1 Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!

Functii Functii Functii Functii generalitati, ecuatii, inecuatii si sisteme de ecuatii si inecuatiigeneralitati, ecuatii, inecuatii si sisteme de ecuatii si inecuatiigeneralitati, ecuatii, inecuatii si sisteme de ecuatii si inecuatiigeneralitati, ecuatii, inecuatii si sisteme de ecuatii si inecuatii Definitie:Definitie:Definitie:Definitie: Fie , . Un element a din A si un element b din B, luate in aceasta ordine, formeaza un cuplu notat (%, &). a se numeste prima componenta sau abscisa, iar b se numeste a doua componenta sau ordonata. (%, &) = (), *) (% = ) ,- & = *) Produsul cartezian al multimii A cu multimea B se noteaza = 0(%, &)|% ,- & 3. Definitie:Definitie:Definitie:Definitie: Fie , . Spunem ca am definit o functie pe multimea A cu valori in multimea B daca printr-un procedeu oarecare facem ca fiecarui element 7 sa-i corespunda un singur element 8 . Notam :: si citim f definita pe A cu valori in B. x se numeste argument al functiei sau variabila independenta. A se numeste domeniul de definitie iar B se numeste codomeniul functiei f. Definitie:Definitie:Definitie:Definitie: Fie :: , ?: @ A doua functii. Spunem ca functiile f si g sunt egale (si scriem : = ?) daca: 1. = @ (functiile au acelasi domeniu de definitie); 2. = A (functiile au acelasi codomeniu); 3. :(7) = ?(7), 7 (punctual, functiile coincid). Definitie:Definitie:Definitie:Definitie: Fie , , )%F* = G, )%F* = H. Atunci numarul functiilor :: este HI. Definitie:Definitie:Definitie:Definitie: Fie , . O functie se numeste functie numerica sau functie reala de variabila reala. Definitii:Definitii:Definitii:Definitii: 1. Functia : + ?: definita prin (: + ?)(7) = :(7) + ?(7), 7 se numeste suma functiilor f si g.

Cadranul II Cadranul I M(a,b) Ox axa absciselor Oy axa ordonatelor M(a,b) abscisa ordonata (a,b) coordonate Cadranul III Cadranul IV

2 Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!

2. Functia : ?: definita prin (: ?)(7) = :(7) ?(7), 7 se numeste produsul functiilor f si g. 3. Functia TU : \07|?(7) = 03 definita prin XTUY (7) = T(Z)U(Z) , 7 , ?(7) 0 se numeste catul functiilor f si g. 4. Functia \:: definita prin (\:)(7) = \:(7), 7 se numeste produsul dintre numarul real \ si functia f. Fie (, ) = 0:: 3 Proprietati:Proprietati:Proprietati:Proprietati: 1. Asociativitatea adunarii: (: + ?) + = : + (? + ); 2. Comutativitatea adunarii: : + ? = ? + :; 3. Elementul neutru fata de adunare este 0: : + 0 = 0 + : = :; 4. Orice functie f are o opusa f: : + (:) = (:) + : = 0; 5. Asociativitatea inmultirii: (:?) = :(?); 6. Comutativitatea inmultirii: :? = ?:; 7. Elementul neutru fata de inmultire este 1: : 1 = 1 : = :; 8. Distributivitatea inmultirii fata de adunare: :(? + ) = :? + :; 9. (\ + f): = \: + f:; 10. \(: + ?) = \: + \?; 11. \(f:) = (\f):. \, f , :, ?, (, ) Definitie:Definitie:Definitie:Definitie: Fie :: . Se numeste graficul functiei f multimea de cupluri gT = 0(7, :(7)|7 )3 = 0(7, 8)|7 , 8 = :(7)3 Definitie:Definitie:Definitie:Definitie: Fie :: . Se numeste imaginea functiei f, notata hG: sau :(), partea lui B constituita din toate imaginile elementelor lui A: hG: = :() = 08 |7 %,j:kl -H)%j :(7) = 83 Definitie:Definitie:Definitie:Definitie: Fie :: . Se numeste imaginea reciproca a unei parti B a lui B, notata :no(), submultimea lui A formata din acele elemente ale caror imagini prin f apartin lui B: :no(q) = 07 |:(7) 3 Definitie:Definitie:Definitie:Definitie: Fie :: , , . Spunem ca functia f este marginita daca %, & astfel incat % :(7) & , 7 .

3 Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!

Definitie:Definitie:Definitie:Definitie: O submultime se numeste simetrica in raport cu O daca pentru orice 7 si 7 . Definitie:Definitie:Definitie:Definitie: Functia :: se numeste para daca: 1. A este simetrica in raport cu O; 2. :(7) = :(7), 7 . Definitie:Definitie:Definitie:Definitie: Functia :: se numeste impara daca: 1. A este simetrica in raport cu O; 2. :(7) = :(7), 7 . Definitie:Definitie:Definitie:Definitie: Fie :: , . Spunem ca functia f se numeste periodica daca s > 0 astfel incat 7 sa avem 7 + s si :(7 + s) = :(7). Numarul T se numeste perioada a functiei f. Daca exista o cea mai mica perioada s > 0, atunci aceasta se numeste perioada principala a functiei f. Proprietate:Proprietate:Proprietate:Proprietate: Daca :: este periodica de perioada T, atunci 7 si v astfel incat 7 + vs , avem :(7 + vs) = :(7). Definitie:Definitie:Definitie:Definitie: Functia :: se numeste constanta daca multimea hG: se reduce la un singur element. Definitie:Definitie:Definitie:Definitie: Fie . Functia :: , :(7) = 7, 7 se numeste functia identica a multimii A. Pentru functia identica a multimii A, utilizam notatia 1x: , 1x(7) = 7, 7 . Definitie:Definitie:Definitie:Definitie: Fie y si z(y) = 0 y3 clasa tuturor submultimilor lui X. Pentru fiecare z(y) definim functia caracteristica a multimii A, }x: y 00,13, }x(7) = ~1, *%)% 7 0, *%)% 7 Proprietati:Proprietati:Proprietati:Proprietati: 1. } = 0 2. } = 1 3. }x }x = }x 4. }x } ; = }x = } 5. }x\ = }x(1 }) ; }(x) = 1 }x 6. }x = }x } 7. }x = }x + } }x } 8. }x = }x + } 2}x }

