Pendulul

1Curs de Fizic Conf. univ.dr. Vasile Mrza

Studiul pendulelor.

Se numete pendul orice corp care poate oscila n raport cu poziia sa de echilibru. Dup fora care l pune n oscilaie distingem

Pendulul elastic la care fora care l pune n oscilaie este fora elastic, pendulul gravitational, la care fora care l pune n oscilaie este componenta tangenial a forei de greutate.

Pentru pendulul elastic perioada de oscilaie se determin cu ajutorul relaiei (4)

din care

Pendulul gravitaional poate fi simplu sau fizic.Pendulul simplu: un punct material ce poate oscila de o parte i de alta a unei poziii de echilibru.

Orice corp care poate oscila in jurul unei poziii de echilibru este un pendul fizic.

Pendulul gravitational: (simplu) oscileaz sub actiunea componentei tangeniale gravitaionale.

F = Gt (15)

ma = - mg sin( pt. ( mic (30 - 50)

sin((( dar a= i deci

aceast ecuaie conine i elemente liniare a i elemente unghiulare ( , se mai . poate scrie :

(16) Se ine cont ca dac ( este spaiul unghiular, acceleraia unghiular va fi iar legtura ntre acceleraia liniar i cea unghiular este = unde este lungimea pendulului.

{nlocuind n (16) ultima egalitate se obine

EMBED Equation.2 + g(=0 care mprit la duce la relaia:

+ (=0 (17)

Aceast ecuaie seamna cu ecuaia diferenial a micrii oscilatorii armonice n care n loc de este iar n loc de x este (. Asemnarea ar fi i mai bun dac se nlocuete raportul cu (2 adic

EMBED Equation.2 = (18)

sau T= 2( (19)

Ecuaia (19) este ecuaia pendulului gravitaional simplu.Pentru formula perioadei de oscilaie a pendului fizic trebuiesc cunotinte de rotaia rigidului.

Micarea oscilatorie amortizat

Oscilaiile amortizate sunt oscilaiile reale n care asupra masei oscilante acioneaza i fora de frecare, mai ales fora de frecare cu mediul n care se afla corpul.

F = Fe + Fr (20)

Fr fora de frecare

Fe fora elasticFr = -rv cu r factor de rezisten ,

v este viteza ,

iarF este fora rezultant.

Cu aceste notaii relaia (20)devine

(21)

{mprim acest relaie la masa corpului, i notm :

(22)

n care ( se numete factor de amortizare, iar raportul ,

deci ecuaia (21) devine:

(23)

Ecuaia (23) reprezinta ecuaia diferenial a micrii oscilatorii amortizate.Tot la cursul de matematici se va arta c rezolvarea acestei ecuaii se va face astfel: vom face o schimbare de variabil i anume x = Ze-(t (24)

Z fiind noua variabil, iar e= 2.718281828459 este baza logaritmilor naturali, iar t este timpul.

Se introduce noua variabil n ecuaia (23), dar pentru aceasta trebuie mai nti s derivm ecuaia (24), n raport cu timpul, derivata de prim ordin, apoi derivata de ordin doi conform regulilor de derivare:

e-(t - (25)

(26)

Se nlocuiesc relaiile (25) i (26) n ecuaia (23) care devine dup gruparea termenilor i simplificarea cu ,() i obinem :

(27)

Dac n ecuaia (27) se nlocuiete n care

, ( se numete pseudo pulsaie iar T se numete pseudo perioad, adic intervalul minim de timp dup care una dim mrimile ce caracterizeaz acast micare oscilatorie, trece a doua oar succesiv prin aproape aceleai valori n acelai sens.

ecuaia (27), seamn cu ecuaia diferenial a micrii oscilatorii armonice, a crei soluie este dat de ecuaia :

Z=A sin (28)

Revenim la relaia x = Ze-(t (24), n care introducem (28) i obinem:

(29)

notm Ae-(t = Xmax i deci:

x = Xm sin((t + (). (30)

Din ecuaia (30) se vede c elongaia n micare oscilatorie amortizat nu mai este constant n timp, ci variaz, mai precis scade exponenial cu timpul.

reprezentarea variaiei elongaiei cu timpul

n cadrul micrii oscilatorii amortizare.

Din figura de mai sus se vede c dup un anumit timp t1 numit timp de amortizare oscilaia nceteaz.

Distingem dou cazuri particulare :

-dac t1 >T oscilaiile obinute vor fi relativ slab amortizate durnd un anumit timp finit pn la stingerea lor complet;

-dac t1( T oscilaiile obinute vor fi puternic amortizate fiind neperiodice (aperiodice) i se vor stinge imediat.

Gradul de amortizare al oscilaiei este caracterizat de decrementul logaritmic ( dat de relaia:

deci

(31)

Relaia (31) arat c decrementul logaritmic este cu att mai mare cu ct r factorul de rezisten este mai mare sau cu ct masa m a oscilatorului este mai mic.

EMBED Word.Picture.8

PAGE 21

_1379686123.unknown

_1379686266.unknown

_1379686299.unknown

_1379686458.unknown

_1379686459.unknown

_1379686343.unknown

_1379686457.unknown

_1379686348.unknown

_1379686304.unknown

_1379686281.unknown

_1379686290.unknown

_1379686274.unknown

_1379686177.unknown

_1379686232.unknown

_1379686258.unknown

_1379686229.unknown

_1379686165.unknown

_1379686172.unknown

_1379686154.unknown

_1379685995.unknown

_1379686069.unknown

_1379686110.unknown

_1379686116.unknown

_1379686091.unknown

_1379686012.unknown

_1379686022.unknown

_1379685998.unknown

_1379685912.unknown

_1379685943.unknown

_1379685987.unknown

_1379685919.unknown

_1379685849.unknown

_1379685894.unknown

_1033227500.unknown

_1033230825.unknown

_1065427389.doc

_1033227533.unknown

_1033227148.unknown