Geometrie_diferentiala_completa

8/9/2019 Geometrie_diferentiala_completa

1/76

1

Geometrie diferentiala An.1 Sem.2 MI - Info

A Curbe PlaneB Curbe in spatiuC Suprafete

Grila actuala

D Prima grila (157 subiecte)E Grila 2007 - Curbe plane - True / FalseF Grila 2007 - Curbe strimbe - True / FalseG Grila 2007 - Suprafete - True / FalseH Grila 2007 - Completion

Autor: Cris_43 Anul I MI Info, [email protected]

A 1

Cercul cu centrul n origine i de raza rscris n coordonate polare are ecuaia

a. p r= b. cos , sin ( )x p t y p t t = = a

C 25

Conditia de ........................... ....................... a doua curbe ( )1 i ( )2 pe o suprafata

( ),r r u v=

este:

( ) 0Edu u F du v dv u Gdv u + + + =

D 103

Curba (C) de ecuaie:

( ) 3 2 3 2 2: 1 , , 5 2 3,C x t y t t z t t t = + = + = + + este:

a. situat n planul: 8 10 3 0 x y z+ = c. situat n planul: 3 2 0 x y z+ =

b. tangenta la planul: 3 2 1 0 x y z+ + = d. tiat de planul: 3 2 0 x y z+ = n doupuncte.

c

D 85

Curba (C) definit prin ecuaiile parametrice:cossin

x ry r

z k

==

=

este o:

a. elips n spaiu. c. elice conic.b. elice circular. d. alt curb din spaiu.

b

A 41

Curba a carei ecuatie implicita este:

( ) ( )2 2 2

3 3 3: 0C x y a a+ = >

se numeste .. ..

H 197

Curba a carei ecuatie implicita este:

( ) ( )2 2 2

3 3 3: 0C x y a a+ = >

se numeste ..................... .....................

A 4

Curba de ecuatie

( ) ( ): 1 cosC a = + reprezinta

a. un cerc scris n coordonate b. un lantisor c. o cardioida

polare i de raza2a

c


2/76

2

E 3

Curba de ecuatie:

( ) ( ): 1 cosC a = +

este numita (se numeste) si cicloida.

F

E 6

Curba de ecuatie:

( ) ( ): 1 cosC a = +

este numita (se numeste) si cardioida.

T

B 34

Curba de ecuatie:

0

at

z

=

=

reprezinta ...................... ......................

E 2

Curba definita de ecuatiile parametrice:

( )( )

( )

sin:

1 cos

x a t t C

y a t

=

=

se numeste cisoida.

F

E 4

Curba definita de ecuatiile parametrice:

( )( )

( )

sin:

1 cos

x a t t C

y a t

=

=

se numeste cicloida.

T

B 2

Curba definita parametric de ecuatiile:

( ) [ ]

cos

: sin , 0,2

x at t

C y at t t

z bt

=

=

=

reprezint:

a. o elips n spaiu. c. o elice conica.b. o elice circulara. d. alt curba n spaiu.

c

B 1

Curba ( )C definita prin ecuatiile parametrice:

cos

sin

x r

y r

z k

=

= =

este o:

a. elips n spaiu. c. elice conica.

b. elice circulara. d. alt curba din spaiu.

b

D 88

Curba definit parametric de ecuaiile:

( ) [ ]

cos

: sin , 0,2

x at t

C y at t t

z bt

=

= =

reprezint:

a. o elips n spaiu. c. o elice conic.b. o elice circular. d. alt curb n spaiu.

c


3/76

3

D 136

Curba definit parametric prin ecuaiile:

( )

cos

sin

x r

C y r

z k

=

= =

reprezinta o:

a. spiral logaritmic c. elice circularb. elice conica d. cerc n spaiu.

c

D 102

Curba n spaiu:

( ) 3 3 3: 3 2 4 , 4 3 2 , 2 4 3 ,C x t t y t t z t t t = + + = + + = + +

este situat ntrun plan ( )P de ecuaie:

a. 10 8 27 0 x y z+ = c. 10 8 27 0 x y z + =

b. 10 8 27 0 x y z+ + = d. 10 8 27 0 x y z + =

b

D 135

Curba lui Viviani, definit implicit de ecuaiile:

( )2 2 2 2

2 2

0

0

x y z r C

x y rx

+ + =

+ =

admite reprezentarea parametric:

a. [ ]

cos

sin cos , 0, 2

sin

x r t

y r t t t

z r t

=

=

=

c. [ ]2sin cos

sin , 0,2

cos

x r t t

y r t t

z r t

=

=

=

b. [ ]

2

cossin cos , 0, 2

sin

x r t y r t t t

z r t

=

=

=

d. [ ]

2

sinsin cos , 0, 2

sin

x r t y r t t t

z r t

=

=

=

b

H 198 Curba plana a carei ..................... .....................constanta este un cerc.

A 42 Curba plana a carei .. .. constanta este un cerc.

H 213

Curba stramba a carei ecuatie implicita este

( )2 2 2 0

:0

x y r C

z

+ =

=

reprezinta un . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..

H 216

Curba stramba a carei reprezentare parametrica este

( ) ( )

cos

: sin

x at t

C y at t t

z bt

=

= =

ste o elice ..................... .....................


4/76

4

H 224

Curba stramba a carei reprezentare parametrica este

( ) ( )

cos

: sin

x r t

C y r t t

z kt

=

= =

(C):

este o elice .............

B 18

Curba strimba a carei ecuatie implicita este:

( )2 2 2 0

:0

x y r C

z

+ =

=

reprezinta un . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

B 16

Curba strimba a carei reprezentare parametrica este:

( ) ( )

cos

: sin ,

x at t

C y at t t

z bt

=

= =

este o elice ...................... ......................

B 17

Curba strimba a carei reprezentare parametrica este:

( ) ( )

cos

: sin ,

x r t

C y r t t

z kt

=

= =

este o elice ...................... ......................

B 33

Curbe de ecuatie implicita2 2 2 2 0

0

x y z r

z

+ + =

=

este un . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

A 100Curbele ( )1C i ( )2C admit n punctul M un contact de ordinul n, dac cele dou curbe au (n +1) puncte

.. ..

A 98 Curbele plane a cror curbur este constant sunt .. ...

A 91 Curbura cercului de raza 1/2 este .. ..

B 32 Curbura unui cerc de raza1

4este egala cu ...................... ......................

A 48

Daca n punctul M (x,y)(C): ( ) ( )1 2, 0, ,F x y F C D D=

( ) 2 22

0,xy x y

F F F <

atunci M se numeste .. .. al curbei.

C 38 Dac normala n punctul curent al unei suprafee pstreaz direcia fix, suprafaa este un ....

A 14

Determinati punctele singulare ale curbei

( ) ( ) ( )2: 2 1 0C y x x = i sa se scrie ecuatiile tangentelor corespunzatoare.

a. ( )0,2 2 A y x= b. ( ) ( )0,2 2 A y x=

b


5/76

5

A 59

Distanta de la un punct M la punctul T, unde tangenta (MT ) taie axa Ox se numeste

.. ..

G 8

Ecuatia normalei intr-un punct ordinar M la o suprafata definita de ecuatia explicita:

( ) ( ): ,S z f x y= este:

1

X x Y y Z z

p q

= =

undexp z= si yq z=

T

G 9

Ecuatia normalei intr-un punct ordinar M la o suprafata definita de ecuatia explicita:

( ) ( ): ,S z f x y= este:

1

X x Y y Z z

p q

= =

undexp z= si yq z= .

F

G 4

Ecuatia planului normal la sfera:

( ) 2 2 3 2:S x y z R+ + =

in punctul ( ) ( )0 0 0, ,M x y z S este

0 0 0 0 xx yy zz+ + = .

T

G 6

Ecuatia planului tangent la o suprafata definita de ecuatia explicita:

( ) ( ): ,S z f x y= este:

( ) ( ) ( ) 0p X x q Y y Z z + + =

unde xp z= si yq z=

F

G 7

Ecuatia planului tangent la o suprafata definita de ecuatia explicita:

( ) ( ): ,S z f x y=

este:

( ) ( ) ( ) 0p X x q Y y Z z + =

undex

p z= siy

q z=

T

G5

Ecuatia planului tangent la sfera:

( ) 2 2 3 2:S x y z R+ + =

in punctul ( ) ( )0 0 0, ,M x y z S este2

0 0 0 xx yy zz R+ + = .

F

G 1

Ecuatiile:

[ ) [ ]( )cos sin

sin sin 0, , 0,2

cos

x R

y R

z R

=

= =

constituie o reprezentare parametrica a unei sfere.

T


6/76

6

G 2

Ecuatiile:

[ ) [ ]( )cos sin

sin sin 0, , 0,

cos

x R

y R

z R

=

= =

constituie o reprezentare parametrica a unei semi-sfere.

F

A 53

Ecuaia tangentei la curba

( )cos

:sin

t

t

x e t C

y e t

=

=

n punctul A(1,0).este .. ..

A 52

Ecuaia:

( ) ( ) 0y xY y F X x F + =

reprezinta .. .. la o curba regulata ( ), 0F x y = , dusa printr-un punct

( ),x y al curbei.

F 1

Elementul de arc al curbei circulare:

( ) [ ]( )cos

: sin 0,2

x a

C y a

z k

=

= =

este2 22ds a k = +

F

F 2

Elementul de arc al curbei circulare:

( ) [ ]( )cos

: sin 0,2x a

C y a

z k

= =

=

este2 22ds a k d = +

T

E 10

Elementul de arc al curbei:

( ) ( ): 1 cosC a = + este:

2 cos

2

ds a d

=

T

E 9

Elementul de arc al curbei:

( ) ( ): 1 cosC a = + este:

22 cos2

ds a d

= .

