1

1. Noiuni introductive privind propagarea undelor seismice 1.1 Tensiuni i deformri n corpuri elastice n funcie de comportamentul corpurilor supuse aciunii unor fore exterioare, acestea se mpart n corpuri plastice i elastice. Corpurile plastice sunt corpurile care i pstreaz forma cptat dup ncetarea aciunii forelor exterioare. Corpurile elastice sunt corpurile care sub aciunea forelor exterioare sufer deformri proporionale cu tensiunile care iau natere n corp, tensiuni care tind s l aduc la forma sa iniial dup ncetarea aciunii forelor exterioare.

Tensiunea, prin definiie, este fora care acioneaz pe unitatea de suprafa. Ea se calculeaz prin raportul dintre for i aria suprafeei pe care acioneaz aceasta, prin urmare are semnificaie de presiune. Unitatea de msur este N/m2 sau Pascali. Cnd fora acioneaz perpendicular pe o suprafa, ia natere o tensiune normal, iar cnd fora acioneaz tangenial pe aceast suprafa, iau natere tensiuni de forfecare. S presupunem un cub de latur unitar (Figura 1.1). Tensiunea orientat perpendicular pe faa ABCD este tensiunea normal xx. Componentele tangeniale ale tensiunii sunt tensiunile de forfecare yx i zx. Indicii x, y i z arat componentele tensiunilor dup axele de coordonate Ox, Oy i Oz. Notaia yx indic tensiunea paralel cu axa Oy i care acioneaz pe o suprafa perpendicular pe axa Ox, iar zx indic tensiunea paralel cu axa Oz i care acioneaz pe o suprafa perpendicular pe axa Ox. Cubul este n echilibru static dac tensiunile care acioneaz pe feele opuse dou cte dou sunt egale i de sens opus (Figura 1.2).

Figura 1.1 Tensiunea normal i tensiunile de forfecare ce acioneaz pe faa ABCD a unui cub cu latura unitar

Figura 1.2 Cub n echilibru static cu reprezentarea componentelor tensiunii ce acioneaz pe faa ABCD i pe cea opus ei

Deformarea este modificarea relativ a formei i dimensiunii unui corp asupra cruia acioneaz fore exterioare. S considerm un dreptunghi cu lungimea dx i limea dy reprezentat n planul Oxy (Figura 1.3). Coordonatele iniiale ale colurilor dreptunghiului sunt A(x, y), B(x+dx, y), C(x+dx, y+dy) i D(x, y+dy). n prezena unor tensiuni aplicate acestuia, punctul A(x, y) este deplasat n punctul A1(x+u, y+v). Dac presupunem c mrimile u i v sunt aceleai i pentru celelalte trei coluri ale dreptunghiului, avem urmtoarele coordonate: B1(x+dx+u, y+v), C1(x+dx+u, y+dy+v) i D1(x+u, y+dy+v). Se constat c, sub aciunea acestor tensiuni, forma dreptunghiului nu s-a modificat, ceea ce nseamn c deformarea este zero, = 0 (Figura 1.3).

Figura 1.3 Exemplu de tensiune aplicat unui obiect fr obinerea unor deformri ale acestuia

n cazul n care valorile lui u i v cu care se deplaseaz fiecare col al dreptunghiului sunt diferite, se constat c forma i dimensiunea dreptunghiului se modific, ceea ce nseamn c este diferit de zero (Figura 1.4). n acest caz, coordonatele colurilor dreptunghiului deformat vor fi:

A1(x+u, y+v), ,

i .

Deformrile n lungul axelor Ox i Oy sunt numite deformri normale, . Unghiul drept cu vrful n punctul A se micoreaz cu . Aceast sum definete deformarea de forfecare .

Figura 1.4 Exemplu de tensiune aplicat cu deformarea obiectului

n cazul unui corp tri-dimensional, lund n considerare punctul A(x, y, z) i mrimile cu care este deplasat acesta (u, v, w) sub aciunea unei forte exterioare, mrimi ce au valori diferite pentru fiecare punct al corpului, avem:

deformrile normale: ; (1.1) deformri de forfecare:

(1.2)Componentele deformrii au proprietatea de simetrie ij = ji.

1.2 Legea lui Hooke

n natur, corpurile reale (masele de roci) se comport elastic atta timp ct aciunea forelor exterioare este de scurt durat, intensitatea forelor este mic iar deformrile produse sunt suficient de mici. ntre deformrile produse ntr-un corp i tensiunile care iau natere n acesta ca urmare a aciunii unor fore exterioare exist o relaie de proporionalitate. Aceast relaie este descris de legea lui Hooke. Cea mai simpl expresie matematic a legii lui Hooke este obinut atunci cnd forele acioneaz asupra unui corp izotrop.

