Funcţii cu proprietatea lui DarbouxFuncţii cu proprietatea lui Darboux

Definiţie:Definiţie: Fie , I-interval şi Fie , I-interval şi oo funcţie. funcţie. Spunem că f are proprietatea lui Darboux dacă Spunem că f are proprietatea lui Darboux dacă ,, şi şi situat între f(a) respectiv situat între f(a) respectiv

f(b),există cel puţin un punct f(b),există cel puţin un punct a.î. a.î. ..a) Se observă din definiţie că funcţiile cu a) Se observă din definiţie că funcţiile cu

proprietatea lui Darboux transformă un interval proprietatea lui Darboux transformă un interval oarecare tot într‑un interval.oarecare tot într‑un interval.

b) Geometric, o funcţie definităb) Geometric, o funcţie definită pe un interval are proprietateape un interval are proprietatea lui Darboux dacă pentru orice lui Darboux dacă pentru orice şi orice dreaptă orizontalăşi orice dreaptă orizontală situată între f(a) şi f(b)situată între f(a) şi f(b) intersectează graficul intersectează graficul lui f în cel puţin un punct.lui f în cel puţin un punct.

Ib,a ba b,ax )x(f

y

xO

f(b)

f(a)

a b

Definitie

Exemple

Teoreme Ib,a y

Tema

Prof. Achimescu Florian Liceul Teoretic ,,Dr.Victor Gomoiu’’ Vanju-Mare ,jud.Mehedinti

I:f

Funcţii cu proprietatea lui DarbouxFuncţii cu proprietatea lui Darboux c) Fie c) Fie , ,

f are P.D. pe f are P.D. pe pt. că:pt. că:

alegând alegând a = -2 , b = 1, a = -2 , b = 1, , , şi şi

a.î.a.î. ..

Proprietatea Proprietatea lui lui DarbouxDarboux admite admite şi şi o interpretare o interpretare

fizicăfizică sugestivă. sugestivă.

Astfel Astfel dacădacă un un automobil automobil are are viteza funcţie viteza funcţie continuăcontinuă

pe pe un un intervalinterval de de t timp imp II ,, şi dacă la două şi dacă la două

momente de timpmomente de timp admite vitezeleadmite vitezele

atunci atunci oriceorice viteză intermediară cuprinsă între viteză intermediară cuprinsă între

şşii este atinsă la un moment este atinsă la un moment situat întresituat între

şi şi . .

:f 1x)x(f

b,a ba 2,10 1,2x 0)x(f 01x 1,21x

I:vIt,t 21 )t(v)t(v 21

)t(vv 11 )t(vv 22 1t

2t

Definitie

Exemplu

Teoreme

Funcţii cu proprietatea lui DarbouxFuncţii cu proprietatea lui Darbouxd) Exemplu de funcţie care nu are P.D.d) Exemplu de funcţie care nu are P.D.

FieFie , ,

f nu are P.D. pt. căf nu are P.D. pt. că a = - 1 , b = 1 , a<b , f(-1)=3 , a = - 1 , b = 1 , a<b , f(-1)=3 ,

f(1)=1 f(1)=1 şişi a.î.a.î. ,,

2,4:f

2,0x,x

0,4x,4x)x(f

y

x- 4 - 1 0 1 2

1

2

3

4

3,12

5 1,1x

2

5)x(f

Definitie

Exemple

Teoreme

Funcţii cu proprietatea lui DarbouxFuncţii cu proprietatea lui Darboux1) pt.1) pt.

, ., .

2) pt.2) pt.

Din 1) şi 2)Din 1) şi 2)

0,10,41,1x

2

5)x(f

2

54x 4

2

5x 0,1

2

3x

2

5)x(f 0,1x

1,02,01,1x

2

5)x(f 1,0

2

5x

2

5)x(f 1,1x

Definitie

Exemple

Teoreme

Funcţii cu proprietatea lui DarbouxFuncţii cu proprietatea lui DarbouxTeoremaTeorema Bolzano Bolzano: : Orice funcţie continuăOrice funcţie continuă , , I-interval are proprietatea lui I-interval are proprietatea lui Darboux.Darboux.Observaţii:Observaţii:1) Dacă1) Dacă are proprietatea lui Darboux are proprietatea lui Darboux

atunci ea nu are puncte de discontinuitate atunci ea nu are puncte de discontinuitate de speţa I.de speţa I.