F


7/76

7

D 141

Elementul de arc pe curba:

( ) [ ]

cos

: sin , 0,2

x a

C y a t

z k

=

= =

este:

a. 2 2ds a k d = c. 2 2ds a k d = +

b. 21ds a k d = + d. 21

1ds k d a

= +

c

D 139

Elementul de arc pe elicea conic:

( )

cos

sin

x at t

C y at t

z bt

=

= =

este:

a. 2 2 2ds a t b dt = + c.2 2

ds a b t dt = +

b.2

22

bds t dt

a= + d. 2 2 2ds a t b dt = + +

d

E 12

Elementul de arc pe lantisorul de ecuatie:

( ) :C y chx=

este: ds chx= .

T

E 11

Elementul de arc pe lantisorul de ecuatie:

( ) :C y chx=

este: ds shx= .

F

D 143

Eliminand parametrul t intre ecuatiile parametrice reprezentand curba:

( ) 2

2

1

2

2

x t

C y t t

z t

= +

= + +

= +

obtinem ecuatiile implicite ale curbei:

a. ( )( )

21 2 0

3 0

x zC

x y z

+ =

=c. ( )

( )2 2 1 0

0

x z yC

x y z

+ =

=

b. ( ) ( )

22 1 2 0

3 0

z xC

x y z

+ =

+ =d. ( ) ( )

21 2 0

3 0

x y zC

x y z

+ =

+ =

b


8/76

8

D 84

Eliminnd parametrul t ntre ecuaiile curbei:

( )

2cos

: sin cos

sin

x r t

C y r t

z r t

=

= =

s se scrie ecuaiile curbei (C) sub form implicit.

a.

2 2 2 2

2 2 2

0

0

x y z r

x y z rx

+ =

+ + =c.

2 2

2 2

0

0

x y ry

x y rz

+ =

+ =

b.

2 2 2 2

2 2

0

0

x y z r

x y rx

+ + =

+ =d.

2 2 2

2 2 2

0

0

x y z rx

x y z rz

+ + =

+ + =

b

D 21

Eliminnd parametrul ntre ecuaiile parametrice ale curbei:

( )

2

3

2 sin

sin2 cos

x a

Cy a

=

=

(cisoida lui Diocles)

se obine ecuaia curbei sub form implicit:

a. ( )2 2 22 0 y x y ax+ = c. ( ) ( )2 2 2 2 2 0x x y a x y+ + =

b. ( )2 2 22 0 x x y ay+ + = d. ( )2 2 22 0 x x y ay+ =

b

C 32 Elipsoidul este o suprafata .. ..

C 21

Fie ( )S dat de ecuaia explicit:

( ) ( ) ( ) 2: , , ,S z f x y x y D=

Coeficientii lui .... ...................... se scriu sub forma:

2 21 , , 1 E p F pq G q= + = = +

A 19

Fie ( ) ( ): , 0C F x y = o curba plana iar ( )M C a.i prinMtrec dou ramuri ce admit tangente distincten acest punct (vezi figura ).

Atunci:

a. ( ) 2 22

0xy x y

F F F > b. ( ) 2 22

0xy x y

F F F = c. ( ) 2 22

0xy x y

F F F <

a


9/76

9

A 20

Fie ( ) ( ): , 0C F x y = o curba plana iar ( )M C un punct izolat (vezi figura ).

Atunci:a. ( ) 2 2

20

xy x yF F F < b. ( ) 2 2

20

xy x yF F F = c. ( ) 2 2

20

xy x yF F F >

a

A 82

Fie ( ) ( ): , 0C F x y = o curba plana i ( ),M x y un punct regulat. Atunci dreapta de ecuatie:

( ) ( ) 0y xX x F Y y F =

se numeste .. .. la curba dusa prin punctul M

C 29

Fie ( ) 3S o suprafata reprezentat prin ecuatiile ei parametrice Se stie ca unghiul a doua curbecoordonate este dat de relatia:

cos FEG

= .

Condtia de ortogonalitate a curbelor este .. ...

A 90

Fie ( )C un arc de curb plana, iar

0

1lim ,

def

xR s

=

unde are semnificatia din figura alaturata

Atunci,s

reprezinta .. ..

B 39

Fie (C) un arc de curb regulat din spatiu iar ( ), ,M x y z un punct arbitar pe (C). Numarul

3

r r

r

defineste ............................ ......................... curbei


10/76

10

B 40

Fie (C) un arc de curb regulat din spatiu iar ( ), ,M x y z un punct arbitar pe (C). Numarul

( )2

r r r

r r

defineste ..... ...................... curbei

D 151

Fie ( ) ( ) ( ) ( ): 2cos 2sin 4C r t i t j t k = + +

, o curba definita prin ecuatia sa vectoriali

4oM t

=

un punct pe aceasta curb. Atunci ecuaiile tangentei si planului normal sunt respectiv:

a.2 2

42 2

X Y Z = =

si 2 2 4 4 0 X Y Z + =

b.2 2

42 2

X Y Z = =

si 2 2 4 4 0 X Y Z + + =

c.2 2

1 1 2

X Y Z = = si 2 2 0 X Y Z + + =

d.3 1 4

42 2

ZX Y

= =

si 2 2 4 2 0 X Y Z + =

b

D 73

Fie AB un segment de lungime AB=k (const), care se deplaseaz sprijinindu-se cu captul A pe axaOX i cu captul B pe axa OY . S se afle nfurtoarea familiei de drepte AB .

a. x y acha

= c.

2 2 2

3 3 3 x y k + =

b.3 3 3

2 2 2 x y k + = d.

2

3

cos,

sin

x a t t

y a t

=

=

a

E 1Fie arcul de curba: ( ) [ ]

cos


11/76

11

D 47Fie curba ( ) 2 3 ,C y x px p= + i fie ,0

3

pA

un punct singular al curbei. Atunci:

a. A este punct de ntoarcere pentru p < 0 c. A este punct dublu pentru p < 0b. A este nod pentru p > 0 d. A este punct izolat pentru orice p > 0.

b

D 147

Fie curba

( )C de ecuaii parametrice:

( )

cos

: sin

x a

C y a

z b

=

= =

Atunci versorii triedrului lui Frenet in punctul A de parametru 0 = sunt:

a. ( ) ( )2 2 2 2

, ,aj bk bj ak

A n A i ba b a b

+

= = =+ +

b. ( ) ( ) 2 2 2 2, ,

aj bk bj aj

A i n A ba b a b

+ += = =

+ +

c. ( ) ( )2 2 2 2

, ,aj bk bj ak

A n A b ia b a b

+ +

= = = + +

d. ( ) ( )2 2 2 2

, ,ai bj aj bj

A n A b ia b a b

+

= = = + +

c

D 49

Fie curba ( )C definit implicit de ecuaia: ( ) ( ): , 0C F x y = i ( )0 0,M x y un punct singular.Atunci:

a. M este nod dac ( )2 0 xy xx yyF F F < n M

b. M nu un punct izolat dac ( )2

0 xy xx yyF F F = n M

c. Prin M trec dou ramuri ale curbei ce admit tangente distincte n acest punct

dac ( ) ( )( )2


d. Toate variantele de mai sus sunt adevrate

b

D 15

Fie curba ( )C definit n coordonate polare de ecuaie: ( ) ( )C = (posibil (C)== ()). S se

scrie ecuaiile tangentei (t ) i normalei (n) la curba ( )C n punctul curent

a. ( ) ( ):tg

t Y y X xtg

=

c. ( ) ( )

2:

tgt Y y X x

tg

=

( ) ( ):tg

n Y y X xtg

= ( ) ( ):

2

tgn Y y X x

tg

=

b. ( ) ( ):tg

t Y y X xtg

+ =

d. ( ) ( ):t Y y tg X x =

( ) ( ):tg

n Y y X xtg

=

+ ( ) ( )

1:n Y y X x

tg =

b


12/76

12

A 29

Fie curba (C) definita implicit de ecuaia: (C): F(x,y) = 0 i ( )0 0,M x y un punct singular.Atunci:

a. M este nod daca ( )2

0 xy xx yyF F F < n M

b. M nu un punct izolat daca

( )

20

xy xx yy

F F F = n M

c. Prin M trec doua ramuri ale curbei ce admit tangente distincte n acest punct

daca ( ) ( )( )2


d. Toate variantele de mai sus sunt adevarate

b

A 24

Fie curba (C) definita n coordonate polare de ecuatie: (C) = ( ). Notam V - unghiul dintretangenta MT i raza vectoare OM . Atunci:

a.1

tgV

= b.1

tgV

=

c. tgV

=

d. tgV

=

c

D 118

Fie curba ( ) ( ) ( ): cos ln , sin ln ,C x t a t y t a t z bt = = = , atunci binormala ( )nB ntr-un punct( ) ( ), ,x y z C are ecuaiile:

( )( ) ( )cos ln sin ln

:n

X t a t Y t a t Z btB

A B C

= = , unde:

a. ( ) ( )sin ln cos lnab

A a a t a t t

= +

( ) ( )cos ln sin lnab

B a a t a a t t

=

( )21a

C a

t

= +

b. ( ) ( )sin ln cos lnab

A a a t a t t

=


B a a t a a t t

= +

( )21a

C at

= +

c. ( ) ( )cos ln sin lnab

A a a t a a t t

=

( ) ( )cos ln sin lnab B a t a a t t

= +

( )21ab

C at

= +

d. ( ) ( )sin ln cos lnab

A a t t a t t

= +


B t a t a t t

=

( )

21ab

C at

= +

b


13/76


14/76

14

A 21

Fie curba de ecuatie:(C):x4+2ax2yay3 =0

S se stabileasca care dintre afirmatiile de mai jos este adevarata:

a. Originea este singurul punct regulat d. Originea este un punct dublu

b. ( )2,0A este un punct singular al curbei e. Originea este un punct triplu

c. Toate punctele curbei sunt regulate

e

A 35

Fie curba de ecuatii parametrice:

( )( )

( )( )( ): ,

x x t C t

y y t

=

=

i ( ) ( ),M X Y C un punct regulat situat pe curba. Atunci dreapta de ecuatie:

( ) ( ) 0t tx X x y Y y + =

reprezinta .. ..n punctul curent la curba data

A 36


( )( )

( )( )( ): ,

x x t C t

y y t

=

=


t t

X x Y y

x y

=

reprezinta .. ..n punctul curent la curba data.

