1.Aproximarea funciilor. Orice funcie derivabil pe un interval, poate fi reprezentat numeric printr-o serie infinit, de exemplu de tip Taylor:

2.EcuatiiMetoda biseciei1. Se stabilesc limitele a respectiv b ale intervalului, astfel nct 2. Se estimeaz rdcina ca medie aritmetic a limitelor intervalului 3. Se determin limitele subintervalului n care se afl rdcina:

Dac rdcina se afl n subintervaluln pasul urmtor

Dac rdcina se afl n subintervalul ;n pasul urmtor Dac rdcina este xi4. Se calculeaz .

Dac este mai mare dect o valoare admisibil calculul se reia de la punctul 2

Daca este mai mic sau egal cu xi+1 va fi rdcina obinut prin metoda bisecieiMetoda coardei1. Se stabilesc limitele a respectiv b ale intervalului, astfel nct 2. Se estimeaz rdcina xi 3. Se determin limitele subintervalului n care se afl rdcina:

Dac rdcina se afl n subintervaluln pasul urmtor

Dac rdcina se afl n subintervalul ;n pasul urmtor Dac rdcina este xi4. Se calculeaz .

Dac este mai mare dect o valoare admisibil calculul se reia de la punctul 2

Dac este mai mic sau egal cu , xi+1 va fi rdcina obinut prin metoda coardei

Metoda Newton-RaphsonCea mai utilizat metoda (sau metoda tangentei). Metoda se bazeaz pe un calcul iterativ Se stabilete o valoare iniial .1. Se calculeaz rdcina aproximativ: 2. Se calculeaz .

Dac este mai mare dect o valoare admisibil , calculul se reia de la punctul 2

Dac este mai mic sau egal cu , xi+1 va fi rdcina obinut prin metoda Newton RaphsonMetoda secantein cazul unor funcii complexe a cror derivat e greu de calculat se folosete metoda secantei. Algoritmul este asemntor cu cel al metodei Newton-Raphson, fiind diferit doar ecuaia iterativ precum i necesitatea unei a doua valori iniiale:1.

Se stabilesc dou valori iniiale si 2. Se calculeaz rdcina aproximativ: 3. Se calculeaz .

Dac este mai mare dect o valoare admisibil , calculul se reia de la punctul 2

Dac este mai mic sau egal cu , xi+1 va fi rdcina obinut prin metoda secantei3.Sisteme ecuatiiEliminarea GaussUn sistem de ecuaii cu n ecuaii i n necunoscute este de forma:

Eliminarea Gauss presupune dou etape:A) Eliminarea nainte a necunoscutelor. Se nmulete ecuaia 1 (ecuaia pivot) cu raportul:

Aceast ecuaie se va scdea din a doua ecuaie:

n continuare se elimin x1 din celelalte ecuaii rezultnd:

......

..... Ecuaia 2 devine ecuaia pivot iar x2 se elimin din ecuaiile urmtoare Dup eliminarea lui x2 se continu etapa pn la eliminarea tuturor necunoscutelor din ecuaiile posterioare ecuaiei lor pivot. Se ajunge astfel la urmtorul sistem:

.....

..... B)Substituia valorilor aflate n sens invers Sistemul de ecuaii este acum rezolvat pornind de la ultima ecuaie care are o singur necunoscut:

n continuare acest xn este introdus n penultima ecuaie care are dou necunoscute xn si xn-1, dar cu xn cunoscut. Aceasta penultim ecuaie se rezolv, i se calculeaz astfel xn-1 Se procedeaz la fel i pentru calculul celorlalte necunoscute.Eliminarea Gauss-JordanEliminarea Gauss Jordan presupune transformarea unei matrice extinse de forma:

ntr-o matrice de forma:

Metoda Gauss-SeidelSe rescriu ecuaiile sistemului sub urmtoarea form

Se stabilete un set de valori x2,,xn aleatoare. Se calculeaz x1 din relaia de mai sus, apoi x2,x3, etc. O valoare odat calculat este imediat folosit pentru calculul celorlalte valori. Dup ce se calculeaz toate valorile necunoscutelor se trece la iteraia 2, relundu-se calculele.

La fiecare iteraie se calculeaz eroarea Se oprete calculul cnd toate erorile devin mai mici dect o valoare maxima admisibil.Metoda JacobiSe rescriu ecuaiile sistemului sub urmtoarea form

Se stabilete un set de valori x1,,xn aleatoare. Se calculeaz necunoscutele din relaiile de mai sus. O valoare odat calculat este folosit pentru calculul celorlalte valori abia n iteraia urmtoare. Dup ce se calculeaz toate valorile necunoscutelor se trece la iteraia 2, relundu-se calculele.

