HIDRAULICA MIŞCĂRILOR PERMANENTE -...
309
Octavian LUCA HIDRAULICA MI Ş C Ă RILOR PERMANENTE Serie coordonată de : prof.dr.ing. Radu DROBOT Universitatea Tehnică de Construcţii Bucureşti dr. Jean Pierre CARBONNEL Université "Pierre et Marie Curie", Paris 6 Editura *H*G*A*, Bucureşti 2000
Transcript of HIDRAULICA MIŞCĂRILOR PERMANENTE -...
Octavian LUCA
HIDRAULICA MIŞCĂRILOR PERMANENTE
Serie coordonată de :
prof.dr.ing. Radu DROBOT Universitatea Tehnică de Construcţii Bucureşti dr. Jean Pierre CARBONNEL Université "Pierre et Marie Curie", Paris 6
Editura *H*G*A*, Bucureşti 2000
Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale LUCA, OCTAVIAN Hidraulica mişcărilor permanente / Octavian Luca. – Bucureşti : Editura *H*G*A*, 2000 p. ; cm. – (Ingineria resurselor de apă) Bibliogr. ISBN 973-98954-6-8 532
Copyright © 2000. Editura *H*G*A*, Bucureşti
PREFAŢĂ
Existå numeroase mårturi istorice care atestå cå oamenii, încå din vechi timpuri, au fost implica¡i în activitå¡i legate de folosirea apei ¿i în acela¿i timp au fost angaja¡i într-o permanentå luptå împotriva efectelor negative ale acesteia.
Cuno¿tiin¡ele de hidraulicå ale omenirii sunt dintre cele mai vechi. În sus¡inerea acestei afirma¡ii trebuie men¡ionate excava¡iile de la ruinele Nippur din Mesopotamia care au scos la ivealå canale de iriga¡ii cu boltå care dateazå din anul 5200 î.e.n.
Aceastå lucrare – ”Hidraulica mi¿cårilor permanente” se referå la statica fluidelor ¿i la mi¿carea acestora în regim permanent. Lucrarea pune la îndemâna celor interesa¡i cuno¿tiin¡e de bazå în domeniile: hidraulicå generalå, calculul conductelor ¿i al re¡elelor de conducte, hidraulica construc¡iilor, alimentårilor cu apå, canalizåri, mi¿carea apei subterane etc.
No¡iunile prezentate în lucrare sunt strict necesare pentru în¡elegerea fenomenelor hidraulice. Ele sunt tratate într-o asemenea manierå încât så fie accesibilile tuturor celor care au o pregåtire matematicå medie.
Pentru o în¡elegere mai u¿oarå a cuno¿tii¡elor teoretice, fiecare capitol al lucrårii este înso¡it de exemplificåri numerice.
Lucrarea se adreseazå studen¡ilor de la facultå¡ile cu profil hidrotehnic, doctoranzilor, precum ¿i celor implica¡i în proiectarea, executarea ¿i exploatarea lucrårilor hidrotehnice.
Men¡ionez cå aceastå carte a putut fi editatå cu sprijinul financiar al Contractului de Grant nr.25444/1999 coordonat de profesorul Radu Drobot din Universitatea Tehnicå de Construc¡ii Bucure¿ti, cåruia îi mul¡umesc pentru sprijinul ¿i îndemnul de a publica acest volum.
În final mul¡umesc domnului Gheorghe Oltean pentru tehnoredactarea acestei lucråri.
Autorul
3
INTRODUCERE
Hidraulica este ¿tiin¡a care studiazå repausul ¿i mi¿carea corpurilor fluide, precum ¿i interac¡iunea dintre acestea ¿i alte corpuri cu care vin în contact, în scopul rezolvårii problemelor practice inginere¿ti.
Acela¿i obiect de studiu îl are ¿i Mecanica fluidelor. Deosebirea dintre cele douå discipline constå în faptul cå mecanica fluidelor are un pronun¡at caracter teoretic, în timp ce hidraulica, folosind rezultatele mecanicii fluidelor, se ocupå de problemele practice.
Cuvântul hidraulicå derivå din cuvintele grece¿ti hüdor = apå ¿i aulos = tub care se refereau la început la orga de apå (instrument muzical cu tuburi de suflat, în care mi¿carea aerului era reglatå cu ajutorul apei).
În prezent, sfera hidraulicii s-a extins ¿i studiazå nu numai lichidele, ci ¿i gazele, când temperatura ¿i presiunea acestora nu variazå prea mult.
Metode de studiu. Hidraulica folose¿te pentru studiu metoda teoreticå ¿i metoda experimentalå.
• Metoda teoreticå presupune folosirea legilor fizicii ¿i a aparatului matematic în scopul stabilirii ecua¡iilor care guverneazå fenomenul hidraulic, solu¡ionarea lor ¡inând seama de condi¡iile impuse. De cele mai multe ori, datoritå complexitå¡ii, rezolvarea exactå a problemelor este dificilå. Necesitå¡ile practice au impus adoptarea de scheme de calcul simplificate ¿i introducerea no¡iunii de model de fluid.
Schema de calcul simplificatå constå în ignorarea unor aspecte secundare ale fenomenului natural, creindu-se astfel posibilitatea exprimårii matematice într-o formå mai accesibilå metodelor de calcul.
Modelul de fluid folosit în hidraulicå face abstrac¡ie de structura discontinuå a materiei (structura molecularå) ¿i admite cå fluidul este un mediu format din particule care umplu complet ¿i compact domeniul. Forma particulei este oarecare. Dimensiunea minimå a unei particule trebuie astfel aleaså încât så cuprindå mai multe molecule, pentru a se elimina influen¡a mi¿cårii de agita¡ie a moleculelor. Dimensiunea maximå se ia astfel încât så permitå folosirea calculului diferen¡ial.
Dacå la un fluid real se renun¡å la unele proprietå¡i fizice considerate ca fiind nesemnificative în analiza fenomenului hidraulic studiat, se ob¡in modele de fluid simplificate:
- modelul fluidului perfect (lipsit de viscozitate), numit modelul Euler; - modelul fluidului incompresibil (densitate constantå indiferent de presiune),
numit modelul Pascal. • Metoda experimentalå constå în observa¡ii ¿i måsuråtori efectuate în naturå sau în
laborator, pe baza cårora se studiazå legi generale ale fenomenelor, se verificå ¿i se aduc corec¡ii la legile stabilite pe cale teoreticå.
De asemenea, metoda experimentalå permite rezolvarea unor probleme concrete, complicate, inabordabile prin metoda teoreticå. Aceasta presupune reproducerea în laborator, la scarå reduså, a fenomenelor din naturå. Dupå studierea fenomenului pe modelul fizic, rezultatele sunt raportate la fenomenul concret din naturå. Studierea fenomenelor hidraulice în aceastå manierå poartå numele de modelare hidraulicå.
4
CUPRINS
INTRODUCERE ………………………..………………………………………. 4
1. PROPRIETźI FIZICE ALE FLUIDELOR …………………………… 7
1.1. Fluiditatea ………………………..…………………………………… 7
1.2. Greutatea specificå ………………………..…………………………. 7
1.3. Densitatea ………………………..…………………………………… 7
1.4. Compresibilitatea ………………………..…………………………… 8
1.5. Adeziunea ………………………..………………………..………… 10
1.6. Viscozitatea ………………………..………………………………… 11
1.7. Absorb¡ia. Degajarea. Cavita¡ia ………………………..……………… 13
1.8. Capilaritatea ………………………..………………………………… 13 Aplica¡ii ………………………..………………………………………………… 15
2. HIDROSTATICA ………………………..………………………………… 19
2.1. For¡e care ac¡ioneazå într-un fluid …………………………………… 19
2.2. Starea de tensiune ………………………..………………………….. 20
2.3. Legea hidrostaticii ………………………..………………………….. 23
2.4. For¡e de presiune ………………………..…………………………… 32
2.5. Plutirea corpurilor ………………………..………………………….. 39
2.6. Repausul relativ al lichidelor ………………………..………………… 42 Aplica¡ii ………………………..………………………………………………… 47
3. MIªCAREA FLUIDELOR. RELAºII GENERALE ……………………. 59
3.1. Elementele mi¿cårii ……………..…………………..……………….. 59
3.2. Clasificarea mi¿cårilor ……………..…………………..……………. 61
3.3. Stratul limitå ……………..…………………..…………………..…… 66
3.4. Ecua¡ia de continuitate ……………..…………………..……………. 69
3.5. Ecua¡ia energiilor (rela¡ia lui Bernoulli) ……………..……………… 70
3.6. Ecua¡ia impulsului (teorema impulsului) ……………..……………… 80 Aplica¡ii ………………………..………………………………………………… 85
4. PIERDERI DE SARCINÅ ……………..…………………..……………… 89
4.1. Pierderi de sarcinå liniare ……………..…………………..………… 89
4.2. Pierderi de sarcinå locale ……………..…………………..…………. 98 Aplica¡ii ………………………..………………………………………………… 102
5. CALCULUL CONDUCTELOR SUB PRESIUNE
ÎN MIªCARE PERMANENTÅ ……………..……………………………
109
5.1. Aspecte generale ……………..…………………..………………….. 109
5.2. Modelul curentului unidimensional de fluid ……………..………….. 109
5.3. Elemente care caracterizeazå un sistem hidraulic sub presiune ……… 110
5.4. Rela¡ii de calcul ……………………………………………………… 111
5
5.5. Clasificarea sistemelor hidraulice sub presiune ……………………… 112
5.6. Calculul hidraulic al conductelor scurte ……………………………… 113
5.7. Calculul hidraulic al conductelor lungi ……………………………… 120
5.8. Calculul conductelor de pompare …………………………………… 128
5.9. Calculul re¡elelor de conducte ………………………………………… 132 Aplica¡ii ………………………..………………………………………………… 138
6. ORIFICII ªI AJUTAJE ……………………………………………………… 155
6.1. Orificii ………………………………………………………………… 155
6.2. Ajutaje ………………………………………………………………… 161
6.3. Golirea rezervoarelor ………………………………………………… 164
7. MIªCAREA PERMANENTÅ CU SUPRAFAºÅ LIBERÅ ……….…… 169
7.1. Considera¡ii generale. Clasificare …………………………………… 169
7.2. Mi¿carea uniformå a curen¡ilor cu suprafa¡å liberå …………………… 170 Aplica¡ii privind mi¿carea uniformå…………………………………………… 182
7.3. Mi¿carea neuniformå gradual variatå ………………………………… 192
7.4. Mi¿carea neuniformå rapid variatå. Saltul hidraulic …………….…… 205 Aplica¡ii la mi¿carea neuniformå ……………………..………………..……… 209
8. HIDRAULICA CONSTRUCºIILOR …………………………………… 219
8.1. Considera¡ii generale ………………………………………………… 219
8.2. Deversoare …………………………………………………………… 219
8.3. Racordarea biefurilor ………………………………………………… 236
8.4. Disipatori de energie ………………………………………………… 243 Aplica¡ii privind hidraulica construc¡iilor ………………………………………248
9. MIªCAREA APEI SUBTERANE ………………………………………… 257
9.1. Proprietå¡ile fazei solide …………………………………………….. 257
9.2. Forme de existen¡å ¿i de mi¿care a apei subterane …………………… 260
9.3. Legea lui Darcy ……………………………………………………… 260
9.4. Calculul hidraulic al captårilor de apå, în cazul mi¿cårii permanente . 263
9.5. Filtra¡ia prin masive de påmânt ……………………………………… 276
9.6. Mi¿carea apei subterane pe sub construc¡ii hidrotehnice ………………281 Aplica¡ii privind mi¿carea apei subterane ………………………..…………… 284
ANEXE …………………………………………………………………………… 295
BIBLIOGRAFIE ……………………………………………………………….. 315
6
1
PROPRIETĂŢI FIZICE ALE FLUIDELOR
1.1. FLUIDITATEA Lichidele ¿i gazele se caracterizeazå prin for¡e de legåturå foarte mici între
molecule, astfel cå deplasarea relativå a particulelor din care sunt formate se produce cu u¿urin¡å ¿i continuå pânå când ele iau forma vasului.
Proprietå¡ile lichidelor ¿i gazelor de a nu opune rezisten¡e apreciabile la deforma¡ie se nume¿te fluiditate.
La lichide, for¡ele de legåturå între molecule sunt for¡e de atrac¡ie, iar la gaze sunt for¡e de respingere. Datoritå acestui fapt, lichidele sunt foarte pu¡in compresibile ¿i au o suprafa¡å liberå, pe când gazele ocupå întregul volum disponibil.
1.2. GREUTATEA SPECIFICĂ
Greutatea specificå a unui corp omogen este raportul între greutatea ¿i volumul corpului:
VG
=γ . (1.1)
Dimensiunile greutå¡ii specifice în Sistemul Interna¡ional rezultå din rela¡ia de defini¡ie (1.1):
[ ] 223
2−−
−⋅==⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=γ TML
L
MLTVG
,
iar unitatea de måsurå este N/m3.
1.3. DENSITATEA Densitatea, numitå ¿i maså specificå, se define¿te pentru un corp omogen ca
fiind raportul între masa ¿i volumul acelui corp:
7
Vm
=ρ . (1.2)
Dimensiunile densitå¡ii se ob¡in din rela¡ia (1.2):
[ ] 3−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=ρ ML
Vm
,
iar unitatea de måsurå este . 3kg/m
Având în vedere cå greutatea unui corp este produsul dintre masa acelui corp ¿i accelera¡ia gravita¡ionalå:
gmG ⋅= ,
din rela¡iile (1.1) ¿i (1.2) rezultå legåtura dintre greutatea specificå ¿i densitate:
gρ=γ . (1.3)
Densitatea, respectiv greutatea specificå, variazå cu presiunea ¿i temperatura. Aceastå varia¡ie este reduså la lichide ¿i mai mare la gaze (tab. 1.1).
Tabelul 1.1
Densitatea apei şi a aerului în , la diferite temperaturi 3kg/m
Fluid oC
Apa Aer
-20 - 1,395 -10 - 1,342 0 999,9 1,293 4 1000,0 1,274 10 999,7 1,247 20 998,2 1,205 30 995,7 1,165 40 992,2 1,128 50 988,1 1,093 60 983,2 1,060 80 971,8 1,000 100 958,4 0,946
1.4. COMPRESIBILITATEA
8
Compresibilitatea este proprietatea fluidelor de a-¿i modifica volumul datoritå varia¡iei presiunii sau a temperaturii. Aceastå proprietate se manifestå diferit la lichide ¿i gaze, gazele fiind mult mai compresibile decât lichidele.
• Compresibilitatea lichidelor. Experien¡a a demonstrat cå modificarea de volum a lichidelor este propor¡ionalå cu varia¡ia presiunii ¿i este datå de rela¡ia :
pWW ∆β−=∆ 0 , (1.4)
în care:
0WWW −=∆ este varia¡ia volumului;
- volumul ini¡ial al lichidului, la presiunea ; 0W 0p
W - volumul la starea finalå, la presiunea p ;
0ppp −=∆ - varia¡ia presiunii;
β - coeficientul de compresibilitate.
Semnul minus din rela¡ia (1.4) aratå cå odatå cu cre¿terea presiunii, volumul se mic¿oreazå.
Coeficientul de compresibilitate β variazå de la un lichid la altul.
Inversul coeficientului de compresibilitate define¿te coeficientul de elasticitate:
β=ε
1. (1.5)
Rela¡ia (1.4) se poate scrie ¿i sub forma:
( )[ ]00 1 ppWW −β−⋅= , (1.6)
care exprimå comprimarea volumului de la valoarea ini¡ialå la valoarea
finalå , atunci când presiunea cre¿te de la la 0W
W 0p p .
Odatå cu varia¡ia volumului, variazå ¿i densitatea lichidului, astfel cå:
( )[ ]00 1 pp −β+⋅ρ=ρ . (1.7)
La lichide, coeficientul de compresibilitate β are valori foarte mici
(tab. 1.2.). De aceea, majoritatea fenomenelor hidraulice pot fi studiate considerând cå lichidele sunt incompresibile. Totu¿i, existå fenomene care nu pot fi explicate decât prin considerarea compresibilitå¡ii lichidului. Un astfel de
9
fenomen îl constituie mi¿carea nepermanentå în conducte sub presiune care este cunoscut sub denumirea de lovitura de berbec.
Tabelul 1.2
Valorile coeficienţilor β şi ε pentru apă la diferite temperaturi
Temperatura t [oC] β [m2/N] ε [N/m2]
0 5,12 x 10-10
1,95 x 109
10 4,88 x 10-10
2,05 x 109
20 4,68 x 10-10
2,14 x 109
30 4,63 x 10-10
2,16 x 109
0 4,61 x 10-10
2,17 x 109
50 4,59 x 10-10
2,18 x 109
60 4,57 x 10-10
2,19 x 109
• Compresibilitatea gazelor. La gaze, volumul variazå în func¡ie de
presiune ¿i temperaturå. La gazele perfecte rela¡ia dintre volum, presiune ¿i temperaturå este datå de legea lui Clapeyron:
RTvp =⋅ , (1.8)
în care:
gG
Wv
ρ==
1 este volumul specific:
p - presiunea gazului;
R - constanta gazului (pentru aer, = 29,27 m/grad); R
C273 0tT += - temperatura absolutå în grade Kelvin.
Pentru gazele reale rela¡ia (1.8) se corecteazå sub forma:
TRZvp ⋅⋅=⋅ , (1.9)
în care Z este coeficientul de abatere de la legea gazelor perfecte; el depinde de natura gazului, de temperaturå ¿i de presiune.
Când varia¡iile de presiune ¿i temperaturå sunt mici (cazul instala¡iilor interioare de gaze, al instala¡iilor de ventilare etc.) se poate aplica modelul de fluid incompresibil ¿i pentru gaze.
10
1.5. ADEZIUNEA
La contactul dintre un fluid ¿i un corp solid existå for¡e de atrac¡ie de naturå molecularå, numite for¡e de adeziune, care se manifestå într-un strat foarte sub¡ire de fluid, de ordinul sutimilor de milimetru.
Particulele fluide afectate de for¡ele de adeziune, fa¡å de corpul solid, au vitezå relativå nulå. Ele au aceea¿i vitezå ca ¿i corpul solid cu care vin în contact.
Fenomenul de adeziune are un rol important în explicarea distribu¡iei de viteze într-un curent fluid mårginit de suprafe¡e rigide.
1.6. VISCOZITATEA Viscozitatea este proprietatea fluidelor de a se opune când sunt solicitate la
deformare. Proprietatea de viscozitate se manifestå numai la fluidele reale aflate în
mi¿care ¿i se explicå prin existen¡a eforturilor tangen¡iale (de frecare). Pentru explicarea fenomenului se considerå un fluid situat între douå plåci
plane paralele. Placa inferioarå se aflå în repaus, iar placa superioarå se deplaseazå cu viteza , antrenatå de o for¡å constantå 0V F .
Datoritå fenomenului de adeziune, particulele fluide aflate în contact cu placa superioarå se deplaseazå cu viteza , iar cele aflate în contact cu placa
inferioarå au viteza nulå. Între plåci viteza variazå liniar, a¿a cum se aratå în figura 1.1. For¡a
0V
F se transmite din aproape în aproape, de la strat la strat, pânå la placa fixå. La interfa¡a dintre douå straturi vecine apar for¡e de legåturå care raportate la aria suprafe¡ei reprezintå eforturi tangen¡iale de viscozitate.
Newton a demonstrat cå efortul tangen¡ial de viscozitate este dat de rela¡ia:
dydv⋅µ=τ , (1.10)
în care µ este coeficientul de viscozitate dinamicå, iar raportul este
derivata vitezei dupå direc¡ia
dy/dvy .
11
Fig. 1.1. Explicarea proprietăţii de viscozitate a fluidelor: a) distribuţia vitezei între două plăci plane; b) deformarea particulei fluide.
În figura 1.1,b este reprezentatå o particulå fluidå care la momentul t avea fa¡eta ABCD de formå dreptunghiularå, iar dupå un timp dt are forma unui
paralelogram . Se observå cå: '''' DCBA
dydv
=θtg ,
θ fiind cantitatea cu care se modificå unghiul drept ABD. Deci, raportul
reprezintå viteza unghiularå de deforma¡ie a unghiului drept.
dydv /
Rela¡ia (1.10) este cunoscutå sub denumirea de legea lui Newton. Fluidele care respectå legea lui Newton se numesc fluide newtoniene, iar cele
care nu respectå aceastå lege se numesc fluide nenewtoniene. Raportul dintre coeficientul de viscozitate dinamicå ¿i densitatea fluidului se
nume¿te coeficient de viscozitate cinematicå:
ρµ
=ν . (1.11)
În Sistemul Interna¡ional (S.I.) ecua¡ia dimensionalå pentru µ este de forma:
[ ] [ ] 111
2
2
−−−
−
⋅==
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡τ
=µ MTL
LLT
L
LMT
dydv
,
rezultând unitå¡ile de måsurå . 2s/mNskg/m ⋅=⋅Pentru ecua¡ia dimensionalå este: ν
12
[ ] [ ][ ]
123
11−
−
−−⋅=
⋅
⋅=
ρµ
=ν TLML
MTL,
cu unitatea de måsurå . În practicå se folose¿te frecvent unitatea de måsurå denumitå stokes:
/sm2
/sm10/scm1St1 242 ⋅== − .
Viscozitatea fluidelor variazå cu temperatura. La lichide, coeficientul de viscozitate cinematicå scade odatå cu cre¿terea temperaturii, iar la gaze cre¿te pe måsurå ce cre¿te temperatura.
1.7. ABSORBŢIA. DEGAJAREA. CAVITAŢIA
Prin absorb¡ie se în¡elege procesul de încorporare de cåtre lichide a gazelor cu care vin în contact.
Masa de gaz absorbitå (dizolvatå în lichid) variazå direct propor¡ional cu presiunea. La presiunea atmosfericå apa con¡ine un volum de aer dizolvat de aproximativ 2%.
Fenomenul invers absorb¡iei se nume¿te degajare. Când în masa unui lichid presiunea scade, gazele în exces sunt eliberate sub formå de bule, care se ridicå formând în zonele superioare pungi de gaz.
Cavita¡ia este un fenomen care poate så se producå numai la lichidele în mi¿care. Fenomenul de cavita¡ie constå în formarea de vapori în zone ale instala¡iilor cu presiuni scåzute, urmatå de condensarea lor ¿i refacerea omogenitå¡ii lichidului în zone unde presiunea cre¿te.
Fenomenul de cavita¡ie este complex, fiind înso¡it de procese mecanice, termice, chimice ¿i electrice.
Condi¡iile de apari¡ie ale cavita¡iei sunt oferite de organele de închidere (vane), pompele centrifuge, turbinele hidraulice etc.
Cavita¡ia are efecte negative, producând o uzurå rapidå a materialului din care este fåcutå instala¡ia, produce zgomote ¿i vibra¡ii ¿i reduce randamentul instala¡iei.
1.8. CAPILARITATEA La suprafa¡a de contact dintre douå lichide nemiscibile, dintre un lichid ¿i un
gaz sau dintre un lichid ¿i un corp solid, apar for¡e de interac¡iune de naturå molecularå. Datoritå acestor for¡e, suprafa¡a lichidului se comportå ca o
13
membranå elasticå, în stare de tensiune. Tensiunea din aceastå membranå se nume¿te tensiune superficialå ¿i se evalueazå prin coeficientul de tensiune superficialå σ , definit ca for¡å care solicitå membrana raportatå la lungimea elementului pe care ac¡ioneazå.
Efectul tensiunii superficiale se eviden¡iazå u¿or când lichidul se gåse¿te în spa¡ii înguste, ca de exemplu tuburile cu diametru mic (tuburi capilare) sau suprafe¡e rigide foarte apropiate (spa¡ii capilare, fig. 1.2).
În figura 1.2,a se aratå efectul tensiunii superficiale în cazul unui lichid la care coeziunea dintre particulele lichide ¿i peretele solid este mai mare decât coeziunea dintre particulele de lichid.
În figura 1.2,b, lichidul nu aderå la suprafa¡a solidå; sub efectul tensiunii superficiale nivelul din spa¡iul capilar se gåsete sub nivelul lichidului înconjuråtor.
Fig. 1.2. Proprietatea de capilaritate: a) ascensiunea capilară; b) coborârea capilară.
Înål¡imea capilarå h , care se produce în tuburile capilare, rezultå din ecua¡ia
de echilibru:
hd
d ⋅π⋅γ=πσ
4
2 (1.12)
sau:
dK
h = , (1.13)
în care este diametrul tubului capilar, iar d K o constantå care depinde de natura lichidului ¿i de temperaturå.
14
Pentru apå la temperatura de 0 OC, , iar pentru mercur
, mårimile ¿i fiind exprimate în mm.
2mm30=K2mm14−=K h d
Tensiunea superficialå poate fi måsuratå prin mai multe procedee. În figura 1.3 este prezentatå schema unui dispozitiv pentru måsurarea tensiunii superficiale (Luca, O., 1978). Aceasta constå dintr-un rezervor fix , legat
printr-un racord flexibil cu rezervorul mobil . La partea superioarå,
rezervorul este prevåzut cu un ajutaj calibrat. Prin ridicarea rezervorului
nivelul în rezervorul cre¿te depå¿ind cota buzei ajutajului unde se formeazå
un menisc de lichid. Când nivelul suprafe¡ei libere din tubul larg se ridicå peste o anumitå valoare limitå care poate fi måsuratå cu ajutorul scårii gradate, meniscul se sparge. Valoarea tensiunii superficiale rezultå din ecua¡ia de echilibru:
1R
2R
1R 2R
1R
Fig. 1.3. Instalaţie pentru măsurarea tensiunii superficiale.
WdhD
γ+πσ=⋅π
⋅γ4
2,
în care:
este denivelarea în tubul larg cu diametrul ; h Dd - diametrul ajutajului; W - volumul de lichid cuprins între suprafa¡a meniscului ¿i planul
buzei ajutajului; γ - greutatea specificå a lichidului.
Momentul spargerii meniscului poate fi stabilit prin observarea directå sau prin filmare rapidå.
15
APLICAŢII
Problema 1.1 Så se calculeze volumul ocupat de o cantitate de bitum a cårei maså este de
390 tone, ¿tiind cå greutatea specificå este . 3N/m12753=γ
Rezolvare:
Cu rela¡ia (1.3) se determinå densitatea bitumului:
3kg/m130081,9
12753==
γ=ρ
g.
Volumul ocupat de bitum va fi:
3m3001300
390000==
ρ=
mW .
Problema 1.2
La o presiune egalå cu presiunea atmosfericå densitatea petrolului este
. Så se determine densitatea acestuia la o presiune de 100 atm,
¿tiind cå coeficientul de compresibilitate .
30 kg/m800=ρ
/Nm108,66 210−⋅=β
Rezolvare:
Deoarece ρ ¿i β au unitå¡ile de måsurå în S.I., se va exprima ¿i presiunea în
unitå¡i de presiune ale S.I.:
100 atm = 1000000 kgf/m2 = 9810000 N/m
2.
În continuare se aplicå rela¡ia (1.7):
( ) ( ) 3kg/m806,8109,81108,6618001 6100 =⋅⋅⋅+⋅=∆β+⋅ρ=ρ −p .
Problema 1.3 Pentru probå, s-a realizat într-un tronson de conductå cu D = 600 mm ¿i cu
lungimea l = 400 m o presiune de 15 atm. Dupå un anumit timp s-a constatat cå printr-o fisurå s-au scurs 16 litri de apå. Så se determine presiunea în conductå,
16
¿tiind cå temperatura apei este de 10oC ¿i admi¡ând conducta ca fiind
indeformabilå.
Rezolvare:
Se folose¿te formula (1.4). Coeficientul de compresibilitate se ob¡ine din tabelul 1.2.
/Nm210104,88 −⋅=β .
Volumul ini¡ial de apå este:
322
0 m04,1134004
6,014,3
4=⋅
⋅=⋅
π= L
DW .
Varia¡ia de presiune datoritå pierderii a 16 litri de apå este:
210
00 N/m290000
04,1131088,4
016,0−=
⋅⋅−=
β∆
−=−=∆−W
Wppp .
Presiunea ini¡ialå exprimatå în sistemul S.I. este:
24240 N/m1015,147N/m1081,915atm15 ⋅=⋅⋅==p .
Rezultå presiunea finalå:
bari81,11atm044,12N/m11815002900001471500 2 ===−=p .
17
2
HIDROSTATICA
2.1. FORŢE CARE ACŢIONEAZĂ ÎNTR-UN FLUID
Asupra oricårei particule din interiorul unui fluid ac¡ioneazå douå tipuri de for¡e: for¡e masice ¿i for¡e de legåturå.
• For¡ele masice sunt propor¡ionale cu masa ¿i se datoresc unor cauze exteriore, ca de exemplu câmpul gravita¡iei, considerat ca un câmp de for¡e paralele, sau câmpul for¡elor iner¡iale.
Pentru o particulå fluidå având un volum W∆ ¿i masa m∆ , for¡a masicå
este datå de rela¡ia:
mfFm ∆⋅=∆rr
, (2.1)
în care este for¡a masicå specificå ¿i reprezintå raportul dintre for¡a masicå ¿i
masa particulei.
fr
Dacå singura cauzå care genereazå for¡a masicå este câmpul gravita¡iei,
atunci for¡a masicå specificå este accelera¡ia gravita¡ionalå: gfrr
= ¿i are
dimensiunile . ][ 2−LT• For¡ele de legåturå (sau de suprafa¡å) sunt propor¡ionale cu aria
suprafe¡ei. Pentru o u¿oarå în¡elegere a existen¡ei for¡elor de legåturå, se imagineazå un
domeniu fluid ¿i în interiorul acestuia o particulå de fluid (fig. 2.1,a). Masa de fluid fiind în echilibru, particula î¿i men¡ine forma neschimbatå datoritå ac¡iunii fluidului care o înconjoarå. Forma ¿i starea de echilibru a particulei se men¡ine ¿i când aceasta se deta¿eazå din masa de fluid, dacå ac¡iunea fluidului înconjuråtor este înlocuitå cu for¡e de legåturå necesare asigurårii echilibrului. În figura 2.1,b se aratå o sec¡iune prin particula de fluid izolatå ¿i for¡ele de legåturå care o men¡in în echilibru.
For¡ele de legåturå pot fi normale ¿i tangen¡iale în raport cu suprafa¡a consideratå, dacå fluidul este în mi¿care ¿i numai normale dacå fluidul este în repaus.
For¡a de legåturå raportatå la suprafa¡a pe care se manifestå se nume¿te efort unitar (v. § 2.2.1.).
19
Fig. 2.1. Exemplificarea forţelor de legătură:
a) particulă în interiorul masei de fluid; b) particulă detaşată din masa de fluid.
2.1.1. METODA SOLIDIFICĂRII
O particulå deta¿atå din masa unui fluid se men¡ine în echilibru dacå i se ata¿eazå for¡ele de legåturå ¿i for¡ele masice. În felul acesta, particula se comportå ca un corp rigid pentru care se pot aplica teoremele mecanicii corpului rigid.
Procedeul asimilårii particulei fluide cu un corp rigid poartå numele de metoda solidificårii.
2.2. STAREA DE TENSIUNE
2.2.1. EFORTUL UNITAR Pentru definirea no¡iunilor de efort unitar ¿i de stare de tensiune într-un punct se considerå un rezervor cu lichid aflat în repaus, figura 2.2,a. Se sec¡ioneazå rezervorul cu un plan înclinat cu un unghi oarecare α .
Pentru ca lichidul så råmânå în echilibru, dupå îndepårtarea por¡iunii de rezervor, inclusiv lichidul din dreapta planului P, se introduce ac¡iunea for¡elor
de legåturå prin rezultanta Fr
, figura 2.2,b. Suprafe¡ei elementare ,
con¡inutå în planul P ¿i situatå în jurul punctului M, îi corespunde for¡a de
legåturå elementarå
A∆
Fr
∆ . For¡a elementarå Fr
∆ depinde atât de mårimea, cât ¿i
de forma suprafe¡ei ¿i, deci, ea nu poate defini starea de solicitare din
punctul M. De aceea, se introduce no¡iunea de efort unitar,
A∆pr
:
20
Fig. 2.2. Starea de tensiune la lichide: a) rezervor secţionat cu un plan; b) forţe de legătură pe o suprafaţă de separaţie.
AF
pA ∆
∆⋅=
→∆
rr
0lim . (2.2)
No¡iunea de efort unitar, rela¡ia (2.2), s-a definit considerând cå planul P are o orientare oarecare. Aceasta înseamnå cå în punctul M existå eforturi unitare dupå fiecare direc¡ie.
Totalitatea eforturilor unitare dintr-un punct, situat într-un fluid, reprezintå starea de tensiune din acel punct.
La fluidele în repaus efortul unitar are urmåtoarele proprietå¡i:
• Efortul unitar este normal la suprafa¡a pe care ac¡ioneazå. Acestå proprietate rezultå din faptul cå la fluidele în repaus, conform legii lui Newton cu privire la viscozitate, rela¡ia (1.10), eforturile tangen¡iale sunt nule ¿i, deci, efortul unitar p
r nu are componentå în planul suprafe¡ei pe care ac¡ioneazå.
• Efortul unitar este un efort de compresiune. Presupunând cå efortul pr
ar
fi un efort de întindere, aceasta ar însemna ca particula asupra cåreia ac¡ioneazå så fie dislocatå ¿i puså în mi¿care, ceea ce contrazice starea de repaus a fluidului.
• Într-un punct oarecare, efortul unitar are aceea¿i valoare dupå orice direc¡ie. Pentru demonstra¡ie se deta¿eazå din masa unui fluid o particulå de forma unui tetraedru (fig. 2.3). Particula se gåse¿te în echilibru sub ac¡iunea for¡elor de legåturå ¿i a for¡ei masice.
For¡ele de legåturå sunt:
- pe suprafa¡a AMB: 2
dzdypx
⋅⋅ ;
21
Fig. 2.3. Definirea efortului unitar.
- pe suprafa¡a AMC: 2
dzdxpy
⋅⋅ ;
- pe suprafa¡a BMC: 2
dydxp z
⋅⋅ ;
- pe suprafa¡a ABC: dAp ⋅ .
For¡a masicå este datå de greutatea particulei. Scriind rela¡iile de echilibru dupå direc¡iile , x y ¿i z se ob¡ine:
;0cos2
=α⋅⋅−⋅
⋅ dApdzdy
px
;0cos2
=β⋅⋅−⋅
⋅ dApdzdx
py (2.3)
,06
1cos
2=⋅⋅⋅⋅ρ+γ⋅⋅−
⋅⋅ dzdydxgdAp
dydxpz
în care , α β , γ sunt unghiurile pe care le face direc¡ia lui p cu axele de
coordonate. ºinând seama cå:
2cos;
2cos;
2cos
dydxdA
dzdxdA
dzdydA
⋅=γ⋅
⋅=β⋅
⋅=α⋅ ,
22
rela¡iile (2.3) devin:
;0=− ppx
;0=− ppy (2.4)
.0=− ppy
Efortul unitar pr
s-a definit considerând cå suprafa¡a A∆ tinde cåtre zero.
Aceasta înseamnå cå tetraedrul trebuie så aibå un volum mic care tinde cåtre zero ¿i, deci, tinde cåtre zero. Rezultå: dz
pppp zyx === ,
adicå, efortul unitar în punctul M (originea sistemului de coordonate) are aceea¿i valoare dupå orice direc¡ie.
2.2.2. PRESIUNEA HIDROSTATICĂ
Deoarece într-un punct efortul unitar pr
are aceea¿i valoare dupå orice
direc¡ie, starea de tensiune la fluidele în repaus poate fi exprimatå cantitativ cu ajutorul presiunii hidrostatice p , numitå ¿i presiune staticå.
Presiunea hidrostaticå este o mårime scalarå care aratå gradul de comprimare în punctul considerat. Rela¡ia de defini¡ie este:
AF
pA ∆
∆⋅=
→∆ 0lim . (2.5)
Se observå cå rela¡ia (2.5) este asemånåtoare cu rela¡ia (2.2). În rela¡ia (2.5) lipse¿te semnul de vector.
2.3. LEGEA HIDROSTATICII Se considerå un fluid omogen ( constant=ρ ) aflat în repaus în câmp
gravita¡ional. Din masa acestui fluid se separå un cilindru cu axul vertical, cu aria bazei ¿i de lungime l (fig. 2.4). dA Pentru men¡inerea stårii de echilibru se ata¿eazå cilindrului for¡ele de legåturå date de presiuni ¿i for¡a masicå de greutate. Pe suprafa¡a lateralå a cilindrului presiunile au direc¡ii radiale ¿i se anuleazå reciproc.
23
Fig. 2.4. Legea hidrostaticii: a) particulă în interiorul masei de fluid;
b) particulă detaşată din masa de fluid. Ecua¡ia de echilibru pe verticalå este:
021 =⋅⋅ρ+⋅−⋅ ldAgdApdAp , (2.6)
în care ¿i sunt presiunile hidrostatice la nivelul sec¡iunilor 1 ¿i 2. 1p 2p
Cu nota¡iile din figura 2.4,b rela¡ia (2.6) devine:
( )2112 zzgpp −⋅ρ+= . (2.7)
Rela¡ia (2.7) permite calcularea presiunii în orice punct 2, dacå se cunoa¿te presiunea într-un alt punct 1 ¿i cotele acestor puncte fa¡å de un plan orizontal considerat plan de referin¡å, PR. O altå formå a rela¡iei (2.7) este:
gp
zg
pz
ρ+=
ρ+ 2
21
1 , (2.8)
care permite generalizarea:
constant1 =ρ
+g
pz . (2.9)
Ultima rela¡ie reprezintå legea hidrostaticii. Ipotezele în baza cårora s-a dedus legea hidrostaticii impune respectarea condi¡iilor:
- fluidul så fie omogen ¿i în repaus;
24
- dacå într-un domeniu existå mai multe fluide omogene nemiscibile, ca în figura 2.5, legea hidrostaticii se aplicå astfel încât linia continuå care une¿te cele douå puncte så fie con¡inutå tot timpul în acela¿i fluid; se aplicå întâi între punctele 1 ¿i 2 ¿i apoi între punctele 2 ¿i 3.
Fig. 2.5. Aplicarea legii hidrostaticii.
2.3.1. CONSECINŢE ALE LEGII HIDROSTATICII
• Presiunea hidrostaticå cre¿te liniar cu adâncimea. Referitor la figura 2.6, dacå se calculeazå presiunea într-un punct oarecare din interiorul fluidului, în func¡ie de presiunea de la suprafa¡a liberå, conform rela¡iei (2.7) rezultå:
( )zzgpp −⋅ρ+= 00
sau: hgpp ρ+= 0 . (2.10)
• Suprafe¡ele de egalå presiune, numite suprafe¡e izobare, sunt plane orizontale.
Din rela¡ia (2.8), pentru constant21 == pp , rezultå constant=z , care
reprezintå ecua¡ia unui plan orizontal. La suprafa¡a liberå a unui lichid aflat într-un rezervor deschis presiunea în orice punct este egalå cu presiunea atmosfericå. Rezultå cå suprafa¡a liberå a unui lichid este orizontalå.
Fig. 2.6. Consecinţe ale legii hidrostaticii.
25
La fel se explicå ¿i legea vaselor comunicante: în vasele care comunicå între ele (vasele con¡inând acela¿i lichid omogen) lichidul se ridicå pânå la acela¿i nivel.
• O modificare de presiune produså într-un punct al unui fluid omogen se transmite cu valoare egalå în toatå masa de fluid. Aceastå formulare este cunoscutå sub denumirea de legea lui Pascal. În figura 2.7,a este prezentat un rezervor care con¡ine un lichid omogen cu greutatea specificå, gρ=γ . La suprafa¡a lichidului se gåse¿te o pernå de aer,
care creazå în punctul A o presiune . Presiunea în punctul B rezultå: Ap
( )BAAB zzgpp −⋅ρ+= .
În figura 2.7,b, cu ajutorul unui piston, perna de aer este comprimatå ¿i în punctul A presiunea cre¿te cu p∆ , astfel cå:
ppp AA ∆+=' .
Fig. 2.7. Exemplificarea legii lui Pascal: a) rezervor cu nivel liber; b) rezervor sub presiune.
26
În noile condi¡ii, presiunea în punctul B va fi:
( ) ( ) ppzzgppzzgpp BBAABAAB ∆+=−⋅ρ+∆+=−⋅ρ+= '' ,
adicå presiunea în punctul B se modificå cu aceea¿i valoare p∆ .
• La gaze greutatea specificå este micå (aerul are greutatea specificå de aproximativ 1000 de ori mai micå decât a apei), iar termenul ( )21 zzg −⋅ρ din
rela¡ia (2.7) se poate neglija. Se ob¡ine:
21 pp =
sau: constant=p , (2.11)
adicå, presiunea poate fi consideratå aceea¿i în orice punct al domeniului ocupat de gaz, cu condi¡ia ca diferen¡a ( 21 zz − ) så nu fie prea mare.
2.3.2. REPREZENTAREA GRAFICĂ A LEGII HIDROSTATICII Legea hidrostaticii poate fi reprezentatå grafic deoarece, din punct de vedere dimensional, to¡i termenii din rela¡ia (2.9) reprezintå lungimi:
[ ] Lz = ;
LMTL
L
L
MTLg
p=
⋅⋅
⋅=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ρ −
−
2
3
2
2.
Figura 2.8 reprezintå un rezervor care con¡ine un lichid în contact cu atmosfera. În lichidul din rezervor s-a introdus un tub închis la un capåt care în prealabil a fost plin cu lichid ¿i apoi råsturnat cu gura în jos. Datoritå presiunii atmosferice în tub se men¡ine o coloanå de lichid deasupra cåreia se formeazå vid ¿i în care presiunea este zero.
Planul orizontal care trece prin punctele lichidului în care presiunea este zero se nume¿te plan barometric, iar planul orizontal care con¡ine punctele în care presiunea este egalå cu presiunea atmosfericå se nume¿te plan manometric. Termenii din rela¡ia (2.9):
constant=ρ
+g
pz ,
27
Fig. 2.8. Reprezentarea grafică a legii hidrostaticii.
au urmåtoarele semnifica¡ii (fig. 2.8):
z este cota geodezicå a punctului considerat fa¡å de un plan orizontal, ales arbitrar, numit plan de referin¡å;
gpρ
- înål¡imea piezometricå.
Înål¡imea piezometricå g
pρ
reprezintå înål¡imea unei coloane de lichid care
prin greutatea ei produce o presiune egalå cu p .
Deci, coloana de lichid de deasupra planului manometric (cuprinså între
planul manometric ¿i planul barometric) are înål¡imea egalå g
pat
ρ, fiind
presiunea atmosfericå.
atp
Presiunea într-un punct oarecare, calculatå cu rela¡ia (2.10) este:
mat hgpp ρ+= , (2.12)
în care este înål¡imea manometricå ¿i reprezintå distan¡a de la punctul
considerat pânå la planul manometric. mh
Presiunea astfel calculatå, reprezintå presiunea barometricå (sau absolutå) ¿i se noteazå cu . Rela¡ia (2.12) se scrie: bp
bmatb hghgpp ρ=ρ+= ,
în care este înål¡imea barometricå, însemnând distan¡a de la punctul
considerat pânå la planul barometric. bh
28
Termenul mhgρ reprezintå presiunea manometricå (sau relativå):
mm hgp ρ= . (2.13)
Între , ¿i existå rela¡ia: bp mp atp
matb ppp += (2.14)
sau:
atbm ppp −= . (2.15)
Când atb pp < , presiunea manometricå are valori negative ¿i reprezintå
presiunea vacuumetricå:
mvac pp −= . (2.16)
Din cele de mai sus, rezultå cå existå douå posibilitå¡i de exprimare a valorii presiunii:
- la scarå barometricå, când se ia ca origine presiunea în vid ( ),
adicå planul barometric;
0=bp
- la scarå manometricå, când originea se gåse¿te în planul manometric, considerând . 0=atp
Dupå modul în care se exprimå presiunile, legea hidrostaticii se scrie:
bb Hg
pz ==
ρ+ constant , la scarå barometricå,
sau:
mm Hg
pz ==
ρ+ constant , la scarå manometricå.
Mårimile ¿i se numesc sarcinå hidrostaticå barometricå (absolutå),
respectiv sarcinå hidrostaticå manometricå (relativå). bH mH
2.3.3. INTERPRETAREA ENERGETICĂ A LEGII HIDROSTATICII Înmul¡ind termenii rela¡iei (2.9) cu (greutatea particulei în punctul
considerat) se ob¡ine: G
tconstan=ρ⋅+⋅
gp
GzG .
29
Termenul reprezintå energia poten¡ialå de pozi¡ie, iar zG ⋅g
pG
ρ⋅ este
energia poten¡ialå de presiune.
Rezultå cå expresia g
pz
ρ+ este energia specificå a particulei, adicå energia
particulei raportatå la greutatea ei. Deoarece:
bHg
pz =
ρ+ ,
înseamnå cå energia specificå în oricare punct al fluidului are aceea¿i valoare ¿i este egalå cu energia specificå a punctelor din planul barometric.
2.3.4. UNITĂŢI DE PRESIUNE Din rela¡ia de defini¡ie (2.5) se ob¡ine ecua¡ia dimensionalå a presiunii, care
în S.I. este:
[ ] [ ][ ]
212
2−−
−=== MTL
L
LMTAF
p .
Unitatea de måsurå este:
aP=2m
N (Pascal)
cu multiplul numit bar:
aP525 10N/m10bar1 == .
În tehnicå se mai folose¿te ¿i atmosfera tehnicå (at):
24 N/m1081,9at1 ⋅= .
Când presiunea se exprimå la scara barometricå se folose¿te nota¡ia atb. Pentru scara manometricå se utilizeazå nota¡ia atm.
Uneori, presiunea se exprimå prin înål¡imea coloanei de lichid, caz în care trebuie specificat lichidul respectiv, eventual ¿i temperatura. De exemplu:
1 atm = 10 m coloanå de apå la temperatura de 4oC.
30
2.3.5. DIAGRAMA DE PRESIUNE Diagrama de presiune aratå varia¡ia presiunii pe un anumit contur. La
trasarea diagramei de presiune pe o suprafa¡å rigidå trebuie så se ¡inå seama de urmåtoarele reguli:
- presiunea cre¿te propor¡ional cu adâncimea; - efortul unitar este perpendicular pe suprafa¡a pe care ac¡ioneazå;
- efortul unitar este orientat dinspre fluid cåtre suprafa¡å;
- înainte de trasarea diagramei se stabile¿te pozi¡ia planului barometric dacå presiunile se exprimå la scara barometricå sau a planului manometric când presiunile se exprimå la scara manometricå.
În figura 2.9 este prezentatå o diagramå la care presiunile sunt exprimate atât la scara barometricå cât ¿i la scara manometricå.
În diagramele din figura 2.10 presiunile sunt exprimate la scara manometricå.
Fig. 2.9. Diagrame de presiune: --------- la scară barometrică; ______ la scară manometrică.
31
a) Diagramă de presiune pe o suprafaţă
verticală în cazul a două lichide nemiscibile : 12 γ>γ
gh
h11
1
111tg ρ=γ=
γ=α ;
gh
h22
2
222tg ρ=γ=
γ=α ;
c) Diagrama de presiune pe o stavilă sector;
b) Diagrama de presiune pe pereţii unui castel de apă;
d) Diagrama de presiune pe pereţii unui rezervor sub presiune;
Fig. 2.10. Diagrame de presiune la scară manometrică.
2.4. FORŢE DE PRESIUNE For¡ele pe care le exercitå fluidele asupra suprafe¡elor cu care vin în contact
se numesc for¡e de presiune sau for¡e hidrostatice.
For¡a de presiune se calculeazå prin însumarea for¡elor elementare care ac¡ioneazå pe suprafe¡ele elementare , considerând cå eforul unitar
Fdr
dA pr
este
uniform distribuit pe elementul de suprafa¡å . dAFor¡a elementarå de presiune are expresia:
32
dApFd ⋅=rr
,
iar for¡a de presiune pe toatå suprafa¡a A este:
∫=A
dApFrr
. (2.17)
La suprafe¡ele plane, direc¡ia ¿i sensul eforturilor unitare fiind cunoscute,
aplicarea rela¡iei (2.17) presupune o însumare scalarå, for¡a Fr
fiind perpendicularå pe suprafa¡å.
La suprafe¡ele curbe nu se cunoa¿te de la început orientarea for¡ei Fr
care este rezultanta unui sistem de for¡e în spa¡iu.
Calculul for¡elor de presiune se va face diferen¡iat, ¡inând seama de tipul suprafe¡ei (planå sau curbå).
2.4.1. FORŢE DE PRESIUNE PE SUPRAFEŢE PLANE Rezervorul din figura 2.11 are un perete înclinat fa¡å de orizontalå cu un
unghi . Pe acest perete se gåse¿te o suprafa¡å , zona ha¿uratå, pentru care se cere for¡a de presiune ¿i coordonatele punctului de aplica¡ie.
α A
Se alege un sistem de axe de coordonate în a¿a fel încât planul xoy så se confunde cu planul manometric, iar axa ox så fie dreapta rezultatå din intersec¡ia planului manometric cu planul care con¡ine suprafa¡a pentru care se calculeazå for¡a de presiune.
În figura 2.11,b planul care con¡ine suprafa¡a , a fost rabåtut astfel cå suprafa¡a se vede nedeformatå. S-au folosit nota¡iile:
'xoz A
Fig. 2.11. Calculul forţei de presiune pe suprafeţe plane.
33
G - centrul de greutate al suprafe¡ei ; AC - punctul de aplica¡ie al for¡ei F, numit ¿i centru de presiune;
Gh , - adâncimile punctelor G , respectiv ; Ch C'Gz , - coordonate dupå axa ; '
Cz 'oz
Gx , - coordonate dupå axa ox. Cx
Modulul for¡ei de presiune pe suprafa¡a se ob¡ine din însumarea scalarå a for¡elor elementare:
A
∫∫ ==AA
dApdFF . (2.18)
ºinând seama cå:
αρ=ρ= sin'zghgp ,
rezultå:
dAzgdF ⋅αρ= sin' , (2.19)
iar rela¡ia (2.18) devine:
∫ ∫ ⋅⋅α⋅ρ=⋅α⋅ρ=A A
dAzgdAzgF '' sinsin .
În ultima rela¡ie, integrala reprezintå momentul static al suprafe¡ei în raport cu axa ox:
A
G
A
zAdAz '' ⋅=⋅∫ .
Rezultå:
α⋅ρ= sin'GzAgF . (2.20)
Din figura 2.11 se observå cå adâncimea centrului de greutate poate fi exprimatå prin:
α⋅= sin'GG zh ,
ob¡inându-se din (2.20) formula for¡ei de presiune pe o suprafa¡å planå:
ApAhgF GG ⋅=ρ= . (2.21)
34
Deci, for¡a de presiune pe o suprafa¡å planå este egalå cu produsul dintre aria suprafe¡ei ¿i presiunea din centrul de greutate al acesteia.
Coordonata a punctului de aplica¡ie se determinå din condi¡ia ca
momentul rezultantei (for¡a
'Cz
F ) în raport cu axa ox så fie egal cu suma momentelor for¡elor elementare dF în raport cu aceea¿i axå:
∫ ⋅=⋅A
C zdFzF '' , (2.22)
de unde:
F
zdF
z AC
∫ ⋅
=
'
' . (2.23)
În ecua¡ia (2.23) se înlocuie¿te ¿i dF F cu expresiile date de rela¡iile (2.19), respectiv (2.20), rezultând:
( ) ( )
''
2
'
2
'
'
sin
'sin
G
x
G
A
G
AC
zA
I
zA
dAz
zAg
dAzg
z⋅
=⋅
⋅
=⋅⋅α⋅ρ
⋅α⋅ρ
=∫∫
. (2.24)
Integrala de la numåråtor reprezintå momentul de iner¡ie al suprafe¡ei în raport cu axa ox, care se calculeazå cu rela¡ia:
A
( )2' GGxx zAII ⋅+= , (2.25)
în care este momentul de iner¡ie al suprafe¡ei , calculat în raport cu o axå
paralelå cu ox ¿i care trece prin centrul de greutate al suprafe¡ei (momentul de iner¡ie propriu).
GxI A
Rela¡ia (2.24) devine:
'''
G
GxGC
zA
Izz
⋅+= . (2.26)
Se observå cå centrul de presiune se gåse¿te sub centrul de greutate . Distan¡a dintre ¿i C måsuratå în planul poartå numele de excentricitate ¿i este datå de ultimul termen al rela¡iei (2.26):
C GG 'xoz
''' GCG
Gx zzzA
Ie −=
⋅= . (2.27)
35
Valoarea excentricitå¡ii depinde de oblicitatea suprafe¡ei fa¡å de
orizontalå. Când = 90, are valoarea minimå ¿i egalå cu , iar
excentricitatea este maximå. Când
A
α 'Gz Gh
α = 0 originea axelor de coordonate se
gåse¿te la infinit ( ) ¿i excentricitatea este zero; în acest caz, suprafa¡a
este con¡inutå într-un plan orizontal ¿i centrul de greutate se confundå cu centrul de presiune .
∞='Gz A
GC
Pentru determinarea coordonatei se procedeazå asemånåtor, ecua¡ia de
momente scriindu-se în raport cu axa :
Cx'oz
∫ ⋅=⋅A
C xdFxF ;
'sin
'sin
G
AC
zAg
dAxzg
x⋅⋅α⋅ρ
⋅⋅⋅α⋅ρ
=∫
sau:
'
'
G
xzC
zA
Ix
⋅= , (2.28)
în care este momentul centrifugal al suprafe¡ei în raport cu axele ox ¿i
. Când este axa de simetrie pentru suprafa¡a , momentul de iner¡ie centrifugal este nul.
xzI ' A
'oz 'oz A
2.4.2. FORŢE DE PRESIUNE PE SUPRAFEŢE CURBE
Împår¡ind suprafa¡a curbå în suprafe¡e elementare se ob¡ine un sistem
de for¡e elementare . For¡ele elementare ac¡ionând perpendicular pe elementele de suprafa¡å, formeazå un sistem oarecare de for¡e în spa¡iu.
Rezultanta
A dA
Fdr
Fr
a acestui sistem de for¡e reprezintå ac¡iunea fluidului asupra suprafe¡ei curbe.
Deoarece orientarea for¡ei de presiune Fr
nu este cunoscutå de la început, se calculeazå proiec¡iile ei , ¿i pe axele de coordonate oxyh (fig. 2.12). xF yF hF
Axele de coordonate se iau în a¿a fel încât planul xoy så se confunde cu planul manometric. Axa oh este perpendicularå pe planul manometric ¿i orientatå în jos.
36
Fig. 2.12. Calculul forţei de presiune pe suprafeţe curbe.
Dacå for¡ele elementare se proiecteazå dupå direc¡iile axelor de
coordonate ¿i apoi se însumeazå, rezultå: dF
;∫ ⋅=A
xx dApF
;∫ ⋅=
yAyy dApF (2.29)
.∫ ⋅=
hAhh dApF
În rela¡iile (2.29) se introduce hgp ρ= ¿i acestea devin:
;∫ ⋅⋅ρ=
xAxx dAhgF
;∫ ⋅⋅ρ=
yAyy dAhgF (2.30)
.∫ ⋅⋅ρ=
hAhh dAhgF
37
Primele douå integrale reprezintå momentele statice ale proiec¡iilor ¿i
fa¡å de axele ox, respectiv oy, iar cea de-a treia integralå calculeazå un
volum; expresia este volumul unei prisme elementare cu înål¡imea h ¿i
aria bazei (prisma elementarå este limitatå superior de planul manometric,
iar la partea inferioarå de elementul de suprafa¡å ). Cu aceste observa¡ii rela¡iile (2.30) devin:
xA
yA
hdAh ⋅
hdA
dA
;xGxxGxx ApAhgF ⋅=⋅⋅ρ=
;yGyyGyy ApAhgF ⋅=⋅⋅ρ= (2.31)
.WgFh ⋅ρ=
Semnifica¡ia nota¡iilor este urmåtoarea:
hyx AAA ,,
sunt proiec¡iile suprafe¡ei curbe pe planele care au normalele paralele cu axele ox, oy respectiv oh;
GyGx hh ,
- adâncimile centrelor de greutate ale proiec¡iilor , respectiv ; xA yA
GyGx pp ,
- presiunile în centrele de greutate ale suprafe¡elor ¿i ; xA yA
ρ este densitatea fluidului; W - volumul cuprins între suprafa¡a curbå A ¿i
planul manometric ¿i este limitat lateral de suprafa¡a generatå de o verticalå care se sprijinå pe conturul suprafe¡ei A.
Corpul rezultat din însumarea volumelor elementare se nume¿te corp de presiune.