4 Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!

Definitie:Definitie:Definitie:Definitie: Fie :: , , si h . 1. Spunem ca functia f este strict crescatoare pe I daca si numai daca 7o, 7 h, 7o < 7 :(7o) < :(7) 2. Spunem ca functia f este strict descrescatoare pe I daca si numai daca 7o, 7 h, 7o < 7 :(7o) > :(7) O functie strict crescatoare pe I sau strict descrescatoare pe I se numeste strict monotona pe I. 3. Spunem ca functia f este monoton crescatoare pe I daca si numai daca 7o, 7 h, 7o < 7 :(7o) :(7) 4. Spunem ca functia f este monoton descrescatoare pe I daca si numai daca 7o, 7 h, 7o < 7 :(7o) :(7) O functie monoton crescatoare pe I sau monoton descrescatoare pe I se numeste monotona pe I. Definitie:Definitie:Definitie:Definitie: Se numeste raportul de variatie asociat functiei f si numerelor 7o, 7 sau rata cresterii (daca R>0) sau descresterii (daca R 0, 7o, 7 h, 7o 7 2. f este strict descrescatoare pe I daca si numai daca (7o, 7) < 0, 7o, 7 h, 7o 7 3. f este monoton crescatoare pe I daca si numai daca (7o, 7) 0, 7o, 7 h, 7o 7 4. f este monoton descrescatoare pe I daca si numai daca (7o, 7) 0, 7o, 7 h, 7o 7 Teorema:Teorema:Teorema:Teorema: Fie :, ?: doua functii numerice si \ . 1. Daca f este strict crescatoare (respectiv strict descrescatoare) atunci - daca \ > 0 atunci functia \: este strict crescatoare (respectiv strict descrescatoare) - daca \ < 0 atunci functia \: este strict descrescatoare (respectiv strict crescatoare) 2. Daca f,g sunt strict crescatoare (respectiv strict descrescatoare) atinci f+g este strict crescatoare (respectiv strict descrescatoare) Definitie:Definitie:Definitie:Definitie: Fie :: , si h . 1. Daca 7 h astfel incat :(7) :(7) atunci :(7) se numeste maximul functiei f pe multimea I si scriem :(7) = max :(7), 7 h. Punctul 7 se numeste punct de maxim pentru functia f pe I.

5 Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!

2. Daca 7o h astfel incat :(7o) :(7) atunci :(7o) se numeste minimul functiei f pe multimea I si scriem :(7o) = min :(7), 7 h. Punctul 7o se numeste punct de minim pentru functia f pe I. Definitie:Definitie:Definitie:Definitie: Fie :: h , h interval. 1. Spunem ca functia f este convexa pe I daca 7o, 7 h, o, 0, o + = 1 %kG: :(o7o + 7) o:(7o) + :(7) 2. Spunem ca functia f este concava pe I daca 7o, 7 h, o, 0, o + = 1 %kG: :(o7o + 7) o:(7o) + :(7) Daca inegalitatile sunt stricte spunem ca functia f este strict convexa, respectiv strict concava pe I. Observatie: Observatie: Observatie: Observatie: Daca f este convexa pe I atunci f este concava pe I. Graficul functiei convexe intre doua puncte ale graficului este situat sub coarda determinata de cele doua puncte. Graficul functiei convexe este situat deasupra oricarei tangente duse intr-un punct al graficului. Graficul functiei concave intre doua puncte ale graficului este situat deasupra coardei determinata de cele doua puncte. Graficul functiei concave este situat sub orice tangenta dusa intr-un punct al graficului. Definitie:Definitie:Definitie:Definitie: Fie , , @ si functiile :: , ?: @. Se numeste compusa functiei g cu functia f, functia notata ? : definita astfel: ? :: @, (? :)(7) = ?:(7), 7 . A B C Proprietati:Proprietati:Proprietati:Proprietati: 1. Asociativitatea: ( ?) : = (? :), : (, ), ? (, @), (@, A). 2. Pentru orice functie :: avem: : 1x = :, 1 : = : unde 1 este functia identica a multimii X. 3. Daca :, ? () sunt pare atunci ? : este para.

Valoarea maxima sau minima a lui f pe I se numeste valoare extrema a functiei f pe I. Punctul 7 de maxim sau punctul 7o de minim se numesc puncte de extrem pentru functia f pe I.

:(7) :(7o)

7 7o

f

g : g

6 Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!