Corpul izotrop este corpul n care proprietile fizice nu variaz cu direcia. n cazul n care aceste proprieti variaz cu direcia, corpurile se numesc anizotrope. La rndul lor, corpurile izotrope pot fi omogene (cnd proprietile fizice nu depind de punct) sau eterogene (atunci cnd proprietile fizice sunt funcii continue de punct). Corpurile anizotrope pot fi omogene i eterogene. n situaia n care apar discontinuiti n variaia proprietilor fizice ce caracterizeaz un corp anizotrop, spunem ca acesta este anizotrop stratificat. Prin proprieti fizice ale unui corp nelegem, de exemplu, densitatea i proprietile elastice (modulii elastici).

Cea mai simpla formula de definitie a legii lui Hooke a fost determinata studiind deformarea unei bare de metal de lungime L i diametru . Dac se aplic asupra barei o tensiune normala, n, dilatarea liniara, dL, suferit de bar este proporional cu tensiunea aplicat (Figura 1.5):

(1.3)unde E este modulul de elasticitate longitudinal (modulul lui Young). Raportul poate fi rescris astfel:

. (1.4)

Figura 1.5 Deformarea liniar a unei bare de lungime L sub aciunea unei tensiuni normale nDac se ia n calcul pe lng dilatarea liniar i deformarea diametrului barei, , atunci mrimile L i vor suferi deformrile i . Raportul dintre aceste dou tipuri de deformri definete raportul lui Poisson ():

(1.5)unde transv este deformarea pe direcie transversal tensiunii, axial este deformarea pe direcia tensiunii. Deformarea pe direcie transversal tensiunii, transv, are valori negative cnd corpul este supus ntinderii pe direcia tensiunii, intindere care produce scaderea diametrului barei analizate, i pozitive atunci cnd corpul este supus comprimrii pe direcia tensiunii, diametrul barei creste prin comprimare. Deformarea pe direcia tensiunii, axial, are valori negative atunci cnd corpul este supus comprimrii pe direcia tensiunii i valori pozitive cnd corpul este supus ntinderii pe direcia tensiunii.

Pentru marea majoritate a corpurilor, raportul lui Poisson are valori ntre 0 i 0.5. Valori negative ale acestui raport le au anumite tipuri de roci poroase i cu densiti foarte mici i unele tipuri de polimeri. Experimental s-a constatat c pentru majoritatea corpurilor solide, valoarea raportului lui Poisson este aproape egal cu 0.25. n Tabelul 1.1 sunt prezentate valorile raportului lui Poisson i ale modulului lui Young pentru anumite tipuri de roci.Tabelul 1.1 Raportul lui Poisson i modulul lui Young pentru anumite roci sedimentare (dup Enescu i Orban, 1979)Tip de rocaRaportul lui Poisson ()Modulul lui Young (E)

*1011 uCGS

Argil 0.30 0.45

Nisip 0.20 0.45

Calcar0.22 0.352,.5 6.0

Gresie0.20 0.35 1.5 3.0

Marna 0.3 0.4 1.5 4.5

Granit 0.25 0.30 3.0 5.0

Cuarit 0.22 0.27 5.0 8.0

Modulul lui Young i raportul lui Poisson nu sunt singurele exemple de moduli elastici folosii pentru descrierea i analiza deformrilor corpurilor elastice. Astfel, modulul de forfecare (G) descrie tendina unui corp de a-i modifica forma cu pstrarea volumului n timpul aciunii unei fore exterioare; modulul de forfecare, G, este al doilea parametru Lam, . Modulul de incompresibilitate (K) descrie tendina unui corp de a-i modifica volumul n timpul aciunii unei fore exterioare.

Primul parametru Lam, , este un alt exemplu de modul elastic. El nu are o semnificaie fizic i poate fi calculat folosind relaia:

= ( - 2)/(tr()I), (1.6)unde tr() este funcia trace care aplicat unei matrici are drept rezultat suma elementelor de pe diagonala principal a matricii, I este matricea identitate.

Modulul undei longitudinale, P, este notat cu M.

ntre modulii elastici se pot stabili relaii de conversie (Tabelele 1.2 i 1.3).

Tabelul 1.2 Relaii ntre modulii elastici

Modul

elastic,GE, GK, K, G, G,

K =

E =

=

G =

=

M =

Tabelul 1.3 Relaii ntre modulii elastici

Modul

elasticE, K, K, EM, G

K =

E =

=

M - 2G

G =

=

M =

1.3 Principiile si legile propagarii undelor elasticen legile i principiile propagrii undelor seismice se face referire la anumite elemente din alctuirea unei unde seismice. Prin urmare, nainte de a le folosi, acestea trebuie enunate.