A 37


( )( )

( )( )( ): ,

x x t C t

y y t

=

=


t t

X x Y y

x y

=

reprezinta ..n punctul curent la curba data.

?

H 202


( )

( )

( ) ( )( ),

x x t

C ty y t

=

=

si ( ) ( ),M X Y C un punct regulat situat pe curba. Atunci dreapta:

( ) ( ) 0x X x y Y y + =

este ecuatia ..................... ..................... in punctul curent la curba data.


15/76

15

H 215


( )( )

( )( )( ): ,

x x t C t

y y t

=

=

si ( ) ( ),M X Y C un punct regulat situat pe curba. Atunci dreapta:

X x Y yx y

=

este ecuatia ..................... .....................in punctul curent la curba data.

D 62

Fie curba de ecuaie:

( ) : , 0x

C y ach aa

= (lniorul)

Notm:1

R- curbura curbeii nS - segmentul normalcorespunztoare unui punct arbitrar pe curb.

Atunci:

a.1

nSR

= b.1

2nS

R= c.

1nS const R

= d.2

nSR

=

c

D 63

Fie curba de ecuaie:

( ) : ,kaC ae = (spirala logaritmic)

Notm:1

R- curbura curbeii

nS - segmentul normalcorespunztor unui punct arbitrar pe curb.

Atunci:

a.

1nSR

=b.

1

2 nSR=

c.

1nS const R

=d.

2nS R

=

c

D 144

Fie curba de ecuaii parametric:

( ) 2

2

1

2

2

x t

C y t t

z t

= +

= + +

=

atunci ecuaia planului osculator ntr-un punct arbitrar situat pe curba ( )C este:

a. ( )2 2 0t x y tz + = c. 3 0 x y z + =

b. ( )1 2 0tx t y z t + + = d. 2 3 0x y z t + =

c


16/76


17/76

17

D 111

Fie curba de ecuaii:

( )2 2

2 2

4 0:

4 0

x zC

x y

+ =

+ =

atunci, ecuaia tangentei ( )t i ecuaia planului normal ( )nP n punctul ( )0 3,1,1M sunt respectiv:

a. ( ) ( )3 1 1: , : 3 3 1 013 3

X Y Z t n X Y Z = = + =

b. ( ) ( )3 1 1

: , : 3 3 1 013 3

X Y Z t n X Y Z

= = + =

c. ( ) ( )3 1 1

: , : 3 3 3 01 3 3

X Y Z t n X Y Z

= = + + =

d. ( ) ( )3 1 1

: , : 3 3 3 01 3 3

X Y Z t n X Y Z

= = + =

d

D 14

Fie curba ( )C definit n coordonate polare de ecuaie: ( ) ( )C = (posibil (C)== ()). Notm V- unghiul dintre tangenta MT i raza vectoare OM . Atunci

a.1

tgV

= b.1

tgV

=

c. tgV

=

d. tgV

=

c

D 132

Fie curba n spaiu:

( ) ( ) ( )2: 2 ln , 0C r t ti t j t k t = + + >

S se calculeze versorul tangentei

, n punctul ( )2,1,0P i ecuaia tangentei la curb n acest punct.

a.2 2 13 3 3

i j k = + +

si ( )2 1

:2 2 1

X Y Z T

= =

b. 2 2i j k = + +

si ( )2 1

:2 2 1

X Y Z T

= =

c.1

2i j k = + +

si ( )

2 1:

2 1 2

X Y Z T

= =

d.2 2 1

3 3 3i j k = +

si ( )

2 1:

2 2 1

X Y Z T

= =

a

A 12

Fie curba plana reprezentata cartezian de ecuaia

( ) ( ) ( ) 2: , 0, ,C F x y x y D=

unde ( )1F C D . n acest caz, solutiile sistemului

( )

( )

( )

, 0

, 0

, 0

x

y

F x y

F x y

F x y

=

=

=

se numesc puncte

a. singulare b. regulate c. izolate

a


18/76

18

A 88

Fie curba plana:(C) : F(x,y) x3+xy2+xy+y32x22y2=0

Atunci, punctul originea este un .. .. pentru curba data.

A 86

Fie curba plana:(C) : y2 (x2)(x1)=0

Atunci, punctul ( )2,0A este un .. .. pentru curba data.

A 87

Fie curba plana:(C) : y2 (x2)(x1)=0

Atunci, punctul ( )2,0A este un .. .. pentru curba data.

D 54

Fie curba plan ( ) ( ) 3 2 2 3 2 2: , 2 2 0C F x y x xy yx y x y + + + = S se stabileasc punctele singulare ale curbei.

a. O(0,0), punct izolat. c. B(1,1) , punct singular de tip nod.b. A(1,1) , punct dublu. d. alt variant.

d

F 10Fie curba regulata de ecuatie vectoriala ( ) ,r r t t I =

. Atunci vectorul

r

r =

se numeste versorul

binormalei la curba in punctul curent pe curba.

F


. Atunci vectorul

.

.

r

r

=

se numeste versorul

tangentei la curba in punctul curent pe curba.

T

H 225Fie curba regulata de ecuatie vectoriala ( ) ,r r t t I =

. Atunci vectorul

r rb

r r

=

se numeste

versorul ..................... ..................... la curba in punctul curent pe curba.


. Atunci vectorul

r rb

r r

=

se numeste

versorul tangentei la curba in punctul curent.

F


. Atunci vectorul

r rb

r r

=

se numeste

versorul binormalei la curba in punctul curent.

T

H 214Fie curba regulata de ecuatie vectoriala ( ) ,r r t t I =

. Atunci vectorul

r

r =

se numeste versorul

..................... ..................... la curba in punctul curent.

F 14

Fie curba regulata de ecuatie vectoriala ( ) ,r r t t I =

. Notam cu

respectiv b

versul tangentei

respectiv al binormalei la curba in punctul curent. Atunci vectorul: n b =

se numeste versorulcanonic la curba in punctul curent pe curba.

F


19/76

19

F 15


. Notam cu

respectiv b

versul tangentei

respectiv al binormalei la curba in punctul curent. Atunci vectorul: n b =

se numeste versorulnormalei principale la curba in punctul curent pe curba.

T

F 16


. Notam cu

respectiv n

versorii tangentei

respectiv al normalei principale la curba in punctul curent si cu R raza de curbura corespunzatoare.

Atunci1d

nds R

=

T

F 17


. Notam cu

respectiv b

versorii tangentei

respectiv al binormalei la curba in punctul curent si cu R raza de curbura corespunzatoare. Atunci

1db

ds R

=

F

H 206


. Notam cu

respectiv b

versul tangentei

respectiv al binormalei la curba in punctul curent. Atunci vectorul:n b

=

se numeste versorul

..................... ..................... la curba in punctul curent pe curba.

H 222


. Notam cu

respectiv n

versorii tangentei

respectiv al normalei principale la curba in punctul curent si cu R raza de curbura corespunzatoare.Atunci

1dn

ds R

=

..................... .....................

H 223


. Notam cu b

respectiv n

versorii binormalei

respectiv al tangentei la curba in punctul curent si cu T raza de torsiune in punctul curent. Atunci

1dbn

ds T =

..................... .....................

H 217


. Notam:

{ }, ,n b

- versorii triedrului lui Frenet

R , T - razele de curbura respectiv de torsiune corespunzatoare. Atunci:

1 1dn bds R T + =

..................... .....................

B 23Fie curba regulata de ecuatie vectoriala: ( ) ,r r t t I =

. Atunci vectorul:

r

r =

se numeste versorul

.......................... ...................... la curba n punctul curent.

B 24Fie curba regulata de ecuatie vectoriala: ( ) ,r r t t I =

. Atunci vectorul:

r rb

r r

=

se numeste

versorul ...................... ...................... la curba n punctul curent pe curba.


20/76

20

B 27

Fie curba regulata de ecuatie vectoriala: ( ) ,r r t t I =

. Notam :

{ }, ,n b

- versorii triedrului lui Frenet

R,T - razele de curbura i respectiv de torsiune corespunzaroare. Atunci:

1 1dnbds R T + =

...................... ......................

B 25


. Notam cu

respectiv b

versul tangentei

respectiv al binormalei la curba n punctul curent.Atunci vectorul: n b =

se numeste versorul

.................. ...................... la curba n punctul curent pe curba.

B 28


. Notam cu b

respectiv n

versorii binormalei

respectiv ai tangentei la curba n punctul curent i cu T raza de torsiune n punctul curent. Atunci:

1db nds T

=

...................... ......................

B 26


.Notam cu

respectiv n

versorii tangentei

respectiv al normalei principale la curba in punctul curent si cu R raza de curbura corespunzatoare. Atunci:

1dn

ds R

=

...................... ......................

A 9

Fie curba regulata definita parametric de ecuatiile ( ) ( ),x x t y t t = = . Atunci dreapta de ecuatie:

X x Y y

y x

=

dusa printr-un punct arbitrar ( ),x y al curbei reprezinta

a. tangenta la curba b. normala la curba

b

B 19

Fie curba strimba ( )C care are reprezentarea parametrica:

( )

( )

( )

( )

: ,

x x t

C y y t t I

z z t

=

=

=

Atunci dreapta ce trece printr-un punct arbitar ( ), ,M X Y Z definita prin:

t t t

X x Y y Z z

x y z

= =

este ecuaia ...................... ...................... la curba data.


21/76

21

B 20


( )

( )

( )

( )

: ,

x x t

C y y t t I

z z t

=

=

=

Atunci ecuaia:

( ) ( ) ( ) 0t t tx X x y Y y z Z z + + =

reprezinta planul ...................... ...................... la curba intr-un punct arbitar ( ), ,M X Y Z .

B 21


( )

( )

( )

( )

: ,

x x t

C y y t t I

z z t

=

=

=

Atunci ecuaia:

0t t t

tt tt tt

X x Y y Z z

x y z

x y z

=

reprezinta planul ...................... ...................... la curba intr-un punct arbitar ( ), ,M X Y Z .