4. Daca :, ? () sunt impare atunci ? : este impara. 5. Daca :, ? () au paritati diferite atunci ? : este para. 6. Daca :, ? () au aceeasi monotonie atunci ? : este crescatoare. 7. Daca :, ? () au monotonii diferite atunci ? : este descrescatoare. Definitie:Definitie:Definitie:Definitie: O functie :: se numeste functie injectiva (injectie) daca 8 , ecuatia :(7) = 8 are cel mult o solutie 7 . Teorema:Teorema:Teorema:Teorema: Functia :: este injectiva (7o, 7 , 7o 7 :(7o) :(7)). Teorema:Teorema:Teorema:Teorema: Functia :: este injectiva (7o, 7 , :(7o) = :(7) 7o = 7). Interpretare geometrica:Interpretare geometrica:Interpretare geometrica:Interpretare geometrica: O functie este injectiva daca oricum am trasa o paralela la axa Ox, aceasta intersecteaza graficul functiei in cel mult un punct. Observatii:Observatii:Observatii:Observatii: 1. Fie :: o functie injectiva, H = )%F*(), G = )%F*(). Atunci: H < G si )%F*:() = H. 2. Daca :: , , este o functie multiforma, adica :(7) = ~:o(7), 7 o:(7), 7 , :o, : injective o = , o = , o = hG:o, = hG:. Atunci faptul ca f este injectiva se poate proba aratand ca o = . 3. Daca :: este injectiva iar atunci restrictia functiei f pe A este injectiva. 4. Compunerea a doua sau a mai multor functii injective este o functie injectiva. Teorema:Teorema:Teorema:Teorema: Functia :: , , este injectiva daca are loc una dintre urmatoarele afirmatii echivalente: 1. 7o, 7 , 7o 7 :(7o) :(7) 2. :(7o) = :(7), 7o, 7 7o = 7 3. 8 , ecuatia :(7) = 8 are cel mult o solutie 7 . 4. Orice paralela la axa Ox, dusa printr-un punct al codomeniului taie graficul in cel mult un punct. Teorema:Teorema:Teorema:Teorema: Fie :: o functie numerica strict monotona. Atunci f este injectiva. Definitie:Definitie:Definitie:Definitie: O functie :: se numeste functie surjectiva (surjectie) daca 8 , ecuatia :(7) = 8 are cel putin o solutie 7 .

7 Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!

Teorema:Teorema:Teorema:Teorema: Functia :: este surjectiva (8 , 7 %,j:kl -H)%j :(7) = 8). Teorema:Teorema:Teorema:Teorema: Functia :: este surjectiva :() = hG: = Interpretare geometrica:Interpretare geometrica:Interpretare geometrica:Interpretare geometrica: O functie este surjectiva daca oricum am trasa o paralela la axa Ox, aceasta intersecteaza graficul functiei in cel putin un punct. Observatii:Observatii:Observatii:Observatii: 1. Fie :: o functie surjectiva, H = )%F*(), G = )%F*(). Atunci: H G. 2. Daca :: , , este o functie multiforma, adica :(7) = ~:o(7), 7 o:(7), 7 , o = , o = , o = hG:o, = hG:. Atunci faptul ca f este surjectiva se poate proba aratand ca o = . 3. Compunerea a doua sau a mai multor functii surjective este o functie surjectiva. Teorema:Teorema:Teorema:Teorema: Functia :: , , este surjectiva daca are loc una dintre urmatoarele afirmatii echivalente: 1. 8 , 7 %,j:kl -H)%j :(7) = 8 2. 8 , ecuatia :(7) = 8 are cel putin o solutie 7 . 3. :() = hG: = 4. Orice paralela la axa Ox, dusa printr-un punct al codomeniului taie graficul in cel putin un punct. Definitie:Definitie:Definitie:Definitie: O functie :: se numeste functie bijectiva (bijectie) daca este atat injectiva cat si surjectiva, altfel spus f este bijectiva daca 8 , ecuatia :(7) = 8 are cel exact o solutie 7 . Interpretare geometrica:Interpretare geometrica:Interpretare geometrica:Interpretare geometrica: O functie este bijectiva daca oricum am trasa o paralela la axa Ox, aceasta intersecteaza graficul functiei in cel exact un punct. Observatii:Observatii:Observatii:Observatii: 1. Fie :: o functie bijectiva, H = )%F*(), G = )%F*(). Atunci: H = G. 2. Daca :: , , este o functie multiforma, adica :(7) = ~:o(7), 7 o:(7), 7 , o = , o = , o = hG:o, = hG:. Atunci faptul ca f este bijectiva se poate proba aratand ca o = si o = . 3. Compunerea a doua sau a mai multor functii bijective este o functie bijectiva.

8 Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!

