Definitie:Functia : RR, (x)= ax2 + bx + c, a,b,c R a0, se numestefunctie de gradul al doilea (sau functie patratica) cu coeficientiia,b,cPentru functia de gradul al doileaAx2 - se numeste termenul de gradul doibx - se numeste termenul de gradul intai c - se numeste termenul liber

O functie de gradul al II-lea f : R->R, f(x) = ax+bx +c este perfect determinata cand se cunosca,b,c(a0).

In definitia functiei de gradul al doilea conditia a0 este esentiala in sensul ca ipoteza a=0 conduce la functia de gradul intai.

Exemple functii de gradul II

f1(x) = 7x-9x +10, (a=7, b=-9, c= 10); f2(x) = 0,51x-2x , (a=0,51; b=-2, c= 0); f3(x) = x+0,31,(a=1, b=0, c= 0,31); f4(x) = -x-5x -0,3, (a=-1, b=-5, c=-0,3);

Forma canonica a functiei de gradul II

Monotonia functiei de gradul al II-lea

A studia monotonia functiei revine la a preciza intervalele pe care functia este strict crescatoare(crescatoare) sau strict descrescatoare (descrescatoare). Din monotonia functiei deducem valoarea extrema a functiei. Teorema: Fie functia de gradul doi f:R R, f(x) = ax+bx +c , a 0. 1. Daca a >0, atunci: f este strict descrescatoare pe (-, -b ] 2a si f este strict crescatoare pe [-b , ). 2a Tabelul de variatie a functiei este:x(x)-++--b ] 2aXmin =-b 2a- este punct de minim min =- este valoarea minima a lui f

2. Daca a

Pasii pentru a afla monotonia functiei de gradul II PAS 1 : se calculeaza coordonatele varfului V(Xv,Yv) :

PAS 2 : se completeaza unul din urmatoarele tabele :Daca a >0, atunci:x(x)-++--b ] 2aDaca a

Pasii pentru a afla semnul functiei de gradul IIPAS 1 : se calculeaza : = b2-4ac si se rezolva ecuatia : ax2+bx+c=0PAS 2 : se completeaza unul din urmatoarele tabele :

Semnul functiei de gradul al II-lea

Teorema: Fie functia de gradul al doilea, f:R R, f(x) = ax+bx +c , a 0 si ecuatia atasata ax+bx +c=0. Semnul lui =b2- 4ac alaturi de semnul lui a precizeaza semnul functiei f. A determina semnul lui f inseamna sa aflam valorile lui x pentrucare f(x)>0 sau f(x)0, atunci ecuatia atasata lui f are doua radacini reale distincte x10 Daca a< 0 x(x)-+x1 x2 0 0 +++++++++++- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

2. Daca =0, atunci ecuatia atasata lui f are doua radacini reale egale x1=x2 = -b iar semnul functiei f este cel al lui a. 2a x - +f(x) semn a 0 semn ax2 x2 = 3. Daca

Graficul Functiei Tabelul de variatie a > 0 0 x1 x2 -b 2a-+0 c0 +a)>0=0

PARITATEA . Functia este para daca f(x) = f(-x)

Functia este impara daca f(-x) = -f(x)

* Daca nici una din aceste variante nu este valida atunci nu exista paritate

Bibliografie

Va multumesc pentru atentie!

matematician grec, secolul 3 .Hr., cum e imaginat de ctre Rafael ntr-un detaliu al lucrrii coala atenian