O verticalå duså prin corpul de presiune trebuie ,,så în¡epe” suprafa¡a curbå într-un singur punct. Când aceastå condi¡ie nu este îndeplinitå, suprafa¡a curbå se segmenteazå cu ajutorul unor plane orizontale, ob¡inându-se mai multe corpuri de presiune ¿i deci mai multe componente , afectate de semnul plus
sau minus. hF
Din rela¡iile (2.31) se constatå cå ¿i se calculeazå ca for¡e de presiune
pe suprafe¡ele plane , respectiv , iar este egalå cu greutatea corpului
de presiune.
xF yF
xA yA hF
For¡ele ¿i trec prin centrele de presiune ale suprafe¡elor ¿i . xF yF xA yA
38
For¡a trece prin centrul de greutate al volumului V. hF
Pentru o suprafa¡å curbå oarecare, cele trei for¡e se reduc la o rezultantå (care
este for¡a de presiune Fr
) ¿i la un moment. Pentru suprafe¡ele regulate (sfera, cilindru, con etc.), ac¡iunea fluidului are o
rezultantå unicå determinatå ca intensitate, direc¡ie, sens ¿i punct de aplica¡ie.
2.5. PLUTIREA CORPURILOR
2.5.1. LEGEA LUI ARHIMEDE
Aceastå lege a fost stabilitå în secolul III î.e.n. ¿i se enun¡å astfel: asupra unui corp cufundat într-un fluid ac¡ioneazå o for¡å dirijatå de jos în sus ¿i egalå cu greutatea fluidului dislocuit.
Demonstrarea acestei legi constituie o aplica¡ie la calculul for¡ei de presiune pe suprafe¡e curbe.
Se considerå un corp de formå sfericå cufundat într-un lichid (fig. 2.13). Sistemul de axe de coordonare se alege astfel ca planul xoz så se confunde
cu planul suprafe¡ei libere a lichidului (planul manometric).
Deoarece proiec¡iile orizontale ale for¡ei elementare Fdr
sunt douå câte douå egale ¿i au sens contrar, rezultå cå ¿i sunt nule. For¡a de presiune pe
suprafa¡a închiså ABCD este egalå cu componenta . xF yF
hF
O verticalå duså prin corpul EADCF ,,în¡eapå” suprafa¡a curbå în douå puncte, unul situat pe calota ABC ¿i celålalt pe calota ADC. Aceasta înseamnå cå nu existå un corp de presiune unic. Fiecårei calote îi corespunde câte un corp de presiune, respectiv câte o for¡å de presiune.
Pe calota superioarå ac¡ioneazå în jos , iar pe calota inferioarå ac¡ioneazå
, de jos în sus.
'hF
"hF
Fig. 2.13. Legea lui Arhimede.
39
Diferen¡a dintre volumele celor douå corpuri de presiune este volumul corpului propriu-zis. For¡a de presiune pe suprafa¡a sfericå va fi:
( ) WgWWgFFFF hhhA ρ=−⋅ρ=−== '"'" , (2.32)
în care este volumul corpului. W For¡a poartå numele de for¡å arhimedicå sau for¡å portantå. Ea
ac¡ioneazå de jos în sus ¿i trece prin centrul de greutate al volumului . AF
W
2.5.2. CONDIŢIA DE PLUTIRE
Un corp par¡ial cufundat într-un lichid ¿i aflat în echilibru se nume¿te plutitor. În acest caz, volumul din rela¡ia (2.32) reprezintå acea parte din volumul corpului aflatå sub suprafa¡a liberå a lichidului.
W
Comparând greutatea corpului G cu for¡a arhimedicå rezultå urmåtoarele
situa¡ii posibile: AF
AFG > - corpul are o mi¿care în jos;
AFG = - corpul se aflå în echilibru indiferent de adâncime;
AFG < - corpul se deplaseazå în sus pânå se atinge condi¡ia de
echilibru;
AFWgG =ρ= . (2.33)
Referitor la figura 2.14, care reprezintå un plutitor, se dau câteva defini¡ii
- Planul de plutire este planul suprafe¡ei libere a lichidului.
- Linia de plutire este intersec¡ia dintre suprafa¡a lateralå a plutitorului ¿i planul de plutire.
- Aria de plutire este aria suprafe¡ei continuatå în planul de plutire ¿i limitatå de linia de plutire.
- Axa longitudinalå este o dreaptå care apar¡ine planului de plutire; trece prin centrul de greutate al ariei de plutire ¿i este orientatå în lungul plutitorului.
- Axa transversalå este dreapta care trece prin centrul de greutate al ariei de plutire; este normalå pe axa longitudinalå ¿i apar¡ine planului de plutire.
- Axa de plutire este o dreaptå ata¿atå solidar plutitorului; trece prin centrul de greutate ¿i prin centrul de carenå al plutitorului când echilibrul este stabil.
40
Fig. 2.14. Definirea elementelor caracteristice ale unui plutitor.
- Volumul de carenå este partea din volumul plutitorului care se aflå sub planul de plutire. Centrul de greutate al acestui volum se nume¿te centrul de carenå.
- Pescajul h este adâncimea maximå a plutitorului sub planul de plutire.
- Ruliul este mi¿carea oscilatorie a plutitorului în jurul axei longitudinale de plutire.
- Tangajul este mi¿carea oscilatorie a plutitorului în jurul axei transversale de plutire.
2.5.3. STABILITATEA LA PLUTIRE Un plutitor datoritå oscila¡iilor în jurul axei longitudinale (ruliu) î¿i poate
pierde stabilitatea. Pierderea stabilitå¡ii datoritå oscila¡iilor în jurul axei transversale se produce mai greu.
În continuare se determinå condi¡ia de stabilitate în cazul oscila¡iilor în jurul axei longitudinale.
În figura 2.15,a se prezintå un plutitor aflat în echilibru; for¡ele AFr
¿i
sunt egale ¿i coliniare.
Gr
Când plutitorul oscileazå în jurul axei longitudinale, figura 2.15,b, centrul de greutate råmâne în aceea¿i pozi¡ie, înså centrul de carenå se deplaseazå, descriind o curbå numitå curba centrelor de carenå. În pozi¡ia rotitå, suportul
for¡ei AFr
intersecteazå axa de plutire în punctul M, numit metacentru. Distan¡a
MC, notatå cu ρ , poartå numele de razå metacentricå. În legåturå cu
metacentrul se define¿te ¿i distan¡a metacentricå notatå cu δ ca fiind distan¡a dintre metacentru ¿i centrul de greutate.
41
Fig. 2.15. Stabilitatea la plutire: a) poziţie stabilă la plutire;
b) oscilaţe cu stabilitate a plutitorului.
Fig. 2.16. Instabilitatea la plutire.
Când metacentrul M se gåse¿te deasupra
centrului de greutate G, for¡ele AFr
¿i
formeazå un cuplu care readuce plutitorul în pozi¡ia de echilibru.
Gr
În figura 2.16 este prezentat acela¿i plutitor, înså lestat la partea superioarå. În aceastå situa¡ie, metacentrul se gåse¿te sub
centrul de greutate, iar cuplul format de AFr
¿i
Gr
contribuie la råsturnarea plutitorului. Din cele de mai sus, rezultå cå stabilitatea plutitorului este asiguratå dacå
metacentrul M se gåse¿te deasupra centrului de greutate, adicå:
0>±ρ=δ GC , (2.34)
în care semnul plus se ia atunci când C este situat deasupra lui G, iar semnul minus când C este sub G.
Raza metacentricå se calculeazå cu rela¡ia:
WJ
=ρ , (2.35)
în care este momentul de iner¡ie al ariei de plutire fa¡å de axa longitudinalå de plutire, iar W este volumul de carenå.
J
2.6. REPAUSUL RELATIV AL LICHIDELOR
Legea hidrostaticii, rela¡ia (2.9), ¿i rela¡iile de calcul care derivå din aceasta, se referå la un fluid omogen aflat în repaus ¿i situat într-un câmp gravita¡ional paralel.
42
În practica inginereascå se întâlnesc, deseori, situa¡ii când, pe lângå câmpul gravita¡ional paralel, asupra masei de lichid ac¡ioneazå ¿i alte for¡e masice, precum cele cauzate de o mi¿care rota¡ionalå sau de o mi¿care de tranzla¡ie. În aceste cazuri, suprafa¡a liberå ¿i toate celelalte suprafe¡e izobare nu mai formeazå planuri orizontale. În aceste condi¡ii, comportarea masei de lichid, este cunoscutå sub denumirea de repausul relativ al lichidelor.
2.6.1. REZERVOR ÎN ROTAŢIE UNIFORMĂ
Referitor la figura 2.17, se considerå un rezervor cilindric cu axa ox verticalå ¿i un lichid cu densitatea care umple rezervorul pânå la cota . ρ 0z
Dacå rezervorului i se imprimå o mi¿care de rota¡ie în jurul axei oz cu viteza unghiularå constantå , suprafa¡a liberå a lichidului, ini¡ial orizontalå, se
modificå ¿i ocupå pozi¡ia . Sistemul de axe de coordonate zor sunt ata¿ate rezervorului în mi¿care de rota¡ie.
ω'ABA
În aceste condi¡ii, o particulå fluidå oarecare din masa de lichid, , va
fi supuså unei for¡e masice unitare
( r,zM )gr
datoritå gravita¡iei ¿i a unei for¡e masice
de iner¡ie rr2ω determinatå de mi¿carea de rota¡ie. Rezultanta acestor douå
for¡e este for¡a masicå fr
.
Fig. 2.17. Rezervor în rotaţie uniformă: a) forma suprafeţei libere;
b) forţe care acţionează asupra unei particule de lichid.
43
Notând cu α unghiul între direc¡ia for¡ei fr
¿i verticalå ¿i ¡inând seama de
nota¡iile din figura 2.17,b, se poate scrie:
gr
drdz 2
tgω
==α
sau:
drg
rdz ⋅
ω=
2.
Prin integrare se ob¡ine:
1
22
2
1C
gr
z +ω⋅= . (2.36)
Constanta se eliminå punând condi¡ia la limitå 1C Nzz = pentru .
Rezultå ecua¡ia suprafe¡ei unui paraboloid de rota¡ie cu vârful în N, care este în acela¿i timp o suprafa¡å izobarå, adicå:
0=r
gr
zz N 2
22ω=− . (2.37)
Dacå particula M este situatå chiar la suprafa¡a liberå, care este, de asemenea, o suprafa¡å izobarå, se ob¡ine tot ecua¡ia unui paraboloid, dar cu vârful în B:
gr
zz B 2
22ω=− . (2.38)
Constanta are aceea¿i valoare pentru o anumitå suprafa¡å izobarå, dar se
modificå de la o suprafa¡å izobarå la alta. 1C
Înål¡imea paraboloidului se ob¡ine din rela¡ia (2.38) punând condi¡ia
pentru r = R: Azz =
g
Rzzh BA 2
22' ω
=−= .
Dacå la rela¡ia (2.38), scriså sub forma:
Bzgr
z +ω
=2
22,
44
se adunå ¿i se scade înål¡imea piezometricå absolutå g
pρ
¿i ¡inând seama cå în
punctul B înål¡imea piezometricå absolutå este g
pat
ρ, se ob¡ine:
2
2222
222C
gr
gp
zgr
gp
z atB +
ω=++
ω=
ρ+ . (2.39)
Constanta are aceea¿i valoare în tot domeniul. 2C
Rela¡ia (2.39) poate fi puså sub forma:
( )rCg
pz =
ρ+ (2.40)
¿i este similarå rela¡iei (2.9) care reprezintå legea hidrostaticii. Spre deosebire de legea hidrostaticii în câmp gravita¡ional, constanta ( )rC are aceea¿i valoare
numai pentru punctele situate pe suprafa¡a unui cilindru a cårui axå coincide cu axa de rota¡ie. ºinând seama cå:
atm ppp += , (2.14)
din rela¡ia (2.39) se ob¡ine legea distribu¡iei presiunilor la scarå manometricå:
( ) 22
2rzzgp Bm ω⋅
ρ+−ρ= . (2.41)
Ultima rela¡ie aratå cå ¿i în cazul mi¿cårii de rota¡ie a unui lichid în câmp gravita¡ional, presiunea cre¿te liniar cu adâncimea.
2.6.2. REZERVOR ÎN TRANSLAŢIE ORIZONTALĂ UNIFORM - ACCELERATĂ
Se considerå un rezervor care con¡ine un lichid pânå la cota , (fig. 2.18).
Axele de coordonate xoz sunt ata¿ate rezervorului. Dacå rezervorului i se imprimå o mi¿care de transla¡ie uniform-acceleratå, suprafa¡a liberå, ini¡ial orizontalå, se modificå ocupând pozi¡ia AB.
0z
O particulå fluidå situatå într-un punct oarecare ( )zxM , este supuså for¡ei
masice unitare gv
datoritå gravita¡iei ¿i for¡ei unitare de iner¡ie ar
egalå ¿i de
sens opus accelera¡iei rezervorului.
45
Fig. 2.18. Rezervor în translaţie uniform-accelerată.
Deoarece for¡ele masice unitare a
r ¿i g
v au aceea¿i valoare pentru orice
particulå fluidå, rezultanta lor fr
are aceea¿i direc¡ie ¿i este perpendicularå pe
suprafe¡ele izobare, care sunt suprafe¡e plane înclinate cu unghiul fa¡å de orizontalå. Se poate scrie rela¡ia:
α
ga
dxdz
=−=αgt ,
din care se ob¡ine ecua¡ia diferen¡ialå a suprafe¡elor izobare:
dxga
dz −= .
Prin integrare se ob¡ine:
1Cxga
z +−= .
Constanta are aceea¿i valoare în orice punct al unei anumite suprafe¡e
izobare. Ea are valori diferite de la o suprafa¡å izobarå la alta. 1C
Condi¡ia la limitå pentru x = 0 permite eliminarea constantei ,
rezultând ecua¡ia unui plan înclinat: Nzz = 1C
xga
zz N −=− . (2.42)
Dacå punctul M se aflå pe suprafa¡a liberå a lichidului, se ob¡ine:
46
xga
zz A −=−= . (2.43)
Punând condi¡ia la limitå Bzz = pentru Lx = se ob¡ine denivelarea
lichidului din rezervor:
Lga
zzh AB ⋅−=−=' . (2.44)
Folosind acela¿i ra¡ionament ca la vasul în rota¡ie legea distribu¡iei presiunilor se ob¡ine din rela¡ia (2.43). Rezultå rela¡ia:
2Cxga
gp
zxga
gp
z atA +−=
ρ++−=
ρ+ (2.45)
în care constanta g
pzC at
A ρ+=2 are aceea¿i valoare în tot domeniul lichid.
Rela¡ia (2.45) puså sub forma:
( )xCg
pz =
ρ+ (2.46)
este similarå legii hidrostaticii (2.9). Constanta ( )xC are aceea¿i valoare numai
pentru punctele situate pe o suprafa¡å verticalå (paralelå cu axa oz) ¿i care are ca normalå axa ox.
Distribu¡ia presiunilor la scara manometricå va fi:
( ) xazzgp Am ρ−−ρ= . (2.47)
APLICAŢII
Problema 2.1
Så se determine presiunea a pernei de aer din rezervorul prezentat în
figura 2.19, care con¡ine douå lichide nemiscibile. Tubul piezometric racordat la rezervor con¡ine mercur. Se cunosc:
0p
31 kg/m850=ρ ; ; ; 3
2 kg/m1200=ρ 33 kg/m13600=ρ
1h = 1,5 m; = 2,0 m; = 2,5 m. 2h 3h
47
Fig. 2.19. Aplicarea legii hidrostaticii.
Rezolvare:
Pentru aflarea valorii presiunii se aplicå legea hidrostaticii (rela¡ia (2.7)).
Planul de referin¡å PR poate fi luat oriunde. Legea hidrostaticii se aplicå între douå puncte, în unul dintre acestea trebuind så fie cunoscutå valoare presiunii. Singurul punct în care se cunoa¿te presiunea este punctul 4, unde presiunea este egalå cu presiunea atmosfericå,
0p
atpp =4 . Unind cu o linie continuå punctul 4
cu punctul 1, se constatå cå linia nu este con¡inutå în acela¿i fluid omogen. De aceea, legea hidrostaticii se va scrie separat între punctele 4 ¿i 3, 3 ¿i 2, respectiv 2 ¿i 1. Punctele 3, 2 ¿i 1 fiind situate în planurile care separå douå fluide diferite. Exprimând presiunile la scarå barometricå se ob¡ine:
atpp =4 ;
( ) 33434343 hgpzzgpp ρ+=−ρ+= ;
( ) 2233422323232 hghgphgpzzgpp ρ−ρ+=ρ−=−ρ+= ;
( ) 112233411212121 hghghgphgpzzgpp ρ−ρ−ρ+=ρ−=−ρ+= .
ºinând seama cå , cu datele numerice rezultå: 10 pp =
=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅= 5,181,98500,281,912005,281,9136001081,9 40p
atb03,4bar956,3N/m1056,39 24 ==⋅= .
Dacå se lucreazå la scarå manometricå:
48
04 == atpp
se ob¡ine:
=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅= 5,181,9850281,912005,281,9136000p
atm03,3bar975,2N/m10749,29 24 ==⋅= .
Problema 2.2
În figura 2.20 se prezintå schematizat instala¡ia de frânare a unui autoturism.
Fig. 2.20. Aplicaţie la legea hidrostaticii. Forţe care apar la o instalaţie de frânare a unui autoturism.
Se cunosc: - diametrul cilindrului pompei centrale, = 19 mm; pD
- diametrul cilindrului etrierului, = 48 mm; eD
- diametrul cilindrului receptor, = 20 mm; rD
- for¡a de apåsare pe pedala de frânå, F = 600 N;
- densitatea lichidului de frânå, ; 3kg/m1200=ρ- axa cilindrului receptor se gåse¿te aproximativ în acela¿i plan orizontal
cu axa cilindrului etrierului ¿i la distan¡a h = 0,50 m sub axa pompei centrale.
49
Så se calculeze for¡a de împingere a pistonului etrierului, respectiv a pistonului cilindrului receptor.
Rezolvare:
Pedala de frânå ac¡ioneazå asupra cilindrului pompei centrale cu o for¡å pFr
care rezultå din ecua¡ia de momente scriså în articula¡ia 0:
N330060004,0
22,0=⋅=⋅= F
ab
Fp .
Presiunea care se creazå în cilindrul pompei centrale este:
atm70,118N/m1045,1164019,014,3
43300 242
=⋅=⋅
==p
pp A
Fp .
Presiunea în cilindrul etrierului se determinå cu ajutorul ecua¡iei (2.7):
( ) hgpzzgpp peppe ⋅ρ+=−ρ+=
sau:
atm76,118N/m1004,11655,081,912001045,1164 244 =⋅=⋅⋅+⋅=ep .
Deoarece axa cilindrului etrierului ¿i cea a cilindrului receptor se gåsesc în acela¿i plan orizontal, rezultå:
atm76,118== er pp .
Pistonul din cilindrul etrierului ac¡ioneazå asupra plåcu¡ei de frânå cu o for¡å egalå cu:
N210714
048,014,31004,1165
24 =
⋅⋅⋅=⋅= eee ApF ,
iar for¡a cu care ac¡ioneazå pistonul cilindrului receptor este:
N36584
02,014,31004,1165
24 =
⋅⋅⋅=⋅= rrr ApF .
Problema 2.3
Pentru sistemul din figura 2.21, alcåtuit din doi cilindri care comunicå între
ei, se cunosc:
50
1D = 40 cm; = 20 cm; h = 30 cm; ; 2D 3kg/m1000=ρ
1F = 800 N.
Neglijând greutatea proprie a pistoanelor se cere så se determine for¡a
pentru ca sistemul så fie în echilibru. 2F
Rezolvare:
Luând ca plan de referin¡å planulorizontal care trece pe la fa¡ainferioarå a pistonului cu diametrul
, se poate scrie: 2D
2
212
N/m4,931230,081,91000
4,014,3
8004
=⋅⋅+
+⋅⋅
=⋅ρ+= hgpp
Fig. 2.21. Aplicaţie la legea hidrostaticii.
Pentru ca sistemul så fie în echilibru trebuie ca så fie egalå cu: 2F
N4,2924
2,014,34,9312
2
222 =⋅
⋅== ApF .
Problema 2.4
Så se traseze diagrama de presiune ¿i så se calculeze for¡a de presiune pe
suprafa¡a verticalå a elementului din beton din figura 2.22.
Se cunosc: ; m0,4=h m0,3=l ; . 3kg/m1000=ρ
Fig. 2.22. Forţa de presiune pe o suprafaţă plană verticală:
a) perete al unui rezervor; b) diagrama de presiune.
51
Rezolvare:
Diagrama de presiune se transeazå respectând regulile stabilite la paragraful 2.3.4. Planul manometric este la nivelul oglinzii apei. Pe verticalå presiunea cre¿te liniar cu adâncimea, rela¡ia (2.13) ¿i rezultå:
000 =ρ= hgp , deoarece adâncimea este zero ( 00 =h );
2N/m3924049810 =⋅=ρ= DD hgp .
Prin punctul D se duce o perpendicularå la dreapta OD ¿i se raporteazå la o
scarå convenabilå presiunea . Se ob¡ine punctul . Unind
punctul 0 cu punctul rezultå diagrama de presiune.
3N/m39240=Dp 'D'D
For¡a de presiune se calculeazå cu rela¡ia (2.21):
N2354403429810 =⋅⋅⋅=γ=⋅= AhApF GG .
Coordonatele centrului de presiune se determinå cu rela¡iile (2.26) ¿i (2.28),
în care se înlocuie¿te cu h: 'z
hh
hl
hlh
hA
Ihh
G
GxGC 3
2
2
122
3
=⋅⋅
⋅
+=⋅
+= ;
m667,243
2=⋅=ch ;
m5,12===
⋅⋅⋅
=⋅
=l
xhA
Axh
hA
Ix G
G
GG
G
hxC .
Problema 2.5
Så se calculeze for¡a de presiune pe taluzul amonte al unui dig, figura 2.23,a,
pentru care se cunoa¿te: = 2,0 m; h α = 450.
Calculele se vor face pentru o lungime de dig egalå cu 1 m.
Rezolvare:
Suprafa¡a liberå a apei coincide cu planul manometric, respectiv cu planul xoy. Planul xoz’ se alege astfel încât så con¡inå suprafa¡a taluzului amonte.
52
Fig. 2.23. Forţa de presiune pe o suprafaţă plană înclinată:
a) dig supus la presiunea apei; b) diagrama de presiune.
2GG hgp N/m981019810 =⋅=⋅ρ= ;
2m83,2707,0
21
sin=⋅=
α⋅=⋅=
hlLlA ;
N2776283,29810 =⋅=⋅= ApF .
Pozi¡ia punctului de aplica¡ie al for¡ei F se determinå mai întâi pe planul
: 'xoz
'''
G
GxGC
zA
Izz
⋅+= ;
m414,1707,0
1
sin' ==
α= G
Gh
z ;
433
m89,112
83,21
12=
⋅=
⋅=
LlIGx .
Rezultå:
m886,1472,0414,1414,183,2
89,1414,1' =+=
⋅+=Cz .
Centrul de presiune se gåse¿te sub planul manometric la adâncimea:
m33,1707,0886,1sin' =⋅=α⋅= CC zh .
53
Problema 2.6 Manometrul ata¿at rezervorului din figura 2.24, care con¡ine un lichid cu
densitatea , indicå o presiune = 1,5 atm. Se cere: 3kg/m900=ρ Mp
a) for¡a de presiune pe suprafa¡a planå ABCD; b) for¡a de presiune pe suprafa¡a curbå CDIJEF.
Fig. 2.24. Forţa de presiune pe o suprafaţă plană orizontală. Forţa de presiune pe o suprafaţă curbă.
Rezolvare:
a) Calculul for¡ei de presiune pe suprafa¡a ABCD. În figura 2.25 se prezintå o sec¡iune prin rezervor. Dacå se ata¿eazå rezervorului un tub piezometric, datoritå presiunii de 1,5 atm, lichidul se va ridica în tub pânå la înål¡imea:
m67,1681,9900
1081,95,1 4=
⋅⋅⋅
=ρ
=g
ph M ,
care precizeazå pozi¡ia planului manometric.
Fig. 2.25. Diagrama presiunilor.
54
Adâncimea centrului de greutate al suprafe¡ei ABCD este:
m67,150,167,16 =−=−= RhhG .
Rezultå for¡a de presiune:
LlhgApF GGABCD ⋅⋅ρ=⋅= ;
N8301003267,15981900 =⋅⋅⋅⋅=ABCDF .
Suprafa¡a ABCD fiind orizontalå, presiunea este aceea¿i în orice punct al ei,
iar rezultanta ABCDFr
ac¡ioneazå în centrul de greutate al suprafe¡ei.
Diagrama presiunilor este prezentatå în figura 2.25.
b) For¡a de presiune pe suprafa¡a curbå CDIJEF. Se calculeazå mai întâi componentele , ¿i , folosind rela¡iile
(2.31). xF yF zF
Proiec¡iile suprafe¡ei curbe CDIJEF pe planele de coordonate yoh ¿i xoh sunt prezentate în figura 2.26.
Deoarece în planul yoh suprafa¡a CDEF se proiecteazå dupå o curbå, rezultå cå ¿i deci: 0=xA
0=⋅= xGxx ApF .
Cu datele din figura 2.24 pentru componenta se ob¡ine: yF
N883100667,1681,9900 =⋅⋅⋅=⋅⋅ρ=⋅= yGyyGyy AhgApF .
Înainte de a calcula componenta se face observa¡ia cå o verticalå
,,în¡eapå” suprafa¡a semicilindricå CDEF în douå puncte, iar ultima rela¡ie din grupul (2.31) nu poate fi aplicatå direct. De aceea se împarte suprafa¡a curbå în douå, a¿a cum se aratå în figura 2.27.
hF
55
Fig. 2.26. Calculul componetelor şi . xF yF
Fig. 2.27. Calculul componentei . hF
For¡a se ob¡ine din compunerea a douå for¡e verticale ¿i : hF 'hF "
hF
- ac¡ioneazå de jos în sus ¿i este egalå cu greutatea volumului
, notat pe figurå cu ;
'hF
'''' CDJCDIJI 'W
- ac¡ioneazå de sus în jos ¿i este egalå cu greutatea volumului
, notat pe figurå cu .
"hF
'''' CHDJEFIJI "W
Rezultå:
( ) WgWWgFFFh ⋅ρ=−⋅ρ=−= '''" ,
în care W este volumul semicilindrului. Deci:
N41585314,381,99002
1
2
1 2 =⋅⋅⋅⋅=⋅π⋅⋅ρ= LRgFh .
Mårimea for¡ei de presiune pe suprafa¡a semicilindricå este:
KN0,884585,4110,883 2222 =+=+= hyCDIJEF FFF .
Aceastå for¡å este orientatå dupå direc¡ia razei care face cu orizontala un unghi pentru care: θ
047,010,883
585,41tg ===θ
y
h
FF
;
'0452=θ .
56
Problema 2.7 Un ponton este alcåtuit din douå flotoare de dimensiuni ;
¿i . Distan¡a dintre flotoare este
m0,4=Lm8,0=B m0,1=H m4,22 =l . Greutatea
totalå a pontonului, inclusiv încårcåtura este de 40,0 KN. Så se determine pescajul h al flotoarelor ¿i så se studieze stabilitatea la
plutire. Centrul de greutate al ansamblului se gåse¿te la distan¡a z = 1,5 m deasupra
flotoarelor (fig. 2.28).
Fig. 2.28. Calculul la plutire al unui ponton.
Rezolvare:
Pescajul se determinå din condi¡ia ca for¡a arhimedicå så fie egalå cu greutatea totalå a pontonului:
m64,0480,098102
40000
2=
⋅⋅⋅=
⋅⋅γ⋅=
LBG
h .
Stabilitatea la plutire este asiguratå dacå distan¡a metacentricå îndepline¿te condi¡ia (2.34):
0>−ρ=δ CG .
Pentru a calcula raza metacentricå se determinå momentul de iner¡ie J al ariei de plutire (pentru cele douå flotoare) în raport cu axa longitudinalå ¿i volumul de carenå, W:
( )LBlIJ ⋅⋅+⋅= 202 ;
223
m56,948,02,112
8,042 =⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅+
⋅⋅=J .
57
Volumul de carenå rezultå din egalitatea:
GWg =⋅ρ .
Deci:
3m077,49810
40000==
ρ=
gG
W .
Cu rela¡ia (2.35) se ob¡ine raza metacentricå:
m34,2077,4
56,9===ρ
WI
.
Distan¡a metacentricå:
m16,05,136,02
64,034,2 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−=δ ,
fiind mai mare ca zero, stabilitatea la plutire este asiguratå.
58
3
MIŞCAREA FLUIDELOR. RELAŢII GENERALE
Mi¿carea unui fluid este mi¿carea unui sistem de particule fluide care alcåtuiesc masa fluidului considerat ¿i care umplu complet ¿i compact tot domeniul în care are loc mi¿carea.
În mi¿care, în afarå de transla¡ie, particula fluidå se poate roti ¿i deforma, ceea ce înseamnå cå structura intimå a mi¿cårii este deosebit de complicatå.
3.1. ELEMENTELE MIŞCĂRII
În continuare se definesc no¡iuni ¿i mårimi caracteristice mi¿cårii fluidelor.
- Traiectoria particulei este curba descriså de o particulå fluidå în mi¿care.
- Linia de curent este curba care urmåre¿te direc¡ia generalå de curgere ¿i este tangentå la vectorii vitezelor particulelor fluide situate la un anumit moment dat pe ea, figura 3.1.
- Tubul de curent este suprafa¡a tubularå formatå de totalitatea liniilor de curent care reazemå pe o curbå închiså (fig. 3.2).
- Tubul elementar de curent este un tub de curent a cårui sec¡iune transversalå este foarte micå. El este alcåtuit din liniile de curent care sprijinå pe conturul unei suprafe¡e elementare . dA
- Firul de curent este format din fluidul în mi¿care aflat în interiorul tubului elementar de curent.
- Curentul de fluid este masa de fluid transportatå printr-un tub de curent.
- Sec¡iunea vie este suprafa¡a transversalå a unui tub de curent, la care liniile de curent sunt perpendiculare.
Fig. 3.1. Definirea liniei de curent. Fig. 3.2. Tubul de curent.
59
- Perimetrul udat este lungimea perimetrului sec¡iunii vii aflat în contact cu pere¡ii rigizi. În figura 3.3 se exemplificå no¡iunea de perimetrul udat, acesta fiind trasat cu linie groaså.
P
Fig. 3.3. Perimetrul udat.
- Raza hidraulicå este raportul dintre aria sec¡iunii vii ¿i perimetrul
udat R A
P
PA
R = . (3.1)
- Debitul de fluid. Se considerå un tub de curent nedeformabil ¿i în interiorul acestuia un tub elementar de curent cu sec¡iunea , iar vectorul vitezei locale , perpendicular pe suprafa¡a elementarå . Produsul dintre viteza v ¿i suprafa¡a poartå numele de debit elementar de fluid:
dAv dA
dA
dAvdQ ⋅= (3.2)
¿i reprezintå volumul de fluid care trece prin sec¡iunea transversalå a tubului elementar de curent în unitatea de timp.
Fig. 3.4. Debitul de fluid.
60
Prin însumarea debitelor elementare se ob¡ine debitul volumic , adicå
volumul de fluid care trece prin sec¡iunea vie a tubului de curent în unitatea de timp:
QA
∫ ⋅=A
dAvQ . (3.3)
Viteza medie este raportul dintre debitul Q ¿i aria sec¡iunii vii A:
∫ =⋅⋅=A
AQ
dAvA
V1
. (3.4)
Înmul¡ind debitul volumic cu densitatea, respectiv cu greutatea specificå a fluidului, se ob¡ine:
QQM ρ= , debitul de maså;
QQG γ= , debitul de greutate.
3.2. CLASIFICAREA MIŞCĂRILOR Mi¿carea fluidelor se clasificå astfel:
- dupå criteriul desfå¿urårii în timp: ⎪⎩
⎪⎨⎧
−
−
te;nepermanenmi¿cåri
;permanentemi¿cåri
- dupå criteriul desfå¿urårii în spa¡iu:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−−−
−−
.onaleunidimensimi¿cåri
nale;bidimensiomi¿cåri
onale;tridimensimi¿cåri
sau
.neuniformemi¿cåri
uniforme;mi¿cåri
- dupå criteriul contactului cu pere¡ii rigizi: ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−−
.fluidejeturi
liber;nivelcumi¿cåri
presiune;submi¿cåri
- dupå criteriul structurii fizice: ⎩⎨⎧−−
.turbulentemi¿cåri
laminare;mi¿cåri
61
- Mi¿carea permanentå este mi¿carea la care parametrii mi¿cårii (vitezå, presiune, densitate), în orice punct fix din spa¡iu, nu variazå în timp. La mi¿carea nepermanentå parametrii mi¿cårii variazå în timp.
- Mi¿carea uniformå se caracterizeazå prin aceea cå liniile de curent sunt rectilinii ¿i paralele. Vitezele locale sunt constante de-a lungul acestor linii. În general, la mi¿carea uniformå vitezele locale diferå de la o linie de curent la alta. Când în orice punct al domeniului mi¿cårii vitezele sunt egale, mi¿carea se nume¿te omogen-uniformå. Pentru ca o mi¿care så fie uniformå ea trebuie så fie ¿i permanentå. Mi¿carea la care nu sunt îndeplinite aceste condi¡ii se nume¿te mi¿care neuniformå. Când neuniformitatea este reduså, adicå liniile de curent au curburi mici, se spune cå mi¿carea este neuniform gradual variatå.
- Mi¿cårile tridimensionale sunt acele mi¿cåri la care componentele parametrilor mi¿cårii fa¡å de un sistem de coordonate ortogonal sunt de acela¿i ordin de mårime, adicå sunt func¡ii de cele trei coordonate ale spa¡iului:
( )tzyxvv ,,,rr
= ;
( )tzyxpp ,,,= .
La mi¿carea bidimensionalå parametrii mi¿cårii depind numai de douå variabile spa¡iale:
( )tyxvv ,,rr
= ;
( )tyxpp ,,= .
Din clasa mi¿cårilor bidimensionale fac parte:
o mi¿cårile plane, la care mi¿carea este identicå în plane paralele cu un plan dat (mi¿carea într-un canal dreptunghiular de lå¡ime mare este identicå în orice plan vertical paralel cu pere¡ii laterali, excep¡ie fåcând zona de lângå pere¡ii laterali);
o mi¿cårile axial simetrice, la care mi¿carea este identicå în orice plan care trece printr-o axå de simetrie (mi¿carea într-o conductå rectilinie ¿i circularå în sec¡iune).
- Mi¿carea unidimensionalå depinde de o singurå variabilå spa¡ialå.
( )txvv ,rr
= ;
( )txpp ,= .
62
- Mi¿cårile sub presiune se desfå¿oarå în spa¡ii limitate, mårginite de pere¡ii rigizi, umplute complet cu fluidul în mi¿care.
- Mi¿cårile cu suprafa¡å liberå sunt întâlnite numai la lichide. În acest caz, lichidul se aflå par¡ial în contact cu un contur rigid, în rest formând o suprafa¡å liberå în contact cu atmosfera.
- Jetul fluid reprezintå mi¿carea unui fluid în domeniul ocupat de un alt fluid.
3.2.1. MIŞCĂRI LAMINARE ŞI TURBULENTE Din punct de vedere al structurii interne, mi¿carea fluidelor se produce în
douå moduri calitativ diferite, numite regimul laminar, respectiv regimul turbulent.
Eviden¡ierea celor douå regimuri de mi¿care se poate face experimental. Instala¡ia experimentalå (fig. 3.5), se compune dintr-o conductå transparentå alimentatå cu apå dintr-un rezervor cu nivel constant ¿i echipatå la capåtul aval cu un robinet de reglaj. Dintr-un al doilea rezervor, printr-un tub sub¡ire, se injecteazå colorant în conducta transparentå.
Prin manevrarea vanei se regleazå debitul, respectiv viteza apei în conductå. Când viteza este micå, colorantul se men¡ine pe toatå lungimea conductei sub forma unui fir colorat (fig. 3.6,a). Mårind viteza, firul colorat nu mai are o pozi¡ie stabilå ¿i oscileazå în jurul pozi¡iei ini¡iale (fig. 3.6,b). La viteze mai mari, firul colorat se rupe ¿i difuzeazå în toatå masa de apå din conducta transparentå (fig. 3.6,c). Pentru un lichid ¿i un diametru D date, existå o valoare a vitezei pentru care se produc schimbåri calitative importante în structura internå a mi¿cårii, mi¿carea trecând de la regimul laminar (situa¡ia din fig. 3.6,a), la regimul turbulent.
Fig. 3.5. Experienţa Reynolds.
63
Fig. 3.6. Regimuri de mişcare: a) mişcare laminară;
b) tranziţie; c) mişcare turbulentă.
Prin experien¡a de mai sus, în 1883, O. Reynolds a pus în eviden¡å pentru prima datå existen¡a celor douå regimuri de mi¿care.
Mi¿carea laminarå se caracterizeazå prin:
- traiectoriile particulelor sunt paralele (fig. 3.7,a);
- mi¿carea are o structurå ordonatå, în straturi; la o conductå circularå straturile sunt telescopice cu viteza maximå în axul conductei;
- particulele fluide î¿i men¡in individualitatea, fårå a trece dintr-un strat în altul.
În mi¿carea turbulentå, particulele se deplaseazå dezordonat ¿i întâmplåtor, cu traiectorii care se intersecteazå (fig. 3.7,b). Particulele trec dintr-un strat în altul, producându-se un transfer de maså ¿i cantitate de mi¿care între straturi, fenomen numit difuzie turbulentå. Într-un punct oarecare, viteza localå nu este constantå, ea variazå în jurul unei valori medii v numitå vitezå medie temporalå.
În figura 3.8 se prezintå varia¡ia vitezei locale. Abaterea vitezei de la
valoarea medie poartå numele de pulsa¡ia vitezei ¿i se noteazå cu . Viteza localå instantanee este datå de rela¡ia:
'vv
a) b)
Fig. 3.7. Regimuri de mişcare: a) mişcare laminară; b) mişcare turbulentă.
64
Fig. 3.8. Variaţia vitezei locale.
'vvv ±= , (3.5)
iar viteza medie temporalå are expresia: ∫+
⋅⋅=Tt
t
tdvT
v1
, în care este inter-
valul de timp pe care se face medierea.
T
Pulsa¡iile de vitezå provoacå deplasåri transversale ale particulelor (difuzie turbulentå) cu implica¡ii directe asupra distribu¡iei de viteze; la mi¿carea turbulentå distribu¡ia de vitezå este mai uniformå în compara¡ie cu distribu¡ia de vitezå la mi¿carea laminarå (fig. 3.9).
O altå caracteristicå a mi¿cårii turbulente este legatå de efortul tangen¡ial. În subcapitolul 1.5 s-a aråtat cå datoritå viscozitå¡ii fluidului apar eforturi
tangen¡iale, exprimate de legea lui Newton: dydv
⋅µ=τν .
Datoritå pulsa¡iilor de vitezå, acestui efort tangen¡ial de viscozitate ,
specific mi¿cårii laminare, i se adaugå un efort tangen¡ial ντ
tτ , propriu mi¿cårii
turbulente.
Fig. 3.9. Distribuţia vitezei în mişcarea laminară şi mişcarea turbulentă.
65
Deci, în mi¿carea turbulentå frecårile interioare sunt date de rela¡ia:
tτ+τ=τ ν . (3.6)
Recunoa¿terea regimului de mi¿care. Efectuând experien¡a Reynolds cu diferite diametre D ¿i fluide cu diferite viscozitå¡i ν se constatå cå existå un raport, numit numårul lui Reynolds, cu ajutorul cåruia se poate preciza regimul de mi¿care:
ν=
DVDRe , (3.7)
în care:
este viteza medie în conductå; V - diametrul conductei; D
ν - viscozitatea cinematicå a fluidului.
Pentru conducte circulare, valoarea criticå a numårului , corespunzå-
toare trecerii de la regimul laminar la regimul turbulent este: DRe
( ) 2300Re =crD . (3.8)
Când , mi¿carea este laminarå, iar pentru mi¿carea
este turbulentå. Într-o formå generalå, numårul se scrie:
2300Re <D 2300Re >D
Re
ν=
LVRe , ( '8.3 )
prin L în¡elegând diametrul conductei D, raza hidraulicå R sau adâncimea curentului când mi¿carea este cu suprafa¡å liberå. Deoarece numårul Re permite recunoa¿terea regimului de mi¿care, se mai nume¿te ¿i criteriul Reynolds, denumire folositå în teoria similitudinii.
3.3. STRATUL LIMITĂ
Prezen¡a unui corp rigid în domeniul mi¿cårii unui fluid perturbå mi¿carea, având drept rezultat o modificare substan¡ialå a distribu¡iei vitezelor.
Pentru u¿urin¡a în¡elegerii fenomenului se considerå o placå planå semiinfinitå, fixå în spa¡iu, situatå într-un curent cu mi¿care omogen-uniformå ¿i dispuså dupå direc¡ia de curgere a fluidului (fig. 3.10,a). Datoritå fenomenului de adeziune la contactul dintre fluid ¿i suprafa¡a rigidå, viteza fluidului este nulå. În vecinåtatea suprafe¡ei rigide a plåcii, vitezele variazå dupå direc¡ia normalå la suprafa¡å.
66
a) b)
Fig. 3.10. Stratul limită: a) formarea stratului limită; b) regimuri de mişcare
în stratul limită.
Zona din vecinåtatea unui corp rigid în care mi¿carea fluidului este puternic influen¡atå de prezen¡a acestuia ¿i în care viteza cre¿te de la valoarea zero la o valoare apropiatå de valoarea ini¡ialå a curentului se nume¿te strat limitå. ∞V
Grosimea stratului limitå δ se måsoarå perpendicular pe suprafa¡a rigidå ¿i se define¿te ca fiind distan¡a de la suprafa¡a rigidå pânå la un punct în care viteza este cu 1% mai micå decât viteza curentului omogen . ∞V
Stratul limitå se formeazå de o parte ¿i de alta a plåcii începând din punctul 0 (bord de atac), unde = 0 ¿i cre¿te continuu în grosime de-a lungul axei ox. δ În stratul limitå mi¿carea poate fi laminarå sau turbulentå (fig. 3.10,b). În apropierea bordului de atac mi¿carea în stratul limitå este laminarå, iar dupå o anumitå distan¡å devine turbulentå.
Lângå placå, în interiorul stratului limitå turbulent, se formeazå un substrat de grosime în care mi¿carea se men¡ine laminarå. Acest substrat se nume¿te
substrat limitå laminar sau film laminar. 0δ
3.3.1. STRATUL LIMITĂ LA CONDUCTA CIRCULARĂ Teoria stratului limitå permite explicarea distribu¡iei de vitezå în cazul
mi¿cårii unui fluid printr-o conductå. În figura 3.11 se aratå formarea profilului de viteze la mi¿carea laminarå
într-o conductå circularå cu diametrul D. La intrarea în conductå (plecarea din rezervor) distribu¡ia de viteze este
uniformå. Mai departe, ac¡iunea de frânare a pere¡ilor genereazå stratul limitå, care se dezvoltå pânå într-o sec¡iune S unde acesta ocupå întreaga conductå.
Sec¡iunea S se gåse¿te fa¡å de capåtul amonte al conductei la distan¡a
numitå lungime de stabilizare. Pentru mi¿carea laminarå: sl
67
Fig. 3.11. Stratul limită la o conductă circulară în mişcarea laminară.
Ds Dl Re03,0 ⋅= . (3.9)
Pe distan¡a particulele din axa conductei sunt accelerate, astfel cå debitul
în orice sec¡iune a conductei este acela¿i. Începând cu sec¡iunea S profilul vitezelor råmâne nemodificat. El este dat de rela¡ia:
sl
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅=
2
2
max4
1D
rvv , (3.19)
în care este viteza localå la distan¡a de axa conductei. În axa conductei viteza este maximå, .
v r
maxv
În cazul mi¿cårii turbulente (fig. 3.12), începând dintr-o sec¡iune T în stratul limitå mi¿carea devine turbulentå, iar stratul limitå laminar se mic¿oreazå, transformându-se în film laminar. Pentru mi¿carea turbulentå lungimea de stabilizare este:
Dls 50≅ , (3.11)
iar viteza medie:
max84,0 vV ≅ . (3.12)
Fig. 3.12. Stratul limită, la o conductă circulară în mişcare turbulentă.
68
3.3.2. DESPRINDEREA STRATULUI LIMITĂ În cazul plåcii situatå într-un curent omogen (fig. 3.10), s-a aråtat cå grosimea stratului limitå cre¿te în lungul axei ox. Dacå suprafa¡a rigidå prezintå o curburå accentuatå (fig. 3.13), presiunea în lungul curgerii cre¿te în detrimentul reducerii vitezelor. Mic¿orarea vitezelor poate så fie atât de mare încât så capete valori negative, adicå sensul curgerii în stratul limitå se inverseazå. Începând din punctul D de-a lungul liniei punctate D-x vitezele sunt nule; aceastå linie poate fi privitå ca o extindere a conturului rigid. Sub aceastå linie vitezele au valori negative. Fenomenul descris poartå numele de desprindere a stratului limitå, iar punctul D se nume¿te punct de desprindere.
Fig. 3.13. Desprinderea stratului limită.
Pozi¡ia punctului de desprindere D depinde de regimul de mi¿care în stratul
limitå. La mi¿carea turbulentå punctul D se gåse¿te mai spre aval, deci stratul limitå este mai stabil ¿i se desprinde mai greu. Desprinderea stratului limitå este înso¡itå de vârtejuri care consumå o parte din energia curentului.
3.4. ECUAŢIA DE CONTINUITATE Ecua¡ia de continuitate exprimå principiul conservårii masei pentru mediile
fluide ¿i se enun¡å astfel: la o mi¿care permanentå de-a lungul unui tub de curent debitul de maså sau de greutate este constant.
Referitor la figura 3.14, care reprezintå un tub de curent nedeformabil prin care se vehiculeazå un fluid în mi¿care permanentå, ecua¡ia de continuitate se scrie:
( ) ( ) ntconsta21 =ρ=ρ QQ . (3.13)
69
Demonstrarea ecu¡iei de continuitate se face prin reducerea la absurd: considerând cå prin sec¡iunea 1 intrå un debit de maså ( )1Qρ , iar prin sec¡iunea
2 ar ie¿i un debit de maså ( , diferit de )2Qρ ( )1Qρ , ar însemna cå între sec¡iunile
1 ¿i 2 s-ar produce fie o aglomerare, fie o diminuare a masei, având drept efect modificarea densitå¡ii în timp. Acest lucru nu este posibil deoarece s-a admis cå mi¿carea este permanentå. Concluzia este cå rela¡ia (3.13) este adevåratå.
Când fluidul este incompresibil ( constant=ρ ) ecua¡ia de continuitate (3.13)
capåtå forma:
constant21 == QQ (3.14)
sau, în general: constant=Q . (3.15)
În cazul unei ramifica¡ii (fig. 3.15), ecua¡ia de continuitate se scrie:
321 QQQ =+
sau într-o formå generalå:
∑ = 0iQ . (3.16)
Fig. 3.14. Ecuaţia de continuitate
pentru un tub de curent. Fig. 3.15. Ecuaţia de continuitate
pentru o ramificaţie.
3.5. ECUAŢIA ENERGIILOR (RELAŢIA LUI BERNOULLI)
Ecua¡ia energiilor exprimå principiul conservårii energiei. Se considerå un tub de curent prin care se transportå un fluid incompresibil
în mi¿care permanentå (fig. 3.16). Fiecare particulå de fluid aflatå în mi¿care posedå o anumitå energie
mecanicå care raportatå la greutatea particulei reprezintå energia specificå. Pe drumul parcurs între sec¡iunile 1 ¿i 2, o parte din energia particulei se disipeazå datoritå frecårilor interne.
70
Fig. 3.16. Schemă pentru definirea ecuaţiei energiilor. Energia care trece prin sec¡iunea 1 (fluxul de energie) este datå de suma
energiilor particulelor care traverseazå aceastå sec¡iune. Acela¿i lucru se întâmplå ¿i în sec¡iunea 2, astfel cå se poate scrie ecua¡ia de bilan¡ energetic:
2121 −∆+= EEE , (3.17)
în care:
este fluxul de energie care trece prin sec¡iunea 1; 1E
- fluxul de energie care trece prin sec¡iunea 2; 2E
21−∆ E - fluxul de energie care se disipeazå.
Energia specificå e a unei particule în mi¿care se compune din energia
specificå poten¡ialå ¿i energia specificå cineticå : pe ce
cp eee += . (3.18)
În paragraful 2.3.3 s-a aråtat cå energia specificå poten¡ialå are expresia:
gp
zep ρ+= . (3.19)
Energia specificå cineticå a unei particule de maså m ¿i vitezå este: v
gv
mg
mvec 2
2
12
2
=⋅
= . (3.20)
Rezultå:
g
vg
pze
2
2+
ρ+= . (3.21)
71
Energia care trece printr-o sec¡iune a unui tub elementar de curent (fluxul elementar de energie) este egalå cu energia specificå a particulei înmul¡itå cu greutatea ei:
dA
dAvgedQgedGedE ⋅⋅ρ⋅=⋅ρ⋅=⋅=
sau:
dAvgg
vg
pzdE ⋅⋅ρ⋅⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
ρ+=
2
2. (3.22)
Integrând rela¡ia (3.22) pe sec¡iunea A, se ob¡ine energia care trece prin aceastå sec¡iune:
dAvgg
vg
pzE
A
⋅⋅ρ⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
ρ+= ∫ 2
2. (3.23)
În figura 3.17 se prezintå o sec¡iune transversalå printr-un curent uniform. Se
constatå cå suma g
pz
ρ+ este constantå pentru orice punct din aceastå sec¡iune.
Cu aceastå observa¡ie rela¡ia (3.23) devine:
∫ ⋅⋅ρ
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ
+⋅⋅ρ=A
dAvgg
gp
zQgE 3
2. (3.24)
În rela¡ia (3.24) apare viteza . Într-o sec¡iune transversalå A viteza localå nu este constantå. Ea variazå de la punct la punct (fig. 3.18).
v
Exprimând viteza localå în func¡ie de viteza medie, integralei din (3.24) i se poate da o formå convenabilå. Astfel, viteza localå se înlocuie¿te cu:
Fig. 3.17. Energia potenţială specifică în secţiunea transversală.
72
Vkv = , (3.25)
în care:
este un coeficient admisional care variazå în sec¡iunea transversalå A de la punct la punct; la contactul fluidului cu conturul rigid, datoritå adeziunii,
k
0=k ; V - viteza medie, definitå cu rela¡ia (3.4).
Cu rela¡ia (3.25) ultimul termen din (3.24) devine:
=⋅⋅⋅⋅⋅ρ=⋅⋅⋅ρ
=⋅⋅ρ
∫∫∫ dAkAg
VQgdAk
gVg
dAvgg
AA
32
33
3 1
222
gV
Qg2
2α⋅⋅ρ= . (3.26)
În ultima rela¡ie s-a folosit nota¡ia:
dAkA
A
⋅⋅=α ∫ 31. (3.27)
Mårimea α este un coeficient adimensional care ¡ine seama de distribu¡ia vitezelor în sec¡iunea transversalå A ¿i se nume¿te coeficientul lui Coriolis. Cu cât distribu¡ia de viteze este mai neuniformå, cu atât coeficientul α are valori mai mari.
În compara¡ie cu mi¿carea laminarå, mi¿carea turbulentå având o distribu¡ie de viteze mai uniformå (v. fig. 3.9) este caracterizatå de valori mai mici ale coeficientului : α
− pentru mi¿carea laminarå: 2=α ; − pentru mi¿carea turbulentå: 1,103,1 K=α .
Fig. 3.18. Distribuţia de viteze într-un tub de curent.
73
Înlocuind rela¡ia (3.26) în rela¡ia (3.24) se ob¡ine expresia energiei care traverseazå sec¡iunea A:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ α+
ρ+⋅ρ=
gV
gp
zQgE2
2. (3.28)
Prin simplificarea cu debitul de greutate Qgρ rezultå sarcina hidrodinamicå
H a sec¡iunii:
gV
gp
zH2
2α+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ
+= . (3.29)
Raportul dintre energia disipatå 21−∆ E ¿i debitul de greutate
reprezintå cantitatea cu care se diminueazå sarcina hidrodinamicå H între sec¡iunile 1 ¿i 2; se noteazå cu ¿i se nume¿te pierdere de sarcinå:
Qgρ
21−rh
QgE
hr ρ∆
= −−
2121
. (3.30)
ºinând seama de rela¡iile (3.29) ¿i (3.30), ecua¡ia de bilan¡ energetic (3.17) capåtå forma:
2121 −+= rhHH (3.31)
sau:
2122
222
2
211
1−
+α
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ
+=α
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ
+ rhg
V
g
pz
g
V
g
pz . (3.32)
Aceasta este ecua¡ia energiilor (rela¡ia lui Bernoulli) pentru mi¿carea
permanentå a unui fluid incompresibil. Din punct de vedere energetic, fiecare termen din ecua¡ia (3.32) reprezintå
diferite forme de energie specificå medie în sec¡iune: z este energia specificå de pozi¡ie;
gpρ
- energia specificå de presiune;
gp
zHp ρ+= - energia specificå poten¡ialå (sarcina piezometricå);
74
gV2
2α - energia specificå cineticå;
gV
gp
zH2
2α+
ρ+=
- energia specificå totalå (sarcina hidrodinamicå);
21−rh - energia specificå disipatå (pierderea de sarcinå);
• Reprezentarea graficå a rela¡iei lui Bernoulli. Dimensional, fiecare termen al rela¡iei (3.32) reprezintå o lungime, ceea ce permite o reprezentare graficå, unde:
z este înål¡imea de pozi¡ie (cota geodezicå) a particulei fluide considerate, fa¡å de un plan orizontal arbitrar ales, numit plan de referin¡å PR;
gpρ
- înål¡imea piezometricå (înål¡imea pânå la care se ridicå lichidul în tubul piezometric (fig. 3.19));
gp
zHp ρ+= - cota piezometricå;
gV2
2α - înål¡imea cineticå;
gV
gp
zH2
2α+
ρ+= - cota energeticå.
În figura 3.19 se aratå semnifica¡ia fiecårui termen din rela¡ia Bernoulli.
• Planul de sarcinå (PS) este planul orizontal care corespunde cotei energetice în sec¡iunea de intrare (sec¡iunea 1).
Dacå se men¡ine sec¡iunea 1 într-o pozi¡ie fixå ¿i se deplaseazå sec¡iunea 2, punctele reprezentative M ¿i N vor descrie douå linii numite linii caracteristice.
- linia energeticå le aratå varia¡ia cotei energetice fa¡å de planul de referin¡å PR sau a pierderilor de sarcinå fa¡å de planul de sarcinå PS;
- linia piezometricå lp aratå varia¡ia cotei piezometrice fa¡å de planul de referin¡å; ea se gåse¿te întotdeauna sub linia energeticå la distan¡a
. gV 2/2α
Rela¡ia (3.31) puså sub forma:
2121 −=− rhHH (3.33)
75
Fig. 3.19. Reprezentarea grafică a relaţiei energiilor. aratå cå pierderea de sarcinå este diferen¡a dintre sarcinile hidrodinamice din sec¡iunile 1 ¿i 2.
Raportul între pierderea de sarcinå ¿i distan¡a L dintre sec¡iunile 1 ¿i 2 define¿te panta hidraulicå notatå cu I:
L
hI
r 21−= . (3.34)
În figurile 3.20 … 3.24 se aratå trasarea liniilor caracteristice pentru diferite situa¡ii frecvent întâlnite în practicå.
3.5.1. ECUAŢIA ENERGIILOR ÎN CAZUL POMPELOR ŞI TURBINELOR Când pe o conductå sub presiune existå ma¿ini hidraulice de tipul pompelor,
ventilatoarelor sau turbinelor, între aceasta ¿i fluidul vehiculat se realizeazå un schimb energetic. Rotoarele pompelor ¿i ventilatoarelor sunt antrenate din exterior ¿i pun în mi¿care curentul fluid. Cu alte cuvinte, pompele ¿i ventilatoarele transformå energia mecanicå primitå din exterior în energie hidraulicå. Turbina transformå energia hidraulicå în energie mecanicå.
Reprezentarea graficå a rela¡iei energiilor în cazul existen¡ei unei pompe pe o conductå este prezentatå în figura 3.25.
76
Fig. 3.20. Linii caracteristice la o conductă
cu diametrul constant. Fig. 3.21. Linii caracteristice la îngustarea de secţiune.
Fig. 3.22. Linii caracteristice la lărgirea de secţiune.
Fig. 3.23. Linii caracteristice la curgerea cu suprafaţă liberă peste un prag
coborâtor.
Fig. 3.24. Linii caracteristice la o rezistenţă locală (vană plană).
77
Fig. 3.25. Linii caracteristice la un sistem hidraulic cu pompă.