Teorema:Teorema:Teorema:Teorema: Functia :: , , este bijectiva daca are loc una dintre urmatoarele afirmatii echivalente: 1. f este injectiva si surjectiva. 2. 8 , ecuatia :(7) = 8 are solutie unica 7 . 3. Orice paralela la axa Ox, dusa printr-un punct al codomeniului taie graficului intr-un singur punct. Definitii:Definitii:Definitii:Definitii: 1. Multimea A este finita daca = sau daca H si functia bijectiva :: 01,2, , H3 . In caz contrar, A se numeste infinita. 2. Daca si H si :: 01,2, , H3 bijectiva atunci numarul n se numeste cardinalul multimii A, notat H() = H sau )%F*() = H sau || = H. Convenim H() = 0. 3. Multimea A se numeste numarabila daca :: bijectiva. Definitie:Definitie:Definitie:Definitie: Doua multimi A, B sunt echipolente (sau echivalente) daca exista o bijectie :: si notam . Definitie:Definitie:Definitie:Definitie: Fie :: o functie bijectiva. Se numeste functia inversa a functiei f, functia ?: care asociaza fiecarui element 8 elementul unic 7 astfel incat :(7) = 8. Notam :no = ? inversa functiei f. Observatii:Observatii:Observatii:Observatii: 1. Functia g, inversa lui f, daca exista este unica. 2. Functia :no: exista daca functia :: este bijectiva. 3. Daca functia f este bijectiva atunci :no este bijectiva si deci inversabila. Avem: (:no)no = :. Pentru a construi inversa functiei Pentru a construi inversa functiei Pentru a construi inversa functiei Pentru a construi inversa functiei : se aplica urse aplica urse aplica urse aplica urmatorul algoritm:matorul algoritm:matorul algoritm:matorul algoritm: 1. Se demonstraza ca functia f este bijectiva; 2. Se rezolva ecuatia :(7) = 8, 8 de necunoscuta 7 = ?(8). 3. Functia ?: este inversa functiei f; 4. Nu conteaza cum se noteaza argumentul lui ? = :no. De aceea vom pune x in locul lui y. Functia de gradul IFunctia de gradul IFunctia de gradul IFunctia de gradul I Definitie:Definitie:Definitie:Definitie: Functia :: , :(7) = %7 + &, %, & se numeste functie afina. Daca % 0 atunci functia se numeste functie de gradul I cu coeficienti a, b. Daca % = 0 si & 0 atunci functia se numeste

9 Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!

functie constanta. Pentru functia de gradul I, ax se numeste termenul de gradul I iar b se numeste termenul liber al functiei. Ecuatia %7 + & = 0 se numeste ecuatia atasata functiei f. Observatii:Observatii:Observatii:Observatii: 1. Functia de gradul I este bine determinata daca se cunosc coeficientii %, & , % 0. 2. Deoarece domeniul si codomeniul lui f coincid cu , functia de gradul I este o functie numerica. Observatie:Observatie:Observatie:Observatie: Fie :, ?: functii de gradul I. Graficele functiilor f si g sunt simetrice fata de axa Ox daca ?(7) = :(7), 7 . Graficele functiilor f si g sunt simetrice fata de axa Oy daca ?(7) =:(7), 7 . Definitie:Definitie:Definitie:Definitie: Dreapta de ecuatie 8 = 7 se numeste prima bisectoare. Dreapta de ecuatie 8 = 7 se numeste a doua bisectoare. Teorema:Teorema:Teorema:Teorema: Functia de gradul I :: , :(7) = %7 + &, %, & , % 0 este: 1. strict crescatoare daca % > 0 2. strict descrescatoare daca % < 0 % > 0 % < 0 Teorema:Teorema:Teorema:Teorema: Functia de gradul I :: , :(7) = %7 + &, %, & , % 0 are zeroul 7 = iar semnul functiei este dat in tabelul de semn:

7 + :(7) + 7 + :(7) +

7 + :(7) semn contrar lui a 0 acelasi semn cu a

\ 8 = %7 + &

& Graficul functiei de gradul I este o dreapta. Ecuatia dreptei este: 8 = %7 + &, % 0. % = j?\ se numeste panta (coeficientul unghiular al) dreptei, unde \ este unghiul facut de grafic cu axa7.

10 Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!

Numarul 7 = este radacina ecuatiei atasate %7 + & = 0. Spunem ca pana in radacina, adica pentru 7 < , f are semn contrar lui a, iar dincolo de radacina, adica pentru 7 > , f are semnul lui a. Pentru a rezolva inecuatii de forma %7 + & (>, , 0

&% 0 +

+

+

+

-

-

% > 0

&% 0 +

+

+

+

- -

Se completeaza tabelul cu semnul functiilor f, g si apoi al catului (7), tinandu-se cont de regula semnelor.

11 Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!

A rezolva sistemul liniar de mai sus inseamna a-i determina solutiile (daca exista). Spunem ca sistemul este: 1. compatibil determinat daca are o solutie unica; 2. compatibil nedeterminat daca are mai mult de o solutie; 3. incompatibil daca nu are solutii. Definitie:Definitie:Definitie:Definitie: Doua sisteme sunt echivalente daca multimile de solutii ale lor sunt egale Pentru a rezolva un sistem liniar de ecuatii se aplica fie metoda reducerii fie metoda substitutiei. Functia Functia Functia Functia de gradul al IIde gradul al IIde gradul al IIde gradul al II----lealealealea Definitie:Definitie:Definitie:Definitie: Functia :: , :(7) = %7 + &7 + ), %, &, ) , % 0 se numeste functie de gradul al II-lea (sau functie patratica) cu coeficientii %, &, ). %7 se numeste termenul de gradul al II-lea (sau patratic), &7 se numeste termenul de gradul I (sau liniar), iar ) se numeste termenul liber. Ecuatia %7 + &7 + ) = 0 se numeste ecuatia atasata functiei :(7) = %7 + &7 + ) iar = & 4%) se numeste discriminantul ecuatiei. Radacinile reale ale ecuatiei (daca exista) se numesc zerouri ale functiei. Observatii:Observatii:Observatii:Observatii: 1. Functia de gradul al II-lea este bine determinata daca se cunosc coeficientii %, &, ) , % 0. 2. Deoarece domeniul si codomeniul lui f coincid cu , functia de gradul al II-lea este o functie numerica. Graficul functiei de gradul al II-lea este o parabola. Ecuatia parabolei este: 8 = %7 + &7 + ), % 0. Varful parabolei este X , Y. Dreapta verticala 7 = este axa de simetrie pentru graficul functiei f. Cazul I: % > 0 a. > 0 b. = 0 c. < 0 V V V c

c c

7o 7 7o = 7

12 Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!