Elementele unei unde seismice sunt domeniul undei, frontul i spatele undei, viteza de propagare, direcia de propagare, raza seismic i viteza aparent de propagare.Domeniul undei este un domeniul din subsol n care, la un anumit moment de timp t, exist deformri.

Frontul de unda este suprafaa care separ, n orice moment de timp t, domeniul undei de domeniul prin care unda nu s-a propagat nc.

Spatele undei este suprafaa care separ, la orice moment de timp t, domeniul undei de domeniul prin care unda s-a propagat deja.

Viteza de propagare a unei unde este viteza cu care aceasta se propag pe direcia perpendicular pe frontul de und.

Direcia de propagare a undei este direcia perpendicular pe frontul de und.

Raza seismic este normala pe frontul de und.

Viteza aparent este viteza cu care frontul de und se deplaseaz de-a lungul oricrei alte direcii n afar de aceea normal pe frontul de und.

Unda sferic este unda al crei front de und este o suprafa sferic; se produce n mediile omogene i izotrope.

Unda plan este unda seismic al crei front de und poate fi considerat o suprafa plan; astfel de unde se formeaz la distane foarte mari de sursa seismic.

1.3.1 Principiul lui Huygens

Orice punct de pe frontul de und se comport ca o nou surs de unde. Acest principiu este important n nelegerea modului n care se propag undele i este folosit pentru trasarea poziiilor succesive ale fronturilor de und.

S considerm cunoscut poziia frontului de und la momentul t. Pentru a afla noua poziie a lui dup un interval de timp t, se traseaz arce de cerc cu centrele n anumite puncte de pe frontul de und i cu raza Vt iar nfurtoarea acestor arce de cerc ne indic poziia frontului de und la momentul t + t (Figura 1.7).

Figura 1.7 Reprezentarea fronturilor de und conform principiului lui Huygens

1.3.2 Principiul lui Fermat

Propagarea undei seismice se face pe drumul corespunztor timpului minim de propagare. Acest principiu a fost enunat de ctre matematicianul francez Fermat.

1.3.3 Principiul suprapunerii

Dac asupra unei particule se manifest efectul unor deformri provenite din diferite cauze, deformarea total este dat de rezultatul nsumrii algebrice a deformrilor individuale. n aceast nsumare nu conteaz succesiunea suprapunerii deformrilor individuale.

1.3.4 Principiul reciprocitatii

Dac se schimb locul punctului de recepie cu cel al sursei, drumul, timpul de propagare i forma oscilaiilor rmn neschimbate. n condiii reale de teren s-a constatat, experimental, c acestea pot s varieze datorit condiiilor seismo-geologice diferite de la un loc la altul.

1.3.5 Legea reflexiei

Principiul lui Huygens este folosit n studiul fenomenelor de reflexie i refracie. Pentru a demonstra legea reflexiei pornim de la analiza frontului unei unde plane ce incide pe o suprafa orizontal, considerat limita de separaie dintre dou medii caracterizate de valori diferite ale vitezei de propagare a undelor. Viteza de propagare n mediul de deasupra limitei este egal cu V1, iar viteza n mediul de sub limit este V2, cu condiia ca V2 > V1. Pe frontul de und se consider dou puncte A i B (Figura 1.8). n momentul incidenei undei pe limit, punctul A ajunge n punctul A, punct care se afl pe limit, iar punctul B ajunge n punctul B, punct care nu se afl pe limit. n acest moment de timp, segmentele AB i AB sunt egale, la fel i segmentele AA i BB. Dup un interval de timp t, punctul B ajunge pe limita de separaie n punctul R. Distana dintre punctele B i R este egal cu V1t.

n momentul n care frontul de und atinge limita de separaie n punctul A, acest punct devine o nou surs de unde, conform principiului lui Huygens. Astfel, o parte din energie se propag n mediul de deasupra limitei, se reflect, iar o parte din energie se propag n mediul de sub limit, se refract sau transmite. Distanele parcurse de fronturile de und n cele dou medii n intervalul de timp t sunt egale cu V1t, pentru energia reflectat, i cu V2t, pentru energia refractat.

Pentru a afla unghiurile sub care se reflect i refract energia se traseaz dou arce de cerc cu centrele n punctul A i raze V1t i V2t. Tangenta la arcul de cerc de raz V1t determin pozitia punctului B1, iar cea la arcul de cerc de raza V2t determin poziia punctului A1. Segmentele AB1 i RB sunt egale cu V1t.Se construiete punctul Bo la intersecia dintre normala la limit n punctul A i prelungirea segmentului RB. Din construcia geometric reiese c unghiurile AABo i ABoR sunt egale. Cum unghiul AABo este unghiul de inciden, i, rezult c i unghiul ABoR este egal cu i.