Referitor la figura 3.25, ecua¡ia energiilor este:
21 22
222
2
211
1 −−+
α+
ρ+=+−
α+
ρ+
pp rr hg
Vg
pzHh
gV
gp
z
sau:
21
222
2
211
1 2 −+
ρα
+ρ
+=+α
+ρ
+ rhg
Vg
pzH
gV
gp
z ,
în care:
( )2121 −−−
+=pp rrr hhh este pierderea de sarcinå între sec¡iunile 1 ¿i 2;
H - energia specificå pe care o prime¿te fluidul. Rela¡ia energiilor în cazul unei turbine intercalatå pe o conductå sub presiune
este reprezentatå grafic în figura 3.26. Pentru un sistem hidraulic sub presiune cu turbinå (fig. 3.26) ecua¡ia
energiilor este:
21 22
222
2
211
1 −−+
α+
ρ+=−−
α+
ρ+
TT rr hg
Vg
pzHh
gV
gp
z
sau:
21
222
2
211
1 2 −+
ρα
+ρ
+=−α
+ρ
+ rhg
Vg
pzH
gV
gp
z ,
78
Fig. 3.26. Linii caracteristice la un sistem hidraulic cu turbină.
în care:
( )2121 −−−
+=TT rrr hhh este pierderea de sarcinå între sec¡iunile 1 ¿i 2;
H - energia specificå care se transferå de la fluid la ma¿ina hidraulicå.
Observa¡ii:
- Linia energeticå este tot timpul coborâtoare în sensul curgerii.
- În prezen¡a unor rezisten¡e hidraulice (robinete, vane, diafragme, coturi etc.) se produc pierderi de sarcinå locale care se eviden¡iazå pe linia energeticå prin trepte coborâtoare în sensul de curgere (fig. 3.21, fig. 3.22. ¿i fig. 3.24).
- Liniile caracteristice aferente tronsoanelor de conducte cu diametrul constant sunt drepte paralele.
- La o conductå alcåtuitå din douå tronsoane cu diametre diferite, distan¡a dintre liniile caracteristice este mai mare pe tronsonul cu diametrul mai
mic, deoarece pe aceasta termenul cinetic este mai mare
(fig. 3.21 ¿i 3.22).
gV 2/2α
- În unele situa¡ii linia piezometricå poate avea trepte ridicåtoare în sensul de curgere. O astfel de situa¡ia este aråtatå în figura 3.22, unde se prezintå o trecere de la un diametru mic la un diametru mai mare. În acest caz, la schimbarea de diametru se produce o transformare a energiei cinetice în energie poten¡ialå.
- În cazul fluidului perfect, deoarece nu existå frecåri interne, pierderile de sarcinå sunt nule. De asemenea, distribu¡ia de viteze este uniformå, adicå
79
în orice punct al sec¡iunii A viteza este egalå cu viteza medie ( ). Din rela¡ia (3.25) rezultå
Vv =1=k , iar din (3.27) se ob¡ine 1=α , astfel cå
rela¡ia (3.32) se reduce la:
gvp
zg
vpz
22
22
2
21
1
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛γ
+=+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛γ
+ . (3.35)
3.6. ECUAŢIA IMPULSULUI (TEOREMA IMPULSULUI)
Ecua¡ia impulsului reprezintå aplicarea legii varia¡iei cantitå¡ii de mi¿care cunoscutå din mecanica generalå, la un mediu fluid aflat în mi¿care.
Se reaminte¿te cå prin cantitatea de mi¿care a unui corp se în¡elege produsul dintre masa corpului ¿i viteza lui.
Varia¡ia cantitå¡ii de mi¿care a unei mase fluide într-un interval de timp dt este egalå cu impulsul for¡elor exterioare care ac¡ioneazå asupra masei respective, adicå:
dtFCd ⋅=rr
, (3.36)
în care:
∫=W
dmvCrr
este cantitatea de mi¿care a masei de fluid alcåtuitå dintr-un sistem de particule având masa ¿i viteza
; dm
vv
Cdr
- varia¡ia cantitå¡ii de mi¿care în timpul ; dt
Fr
- suma for¡elor exterioare.
Se considerå un curent de fluid mårginit de un tub de curent cu pere¡i rigizi ¿i fic¿i ¿i o suprafa¡å de control delimitatå de douå sec¡iuni 1 ¿i 2 (figuratå cu linie întreruptå) (fig. 3.27).
Fig. 3.27. Teorema impulsului.
80
La momentul t fluidul ocupå volumul BAAA
WW '' + .
La momentul fluidul ocupå volumul dtt + '' BBBAWW + .
Varia¡ia cantitå¡ii de mi¿care în intervalul de timp este: dt
( ) ( ) '''''' AABBBAAABBBACCCCCCCdrrrrrrr
−=+−+= . (3.37)
Referitor la figura 3.27, sec¡iunea 1, cantitatea de mi¿care în intervalul de timp este datå de rela¡ia: dt
∫ ⋅=W
AAdmvC 1'
rr. (3.38)
Fåcând înlocuirea:
dAdtvdm ⋅⋅ρ= 1 , (3.39)
integrala de volum (3.38) se transformå în integrala de suprafa¡å:
dAvvdtdAdtvvCAA
AA⋅⋅⋅ρ=⋅⋅ρ⋅= ∫∫ 1111
11
'vvr
. (3.40)
În sec¡iunea 1 se considerå cå mi¿carea este paralelå. Aceasta înseamnå cå
viteza medie 1Vr
are aceea¿i direc¡ie cu vitezele locale 1vr
, adicå vectorii
vitezelor sunt indentici:
1
1
1
1
VV
vv
rr
= . (3.41)
ºinând seama de rela¡iile (3.25) ¿i (3.40) se ob¡ine:
dAkVVV
dtdAvVV
dtCAA
AA⋅⋅⋅⋅ρ=⋅⋅⋅⋅ρ= ∫∫
11
'22
11
121
1
1rr
r.
Înmul¡ind, în partea dreaptå a ultimei rela¡ii, cu raportul , rezultå: 11 / AA
dAkA
QVdtCA
AA⋅⋅⋅⋅⋅ρ= ∫
1
'2
11
1rr. (3.42)
Cu nota¡ia:
dAkA
A
⋅⋅=β ∫1
2
11
1, (3.43)
81
rela¡ia (3.42) devine:
dtVQCAA
⋅⋅ρ⋅β= 11'
rr. (3.44)
Un ra¡ionament asemånåtor, pentru sec¡iunea 2, conduce la:
dtVQCBB
⋅⋅⋅ρ⋅β= 22'
vr. (3.45)
Înlocuind în rela¡ia (3.37) se ob¡ine varia¡ia cantitå¡ii de mi¿care în intervalul de timp : dt
( ) dtVQVQCd ⋅ρβ−ρβ= 1122vrv
(3.46)
sau:
( ) dtIICd ⋅−= 12rvr
, (3.47)
în care s-a notat cu Ir
for¡a datoratå impulsului:
VQIrv
ρβ= . (3.48)
Coeficientul , cunoscut sub denumirea de coeficientul Boussinesq, ¡ine
seama de distribu¡ia vitezelor locale ¿i are urmåtoarele valori:
β
- pentru mi¿carea laminarå, β = 1,33;
- pentru mi¿carea turbulentå, β = 1,01 … 1,03.
Între coeficientul lui Coriolis, α , ¿i coeficientul β existå rela¡ia:
3
11
−α+=β .
For¡ele exterioare care ac¡ioneazå asupra masei de fluid sunt:
Gv
- greutatea masei de fluid;
1Fr
- for¡a de presiune în sec¡iunea 1;
2Fr
- for¡a de presiune în sec¡iunea 2;
- reac¡iunea pere¡ilor rigizi. Rv
Partea dreaptå a rela¡iei (3.36) are expresia:
( ) dtRFFGdtF ⋅+++=⋅rrrrv
21 . (3.49)
82
Cu rela¡iile (3.47) ¿i (3.49) se ob¡ine ecua¡ia impulsului pentru mi¿carea permanentå ¿i fluid incompresibil.
RFFGIIrrrrrr
+++=− 2112 , (3.50)
care permite rezolvarea unor probleme practice, ca de exemplu reac¡iunea în coturile conductelor, ac¡iunea unui curent fluid asupra unei plåci etc.
3.6.1. EFORTUL TANGENŢIAL MEDIU LA PERETE
No¡iunea de efort tangen¡ial a fost introduså la subcapitolul 1.5, odatå cu no¡iunea de viscozitate. Efortul tangen¡ial mediu la perete, notat cu , este
media eforturilor tangen¡iale care apar pe perimetrul udat al sec¡iunii. 0τ
Se considerå un fluid în mi¿care uniformå care se deplaseazå într-un tronson de conductå rectilinie de lungime L ¿i cu sec¡iunea constantå (fig. 3.28):
Se aplicå ecua¡ia impulsului masei de fluid cuprinså între sec¡iunile 1 ¿i 2 ¿i apoi se proiecteazå pe direc¡ia de curgere. Se ob¡ine:
cRPPGII −−+α−=− 2112 sin , (3.51)
Fig. 3.28. Efortul tangenţial mediu la perete.
83
în care:
sunt for¡ele datoritå impulsului; ele sunt egale, deoarece 21 II =
21 VV = ;
21, pp - presiunile în centrele de greutate ale sec¡iunilor 1 ¿i 2;
este greutatea fluidului; ALgG ⋅ρ= - for¡a de presiune în sec¡iunea 1; ApP 11 = - for¡a de presiune în sec¡iunea 2; ApP 22 = - reac¡iunea peretelui conductei; PLRc 0τ= - perimetrul udat. P Din (3.51) se ob¡ine:
( ) α⋅ρ−⋅−= sin21 ALgAppRc
sau:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ
−ρ
+−⋅⋅ρ=g
pg
pzzAgRc
2121 . (3.52)
Din rela¡ia lui Bernoulli:
2122
222
2
211
1 −+
α+
ρ+=
α+
ρ+ rh
gV
gp
zg
Vg
pz ,
pentru se ob¡ine: 21 VV =
2121
21 −=
ρ−
ρ+− rh
gp
gp
zz ,
iar rela¡ia (3.52) devine:
21−⋅⋅ρ= rc hAgR
sau:
210 −⋅⋅ρ=⋅τ rhAgPL . (3.53)
ºinând seama de rela¡iile (3.1) ¿i (3.34) care definesc raza hidraulicå ¿i panta hidraulicå, se ob¡ine expresia efortului mediu la peretele conductei:
RIg ⋅ρ=τ0 , (3.54)
84
în care:
pA
R = , este raza hidraulicå;
L
hI
r 21−= panta hidraulicå - .
APLICAŢII
Problema 3.1 O sta¡ie de pompare este echipatå cu cinci pompe, fiecare având un debit
. Conductele de refulare de la fiecare pompå au diametrul
700 mm ¿i se grupeazå printr-un sistem de îmbinåri (fig. 3.29), într-o
conductå unicå cu diametrul
/s8001 l=Q
=1D=2D 1400 mm.
Så se calculeze debitul ¿i viteza medie pe conductå cu diametrul . 2D
Fig. 3.29. Schema pentru aplicarea ecuaţiei de continuitate.
Rezolvare:
Se scrie ecua¡ia de continuitate (3.16):
/sm2,3/s320048004 312 ==== lQQ .
Viteza medie se calculeazå cu rela¡ia (3.4):
85
m/s08,2
4
4,114,3
2,32
2
22 =
⋅==
AQ
V .
Problema 3.2
Så se determine debitul de lichid care se scurge prin ajutajul cu diametrul d
montat în peretele unui rezervor (fig. 3.30) adoptându-se modelul de fluid perfect.
Se cunosc: = 100 mm; = 3,0 m; d h Dd << .
Fig. 3.30. Aplicaţie la legea energiilor pentru fluidul perfect.
Rezolvare:
Se scrie ecua¡ia lui Bernoulli pentru fluidul perfect (3.35), între punctele 1 ¿i 2:
gVp
zg
Vpz
22
222
2
211
1 +γ
+=+γ
+ .
Deoarece , se poate aproxima Dd << 01 =v . Se mai observå cå
. atppp == 21
ºinând seama cå:
hzz =− 21 ,
se ob¡ine viteza în orificiu:
86
m/s67,7381,922 =⋅⋅== ghv ,
iar din ecua¡ia de continuitate debitul:
/sm06,04
1,014,367,7
43
22=
⋅⋅=
π⋅==
dvAvQ .
Problema 3.3
Pe o conductå care transportå apå se aflå montat în plan orizontal un cot la
900 cu diametrul 600 mm (fig. 3.31). Så se calculeze solicitarea orizontalå
în reazeme, ¿tiind cå debitul =D
/s1000 l=Q ¿i presiunea =p 8,0 atm. Se vor
neglija pierderile de sarcinå.
Fig. 3.31. Aplicaţie la ecuaţia impulsului.
Rezolvare:
Se considerå suprafa¡a de control delimitatå de sec¡iunile 1 ¿i 2 ¿i peretele conductei, figuratå cu linie întreruptå în figura 3.31. Masei de fluid cuprinså în interiorul suprafe¡ei de control i se aplicå ecua¡ia impulsului (3.50).
2121 IIPPGRvvrrrv
−+++=− .
87
For¡a de ac¡iune Fr
a fluidului asupra cotului este egalå ¿i de sens contrar cu . R
v
Proiectând ecua¡ia impulsului pe direc¡ia ox, respectiv oy, ¿i ¡inând seama cå RFvv
−= , se ob¡ine:
11 IPFx += ;
22 IPFy += .
Greutatea masei de lichid, Gv
, nu are componente în planul xoy. Deoarece ¿i sec¡iunea cotului constantå, rezultå 21 QQ = 21 VV = , iar for¡ele
1Iv
¿i 2Iv
sunt egale în modul. Vectorul 1Iv
are orientarea lui , iar vectorul
(1P
2Iv
− ) are orientarea lui 2Pv
.
Cu datele numerice se ob¡in:
24 N/m7848001081,98atm8 =⋅⋅==p ;
222
m283,04
6,041,3
4=
⋅=
π=
DA ;
N222098784800283,021 =⋅=⋅== ApPP ;
m/s53,3283,0
1===
AQ
V ;
N353053,30,11000121 =⋅⋅⋅=ρβ== VQII ;
N2256283530222098 =+== yx FF .
Reac¡iunea orizontalå în reazeme este:
N31908622 =+==− yx FFFR .
For¡a este orientatå dupå bisectoarea unghiului curbei (are acela¿i suport
ca
R−
Fr
).
88
4
PIERDERI DE SARCINĂ Aplicarea ecua¡iei energiilor, rela¡ia (3.32), presupune cunoa¿terea pierderii
de sarcinå . Termenul reprezintå partea din energia mecanicå a unitå¡ii de
greutate de fluid care se transformå în energie caloricå, ca urmare a frecårilor din interiorul fluidului. Din punct de vedere hidraulic, aceastå energie este irecuperabilå.
rh rh
Dupå modul în care se produce, pierderea de sarcinå poate fi:
- pierderea de sarcinå liniarå (distribuitå) , care se produce în
mi¿carea uniformå ¿i este propor¡ionalå cu lungimea curentului; dh
- pierderea de sarcinå localå , care apare în zone cu neuniformitå¡i
provocate de anumite rezisten¡e hidraulice ca vane, coturi, modificåri de sec¡iune etc.
lh
Pierderea de sarcinå totalå rezultå din însumarea celor douå componente
¿i : dh
lh
ldr hhh += . (4.1)
4.1. PIERDERI DE SARCINĂ LINIARE
4.1.1. FACTORII CARE INFLUENŢEAZĂ PIERDERILE DE SARCINĂ LINIARE Instala¡ia experimentalå din figura 4.1 permite evaluarea pierderilor de
sarcinå în conducte. Ea este alcåtuitå dintr-un rezervor cu nivel constant ¿i o conductå pe care sunt montate un debitmetru ¿i douå tuburi piezometrice. Între sec¡iunile 1 ¿i 2, în care sunt montate tuburile piezometrice, diametrul conductei este constant.
Se scrie rela¡ia lui Bernoulli între sec¡iunile 1 ¿i 2:
2122
222
2
211
1−
+α
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ
+=α
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ
+ dhgV
gp
zgV
gp
z .
89
Fig. 4.1. Ilustrarea pierderilor de sarcină distribuite.
Deoarece mi¿carea este uniformå (sec¡iunea este constantå ¿i conducta în
aliniament), termenii cinetici sunt egali:
gV
gV
22
22
21 α
=α
¿i rezultå:
212121
−=−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ
+−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ
+ dpp hHHgp
zgp
z . (4.2)
Rela¡ia (4.2) aratå cå pierderea de sarcinå distribuitå pe un tronson de conductå în care mi¿carea este uniformå este egalå cu diferen¡a de cote piezometrice måsurate la extremitå¡ile tronsonului (diferen¡a dintre nivelurile din cele douå tuburi piezometrice). Acest lucru rezultå ¿i din rela¡ii geometrice simple aplicate reprezentårii grafice din figura 4.1.
Cercetårile experimentale, efectuate pe instala¡ii de tipul celei din figura 4.1, au scos în eviden¡å factorii care influen¡eazå pierderile de sarcinå distribuite (liniare).
• Lungimea curentului. Pierderea de sarcinå distribuitå variazå direct propor¡ional cu lungimea curentului, dupå rela¡ia:
LIhd ⋅= , (4.3)
în care I este panta hidraulicå.
90
• Raza hidraulicå. Pierderile de sarcinå variazå invers propor¡ional cu raza
hidraulicå R: R
hd1
~ .
• Viteza medie a curentului. Influen¡a vitezei medii asupra pierderilor de sarcinå este legatå direct de regimul de mi¿care:
- la mi¿carea laminarå pierderea de sarcinå variazå propor¡ional cu viteza medie, ; V
- la mi¿carea turbulentå pierderea de sarcinå variazå cu viteza la o putere cuprinså între 1,75 ¿i 2.
• Natura fluidului precizatå prin densitatea ρ ¿i coeficientul de viscozitate
modificå, de asemenea, pierderile de sarcinå. Influen¡a mårimilor ρ ¿i µ este
eviden¡iatå implicit în diagrama Nikuradze, paragraful 4.1.3.
µ
• Natura pere¡ilor conductei, caracterizatå de rugozitate, este un alt factor important care influen¡eazå pierderea de sarcinå.
• Rugozitatea pere¡ilor unei conducte sau a unui canal este o caracteristicå geometricå ¿i este datå de asperitå¡ile ¿i neregularitå¡ile suprafe¡ei rigide cu care fluidul vine în contact.
Din punct de vedere hidraulic rugozitatea se clasificå atfel:
( )
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎩⎨⎧−−
−
⎩⎨⎧−−
−
−
åartificial
absolutå
relativåondulatå
absolutå
relativåasprå
tehnicånaturalårugozitate
Rugozitatea naturalå asprå se prezintå sub forma unor proeminen¡e cu muchii vii (fig. 4.2,a), ¿i este caracteristicå suprafe¡elor din beton, fontå, o¡el turnat etc.
Fig. 4.2. Forme de rugozitate: a) rugozitate aspră; b) rugozitate ondulată; c) rugozitate artificială.
91
Rugozitatea naturalå ondulatå este întâlnitå la conducte bitumate, conducte din azbociment, jgheaburi din lemn etc. ¿i are aspectul unor ondula¡ii cu suprafa¡a netedå (fig. 4.2,b).
În cercetårile experimentale de laborator, în locul rugozitå¡ii naturale se folose¿te rugozitatea artificialå ob¡inutå cu ajutorul unor granule cu diametrul (fig. 4.2,c).
k
Înål¡imea medie a asperitå¡ilor (sau diametrul granulelor) define¿te rugozitatea absolutå. Proeminen¡ele suprafe¡ei au înål¡imi ¿i forme diferite, precum ¿i distan¡e variabile între ele, constituind o caracteristicå proprie fiecårui material. În practicå, este greu de evaluat prin måsuråtori directe înål¡imea asperitå¡ilor. De accea, în calcule se considerå o rugozitate absolutå echivalentå care produce, în aceala¿i condi¡ii de mi¿care, pierderi de sarcinå identice.
k
Raportul dintre rugozitatea absolutå ¿i o caracteristicå geometricå a sec¡iunii (raza hidraulicå R, raza conductei , diametrul conductei D) poartå numele de
rugozitate relativå: 0r
Dk
rk
Rk
,,0
.
Inversul rugozitå¡ii relative se nume¿te netezime relativå. Valoarea rugozitå¡ii naturale se modificå în timp. În anumite situa¡ii
rugozitatea poate så creascå datoritå coroziunii sau depunerilor sub formå de cruste pe pere¡ii conductei. Alteori, rugozitatea scade ca urmare a ¿lefuirii pere¡ilor conductei de cåtre materialele solide transportate de curentul lichid. Procesul modificårii rugozitå¡ii în timp este deosebit de complex.
4.1.2. FORMULE PENTRU CALCULUL PIERDERILOR DE SARCINĂ LINIARE
Între pierderea de sarcinå distribuitå ¿i factorii care o influen¡eazå existå
rela¡ia func¡ionalå:
( )kVRLfhd ,,,,, ρµ⋅= . (4.4)
Bazat pe måsuråtori experimentale, H. Darcy (în 1855) a dat rela¡iei (4.4) o formå explicitå:
gV
RL
hd 24
2⋅
λ= , (4.5)
92
în care:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=λ
0Re,
rk
f este coeficientul de rezisten¡å cunoscut sub denumirea
de coeficientul lui Darcy; - raza hidraulicå; R - viteza medie; V L - lungimea curentului. Pentru conducte cu sec¡iunea circularå, raza hidraulicå este:
44
2
DD
D
R =π
π
= ,
iar formula pierderii de sarcinå liniarå capåtå forma:
gV
DL
hd 2
2⋅
λ= . (4.6)
ºinând seama de rela¡iile (3.34) ¿i (4.3) rezultå cå panta hidraulicå I este datå de expresia:
gV
DI
2
2⋅
λ= . (4.7)
O altå formulå pentru calculul pierderilor de sarcinå liniare rezultå din formula vitezei medii stabilitå de A. Chézy. Viteza medie este:
RICV = , (4.8)
de unde:
RC
LVhd 2
2= , (4.9)
în care C poartå numele de coeficientul lui Chézy. Între λ ¿i existå rela¡ia: C
2
8
C
g=λ . (4.10)
93
Coeficientul λ este adimensional. Pentru , dimensiunile se måsoarå în C
/sm 21 ¿i rezultå din rela¡ia (4.8): [ ] 121 −⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= TL
RI
VC .
4.1.3. DIAGRAMA LUI A. NIKURADZE
Primele cercetåri care au permis o analizå completå a dependen¡ei între coeficientul λ , regimul de mi¿care ¿i rugozitate au fost cele efectuate de Nikuradze. Experien¡ele lui au fost fåcute pe conducte cu rugozitate artificialå realizatå cu granule de nisip fixate cu lac pe suprafa¡a interioarå a conductei. De¿i rugozitatea astfel ob¡inutå diferå de rugozitatea naturalå, acest procedeu a permis sistematizarea rezultatelor experimentale ¿i a furnizat date pentru stabilirea unor formule de calcul.
Experien¡ele s-au fåcut pe conducte cu diferite valori ale netezimii relative ¿i pentru numere Reynolds care acoperå atât regimul laminar, cât ¿i regimul turbulent de mi¿care.
În figura 4.3 se prezintå schematizat diagrama ob¡inutå de Nikuradze. Pentru conducte cu sec¡iunea circularå ea este trasatå în coordonate logaritmice. Din analiza diagramei lui Nikuradze rezultå cå existå cinci zone de mi¿care caracterizate de cinci tipuri de rela¡ii între λ , Re ¿i . kr /0
Zona întâi, reprezentatå prin dreapta 1, corespunde mi¿cårii laminare, . În aceastå zonå, 2300Re <D λ nu depinde de rugozitate, ci numai de numårul
Reynolds:
( )Re11 f=λ . (4.11)
Fig. 4.3. Diagrama lui Nikuradze.
94
Zona de tranzi¡ie corespunde trecerii de la regimul laminar la regimul turbulent. Este reprezentatå de curba T. Coeficientul λ variazå dupå o lege complicatå ¿i este func¡ie numai de Re.
( )ReTT f=λ . (4.12)
Urmåtoarele zone (2, 3 ¿i 4) sunt caracterizate de numere Reynolds mari, adicå de o mi¿care turbulentå.
Zona a doua se nume¿te zona mi¿cårii turbulente în conducte netede. Denumirea se justificå prin faptul cå grosimea filmului laminar 0δ (v. § 3.3.1.)
este mai mare decât rugozitatea absolutå k, astfel cå mi¿carea turbulentå nu este influen¡atå de asperitå¡ile conductei (fig. 4.4,a).
a) b) c)
Fig. 4.4. Diferenţierea zonelor de mişcare turbulentă în funcţie de raportul : a) turbulenţă netedă; b) turbulenţă rugoasă (prepătratică); k/0δ
c) turbulenţă rugoasă (pătratică). În zona a doua coeficientul λ depinde numai de numårul Re. Aceastå dependen¡å este reprezentatå de dreapta 2, pentru care:
( )Re22 f=λ . (4.13)
Zona a treia. În aceastå zonå grosimea filmului laminar este
aproximativ egalå cu înål¡imea asperitå¡ilor k (fig. 4.4,b). Coeficientul este influen¡at atât de rugozitate, cât ¿i de gradul de turbulen¡å, astfel cå:
0δλ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=λ
033 Re,
rk
f . (4.14)
Pe diagramå (fig. 4.3) aceastå zonå este reprezentatå de curbele 3.
Zona a patra. Turbulen¡a mare, caracterizatå de numere Re mari, este accentuatå de faptul cå înål¡imea asperitå¡ilor depå¿e¿te grosimea filmului laminar. Rugozitatea influen¡eazå sensibil mi¿carea, iar coeficientul depinde numai de valoarea rugozitå¡ii:
λ
95
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=λ
044 r
kf . (4.15)
Rela¡ia (4.15) este reprezentatå de dreptele 4, paralele cu axa absciselor. Ele aratå independen¡a fa¡å de Re ¿i se diferen¡iazå numai dupå raportul . kr /0
În zona a patra, pierderea de sarcinå este propor¡ionalå cu påtratul vitezei; acest lucru rezultå din rela¡iile (4.6) ¿i (4.15):
gV
DL
rk
fhd 2
2
04 ⋅⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= . (4.16)
Zona a patra se nume¿te zonå påtraticå, iar zona a treia zonå prepåtraticå. Diagrame asemånåtoare cu cea a lui Nikuradze au ob¡inut ¿i al¡i cercetåtori; astfel, Zegjda a experimentat pe canale dreptunghiulare cu rugozitate artificialå, iar Colebrooke ¿i White pe conducte tehnice.
4.1.4. FORMULE PRACTICE PENTRU CALCULUL COEFICIENŢILOR ŞI C λÎN CONDUCTE CIRCULARE
Pentru mi¿carea laminarå ( )2300Re <D se folose¿te formula Hagen-
Poiseuille:
DRe
64=λ . (4.17)
Pentru mi¿carea turbulentå în conducte netede ( )kDD /23Re4000 ⋅<< pot
fi utilizate: - formula lui H. Blasius, valabilå pentru 100000Re <D :
425,0 Re100
1
Re
3164,0
DD ⋅==λ ; (4.18)
- formula Prandtl-Nikuradze, care acoperå întreaga zonå turbulentå:
( ) 8,0Re121
−λ⋅⋅=λ
Dg . (4.19)
Pentru mi¿carea turbulentå în zona prepåtraticå se recomandå formula Colebrook-White: ( kDkD D /560Re/23 ⋅<<⋅ )
96
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
λ⋅−=
λ Dk
gD 71,3Re
51,212
1. (4.20)
La mi¿carea turbulentå în zona påtraticå ( )kDD /560Re ⋅> pierderea de
sarcinå liniarå poate fi calculatå fie cu formula (4.6) în care apare coeficientul , fie cu formula (4.9), folosind coeficientul lui Chézy. λ
Formula lui Prandtl-Nikuradze este semiempiricå ¿i are forma:
Dk
g ⋅⋅−=λ
1214,11
. (4.21)
Formulele lui ªevelev determinate pentru conducte de o¡el care transportå
apa la temperatura de 100C, montate în condi¡ii de ¿antier, se diferen¡iazå în
func¡ie de starea conductelor (vechi sau noi) ¿i de modul de îmbinare astfel:
- conducte noi (k = 0,011 mm) îmbinate prin sudurå:
226,0
226,0
684,01
0159,0⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=λ
VD; (4.22)
- conducte noi (k = 0,011 mm) îmbinate prin mufe:
226,0
226,0
684,01
0135,0⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=λ
VD; (4.23)
- conducte vechi (k = 1,0 mm) îmbinate prin sudurå:
3,0
3,0
867,01
021,0⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=λ
VD, pentru ≤V 1,2 m/s; (4.24)
3,0
0248,0
D=λ , pentru 1,2 m/s; (4.25) >V
- conducte vechi (k = 1,0 mm) îmbinate prin mufe:
3,0
3,0
867,01
0179,0⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=λ
VD, pentru ≤V 1,2 m/s; (4.26)
3,0
021,0
D=λ , pentru 1,2 m/s. (4.27) >V
97
De mare importan¡å pentru calcule practice este diagrama Moody (anexa 4.1), bazatå pe formulele (4.17), (4.19), (4.20) ¿i (4.21).
Pentru calculul coeficientului lui Chézy existå mai multe formule, dintre care sunt folosite frecvent urmåtoarele:
- formula Manning:
6/11R
nC ⋅= , (4.28)
în care n este un coeficient global de rugozitate func¡ie de natura pere¡ilor conductei sau canalului (anexa 4.2), iar R este raza hidraulicå exprimatå în metri;
- formula Pavlovski:
yRn
C ⋅=1
, (4.29)
în care:
( )1,075,013,05,2 −−−= nRny .
Mårimile n ¿i R au acelea¿i semnifica¡ii ca în formula Manning. În anexa 4.3 se dau valorile coeficientului C calculat cu formula Manning.
4.2. PIERDERI DE SARCINĂ LOCALE
Pierderile de sarcinå locale se produc în zonele în care mi¿carea este neuniformå. Neuniformitatea mi¿cårii este generatå de prezen¡a unor armåturi (coturi, reduc¡ii, ramifica¡ii etc.), a dispozitivelor de måsurare (diafragme, debitmetre etc.), a dispozitivelor de reglare (vane, robinete) sau a oricåror obstacole care apar de-a lungul curentului.
Formula generalå pentru calculul pierderilor de sarcinå locale este:
gV
h ll 2
2⋅ζ= , (4.30)
în care:
lζ este coeficientul de pierdere de sarcinå localå (sau coeficientul de rezisten¡å localå);
V - viteza medie.
98
Coeficientul lζ depinde de forma obstacolului care produce pierderea de
sarcinå localå ¿i de numårul Reynolds. Pentru numere Re mici (pânå la aproximativ 60000 … 200000, func¡ie de geometria obstacolului), legea de varia¡ie a lui lζ fa¡å de Re este foarte complicatå. La numere Re mari, lζ are o
valoare constantå. În general, coeficientul lζ se determinå experimental. Pentru rezisten¡e
hidraulice frecvent întâlnite în practicå (coturi, ramifica¡ii, vane etc.) existå asemenea determinåri ¿i sunt prezentate sub formå de tabele sau grafice. În continuare sunt prezentate câteva exemple de rezisten¡e hidraulice locale ¿i rela¡iile corespunzåtoare pentru determinarea lui lζ , considerând cå mi¿carea
este turbulentå.
Lårgirea bruscå de sec¡iune. (Formula Borda-Carnot). Se considerå o conductå la care sec¡iunea se modificå brusc, trecând de la diametrul în
sec¡iunea 1 la diametrul în sec¡iunea 2 1D
2D ( )21 DD < (fig. 4.5).
Fig. 4.5. Lărgirea bruscă de secţiune.
Începând din sec¡iunea de trecere de la diametrul la diametrul , pe o
anumitå distan¡å L, liniile de curent sunt divergente. Vârtejurile care apar în aceastå zonå consumå o parte din energia curentului.
1D 2D
Cu ecua¡ia impulsului, combinatå cu legea lui Bernoulli, se poate demonstra cå pierderea de sarcinå localå, în cazul lårgirii bru¿te de sec¡iune, este:
( )gVV
hl 2
221 −= . (4.31)
Din ecua¡ia de continuitate 2211 VAVAQ == se ob¡in:
21
21 V
AA
V ⋅= ¿i 12
12 V
AA
V ⋅= .
99
Introducând pe rând vitezele , respectiv , în rela¡ia (4.31) rezultå: 1V 2V
gV
AA
hl 21
22
2
1
2 ⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= ; (4.32)
gV
AA
hl 21
21
2
2
1 ⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= . (4.33)
Coeficientul de rezisten¡å localå are expresia:
2
1
21 1⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=ζ
AA
, când se aplicå viteza din aval 2V
sau: 2
2
1'1 1 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=ζ
AA
, când se lucreazå cu viteza din amonte . 1V
Fig. 4.6. Intrarea într-un rezervor.
Intrarea într-un rezervor. La intrarea în rezervor (fig. 4.6), viteza V din conductå se reduce treptat pânå la zero, ceea ce înseamnå o pierdere de sarcinå egalå cu termenul cinetic:
gV
gV
h ll 22
22⋅ζ=
α= . (4.34)
Deci, α=ζ l .
Îngustarea bruscå de sec¡iune. Schema curgerii este prezentatå în figura 4.7.
Fig. 4.7. Îngustarea de secţiune.
100
În zona schimbårii de sec¡iune curentul suferå o contrac¡ie, astfel cå sec¡iunea de curgere este mai micå decât sec¡iunea . cA 2A
Pierderea de sarcinå la îngustarea bruscå de sec¡iune este aproximativ egalå cu jumåtate din pierderea de sarcinå la lårgirea bruscå de sec¡iune:
( )g
VAA
gVV
hl 215,0
25,0
22
2
1
22
12 ⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅=
−⋅≅ . (4.35)
Pentru coeficientul de pierdere de sarcinå rezultå expresia:
2
1
215,0 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅≅ζ
AA
l . (4.36)
Intrarea în conductå. În figura 4.8 sunt prezentate câteva posibilitå¡i de racordare a unei conducte la un rezervor. Când conducta este perpendicularå pe peretele rezervorului, situa¡ia este similarå cu îngustarea de sec¡iune pentru care
. Din (4.36) rezultå: 21 AA >>
5,0=ζ l . (4.37)
Când conducta se gåse¿te sub un unghi θ , lζ se calculeazå cu formula
Weissbach:
θ+θ+=ζ 2cos2,0cos3,05,0l . (4.38)
Dacå intrarea este profilatå (fig. 4.8,c), lζ = 0,5 … 0,2.
Fig. 4.8. Intrarea în conductă: a) conductă montată perpendicular pe peretele rezervorului;
b) conductă montată oblic; c) intrare profilată.
Curbe. În curbe, pe lângå zonele de vârtejuri, apar ¿i curen¡i transversali care consumå din energia curentului (fig. 4.9).
101
Fig. 4.9. Conductă în curbă.
Pentru curbe la 900:
5,3
90, 16,013,0 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+=ζ
cl R
D, (4.39)
iar pentru ≠θ 900:
9090,,θ
⋅ζ=ζ θ ll . (4.40)
Vana cu sertar. Pentru vana simplå cu sertar (fig. 4.10,a), coeficientul de
pierdere de sarcinå localå se ia din diagrama prezentatå în figura 4.10,b. a) b)
Fig. 4.10. Vană cu sertar:
a) secţiune prin vană; b) diagramă pentru determinarea coeficientului lζ .
APLICAŢII
Problema 4.1
Så se determine presiunea necesarå în sec¡iunea amonte 1 a unei
conducte de lungime L = 1350 m ¿i diametrul D = 200 mm, care transportå 1p
102
petrol. Se cunosc: debitul: /s25 l=Q ; viscozitatea cinematicå: ;
greutatea specificå: . Conducta este orizontalå, iar presiunea în
sec¡iunea aval 2 este = 1,5 atm (fig. 4.11).
/scm50 2=ν3N/m8830=γ
2p
Fig. 4.11. Pierderi de sarcină distribuite.
Rezolvare:
Presiunea rezultå din rela¡ia lui Bernoulli scriså între sec¡iunile (1) ¿i (2): 1p
2122
222
2
211
1 −++
γ+=
α+
γ+ rh
gVp
zg
Vpz .
Deoarece ¿i , se ob¡ine: 21 zz = 21 VV =g
VDLpp
2
221 ⋅
λ+
γ=
γ.
Pentru a calcula pe λ trebuie cunoscut regimul de mi¿care. De aceea, se calculeazå numårul Reynolds:
m/s79,0
4
2,014,3
025,02=
⋅==
AQ
V ; 6,310050,0
2,079,0Re =
⋅=
ν=
VDD .
Deoarece ( ) 2300Re6,31Re =<= crD , mi¿carea în conductå este laminarå,
iar coeficientul λ se calculeazå cu formula (4.17):
025,26,31
64
Re
64===λ
D.
103
Rezultå:
m08,44681,902
79,0
2,0
13500,2
8830
1081,95,1 241 =
⋅⋅
⋅+
⋅⋅=
γp
sau:
m08,4461 =γp
coloanå de petrol.
Presiunea necesarå în sec¡iunea (1) este:
atm15,40bar39,39N/m3938886883008,446 21 =≅=⋅=p .
Problema 4.2
O conductå din o¡el este executatå din douå tronsoane având diametrele = 200 mm ¿i = 300 mm. Conducta este îmbinatå prin sudurå ¿i are
rugozitatea absolutå k = 0,011 mm. Pe primul tronson este montatå o vanå cu sertar, deschiså pe jumåtate
1D 2D
( )5,0/ 1 =Da , iar pe al doilea tronson existå douå
curbe la 900, având raza de curburå = 200 mm. Cele douå tronsoane au
lungimile = 40 m ¿i = 30 m (fig. 4.12). cR
1L 2L
Fig. 4.12. Calculul pierderilor de sarcină.
104
ªtiind cå debitul de apå vehiculat prin conductå este /s80 l=Q , se cere
urmåtoarele: a) calculul pierderilor de sarcinå între sec¡iunile 1 ¿i 2; b) så se traseze liniile caracteristice, ¿tiind cå = 2,2 atm; 1p
c) presiunea în sec¡iunea 6; d) så se calculeze lungimea de conductå cu = 200 mm, echivalentå
pierderii de sarcinå localå datå de vana cu sertar. 1D
Rezolvare:
a) Pierderea de sarcinå între punctele 1 ¿i 6 rezultå din însumarea pierderilor de sarcinå liniare cu cele locale, calculate cu formulele (4.6), respectiv (4.30):
gV
hg
VDL
h lld 2;
2
22⋅ζ=⋅
λ= .
Vitezele pe cele douå tronsoane de conducte sunt:
m/s55,20314,0
08,0
4
2,014,3
08,02
11 ==
⋅==
AQ
V ;
m/s13,10706,0
08,0
4
3,014,3
08,02
22 ==
⋅==
AQ
V .
Coeficientul λ se calculeazå cu rela¡ia lui ªevelev (4.22):
024,055,2
684,01
2,0
0159,0684,01
0159,0226,0
226,0
226,0
1226,0
11 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅=λ
VD;
023,013,1
684,01
3,0
0159,0226,0
226,02 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=λ .
În continuare se determinå coeficien¡ii de pierdere de sarcinå localå lζ .
Pentru vanå, corespunzåtor gradului de deschidere , din
diagrama prezentatå în figura 4.10 se ob¡ine
5,0/ 1 =Da
52,02=ζl .
Pentru lårgirea bruscå de sec¡iune se aplicå formula (4.32):
105
56,110314,0
706,01
22
1
23
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=ζ
AA
l .
Cu formula (4.39) se calculeazå coeficientul lζ aferent curbelor:
79,02,0
3,016,013,016,013,0
5,35,3
54=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+=ζ=ζ
cll R
D.
Pentru u¿urin¡a trasårii liniilor caracteristice, pierderile de sarcinå liniare se calculeazå pe tronsoane:
m19,133,06,381,92
55,2
2,0
30024,0
2
221
1
12112
=⋅=⋅
⋅⋅
=⋅λ
=g
VDL
hd ;
m79,033,02,0
20024,023
=⋅⋅
=dh ;
m055,0065,084,081,92
13,1
3,0
11023,0 2
34=⋅=
⋅⋅
⋅=dh ;
m02,0065,03,0
4023,045
=⋅⋅
=dh ;
m075,0065,03,0
15023,056
=⋅⋅
=dh .
Pierderile locale de sarcinå sunt:
m17,033,052,02
21
22=⋅=⋅ζ=
gV
hl ;
m10,0065,056,12
22
33=⋅=⋅ζ=
gV
hl ;
m05,0065,079,054
=⋅== ll hh .
Prin însumare rezultå pierderea de sarcinå totalå între punctele 1 ¿i 6.
m45,205,010,017,0075,002,0055,079,019,116
=+++++++=rh .
106
b) Trasarea liniei energetice se face raportând pierderile de sarcinå fa¡å de
planul de sarcinå (P.S.), care se gåse¿te deasupra planului de referin¡å la distan¡å:
el
m36,2681,92
55,21,1224
2
2211
1 =⋅⋅
++=α
+γ
+gVp
z .
Linia piezometricå se traseazå sub linia piezometricå la distan¡a datå de termenii cinetici:
m071,081,92
13,11,1
2m;36,0
81,92
55,21,1
2
2222
2211 =
⋅⋅
=α
=⋅⋅
=α
gV
gV
.
c) Presiunea în sec¡iunea 6 rezultå din rela¡ia lui Bernoulli:
1622
266
6
211
1 rhg
Vpz
gVp
z +α
+γ
+=α
+γ
+ ,
de unde:
m84,2345,2071,036,02246 ≅−−++=γp
.
Se ob¡ine:
26 N/m23387084,239810 =⋅=p .
d) Lungimea de conductå echivalentå pierderii de sarcinå datå de vana cu sertar rezultå din condi¡ia:
gV
D
L
gV e
22
21
1
12
12 ⋅
λ=⋅ζ ,
de unde:
m33,4024,0
2,052,0
1
12 =⋅=
λ⋅ζ=
DLe .
Deci, un tronson de conductå cu diametrul de 200 mm ¿i o lungime de 4,33 m opune aceea¿i rezisten¡å hidraulicå ca o vanå cu sertar având 52,0=ζ l .
107
5
CALCULUL CONDUCTELOR SUB PRESIUNE ÎN MIŞCARE PERMANENTĂ
5.1. ASPECTE GENERALE
În general, problemele pe care le rezolvå hidraulica se referå la calculul
presiunilor ¿i debitelor în diferite sec¡iuni ale unui sistem hidraulic. Sistemul hidraulic este un ansamblu de construc¡ii, instala¡ii, conducte,
canale ¿i rezervoare care asigurå înmagazinarea ¿i transportul fluidelor. Sistemele hidraulice sub presiune se referå atât la lichide, cât ¿i la gaze, iar
cele cu nivel liber se referå numai la lichide. Dacå sistemul hidraulic are o singurå sec¡iune de intrare ¿i o singurå sec¡iune de
ie¿ire, el se nume¿te sistem hidraulic unifilar, iar dacå are mai multe sec¡iuni de intrare respectiv de ie¿ire, el formeazå o re¡ea de conducte sau o re¡ea de canale.
5.2. MODELUL CURENTULUI UNIDIMENSIONAL DE FLUID De regulå, conductele ¿i canalele care alcåtuiesc sistemele hidraulice au
lungimi mari; pe cea mai mare întindere a acestora mi¿carea fluidelor este paralelå sau uniformå. Acest fapt permite introducerea no¡iunii de model de curent unidimensional de fluid.
5.2.1. MĂRIMI CARACTERISTICE MODELULUI CURENTULUI UNIDIMENSIONAL DE FLUID
• Viteza medie. Indiferent de distribu¡ia realå a vitezelor, se considerå cå
într-o sec¡iune transversalå a curentului fluid toate particulele se deplaseazå cu aceea¿i vitezå, numitå vitezå medie. Rela¡ia de defini¡ie pentru viteza medie (fig. 3.18), este:
AQ
V = , (5.1)
109
în care Q este debitul efectiv al curentului fluid, egal cu debitul modelului
unidimensional, iar reprezintå aria sec¡iunii transversale. A
• Cota piezometricå. În orice punct al unei sec¡iuni transversale a unui curent de fluid în mi¿care paralelå cota piezometricå are aceea¿i valoare (v. fig. 3.17):
constant=ρ
+=g
pzHp . (5.2)
• Pierderea de sarcinå liniarå ¿i panta hidraulicå. No¡iunea de pierdere de sarcinå liniarå a fost introduså în capitolul 4.
Pierderea de sarcinå liniarå este o mårime globalå, care exprimå consumul de energie mecanicå a unitå¡ii de greutate de fluid când aceasta parcurge o distan¡å L. Acest consum de energie se produce pentru învingerea rezisten¡ei care apare la frecarea unui fluid real cu pere¡ii rigizi. Rela¡ia de calcul pentru pierderea de sarcinå liniarå este:
gV
DL
hd 2
2⋅
λ= . (4.7)
• Panta hidraulicå este o caracteristicå a mi¿cårilor uniforme ¿i reprezintå pierderea de sarcinå liniarå pe unitate de lungime a curentului fluid:
L
hI d= . (5.3)
Pentru mi¿cåri gradual variate, prin extindere, rela¡ia (5.3) se scrie în formå diferen¡ialå:
Ldhd
I d= . (5.4)
• Efortul tangen¡ial mediu la perete. Aceastå mårime a fost definitå în capitolul 3 ¿i are expresia:
IRgρ=τ0 . (3.54)
5.3. ELEMENTE CARE CARACTERIZEAZĂ UN SISTEM HIDRAULIC SUB PRESIUNE
• Elemente hidraulice:
- debitul pe conducte; - debitul în noduri (de alimentare sau de consum);
110
- presiunea în noduri;
- sarcina sistemului *H definitå ca diferen¡å între cota piezometricå la intrarea în sistem ¿i cota piezometricå la ie¿irea din sistem (fig. 5.1):
ei gp
zg
pzH ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ
+−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ
+=* ; (5.5)
- natura fluidului.
Fig. 5.1. Calculul conductelor scurte.
• Elemente geometrice:
- forma (configura¡ia) sistemului hidraulic; - caracteristicile conductelor (lungimea L, diametrul D, rugozitatea); - forma ¿i caracteristicile rezisten¡elor locale (coturi, vane, ramifica¡ii
etc.); - cotele geodezice ale nodurilor, z .
5.4. RELAŢII DE CALCUL Calculul sistemelor hidraulice sub presiune se referå la:
- calculul debitului când se cunoa¿te sarcina Q *H ¿i elementele
geometrice;
- calculul sarcinii *H necesarå pentru vehicularea unui debit dat, când
se cunosc celelalte elemente.
Q
Aceste probleme se rezolvå folosind ecua¡ia de continuitate:
111
constant=⋅= VAQ , de-a lungul conductei;
∑ = 0iQ , în noduri
¿i rela¡ia lui Bernoulli:
eiree
e
ii
i
hg
V
gp
zgV
gp
z−
+α
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ
+=α
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ
+22
22, (5.6)
în care: ∑∑ +=
− ldr hhhei
.
5.5. CLASIFICAREA SISTEMELOR HIDRAULICE SUB PRESIUNE
Când sistemele hidraulice sunt alcåtuite din conducte cu lungimi mari ¿i rezisten¡e hidraulice locale reduse, pierderile de sarcinå locale sunt mici în compara¡ie cu cele liniare ¿i se pot neglija.
Faptul cå în anumite situa¡ii se pot neglija pierderile de sarcinå de un anumit tip (locale sau liniare), se poate face o clasificare a sistemelor hidralice, astfel:
- conducte scurte, la care pierderile de sarcinå locale ¿i cele liniare sunt de acela¿i ordin de mårime ( )ld hh ≅ , ambele trebuie luate în calcul;
- conducte lungi, la care pierderile de sarcinå locale sunt mici în compara¡ie cu cele liniare ( )dl hh << . La aceste conducte se pot neglija
pierderile de sarcinå locale, cu condi¡ia ca eroarea relativå så fie mai micå de 2%, adicå dl hh 02,0≤ . La conductele lungi se neglijeazå ¿i
termenul cinetic , având valori mici în compara¡ie cu ceilal¡i
termeni din rela¡ia (5.6).
gV 2/2α
- sisteme locale (orificii ¿i ajutaje) la care pierderile de sarcinå liniare pot fi neglijate . ( )ld hh <<
În tabelul 5.1 se dau, orientativ, în func¡ie de diametrul D ¿i de coeficientul , lungimile pânå la care o conductå poate fi consideratå scurtå. λ
Tabelul 5.1
Valori orientative pentru lungimi maxime ale conductelor scurte
( )mmD
λ 100 250 500 750 1000
0,050 80 - - - -
0,040 100 240 - - - Tabelul 5.1 (continuare)
112
( )mmD
λ 100 250 500 750 1000
0,030 130 320 650 - -
0,025 - 380 770 1150 1550
0,020 - - 970 1450 1950
0,015 - - - 1950 2600
5.6. CALCULUL HIDRAULIC AL CONDUCTELOR SCURTE
Se considerå sistemul hidraulic din figura 5.1. Se scrie rela¡ia lui Bernoulli între sec¡iunea de intrare în sistem, i , ¿i
sec¡iunea de ie¿ire, : e
eiree
e
ii
i
hgV
gp
zgV
gp
z−
+α
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ
+=α
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ
+22
22.
ºinând seama de rela¡ia (5.5) se ob¡ine:
eiriiee h
gV
gV
H−
+α
−α
=22
22* . (5.7)
Termenul cinetic la ie¿irea din sistem poate fi exprimat în func¡ie de debitul în aceastå sec¡iune:
2422
2
2
220827,0
42
22 ee
e
e
ee
e
eeee QDD
g
Q
Ag
Q
g
V⋅
α⋅=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ π⋅
α=
⋅
α=
α
sau:
22
2 eeee QM
gV
=α
, (5.8)
în care:
40827,0
e
ee
DM
α⋅= (5.9)
este modulul de rezisten¡å la ie¿irea din sistem, care depinde numai de elementele geometrice din aceastå sec¡iune.
Asemånåtor se exprimå ¿i termenul cinetic la intrarea în sistem:
113
224
20827,0
2 iiii
iii QMQDg
V⋅=⋅
α⋅=
α, (5.10)
în care modulul de rezisten¡å la intrarea în sistem este:
40827,0
i
ii
DM
α⋅= . (5.11)
Pierderea de sarcinå între sec¡iunea de intrare i ¿i sec¡iunea de ie¿ire
din sistem e este datå de suma pierderilor de sarcinå aferente fiecårei conducte: eirh
−
nei rrrr hhhh +++=−
KIII
. (5.12)
Pierderea de sarcinå pentru o conductå oarecare a sistemului hidraulic rezultå din însumarea pierderii de sarcinå liniarå cu pierderile de sarcinå locale:
245
220827,0
22Q
DD
Lg
Vg
VDL
hhh llldr ⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ζ+
λ⋅=⋅ζ+⋅
λ=+=
Σ∑
sau: 2QMhr = , (5.13)
în care:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ζ+
λ⋅=
Σ45
0827,0DD
LM l (5.14)
este modulul de rezisten¡å al conductei. Cu rela¡iile (5.9), (5.11) ¿i (5.14) rela¡ia lui Bernoulli (5.7) devine:
22IIII
2II
22*nniiee QMQMQMQMQMH ++++−= K . (5.15)
Cazuri particulare:
a) Dacå sistemul hidraulic este unifilar, debitul este constant de-a lungul sistemului ¿i rela¡ia (5.15) se scrie:
( ) 2III
* QMMMMMH nie ⋅++++−= K . (5.16)
b) Când la intrarea în sistem existå rezervor, modulul de rezisten¡å
capåtå valori foarte mici, iar termenul cinetic poate fi neglijat. Din
acela¿i motiv, termenul cinetic poate fi neglijat dacå la ie¿irea din
iM2ii QM
2ee QM
114
sistem existå rezervor. Aceste situa¡ii se exprimå prin rela¡iile: ¿i
.
02 ≅ee QM
02 ≅ii QM Dupå modul de alcåtuire, sistemele hidraulice sub presiune se pot clasifica astfel:
- sisteme cu o conductå simplå; - sisteme cu conducte montate în serie; - sisteme cu conducte montate în paralel; - sisteme cu conducte cu debit distribuit de-a lungul acestora.
5.6.1. SISTEM HIDRAULIC CU CONDUCTĂ SIMPLĂ Se considerå sistemul hidraulic din figura 5.2. Deoarece la intrarea în sistem existå rezervor, modulul de rezisten¡å ,
iar rela¡ia (5.16) devine:
0≅iM
( ) 2* QMMH e ⋅+= ,
în care:
40827,0
DM e
eα
⋅= ;
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ζ+ζ+ζ+
λ⋅=
4321
50827,0
DD
LM .
Fig. 5.2. Conductă simplă.
115
Dacå se cunoa¿te sarcina sistemului *H se poate calcula debitul . Pentru
un debit Q dat rezultå sarcina
Q*H , respectiv presiunea . ip
Calculul hidraulic al sistemelor cu conducte montate în serie este prezentat în subcapitolul 5.6.
5.6.2. SISTEM HIDRAULIC CU CONDUCTE MONTATE ÎN PARALEL Sistemul prezentat în figura 5.3 este alcåtuit din patru conducte ¿i un rezervor sub presiune. Conductele II ¿i III sunt montate în paralel. Pe figurå este trasatå numai linia energeticå. Între nodurile 2 ¿i 3 sunt douå linii energetice: cu linie plinå este trasatå linia energeticå pentru conducta II, iar cu linie întreruptå pentru conducta III. Din rela¡ia lui Bernoulli, scriså între nodurile 2 ¿i 3, rezultå cå pierderea de sarcinå are aceea¿i valoare pentru cele douå trasee, adicå:
IIIII32 rrr hhh ==−
. (5.17)
Rela¡ia (5.17) sugereazå ideea cå, pentru calcule, cele douå conducte montate în paralel pot fi înlocuite cu o conductå echivalentå (fictivå) care transportå un debit fictiv IIIII QQQf += ¿i care are modulul de rezisten¡å . fM
Pierderea de sarcinå , debitele ¿i , ¿i modulul de rezisten¡å
echivalent urmeazå så fie determinate. 32−rh IIQ IIIQ
fM
Fig. 5.3. Conducte montate în paralel.
116
Considerând o conductå echivalentå între nodurile 2 ¿i 3, rela¡ia lui Bernoulli se scrie:
2IVIV
22II
2* QMQMQMQMH ffee +++= , (5.18)
în care este pierderea de sarcinå între nodurile 2 ¿i 3. 2ff QM
Rela¡ia (5.17) poate fi puså sub forma:
2IIIIII
2IIII
232
QMQMQMh ffr ===−
, (5.19)
de unde rezultå:
IIII
32
M
hQ
r −= ¿i III
III32
M
hQ
r −= . (5.20)
Introducând rela¡iile (5.20) în ecua¡ia de continuitate se ob¡ine:
3232
111
IIIIIIIIII −−
⋅=⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=+= r
frf h
Mh
MMQQQ , (5.21)
în care:
IIIII
111
MMM f+= . (5.22)
Pentru n conducte montate în paralel rela¡ia (5.22) devine:
∑=
=n
i if MM 1
11. (5.23)
Cu modulul de rezisten¡å ob¡inut cu rela¡ia (5.23) se calculeazå
pierderea de sarcinå cu rela¡ia (5.19); apoi se calculeazå debitele ¿i
cu rela¡iile (5.20).
fM
32−rh IIQ
IIIQ
5.6.3. CONDUCTE CU DEBIT DISTRIBUIT În figura 5.4 este prezentatå o conductå cu debit distribuit. Asemenea situa¡ii se întâlnesc în sistemele de iriga¡ii, în unele instala¡ii industriale, în instala¡iile pentru stingerea incendiilor etc.
117
Fig. 5.4. Conductă cu debit distribuit. S-a notat cu debitul care intrå în conductå ¿i cu debitul la
extremitatea aval a conductei. Diferen¡a dintre aceste debite o reprezintå debitul distribuit de-a lungul conductei:
iQ eQ
eiD QQQ −= . (5.24)
În sec¡iunea situatå la distan¡a s, debitul este:
( ) ( )∫ ⋅−=s
i dssqQsQ0
, (5.25)
iar în sec¡iunea de ie¿ire din conductå:
( )∫ ⋅−=L
ie dssqQQ0
. (5.26)
Debitul scris cu expresia vitezei datå de Chézy este:
IRCAQ = ,
de unde, rezultå panta hidraulicå:
2
2
22
2
K
Q
RCA
QI == , (5.27)
în care RCAK = este modulul de debit.
118
ºinând seama de rela¡ia (5.27), pierderea de sarcinå liniarå se scrie:
222
QMQK
LLIhd =⋅== , (5.28)
de unde:
LM
K=
2
1. (5.29)
Pierderea de sarcinå pe distan¡a ds rezultå din rela¡ia (5.28) scriså în formå diferen¡ialå:
( ) ( ) ( ) dssQLM
dsQK
dsdsdsIhd d ⋅⋅=⋅=⋅= 22
2. (5.30)
Pierderea de sarcinå , între sec¡iunea de intrare i ¿i sec¡iunea de ie¿ire
, rezultå din integrarea rela¡iei (5.30) pe distan¡a L: eidh
−
e
( ) dssQLM
hL
d ⋅⋅= ∫0
2 .