Cazul II: % < 0 a. > 0 b. = 0 c. < 0 Observatie:Observatie:Observatie:Observatie: Fie :, ?: functii de gradul al II-lea. Graficele functiilor f si g sunt simetrice fata de axa Ox daca ?(7) = :(7), 7 . Graficele functiilor f si g sunt simetrice fata de axa Oy daca ?(7) = :(7), 7 . Graficele functiilor f si g sunt simetrice in raport cu originea O daca :(7) = ?(7), 7 . Teorema:Teorema:Teorema:Teorema: Fie :: , :(7) = %7 + &7 + ), %, &, ) , % 0. 1. Daca % > 0 atunci functia f este strict descrescatoare pe (, ] si strict crescatoare pe [ , ). 2. Daca % < 0 atunci functia f este strict crescatoare pe (, ] si strict descrescatoare pe [ , ). Intervalele (, ], [ , ) se numesc intervale de monotonie ale functiei de gradul al II-lea. 7 = se numeste punct de extrem pentru functie, iar : X Y = se numeste valoare extrema a functiei. Definitie:Definitie:Definitie:Definitie: Forma canonica a functiei de gradul al II-lea este :(7) = % X7 + Y .

7 + :(7) + +

7 + :(7) + +

V c 7o 7 V 7o = 7 V c c

7I = punct de minim :I = valoare minima a lui f

7IZ = punct de maxim :IZ = valoare maxima a lui f

13 Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!

Teorema:Teorema:Teorema:Teorema: Fie %7 + &7 + ) = 0, %, &, ) , % 0 cu radacini reale 7o, 7. Atunci au loc relatiile lui Viete: 7o + 7 = , 7o 7 = Teorema:Teorema:Teorema:Teorema: Daca doua numere reale 7o, 7 au suma 7o + 7 = si produsul 7o 7 = , atunci ele sunt solutiile ecuatiei: 7 7 + = 0. Cele doua numere exista daca 4 0. Teorema:Teorema:Teorema:Teorema: Trinomul %7 + &7 + ), % 0, & 4%) 0 se descompune in factori liniari dupa formula %7 + &7 + ) = %(7 7o)(7 7), unde 7o, 7 sunt radacinile ecuatiei %7 + &7 + ) = 0. Teorema:Teorema:Teorema:Teorema: Fie :: , :(7) = %7 + &7 + ), %, &, ) , % 0. 1. Daca > 0 atunci ecuatia atasata lui f are doua radacini reale distincte 7o < 7 iar semnul lui f este cel al lui a in afara radacinilor si semn contrar lui a intre radacini.

% > 0 % < 0 2. Daca = 0 atunci ecuatia atasata lui f are doua radacini reale egale 7o = 7 iar semnul lui f este cel al lui a pe \ .

7 7o 7 + :(7) semnul lui a 0 semn contrar lui a 0 semnul lui a

7 7o 7 + :(7) +++++++0----------------0++++++++

7 7o 7 + :(7) ---------------0++++++++0----------------

7 + :(7) semnul lui a 0 semnul lui a

+ +

+ +

+ +

+

-

- -

- -

14 Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!

% > 0 % < 0 3. Daca < 0 atunci ecuatia atasata lui f nu are radacini reale iar semnul lui f este cel al lui a pe .

% > 0 % < 0 Pentru a rezolva inecuatii de forma %7 + &7 + ) (>, ,

15 Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!

Pentru a determina semnul expresiei (7) = ZZZZT , %, &, ), *, k, : se considera functiile :, ?: , :(7) = %7 + &7 + ), ?(7) = *7 + k7 + : si se studiaza semnul acestor functii intr-un tabel de forma: 7 + :(7) ?(7) (7) Natura si semnele radacinilor ecuatiei de gradul al Natura si semnele radacinilor ecuatiei de gradul al Natura si semnele radacinilor ecuatiei de gradul al Natura si semnele radacinilor ecuatiei de gradul al IIIIIIII----lealealealea Se considera ecuatia de gradul al II-lea %7 + &7 + ) = 0, % 0. Radacinile ecuatiei sunt reale daca = & 4%) 0. Notam = 7o + 7 si = 7o 7. Concluzii + + + 7o, 7 > 0 + + - 7o, 7 < 0 + - + 7o > 0, 7 < 0, 7o > | 7| + - - 7o > 0, 7 < 0, 7o < | 7| + 0 + 7o = 0, 7 > 0 + 0 - 7o = 0, 7 < 0 + - 0 7o > 0, 7 < 0, 7o = | 7| Pozitia radacinilor ecuatiei de gradul al IIPozitia radacinilor ecuatiei de gradul al IIPozitia radacinilor ecuatiei de gradul al IIPozitia radacinilor ecuatiei de gradul al II----lea fata de o valoare lea fata de o valoare lea fata de o valoare lea fata de o valoare 1. 7o < \ < 7 %:(\) < 0 2. \ < 7o, 7 0%:(\) > 0\ < 3. 7o, 7 < \ 0%:(\) > 0\ >

Se completeaza tabelul cu semnul functiilor f, g si apoi al catului (7), tinandu-se cont de regula semnelor.

