REPREZENTAREA INTEGRAL A SOLUIEI UNEI ECUAII DE TIP HELMHOLTZ

Prof. dr. Gh. Alexe

Facultatea de mbuntiri Funciare i Ingineria Mediului din Bucureti

1. Reprezentrile integrale ale soluiilor ecuaiilor cu derivate pariale au o importanbinecunoscut. Menionm numai c ele pot constitui puncte de plecare riguroase n rezolvareaproblemelor la limit prin metoda elementelor frontier [ 1 ].

n lucrarea de fa stabilim reprezentarea integral a soluiei ecuaiei de tip Helmholtz:

( 1 )2 2

22 2 ( , ),u u k f x y kx y + = R

Aceast ecuaie este ntlnit ntr-o serie de probleme din dinamica fluidelor electroconductoare[ 2 ], [ 3 ].

2. Pentru stabilirea reprezentrii integrale a soluiei ecuaiei ( 1 ) folosim soluia safundamental [ 4 ], [ 5 ], [ 6 ]:

( 2 ) 201 ( | |) ,2

z K k z cu z RE( , )=

i formula lui Green:

( 3 ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( ) ( )]w vv w w v d v w ds =

n relaia ( 2 ) 0K este funcia lui Bessel modificat de ordin 0, n relaia ( 3 ) este derivata ndirecia normalei exterioare la frontiera a domeniului , iar integrala curbilinie n raport cu arcul seste luat n sensul direct fa de , adic acela care i las interiorul la stnga.

Presupunem mai nti c z=(x,y) este un punct exterior domeniului . n acest caz, formulalui Green ( 3 ) pentru:

( 4 ) v u= i w =Econduce la relaia:

( 5 ) ( , , , ) ( , , , , ) ( , , , , ) 0x y d d x y ds x y ds

+ = cu:

( 6 ) 2 20( , , , ) ( , ) ( ( ) ( ) )x y f K k x y = + ( 7 ) 2 20( , , , , ) ( , ) ( ( ) ( ) )x y u K k x y

= +

( 8 ) 2 20( , , , , ) ( ( ) ( ) ) ( , )x y K k x y u = +

Presupunem acum c z este situat pe frontiera a domeniului . n acest caz, notm cu wintersecia dintre domeniul i domeniul delimitat de un cerc cu centrul n z i raza . Pe domeniul= \ w se poate aplica formula lui Green pentru funciile din relaia ( 4 ). Ca i mai nainte,obinem:

( 9 ) ( , , , ) ( , , , , ) ( , , , , ) 0x y d d x y ds x y ds

+ = unde este frontiera domeniului . Deoarece:

, \ ( ),w w = = =

w fiind frontiera lui w, putem scrie:

( ) ( ) ( )ds ds ds

= + ntruct este un arc al cercului cu centrul n z i de raz , avem:

| ( ) |r = =

n plus, funcia 0K are comportarea:

01( ) ln ...K kke

= +

n care punctele reprezint termeni mrginii pentru 0 . Ca urmare:

*( , , , , ) ( )( ) ln( ) ...ux y ds z ke

= +*( , , , , ) ( ) ...x y ds z u

= +

unde *( )u i u* reprezint valoarea medie a lui

u i, respectiv, u pe , iar:

1( )z ds

= n consecin, prin trecere la limit, relaia ( 9 ) devine:

( 10 ) ( , , , ) ( , , , , ) ( , , , , ) ( ) ( )x y d d x y ds x y ds z u z

+ = Se observ uor c n punctele netede ale frontierei avem (z)=.

n fine, presupunem acum c punctul z este un punct interior al domeniului . n acest cazformula ( 10 ) rmne adevrat. Pentru suficient de mic, este un cerc situat in interioruldomeniului . Ca urmare, (z)=2.