Cu rela¡ia (5.25) se ob¡ine:
( )∫ ∫ ⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⋅−⋅=
L s
id dsdssqQLM
h0
2
0
. (5.31)
Pentru rezolvarea rela¡iei (5.31) trebuie cunoscutå legea de varia¡ie a debitului distribuit . Dacå ( )sq ( ) constant== qsq , rela¡ia (5.31) devine:
( ) ( )∫ ∫ ⋅+⋅⋅−⋅=⋅⋅−⋅=L L
iiid dssqsqQQLM
dssqQLM
h0 0
2222 2 ,
iar prin integrare rezultå:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+⋅⋅−⋅=
322
32
22 L
qL
qQLQLM
h iid .
Deoarece , se ob¡ine: LqQD=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+⋅−⋅=
32 22 L
QLQQLQLM
h DDiid
119
sau:
22
2
3 fD
Diid QMQ
QQQMh =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−⋅= ,
în care:
3
22 D
DiifQ
QQQQ +−= . (5.32)
Dacå este îndeplinitå condi¡ia iD QQ 5,0< , se poate face aproxima¡ia
, fårå erori mari; debitul fictiv se calculeazå cu rela¡ia: 4/13/1 ≅
224
222 D
iD
iD
DiifQ
QQQQ −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=+−= . (5.33)
În acest caz se poate aplica schema de calcul din figura 5.5 pentru care debitul de calcul (fictiv) este dat de rela¡ia (5.33).
Fig. 5.5. Schemă de calcul pentru conducta cu debit uniform distribuit.
5.7. CALCULUL HIDRAULIC AL CONDUCTELOR LUNGI În calculul hidraulic al conductelor lungi se neglijeazå termenii cinetici ¿i pierderile de sarcinå locale, astfel cå ecua¡ia energiilor capåtå forma simplå:
∑=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ
+−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ
+= dei
hg
pz
gp
zH* (5.34)
sau:
∑= dhH* . (5.35)
120
Rela¡ia (5.35) aratå cå, în cazul sistemelor hidraulice cu conducte lungi, sarcina sistemului este egalå cu suma pierderilor de sarcinå liniare. Prin neglijarea termenului cinetic, linia energeticå se confundå cu linia piezometricå ¿i în reprezentarea graficå se traseazå numai linia piezometricå.
5.7.1. PRECIZĂRI PRIVIND CALCULUL PIERDERILOR DE SARCINĂ LINIARE (DISTRIBUITE)
Calculul efectiv al rela¡iei (5.35) presupune cunoa¿terea pierderilor de sarcinå liniare (distribuite).
Pierderile de sarcinå distribuite pentru o anumitå conductå este datå de rela¡ia (5.13) în care se neglijeazå pierderea de sarcinå localå:
2QMhd = , (5.36)
în care M este modulul de rezisten¡å al conductei. Modulul de rezisten¡å al unei conducte, fårå rezisten¡e locale, poate fi exprimat în douå feluri, func¡ie de modul în care este consideratå rugozitatea conductei.
Primul mod se referå la rugozitatea relativå . În func¡ie de aceasta se
determinå coeficientul de rezisten¡å 0/ rk
λ (v. cap. 4). Pierderea de sarcinå distribuitå se calculeazå cu rela¡ia (4.6) scriså în func¡ie de debit:
22
2
2
22
42
22
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ π⋅
⋅λ
=⋅
⋅λ
=⋅λ
=D
g
QDL
Ag
QDL
gV
DL
hd
sau:
255
0827,0 QMQD
Lhd =⋅
λ⋅= . (5.37)
În acest caz, modulul de rezisten¡å al conductei este dat de rela¡ia:
50827,0
D
LM
λ⋅= . (5.38)
Al doilea mod de exprimare a modulului de rezisten¡å se ob¡ine folosind coeficientul de rugozitate n introdus de R. Manning (în 1880) pentru calculul coeficientului de rezisten¡å C din formula vitezei medii, ob¡inutå pe cale experimentalå de A. Chézy (în 1769).
121
Pentru coeficientul de rezisten¡å C (coeficientul lui Chézy), Manning a propus binecunoscuta rela¡ie:
6111R
nR
nC y ⋅=⋅= , (5.39)
în care:
n este coeficientul de rugozitate (coeficientul Manning) care este func¡ie numai de natura suprafe¡ei rigide (v. anexa 4.2);
- raza hidraulicå (exprimatå în metri); R y - exponent (dupå Manning, y = 1/6).
Pentru exponentul y existå mai multe rela¡ii de calcul. Dintre acestea se
remarcå cea propuså de Pavlovski, N. N. (1925):
( )1,075,013,05,2 −⋅−−= nRny , (5.40)
valabilå pentru = 0,1 … 3,0 m ¿i n = 0,011 … 0,040. R Cu rela¡ia (4.8) se ob¡ine expresia debitului:
IRCAVAQ == (5.41)
sau:
IKQ = , (5.42)
unde RCAK = este modulul de debit al conductei. El depinde numai de
caracteristicile geometrice ale conductei. Mårimea K este denumitå modul de debit pentru cå are acelea¿i dimensiuni ¿i unitå¡i de måsurå ca ¿i debitul.
Rela¡ia (5.42) poate fi puså sub forma:
2
2
K
QI = . (5.43)
ºinând seama de rela¡ia (4.3), pierderea de sarcinå distribuitå are expresia:
222
QMQK
LLIhd =⋅== , (5.44)
în care modulul de rezisten¡å al conductei este:
2K
LM = . (5.45)
Comparând rela¡iile (5.38) ¿i (5.45) pentru modulul de rezisten¡å al conductei rezultå rela¡ia:
122
2500827,0
K
L
D
LM =
λ⋅= . (5.46)
Din cele prezentate mai sus se poate concluziona: - dacå se cunoa¿te rugozitatea relativå, respectiv coeficientul Darcy, λ ,
modulul de rezisten¡å al conductei se calculeazå cu rela¡ia (5.38); - când rugozitatea este exprimatå prin coeficientul de rugozitate Manning,
, modulul de rezisten¡å al conductei se calculeazå cu rela¡ia (5.45). n
5.7.2. CONDUCTA SIMPLĂ
Conducta simplå este conducta la care debitul Q ¿i diametrul D sunt constante, figura 5.6.
La conducta simplå pot apare trei probleme:
1. Problema de verificare. Se cere debitul Q când se cunosc caracteristicile
geometrice ale conductei ¿i sarcina sistemului *H . Pentru rezolvare se folose¿te rela¡ia (5.36) puså sub forma:
IKL
HK
Lh
KMh
Q dd ====*
.
2. Calculul sarcinii *H necesarå pentru transportul unui debit Q dat când se cunoa¿te geometria conductei.
Problema se rezolvå tot cu formula (5.36):
2* QMhH d == .
3. Problema de dimensionare. Se cere diametrul D al conductei când se cunosc celelalte elemente.
Fig. 5.6. Conducta simplă.
123
Cu rela¡ia (5.42) se calculeazå modulul de debit:
I
Q
Lh
QK
d== ,
iar din anexa 5 se ob¡ine diametrul conductei.
5.7.3. CONDUCTE MONTATE ÎN SERIE În figura 5.7 se aratå un sistem hidraulic alcåtuit din douå conducte simple care conecteazå douå rezervoare.
Sarcina sistemului se consumå pentru învingerea
rezisten¡elor distribuite ¿i , adicå: 21
*pp HHH −=
1dh2dh
21
*dd hhH += .
Folosind rela¡ia (5.35) se ob¡ine:
( ) 221
22
21
* QMMQMQMH ⋅+=+= , (5.47)
de unde rezultå debitul:
21
*
MMH
Q+
= . (5.48)
Pentru n conducte legate în serie, rela¡ia (5.47) capåtå forma generalå:
∑=
=n
iii QMH
1
2* . (5.49)
Fig. 5.7. Conducte montate în serie.
124
5.7.4. CONDUCTE MONTATE ÎN PARALEL Sistemul hidraulic din figura 5.8 are între punctele B ¿i C trei conducte montate în paralel.
Fig. 5.8. Conducte montate în paralel. Se observå cå în punctul B presiunea este aceea¿i pentru toate conductele care se întâlnesc în el. Acela¿i lucru se întâmplå ¿i în punctul C. Aceasta înseamnå cå pierderile de sarcinå aferente conductelor montate în paralel sunt egale, adicå:
BCdddd hhhh ===432
sau:
BCdhQMQMQM === 244
233
222 ,
de unde rezultå expresia debitelor pe fiecare conductå legatå în paralel:
44
33
22 ;;
M
hQ
M
hQ
M
hQ BCBCBC ddd
=== . (5.50)
În rela¡iile (5.50) necunoscutele sunt debitele , , ¿i pierderea de
sarcinå . 2Q 3Q 4Q
BCdh
Combinând ecua¡ia de continuitate:
432 QQQQ ++= ,
cu rela¡iile (5.50), se ob¡ine expresia:
ABdhMMM
Q ⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=
432
111, (5.51)
125
care permite calcularea pierderii de sarcinå ¿i apoi, din rela¡iile (5.50),
debitele , ¿i . BCdh
2Q 3Q 4Q
Ecua¡ia (5.51) poate fi scriså sub forma:
2QMh fdBC= , (5.52)
în care este un modul de rezisten¡å fictiv (echivalent), calculat cu formula: fM
432
1111
MMMM f++= . (5.53)
Rela¡ia (5.52) aratå cå cele trei conducte montate în paralel pot fi înlocuite cu o conductå echivalentå (fictivå) având modulul de rezisten¡å dat de formula
(5.53). În felul acesta, sistemul din figura 5.8 se transformå într-un sistem de conducte montate în serie, a¿a cum se aratå în figura 5.9.
fM
Fig. 5.9. Conducte montate în paralel. Schemă de calcul. Pentru sistemul echivalent din figura 5.9 rela¡ia de calcul este:
( ) 251
* QMMMH f ⋅++= . (5.54)
5.7.5. CONDUCTE CU DEBIT UNIFORM DISTRIBUIT O conductå cu debit uniform distribuit este o conductå la care o parte din debitul care intrå prin capåtul amonte se consumå uniform pe toatå lungimea ei, figura 5.10. Asemenea conducte se întâlnesc frecvent la lucrårile de iriga¡ii, la instala¡ii de stins incendii etc.
126
Fig. 5.10. Conductă cu debit uniform distribuit: a) schemă reală; b) schemă de calcul.
Dacå debitul specific (debitul pe unitatea de lungime a conductei) este q,
debitul distribuit pe lungimea L a conductei va fi:
LqQd = ,
iar debitul la extremitatea aval a conductei, sec¡iunea (2), rezultå din ecua¡ia de continuitate:
dQQQ −= 12 .
În lungul conductei debitul scade continuu de la valoarea la valoarea
, ceea ce face ca linia piezometricå så fie o curbå cu concavitatea în sus. 1Q
2Q
Pierderea de sarcinå se calculeazå adoptându-se o schemå simplificatå
(fig. 5.10,b), conform cåreia debitul distribuit se repartizeazå concentrat ¿i
în mod egal la extremitå¡ile conductei. Rezultå debitul de calcul pentru
determinarea pierderii de sarcinå:
21−dh
dQ
cQ
22 21Lq
QLq
QQc +=−= , (5.55)
corespunzåtor cåruia: 2
21 cd QMh =−
. (5.56)
127
5.8. CALCULUL CONDUCTELOR DE POMPARE
Pentru vehicularea unui debit Q de la o cotå joaså la o cotå ridicatå se folose¿te o instala¡ie de pompare. Schematizat, o instala¡ie de pompare este prezentatå în figura 5.11. Ea se compune din urmåtoarele pår¡i principale:
- bazin de aspira¡ie BA, care poate fi un râu, un lac, un rezervor, canal de iriga¡ie etc.;
- bazinul de refulare BR; - agregatul de pompare (pompa), P; - conducta de aspira¡ie, CA; - conducta de refulare, CR.
Fig. 5.11. Schema unei instalaţii de pompare. În figura 5.11 sunt specificate nota¡iile:
grgag HHH += reprezintå înål¡imea geodezicå de pompare;
gV
hhHH arrragp 2
2α+++=
- înål¡imea de pompare;
gaH este înål¡imea geodezicå de aspira¡ie, care reprezintå diferen¡a de cotå între axul pompei ¿i nivelul în bazinul de aspira¡ie;
grH - înål¡imea geodezicå de refulare, datå de diferen¡a de cotå dintre nivelul bazinului de refulare ¿i axul pompei;
rah - pierderea de sarcinå pe conducta de aspira¡ie;
rrh - pierderea de sarcinå pe conducta de refulare.
128
În general, conducta de aspira¡ie se trateazå ca o conductå scurtå, iar conducta de refulare ca o conductå lungå.
5.8.1. CALCULUL ÎNĂLŢIMII GEODEZICE DE ASPIRAŢIE
Determinarea înål¡imii geodezice de aspira¡ie se face având în vedere, în primul rând, evitarea fenomenului de cavita¡ie, care are efecte negative în func¡ionarea instala¡iei de pompare.
Comentariile care urmeazå se referå la figura 5.12. Analizând fenomenul la scarå absolutå (barometricå), energia specificå în
sec¡iunea (2) la intrarea în pompå este:
gp
gV
gp
zH at
ρ++
ρ+=
2
222
22 . (5.57)
În figura 5.12 mårimile din rela¡ia (5.57) sunt reprezentate prin segmente de dreaptå orientate, punctul marcând originea segmentului. Termenul p ρ/2
reprezentat printr-un segment de dreaptå orientat în jos, ceea ce înseamnå cå, pentru situa¡ia din figura 5.12, presiunea 2p (exprim la scarå manometricå)
este negativå.
g este
atå
Fig. 5.12. Calcularea înălţimii geodezice de aspiraţie.
129
Din rela¡ia (5.57) se observå cå depinde de adicå de pozi¡ia planului
de referin¡å ales arbitrar. 2H 2z
ºinând seama de presiunea de vaporizare ¿i scåzând cota din se
ob¡ine energia specificå netå absolutå, cunoscutå sub denumirea de înål¡ime netå pozitivå de aspira¡ie interioarå, notatå
vp 2z 2H
iNPSH*:
gV
gp
gpp
gp
zH vatvi 2
NPSH222
22α
+ρ
+ρ−
=ρ
−−= . (5.58)
Mårimea este func¡ie de debit ¿i este indicatå de constructorul
pompei. iNPSH
Pentru a pune în eviden¡å înål¡imea geodezicå de aspira¡ie se scrie rela¡ia lui Berrnoulli între sec¡iunea 1 (planul oglinzii apei în bazinul de aspira¡ie) ¿i sec¡iunea 2 (intrarea în pompå), presiunile exprimându-se la scarå barometricå:
raatat h
gV
gpp
zg
Vg
pz +
α+
ρ+
+=+ρ
+22
222
2
21
1 ,
în care este presiunea manometricå în sec¡iunea 2. 2p
Considerând se ob¡ine: 01 =V
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
α+
ρ+
−ρ
=−= raatat
ga hg
Vgpp
gp
zzH2
222
12 . (5.59)
Se observå cå este cu atât mai mare cu cât termenii din parantezå au
valori mai mici. Dacå to¡i ace¿ti termeni ar avea valoarea zero s-ar ob¡ine pentru înål¡imea geodezicå de aspira¡ie valoarea maximå teoreticå de 10,33 m coloanå de apå. Practic, are valori mult mai mici, de multe ori chiar valori
negative.
gaH
gaH
Dacå în partea dreaptå a rela¡iei (5.59) se adunå ¿i se scade gpv ρ/ rezultå:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ α+
ρ+
ρ−
−−ρ−
=g
Vg
pg
pph
gpp
H vatra
vatga 2
222 . (5.60)
ºinând seama de rela¡ia (5.58) se ob¡ine condi¡ia pe care trebuie så o îndeplineascå înål¡imea geodezicå de aspira¡ie pentru a se evita cavita¡ia:
* Nota¡ia NPSH derivå din limba englezå (Net Positive Suction Head); a fost adoptatå de STAS 7215-75.
130
iravat
ga hg
ppH NPSH−−
ρ−
≤ (5.61)
sau:
iragavat hH
gpp
NPSH≥−−ρ−
. (5.62)
Partea stângå a rela¡iei (5.62) poartå numele de înål¡ime netå pozitivå de aspira¡ie exterioarå; se noteazå ¿i este func¡ie de debitul pompat: eNPSH
ragavat
e hHg
pp−−
ρ−
=NPSH . (5.63)
Pompa func¡ioneazå fårå cavita¡ie dacå:
ie NPSHNPSH ≥ . (5.64)
5.8.2. PUNCTUL DE FUNCŢIONARE
Între debitul Q ¿i înål¡imea H pe care o dezvoltå o pompå existå rela¡ia func¡ionalå:
( )QfH = , (5.65)
care reprezentatå grafic constituie curba caracteristicå a pompei (fig. 5.13).
Pentru vehicularea unui anumit debit Q, din bazinul de aspira¡ie în bazinul de refulare, pompa transmite lichidului o energie specificå egalå cu înål¡imea de pompare:
Fig. 5.13. Punctul de funcţionare
a unei instalaţii de pompare.
2QMHH g += . (5.66)
Curba corespunzåtoare rela¡iei (5.66) se nume¿te curba caracteristicå a re¡elei. Rela¡iile (5.65) ¿i (5.66) formeazå un sistem de douå ecua¡ii cu douå necunoscute ( ¿i ). Rezolvarea acestui sistem se face grafic (fig. 5.13). 0Q 0H
Intersec¡ia celor douå curbe caracteristice, determinå punctul F, numit punct de func¡ionare; coordonatele ¿i reprezintå debitul, respectiv înål¡imea
de pompare la care lucreazå instala¡ia. 0Q 0H
131
5.8.3. CALCULUL CONDUCTEI DE REFULARE
Din punct de vedere hidraulic, dimensionarea conductei de refulare pentru un debit Q dat este nedeterminatå. Alegerea unui diametru mic conduce la pierderi de sarcinå mari, respectiv la consum mare de energie, iar un diametru mare implicå investi¡ii ini¡iale mari. De aceea, stabilirea diametrului conductei de refulare se face ¡inând seama ¿i de considera¡ii economice.
Fig. 5.14. Diametrul optim al conductei
de refulare.
Problema se rezolvå grafic. Pe aceea¿i diagramå, în func¡ie de diametru, se reprezintå curba a cheltuielilor legate
de proiectare, execu¡ie ¿i între¡inere ¿i curba - costul energiei consumate
pentru pompare (fig. 5.14). Prin însumarea celor douå curbe se ob¡ine curba cheltuielilor totale, .
Curba C are un minim, cåruia îi corespunde diametrul optim economic,
.
1C
2C
21 CCC +=
ecD
5.8.4. PUTEREA POMPEI
Pentru a se transporta un anumit volum de lichid W de la bazinul de aspira¡ie la bazinul de refulare se consumå lucrul mecanic pp HWgHGL ρ== , în care
este înål¡imea de pompare. Prin defini¡ie, puterea este lucru mecanic
efectuat în unitatea de timp, adicå: pH
pp HQgHTW
gTL
P ρ=⋅⋅ρ== . (5.67)
ºinând seama de randamentul η al pompei, rezultå puterea instalatå:
[ ]Wη
ρ= pHQg
P . (5.68)
5.9. CALCULUL REŢELELOR DE CONDUCTE
O re¡ea de conducte este un sistem hidraulic alcåtuit din mai multe conducte simple, care servesc la distribu¡ia apei în localitå¡i, în cadrul platformelor industriale etc.
132
Dupå modul de alcåtuire ¿i func¡ionare, re¡elele de conducte se împart în: - re¡ele ramificate (fig. 5.15,a); - re¡ele inelare (fig. 5.15,b).
Fig. 5.15. Configuraţia reţelelor de conducte: a) reţea ramificată; b) reţea inelară.
Extremitå¡ile tronsoanelor (conductelor simple) se numesc noduri ¿i se
definesc prin numere de ordine. La o re¡ea ramificatå, un nod oarecare este alimentat dintr-o singurå parte.
Astfel, nodul (j) este alimentat dinspre nodul (i) cu debitul . ijQ
Din punct de vedere func¡ional, re¡eaua inelarå prezintå avantajul cå printr-o manevrå corespunzåtoare de vane se pot schimba sensurile de curgere pe anumite tronsoane, astfel cå un nod poate fi alimentat din mai multe pår¡i. Acest avantaj este evident în caz de avarie a unui tronson. Dacå, de exemplu, tronsonul (ij) care în mod normal alimenteazå nodul (j) se sparge, acest nod poate fi alimentat dinspre nodurile (k), respectiv ( ). l
Mårimile caracteristice tronsoanelor se noteazå cu indicii modurilor adiacente. Lungimea, diametrul, debitul, pierderea de sarcinå aferente tronsonului (ij) se noteazå:
ijrijijij hQDL ,,, .
Datele de bazå ale unei re¡ele sunt:
- elementele geometrice: forma re¡elei, lungimile tronsoanelor , cotele
geodezice ale nodurilor ; ijL
iz
- elementele hidraulice: debitele concentrate în noduri , cotele
piezometrice impuse în noduri
iQ
pii
s Hg
pz =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ
+ , în care este
presiunea de serviciu (presiunea minimå necesarå în nodul i).
sp
Indiferent de tipul re¡elei, calculele hidraulice se referå la douå probleme:
133
1. Problema de dimensionare, care constå în determinarea diametrelor tronsoanelor de conducte când se cunosc datele de bazå. Aceastå problemå este nedeterminatå. De aceea, pentru dimensionare trebuie så se ¡inå seama ¿i de criteriul economic. În practicå, alegerea diametrelor se face folosind vitezele economice recomandate de STAS 1478-90 ¿i prezentate în tabelul 5.2.
2. Problema de verificare se referå la calculul cotelor piezometrice în noduri, când se cunosc diametrele tronsoanelor. Aceastå problemå se trateazå diferit, în func¡ie de tipul re¡elei, a¿a cum se aratå în continuare.
Tabelul 5.2
Viteze economice
D (mm) V (m/s) Q (l/s) D (mm) V (m/s) Q (l/s)
50 0,75 1,5 400 1,15 145,0
75 0,75 3,3 450 1,20 190,0
100 0,76 6,0 500 1,25 245,0
150 0,85 15,0 600 1,30 365,0
200 0,95 30,0 700 1,35 520,0
250 1,02 50,0 800 1,40 705,0
300 1,05 74,0 900 1,45 920,0
350 1,10 106,0 1000 1,53 1200,0
5.9.1. REŢELE RAMIFICATE
Pentru calculul cotelor piezometrice în noduri, este necesar så se determine debitele vehiculate pe fiecare tronson. Debitele se calculeazå direct din
ecua¡ia de continuitate scriså în fiecare nod. Referitor la re¡eaua ramificatå din figura 5.16, la care se cunosc debitele consumatorilor în noduri, ecua¡ia de continuitate aferentå fiecårui nod conduce la rela¡iile:
ijQ
..........
8988948
5655645
989
747
656
QQQQQ
QQQQQ
+=+=
+=+=
=
=
=
134
121
987653242312
QQQQQQQQQ
=
+++++=+=
debitul fiind debitul care alimenteazå re¡eaua. 1Q
Fig. 5.16. Reţea ramificată.
Pentru calculul cotelor piezometrice în noduri se aplicå rela¡ia lui Bernoulli
pe fiecare tronson, începând cu tronsoanele aval. Pentru re¡eaua din figura 5.16 cota piezometricå în nodul 5 este:
5665
rss hg
pz
gp
z +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ
+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ
+
sau: 2565665 QMHH pp += .
Asemånåtor se calculeazå cota piezometricå în nodul 8:
2898998 QMHH pp += .
În nodurile în care conductele se ramificå se ob¡in douå sau mai multe cote piezometrice. Astfel, în nodul 4 se ob¡in trei cote piezometrice:
.
;
;
24848
''''''
24747
""
24545
''
84
74
54
QMHH
QMHH
QMHH
pp
pp
pp
+=
+=
+=
135
Cota piezometricå de bazå se ia cea mai mare dintre , ¿i : '4pH "
4pH '''4pH
{ }'''"'4 444
,,max ppp HHHH ⋅= .
În acest fel, din aproape în aproape, se determinå cotele piezometrice în fiecare nod, ultimul nod fiind nodul 1 în care se face alimentarea re¡elei. Cota
reprezintå cota piezometricå a nivelului apei din rezervor, dacå
alimentarea se face din rezervor sau cota piezometricå la ie¿irea din pompå când alimentarea re¡elei se face prin pompare.
1pH
5.9.2. REŢELE INELARE
La o re¡ea inelarå debitele tronsoanelor nu se cunosc de la început, iar
determinarea lor se face prin aproxima¡ii succesive, folosind diferite metode. Dintre acestea, metoda Lobacev se aplicå frecvent ¿i este prezentatå în continuare.
ijQ
Cunoscând debitele de alimentare ¿i de consum concentrate în noduri, se
precizeazå un sens ra¡ional de curgere a apei prin re¡ea, a¿a cum se aratå în figura 5.17.
iQ
Fa¡å de sensul de curgere ales se propun, în mod arbitrar, debitele ,
respectându-se ecua¡ia de continuitate în fiecare nod; pentru nodul 2, de exemplu, se ob¡ine:
ijQ
2523122 QQQQ ++= .
Pentru o repartizare corectå a debitelor suma pierderilor de sarcinå de-a
lungul oricårui inel închis trebuie så fie nulå, adicå: ijQ
Fig. 5.17. Reţea inelară.
136
∑ =−−−=I
012144525 rrrrr hhhhh ; (5.69)
025563623
II=−−+=∑ rrrrr hhhhh .
Stabilind un sens de parcurs comun pentru toate inelele (fig. 5.17 - sensul
pozitiv este sensul orar), pierderea de sarcinå are semnul plus când curgerea are loc în sensul pozitiv ales ¿i semnul minus când curgerea se produce în sens invers.
Deoarece debitele au fost repartizate arbitrar, de obicei, rela¡iile (5.69),
nu sunt satisfåcute, existând o eroare de închidere a pierderilor de sarcinå. În cazul primului inel eroarea de închidere este datå de rela¡ia:
ijQ
( ) 21212
21414
24545
22525I QMQMQMQMhr −−−=∆ . (5.70)
Pentru ca eroarea så fie egalå cu zero trebuie ca debitele ini¡iale så
fie corectate cu o valoare
( )Irh∆
IQ∆ . Opera¡ia de corectare a debitelor se face
simultan pentru toate inelele ¿i poartå numele de compensarea re¡elei. Valoarea IQ∆ cu care se corecteazå debitele tronsoanelor inelului I se
ob¡ine din condi¡ia ca suma pierderilor de sarcinå pe inel så fie nulå:
( ) ( ) ( )
( ) .02I1212
2I1414
2I4545
2I2525
=∆−−
−∆−−∆−−∆+
QQM
QQMQQMQQM
Se observå cå se adaugå cu semnul plus debitelor pozitive ¿i cu semnul
minus debitelor negative. Neglijând termenii care con¡in pe se ob¡ine:
IQ∆2IQ∆
+−−− 21212
21414
24545
22525 QMQMQMQM
( ) .02 1212141445452525I ≅+++⋅∆⋅+ QMQMQMQMQ
ºinând seama de rela¡ia (5.70) rezultå:
( ) ∑ ≅⋅∆⋅+∆I
II 02 ijijr QMQh
sau pentru un inel oarecare:
∑⋅∆
−=∆ijij
r
QM
hQ
2. (5.71)
137
Se observå cå este afectat de semn. Pe tronsoanele pe care curgerea se
face în sensul orar se adunå cu semnul dat de rela¡ia (5.71), iar pe celelalte
cu semn schimbat.
Q∆Q∆
Dacå un tronson apar¡ine la douå inele, el va fi afectat de corec¡iile de debit aferente celor douå inele.
Opera¡ia de compensare a re¡elei se repetå pânå când eroarea de închidere a pierderilor de sarcinå se înscrie în limita erorii admise.
Cotele piezometrice se determinå în acela¿i mod ca în cazul re¡elei ramificate.
APLICAŢII
Problema 5.1
Pentru amenajarea unui baraj, s-a executat o galerie de deviere a apelor. Profilul longitudinal al galeriei este prezentat, schematizat, în figura 5.18. Nivelul apei în amonte se gåse¿te cu 14,0 m deasupra axului galeriei, iar în aval, sub cota radierului galeriei. Intrarea în galerie este profilatå hidrodinamic ¿i este prevåzutå cu un gråtar rar. Galeria este sclivisitå ¿i are coeficientul de rugozitate n = 0,012. Coeficien¡ii pierderilor de sarcinå localå sunt:
8,0l =ζ g - la gråtar;
2,0=ζ li - la intrarea în galerie.
Se cere så se calculeze debitul evacuat de galerie ¿tiind cå D = 2,8 m ¿i L = 230 m.
Fig. 5.18. Galerie de deviere.
138
Rezolvare:
Problema se rezolvå folosind formulele aferente conductelor scurte. Coeficientul de rezisten¡å λ se calculeazå cu formulele (4.10) ¿i (4.28).
Cu raza hidraulicå m7,04
8,2
4====
DPA
R se ob¡ine:
53,787,0012,0
11 6161 =⋅=⋅= Rn
C
¿i:
0127,053,78
81,98822=
⋅==λ
C
g.
Debitul se calculeazå cu formula (5.16) scriså sub forma
, în care: ( ) 2* QMMH e ⋅+=
5244
/ms001481,08,2
1,10827,00827,0 =⋅=
α⋅=
DMe ;
./ms0027,0033,00827,0
8,2
2,08,0
8,2
2300127,00827,00827,0
52
454lg
5
=⋅=
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++
⋅⋅=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ζ+ζ+
λ⋅=
DD
LM li
Rezultå debitul:
/sm24,740027,00014,0
20,23 3*
=+
=+
=MM
HQ
e,
iar viteza apei în galerie are valoarea:
m/s06,128,214,3
424,742=
⋅
⋅==
AQ
V .
Problema 5.2
Pentru sistemul hidraulic din figura 5.19 se cunosc: - lungimile: 30,0 m; =1l =2l 20,0 m; =3l 25 m;
139
=1h 5,0 m; =2h 3 m; =3h 5,0 m;
- diametrele tronsoanelor: =1D 200 mm; =2D 100 m;
- coeficien¡ii de rezisten¡å localå:
=ζ1 0,5; =ζ2 0,25; =ζ=ζ 43 0,3; =ζ5 1,0;
- coeficien¡ii de rezisten¡å liniarå: =λ1 0,025; =λ2 0,04.
Se cere så se determine presiunea a pernei de aer din rezervorul închis,
astfel încât prin sistem så treacå un debit de apå 0p
s/80 l=Q .
Fig. 5.19. Conducte scurte montate în serie.
Rezolvare:
Deoarece, atât în sec¡iunea de intrare în sistem, cât ¿i în sec¡iunea de ie¿ire existå câte un rezervor, termenii cinetici din aceste sec¡iuni se neglijeazå; sarcina sistemului se calculeazå cu rela¡ia (5.15) scriså sub forma:
( ) 2221
* QMQMMH =⋅+= ;
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ζ+ζ+ζ+ζ+
λ+
ζ+
λ⋅=
42
543252
2241
151
110827,0DD
L
DD
LM ;
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++⋅+
⋅++
⋅⋅=
4545 1,0
0,13,03,025,0
1,0
4804,0
2,0
5,0
2,0
30025,00827,0M ;
52 /ms0,17628=M .
Pentru sarcina sistemului este: /sm08,0 3=Q
140
m8,11208,00,17628 2* =⋅=H .
Din rela¡ia de defini¡ie a sarcinii sistemului (5.4) rezultå:
30
1* h
phH −⎟⎟
⎞⎜⎜⎛
+= , g ⎠⎝ ρ
de unde:
m8,1080,50,18,11213*0 =−+=−+=
ρhhH
g
p.
Presiunea pernei de aer din rezervorul amonte este:
.
Problema 5.3
Pentru sistemul hidraulic di åtuit dintr-un rezervor ¿i douå conducte montate în serie se cunosc:
20 N/m67,1098108,108 =⋅=p
n figura 5.20 alc
=1D 400 mm; =2D 300 mm; == 21 nn 0,012;
=1L 380 mm; 450 m; s/l=2L 200=AQ s/170 l=BQ; ;
.
Presiunea de serviciu fi
=AZ 15,0 m; ± 0,0 m=BZ
ind =sp 0,8 atm, se cere så se determine cota apei în
rezervor ¿i presiunea în punctul A.
Fig. 5.20. Conducte lungi montate în serie.
Rezolvare:
Sistemul hidraulic se considerå alcåtuit din conducte lungi.
141
Cota apei în rezervor se calculeazå cu rela¡ia:
21
*rr
ss hhp
zHp
zz +++=++= , BBR gg ρρ
în care pierderea de sarcinå liniarå se ob¡ine folosind formul
În continuare se calculeazå modulul de rezisten¡å hidraulicå pentru fiecare conductå. Pentru prima conductå rezultå:
a:
2QMhh dr == .
- aria sec¡iunii transversale: 222
11 m125,0
4,014,3
4=
⋅=
π=
DA ;
2
m1,04
4,0
41R- raza hidraulicå: ===D
;
z 78,561,0⋅012,0
11 61611 ==⋅= R
nC ; - coeficientul Ché y:
/sm24,21,078,56125,0 31111 =- modulul de debit: ⋅⋅== RCAK ;
¡å - modulul de rezisten : 5222
1
11 /ms73,75
24,2
380===
K
LM .
ucta a doua se ob¡in: Asemånåtor, pentru cond
/s;m12,54m;075,0;m07,0 21
222 CRA 2 ===
Pierderea de sarcinå pe prima conductå este:
522
32 /ms416s;/m04,1 == MK .
( ) m36,1037,073,75 221
2111
=⋅=+⋅== BAd QQMQMh ,
iar pe cea de a doua conductå:
=⋅=== Bd QMQMh .
Rezultå cota apei în rezervor:
m0,1217,0416 222
2222
m36,300,1236,100,8 =++=Rz .
142
Presiunea în punctul A se ob¡ine din rela¡ia lui Bernoulli scriså între un punct
R ¿i punctul A, neglijând termenii cinetici: 1r
AA
RR h
gp
zg
pz +
ρ+=
ρ+ .
ºinând seama cå 0== atR pp (la scarå manometricå):
( ) ( ) .atm5,0N/m050,4936,100,1516,309810 2−⋅=−−⋅ρ= hzzgp1
==−dARA
Problema 5.4
În figura 5.21 grupul de conducte 2, ¿i 4 montate în paralel, este înseriat cu conducta simplå 1 ¿i cu conduct distribuit 5. Se cunosc:
3a cu debit uniform
m200m;440m;320m;280m;360 54321 ===== LLLLL ;
/s;m0,1/s;m2,0/s;m39,0/s;m0,4 34
33
32
31 ==== KKKK
/sm5,1 35 =K ;
/s95,0/s;20/s;60/s;150 llll ==== qQQQ DCB ;
atm5,1m;15m;23 === sDzB pz .
Se cere så se calculeze cota a nivelului apei în castelul de apå ¿i debitele
pe conductele montate în paralel.
Az
Fig. 5.21. Conducte montate în paralel şi cu debit distribuit. Rezolvare:
Pentru rezolvare, grupul de conducte legate în paralel se înlocuie¿te cu o conductå fict conducta cu ivå având modul de rezisten¡å dat de rela¡ia (5.53), iar
143
d it uniform disteb ribuit se înlocuie¿te cu o conductå cu debite concentrate la xtremitå¡i (punctele C ¿i D). Se ob¡ine schema de calcul din figura 5.22. e
Fig. 5.22. Conducte montate în paralel şi cu debit distribuit. Schemă de calcul.
Modulii de rezisten¡å ai conductelor sunt:
;/ms5,22360 521
1 ===L
M ;/ms1841280 52
22 ==M 422K 39,01
;/ms80002,0
320 5223 ==M 52
24 /ms4401
440==M ;
5225 /ms89
5,1
200==M ;
0821,0440
1
8000
1
1841
11111
432
=++=++=MMMM f
;
Pentru schema din figura 5.22 debitele de calcul sunt:
52/ms148=fM .
/s1152
20095,020
25
5 l=⋅
+=+=Lq
QQ D ;
/s27020095,060205 l=⋅++=++= LqQQQ CDf ;
/s4201502701 l=+=+= Bf QQQ .
144
Rezultå pierderile de sarcinå:
f ;
Cota apei în castel se ob¡ine adunând la cota punctului D pierderile de sarcinå ¿i presiunea de serviciu exprimatå în metri coloanå de apå:
m97,342,05,22 22111
=⋅== QMhd ;
m79,1027,0148 22 =⋅== fd QMhBC
m18,1115,089 22555
=⋅== QMhd .
m94,3018,179,1097,31551ρ rrrA g BC
=+++=+++= s hhhp
z .
ºinând seama cå:
432 dddd hhhhBC
=== ,
rez ductele legate în paralel: ultå debitele pe con
/s5,76/sm0765,01841
79,10 3
22
2 l====M
hQ
d;
/s7,36/sm0367,08000
79,10 33 l===Q ;
/s6,156/sm1566,0440
79,10 34 l===Q .
Problema 5.5
În figura 5.23 se prezintå configura¡ia unei re¡ele inelare alimentatå ravita¡ional dintr-un castel de apå.
Se cunosc: - debitele de consum concentrate în noduri (fig. 5.23);
g
- tronsoanele sunt executate din conducte de o¡el cu n = 0,011;
145
Fig. 5.23. Reţea inelară.
- lungimile tronsoanelor (fig. 5.23); - presiunea de serviciu în fiecare nod, ; atm8,0≥sp
- cotele geodezice ale nodurilor.
Se cere så se calculeze: a) dimensionarea re¡elei;
b) cotele piezometrice în noduri. Rezolvare:
a) Pentru dimensionarea re¡elei, se precizeazå un sens ra¡ional de curgere a apei ¿i în func¡ie de acesta se repartizeazå, arbitrar, debitele pe tronsoane, respectându-se continuitatea în noduri. Cu aceste debite din tabelul 5.2 se ob¡in diametrele tronsoanelor (fig. 5.24).
Fig. 5.24. Dimensionarea reţelei inelare.
146
b) Pentru calculul pierderilor de sarcinå, respectiv al cotelor piezometrice, este necesar så se cunoascå debitele pe fiecare tronson. În tabelul 5.3 sunt prezentate, centralizat, calculele pentru compensarea re¡elei, folosind metoda Lobacev. În tabel, se aratå în detaliu calculul debitelor numai pentru primele trei corec¡ii. Debitele finale, pentru eroarea de închidere a pierderilor de sarcinå pe fiecare inel m001,0≤ε , se ob¡in dupå douåsprezece corec¡ii ¿i sunt prezentate
la sfâr¿itul tabelului 5.3 ¿i figura 5.25.
Fig. 5.25. Reţea inelară. Debite calculate.
Cotele piezometrice în noduri se determinå ca la re¡eaua ramificatå. Cota
piezometricå într-un nod amonte i este egalå cu cota piezometricå într-un nod aval j, la care se adaugå pierderile de sarcinå între i ¿i j:
ijdji
hg
pz
gp
z +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ
+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ
+ .
Pentru a se asigura presiunea de serviciu în fiecare nod, se impune ¿i condi¡ia:
i
s
i gp
zg
pz ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ
+≥⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ
+ .
Diferen¡a între cota piezometricå ¿i cota terenului (geodezicå) reprezintå presiunea disponibilå în punctul respectiv.
Rezultatele calculelor sunt centralizate în tabelul 5.4, iar în figura 5.26 se aratå linia piezometricå.
147
Tabelul 5.3
Calculul reţelei inelare
Inel Tronson D
(m) L
(m) K
/sm3
M 52 /ms s
Q
/sm3 QM 2MQrh =
1-2 400 150 2,460 24,79 -0,15500 3,842 -0,59552
2-3 400 150 2,460 24,79 0,15000 3,718 0,55772
3-4 350 400 1,723 134,74 0,12000 16,169 1,94022
4-13 150 300 0,180 9270,23 0,01500 139,053 2,08580
1-13 400 400 2,460 66,10 -0,1300 8,593 -1,11708
171,375 2,87114 m
I
/sm0,00838171,3752
2,87114I
3−=⋅−
=∆Q
13-4 150 300 0,180 9270,23 -0,0150 139,053 -2,08580
4-5 350 320 1,723 107,79 0,0900 9,701 0,87310
5-6 250 250 0,702 506,66 0,0550 27,866 1,53265
6-12 150 300 0,180 9270,23 -0,0150 139,053 -2,08580
12-13 400 500 2,460 82,62 -0,1350 11,154 -1,50583
326,827 -3,27168 m
II
/sm0,00500326,8272
3,2717II
3=⋅−
=∆Q
12-6 150 300 0,180 9270,23 0,0150 139,053 2,08580
6-7 250 250 0,702 506,66 0,0500 25,333 1,26666
7-8 175 250 0,271 3395,18 0,0250 84,879 2,12199
8-9 125 150 0,110 12256,37
-0,0100 122,564 -1,22564
9-10 200 150 0,387 999,36 -0,0350 34,977 -1,22422
10-11 300 250 1,142 191,61 -0,0750 14,371 -1,07781
11-12 300 250 1,142 191,61 -0,0900 17,245 -1,55205
438,422 0,39472 m
III
/sm0,00045438,4222
0,39472III
3−=⋅
−=∆Q
148
Tabelul 5.3 (continuare)
Corecţia 1a
Inel Tronson IQ∆
/sm3
IIQ∆
/sm3
IIIQ∆
/sm3
Q
/sm3
QM
2s/m
2MQhr =m
1-2 -0,00838 - - -0,16338 4,050 -0,66162
2-3 -0,00838 - - 0,14162 3,511 0,49716
3-4 -0,00838 - - 0,11162 15,039 1,67880
4-13 -0,00838 -0,00500 - 0,00162 15,018 0,02427
1-13 -0,00838 - - -0,13838 9,147 -1,26569
46,765 0,27292
I
/sm0,0029246,7652
0,27292I
3−=⋅
−=∆Q
13-4 -0,00838 0,00500 - -0,00162 15,918 -0,02427
4-5 - 0,00500 - 0,09501 10,241 0,97291
5-6 - 0,00500 - 0,06001 30,404 1,82430
6-12 - 0,00500 0,00045 -0,00954 88,438 -0,84452
12-13 - 0,00500 - -0.12999 10,739 -1,39624
154,840 0,53218
II
/sm0,00172154,842
0,53218II
3−=⋅
−=∆Q
12-6 - -0,00500 -0,00045 0,00954 88,438 0,84452
6-7 - - -0,00045 0,04955 25,105 1,24395
7-8 - - -0,00045 0,02455 83,351 2,04626
8-9 - - -0,00045 -0,01045 128,079 -1,33847
9-10 - - -0,00045 -0,03545 35,427 -1,25592
10-11 - - -0,00045 -0,07545 14,457 -1,09079
11-12 - - -0,00045 -0,09045 17,331 -1,56761
392,188 -1,11806
III
/sm0,00143392,1882
1,11806III
3=⋅−
−=∆Q
149
Tabelul 5.3 (continuare)
Corecţia 2a
Inel Tronson IQ∆
/sm3
IIQ∆
/sm3
IIIQ∆
/sm3
Q
/sm3
QM
2s/m
2MQhr =m
1-2 -0,00292 - - -0,16630 4,123 -0,68548
2-3 -0,00292 - - 0,13870 3,438 0,47688
3-4 -0,00292 - - 0,10870 14,646 1,59214
4-13 -0,00292 0,00172 - 0,00042 3,893 0,00161
1-13 -0,00292 - - -0,14130 9,340 -1,31965
35,440 0,06550
I
/sm0,0009235,4402
0,06550I
3−=⋅
−=∆Q
13-4 0,00292 -0,00172 - -0,00042 3,893 -0,00161
4-5 - -0,00172 - 0,09329 10,056 0,93804
5-6 - -0,00172 - 0,05829 29,533 1,72132
6-12 - -0,00172 -0,00143 -0,01269 117,639 -1,49240
12-13 - -0,00172 - -0,13171 10,882 -1,43340
172,003 -0,26804
II
/sm0,00078172,0032
-0,26804II
3=⋅
−=∆Q
12-6 - 0,00172 0,00143 0,01269 117,639 1,49239
6-7 - - 0,00143 0,05098 25,829 1,31654
7-8 - - 0,00143 0,02598 88,207 2,29075
8-9 - - 0,00143 -0,00902 110,552 -0,99827
9-10 - - 0,00143 -0,03402 33,998 -1,15696
10-11 - - 0,00143 -0,07402 14,183 -1,04997
11-12 - - 0,00143 -0,08902 17,057 -1,51860
407,465 0,37588
III
/sm0,00046407,4652
0,37588III
3=⋅
−=∆Q
150
Tabelul 5.3 (continuare)
Corecţia 3a
Inel Tronson IQ∆
/sm3
IIQ∆
/sm3
IIIQ∆
/sm3
Q
/sm3
QM
2s/m
2MQhr =m
1-2 -0,00092 - - -0,16722 4,145 -0,69312
2-3 -0,00092 - - 0,13778 3,416 0,47054
3-4 -0,00092 - - 0,10778 14,522 1,56516
4-13 -0,00092 -0,00078 - 0,00129 11,958 -0,01536
1-13 -0,00092 - - -0,14222 9,401 -1,33698
43,442 -0,00976
I
/sm0,0001143,4422
0,00976I
3=⋅
−=∆Q
13-4 0,00092 0,00078 - 0,00129 11,958 0,01536
4-5 - 0,00078 - 0,09407 10,132 0,95378
5-6 - 0,00078 - 0,05907 29,928 1,76766
6-12 - 0,00078 0,00046 -0,01145 106,144 -1,21482
12-13 - 0,00078 - -0,13093 10,817 -1,41648
168,978 0,10549
II
/sm0,00031168,9782
0,10549II
3−=⋅
−=∆Q
12-6 - -0,00078 -0,00046 0,01145 106,144 1,21482
6-7 - - -0,00046 0,05051 25,591 1,29283
7-8 - - -0,00046 0,02551 86,611 2,21012
8-9 - - -0,00046 -0,00949 116,313 -1,10291
9-10 - - -0,00046 -0,03449 34,468 -1,18854
10-11 - - -0,00046 -0,07449 14,273 -1,06309
11-12 - - -0,00046 -0,08949 17,147 -1,53438
400,547 -0,17115
III
/sm0,00021400,5472
-0,17115III
3=⋅
−=∆Q
151
Tabelul 5.3 (continuare)
Rezultate finale după corecţia a 12a
Inel Tronson Q /sm3
rh /sm3
1-2 -0,16716 -0,6926
2-3 0,13784 0,4710
3-4 0,10784 1,5670
4-13 -0,00102 -0,0096
1-13 -0,14216 -1,3358
I
13-4 0,00102 0,0096
4-5 0,09386 0,9496
5-6 0,05886 1,7553
6-12 -0,01181 -1,2935
12-13 -0,13114 -1,4210
II
12-6 0,01181 1,2935
6-7 0,05067 1,3009
7-8 0,02567 2,2375
8-9 -0,00933 -1,0666
9-10 -0,03433- -1,1777
10-11 -0,07433 -1,0586
III
11-12 -0,08933 -1,5290
Fig. 5.26. Reţea inelară. Linia piezometrică.
152
Tabelul 5.4 Calculul cotelor piezometrice
Nr. nod
Cota geodezicå (m) Cota piezometricå (m) Presiunea de serviciu
(m)
Presiunea disponibilå
(m)
1. 20,00 52,05 32,05 2. 20,00 52,74 32,74 3. 20,00 52,27 32,27 4. 40,00 50,70 10,70 5. 40,00 49,57 10,71 6. 40,00 48,00 8,00 7. 30,00 46,69 16,69 8. 20,00 44,46 24,46 9. 20,00 45,52 25,52 10. 20,00 46,70 26,70 11. 30,00 47,76 11,76 12. 40,00 49,29 9,29 13. 40,00 50,71
8,00
10,71
153
6
ORIFICII ŞI AJUTAJE
6.1. ORIFICII Orificiul este o deschidere realizatå în peretele unui rezervor sau al unei
conducte prin care fluidul se evacueazå sub forma unui jet continuu, care este în contact numai cu muchia amonte a deschiderii (fig. 6.1,a) ¿i (fig. 6.1,b). În zona amonte a orificiului, liniile de curent sunt convergente, astfel cå imediat dupå ie¿irea din orificiu sec¡iunea jetului este mai micå decât
sec¡iunea geometricå A a orificiului. Acest fenomen poartå numele de contrac¡ie ¿i se evalueazå cu ajutorul coeficientului de concentra¡ie
cA
ε , definit de rela¡ia:
AAc=ε , (6.1)
în care:
este aria geometricå a orificiului; A - aria contractatå a jetului. cA
La orificiul practicat într-un perete orizontal, cu evacuarea lichidului în atmosferå, sec¡iunea jetului se mic¿oreazå continuu datoritå cre¿terii vitezelor sub ac¡iunea gravita¡iei.
Fig. 6.1. Orificii: a) orificiu în perete vertical; b) orificiu în perete orizontal; c) orificiu cu perete gros (ajutaj).
155
Când orificiul este practicat într-un perete cu grosime mare,
(fig. 6.1,c), curgerea se produce ca la ajutaj; dupå sec¡iunea contractatå, jetul de lichid î¿i måre¿te sec¡iunea, rezultând un contact cu peretele ajutajului.
( ) DL ⋅> 43K
Fig. 6.2. Orificii cu contracţie perfectă şi cu contracţie imperfectă.
Când orificiul se gåse¿te în apropierea unor pere¡i laterali, contrac¡ia jetului este influen¡atå de prezen¡a acestora, producându-se o contrac¡ie imperfectå (fig. 6.2, orificiile 1, 2, 3).
Contrac¡ia perfectå, aceea¿i pe tot conturul orificiului, are loc atunci când pozi¡ia orificiului (fig. 6.2, orificiul 4) îndepline¿te condi¡iile:
hybx 3;3 ≥≥ .
Coeficientul de contrac¡ie ε este subunitar ¿i depinde de numårul Reynolds. Pentru contrac¡ia perfectå cu numere , coeficientul de contrac¡ie variazå între 0,6 ¿i 0,66.
100000Re >
6.1.1. CLASIFICAREA ORIFICIILOR
Orificiile pot fi clasificate din mai multe puncte de vedere:
Dupå forma orificiului, care poate fi circularå, dreptunghiularå, triunghiularå etc.;
Dupå distribu¡ia de viteze în sec¡iunea contractatå se disting: - orificii mici, la care distribu¡ia de viteze în sec¡iunea contractatå poate fi
consideratå uniformå; aceasta se realizeazå când:
hH 5* > ,
în care:
*H este sarcina orificiului definitå ca diferen¡å între cota piezometricå în amonte de orificiu ¿i cota piezometricå în sec¡iunea contractatå; la orificiile neînecate (libere) punctul de referin¡å al cotei piezometrice se ia centrul orificiului (fig. 6.1,a);
h - dimensiunea orificiului.
156
- orificii mari la care distribu¡ia de vitezå în sec¡iunea contractatå nu este uniformå. Orificiile se considerå mari când:
hH 5* < .
Din cele prezentate mai sus, rezultå cå în func¡ie de raportul între sarcina orificiului ¿i dimensiunea acestuia, un acela¿i orificiu poate fi tratat fie ca orificiu mic, fie ca orificiu mare.
Dupå gradul de înecare. Notând cu 1ρ densitatea fluidului care curge prin
orificiu ¿i cu 2ρ densitatea mediului în care se dezvoltå jetul, se deosebesc:
- orificii neînecate (libere), la care 21 ρ>>ρ (de exemplu, curgerea
unui jet lichid în atmosferå); - orificii înecate, la care 21 ρ≅ρ (jet de lichid în lichid sau jet de gaz
în gaz).
6.1.2. CALCULUL DEBITULUI LA ORIFICIUL MIC
Orificul neînecat. Se considerå rezervorul sub presiune descris în figura 6.3, în peretele cåruia este practicat un orificiu.
Fig. 6.3. Orificiu mic neînecat.
Se scrie rela¡ia lui Bernoulli între sec¡iunea 1 (nivelul apei în rezervor) ¿i
sec¡iunea 2 (sec¡iunea contractatå), admi¡ând mi¿carea premanentå:
1222
222
2
211
1rh
gV
gp
zgV
gp
z +α
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ
+=α
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ
+ .
157
Referitor la aceastå rela¡ie se fac urmåtoarele precizåri:
1V este viteza lichidului în sec¡iunea 1; rezervorul având dimensiuni mari, se poate admite cå 01 =V ;
2p - presiunea la ie¿irea din rezervor (la scarå mano-metricå 02 == atpp );
α - coeficientul Coriolis (pentru distribu¡ie uniformå a vitezei 1=α );
gV
hr 2
22
12⋅ζ= - pierderea localå de sarcinå.
Cu aceste considera¡ii se ob¡ine:
*12 22 Hg
gp
hgVV c ⋅⋅ϕ=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ
+⋅⋅ϕ== , (6.2)
în care:
cV este viteza în sec¡iunea contractatå;
ζ+=ϕ
1
1 - coeficientul de vitezå având valori cuprinse între 0,97
¿i 0,98.
Debitul orificiului este:
** 22 HgAHgAVAQ cc ⋅⋅µ=⋅⋅εϕ=⋅= , (6.3)
în care:
A este aria orificiului;
cA - aria contractatå; ϕ⋅ε=µ - coeficientul de debit al orificiului cu valori
(valorile mici se referå la sarcini mari). 64,059,0 K=µ
Orificul înecat. Schema de calcul pentru orificiul înecat este prezentatå în figura 6.4.
Considerând cå nivelurile lichidului în cele douå rezervoare se men¡in constante, rela¡ia lui Bernoulli între sec¡iunile 1 ¿i 2 este:
1222
222
2
211
1rh
gV
gp
zgV
gp
z +α
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ
+=α
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ
+ ,
158
în care:
01 =V este viteza lichidului în sec¡iunea 1; rezervorul are dimensiuni mari;
22 hg
p=
ρ - adâncimea orificiului fa¡å de nivelul lichidului din
rezervorul aval;
gV
hr 2
22
12⋅ζ= - pierderea de sarcinå localå.
Fig. 6.4. Orificiu mic înecat. Rezultå:
*2 2 HgVV c ⋅⋅ϕ== ,
în care 21
1* h
gp
hH −ρ
+= reprezintå diferen¡a între cota piezometricå în
amonte de orificiu ¿i cota piezometricå în aval de acesta. Debitul orificiului înecat este:
** 22 HgAHgAAVQ cc ⋅⋅µ=⋅⋅εϕ=⋅= . (6.4)
Coeficien¡ii , ¿i µ au acelea¿i valori ca pentru orificiul mic neînecat.
Rela¡ia (6.4) este similarå formulei debitului pentru orificiul mic neînecat,
diferen¡a constând în modul de calcul al sarcinii
ε ϕ
*H .
159
6.1.3. CALCULUL DEBITULUI LA ORIFICIUL MARE La orificiul mare distribu¡ia de viteze nu este uniformå. Debitul orificiului mare neînecat se calculeazå prin însumarea debitelor unor fâ¿ii elementare, considerate ca orificii mici. În figura 6.5 este prezentatå schema de calcul pentru un orificiu mare practicat în peretele unui rezervor cu nivel liber.
Fig. 6.5. Schema de calcul pentru debitul unui orificiu mare. Orificiul mare se considerå cå este alcåtuit dintr-un numår mare de orificii mici sub formå de fâ¿ii orizontale cu aria: ( ) dzzbdA ⋅= , în care este
lå¡imea fâ¿iei, variabilå pe înål¡imea orificiului.
( )zb
Debitul elementar dQ , corespunzåtor unei fâ¿ii se calculeazå cu rela¡ia (6.3),
în care se ia zH =* :
( ) dzzbzgzgdAdQ ⋅⋅⋅⋅µ=⋅⋅⋅µ= 22 .
Prin integrare se ob¡ine debitul orificiului mare:
( ) dzzbzgdQQh
h
h
h
⋅⋅⋅⋅µ== ∫∫2
1
2
1
2 . (6.5)
Integrala din rela¡ia (6.5) se poate calcula dacå se cunoa¿te forma orificiului. Astfel, pentru orificiul dreptunghiular, la care ( ) constant=zb , se ob¡ine:
( )231
2322
3
22
2
1
hhgbdzzgbQh
h
−⋅⋅µ⋅=⋅⋅⋅µ= ∫ . (6.6)
160
Când nivelul lichidului coboarå sub muchia superioarå a orificiului ( ) , acesta devine un deversor (fig. 6.6), la care formula debitului este de forma:
01 =h
2323
2HgbQ ⋅⋅µ⋅= (6.7)
sau:
232 HgbmQ ⋅⋅= (6.8)
în care m este coeficientul de debit al deversorului (v. cap. 8).
Fig. 6.6. Deversor.