B 22


( )( )( )

( )

: ,x x t

C y y t t I

z z t

==

=

Atunci dreapta ce trece printr-un punct arbitar ( ), ,M X Y Z definita prin ecuatiile:

,X x Y y Z z

A B C

= = unde , ,

t t t t t t

tt tt tt tt tt tt

y z z x x y A B C

y z z x x y= = =

este ...................... . ...................... la curba data.

H 220


( )

( )

( )

( )

:

x x t

C y y t t I

z z t

=

=

=

Atunci dreapta ce trece printr-un punct arbitrar ( ), ,M X Y Z definita prin ecuatia:

X x Y y Z z

A B C

= = , unde , ,

y z z x x y A B C

y z z x x y

= = =

este ..................... ..................... la curba data.


22/76

22

H 227


( )

( )

( )

( )

:

x x t

C y y t t I

z z t

=

=

=

Atunci ecuatia:( ) ( ) ( ) 0x X x y Y y z Z z + + =

reprezinta planul ........................ ........................ la curba intr-un punct arbitrar ( ), ,M X Y Z .

F 8


( )

( )

( )

( )

:

x x t

C y y t t I

z z t

=

=

=

Atunci dreapta ce trece printr-un punct arbitrar ( ), ,M X Y Z definita prin:

X x Y y Z z

A B C

= = unde , ,

y z z x x y A B C

y z z x x y

= = =

este ecuatia normalei principale la curba data.

T

F 5


( )

( )

( )

( )

:

x x t

C y y t t I

z z t

=

=

=

Atunci ecuatia planului normal la curba intr-un punct arbitrar ( ), ,M X Y Z este:

( ) ( ) ( ) 0x X x y Y y z Z z + + =

T

F 3


( )

( )

( )

( )

:

x x t

C y y t t I

z z t

=

=

=

Atunci ecuatia normalei la curba intr-un punct arbitrar ( ), ,M X Y Z este:X x Y y Z z

x y z

= =

F

F 4


( )

( )

( )

( )

:

x x t

C y y t t I

z z t

=

=

=

Atunci ecuatia tangentei la curba intr-un punct arbitrar ( ), ,M X Y Z este:

X x Y y Z z

x y z

= =

.

T


23/76

23

F 9


( )

( )

( )

( )

:

x x t

C y y t t I

z z t

=

=

=


X x Y y Z z

A B C

= = unde , ,

y z z x x y A B C

y z z x x y

= = =

este ecuatia binormalei la curba data.

T

H 218


( )

( )

( )

( )

:

x x t

C y y t t I

z z t

=

=

=

Atunci ecuatia:

0

X x Y y Z z

x y z

x y z

=

reprezinta planul ..................... ..................... la curba intr-un punct arbitrar ( ), ,M X Y Z .

F 7


( )

( )

( )

( )

:

x x t

C y y t t I

z z t

=

=

=

Atunci ecuatia:

0

X x Y y Z z

x y z

x y z

=

reprezintaplanul osculatorla curba intr-un punct arbitrar ( ), ,M X Y Z .

T

H 226


( )

( )

( )

( )

:

x x t

C y y t t I

z z t

=

=

=


X x Y y Z z

x y z

= =

este ecuatia ..................... ..................... la curba data.


24/76

24

F 6


( )

( )

( )

( )

:

x x t

C y y t t I

z z t

=

=

=

Atunci ecuatia:

0

X x Y y Z z

x y z

x y z

=

reprezintaplanul normal la curba intr-un punct arbitrar ( ), ,M X Y Z .

F

D 44

Fie curba ( ) 2: 1 xC y e= + i M un punct arbitrar situat pe curb. Notm R , raza de curbur, tS i nS lungimile segmentelor subtangent, respectiv subnormal corespunztoare punctului M . Atunci

a. tn

SR

S= b.t n R S S= c. t

n

SR

S

=

d. t n R S S= +

a

A 62

Fie curba(C) , definita de ecuatiile parametrice

( )cos

:sin

t

t

x e t C

y e t

=

=

i M (0) punctul fixat pe curba.Atunci segmentul subtangenta este

PN= .. ..

D 83

Fie curba:

( )

2 2 2 2

2 2

0

: 0

x y z r

C x y rx

+ + =

+ =

atunci ecuaiile parametrice ale curbei date sunt:

a. [ ]

2cos

sincos , 0,2

sin

x r t

y r t t

z r t

=

= =

c. [ ]2sin cos

cos , 0,2

sin

x r t t

y r t t

z r t

=

= =

b. [ ]

2sin

sincos , 0,2

cos

x r t

y r t t

z r t

=

=

=

d. alt raspuns

a

D 9

Fie curba:

( )

( )

3

22

43

1

tx t

C

y t

= +

= +

Se tie c raza de curbur este dat de relaia5

44R y= . Dac nS este segmentul de normal al curbei,atunci:

a.nR S= b. 2 nR S= c. 4 nR S= d.

1nS

R=

c


25/76

25

D 8

Fie curba:

( )

( )

3

22

43:

1

tx t

C t

y t

= +

= +

Notm R - raza de curbur n punctul curent pe curb. Atunci:

a.2

34R y= b.3

24R y= c.5

44R y= d.4

54R y=

c

D 51

Fie curba:

( ) ( ) ( ) ( )22: , 0, , 0C F x y y x a x b a b =

S se studieze punctele singulare ale curbei.

a. ( )0,B b , este nod pentru curba ( )C dac a b< .

b. ( ),0A a , este nod pentru curba ( )C dac a b> .

c. ( ),0A a , este punct izolat pentru a b> .

d. ( )0,B b , este punct izolat pentru a b< .

b

A 103

Fie curbele

( )( )

( )1 :

x x tC

y y t

=

=; ( ) ( )2 : , 0C F x y = .

Dac

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1... 0; 0,n nt t t t += = = =

atunci cele dou curbe au n punctul ( )M t un ...................... ...................... de ordinul n

D 5

Fie curbele ( ) ( )2

1 2: , : 1 2x x

C y e C y x= = + + . S se calculeze curburile 1K i 2K corespunztoare

lui ( )1C i respectiv ( )2C n punctul comun A .

a. ( ) 1 2 31

1,0 ,2

A K K = = c. ( ) 1 21

1, 0 ,2 2

A K K = =

b. ( ) 1 23 31 2

1,1 , ,2 3 A K K = = d. ( ) 1 21 1

1,0 , ,3 2 2 A K K = =

c

A 101Fie curbele plane ( )1C i ( )2C . Se spune ca cele dou curbe au un contact ntr-un punct M ce aparineambelor curbe dac cele dou curbe date admit n M aceeasi ...................... ......................

A 102

Fie curbele

( )( )

( )1 :

x x tC

y y t

=

=; ( ) ( )2 : , 0C F x y = .

Dac cele dou curbe au n punctul ( )0 0M t un contact de ordinul n, atunci 0t este rdcin multipl de

ordinul ...................... ......................


26/76

26

D 46

Fie curbura ( ) 2 3: ,C y x px p= + . S se determine punctele singulare ale curbei

a. ,0 , ,03 3

p pA B

c. 0, , 0,

3 3

p pA B

b. ,0 , ,03 3p pA B

d. 0, , 0,

3 3p pA B

b

D 69

Fie ( ) ( ) ( )2 2 2:C x y r + = ecuaia cercului osculator la curba de ecuaie cartezian:

( ) ( ):C y f x= . atunci:

a.

( )

( )

( )

2 2

2 2

2

1

1

1

y yx

y

y yyy

yr

y

+ = +

+ =

+

=

b.

( )

( )

( )

2 2

2 2

32 2

1

1

1

y yx

y

y yyy

yr

y

+ =

+ = +

+

=

c.

( )( )

2

2

32 2 2

yx

x y x y

yxx y x y

x yr

x y x y

=

= +

+

=

d. alta varianta

b

B 35

Fie elicea circulara:

( ) ( ) ( ) ( ): 2cos 2sin 5C r t i t j t k = + +

Sa se calculeze lungimea arcului

( )AB situat pe curba ( )C unde A i B corespund bijectiv valorilort = 0 i respectiv t =1.

ABl = ...................... ......................

D 92

Fie elicea circular:

( ) ( ) ( ) ( ): 2cos 2sin 5C r t i t j t k = + +

S se calculeze lungimea arcului ( )AB situat pe curba ( )C unde A i B corespund bijectiv valorilort = 0 i respectiv t =1.

a.( )

5AB

l = c.( )

3AB

l =

b.( )

4AB

l = d.( )

2 5AB

l =

c


27/76


28/76


29/76

29

A 31

Fie o curba regulata de ecuatie: ( ) ,y f x x= i ( ),M x y un punct pe curba (vezi figura)

Atunci:

a.T

yX x

y=

b.

yPN x

y=

c.

N X yy=

a

B 30

Fie o curba strimba pentru care torsiunea sa este1

0T

= .

Atunci, curba este ...................... ......................

A 17

Fie o curb (C) i un punctMregulat n care am definit tangenta i normala la aceast curb .Dac notm cu P proiecia punctuluiMpe axa absciselor, atunci se pun n eviden urmtoarele segmente

(vezi figura)

a. MT segmentul normala, c. PT segment tangent,

MN subnormal,

b. MT subtangentPT segmentul tangent, d. PN subnormal.

d

H 211

Fie o suprafata ( )

( )

( )

( )

( ) 2,

: , , ,

,

x x u v

S y y u v u v

z z u v

=

=

=

. Atunci forma patratica:

2 2 22ds Edu Fdudv Gdv= + + (unde E,F,G este primul grup de coeficienti ai lui Gauss)

se numeste ..................... ..................... a suprafetei ( )S .


30/76

30

C 16

Fie o suprafata ( )

( )

( )

( )

( ) 2,

: , ,

,

x x u v

S y y u v u v R

z z u v

=

=

=

i fie ( )( )

( ):

u u tt I R

v v t

=

=

o curba oarecare pe suprafata ( )S .Atunci

2 22ds Edu Fdudv Gdv= + +

se numeste ........................ .................... de arc pe curba ( )

C 20

Fie o suprafata ( ) ( ): ,r r u v =

2 2 22ds Edu Fdudv Gdu= + +

Relatia (1) exprim patratul .. ..................... al curbei () pe suprafata

(S) i se mai numeste prima forma ptratica fundamentala.

