Geometrie Analitica x Xi Fara Vectori
-
Upload
cristina-tulbu -
Category
Documents
-
view
12 -
download
1
Transcript of Geometrie Analitica x Xi Fara Vectori
Marcelina Popa – Vectori într‐un reper cartezian
1
GGGeeeooommmeeetttrrriiieee aaannnaaallliiitttiiicccăăă ccclllaaasssaaa aaa XXXaaa şşşiii aaa XXXIIIaaa (((fffăăărrrăăă vvveeeccctttooorrriii)))
• Formula distanței dintre două puncte.
Fie punctele ( , )A AA x y şi ( , )B BB x y . Atunci 2 2( ) ( )B A B AAB x x y y= − + − .
• Coordonatele punctului care împarte un segment într‐un raport dat. Fie numărul k ∈ şi punctele
( , )A AA x y şi ( , )B BB x y . Fie ( , )M MM x y punctul M AB∈ cu proprietatea AM kMB
= . Atunci
11 1M A B
kx x xk k
= ++ +
11 1M A B
ky y yk k
= ++ +
.
In particular, dacă M este mijlocul segmentului [AB], avem
2
A BM
x xx
+=
2A B
My y
y+
=
• Coordonatele centrului de greutate al unui triunghi:
3
A B CG
x x xx
+ +=
3A B C
Gy y y
y+ +
=
• Panta unei drepte oblice sau orizontale. Panta unei drepte oblice sau orizontale d este egală, prin definiție, cu tangenta unghiului [ ) 20, \{ }πθ∈ π , format de acea dreaptă cu direcția pozitivă a axei Ox. Panta
dreptei d se notează cu md. Dreptele verticale nu au pantă, pentru ca tangenta nu este definită în 2π.
• Ecuația unei drepte. Este o relație verificată de coordonatele oricărui punct M(x,y) de pe acea dreaptă (şi numai de ele).
Marcelina Popa – Vectori într‐un reper cartezian
2
Ecuația oricărei drepte se poate pune sub forma 0ax by c+ + = (ecuaț ia carteziană generala a
dreptei ), cu 0a ≠ sau 0b ≠ .
Cazuri particulare:
1). Ecuaț ia unei drepte oblice : y mx n= + , cu 0m ≠ . In acest caz, m este panta dreptei, iar n
ordonata punctului de intersecție dintre dreaptă şi axa Oy.
2). Ecuaț ia unei drepte orizontale : y n= (sau forma de mai sus, cu m=0). In acest caz, panta
dreptei este 0, iar n reprezintă, ca şi in cazul anterior, ordonata punctului de intersecție dintre dreaptă si axa Oy.
3). Ecuaț ia unei drepte verticale : x = α , unde α este abscisa punctului de intersecție dintre dreaptă si axa Ox.
Ecuația dreptei care trece printr‐un punct dat , 0 0 0( , )M x y , şi are o panta data, m:
0 0( )y y m x x− = −
Ecuația dreptei care trece prin două puncte diferite ( , ), ( , )A A B BA x y B x y :
A A
B A B A
x x y yx x y y− −
=− −
,
dacă. numitorii sunt nenuli.
Ecuația primei bisectoare : y x= (panta fiind egală cu 1). Ecuația celei de ‐a doua
bisectoare : y x= − (panta find egală cu ‐1).
• Aflarea pantei unei drepte. Când nu cunoaştem unghiul dintre dreaptă şi Ox, panta se poate afla astfel:
1). Panta dreptei ce trece prin punctele ( , )A AA x y şi ( ; )B BB x y este B AAB
B A
y ym
x x−
=−
, daca A Bx x≠ .
2). Panta dreptei de ecuație y mx n= + este m (coeficientul lui x).
3). Panta dreptei de ecuație 0ax by c+ + = este amb
= − (daca 0b ≠ ). Panta se poate obține şi
exprimându‐l pe y în funcție de x, apoi considerând coeficientul lui x din membrul drept.
Marcelina Popa – Vectori într‐un reper cartezian
3
• Condiții de paralelism şi perpendicularitate.
Fie dreptele d: y=mx+n şi d’: y=m’x+n’. Avem:
• si d d m m n n′ ′ ′⇔ = ≠
• si d d m m n n′ ′ ′= ⇔ = =
• 1d d mm′ ′⊥ ⇔ = − (produsul pantelor este ‐1)
• Intersecția a doua drepte. Două drepte sunt concurente dacă şi numai dacă sistemul format din ecuațiile lor are soluție unică. In acest caz, coordonatele punctului de intersecție se obțin rezolvand sistemul.
• Distanța de la un punct la o dreaptă. Distanța de la punctul 0 0 0( , )M x y la dreapta : 0d ax by c+ + =
este dată de formula: 0 00 2 2
| |( , )
ax by cd M d
a b
+ +=
+
• Aplicații ale determinanților în geometrie (clasa a XI‐a)
Punctele ( , ), ( , ), ( , )A A B B C CA x y B x y C x y sunt col iniare dacă şi numai dacă
11 01
A A
B B
C C
x yx yx y
= .
Ecuația dreptei care trece prin două puncte diferite ( , ), ( , )A A B BA x y B x y este 11 01
A A
B B
x yx yx y
=
Aria tr iunghiului cu vârfurile în ( , ), ( , ), ( , )A A B B C CA x y B x y C x y este:
[ ]1 | |2ABCA = Δ , cu
111
A A
B B
C C
x yx yx y
Δ = .
Marcelina Popa – Vectori într‐un reper cartezian
4
Fie dreptele de ecuații 1 1 1 0a x b y c+ + = , 2 2 2 0a x b y c+ + = , 3 3 3 0a x b y c+ + = , concurente două cate
două. Dreptele sunt toate trei concurente (adică au toate trei un punct comun) dacă şi numai dacă
1 1 1
2 2 2
3 3 3
0a b ca b ca b c
= .