6.2. AJUTAJE Ajutajele sunt tubulaturi scurte, de forme diferite, ata¿ate orificiilor cu scopul de a måri debitul acestora sau de a contura forma jetului de fluid. Uneori ajutajele se monteazå la extremitatea aval a unei conducte, pentru a realiza jeturi compacte.
Ajutajele se folosesc ca dispozitive pentru måsurarea debitelor (ajutaje scurte, ajutaje tip Venturi), pentru combaterea incendiilor (lånci de incendiu, drencere, sprinclere), la lucrårile de hidromecanizare (hidromonitoare), la lucrårile de esteticå urbanå (fântâni arteziene) etc.
În figurile 6.7, 6.8 ¿i 6.9 sunt prezentate câteva tipuri de ajutaje.
Fig. 6.7. Ajutaj cilindric: a) exterior cu muchie ascuţită; b) exterior cu muchie profilată; c) interior (Borda).
161
Fig. 6.8. Ajutaj tronconic: Fig. 6.9. Ajutaj conoidal. a) divergent; b) convergent.
Ajutajul cilindric exterior se realizeazå dintr-o conductå circularå foarte scurtå, montatå la un orificiu care are diametrul egal cu diametrul conductei. Imediat dupå intrarea în ajutaj, vâna de apå se contractå, astfel cå sec¡iunea de curgere este mai micå decât sec¡iunea ajutajului. În zona contractatå, la exteriorul vânei de fluid existå un spa¡iu cu vârtejuri (apå moartå), în care presiunea este mai micå decât presiunea atmosfericå. Dupå sec¡iunea contractatå vâna de fluid se îngroa¿å ¿i ocupå întreaga sec¡iune a ajutajului.
Deoarece presiunea în sec¡iunea contractatå este mai micå decât presiunea atmosfericå, înseamnå cå sarcina ajutajului nu este h (v. fig. 6.7,a), ci o valoare mai mare, adicå:
gpp
hg
pz
gp
zH atee
ii ρ
−+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ
+−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ
+=* , (6.9)
în care p reprezintå presiunea absolutå în sec¡iunea contractatå. Din rela¡ia Bernoulli scriså între sec¡iunile i ¿i e, rezultå:
g
V
DL
g
V
g
V
gp
zg
V
gp
z eee
e
j
i 2222
2222
⋅λ
+⋅ζ+α
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ
+=α
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ
+ .
Neglijând termenul cinetic la intrarea în sistem ¿i ¡inând seama de rela¡ia (6.9), cu nota¡ia , se ob¡ine: VVe =
gV
DL
H2
2* ⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ λ
+ζ+α=
sau:
*2 HgV ⋅⋅ϕ= , (6.10)
162
în care este coeficientul de vitezå: ϕ
DLλ
+ζ+α=ϕ
1. (6.11)
Rezultå, astfel, expresia debitului la un ajutaj cilindric exterior:
*2 HgAQ ⋅⋅⋅ϕ= . (6.12)
Considerând coeficientul de rezisten¡å localå la intrarea din rezervor în ajutaj 5,0=ζ ¿i 1=α se ob¡ine, pentru coeficientul de vitezå, expresia:
DLλ
+=ϕ
5,1
1. (6.13)
Din rela¡ia (6.13) se constatå cå valoarea coeficientului de vitezå depinde de raportul L/D. Valoarea maximå 82,0=ϕ se ob¡ine pentru ( ) DL ⋅= 43K . În
acest caz debitul ajutajului este mai mare decât debitul orificiului cu acela¿i diametru ca al ajutajului. Acest lucru se explicå prin existen¡a vacuumului în
sec¡iunea contractatå care face ca sarcina ajutajului *H så fie mai mare decât sarcina h a orificiului:
vacat hh
gpp
hH +=ρ−
+=* , (6.9)
în care este înål¡imea vacuumului. vach
Dacå ( ) DL ⋅< 43K , vâna de fluid iese din orificiu fårå a atinge ajutajul, nu
mai apare efectul vacuumului ¿i debitul se calculeazå cu formula (6.3). Dacå ( ) DL ⋅> 43K , ajutajul se comportå ca o conductå scurtå. Propor¡ional
cu lungimea conductei se måre¿te pierderea de sarcinå distribuitå, se mic¿oreazå coeficientul ϕ ¿i odatå cu acesta se mic¿oreazå ¿i debitul Q.
Din calcule verificate experimental, rezultå cå înål¡imea vacuumetricå este:
hHg
pph at
vac 4/370,0 * ≅=ρ−
= . (6.14)
Pentru evitarea apari¡iei cavita¡iei trebuie respectatå condi¡ia:
*70,0m0,10 Hhvac ≅≅ ,
163
adicå:
m0,1470,0
0,10*max ≅=H .
Pentru a se ob¡ine jeturi de lichid compacte la sarcini se
folosesc ajutaje profilate dupå forma vânei de lichid care eliminå zona cu sec¡iune contractatå.
m0,14* >H
6.3. GOLIREA REZERVOARELOR De obicei, în cazul golirii rezervoarelor, apar cazurile aråtate schematizat în figurile 6.10, respectiv 6.11. Primul caz se referå la golirea unui rezervor direct în atmosferå, iar cel de-al doilea caz la golirea unui rezervor în alt rezervor. În ambele cazuri mi¿carea este nepermanentå, adicå parametrii mi¿cårii variazå în timp. În cazul golirii unui rezervor direct în atmosferå, intereseazå timpul de golire a acestuia. La golirea unui rezervor în alt rezervor intereseazå timpul de egalare a nivelurilor din cele douå rezervoare. Rezolvarea problemei se face admi¡ind cå mi¿carea nepermanentå este o succesiune de mi¿cåri permanente în intervale de timp foarte mici. dt
6.3.1. GOLIREA UNUI REZERVOR ÎN ATMOSFERĂ În figura 6.10 se prezintå schema unui rezervor care se gole¿te printr-o conductå scurtå (sau ajutaj) prevåzutå cu o vanå.
Fig. 6.10. Golirea unui rezervor în atmosferă.
164
Debitul la un anumit moment este dat de rela¡ia (6.12) scriså sub forma:
zgAQ 2⋅⋅ϕ= , (6,15)
în care ¿i Q z sunt func¡ii implicite de timp.
Timpul apare explicit în ecua¡ia de continuitate:
( ) dzzSdtQ ⋅−=⋅ , (6.16)
care exprimå egalitatea între volumul de lichid care iese din rezervor în intervalul de timp ¿i volumul måturat de suprafa¡a liberå a apei din rezervor când aceasta coboarå cu .
dtdz
Din (6.15) ¿i (6.16) se ob¡ine:
( )zgA
dzzSdt
⋅⋅⋅ϕ⋅
−=2
.
Prin integrare se ob¡ine timpul de golire de la nivelul la nivelul : 1z 2z
( ) ( )∫∫ ⋅⋅⋅ϕ
=⋅⋅⋅⋅ϕ
−=1
2
2
122
z
z
z
zzgA
zSdz
zgA
zSt . (6.17)
Integrala (6.17) poate fi solu¡ionatå dacå se cunoa¿te legea de varia¡ie pentru . Dacå ( )zS ( ) constant== SzS , se ob¡ine:
( ) ( )212
zzgA
zSt −⋅
⋅⋅ϕ= . (6.18)
Timpul pentru golirea totalå rezultå din ecua¡ia (6.18), pentru ¿i
:
Hz =1
02 =z
gA
HST
2
2
⋅⋅ϕ⋅
= . (6.19)
6.3.2. GOLIREA UNUI REZERVOR ÎN ALT REZERVOR Referitor la figura 6.11, ecua¡ia de continuitate se scrie:
( ) ( ) dtQdzzSdzzS ⋅=⋅=⋅− 2211 , (6.20)
165
Fig. 6.11. Golirea unui rezervor în alt rezervor.
în care debitul Q este dat de rela¡ia (6.15):
zgAQ 2⋅⋅ϕ= . (6.15)
Din rela¡ia (6.20) se ob¡ine:
( )( ) 1
2
12 dz
zSzS
dz ⋅−= . (6.21)
În intervalul de timp , dt z variazå cu cantitatea:
( )( ) 1
2
121 1 dz
zSzS
dzdzdz ⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=−= ,
de unde:
( )( )zSzS
dzdz
2
11
1+= . (6.22)
Din rela¡iile (6.20), (6.22) ¿i (6.15) se ob¡ine:
( ) ( )( )( )zSzS
dz
zgA
zSdz
QzS
dt
2
1
11
1
12 +⋅
⋅⋅ϕ−=⋅−= .
166
Prin integrarea ultimei rela¡ii rezultå denivelarea între cele douå rezervoare de la H la z:
( ) ( )( ) ( ) dz
zzSzSzSzS
gAt
z
H
⋅⋅+⋅
⋅⋅⋅ϕ
−= ∫1
2
1
21
21 . (6.23)
Solu¡ionarea integralei (6.23) presupune cunoa¿terea legii de varia¡ie pentru ¿i . ( )zS1 ( )zS2
Dacå ¿i ( ) constant11 == SzS ( ) constant22 == SzS , din rela¡ia (6.23), prin
schimbarea limitelor de integrare, se ob¡ine:
( )zHgASS
SSt −⋅
⋅⋅ϕ⋅
+⋅
=2
12
21
21 . (6.24)
Egalarea nivelurilor în cele douå rezervoare are loc pentru 0=z :
gA
HSSSS
T2
2
21
21
⋅⋅ϕ⋅
+⋅
= . (6.25)
167
7
MIŞCAREA PERMANENTĂ CU SUPRAFAŢĂ LIBERĂ
7.1. CONSIDERAŢII GENERALE. CLASIFICARE Mi¿carea cu suprafa¡å liberå este întâlnitå în albiile râurilor, în canale ¿i în
conducte în care apa nu ocupå întreaga sec¡iune. Mi¿carea cu suprafa¡å liberå se clasificå astfel:
- mi¿cåri uniforme ⎩⎨⎧−−
erapid
lente
- mi¿åri neuniforme
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−
⎪⎩
⎪⎨⎧
−
−−
variaterapid
rapide
lentevariategradual
Mi¿carea uniformå se caracterizeazå prin linii de curent rectilinii ¿i paralele, iar viteza medie, adâncimea ¿i sec¡iunea vie sunt constante în lungul curentului. La mi¿carea uniformå linia energeticå , linia piezometricå (linia suprafe¡ei
libere) ¿i linia fundului sunt paralele. Cu alte cuvinte, panta hidraulicå I,
panta piezometricå ¿i panta fundului albiei i sunt egale (fig. 7.1):
el
pl fl
pI
iII p == .
La mi¿carea neuniformå liniile de curent nu sunt rectilinii ¿i paralele, iar viteza medie variazå în lungul curentului (fig. 7.2).
Fig. 7.1. Mişcare uniformă.
169
Fig. 7.2. Mişcare neuniformă gradual variată.
Mi¿carea neuniformå se considerå gradual variatå dacå gradul de neuniformitate este relativ redus, adicå liniile de curent au curburi mici.
Mi¿carea rapid variatå are un grad mare de neuniformitate: liniile de curent au curburi pronun¡ate ¿i existå varia¡ii mari, pe distan¡e scurte, ale vitezelor ¿i adâncimilor.
No¡iunile de mi¿cåri lente ¿i rapide sunt explicate în paragraful 7.2.3.1. În cele mai multe cazuri mi¿carea cu suprafa¡å liberå este neuniformå
datoritå perturba¡iilor provocate de neregularitå¡ile fundului sau ale pere¡ilor albiei. Totu¿i, pe sectoarele în care varia¡ia nivelului ¿i a vitezei medii nu sunt semnificative, mi¿carea poate fi consideratå ca fiind uniformå.
7.2. MIŞCAREA UNIFORMĂ A CURENŢILOR CU SUPRAFAŢĂ LIBERĂ
Mi¿carea uniformå cu suprafa¡å liberå se realizeazå pe sectoarele rectilinii
ale canalelor artificiale de formå prismaticå sau cilindricå. Adâncimea curentului în mi¿care uniformå poartå numele de adâncime
normalå ¿i se noteazå cu (fig. 7.3). 0h
Fig. 7.3. Mişcarea uniformă cu suprafaţă liberă.
170
Panta liniei fundului canalului se define¿te ca fiind:
θ=−= sin0
ds
dzi , (7.2)
în care:
0z este cota geodezicå a fundului canalului, måsuratå fa¡å de planul de
referin¡å PR; s - lungimea måsuratå în lungul curentului;
- unghiul liniei fundului canalului cu orizontala. θ
Pozi¡ia planului de referin¡å este arbitrarå.
7.2.1. CALCULUL HIDRAULIC AL CANALELOR Formulele pentru calculul canalelor în mi¿care uniformå sunt cele întâlnite la calculul conductelor sub presiune în care se înlocuie¿te panta hidraulicå cu panta fundului. Formula lui Chézy devine:
iRCV ⋅⋅= , (7.3)
iar pentru debit de ob¡ine:
iRCAQ ⋅⋅= (7.4)
sau:
iKQ ⋅= 0 , (7.5)
în care este modulul de debit: 0K
RCAK ⋅=0 . (7.6)
La calculul hidraulic al canalelor apar urmåtoarele probleme:
• Calculul debitului Q, când se cunosc: , i, n ¿i forma sec¡iunii
transversale. Aceastå problemå se rezolvå cu formulele (7.4) sau (7.5). 0h
• Calculul pantei. Cunoscute fiind , , n ¿i forma sec¡iunii
transversale, panta liniei fundului rezultå din rela¡ia (7.5):
Q 0h
20
2
K
Qi = . (7.7)
171
• Calculul adâncimii normale, când se cunosc: Q, i, n ¿i forma sec¡iunii tranversale. Din rela¡ia (7.5) se ob¡ine modulul de debit:
i
QK =0 , (7.8)
care, a¿a cum se poate vedea din rela¡ia (7.6), este o func¡ie implicitå în h. Calculul adâncimii normale revine la a gåsi acea valoare a lui h care satisface
rela¡ia (7.8). Pentru aceasta se folose¿te o metodå graficå. Dându-se diferite valori adâncimii h, se traseazå curba ( )hfK = . Corespunzåtor modulului de
debit , calculat cu rela¡ia (7.8), rezultå adâncimea normalå (fig. 7.5). 0K 0h
Pentru u¿urin¡å, calculele se sistematiteazå într-un tabel ca cel prezentat în figura 7.4.
h (m)
A
( ) 2m
P (m)
R (m)
C
( s/m 21 )
K
( ) s/m3
Fig. 7.4. Tabel pentru calculul adâncimii normale.
La canalele ¿i galeriile cu forme tipizate, calculul se face folosind diagrame ajutåtoare de tipul celor prezentate în figurile 7.6 ¿i 7.7.
Fig. 7.5. Grafic pentru calculul adâncimii normale.
172
Fig. 7.6. Diagrame de calcul pentru canale cu secţiuni circulare.
Fig. 7.7. Diagrame de calcul pentru canale cu secţiune ovoidală.
Figura 7.6 se referå la un canal circular, iar figura 7.7 la un canal ovoidal. În ordonatå este trecut gradul de umplere:
H
ha 0= , (7.9)
173
iar în absciså rapoartele:
p
av V
VR = , (7.10)
p
a
p
a
p
aQ K
K
iK
iKQQ
R =⋅
⋅== . (7.11)
Nota¡iile au urmåtoarele semnifica¡ii: este adâncimea normalå; 0h
H - adâncimea curentului la sec¡iune plinå;
aa QV , - viteza medie, respectiv debitul la un grad de umplere a;
pp QV , - viteza medie, respectiv debitul la sec¡iune plinå.
Pentru un debit dat se calculeazå raportul . Din diagramå rezultå gradul
de umplere a, iar cu rela¡ia (7.9) se calculeazå . Pentru gradul de umplere a,
folosind curba , se ob¡ine raportul , iar din rela¡ia (7.10) rezultå
viteza , corespunzåtor debitului dat.
QR
0h
( )afRv = vR
aV
7.2.2. PROBLEME TEHNICE PRIVIND CALCULUL CANALELOR
• Sec¡iunea hidraulic optimå. Problema de optim hidraulic pentru un canal se formuleazå astfel: fiind date aria sec¡iunii ¿i panta canalului så se determine forma sec¡iunii transversale care transportå debitul maxim.
Din rela¡ia (7.4) rezultå cå debitul este maxim când raza hidraulicå R este maximå. ºinând seama cå PAR /= , înseamnå cå perimetrul udat trebuie så fie minim.
Figura geometricå care îndepline¿te aceastå condi¡ie este cercul, adicå sec¡iunea optimå din punct de vedere hidraulic este de formå circularå.
Canalele de formå circularå sunt greu de executat ¿i de între¡inut. Forma trapezoidalå se folose¿te curent pentru canalele såpate în påmânt. Înclinarea taluzului exprimatå prin coeficientul taluzului m definit în figura 7.8, este impuså de caracteristicile påmântului.
Pentru un canal trapezoidal problema de optim hidraulic se formuleazå astfel:
- fiind date aria sec¡iunii transversale ¿i înclinarea taluzului, så se gåsescå raportul între lå¡imea b a fundului canalului ¿i adâncimea h, care asigurå transportul unui debit maxim.
174
Fig. 7.8. Secţiune trapezoidală. Aria trapezului fiind:
( )mhbhA += , (7.12)
trebuie gåsit raportul pentru care perimetrul udat: hb /
212 mhbP +⋅+= (7.13)
este minim. Anulând diferen¡ialele lui A ¿i P în raport cu h:
02 =+⋅+= mhdhdb
hbdhdA
; (7.14)
012 2 =+⋅+= mdhdb
dhdP
(7.15)
¿i eliminând raportul din rela¡iile (7.14) ¿i (7.15) se ob¡ine solu¡ia cåutatå:
dhdb /
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ mm
hb 2
optim12 . (7.16)
Aplicarea în practicå a condi¡iei de optim hidraulic conduce la solu¡ii neeconomice, deoarece rezultå canale cu adâncimi mari, greu de executat ¿i de între¡inut. În consecin¡å, se vor adopta sec¡iuni de canale care så corespundå din punct de vedere func¡ional ¿i în acela¿i timp så conducå la cheltuieli minime.
• Viteze admisibile. La proiectarea canalelor trebuie avut grijå ca viteza medie în canal så aibå valori cuprinse între douå limite:
− Limita superioarå, numitå vitezå maximå admisibilå, este impuså de capacitatea materialului din care este executat canalul de a rezista la
175
ac¡iunea de eroziune a curentului de apå. Depå¿irea acestei limite are ca efect degradarea canalului.
− Limita inferioarå este viteza minimå admisibilå. Ea reprezintå viteza limitå la care particulele solide transportate în suspensie încep så se depunå. Dacå apa con¡ine material solid în suspensie, func¡ionarea canalului cu viteze mai mici decât viteza minimå admisibilå conduce la colmatarea acestuia. Viteza minimå admisibilå depinde de caracteristicile materialului solid transportat.
• Coeficientul de rugozitate. Rugozitatea albiei se exprimå prin coeficientul de rugozitate n.
La canalele cu sec¡iune compuså ¿i la albiile naturale coeficientul de rugozitate nu este constant pe tot conturul perimetral (fig. 7.9). În acest caz, în calcule se introduce un coeficient mediu de rugozitate, calculat ca o medie ponderatå:
Fig. 7.9. Canal cu secţiune compusă.
P
Pnn ii∑= , (7.17)
în care este rugozitatea aferentå perimetrului , iar P este perimetrul udat
. in iP
( )∑= iPP
7.2.3. STUDIUL ENERGETIC AL CURENŢILOR CU SUPRAFAŢĂ LIBERĂ
7.2.3.1. Energia specificå medie în sec¡iune. Regimuri de mi¿care.
Referitor la un curent cu suprafa¡å liberå în mi¿care uniformå, în regim
176
permanent ( )constant=Q (fig. 7.10), sarcina hidrodinamicå într-o sec¡iune
oarecare, fa¡å de un plan de referin¡å arbitrar ales, se scrie:
gV
hzH2
2
0 ++= . (7.18)
Se observå cå sarcina hidrodinamicå H depinde de , adicå de pozi¡ia
planului de referin¡å P.R. Dacå se ia ca plan de referin¡å planul care trece prin punctul cel mai de jos al sec¡iunii
0z
( )00 =z , expresia (7.18) se reduce la:
gV
hHA 2
2α+= (7.19)
sau:
2
2
2 Ag
QhHA
⋅
α+= . (7.20)
Fig. 7.10. Mişcarea uniformă cu suprafaţă liberă: a) profil în lungul curgerii; b) profil transversal.
Mårimea poartå numele de energia specificå a sec¡iunii. Debitul fiind
constant, energia specificå a sec¡iunii variazå numai în func¡ie de h. AH
Varia¡ia energiei specifice în func¡ie de h este prezentatå în figura 7.11,a. În figura 7.11,a s-a reprezentat separat varia¡ia energiei poten¡iale ¿i
a energiei cinetice
hHp =
( )22 2/ AgQHc ⋅= (curbele trasate cu linie sub¡ire), din
însumarea cårora se ob¡ine curba:
( )hfHHH cpA =+= .
177
Din analiza graficului se constatå cå energia specificå a sec¡iunii are un minim, , punctul C. ( )minAH
Adâncimea corespunzåtoare energiei specifice minime poartå numele de adâncime criticå ¿i se noteazå cu . crh
Pentru o energie specificå a sec¡iunii datå, ( )minAA HH > , corespund douå
regimuri de mi¿care, punctele 1 ¿i 2 din figura 7.11,a. Punctul 1, aflat pe ramura inferioarå a curbei, se caracterizeazå prin ,
adicå sec¡iunea de curgere este mai micå decât sec¡iunea corespunzåtoare adâncimii , rezultând o vitezå medie mai mare decât viteza medie a
curentului cu adâncimea . Din acest motiv, un curent cu
crhh <1
crh
crh crhh <1 se aflå în
regim rapid de mi¿care – ramura inferioarå a curbei ( )hfH = .
Dintr-o analizå similarå rezultå cå pentru curen¡i cu viteza medie
este mai micå decât cea corespunzåtoare curentului cu adâncimea . Un
curent cu se aflå în regim lent de mi¿care – ramura superioarå a curbei
. Dacå , mi¿carea este în regim critic.
crhh >1
crh
crhh >1
( )hfH = crhh = a) b)
Fig. 7.11. Energia specifică a secţiunii.
7.2.3.2. Criterii pentru recunoa¿terea regimului de mi¿care.
a) Criteriul adâncimii. Din cele expuse la paragraful 7.2.3.1. rezultå cå adâncimea curentului reprezintå un criteriu de recunoa¿tere a regimului de mi¿care:
178
- dacå , regimul de mi¿care este lent; crhh >1
- dacå , regimul de mi¿care este critic; crhh =- dacå , regimul de mi¿care este rapid. crhh <1
Pentru aplicarea criteriului adâncimii este necesarå cunoa¿terea adâncimii critice. Adâncimea criticå se poate ob¡ine din graficul energiei specifice a sec¡iunii (fig. 7.11) sau prin calcul, punând condi¡ia de minim a energiei specifice a sec¡iunii, adicå anulând derivata rela¡iei (7.20) în raport cu h:
dhdA
Ag
Qdh
dHA ⋅α
−=2
21 .
Din figura 7.10,b se observå cå dhBdA ⋅= , B fiind lå¡imea albiei la nivelul oblinzii apei. Rezultå rela¡ia:
3
21
A
BgQ
dhdHA ⋅
α−= , (7.21)
care se anuleazå pentru , adicå: crhh =
gQ
BA
cr
cr23 α
= . (7.22)
Rela¡ia (7.22) permite aflarea adâncimii critice. Pentru aceasta se reprezintå
grafic func¡ia (fig. 7.12): ( )hfB
A=
3.
Fig. 7.12. Grafic pentru calculul adâncimii critice.
179
Corespunzåtor raportului , debitul Q fiind cunoscut, rezultå . gQ /2α crh
Pentru sec¡iuni dreptunghiulare, calculul adâncimii critice se poate face direct. Introducând în rela¡ia (7.22) pe crcr hBA ⋅= se ob¡ine:
32
2
Bg
Qhcr
α=
sau prin introducerea no¡iunii de debit specific, adicå debitul pe unitatea de
lå¡ime de albie: BQ
q = ,
rezultå rela¡ia simplå:
32
gq
hcrα
= . (7.23)
b) Criteriul Froude. Termenul al doilea din partea dreaptå a rela¡iei (7.21) este un complex adimensional ¿i poartå numele de numårul Froude. Se noteazå cu Fr, iar pentru numårul Froude se scrie: 1=α
mhgV
A
Bg
QFr
⋅=⋅=
2
3
2, (7.24)
în care este adâncimea medie. BAhm /= Astfel, rela¡ia (7.21) devine:
Frdh
dHA −= 1 , (7.25)
anulându-se când regimul de mi¿care este critic, adicå 1=Fr . Comparând valoarea numårului Fr cu valoarea 1 se poate recunoa¿te regimul de mi¿care, astfel:
- dacå 1<Fr , regimul de mi¿care este lent;
- dacå 1=Fr , regimul de mi¿care este critic;
- dacå 1>Fr , regimul de mi¿care este rapid.
c) Criteriul vitezei. Acest criteriu rezultå din criteriul Foude. În regim critic de mi¿care existå rela¡ia:
12
=⋅
=mhg
VFr ,
180
de unde viteza criticå:
mcr hgV ⋅= . (7.26)
Criteriul vitezei se aplicå astfel:
- dacå crVV < , regimul de mi¿care este lent;
- dacå crVV = , regimul de mi¿care este critic;
- dacå , regimul de mi¿care este rapid. crVV >
d) Criteriul pantei. Mi¿carea uniformå în regim critic se realizeazå la o anumitå pantå criticå, , pentru care se ob¡ine cri 1=Fr , crVV = , . Panta
criticå se calculeazå cu rela¡ia (7.7), în care se introduc mårimi corespunzåtoare adâncimii critice:
crhh =
2
2
22
2
crcrcrcrcr
K
Q
RCA
Qi =
⋅⋅= . (7.27)
Folosind acest criteriu, regimul de mi¿care se stabile¿te astfel:
- dacå , regimul de mi¿care este lent; crii <
- dacå , regimul de mi¿care este critic; crii =
- dacå , regimul de mi¿care este rapid. crii >
În anumite situa¡ii, când mi¿carea este neuniformå, criteriul pantei nu se poate aplica.
Se numesc canale lente canalele la care regimul de mi¿care este lent ¿i canale rapide acele canale la care regimul de mi¿care este rapid.
7.2.3.3. Interpretarea mi¿cårii cu suprafa¡å liberå cu ajutorul criteriului vitezei. În studiul mi¿cårilor nepermanente de tipul valurilor, viteza datå de rela¡ia (7.26) este cunoscutå sub denumirea de celeritate, notatå cu c ¿i reprezintå viteza cu care se deplaseazå un val solitar de micå adâncime, adicå viteza de propagare a perturba¡iilor suprafe¡ei libere. În figura 7.13 se prezintå modul de propagare a perturba¡iilor suprafe¡ei libere în canale. Figura 7.13,a se referå la un canal cu pantå 0=i , în care lichidul se aflå în repaus. Dacå în acest canal se introduce un plonjor P, acesta genereazå o ridicare localå a nivelului lichidului de o parte ¿i de alta a plonjorului. Perturba¡iile suprafe¡ei libere se propagå cu viteza c în sensul pozitiv ales ¿i cu viteza – c în sens invers.
181
Fig. 7.13. Propagarea perturbaţiilor suprafeţei libere în canale: a) în canal cu apă în repaus; b) în canal lent; c) în canal rapid.
Figura 7.13,b se referå la un canal în care regimul de mi¿care este lent. Prin introducerea unei stavile, în acest canal se produc modificåri ale nivelului lichidului atât în amonte, cât ¿i în aval de stavilå. Deoarece viteza curentului lichid este mai micå decât celeritatea ( ) , perturba¡ia suprafe¡ei libere se va propaga spre aval cu viteza ¿i spre amonte cu viteza . A¿adar, la o mi¿care lentå, perturba¡iile suprafe¡ei libere se propagå atât spre amonte, cât ¿i spre aval.
cV <cV +
cV −
În cazul mi¿cårilor rapide (fig. 7.13,c), deoarece perturba¡iile supra-fe¡ei libere se propagå numai spre aval cu viteza
cV >cV + . În amonte de stavilå se
produce numai o ridicare localå a nivelului care så asigure scurgerea debitului pe sub stavilå; în restul sectorului amonte mi¿carea nu este influen¡atå. Deci, la o mi¿care rapidå pertuba¡iile suprafe¡ei libere se propagå numai spre aval.
APLICAŢII PRIVIND MIŞCAREA UNIFORMĂ
Problema 7.1 Un canal cu sec¡iunea dreptunghiularå de lå¡ime b = 3,0 m, are coeficientul
de rugozitate n = 0,014 (fig. 7.14). Så se calculeze: a) debitul transportat când panta canalului este i = 0,004 ¿i adâncimea
normalå = 1,5 m; 0h
b) panta necesarå pentru a transporta un debit de douå ori mai mare decât cel calculat la punctul a), men¡inând adâncimea normalå aceea¿i.
182
Fig. 7.14. Mişcare uniformă în canal dreptunghiular. Rezolvare:
a) Pentru calculul debitului se folose¿te rela¡ia (7.4). Cu datele problemei se calculeazå: - aria sec¡iunii vii:
20 m5,45,13 =⋅=⋅= hbA ;
- perimetrul udat:
m65,1232 0 =⋅+=+= hbP ;
- raza hidraulicå:
m75,06
5,4===
PA
R ;
- coeficientul lui Chézy, calculat cu formula Manning:
/sm08,6875,0014,0
11 216161 =⋅=⋅= Rn
C .
Debitul cerut este deci:
/sm78,16004,075,008,685,4 3=⋅⋅⋅=⋅⋅= iRACQ .
b) Panta necesarå pentru a transporta debitul se
calculeazå cu formula (7.7).
/sm56,3378,162 3=⋅=Q
Pentru adâncimea normalå de 1,5, m modulul de debit rezultå:
/sm3,26575,008,685,4 30 =⋅⋅=⋅= RCAK .
Se ob¡ine: 016,03,265
56,332
2
20
2===
K
Qi .
183
Problema 7.2
Debitul se transportå pe un canal trapezoidal cu lå¡imea la bazå
, coeficientul taluzului
/sm50 3=Qm5,3=b 2=m , panta longitudinalå ¿i
rugozitatea n = 0,014 (fig. 7.15).
%7,0=i
Fig. 7.15. Canal trapezoidal.
Se cer:
a) adâncimea normalå a apei în canal;
b) graficul energiei speci-fice;
c) så se stabileascå regimul de mi¿care folosind graficul energiei specifice.
Rezolvare:
a) Pentru determinarea adâncimii normale se folose¿te metoda graficå expuså la paragraful 7.2.1. Aria ¿i perimetrul pentru sec¡iunea transversalå se calculeazå cu rela¡iile:
( mhbhA +⋅= ) ¿i 212 mhbP +⋅+= .
Pentru u¿urin¡å, calculele sunt sistematizate în tabelul 7.1. Tabelul 7.1
Valori pentru graficul ( )hfK =
h (m)
A
(m2)
P (m)
R (m)
21R 61R C K
(m3/s)
1 5,50 7,97 0,69 0,83 0,94 67,14 306,5
1,5 9,75 10,21 0,95 0,98 0,99 70,82 676,7
2,0 15,00 12,44 1,21 1,09 1,03 73,73 1205,5
2,5 21,25 14,68 1,44 1,20 1,06 75,90 1935,5
Graficul din figura 7.16 este trasat folosind datele din tabelul 7.1. Pentru valorile date privind debitul ¿i panta canalului, se ob¡ine cu formula
(7.8): /sm18890007,0
50 30 ==K , iar din figura 7.16 rezultå adâncimea
normalå . m45,20 ≅h
184
Fig. 7.16. Calculul grafic al adâncimii normale.
b) Pentru trasarea graficului de varia¡ie a energiei specifice,
2
2
2 Ag
QhHA
⋅
α+= , s-au calculat valorile din tabelul 7.2.
Tabelul 7.2
Valori pentru graficul ( )hfHA =
h (m)
A
(m2)
A2
(m4)
2
2
2 Ag
Q
⋅
AH
(m)
0,5 2,25 5,06 27,68 28,18
1,0 5,50 30,25 4,63 5,63
1,5 9,75 95,06 1,47 2,97
2,0 15,00 225,00 0,62 2,62
2,5 21,50 451,56 0,31 2,81
3,0 28,50 812,25 0,17 3,17
4,0 46,00 2116,00 0,06 4,06
c) Regimul de mi¿care poate fi stabilit cu ajutorul criteriului adâncimii. Din figura 7.17, corespunzåtor energiei specifice minime, rezultå: m95,1=crh . La
punctul a) al problemei s-a calculat adâncimea normalå: m45,20 =h . Deoarece
( , regimul de mi¿care a apei în canal este lent. crhh >0 )m95,1m45,2 >
185
Fig. 7.17. Graficul energiei specifice a secţiunii.
Problema 7.3 ªtiind cå pe un canal cu sec¡iunea circularå având diametrul D = 0,80 m,
panta i = 0,005 ¿i rugozitatea n = 0,012 se transportå un debit s/900 l=Q , så
se determine adâncimea normalå ¿i viteza apei în canal. 0h
Rezolvare:
Adâncimea normalå se va calcula cu ajutorul diagramelor din figura 7.6. Se calculeazå aria, perimetrul, raza hidraulicå ¿i debitul la sec¡iune plinå:
222
m50,04
8,014,3
4=
⋅=
π=
DAp ;
m51,28,014,3 =⋅=π= DPp ;
m199,051,2
5,0===
p
pp P
AR ;
186
s/m68,63199,0012,0
11 216161 =⋅=⋅= pp Rn
C ;
/sm00,1005,0199,068,6350,0 3=⋅⋅⋅=⋅⋅= iRCAQ pppp .
Raportul debitelor se calculeazå cu rela¡ia (7.11), adicå 90,00,1
900,0==QR ,
iar din figura 7.6, curba , se ob¡ine gradul de umplere QR 75,00 ==Dh
a .
Adâncimea normalå va fi m6,08,075,00 =⋅=⋅= Dah , iar viteza la
sec¡iunea plinå: m/s250,0
00,1===
p
pp A
QV .
Pentru gradul de umplere a = 0,75 (fig. 7.6), curba , se ob¡ine raportul
vitezelor
vR
15,1==p
av V
VR .
Viteza apei în canal, la debitul de , va fi: /sm9,0 3
m/s3,2215,115,1 =⋅=⋅= pa VV .
Problema 7.4 Un canal ovoidal (fig. 7.18), cu
dimensiunile B = 800 cm, H = 120 cm are coeficientul de rugozitate n = 0,012 ¿i panta i = 3%. Adâncimea normalå
. Så se afle debitul
transportat ¿i viteza apei în canal. m0,10 =h
Rezolvare: Se folosesc diagramele din figura
7.7. Pentru aceasta, trebuie calculate debitul ¿i viteza la sec¡iune plinå:
- aria la sec¡iune plinå:
Fig. 7.18. Canal cu secţiune ovoidală.
222 m735,080,0148,1148,1 =⋅=⋅= BAp ;
187
- raza hidraulicå la sec¡iune plinå:
m232,080,029,029,0 =⋅== BRp ;
- coeficientul Chézy:
33,65232,0012,0
11 6161 =⋅=⋅= pp Rn
C ;
- debitul la sec¡iune plinå:
/sm267,1003,0232,033,65735,0 3=⋅⋅⋅=⋅⋅= iRCAQ pppp ;
- viteza la sec¡iune plinå:
m/s72,1735,0
267,1===
p
pp A
QV .
Utilizând rela¡ia (7.9), pentru gradul de umplere:
833,0120
1000 ===Hh
a ,
din figura 7.7 se ob¡in rapoartele ,94,0==p
aQ Q
QR respectiv 11,1==
p
av V
VR .
Rezultå debitul ¿i viteza pe canal corespunzåtoare gradului de umplere a = 0,833:
/sm19,1267,194,094,0 3=⋅=⋅= pa QQ ;
m/s91,172,111,111,1 =⋅=⋅= pa VV .
Problema 7.5 Pe un canal dreptunghiular cu lå¡imea b = 4,0 m, panta fundului i = 00
06 ¿i
coeficientul de rugozitate n = 0,014 trebuie transportat un debit
(fig. 7.19). Se cer:
/sm30 3=Q
a) adâncimea apei în canal; b) regimul de mi¿care stabilit cu ajutorul criteriului adâncimii; c) verificarea regimului de mi¿care, determinat la punctul b), folosind
criteriile vitezei, criteriul Froude ¿i criteriul pantei.
188
Rezolvare: a) Adâncimea apei pe canal se va
calcula prin procedeul grafic descris la paragraful 7.2.1. Modulul de debit corespunzåtor debitului ¿i pantei date este:
/sm387006,0
30 30 ===
i
QK .
Fig. 7.19. Canal dreptunghiular. În tabelul 7.3 sunt calculate valorile modulului de debit pentru diferite valori
ale adâncimii apei în canal, în vederea trasårii curbei ( )hfK = .
Tabelul 7.3
Valori pentru graficul ( )hfK =
h
(m)
A
( ) 2m
P (m)
R (m)
21R
( 21m )
61R 61m
C K
( ) /sm3
0,5 2,0 5 0,40 0,632 0,858 67,13 77,50
1,0 4,0 6 0,666 0,816 0,934 66,75 217,80
1,5 6,0 7 0,857 0,925 0,974 69,61 386,33
2,0 8,0 8 1,00 1,000 1,00 71,43 571,44
Din figura 7.20 rezultå adâncimea normalå m5,10 =h .
Fig. 7.20. Graficul ( )hfK = .
189
b) Stabilirea regimului de mi¿care cu ajutorul criteriului adâncimii necesitå cunoa¿terea adâncimii critice. Deoarece sec¡iunea transversalå a canalului este dreptunghiularå, adâncimea criticå se calculeazå direct cu formula (7.23). Folosind debitul specific:
( )ms/m5,74
30 3 ⋅===bQ
q
rezultå adâncimea criticå:
m85,181,9
5,71,132
32
=⋅
=⋅α
=gq
hcr .
Deoarece , crhh <0 ( m85,1m5,1 )< , regimul de mi¿care este rapid.
c) Pentru aplicarea celorlalte criterii trebuie calculate: viteza criticå, panta criticå ¿i numårul Froude.
• Criteriul vitezei:
m/s05,4485,1
30=
⋅==
crcr A
QV .
Din inegalitatea crVV > ( )m/s05,4m/s5,1 > rezultå regim rapid de mi¿care.
• Criteriul pantei. Panta criticå se calculeazå cu formula (7.27):
2m4,7485,1 =⋅=crA ;
m7,785,124 =⋅+=crP ;
m96,07,7
4,7===
cr
crcr P
AR ;
96,7096,0014,0
1 61 =⋅=crC ;
/sm5,51496,096,704,7 3=⋅⋅=⋅⋅= crcrcrcr RCAK ;
0034,05,514
302
2
2
2===
crcr
K
Qi .
Comparând panta canalului cu panta criticå, rezultå regimul rapid de curgere:
190
( )0034,0006,0, >> crii .
• Criteriul Froude. Folosind rela¡ia (7.24) se ob¡ine numårul Fr:
7,15,181,9
522=
⋅==
mhgV
Fr .
Deoarece 1>Fr , regimul de mi¿care este rapid.
Problema 7.6
Un canal trapezoidal având lå¡imea la bazå b = 4 m ¿i coeficientul taluzului
m = 2 transportå în mi¿care uniformå un debit . Adâncimea apei în
canal este
/sm50 3=Q
m40,20 =h (fig. 7.21).
Se cere så se determine adâncimea criticå ¿i så se precizeze regimul de
mi¿care.
Fig. 7.21. Canal trapezoidal.
Rezolvare:
Sec¡iunea transversalå a canalului nefiind de formå dreptunghiularå, pentru
aflarea adâncimii critice se aplicå metoda graficå expuså la paragraful 7.2.3.2.
Curba (fig. 7.22) s-a trasat folosind datele din tabelul 7.4,
calculate cu rela¡iile
( )hfBA =/3
( )mhbhA += ¿i mhbB 2+= .
191
Fig. 7.22. Grafic pentru calculul adâncimii critice.
Cu ajutorul graficului din figura 7.22 se ob¡ine m90,1=crh . Întrucât
( , regimul de mi¿care este lent. crhh >0 )m90,1m40,2 >
Tabelul 7.4
Calculul funcţiei ( )hfA B =3
h (m) A ( ) 2m B (m) B
A3 ( )5m
gQ2α
( 5m )
0,5 2,5 6 2,6
1 6,0 8 27,0
1,5 10,7 10 122,5
2,0 16,0 12 341,3
280,3
7.3. MIŞCAREA NEUNIFORMĂ GRADUAL VARIATĂ
De obicei, mi¿carea apei în râuri ¿i canale este neuniformå. Modificårile de sec¡iune sau de traseu se resimt asupra caracteristicilor curgerii pe distan¡e lungi, provocând modificåri ale nivelului. Acest lucru se întâmplå în special la albiile naturale.
În acest subcapitol se trateazå numai mi¿cårile neuniforme la care varia¡ia spa¡ialå este moderatå.
Problema care intereseazå la mi¿cårile gradual variate este determinarea suprafe¡ei libere a apei de-a lungul traseului curgerii.
192
7.3.1. VARIAŢIA ENERGIEI SPECIFICE ÎN LUNGUL CURENTULUI Figura 7.23 reprezintå schematizat aspectul curgerii la o mi¿care gradual variatå la care adâncimile descresc în sensul mi¿cårii, iar în figura 7.24 o mi¿care, de asemenea, gradual variatå, la care adâncimile sunt crescåtoare în sensul curgerii.
Fig. 7.23. Mişcare gradual variată cu adâncimi descrescătoare.
Fig. 7.24. Mişcare gradual variată cu adâncimi crescătoare.
O caracteristicå a mi¿cårii aråtate în figura 7.23 constå în faptul cå panta hidraulicå este mai mare decât panta fundului ( )iI > . În figura 7.24 este
reprezentatå o mi¿care la care panta hidraulicå este mai micå decât panta fundului . ( )iI <
193
La mi¿carea gradual variatå, datoritå modificårilor ce se produc în lungul curgerii, privind adâncimea h ¿i viteza medie V, are loc o varia¡ie a energiei specifice a sec¡iunii . AH
Legea de varia¡ie a energiei specifice se ob¡ine punând rela¡ia (7.18) sub forma:
AHzH += 0
sau:
0zHHA −= . (7.28)
Derivând rela¡ia (7.28) în raport cu s se ob¡ine:
dsdz
dsdH
dsHd A 0−= .
¿i ¡inând seama cå:
IdsdH
−= ¿i ids
dz−=0 ,
rezultå:
IidsHd A −= . (7.29)
Analizând rela¡ia (7.29) rezultå: - dacå adâncimea curentului descre¿te, panta hidraulicå este mai mare
decât panta fundului, iar energia specificå scade în lungul curentului (fig.7.23):
00 <⇒⎭⎬⎫
>
<ds
Hd
iI
hh A ;
- dacå adâncimea curentului cre¿te, panta hidraulicå este mai micå decât panta fundului, iar energia specificå cre¿te în lungul curentului (fig. 7.24):
00 >⇒⎭⎬⎫
<
>ds
Hd
iI
hh A .
Mi¿carea curentului la care se nume¿te mi¿care supranormalå, iar
mi¿carea la care poartå numele de mi¿care subnormalå. 0hh >
0hh <
194
7.3.2. ECUAŢIA DIFERENŢIALĂ A MIŞCĂRII GRADUAL VARIATE. FORMELE CURBEI SUPRAFEŢEI LIBERE
Referitor la figura 7.10, sarcina hidrodinamicå într-o anumitå sec¡iune este datå de rela¡ia:
2
22
22 Ag
Qhz
gV
hzH⋅
α++=
α++= . (7.30)
Curba suprafe¡ei libere este descriså de varia¡ia adâncimii h în raport cu coordonata spa¡ialå s. De aceea, pentru ob¡inerea ecua¡iei diferen¡iale a mi¿cårii gradual variate se deriveazå rela¡ia (7.30) în raport cu s ¡inând seama cå la o albie neprismaticå aria A este o func¡ie de spa¡iu s ¿i de adâncimea h; pe de altå parte, adâncimea h este func¡ie de s, adicå:
( )hsfA ,= ¿i ( )sgh = , (7.31)
dsdA
Ag
Qdsdh
dsdz
dsdH
⋅α
−+=3
2. (7.32)
Folosind rela¡iile (7.31) se ob¡ine:
dsdh
hA
sA
dsdA
⋅∂∂
+∂∂
= (7.33)
¿i ¡inând seama cå:
idsdz
IdsdH
−=−= ; ¿i BhA=
∂∂
,
rela¡ia (7.32) devine:
sA
Ag
Q
Ag
BQdsdh
Ii∂∂⋅
α−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ α−⋅=−
3
2
3
21
sau:
Fr
sA
Ag
QIi
dsdh
−
∂∂⋅
α+−
=1
3
2
, (7.34)
în care: 3
2
Ag
BQFr
α= .
195
Rela¡ia (7.34) este ecua¡ia diferen¡ialå a curbei suprafe¡ei libere pentru albii neprismatice.
Pentru albii prismatice 0=∂∂
sA
ecua¡ia (7.34) devine:
FrIi
dsdh
−−
=1
. (7.35)
Ultima rela¡ie (7.35) reprezintå ecua¡ia diferen¡ialå a curbei suprafe¡ei libere pentru albii prismatice. Din analiza calitativå a ecua¡iei (7.35) rezultå cå sunt posibile 13 tipuri caracteristice de curbe. Acestea sunt aråtate în figura 7.25 ¿i grupate dupå tipul canalului: canal lent , canal rapid ( crii < ) ( )crii > , canal cu panta negativå
¿i canal cu panta nulå ( 0<i ) ( )0=i .
Cu linie ondulatå (notatå C-C) s-a trasat linia adâncimilor critice. Ea separå mi¿cårile lente de mi¿cårile rapide.
Fig. 7.25. Forme posibile ale curbei suprafeţei libere.
196
Linia întreruptå N-N este linia adâncimilor normale; ea separå mi¿cårile supranormale de cele subnormale. Ca exemplu se expune ra¡ionamentul construirii curbei de tip . Aceastå
curbå se realizeazå pe un canal lent, când adâncimile descresc în lungul curgerii (canalul este urmat de o treaptå sau de un canal rapid) (fig. 7.26,b).
1b
Într-o sec¡iune situatå la stânga ¿i departe de sec¡iunea în care se modificå panta existå rela¡iile:
00 →⇒⎭⎬⎫
→
→dsdh
iI
hh, adicå curba tinde så se confunde cu linia N-N.
În zona schimbårii de pantå curba se apropie de linia adâncimilor critice C-C, existând rela¡iile:
∞→⇒⎭⎬⎫
→
→dsdh
Fr
hh cr
1, adicå tangenta la curbå este perpendicularå pe linia
C-C.
Pentru , crhhh >>0 1<Fr ¿i rezultå iI > 0/ <dsdh , ceea ce înseamnå cå
alura curbei este coborâtoare. Asemånåtor se pot examina ¿i celelalte curbe.
7.3.3. CALCULUL CURBELOR SUPRAFEŢEI LIBERE Existå mai multe metode pentru calculul curbelor suprafe¡ei libere, unele fiind aplicabile numai în anumite condi¡ii privind forma sec¡iunii transversale. În cele ce urmeazå se vor prezenta douå metode: metoda Bachmetev ¿i metoda diferen¡elor finite.
7.3.3.1. Metoda Bachmetev se folose¿te pentru albii prismatice ¿i se bazeazå pe integrarea ecua¡iei diferen¡iale a curbei suprafe¡ei libere.
Cazul I – canal cu pantå pozitivå ( )0>i . Ecua¡ia diferen¡ialå (7.35) poate
fi scriså sub forma:
FriI
idsdh
−
−⋅=
1
1. (7.36)
Debitul în mi¿care uniformå este dat de rela¡ia (7.5):
197
Fig. 7.26. Exemple de realizare a curbelor suprafeţei libere: a) curbă de stăvilire (tip ); b) racordare între un canal lent cu un canal rapid; 1a
c) curgerea pe sub stavilă într-un canal lent; d) curgerea peste un deversor amplasat într-un canal rapid;
e) racordarea unui canal rapid ( ) cu un canal cu pantă critică ( ); crii > crii =f) racordarea între un canal cu panta crii = şi un lac;
g) racordarea a două canale rapide.
198
iRCAiKQ ⋅⋅=⋅= 0000 , (7.37)
iar în mi¿carea gradual variatå de rela¡ia:
IRCAIKQ ⋅⋅=⋅= . (7.38)
Rezultå raportul pantelor: 2
0 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=K
K
iI
, (7.39)
unde este modulul de debit la mi¿care uniformå la care adâncimea este ,
iar 0K 0h
K este modulul de debit la mi¿carea gradual variatå la care adâncimea curentului este h. Rela¡ia (7.36) devine:
FrK
K
idsdh
−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⋅=
1
12
0
(7.40)
sau:
jKK
KK
idsdh
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅=2
0
2
01
, (7.41)
unde s-a notat:
2
0⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=
KK
Frj . (7.42)
ºinând seama de rela¡iile (7.5), (7.24) ¿i (7.38), mårimea j capåtå forma:
AgRBCi
Q
RCAi
Ag
BQj
2
2
22
3
2 α=⋅
α=
sau:
PgBCi
j2α
= , (7.43)
199
în care este perimetrul udat. RAP /=Pentru albii prismatice se poate face aproxima¡ia:
x
hh
KK
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
0
2
0, (7.44)
în care mårimea x se nume¿te exponentul hidraulic al albiei ¿i depinde de forma sec¡iunii. O justificare a rela¡iei (7.44) este prezentatå în lucrårile: Certousov, M.D., 1966 ¿i Cioc, D., 1983.
Introducând no¡iunea de adâncime relativå, notatå cu η :
0hh
=η (7.45)
¿i având în vedere cå η⋅= dhdh 0 , ecua¡ia (7.41) se reduce la:
ji
ds
dhx
x
−η
−η⋅=
η⋅ 10 (7.46)
sau:
10 −η
−η⋅η=⋅
x
x jd
hds
i . (7.47)
Rela¡ia (7.47) poate fi puså într-o formå convenabilå pentru integrare dacå la numåråtorul din dreapta se adunå ¿i se scade mårimea ηd :
( )1
10 −η
η⋅−+η=⋅
xd
jddshi
. (7.48)
Ecua¡ia (7.48) se integreazå între sec¡iunile 1 si 2 ale canalului (fig. 7.27), ob¡inându-se:
( ) ( ) ( ) ( )[ 1212120
1 ηϕ−ηϕ⋅−−η−η=−⋅ jsshi ], (7.49)
în care:
( ) ∫ −η
η=ηϕ
2
1 1xd
. (7.50)
200
a) b)
Fig. 7.27. Calculul cotelor suprafeţei libere: a) profil longitudinal (secţiuni de calcul); b) secţiune transversală.
Mårimea j se calculeazå ca valoare medie pe intervalul de integrare:
( 212
1jjj +⋅= ). (7.51)
Pentru calculul lui j se poate folosi ¿i rela¡ia (7.43), în care se introduc
valorile medii C , B ¿i P calculate cu adâncimea medie:
( 212
1hhh +⋅= ) . (7.52)
Func¡ia ( )ηϕ pentru diferite valori ale exponentului hidraulic x este datå
tabelar în anexa 7.1.
Cazul II - canal cu pantå nulå ( )0=i . Luându-se ca mårimi de referin¡å
adâncimea criticå ¿i panta criticå, printr-un procedeu ca cel expus pentru canale cu pantå pozitivå, se ob¡ine:
( ) ( ) ( ) ([ 121212 ξϕ−ξϕ−ξ−ξ⋅=−⋅ crcr
cr Jsshi )], (7.53)
în care:
PgBCi
J crcr
2α= , (7.54)
201
crhh
=ξ , (7.55)
mårimile C, B, ¿i P fiind luate ca valori medii calculate cu adâncimea medie între sec¡iunile 1 ¿i 2.
Valorile func¡iei sunt date în anexa 7.2. ( )ξϕ
Cazul III – canal cu pantå negativå ( )0<i . Se introduc ca mårimi de
referin¡å ii =' ¿i - care este adâncimea normalå pentru canalul cu pantå
pozitivå
'0h
ii =' . Rezultå solu¡ia ecua¡iei (7.35):
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]12'
1212'0
'1 ζ⋅ϕ−ζ⋅ϕ⋅++ζ−ζ−=−⋅ jss
h
i, (7.56)
cu nota¡iile:
PgBCi
j2'
' α= , (7.57)
'0h
h=ζ . (7.58)
Valorile func¡iei ( )ζϕ sunt date în anexa 7.3.
Rela¡ii pentru exponentul hidraulic al albiei se gåsesc în tabelul 7.5. x
Tabelul 7.5
Calculul exponentului hidraulic al albiei
Forma sec¡iunii Rela¡ia de calcul
Trapez isoscel 2 2
2 2
1
133,1133,3
m
mm
mx
++β
+⋅−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+β
−⋅=
α==β ctg; mhb
Dreptunghi
2
66,233,3
+β−=x
Dreptunghi foarte lat 33,3=x
Dreptunghi foarte îngust 2=x
Triunghi 3,5=x
Parabolå foarte largå 3,4=x
202
7.3.3.2. Metoda diferen¡elor finite (metoda standard). Metoda diferen¡elor finite este o metodå generalå. Aceastå metodå poate fi utilizatå pentru calculul curbei suprafe¡ei libere la orice fel de albie, inclusiv la albiile naturale.
Pentru aplicarea metodei, râul se împarte în sectoare cu ajutorul unor sec¡iuni numite sec¡iuni de calcul, a¿a cum se aratå în figura 7.28.
Fig. 7.28. Calculul cotelor suprafeţei libere.
Alegerea sec¡iunilor de calcul se face ¡inându-se seama de urmåtoarele reguli:
- se apreciazå de la început lungimea zonei afectatå de modificåri ale suprafe¡ei libere;
- sectoarele så aibå lungimi aproximativ egale; - caracteristicile albiei de-a lungul unui sector (forma sec¡iunii,
rugozitatea, aria) så varieze cât mai pu¡in; - lungimea unui sector se va alege astfel ca diferen¡a dintre cotele
extremitå¡ilor så fie de aproximativ 0,10 m. Calculul curbei suprafe¡ei libere începe din sec¡iunea în care se cunoa¿te cota
suprafe¡ei libere (fig. 7.28, sec¡iunea n). Pornind de la cota cunoscutå în sec¡iunea n se calculeazå cota în sec¡iunea n-1. Având cunoscutå cota în sec¡iunea n-1 se determinå, în continuare, cota în sec¡iunea n-2. Din aproape în aproape se ajunge a se determina cota în ultima sec¡iune de calcul.
203
Calculul cotei se face scriind rela¡ia lui Bernoulli între sec¡iunile care delimiteazå sectorul. Astfel, pentru sectorul cuprins între sec¡iounile i ¿i , rela¡ia lui Bernoulli este:
1+i
1,
1
2
1
2
22 ++⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ α+=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ α+
++ iir
ii
ii h
gV
yg
Vy , (7.59)
în care:
este cota suprafe¡ei libere fa¡å de planul de referin¡å ales; hzy += 0
- pierderea de sarcinå pe sectorul i, 1, +iirh 1+i .
Exprimând viteza ¿i pierderea de sarcinå în func¡ie de debit:
AQ
V = ;
2
2
11, K
QLh ir ii
⋅= ++, (7.60)
( )21
21
2
2
1++⋅= iKKK , (7.61)
se ob¡ine:
12
2
221
2
111
2 ++
+ ⋅+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅
α+= i
iiii L
K
Q
AAgQ
yy . (7.62)
Când apar varia¡ii mari ale formei sec¡iunii, în rela¡ia (7.62) se introduce ¿i pierderea de sarcinå localå calculatå cu viteza din sec¡iunea aval:
21
221
22 +
+
⋅ξ=ξ=
i
il
Ag
Qg
Vh ,
iar rela¡ia (7.62) devine:
12
2
221
2
111
2 ++
+ ⋅+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
ξ+⋅
α+= i
iiii L
K
Q
AAgQ
yy .
Coeficientul de pierdere de sarcinå localå se introduce cu valorile: 0=ξ - pentru albie care se îngusteazå;
5,0=ξ - pentru albie care se lårge¿te.
204
În partea dreaptå a rela¡iei (7.62), mårimile ¿i sunt func¡ii de ,
respectiv de . iA iK ih
iy
Ecua¡ia se rezolvå astfel:
- se alege o valoare ; iy
- cu ales se calculeazå ¿i , care se introduc în rela¡ia 7.62; iy iA iK
- dacå din calcul nu se ob¡ine ales, se då altå valoare pentru ¿i se
reface calculul; opera¡iile se repetå pânå când se ob¡ine aproxima¡ia doritå:
iy iy
( ) ( ) ε≤− calculatales ii yy .