C 30

Fie o suprafata ( )S , iar v versorul normalei la suprafata intr-un punct arbitar

cos cos cosv i j k = + +

.

Numerele cos , cos , cosreprezinta ......................... .................. ai normalei

C 14Fie o suprafata ( )

( )

( )

( )

( ) 2,

: , ,

,

x x u v

S y y u v u v R

z z u v

=

=

=

. Atunci ( )( )

( ):

u u tt I R

v v t

=

=

reprezinta o ...................... ................... pe suprafata .

H 210

Fie o suprafata ( )

( )

( )

( )

( ) 2,

: , , ,

,

x x u v

S y y u v u v

z z u v

=

=

=

. Atunci ( )( )

( ):

u u tt I

v v t

=

=

reprezinta o ..................... ..................... pe suprafata ( )S .

C 15

Fie o suprafata ( )

( )

( )

( )

( ) 2

,

: , ,

,

x x u v

S y y u v u v R

z z u v

=

=

=


2 2 22ds Edu Fdudv Gdv= + + (unde E,F,G este primul grup de coeficienti ai lui Gauss)

se numeste ....................... .................... a suprafetei ( )S


31/76

31

C 19

Fie o suprafata ( )

( )

( )

( )

( ) 2,

: , ,

,

x x u v

S y y u v u v R

z z u v

=

=

=


2 22 Ldu Mdudv Ndv = + +

se numeste .................... ..... a suprafetei ( )S (unde L,M,N estecel de-al doilea grup de coeficienti ai lui Gauss)

C 27

Fie o suprafata ( )

( )

( )

( )

( ) 2,

: , ,

,

x x u v

S y y u v u v R

z z u v

=

=

=


2 22 Ldu Mdudv Ndv = + +

se numeste a doua forma fundamentala a suprafetei ( )S , iar L,M,N este cel de-al doilea grup de coeficienti

ai lui .. ......

H 208

Fie o suprafata ( )

( )

( )

( )

( ) 2,

: , , ,

,

x x u v

S y y u v u v

z z u v

=

=

=


2 22 Ldu Mdudv Ndv = + + (unde L,M,N este cel de-al doilea grup de coeficienti ai lui Gauss)

se numeste ..................... ..................... a suprafetei ( )S .

C 28

Fie ( ) 3S o suprafata reprezentata de ecuatiile parametrice, iar ( ) ( ),u v curbele de coordonate

duse prin punct ( )M S i fie ( ) o curba oarecare trasata pe aceasta suprafata

( )( )

( ):

u u t

v v t

=

=

prin acelasi punct P. Relatia:

2

1cos

dr dv

R ds

=

exprima ...... ...................curbei ( ) .

C 26

Fie ( ) 3S o suprafat reprezentat prin ecuatiile ei parametriceAtunci relatia

cosF

EG =

exprima unghiul a doua curbe ........................ .......................... pe suprafata ( )S .


32/76


33/76

33

H 200Fie suprafata ( ) ( ) 2: ,S r r u v=

. Atunci versorul

r rv

r r

=

este versorul ..........

..................... ..................... la suprafata.

C 17

Fie suprafata ( ) ( ) 2: ,S r r u v R=

.Atunci expresia:

2d EG F dudv =

ne da ......................... ........................... al suprafetei ( )S .

C 8

Fie suprafata :

( ) 2 2 2 2: , ,x u v y u v z uv = + = = Elementul de arc pe curba

( )2 : 1v = situata suprafata () este

a. 22 8 1 ;ds u du= + b. 22 8 1ds u du=

a

C 5

Fie suprafata definita parametric de ecuatiile:

( ) ( ) 2cos

: sin ,

x u v

y u v u v

z u v

=

= = +

Atunci ecuatiile normalei n punctul ( )0 1, M u v = = sunt, respectiv

a.1 1

1 1 1

x y z + = = b.

1 1

1 1 1

x y z + += =

a

C 6


( ) ( ) 2cos

: sin ,

x u v

y u v u v

z u v

=

= = +

Atunci ecuatiile planului tangent ( )0 1, M u v = = sunt, respectiv

a. x y z = b. x y z


34/76

34

C 4


( ) ( ) 2cos

: sin ,

x u v

y u v u v

z u v

=

= = +

Atunci ecuatiile planului tangent ( )0 1, M u v = = sunt, respectiv

a. 0 x y z+ + = c. x y z + + =

b. 0 x y z = d. x y z =

c

C 13

Fie suprafata regulata

( ) ( ) 2: ,S r r u v R=

.

Atunci

r rv

r r

=

versorul ...................... ...................... la suprafata n punctul curent pe suprafata

C 7

Fie suprafata:

( ) : cos , sin ,S x u v y u v z av= = = S se afle elementul de arie pe suprafat.

a. 2 2 d u a du dv = + b. ( )2 2 2 2 2ds du u a dv= + +

a


35/76

35

C 36

Fie suprafaa

( ) 2: 5 4 3S z x y= + S se determine ecuaia planului tangent n punctul M (1,0, 2). . .

D 20

Fie un cerc de raz a . Fie A un punct pe cerc i O punctul diametrar opus lui A. O secant oarecaredus prin O taie cercul n punctul C i tangenta n A la cerc n punctul B. S se afle locul geometric alpunctului P astfel nct BP = OC .

a.

3

3

cos

sin

x t

y a t

=

=(astroida) (posibily=2asin3t) c. kaae = (spirala logaritmica)

b.

2

3

2 sin

sin2

cos

x a

y a

=

=

(cisoida lui Diocles) d.( )

( )

sin

1 cos

x a t t

y a t

=

= (cicloida)

a

B 6

Fie ( ) ( ), ,M x y z C un punct regulat. Planul normal, ( )nP la curba ( )C n punctul Meste

a. ( ) ( ) ( ) ( ): 0n

P X x x Y y y Z z z + + =

b. ( ) ( ) ( ) ( ): 0nP X x x Y y y Z z z + + + + + =

a

D 149

Fie:

( )2

2

ln , 0

x t

C y t t

z t

=

= >

=

ecuatia unei elice cilindrice. Atunci:

a. T R= b.T

constR

= c. 4T R= d. 1R

T=

d

D 121

Fiind dat o curb n spaiu:

( ) ( ) ( ) ( ): , ,C x x s y y s z z x= = = unde s I , s parametru natural pe curbi notnd:

1

R- curbura curbei,

1

T- torsiunea curbei, atunci care dintre urmtoarele egaliti este fals:

a.1d

nds R

=

c.1db

nds T

=

b.1 1dn

bds R T

= +

d.

1 1dnb

ds R T = +

d

A 92

Inversul raportului

( )3

2 2

x y x y

x y

+

se numeste .. .. a unei curbe regulate (C) din plan.


36/76


37/76

37

B 31

O curba plana pentru care torsiunea sa

1

T= ...................... ......................

este o dreapta.

B 29O curb pentru care raportul dintre razele de curburi de torsiune este constant reprezint o:

...................... .........

D 127

O curb pentru care raportul dintre razele de curburi de torsiune este constant este o:

a. elice. c. cerc.b. elips. d. dreapt.

a

H 219

O suprafata definita prin ecuatia implicita:

( ) ( ): , , 0S F x y z = cu ( )1F C D pentru care

( )2 2 2 0 , , x y zF F F x y z D+ + =

se numeste ..................... .....................

C 11

O suprafata definita prin ecuaia implicita:

( ) ( ): , , 0S F x y z = cu ( )1F C D pentru care

( )2 2 2 0 , , x y zF F F x y z D + + =

se numeste .. .

C 33

Originea este un ..................... ..................... pentru conul de rotaie

2 2 2

x y z+ =

D 130

Parametrii directori ai normalei la planul osculator ( )oP n punctul ( )1A t= la curba

( ) ( ) ( ): cos ln , sin ln ,C x t a t y t a t z bt = = = sunt:

a. ( )2 2 2, , 1A ab B a b C a b= = = +

b. ( )2 2 2, , 1 A ab B ab C a a= = = +

c. ( )2 2 2, , 1 A ab B ab C a b= = = +

d. ( )2 2 2, , 1A a b B a b C a a= = = +

c

C 22

Pentru o suprafata ( )S dat de ecuatiile parametrice

( ),r r u v=

notam ds elementul de arc. Completati semnul corespunzator pentru a obtine o egalitate.

2 2...... ...... 2ds Edu Fdudv Gdv= + ...................... ......................

+


38/76

38

C 23

Pentru o suprafata ( )S dat de ecuatiile parametrice

( ),r r u v=

Atunci relatia2

d EG F dudv =

exprima ...................... .......................al suprafetei.

A 3

Pentru un arc de curb definit prin ecuatiile sale polare: ( ) , = , elementul de arc este

a. 2 2' ''ds d = + b. 2 2'ds d = +

b

B 7

Planele normale la curba:

( ) 2: sin , sin cos , cosC x t y t t z t = = = trec prin

a. originea sistemului decoordonate

b. punctul , ,2 2 2

A

c. ( )1, 1, 1A

a

B 38

Planul de ecuatie:

0

X x Y y Z z

x y z

x y z

=

se numeste ...................... ...................... la o curba (C) din spatiu dus prin punctul regulat

( ), ,M x y z situat pe curba data.

D 145

Planul normal la curba de ecuaii parametrice:

( ) 2

2

1

2

2

x t

C y t t

z t

= +

= + +

=

dus prin punctul M de parametru arbitrar t si situat pe curba ( )C este:

a. ( ) ( )( ) ( )2 1 2 0X x t Y y t Z z + + = c. ( )2 1 0 X Y Z t + + + =

b. ( ) ( ) ( )2 2 0X x t Y y Z z + = d. 2 1 0 X tY Z t + =

a

B 11

Planul normal la curba2

2

x z

z x

=

=

dus prin punctul M(1,1,1) este

a. 2X+Y+4Z5=0 b. X+YZ1=0

a


39/76

39

D 110

Planul normal la curba: ( ) ( ): cos ,sin sin ,cos sinC r a t t t =

, n punctul curent, trece printr-o

dreapt fin de ecuaie:

a.0

sin cos 0

x

y z

=

+ =c.

