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6. FUNCTIA EXPONENTIALAFUNCTIA LOGARITMICA

I. TEORIE

1. Functia exponentiala

Pentru a 0, a 1, definim f : R p0,`8q, fpxq ax, numita functie exponentiala de bazaa. Figurile de mai jos, redau graficul functiei exponentiale de baza supraunitara, respectiv de baza

subunitara.

Proprietati ale functiei exponentiale

Monotonia functiei exponentiale:a P p1,8q f s adica @x1, x2 P R cu x1 x2, avem ax1 ax2

a P p0, 1q f s adica @x1, x2 P R cu x1 x2, avem ax1 ax2

Functia exponentiala este injectiva. Prin urmare, daca x1, x2 P R si ax1 ax2 , atunci x1 x2. Functia exponentiala este surjectiva. Fiind si injectiva, rezulta ca functia exponentiala este bijectiva. Functia exponentiala este inversabila; inversa ei este functia logaritmica.2. Functia logaritmica

Pentru a 0, a 1, definim f : p0,`8q R, fpxq loga x, numita functie logaritmica de bazaa. Figurile de mai jos redau graficul functiei exponentiale de baza supraunitara, respectiv de baza

subunitara.

Teme de recapitulare pentru BAC M1Algebra: 6. Functia exponentiala. Functia logaritmica

1 Profesor Marius Damian, Braila

Proprietati ale functiei logaritmice

Monotonia functiei logaritmice:a P p1,8q f s adica @x1, x2 P R cu x1 x2, avem loga x1 loga x2a P p0, 1q f s adica @x1, x2 P R cu x1 x2, avem loga x1 loga x2

Functia logaritmica este injectiva. Prin urmare, daca x1, x2 P R si loga x1 loga x2, atunci x1 x2. Functia logaritmica este surjectiva. Fiind si injectiva, rezulta ca functia logaritmica este bijectiva. Functia logaritmica este inversabila; inversa ei este functia exponentiala.

3. Proprietatile logaritmilor

loga b c b ac pa, b 0, a 1, c P Rqloga 1 0 loga a 1 pa 0, a 1qloga px yq loga x` loga y px, y 0, a 0, a 1qloga px1 x2 . . . xnq loga x1 ` loga x2 ` . . .` loga xn px1, x2, . . . , xn 0, a 0, a 1qloga x

r r loga x pr P R, x 0, a 0, a 1q

logax

y loga x loga y px, y 0, a 0, a 1q

logan?x 1

n loga x pn P N, n 2, x 0, a 0, a 1q

loga x logb xlogb a px 0, a, b 0, a, b 1q

alogb c clogb a pa, b, c 0, b 1q Caz particular: aln c cln a

II. APLICATII

1. Sa se calculeze log3`5?7` log3 `5`?7 log3 2.

2. Sa se arate ca numarul log4 16` log3 9` 3?

27 este natural.

3. Sa se arate ca numarul 100lg 2 ` 3?27 este ntreg.4. Sa se arate ca numarul log9

?3` log4 3

?2 este rational.

5. Sa se calculeze log7 2009 log7 287 1.6. Sa se calculeze 10lg 7 3?343.7. Sa se ordoneze crescator numerele a lg 2 lg 20, b C23 C24 si c 3

a4?

4.

8. Sa se calculeze lg1

2` lg 2

3` lg 3

4` . . .` lg 99

100.

9. Sa se ordoneze descrescator numerele a 3?27, b log2 116 si c 2.



10. Sa se arate ca numarul lg

1 1

2

` lg

1 1

3

` lg

1 1

4

` . . .` lg

1 1

1000

este ntreg.

11. Stiind ca log3 2 a, sa se arate ca log16 24 1` 3a4a .12. Sa se arate ca log2 3 P p1, 2q.13. Sa se arate ca 2 P `log3 4,?5 .14. Sa se arate ca numarul 3

?3 apartine intervalului

`?2, log2 5

.

15. Sa se arate ca

8, 3

2

X plog2 3,8q H.

16. Sa se calculeze partea ntreaga a numarului log2 500.

17. Determinati x 0, stiind ca loga x 2 loga 3 3 loga 2, unde a 0, a 1.18. Exista numere reale strict pozitive x astfel ncat lg 2, lg p2x 1q si lg p2x ` 3q sa fie termeni consecu-

tivi ai unei progresii aritmetice?