Metoda diferen¡elor finite necesitå un volum mare de calcule datoritå dificultå¡ilor în aprecierea primei ¿i a urmåtoarelor aproxima¡ii pentru . iy
7.3.3.3. Recomandåri pentru calculul curbei suprafe¡ei libere. Calculul curbei suprafe¡ei libere începe din sec¡iunea în care se cunoa¿te cota suprafe¡ei libere. Aceastå sec¡iune poartå numele de sec¡iune de comandå, iar cota suprafe¡ei libere cotå de comandå. La mi¿carea lentå cota de comandå se aflå la extremitatea aval a sectorului, iar la mi¿carea rapidå sec¡iunea de comandå se gåse¿te la extremitatea amonte. Înainte de a se face un calcul efectiv, este util de a se trasa calitativ curba suprafe¡ei libere. Trasarea calitativå a curbei presupune recunoa¿terea tipului de canal, lent sau rapid, recunoa¿terea sec¡iunilor de comandå ¿i cunoa¿terea cotelor de comandå. Calculele se fac din amonte spre aval, pentru curen¡i în regim rapid de mi¿care ¿i din aval cåtre amonte, pentru curen¡i în regim lent. Indiferent de metoda folositå (Bachmetev sau metoda diferen¡elor finite), atât la mi¿carea lentå, cât ¿i la mi¿carea rapidå sec¡iunea de calcul se gåse¿te în aval de sec¡iunea i.
1+i
7.4. MIŞCAREA NEUNIFORMĂ RAPID VARIATĂ. SALTUL HIDRAULIC
7.4.1. ANALIZA CALITATIVĂ A FENOMENULUI
Saltul hidraulic este o formå specialå de racordare a curbei suprafe¡ei libere la trecerea de la regimul rapid de mi¿care la regimul lent. Zona în care se manifestå saltul este relativ scurtå. Mi¿carea în aceastå zonå prezintå o neuniformitate mare, fiind caracterizatå printr-o cre¿tere rapidå a adâncimilor ¿i o modificare importantå a distribu¡iei vitezelor. O justificare a necesitå¡ii
205
formårii saltului hidraulic la trecerea de la mi¿carea rapidå la mi¿carea lentå este comentatå în (Cioc,D., 1983) unde se prezintå ¿i diferitele forme ale acestuia. Schematizat, un salt hidraulic aratå ca în figura 7.29. În acest caz, curentul în mi¿care rapidå este generat de curgerea pe sub stavila amplasatå pe un canal lent
. În aval de stavilå, departe de aceasta, mi¿carea este lentå ( crii < ) ( )crhh >0 .
Elementele principale ale saltului hidraulic sunt urmåtoarele:
- adâncimea de intrare în salt; 'h
- adâncimea de ie¿ire din salt; "h
- înål¡imea saltului; '" hh −sl - lungimea saltului;
rsh - pierderea de sarcinå în salt.
Adâncimile ¿i se numesc adâncimi conjugate. 'h "h În general, saltul hidraulic are aspectul unui rulou de apå puternic aerat, având la partea inferioarå, o mi¿care dinspre amonte spre aval, iar la partea superioarå dinspre aval cåtre amonte. În salt se produce o mare disipare de energie. Saltul hidraulic este întâlnit în aval de stavile ¿i baraje deversoare amplasate pe canale lente ¿i la trecerea de la un canal rapid la un canal lent. Uneori este produs special în scopuri ca: aerarea apei, intensificarea amestecului prin difuzie turbulentå etc.
Fig. 7.29. Elementele saltului hidraulic.
206
7.4.2. FUNCŢIA SALTULUI. ADÂNCIMI CONJUGATE
În figura 7.30 se prezintå schematizat un salt hidraulic realizat într-o albie prismaticå de formå oarecare cu pantå micå.
Fig. 7.30. Funcţia saltului hidraulic: a) secţiune transversală la intrarea în salt; b) schemă de calcul;
c) secţiune transversală la ieşirea din salt; d) graficul funcţiei saltului. Pentru stabilirea rela¡iei între adâncimile conjugate se scrie teorema
impulsului, masei de fluid delimitat de suprafa¡a de control ABDCA cu urmåtoarele simplificåri:
- panta canalului fiind consideratå micå, se neglijeazå componenta greutå¡ii masei de fluid dupå direc¡ia curgerii;
- se neglijeazå for¡ele de frecare dintre fluid ¿i pere¡ii canalului;
- în sec¡iunile A-B ¿i C-D se considerå o distribu¡ie hidrostaticå a presiunilor ¿i o distribu¡ie uniformå a vitezelor ( )1=α=β .
Teorema impulsului se scrie: sau: 0""'' =−−+ IFIF
""'' IFIF +=+ , (7.63)
unde cu F s-au notat for¡ele de presiune ¿i cu I for¡ele de impuls. ºinând seama cå:
GAZgF ⋅ρ= ; VQI ρ= ,
se ob¡ine: """''' VQZAgVQZAg GG ρ+ρ=ρ+ρ (7.64)
sau:
"
2""
'
2''
Ag
QZA
Ag
QZA GG +=+ . (7.65)
207
To¡i termenii rela¡iei (7.65) fiind func¡ii numai de h, se poate defini o func¡ie , numitå func¡ia saltului: ( )hS
( )Ag
QAZhS G
2+= , (7.66)
care ia valori egale în sec¡iunile de intrare ¿i de ie¿ire ale saltului:
( ) ( )"' hShS = . (7.67)
Rela¡ia (7.65), respectiv (7.67), exprimå dependen¡a între adâncimile conjugate. Func¡ia saltului, reprezentatå grafic în figura 7.30,d, permite determinarea unei adâncimi conjugate când se cunoa¿te cealaltå. La sec¡iuni dreptunghiulare se ob¡in formule directe pentru calculul adâncimilor conjugate. Introducând în rela¡ia (7.65) mårimile ,
¿i se ob¡ine: hbA ⋅=
2/hZG = bQq /=
bgh
Qhbh
bgh
Qhbh
"
2""
'
2''
22+⋅=+⋅ ;
"
2"
'
2' 22 22
gh
qh
gh
qh +=+ ;
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⋅=−
"'
"'2"' 222
hh
hhgq
hh ;
( )gq
hhhh2
"'"' 2=⋅+ (7.68)
¿i în final:
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−+⋅= 1
81
2 3"
2"'
gh
qhh , (7.69)
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−+⋅= 1
81
2 3'
2'"
gh
qhh . (7.70)
208
7.4.3. DISIPAREA ENERGIEI ÎN SALTUL HIDRAULIC. LUNGIMEA SALTULUI HIDRAULIC
Disiparea energiei se exprimå prin pierderea de sarcinå în salt:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ α+′′−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ α+′=
gV
hg
Vhhrs 22
22 "'.
Pentru albii dreptunghiulare se ob¡ine: ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅
α+−=
22 "'
2"' 11
2 hhgq
hhhrs .
ºinând seama de rela¡ia (7.68) ¿i considerând 1=α , rezultå:
( )"'
3'"
4 hh
hhhrs
−= . (7.71)
Lungimea saltului hidraulic. Lungimea saltului hidraulic reprezintå distan¡a måsuratå pe direc¡ia generalå de curgere, între sec¡iunea de intrare ¿i sec¡iunea de ie¿ire din salt. Pozi¡ia celor douå sec¡iuni se determinå prin observa¡ii directe. Sec¡iunea de intrare este bine conturatå ¿i u¿or de pozi¡ionat. Sec¡iunea de ie¿ire din salt, datoritå ondula¡iilor suprafe¡ei libere, este greu de precizat, la pozi¡ionarea ei intervenind un oarecare grad de subiectivism. Aceasta este ¿i explica¡ia numeroaselor rela¡ii existente pentru calculul lungimii saltului. Pentru calculul lungimii saltului se recomandå formula lui Bradley ¿i Peterka citatå în (Cioc, D., 1983)
"15,6 hls = . (7.72)
valabilå pentru , în care . 12020 ' << Fr ''' /2
ghVFr =
APLICAŢII LA MIŞCAREA NEUNIFORMĂ
Problema 7.7
Un canal trapezoidal având lå¡imea la bazå m8=b , coeficientul de taluz
¿i coeficientul de rugozitate 5,1=m 018,0=n , este alcåtuit din douå tronsoane (fig. 7.31). Primul tronson are panta 0001,01 =i , iar al doilea .
Debitul pe canal este de .
025,02 =i
/sm25 3
209
Se cere så se determine:
a) tipul curbelor suprafe¡ei libere la racordarea celor douå canale;
b) lungimea curbelor suprafe¡ei libere.
Fig. 7.31. Exemplu pentru calculul curbei suprafeţei libere:
a) racordarea unui canal lent cu un canal rapid; b) secţiune transversală. Rezolvare:
a) Pentru stabilirea tipului curbelor suprafe¡ei libere trebuie cunoscut regimul de mi¿care pe cele douå tronsoane. În acest scop se vor calcula adâncimile normale ¿i ¿i adâncimea criticå. 01h 02h
Tabelul 7.6 cuprinde valori pentru trasarea curbei ( )hfK = , iar în
tabelul 7.7 sunt valori pentru curba ( )hfBA =/3 .
Tabelul 7.6
Calculul curbei ( )hfK =
h (m)
A
( ) 2m
P (m)
R (m)
21R 61R C K
( ) /sm3
0,5 4,375 9,8 0,44 0,67 0,87 48,5 142
1,0 9,500 11,6 0,818 0,90 0,97 53,7 461
1,5 15,375 13,4 1,14 1,07 1,02 56,6 932
2,0 22,000 15,2 1,44 1,20 1,06 58,9 1554
2,5 29,375 17,0 1,72 1,31 1,09 60,5 2330
3,0 37,50 18,8 1,99 1,41 1,12 62,3 3295
210
Tabelul 7.7
Calculul curbei ( )hfA B =3
h (m)
A (m2)
B (m)
3A
( ) 6m
BA /3
( ) 5m gQ2α
0,4 3,44 9,2 40,7 4,42
0,6 5,34 9,8 152,2 15,53
0,8 7,36 10,4 398,7 38,33
1,0 9,50 11,0 857,4 77,94
70,0
Din graficul (fig. 7.32), pentru modulele de debit: ( )hfK =
/sm25000001,0
25 3
101 ===
i
QK ;
/sm158025,0
25 3
202 ===
i
QK
Fig. 7.32. Grafic pentru determinarea adâncimii normale.
211
se ob¡in adâncimile normale pe cele douå tronsoane:
m55,0m;60,2 0201 == hh .
Adâncimea criticå rezultå din figura 7.33:
m97,0=crh .
Fig. 7.33. Grafic pentru determinarea adâncimii critice.
Stabilirea regimului de mi¿care:
crhh >01 - înseamnå mi¿care lentå pe primul tronson;
n. crhh <02 - înseamnå mi¿care rapidå pe al doilea tronso
Sec¡iunea de schimbare de pantå constituie sec¡iunea de comandå atât pentru primul tronson, cât ¿i pentru al doilea. Cota de comandå este datå de adâncimea criticå.
ºinând seama de curbele prezentate în figura 7.24, rezultå cå singura posibilitate de racordare este o curbå de tip pe primul tronson urmatå de o
curbå de tip pe al doilea tronson, a¿a cum se observå în figura 7.31. 1b
2b
b) Lungimea celor douå curbe se calculeazå cu rela¡ia (7.49).
Curba de tip . Sec¡iunile de calcul sunt aråtate în figura 7.34. 1b
212
Fig. 7.34. Curbă de tip . 1b
Adâncimea medie pe sectorul afectat de curbå este:
( ) ( ) m78,197,06,22
1
2
121 =+⋅=+⋅= hhh .
Exponentul hidraulic al albiei (tab. 7.5):
8,15,111m;48,478,1
8;5,1 22' =+=+====β= mm
hb
m ;
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++⋅=
⋅+β
⋅⋅−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+β
+⋅=5,148,4
5,1133,3
2
233,1133,3
'
'
m
mm
mx
.573,38,1248,4
8,1233,1 =
⋅+⋅
⋅−
Calculul mårimii j , se face folosind formula (7.43):
( ) ( ) 2m99,1878,15,1878,1 =⋅+⋅=+⋅= hmbhA ;
m34,1378,15,1282 =⋅⋅+=⋅+= hmbB ;
m4,145,1178,12812 22 =+⋅⋅+=+⋅⋅+= mhbP ;
m32,14,14
99,18===
PA
R ;
2,5832,1018,0
11 6161 =⋅=⋅= Rn
C ;
213
035,04,1481,9
34,132,580001,01,1 22=
⋅⋅⋅⋅
=⋅α
=gP
BCij .
Valorile func¡iei se ob¡in din anexa 7.1: ( )ηϕ
373,06,2
97,0;1
6,2
6,2
0
22
0
11 ===η===η
hh
hh
;
( ) ( ) 37,0;73,1 21 =ηϕ=ηϕ .
Lungimea curbei se calculeazå cu formula (7.49): 1b
( ) ( ) ( )[ ]{ }12120 1
1ηϕ−ηϕ⋅−−η−η⋅= j
ih
Lb ;
( ) ( ){ } m1782073,137,0035,011373,00001,0
6,21
=−⋅−−−⋅=bL .
Curba de tip . Alura curbei ¿i sec¡iunile de calcul sunt aråtate în
figura 7.35. 2b
Fig. 7.35. Curbă de tip . 2b
214
m76,02
55,097,0=
+=h ;
8,1m;52,1076,0
8 ' ===β ;
46,38,1252,10
8,1233,1
5,152,10
5,1133,3 =
⋅+⋅
⋅−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++⋅=x ;
( ) 2m95,676,05,1876,0 =⋅+⋅=A ;
m28,1076,05,128 =⋅⋅+=B ;
m60,115,115,128 2 =+⋅⋅+=P ;
m59,060,11
95,6==R ;
5159,0018,0
1 61 =⋅=C ;
46,660,1181,9
28,1051025,01,1 2=
⋅⋅⋅⋅
=j ;
155,0
55,0;76,1
55,0
97,021 ==η==η ;
( ) ( ) 79,1;105,0 21 =ηϕ=ηϕ .
Cu datele calculate mai sus, lungimea curbei este: 2b
( ) ( ){ } m186105,079,146,6176,11025,0
55,02b =−⋅−−−⋅=L .
Problema 7.8
Un canal dreptunghiular de lå¡ime m5=b transportå un debit de
(fig. 7.36). Så se determine cu ajutorul func¡iei saltului adâncimea criticå ¿i
adâncimea conjugatå ¿tiind cå . Så se verifice cu formulele
specifice sec¡iunii dreptunghiulare adâncimile ¿i determinate grafic.
/sm20 3
"h m40,0' =h"h crh
215
Fig. 7.36. Canal cu secţiune dreptunghiulară. Rezolvare:
Func¡ia saltului este datå de rela¡ia (7.66):
( )Ag
QZAhS G
2+⋅= .
Reprezentarea graficå a func¡iei ( )hS se face folosind datele din tabelul 7.8.
Tabelul 7.8
Calculul funcţiei saltului ( )hS
h
(m)
A
( ) 2m
GZ
( ) 3m
GZA ⋅
( ) 3mgAQ /2
( )hS
0.30 1,5 0,15 0,225 27,18 27,40
0,5 2,5 0,25 0,625 16,31 16,93
1,0 5,0 0,50 2,500 8,15 10,65
1,5 7,5 0,75 5,635 5,43 11,06
2,0 10,0 1,0 10,000 4,08 14,08
2,5 12,5 1,25 15,625 3,26 18,88
3 15,0 1,5 22,500 2,72 25,22
Din grafic (fig. 7.37), rezultå:
m20,1m;65,2" ≅= crhh .
Aproximativ acelea¿i valori rezultå ¿i din calcul utilizând formulele (7.23) ¿i (7.30), pentru : 1=α
216
Fig. 7.37. Graficul funcţiei saltului hidraulic.
m17,181,9
4132
32
=⋅
=α
=gq
hcr ;
m66,214,081,9
481
2
4,01
81
2 3
2
'
'"
3=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
⋅
⋅+⋅=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
2⋅+⋅=
hg
qhh .
217
8
HIDRAULICA CONSTRUCŢIILOR
8.1. CONSIDERAŢII GENERALE
În general, executarea unei construc¡ii sau instala¡ii hidrotehnice trebuie så råspundå cerin¡elor func¡ionale, economice, estetice ¿i de încadrare armonioaså în peisajul local.
Datoritå formelor variate pe care le poate avea o construc¡ie, problemele de hidraulicå care apar sunt multiple, rezolvarea lor fåcându-se de la caz la caz, în func¡ie de condi¡iile specifice.
În acest capitol se vor analiza probleme de hidraulica construc¡iilor devenite clasice: curgerea peste deversoare, curgerea pe sub stavile, disiparea energiei etc.
Curgerea apei în prezen¡a construc¡iilor se caracterizeazå printr-un mare grad de neuniformitate, care se manifestå pe o zonå relativ reduså în vecinåtatea construc¡iei.
8.2. DEVERSOARE
8.2.1. DEFINIŢII. FORMULA GENERALĂ. CLASIFICARE 8.2.1.1. Defini¡ii. Deversorul este o construc¡ie peste care trece un lichid în
mi¿care cu suprafa¡å liberå. Elementele caracteristice unui deversor sunt prezentate în figura 8.1, în care:
Fig. 8.1. Elemente caracteristice ale unui deversor.
219
P este înål¡imea deversorului; este diferen¡a dintre cota crestei deversorului ¿i cota fundului albiei în aval de deversor;
1P - înål¡imea pragului, este diferen¡a între cota crestei deversorului ¿i cota fundului albiei în amonte de deversor;
H - sarcina deversorului sau grosimea lamei deversate; se måsoarå în amonte de deversor la o distan¡å Ha 3≅ , unde se considerå cå nu se mai
resimte influen¡a deversårii;
g
VHH
2
20
0α
+= - sarcina totalå a deversorului;
0V - viteza de acces la deversor;
Z - cåderea deversorului; este diferen¡a între cota nivelului apei în amonte ¿i cota nivelului apei în aval;
g
VZZ
2
20
0α
+= - cåderea totalå a deversorului;
ZHhn −= - înål¡imea de înecare; este diferen¡a între cota crestei deversorului ¿i cota nivelului apei aval;
c - grosimea la coronament a deversorului;
∑= 'bb - lungimea deversorului sau lungimea crestei.
8.2.1.2. Formula generalå de calcul a debitului deversorului. Formula
debitului deversorului a fost deduså cu ocazia studierii orificiului mare:
232 HgmbQ ⋅= , (8.1)
în care m este coeficientul de debit al deversorului. El ¡ine seama de geometria ¿i de condi¡iile hidraulice în care func¡ioneazå deversorul. Formula pentru calculul coeficientului de debit este:
kmm ⋅ε⋅σ= 0 , (8.2)
în care:
0m este coeficientul de formå; depinde de forma profilului transversal al deversorului;
σ - coeficientul de înecare;
220
ε - coeficientul de contrac¡ie lateralå; k - coeficient care ¡ine seama de oblicitatea deversorului fa¡å de
direc¡ia generalå de curgere. 8.2.1.3. Clasificarea deversoarelor. Dupå forma sec¡iunii de curgere deversoarele pot fi cu sec¡iune dreptunghiularå, trapezoidalå, triunghiularå, parabolicå, circularå etc. (fig. 8.2).
Fig. 8.2. Forme ale secţiunii de curgere la un deversor.
• Dupå grosimea ¿i forma sec¡iunii transversale, se disting:
- deversor cu perete sub¡ire, Hc 6,0< ; figura 8.3,a;
- deversor cu perete gros, HcH 5,26,0 << ; figura 8.3,b ¿i figura 8.3,c;
- deversor cu prag lat, HcH 105,2 << ; figura 8.3,d.
Din categoria deversoarelor cu perete gros face parte ¿i deversorul cu profil practic (fig. 8.3,c), la care lama deversantå se sprijinå pe parametrul aval al deversorului. Dacå grosimea la coronament c depå¿e¿te valoarea de aproximativ deversorul se comportå ca un canal.
H⋅10
• Dupå gradul ce înecare. În figura 8.4 este ilustratå influen¡a nivelului din aval de deversor asupra debitului deversat. Graficul din figura 8.4,b aratå, calitativ, varia¡ia debitului în func¡ie de nivelul apei din aval de deversor. La un nivel aval egal cu cel din amonte ( ), curgerea nu se poate produce, iar debitul este nul. Pe måsurå ce
nivelul scade, debitul se måre¿te atingându-se valoarea maximå când nivelul aval atinge un nivel critic (punctul A). Pentru niveluri aval mai mici decât nivelul critic debitul råmâne constant ¿i egal cu debitul maxim.
HPhav +=
Când nivelul aval este mai mare decât nivelul critic se spune cå deversorul este înecat (fig. 8.4,c), iar când nivelul aval este mai mic decât nivelul critic deversorul este neînecat (fig. 8.4,a).
221
Fig. 8.3. Forme ale profilului transversal al deversoarelor: a) deversor cu perete subţire şi muchie ascuţită;
b) deversor cu profil gros–poligonal; c) deversor cu profil gros–curbiliniu; d) deversor cu prag lat.
Fig. 8.4. Înecarea deversorului: a) deversor neînecat; b) variaţia debitului
în funcţie de ; c) deversor înecat. avh
Înecarea deversorului cu perete sub¡ire, respectiv a celui cu perete gros, se
produce când sunt îndeplinite condi¡iile:
0>−= ZHhn (8.3)
222
¿i:
crPZ
PZ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛< . (8.4)
Mårimea crP
Z⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ este func¡ie de raportul ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
PH
¿i are valoarea medie 0,75.
La deversorul cu prag lat înecarea se produce când , adicå atunci
când nivelul aval depå¿e¿te adâncimea apei de pe prag care este (fig. 8.13). crn hh >
crh
• Dupå contrac¡ia lateralå. Dupå acest criteriu deversoarele se clasificå în deversoare fårå contrac¡ie lateralå ¿i deversoare cu contrac¡ie lateralå. Contrac¡ia lateralå apare atunci când lungimea deversorului este mai micå decât lå¡imea albiei. În figura 8.5 se prezintå aspectul în plan al curgerii la cele douå tipuri de deversoare.
Fig. 8.5. Contracţia laterală: a) deversor fără contracţie laterală;
b) deversor cu contracţie laterală.
Prezen¡a obstacolelor (pile, culee) fac ca liniile de curent så se curbeze, creând în imediata vecinåtate a obstacolului o zonå de vârtejuri (apa moartå), iar sec¡iunea efectivå de curgere se mic¿oreazå pe seama lå¡imii. Lå¡imea lamei de apå, astfel mic¿oratå, poartå numele de lå¡ime contractatå ¿i se calculeazå cu rela¡ia:
bbc ε= , (8.5)
în care este coeficientul de contrac¡ie, iar . ε ∑= 'bb
• Dupå pozi¡ia în plan deversoarele pot fi: normale, oblice sau laterale (fig. 8.6).
223
Fig. 8.6. Poziţia în plan a deversoarelor: a) deversor frontal; b) deversor oblic; c) deversor lateral.
Oblicitatea deversorului este prinså în calcul prin coeficientul k din formula 8.2, pentru care se dau valori aproximative în tabelul 8.1, în func¡ie de unghiul θ .
Tabelul 8.1
Valori ale coeficientului de oblicitate k
0θ 90 60 45 30 15
k 1,0 0,96 0,94 0,91 0,86
Dupå forma în plan se deosebesc deversoare cu coronament rectiliniu (fig. 8.6), poligonal, curb, circular etc. (fig. 8.7).
Fig. 8.7. Forme în plan ale deversoarelor: a), b) deversoare poligonale; c) deversor curbiliniu; d) deversor pâlnie.
În condi¡ii normale de func¡ionare a deversorului (neînecat, fårå contrac¡ie
lateralå, a¿ezat frontal pe direc¡ia de curgere), coeficien¡ii de corec¡ie , ¿i k au valori egale cu unitatea:
σ ε1==ε=σ k .
224
8.2.2. DEVERSORUL DREPTUNGHIULAR Deversorul cu sec¡iunea de curgere dreptunghiularå poate fi de trei tipuri:
- cu perete sub¡ire; - cu perete gros ¿i profil poligonal; - cu perete gros ¿i profil practic (curbiliniu).
8.2.2.1. Deversor dreptunghiular cu perete sub¡ire. Acest tip de deversor a fost studiat de un numår mare de cercetåtori. Fiind bine cunoscut, este folosit ¿i ca dispozitiv pentru måsurarea debitelor. Aspectul curgerii peste un deversor cu muchie ascu¡itå este aråtat în figura 8.8, unde se prezintå douå cazuri de func¡ionare:
- cu lamå aeratå, când sub lama de apå care deverseazå existå o presiune egalå cu presiunea atmosfericå, iar forma lamei este aproximativ o parabolå;
- cu o lamå neaeratå, când presiunea sub lamå este mai micå decât presiunea atmosfericå.
Fig. 8.8. Deversor cu perete subţire şi muchie ascuţită: a) lamă aerată; b) lamă neaerată.
Pânza inferioarå (intradosul) a lamei de apå care deverseazå se ridicå
deasupra crestei deversorului datoritå convergen¡ei liniilor de curent. Debitul se calculeazå cu formula generalå (8.1), iar coeficientul se ia
astfel: 0m
- pentru deversor fårå contrac¡ie lateralå, neînecat ¿i viteza de acces
neglijabilå se folose¿te formula lui Bazin (1898), în care H se introduce în metri:
0V
Hm
0027,0405,00 += ; (8.6)
225
- pentru deversor fårå contrac¡ie lateralå, neînecat, la care viteza de acces este importantå:
- formula Bazin:
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⋅+⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
2
10 55,01
0027,0405,0
PHH
Hm ; (8.7)
- formula Rehbok (1929):
10 054,0
001,0404,0
PH
Hm ⋅++= ; (8.8)
- pentru deversor cu contrac¡ia lateralå, neînecat cu viteza de acces importantå se folose¿te formula S. I. A. S. (Societatea Inginerilor ¿i Arhitec¡ilor din Elve¡ia (Suisse), 1924):
⋅
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⋅
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅−
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
6,11000
241,2
025,0385,0
2
2'0 H
Bb
Bb
m
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⋅
2
1
4
5,01PH
HBb
. (8.9)
A doua parantezå din rela¡ia (8.9) ¡ine seama de influen¡a vitezei de acces. Acest termen se neglijeazå când viteza de acces este micå. Formula (8.9) este valabilå în limitele:
BbPHHP 3,0;31/m;8,0025,0m;3,0 11 ><≤≤≥ K .
La deversorul cu perete sub¡ire, efectul contrac¡iei laterale nu este eviden¡iat separat prin coeficientul ε din formula (8.2). Influen¡a contrac¡iei laterale este
cuprinså în expresia coeficientului (formula (8.9)). '0m
• Înecarea deversorului cu perete sub¡ire are loc când nivelul din aval depå¿e¿te cota maximå a pânzei inferioare a lamei deversante. Practic, se considerå cå deversorul este înecat când nivelul aval depå¿e¿te creasta deversorului, adicå atunci când sunt îndeplinite condi¡iile:
0>−= ZHhn ¿i crP
ZPZ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛< . (8.10)
226
Mårimea crP
Z⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ depinde de coeficientul m ¿i de raportul
PH
. Are valoarea
medie egalå cu 0,75. Coeficientul de înecare se calculeazå cu formula:
32,0105,1HZ
Phn ⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+⋅=σ . (8.11)
8.2.2.2. Deversor dreptunghiular cu perete gros. În general, deversoarele cu perete gros pot fi de douå tipuri: deversor cu profil dreptunghiular (fig. 8.9,a) ¿i deversor cu profil trapezoidal (fig. 8.9,b).
Fig. 8.9. Deversor cu perete gros: a) profil dreptunghiular; b) profil trapezoidal.
Debitul deversorului cu perete gros se calculeazå cu formula (8.1) Dacå se ¡ine seama ¿i de influen¡a vitezei de acces, formula debitului devine:
2302 HgmbQ ⋅⋅= ,
în care:
g
VHH
2
20
0α
+= .
Pentru deversorul cu profil dreptunghiular coeficientul se calculeazå cu
formulele: 0m
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅+=
Hc
m 5,205,032,00 , (8.12)
dacå deversorul are muchia de intrare în unghi drept;
HcHc
m⋅+
−⋅+=
21
5,21,036,00 , (8.13)
227
dacå deversorul are muchia de intrare rotunjitå, cu raza Hr 2,0= .
Formulele sunt valabile în limitele:
5,26,0 ≤≤Hc
¿i 31 ≥HP
.
Pentru , valorile ob¡inute cu formulele (8.12) ¿i (8.13) se
multiplicå cu factorul de corec¡ie:
3/1 <HP
113,01
PH
Kv ⋅+= .
În cazul deversorului trapezoidal, coeficientul depinde de înclinarea
taluzelor amonte ¿i aval (fig. 8.9,b): 0m
β=α= ctg;ctg avam mm .
În tabelul 8.2 sunt date valori pentru coeficientul în func¡ie de ,
, ¿i . 0m HP /1
Hc / amm avm
Tabelul 8.2
Valori ale coeficientului de formă 0m
Coeficientul taluzului Hc / 01 / HP
amm avm 0,5 0,7 1,0 2,0
0 3 0,42 0,40 0,36 0,34
0 5 0,38 0,37 0,35 0,34
0 10 0,36 0,36 0,35 0,34
3 0 0,47 0,44 0,40 0,37
5 0 0,46 0,44 0,40 0,37
0,5 … 2
10 0 0,43 0,42 0,39 0,36
0 1 0,46 0,42 0,37 0,33
0 2 0,42 0,40 0,36 0,33
1 0 0,46 0,43 0,39 0,36 2 … 3
2 0 0,47 0,44 0,40 0,37
• Coeficientul de contrac¡ie lateralå din formulele (8.2) ¿i (8.5) se
calculeazå (v. fig. 8.5,b), cu rela¡ia:
b
Hn 01,01 ⋅ζ⋅⋅−=ε , (8.14)
228
în care n este numårul marginilor verticale care produc contrac¡ia (numårul contrac¡iilor laterale), iar ζ este coeficient care depinde de forma pilelor
(fig. 8.10).
Fig. 8.10. Valori ale coeficientului ζ din formula contracţiei.
• Înecarea deversorului cu perete gros se produce când sunt îndeplinite
condi¡iile (8.10) stabilite pentru deversorul cu perete sub¡ire. Coeficientul de înecare se poate calcula cu formula (8.11) sau se ia direct din graficul prezentat în figura 8.11.
σ
Fig. 8.11. Grafic pentru coeficientul de înecare σ .
229
Pentru valoarea raportului 75,0/ 0 ≅Hhn existå o instabilitate a curgerii.
Acest fenomen corespunde (fig. 8.11) por¡iunii de curbå trasatå cu linie întreruptå.
8.2.2.3. Deversor dreptunghiular cu prag lat. Aspectul curgerii peste un deversor cu prag lat este aråtat în figura 8.12.
Fig. 8.12. Deversor cu prag lat neînecat.
La intrarea pe prag lama de apå suferå o contrac¡ie, pe verticalå, pronun¡atå. În cazul deversorului cu prag neînecat adâncimea apei pe prag este ceva mai
micå decât adâncimea criticå ¿i se men¡ine aproximativ constantå pe toatå lungimea pragului.
Debitul deversorului cu prag lat rezultå din rela¡ia lui Bernoulli scriså între sec¡iunile 0 ¿i 1, luând ca plan de referin¡å planul crestei deversorului:
gV
gV
hH22
22
0 ⋅ζ+α
+= , (8.15)
în care:
g
VHH
2
20
0α
+= este sarcina totalå a deversorului;
h - adâncimea lamei de apå pe prag; V - viteza medie a apei pe prag; ζ - coeficientul care ¡ine seama de pierderea de
sarcinå localå.
Din rela¡ia (8.15) se ob¡ine:
( )hHgV −⋅⋅ϕ= 02 , (8.16)
230
în care: ζ+α
=ϕ1
.
Considerând cå adâncimea pe prag este o cotå parte din , 0H
0Hkh = , (8.17)
se ob¡ine expresia debitului deversorului cu prag lat:
( ) 00 21 HgkHkbVhbQ ⋅⋅−⋅ϕ⋅⋅⋅=⋅⋅=
sau: 23
02 HgbmQ ⋅⋅= , (8.18)
în care s-a notat :
kkm −⋅ϕ= 1 . (8.19)
Pentru coeficientul de formå se recomandå: 0m
- dacå : 3/1 ≥HP
32,00 =m - pentru prag cu muchie vie;
36,00 =m - pentru prag cu o muchie rotunjitå cu Hr 2,0= ;
- dacå : 3/1 <HP
HP
HP
m1
1
075,046,0
301,032,0
⋅+
−⋅+= , prag cu muchie vie; (8.20)
HP
HP
m1
1
05,12,1
301,036,0
⋅+
−⋅+= , prag cu muchie rotunjitå. (8.21)
• Coeficientul de contrac¡ie lateralå se calculeazå cu rela¡ia:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅
+
−=εBb
Bb
HP
a1
2,0
1 4
3 1
, (8.22)
în care: pentru margini verticale având muchii vii a = 0,19, iar pentru margini verticale cu muchii rotunjite a = 0,10.
231
Formula (8.22) este valabilå în limitele:
30 1 <<HP
¿i 12,0 ≤≤Bb
. (8.23)
În afara limitelor (8.23), formula (8.22) devine:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅−=ε
Bb
Bba
147,1
1 4 , (8.24)
dacå ; 3/1 >HP
3 12,0
535,01
HP
a
+
⋅−=ε , (8.25)
dacå ; 2,0/ <Bb
a⋅−=ε 364,01 , (8.26)
dacå ¿i . 3/1 >HP 2,0/ <Bb
• Înecarea deversorului cu prag lat. Schema curgerii peste un deversor cu prag lat înecat este aråtatå în figura 8.13.
Fig. 8.13. Deversor cu prag lat înecat.
Înecarea deversorului cu prag lat se produce când regimul de mi¿care pe
prag devine lent ¿i varia¡ia nivelului din aval se propagå spre amonte, influen¡ând valoarea debitului.
Un deversor cu prag lat func¡ioneazå înecat atunci când:
08,0 Hhn < .
Coeficientul de înecare este dat în tabelul 8.3. σ
232
Tabelul 8.3
Valori ale coeficientului de înecare σ pentru deversorul cu prag lat
0H
hn 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88
σ 1,00 0,995 0,99 0,98 0,97 0,96 0,95 0,93 0,90
0H
hm 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98
σ 0,87 0,84 0,82 0,78 0,74 0,70 0,65 0,59 0,50 0,40
8.2.2.4. Deversor dreptunghiular cu profil curb. Aceste deversoare au
sec¡iunea transversalå profilatå dupå o curbå. Ele pot fi de douå feluri: deversoare cu profil curb fårå vacuum ¿i deversoare cu profil curb cu vacuum.
• Deversoarele cu profil curb fårå vacuum au fost imaginate luându-se ca formå de bazå forma pânzei inferioare a lamei unui deversor cu muchie ascu¡itå.
La un deversor fårå vacuum, între lama deversantå ¿i parametrul deversorului nu se produc depresiuni.
În literatura tehnicå se cunosc mai multe forme de deversoare cu profil curb fårå vacuum. Dintre acestea, (fig. 8.14) sunt prezentate profilurile Creager-Ofi¡erov.
Deversoarele cu profil curb se calculeazå cu formulele generale (8.1) ¿i (8.2). Contrac¡ia lateralå ¿i înecarea se calculeazå conform indica¡iilor expuse la paragraful 8.2.2.2. pentru deversorul cu perete gros.
Fig. 8.14. Deversoare Creager-Ofiţerov: a) cu parament amonte vertical; b) cu parament amonte inclinat la 450.
233
Coordonatele profilurilor deversoarelor Creager-Ofi¡erov sunt prezentate în tabelul 8.4 pentru sarcina m0,1=H . Pentru o sarcinå m0,1≠H coordonatele
din tabel se înmul¡esc cu H în metri. • Deversoarele cu profil curb cu vacuum. La aceste deversoare existå
depresiune între lama deversantå ¿i paramentul deversorului, ceea ce conduce la o mårire a coeficientului de debit. Înål¡imea vacuumetricå trebuie limitatå la valoarea de 5 … 6 m, pentru a se evita fenomenele de instabilitate a mi¿cårii cauzate de dezlipirea lamei.
Tabelul 8.4
Coordonatele profilurilor deversoarelor Creager-Ofiţerov pentru sarcina m0,1=H
Profil tip A
x y x y x y x y
0,0 0,126 1,0 0,256 2,0 1,235 3,0 2,824
0,1 0,036 1,1 0,321 2,1 1,369 3,1 3,013
0,2 0,007 1,2 0,394 2,2 1,508 3,2 3,207
0,3 0,000 1,3 0,475 2,3 1,653 3,3 3,405
0,4 0,006 1,4 0,564 2,4 1,894 3,4 3,609
0,5 0,027 1,5 0,661 2,5 1,960 3,5 3,818
0,6 0,060 1,6 0,764 2,6 2,122 3,6 4,031
0,7 0,100 1,7 0,873 2,7 2,289 3,7 4,249
0,8 0,146 1,8 0,987 2,8 2,462 3,8 4,471
0,9 0,198 1,9 1,108 2,9 2,640 3,9 4,698
4,0 4,938
Profil tip B
0,0 0,043 0,4 0,023 1,2 0,480 3,0 3,06
0,1 0,010 0,6 0,090 1,4 0,665 3,5 4,08
0,2 0,000 0,8 0,189 1,7 0,992 3,0 5,24
0,3 0,005 1,0 0,321 2,0 1,377 4,5 6,58
2,5 2,14
8.2.3. DEVERSOR TRIUNGHIULAR
Aceastå formå de deversor se folose¿te în special pentru måsurarea debitelor ¿i pentru reglarea nivelurilor în bazinele sta¡iilor de tratare ¿i de epurare a apei.
234
Pentru calculul debitului, se considerå cå sec¡iunea de curgere a deversorului triunghiular este alcåtuitå dintr-o multitudine de orificii sub forma unor fante orizontale cu dimensiunile ( )zb ¿i . dz
Debitul se ob¡ine prin însumarea debitelor elementare dQ deversate prin fâ¿iile de lå¡ime ¿i înål¡ime (fig. 8.15). ( )zb dz
( ) zgdzzbdQ 2⋅⋅⋅µ= ;
( ) ( )zHzb −⋅α= tg2 ;
( )∫ ⋅⋅−⋅α=H
dzgzzHQ0
2tg2 ;
252tg15
8HgQ ⋅αµ⋅= . (8.27)
Pentru ¿i se ob¡ine formula Thompson: 0902 =α 60,0=µ
2542,1 HQ ⋅= . (8.28)
Fig. 8.15. Deversor triunghiular.
235
8.3. RACORDAREA BIEFURILOR
Construc¡iile hidrotehnice (baraje, ståvilare, praguri, trepte etc.) sau modificårile bru¿te ale geometriei albiei (înguståri sau lårgiri de sec¡iune, varia¡ia pantei longitudinale) delimiteazå în lungul râurilor sau canalelor sectoare numite biefuri. În zona de trecere de la un bief la altul, datoritå prezen¡ei lucrårilor hidrotehnice, se produc modificåri importante ale caracteristicilor curgerii privind distribu¡ia de vitezå, adâncimea ¿i forma suprafe¡ei libere a curentului.
Studiul fenomenelor la trecerea curentului din bieful amonte în bieful aval inclusiv forma suprafe¡ei libere poartå numele de racordarea biefurilor.
În practica construc¡iilor hidrotehnice existå o mare varietate de situa¡ii privind racordarea biefurilor. Aceste situa¡ii pot fi grupate astfel: racordarea biefurilor cu lamå aderentå (fig. 8.16; fig. 8.20); racordarea biefurilor cu lamå liberå (fig. 8.17; fig. 8.18); racordarea prin ¿ocul a douå vâne fluide (fig. 8.19).
Fig. 8.16 Racordarea cu lamă aderentă: a) curgerea peste deversor; b) curgerea pe sub stavilå.
Fig. 8.17. Lamă liberă la un evacuator tip trambulină.
236
Fig. 8.18. Lamă liberă la un deversor.
Fig. 8.19. Racordarea prin şocul a două vâne fluide.
Fig. 8.20. Racordarea aval la curgerea peste un deversor: a) racordarea cu salt îndepărtat; b) racordarea cu salt apropiat; c) racordarea cu salt înecat.
237
8.3.1. RACORDAREA BIEFURILOR LA CONSTRUCŢII CU LAMĂ ADERENTĂ
8.3.1.1. Racordarea la curgerea peste un deversor. Aspectul curgerii peste un deversor ¿i racordarea cu bieful aval sunt aråtate în figurile 8.20 ¿i 8.21.
Fig. 8.21. Racordarea aval la curgerea peste un deversor când în aval : crii >a) adâncimea contractată mai mică decât adâncimea aval ( avc hh < );
b) adâncimea contractată egală cu adâncimea aval ( avc hh = ).
La piciorul aval al unui deversor viteza apei este maximå, iar lama deversorului are o grosime minimå, numitå adâncime contractatå notatå cu .
Modul de racordare între nivelul din sec¡iunea contractatå ¿i nivelul din aval, , depinde de regimurile de mi¿care din sec¡iunea contractatå, respectiv din
bieful aval.
ch
avh
Considerând cå în sec¡iunea contractatå regimul de mi¿care este rapid, , iar în bieful aval regimul de mi¿care este lent, racordarea se face cu
salt hidraulic, a¿a cum se aratå în figura 8.20. Notând cu adâncimea
conjugatå adâncimii , pozi¡ia saltului se stabile¿te astfel:
crc hh <"ch
ch
- dacå , saltul este îndepårtat; avc hh >"
- dacå , saltul este apropiat; avc hh ="
- dacå , saltul este înecat. avc hh <"
La racordarea cu salt îndepårtat, între sec¡iunea contractatå ¿i sec¡iunea de
intrare în salt se formeazå o curbå de tip . 1c
În figura 8.21 se aratå racordarea cu un canal rapid. Când ¿i
racordarea se face cu o curbå de remu de tip . avcr hh >
avc hh < 2c
238
Adâncimea contractatå se determinå cu rela¡ia lui Bernoulli scriså între sec¡iunile 1 ¿i 2 (fig. 8.21,a):
gV
gV
hg
VHP cc
c 222
2220 ⋅ζ+
α+=
α++ ;
( )g
VhHP c
c 2
2
0 ⋅ζ+α=−+ ;
( )cc hHPgV −+⋅⋅ϕ= 2 . (8.29)
ºinând seama de expresia debitului specific:
cc hVq ⋅= , (8.30)
se ob¡ine:
( )cc
hHPg
qh
−+⋅⋅ϕ=
2. (8.31)
Rela¡ia (8.31) se rezolvå prin itera¡ia simplå, admi¡ând la început .
Valorile coeficientului de vitezå
0=ch
ϕ se iau din tabelul 8.5.
Tabelul 8.5
Valorile coeficientului de viteză ϕ pentru calculul adâncimii contractate
HP+ (m)
q (m3/s m)
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
1 1,00 0,75 0,57 0,47 0,40 0,35 0,32 0,29 0,28 0,28
4 1,00 0,87 0,72 0,59 0,51 0,46 0,42 0,39 0,37 0,35
7 1,00 0.90 0,80 0,70 0,62 0,55 0,51 0,47 0,47 0,41
10 1,00 0,92 0,85 0,78 0,72 0,65 0,60 0,54 0,52 0,47
20 1,00 0,94 0,90 0,85 0,80 0,75 0,69 0,63 0,60 0,57
30 1,00 0,96 0,93 0,90 0,86 0,82 0,77 0,73 0,68 0,64
60 1,00 0,98 0,95 0,93 0,91 0,88 0,85 0,83 0,79 0,74
90 1,00 0,99 0,97 0,96 0,94 0,92 0,90 0,88 0,86 0.84
8.3.1.2. Racordarea la curgerea pe sub o stavilå. Schematic, curgerea pe sub o stavilå planå este prezentatå în figura 8.22. La o distan¡å aproximativ egalå cu deschiderea stavilei, e, vâna de apå ce curge pe sub stavilå prezintå o contrac¡ie verticalå.
239
Fig. 8.22. Curgerea pe sub stavilă.
Adâncimea din aceastå sec¡iune, , numitå adâncime contractatå se
calculeazå cu rela¡ia (8.32), ch
ε fiind coeficientul de contrac¡ie verticalå:
ehc ⋅ε= . (8.32)
Scriind rela¡ia lui Bernoulli între o sec¡iune situatå în amonte de stavilå ¿i sec¡iunea contractatå, se ob¡ine formula vitezei:
( )cc hHgV −⋅⋅ϕ= 2 . (8.33)
Debitul specific rezultå din ecua¡ia de continuitate:
( )ccc hHgehVq −⋅⋅⋅ϕ⋅ε=⋅= 2 (8.34)
Fig. 8.23. Grafic pentru coeficientul de debit µ la curgerea pe sub stavilă.
sau:
( )chHgeq −⋅⋅⋅µ= 2 , (8.35)
în care µ este coeficientul de debit:
ε≅ϕ⋅ε=µ 97,0 . (8.36)
Valorile coeficientului de debit µ se iau din graficul prezentat în
figura 8.23. Formele de racordare la curgerea
pe sub stavilå sunt identice cu cele prezentate la curgerea peste deversor (§ 8.3.1.1.).
240
8.3.1. area de pantå. Orice modificare a pantei fun
az curba de remu se
a) b)
3. Racordarea la schimbdului albiei se resimte asupra regimului vitezelor ¿i are drept urmare
modificåri ale adâncimilor curentului de apå. Alura curbelor suprafe¡elor libere ¿i pozi¡ia acestora fa¡å de sec¡iunea de schimbare de pantå, depinde de regimul de mi¿care în cele douå biefuri. Se disting urmåtoarele cazuri:
a) Racordarea unui canal lent cu alt canal lent. În acest cformeazå numai în bieful amonte. Curba este de tip 1a când 21 ii > (fig.
24,a) ¿i de tip 1b când 21 ii < (fig. 24,b).
Fig. 8.24. Racordarea a două canale l a) cazul b) cazu
b) Racordarea de canal rapid cu canal rapid. Suprafa¡a liberå se modificå
a) b)
21 ii > ; l 21 ii < . ente:
numai în bieful aval. Se formeazå curbe de tip 2b sau 2c dupå cum 21 ii < sau
21 ii > (fig. 8.25).
Fig. 8.25. Racordarea a două canale rapide: a) cazul 21 ii < ; b) cazu
l 21 ii > .
241
c) Racordarea de canal lent cu canal rapid. Se formeazå curbe de remu pe am
cu nt
a) b)
bele canale (fig. 8.26,a). În amonte, pe canalul lent, se formeazå o curbå de tip
1b , iar în aval, pe canalul rapid, o curbå de tip 2b . Racordarea între cele douå
rbe se realizeazå în sec¡iunea de schimbare de pa å la nivelul adâncimii critice.
Fig. 8.26. Racordarea unui canal lent cu un canal rapid: a) cazul crii <1 ş ;
O situa¡ie particularå a acestui caz este aråtatå în figura 8.26,b, când canalul ava
a de la regimul de
.27,a);
ea de schimbare de pantå,
- h (fig. 8.27,c).
a) b) c)
i crii >2b) treaptă coborâtoare pe un canal lat.
l se prezintå sub formå de treaptå. ªi în acest caz curba 1b trece prin
adâncimea criticå, în sec¡iunea de schimbare de pantå.
d) Racordarea de canal rapid cu canal lent. Treceremi¿care rapid de pe canalul amonte, la regimul lent din aval, se face prin salt hidraulic (fig. 8.27). Pozi¡ia saltului poate fi:
- pe canalul aval, dacå 02"01 hh > (fig. 8
- pe canal aval ¿i se formeazå chiar din sec¡iun
dacå 02"01 hh = (fig. 8.27,b);
pe canalul amonte, dacå "01h < 02
Fig. 8.27. Racordarea unui canal rapid cu un canal lent.
242
Adâncimea e de pe
canalul amonte. i se stabile¿te în acelea¿i condi¡ii ca la racordarea în aval de un
bar
8.4. DISIPATORI DE ENERGIE
În avalul unei construc¡ii hidrotehnice care bareazå un curs de apå, regimul de
urentului în sec¡iunea a-a este
"h este adâncimea conjugatå adâncimii normal01 01h
Pozi¡ia saltuluaj deversor (§ 8.3.1.1.).
mi¿care este, în general, rapid. De exemplu, la un baraj deversor, la care racordarea cu bieful aval se face cu salt îndepårtat, existå o zonå în care energia cineticå a curentului este mult mai mare decât cea pe care o avea înainte de barare. A¿a cum se aratå în figura 8.28, aproape întreaga energie poten¡ialå a curentului din sec¡iunea a-a, se transformå în energie cineticå, datoritå cåderii provocate de deversor.
Energia specificå a c HP + , în sec¡iunea b-b
este g
Vh c
c 2
2α+ , iar în c-c,
gV
hav 2
2α+ .
În saltul hidraulic se produce o intenså disipare a energiei curentului. c-c: Excedentul de energie dintre sec¡iunea a-a ¿i
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎛ αV 2
⎜⎜⎝
+−+=∆g
hHPH av 2 poate avea consecin¡e grave:
Fig. 8.28. Disiparea energiei la un baraj cu lamă aderentă.
243
- erozi
- a folosin¡elor riverane;
prevåd måsuri pentru consolidarea alb
iile au urmåtoarele semnifica¡iile:
aramentul aval;
remu de tip
l
8.4.1. DISIPATOR CU BAZIN
Schema de calcul ¿i aspectul curgerii în cazul unui bazin disipator sunt
adâncim
uni locale neprevåzut de mari în vecinåtatea construc¡iei, care pot periclita stabilitatea acesteia; eroziunea malurilor ¿i afectare
- eroziunea generalå a albiei în aval, pe distan¡e mari.
Pentru evitarea acestor neajunsuri se iei sau construc¡ii speciale, numite disipatori de energie, menite så reducå
lungimea l (fig. 8.28), astfel ca saltul hidraulic så se dezvolte începând cu sec¡iunea contractatå.
În figura 8.28 nota¡
ch este adâncimea contractatå;
- pierderea de sarcinå pe prph
- pierderea de sarcinå de-a lungul curbei derch 1c ;
- pierderea de sarcinå în saltul hidraulic; rsh
- lungimea curbei de tip c . 1
aråtate în figura 8.29. Se urmåre¿te så se realizeze un salt apropiat, adicå
avc hh ≅" . Pentru aceasta se va executa la piciorul aval al barajului un bazin cu
ea d ¿i lungimea l. Calcularea adâncimii d ¿i a lungimii l se face parcurgând urmåtoarele etape de calcul:
Fig. 8.29. Disi n.
pator cu bazi
244
a) se calculeazå adâncimea contractatå cu formula (8.31), considerând într-o primå aproxima¡ie : 0=d
( )c
chPHg
qh
−+⋅⋅ϕ=
2;
b) se calculeazå adâncimea conjugatå , conform indica¡iilor de la
paragraful 7.4.2.
"ch
c) în vederea realizårii unui salt pu¡in înecat, se determinå adâncimea apei în
bazin: ; ( ) "10,105,1 chh ⋅= K
d) la trecerea peste pragul bazinului, nivelul apei suferå o cåderea , care
se ob¡ine din ecua¡ia de continuitate:
z∆
zghVAq av ∆⋅⋅ϕ⋅=⋅= 2 .
Cu se ob¡ine: 97,0≅ϕ
2
22
2054,0
2⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=
⋅⋅ϕ=∆
avav hq
gh
qz ; (8.37)
e) se calculeazå adâncimea bazinului cu o rela¡ie care rezultå, din condi¡ii geometrice (fig. 8.29): zhhd av ∆−−= .
Deoarece, în etapa a) e calcul, adâncimea s-a calculat neglijând
adâncimea bazinului, calculul se reia trecând prin toate etapele a) … e). La reluarea calculului, adâncimea contractatå se calculeazå cu rela¡ia:
ch
( )cc
hdPHg
qh
−++⋅⋅ϕ=
2.
Dacå noua valoare a adâncimii d diferå de cea ob¡inutå anterior, calculele se refac. Lungimea bazinului se calculeazå cu rela¡ia:
"58,0 csb hlL ⋅≅= , (8.38)
în care este lungimea saltului. sl
8.4.2. DISIPATOR CU PRAG
Dimensionarea unui astfel de disipator se poate face folosind mai multe metode. Se expune în continuare metoda debitului fictiv (Cioc, D., 1983). În figura 8.30 se aratå schema de calcul pentru disipatorul cu prag.
245
Fig. 8.30. Disipator cu prag.
Dimensionarea disipatorului cu prag constå în determinarea înål¡imii a pragului ¿i a lungimii a bazinului realizat cu ajutorul pragului.
'P
bL
Pragul se trateazå ca un deversor. Grosimea lamei care deverseazå peste prag
se noteazå cu 'H . Se calculeazå , ¿i la fel ca pentru disipatorul cu
bazin. În continuare calculul se desfå¿oarå astfel: ch "
ch h
- se dau diferite valori înål¡imii a pragului în limitele zero ¿i ; 'P h
- cu rela¡ia se calculeazå grosimea lamei '' PhH −= 'H pentru fiecare înål¡ime de prag;
- corespunzåtor fiecårei sarcini 'H din formula debitului, rezultå un debit
fictiv: ( ) 23'2 Hgmq f ⋅⋅= ;
- înål¡imea cåutatå a pragului este acea înål¡ime pentru care debitul fictiv este egal cu debitul de calcul q; se determinå prin interpolare sau grafic.
Fig. 8.31. Dimensionarea disipatorului cu prag.
În figura 8.31 este ilustrat procedeul grafic pentru determinarea înål¡imii pragului.
Curba ( )'Pfq f = se traseazå
u¿or folosind tabelul 8.6. Pentru lungimea bazinului
determinat de prag se folose¿te formula (8.38).
246
Tabelul 8.6
Cap de tabel pentru calculul curbei ( )'Pfq f =
'P (m)
'' PhH −= σ 0m σ⋅= 0mm ( ) 23'2 Hgmq f ⋅⋅=
8.4.3. DISIPATOR MIXT
Schema de calcul a disipatorului mixt este prezentatå în figura 8.32.
Fig. 8.32. Disipator mixt.
Dimensionarea constå în determinarea adâncimii d a
bazinului, a înål¡imii pragului ¿i a lungimii bazinului, .
'P
bL
Folosind metodologia de la paragraful 8.4.2. se alege adâncimea d a bazinului ¿i apoi se
determinå înål¡imea pragului . Pentru fiecare adâncime d aleaså se
ob¡ine o curbå
'P
( )'Pfq f = , a¿a cum
se aratå în figura 8.33.
Fig. 8.33. Grafic pentru dimensionarea disipatorului mixt.
247
Pentru debitul de calcul q rezultå mai multe solu¡ii: unei adâncimi d, micå, îi corespunde o înål¡ime de prag mare ¿i invers. Din punct de vedere hidraulic toate aceste solu¡ii sunt bune.
APLICAŢII PRIVIND HIDRAULICA CONSTRUCŢIILOR
Problema 8.1
Pe un canal cu sec¡iunea dreptunghiularå de lå¡ime 4 m urmeazå a se construi un deversor dreptunghiular cu perete sub¡ire (fig. 8.34). Canalul are panta ¿i rugozitatea 00007,0=i 013,0=n . Adâncimea normalå este
. m5,10 =h
Fig. 8.34. Deversor dreptunghiular cu perete subţire: a) secţiune în lungul curgerii;
b) deversor fără contracţie laterală; c) deversor cu contracţie laterală.
Înål¡imea deversorului este de 2,5 m. Se cere så se determine grosimea lamei care deverseazå pentru situa¡iile: a) lungimea deversorului este egalå cu lå¡imea canalului; b) lungimea deversorului este de 3 m. Rezolvare:
Pentru ambele variante, este necesarå cunoa¿terea debitului. Acesta se determinå cu formulele aferente mi¿cårii uniforme.
- aria sec¡iunii de curgere: ; 20 m65,14 =⋅=⋅= hBA
- perimetrul udat: m75,1242 =⋅+=+= hBP ;
- raza hidraulicå: m857,07
6===
PA
R ;
248
- coeficientul lui Chézy: 97,74857,0013,0
11 6161 =⋅=⋅= Rn
C ;
- debitul: /sm6,300007,0857,097,746 3=⋅⋅⋅=⋅= iRCAQ .
Înål¡imea deversorului fiind mai mare decât nivelul aval ( )m5,1m5,2 > ,
deversorul lucreazå neînecat. Grosimea H a lamei care deverseazå se determinå cu ajutorul formulei (8.1).
Deoarece coeficientul m depinde de H, problema se va rezolva grafic, construindu-se, pentru fiecare variantå cheia deversorului, ( )HfQ = .
În varianta A, lungimea deversorului fiind egalå cu lå¡imea canalului, nu se produce contrac¡ie lateralå. Ca urmare, pentru coeficientul de debit se folose¿te formula (8.7).