0

sin cos 0

y

x z

=

=

b.sin sin cos cos 0cos cos sin sin 0

x t y t z t

x t y t z t

=

+ =d.

0cos sin 0

x

y z

=

=

d

B 12

Planul osculator la curba2

2

x z

z x

=

=

dus prin punctul M(1,1,1) este

a. 2XZ1=0 b. 2X+Y3Z1=0

b

B 8

Planul

Xsin 2t + Ycos2t Zsint = 0reprezinta pentru curba

( ) 2: sin , sin cos , cosC x t y t t z t = = =

a. planul normal b. planul osculator c. planul binormal

a

A 49Prin definitie, diferentiala functiei: ( ) ( ),s s t t = se numeste .. ..

al unui arc de curb ( ) AB C

D 137

Proiectia curbei:

( )

2 2 2 2

2 2

0

0

x y z r

C x y rx

+ + =

+ =

pe planul xOy este:

a. o curba plan; c. un punct ( ),0,0M r ;

b. segmentul AB cu ( ),0,0A r i ( )0, ,0B r ; d. cercul 2 2 2 x y r + = .

b

A 61Proiectia ortogonala ale segmentelor tangenta pe axa Ox se numeste

..

D 138

Proiecia curbei:

( ) cossinx r

C y r

z k

=

= =

pe planul xOy este:

a. ( )2 2 2 0

0

x y r C

z

+ =

=c. cercul: ( )

2 2 2 0

0

x y r C

z

+ =

=

b. un segment de dreapt; d. alta variant.

c


40/76

40

A 72

Punctul ( ) ( ),M x y C de ecuatie

( ), 0F x y =

se numeste .. .. al curbei daca:

( ) 2 22

0xy x yF F F >

A 93

Raportul

( )3

2 2

x y x y

x y

+

se numeste .. .. unei curbe regulate (C) din plan.

A 44

Raportul dintre segmentul tangenta MT i segmentul normala MN, corespunzator unui punctul fixat

( )0M al curbei

( )cos

: sin

t

t

x e t C

y e t

= =

are valoarea .. ..

D 140

Reprezentarea elicei conice:

( )

cos

sin

x at t

C y at t

z bt

=

= =

sub forma unei ecuaii implicit este:

a. ( )

2 2 2

2 2 20

x y z

a b bCy

z barctgx

+ =

=

c. ( )2 2 2 2 2

0x y a z b z by

+ =

=

b. ( )

2 22

2 21

x yz

a bC

x z arctg

y

+ =

=

d. ( )

2 2 2

2 2 21

x y z

b a aC

x z barctg

y

+ =

=

a

D 125

S se afle curbura curbei:

( ) ( ) ( ): cos ln , sin ln ,C x t a t y t a t z bt = = =

n punctul curent pe curb.

a.( )

2

2 2

1 1

1

a a

R a b t

+=

+ +c.

2

1

1

t

R ab a a=

+ +

b.2

2

1 1

1

b a a

R a

+ +=

+d.

2

2

1 1

1

a at

R b a a

+=

+ +

a


41/76

41

D 38

S se afle curbura K i raza de curbur R n punctul M (1, 1) la curba:

( ) ( )3 3 22 0, ,C x y xy x y + = (C) x3y3+2xy=0 ,

a.2

4 2,8

K R= = c.2

, 4 28

K R= =

b.2

4 2,8

K R= = d.2

4 2,8

K R= =

a

D 77

S se afle desfurata elipsei:

( )cos

: ,sin

x x t C t

y b t

=

=

a.

3

3

cos

sin

x a t

y b t

=

=c.

( )

( )

sin

1 cos

x a t t

y b t

=

=

b.

23

3

cos

sin

cx t

a

cy t

b

=

=

d.2 2

2 21

x y

a b+ =

b

D 78

S se afle desfurata parabolei:

( ) 2: 2C y px=

a. ( )32 4

27 y x p= c. ( )

32 8

27 y x p= +

b. ( )32 8

27 y x p= d. ( )

32 8 027

y x p+ =

b

D 90

S se afle elementul de arc al elicei circulare:

( ) [ ]

cos

: sin , 0,2

x a t

C y a t t

z kt

=

= =

a. 2 2ds a k dt = c.2 2

dtds

a k=

+

b. 1ds dt k

= d. 2 2ds a k dt = +

d

B 3

S se afle elementul de arc al elicei circulare:

( ) [ ]

cos

: sin , 0,2

x a t

C y a t t

z kt

=

= =

a. 2 2ds a k dt = c.2 2

dtds

a k=

+

b.1

ds dt k

= d. 2 2ds a k dt = +

d


42/76


43/76

43

A 6

S se afle lungimea arcului

( ) [ ]: ; 0,2

x x

a aa

C y e e x b

= +

a.b

asha

b.x

asha

a

A 5

S se afle lungimea unei bucle a cicloidei

( )( )

( )[ ]

sin: , 0,2

1 cos

x a t t C t

y a t

=

=

a. 2 sin2

tds a dt = , b. sin

2

tds a dt =

a

A 78

S se afle lungimea unei bucle a cicloidei

( )( )

( )

[ ]sin

: , 0,2

1 cos

x a t t C t

y a t

=

=

ABl = .. ..

D 31

S se afle lungimile segmentelor de tangent MT , subtangent PT , de normal MN i subnormal PN

n punctul 1,12

M

la cicloida ( ) [ )sin

0,21 cos

x t t C t

y t

=

=

a.

2

21

1

MT

PTMN

PN

=

==

=

b.

1

2

1 1

21

MT

PT

MN

PN

=

=

=

=

c.

1

2

121

1

MT

PT

MN

PN

=

= =

=

d.

2

12

1

MT

PT

MN

PN

=

=

=

=

d

D 32

S se afle lungimile segmentelor de tangent MT , subtangent PT , normal MN , subnormal PN npunctul M (1,1) lafolium-ul lui Descartes: (C) x3+y32xy=0 ( posibil sa nu apara la examen)

a. 2, 1, 2, 1 MT PT MN PN = = = =

b.

1 1

, 1, , 12 2 MT PT MN PN = = = =

c. 1, 2, 1, 2 MT PT MN PN = = = =

d.1 1

1, , 1,2 2

MT PT MN PN = = = =

a


44/76


45/76

45

D 37

S se afle raportul dintre raza de curbur R i lungimea segmentului normal MN corepunztore curbei

( )( )

( )[ )

sin0,2

1 cos

x a t t C t

y a t

=

=

a. 1

R

MN=

b. 2

R

MN=

c. 2

R

MN=

d.

1

2

R

MN=

b

D 36

S se afle raza de curbur a cicloidei: ( )( )

( )[ )

sin0,2

1 cos

x a t t C t

y a t

=

=

a. 4 sin2

tR a= c. 4 cos

2

tR a=

b. 4 sin2

tR a= d. 4 cos

2

tR a=

a

D 35

S se afle raza de curbur a lniorului: ,x y ach xa

=

a. R a chx= c. 2sR a h x=

b. s R a hx= d. 2R a ch x=

d

D 153

S se afle raza de curbur n punctul curent situat pe curba:

( )

sin

: 1 cos

4sin2

x t t

C y t

tz

=

= =

( )

a.1

1 sin cos2 2

Rt t

=

+

c.2

4

1 sin2

Rt

=

+

b.2

1

1 4sinR

t=

+d.

2

2

1 sin2

Rt

=

+

d

A 67

S se afle segmentul de tangenta intr-un punct arbitrar M al curbei

( )th

: 1

ch

x t t

Cy

t

=

=

|MT| = .. ..


46/76

46

D 18

S se afle segmentul de tangent MT ntr-un punct oarecare al curbei ( ) 1

x t tht

Cy

cht

=

=

a.1

2MT = b. 1MT = c. 1MT = d.

1

2MT =

b

A 26

S se afle subtangenta PT i subnormala PN intr-un punct arbitrar M situat pe parabola(C)y2 = 2px.

a. PT = 2x, PN = p c. PT = p, PN = 2xb. PT =2y, PN = p d. PT = p, PN =2y

a

D 17

S se afle subtangenta PT i subnormala PN ntr-un punct arbitrar M situat pe parabola

( ) 2 2C y px=

a. 2 ,PT x PN p= = c. , 2PT p PN x= =

b. 2 ,PT y PN p= = d. , 2PT p PN y= =

a


47/76

47

D 19

S se afle tangenta polar MT , normala polar MN , subtangenta (polar) PT i subnormala polar PN

ntr-un punct oarecare al spiralei logaritmice: ( ) , 0kaC ae k = >

a. 2 21 1

1 , 1 , , MT k MN k k PT PN k k k

= + = + = =

b. 2 21 1, , 1 , 1 MT k MN PT k PN k k k k

= = = + = +

c. 2 21 , 1 , , MT k MN k PT PN k k k

= + = + = =

d. 2 2, 1 , 1 , MT k MN k PT k PN k k

= = + = + =

a

D 126

S se afle torsiunea curbei:

( ) ( ) ( ): cos ln , sin ln ,C x t a t y t a t z bt = = = n punctul curent pe curb.

a.2 2

1

1

abt

T a b=

+ +c.

2

1

1

abt

T a=

+

b.2 2

1

1

bt

T a b=

+ +d.

2 21 1 a bt

T ab

+ +=

a

B 15

S se afle versorii tangentei la curba(C) : x = acos, y = asin, z = b

n punctul ( )0M =

a. ( ) 2 2aj bk

Ma b

+

=+

b. ( ) 2 2sin cosa i a j bk

Ma b

+ +

=+

b


48/76

48

D 119

S se afle versorii triedrului lui Frenet ntr-un punct M oarecare al curbei:

( ) : cos , sin ,C x a y a z b = = = (elicea circular)

a.