16 Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!

Pozitia radacinilor ecuatiei de gradul al IIPozitia radacinilor ecuatiei de gradul al IIPozitia radacinilor ecuatiei de gradul al IIPozitia radacinilor ecuatiei de gradul al II----lea fata de doua valori lea fata de doua valori lea fata de doua valori lea fata de doua valori si si si si 1. 7o < \ < 7 < f %:(\) < 0%:(f) > 0 < f 2. \ < 7o < f < 7 %:(f) < 0%:(\) > 0\ < 3. \ < 7o, 7 < f %:(\) > 0%:(f) > 0\ < < f 4. 7o < \ < f < 7 ~%:(\) < 0%:(f) < 0 ConditConditConditConditia ca doua ecuatii de gradul al IIia ca doua ecuatii de gradul al IIia ca doua ecuatii de gradul al IIia ca doua ecuatii de gradul al II----lea sa aiba aceleasi radacinilea sa aiba aceleasi radacinilea sa aiba aceleasi radacinilea sa aiba aceleasi radacini Ecuatiile %o7 + &o7 + )o = 0, %o 0 si %7 + &7 + ) = 0, % 0 au aceleasi radacini daca = = . Conditia ca doua ecuatii de gradul al IIConditia ca doua ecuatii de gradul al IIConditia ca doua ecuatii de gradul al IIConditia ca doua ecuatii de gradul al II----lea sa aiba o radacina comunalea sa aiba o radacina comunalea sa aiba o radacina comunalea sa aiba o radacina comuna Ecuatiile %o7 + &o7 + )o = 0, %o 0 si %7 + &7 + ) = 0, % 0 au o radacina comuna daca (%o) %)o) = (%o& %&o)(&o) &)o) . Rezolvarea unor sisteme de doua ecuatii cu doua necunoscuteRezolvarea unor sisteme de doua ecuatii cu doua necunoscuteRezolvarea unor sisteme de doua ecuatii cu doua necunoscuteRezolvarea unor sisteme de doua ecuatii cu doua necunoscute 1. Sisteme de forma: ~ G7 + H = 8%7 + &7 + ) = 8 , % 0 Se rezolva prin metoda substitutiei. 2. Sisteme de forma: ~%o7 + &o7 + )o = 8%7 + &7 + ) = 8 , %o, % 0 Se rezolva prin metoda substitutiei. 3. Sisteme simetrice

17 Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!

Definitie:Definitie:Definitie:Definitie: O ecuatie cu doua necunoscute x, y se numeste simetrica daca inlocuind x cu y si y cu x ecuatia nu se schimba. Definitie:Definitie:Definitie:Definitie: Se numeste sistem simetric sistemul format din ecuatii simetrice. Sistemul simetric ~7 + 8 = 78 = se numeste sistem simetric fundamental. Rezolvarea sistemelor simetrice se face utilizand ecuatia de gradul al II-lea in z cad se cunosc suma 7 + 8 = si produsul 78 = pentru necunoscutele x,y. Ecuatia este + = 0 cu radacinile o, . Deci o solutie a sistemului este ( 7o = o, 8o = ) si pentru ca sistemul este simetric avem si solutia ( 7 = , 8 = o).

4. Sisteme omogene de forma: ~%o7 + &o7 + )o = *o%7 + &7 + ) = * Pentru a rezolva sistemul se realizeaza o combinative a celor doua ecuatii astfel incat prin adunarea lor sa obtinem termenul liber egal cu zero. Impartim ecuatia prin 7, notam j = Z si obtinem o ecuatie de gradul al II-lea in t care se rezolva si apoi se revine in x si in y. Functia putere cu exponent naturalFunctia putere cu exponent naturalFunctia putere cu exponent naturalFunctia putere cu exponent natural Definitie:Definitie:Definitie:Definitie: Functia :: , :(7) = 7 , H se numeste functia putere cu exponent natural n. Proprietati: Proprietati: Proprietati: Proprietati: Functia :: , :(7) = 7, v :: , :(7) = 7o, v 1. Intersectia cu axele (0,0) (0,0) 2. Paritate f para f impara 3. Simetria graficului fata de axa Oy fata de O 4. Convexitate si concavitate convexa concava pe(, 0) convexa pe (0, +)

7 7 7 7 7 7

0 0

18 Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!

5. Puncte remarcabile pe grafic (1,1), (0,0), (1,1) (1, 1), (0,0), (1,1) 6. Ordonarea puterilor 0 < 7 < 1 7o < 7 7 > 1 7o > 7 0 < 7 < 1 7o < 7 7 > 1 7o > 7 7. Monotonie 7 0 + :(7) + 0 +

7 0 + :(7) 0 + 8. Semn 7 0 + :(7) +++++ 0 ++++++

7 0 + :(7) ---------- 0 ++++++ Functia putere cu exponent intreg negativFunctia putere cu exponent intreg negativFunctia putere cu exponent intreg negativFunctia putere cu exponent intreg negativ Definitie:Definitie:Definitie:Definitie: Functia :: , :(7) = oZ , H se numeste functia putere cu exponent intreg negativ. Proprietati: Proprietati: Proprietati: Proprietati: Functia :: , :(7) = 17 , v :: , :(7) = 17o , v 1. Intersectia cu axele nu taie axele nu taie axele 2. Paritate f para f impara 3. Simetria graficului fata de axa Oy fata de 0 4. Convexitate si concavitate convexa concava pe(, 0) convexa pe (0, +) 5. Puncte remarcabile pe grafic (1,1), (1,1) (1, 1), (1,1) 6. Asimptote 7 = 0 asimptota verticala 8 = 0 asimptota orizontala 7 = 0 asimptota verticala 8 = 0 asimptota orizontala 7. Ordonarea puterilor 0 < 7 < 1 7o < 7 17o > 17