19. Sa se rezolve n multimea numerelor reale ecuatiile:

a) lg px 1q ` lg p6x 5q 2; b) 9x 10 3x1 ` 1 0; c) log2 p2x`1 ` 1q x;d) lg px` 1q lg 9 1 lg x; e) 32x`1 10 3x`1 ` 27 0; f) 2

x

3x 3

2;

g) log2 x` log4 x` log8 x 116 ; h) 3x ` 9x 2; i) lg2 x` 5 lg x 6 0;

j) 16x ` 3 4x 4; k) 3 4x 6x 2 9x; l) 2 3x ` 31x 7;m) 2x ` 2x`1 ` 2x1 56; n) log22 x` log2 p4xq 4; o) 3x`1 ` 31x 10;p) log3 x` 1log3 x

5

2; q) log5 x` logx 5 52; r) log2

`?x2 ` x 2 1;

s) 2x ` 4x`12 12; t) logx 2` log?x 2 9; u) 23x 14 .

20. Rezolvati n R inecuatile: a) log2 x` log4 x 3; b) 2x`1 4; c)

3

2

x

2

3

x.

21. Rezolvati inecuatialn p2x2 3x` 1q

x2 3x 0.

22. Rezolvati sistemele: a)

"4x 5 9y 14x ` 2x 3y 6 ; b)

"3lg x 4lg yp4xqlg 4 p3yqlg 3 .

23. Determinati suma primilor 9 termeni ai unei progresii geometrice cu termeni pozitivi, pentru care

termenii al treilea si al cincilea sunt cea mai mica si respectiv cea mai mare solutie a ecuatiei

1

2 r1` log4 p3x 2qs log4 p1`

?10x 11q.

24. Se considera inegalitatea 1` log5 px2 ` 1q log5 pax2 ` 4x` aq, unde a este un parametru real.a) Daca a 3, aflati x pentru care inegalitatea este adevarata.b) Determinati a pentru care inegalitatea este adevarata oricare ar fi x P R.



III. REZOLVARI

1. log3`5?7` log3 `5`?7 log3 2 log3 `5?7 `5`?72 log3 182 log3 9 2.

2. log4 16 ` log3 9 ` 3?

27 2 ` 2 ` 3 7 P N. 3. 100lg 2 ` 3?27 2lg 100 ` p3q 22 3 1 P Z.4. log9

?3` log4 3

?2 log3

?3

log3 9` log2

3?

2

log2 4

12

2`

13

2 1

4` 1

6 5

12P Q.

5. log7 2009 log7 287 1 log7 2009287 1 log7 7 1 1 1 0.6. 10lg 7 3?343 7lg 10 3?73 71 7 0. 7. a lg 2

10 lg 1

10 1, b 3 6 3 si c 3?8 2,

deci b c a. 8. lg 12` lg 2

3` lg 3

4` . . .` lg 99

100 lg

1

2 2

3 3

4 . . . 99

100

lg 1

100 2.

9. a 3?27 3, b log2 116 4, c 2 b a c.10. lg

1 1

2

` lg

1 1

3

` . . .` lg

1 1

1000

lg 1

2` lg 2

3` . . .` lg 999

1000 lg

1

2 2

3 . . . 999

1000

lg 11000

3 P Z. 11. log16 24 log3 24log3 16 log3 p3 8q

log3 24

log3 3` log3 84 log3 2

1` 3 log3 24 log3 2

1` 3a4a

.

12.log2 3 log2 2 log2 3 1log2 3 log2 4 log2 3 2

* log2 3 P p1, 2q.

13.2 log3 9 log3 4 2 log3 4

2 ?4 ?5 2 ?5* 2 P `log3 4,?5 .

14.3?

3 ?2 ` 3?36 `?26 9 8 (A)3?

3 3?8 2 log2 4 log2 5* 3?3 P `?2, log2 5 .

15.3

2 log2 3 3 2 log2 3 log2 8 log2 9 (A), deci

8, 3

2

X plog2 3,8q H.

16.log2 500 log2 256 log2 500 log2 28 log2 500 8log2 500 log2 512 log2 500 log2 29 log2 500 9

* rlog2 500s 8.