( )

( )

( )

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

sin cos

sin cos

cos sin

a a b M i j k

a b a b a b

b b a

b M i j k a b a b a b

n M i j

= +

+ + +

= + + + + + = +

b.

( )

( )

( )

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

sin cos

sin cos

cos sin

a a M i j bk

a b a b

b b ak b M i j

a b a b a b

n M i j

= + +

+ +

= ++ + +

= +

c.

( )

( )

( )

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

sin cos

sin cos

cos sin

b b a M i j k

a b a b a b

a a ab M i j k

a b a b a b

n M i j

= + +

+ + +

= + + +

= +

d.

( )

( )

( )

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

cos sin

sin cos

sin cos

b b a M i j k

a b a b a b

a a bb M i j k

a b a b a b

n M i j

= +

+ + +

= + ++ + +

=

b

A 97

S se calculeze curbura curbei corespunzatoare arcului de cicloida:

( )( )

( )

1sin

4:1

1 cos4

x t t

C

y t

=

=

n punctul t = . .. ..

D 122

S se calculeze curbura elicei circulare:

( ) : cos , sin , ,C x a t y a t z bt t = = =

n punctul curent pe curb.

a.2

2 2

1 a

R a b=

+c.

2 2

1 a

R a b=

+

b.2

2 2

1 b

R a b

=

+

d.2 2

1 b

R a b

=

+

c


49/76

49

D 61

S se calculeze curbura ntr-un punct oarecare al curbei:

( )( )

( )

sin:

1 cos

x a t t C

y a t

=

=

a.

1 1

2 sin2tR a

=c.

1 1

4 sin2tR a

=

b.1

2

tach

R= d.

1 1

4 cos2tR

a

=

c

D 41

S se calculeze curbura i raza de curbur a cardioidei: ( ) ( )2 1 cosa = n punctul2

M

=

a.3 2 4 2

,8 3

K R aa

= = c.24

,4

2

aK R

a

= =

b.4 2 3 2

,3 8

K a Ra

= = d.3

,3

aK R

a= =

b

D 76

S se calculeze ecuaia desfuratei curbei plane dat de ecuaiile sale parametrice:

( )( )

( ):

x x tC

y y t

=

=

a. ( )

22

2

1

: 1

y X x y

y

yY y

y

+=

+ = +

c. ( )

2

2

1

: 1

yX x

y

yY y

y

+=

+ = +

b. ( )

2

2

1

:1

y X x y

y

yY y

y

+=

+ =

d. ( )

2

2

1

:1

yX x

y

yY y

y

+= +

+ =

b

D 11

S se calculeze elementul de arc pe curba definit n coordonate polare: ( ) sin ,m

C mm

=

a.

1

sinm

ds dm

=

c.

1

sinm

ds m d m

=

b.

1

sin

1

m

nds d

m

+

=+

d.

1

sinm

ds m d m

+

=

a


50/76

50

D 12

S se calculeze elementul de arc pe curba: ( ) ( )1 cosC a = + (cardioid)

a. 2 sin2

ds a d

= c.2

cos2

ads d

=

b. 2 cos2

ds a d = d. 2

sin2

ads d

=

b

D 13

S se calculeze elementul de arc pe curba: ( ) 2

x xe e

C y chx

+= = (lnior)

a. ds shx dx= c. ds chx= (posibil ds = chx dx)

b. ds thx ds= d.2 ds sh x dx=

c

D 93

S se calculeze elementul de arc pe curba:

( )

2sin: sin cos

cos

x a t

C y a t t

z a t

=

= =

a. cosds a t dt = c. sinds a t dt =

b. 21 cosds a tdt = + d. 21 sinds a tdt = +

a

B 36

S se calculeze elementul de arc pe elicea circulara definit prin

( ) ( )

1 1 1

: cos ; sin ; ; 02 2 2C x t t y t t z t t = = = >

ds= ...................... ......................

D 33

S se calculeze lungimea subtangentei PT la curba exponenial: ( ) ,bxC y ae x= ,a b constantenenule

a. PT b= c. 2PT b=

b.1

PTb

= d.2

PT b=

b

A 96

S se calculeze raza de curbura a cicloidei:

( )( )

( )

sin:

1 cos

x a t t C

y a t

=

=

n punctul t = . .. ..


51/76

51

D 10

S se calculeze raza de curbur a curbei ( )C dat prin coordonatele sale polare:

( ) sin ,m

C mn

=

a. 11 mmmR

n

+= c.

11 mmmRm

++

=

b 11

m

mm

Rm

+=+

d.1

1

m

mm

Rm

=+

a

D 4

S se calculeze segmentul de tangent MT , segmentul de normal MN , subtangenta PT i

subnormala PN pentru curba (C) 3 2 2 3 0x xy x y + + = n punctul M n care curba (C) taie axa Oy .

S-au notat T - punctul de intersecie al curbei ( )b cu axa Ox , N - punctul de intersecie al curbei (C)

cu axa Ox , P - proiecia punctului M pe axa Ox .

a.15 2 3

, 15 2, , 217 7

MT MN PT PN = = = =

b.15 2 3

15 2, , 21,7 7

MT MN PT PN = = = =

c.3 15 2

21, , , 15 27 7

MT MN PT PN = = = =

d.3 15 2

, 21, 15 2,7 7

MT MN PT PN = = = =

a

A 110

S se calculeze subnormala PN pentru curba

( ) 3 2: 2 3 0C x xy x y + + =

n punctulM n care curba ( )C taie axa Oy (vezi figura)

PN= ...................... ......................

D 42

S se calculeze subtangenta PT i subnormala PN la cicloida:

( )( )

( )

sin:

1 cos

x a t t C

y a t

=

=

n punctul M arbitrar situat pe curb:

a. 2 sin , sin2 2

t tPT a tg PN a t = = c.

22 sin , 2 sin2 2 2

t t tPT a tg PN a= =

b. 22 sin , sin2 2

t tPT a tg PN a t = = d.

22 sin , 22

tPT a t tg PN atgt = =

b


52/76

52

D 131

S se calculeze torsiunea curbei:

( ) 21 1

: , ,1 1 1

t tC x y z

t t t

+= = =

+(C): 2

a.

52 2

2 4

1 1

1

t

T t t

+=

+ + c.

10

T=

b.

72 4

2 4

1 1

1

t

T t t

+=

+ + d.

32 2

2 4

1 1

1

t

T t t

+=

+ +

d

D 123

S se calculeze torsiunea elicei circulare:


a.2

2 2

1 a

T a b=

+c.

2 2

1 a

T a b=

+

b.

2

2 2

1 b

T a b= + d.2 2

1 b

T a b= +

d

A 25

S se calculeze unghiul V dintre tangenta MT i raza vectoare OM , unde M este un punct oarecare alcurbei (C) =aek (spirala logaritmica).

a. tgV k = b.2

1tgV

k= c.

1tgV

k= d. tgV k =

c

A 54

S se calculeze unghiul V dintre tangenta MT i raza vectoare OM unde M punctul corespunzator

parametrului 090 = este situat pe cardioida definita prin

( ) ( ): 1 cosC a a = + . .. (sau) ..1

D 16

S se calculeze unghiul V dintre tangenta MT i raza vectoare OM , unde M este un punct oarecare

al curbei ( ) kaC ae = (spirala logaritmic)

a. tgV k = b.2

1tgV

k= c.

1tgV

k= d. tgV k =

c

D 120

S se calculeze versorii , ,b n

a-i triedrului Frenet corespunztori curbei:

( ) : cos , sin ,C x a y a z b = = = (elicea circular)

n punctul ( )0A = .

a. ( ) ( ) ( )2 2 2 2, ,

aj bk bj ak

A b A n A ia b a b

+

= = =+ +

b. ( ) ( ) ( )2 2 2 2

, ,bj bk aj ak

A b A n A ia b a b

+

= = = + +

c. ( ) ( ) ( )2 2 2 2

, ,aj bk bj ak

A b A n A ia b a b

+

= = =+ +

d. ( ) ( ) ( )2 2 2 2

, ,aj bk bj ak

A b A n A ia b a b

+ +

= = = + +

d

A 65

S se detemine subnormala intr-un punct arbitrar la parabola de ecuatie carteziana

(C) :y2=2px,p>0PT = .. ..


53/76

53

A 107

S se detemine subnormala ntr-un punct arbitrar la parabola de ecuaie cartezian

( ) 2: 2 , 0C y px p= > PT = ...................... ......................

A 64S se detemine subtangenta intr-un punct arbitrar la parabola de ecuatie carteziana

(C) :y2=2px,p>0

PT=.. ..

A 108

S se detemine subtangenta intr-un punct arbitrar la parabola de ecuatie carteziana

( ) 2: 2 , 0C y px p= > PT=...................... ......................

D 68

S se determine cercul osculator ntr-un punct M al curbei plane ( )C dat pe ecuaiile saleparametrice.

( )( )

( ):

x x tC

y y t

=

=

a. Ecuaia cercului osculator este: ( ) ( )2 2 2

x y r + = , cu

( )

( )

( )( )

2 2

2 2

32 2 2

y x yx

x y x y

x x yy

x y y x

x yr

x y x y

+ =

+= +

+=

b. Ecuaia cercului osculator este: ( ) ( )2 2 2

x y r + = , cu

( )

( )

( )

2 2

2 2

2 2

y x yx

x y x y

x x yy

x y y x

x yr

x y x y

+ = +

+

=

+=

c. Ecuaia cercului osculator este: ( ) ( )2 2 2

x y r + = , cu

( )

( )

( )( )

2

12 2 2

2

12 2 2

12 2 2

yx

x y

xy

x y

x yr

x y x y

= +

= +

+=

d. alt variant.

a


54/76

54

D 100

S se determine cosinuii directori ai tangentei ( )t la curba ( )C de ecuaie:


a.2 2 2 2 2 2

cos sincos , cos , cos

b a t a t

a b a b a b

= = =

+ + +

b.2 2 2 2 2 2

cos sincos , cos , cos

a t a t b

a b a b a b

= = =

+ + +

c.2 2 2 2 2 2

sin coscos , cos , cos

a t b a t

a b a b a b

= = =

+ + +

d.2 2 2 2 2 2

sin coscos , cos , cos

a t a t b

a b a b a b = = =

+ + +

d

D 109

S se determine curba descris de interseciile tangentelor la curba:

( ) ( )2 3: , , ,C x t y t z t t = = =

cu planul xOy .

a.23

40

y x

z

=

=

b.23

0

y x

z

=

=c.