2) Dacă2) Dacă are un punct de discontinuitate are un punct de discontinuitate de speţa I atunci f nu are proprietatea lui de speţa I atunci f nu are proprietatea lui

Darboux.Darboux. 3) 3) DacăDacă , f continuă atunci , f continuă atunci este este un interval.un interval.

4) 4) DacăDacă nu transformă intervalul I nu transformă intervalul I tot într‑un interval atunci f nu are P.D.tot într‑un interval atunci f nu are P.D.

I:f

I:f

I:f

I:f )I(f

I:f

ExempleT.Bolzano

Definitie

Exemple

Teoreme

Tema

Funcţii cu proprietatea lui DarbouxFuncţii cu proprietatea lui DarbouxLemaLema lui Bolzano: lui Bolzano:

Dacă Dacă este o funcţie continuăeste o funcţie continuă si si

, atunci există cel puţin un punct, atunci există cel puţin un punct

a.î.a.î. ..

Observaţii:Observaţii:

1 )1 )Altfel spus ecuaţiaAltfel spus ecuaţia are cel puţin are cel puţin

o soluţie în intervalulo soluţie în intervalul . .

2 ) 2 ) Dacă Dacă atunci există cel puţin atunci există cel puţin

a.î.a.î. ..

3 ) 3 ) Dacă f esteDacă f este strict strict monotonă monotonă atunci atunci

soluţia este unică.soluţia este unică.

b,a:f

0)b(f)a(f

b,ac 0)c(f

0)x(f b,a

0)b(f)a(f

b,ac 0)c(f

ExempleL.Bolzano

Definitie

Exemple

Teoreme

Tema

Funcţii cu proprietatea lui DarbouxFuncţii cu proprietatea lui DarbouxExemplu:Exemplu: Pt. 1) si 2) avem , Pt. 1) si 2) avem ,

Pt.4) avem:Pt.4) avem:

i) , i) ,

nu este interval f nu are P.D.nu este interval f nu are P.D.

ii) , ii) ,

nu este interval f nu are P.D.nu este interval f nu are P.D.

1,1:f ]x[x)x(f

:f

0x,1

0x,0

0x,1

)xsgn()x(f

}1,0,1{)(f

:f

Q\x,0

Qx,1)x(f

}1,0{)(f

Definitie

Teorema

Funcţii cu proprietatea lui DarbouxFuncţii cu proprietatea lui DarbouxExemplu:Exemplu:

1) 1) Să Să sese arate arate că că ecuaţiaecuaţia areare

celcel puţin o soluţie în intervalulpuţin o soluţie în intervalul . .

Rezolvare :Rezolvare :

Fie Fie funcţifuncţia f:[-1 ,0] a f:[-1 ,0] →ℝ , →ℝ , Deoarece f este continuă şi f(-1)Deoarece f este continuă şi f(-1)∙f( 0 ) < 0 ∙f( 0 ) < 0 ⇒⇒ căcă f f areare celcel puţin o soluţie puţin o soluţie ..

01x3x 4 0,1

13)( 4 xxxf

Definitie

Lema

Funcţii cu proprietatea lui DarbouxFuncţii cu proprietatea lui DarbouxTeorema lui Bolzano face legătura între două Teorema lui Bolzano face legătura între două clase de funcţii: cele continue şi cele care au clase de funcţii: cele continue şi cele care au proprietatea lui Darboux astfel: proprietatea lui Darboux astfel: ..Reciproca este adevărată?Reciproca este adevărată?Este lăsată clasa să‑şi exprime părerile după care Este lăsată clasa să‑şi exprime părerile după care se infirmă valabilitatea acesteia dând un exempluse infirmă valabilitatea acesteia dând un exemplude funcţie cu proprietatea lui Darboux cu punctede funcţie cu proprietatea lui Darboux cu punctede discontinuitate de speţa a II‑a.de discontinuitate de speţa a II‑a.

