea [D] se numete matricea de elasticitate i depinde de caracteristicile de material.

Pentru starea plan aceasta are forma

2

100

01

01

1][

2

ED (2)

E este modulul de elasticitate longitudinal (modulul lui Young), iar - coeficientul lui

Poisson.

Generaliznd conceptele din Teoria elasticitii pentru starea plan de tensiuni, putem defini

starea spaial de tensiuni (fig. 1) [2]. Termenii din relaia (1) semnific: }{ - vectorul tensiunilor =

x y z xy yz xz T, [D] - matricea de elasticitate,{ } - vectorul deformaiilor= x y z

xy yz xz T.

Matricea 1][ D este pozitiv, simetric i se exprim astfel

xz

yz

xy

zyzyxzx

zyzyxyx

zxzyxyx

G

G

G

EEE

EEE

EEE

D

/10000

0/10000

00/1000

000/1//

000//1/

000///1

][ 1

(3)

Elementele din matricei (3) sunt: Ex - modulul lui Young n direcia x, xy - coeficientul lui

Poisson care leag x de raportul yy E/ , iar xyG - modulul de elasticitate transversal n planul x-y.

Pentru materialele izotrope (zyx EEE i xzyzxy ). Cu aceste consideraii se pot scrie

explicit expresiile deformaiilor elastice

z

zxz

y

yxy

x

xx

EEE

(4)

z

zyz

y

xxy

y

y

yEEE

(5)

z

yyz

z

xxz

z

zz

EEE

(6)

xy

xy

xyG

(7)

yz

yz

yzG

(8)

xz

xzxz

G

(9)

unde x - reprezint deformaia pe direcia x, xy - deformaia de rsucire n planul x-y, x -

tensiunea pe direcia x, iar xy - tensiunea de rsucire n planul x-y.

Expresiile explicite ale tensiunilor de ncovoiere i rsucire, precum i formulele de calcul

ale modulelor de elasticitate transversale sunt:

z

z

y

xyyzxzx

y

z

y

yzxzxyx

x

z

xyz

xx

E

E

h

E

E

E

h

E

E

E

h

E

2)(1 (10)

z

y

xxxyxzyz

y

y

z

xxz

y

x

z

y

yzxzxyx

yE

E

h

E

E

E

h

E

E

E

h

E

2)(1 (11)

z

z

y

xyz

y

y

xxyzxzxyz

xx

z

y

xyzyzxzx

zE

E

h

E

E

E

h

E

E

E

h

E

2)(1 (12)

xyxyxy G (13)

yzyzyz G (14)

xzxzzxz G (15)

unde cu h s-a notat expresia: z

xxzyzxy

z

xxz

z

y

yz

y

xxy

E

E

E

E

E

E

E

E 2)()()(1 222 . Modulele de

elasticitate transversale se exprim astfel

xxyyx

yx

xyEEE

EEG

2 , (16)

xyyz GG , (17)

xyxz GG . (18)

Deformaii rezultante

Deformaiile principale ( 3,21, ) se calculeaz pe baza componentelor deformaiilor, cu

ajutorul ecuaiei:

4

0

2

1

2

12

1

2

12

1

zyzzx

yzyxy

xzxyx

(19)

Intensitatea deformaiei I este cea mai mare valoare absolut a diferenelor: 21 , 32

, 13 . Adic:

),,( 133221 MAXI (20)

Deformaia echivalent von Mises se calculeaz cu relaia:

213232221 )()()(2

1 e (21)

Tensiunile rezultante

Tensiunile principale ( 321 ,, ) se calculeaz pe baza componentelor tensiunilor, cu

ajutorul ecuaiei [2]:

0

zyzxz

yzyxy

xzxyx

(22)

Intensitatea tensiunii I reprezint valoarea absolut maxim a diferenelor 21 ,

32 , 13 , adic:

133221 ,, MAXI (23)

Tensiunea echivalent von Mises e se determin pe baza relaiei:

213232221 )()()(2

1 e (24)

Tensiunea echivalent i deformaia von Mises se gsesc n relaia:

ee G 2 (25)

unde G reprezint modulul de elasticitate transversal.

Tensiuni principale

Un volum de material infinitezimal ntr-un punct

material sau n interiorul solidului poate fi rotit astfel nct s

rmn numai tensiunile normale, iar cele tangeniale s fie 0.

Tensiunile normale n acest caz se numesc tensiuni principale.

Ele se gsesc n relaia:

Fig. 2. Tensiuni principale [2]

321 (26)

Criterii de rezisten

1. Criteriul von Mises. Este mai general

- ofer estimri bune la oboseal, n cazul n care ncrcarea este traciune i traciune

combinat cu forfecare

- este mai uor de pus ntr-o form algoritmic datorit continuitii reprezentrii

- ofer rezultate apropiate de valorile msurate experimental

Tensiunea echivalent

(27

Tensiunea de curgere c - Yield stress

(28)

factorul de siguran: / (29)

2. Criteriul Tresca. Este mai conservativ

Tensiunea de forfecare maxim

(30)

(31)

factorul de siguran: / (32)

Vizualizarea relaiei dintre tensiunile normale i cele tangeniale se face pe baza

cercului lui Mohr.

Fig. A1.1 Fig. A1.2 Proiecia criteriului von Mises n planul 1, 2

Diferene mai mari ntre factorii de siguran calculai pe baza celor dou criterii apar atunci

cnd solicitarea este de forfecare pur.

Unele calcule standard, cum sunt ASME, British Standards conin indicaii precise despre

folosirea unuia sau altuia dintre criterii. Un exemplu n acest sens este proiectarea vaselor sub

presiune.