Lungimea deversorului în varianta B fiind mai micå decât lå¡imea canalului, are loc o contrac¡ie lateralå care se prinde în calcul cu formula (8.9).
Se dau diferite valori lui H ¿i corespunzåtor acestora se calculeazå debitul. Tabelul 8.7 se referå la varianta A, iar tabelul 8.8 la varianta B.
Tabelul 8.7
Valori pentru curba ( )HfQ = în varianta A. Deversor cu perete subţire fără contracţie laterală
H (m)
mm =0
formula (8.7) 23H
Q
( ) /sm3
0,5 0,416 0,353 2,602
0,8 0,421 0,715 5,333
1,0 0,423 1,000 7,494
Tabelul 8.8
Valori pentru curba ( )HfQ = în varianta B. Deversor cu perete subţire cu contracţie laterală
H mm =0 23H Q
( ) /sm3
0,5 0,403 0,353 1,890
0,8 0,404 0,715 3,838
1,0 0,405 1,000 5,381
249
Cheia deversorului (fig. 8.35), aratå varia¡ia debitului în func¡ie de grosimea
lamei care deverseazå. Pentru debitul rezultå: /sm60,3 3=Q
- în varianta A, ; m62,0=H - în varianta B, . m76,0=H
Fig. 8.35. Grafice ( )HfQ = la un deversor cu perete subţire.
Problema 8.2
Pentru un baraj amenajat pe albia unui râu (fig. 8.36), se cunosc urmåtoarele elemente:
- deversorul are profil practic cu 49,00 =m ;
- înål¡imea deversorului m18=P ;
- lama care deverseazå are grosimea m5,1=H ;
- câmpul deversant are trei deschideri a câte 10 m; - albia râului în aval de deversor este regularizatå, de formå
dreptunghiularå; - adâncimea normalå în aval este m8,1=avh .
Se cer:
a) calculul debitului care deverseazå; b) dimensionarea unui disipator tip bazin; c) dimensionarea unui disipator cu prag.
250
Fig. 8.36. Baraj deversor cu contracţii laterale.
Rezolvare:
a) Calculul debitului care deverseazå. Prezen¡a pilelor ¿i a culeelor fac ca deversorul så lucreze cu contrac¡ie lateralå. Coeficientul de contrac¡ie lateralå se calculeazå cu formula (8.14), în care se introduc:
ε
- coeficientul de rezisten¡å localå (fig. 8.10) 7,0=ζ ;
- numårul de contrac¡ii laterale 6=n ;
- lungimea deversorului : m30' == ∑bb
979,030
5,17,061,011,01 =⋅⋅⋅−=⋅ζ⋅⋅−=ε
bH
n .
Deoarece , deversorul func¡ioneazå neîncetat, adicå, coeficientul de
înecare . avhP >
1=σRrezultå coeficientul de debit:
479,01979,049,00 =⋅⋅=σ⋅ε⋅= mm ,
iar debitul care deverseazå este:
/sm1175,181,9230479,02 32323 =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= HgbmQ .
251
b) Dimensionarea disipatorului tip bazin se face dupå metodologia de calcul descriså la paragraful 8.4.1.
( )ms/m50,334
117 3 ⋅≅==BQ
q .
Din tabelul 8.5 se ob¡ine coeficientul de vitezå:
86,0=ϕ .
Cu formula (8.31) prin itera¡ii succesive se calculeazå adâncimea contractatå.
- prima aproxima¡ie:
( )( )
m208,00,05,11881,9286,0
50,31 =++⋅⋅⋅
=ch ;
- a doua aproxima¡ie:
( )( )
m206,0208,05,11881,9286,0
50,32 =++⋅⋅⋅
=ch ,
rezultå:
m20,0≅ch .
Pentru a stabili regimul de mi¿care în zona adâncimii contractate ¿i departe în aval de baraj, se calculeazå adâncimea criticå. Sec¡iunea fiind dreptunghiularå:
m10,181,92
50,31,1
2
23
2=
⋅⋅
=α
=gq
hcr .
Deoarece , regimul de mi¿care la piciorul aval al barajului este
rapid. În aval de baraj, unde , regimul de mi¿care este lent ¿i
racordarea se face prin salt hidraulic.
ccr hh >
crav hh >
Pentru stabilirea pozi¡iei saltului se calculeazå adâncimea conjugatå adâncimii contractate cu formula (7.70):
m43,312,081,9
50,381
2
2,03
2" =⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
⋅
⋅⋅⋅=ch .
252
Deoarece , saltul este îndepårtat (fig. 8.36) ¿i este necesar un
disipator de energie. avc hh >"
m77,343,31,11,1 " =⋅=⋅= chh .
Cu formula (8.37) se ob¡ine: m204,08,1
5,3054,0
2
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=∆ z , rezultând
adâncimea bazinului disipator m77,12,08,177,3 =−−=∆−−= zhhd av .
Conform rela¡iei (8.38), lungimea bazinului este: . m1743,355 " =⋅== hLb
În figura 8.37 este prezentat schematizat disipatorul cu bazin.
Fig. 8.37. Disipator cu bazin.
c) Dimensionarea disipatorului cu prag. Referitor la figura 8.38, calculul disipatorului cu prag se efectueazå dupå indica¡iile de la paragraful 8.4.2. Pragul se asimileazå cu un deversor cu profil dreptunghiular cu grosimea ,
pentru care coeficientul se calculeazå cu formula (8.13), iar coeficientul de
înecare se ia din figura 8.11. Calculele sunt centralizate în tabelul 8.9, pe
baza cåruia s-a trasat curba
m5,1=c
0m
σ
( )'Pfq f = din figura 8.39.
Fig. 8.38. Disipator cu prag.
253
Tabelul 8.9
Calculul disipatorului cu prag
'P (m)
'' PhH −=(m)
'' ZHnh −= σ 0m 0mm ⋅σ=
23' ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛H
( ) 23'2 Hgmq ⋅=
( ) /s3m
1,5 2,27 +0,30 0,997 0,439 0,437 3,420 6,621
2,0 1,77 -0,20 1 0,420 0,420 2,355 4,381
2,5 1,27 -0,70 1 0,399 0,399 1,431 2,529
3,0 0,77 -1,20 1 0,370 0,370 0,675 1,107
Fig. 8.39. Grafic pentru dimensionarea unui disipator cu prag.
Din graficul ( )'Pfq f = (fig. 8.39), rezultå înål¡imea necesarå a pragului,
. Lungimea bazinului format de prag rezultå din rela¡ia (8.38): m45,2' =P
m1743,355 " =⋅== hLb .
254
Problema 8.3
Så se stabileascå modul de racordare la curgerea pe sub o stavilå planå verticalå, cunoscând cå deschiderea stavilei m4,0=e , iar lå¡imea ei este
. Nivelul apei în amonte este m3=b m0,3=H . În aval, adâncimea normalå
este (fig. 8.40). m2,1=avh
Fig. 8.40. Curgerea pe sub o stavilă plană.
Pentru:
5,74,0
3==
eH
¿i 75,34,0
5,1==
ehav ,
din figura 8.23 rezultå un coeficient de debit 59,0=µ (curgere neînecatå).
Cu rela¡ia (8.36) se ob¡ine coeficientul de contrac¡ie:
61,097,0
59,0
97,0==
µ=ε ,
iar cu rela¡ia (8.32) adâncimea contractatå: m25,040,061,0 =⋅=⋅ε= ehc .
Debitul specific care trece pe sub stavilå se calculeazå cu rela¡ia (8.35):
( ) ( ) ( )ms/m73,125,0381,924,059,02 3 ⋅=−⋅⋅⋅⋅=−⋅⋅⋅µ= chHgeq .
Debitul total care rezultå este: . /sm19,5373,1 3=⋅=⋅= bqQSe calculeazå adâncimea criticå:
m69,081,9
73,11,132
32
=⋅
=α
=gq
hcr
255
¿i se stabilesc regimurile de mi¿care: - în zona adâncimii contractate deoarece regimul este rapid ; crc hh <- în zona aval, departe de stavilå, deoarece regimul este lent . crav hh >Rezultå cå racordarea la curgerea pe sub stavilå se face cu salt hidraulic. Pentru stabilirea pozi¡iei saltului se calculeazå adâncimea conjugatå
adâncimii contractate:
m44,1125,081,9
73,181
2
25,03
2" =⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
⋅
⋅+⋅=ch .
Deoarece , saltul este îndepårtat. Adâncimea la ie¿irea din salt nu
poate fi 1,44 m. Fizic, cea mai mare adâncime posibilå este avc hh >"
m2,1=avh , care
este ¿i adâncimea de ie¿ire din salt. Adâncimea de intrare în salt se calculeazå cu
formula (7.69) luând : avhh ="
m33,012,181,9
73,181
2
2,13
2' =
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
⋅
⋅+⋅=h .
Între sec¡iunea contractatå ¿i sec¡iunea de intrare în salt se formeazå o curbå de tip . 1c
256
9
MIŞCAREA APEI SUBTERANE În domeniul construc¡iilor hidrotehnice existå numeroase probleme practice
legate direct de mi¿carea apei subterane. Câteva dintre acestea sunt:
- captarea apelor subterane în scopul alimentårii cu apå a centrelor populate ¿i a zonelor industriale;
- coborârea nivelului suprafe¡ei libere a apei subterane pentru executarea la uscat a funda¡iilor construc¡iilor;
- drenarea apelor subterane de pe terenurile agricole, terenurile de sport, aerodromuri etc.;
- filtra¡ia apei prin baraje ¿i diguri de påmânt;
- filtra¡ia apei pe sub construc¡iile hidrotehnice.
La fenomenul de mi¿carea a apei subterane participå faza solidå – påmântul ¿i faza lichidå – apa.
9.1. PROPRIETĂŢILE FAZEI SOLIDE
• Curba granulometricå a unui påmânt se ob¡ine prin opera¡ii de cernere ¿i cântårire, rezultatul reprezentându-se pe o diagramå ca în figura 9.1.
Pe absciså sunt trecute diametrele, iar pe ordonatå procentul în greutate, al particulelor mai mici decât dimensiunea indicatå în absciså.
Cu cât curba granulometricå este mai apropiatå de o dreaptå paralelå cu ordonata, cu atât påmântul este mai uniform. Uniformitatea unui påmânt se apreciazå cu ajutorul coeficientului de uniformitate dat de rela¡ia:
10
60
d
dU = , (9.1)
în care este dimensiunea particulei solide care corespunde pe curba
granulometricå procentului 60%. Asemånåtor se define¿te . 60d
10d
• Porozitatea se define¿te prin raportul între volumul golurilor ¿i volumul total al probei de påmânt:
257
Diagrama compoziţiei granulometrice
Fig. 9.1. Curbă granulometrică.
9
t
g
W
Wn = . (9.2)
• Porozitatea efectivå este raportul între volumul de apå liberå ce poate fi eliberatå din spa¡iile dintre granulele solide sub ac¡iunea gravitå¡ii ¿i volumul total:
t
le W
Wn = . (9.3)
• Coeficientul de re¡inere este raportul între volumul de apå re¡inutå în pori ¿i volumul total:
t
rr W
Wn = . (9.4)
Deoarece , între porozitate, porozitate efectivå ¿i coeficientul
de re¡inere existå rela¡ia: grl WWW =+
re nnn += . (9.5)
Depozitele de apå subteranå poartå numele de acvifere. Un acvifer poate fi sub presiune sau cu nivel liber. Acviferul sub presiune ocupå tot spa¡iu dintre douå straturi impermeabile (fig. 9.2,a). La acviferul cu nivel liber stratul impermeabil se gåse¿te numai la baza acestuia (fig. 9.2,b).
Fig. 9.2. Acvifere: a) acvifer sub presiune; b) acvifer cu nivel liber.
259
9.2. FORME DE EXISTENŢĂ ŞI DE MIŞCARE A APEI SUBTERANE
• Forme de existen¡å a apei subterane. În påmânt apa poate exista sub urmåtoarele forme:
- apå legatå chimic; - apa legatå fizic (apå pelicularå), care formeazå un strat foarte sub¡ire în
jurul particulelor solide datoritå fenomenului de absorb¡ie; - apa liberå (gravita¡ionalå), care se poate deplasa liber sub ac¡iunea
for¡elor gravita¡ionale.
• Formele de mi¿care a apei subterane, aråtate în figura 9.3, sunt: - infiltra¡ia, care înseamnå påtrunderea apei în sol, la suprafa¡a acestuia; - percola¡ia, mi¿carea apei pe verticalå de sus în jos, în zona aeratå; - filtra¡ia, mi¿carea apei libere, în zona saturatå.
Fig. 9.3. Forme de mişcare a apei subterane.
9.3. LEGEA LUI DARCY
Rezolvarea tuturor problemelor de mi¿care a apei subterane se bazeazå pe legea lui Darcy, stabilitå pe cale experimentalå în 1852.
Pe o instala¡ie alcåtuitå dintr-o conductå, în sec¡iune de formå oarecare, în care se aflå o probå de påmânt prin care circulå un curent de apå în regim permanent, se måsoarå debitul Q. În acela¿i timp se måsoarå pierderea de sarcinå între
douå tuburi piezometrice situate la o distan¡å cunoscutå L. Pe baza acestor måsuråtori s-a constatat cå existå o rela¡ie liniarå între viteza medie a apei:
h∆
AQ
V = , (9.6)
260
¿i pierderea de sarcinå pe unitatea de lungime:
Lh
i∆
= , (9.7)
adicå: ikV ⋅= , (9.8)
în care k este un factor de propor¡ionalitate numit coeficient de permeabilitate sau conductivitate hidraulicå ¿i are dimensiunea vitezei (m/s sau cm/s sau m/zi etc.).
Pierderea de sarcinå unitarå i este cunoscutå ¿i sub denumirea de gradient hidraulic.
Rela¡ia (9.8) este cunoscutå ca legea lui Darcy. În rela¡iile (9.6) ¿i (9.8) viteza medie a apei este calculatå pentru întreaga
sec¡iune A a conductei. În realitate apa se mi¿cå numai prin interspa¡iile dintre granulele solide ale probei de påmânt. Rezultå, deci, cå în aplicarea legii lui Darcy se adoptå o schemå de studiu, înlocuindu-se viteza realå cu o vitezå
aparentå V, numitå vitezå de filtra¡ie. Între viteza realå ¿i viteza de filtra¡ie, a¿a cum se aratå în figura 9.5, existå rela¡ia:
rV
rVnV ⋅= .
Mi¿carea apei prin porii påmântului poate fi laminarå sau turbulentå. Legea lui Darcy, care aratå o dependen¡å liniarå între panta hidraulicå ¿i viteza de filtra¡ie, este valabilå numai pentru regimul laminar.
Stabilirea regimului de mi¿care se face cu ajutorul numårului Reynolds:
ν⋅
=dV
Re , (9.9)
în care: V este viteza de filtra¡ie;
d - dimensiunea granulei solide; - viscozitatea cinematicå a apei. ν
Fig. 9.4. Schema instalaţiei experimentale pentru legea Darcy.
261
a) b)
Fig. 9.5. Schemă de studiu pentru legea Darcy: a) situaţie reală; b) schemă de studiu.
În cazul nisipurilor ¿i pietri¿urilor, regimul laminar de mi¿carea se men¡ine atât timp cât numårul Re nu depå¿e¿te o anumitå valoare criticå:
( ) 52Re K=cr . (9.10)
Pentru mi¿carea este turbulentå, iar pierderea de sarcinå unitarå depinde de påtratul vitezei, adicå:
60Re >
ikV t ⋅= . (9.11)
Pentru 60Re2 << corespunzåtor regimului de tranzi¡ie, viteza de filtra¡ie variazå dupå legi mai complicate.
Coeficientul de permeabilitate k depinde de granulometrie, de gradul de îndesare ¿i de temperaturå. În tabelul 9.1 se dau câteva valori orientative ale coeficientului de permeabilitate.
Tabelul 9.1
Valori pentru coeficientul de permeabilitate k
Roca ( )cm/sk
Pietri¿ 1,0 …... 0,01
Nisip 0,01 ….. 0,001
Nisip argilos 10-3
….. 10-4
Argilå nisipoaså 10-4 ….. 10
-5
Argilå < 10-6
262
9.4. CALCULUL HIDRAULIC AL CAPTĂRILOR DE APĂ, ÎN CAZUL MIŞCĂRII PERMANENTE
Apa subteranå se capteazå cu ajutorul drenurilor sau al pu¡urilor.
• Drenurile sunt construc¡ii orizontale de captare, executate sub forma unor tran¿ee special amenajate. Se folosesc atunci când apa subteranå se gåse¿te la adâncime micå (fig.9.6).
Fig. 9.6. Schemă de amenajare a unui dren.
• Pu¡urile sunt construc¡ii verticale de captare, executate prin forare sau såpare. Pu¡urile forate au diametrul cuprins între m0,11,0 − , iar cele såpate de
la 1,0 m pânå la 3,0 m. În figura 9.7 se aratå schematic o sec¡iune printr-un pu¡. Captårile (drenurile ¿i pu¡urile) se clasificå astfel:
- dupå gradul de påtrundere în acvifer:
- perfecte, dacå ajung la stratul impermeabil;
- imperfecte, dacå stråbat numai o parte din acvifer.
- dupå starea acviferului:
- în acvifer sub presiune (fig. 9.8, 9.9 ¿i 9.12);
- în acvifer, cu nivel liber (fig. 9.10 - 9.11);
- în condi¡ii mixte de func¡ionare (fig. 9.13).
263
Fig. 9.7. Schemă de amenajare a unui puţ.
9.4.1. DREN PERFECT ÎN CURENT SUBTERAN SUB PRESIUNE Se considerå schema de calcul din figura 9.8 ¿i se admite cå stratul permeabil este omogen, izotop ¿i cu grosime constantå.
Dacå nu se extrage apå din dren, sub sarcina 21 HHH −= râul alimenteazå
malul, mi¿carea apei prin stratul permeabil de grosime a fiind numai dinspre râu cåtre mal, iar suprafa¡a piezometricå are panta . 0i
Dacå se extrage un anumit debit q, nivelul în dren scade, creindu-se denivelarea s. În acest caz, alimentarea drenului se face fie numai dinspre râu dacå , fie atât dinspre râu cât ¿i dinspre teraså dacå , iar
suprafa¡a piezometricå are douå pante ¿i . 20 Hh ≥ 20 Hh <
1i 2i
264
Fig. 9.8. Dren perfect în curent subteran sub presiune.
Rela¡ia de calcul pentru debit rezultå din ecua¡ia de continuitate ¿i din legea
lui Darcy:
21 qqq += (9.12)
sau:
21 ikaikaq += . (9.13)
Din figura 9.8 se ob¡in:
10
1
101 L
si
L
sLii +=
+⋅= ¿i: 0
22
202 i
Ls
L
Lisi −=
⋅−= .
Ultimile douå rela¡ii introduse în rela¡ia (9.13) conduc la:
21
21
LLLL
skaq⋅+
⋅⋅⋅= , (9.14)
în care ¿i sunt lungimile pânå la sursele de alimentare ale stratului, iar q
debitul pe unitatea de lungime de dren. 1L 2L
9.4.2. DREN PERFECT ÎN ACVIFER SUB PRESIUNE
Acest caz este aråtat schematizat în figura 9.9 ¿i reprezintå o situa¡ie particularå a drenului în curent subteran. La drenul în acvifer sub presiune existå:
LLL == 21 ; HHH == 21 ,
265
Fig. 9.9. Dren perfect în acvifer sub presiune. iar din rela¡ia (9.14) se ob¡ine:
Lska
q⋅⋅⋅
=2
. (9.15)
9.4.3. DREN PERFECT ÎN ACVIFER CU NIVEL LIBER
Schema unui astfel de dren este ilustratå în figura 9.10. Mi¿carea apei cåtre dren este neuniformå gradual variatå, vitezele fiind mai
mari în vecinåtatea drenului.
Fig. 9.10. Dren perfect acvifer cu nivel liber.
266
Pentru calculul debitului se admit ipotezele lui Dupuit:
- la denivelåri mici, liniile de curent se considerå orizontale, iar
suprafe¡ele de egal poten¡ial ( constant=ρ
+g
pz ) sunt verticale;
- distribu¡ia de vitezå pe verticalå este uniformå.
În plus, se considerå stratul impermeabil orizontal. Datoritå denivelårii 0hHs −= se creeazå un curent subteran care
alimenteazå drenul cu un debit care se calculeazå cu ecua¡ia de continuitate scriså într-o sec¡iune situatå la distan¡a x fa¡å de axul drenului:
Vhq ⋅= . (9.16)
ºinând seama de legea lui Darcy dxdh
kikV ⋅=⋅= , se ob¡ine ecua¡ia
diferen¡ialå:
dxdh
hkq ⋅= , (9.17)
care prin integrare conduce la:
Ch
kqx +⋅=2
2. (9.18)
Constanta C se determinå punând condi¡iile la limitå:
- pentru Lx = , rezultå Hh = ;
- pentru 2/bx = , rezultå 0hh = .
În final se ob¡ine:
( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅
−⋅=
22
20
2
bL
hHKq . (9.19)
Deoarece , rela¡ia (9.19) se poate scrie sub forma: Lb <<2/
( )L
hHKq
2
20
2 −⋅= . (9.20)
Rela¡ia pentru calculul cotelor suprafe¡ei libere se ob¡ine din rela¡ia (9.20), în care se considerå ¿i hH = xL = . Se ob¡ine:
267
xkq
hh ⋅+=22
0 . (9.21)
Calitativ, reprezentarea graficå a ecua¡iei (9.21) este aråtatå pe figura 9.10 cu linie întreruptå ¿i reprezintå o curbå teoreticå. Prin måsuråtori directe s-a constatat cå în realitate suprafa¡a liberå se gåse¿te undeva mai sus, curba trasatå cu linie continuå. Distan¡a maximå dintre cele douå curbe, notatå cu , se
realizeazå la peretele drenului ¿i poartå numele de înål¡ime de izvorâre. ih∆
9.4.4. PUŢ PERFECT ÎN ACVIFER CU NIVEL LIBER
Schema de calcul pentru un astfel de pu¡ este prezentatå în figura 9.11.
Admi¡ând ipotezele lui Dupuit ¿i mediul permeabil omogen, viteza de filtra¡ie la distan¡a r fa¡å de axa pu¡ului este:
drdh
kV ⋅= , (9.22)
iar debitul:
drdh
krhQ ⋅⋅π⋅= 2 . (9.23)
Fig. 9.11. Puţ perfect în acvifer cu nivel liber: a) secţiune verticală; b) determinarea grafică a debitului optim.
268
Integrând ecua¡ia diferen¡ialå (9.23) se ob¡ine:
ChkrQ +π= 2ln .
Punând condi¡iile la limitå:
- pentru , ; Rr = Hh =
- pentru , , 0rr = 0hh =
se eliminå constanta C ¿i rezultå formula debitului:
( )
0
20
2
lnrR
hHkQ
−⋅π= . (9.24)
Suprafa¡a liberå a apei subterane în mi¿care cåtre pu¡ are forma unei pâlnii. Curba suprafe¡ei libere se calculeazå cu rela¡ia:
0
20 ln
rr
kQ
hh ⋅π
+= . (9.25)
Atât la pu¡urile în acvifer cu nivel liber ca ¿i la drenurile în acvifer cu nivel liber apare o zonå de izvorâre de înål¡ime ih∆ . Prezen¡a zonei de izvorâre nu
afecteazå corectitudinea debitului. Pentru calculul înål¡imii de izvorâre I. A. Ciornîi ¿i V. M. ªestacov
recomandå formula:
0
21
20
0
51,0lg73,0 hhk
Q
r
k
Q
h i −
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⋅
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=∆ . (9.26)
Mårimea R din formula (9.24) poartå numele de razå de influen¡å ¿i este raza cercului concentric cu pu¡ul, pentru care Hh = . Raza de influen¡å se calculeazå cu formula empiricå propuså de Kusakin, unde k se exprimå în m/s, iar celelalte mårimi (H , R ¿i ) în metri: 0h
( ) [ ]sm,,575 0 HkhHR ⋅−⋅= . (9.27)
Practica a demonstrat cå exploatarea for¡atå a unui pu¡ prin extragerea unor debite mari, conduce la antrenarea materialului fin din acvifer ¿i colmatarea filtrului pu¡ului. De aceea, debitul extras din pu¡ trebuie limitat astfel încât
269
viteza apei subterane în vecinåtatea pu¡ului så nu depå¿eascå o anumitå valoare limitå, . Viteza admisibilå depinde de granulometria påmântului. admV
Condi¡ia de necolmatare a filtrului pu¡ului conduce la rela¡ia:
admVhrQ ⋅⋅π≤ 002 . (9.28)
Viteza admisibilå se calculeazå cu rela¡ia datå de Sichardt, unde k se exprimå în m/s, iar rezultå, de asemenea, în m/s. admV
[ ]sm,,15
kVadm = .
O exploatare ra¡ionalå a pu¡ului trebuie fåcutå în a¿a fel încât debitul extras så verifice simultan rela¡iile (9.24) ¿i (9.28). Valoarea acestui debit, , se
determinå grafic a¿a cum se aratå în figura 9.11,b. Punctul de intersec¡ie al parabolei (9.24) ) (reprezentatå în figurå cu linie plinå), cu dreapta (9.28) (figuratå cu linie întreruptå) are drept coordonate debitul optim ¿i denivelarea corespunzåtoare acestuia.
optimQ
9.4.5. PUŢ PERFECT ÎN ACVIFER SUB PRESIUNE
Pentru stabilirea rela¡iilor de calcul se considerå figura 9.12,a. Mi¿carea apei subterane se produce în stratul de grosime a ¿i are caracter de mi¿care planå. Prin extragerea debitului Q, suprafa¡a piezometricå capåtå forma unei pâlnii.
Considerând cå mediul permeabil este omogen ¿i izotrop, adicå , din ecua¡ia de continuitate scriså pentru suprafa¡a cilindricå de
razå r, se ob¡ine expresia debitului: constant=k
Fig. 9.12. Puţ perfect în acvifer sub presiune: a) secţiune verticală; b) determinarea grafică a debitului optim.
270
VarQ ⋅⋅⋅π⋅= 2 (9.29)
sau:
drdh
karQ ⋅⋅⋅⋅π⋅= 2 . (9.30)
Integrând ecua¡ia diferen¡ialå (9.30) ¿i punând condi¡iile la limitå, la fel ca pentru pu¡ul în acvifer cu nivel liber, se ajunge la rela¡ia de calcul:
( )
0
0
ln
2
rR
hHkaQ
−⋅⋅⋅π⋅= . (9.31)
Pentru a se evita colmatarea filtrului pu¡ului se pune condi¡ia:
admVarQ ⋅⋅π⋅≤ 02 , (9.32)
iar denivelarea s, corepunzåtoare valorii debitului dat de rela¡ia (9.32), se ob¡ine grafic, a¿a cum se aratå în figura 9.12,b.
Raza de influen¡å din (9.31) se calculeazå cu rela¡ia lui Sichardt, unde k se exprimå în m/s, iar celelalte mårimi (H, ¿i R) în metri: 0h
( ) [ ]sm,,3000 0 khHR ⋅−⋅= . (9.33)
9.4.6. PUŢ PERFECT ÎN CONDIŢII MIXTE DE FUNCŢIONARE
Dacå nivelul apei din pu¡ coboarå sub cota tavanului stratului impermeabil, , pu¡ul func¡ioneazå în condi¡ii mixte (fig. 9.13). În zona pu¡ul
lucreazå în acvifer cu nivel liber, iar în zona
ah <0 0Rr <RrR <<0 lucreazå în acvifer sub
presiune. Formula debitului pentru prima zonå este de tipul rela¡iei (9.24), iar pentru a
doua zonå de tipul rela¡iei (9.31), adicå:
( )0
20
2
lnrR
hakQ
−⋅⋅π= , (9.34)
respectiv: ( )
0ln
2
rR
aHakQ
−⋅⋅π⋅= . (9.35)
271
Fig. 9.13. Puţ în condiţii mixte de funcţionare.
Rela¡iile (9.34), (9.35) formeazå un sistem de douå ecua¡ii având ca
necunoscute pe Q ¿i . Eliminând pe se ob¡ine formula debitului unui pu¡
care func¡ioneazå în condi¡ii mixte: 0R 0R
( )0
20
2
ln
2
rR
haaHkQ
−−⋅⋅⋅π= . (9.36)
9.4.7. GRUP DE PUŢURI
În paragraful precedent au fost tratate aspecte privind pu¡urile izolate. În practicå, atât pentru captarea apei subterane, cât ¿i pentru coborârea nivelului apei subterane, sunt folosite grupuri de pu¡uri. De regulå, distan¡a dintre pu¡urile care alcåtuiesc grupul este mai micå decât raza de influen¡å a unui pu¡ izolat ¿i prin urmare ac¡iunea lor se interfereazå. De aceea, calculul hidraulic al grupului de pu¡uri se face prin metoda suprapunerii efectelor.
• Raza de influen¡å a grupului de pu¡uri. Raza de influen¡å a grupului de pu¡uri se calculeazå cu rela¡ia:
RRRg += 0 , (9.37)
în care este raza conturului de dispunere a pu¡urilor care se calculeazå în
func¡ie de configura¡ia acestuia (fig. 9.14). 0R
272
Fig. 9.14. Definirea razei de influenţă a grupului de puţuri: a) puţuri dispuse pe un contur
circular; b) puţuri dispuse pe laturile unui dreptunghi; c) puţuri dispuse pe vârfurile unui contur poligonal.
Dacå pu¡urile sunt dispuse pe conturul unui dreptunghi, se calculeazå cu
rela¡ia:
0R
40BL
R+
⋅η= .
Coeficientul se ob¡ine din tabelul 9.2. η
Tabelul 9.2
Valori pentru coeficientul η
LB
0,1 0,2 0,4 0,6 … 1,0
η 1 1,12 1,16 1,18
Dacå pu¡urile sunt dispuse în vârfurile unui poligon, se calculeazå cu
rela¡ia: 0R
nnrrrrR ⋅⋅⋅⋅= K3210 .
9.4.7.1. Grup de pu¡uri în acvifer sub presiune. Referitor la figura 9.15, ecua¡ia suprafe¡ei piezometrice este datå de rela¡ia:
∑=
⋅⋅⋅⋅π⋅
−=n
i i
gi r
RQ
kaHH
10 ln
2
1, (9.38)
în care:
0H este cota piezometricå a acviferului în absen¡a grupului de pu¡uri;
H - cota suprafe¡ei piezometrice într-un punct oarecare M;
iQ - debitul care se extrage din pu¡ul i , ( )ni ,,3,2,1 K= ;
273
Fig. 9.15. Grup de puţuri în acvifer sub presiune.
ir - distan¡a de la punctul M la pu¡ul i , ( )ni ,,3,2,1 K= ;
gR - raza de influen¡å a grupului de pu¡uri (rela¡ia (9.37)).
Solu¡ionarea rela¡iei (9.38) se poate face în func¡ie de datele problemei.
Cazul 1. Se cunosc adâncimile apei în fiecare pu¡, . Se cere så se
determine debitele care se extrag din fiecare pu¡. Sunt, deci,
necunoscute.
ih0
iQ ( ni ,,3,2,1 K= )n
Pentru solu¡ionare, se scriu ecua¡ii de forma: n
( oii
gn
ii hHk
r
RQ
a−⋅=⋅⋅
π∑=
01
ln2
1 ) , adicå:
( )0103
32
201
1 lnlnlnln2
1hHk
r
RQ
r
RQ
r
RQ
r
RQ
a n
gn
ggg −⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅++⋅+⋅+⋅⋅
πL ;
( )0203
302
21
1 lnlnlnln2
1hHk
r
RQ
r
RQ
r
RQ
r
RQ
a n
gn
ggg −⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅++⋅+⋅+⋅⋅
πL ;
M M
( )nn
gn
ggg hHkr
RQ
r
RQ
r
RQ
r
RQ
a 0003
32
21
1 lnlnlnln2
1−⋅=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅++⋅+⋅+⋅⋅
πL .
274
În aceste rela¡ii:
ir0 este raza geometricå a pu¡ului ; i
ir - distan¡a de la pu¡ul considerat, , la celelalte pu¡uri. i
Cazul 2. Se cunosc debitele extrase din fiecare pu¡. Se cere cota
piezometricå H într-un punct oarecare M. iQ
Problema se rezolvå direct cu rela¡ia (9.38). Dacå QQQQ n ==== L21 rela¡ia (9.38) devine:
( )∑=
−⋅=⋅π
n
i i
g HHkr
R
aQ
10ln
2
sau:
( )HHkrrr
R
aQ
n
ng −⋅=
⋅⋅
π 021
ln2 L
,
de unde:
n
ng
rrr
R
kaQ
HHL21
0 ln2 ⋅
⋅π
−= .
9.4.7.2. Grup de pu¡uri în acvifer cu nivel liber. Referitor la figura 9.16, cota suprafe¡ei libere a apei subterane (cota piezometricå) în cazul grupului de pu¡uri este descriså de rela¡ia:
Fig. 9.16. Grup de puţuri în acvifer cu nivel liber.
275
∑=
⋅⋅π
−=n
i i
gi r
RQ
kHh
1
20
2 ln1
. (9.39)
Problemele care apar la grupul de pu¡uri în acvifer cu nivel liber sunt similare cu cele descrise la paragraful 9.4.7.1 ¿i se rezolvå în acela¿i mod.
9.5. FILTRAŢIA PRIN MASIVE DE PĂMÂNT
Lucrårile hidrotehnice de tipul barajelor din påmânt executate în albia râurilor, digurile din påmânt realizate în lungul albiei pentru protejarea luncilor în timpul apelor mari ¿i batardourile din påmânt, constituie masive de påmânt. Datoritå sarcinii datå de diferen¡a între nivelul apei din amonte ¿i nivelul apei din aval, prin masivul de påmânt se produce un curent de apå care poate influen¡a stabilitatea masivului.
În figura 9.17 este prezentat un baraj de påmânt (sau dig) omogen ¿i izotrop. Forma barajului este trapezoidalå; are înål¡imea H, lå¡imea la bazå (ampriza) B, înclinarea taluzelor ¿i , iar nivelurile din amonte ¿i aval ¿i .
Barajul este amplasat pe un strat impermeabil. 1m 2m 1H 2H
În condi¡ii de mi¿care permanentå liniile de curent sunt normale pe taluzul amonte AE, apoi se curbeazå devenind aproape orizontale în zona centralå a masivului. La ie¿ire, pe por¡iunea HD a taluzului, liniile de curent sunt de asemenea normale pe taluz. Pe por¡iunea GH se formeazå o zonå de izvorâre. Linia suprafe¡ei libere EFG, care este o linie de curent, este tangentå în punctul G, la linia taluzului. Liniile de curent intermediare între G ¿i H fac cu taluzul un unghi variabil.
Fig. 9.17. Filtraţia prin baraj omogen de pământ.
276
Deasupra liniei suprafe¡ei libere existå o zonå de apå capilarå, înål¡imea ei crescând propor¡ional cu fine¡ea materialului.
La mi¿carea apei prin masivele de påmânt se urmåre¿te, în general, determinarea curbei suprafe¡ei libere ¿i a debitului de apå care trece prin masiv.
9.5.1. BARAJ OMOGEN ŞI IZOTROP, AMPLASAT PE PAT IMPERMEABIL ORIZONTAL, FĂRĂ APĂ ÎN AVAL
Se considerå cå mi¿carea este planå, cu caracteristici identice în plane
verticale perpendiculare pe axa longitudinalå a barajului. O metodå pentru calculul debitului este metoda taluzului vertical. Pentru
aceasta se înlocuie¿te masivul de formå trapezoidalå cu masivul
(fig. 9.18).
ABCD
CDBA ''
Lungimea echivalentå L∆ se calculeazå cu rela¡ia (9.40) ob¡inutå experimental:
113,03,0 HmLL am ⋅=⋅=∆ . (9.40)
Cu aceste modificåri debitul de apå care trece prin masiv se calculeazå cu formula debitului pentru dren (9.20), scriså astfel:
( )L
HHKq
2
22
21 −⋅
= . (9.41)
Dacå nivelul din aval este neglijabil, 02 =H :
LH
Kq2
21⋅= . (9.42)
Fig. 9.18. Metoda taluzului vertical.
277
Curba suprafe¡ei libere este o parabolå care, pentru 02 =H , intersecteazå
patul impermeabil la distan¡a fa¡å de punctul D, p fiind distan¡a focalå.
Ecua¡ia parabolei este:
2/p
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=
222 p
xpy . (9.43)
Punând condi¡ia ca parabola så treacå prin punctul , de coordonate cunoscute, se ob¡ine valoarea lui p.
'E
În figura 9.18 cu linie întreruptå este trasatå parabola (9.43) care reprezintå linia teoreticå a suprafe¡ei libere.
Pentru a ob¡ine suprafa¡a liberå realå se fac corec¡iile:
- în amonte, parabola se racordeazå perpendicular pe taluz în punctul E;
- în aval, curba suprafe¡ei libere se racordeazå tangent la taluz în punctul de izvorâre G.
Înål¡imea de izvorâre se determinå cu rela¡ia: ih
1Hmhi ⋅= , (9.44)
în care m este func¡ie de înclinarea taluzului β ¿i de raportul ; este
prezentat dat sub formå graficå în figura 9.19.
HL /
Fig. 9.19. Grafic pentru determinarea înălţimii de izvorâre.
278
Fenomenul de izvorâre de la piciorul taluzului aval are efecte negative asupra stabilitå¡ii taluzului. De aceea, în practicå se utilizeazå diferite solu¡ii a¿a cum se aratå în figura 9.20.
Fig. 9.20. Sisteme de protecţie a taluzului aval: a) prisma de anrocamente; b) dren tubular; c) banchetă drenantă;
d) saltea drenantă; e) ecran de etanşare; f) sâmbure (nucleu) de etanşare.
9.5.2. BARAJ DE PĂMÂNT CU NUCLEU DE ETANŞARE, PE PAT IMPERMEABIL
Dacå permeabilitatea nucleului îndepline¿te condi¡ia , problema barajului de påmânt cu nucleu de etan¿are se reduce la problema barajului omogen, astfel:
300/' kk <
279
- se admite pentru nucleul de etan¿are o grosime constantå egalå cu grosimea medie ( ) 2/21 lllm += ;
- se înlocuie¿te nucleul de etan¿are de grosime ¿i permeabilitate cu
un masiv cu permeabilitate k ¿i de grosime echivalentå , calculatå cu
rela¡ia:
ml'k
el
'k
kll me ⋅= ; (9.45)
- se ob¡ine barajul fictiv (fig. 9.21), care se calculeazå dupå schema barajului omogen.
CDBA ''
Deoarece debitele sunt mici înål¡imea de izvorâre poate fi neglijatå. Debitul se calculeazå cu formula (9.41) în care L este aråtat pe figurå.
Curba suprafe¡ei libere fictive, parabola se calculeazå cu formula deduså pentru dren:
GFE ''
xkq
Hh ⋅+=22
2 . (9.46)
Pentru a ob¡ine curba realå a suprafe¡ei libere, abscisele parabolei se
reduc în raportul .
GFE ''
kk /'
Fig. 9.21. Metoda taluzului vertical pentru baraj cu nucleu de etanşare.
280
9.6. MIŞCAREA APEI SUBTERANE PE SUB CONSTRUCŢII HIDROTEHNICE
meniului este mai neregulat ¿i cu cât caracteristicile ter
ehnice poate fi studiatå cu me
entru aceste probleme rela¡iile de calcul sunt com
aproximative: metoda fra
puså pentru prima datå de N.
ståvilar alcåtuit intr-o stavilå rezematå pe un radier prevåzut cu trei palplan¿e.
Problemele de filtra¡ie care apar în practica inginereascå sunt foarte variate , iar rezolvarea lor teoreticå prezintå serioase dificultå¡i. Ele sunt cu atât mai complexe cu cât conturul do
enului sunt mai diferite. Mi¿carea apei subterane pe sub construc¡iile hidrottode teoretice exacte sau cu metode aproximative. Metodele exacte se referå la cazuri simple, la care domeniul mi¿cårii are o
geometrie simplå. Chiar ¿i pplicate ¿i greu de utilizat.
Pentru necesitå¡i practice se folosesc metode gmentelor, metode numerice, metode analogice etc. În continuare se prezintå metoda fragmentelor, proN. Pavlovski ¿i apoi dezvoltatå de R. R. Ciugaev. Se considerå schema din figura 9.22, care reprezintå un
d
281
Fig. 9.22. Exemplu de aplicare a metodei fragmentelor.
Conturul subteran al acestei construc¡ii este dat de linia frântå 1-2-3-4-5-6-7-8-9, care reprezintå o linie de curent.
În cazul mi¿cårii apei pe sub construc¡iile hidroståvilar) se urmåre¿te så se determine debitul de apå care trece pe sub acestea ¿i
tåunda¡ie, se calculeazå
gradientul hidraulic maxim. Domeniul permeabil în care are loc mi¿carea
funda¡ia construc¡iei ¿i stratul impermeabil, are o grosime variabilå, ceea ce face
rul fiecårui fragment coeficientul de rezisten¡å hidraulicå este considerat constant.
Împår¡irea în fragmente se face cu ajutorul , care au proprietatea de a f
iniile echipoten¡iale se vor trasa perpendicular atât pe linia 1 … 9 a conturului subteran a funda¡iei, cât ¿i pe linia N
Liniile echipoten¡iale se traseazå pornind din vârfurile conturului subteran – în figura 9.22 punctele 3, 4, 6, 7 – unde au direc¡ia bisectoarei unghiului.
tehnice (în cazul de fa¡å un
distribu¡ia presiunilor pe radierul construc¡iei. Pentru a verifica dacå exis pericolul antrenårii materialului fin din terenul de f
apei subterane, cuprins între
ca rezisten¡a hidraulicå la mi¿carea apei pe sub radier så fie variabilå. De aceea, domeniul permeabil se împarte în fragmente. În cad
liniilor de egal poten¡ial i perpendiculare pe liniile de ( )constant/ =ρ+ gpz
curent. L
- N a stratului impermeabil.
282
În cazul acestei metode, exactitatea trasårii liniilor de egal poten¡ial nu are prea mare importan¡å.
Fragmentele ob¡inute – pentru exemplul dacu cifre încercuite. Pierderea de sarcinå pe fiecare fragment este datå de rela¡ia:
t, în numår de cinci – sunt notate
nik
h ii K3,2,1; =⋅ζ= , (9.47)
în care q reprezintå debitul de apå specific, filtrat pe sub construc¡ie, iar i
q
ζ
este coeficientul de rezisten¡å propriu fiecårui fragment. Deoarece:
nqqqq L=== 21 , (9.48)
cinå la trecerea apei pe sub radier va fi egalå cu suma piepierderea de sar rderilor de
iihHHH
121 (9.49)
sau:
sarcinå pentru fiecare fragment ¿i egalå cu sarcina H:
n
∑=
=−=
∑=ζ⋅=
n
iik
qH
1, (9.50)
rezultând pentru debit rela¡ia:
∑ζ=
n
=
Hkq .
ei din amonte pierderea de sarcinå, a¿a cum se aratå în figura 9.22.
Diagrama de presiune este limitatå de linia piezometricå
4 turul subteran al construc¡iei ¿i verticalele
¿i . În figura 9.22 diagrama este ha¿uratå cu linii verticale. Gradientul maxim se realizeazå la ie¿irea în bieful aval, în imediata
vecinåtate a radierului (punctul 9 din fig. 9.22) ¿i se ca
(9.51)
ii
1
Cu debitul calculat, din rela¡iile (9.47) se ob¡in pierderile de sarcinå pentru fiecare fragment. Acestea se considerå uniform distribuite pe lungimea conturului de radier aferent fragmentului. Linia piezometricå se ob¡ine raportând fa¡å de nivelul ap
'''''' 97631 −−−−− , de con
33' − 77' −
lculeazå cu rela¡ia:
283
284
⎥⎦
⎤⎟⎟⎠
⎞−+ −
n
n
n TT
TS 11
, (9.52)
cu
în care nT ¿i 1−nT sunt grosimile stratelor permeabile în fragmente n, respectiv
1−n , iar S este adâncimea de påtrundere a palplan¿ei sub radier în ultimul fragment.
Coeficientul de siguran¡å la antrenarea hidrodinamicå pe verticalå se define¿te ca fiind raportul:
maxii
C cr= , (9.54)
în care cri este gradientul critic:
( ) ϕ⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
−γγ
⋅−= sin11 scr ni ,
itatea påmântului;
⎢⎣
⎜⎜⎝⋅⋅
2sin
⎡ ⎛π⋅ nTkmax ⋅=q
i1
respectarea condi¡iei:
4,17,0 1 <≤ −
n
nT
T, (9.53)
⎠⎝
unde: n este poroz
(9.55)
sγ - greutatea specificå a påmântului;
γ - greutatea specificå a ap ;
.
ei
ϕ
- unghiul taluzului natural.
Pentru siguran¡å trebuie reÎn tabelul 9.3 se dau valorile coeficien¡ilor de rezisten¡å pentru câteva tipuri
de fragmente frecvent întâlnite în practicå, ob¡inute de R. R. Ciugaev pe baza rezultatelor teoretice ale lui S. N. Numerov (Certousov, M.D., 1966).
Când grosimea stratului permeabil este mare, la limitå ∞=T , la ul de filtra¡ie pe sub construc¡ie numai o parte din strat. Adâncimea stratului permeabil de sub radierul cons a apei poartå numele de adâ
spectå condi¡ia >C 1
fenomen participå
truc¡iei prin care se produce mi¿carencime activå, se noteazå cu aT ¿i se calculeazå cu
rela¡iile:
5/pentru5,0 000 ≥⋅= SLLTa ; (9.56)
285
55,2 00 /4,3 0pentru <≤⋅= SSTa ; (9.57)
4,3pentru8,05,0 000
L
1 /0 <≤⋅+⋅= SSL ; (9.58)
1pentru3,0 000
L
/0
Ta
<+⋅= SSLTa , (9.59)
în care 0L este lungimea proiec¡iei orizo conturului subteran, iar 0S
lungimea proiec¡iei verticale a conturului subteran inclusiv cea mai adâncå palplan¿å (fig 2).
LICAŢII PRIVIND MIŞCAREA APEI SUBTERANE
Problema 9.1
23 reprezintå o sec¡iune transversalå printr-un dren perfect de lungime mare situat între douå rânduri. Mi¿carea apei subterane este sub presiune ¿i are loc în stratul permeabil care are grosimea constantå m5,3 ¿i
coeficientul d m/zi80
L
ntale a
. 9.2
AP
Figura 9.
e permeabilitate
=a=k . A¿a cum se ara figura 9.23, se
mai cunosc: m0,145=A , m5,143
tå în
Z =BZ , m1801 =L , m2302 =L . Se cere
så se determine: iteza de filtra¡ie a apei prin stratul permeabil ¿i debitul, considerând cå
din dren se e trage un debit 0a) v
x =q .
poate extrage din dren, astfe ca drenul så fie alimentat numai din râul A.
b) debitul maxim care se l
285
Coeficientul de rezistenţă
Tabelul 9.3
ζ la metoda fragme
Coeficientul de rezisten¡å
ntelor
Tipul fragmentului
Caracteristica fragmentului
Schema Expresia de calcul Nr. formulå Limita de valabilita te
R elul i
adier la nivterenulu
441,0=ζ (9.60) 21 TT =
Radier îngropat
1
2144,0T
TT −+=ζ
(9.61) 15,01
2 ≤≤T
T Fragment de
intrare, ie¿ire
R at ¿i
pζ+=ζ 44,0 (9.62)
pζ este
adier îngroppalplan¿å
coeficientul de
rezisten¡å al fragmentului interior cu palplan¿e, formulele (9.64) ¿i (9.65)
1
21T
TT −=ζ
Fragment interior vertical
Radier cu pinten (9.63)
286
Tabelul 9.3 (continuare)
oeficientul de rezisten¡å
( )212
1SSL +⋅≥
CTipul fragmentului
Schemx d c Nr. formulå Limita de valabilitate
Caractfragm
eristica entului
a E presia e cal ul
275
2T
S
⋅
⋅
,0
5,
T
Sζ (9.64)
1
0
+2T
S+5,1 ⋅+
1
21T
TTp
−=
0,11
25,0 ≤≤TT
8,02
0 ≤≤TS
Fragment interior vertical
er en an
Radipintpalpl
cu ¿i ¿e
2,2+8122⎟⎟⎠
⎞⋅+
T (9.65) ,0−
2⎜⎜⎝
⎛TS
1
1 −=ζT
Tp
11
25,0 ≤≤TT
96,02
8,0 ≤≤TS
( )T
S2
1 + SL2 −= (9.66) 2 ζ
Radipalpl
er an
cu ¿e
0=ζ (9.67) ( )212
1SSL +⋅<
Fragment interior, orizontal
dierin
T
L =ζ (9.68)
Formula (9.68) rezultå din rela¡ia (9.66) pentru
uu Ra
cont 021 == SS
Fig. 9.23. Dren în curent subteran sub presiune. Exemplu de calcul.
apei în dren este 143,0 m.
Pantele hidraulice ale celor douå râuri sunt aproximativ egale.
ezolvare:
a) Considera¡ia este similarå inexisten¡ei drenului. Deoarece nivelul
apei în râul A este superior celui din râul B, înseamnå cå râul A alimenteazå râul B. ela¡ia (9.8):
c) debitul captat când cota
R
0=q
Viteza de filtra¡ie se ob¡ine cu r
m29,05,143145
800 =−
⋅= /zi23018021 ++
−=⋅=
ZZikV BA
LL.
Debitul specific de apå care trece prin stratul permeabil dinspre râul A cåtre râul B rezultå:
( ) ( )mzi/m015,129,015,31 3 ⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅= VaVAq .
Linia piezometricå este trasatå pe figura 9.23 cu linie-punct.
b) Pentru ca drenul så fie alimentat numai din râul A, cota apei în dren trebuie så fie egalå cu cota apei din râul B adicå, linia piezometricå între dren ¿i râul B så fie o orizontalå. Linia piezometricå pentru aceastå situa¡ie este figuratå cu linie întreruptå.
Drenul lucrând sub presiune, pentru aflarea debitului se folose¿te formula (9.13) scriså astfel:
11 L
akiakqZZ BA −
⋅=⋅= ;
287
( )mzi/m33,200833,0805,318
805,3 ⋅⋅=q0
5,143145 3 ⋅=⋅⋅=−
.
ren se gåse¿te la cota 143 m, drenul este alimentat
din u formu (9.14):
c) Când nivelul apei în d
21
21
LLLL
aksq+
⋅= . ambele pår¡i. Debitul se ob¡ine c la
Cu nota¡iile de pe figura 9.23, se calculeazå denivelarea s:
DBA ZZ
ADA ZLLL
ZZLiZs −⋅+−
−=−−= 121
10 ;
m34,111805,1435
−⋅−
43230180
14145 =
+−=s ,
iar debitul care rezultå este:
( )mzi/m716,3230180⋅230180
34,1805,3 3 ⋅=+
⋅⋅⋅=q .
Problema 9.2
l Un pu¡ perfect cu diametru mm600=d
d grosimea de 15 m
(fig. 9.24), este executat într-un
acvifer cu nivel liber avân ¿i coeficientul de per. Viteza admisibilå de intrare a apei în pu¡ este
meabilitate m/s002,0=k mm/s5,2=admV .
Fig. 9.24. Puţ în acvifer cu nivel liber. Exe e calcul. mplu d
288
Se cere så se determine: a) debitul optim ce se poate extrage din pu¡: b) înål¡imea de izvorâre; c) cota piezometricå la distan¡a m50=r .
Rezolvare:
a) Debitul optim extras din pu¡ este debitul care satisface simultan rela¡iile (9.24) ¿i (9.29):
( )0
20
2
lnrR
hHKQ
−⋅π= , respectiv: admVhrQ ⋅⋅⋅π≤ 002 .
Determinarea debitului se face grafic, dând diferite valori adâncimii apei din pu¡,
Pentru raza de influen¡å R se folose¿te rela¡ia (9.27): 0h .
( ) [ ]sHkhHR m,,575 0 ⋅−⋅= ,
unde k se exprimå în m/s, iar celelalte mårimi (H, ¿i R) în metri. Calculele
sunt centralizate în tabelul 9.4. Tabelul 9.4
Debitul optim la un puţ în acvifer cu nivel liber
(m) (m)
0h
0 0hH − 20
2 hH −h ( )2
0ln
rR
Q
( /sm3 ) (9.27) (9.28)
Q
( /sm3 ) 02 hHk −⋅π
R (m)
15 0,0 0,0 0,00 0,00 −∞ 0,0 0,070
14 1,0 29,0 0,182 99,59 5,8 0,0314 0,066
13 2,0 56,0 0,351 199,20 6,5 0,0540 0,061
12 3,0 81,0 0,508 298,80 6,9 0,0736 0,056
1 0,0901 4,0 104,0 0,653 398,37 7,2 7 0,052
Din graficul prezentat în figura 9.25 ¿i construit pe baza datelor din tabelul
9.4 se ob¡in:
; /sm0595,0 3=optimQ m30,2=optims ; m70,120 =h .
289
Fig. 9.25. Determinarea debitului optim la un puţ în acvifer cu nivel liber. b) Înål¡imea de izvorâre se calculeazå cu rela¡ia (9.26):
0
21
20
051,0lg73,0 hh
kQ
rkQ
hi −
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⋅⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−⋅=∆ .
Utilizând datele ob¡inute la punctul a) rezultå:
m47,070,1270,12002,0
0595,051,0
3,0
002,0
0595,0
lg73,0
21
2 =−
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⋅
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−⋅=∆ ih .
m0,50=rc) Cota piezometricå în punctul M situat la distan¡a se calculeazå
cu rela¡ia (9.25):
0
20 ln
rr
kQ
hh ⋅π
+= .
290
m48,1430,0
50ln
002,014,3
0595,070,1=MhRezultå: 2 2 =⋅
⋅+ .
ometricå, î unt
prezentate în figura 9.24.
Linia piez nål¡imea de izvorâre ¿i cota piezometricå Mh s
Problema 9.3 Så se calculeze debitul care trece pe sub barajul din figura 9.26 ¿i så se
traseze diagrama presiunilor pe conturul subteran al acestuia. Se cunosc: =1H 25 m; =2H 3 m; =k 0,001 m/s; =1T 30 m; 26 m; =2T
=L 45 m. = 0 m; 3T 3
Rezolvare:
Se stabile¿te adâncimea zonei active prin care se produce mi¿carea apei pe sub baraj. Din figura 9.26 ontale ¿i verticale ale conturului subteran:
rezultå lungimile proiec¡iilor oriz= 45 m; =0 . S 19 m0L
Fig. 9.26 Exemplu de aplicare a metodei fragmentelor.
291
36,219
45
0
0 ==S
L. Rezultå raportul:
4,310
0<L
<S
, adâncimea activå se calculeazå cu rela¡ia (9.58): Deoarece
m7,37198,0455,08,05,0 00 =⋅+⋅=⋅+⋅= SLTa .
Întrucât , la fenomenul de filtra¡ie participå tot stratul permeabil de
sub radier. Domeniul de filtra¡ie se împarte, a¿a cum se aratå în figura 9.26,
ob¡inându-se: - un fragment de intrare cu radier îngropat ¿i palplan¿å; - un fragment interior orizontal cu palplan¿e; - un fragment de ie¿ire cu radier îngropat ¿i palplan¿å.
Se determinå coeficien¡ii de rezisten¡å
1TTa >
iζ .
Fragmentul 1:
30 m; =1T =2T 26 m; =S 15 m;
86,030
262T
1==
T;
57,026
15
2==
TS
.
Deoarece 0,1/5,0 12 << TT ¿i 8,0/0 2 << TS , se folosesc formulele (9.62)
¿i (9.64) din tabelul 9.3:
506,1
26
1575,01
26
155,0
26
155,1
30
2630=
⋅−
⋅+⋅+
−=ζ p ;
946,1506,144,044,01 =+=ζ+=ζ p .
Fragmentul 2:
=2T 26 m; =1S 15 m; =2S 4 m.
Se aplicå formula (9.66) pentru care este îndeplinitå condi¡ia ( )212/1 SS +⋅> , adicå ( )4152/145 +⋅> : L
292
293
( ) ( )365,1
262
415452
2
2
2
212 =
⋅+−⋅
=+−
=ζT
SSL.
Fragmentul 3:
=2T 26 m; =3T 30 m; =S 4 m.
Se utilizeazå formulele (9.62) ¿i (9.64), pentru care sunt respectate condi¡iile:
0,15,0;86,030
26
3
2
3
2 <<==TT
TT
;
8,00;15,026
4
22<<==
TS
TS
;
45,0
26
475,01
26
45,0
26
45,1
30
2630=
⋅−
⋅+⋅+
−=ζ p ;
89,045,044,03 =+=ζ .
Debitul care trece pe sub radier se ob¡ine cu rela¡ia (9.51):
( ) ( )msm00524,089,0365,1946,1
325001,0 33
1
⋅=++−⋅
=ζ
=
∑=
/Hk
q
ii
.