7 > 1 7o > 7 17o < 17 8. Monotonie 7 0 + :(7) 0 | 0

7 0 + :(7) 0 | 0 9. Semn 7 0 + :(7) +++++ | ++++++

7 0 + :(7) ---------- | ++++++

19 Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!

Functia putere cu exponent rationalFunctia putere cu exponent rationalFunctia putere cu exponent rationalFunctia putere cu exponent rational Definitie:Definitie:Definitie:Definitie: Functia :: (0, +) , :(7) = 7 = 7I , G , H , H 2 se numeste functia putere cu exponent rational. Functia omograficaFunctia omograficaFunctia omograficaFunctia omografica Definitie:Definitie:Definitie:Definitie: Functia :: \ \ , :(7) = ZZ , %, &, ), * , ) 0, %* &) 0 se numeste functia omografica. Proprietati: Proprietati: Proprietati: Proprietati: 1. Intersectia cu axele: g: 7: 8 = 0 7 = &% , % 0 &% , 0 g: 8: 7 = 0 :(0) = &* , * 0 0, &*

0 0 1

1 1 1

:(7) = 17

1 1 1

:(7) = 17

0 0

-

-

%* &) > 0 %* &) < 0

20 Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!

2. Simetria graficului: fata de punctul X , Y 3. Convexitate si concavitate: Daca %* &) > 0 atunci graficul functiei este convex pe X, Y si concav pe X , +Y Daca %* &) < 0 atunci graficul functiei este concav pe X, Y si convex pe X , +Y 4. Comportament asimptotic: 7 = asimptota verticala 8 = asimptota orizontala 5. Monotonie: Functia Functia Functia Functia radicalradicalradicalradical Definitie:Definitie:Definitie:Definitie: Functia :: , :(7) = 7 , H numeste functia radical de ordin impar. Definitie:Definitie:Definitie:Definitie: Functia :: [0, +) [0, +), :(7) = 7 , H numeste functia radical de ordin par. Proprietati: Proprietati: Proprietati: Proprietati: Functia :: [0, +) [0, +), :(7) = 7 :: , :(7) = 7 1. Intersectia cu axele (0,0) (0,0) 2. Paritate nu f impara 3. Simetria graficului nu fata de origine

7 *) + :(7) | 7 *) + :(7) | %* &) < 0 %* &) > 0

0 0 7 7

1 1 1 1 1

1

21 Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!

4. Convexitate si concavitate concava pe [0, +) convexa pe(, 0] concava pe [0, +) 5. Puncte remarcabile pe grafic (0,0), (1,1) (1, 1), (0,0), (1,1) 6. Monotonie 7 0 + :(7) 0 +

7 + :(7) + 7. Semn 7 0 + :(7) ++++++++++++

7 0 + :(7) ---------- | ++++++ 8. Bijectivitate da da 9. Functia inversa :no: [0, +) [0, +), :no(7) = 7 :no: , :no(7) = 7o Definitie:Definitie:Definitie:Definitie: Se numeste ecuatie irationala o ecuatie in care necunoscuta figureaza sub unul sau mai multi radicali. La rezolvarea ecuatiilor irationale se recomanda parcurgerea urmatoarelor etape: 1. Conditii de existenta 2. Rezolvarea ecuatiei (prin ridicare la putere) 3. Verificarea solutiilor Functia exponentialaFunctia exponentialaFunctia exponentialaFunctia exponentiala Definitie: Definitie: Definitie: Definitie: Fie % > 0, % 1. Functia :: (0, +), :(7) = %Z se numeste functia exponentiala de baza a. Definitie: Definitie: Definitie: Definitie: Prin ecuatie exponentiala se intelege o ecuatie in care necunoscuta x figureaza la exponenti. Tipuri de ecuatii exponentiale:Tipuri de ecuatii exponentiale:Tipuri de ecuatii exponentiale:Tipuri de ecuatii exponentiale: 1. Ecuatii de forma %T(Z) = %U(Z), % > 0, % 1 Metoda de rezolvare: :(7) = ?(7) 2. Ecuatii de forma %T(Z) = &, % > 0, % 1, & > 0 Metoda de rezolvare: :(7) = log &

:(7) = %Z , % > 1 :(7) = %Z , 0 < % < 1 0 0

1 1

22 Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!