17. loga x 2 loga 3 3 loga 2 loga x loga 98 x 9

8 0. S

"9

8

*. 18. Raspunsul este

afirmativ: x log2 5. 19. a) Conditii de existenta:x 1 0 x P p1,`8q

6x 5 0 x P

5

6,`8

,.- x P p1,`8q X

5

6,`8

p1,`8q D p1,`8q.

Rezolvarea ecuatiei: lg px 1q ` lg p6x 5q 2 px 1qp6x 5q 100 6x2 11x 95 0.Ecuatia obtinuta are solutiile: x1 5 P D, x2 19

6R D, deci multimea solutiilor ecuatiei date este

S t5u. b) 9x 10 3x1 ` 1 0 p32qx 10 3x

3` 1 0 p3xq2 10 3

x

3` 1 0.

Notam 3x t 0 si ecuatia devine: t2 10 t3` 1 0 3t2 10t ` 3 0 cu solutiile t1 3 0

si t2 13 0. Obtinem 3x 3 x 1 si 3x 1

3 x 1, deci S t1, 1u. c) Conditii de

existenta: 2x`1 ` 1 0 x P R.Rezolvarea ecuatiei: log2 p2x`1 ` 1q x 2x`1 ` 1 2x 22x ` 1 2

x.

Notam 2x t 0 si ecuatia devine: 2t` 1 t t2 t 2 0 cu singura solutie pozitiva t 2.

Astfel, 2x 2 x 1 S t1u. d) Conditiile de existenta dau D p0,`8q si trecem larezolvarea ecuatiei:

lg px` 1q lg 9 1 lg x lg x` 19

lg 10x x` 1

9 10

x x2 ` x 90 0 cu solutiile:

x1 9 P D si x2 10 R D. In concluzie, S t9u. e) S t0; 2u.



f) D R, 2x

3x 3

2

2

3

x

3

2

1. S t1u. g) D p0,`8q . Trecem toti logaritmii n baza 2:

log2 x` log4 x` log8 x 116 log2 x`log2 x

log2 4` log2 x

log2 8 11

6 log2 x` log2 x2 `

log2 x

3 11

6

log2 x 1 x 2 P D. S t2u. h) S t0u. i) D p0,`8q . Notam lg x t siecuatia devine t2 ` 5t 6 0 cu solutiile t1 1 si t2 6. Obtinem lg x 1 x 10 P D silg x 6 x 106 P D, deci S t10; 106u. j) S t0u. k) Impartim ambii membri ai ecuatiei prin9x si aceasta devine 3

2

3

2x

2

3

x2 0. S t0u. l) S t1; log3 2u. m) S t4u. n) D p0,`8q .

log22 x ` log2 p4xq 4 log22 x ` log2 x 2 0. S "

4;1

4

*. o) S t1; 1u. p) D p0,`8q zt1u.

S t9;?3u. q) D p0,`8q zt1u. log5 x ` logx 5 52 log5 x `1

log5 x 5

2. S t25;?5u.

r) D p8,2q Y p1,`8q . log2`?

x2 ` x 2 1 ?x2 ` x 2 2 x2 ` x 2 4 x2`x 6 0. S t2; 3u. s) 2x` 4x`12 12 2x`p22qx`12 12 2x` 2x`1 12. S t2u.t) D p0,`8q zt1u. logx 2 ` log?x 2 9 log2 2log2 x `

log2 2

log2?x 9 1

log2 x` 11

2log2 x

9.

S 3?2( . u) 23x 14

3 x 2 x 5. S t5u. 20. a) D p0,`8q .log2 x` log4 x 3 log2 x` log2 xlog2 4 3 log2 x`

log2 x

2 3

log2 x 2 x P p4,`8q. S p4,`8q. b) 2x`1 4 x ` 1 2 x 1. S p8, 1q.c)

3

2

x

2

3

x

3

2

x

3

2

x x x 2x 0 x 0 x P p8, 0q. Deci

S p8, 0q. 21. S

3

2, 3

. 22. a) S tp1, 0qu ; b) S

"1

4,1

3

*.

23. b3 2, b5 6 q ?

3, b1 23 S9 2

3`?

39 1?

3 1 . 24. a) x P R; b) a P p2, 3s.



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