2

2

3

20

ty

ty

z

=

=

=

d.

2

32

30

ty

ty

z

=

=

=

b

D 64

S se determine curbele plane ale cror curbur este constant.

a. elipsele sunt singurele curbe plane avnd curbura constant.b. cercurile sunt singurele curbe plane avnd curbura constant.c. astroida este singura curb plan avnd curbura constant.d. alt variant.

b

D 65

S se determine curbele plane ale cror ecuaie intrinsec este:

2 2

1,

aa const

R a b= =

+

a.( )

( )

sin

1 cos

x a t t

y a t

=

=

c.x

y acha

=

b.2 2 2

3 3 3 x y a+ = d.cos

sin

x a t

y a t

=

=

c

A 94

S se determine curbura curbei:

( ) 2:1

2

x t

C ty t

=

= +

n punctul 1t=

1

...R = .. ..


55/76

55

D 6

S se determine ecuaia cercului osculator la elips n punctul de intersecie cu semiaxa pozitiv aabsciselor.

a.

22 2 42

2

a b bx y

a a

+ =

c.

22 2 42

2

a b bx y

a a

++ + =

b.2 2

2 21

x y

a b+ = d.

2 2 422

a b bx y

a a

+ =

d

D 116

S se determine ecuaia planului osculator n punctul ( )0,0,0O la elicea conic:

( ) : cos , sin ,C x t t y t t z at = = =

a. ( )0 : 0P aX Z = c. ( )0 : 0P X Z =

b. ( )0 : 0P X aZ = d. ( )01

: 0P X Za

+ =

a

D 117

S se determine ecuaiile normalei principale ( )pN la curba:

( ) : cos , sin ,C x a t y a t z bt = = = (elicea circular)

n punctul ( )M C corespunztor valorii2

t

=

a. ( ) 22

:0 0p

X X a Z bN

ab a

+ = =

+c. ( ) 2 2

2:p

Z b X Y a

Na b a b

= =

+

b. ( ) 22

:

0 0p

X Y a Z bN

ab a

= =

+

d. alta varianta

d

A 77S se determine elementul de arc al cercului 2 2 4x y+ = ,

ds= .. ..

D 59

S se determine evolventa cercului de ecuaie:

( ) [ ]cos

: , 0,2sin

x a t t

y a t

=

=

a. ( )( )

( )

cos sin:

sin cos

x a t t t C

y a t t t

=

= +

c. ( )( )

( )

sin cos:

sin cos

x a t t C

y a t t t

= +

= +

b. ( )( )

( )

cos sin:

sin cos

x a t t t C

y a t t t

= +

= d. ( )

( )

( )

cos sin:

cos sin

x a t t C

y a t t t

=

=

c


56/76

56

D 60

S se determine evolvena laniorului de ecuaie:

( ) : 0x

y ach aa

=

a.( )

( )

sin,

1 cos

x r t t t

y r t

=

=

c.( )

( )

cos sin,

sin cos

x a t t t t

y a t t t

= +

=

b.cos

,sin

x a t t

y a t

=

= d. ,

t x t ath

a

tay

tch

a

=

=

d

A 76

S se determine lungimea arcului de cardioida

( ) ( ): 1 cosC a = +

cuprins intre punctele ( )0A i ( )B

...ABl = .. ..

A 74

S se determine lungimea arcului de cicloida

( )( )

( )

sin:

1 cos

x a t t C

y a t

=

=

cuprins intre punctele ( )0A i ( )B

...ABl = .. ..

D 142

S se determine lungimea arcului de curba

AB pentru

( )

cos

: sin

x a

C y a

z k

=

= =

unde punctele A si B corespund valorilor 0 = , respectiv = .

a.

2 22ABl a k= + c.

2

ABl ak=

b.

2 2

ABl a k= + d.

2 2

2ABl

a k

=

+

b

A 75

S se determine lungimea lantisorului

( ) :2

x x

a aa

C y e e

= +

cuprins intre punctele ( )0A i ( )B a

...ABl = .. ...


57/76

57

D 95

S se determine parametrul astfel nct curba:

( ) ( )1 1 1

: , , 3 , 02 3

C x t y t z t t t t t

= + = + = +

s fie tangent la planul:

( ) ( ): 2 3 2 2 0P x y z + =

a.2

7 = b.

7

2 = c.

71,

2

d. 1 =

b

D 107

S se determine punctele de pe curba: ( ) ( )2: ln , 2 , , 0C x t y t z t t = = = > n care planele normale

sunt paralele cu dreapta: ( ) : 4 0,D x y y z+ = = .

a. ( )1,0,2M b. ( )1,0,2M c. ( )0,2,1M d. ( )2,0,1M

c

A 30

S se determine punctele singulare ale conicei data pe ecuaia generala:

( ) ( )2

11 12 22 13 23 33: , 2 2 2 0C F x y a x a xy a a x a y a= + + + + + =

a. Doar conicele nedegenerate au puncte singulare.b. Doar conicele degenerate admit puncte similare.

c. Daca ( )0 0,A x y este un punct dublu al conicei date, exista o singura dreaptatangenta ce trece prin acest punct.

d. alta varianta.

b

D 56

S se determine punctele singulare ale conicei dat pe ecuaia general:

( ) ( ) 211 12 22 13 23 33: , 2 2 2 0C F x y a x a xy a a x a y a= + + + + + =

a. Doar conicele nedegenerate au puncte singulare.b. Doar conicele degenerate admit puncte similare.

c. Dac ( )0 0,A x y este un punct dublu al conicei date, exist o singur dreapt tangentce trece prin acest punct.

d. alt variant.

d

D 55

S se determine punctele singulare ale curbei ( ) ( )22: 1C y x x= i s se scrie ecuaiile tangentelor n

aceste puncte.

a. ( )2, 2A i ( )2, 2B , puncte izolate. n aceste puncte curba nu admite tangent.b. M (1,0), punct dublu, dreptele tangente corespunztoare: 1; 1 y x y x= = .c. O(0,0), punct dublu, tangentele corespunztoare sunt dreptele de ecuaie: ; y x y x= = .d. alt variant.

b

D 48

S se determine punctele singulare ale curbei ( ) ( )22: 1C y x x= i s se scrie ecuaiile tangentelor n

aceste puncte.

a. ( ) ( ) ( )1 20,1 , : 1 , : 1M t y x t y x= = +

b. ( ) ( ) ( )1 21,0 , : 1 , : 1 M t y x t y x = + =

c. ( ) ( ) ( )1 20,1 , : 1, : 1 M t y x t y x= + = +

d. ( ) ( ) ( )1 21,0 , : 1, : 1M t y x t y x= =

d


58/76

58

A 95

S se determine raza de curbura pentru curba:

( ) 2:1

2

x t

C ty t

=

= +

n punctul 1t= .

R=.. ..

D 53

S se discute natura punctelor multiple ale curbei:2 3 , y x px p= + (parametru)

a. daca 0,p ,03

pA

si ,03

pB

, sunt puncte duble.

b. daca 0,p < ,03

pA

si ,03

pB

, sunt puncte izolate.

c. daca 0,p > ,03pA

si ,0

3pB

, sunt puncte izolate.

d. daca 0p , ,03

pA

si ,0

3

pB

, sunt puncte duble.

b

D 86

S se elimine parametrul t ntre ecuaiile curbei:

( ) [ ]

cos

: sin , 0,2

x r t

C y r t t

z kt

=

= =

i s se obin ecuaiile implicite ale curbei.

a. ( )

2 2 2 2 0:

0

x y z r

z y xtg

k

+ + =

=

c. ( )

2 2 2 0:

0

x y z rz

y y arctg

kx

+ + =

=

b. ( )

2 2 2 0:

0

x y z rx

z y tg

k

+ + =

=

d. alt raspuns

d

A 28

S se gaseasca curbura K i raza de curbura R n punctul4

M

la curbura:

(C) ()=5sin 2, [0,2 )

a.1

22

K R= = b.1

22

K R= = c. 2K R= = d. 1K R= =

d


59/76

59

D 152

S se gaseasc vectorii de poziie de pe curba:

( ) ( )21

: 2 1C r i tj t k t

= + +

n care tangenta la curb este perpendicular pe dreapta:

( )3 2 0

8 0

x yd

x z

+ =

+ + =

a. exist doi vectori de poziie 1r i j k = +

si 2 2r i j k = + +

b. exist un singur vector de pozitie r i j k =

c. exist trei vectori de pozitie 1 2 3, 2 , 2r k r i j r i k = = =

d. exist un singur vector de pozitie r i j k = + +

d

D 40

S se gseasc curbura K i raza de curbur R n punctul4

M

la curbura:

( ) ( ) [ )5 sin 2 , 0, 2C =

a.1

22

K R= = b.1

22

K R= = c. 2K R= = d. 1K R= =

d

D 39

S se gseasc expresiile curburii K i razei de curbur R n coordonate polare:

( ) ( )cos

:sin

xC

y

==

=

a.

( )

2 2

3\22 2

2K

+ =

+c.

( )

2 2

3\22 2K

+ =

+

( )3\22 22 22

R

+=

+

( )3\22 22 2

R

+=

+

b.

( )

2 2

3\22 2

2K

+=

+d.

( )

2 2

3\22 2

2K

=

+

( )3\22 2

2 22R

+=

( )3\22 2

2 22R

+=

c

D 34

S se gseasc familia de curbe care au subtangenta constanti egal cu1

b

a. 2 , ,

Geometrie_diferentiala_completa

Documents

Transcript of Geometrie_diferentiala_completa