La fiecare iteraie se calculeaz eroarea Se oprete calculul cnd toate erorile devin mai mici dect o valoare maxima admisibil.4.REGRESIERegresia liniar

Se consider un set de perechi de valori dat: (x1,y1), (x2,y2), ..... (xn,yn), Cel mai simplu exemplu de funcie continu care s aproximeze dependena y(x), pe baza perechilor discrete cunoscute, este o dreapt . Metoda de aproximare n sensul celor mai mici ptrate, dreapta de regresie este unic determinat

unde sunt mediile aritmetice ale valorilor yi i respectiv, xi.Regresia liniar multipl

n cazul dependenei unei mrimi y de doi parametrii x1 i x2, cea mai simpl funcie de aproximare este expresia liniar .

Optimizarea sumei ptratelor erorilor permite determinarea univoc a coeficienilor :

Regresie liniarizatDac modelul matematic al mulimii punctelor este o funcie neliniar, uneori aceasta se poate transforma n ecuaia unei drepte prin operaii matematice.

De exemplu, o dependen exponenial de tipul , unde a1 i b1 sunt constante, se transform prin logaritmare n . Dac se noteaz , i , setul de date se aproximeaz cu . Odat aflai aceti coeficieni din aplicarea algoritmului de regresie liniar, rezult i coeficienii iniiali:

i . Polinoame Newton cu diferene finite divizateDac se consider dou puncte cunoscute, interpolarea poate fi numai liniar, adic exprimat prin funcia:

Dac se dau trei puncte necoliniare, funcia care trece prin aceste puncte va fi aproximat printr-un polinom unic de grad 2 (parabol).

unde

Polinoame LagrangePolinomul Lagrange de ordinul n care trece prin n +1 puncte cunoscute este:

, unde 5.INTEGRAREA NUMERICARegula trapezului

Integrala este aproximat prin integrala funciei polinomiale de gradul unu f1(x) :Cunoscndu-se a si b i rezolvndu-se integrala, valoarea ei va fi:

Metoda trapezelor

Metoda trapezelor presupune mprirea intervalului [a;b] n mai multe intervale de lungime egal i egale cu , unde n este numrul de subintervale. Integrala se scrie ca o sum de integrale

Fiecare integral se aproximeaz prin regula trapezului

Grupnd termenii i nlocuindu-l pe h, se obine formula de aproximare:Regula Simpson 1/3

unde iar n+1 este numrul de puncte date (rezultnd n/2 subintervale)Regula Simpson 3/8 Pentru aproximarea integralei se folosete un polinom de gradul 3. Punctele prin care trece polinomul se vor obine prin mprirea intervalului [a;b] n trei subintervale de lungimi egale. Integrala va fi:

unde sunt punctele care delimiteaz subintervalele iar Metoda de integrare RombergAlgoritmul metodei Romberg const n aplicarea succesiv a regulii trapezului nsoit de mrirea acurateei aproximrii integralelor prin metoda cunoscut sub denumirea de extrapolarea Richardson. Se folosesc dou valori aproximative ale integralei unei funcii pentru determinarea unei a treia aproximaii, cu o eroare de trunchiere mai mic.

unde este integrala aproximat prin metoda trapezelor pentru n1 subintervale de lungime , iar .Ecuatii diferentiale ordinareMetoda Euler Ecuaia diferenial are forma:

, cu condiia iniial , x0 fiind originea domeniului de definiie al integralei.n metoda Euler, valoarea medie a derivatei n intervalul este aproximat prin valoarea derivatei la nceputul intervalului (n xi i yi) deci noua valoare yi+1 (din pasul curent) este obinut pe baza valorii yi stabilite n pasul precedent, cu relaia:

, unde este pasul de integrare.Metoda Heunn metoda Heun derivata medie pe un pas de integrare este aproximat prin media aritmetic a derivatelor calculate n punctul iniial i punctul final:

Deoarece derivata n punctul final al intervalului depinde de valoarea necunoscut , se face o prim estimare a acestei valori prin metoda Euler:

Indicele 0 arat c estimarea valorii integralei n punctul final se bazeaz pe derivata lui y n punctul iniial. Cu aceast estimare se calculeaz apoi valoarea medie a derivatei i se obine urmtoarea relaie pentru calculul integralei (funciei y) n punctul final al intervalului:

Aceast ecuaie este iterativ, deoarece conine necunoscuta n ambii membrii. Ca urmare, n fiecare pas de integrare, se poate face un calcul iterativ cu aceast ecuaie, scris sub forma:

, unde este rezultatul iteraiei curente, iar este rezultatul iteraiei precedente.