Figura 1.8 Legea reflexiei

Tringhiurile dreptunghice ABoR i BAR au unghiul BRA comun, ceea ce nseamn c unghiul BAR este egal cu i. tiind c triunghiurile B1AR i BAR sunt congruente, unghiul ARB1 este egal cu i. Construim punctul B2 prin prelungirea segmentului RB1 pana la intersectia cu normala la limit n punctul A. Astfel, tringhiurile dreptunghice ARB2 i B1B2A au unghiul AB2B1 comun i, prin urmare, unghiul B2AB1 este egal cu unghiul de inciden i. Deoarece, unghiul B2AB1 este unghiul sub care se reflect energia n mediul de deasupra limitei, rezult c unghiul de inciden este egal cu unghiul de reflexie.

Aceast egalitate definete legea reflexiei, lege care permite cunoaterea unghiului sub care se reflect o und (Figura 1.8).

Figura 1.9 Reflexia si refractia unei unde

1.3.6 Legea refraciei

Unghiul sub care se refract energia este dat de unghiul dintre normala la limita dintre cele dou medii i unda refractat. In Figura 1.8, unda refractat este reprezentat grafic de segmentul AA1.

Din analiza triunghiului dreptunghic B1AR obinem:

dar

.

Prin urmare:

sau

. (1.7)Din triunghiul dreptunghic A1AR obinem:

,

dar

.

Prin urmare:

sau

. (1.8)Din relaiile (1.7) i (1.8) obinem:

. (1.9)Ecuaia (1.9) definete legea lui Snell sau legea refraciei, care ne arat c raportul dintre sinusul unghiului de inciden, i, i viteza de propagare din mediul acoperitor limitei pe care incide o und seismic, V1, este egal cu raportul dintre sinusul unghiului de refracie, r, i viteza mediului de sub limit, V2.

Unda incident, reflectat, refractat i normala la limita ce separ cele dou medii caracterizate de proprieti fizice (densitate, vitez) diferite sunt coplanare (vezi Figura 1.9).

Combinnd legea reflexiei cu cea a refraciei putem scrie c:

(1.10)

unde p este parametrul razei.

Pentru o valoare critic a unghiului de inciden, icr, ntreaga energie transmis n mediul de sub limita dintre cele dou strate se propag n lungul acestei limite cu viteza stratului de sub limit, adic cu viteza V2. n aceast situaie, unghiul de refracie este egal cu 90o, iar legea lui Snell se rescrie astfel:

(1.11) Unda refractat este nlocuit de apariia a dou tipuri de unde, unda alunectoare i unda frontal. Unda alunectoare este un tip de unda care se propag n lungul limitei dintre cele dou strate cu viteza V2. n urma propagrii undei alunectoare, fiecare punct de pe limita seismic devine, conform principiului lui Huygens, o surs secundar de unde seismice care se propag n mediul acoperitor limitei. Astfel, iau natere aa-numitele unde frontale (Figura 1.10).

Figura 1.10 Propagarea undei seismice n cazul incidenei critice; V2 > V1PAGE 15

_1316822433.unknown

_1316823166.unknown

_1316823413.unknown

_1324141117.unknown

_1324141445.unknown

_1324141627.unknown

_1324315651.unknown

_1386419491.unknown

_1386419507.unknown

_1324141642.unknown

_1324141500.unknown

_1324141294.unknown

_1324141343.unknown

_1324141201.unknown

_1316928852.unknown

_1324140493.unknown

_1324140623.unknown

_1316929111.unknown

_1316929258.unknown

_1316929016.unknown

_1316928623.unknown

_1316928674.unknown

_1316823564.unknown

_1316928363.unknown

_1316823440.unknown

_1316823563.unknown

_1316823307.unknown

_1316823363.unknown

_1316823390.unknown

_1316823328.unknown

_1316823225.unknown

_1316823255.unknown

_1316823197.unknown

_1316822744.unknown

_1316822852.unknown

_1316823109.unknown

_1316823134.unknown

_1316823036.unknown

_1316822798.unknown

_1316822819.unknown

_1316822769.unknown

_1316822598.unknown

_1316822658.unknown

_1316822719.unknown

_1316822627.unknown

_1316822510.unknown

_1316822570.unknown

_1316822483.unknown

_1316821921.unknown

_1316822253.unknown

_1316822365.unknown

_1316822404.unknown

_1316822301.unknown

_1316822101.unknown

_1316822220.unknown

_1316821977.unknown

_1312281907.unknown

_1316821691.unknown

_1316821799.unknown

_1316821647.unknown

_1315050856.unknown

_1312281767.unknown

_1312281885.unknown

_1312281598.unknown