Pentru trasarea diagramei de presiune pe radier, se calculeazå pierderile de sarcinå pe fiecare fragment, folosind rela¡ia (9.47):
m19,10001,0
00524,0946,111 =⋅=⋅ζ=
k
qh ;
m15,7001,0
00524,0365,122 =⋅=⋅ζ=
k
qh ;
m66,4001,0
00524,089,033 =⋅=⋅ζ=
k
qh .
Raportând aceste pierderi de sarcinå la nivelul apei din amonte se ob¡ine linia piezometricå, respectiv diagrama de presiune pe radier.
Presiunea într-un punct oarecare M, situat pe radier, este datå de înål¡imea
Mh , måsuratå între punctul M ¿i linia piezometricå, înmul¡itå cu γ (fig. 9.26).
ANEXA 4.1
Diagrama Moody. Coeficientul lui Darcy ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=λ
Dk
f D,Re
ANEXA 4.2
Coeficienţii de rugozitate n (după C. Mateescu)
Se ia în proiecte
n 1/n Nr. crt. Natura pereţilor conductei sau canalului
n variază de fapt de la ... la ... ± 5% ± 5%
1 Sticlă, bronz, suprafeţe lăcuite, emailate Azbociment, ciment centrifugat în serviciu
0,007 - 0,009 0,009 - 0,013
0,008 0,011
125 90
Lemn
2
Geluit, dulapii în lung, încheiaţi îngrijit Geluit, dulapii aşezaţi transversal îngrijit Negeluit, dulapii în lung Negeluiţ, dulapii transversali Se adaugă la n: Când 50% din curbe sunt line Când mai toate curbele sunt accentuate
0,009 - 0,013
0,012 - 0,018
0,012 0,014 0,015 0,017
0,001 0,002
83,3 71,5 66,7 58,8
Fier, fontă, oţel
3
Fontă curată nouă Fontă încrustată sau tuberculizată Tablă de oţel, sudată în stare bună, bitumată îngrijit Tablă bună, bitumată, în serviciu Idem, sudată în lung şi nituită transversal Idem, nituită în lung şi transversal până la o grosime de 10 mm Idem, peste 10 mm Idem cu triplă nituire, grosime mai mare de 15 mm Idem, grosime mai mică de 15 mm Idem, cu nituire puternică, în stare proastă Idem, ondulată transversal
0,010 - 0,015 0,015 - 0,035
0,075 - 0,012
0,012 - 0,017
0,012
0,001 0,012 0,014
0,015 0,016
0,017 0,018 0,019 0,022
83,3
90,8 83,3 71,5
66,7 62,5
58,8 55,7 52,7 45,5
Beton de ciment a) Beton netencuit
Cofraje metalice 0,013 76,8 Cofraje de scânduri geluite, bine încheiate, bine compactat
0,014
71,5
Cofraje brute, rosturi neglijent executate 0,016 62,5
4
Cofraje, scânduri negeluite cu rosturi brute, execuţie bună
0,015
66,7
296
ANEXA 4.2 (continuare) Se ia în proiecte
n 1/n Nr. crt. Natura pereţilor conductei sau canalului
n variază de fapt de la ... la ... ± 5% ± 5%
4
b) Beton tencuit
Ciment sclivisit, executat foarte îngrijit
Idem, executat îngrijit, rosturile de dilataţie tencuite, curbe puţine cu raze mari
c) Pereuri de beton spoit cu lapte de ciment, rosturi la 5 - 7 m distanţă
d) Beton torcretat
Suprafaţa frecată cu perii de oţel Suprafaţa lăsată neprelucrată
e) Beton vechi, alterat
f) Beton executat îngrijit, pe care s-a prins pielea de canal
0,011
0,012
0,014
0,018 0,019
0,020
0,013
90,8
83,3
71,5
55,7 52,7
50,0
76,8
Beton de asfalt şi mortar de asfalt
5 a) Executat turnat şi netezit b) Executat prin penetraţie
0,014
0,020
71,5
50,0
Cărămidă, piatră ceramică
6
Piatră de talie bine executată şi rostuită Cărămidă, idem, idem Piatră brută rostuită, după calitatea lucrării Bolovani de râu cu mortar Zidărie de gabioane Anrocamente Pereu de pietriş cu grăunţe de 10 mm Pereu de pietriş cu grăunţe de 50 mm Olane de argilă arsă Jgheaburi ale torenţilor, din piatră şi mortarde ciment Conducte de canalizare, vitrificate
0,017 - 0,020 0,017 - 0,020 0,017 - 0,020
0,011 - 0,017
0,010 0,017
0,013
0,018 0,022 0,027 0,030 0,020 0,025 0,013
0,028 0,014
76,8
55,7 45,5 37,1 33,3 50,0 40,6 76,8
35,7 71,5
7 Stâncă a) Stâncă necăptuşită
Canale şi galerii executate curat, dimensiuni mari, stratificaţie orizontală
0,020 - 0,025
0,022
45,5
Idem, execuţie mijlocie, toate colţurile fiind îndepărtate Idem, suprafeţe neregulate, colţuroase
0,025 - 0,035 0,038 - 0,047
0,033 0,040
30,0 25,0
297
ANEXA 4.2 (continuare) Se ia în proiecte
n 1/n Nr. crt. Natura pereţilor conductei sau canalului
n variază de fapt de la ... la ... ± 5% ± 5%
b) Stâncă în parte căptuşită
Prin torcretare sau tencuire, fără construirea radierului inferior (tunele fără presiune) Idem, însă cu construirea radierului şi tencuire parţială a pereţilor
0,022 - 0,030
0,019 - 0,027
0,025
0,023
40,0
43,5
Pământ, prundiş
Canale de loess sau de pietriş ori de pământ îndesat, acoperit cu un strat subţire de argilă sau nămol fin, suprafeţe foarte regulate, raze de curbură mari
0,016 - 0,018
0,017
58,8
8
Canale mari şi mijlocii în condiţii bune de exploatare, suprafeţele acoperite cu argilă sau pietriş mâlit Canale cu prundiş mijlociu Canale de lut cu mici rădăcini ieşind din pământ Canale cu maluri înverzite şi pe alocuri cu taluzurile stricate Canale cu profil neregulat cu vegetaţie bogată Canale de drenaj
0,020 - 0,024
0,030 - 0,038
0,022 0,025
0,027
0,030
0,035 0,025
45,5 40,0
37,1
33,3
28,6 28,6
Pâraie şi râuri, când stratul de prundiş este fix
9
a) Pietriş fin cu nisip mult
b) Pietriş 10 - 30 mm
c) Pietriş 20 -60 mm
d) Pietriş 50 - 150 mm
e) Râuri de munte cu bolovani
f) Râuri alpine şi carpatine cu albii foarte neregulate
0,030 - 0,035
0,030 - 0,100
0,020
0,022
0,025
0,030
50,0
45,5
40,0
33,3
33,3-28,0
33,0-10,0
298
ANEXA 4.3
Coeficientul 611R
nC ⋅= din formula Manning
=n 0,009 0,010 0,011 0,012 0,013 0,014 0,015 0,017 0,018 0,020 0,0225 0,025 0,0275 0,030 0,035 0,040
R (m) =
n1 111,1 100, 90,9 83,3 76,9 71,4 66,7 58,8 55,6 50,0 41,4 40,0 36,4 33,3 28,6 25,0
0,01 56,6 46,4 42,2 38,7 35,7 33,1 30,9 27,3 25,8 23,2 20,6 18,6 16,9 15,5 13,3 11,60,02 57,9 52,1 47,4 43,4 40,1 37,2 34,8 30,6 29,0 26,0 23,1 20,8 19,0 17,4 14,9 13,00,03 61,9 55,7 50,6 46,4 42,8 39,8 37,2 32,8 31,0 27,9 24,7 22,3 20,3 18,5 15,9 13,90,04 65,0 58,5 53,2 48,7 45,0 41,8 39,0 34,4 32,5 29,3 26,0 23,4 21,3 19,5 16,7 14,60,05 67,4 60,7 55,2 50,6 46,7 43,3 40,5 35,7 33,7 30,4 27,0 24,3 22,1 20,2 17,4 15,20,06 69,5 62,6 56,9 52,1 48,1 44,7 41,8 36,8 34,8 31,3 27,8 25,0 22,8 20,8 17,9 15,70,07 71,3 64,2 58,4 53,5 49,4 45,8 42,8 37,7 35,7 32,1 28,5 25,7 23,4 21,4 18,4 16,00,08 72,9 65,6 59,6 54,6 50,4 46,8 43,8 38,6 36,5 32,8 29,1 26,2 23,9 21,8 18,8 16,40,09 74,3 66,9 60,8 55,7 51,4 47,8 44,6 39,3 37,2 33,5 29,7 26,8 24,4 22,3 19,1 16,70,10 75,7 68,1 61,9 56,7 52,4 48,6 45,4 40,0 37,9 34,0 30,2 27,2 24,8 22,7 19,5 17,00,12 78,0 70,2 63,8 58,5 54,0 50,1 46,8 41,3 39,0 35,1 31,2 28,1 25,6 23,4 20,0 17,60,14 80,1 72,1 65,5 60,1 55,4 51,5 48,1 42,4 40,1 36,0 32,0 28,8 26,2 24,0 20,6 18,40,16 81,9 73,7 67,0 61,4 56,7 52,6 49,2 43,3 41,0 36,9 32,7 29,5 26,8 24,5 21,1 18,10,18 83,4 75,1 68,3 62,6 57,5 53,6 50,1 44,1 41,7 37,5 33,3 30,0 27,3 25,0 21,5 18,80,20 84,9 76,4 69,4 63,6 58,8 54,5 51,0 44,9 42,5 38,2 33,9 30,6 27,8 25,4 21,9 19,10,22 86,3 77,7 70,6 64,7 59,8 55,5 51,8 45,7 43,2 38,9 34,5 31,1 28,3 25,9 22,2 19,4 0,24 87,5 78,8 71,6 65,6 60,6 56,3 52,6 46,3 43,8 39,4 35,0 31,5 28,7 26,2 22,5 19,70,26 88,8 79,9 72,6 66,6 61,4 57,0 53,3 47,0 44,4 40,0 35,5 32,0 29,1 26,6 22,9 20,0
ANEXA 4.3 (continuare)
=n 0,009 0,010 0,011 0,012 0,013 0,014 0,015 0,017 0,018 0,020 0,0225 0,025 0,0275 0,030 0,035 0,040R
(m) =n1
111,1 100, 90,9 83,3 76,9 71,4 66,7 58,8 55,6 50,0 41,4 40,0 36,4 33,3 28,6 25,0
0,28 89,8 80,9 78,5 67,4 62,2 57,8 54,0 47,6 45,0 40,5 35,9 32,4 29,4 27,0 23,1 20,20,30 90,9 81,8 74,4 68,1 62,9 58,4 54,6 48,1 45,5 40,9 36,3 32,7 29,8 27,2 23,4 20,50,35 93,2 83,8 76,2 69,9 64,5 59,9 55,9 49,4 46,7 42,0 37,3 33,6 30,6 28,0 24,0 21,00,40 95,3 85,8 78,0 71,5 66,0 61,3 57,2 50,5 47,7 42,9 38,1 34,3 31,2 28,6 24,5 21,40,45 97,3 87,6 79,6 72,9 67.4 62,5 58,4 51,5 48,7 43,8 38,8 35,1 31,9 29,1 25,0 21,90,50 99,0 89,1 81,0 74,7 68,5 63,6 59,4 52,4 49,5 44,5 39,6 35,6 32,4 29,7 25,5 22,30,55 100,5 90,5 82,3 75,4 69,6 64,6 60,4 53,2 50,3 45,2 40,2 36,2 32,9 30,1 25,9 22,60,60 101,9 91,2 83,3 76,4 70,5 65,5 61,2 53,9 51,0 45,9 40,7 36,7 33,4 30,6 26,2 22,90,65 103,4 93,1 84,6 77,6 71,6 66,5 62,1 54,7 51,8 46,6 41,3 37,2 33,9 31,0 26,6 23,00,70 104,7 94,2 85,6 78,5 72,4 67,3 62,8 55,4 52,4 47,1 41,.8 37,7 34,3 31,4 26,9 23,60,75 105,9 95,3 86,6 79,4 73,3 68,0 63,6 56,0 53,0 47,7 42,3 38,1 34,7 31,8 27,3 23,80,80 107,0 96,3 87,5 80,2 74,1 68,8 64,2 56,6 53,5 48,2 42,8 38,5 35,1 32,1 27,5 24,10,90 109,2 98,3 89,4 81,9 75,6 70,2 65,6 57,8 54,7 49,2 43,6 39,3 35,8 32,8 28,1 24,61,00 111,1 100,0 90,9 83,3 76,9 71,4 66,7 58,8 55,6 50,0 44,4 40,0 36,4 33,3 28,6 25,01,10 112,9 101,6 92,4 84,6 78,1 72,5 67,8 59,7 56,5 50,8 45,1 40,6 37,0 33,9 29,1 25,41,20 114,5 103,1 93,7 86,9 79,3 73,6 68,7 60,6 57,3 51,6 45,8 41,2 37,5 34,4 29,5 25,81,30 116,1 104,5 95,0 87,0 80,4 74,6 69,7 61,4 58,1 52,3 46,4 41,8 38,0 34,8 29,9 26,11,50 118,9 107,0 97,3 89,1 82,3 76,4 71,4 62,9 59,5 53,5 47,5 42,8 38,9 35,7 30,6 26,81,70 121,3 109,2 99,3 91,0 84,0 78,0 72,8 64,2 60,7 54,6 48,5 43,7 39,7 36,4 31,2 27,32,00 124,7 112,2 102,0 93,5 86,3 80,1 74,8 66,0 62,4 56,1 49,8 44,9 40,8 37,4 32,1 28,1
ANEXA 5
Valori ale modulului de debit ( )/sm3K
n D (mm) 0,010 0,011 0,012 0,0125 0,013 0,0135 0,014 0,025 0,0017 0,0015 0,0014 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,050 0,0106 0,010 0,009 0,0084 0,0081 0,008 0,007 0,075 0,031 0,028 0,026 0,025 0,024 0,023 0,022 0,100 0,067 0,061 0,056 0,054 0,051 0,050 0,048 0,125 0,122 0,111 0,101 0,097 0,094 0,090 0,087 0,150 0,198 0,180 0,165 0,158 0,152 0,147 0,141 0,175 0,298 0,271 0,249 0,239 0,230 0,221 0,213 0,200 0,426 0,387 0,355 0,341 0,328 0,316 0,304 0,225 0,583 0,530 0,486 0,467 0,449 0,432 0,417 0,250 0,773 0,702 0,644 0,618 0,594 0,572 0,552 0,275 0,996 0,906 0,830 0,797 0,766 0,738 0,712 0,300 1,257 1,142 1,047 1,005 0,967 0,931 0,898 0,350 1,896 1,723 1,580 1,516 1,458 1,404 1,354 0,400 2,706 2,460 2,255 2,165 2,082 2,005 1,933 0,450 3,705 3,368 3,088 2,964 2,850 2,744 2,646 0,500 4,907 4,461 4,089 3,926 3,775 3,635 3,505 0,550 6,327 5,752 5,272 5,061 4,867 4,687 4,519 0,600 7,979 7,254 6,649 6,383 6,138 5,910 5,699 0,650 9,878 8,980 8,231 7,902 7,598 7,317 7,055 0,700 12,036 10,942 10,030 9,628 9,258 8,915 8,597 0,750 14,467 13,152 12,056 11,574 11,128 10,716 10,333 0,800 17,184 15,622 14,320 13,747 13,218 12,729 12,274 0,850 20,199 18,363 16,832 16,159 15,538 14,962 14,428 0,900 23,524 21,386 19,604 18,820 18,096 17,426 16,803 0,950 27,173 24,703 22,644 21,738 20,902 20,128 19,409 1,000 31,156 28,323 25,963 24,924 23,966 23,078 22,254 1,100 40,171 36,519 33,476 32,137 30,901 29,756 28,694 1,200 50,662 46,056 42,218 40,529 38,971 37,527 36,187 1,300 62,716 57,014 52,263 50,173 48,243 46,456 44,797 1,400 76,419 69,472 63,683 61,135 58,784 56,607 54,585 1,500 91,855 83,504 76,546 73,484 70,658 68,041 65,611 1,600 109,105 99,186 90,920 87,284 83,927 80,818 77,932 1,700 128,248 116,589 106,874 102,599 98,653 94,999 91,606 1,800 149,364 135,786 124,470 119,491 114,896 110,640 106,689 1,900 172,528 156,844 143,773 138,023 132,714 127,799 123,234 2,000 197,817 179,833 164,847 158,253 152,167 146,531 141,298 2,100 225,303 204,821 187,753 180,242 173,310 166,891 160,931 2,200. 255,059 231,872 212,549 204,047 196,200 188,933 182,185 2,300 287,158 261,053 239,298 229,726 220,891 212,710 205,113 2,400 321,668 292,426 268,057 257,334 247,437 238,273 229,763 2,500. 358,661 326,055 298,884 286,929 275,893 265,675 256,186
301
ANEXA 7.1
Valorile funcţiei ( )ηϕ pentru albiile cu pantă pozitivă )0( >i
x η 2,00 2,50 3,00 3,25 3,50 3,75 4,00 4,50 5,00
0,00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,05 0,050 0,050 0,050 0,050 0,050 0,050 0,050 0,050 0,050 0,10 0,100 0,100 0,100 0,100 0,100 0,100 0,100 0,100 0,100 0,15 0,151 0,150 0,150 0,150 0,150 0,150 0,150 0,150 0,150 0,20 0,203 0,201 0,200 0,200 0,200 0,200 0,200 0,200 0,200 0,25 0,255 0,252 0,251 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,30 0,309 0,304 0,302 0,301 0,301 0,300 0,300 0,300 0,300 0,35 0,365 0,357 0,354 0,352 0,351 0,351 0,351 0,350 0,350 0,40 0,424 0,411 0,407 0,405 0,404 0,403 0,402 0,401 0,401 0,45 0,485 0,468 0,461 0,458 0,456 0,455 0,454 0,452 0,452 0,50 0,549 0,527 0,517 0,513 0,510 0,508 0,507 0,504 0,503 0,55 0,619 0,590 0,575 0,570 0,566 0,563 0,561 0,556 0,555 0,60 0,693 0,657 0,637 0,630 0,625 0,620 0,617 0,611 0,608 0,61 0,709 0,671 0,650 0,642 0,637 0,632 0,628 0,622 0,619 0,62 0,727 0,685 0,663 0,655 0,649 0,644 0,640 0,634 0,630 0,63 0,741 0,699 0,676 0,668 0,661 0,656 0,652 0,645 0,641 0,64 0,758 0,714 0,689 0,681 0,674 0,668 0,664 0,657 0,652 0,65 0,775 0,729 0,703 0,694 0,687 0,681 0,678 0,668 0,664 0,66 0,792 0,744 0,717 0,707 0,700 0,693 0,688 0,680 0,675 0,67 0,810 0,760 0,731 0,721 0,713 0,704 0,700 0,692 0,687 0,68 0,829 0,776 0,746 0,735 0,726 0,719 0,713 0,704 0,794 0,69 0,848 0,792 0,761 0,749 0,740 0,732 0,726 0,716 0,710 0,70 0,867 0,809 0,776 0,793 0,754 0,746 0,739 0,728 0,722 0,71 0,887 0,826 0,791 0,778 0,768 0,759 0,752 0,741 0,734 0,72 0,907 0,844 0,807 0,793 0,782 0,773 0,766 0,754 0,746 0,73 0,928 0,862 0,823 0,808 0,797 0,787 0,780 0,767 0,759 0,74 0,950 0,881 0,840 0,824 0,812 0,802 0,794 0,780 0,772 0,75 0,972 0,900 0,857 0,841 0,828 0,817 0,808 0,794 0,785 0,76 0,996 0,920 0,874 0,857 0,844 0,833 0,823 0,808 0,798 0,77 1,020 0,940 0,892 0,874 0,860 0,849 0,838 0,822 0,811 0,78 1,045 0,961 0,911 0,892 0,877 0,865 0,854 0,837 0,825 0,79 1,071 0,983 0,930 0,911 0,895 0,882 0,870 0,852 0,839 0,80 1,098 1,006 0,950 0,930 0,913 0,899 0,887 0,867 0,854 0,81 1,127 1,030 0,971 0,949 0,932 0,917 0,904 0,883 0,869 0,82 1,156 1,055 0,993 0,970 0,952 0,936 0,922 0,900 0,885 0,83 1,178 1,081 1,016 0,992 0,972 0,955 0,940 0,917 0,901 0,84 1,221 1,109 1,040 1,014 0,993 0,975 0,960 0,935 0,918 0,85 1,256 1,138 1,065 1,033 1,016 0,997 0,980 0,954 0,933
302
ANEXA 7.1 (continuare)
x η 2,00 2,50 3,00 3,25 3,50 3,75 4,00 4,50 5,00
0,86 1,293 1,139 1,092 1,063 1,039 1,020 1,002 0,974 0,954 0,87 1,333 1,202 1,120 1,090 1,064 1,044 1,025 0,995 0,973 0,88 1,375 1,237 1,151 1,118 1,091 1,069 1,049 1,017 0,994 0,89 1,421 1,275 1,183 1,148 1,120 1,096 1,075 1,040 1,016 0,90 1,472 1,316 1,218 1,181 1,151 1,126 1,103 1,066 1,039 0,905 1,499 1,339 1,237 1,199 1,168 1,142 1,118 1,080 1,052 0,910 1,527 1,362 1,257 1,218 1,185 1,158 1,134 1,094 1,065 0,915 1,557 1,386 1,278 1,237 1,204 1,175 1,150 1,109 1,079 0,920 1,589 1,412 1,300 1,257 1,223 1,193 1,167 1,124 1,093 0,925 1,622 1,440 1,323 1,279 1,243 1,212 1,185 1,141 1,108 0,930 1,658 1,469 1,348 1,302 1,265 1,232 1,204 1,158 1,124 0,935 1,696 1,500 1,374 1,327 1,288 1,254 1,225 1,177 1,141 0,940 1,738 1,534 1,403 1,354 1,313 1,278 1,247 1,197 1,159 0,945 1,782 1,570 1,434 1,382 1,339 1,304 1,271 1,218 1,179 0,950 1,831 1,610 1,467 1,413 1,368 1,331 1,297 1,241 1,200 0,955 1,885 1,654 1,504 1,447 1,400 1,361 1,325 1,267 1,223 0,960 1,945 1,702 1,545 1,485 1,436 1,394 1,356 1,295 1,248 0,965 2,013 1,758 1,592 1,528 1,476 1,431 1,391 1,327 1,277 0,970 2,092 1,820 1,645 1,577 1,522 1,474 1,431 1,363 1,310 0,975 2,184 1,896 1,708 1,634 1,576 1,524 1,479 1,455 1,349 0,980 2,297 1,985 1,784 1,705 1,642 1,586 1,537 1,457 1,395 0,985 2,442 2,100 1,882 1,795 1,726 1,665 1,611 1,523 1,456 0,990 2,646 2,264 2,019 1,922 1,844 1,776 1,714 1,615 1,539 0,995 3,000 2,544 2,250 2,137 2,043 1,965 1,889 1,771 1,680 1,000 3,728 2,766 2,184 1,977 1,790 1,646 1,508 1,310 1,138 1,005 2,997 2,139 1,647 1,477 1,329 1,216 1,107 0,954 0,826 1,010 2,652 1,865 1,419 1,265 1,138 1,031 0,936 0,792 0,681 1,015 2,415 1,704 1,291 1,140 1,022 0,922 0,836 0,703 0,602 1,020 2,307 1,591 1,193 1,053 0,940 0,847 0,766 0,641 0,547 1,025 2,197 1,504 1,119 0,986 0,879 0,789 0,712 0,594 0,504 1,030 2,117 1,432 1,061 0,932 0,827 0,742 0,668 0,555 0,469 1,035 2,031 1,372 1,010 0,886 0,785 0,702 0,632 0,522 0,440 1,040 1,966 1,320 0,967 0,846 0,748 0,668 0,600 0,495 0,415 1,045 1,908 1,274 0,929 0,811 0,716 0,638 0,572 0,470 0,393 1,050 1,857 1,234 0,898 0,780 0,688 0,612 0,548 0,448 0,374 1,060 1,768 1,164 0,838 0,727 0,609 0,566 0,506 0,411 0,342 1,070 1,693 1,105 0,790 0,683 0,599 0,529 0,471 0,381 0,315 1,08 1,627 1,053 0,749 0,646 0,564 0,497 0,441 0,355 0,291 1,09 1,573 1,009 0,713 0,613 0,534 0,469 0,415 0,332 0,272 1,10 1,522 0,969 0,680 0,584 0,507 0,444 0,392 0,312 0,254
303
ANEXA 7.1 (continuare)
x η 2,00 2,50 3,00 3,25 3,50 3,75 4,00 4,50 5,00
1,11 1,477 0,933 0,652 0,558 0,483 0,422 0,323 0,294 0,239 1,12 1,436 0,901 0,626 0,534 0,461 0,402 0,354 0,279 0,225 1.13 1,398 0,872 0,602 0,512 0,442 0,384 0,337 0,265 0,212 1,14 1,363 0,846 0,581 0,493 0,424 0,368 0,292 0,252 0,201 1,15 1,331 0,821 0,561 0,475 0,407 0,353 0,308 0,240 0,191 1,16 1,301 0,798 0,542 0,458 0,391 0,339 0,295 0,229 0,181 1,17 1,273 0,776 0,525 0,443 0,377 0,326 0,283 0,218 0,173 1,18 1,247 0,756 0,510 0,428 0,364 0,314 0,272 0,209 0,165 1,19 1,222 0,737 0,495 0,414 0,352 0,302 0,262 0,200 0,167 1,20 1,199 0,719 0,480 0,401 0,341 0,292 0,252 0,192 0,150 1,21 1,177 0,702 0,467 0,389 0,330 0,282 0,243 0,185 0,144 1,22 1,156 0,686 0,454 0,378 0,320 0,272 0,235 0,178 0,138 1,23 1,136 0,671 0,442 0,368 0,310 0,263 0,227 0,171 0,132 1,24 1,117 0,657 0,431 0,358 0,301 0,255 0,219 0,164 0,127 1,25 1,098 0,643 0,420 0,348 0,292 0,247 0,212 0,158 0,122 1,26 1,081 0,630 0,410 0,339 0,284 0,240 0,205 0,153 0,117 1,27 1,065 0,618 0,400 0,330 0,276 0,233 0,199 0,147 0,113 1,28 1,049 0,606 0,391 0,332 0,269 0,226 0,193 0,142 0,108 1,29 1,033 0,594 0,382 0,314 0,262 0,220 0,187 0,137 0,104 1,30 1,018 0,582 0,373 0,306 0,255 0,214 0,182 0,133 0,100 1,31 1,004 0,571 0,365 0,299 0,248 0,208 0,171 0,129 0,097 1,32 0,990 0,561 0,357 0,292 0,242 0,203 0,170 0,125 0,094 1,33 0,977 0,551 0,349 0,285 0,236 0,197 0,167 0,121 0,090 1,34 0,964 0,542 0,341 0,279 0,230 0,192 0,162 0,117 0,087 1,35 0,952 0,533 0,334 0,273 0,225 0,187 0,158 0,113 0,084 1,36 0,940 0,524 0,328 0,267 0,219 0,183 0,153 0,110 0,081 1,37 0,928 0,516 0,322 0,261 0,214 0,178 0,149 0,107 0,079 1,38 0,917 0,508 0,316 0,255 0,209 0,174 0,145 0,104 0,076 1,39 0,906 0,500 0,310 0,250 0,205 0,169 0,142 0,101 0,074 1,40 0,896 0,492 0,304 0,245 0,200 0,165 0,138 0,098 0,071 1,41 0,886 0,484 0,298 0,240 0,196 0,161 0,135 0,095 0,069 1,42 0,876 0,477 0,293 0,235 0,192 0,158 0,131 0,092 0,067 1,43 0,866 0,470 0,288 0,231 0,188 0,154 0,128 0,090 0,065 1,44 0,856 0,463 0,283 0,226 0,184 0,151 0,125 0,087 0,063 1,45 0,847 0,456 0,278 0,222 0,180 0,147 0,122 0,085 0,061 1,46 0,838 0,450 0,273 0,218 0,176 0,144 0,119 0,083 0,059 1,47 0,829 0,444 0,268 0,214 0,173 0,141 0,116 0,081 0,057 1,48 0,821 0,438 0,263 0,210 0,169 0,138 0,113 0,079 0,056 1,49 0,813 0,432 0,259 0,206 0,166 0,135 0,111 0,077 0,054 1,50 0,805 0,426 0,255 0,202 0,163 0,132 0,109 0,075 0,053
304
ANEXA 7.1 (continuare)
x η 2,00 2,50 3,00 3,25 3,50 3,75 4,00 4,50 5,00
1,55 0,767 0,399 0,235 0,185 0,148 0,119 0,097 0,066 0,046 1,60 0,733 0,376 0,218 0,170 0,135 0,108 0,087 0,058 0,040 1,65 0,707 0,355 0,203 0,157 0,124 0,098 0,079 0,052 0,035 1,70 0,673 0,336 0,189 0,145 0,114 0,090 0,072 0,047 0,031 1,75 0,650 0,318 0,177 0,135 0,105 0,083 0,066 0,042 0,027 1,80 0,626 0,303 0,166 0,126 0,097 0,076 0,060 0,038 0,024 1,85 0,605 0,289 0,156 0,118 0,090 0,070 0,055 0,034 0,022 1,90 0,585 0,276 0,147 0,111 0,084 0,065 0,050 0,031 0,019 1,95 0,566 0,264 0,139 0,104 0,079 0,060 0,046 0,028 0,017 2,00 0,549 0,253 0,132 0,098 0,074 0,056 0,043 0,026 0,016 2,1 0,518 0,233 0,119 0,087 0,065 0,048 0,037 0,022 0,013 2,2 0,490 0,216 0,108 0,078 0,057 0,042 0,032 0,018 0,011 2,3 0,466 0,201 0,098 0,070 0,051 0,037 0,028 0,016 0,009 2,4 0,444 0,188 0,090 0,064 0,049 0,033 0,024 0,013 0,008 2,5 0,424 0,176 0,082 0,058 0,041 0,030 0,022 0,012 0,006 2,6 0,405 0,165 0,076 0,053 0,037 0,027 0,019 0,010 0,005 2,7 0,389 0,155 0,070 0,048 0,034 0,024 0,017 0,009 0,005 2,8 0,374 0,146 0,065 0,044 0,031 0,022 0,015 0,008 0,004 2,9 0,360 0,138 0,006 0,041 0,028 0,020 0,014 0,007 0,003 3,0 0,346 0,131 0,056 0,038 0,026 0,018 0,012 0,006 0,003 3,5 0,294 0,103 0,041 0,027 0,018 0,012 0,008 0,004 0,002 4,0 0,255 0,084 0,031 0,020 0,012 0,008 0,005 0,002 0,001 4,5 0,226 0,070 0,025 0,015 0,009 0,006 0,004 0,001 5,0 0,203 0,060 0,020 0,012 0,009 0,004 0,003 0,001 6,0 0,168 0,046 0,014 0,008 0,004 0,003 0,001 0,001 7,0 0,145 0,036 0,010 0,005 0,003 0,002 0,001 8,0 0,126 0,029 0,009 0,004 0,002 0,001 0,001 9,0 0,110 0,024 0,006 0,003 0,001 0,001 0,000 10,0 0,100 0,021 0,005 0,002 0,001 0,001 0,000 20,0 0,093 0,008 0,002 0,001 0,000 0,000 0,000
305
ANEXA 7.2
Valorile funcţiei ( )ξϕ pentru albii cu fund orizontal )0( =i
x ξ
2,00 2,50 3,00 3,25 3,50 3,75 4,00 4,50
0 0,0000 0 0 0 0 0 0 0 0,05 0,0001 0 0 0 0 0 0 0 0,10 0,0003 0,0001 0 0 0 0 0 0 0,15 0,0011 0,0004 0,0001 0,0001 0 0 0 0 0,20 0,0027 0,0010 0,0004 0,0003 0,0002 0,0001 0,0001 0,0000 0,25 0,0052 0,0022 0,009 0,0007 0,0004 0,0003 0,0002 0,0001 0,30 0,0090 0,0042 0,0020 0,0014 0,0010 0,0007 0,0005 0,0002 0,35 0,0113 0,0073 0,0037 0,0027 0,0020 0,0014 0,011 0,0006 0,40 0,0213 0,0116 0,0064 0,0048 0,0036 0,0027 0,0021 0,0012 0,45 0,0304 0,0175 0,0102 0,0079 0,0061 0,0047 0,0037 0,0023 0,50 0,0497 0,0252 0,0156 0,0124 0,0098 0,0078 0,0063 0,0040 0,55 0,0554 0,0352 0,0229 0,0185 0,0151 0,0123 0,0101 0,0068 0,60 0,0720 0,0478 0,0324 0,0268 0,0223 0,0186 0,0156 0,0109 0,61 0,0756 0,0506 0,0346 0,0288 0,0240 0,0201 0,0161 0,0120 0,62 0,0794 0,0537 0,0369 0,0308 0,0259 0,0217 0,0183 0,0131 0,63 0,0833 0,0567 0,0394 0,0330 0,0278 0,0235 0,0198 0,0143 0,64 0,0874 0,0599 0,0419 0,0353 0,0298 0,0253 0,0215 0,0156 0,65 0,0915 0,0632 0,0446 0,0387 0,0320 0,0272 0,0232 0,0170 0,66 0,0958 0,0667 0,0474 0,0402 0,0343 0,0292 0,0250 0,0185 0,67 0,1003 0,0703 0,0504 0,0429 0,0367 0,0314 0,0270 0,0201 0,68 0,1048 0,0740 0,0535 0,0457 0,0392 0,0337 0,0291 0,0218 0,69 0,1095 0,0779 0,0564 0,0486 0,0418 0,0361 0,0313 0,0236 0,70 0,1143 0,0820 0,0600 0,0517 0,0446 0,0387 0,0336 0,0256 0,71 0,1193 0,0861 0,0635 0,0549 0,0476 0,0414 0,0361 0,0276 0,72 0,1244 0,0905 0,0672 0,0582 0,0507 0,0442 0,0387 0,0298 0,73 0,1297 0,0950 0,0710 0,0617 0,0539 0,0472 0,0415 0,0322 0,74 0,1351 0,0996 0,0750 0,0654 0,0573 0,0504 0,0444 0,0347 0,75 0,1406 0,1044 0,0791 0,0693 0,0609 0,0537 0,0475 0,0374 0,76 0,1463 0,1093 0,0834 0,0733 0,0646 0,0572 0,0507 0,0402 0,77 0,1552 0,1144 0,0879 0,0775 0,0685 0,0608 0,0541 0,0432 0,78 0,1582 0,1197 0,0925 0,0818 0,0726 0,0647 0,0577 0,0464 0,79 0,1643 0,1252 0,0974 0,0864 0,0769 0,0687 0,0615 0,0497 0,80 0,1707 0,1309 0,1024 0,0911 0,0814 0,0729 0,0655 0,0533 0,81 0,1772 0,1367 0,1075 0,0961 0,0861 0,0774 0,0697 0,0571 0,82 0,1838 0,1426 0,1130 0,1012 0,0910 0,0820 0,0741 0,0610 0,83 0,1096 0,1488 0,1186 0,1066 0,0961 0,0869 0,0788 0,0652 0,84 0,1976 0,1552 0,1245 0,1122 0,1014 0,0920 0,0836 0,0697 0,85 0,2046 0,1618 0,1305 0,1179 0,1070 0,0973 0,0887 0,0744
306
ANEXA 7.2 (continuare)
x ξ
2,00 2,50 3,00 3,25 3,50 3,75 4,00 4,50
0,86 0,2120 0,1685 0,1368 0,1239 0,1127 0,1028 0,0941 0,0793 0,87 0,2195 0,1755 0,1432 0,1302 0,1188 0,1087 0,0997 0,0845 0,88 0,2272 0,1826 0,1499 0,1367 0,1250 0,1147 0,1056 0,0900 0,89 0,2350 0,1900 0,1569 0,1434 0,1315 0,1210 0,1117 0,0958 0,90 0,2430 0,1976 0,1640 0,1504 0,1383 0,1276 0,1181 0,1018 0,91 0,2512 0,2054 0,1714 0,1576 0,1454 0,1345 0,1248 0,1082 0,92 0,2596 0,2134 0,1791 0,1651 0,1527 0,1391 0,1318 0,1149 0,93 0,2681 0,2216 0,1870 0,1729 0,1603 0,1417 0,1391 0,1220 0,94 0,2769 0,2301 0,1952 0,1809 0,1682 0,1569 0,1468 0,1294 0,95 0,2858 0,2388 0,2036 0,1892 0,1764 0,1650 0,1548 0,1371 0,96 0,2949 0,2477 0,2123 0,1973 0,1849 0,1734 0,1631 0,1453 0,97 0,3042 0,2568 0,2213 0,2067 0,1938 0,1822 0,1717 0,1538 0,98 0,3137 0,2662 0,2306 0,2159 0,2029 0,1913 0,1808 0,1627 0,99 0,3234 0,2760 0,2402 0,2255 0,2124 0,201 0,1902 0,1721 1,00 0,3333 0,286 0,250 0,2353 0,2222 0,211 0,200 0,182 1,01 0,3434 0,296 0,260 0,2455 1,2324 0,221 0,210 0,192 1,02 0,3537 0,306 0,271 0,256 0,243 0,231 0,221 0,203 1,03 0,3643 0,317 0,281 0,267 0,254 0,242 0,232 0,214 1,04 0,375 0,3280 0,292 0,278 0,265 0,254 0,243 0,226 1,05 0,386 0,339 0,304 0,289 0,277 0,265 0,255 0,238 1,06 0,397 0,350 0,316 0,301 0,289 0,278 0,268 0,250 1,07 0,408 0,362 0,328 0,314 0,301 0,290 0,281 0,264 1,08 0,420 0,3740 0,340 0,326 0,314 0,303 0,294 0,278 1,09 0,432 0,386 0,353 0,339 0,327 0,317 0,308 0,292 1,10 0,444 0,399 0,366 0,353 0,341 0,331 0,322 0,307 1,11 0,456 0,412 0,380 0,367 0,355 0,346 0,337 0,323 1,12 0,468 0,425 0,394 0,381 0,370 0,361 0,352 0,339 1,13 0,481 0,438 0,408 0,396 0,385 0,376 0,368 0,356 1,14 0,493 0,452 0,422 0,411 0,401 0,392 0,385 0,374 1,15 0,507 0,466 0,437 0,426 0,417 0,409 0,402 0,392 1,16 0,520 0,480 0,453 0,442 0,433 0,426 0,420 0,411 1,17 0,534 0,495 0,469 0,458 0,450 0,444 0,438 0,431 1,18 0,548 0,510 0,485 0,475 0,468 0,462 0,457 0,452 1,19 0,562 0,525 0,501 0,493 0,486 0,481 0,477 0,473 1,20 0,576 0,541 0,518 0,511 0,505 0,501 0,497 0,496 1,21 0,591 0,557 0,536 0,529 0,524 0,521 0,519 0,519 1,22 0,605 0,573 0,554 0,548 0,544 0,541 0,541 0,548 1.23 0,620 0,591 0,572 0,567 0,564 0,563 0,563 0,568 1,24 0,635 0,607 0,591 0,587 0,585 0,585 0,586 0,594 1,25 0,651 0,624 0,610 0,607 0,607 0,608 0,610 0,620
307
ANEXA 7.2 (continuare)
x ξ
2,00 2,50 3,00 3,25 3,50 3,75 4,00 4,50
1,26 0,667 0,642 0,630 0,628 0,629 0,631 0,635 0,648 1,27 0,683 0,660 0,650 0,650 0,652 0,655 0,661 0,677 1,28 0,699 0,678 0,671 0,672 0,675 0,680 0,687 0,707 1,29 0,716 0,697 0,692 0,694 0,699 0,706 0,714 0,738 1,30 0,732 0,716 0,714 0,717 0,724 0,732 0,743 0,770 1,31 0,749 0,735 0,736 0,741 0,749 0,759 0,772 0,808 1,32 0,767 0,775 0,759 0,766 0,775 0,787 0,820 0,837 1,33 0,784 0,785 0,782 0,791 0,802 0,816 0,832 0,873 1,34 0,802 0,796 0,806 0,816 0,829 0,845 0,864 0,909 1,35 0,820 0,817 0,830 0,842 0,853 0,876 0,897 0,947 1,36 0,839 0,838 0,855 0,869 0,887 0,907 0,930 0,986 1,37 0,857 0,860 0,881 0,897 0,916 0,939 0,965 1,027 1,38 0,876 0,882 0,907 0,925 0,947 0,972 1,001 1,059 1,39 0,895 0,905 0,933 0,854 0,978 1,006 1,038 1,112 1,40 0,905 0,928 0,960 0,983 1,010 1,041 1,076 1,157 1,41 0,930 0,951 0,988 1,013 1,043 1,077 1,115 1,203 1,42 0,954 0,975 1,016 1,044 1,077 1,114 1,155 1,251 1,43 0,975 0,999 1,045 1,076 1,111 1,151 1,196 1,300 1,44 0,995 1,024 1,075 1,108 1,147 1,190 1,238 1,351 1,45 1,016 1,049 1,105 1,141 1,183 1,230 1,282 1,403 1,46 1,037 1,074 1,136 1,175 1,210 1,270 1,327 1,457 1,47 1,059 1,100 1,167 1,210 1,258 1,312 1,373 1,513 148 1,081 1,127 1,199 1,245 1,297 1,355 1,420 1,571 1,49 1,103 1,154 1,232 1,281 1,337 1,399 1,469 1,680 1,50 1,125 1,181 1,266 1,313 1,378 1,445 1,519 1,691 1,52 1,170 1,237 1,335 1,395 1,462 1,538 1,623 1,819 1,54 1,217 1,295 1,406 1,474 1,551 1,637 1,732 1,954 1,56 1,265 1,355 1,480 1,557 1,644 1,740 1,847 2,098 1,58 1,315 1,417 1,558 1,644 1,741 1,849 1.969 2,250 1,60 1,365 1,481 1,638 1,734 1,843 1,963 2,097 2,412 1,62 1,417 1,546 1,722 1,829 1,948 2,082 2,232 2,582 1,64 1,470 1,614 1,808 1,926 2,059 2,207 2,373 2,762 1,66 1,525 1,684 1,898 2,028 2,174 2,338 2,521 2,953 1,68 1,581 1,756 1,992 2,134 2,294 2,475 2,677 3,154 1,70 1,638 1,830 2,088 2,244 2,420 2,618 2,840 3,360 1,72 1,696 1,907 2,188 2,358 2,551 2,767 3,011 3,590 1,74 1,756 1,986 2,292 2,477 2,687 2,924 3,190 3,825 1,76 1,817 2,067 2,399 2,600 2,829 3,087 3,378 4,073 1,78 1,880 2,150 2,510 2,728 2,976 3,257 3,574 4,335 1,80 1,944 2,236 2,624 2,861 3,130 3,434 3,779 4,609
308
ANEXA 7.2 (continuare)
x ξ
2,00 2,50 3,00 3,25 3,50 3,75 4,00 4,50
1,82 2,009 2,324 2,743 2,999 3,289 3,619 3,994 4,898 1,84 2,076 2,414 2,866 3,141 3,455 3,812 4,218 5,202 1,86 2,145 2,507 2,992 3,288 3,627 4,013 4,452 5,520 1,88 2,215 2,603 3,123 3,442 3,806 4,222 4,697 5,855 1,90 2,286 2,701 3,258 3,600 3,992 4,440 4,952 6,205 1,92 2,359 2,802 3,397 3,764 4,185 4,660 5,218 6,573 1,94 2,434 2,906 3,542 3,933 4,384 4,902 5,490 6,959 1,96 2,510 3,012 3,690 4,109 4,591 5,147 5,785 7,363 1,98 2,587 3,121 3,841 4,290 4,806 5,401 6,086 7,786 2,00 2,667 3,232 4,000 4,477 5,028 5,655 6,400 8,228 2.05 2,872 3,524 4,415 4,972 5,619 6,370 7,241 9,425 2,10 3,087 3,834 4,862 5,508 6,263 7,143 8,168 10,76 2,15 3,313 4,164 5,342 6,088 6,962 7,987 9,188 12,25 2,20 3,549 4,512 5,856 6,720 7,721 8,909 10,31 13,90 2,25 3,797 4,882 6,407 7,386 8,543 9,912 11,53 15,73 2,30 4,056 5,272 6,996 8,109 9,431 11,00 12,87 17,75 2,35 4,326 5,684 7,625 8,885 10,39 12,18 14,33 19,98 2,40 4,608 6,119 8,294 9,716 11,42 13,47 15,93 22,43 2,45 4,902 6,577 9,008 10,61 12,53 14,85 17,66 25,12 2,50 5,208 7,059 9,766 11,56 13,72 16,35 19,53 28,08 2,55 5,527 7,565 10,57 12,57 15,00 17,96 21,56 31,30 2,60 5,859 8,097 11,42 13,65 16,37 19,70 23,76 34,83 2,65 6,203 8,655 12,33 14,80 17,84 21,56 26,16 38,68 2,70 6,561 9,240 13,29 16,03 19,40 23,57 28,70 42,87 2,75 6,932 9,854 14,30 17,33 21,08 25,71 31,46 47,42 2,80 7,317 10,49 15,37 18,71 22,86 28,01 34,42 52,36 2,85 7,716 11,17 16,49 20,17 24,75 30,47 37,61 57,71 2,90 8,130 11,87 17,68 21,72 26,77 33,09 41,02 63,51 2,95 8,557 12,60 18,93 23,35 28,91 35,89 46,68 69,77 3,00 9,000 13,36 20,25 25,08 31,18 38,87 48,60 76,53 3,5 13,29 22,92 37,52 48,30 62,39 80,84 105,1 178,8 4,0 21,33 36,57 64,0 85,18 113,8 152,4 200,1 372,4 4,5 30,38 55,23 102,5 140,5 193,3 266,7 369,0 711,7 5,0 41,67 79,86 156,0 219,9 310,6 440,0 625,0 1271 6,0 72,0 151,2 324,0 477,2 705,4 1046 1555 3463 7,0 114,3 259,3 600,0 918,9 1412 2175 3361 8085 8,0 170,7 413,7 1024 1621 2574 4102 6554 16850 9,0 242,0 625,0 1640 2674 4374 7177 11810 32210 10,0 333,3 903,0 2500 4184 7027 11840 20000 57500
309
ANEXA 7.3
Valorile funcţiei ( )ζϕ pentru albiile cu pantă negativă )0( <i
x
ζ 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00
0,05 0,050 0,050 0,050 0,050 0,050 0,10 0,099 0,100 0,100 0,100 0,100 0,15 0,148 0,150 0,150 0,150 0,150 0,20 0,196 0,198 0,199 0,200 0,200 0,25 0,244 0,246 0,248 0,250 0,250 0,30 0,291 0,295 0,297 0,299 0,300 0,35 0,336 0,342 0,346 0,348 0,349 0,40 0,380 0,389 0,393 0,396 0,397 0,45 0,422 0,434 0,440 0,444 0,446 0,50 0,463 0,477 0,485 0,490 0,493 0,55 0,502 0,518 0,528 0,534 0,539 0,60 0,540 0,558 0,571 0,579 0,585 0,61 0,547 0,566 0,579 0,588 0,594 0,62 0,554 0,574 0,587 0,596 0,603 0,63 0,562 0,581 0,595 0,605 0,612 0,64 0,569 0,589 0,602 0,613 0,620 0,65 0,576 0,596 0,610 0,621 0,629 0,66 0,583 0,604 0,618 0,630 0,638 0,67 0,590 0,611 0,626 0,633 0,646 0,68 0,597 0,619 0,634 0,646 0,654 0,69 0,603 0,626 0,641 0,653 0,662 0,70 0,610 0,633 0,649 0,661 0,670 0,71 0,617 0,640 0,657 0,668 0,678 0,72 0,624 0,648 0,664 0,676 0,686 0,73 0,630 0,655 0,672 0,683 0,694 0,74 0,637 0,662 0,679 0,691 0,702 0,75 0,643 0,668 0,686 0,698 0,709 0,76 0,649 0,675 0,693 0,705 0,717 0,77 0,656 0,681 0,700 0,712 0,724 0,78 0,662 0,688 0,707 0,720 0,731 0,79 0,668 0,694 0,713 0,727 0,738 0,80 0,674 0,700 0,720 0,734 0,746 0,81 0,680 0,706 0,727 0,741 0,753 0,82 0,686 0,712 0,733 0,748 0,760 0,83 0,692 0,718 0,740 0,755 0,766 0,84 0,698 0,724 0,746 0,761 0,773 0,85 0,704 0,730 0,752 0,767 0,780
310
ANEXA 7.3 (continuare)
x ζ
2,00 2,50 3,00 3,50 4,00
0,86 0,710 0,736 0,758 0,774 0,786 0,87 0,715 0,742 0,764 0,780 0,792 0,88 0,721 0,748 0,770 0,786 0,799 0,89 0,727 0,754 0,776 0,792 0,805 0,90 0,732 0,760 0,781 0,798 0,811 0,91 0,738 0,765 0,787 0,804 0,817 0,92 0,743 0,771 0,793 0,810 0,823 0,93 0,749 0,777 0,799 0,815 0,829 0,94 0,754 0,782 0,804 0,820 0,835 0,95 0,759 0,787 0,809 0,826 0,840 0,96 0,764 0,793 0,815 0,831 0,847 0,97 0,770 0,798 0,820 0,837 0,851 0,98 0,775 0,803 0,825 0,842 0,857 0,99 0,780 0,809 0,830 0,847 0,861 1,00 0,785 0,813 0,834 0,851 0,867 1,01 0,790 0,817 0,840 0,856 0,872 1,02 0,795 0,823 0,845 0,862 0,876 1,03 0,800 0,827 0,850 0,866 0,881 1,04 0,805 0,831 0,855 0,871 0,887 1,05 0,810 0,836 0,859 0,875 0,891 1,06 0,815 0,841 0,864 0,879 0,895 1,07 0,819 0,846 0,869 0,884 0,900 1,08 0,824 0,851 0,873 0,888 0,904 1,09 0,828 0,856 0,877 0,892 0,908 1,10 0,833 0,860 0,881 0,897 0,912 1,11 0,837 0,864 0,886 0,901 0,916 1,12 0,842 0,868 0,891 0,905 0,920 1,13 0,846 0,872 0,895 0,909 0,924 1,14 0,851 0,876 0,899 0,913 0,927 1,15 0,855 0,880 0,903 0,917 0,927 1,16 0,859 0,884 0,907 0,921 0,935 1,17 0,864 0,888 0,911 0,925 0,938 1,18 0,868 0,892 0,915 0,928 0,942 1,19 0,872 0,896 0,918 0,931 0,946 1,20 0,876 0,900 0,921 0,935 0,949 1,21 0,880 0,904 0,925 0,939 0,952 1,22 0,884 0,908 0,929 0,943 0,955 1.23 0,888 0,912 0,923 0,946 0,958 1,24 0,892 0,916 0,935 0,949 0,961 1,25 0,896 0,919 0,938 0,952 0,964
311
ANEXA 7.3 (continuare)
x ζ
2,00 2,50 3,00 3,50 4,00
1,26 0,900 0,922 0,942 0,955 0,967 1,27 0,904 0,927 0,945 0,958 0,970 1,28 0,908 0,930 0,948 0,961 0,973 1,29 0,911 0,934 0,952 0,964 0,975 1,30 0,915 0,937 0,955 0,966 0,978 1,31 0,919 0,940 0,958 0,969 0,981 1,32 0,922 0,943 0,961 0,972 0,984 1,33 0,926 0,947 0,964 0,974 0,986 1,34 0,930 0,951 0,967 0,977 0,989 1,35 0,933 0,954 0,970 0,980 0,991 1,36 0,937 0,957 0,973 0,983 0,993 1,37 0,940 0,960 0,976 0,986 0,995 1,38 0,944 0,963 0,979 0,989 0,997 1,39 0,947 0,966 0,981 0,991 0,998 1,40 0,951 0,969 0,984 0,993 1,000 1,41 0,954 0,972 0,986 0,995 1,002 1,42 0,957 0,975 0,989 0,998 1,004 1,43 0,960 0,978 0,992 1,001 1,006 1,44 0,964 0,980 0,995 1,003 1,008 1,45 0,967 0,983 0,997 1,005 1,010 1,46 0,970 0,986 1,000 1,007 1,012 1,47 0,973 0,989 1,002 1,009 1,013 148 0,977 0,991 1,005 1,010 1,015 1,49 0,980 0,994 1,007 1,012 1,017 1,50 0,983 0,997 1,009 1,014 1,019 1,55 0,987 1,010 1,020 1,023 1,028 1,60 1,012 1,022 1,030 1,032 1,034 1,65 1,026 1,033 1,039 1,040 1,040 1,70 1,039 1,044 1,048 1,047 1,046 1,75 1,052 1,054 1,057 1,053 1,051 1,80 1,064 1,064 1,065 1,059 1,056 1,85 1,075 1,073 1,072 1,065 1,060 1,90 1,086 1,082 1,079 1,070 1,064 1,95 1,097 1,090 1,085 1,074 1,067 2,00 1,107 1,098 1,090 1,078 1,070 2,10 1,126 1,112 1,100 1,085 1,075 2,20 1,144 1,125 1,109 1,092 1,079 2,30 1,161 1,137 1,117 1,097 1,083 2,40 1,176 1,148 1,124 1,102 1,086 2,50 1,190 1,157 1,131 1.106 1,089
312
ANEXA 7.3 (continuare)
x ζ
2,00 2,50 3,00 3,50 4,00
2,60 1,204 1,166 1,137 1,110 1,091 2,70 1,216 1,174 1,142 1,113 1,093 2,80 1,228 1,181 1,146 1,116 1,095 2,90 1,239 1,188 1,150 1,119 1,097 3,0 1,249 1,194 1,154 1,121 1,098 3,5 1,293 1,218 1,165 1,129 1,102 4,0 1,324 1,237 1,176 1,134 1,105 4,5 1,351 1,251 1,183 1,137 1,107 5,0 1,373 1,260 1,188 1,139 1,109 6,0 1,405 1,272 1,195 1,142 1,110 8,0 1,447 1,290 1,201 1,144 1,110 10,0 1,471 1,298 1,203 1,145 1,110
313
BIBLIOGRAFIE Agrosian, I.I., Dmitriev, G.T., Picalov, F.I., Ghidravlica, Gosenergoiszdat.
Moskva, Leningrad, 1954.
Anton, V., Popoviciu, M., Fitero, I., Hidraulica ¿i ma¿ini hidraulice, Editura Didacticå ¿i Pedagogicå, Bucure¿ti, 1968.
Certousov, M.D., Hidraulica. Curs Special (traducere din limba ruså), Editura Tehnicå, Bucure¿ti, 1966.
Cioc, D., Hidraulica, Editura Didacticå ¿i Pedagogicå, Bucure¿ti, 1983.
Cioc, D., Trofin, E., Iamandi, C., Tatu, G., Månescu, M., Damian, R., Sandu, L., Hidraulica – culegere de probleme, Editura Didacticå ¿i Pedagogicå, Bucure¿ti, 1973.
Iamandi, C., Petrescu, V., Mecanica fluidelor, Editura Didacticå ¿i Pedagogicå, Bucure¿ti, 1978.
Iamandi, C., Petrescu, V., Sandu, L., Damian, R., Anton, A., Degeratu, M., Hidraulica instala¡iilor. Elemente de calcul ¿i aplica¡ii, Editura Didacticå ¿i Pedagogicå, Bucure¿ti, 1985.
Lebreton, J.C., Dynamique fluviale, Eyrolles, 1974.
Luca, O., Metodå ¿i dispozitiv pentru determinarea tensiunii superficiale, Brevet de inven¡ie nr. 76057/1978.
Luca, O., Calculul vitezei de cådere a particulelor solide într-un mediu fluid, Hidrotehnica, vol.31, nr.5, Bucure¿ti, 1986.
Luca, O., Hidraulicå ¿i Hidrologie, Editura I.C.B., 1986.
Luca, O., Hidraulica râurilor, Editura I.C.B., 1993.
Mateescu, Cr., Hidraulica, Editura Didacticå ¿i Pedagogicå, Bucure¿ti, 1963.
Månescu, M., Luca, O., Probleme de hidraulicå ¿i hidrologie, Editura I.C.B., 1983.
Pietraru, V., Calculul infiltra¡iilor, Editura CERES, Bucure¿ti, 1977.
Trofin, E., Hidraulicå ¿i hidrologie, Editura Didacticå ¿i Pedagogicå, Bucure¿ti, 1974.
315
![ELSACO Echilibrare Hidraulica [Compatibility Mode]](https://static.fdocumente.com/doc/165x107/55cf974e550346d03390df0c/elsaco-echilibrare-hidraulica-compatibility-mode.jpg)