Exemplu:Exemplu: ,,

Rezolvare : Rezolvare : I ) f nu este continuă I ) f nu este continuă îîn x = 0 , rezultă că f nu n x = 0 , rezultă că f nu este continuă pe R .este continuă pe R .

)I(PD)I(C Definitie

Teorema

:f

0x,0

0x,x

1sin

)x(f

Funcţii cu proprietatea lui DarbouxFuncţii cu proprietatea lui DarbouxII ) f are proprietatea lui Darboux II ) f are proprietatea lui Darboux ⇔ ⇔

⇔ ⇔ [ ([ () I ⊆ R , I –interval ⇒ f( I ) - interval ]) I ⊆ R , I –interval ⇒ f( I ) - interval ]

Rezolvare :Rezolvare :

Fie g : ( 0 , ∞ ) → R , Fie g : ( 0 , ∞ ) → R ,

g este continug este continuă ă ⇒(⇒() I ⊆ ( 0 , ∞) , I –interval avem ) I ⊆ ( 0 , ∞) , I –interval avem

g( I ) - interval şi cum g(x) = f(x) , (g( I ) - interval şi cum g(x) = f(x) , () x > 0 ⇒) x > 0 ⇒

f( I ) – interval , (f( I ) – interval , () I ⊆ ( 0 , ∞)) I ⊆ ( 0 , ∞) (i) (i)

Fie h: ( -∞, 0 ) → R ,Fie h: ( -∞, 0 ) → R ,

h este continuh este continuăă⇒(⇒() I ⊆ ( -∞, 0) , I –interval avem ) I ⊆ ( -∞, 0) , I –interval avem

h( I ) - interval şi cum h(x) = f(x) , (h( I ) - interval şi cum h(x) = f(x) , () x < 0 ⇒) x < 0 ⇒

f( I ) – interval , (f( I ) – interval , () I ⊆ ( -∞, 0)) I ⊆ ( -∞, 0) (ii) (ii)

xxg

1sin)(

xxh

1sin)(

Definitie

Teoreme

Funcţii cu proprietatea lui DarbouxFuncţii cu proprietatea lui DarbouxFie I interval cu 0 Fie I interval cu 0 ∈ ∈ I at. (I at. (∃) ∃) a> 0 astfel încâta> 0 astfel încât

( -a , a ) ( -a , a ) ⊆ I ⊆ I (( ∃ n ∈ N – {0} a. ∃ n ∈ N – {0} a.î. î. ))

[-1,1] [-1,1] ⊇ f( I ) ⊇ f ( (-a,a) ) ⊇⊇ f( I ) ⊇ f ( (-a,a) ) ⊇

⇒ ⇒ f ( I ) = [-1,1] este intervalf ( I ) = [-1,1] este interval , , I I ⊇ ( -a , a ) , a > 0 (iii)⊇ ( -a , a ) , a > 0 (iii)

Din i) , ii) , iii) ⇒ [Din i) , ii) , iii) ⇒ [(() I ⊆ R , I –interval ⇒ f( I ) - interval) I ⊆ R , I –interval ⇒ f( I ) - interval ] ]

⇒ ⇒ f are proprietatea lui Darbouxf are proprietatea lui Darboux

aaann

,,0

22

1,

22

1

1,1

22

1,

22

1

nn

f

Definitie

Teoreme

Funcţii cu proprietatea lui DarbouxFuncţii cu proprietatea lui DarbouxSa seSa se stabilirea proprietăţii lui Darboux pentru stabilirea proprietăţii lui Darboux pentru

funcţiile:funcţiile:

1 ) ,1 ) ,

2) ,2) ,

3) ,3) ,

4) ,4) ,

5) ,5) ,

:f

1x,2

1x,1x)x(f

2

:f ]x[)x(f

:f

0x,1

0x,x

)x1ln()x(f

:f xsin)x(f

:f

0x,0

0x,x

tgx)x(f

Definitie

Teoreme

Lema