Dac introducem funcia:

( )( )

0z pentru z

zpentru z

= atunci rezultatele de mai sus se concentreaz n formula:

( 11 )

0

0

0

( ) ( ) ( | |) ( )

( ) ( | |)

( ) ( | |)

uz u z K k z ds

Ku k z ds

f K k z d

=

Aceast formul constituie reprezentarea integral a soluiei ecuaiei ( 1 ).Relaia ( 11 ) arat c soluia ecuaiei ( 1 ) se reprezint cu ajutorul funciilor:

0( ) ( | |) ( )uF z K k z ds =

0( ) ( ) ( ( | |)G z u K k z ds =

0( ) ( )( ( | |)H z f K k z d

= Aceste funcii sunt analoage potenialilor logaritmici de simplu strat, dublu strat i, respectiv, dearie ntlnii n reprezentarea integral a soluiei ecuaiei lui Poisson [ 7 ].

3. Reprezentarea integral ( 11 ) am obinut-o n ipoteza c este un domeniu mrginit.Exist i cazuri n care trebuie s se determine soluia ecuaiei ( 1 ) pe un domeniu nemrginit. Nevom opri aici la cazul n care ( , ) [ 1, 1] = + + . Acest caz se ntlnete, de pild, n studiulmicrii fluidelor electroconductoare n canale de conversie mhd [ 2 ], [ 3 ].

S observm mai nti c:

lim ( , ) [ 1, 1]d dd cu d d = = + +

Pe de alt parte, reprezentarea integral ( 11 ) a soluiei ecuaiei ( 1 ) pe domeniul d se reducela:

111

1

( ) ( ) [ ( , , 1, , ) ( , , 1, , )

( , , 1, , ) ( , , 1, , )]

( , , , )

[ ( , , , , ) ( , , , , )

( , , , , ) ( , , , , )]

d

d

d

d

z u z x y x y

x y x y d

x y d d

d x y d x y

d x y d x y d

+

+ +

++

= + + + +

+ + + ++ +

cu , i date de relaiile ( 6 ) ( 8 ). Dac presupunem c u i u sunt mrginite la infinit i

inem seama de comportarea soluiei fundamentale la mari distane, atunci, prin trecere la limit,ultima relaie devine:

( 12 )

2 20 | 1( ) ( ) [ ( ( ) ( ) ) ]

up z u z K k x y d +

=

= + +2 2

0 | 1[ ( ( ) ( ) ) ]uK k x y d

+=+

+ +

2 20 | 1[ ( , ) ( ( ) ( ) )]u K k x y d

+=

+ +2 2

0 | 1[ ( , ) ( ( ) ( ) ) ]uu K k x y d

+=+

+ 1

2 20

1

( , ) ( ( ) ( ) )d

d

f K k x y d d + +

+

cu:

2 ( , ) ( , ) ( 1, 1)( ) ( , ) 1

0 ( , ) ( , ) [ 1, 1]

dac x yp z p x y dac y

dac x y

+ += = = + +Relaia ( 12 ) constituie reprezentarea integral a soluiei ecuaiei ( 1 ) corespunztoaredomeniului ( , ) [ 1, 1] = + + . Aceast reprezentare se poate folosi la rezolvarea prin metodaelementelor limit a unor probleme de micare a fluidelor electroconductoare.

BIBLIOGRAFIE

1. C. A. Brebbia, The Boundary element method for engineers, Penteck Press, London, 1980 2. L. Drago, Magnetofluid dynamics, Editura Academiei, Bucureti and Abacus Press, Tunbridge

Wells, Kant, England, 19753. Gh. Alexe, Tez de doctorat, Universitatea din Bucureti, 1980

4. R. Courant, D. Hilbert, Partial differential equations, New Zork, 19625. L. Drago, Soluii fundamentale, n Matematici clasice i moderne, Vol. III , Editor Caius Iacob,

Editura tehnic, Bucureti, 1979.6. L. Drago, Mecanica fluidelor, Editura Academiei Romne, Bucureti, 19997. N. Teodorescu, V. Olariu, Ecuaiile fizicii matematice, Editura didactic i pedagogic,Bucureti, 1970