3. Ecuatii de forma )o%T(Z) + )%T(Z) + ) = 0, % > 0, % 1 Metoda de rezolvare: Se noteaza 8 = %T(Z) > 0. Rezulta ecuatia )o8 + )8 + ) = 0. Se rezolva ecuatia in y si apoi se revine in x. 4. Ecuatii de forma )o%T(Z) + )&T(Z) + ) = 0, %, & > 0, %, & 1 , %& = 1 Metoda de rezolvare: %& = 1 & = o . Rezulta ecuatia )o%T(Z) + () + ) = 0. Se noteaza 8 = %T(Z) > 0. Rezulta ecuatia )o8 + + ) = 0 )o8 + )8 + ) = 0. Se rezolva ecuatia in y si apoi se revine in x. 5. Ecuatii de forma )o%T (Z) + + )%T(Z) = *o%U(Z) + + *%U(Z), %, & > 0, %, & 1 Metoda de rezolvare: In fiecare membru se da factor comun exponentiala de exponent cel mai mic, ajungandu-se la o ecuatie exponentiala de forma %T(Z) = &U(Z), care se rezolva folosind metodele de mai sus. 6. Ecuatii de forma )o%oT(Z) + )%T(Z) + )(%o%)T(Z) = 0, %o, % > 0, %o, % 1 Metoda de rezolvare: Se imparte prin %T(Z) si se obtine )o XYT(Z) + ) XYT(Z) + ) = 0 care se rezolva folosind metodele de mai sus. 7. Ecuatii de forma (%Z + %nZ) + (%Z + %nZ) + @ = 0, % > 0, % 1, , , @ Metoda de rezolvare: Se noteaza 8 = %Z + %nZ si se obtine ecuatia 8 + 8 + @ 2 = 0. Se rezolva ecuatia in y si apoi se revine la x. 8. Ecuatii exponentiale cu solutie unica Metoda de rezolvare: Se aduce ecuatia la forma :(7) = ), unde f este o functie strict monotona iar c este o constanta. Observand o solutie 7, cum f este strict monotona si deci injectiva rezulta ca solutia 7 este unica. Inecuatii exponentialeInecuatii exponentialeInecuatii exponentialeInecuatii exponentiale Pentru rezolvarea inecuatiilor exponentiale se utilizeaza monotonia functiei exponentiale: 1. Daca % > 1 atunci f este strict crescatoare 2. Daca 0 < % < 1 atunci f este strict descrescatoare Schema de rezolvare a inecuatiei: 1. Daca % > 1 atunci %U(Z) > %(Z) ?(7) > (7) 2. Daca 0 < % < 1 atunci %U(Z) > %(Z) ?(7) < (7)

23 Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!

Functia logaritmicaFunctia logaritmicaFunctia logaritmicaFunctia logaritmica Definitie: Definitie: Definitie: Definitie: Fie % > 0, % 1. Functia :: (0, +) , :(7) = log 7 se numeste functia logaritmica de baza a. Proprietati: Proprietati: Proprietati: Proprietati: Functia :: (0, +) , :(7) = log 7 , 0 < % < 1 :: (0, +) , :(7) = log 7 , % > 1 1. Intersectia cu axele (1,0) (1,0) 2. Convexitate si concavitate concava convexa 3. Monotonie f este descrescatoare f este crescatoare 4. Semn 0 < 7 < 1 :(7) > 0 7 = 1 :(1) = 0 7 > 1 :(7) < 0 0 < 7 < 1 :(7) < 0 7 = 1 :(1) = 0 7 > 1 :(7) > 0 5. Bijectivitate da da 6. Functia inversa :no: (0, +), :no(7) = %Z, 0 < % < 1 :no: (0, +), :no(7) = %Z, % > 1 7. Comportament asimptotic 7 = 0 asimptota verticala 7 = 0 asimptota verticala Definitie: Definitie: Definitie: Definitie: Prin ecuatie logaritmica se intelege o ecuatie in care necunoscuta x figureaza in expresii ce apar ca argumente ale logaritmilor sau ca baze ale acestora. Tipuri de ecuatii logaritmice:Tipuri de ecuatii logaritmice:Tipuri de ecuatii logaritmice:Tipuri de ecuatii logaritmice: 1. Ecuatii de forma logU(Z) :(7) = %, % Metoda de rezolvare: Ecuatia este echivalenta cu sistemul:

:(7) > 0?(7) > 0?(7) 1:(7) = (?(7))

2. Ecuatii de forma logU(Z) :(7) = logU(Z) (7)

:(7) = log 7 , % > 1 :(7) = log 7 , 0 < % < 1

0 0 1

1

24 Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!Reproducerea totala sau partiala a oricarei parti din continut este interzisa fara acordul prealabil scris al autorului!

Metoda de rezolvare: Ecuatia este echivalenta cu sistemul:

:(7) > 0(7) > 0?(7) > 0?(7) 1:(7) = (7)

3. Ecuatii care contin logaritmi in baze diferite Metoda de rezolvare: Se pun conditiile de existenta si se aduc logaritmii la aceeasi baza. 4. Ecuatii logaritmice cu solutie unica Metoda de rezolvare: Se aduce ecuatia la forma :(7) = ), unde f este o functie strict monotona iar c este o constanta. Observand o solutie 7, cum f este strict monotona si deci injectiva rezulta ca solutia 7 este unica. Inecuatii logaritmiceInecuatii logaritmiceInecuatii logaritmiceInecuatii logaritmice Pentru rezolvarea inecuatiilor logaritmice se utilizeaza monotonia functiei logaritmice: 1. Daca % > 1 atunci f este strict crescatoare 2. Daca 0 < % < 1 atunci f este strict descrescatoare Schema de rezolvare a inecuatiei:

1. log :(7) > 0% > 1 :(7) > 1% > 1 2. log :(7) > 00 < % < 1 0 < :(7) < 10 < % < 1 3. log :(7) < 0% > 1 0 < :(7) < 1% > 1 4. log :(7) < 00 < % < 1 :(7) > 10 < % < 1